Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y wxMaxima

Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y

wxMaxima Primera Edición

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Primera!Edición,!2013!

Imagen!de!portada:!!©2009!Jer!Thorp!(http://www.flickr.com/photos/blprnt/4218003108/)!

D.R.!©2013,!Universidad!de!Guadalajara!

Centro!Universitario!de!Ciencias!Exactas!e!Ingenierías!

Blvd.!Marcelino!García!Barragán!núm.!1421,!esq.!Calzada!olímpica!

44430!Guadalajara,!Jalisco.!

ISBN:!978\607\450\695\2!

Impreso!y!hecho!en!México!

Printed!and!made!in!Mexico.!

Álgebra Lineal Básica con GeoGebra ywxMaxima

Oscar Robles Vásquez y Pedro Ortega Gudiño.

Enero de 2013

Contenido

1 Preliminares 11.1 Puntos y Rectas en el Plano xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Álgebra y Geometría con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Sistemas de Ecuaciones Lineales 102.1 Ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Sistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3 Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 2 2 122.2.4 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 22 . . . . . 142.2.5 Clasificación de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.6 Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3 3 . . . . . . . . . 182.2.7 Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 3 3 192.2.8 Solución Gráfica de sistemas de 3 3 . . . . . . . . . . . 20

2.3 El Método de Eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Operaciones Elementales de Renglón . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Existencia de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.3 Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo . . . . . . . . 33

3 Matrices y Vectores 373.1 Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Generación de Matrices con wxMaxima . . . . . . . . . . 39

3.2 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.1 Vector renglón y vector columna . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Vectores y Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.1 Propiedades de la Multiplicación de Matrices . . . . . . . 49

3.4 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . 523.4.1 Matrices Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.2 Inversas y Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . 573.4.3 Matriz Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ii

CONTENIDO iii

3.5 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5.1 wxMaxima y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5.2 Propiedades de los Determinantes . . . . . . . . . . . . . 64

4 Vectores en R2 y R3 714.1 Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.1 Vectores equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.1.2 Magnitud y dirección de un vector . . . . . . . . . . . . . 744.1.3 Vectores unitarios en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Interpretación geométrica del producto escalar . . . . . . . . . . 784.3 Protocolo de la Construcción en GeoGebra . . . . . . . . . . . . . 804.4 Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4.1 Magnitud de un vector en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4.2 Dirección de un vector en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4.3 Vectores unitarios en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.5.1 Interpretación geométrica del producto vectorial . . . . . 874.5.2 Producto vectorial con wxMaxima . . . . . . . . . . . . . 874.5.3 Triple producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Prefacio

La meta principal de este libro de Álgebra Lineal Básica con GeoGe-bra y wxMaxima es desarrollar en los estudiantes la comprensión de las ideasfundamentales del álgebra lineal a través del uso de programas computacionaleslibres. Estas herramientas de trabajo le permitirán al los estudiantes interac-tuar a través de los programas computacionales con los conceptos abstractosdel álgebra lineal. Esta interacción va enfocada a dos aspectos: la resoluciónde problemas y la visualización geométrica; visualizar los conceptos del álgebralineal de forma inmediata le ayudara al estudiante reforzar el enfoque construc-tivista de su aprendizaje.La idea al utilizar Software libre en este texto se basa en las siguientes

premisas: (1) el profesor tiene la seguridad de que todos los alumnos tendrándisponible una herramienta de trabajo, (2) los alumnos podrán utilizar el soft-ware en cualquier sitio, (3) el profesor podra distribuir el programa legalmente;los programas licenciados como Matlab, Maple, Mathematica, etc., no lo autor-izan. Sobre la filosofía del movimiento de software libre, es recomendable queel lector vea la referencia obligada: Proyecto Free Software Foundation, GNU(http://www.gnu.org).La selección de software libre se decidió en función de la sencillez en su

manejo, la disponibilidad para los sistemas operativos Windows y Mac, la ro-bustez del programa, etc. En el libro se utilizan las versiones más recientes de dossistemas de álgebra computacional (CAS):GeoGebra (http://www.geogebra.org/)y wxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net/).El libro está dirigido a estudiantes de ciencias básicas e ingeniería. En el

texto se hace énfasis en los aspectos geométrico y computacional para la resolu-ción de problemas, omitiendose por completo las demostraciones. El enfoque encada capítulo es la presentación del concepto de forma concisa y posteriormentela resolución de problemas a través de GeoGebra o mediante wxMaxima. Ellibro cubre los temas fundamentales del álgebra lineal: sistemas de ecuacioneslineales y matrices. El libro que tiene hoy en sus manos no pretende describirestos temas de forma exhaustiva, sino más bien proporcionar un herramientaútil para resolución de problemas de álgebra lineal utilizando software libre.Los autores

iv

Capítulo 1

Preliminares

1.1 Puntos y Rectas en el Plano xy

1. La distancia d (P1P2) entre dos puntos cualesquiera P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)en un plano coordenado esta definida por la ecuación (1.1)

d (P1P2) =

q(x2 x1)

2+ (y2 y1)

2 (1.1)

2. La pendientem de una recta ( P1P2) que pasa por los puntos P1 = (x1, y1)y P2 = (x2, y2) (Figura 1.1), esta definida por la ecuación (1.2)

m =y2 y1x2 x1

para x2 x1 6= 0 (1.2)

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

12

12

xxyym

−−

=

( )222 , yxP

( )111 , yxP x

y

Figura 1.1. Pendiente (m) de una recta.

1

2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

El orden de los puntos no es importante, nótese que

m =y2 y1x2 x1

=1 (y2 y1)1 (x2 x1)

=y1 y2x1 x2

La pendiente mide la proporción entre lo que se eleva en el plano xy a loque se avanza o recorre horizontalmente; se considera como una razón decambio:

m =elevacion

avance

3. Rectas paralelas al eje-x tiene una pendiente de cero (Figura 1.2).

m =y2 y1x2 x1

=0

x2 x1= 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

300

12

=−

=xx

m

( )222 , yxP ( )111 , yxP

x

y

Figura 1.2. Recta paralela al eje-x, m=0.

4. Rectas paralelas al eje-y tienen una pendiente indefinida (1), (Figura1.3).

m =y2 y1x2 x1

=y2 y10

=1

5. Ecuación de la recta pendiente-ordenada, ecuación (1.3), ver la Figura(1.4):

y = mx+ b (1.3)

Donde b es la ordenada al origen, esto es, (0, b).

6. Ecuación general de una recta, ecuación (1.4):

ax+ by = c con b 6= 0 (1.4)

la pendiente es m =ab.

1.1. PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO XY 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

( )222 , yxP

( )111 , yxP ∞=−

=0

12 yym

x

y

Figura 1.3. Recta paralela al eje-y, m indefinida.

-4 -3 -2 -1 0 1

-3-2-101234

m( )0,3−

( ) ( )3,0,0 =by = mx + b

y

x

Figura 1.4. Ecuación de la recta pendiente-ordenada.


7. Dos rectas son paralelas sí y sólo sí tienen la misma pendiente mL1 = mL2

(Figura 1.5),

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

2L

1L

mL1 = mL2

x

y

Figura 1.5. Rectas paralelas tienen la misma pendiente.

8. Relación de pendientes en rectas perpéndiculares, ecuación (1.5), Figura(1.6),

mL1 = 1

mL2

(1.5)

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

mL1 = ? 1mL2

2Lm

1Lm

x

y

Figura 1.6. Rectas perpéndiculares.

9. Distancia d de un punto P (x0, y0) a una recta ax + by = c, viene dadapor la ecuación (1.6), ver la Figura (1.7),

d =|ax0 + by0 c|p

a2 + b2(1.6)

1.2. GEOGEBRA 5

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

m = ?ab

ax + by = c

d = |ax 0 + by0 ? c|a2 + b2

P›x 0 ,y0 fi

x

y

Figura 1.7. Distancia entre un punto y una recta.

1.2 GeoGebra

GeoGebra1es un Software libre y de plataformas múltiples que se abre a laeducación para interactuar dinámicamente, en un ámbito en que se reúnen laGeometría, el Álgebra y el Análisis o Cálculo. Por otra parte, se pueden ingre-sar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la capacidadde manejarse con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permiteencontrar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de coman-dos propios del análisis matemático para identificar puntos singulares de unafunción, como raíces o extremos.Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana

algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.En la Figura (1.8) se presenta el espacio de trabajo de GeoGebra, se muestran

las partes más importantes de este programa:

1. Ventana algebraica.

2. Venta gráfica

3. Barra de herramientas

4. Campo de entradas

Los operadores básicos para las operaciones ariméticas son los siguientes:

+ : suma

: substracción

: mutiplicación

/ : división

ˆ : exponenciación1http://www.geogebra.org/cms/


Figura 1.8. Ventana de trabajo de GeoGebra.

1.3 Álgebra y Geometría con GeoGebra

Utilizaremos GeoGebra para resolver algunos ejemplos relacionados con puntosy rectas localizados en el plano coordenado xy. Algunas funciones básicas deGeoGebra las conoceremos a través del ejemplo siguiente.

Ejemplo 1 Utilizando GeoGebra. Grafique la recta L que pasa por los puntosA (3, 6) y B (4,2), calcule distancia d (AB), la pendiente m y la ecuación dela recta L.

Solución 1 Dar clic en el ícono de GeoGebra. Teclear en el campo de

:

1. A=(3,6) + enter2 ! introduce el punto A en el plano.

2. B=(-4,-2) + enter ! introduce el punto B en el plano.

3. dAB=Distancia[A,B] + enter ! calcula la distancia d (AB).

4. L:Recta[A,B] + enter ! traza la recta L que pasa por los puntos A y B.

5. m=Pendiente[L] + enter ! calcula la pendiente de la recta L.

Cada entrada introducida se despliega automáticamente en la ventana al-gebraica, estas se muestran en la Figura (1.9).La ecuación de la recta en

2Una vez que se ha tecleado la entrada correspondiente debe teclear aceptar ( -). La flecha(!) indica la acción que produce.

1.3. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA CON GEOGEBRA 7

Figura 1.9. Ventana algebraica de GeoGebra.

forma de pendiente-ordenada se puede obtener a partir de la ecuación

8x 7y = 187y = 8x 18

y =8

7x+

18

7y = 1.14x+ 2.57

La Figura (1.10) muestra la gráfica de la ecuación de la línea recta.

Figura 1.10. Ventana gráfica de GeoGebra.

Ejemplo 2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3, 6)y es paralela a la recta L cuya ecuación es 3x+ 5y = 5.

Solución 2 Dar clic en el ícono de GeoGebra. Teclear en el campo de

:

1. A=(-3,6) + enter ! introduce el punto A en el plano.

2. L:-3x+5y=5 + enter ! traza la recta en el plano y asigna la ecuación aL.

3. En la barra de herramientas dar clic en , seleccionar rectaparalela.


Ir a la zona gráfica y dar clic primero sobre la recta L y luego sobre elpunto A. En la ventana algebraica se desplegará inmediatamente:

a: 3x 5y = 39

En la ventana gráfica se trazará la recta paralela a la recta L.

Ejemplo 3 Encuentre la ecuación de la recta que pasa en b = 4, y es per-péndicular a la recta L, cuya ecuación es 6x+ 3y = 2.

Solución 3 En GeoGebra teclear en el campo :

1. B=(0,-4) + enter ! introduce la ordenada al origen en el plano.

2. L:-6x+3y=2 + enter ! introduce la ecuación de la recta L.

3. L1:Perpendicular[B,L] + enter ! traza la recta que pasa por B y es per-péndicular a la recta L.

En la ventana algebraica se desplegara inmediatamente:

L1: x+2y=-8

Ejercicio 1 Determine la ecuación de la recta en su forma general y pendienteordenada de la recta que:

1. Pasa por los puntos (2, 3) y (4, 5).

2. Tiene pendiente m = 2/5 y pasa por el punto (2, 5).

3. Interseca al eje x en x = 2 y al eje y en y = 4.

4. Pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la recta 3x 7y = 21.

5. Pasa por el punto (5, 3) y es perpendicular a la recta y = 3x+ 2.

6. Pasa por el punto (8, 2) y es paralela a la recta x = 5.

Ejercicio 2 Determine si los puntos A y B dados están o no sobre la rectadada:

1. A (1, 7), B (3, 1) y la recta y = 2x+ 5.

2. A (2, 1), B (1, 2) y la recta y = 2.

3. A (1,1), B (0, 3) y la recta 3x 2y = 1.

4. A (1, 5), B (2, 3) y la recta x+ 2y = 1.

Ejercicio 3 Determine si las rectas dadas son perpéndiculares, paralelas u oblicuas.

1. 3x+ 4 y = 0; 3x+ 9y = 18.

1.3. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA CON GEOGEBRA 9

2. 4x 3y = 2; 3x+ 4y = 5.

3. 2x 14y = 2; 4x 7y = 0.

Ejercicio 4 Determine la distancia d del punto P (x0, y0) a la recta dada.

1. Punto (3, 9), recta y = 2x+ 5.

2. Punto (0,1), recta y =2

6x 1.

3. Punto (2, 5), recta 3x+ 7y = 14.

4. Punto (10,3), recta 8x+ 9 y = 0.

Capítulo 2

Sistemas de EcuacionesLineales

2.1 Ecuación lineal

Una ecuación lineal (E) con n variables o incógnitas x1, x2, ..., xn tiene la formasiguiente

E : a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b (2.1)

el coeficiente ai (a1, a2, ..., an ) y el término constante b son números reales.La solución de la ecuación lineal (2.1) es un conjunto de valores para las

variables o incógnitas que satisfacen la ecuación.

2.2 Sistema de Ecuaciones Lineales

2.2.1 Sistema lineal

Un sistema lineal es un conjunto dem ecuaciones lineales E1, E2, ..., Em del tipo(2.1). El sistema se puede representar por

E1 : a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1E2 : a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

...... · · ·

......

Ei : ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi...

...... · · ·

......

