Libro MatematicasII

Universidad aUtónoma de nUevo León

Matemáticas 2

Alejandro NavaAlma VázquezJuan CuéllarMario Leal

Salvador Rodríguez

UANL Mate 2 Preliminares JAB.indd 1 14/11/12 15:15

Ediciones DeLaurel es una marca registrada de Comercializadora y Editora de Libros, S. A. de C. V.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 3680

Cuidado editorial: Equipo DeLaurelDiseño de portada: Claudia Novelo Chavira

Jesús Ancer Rodríguez Rector

Rogelio Garza RiveraSecretario General

Ubaldo Ortiz MéndezSecretario Académico

Alejandro Galván RamírezDirector de Estudios de Nivel Medio Superior

Biblioteca Universitaria “Raúl Rangel Frías”, 4º pisoAv. Alfonso Reyes No. 4000 Nte., Col. del NorteC.P. 64440, Monterrey, Nuevo León, MéxicoTels: (81) 8329 4121 – 8329 4122 Fax: (81) 8329 4000, ext. 6608e-mail: [email protected]

Título de la obra:Matemáticas 2

Tercera edición, 2012© Universidad Autónoma de Nuevo León© Comercializadora y Editora de Libros, S.A. de C.V.

© Alejandro Nava Segovia© Alma Rosa Vázquez Ortiz© Juan Antonio Cuéllar Carvajal© Mario Alberto Leal Chapa© Salvador Rodríguez Vértiz

Portada: © Dirección de Imagen Institucional

ISBN: 978-607-7967-44-6

Reservados todos los derechos. Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas, mecánicas o por fotocopia, sin el consentimiento previo y por escrito de la Universidad Autónoma de Nuevo León y del editor.

Impreso en MéxicoPrinted in México


3

Presentación

En cumplimiento de la Visión 2020 UANL, la Dirección de Estudios de Nivel Medio Superior, a través de la publicación de los libros de texto correspondientes a cada una de las unidades de aprendizaje que conforman el plan de estudios de Bachillerato General, promueve la formación integral del estudiante en la generación y aplicación del conocimiento como un proceso continuo de mejora en la calidad de la formación universitaria. El Modelo Educativo de la Universidad Autónoma de Nuevo León está constituido por cinco ejes rec-tores que promueven la educación centrada en el aprendizaje, la educación basada en competencias, la flexibilidad curricular, la internacionalización y la innovación académica. La concreción del modelo se reproduce en cada nivel de estudios que la institución ofrece a través de estos ejes. El modelo integra los programas y proyectos académicos que están orientados a garantizar una oferta educativa con alto nivel de calidad y pertinencia, acorde con las necesidades de la sociedad en los ám-bitos económico, social, político y cultural. El presente texto de Matemáticas 2 es un recurso didáctico que forma parte de los materiales dispo-nibles del área de formación básica del Plan de Estudios de Bachillerato General de Nivel Medio Superior de nuestra universidad. En la unidad de aprendizaje de Matemáticas 2, se abordan problemas y situa-ciones que, mediante la aplicación de técnicas y métodos algebraicos, geométricos y trigonométricos, contribuyen al desarrollo de las competencias establecidas para esta unidad de aprendizaje. Por lo tanto, las habilidades de exploración, organización, pensamiento crítico y reflexivo, y la aplicación mediante la modelación matemática, permitirán a los estudiantes un mejor desenvolvimiento académico. Estoy convencido de que la excelencia de los programas educativos que nuestra institución ofrece en todos sus niveles, asegura la formación de ciudadanos con la solidez académica y la capacidad para responder al desafío histórico de nuestra sociedad, con la visión global que amerita la época actual, con la firme convicción de su identidad regional y nacional, y con el compromiso para participar con respon-sabilidad en beneficio de nuestro país.

Dr. Jesús Ancer RodríguezRector

Educación de clase mundial, un compromiso social


4

Agradecimiento

Nuestro sincero reconocimiento a los maestros integrantes de los Comités Técnicos Académicos de la Dirección de Estudios de Nivel Medio Superior, quienes colaboraron como autores en las versiones pre-vias a la presente obra.

Gracias por compartir con la comunidad educativa y cada generación de estudiantes de preparatoria, sus conocimientos, creatividad y experiencias al caminar juntos en este devenir de formación académica.