Em : am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(2.2)

A este conjunto de ecuaciones se le llama sistema lineal de m n. Loscoeficientes aij (a11, a12, ..., a1n; a21, a22, ..., a2n; am1, am2, ..., amn) y lostérminos constantes bi (b1, b2, ..., bm) son números reales. Si se tiene que todos

10

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 11

los términos son cero (b1 = b2,= ... = bm = 0) se dice que el sistema deecuaciones lineales es homogéneo.Si el número de ecuaciones (m) es igual al de incógnitas (n) el sistema lineal

se llama cuadrado de n n.Una solución de un sistema de ecuaciones lineales (2.2) es un conjunto de

valores para las variables, S = {x1, x2, ...xn}, tal que satisfacen a cada una delas ecuaciones del sistema.

2.2.2 wxMaxima

wxMaxima1 es un CAS (Sistema de Álgebra Computacional, por sus siglasen inglés). Se trata de un programa cuyo objeto es la realización de cálculosmatemáticos (tanto numéricos como simbólicos) capaz de manipular expresionesalgebraicas, derivar e integrar funciones y realizar diversos tipos de gráficos.Los operadores básicos para las operaciones ariméticas son los siguientes

+ : suma

: substracción

: mutiplicación

/ : división

ˆ o : exponenciación

Utilizaremos wxMaxima version 0.8.2 para operar con sistemas de ecuacioneslineales. En la Figura (2.1) se presenta la ventana principal de trabajo cuando seinicia este programa enWindows donde se muestran las partes más importantes:

1. Menú

2. Botones de acciones frecuentes

3. Área de trabajo

Un documento en wxMaxima consta de varias "Celdas", estás "Celdas" sonlos bloques básicos de construcción. Cada celda tiene un corchete del ladoizquierdo del documento que indica el contenido de está. Para iniciar un doc-umento en wxMaxima dar clíc en el área de trabajo y utilizar el teclado paraintroducir la instrucción, al final oprimir la combinación de teclas shift + en-ter (" + - ) o también ctrl + enter (ctrl + - ), en la celda se desplegaralineas numeradas, por ejemplo (%i1) y (%o1) las cuales indican la entrada (%i)y la salida (%o) de la instrucción, respectivamente.

Ejemplo 4 Utilizando wxMaxima. Considere el sistema de dos ecuaciones lin-eales (E1 y E2) con dos incógnitas (x1 y x2)

E1 : a11x1 + a12x2 = b1 (2.3)

E2 : a21x1 + a22x2 = b2

encuentre la solución algebraica.1 http://wxmaxima.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page

12 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Figura 2.1. Espacio de trabajo en wxMaxima

Solución 4 El sistema anterior se puede resolver con wxMaxima, en el área detrabajo teclear secuencialmente:

1. E1: a11*x1+a12*x2=b1 oprimir " + - : introduce la ecuación E1.

2. E2: a21*x1+a22*x2=b2 oprimir " + - : introduce la ecuación E2.

3. linsolve([E1, E2], [x1,x2]) oprimir " + - : resuelve el sistema deecuaciones lineales.

En la Figura (2.2) se muestra el resultado de estas intrucciones.

Figura 2.2. Solución algebraica de un sistema de ecuaciones de lineales de 2 2con wxMaxima.

2.2.3 Determinante de un sistema de ecuaciones linealesde 2 2

La solución que se presenta en la Figura (2.2) dada por la salida (%o3) sereescribe en la forma siguiente


x1 =a22b1 a12b2

(a11a22 a21a12)(2.4)

x2 =a11b2 a21b1

(a11a22 a21a12)

nótese que el sistema (2.3) tiene solución única cuando el denominador dela ecuación (2.4) sea diferente de cero, esto es,

a11a22 a21a12 6= 0

a este producto se le conoce como determinante (det) del sistema de ecuacioneslineales de 2 2, su valor diferente de cero establece la existencia de soluciónúnica. La definición de determinante para este sistema de ecuaciones lineales seestablece con la ecuación siguiente

det Sistema (2 2) = (a11a22 a21a12) (2.5)

Ejemplo 5 Determine la existencia de la solución única en los sistemas deecuaciones lineales dados.

1.

x1 + x2 = 10

x1 + x2 = 0

2.

x1 2x2 = 32x1 4x2 = 8

3.

x1 + x2 = 3

2x1 2x2 = 6

Solución 5 Para cada uno de los sistemas se puede aplicar la ecuación (2.5)

1.

det Sistema (2 2) = (1) (1) (1) (1)= 2

El sistema tiene solución única.


2.

det Sistema (2 2) = (1) (4) (2) (2)= 0

El sistema no tiene solución única.

3.

det Sistema (2 2) = (1) (2) (2) (1)= 0

El sistema no tiene solución única.

2.2.4 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 22En los siguiente ejemplos que se presentan se resuelven sistemas de ecuacioneslineales de 2 2 utilizando wxMaxima y GeoGebra.

Ejemplo 6 Utilizando GeoGebra. Encuentre la solución mediante un métodográfico del sistema de ecuaciones lineales de 2 2 siguiente

E1 : 7x 5y = 6 (2.6)

E2 : 3x+ 8y = 10

Solución 6 El valor del determinante del sistema (2.6) es

det Sistema (2 2) = ((7) (8) (3) (5))= 71

por lo tanto el sistema tiene solución única. Para gráficar el sistema de ecua-ciones lineales (2.6) en GeoGebra teclee en el campo lo siguiente

1. E1: 7x-5y=6 + enter ! introduce la ecuación E1

2. E2: 3x+8y=10 + enter ! introduce la ecuación E2

3. Intersect[E1,E2] + enter ! encuentra el punto de intersección de las dosrectas, está es la solución del sistema (2.6).

La solución gráfica es: x 1. 38 y y 0.73 y se puede apreciar en laFigura (2.3).

Ejemplo 7 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sis-tema (2.6).

Solución 7 En wxMaxima introducir las instrucciones siguientes

1. E1: 7*x-5*y=6 oprimir " + - : introduce la ecuación E1.


Figura 2.3. Solución gráfica del sistema (2.6) con GeoGebra.

Figura 2.4. Solución algebraica del sistema (2.6) con wxMaxima.

2. E2: 3*x+8*y=10 oprimir " + - : introduce la ecuación E2.

3. linsolve([E1, E2], [x,y]) oprimir " + - : resuelve el sistema lineal conlas variables x y y.

En la última celda se despliega la solución, Figura (2.4).

Ejemplo 8 Utilizando GeoGebra resuelva graficamente el sistema lineal sigu-iente

E1 : 3x 4y = 6 (2.7)

E2 : 6x 8y = 8

Solución 8 El cálculo del determinante del sistema (2.7) muestra que

det Sistema = ((3) (8) (6) (4))= 0

por lo tanto, el sistema (2.7) no tiene solución única. Para gráficar el sistema

de ecuaciones lineales (2.7) en GeoGebra teclear en el campo losiguiente

1. E1: 3x-4y=-6 + enter ! introduce la ecuación E1.


2. E2: 6x-8y=8 + enter ! introduce la ecuación E2.

En la Figura (2.5) se observa que ambas ecuaciones representan rectasparalelas sin níngun punto de coincidencia.

Figura 2.5. Sistema de ecuaciones lineales de 2 2 sin solución.


Solución 9 En la Figura (2.6) se presenta el resultado obtenido por wxMax-ima para un sistema incosistente o que no tiene solución (2.7).La salida (%o3)

Figura 2.6. Resolución del Sistema (2.7) por wxMaxima.

muestra sólo [ ], lo cual indica que el sistema no tiene solución.

Ejemplo 10 Utilizando GeoGebra resuelva graficamente el sistema lineal sigu-iente

E1 : 3x 2y = 2 (2.8)

E2 : 6x 4y = 4


Solución 10 El valor del determinante del sistema (2.8) es

det Sistema = ((3) (4) (2) (6))= 0

como consecuencia el sistema (2.8) no tiene solución única. Para gráficar este

sistema por medio de GeoGebra teclear en el campo lo siguiente



La gráfica del sistema (2.7) muestra que las dos rectas se sobreponen, esdecir, coinciden en un número infinto de puntos en el plano xy, se diceentonces que el sistema tiene soluciones infinitas.

Figura 2.7. Sistema de ecuaciones lineales de 2 2 con soluciones infinitas.


Solución 11 La solución obtenida por wxMaxima se muestra en la Figura (2.8)Lasalida (%o3) muestra que el sistema tiene infinitas soluciones, para simplificarla solución se hace t =%r1, donde t 2 R la solución se escribe:

x =2t 23

, y = t

La representación gráfica de este sistema se presenta en la Figura (2.7); lasrectas se intersectan en un número infinito de pares ordenados (x, y).

2.2.5 Clasificación de Soluciones

Las soluciones encontradas en un sistema de ecuaciones lineales de 22 puedenclasificarce de la forma siguiente:


Figura 2.8. Resolución del Sistema (2.8) por wxMaxima con sloluciones infinitas.

Tipo de solución

8>><

>>:

ConsistenteSolución única, det 6= 0.Soluciones infinitas, det = 0.

Inconsistente {Sin solución, det = 0.

esta clasificación se puede extender a sistemas de n n.

2.2.6 Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3 3En el siguiente ejemplo que se presenta se resuelve un sistema de ecuacioneslineales de 3 3 utilizando wxMaxima.

Ejemplo 12 Utilizando wxMaxima. Considere el sistema lineal de 3 ecuacionescon 3 incógnitas:

E1 : a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1E2 : a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2E3 : a31x1 + a32x2. + a33x3 = b3.

(2.9)

Solución 12 El sistema (2.9) puede ser resuelto con wxMaxima. En el espaciode trabajo introducir secuencialmente cada una de las ecuaciones del sistema

1. E1: a11*x1+a12*x2+a13*x3=b1 oprimir " + - : introduce la ecuaciónE1.



4. linsolve ([E1,E2,E3],[x1,x2,x3]) oprimir " + - : resuelve el sistemalineal con las variables x1, x2 y x3. La solución obtenida por wxMaximase presenta en la Figura (2.9).


Figura 2.9. Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3 3 utilizandowxMaxima.

2.2.7 Determinante de un sistema de ecuaciones linealesde 3 3

La solución del conjunto de ecuaciones (2.9) se presenta en la Figura (2.9), lalinea de salida (%4) muestra la solución general de este sistema, el denominadorde esta solución se reescribe de la forma siguiente

a11 (a22a33 a23a32) a12 (a21a33 a23a31) + a13 (a21a32 a22a31) (2.10)

Este producto se le denomina determinante (det) del sistema de ecuacionesde 3 3 (ecuación 2.11)

det Sistema (3 3) = a11 (a22a33 a23a32) (2.11)

a12 (a21a33 a23a31) + a13 (a21a32 a22a31)

De igual forma que se presenta en el sistema de ecuaciones de 2 2, seestablece que el sistema (2.9) tiene solución única, si se cumple que

det Sistema (3 3) 6= 0

Es importante hacer notar que el determinante sólo se puede calcular parasistemas cuadrados (n n). En el Capítulo 5 se tratara ampliamente el temade determinantes.


2.2.8 Solución Gráfica de sistemas de 3 3El sistema lineal (2.9) forman un conjunto de planos que pueden intersectarse,sobreponerse o intercalarse; la solución gráfica para estos sistemas se ilustra enla figuras siguientes,

1. Solución única, los tres planos se intersectan en un solo punto, ver Figura(2.10).

2. Soluciones infinitas, los planos se intersectan a lo largo de una rectacomún, ver Figura (2.11).

3. Sin solución, se tienen planos paralelos, en este caso el sistema es inco-sistente, ver Figura (2.12).

Figura 2.10. Solución única

Figura 2.11. Soluciones infinitas.

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 21

Figura 2.12. Sin solución.

2.3 El Método de Eliminación

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales del tipo


...... · · ·

......

Ei : ai1x1 + ai2x2 + · · · + aijxj = bi...

...... · · ·

......


(2.2)

se utiliza una generalización sitemátizada del método de eliminación. Antesde proseguir se aclara lo relacionado con la notación utilizada.

Notación 1 En el sistema de ecuaciones (2.2) aij representa cualquier coe-ficiente del sistema en la ecuación i que multiplica a la incógnita j. Así porejemplo, el coeficiente a21, se encuentra en la ecuación E2 multiplicando a laincógnita x1. Por otro lado, bi identifica a cualquier término constante en laecuación i.

Cuando se efectúan operaciones en cada una de las ecuaciones del sistema(2.2) sólo se afectan los coeficientes aij y los términos bi, las incógnitas no seven afectadas, por esta razón, para evitar repetición al escribir cada una de lasecuaciones del sistema, los coeficientes aij y los términos bi se escriben en unarreglo rectangular ordenado llamado matriz aumentada, de la forma siguiente

A =

0

BBB@

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

am1 am2 · · · amn

b1b2...bm

1

CCCA(2.12)

= (A |b ) (2.13)


La matriz aumentada se dice que es de tamaño u orden m (n+ 1), esto es,m-renglones por (n+1)-columnas. La matriz aumentada esta formada por unamatriz de coeficientes (A) de orden m n y una matriz de términos constantes(b) de orden m 1. La representación matricial de cada una de ellas es

A =

0

BBB@

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...


1

CCCAb =

0

BBB@

b1b2...bm

1

CCCA

Notación 2 De forma similar, los subíndices ij en los elementos a de la matrizde coeficientes (2.12) indican la ubicación del elemento en el renglon i y lacolumna j.

Ejemplo 13 En la matriz aumentada siguiente0

@5 7 1 20 5 6 38 6 10 9

b1b2b3

1

A

Identificar los elementos a23, a34, a22 y a55.

Solución 13 Los elementos identificados son

a23 = 6

a34 = 9a22 = 5

a55 = no existe

Es importante resaltar, que un sistema de ecuaciones lineales (2.2) puedeser representado en forma equivalente mediante una matriz aumentada (A), yviceversa, una matriz aumentada tiene su sistema de ecuaciones equivalente,este hecho se muestra en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 14 Determine A para el sistema de ecuaciones lineales siguiente

x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8

4x1 + 5x2 + 9x3 = 9

Solución 14 La equivalencia entre el sistema de ecuaciones lineales y la matrizaumentada es

x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8

4x1 + 5x2 + 9x3 = 9

0

@1 2 10 2 8

4 5 9

08

9

1

A


Ejemplo 15 Determine el sistema de ecuaciones lineales equivalente de la ma-triz aumentada siguiente

1 6 00 3 9

0

7

Solución 15 El sistema de ecuaciones equivalente es1 6 00 3 9

0

7

x1 6x2 = 0

3x2 9x3 = 7

En adelante para facilitar el manejo de una matriz aumentada en wxMax-ima se omitirá la línea vertical, así que la última columna corresponderá a lostérminos constantes (bi).

2.3.1 Operaciones Elementales de Renglón

En el método de eliminación se aplican sobre la matriz A tres operaciones cono-cidas como operaciones elementales de renglón, estas son:

1. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero.

2. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

3. Permutar o intercambiar renglones.

Notación 3 Las operaciones elementales se pueden denotar de la forma sigu-iente

1. Ri ! cRi, c 6= 0: El renglón i puede ser sustituido al multiplicar eserenglón por una constante c 6= 0.

2. Rj ! Rj + cRi, c 6= 0: El renglón j, puede ser sustituido al sumar alrenglón j el multiplo de otro renglón i.

3. Ri Rj : Los renglones i y j pueden intercambiarse o permutar.

En los ejemplos siguientes se explicara con detalle el proceso de eliminaciónsobre sistemas de ecuaciones lineales de 33, llevando los registros de la opera-ciones elementales efectuadas con la notación antes mencionada.

Ejemplo 16 Describa el algorítmo del proceso de solución mediante opera-ciones elementales de renglón de la matriz aumentada siguiente

0

@a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

b1b2b1

1

A

Solución 16 Los elementos a11, a22 y a33 se identifican como elementos pivoteubicados en los renlgones pivote, ellos forman la diagonal principal. El algoritmosimple de este proceso es


Paso 1. Hacer a11 = 1 (1er. pivote).

Paso 2. Hacer "ceros" los elementos por debajo del elemento pivote a11

(a) Hacer a21 = 0

(b) Hacer a31 = 0

Paso 3. Hacer a22 = 1 (2do. pivote).

Paso 4. Hacer "ceros" los elementos por debajo y por arriba del elemento pivotea22

(a) Hacer a12 = 0

(b) Hacer a32 = 0

Paso 5. Hacer a33 = 1 (3er. pivote).

Paso 6. Hacer "ceros" los elementos por arriba del elemento pivote a33

(a) Hacer a13 = 0

(b) Hacer a23 = 0

Paso 7. ¿Tiene solución el sistema?

Ejemplo 17 Resuelva mediante el método de eliminación el sistema de ecua-ciones

2x1 + 4x2 + 8x3 = 6

3x1 2x2 3x3 = 4

8x1 + 2x2 + 5x3 = 1

Solución 17 Aplicando operaciones elementales de renglón se tiene0

@2 4 83 2 38 2 5

641

1

AR1 ! 12R1!

hacer a11=1

0

@1 2 43 2 38 2 5

341

1

AR2 ! R2 3R1!hacer a21=00

@1 2 40 8 158 2 5

351

1

AR3 ! R3 8R1!hacer a31=0

0

@1 2 40 8 150 14 27

3523

1

A

R2 ! 18 R2!

hacer a22=1

0

@1 2 40 1 15

80 14 27

35823

1

AR3 ! R3 + 14R2!hacer a32=0

0

@1 2 40 1 15

80 0 3

4

358 57

4

1

AF

R1 ! R1 2R2!hacer a12=0

0

@1 0 1

40 1 15

80 0 3

4

7458 57

4

1

AR3 ! 43 R3!

hacer a33=1

0

@1 0 1

40 1 15

80 0 1

745819

1

A

R2 ! R2 158 R3!

hacer a23=0

0

@1 0 1

40 1 00 0 1

743519

1

AR1 ! R1 14R3!

hacer a13=0

0

@1 0 00 1 00 0 1

33519

1

A


El conjunto solución es

S = {x1, x2, x3} = {3,35, 19} .

El algoritmo de eliminación implementado se conoce como eliminación deGauss-Jordan. Note que se hacen "ceros" por arriba y "ceros" por abajo de ladiagonal principal. Si el proceso de eliminación sólo contemplara hacer "ceros"por debajo de la diagonal principal y luego sustitución hacia atrás, se trataríadel método de eliminación gaussiana.

Ejemplo 18 Resuelva mediante el método de eliminación gaussiana el ejemploanterior.

Solución 18 Para esto, el proceso puede continuarse a partir de la marca Fde la forma siguiente

0

BB@

1 2 4

0 1 158

0 0 34

3

58

574

1

CCA

F

R3 ! 43 R3!

hacer a33=1

0

B@1 2 40 1 15

8

0 0 1

358

19

1

CA

Luego: 0

BB@

1 2 4

0 1 158

0 0 1

3

58

19

1

CCA E1 :E2 :E3 :

x1 + 2x2 + 4x3 = 3

x2 +158 x3 =

58

x3 = 19

El sistema obtenido es más simple que el original, este último se puede resolverpor sustitución hacia atrás. De la ecuación E3 se tiene que

x3 = 19

De la ecuación E2 resolvemos para x2 y sustituimos x3

x2 =5

815

8x3

=5

815

8(19)

= 35

Resolviendo de la ecuación E1 para x1 y sustituyendo los valores de las incog-nitas x2 y x3 se tiene:

x1 = 3 4x3 2x2= 3 4 (19) 2 (35)= 3

La solución final es (x1, x2, x3) = (19,35,3).


Operaciones Elementales de Renglón con wxMaxima

En wxMaxima una matriz se define mediante una instrucción muy simple, porejemplo la matriz aumentada A de 2 3

A =

1 2 34 7 6

se puede introducir con wxMaxima con la instrucción

A: matrix ([1,-2,-3],[4,7,6]) oprimir " + -

desplegándose en el espacio de trabajo como lo muestra la Figura (2.13).

Figura 2.13. Introducir una matriz en wxMaxima.

la introducción de matrices es por renglones entre corchetes.Nótese que las matrices también pueden ser introducida a partir del Menú,

la secuencia de instrucciones es la siguiente:

1. ! Enter Matriz...! Matriz ! Aceptar !

2. Introducir matriz ! Aceptar


wxMaxima permite realizar operaciones elementales de reglón mediante lasinstrucciones siguientes

1. Función: rowop (M,i,j,): Si M es una matriz y un escalar, devuelve lamatriz que resulta de realizar la transformación Ri ! Ri Rj con losrenglones Ri y Rj . Si M no tiene estos renglones, devuelve un mensajede error.

2. Función: rowswap (M,i,j): Si M es una matriz, intercambia los renglonesi y j, R1 Rj . Si M carece de estos renglones, devuelve un mensaje deerror.

Note que la operación elemental de renglones de Ri ! cRi, no tiene unaoperación directa en wxMaxima, pero está se puede obtener mediante la op-eracion rowop (M, i, j, ), en el ejemplo siguiente se muestra el uso de éstasinstrucciones.

Ejemplo 19 Resuelva mediante operaciones elementales de renglón aplicandowxMaxima el sistema lineal siguiente

2x1 + 4x2 + 8x3 = 6

3x1 2x2 3x3 = 4

8x1 + 2x2 + 5x3 = 1

Solución 19 Una vez introducida la matriz aumentada (Figura 2.14) del sis-tema, es importante que le asigne un nuevo nombre a cada matriz que resultede esa instrucción, al final de cada instrucción oprima la combinación de teclas" + - .

Figura 2.14. Matriz Aumentada.

Secuencialmente introduzca las operaciones siguientes

Paso 1. A1: rowop(A,1,1,1/2): R1 ! R1 1

2R1.

Paso 2. A2: rowop(A1,2,1,3): R2 ! R2 3R1.

Paso 3. A3: rowop(A2,3,1,8): R3 ! R3 8R1.


Paso 4. A4: rowop(A3,2,2,9/8): R2 ! R2 9

8R2.

Paso 5. A5: rowop(A4,3,2,-14): R3 ! R3 (14)R2.

Paso 6. A6: rowop(A5,1,2,2): R1 ! R1 2R2.

Paso 7. A7: rowop(A6,3,3,7/3): R3 ! R3 7

3R3.

Paso 8. A8: rowop(A7,2,3,15/8): R2 ! R2 15

8R3.

Paso 9. A9: rowop(A8,1,3,1/4): R1 ! R1 1

4R3.

Las instrucciones que se introducen secuencialmente despliegan en wxMax-ima las celdas siguientes:

Paso 1. Paso 2.

Paso 3. Paso 4.

Paso 5. Paso 6


Paso 7. Paso 8.

Paso 9.

La matriz obtenida en la salida %o10 (paso 9) es equivalente a0

@1 0 00 1 00 0 1

33519

1

A x1 = 3x2 = 35x3 = 19

Una forma directa para obtener la matriz escalonada por renglones es medi-ante la instrucción echelon de wxMaxima. La función echelon (M) devuelve laforma escalonada de la matriz M, obtenida por eliminación gaussiana.La aplicación de la función echelon (M) al ejemplo anterior es

a partir de matriz obtenida en la salida (%o2) se aplica sustitución haciaatrás para obtener la solución completa.

Ejemplo 20 Encuentre la solución del sistema lineal siguiente

x1 + x2 x3 = 2

4x1 x2 + 5x3 = 56x1 + x2 + 3x3 = 1


Solución 20 La matriz aumentada del sistema es:0

@1 1 14 1 56 1 3

251

1

A

Se aplican las operaciones elementales siguientes

1. R2 ! R2 4R1

2. R3 ! R3 6R1

3. R2 !R25

4. R3 ! R3 + 5R2

5. R3 !R32

matriz equivalente obtenida es

0

BB@

1 1 1

0 1 95

0 0 0

2

135

1

1

CCA

x1 + x2 x3 = 2

x2 95x3 =

135

0 = 1

el útimo renglón presenta una incosistencia, el sistema no tiene solución.Con wxMaxima se obtiene

Ejemplo 21 Resolver el sistema lineal siguiente

x1 + x2 x3 = 2

4x1 x2 + 5x3 = 56x1 + x2 + 3x3 = 1

Solución 21 La matriz aumentada del sistema es0

@1 1 14 1 56 1 3

251

1

A

Efectuando operaciones elementales de renglón se obtiene

R2 ! R2 4R1R3 ! R3 6R1!

0

@1 1 10 5 90 5 9

21313

1

AR2 !R25!

0

BB@

1 1 1

0 1 95

0 0 0

2

135

0

1

CCA


Aquí R2 y R3 son igulales, por lo tanto, se sustituye el renglón 3 por un renglónde ceros, y se obtiene el último pivote en R2, esto es,

R1 ! R1 R2!

0

BB@

1 0 45

0 1 95

0 0 0

45

135

0

1

CCA

El proceso de operaciones elementales no puede continuar ya que no existe otroelemento pivote. El sistema equivalente es:

E1 :E2 :

x1 +45x3 =

45

x2 95 x3 =

135

Este sistema equivalente se tienen dos ecuaciones con tres incognitas, en estecaso existen soluciones infinitas. El procedimiento para reportar la solución deestos sistemas es

1. Del sistema equivalente de n ecuaciones y r variables o incógnitas deter-mine las variables libres al calcular

variables libres = r n= 3 2= 1

2. De las tres incógnitas x1, x2, o x3 seleccionar una variable, está incógnitaserá la varible libre, por ejemplo

x3 = t, donde t 2 R

t es un parámetro que puede tomar cualquier valor en el conjunto de losreales.

3. Despejar las incognitas x1 y x2 en función de la variable libre:

De la ecuación E1

x1 = 4

5x3

3

5

= 4

5t

3

5

De la ecuación E2

x2 =9

5x3 +

13

5

=9

5t+

13

5


La solución se escribe como:

(x1, x2, x3) =

4

5t

3

5,9

5t+

13

5, t

o en notación de conjunto, aquí S es el conjunto solución:

S =

4

5t

3

5,9

5t+

13

5, t ; donde t 2 R

2.3.2 Existencia de Soluciones

Algunas conclusiones obtenidas de la resolución de sistemas de ecuaciones lin-eales de 2 2 y de 3 3, se pueden generalizar a sistemas de ecuaciones linealesde n n y de m n, así se tiene

1. Existe solución única sí y sólo sí el det Sistema (n n) 6= 0.

2. Existe solución única sí y sólo sí se tienen n pivotes en la matriz aumentadade n (n+ 1).

3. Existen soluciones infinitas o se presenta inconsistencia sí y sólo sí el detSistema (n n) = 0

4. Existen soluciones infinitas si en la matriz aumentada n (n+ 1) se tienepor lo menos un renglón de ceros.

5. Inconsistencia se presenta en la matriz aumentada de n (n+ 1) si setiene un renglón de ceros sólo en la matriz de coeficientes.

Ejemplo 22 Elija valores de h y k en el conjunto de los reales para los cualesel sistema

x1 + hx2 = 1

2x1 + 3x2 = k

presente

1. Solución única

2. Inconsistencia

3. Soluciones infinitas

Solución 22 Las operaciones elementales de renglón son1 h2 3

1k

R2 ! R2 2R1!

paso A

1 h0 3 2h

1

k 2

R2 ! R2

32h!note que 32h6=0


1 h0 1

1k232h

R1 ! R1 hR2

1 00 1

1 h(k2)

32hk232h

!

simplificando se tiene

1 00 1

3k32k232

x1 =3hk32h

x2 =k232h

1. Para que el sistema tenga solución única 32h 6= 0, h 6=3

2, con cualquier

valor de k. Probemos por ejemplo, h = 2 y k = 3 1 00 1

3(2)(3)32(2)3232(3)

!1 00 1

3 13

La solución es:(x1, x2)=3,13

.