Antonio Montemayor Soto †Blanca María Borghes AlonsoFernando Javier Gómez TrianaJosé Luis Guerra TorresMaría Elena Padilla Soto Miguel Ángel Torrecillas GonzálezRoberto Sánchez Ayala


5

Contenido

Presentación 3Agradecimiento 4Prefacio 7

Etapa 1. Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable 9

1.1 Ecuaciones cuadráticas con trinomios cuadrados perfectos 10 Ecuaciones que contienen valor absoluto y ecuaciones con cuadrados 10 Ecuaciones con trinomios cuadrado perfectos 17 1.2 Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas 21 Técnica de completar el trinomio cuadrado perfecto 21 Resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar al cuadrado 23 La fórmula cuadrática 28 Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización 34 1.3 Problemas de aplicación 38

Autoevaluación 1 41

Etapa 2. Geometría plana 47

2.1 Conceptos elementales de geometría 48 2.2 Ángulos y su clasificación 51 Ángulos 51 Clasificación de ángulos 59 Paralelismo y perpendicularidad 72 Ángulos entre rectas cortadas por una transversal 76 2.3 Triángulos y su clasificación 86 Triángulos 86 Suma de los ángulos interiores de un triángulo 90 Desigualdad triangular 99 Clasificación de triángulos 102 2.4 Teorema de Thales 105 Teorema de Thales 105 2.5 Semejanza y congruencia de triángulos 108 Congruencia de triángulos 108 Teorema de Thales 122 Semejanza de triángulos 125 Teorema fundamental de semejanza de triángulos 127


6

Criterios de semejanza de triángulos 130 2.6 Polígonos, clasificación, elementos y propiedades 141 Polígonos 141 Elementos y propiedades de un polígono 143 2.7 Cuadriláteros 155 Cuadriláteros 155 2.8 Áreas de regiones poligonales 182 Áreas de regiones poligonales 182 Circunferencia y círculo 207


Etapa 3. Trigonometría I 231

3.1 Funciones trigonométricas de un ángulo agudo 232 Funciones trigonométricas de un ángulo agudo 232 Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo 246 3.2 Relaciones fundamentales e identidades 255 Relaciones fundamentales e identidades 255 Identidades para la suma y diferencia de dos ángulos, para ángulo doble y ángulo mitad 265 3.3 Resolución de triángulos rectángulos y su aplicación en diferentes contextos 276


Etapa 4. Trigonometría II 291

4.1 Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera 292 4.2 Triángulos oblicuángulos 308 Ley de cosenos 308 Área de un triángulo 313 4.3 Triángulo oblicuángulo. Ley de los senos 316 4.4 Los casos ambiguos 321 4.5 Solución de triángulos oblicuángulos y su aplicación en diferentes contextos 325 Solución de triángulos oblicuángulos 325 Problemas del mundo real de triángulos oblicuángulos 327



7

Prefacio

En esta unidad de aprendizaje se estudian los temas de Geometría plana y Trigonometría, además de la ecuación cuadrática, que te permitirá desarrollar la parte procedimental en la solución de problemas geométricos, de resolu-ción de triángulos, así como de sus aplicaciones.

La Geometría plana y la Trigonometría, comparten la característica de trabajar con objetos de los cuales podemos hacernos una representación visual, misma que nos auxilia en la comprensión conceptual y en la resolución de problemas. Las formas son creaciones de la naturaleza: la forma de la Tierra, la línea del horizonte, las celdas de los panales de las abejas, la espiral logarítmica de la concha de un Nautilus, etc., pero también son construcciones humanas: vías de ferrocarril, puentes, torres de alta tensión, edificios y tanto cuanto podemos percibir a nuestro alrededor. La Geometría estudia las formas. Nos permite verlas y conocerlas. La Trigonometría estudia al triángulo y todo lo que está relacionado con él.

El objetivo general de este curso será que el estudiante:

Modele y resuelva situaciones de diferentes contextos en términos de ecuaciones cuadráticas.

Reconozca en su entorno las formas que estudian la Geometría y la Trigonometría; que conozca, com-prenda y aplique sus principios, postulados y teoremas para que sea capaz de aplicarlos en la solución de problemas que se le presenten en la realidad que lo circunda.

El presente libro debe servir de soporte teórico básico a los estudiantes y de auxiliar didáctico a los maestros.

Cada etapa consta de:

• Una Introducción donde se presenta el tema y se incluyen los objetivos generales de la etapa.

• El desarrollo del contenido donde se distinguen las siguientes secciones.

Marco teórico. Definiciones, teoremas, corolarios. propiedades, reglas y técnicas procedimentales di-versas.

Objetivos particulares del tema, dividido éste en secciones o epígrafes.