2. Si h =3

2y k 2 6= 0 ó k 6= 2, al sustituir en en el sistema aumentado

obtenido en el paso A 1 3

2

0 0

1

k 2

!

se obtiene una inconsistencia.

3. Cuando h =3

2y k = 2, al sustituir en en el sistema aumentado obtenido

en el paso A 1 3

2

0 0

10

!

se obtiene el sistema equivalente x1 +3

2x2 = 1 que tiene por solución

x1 = 13

2t

x2 = t, t 2 R

2.3.3 Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo

Un sistema de ecuaciones lineales homogéno es un sistema ecuaciones similar a(2.2), donde todos los términos constantes son cero (b = 0).Po ejemplo el sistema de ecuaciones lineales de 44 siguiente, es homogéneo

ya que bi = 0 para todo i.


a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = 0 (2.14)

a21x1 + a22x2 + a33x3 + a34x4 = 0

a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = 0

a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = 0

La representación de este sistema en una matriz aumentada esta dado por:0

BB@

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a42 a44

0000

1

CCA

0

BB@

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a42 a44

1

CCA

por cuestiones prácticas la columna de "ceros" no se escribe. Para resolver unsistema de ecuaciones lineales homogéno se recurre al algorítmo de eliminacióngaussiana o Gauss-Jordan visto anteriormente.Para cualquier sistema lineal homogéneo com m-ecuaciones y n-incógnitas,

existen dos posibilidades de solución:la solución única o trivial

x1 = x2 = . . . = xn = 0

que se presenta para un sistema de ecuaciones lineales cuadrado cuando

det Sistema (n n) 6= 0

y las soluciones infinitas o no triviales.El cálculo de determinantes de n n se analizará en el capítulo 5.

Ejemplo 23 Utilizando wxMaxima. Resuelva el sistema homogéneo siguiente

x1 + x2 x3 = 0

4x1 x2 + 5x3 = 0

6x1 + x2 + 3x3 = 0

Solución 23 La matriz aumentada del sistema

0

@1 1 14 1 56 1 3

1

A se introduce

en wxMaxima con las instrucciones siguientes

1. Ah: matrix ([1,1,-1],[4,-1,5],[6,1,3) oprimir " + -

2. echelon (Ah) oprimir " + -

Se despliega 95 0

@1 1 10 1 9

50 0 0

1

A


La operación elemental adicional R1 ! R1R2 produce el sistema equiv-alente

x1 +4

5x3 = 0

x2 9

5x3 = 0

donde las variables libres son (r n) = 3 2 = 1, si x3 = t, t 2 R;

x1 = 4

5x3 y x2 =

9

5x3 o de otra forma

(x1, x2, x3) =

4

5t,9

5t, t

Ejemplo 24 Determine la solución para el sistema lineal homogéneo siguiente

3x1 7x2 + 9x3 5x4 + 8x5 = 0

6x3 + 6x4 + 4x5 = 0

3x1 7x2 + 8x3 5x4 + 8x5 = 0

Solución 24 En wxMaxima teclear secuencialmente las instrucciones siguientes

1. E1: 3*x1-7*x2+9*x3-5*x4+8*x5=0 oprimir " + -

2. E2: -6*x3+6*x4+4*x5=0 oprimir " + -

3. E3: 3*x1-7*x2+8*x3-5*x4+8*x5=0 oprimir " + -

4. linsolve ([E1, E2, E3], [x1,x2,x3,x4,x5]) oprimir " + -La solución por wxMaxima es

[x1=%r2, x2=(9*%r2+34*%r1)/21, x3=0, x4=-(2*%r1)/3, x5=%r1]

Si t=%r2 y s=%r1 con t,s 2 R, la solución dada para el sistema se escribecomo

x1 = t

x2 =9t+ 34s

21x3 = 0

x4 =2s3

x5 = s

Finalmente se tiene:

(x1, x2, x3, x4, x5) =

t,9t+ 34s

21, 0,2s4, s

en el Capítulo 3 se dará otra forma de escribir la solución mediante vec-tores.


En general un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tieneun número infinito de soluciones.

Capítulo 3

Matrices y Vectores

3.1 Matriz

Una Matriz es un operador matemático de m n elementos ordenados en m-renglones y n-columnas, se dice entonces que la matriz es de orden m n, loselementos de una matriz pueden ser números reales o complejos, funciones realeso complejas, derivadas o integrales de funciones, etc.Cualquier elemento de una matriz A1 de m n localizado en el renglón i

y la columna j se le dedomina aij . De está manera a todos elementos de lamatriz A, ecuación (3.1), se les representa en forma compacta por A = (aij).

A =

0

BBBBBBBB@

a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...

... · · ·... · · ·

...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

... · · ·... · · ·

...am1 am2 · · · amj · · · amn

1

CCCCCCCCA

= (aij) (3.1)

Así se tiene que la matriz A es 2 3, mientras que B es 2 4

A =

6 3 89 0 5

B =

2 0 1 67 9 3 4

3.1.1 Matrices Especiales

Algunas matrices, en razón de sus dimensiones o de las características de los el-ementos que la componen, reciben denominaciones particulares. A continuaciónse hace mención solamente de algunas de las más comunes.

1A las matrices las identificaremos con letras mayúsculas.

37

38 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES

1. Matriz Cuadrada. Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismonúmero de renglones que de columnas, por ejemplo:

A =

0

@0 2 11 5 37 4 9

1

A B =

4 24 8

donde A es una matriz cuadrada de 3 3, o simplemente de orden 3 y Bes una matriz cuadrada de 2 2, o de orden 2.

2. Matriz diagonal, matriz triangular inferior y matriz triangular superior.

(a) La matriz diagonal D, es una matriz cuadrada de orden n, dondecada elemento dij cumple la siguiente regla:

D = (dij) =

0 si i 6= jdij si i = j

Así D3 y D4 son matrices diagonales de orden 3 y 4, respectivamente:

D3 =

0

@d11 0 00 d22 00 0 d33

1

A D4 =

0

BB@

d11 0 0 00 d22 0 00 0 d33 00 0 0 d44

1

CCA

(b) La matriz triangular inferior es una matriz cuadrada de orden n,donde

A = (aij) =

0 si i < jaij si i j

Las matrices A y B cumplen este requisito

A =

a11 0a21 a22

B =

0

@b11 0 0b21 b22 0b31 b32 b33

1

A

(c) La matriz triangular superior es una matriz cuadrada de orden n,donde

A = (aij) =

0 si i > jaij si i j

Matrices triangulares superiores son las siguientes:

C =

0

@a11 a12 a130 a22 a230 0 a33

1

A D =

0

BB@

c11 c12 c13 c140 c22 c23 c240 0 c33 c340 0 0 c44

1

CCA

3.1. MATRIZ 39

3. Matriz Identidad de orden n, In.:

La matriz Identidad de orden n tiene elementos tales que

In = (ij) =

1 si i = j0 si i 6= j

Matrices Identidad I2, I3 e I4 son las siguientes

I2 =

1 00 1

I3 =

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A I4 =

0

BB@

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA

3.1.2 Generación de Matrices con wxMaxima

wxMaxima genera matrices cuyos elementos son calculados a partir de una fun-ción de dos variables, por ejemplo h (i, j), g (i, j), etc.Para generar una matriz es necesario primero definir la función; en wxMax-

ima se utiliza el operador ":=" para definir funciones, por ejemplo, la funciónf(x)=sen x se escribe como

f(x):=sin(x)

Se pueden definir funciones de dos variables, por ejemplo, la función h (i, j)definida por

h(i, j) =1

1 + j + i

en wxMaxima es equivalente a

h[i,j]:=1/(-1+j+i)

Una vez definida la función se utiliza el comando genmatrix (h,m,n) de wx-Maxima, h es la función definida, m y n indican el orden de la matriz. A lamatriz generada se le puede asignar un nombre para identificarla.

Ejemplo 25 Utilizando wxMaxima. Genere la matriz A de 34 con la función

definida por h(i, j) =1

1 + j + i.

Solución 25 Para generar la matriz A siga las intrucciones

1. h[i,j]:=1/(-1+j+i) oprimir " + - : define la función h (i, j).

2. A=genmatrix (h,3,4) oprimir " + - : genera la matriz A de 34 cuyoselementos son calculados mediante la función h.

En la Figura (3.1) se presenta la entrada secuencial de las instrucciones yel resultado desplegado en wxMaxima.


Figura 3.1. Generación de Matriz la matriz A con wxMaxima.

Si la función h ha sido introducida, entonces se puede generar la matriz Aa través del menu de wxMaxima con los íconos siguientes !GenerateMatrix!..., deplegándose la figura siguiente

Ejercicio 5 Utilizando wxMaxima. Genere la matrices especiales siguientes

1. Matriz nula de orden 3, donde se cumple que aij = 0.

2. Matriz simétrica de orden 3, donde se cumple que aij = aji.

3. Matriz antisimétrica de orden 4, donde se cumple aij = aji. Note quelos elementos de la diagonal principal deben ser nulos, pues sólo se cumple0 = 0.

4. Matriz de Vandermonde de orden 4 con elementos dados por

g(i, j) = xj1i

5. Matriz A de orden 3 con elementos

a (i, j) =i

i+ j 1

3.2. VECTORES 41

6. Matriz B de orden 2 con elementos

b (i, j) =2 + ij

i+ j 1

7. Matriz A de orden 4 con elementos

a(i, j) = a10i+j

3.2 Vectores

Los vectores son una clase particular de matrices, de tal forma que el álgebraelemental de matrices se puede aplicar a los vectores. El interés en este tema secentra en vectores con componentes reales.

3.2.1 Vector renglón y vector columna

Se define un vector renglón de n componentes como un conjunto ordenado den números reales escrito de la forma siguiente

(x1, x2, · · · , xn) o también comox1 x2 · · · xn

Un vector renglón es una matriz de orden 1 n.Se define un vector columna de n componentes como un conjunto ordenado

de n números reales escrito de la manera siguiente

0

BBB@

x1x2...xn

1

CCCA

Un vector columna es una matriz de orden n 1.Cada componente de un vector se le identifica como primera componente

x1, segunda componente x2, sucesivamente hasta la n-ésima componente xn; eneste curso trataremos vectores sólo con componentes reales, esto es xi 2 R.Notación: Los vectores se representan con letras minúsculas en negritas;

así por ejemplo tendremos los vectores u, w, x, y, etc.

Vectores en Rn

Los vectores renglón o columna con dos componentes reales pertenecen al con-junto de vectores R2 estos vectores se pueden visualizar en un plano cartesiano,por ejemplo los vectores y, u, z 2 R2, estos son

y =

y1y2

, u = (u1, u2) y z =

z1 z2


De forma similar los vectores columna o renglón con tres componentes realespertenecen al conjunto R3, estos vectores se pueden visualizar en el espacio, porejemplo, los vectores a, w, b 2 R3, estos son

a =

0

@a1a2a3

1

A , w = (w1, w2, w3) , y b =b1 b2 b3

En general, un vector con n componentes reales pertence al conjunto Rn.

3.2.2 Vectores y Matrices

Los vectores son matrices de n 1 o 1 n; las matrices están formadas porvectores renglón y vectores columna, por ejemplo, la matriz A de 3 4,

A =

0

@a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34

1

A

la cual se compone de los vectores columna o matrices de 3 1 siguientes

c1 =

0

@a11a21a31

1

A, c2 =

0

@a12a22a32

1

A, c3 =

0

@a13a23a33

1

A y c4 =

0

@a14a24a34

1

A.

Note que cada ci 2 R3.En forma similar se tiene los vectores renglón o matrices de orden 1 4

siguientes

r1 =a11 a12 a13 a14

, r2 =

a21 a22 a23 a24

y

r3 =a31 a32 a33 a34

Note que cada ri 2 R4.Una representación alterna de una matriz en términos de vectores columna

o renglón es

A =c1 c2 c3 c4

=

0

@r1r2r3

1

A

Operaciones elementales con vectores

Sean x =x1 x2 · · · xn

y y =

y1 y2 · · · yn

dos vectores en Rn

y un escalar.

1. Igualdad de vectores, x = y si y sólo si

x1 = y1, x2 = y2, ..., xn = yn

3.2. VECTORES 43

2. Adición

x+ y =x1 x2 · · · xn

+y1 y2 · · · yn

=x1 + y1 x2 + y2 · · · xn + yn

la suma se lleva a cabo sólo entre vectores renglón o vectores columna.

3. Producto de un vector por un escalar

x = x1 x2 · · · xn

=x1 x2 · · · xn

4. Producto escalar de vectores, por definición

x · y =x1 x2 · · · xn

·y1 y2 · · · yn

= x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn

=nX

i=1

xiyi

Este producto se lleva a cabo aplicando la definición entre vectores renglón,entre vectores columna o entre vector renglón y columna, con igual númerode componentes.

El producto escalar también se conoce como producto punto o productointerno. En forma matricial el producto escalar puede llevarse a cabo comoel producto de una matriz 1 n y una matriz de n 1

x · y =x1 x2 · · · xn

matriz de 1n

0

BBB@

y1y2...yn

1

CCCA

matriz de n1

= x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn

Nótese que el resultado es un solo número y no un arreglo de númeroscomo lo es un vector.

Propiedades de vectores

Sean a, b, c vectores en Rn, y escalares. Entonces

1. a+ 0 = a.

2. 0 a = 0, donde 0 2 Rn.

3. a+ b = b+ a (ley conmutativa).

4. (a+ b) + c = a+ (b+ c) (ley asociativa).

5. (+ ) a = a+a (Ley distributiva de la multiplicación por un escalar).

6. () a = (a).


Vectores con wxMaxima

En wxMaxima un vector renglón o columna se define mediante una lista denúmeros, agrupados entre corchetes las componentes del vector separados porcomas. Así por ejemplo, los vectores renglón u y v, los vectores columna w yz, dados por

u =3 2 3

v =4 1 5

w =

0

@531

1

A

z =

0

@179

1

A

se introducen en wxMaxima uno a uno con la instrucción

u:[3,-2,-3] oprimir " + -

o con la instrucción

u:[3,-2,-3]; v:[4,1,5] ; w:[-5,3,1] ; z:[1,7,6] oprimir " + -

se introducen todos a la vez.Una vez definidos estos vectores se pueden realizar operaciones según se han

definido, por ejemplo

1. Adición de vectores

2. Multiplicación de vectores por un escalar

3. Producto escalar de vectores

3.2. VECTORES 45

Los operadores "" y "." se utilizan para la mutliplicación, el operador ""para efectuar una multiplicación de un vector por un escalar, el operador "."(punto) para efectuar el producto escalar entre vectores.Como los vectores es una clase especial de matrices, entonces se pueden in-

troducir en wxMaxima mediante el comando "matrix". Así los vectores renglónu y v serán matrices 1 3

u:matrix([3,-2,-3]) oprimir " + - ; v:matrix([4,1,5]) oprimir " + -

desplegándose

y los vectores columna w y z matrices de 3 1

w:matrix([-5],[3],[1]) oprimir " + - ; z:matrix([1],[7],[9]) oprimir " + -

desplegándose

Los vectores también pueden ser introducidos a partir delMenú, la secuenciade instrucciones es la siguiente: ! Enter Matriz...! Matriz (introducirvector)! Aceptar.wxMaxima puede llevar a cabo el cálculo de producto escalar mediante la

Función: dotproduct(u,v), donde u y v deben ser definidos sólo como vectorescolumna, esto es como matrices de n 1.


Propiedades del producto escalar

Sean a, b y c vectores en Rn, y dos escalares. Entonces,

1. a· 0 = 0, donde 0 2 Rn.

2. a · b = b · a, ley conmutativa del producto escalar.

3. a · (b+ c) = a · b+ a ·c.

4. (a) · b = (a · b) .

Ejercicio 6 Dados los vectores

v1 =

0

@221

1

A , v2 =2 3 1

,

v3 =

0

@7311

1

A y v4 =2 9 4

Efectuar las operaciones siguientes

1. v1 · v3

2. v3 · v2

3. v2 · v1

4. v2 · v4

Operaciones elementales con matrices

Sean A = (aij) y B = (bij) matrices de orden m n y un escalar, definimosla operaciones elementales siguientes

1. Igualdad: A = B si ambas matrices son del mismo orden y se cumple (aij)= (bij).

2. Adición: C = A+ B = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (cij), donde C es unamatriz de orden m n, de manera equivalente se define la sustracción dematrices: AB.

3. Multiplicación por un escalar: C = A = (aij) = (aij), donde C esuna matriz de orden m n.

Ejemplo 26 Dadas la matrices siguientes

A =

5 76 6

B =

0

@10 1 110 5 41 10 2

1

A C =

0

@1 9 85 10 27 7 7

1

A

Hallar B + C, B C y 2A.

3.2. VECTORES 47

Solución 26 Las operaciones se muestran a continuación

B+C =

0

@10 1 110 5 41 10 2

1

A+

0

@1 9 85 10 27 7 7

1

A =

0

@11 8 915 15 66 3 5

1

A

BC =

0

@10 1 110 5 41 10 2

1

A

0

@1 9 85 10 27 7 7

1

A =

0

@9 10 75 5 28 17 9

1

A

2A = 2

5 76 6

=

10 1412 12

Algunas de las operaciones que no se pueden realizar, ya que las matrices noson del mismo orden, son por ejemplo, A+B, A+ C, AB, A C, etc.

Propiedades del álgebra de matrices

Sean A, B y C matrices de m n, y escalares, entonces,

1. A+ 0 = A donde 0mn.

2. 0A = 0mn donde = 0.

3. A+B = B +A (ley conmutativa para la suma de matrices).

4. (A+B) + C = A+ (A+B) (ley asociativa para la suma de matrices).

5. (A+B) = A + B (Ley distributiva para la multiplicación por unescalar).

6. ImA = AIn (I: matriz identidad de orden n o m).

7. (+ )A = A+ A

Ejercicio 7 Sea

A =

1 2 32 1 4

, B =

0

@1 02 13 2

1

A , C =

0

@3 1 34 1 52 1 3

1

A

D =

3 22 4

, E =

0

@2 4 50 1 43 2 1

1

A y F =

4 52 3

de ser posible, cálcule

1. E + C

2. D F

3. 2C 3E

4. A+B

5. 2B + F


3.3 Multiplicación de Matrices

Sean A = (aij) una matriz de orden m n y B = (bij) una matriz de ordenn q, se obtiene una matriz C = (cij) de orden m q al efectuar el productomatricial AB,

C(mq)

= A(mn)

B(nq)

(3.2)

donde cada elemento de cij de C se obtiene de la operación siguiente

cij = ri · cjcij = (renglón i de A) · (columna j de B)

o en forma matricial

cij =ai1 ai2 · · · ain

0

BBB@

b1jb2j...bnj

1

CCCA

cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj

cij =

nX

k=1

aikbkj

Note que el producto de dos matrices, ecuación (3.2), puede realizarse sólosi el número de columnas de A es igual al número de renglones de B; se diceque A y B son compatibles mediante la multiplicación.

Ejemplo 27 Dadas las matrices

A =a b

, B =

cd

, C =

a bu v

D =

1 24 3

y E =

5 68 7

lleve a cabo las operaciones siguientes.

1. AB

2. CB

3. DE

Solución 27 Las operaciones son

1. AB =a b

cd

= ac+ bd

3.3. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 49

2. CB =a bu v

cd

=

ac+ bduc+ vd

3. DE =1 24 3

5 68 7

=

0

BBBB@

1 2

58

1 2

67

4 3

58

4 3

67

1

CCCCA

=

21 2044 45

3.3.1 Propiedades de la Multiplicación de Matrices

Sean A, B y C matrices y un escalar; si todas las sumas y productos indicadosestán definidos, entonces son válidas las propiedades siguientes

1. AB 6= BA (en general).

2. AB = AC no implica que B = C.

3. (AB)C = A (BC) (ley asociativa de la multiplicación).

4. A (B + C) = AB +AC (ley distributiva izquierda de la multiplicación dematrices bajo la adición).

5. (B + C)A = BA + CA (ley distributiva derecha de la multiplicación dematrices bajo la adición).

6. (AB) = (A)B = A (B) (ley asociativa de la multiplicación de matri-ces y escalar).

Potencia de Matrices

Sean A, B matrices cuadradas de orden n; entonces son válidas las propiedadessiguientes

1. Ap = AA · · ·A| {z }p-factores

2. A0 = In

3. ApAq = Ap+q

4. (Ap)q = Apq

5. (AB)p 6= ApBp en general, sólo se cumple si AB = BA


Operaciones con Matrices en wxMaxima

En los ejemplos siguientes se muestra como wxMaxima trabaja con las opera-ciones matriciales antes definidas.

Ejemplo 28 Utilizando wxMaxima. Dadas las matrices siguientes

A =

1 8 90 10 1

, B =

0

@8 12 01 5

1

A

C =

1 71 3

y D =

7 44 5

efectue las operaciones matriciales siguientes

1. Adición de matrices, C +D.

2. Multiplicación de una matriz por un escalar, 6 A.

3. Producto de matrices, A.B.

4. Potencia de matrices cuadradas, C ˆˆ2.

5. Operaciones combinadas, 2 (C +D) 3 A.B.

Solución 28 Las matrices dadas se introducen en wxMaxima con la instrucciónsiguiente, A:matrix([1,8,-9],[0,10,-1]); B:matrix([8,1],[2,0],[-1,5]); C:matrix([-1,7],[-1,3]); D:matrix([7,-4],[4,5]); al final de la instrucción oprimir " + - .Una vez definidas estas matrices se pueden realizar las operaciones siguientes,

1. Adición de matrices

2. Multiplicación de una matriz por un escalar

3. Producto de matrices

3.3. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 51

4. Potencia2 de matrices cuadradas

5. Operaciones combinadas

Está última operación es

2 (C +D) 3AB = 2

1 71 3

+

7 44 5

3

1 8 90 10 1

0

@8 12 01 5

1

A

=

87 13857 31

Ejercicio 8 Utilizando wxMaxima. Dadas las matrices

A =

1 2 34 0 2

, B =

0

@3 12 41 5

1

A

C =

2 31 2

y D =

2 34 1

de ser posible, cálcule

1. AB + CD

2. (AB)2 + CD

3. D (AB)

4. BA+ CF

5. (C +D)A

6. CD2

2Una matriz A elevada a una potencia n, An, equivale en wxMaxima a Aˆˆn.


3.4 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales

El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente


...... · · ·

......


puede ser representado en forma matricial por la ecuación (3.3)

0

BBB@

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...


1

CCCA

| {z }A

0

BBB@

x1x2...xn

1

CCCA

| {z }x

=

0

BBB@

b1b2...bm

1

CCCA

| {z }b

(3.3)

Donde A es la matriz de coeficientes de orden m n, x es el vector deincognitas en Rn (matriz de n 1) y b es el vector de términos constantes enRm (matriz de m 1), así la representación del sistema de ecuaciones linealesen su forma matricial compacta es,

Ax = b (3.4)

La utilidad de está notación abreviada la veremos en la sección siguiente.

3.4.1 Matrices Inversas

La inversa de una matriz A de n n, es la matriz B de n n tal que

AB = BA = In

Entonces B se le llama la inversa de A y se escribe por A1. Así se tiene que lainversa de una matriz A cuadrada de orden n es aquella que cumple

AA1 = A1A = In

Si una matriz tiene inversa su inversa es única, se dice entonces que la matrizes invertible o no singular. Las matrices que no tienen inversas son llamadassingulares.En los ejemplos siguientes utilice wxMaxima para comprobar la operación.

Ejemplo 29 Muestre que la inversa de la matriz

A =

5 68 7

3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 53

es

B =

713

613

813 5

13

!

Solución 29 Se debe probar AB = BA = I2.

AB = I25 68 7

713

613

813 5

13

!=

1 00 1

y

BA = I2 713

613

813 5

13

!5 68 7

=

1 00 1

se muestra entonces que A1 = B.

Ejemplo 30 Cálcule la inversa de la matriz A =2 53 1

.

Solución 30 El cálculo de su inversa implica que AA1 = A1A = I2. Suponemos

que A1 =a bc d

entonces debe cumplirse:

AA1 = I22 53 1

a bc d

=

1 00 1

2a+ 5c 2b+ 5d3a+ c 3b+ d

=

1 00 1

Está igualdad matricial plantea los sistemas de ecuaciones lineales siguiente

2a+ 5c = 13a+ c = 0

2 53 1

10

2b+ 5d = 03b+ d = 1

2 53 1

01

Note que los sistemas aumentados tienen los mismos coeficientes, de tal modoque se pueden resolver simultáneamente en una sóla matriz aumentada:

0

BBB@2 53 1

| {z }A

1 00 1| {z }

I2

1

CCCA


note que del lado izquierdo aparece la matriz de coeficientes A y del lado derechola matriz I2. Al efectuar operaciones elementales de renglón sobre el sistemaaumentado anterior se obtiene

0

BBBBB@

1 0

0 1

| {z }I2

117

517

317

217| {z }

A1

1

CCCCCA

Ahora del lado izquierdo del sistema aumentado aparace I2 y del lado derechoA1, está es

A1 =

117

517

317

217

!

la cual cumple:

2 53 1

117

517

317

217

!=

1 00 1

Existencia de la Inversa de A

El cálculo de la inversa de una matriz cuadrada se convierte en un proceso largoa medida que el orden de la matriz es mayor que 2; así que lo mejor, primero, esdeterminar si la inversa de una matriz cuadrada existe. En la determinación dela inversa se tiene que encontrar la solución al sistema aumentado (A |In ), unaforma que resulta práctica es recordar que el sistema aumentado representa asistemas de ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente buscando unasolución única, ya que la inversa de cualquier matriz que la tenga es única, por lotanto, los sistemas a resolver no debe tener soluciones infinitas y mucho menosincosistencia. En conclusión, la inversa de una matriz A de orden n existe si ysólo si

detA 6= 0

Procedimiento para el cálculo de la inversa

A partir del ejemplo anterior, se puede obtener un procedimiemto general paraobtener la inversa de una matriz A de orden n, este es el siguiente

1. Determinar si se cumple detA 6= 0, de ser así siga el proceso.

2. Escribir el sistema aumentado: (A |In ), donde In es la matriz identidadde orden n.

3. Efectuar operaciones elementales de reglón.

4. En el sistema aumentado aparece In del lado izquierdo y del lado derechola matriz inversa A1,

InA1

.


Ejemplo 31 Sea A =

3 21 2

, determine A1.

Solución 31 Es necesario probar que detA 6= 0

detA = det

3 21 2

= (3) (2) (1) (2)= 8

Por lo tanto la inversa de A existe. El cálculo de la inversa por operacioneselementales de renglón se puede efectuar de la siguiente manera:

3 21 2

1 00 1

R1 !

1

3R1

1 2

3

1 2

13 0

0 1

!R2 ! R2 +R1

1 2

3

0 83

13 0

13 1

!R2 !

3

8R2

1 2

3

0 1

13 0

18

38

!R1 ! R1

2

3R2

1 00 1

38

78

34 3

4

!

entonces

A1 =

38

78

34 3

4

!

comprobación

AA1 =

3 21 2

0

@38

78

34 3

4

1

A =

1 00 1

A1A =

38

78

34 3

4

!3 21 2

=

1 00 1

Propiedades de la Matriz Inversa

Sea A y B matrices cuadradas invertibles de orden n y un escalar. Entonces,

1.A1

1= A

2. (AB)1 =B1A1

3. (An)1 =A1

n= An

4. (A)1 =1

A1


Inversas y wxMaxima

Si la inversa de una matriz cuadrada existe, wxMaxima puede calcularla fá-cilmente por medio de la función invert (M), donde M es la matriz cuadradade orden n, la inversa es calculada por el método de las adjuntas, método queveremos adelante. También puede ser calculada con la instrucción M^^-1.