Ejemplos, con los que se busca clarificar las explicaciones.

Otros ejemplos, es un apartado opcional para aquellos estudiantes que consideren necesario abundar más sobre el tema.

Planteamientos o preguntas con su respectiva respuesta. Aparecen con el fin de complementar una explicación y/o afirmar un determinado procedimiento. Generalmente tienen la forma de pregunta, de tarea o de problema que se plantea para que el estudiante piense en su respuesta. Lo ideal es que el alumno la resuelva antes de seguir adelante, sin embargo, la solución aparece en la misma página ya que resulta necesaria para la continuación del estudio.

Actividades. Son preguntas, problemas o demostraciones que se pide realizar, en donde se busca que el estudiante trabaje no solamente reproduciendo los procedimientos que se le han presentado en el texto, sino que se enfrente con una visión menos usual de la práctica matemática.

Ejercicios. Listados más o menos extensos en donde deben aplicarse los conceptos, técnicas y proce-dimientos de cada tema en la resolución de ejercicios y problemas.


8

Sugerencias de sitios de internet apropiados para consultar el tema en cuestión, con datos que com-plementen la explicación o brinden otra forma de abordarlo.

• Autoevaluación. Al término de cada etapa aparece, con el fin de que el estudiante vaya probando su manejo del tema, su habilidad en la resolución de ejercicios y en la aplicación de su conocimiento en el abordaje y respuesta a problemas de aplicación. Al final de la misma, viene la hoja con las respuestas correspondientes.

El libro mantiene el punto de vista de considerar fundamental la aplicación de las matemáticas a problemas de la vida cotidiana, lo cual le da sentido al aprendizaje de nuestra materia.

El uso de la calculadora es fundamental para la determinación de medidas (ya sea escalares, angulares, de valores, de funciones, etc.) ya que las tablas de funciones han caído en desuso.

Asimismo sugerimos ampliamente la utilización de pizarrones electrónicos y otros medios tecnológicos, no sólo para actualizar nuestros procesos sino para facilitar y hacer más atractivo el aprendizaje.

Estamos convencidos de que el estudiante es quien construye su aprendizaje mediante actividades propicias; el enfoque en el aprendizaje y en el alumno hace necesario el diseño y la programación de actividades, por parte del maestro, de manera que éste se convierte en facilitador y guía de un proceso donde el protagonista es el alumno.

La tarea del maestro y del estudiante es trabajar de manera coordinada y responsable, con la finalidad común de lograr los objetivos del programa del curso.

Estamos seguros que el camino a recorrer puede ser disfrutable y será coronado por el éxito en la medida en que todos nos involucremos realizando el mejor de nuestros esfuerzos.

Como siempre, estamos en la mejor disposición de escuchar, atender, discutir y tomar en cuenta las observaciones y sugerencias de quienes buscan hacer aportaciones que mejoren las condiciones para el aprendizaje significativo de los estudiantes.

Por último, recordemos que debemos movernos en dos niveles: uno inmediato que se traduce en la calificación del estudiante y otro, menos visible pero más duradero e importante, la consecución del conocimiento, el verdadero aprendizaje que hace de nosotros seres mejores, más conscientes y responsables de nuestro entorno y más capa-ces para enfrentarnos a los retos que la vida nos va presentando.

A maestros y estudiantes, les deseamos el mejor de los éxitos.

Noviembre de 2012

Comité Técnico Académico de MatemáticasJuan Antonio Cuéllar CarvajalSalvador Rodríguez VértizDavid Fernández HernándezFrancisco Martín Contreras AmayaRodolfo Puente RodríguezChristian Eusebio Charles Landeros


9

Introducción

Una vez que tienes el conocimiento de las ecuaciones lineales, estás preparado para introducirte al estudio de las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. Éstas, son ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, donde x es la variable, a, b, y c son constantes, a ≠ 0. Una vez que aprendas cómo solucionar ecuaciones cuadráticas puedes aplicar esas técnicas para resolver situaciones de tu entorno que puedan ser modeladas mediante este tipo de ecuaciones, como es el caso de los problemas planteados en la portada del presente capítulo, o muchos más.

1. Resolver ecuaciones con valor absoluto.

2. Resolver ecuaciones cuadráticas por los siguientes métodos:

• Factorización.

• Completar el cuadrado.

• Aplicando la fórmula general.

3. Expresar situaciones de la vida cotidiana en términos de ecuaciones cuadráticas y resolverlas.

Objetivos generales

Etapa

1Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable

UANL Mate 2 Etapa 1 JAB.indd 9 14/11/12 14:15

Etapa 1

10

1.1 Ecuaciones cuadráticas con trinomios cuadrados perfectos

Ecuaciones que contienen valor absoluto y ecuaciones con cuadrados

Este primer tema tiene como finalidad irnos aproximando a uno de los métodos de solución de ecua-ciones cuadráticas: el de completar un trinomio cuadrado perfecto. Dada su complejidad se decidió presentar dicho método por las etapas de que está compuesto.

El valor absoluto de un número es la distancia entre ese número y el origen de la recta numérica.

Esto es:

–n es positivo si n es negativo.

Nota

–7 5x

��

|–7| = 7 |5| = 5

El valor absoluto de un número n, representado como |n| se define como:

Definición

1

2

3

|n| = −n si n es positivo o cero (n ≥ 0).

n si n es negativo (n < 0).

• Encontrar el conjunto solución de:

a) Una ecuación que involucre el valor absoluto de una expresión con variable.

b) Ecuaciones del tipo (x + a)2 = b2 en la cual el cuadrado de un binomio es igual a una constante.

Objetivo


Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable

11

Un número positivo como el 9, es el valor absoluto de dos diferentes números, el 9 y el –9.

|–9| = 9 = |+9| esto es, la distancia entre –9 y el origen es el mismo que del 9 al origen.

Si tenemos la ecuación |x| = 9 significa que la x puede tomar dos valores: x = 9 o x = – 9, esto es, que la ecuación tiene dos soluciones, 9 y –9. El conjunto solución de |x| = 9, es S = {9, –9}.

Veamos cómo se pueden resolver ecuaciones de este tipo:

Ejemplo

Encontrar el conjunto solución de la ecuación |x – 3|= 5.

Procedimiento

|x – 3| = 5 Escribe la ecuación dada.

x – 3 = 5 ó x – 3 = – 5 La expresión x – 3 necesariamente tiene el valor de 5 o –5.

x = 5 + 3 ó x = – 5 + 3 Tenemos dos ecuaciones sumando 3 a cada miembro en cada una de ellas.

Solución

x = 8, x = –2 Efectuando las operaciones.


Etapa 1

12

Propiedad de la igualdad de la raíz cuadrada

Si dos números positivos son iguales, entonces sus raíces cuadradas positivas son iguales.

Así que si a = b, entonces a b=

Cuando se tiene 25

25 5

7

7 49 7

7 7 7

3

2

2

2

2

=

−( )

−( ) = =

−( ) = − =

( )

−

Número

x(( ) =

( ) =

2

2

25

Número número

la solución es 5 y –5 por la definición de raíz cuadrada, a saber, 25

25 5

7

7 49 7

7 7 7

3

2

2

2

2

=

−( )

−( ) = =

−( ) = − =

( )

−

Número

x(( ) =

( ) =

2

2

25

Número número

= 5 ya que 52 = 25 y –5, ya que (–5)2 = 2; en general vamos a tomar 25

25 5

7

7 49 7

7 7 7

3

2

2

2

2

=

−( )

−( ) = =

−( ) = − =

( )

−

Número

x(( ) =

( ) =

2

2

25

Número número

= 5 ya que es su raíz principal.

Veamos la siguiente operación:

25

25 5

7

7 49 7

7 7 7

3

2

2

2

2

=

−( )

−( ) = =

−( ) = − =

( )

−

Número

x(( ) =

( ) =

2

2

25

Número número

25

25 5

7

7 49 7

7 7 7

3

2

2

2

2

=

−( )

−( ) = =

−( ) = − =

( )

−

Número

x(( ) =

( ) =

2

2

25

Número número

(raíz principal).

Es equivalente a tener:

25

25 5

7

7 49 7

7 7 7

3

2

2

2

2

=

−( )

−( ) = =

−( ) = − =

( )

−

Número

x(( ) =

( ) =

2

2

25

Número número

Por lo tanto:

Conclusión

La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es:

25

25 5

7

7 49 7

7 7 7

3

2

2

2

2

=

−( )

−( ) = =

−( ) = − =

( )

−

Número

x(( ) =

( ) =

2

2

25

Número número

= |número|

Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Encontrar el conjunto solución de la ecuación (x – 3)2 = 25 sin necesidad de desarrollar el binomio al cuadrado del miembro izquierdo.

Procedimiento

(x – 3)2 = 25 Escribe la ecuación dada.