Ejemplo 32 Utilizando wxMaxima. Dada la matriz

A =

a11 a12a21 a22

determine su inversa.

Solución 32 Suponga que el detA = a11a22 a12a21 6= 0, entonces la inversade A existe. La matriz A se introduce en wxMaxima con las instrucciones sigu-ientes

! Enter Matriz...! Matriz (introducir los elementos)! Aceptar

El comando invert (A) y la combinación de teclas " + - despliega la A1como se muestra en la figura siguiente

la salida %o2 puede se reescrita de la forma dada por2

4a22

a11a22 a12a21

a12a11a22 a12a21

a21

a11a22 a12a21a11

a11a22 a12a21

3

5 = 1

a11a22 a12a21

a22 a12a21 a11

de tal forma que la inversa de una matriz de 2 2 puede calcularse por mediode

A1 =1

detA

a22 a12a21 a11

esta ecuación también se obtiene al resolver el sistema aumentadoa11 a12a21 a22

1 00 1


3.4.2 Inversas y Sistemas de Ecuaciones Lineales

La notación matricial, ecuación (3.4), es la representación algebraica símbolicadel sistema de ecuaciones lineales, ecuación (3.3).Al multiplicar la ecuación (3.4) por la izquierda por A1 se obtiene

A1Ax = A1bA1A

x = A1b

Inx = A1b

simplificando

x = A1b (3.5)

lo que significa

0

BBB@

x1x2...xn

1

CCCA

| {z }x

=

0

BBB@

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...


1

CCCA

1

| {z }A1

0

BBB@

b1b2...bm

1

CCCA

| {z }b

es decir, se puede resolver un sistema de ecuaciones mediante el cálculo dela inversa.

Ejemplo 33 Dado el sistema de ecuaciones lineales siguiente

3x1 + 2x2 x3 = b1x1 + 2x2 + 3x3 = b23x1 + x2 + 3x3 = b3

Encuentre la solución aplicando la ecuación (3.5)

Solución 33 El sistema anterior en forma matricial es0

@3 2 11 2 33 1 3

1

A

0

@x1x2xn

1

A =

0

@b1b2b3

1

A

las intrucciones en wxMaxima son

1. Introducir la matriz A, A:matrix([3,2,-1],[-1,2,3],[-3,1,3]) oprimir " + - .


2. Introducir el vector b, b:matrix([b1],[b2],[b3]) oprimir " + - .

3. Calcular la matriz inversa de A, con invert(A) o con la instrucción A^^-1,asigna la matriz inversa de A como Ainv:

Ainv:invert(A) oprimir "+ - o Ainv:A^^-1 oprimir "+ -

4. Efectúa el producto matricial Ainv.b, el producto es el vector solución x(xsol),

la solución esx1 = b3 +

7

8b2

3

8b1, x2 = b3

3

4b2 +

3

4b1, x3 = b3 +

9

8b2

5

8b1

3.4.3 Matriz Transpuesta

Si A = (aij) es una matriz de m n, la transpuesta de A, denotada por AT ,es la matriz de nm, cuyos elementos AT = (aji). La propiedades de AT son

1.ATT= A.


2. (A+B)T = AT +BT .

3. (AB)T = BTAT .

4. Para cualquier escalar , (A)T = AT .

5. Si A es una matriz diagonal, entonces A = AT .

6. Si A es una matriz cuadrada, entonces es simetrica si AT = A.

7. Si AT es invertible, entoncesAT1

=A1

T

En wxMaxima la transpuesta de una matriz se puede determinar mediantela función transpose (M), si M es una matriz, el valor devuelto es otra matriz Ntal que N[i,j] = M[j,i].

Ejemplo 34 Utilizando wxMaxima. Dada la matriz A =

0

@2 1 01 2 10 1 2

1

A

determine su matriz transpuesta.

Solución 34 Introducir en wxMaxima la matriz A, mediante la instrucciónsiguiente,

A:matrix([4,1,8],[-1,-2,7],[5,6,-2]) oprimir " + -

o directamente en el menú, con la secuencia de instrucciones

! Enter Matriz...! Matriz! Aceptar! Introducir matriz! Aceptar

luego se calcula AT (AT) con la instrucción

AT=transpose (A)

se despliega

Ejercicio 9 Utilizando wxMaxima. Sea A =1 2 03 0 1

, B =

0

@1 20 12 4

1

A,

calcule AB, (AB)T , ATBT y BTAT .


3.5 Determinantes

El concepto de determinante fue introducido en el capítulo 2 al resolversistemas cuadrados de ecuaciones lineales de 2 2 y 3 3. Se considera queestos sistemas tiene solución única sí y sólo si, el valor del determinate delsistema es diferente de cero. El determinante de un sistema se calcula sólo conla matriz de coeficientes. Este concepto de determinate se puede extender amatrices cuadradas de n n.

El determinante es una función que asigna un valor a una matriz cuadrada;la función asigna el valor de acuerdo a la suma de todos los productos posibles,de tal forma que en cada uno de esos productos sólo se incluya un elemento decada renglón y de cada columna, con un signo positivo cuando el número deinversiones es par y negativo en caso impar; se tiene una inversión cada que unsubíndice mayor antecede a uno menor.Para la matriz más simple de un sólo elemento, A = (k), su determinante es

de primer orden, su valor es detA = k o también |A| = k.Para una matriz 2 2, dada por

A =

a11 a12a21 a22

su determinante es de segundo orden. Todos los productos posibles son a11a22y a21a12, el signo se asigna dependiendo del número de inversiones; el productoa11a12 tiene 0 inversiones, por tanto signo es positivo; el producto a21a12 tieneuna inversión, por lo tanto signo es negativo; su determinate es calculado por:

|A| = a11a22 a12a21

Ejercicio 10 Sea A una matriz de 3 3,

A =

0

@a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

1

A

Calcule el determinante de tercer orden de está matriz a partir de su definiciónformal.

El cálculo de determinante de una matriz de nn según la definición formalse vuelve tedioso, está tarea se facilita con los métodos dados en adelante.

Determinante de una matriz de 2 2 Sea A =a11 a12a21 a22

entonces el

determinante se calcula por:

detA = a11a22 a12a21

3.5. DETERMINANTES 61

Determinante de una matriz de 3 3. Sea A =

0

@a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

1

A.

Entonces

|A| =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 a11a23a32 a21a12a33 +

a21a13a32 + a31a12a23 a31a13a22

una forma sencilla de recordar los productos anteriores es la siguiente

|A| = a11

a22 a23a32 a33

a12a21 a23a31 a33

+ a13a21 a22a31 a32

= a11 (a22a33 a23a32) a12 (a21a33 a23a31) + a13 (a21a32 a22a31)

este método se conoce como desarrollo por cofactores por el primer renglón.Dos métodos nemotécnicos3 muy utilizados son los siguientes,

1. Agregar las dos primeras columnas y efectuar los productos indicados porlas flechas con sus signos correspondientes

2. Calcular los productos indicados por las flechas y multiplicar por +1 ó1, la suma de ambos productos corresponde al valor del determinante

Determinante de una matriz de nn Un método utilizado para el cálculode determinantes de matrices de n n es el de desarrollo por cofactores. Sinembargo, antes de describirlo es importante revisar algunos conceptos.Sea A una matriz de n n, entonces se tiene que:3Un método nemotécnico, es un sistema sencillo utilizado para recordar una secuencia de

datos, nombres, números, etc.


1. A la matriz Mij de orden (n 1) (n 1) obtenida al eliminar de A elrenglón i y la columna j se le llama menor ij.

2. El cofactor ij de la matriz A, denotado por Aij se obtiene a partir de laecuación (3.6)

Aij = (1)i+j |Mij | (3.6)

nótese que el cofactor es un número.

Ejemplo 35 Dada la matriz

A =

0

@8 1 94 0 22 1 6

1

A

obtenga los cofactores A23, A22 y A33.

Solución 35 Los cofactores se calculan

A23 = (1)2+3 |M23| = 18 12 1

= 6

A22 = (1)2+2 |M22| = +18 92 6

= 30

A33 = (1)3+3 |M33| = +18 14 0

= 4

Cálculo de determinantes mediante desarrollo por cofactores

1. El determinante de una matriz A de n n se calcula mediante el desar-rollando por cofactores a lo largo del renglón i por medio de

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin

=

nX

k=1

aikAik

2. El determinante de una matriz A de n n se calcula mediante el desar-rollando por cofactores a lo largo de la columna j por medio de

|A| = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj

=

nX

k=1

akjAkj

El cálculo de determinates por el método de cofactores puede resultar labo-rioso, por ejemplo, un determinante de 4 orden implica calcular cuatro cofac-tores de tercer orden; calcular un determinante de 5 orden representa calcularcinco cofactores de cuarto grado, luego cada uno de esos de 4 grado, implica


cuatro cofactores de tercer orden, por lo tanto, deben calcularse 54 = 20 cofac-tores de 3, la tarea se vuelve agotadora. Para simplificar los cálculos un poco,la elección del desarrollo por cofactores por columna o renglón puede hacerse enfunción de la mayor cantidad de ceros que contenga.

Afortunadamente, el trabajo puede hacerse menos complicado medianteel empleo de las propiedades de los determinantes para generar ceros, en un pro-ceso semejante al de Gauss-Jordan, con la ventaja de que se pueden considerarrenglones y columnas.Use una matriz de signos para determinar (1)i+j esto es

0

BBB@

+ + · · · + · · ·+ + · · ·...

......

. . .

1

CCCA

3.5.1 wxMaxima y determinantes

En wxMaxima el cálculo de un determinante se hace con la función determinant(M), aquí M es una matriz cuadrada; la función determinant puede encontrarseen el menú "Algebra y Determinante".

Ejemplo 36 Utilzando wxMaxima. Calcule el determinante de la matriz

A =

0

@4 1 81 2 75 6 2

1

A

Solución 36 En wxMaxima se introduce la matriz A y calcula su determinantecon la secuencia siguiente

A:matrix([4,1,8],[-1,-2,7],[5,6,-2]); determinant (A)

al final de la instrucción oprimir " + - , el resultado obtenido es


3.5.2 Propiedades de los Determinantes

Sea la matriz A de n n

A =

0

BBB@

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...

an1 an2 · · · ann

1

CCCA

formada por los vectores columna,

c1 =

0

BBB@

a11a21...an1

1

CCCA, c2 =

0

BBB@

a12a22...an2

1

CCCA, · · · , cn =

0

BBB@

a1na2n...ann

1

CCCA.

1. Si cualquier vector columna de la matriz A es el vector cero, entonces|A| = 0.

2. Si cualquier vector columna de la matriz A se multiplica por un escalar k,por ejemplo kcn, entonces k |A|.

3. Si cualquier vector columna en la matriz A es multiplo escalar de otrovector columna, por ejemplo, c1 = kc2, entonces |A| = 0.

4. Si en la matriz A se tiene tiene dos vectores columna iguales, por ejemploc1 = cn, entonces |A| = 0.

5. La permutación de dos vectores columna en la matriz A, por ejemploc1 c2, entonces (1) |A|.

6. La suma de un multiplo escalar de un vector columna a otro vectorcolumna, por ejemplo, c1 + kcn, no afecta el valor del determinate dela matriz A.

Las propiedades anteriores se aplican también a los vectores renglón queforman la matriz A.

Factorización de Matrices y Determinantes

Cualquier representación de una matriz como un producto de dos o más matricesse denomina factorización matricial. Por ejemplo,

3 19 5

=

1 03 1

3 10 2

es una factorización matricial, éste tipo se le llama factorización LU . Si Aes una matriz cuadrada de orden n que tiene una factorización LU entonces

A = LU


la matriz U es una matriz triangular superior, la cual se obtiene al efectuaroperaciones elementales de renglón sin dividir los elementos de la diagonal; lamatriz L es una matriz triangular inferior que tiene "1" en la diagonal principal.El cálculo del determinante para matrices cuadradas que tienen la factorizaciónLU se reduce a,

|A| = |LU | = 1 |U ||A| = u11u22 . . . unn

esto es, al producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz U .

Ejemplo 37 Obtenga el determinante de la matriz A mediante la factorizaciónLU

A =

0

BB@

2 3 2 44 10 4 03 2 5 22 4 4 7

1

CCA

Solución 37 Se efectuan operaciones elementales de renglón sin dividir los el-ementos pivote, la matriz que se obtiene al final del proceso es U .

R2 ! R2 2R1R3 ! R3 +

3

2R1

R4 ! R4 +R1

9>=

>;!

0

BBB@

2 3 2 40 4 8 8

05

22 4

0 7 6 3

1

CCCA

R3 ! R3 1

4

5

2

R2

R4 ! R4 1

4

(7)R2

!0

BB@

2 3 2 40 4 8 80 0 3 90 0 20 11

1

CCAR4 ! R4 1

3

(20)R3

!

0

BB@

2 3 2 40 4 8 80 0 3 90 0 0 49

1

CCA

| {z }U

el valor del determinate es

|A| = |U | = (2) (4) (3) (49) = 1176

Ejemplo 38 Utilizando wxMaxima. Encuentre la factorización LU para la ma-triz A dada en el ejemplo anterior.

Solución 38 Las intrucciones secuenciales siguientes produce la factorizaciónLU , al final de cada instrucción oprimir " + - .

1. A:matrix([2,3,2,4],[4,10,-4,0],[-3,-2,-5,-2],[-2,4,4,-7])


2. lu_factor (A)$

3. get_lu_factors (%)

la última instrucción produce la factorización

A = I4LU

donde I4 es la matriz identidad de orden 4.

Regla de Cramer

El sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas dado por

0

BBB@

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...


1

CCCA

0

BBB@

x1x2...xn

1

CCCA=

0

BBB@

b1b2...bn

1

CCCA

es equivalente a la ecuación matricial siguiente

Ax = b

si |A| 6= 0, entonces la solución viene dada por

x1 =|Ax1 ||A|

, x2 =|Ax2 ||A|

, ..., xn =|Axn ||A|

(3.7)

donde Axi es la matriz obtenida al reemplazar el i-ésimo vector columna de Apor el vector de términos constantes b o matriz de n 1. La ecuación (3.7) sele conoce como regla de Cramer, así por ejemplo se obtienen


Ax1 =

0

BBB@

b1 a12 · · · a1nb2 a22 · · · a2n...

... · · ·...

bn an2 · · · ann

1

CCCA, Ax2 =

0

BBB@

a11 b1 · · · a1na21 b2 · · · a2n...

... · · ·...

an1 bn · · · ann

1

CCCA, · · · ,

Axn =

0

BBB@

a11 a12 · · · b1a21 a22 · · · b2...

... · · ·...

an1 an2 · · · bn

1

CCCA

Determinantes e Inversas

Sea A una matriz cuadrada invertible de orden n, si el |A| 6= 0 se cumple

A1 = 1

|A|

Antes de dar un método para el cálculo de A1 sin efectuar operacioneselementales de reglón definiremos la matriz adjunta.Sea A una matriz de n n

A =

0

BBB@

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... · · ·...


1

CCCA

y sea B su matriz de cofactores

B =

0

BBB@

A11 A12 · · · A1nA21 A22 · · · A2n...

... · · ·...

An1 An2 · · · Ann

1

CCCA

entonces la adjunta de A, escrito Adj A, se define como la transpuesta de lamatriz de cofactores, es decir,

Adj (A) = BT =

0

BBBBB@

A11 A21... An1

A12 A22... An2

· · · · · · · · · · · ·

A1n A2n... Ann

1

CCCCCA

la inversa de la matriz A mediante el cálculo de su adjunta viene dada porla ecuación (3.8).


A1 =1

|A|Adj (A) =

1

|A|BT (3.8)

Ejemplo 39 Utilizando wxMaxima. Encuentre la inversa de la matriz A porel método de la adjunta.

A =

0

BB@

1 3 0 23 12 2 62 10 2 51 6 1 3

1

CCA

Solución 39 Es importante primero mostrar que el detA 6= 0. Las instruc-ciones secuenciales se listan a continuación, al final de cada instrucción oprimir" + - .

1. A:matrix([1,-3,0,2],[3,-12,-2,-6],[-2,10,2,5],[-1,6,1,3])$

2. detA:determinant(A)$

3. BT:adjoint(A)

4. Ainv=BT/detA

Hechos importantes en determinantes Sean A y B matrices cuadradasde orden n, entonces

1.AT

= |A|

2.A1

= |A|1 = 1

|A|

3. |AB| = |A| |B|


4. Si A es una matriz diagonal, triangular superior o inferior, entonces |A| =a11a22 · · · ann, esto es, el determinante es el producto de los elementos dela diagonal.

5. |kA| = kn |A|

6. Advertencia: generalmente |A+B| 6= |A|+ |B|.

GeoGebra y Matrices

GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas,que contiene los renglones de la matriz.Por ejemplo, en GeoGebra, A={{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la

matriz

A =

0

@1 2 34 5 67 8 9

1

A

Ejemplo 40 Utilizando Geogebra. Dadas las matrices siguientes

A =

1 2 32 1 4

, B =

0

@1 02 13 2

1

A , C =

0

@3 1 34 1 52 1 3

1

A

D =

3 22 4

, E =

0

@2 4 50 1 43 2 1

1

A

realice las operaciones siguientes: AB, AT , D (AB), C1 y detC.

Solución 40 En el campo teclear secuencialmente las instruc-ciones siguientes

1. A={{1,2,3}, {2,1,4}}

2. B={{1,0}, {2,1},{3,2}}

3. C={{3,-1,3}, {4,1,5},{2,1,3}}

4. D={{3,-2}, {2,4}}

5. E={{2,-4,5}, {0,1,4},{3,2,1}}.

La lista de comandos utilizados es

(a) AB=A*B

(b) AT=Traspone[A]

(c) DAB=D(AB)

(d) Cinv=MatrizInversa[C]


(e) detC=Determinante[C]

En la ventana algebraica de GeoGebra se despliegan los resultados de estasoperaciones.

Capítulo 4

Vectores en R2 y R3

En el capítulo 3 se estudia a los vectores desde un punto de vista no geométrico.Los vectores son tratados como matrices de (n 1) ó (1 n), de tal formaque el álgebra elemental de matrices se puede aplicar a los vectores. El interésdel presente capítulo es introducir al lector el concepto de vector como unaentidad geométrica que tiene magnitud y dirección, principalmente a vectoresen el plano (R2) y en el espacio (R3). Este enfoque visual de vectores fortalecerala compresión del estudio de espacios vectoriales que se vera en el capítulosiguiente.

4.1 Vectores en el plano

Geométricamente, un vector es un segmento de recta dirigido que se corre-sponde con un desplazamiento desde un punto inicial (o cola), A = (x0, y0), aun punto final (o cabeza), B = (xf , yf ). Un vector se representa por una flecha

y un segmento de línea dirigido (!AB) o bien algebraicamente como

u = (xf , yf ) (x0, y0)= (x, y)

un par ordenado (x, y). Este par ordenado es la representación algebraicadel vector y geométricamente representa al vector con punto inicial en el origen(0, 0) y punto final (x, y). En adelante se hara uso de GeoGebra para mostrardiferentes aspectos de la geometría de vectores.

Ejemplo 41 Utilizando GeoGebra. Represente geométricamente en el plano elvector con punto incial A = (1, 3) y punto final B = (3, 5).

Solución 41 Teclear en el campo de lo siguiente

1. A=(1, 3) + enter ! introduce el punto A en el plano.

71

72 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R2 Y R3

2. B=(3, 5) + enter ! introduce el punto B en el plano.

3. En elija vector entre dos puntos, seleccione primero A y luego B, setraza el vector

!AB. La instrucción Vector[A,B] muestra el mismo resul-

tado.

4. El vector!AB es equivalente algebraicamente a u

u =!AB = (3, 5) (1, 3) = (2, 2)

el vector u se introduce con la instrucción u=Vector[2,2], note que u esun vector con punto inicial en el origen, Figura (4.1).

Figura 4.1. Representación geométrica de vectores en R2.

4.1.1 Vectores equivalentes

Si dos segmentos de rectas dirigidos!AB y

!CD en R2 tienen la misma magnitud

y dirección, se dicen que son equivalentes, sin importar en donde se encuentrelocalizados en el plano.

Ejemplo 42 Utilizando GeoGebra. Se tienen los siguientes vectores en el plano!AB,

!CD,

!EF ,

!GH, con puntos iniciales A = (1, 1), C = (3, 1), E = (1, 6)

y G = (2, 7); y con puntos finales B = (2, 4), D = (4, 4), F = (4, 4) yH = (7, 5). Encuentre para cada vector

1. la representación algebraica

2. la representación geométrica

Solución 42 Teclear en el campo de entrada ( ) el punto inicial yfinal para cada vector, como en el ejemplo anterior.

4.1. VECTORES EN EL PLANO 73

1. la representación algebraica para cada uno de los vectores es

u =!AB = (2, 4) (1, 1) = (1, 3)

v =!CD = (4, 4) (3, 1) = (1, 3)

los vectores u y v son vectores equivalentes, así como los vectores w y z

w =!EF = (4, 4) (1, 6) = (5,2)

z =!GH = (7, 5) (2, 7) = (5,2)

la representación geométrica de estos vectores se puede obtener al teclear

en el campo u=Vector[(1,3)] y w=Vector[(-5,-2)] el resultadose presenta en la Figura (4.2).

Figura 4.2. Representación geométrica de los vectores u y v.

observándose que los vectores son trasladados al origen.

2. Los vectores trazados en el plano se presentan en la Figura (4.3).

Figura 4.3. Vectores en el plano.


4.1.2 Magnitud y dirección de un vector

La magnitud o longitud de un vector u = (a, b) se define como la longitud desu segmento de recta

|u| =pa2 + b2 (4.1)

La dirección de un vector u = (a, b) se define como el ángulo , medidoen dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj, que el vectorforma con el eje positivo x (ver Figura (4.4)); donde 0 2 ó 0 360 ,calculado mediante

tan =b

apara a 6= 0 (4.2)

Figura 4.4. Dirección y magnitud de un vector u = (a, b) en el plano.

Para determinar en forma única el valor es importante establecer el cuad-rante donde esta el vector.

Ejemplo 43 Utilizando GeoGebra. Determine la dirección y magnitud de losvectores u = (2, 2), v = (3.46, 2), w = (3,3) y z = (3,3).

Solución 43 En GeoGebra introducir en el campo de entrada los vectores u=Vector[(2,2)],v=Vector[(-3.46,2)], w=Vector[(-3,-3)] y z=Vector[(3,-3)]. La dirección de decada uno de los vectores se obtiene con u=Angulo[(u)], v=Angulo[(v)], w=Angulo[(w)],z=Angulo[(z)]; y su magnitud con la instrucción Longitud[(u)], Longitud[(v)],Longitud[(w)] y Longitud[(z)]. Los cálculos, aplicando las ecuaciones (4.1) y(4.2), son


Magnitud del vector Dirección del vector

|u| =p22 + 22 = 2

p2 = 2. 83 u = tan

12

2

=

4= 45

|v| =q(3.46)2 + 22 ' 4 v = tan

1

2

3.46

= 0.524180

= 30. 03

v = 180 30. 03 = 149. 97

|w| =q(3)2 + (3)2 = 3

p2 w = tan

133

= 4. 24 = 0.785

180

= 45

w = 180 + 45 = 225

|z| =q32 + (3)2 = 3

p2 z = tan

133

= 4. 24 = 0.785180

= 45

z = 360 45 = 315

Los vectores trazados se muestran en la figura siguiente

Geometría de la operaciones elementales con vectores

Las operaciones elementales entre vectores se definieron en el Capítulo 3. En elejemplo siguiente se utilizara Geogebra para entender el significado geométricode algunas operaciones entre vectores en R2.

Ejemplo 44 Utilizando GeoGebra. Sean u = (3, 1) y v = (1, 4) vectores enR2, represente graficamente las operaciones siguientes


Figura 4.5. Representación geométrica de la suma de vectores z = u+ v.

1. u+ v

2. v, con = 3 y = 2.

Solución 44 Definir cada vector en GeoGebra con la instrucción Vector[(x,y)]+ enter.

1. En el campo de entrada introducir secuencialmente

(a) u=Vector[(3,1)]

(b) v=Vector[(1,4)]

(c) z=Vector[u+v]; traza el vector resultante

(d) Vector[(3,1),(4,5)]; traza el vector paralelo a v

(e) Vector[(1,4),(4,5)]; traza el vector paralelo a u.la representación geométrica se puede visualizar en la Figura (4.5),

2. La multiplicación v tiene el efecto de multiplicar la longitud del vector veces, la instrucción es *Vector[(x,y)]+ enter, se tiene entonces,

(a) 3v=3*Vector[(1,4)]; la dirección de 3v es igual a la dirección v

(b) -2v=-2*Vector[(1,4)]; la dirección de 2v igual a la dirección v +

Ejercicio 11 Utilizando GeoGebra. Sea u = (2, 4) y v = (6, 4). Calcule ytrace las operaciones siguientes entre vectores

1. 3u

2. u+ v

3. v u


4. 2u 7u

Ejercicio 12 Utilizando Geogebra. Encuentre dos vectores u y v en R2 quesatisfagan la desigualdad del triángulo

|u+ v| |u|+ |v|

bajo las dos condiciones.

4.1.3 Vectores unitarios en R2

En R2 dos vectores son importantes, los vectores unitarios i = (1, 0) y j = (0, 1),los cuales cumplen las condiciones siguientes

1. |i| = 1 y |j| = 1.

2. i = 0 y j =

2ó 90 , esto es, i y j son perpéndiculares entre si.

Su representación geométrica se muestra en la Figura (4.6)

Figura 4.6. Vectores unitarios i y j en el plano.

Cualquier vector en el plano se puede escribir como una combinación linealde estos vectores, por ejemplo, el vector u = (a, b) se escribe fácilmente como

u = (a, b) = a (1, 0) + b (0, 1) = ai+ bj

note que las componentes del vector u son los escalares de esa combinaciónlineal.Otra característica importante de estos vectores es que son linealmente in-

dependientes, es decir, nínguno es multiplo del otro.

Ejemplo 45 Utilizando GeoGebra. Dado el vector v = (2, 3), encuentre unvector unitario u que tenga

1. la misma dirección de v

2. dirección v+180


Solución 45 El vector unitario se puede determinar a partir de

u =v

|v|

1. En Geogebra la instrucción es u=v/Longitud[u]. Aplicando la ecuaciónanterior

u =(2, 3)

p22 + 32

=

p13

13(2, 3)

La dirección se determina con la instrucción =Angulo[u]. Calculada conla ecuación (4.2)

= tan13

2

= 0.982 8

180

= 56.31

2. El vector unitario con dirección contraria es w = u = p13

13(2, 3), de

igual forma la dirección es =Angulo[w]. = 56.31 + 180 = 236.31

Los ángulos de los vectores u y w se trazan (Figura (4.7)), con la instruc-ción Angulo[u] y Angulo [w], respectivamente. Las propiedades del ángulose editan al dar doble clic en el ángulo de interés.

Figura 4.7. Ángulo de los vectores u y w desplegados por GeoGebra.