25

25 5

7

7 49 7

7 7 7

3

2

2

2

2

=

−( )

−( ) = =

−( ) = − =

( )

−

Número

x(( ) =

( ) =

2

2

25

Número número

Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros.

La expresión (x + 1)2 = 4, tendría:

a) Una solución.

b) Dos soluciones.

c ) Ninguna solución.

d) No puede saberse.

Repaso



13

|x – 3| = 5 ya que

25

25 5

7

7 49 7

7 7 7

3

2

2

2

2

=

−( )

−( ) = =

−( ) = − =

( )

−

Número

x(( ) =

( ) =

2

2

25

Número número

x – 3 = 65 Definición de valor absoluto.

x = 3 65 Sumando 3 a ambos lados.

Solución

S = {8, –2}

Ejemplo

Encuentra el conjunto solución de: |3x – 2|= 32.

Procedimiento

|3x – 2| = 32 Escribe la ecuación dada.

3x – 2 = 632 La expresión 3x –2 necesariamente debe ser igual a 32 o –32.

3x = 632 + 2 Sumando 2 a ambos lados.

x x

S

= =−

= −

343

303

343

10,

Dividiendo todo entre 3.

Soluciónx x

S

= =−

= −

343

303

343

10,

Ejemplo

Encuentra el conjunto solución de |x + 3| = – 5.

Procedimiento

Un valor absoluto es siempre un número positivo o cero. Por lo tanto el conjunto solución en este caso no tiene elementos. Este es llamado conjunto vacío ó nulo.

Hay dos maneras de escribir el conjunto vacío:

Solución

S = [ o S = {}


Etapa 1

14

Ejemplo

Encuentra el conjunto solución de 30 – |x + 5| = 17.

Procedimiento

30 – |x + 5| = 17 Escribe la ecuación dada.

–|x + 5| = 17 – 30 Resta 30 en cada miembro.

–|x + 5| = –13 Multiplica cada miembro por –1.

|x + 5| = 13 (de ahora en adelante el problema es exactamente al anterior).

x + 5 = 613 La expresión dentro del valor absoluto debe ser 13 o –13.

x = –5 613 Agrega 5 a cada miembro.

x = 8 o x = –18 Efectúa las operaciones.

Solución

S = {18, –8}

Ejemplo

Resuelve (x –2)2 = 49.

Procedimiento

(x –2)2 = 49 Escribe la ecuación dada.

x −( ) =

( ) = =

2 49

47 7

2

2número número

Toma la raíz positiva de cada miembro.

|x – 2| = 7

x −( ) =

( ) = =

2 49

47 7

2

2número número

x – 2 = 67 Definición de valor absoluto.

x = 2 67 Agrega 2 a cada miembro.

x = 9 o –5 Efectúa las operaciones

Solución

S = {9, –5}



15

Otros ejemplos

Ejemplo

Resuelve (3x + 2)2 = – 25.

Procedimiento

(3x + 2)2 = –25 Escribe la ecuación dada.

Esta ecuación no tiene solución ya que el cuadrado de todo número real es no negativo.

Solución

S = [

Ejemplo

Resuelve (0.2x + 1.3)2 = 14.2

Procedimiento

(0.2x + 1.3)2 = 14.2 Escribe la ecuación.

0 2 1 3 14 2

14 2

1 3 14 20 2

2. . .

.

. ..

x

x

+( ) =

=− ±

Toma la raíz cuadrada de cada miembro.

|0.2x + 1.3| =

0 2 1 3 14 2

14 2

1 3 14 20 2

2. . .

.

. ..

x

x

+( ) =

=− ±

Aplicando n n2 =

0.2x + 1.3= 6

0 2 1 3 14 2

14 2

1 3 14 20 2

2. . .

.

. ..

x

x

+( ) =

=− ±

Definición de valor absoluto.

0.2x =–1.3 6

0 2 1 3 14 2

14 2

1 3 14 20 2

2. . .

.

. ..

x

x

+( ) =

=− ±

Agrega –1.3 a cada miembro.

0 2 1 3 14 2

14 2

1 3 14 20 2

2. . .

.

. ..

x

x

+( ) =

=− ± Divide cada miembro por 0.2

x = 12.34 ó –25.34 Realiza la operación aritmética.

Solución

S = {12.34 – 25.34}


Etapa 1

16

Práctica mental

Para los siguientes problemas proporciona el resultado después del primer paso en la solución de la ecuación.