4.2 Interpretación geométrica del producto es-calar

En producto punto o escalar definido en el Capítulo 3, tiene una interpretacióngeométrica. Considere dos vectores u y v en R2. El producto u · v se define

4.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR 79

como el ángulo ' no negativo más pequeño entre los dos vectores con puntosiniciales en el origen, cuya relación viene establecida por

cos' =u · v|u| |v|

(4.3)

' se encuentra en [0, 180 ] ó [0,]Dos vectores u y v en R2 resultan ser

1. Paralelos si u = v, para > 0, ' = 0, esto es, son multiplos escalares, .

2. Colineales si u = v, < 0, ' = 180 (), esto es, son multiplos escalarescon direcciones contrarias.

3. Ortogonales o perpéndiculares si ' = 90 (

2); dos vectores son ortogo-

nales si u· v = 0.

Ejemplo 46 Sean u = 2i+ 5j y v =i 2j. Determine tal que

1. u y v sean ortogonales

2. u y v sean paralelos

3. El ángulo entre u y v sea de2

3.

Solución 46 A partir de la ecuación (4.3)

1. u y v son ortogonales si

(2, 5) · (,2) = 0

10 2 = 0

= 5

2. u y v son paralelos si ' es 0 ó 180 , el cos' = ±1, sustituyendo en laecuación se tiene

±1 =10 2

|(2, 5)| |(,2)|

±1 =10 2p29p2 + 4

1 =(10 2)2

29 (2 + 4)

Resolviendo para ,

(10 2)2 = 292 + 4

100 + 40+ 42 = 292 + 116

16 + 40 252 = 0

=4

5


3. u y v forman un ángulo de2

3si

cos2

3=

10 2p29 (2 + 4)

(2)2 (10 2)2 = 292 + 4

284 + 160 132 = 0

1 = 13.881

2 = 1.574

GeoGebra tiene la capacidad de resolver el problema en forma gráfica me-diante un proceso iterativo. En adelante se describira el procedimiento.

4.3 Protocolo de la Construcción en GeoGebra

GeoGebra tiene la modalidad de crear automáticamente un Protocolo de la Con-strucción, es decir, una lista de la secuencia de instrucciones que contienen todoslos pasos de construcción de una gráfica, esta modalidad permite rehacer la grá-fica, paso a paso usando la barra de navegación que se encuentra en la parteinferior de la Ventana de Dialogo del Protocolo de la Construcción. Para accedera esta herramienta siga la secuencia siguiente

Barra de herramientas!Ménu Vista!Protocolo de la construcción.

Ejemplo 47 Utilizando GeoGebra. Determine mediante un procedimientográfico tal que u = 2i+ 5j y v =i 2j sean ortogonales.

Solución 47 El valor de es determinado mediante un proceso iterativo-gráfico,el procedimiento es el siguiente se da un valor a y se observa el ángulo queforman estos dos vectores, cuando el ángulo formado sea de 90 el problema seresuelve. El Protocolo de la Construcción para resolver este problema se presentaen la Figura (??). La secuencia de instrucciones es la siguiente

1. u=Vector[(-2,5)]

2. = 5

3. v=Vector[(,-2)]

4. =Angulo[v,u]

5. =Angulo[u,v]

6. Se agrega un deslizador con el icono , las condiciones se muestranen la Figura (4.8), el deslizador puede ser manejado una vez seleccionadocon las flechas de avance izquierda o derecha.

En la Figura (4.9) se presenta el resultado de esta animación.

4.3. PROTOCOLO DE LA CONSTRUCCIÓN EN GEOGEBRA 81

Figura 4.8. Propiedades del deslizador agregado en la Figura (4.9).

Figura 4.9. Determinación del ángulo entre los vectores u y v cambiando elvalor de .


Proyecciones

El sentido práctico de una proyección es encontrar la distancia desde un puntoP a una recta l, el problema se reduce a encontrar la magnitud del vectorperpéndicular a la recta l.Considere dos vectores u y v en R2, la proyección de u sobre v es un vector

(Proyvu), que se define por

Proyvu =u · v|v|2

v (4.4)

El vector w = uu · v|v|2

v es ortogonal a v, la distancia perpéndicular es |w|.

La proyección de v sobre u es un vector (Proyuv), que se define por

Proyuv =u · v|u|2

u (4.5)

El vector w = vu · v|u|2

u es ortogonal a u.

Ejemplo 48 Utilizando Geogebra. Encuentre el vector proyección de u = (1, 2)sobre v = (3, 2) y determine la distancia perpéndicular del punto P = (1, 2) alvector v.

Solución 48 En el campo de entradas se introducen los vectores u=Vector[(1,2)],v=Vector[(3,2)]. Aplicando la ecuación (4.4)

Proyvu = proyUv=(u*v/(v*v))*v

El vector w ortogonal a v calculado por

w=u-proyUv

la Figura (4.10) muestra los vectores.La distancia perpéndicular del punto P al

Figura 4.10. Vector proyección de u sobre v.

4.4. VECTORES EN EL ESPACIO 83

vector v es d=Longitud [(w)] o calculada

w =

q(0.62)2 + 0.922

= 1.109 41.

Ejercicio 13 Utilizando Geogebra. Sean P = (2, 3), Q = (5, 7), R = (2,3) yS = (1, 2) puntos en el plano. Determine

1. Proy!PQ

!RS

2. Proy!RS

!PQ

4.4 Vectores en el espacio

De forma análoga a los vectores en R2, geometricamente un vector en R3es unsegmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un puntoinicial (o cola), A = (x0, y0, z0), a un punto final (o cabeza), B = (xf , yf , zf );

su representación algebraica es u =!AB,

u = (xf , yf , zf ) (x0, y0, z0)= (x, y, z)

esta terna ordenada (x, y, z) geometricamente representa al vector con puntoinicial en el origen y punto final (x, y, z).

4.4.1 Magnitud de un vector en R3

La magnitud de un vector en el espacio con punto inicial A = (x0, y0, z0) ypunto final B = (xf , yf , zf ), es la longitud de su segmento de recta

AB =

q(xf x0)

2+ (yf y0)

2+ (zf z0)

2

Si u =!AB la magnitud viene dada por la ecuación (4.6).

|u| =px2 + y2 + z2 (4.6)

4.4.2 Dirección de un vector en R3

La dirección de un vector v = (x, y, z) se establece a partir de los ángulos dedirección , , y . Se define como el ángulo entre v y la parte positiva deleje x, como el ángulo entre v y la parte positiva del eje y y como el ánguloentre v y la parte positiva del eje z. Los ángulos de dirección se calculan apartir del vector unitario u = (x0, y0, z0) que tiene la misma dirección que v apartir de la ecuación (4.7); los ángulos están en el intervalo [0,].


cos = x0 cos = y0 cos = z0 (4.7)

Las componentes del vector unitario se calculan con la ecuación (4.8)

x0 =x

|v|y0 =

y

|v|z0 =

z

|v|(4.8)

los ángulos directores deben satisfacer la relación (4.9)

cos2 + cos2 + cos2 = 1 (4.9)

Ejemplo 49 Encuentre los ángulos de dirección del vector v = (5, 6, 7).

Solución 49 Aplicando las ecuaciones (4.6, 4.8, 4.9) se tiene la magnitud dev

|v| =

q(5)2 + 62 + 72

= 10.488 1

las componentes del vector unitario

x0 = 0.476 731 y0 = 0.572 077 z0 = 0.667 423

y los ángulos de dirección

= cos1 (0.476 731) = 2.067 73180

.

= 118.472

= cos1 (0.572 077 ) = 0.961 760

180

= 55.104 9

= cos1 (0.667 423) = 0.840 052

180

= 48.131 4

se cumple que

cos2 (2.067 73) + cos2 (0.961 760) + cos2 (0.840 052 ) = 1

Ejemplo 50 Utilizando wxMaxima. Encuentre los ángulos de dirección del vec-tor (5, 6, 7).

Solución 50 En wxMaxima la instrucción unitvector (v) o uvect (v), devuelveel cociente v/|v|, esto es, el vector unitario de igual dirección y sentido que v,para utilizar esta función es necesario cargar ("load") el paquete "eigen". Lainstrucción completa es

v:matrix([-5],[6],[7]); load(eigen); unitvector(v); %,numer

4.4. VECTORES EN EL ESPACIO 85

recordar que al final es necesario oprimir la combinación de teclas " + - . Lainstrucción %, numer da la expresión decimal del último resultado. El vectorunitario calculado es,

con las instrucciones siguientes se calcula los ángulos de dirección en grados,estos son

alfa:acos(-0.4767312946228)*180/3.1416;

beta:acos(0.57207755354736)*180/3.1416;

gama:acos(0.66742381247191)*180/3.1416;

desplegandose en wxMaxima

4.4.3 Vectores unitarios en R3

En R3 se definen los vectores unitarios i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1).De igual forma que en R2, cualquier vector en el espacio se puede escribir comouna combinación lineal de estos vectores, por ejemplo, el vector u = (a, b, c) seescribe

u = (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) = ai+ bj + ck

note que las componentes del vector u son los escalares o constantes de esacombinación lineal.Las definiciones establecidas en las ecuaciones (4.3), (4.4) y (4.5), también

se aplican a vectores en R3.

Ejemplo 51 Utilice wxMaxima. Dados los vectores u = (5, 3, 7) y v = (1, 2, 4)determine

1. u · v

2. Proyvu =u · v|v|2

v


3. Proyuv =u · v|u|2

u

Solución 51 Los vectores en wxMaxima se introducen como u:matrix([-5],[3],[7]);v:matrix([-1],[2],[4]) recordar oprimir la combinación de teclas "+ -.

1. dotproduct (u, v) o también u.v el resultado es 39

2. ProyUv:(u.v/(v.v))*v; el vector proyección es

3. ProyVu:(u.v/(u.u))*u; el vector proyección es

4.5 Producto vectorial

Considere los vectores u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3), el producto cruz ovectorial se define como el vector

w = u v

obtenido de forma fácil por el cálculo del determinate de 3 3

w =

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

= i

u1 u2v1 v2

ju1 u3v1 v3

+ ku1 u2v1 v2

w = i (u1v2 u2v1) j (u1v3 u3v1) + k (u1v2 u2v1)= (u1v2 u2v1, u3v1 u1v3, u1v2 u2v1)

el vector generado w es perpéndicular al vector u como a v.

4.5. PRODUCTO VECTORIAL 87

Propiedades del producto vectorial. Considere los vectores u, v y w vec-tores en R3 y un escalar. Entonces

1. u 0 = 0 u = 0.

2. u v = (v u), el producto cruz no es conmutativo.

3. u v = (u v).

4. u (v + w) = (u v) + (uw), propiedad distributiva del productovectorial.

5. (u v) ·w = u· (v w), definido como triple producto escalar de u, v yw.

6. u · (u v) = v · (u v) = 0, u v es ortogonal tanto a u como a v.

4.5.1 Interpretación geométrica del producto vectorial

El ángulo entre los vectores u y v esta relacionado por,

sin' =|u v||u| |v|

(4.10)

' se encuentra en [0, 180 ] ó [0,]Los vectores u y v en R3 son

1. Paralelos o colineales, si u v = 0, ' = 0 o ' = 180 ().

2. Ortogonales o perpéndiculares si |u| |v| = |u v|, ' = 90 (

2).

4.5.2 Producto vectorial con wxMaxima

Para evaluar el producto vectorial en forma directa, es necesario primero cargarel paquete "vect". El operador "" es sustitutido por "~" en wxMaxima y lainstrucción "express" efectua el producto vectorial.

Ejemplo 52 Utilice wxMaxima. Considere los vectores u = (u1, u2, u3) y v =(v1, v2, v3), obtenga el producto vectorial mediante wxMaxima.

Solución 52 Las instrucciones secuenciales son

load(vect);[u1,u2,u3]~[v1,v2,v3];express([u1,u2,u3]~[v1,v2,v3]);

la secuencia de intrucciones se efectua en wxMaxima en un sólo paso,el resultadoes


4.5.3 Triple producto escalar.

Cuando se combinan las operaciones de producto escalar y vectorial; es impor-tante el uso de paréntesis para mayor claridad de las operaciones. El tripleproducto escalar tiene una interesante interpretación geométrica.Considere los vectores u, v y w en R3, los cuales no estan situados en un

mismo plano, forman los lados de un paralelpípedo en el espacio, cuya base esun paralelogramo de área |u v| y altura h dada por

h =

u · (v w)u v

El volumen (V ol) viene dado por la ecuación (4.11)

V ol = |u · (v w)| (4.11)

es decir, el volumen es igual al valor absoluto del triple producto escalar deu, v y w.El triple producto se calcula de forma fácil por el determinante (4.12)

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

(4.12)

Ejemplo 53 Calcule el área del paralelogramo con vertíces (0, 0), (u1, u2) =(1, 2), (v1, v2) = (2, 1) y (u1 + v1, u2 + v2) = (3, 3).

Solución 53 El área viene dada por

|(u1, u2, 0) (v1, v2, 0)|

el área del paralelogramo esta limitada por los dos vectores u = y v, donde

Area = |u v|

=

i j k1 2 02 1 0

= |3k|= 3

0 1 2 30

2

x

y

4.5. PRODUCTO VECTORIAL 89

Ejercicio 14 Utilizando wxMaxima. Considere los vectores u = (1, 2, 3), v =0

@10

1

1

A, x = [(3, 2, 1) y y = (2,1, 0); efectue las operaciones vectoriales

siguientes

1. u v x

2. u (v x)

3. u ((v x) y)

4. (u (v x)) y

Ejercicio 15 Para los vectores siguientes: u = i2j+3k, v = 3i+2j+5ky w = 2i 4j + k, evalue

1. El ángulo entre los vectores

(a) u y v.

(b) v y w.

Ejercicio 16 Calcule el volumen del paralelepipedo generado por los vectoressiguientes u = i 2j + 3k, v = 3i+ 2j + 5k y w = 2i 4j + k.

Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y wxMaxima

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