Ejemplos Respuesta|x – 7| =13 x – 7 = 613

(x + 5)2 = 81 |x + 5| = 9

a) |x – 9| =15 b) |x + 1| = 9 c) 5x + 2 = 6

d) |8 – 2x| = 18 e) |x + 4| = 3 f ) (x + 9)2 = 121

g) (x – 4)2 = 0 h) (x + 12)2 = 4 i ) (x + 8)2 = 53.6

j ) (0.5x + 6.4)2 = 3.5 k) (x + 6)2 = 23 l ) (2x – 8)2 = 49

1. Encuentra el conjunto solución de cada una de las ecuaciones siguientes.

a) |x| = 21 b) |x| = – 53

c) |x| = 925 d) |x| = 321

e) |x – 3| = 20 f) |x + 4| = 34

g) |x – 6| = 5 h) |x – 9| = 11

i) |x – 9| = 12 j) |x + 7| = –12

k) |6 – x| = 54 l) |6 – x| = 29

m) |3x – 6| = 12 n) |6x – 3| = 33

ñ) |x – 9| = 0 o) |9x + 20| = 38

2. Para los problemas del 17 al 28 resuelve la ecuación. Necesitas hacer una transformación preliminar antes de quitar los signos de valor absoluto.

a) |x| – 6 = 14 b) |x| – 11 = 26

c) 42 – |x| = 15 d) 25 – |x| = 24

e) |3x + 4|– 6 = 28 f) |3x + 9|–9 = 40

g) 7– |x – 2| = –11 h) 6 – |x – 4| = 3

i) (x – 9)2 = 9 j) (x + 6)2 = 121

k) (x + 1)2 = 56 l) (x + 3)2 = 81

Ejercicio



17

Actividad

Ecuaciones con trinomios cuadrados perfectos

Evalúa los siguientes radicales.

a) b) c)

d) e) f )

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− =

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− =

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− =

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− =

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− =

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− =

• Resolver ecuaciones en las cuales el miembro izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto.

Objetivo

Este capítulo está relacionado con la solución de ciertas ecuaciones cuadráticas como:

x2 –12x + 36 = 50

cuyo miembro izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto.

Debes recordar cómo transformar x2 – 12x + 36 en un binomio al cuadrado, pues este hecho nos ayudará a resolver la ecuación.

Dado que: x2– 12x + 36 = (x – 6)2,

la ecuación puede escribirse como:

(x – 6)2 = 50

De aquí en adelante será un problema semejante a los ejemplos anteriores.

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− = Toma la raíz cuadrada de cada miembro.

|x – 6| =

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− = Aplicando la propiedad

( )

=

+ =

n n

x

50

2 93

93

2

2x – 6 =6

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− = Definición de valor absoluto.

x = 66

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− = Agrega 6 a cada miembro.

S = {6 +

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− = , 6 –

n

x

x

4

3

1

9

6 50

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

− = } Escribe el conjunto solución.

S = {7.64, –11.64} Soluciones aproximadas.


Etapa 1

18

Repaso

Ejemplo

Resuelve x2 + 4x + 4 = 93.

Procedimiento

x2 + 4x + 4 = 93 Escribe la ecuación dada.

(x + 2)2 = 93 Factoriza el miembro izquierdo de la ecuación: la mitad de 4 es 2, y 22 es 4, por lo tanto el miembro del lado izquierdo es un trinomio perfecto.

( )

=

+ =

n n

x

50

2 93

93

2

2


|x + 2| =

( )

=

+ =

n n

x

50

2 93

93

2

2

Aplicando la propiedad

( )

=

+ =

n n

x

50

2 93

93

2

2x + 2 = 6

( )

=

+ =

n n

x

50

2 93

93

2

2


x = –2 6

( )

=

+ =

n n

x

50

2 93

93

2

2

Agrega –2 a cada miembro.

Solución

S = {–2 +

( )

=

+ =

n n

x

50

2 93

93

2

2

, –2 –

( )

=

+ =

n n

x

50

2 93

93

2

2

}

Es mejor no usar calculadora hasta que llegues al paso x = ..., Puedes verificar la re-spuesta antes de borrar el resultado en la calculadora., sólo almacena las respuestas; por ejemplo, guarda –11.64... en la memoria y llámala cuando la necesites para la verificación.

Nota

Verifica:(–11.64...)2 + 4(–11.64) + 4 = 93 Sustituye x por –11.64

93 = 93 Evalúa la expresión. (Las operaciones con la calculadora pueden mostrar un número ligeramente diferente de 93).

Verifica tú la otra solución.



19

Ejemplo

Resuelve x2– 4.6x + 5.29 = 6.2.

Procedimiento

x2 – 4.6x + 5.29 = 6.2 Escribe la ecuación dada.

(x – 2.3)2 = 6.2 12 (–4.6) es –2.3 y (–2.3)2 es 5.29. Por lo tanto el miembro del lado izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto.

x

n n

−( ) =

=

2 3 6 2

6 2

2

2

. .

.


|x – 2.3| =

x

n n

−( ) =

=

2 3 6 2

6 2

2

2

. .

. Aplica la propiedad

( )

=

+ =

n n

x

50

2 93

93

2

2x – 2.3 = 6

x

n n

−( ) =

=

2 3 6 2

6 2

2

2

. .

. Definición de valor absoluto.

x = 2.3 6

x

n n

−( ) =

=

2 3 6 2

6 2

2

2

. .

. Agrega 2.3 a cada miembro.

Solución

S = {2.3 –

x

n n

−( ) =

=

2 3 6 2

6 2

2

2

. .

. , 2.3 –

x

n n

−( ) =

=

2 3 6 2

6 2

2

2

. .

. } ó S = {4.79, –0.19}

Verificación de (4.79)

(4.79...)2 –4.6(4.79...)+ 5.29 = 6.2 Sustituye 4.79... por x.

6.2 = 6.2

Práctica mental

Factoriza el miembro izquierdo de cada ecuación.

Ejemplos Respuesta

x2 – 10 + 25 = 41 (x – 5)2 = 41

a) x2 –12x + 36 = 21 b) x2 + 16x + 64 = 25

c) x2 – 4x + 4 = 12 d) x2 + 10x + 25 = 17

e) x2 + 18x + 81 = 42 f ) x2 – 6x + 9 = 0

g) x2 + 9x + 20.25 = 19 h) x2 – 11 + 30.25 = 0

i ) x2 – 4.2x + 4.41 = 3.5 j ) x2 + 8.6x + 18.49 = 5

Repaso

Verifica tú la otra solución.


Etapa 1

20

Repaso

1. Para resolver cada una de las siguientes ecuaciones reescribe el miembro izquierdo como el cuadrado de un binomio. Cuando la solución no sea exacta aproxima a dos décimas.

a) x2 + 124x + 49 = 1 000 b) x2 + 12x + 36 =169

c) x2 + 2x + 1 = 90 d) x2 + 10x + 25 =16

e) x2 + 6x + 9 = 23 f) x2 + 16x + 64 = 54

g) x2 – 22x + 121 = 90 h) x2 + 24x + 144 = 29

i) x2 – 18x – 81 = 2 526 j) x2 – 6x + 9 = 62.7

2. Resuelve las ecuaciones siguientes como en la sección anterior.

a) |x – 9| = 25 b) |x – 12| = 82

c) (x + 26)2 = 256 d) |x – 0.06| = 0.09

e) |4x + 2| = 12 f) |9x – 5| = 62

g) (x + 5)2 = 121 h) (x + 2)2 = 16

i) (x – 0.07)2 = 0.09 j) (x – 10)2 = 500

3. En los ejercicios del 21 al 28 utiliza el principio de que la raíz cuadrada de un cociente es

igual el cociente de las raíces cuadradas, esto es xy = x

y .

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

Ejercicio

xy

xy

x x

x x

x x

=

+ + =

− + =

− +

2

2

2

27

149

1649

43

49

19

109

25811

481

53

2536

1636

73

4936

136

114

2

2

2

=

+ + =

+ + =

−

x x

x x

x xx

x x

+ =

− + =

12164

14464

125

144100

36100

12

2

xy

xy

x x

x x

x x

=

+ + =

− + =

− +

2

2

2

27

149

1649

43

49

19

109

25811

481

53

2536

1636

73

4936

136

114

2

2

2

=

+ + =

+ + =

−

x x

x x

x xx

x x

+ =

− + =

12164

14464

125

144100

36100

12

2

xy

xy

x x

x x

x x

=

+ + =

− + =

− +

2

2

2

27

149

1649

43

49

19

109

25811

481

53

2536

1636

73

4936

136

114

2

2

2

=

+ + =

+ + =

−

x x

x x

x xx

x x

+ =

− + =

12164

14464

125

144100

36100

12

2

xy

xy

x x

x x

x x

=

+ + =

− + =

− +

2

2

2

27

149

1649

43

49

19

109

25811

481

53

2536

1636

73

4936

136

114

2

2

2

=

+ + =

+ + =

−

x x

x x

x xx

x x

+ =

− + =

12164

14464

125

144100

36100

12

2

xy

xy

x x

x x

x x

=

+ + =

− + =

− +

2

2

2

27

149

1649

43

49

19

109

25811

481

53

2536

1636

73

4936

136

114

2

2

2

=

+ + =

+ + =

−

x x

x x

x xx

x x

+ =

− + =

12164

14464

125

144100

36100

12

2

xy

xy

x x

x x

x x

=

+ + =

− + =

− +

2

2

2

27

149

1649

43

49

19

109

25811

481

53

2536

1636

73

4936

136

114

2

2

2

=

+ + =

+ + =

−

x x

x x

x xx

x x

+ =

− + =

12164

14464

125

144100

36100

12

2

xy

xy

x x

x x

x x

=

+ + =

− + =

− +

2

2

2

27

149

1649

43

49

19

109

25811

481

53

2536

1636

73

4936

136

114

2

2

2

=

+ + =

+ + =

−

x x

x x

x xx

x x

+ =

− + =

12164

14464

125

144100

36100

12

2

x x2 25

125

925

+ + =

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

a) x x

x x

2

2

25

125

125

3625

+ +

− +

b)

x x

x x

2

2

25

125

125

3625

+ +

− +



21

1.2 Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas

Técnica de completar el trinomio cuadrado perfecto

• Transformar expresiones cuadráticas de dos términos en trinomios cuadrados perfectos.

Objetivo

Anteriormente aprendiste a desarrollar el cuadrado de un binomio, por ejemplo (3x +1)2 = 9x2 + 6x + 1. Si conoces este modelo, puedes invertir el proceso y factorizar: a2 – 4a + 4 = (a – 2)2.

Ahora trataremos de aplicar este conocimiento en encontrar el término constante necesario para obtener, en un momento dado, un trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo, ¿qué número puedes agregar a una expresión como x2 + 8x, para obtener un trinomio cuadrado perfecto?

El proceso es como sigue:

1. Escribe x2 + 8x + ? (x + )2

2. Llena el espacio en blanco en el binomio recordando la fórmula del binomio al cuadrado.

x2 + 8x + ?

Como 8x debe ser el doble de x multiplicado por algún número, ese número debe ser 4:

x2 + 8x + ?(x + 4)2

3. Completa el trinomio con el 16.

x2 + 8x + 16(x + 4)2

El proceso de agregar 16 a x2 + 8x es llamado completando el trinomio cuadrado perfecto, o simplemente completar el cuadrado. Una vez visto el modelo es fácil hacerlo mentalmente. La técnica es dada después de la actividad planteada a continuación.

Actividad

Completa las siguientes expresiones escribiendo en el espacio en blanco el término apropiado para que las expresiones puedan factorizarse como binomio al cuadrado.

1. x2 – 20x + 2. x2 + + 25 3. x2 – + 121

4. 4x2 + + 49 5. x2 – 16x + 6. 9x2 – 6x +

7. x2 – 10x + 8. 25x2 – + 4 9. x2 – 24x +


Etapa 1

22

Completar el trinomio cuadrado perfecto

Si el coeficiente de x2 es igual a 1 (como en x2 + 8x), entonces para completar el cuadrado, realizar lo siguiente:

1. Toma la mitad del coeficiente del término lineal, esto es ( 12 de 8, o sea 4, en este caso).

2. Elévalo al cuadrado (42 es igual a 16, en este caso).

3. Agrega el resultado al problema original (x2 + 8x + 16).

Completa el trinomio cuadrado perfecto en cada uno de los siguientes casos:

a) x2 + 10x 12 de 10 es 5, y 52 es 25 (no escribas un signo de igualdad (=), puesto que la expresión dada no igual a la respuesta).

x2 + 10x + 25 Luego sumamos 25.

b) x2 – 12x 12 de (–12) es –6, y (–6) 2 es 36.

x2 – 12x + 36 Luego sumamos 36.

c) x2 – 9x 12 de 9 es 4.5 y 4.52 es 20.25.

x2 – 9x + 20.25 Luego sumamos 20.25

d) x2 – 3.5x 12 de –3.5 es –1.75, y (–1.75) 2 es 3.0625.

x2 – 3.5x + 3.0625 Luego sumamos 3.0625

Práctica mental

Eleva al cuadrado cada binomio.

a) (x + 3) 2 b) (x + 2) 2

c) (x – 6) 2 d) (x – 2)2

e) (x + 8)2 f) (x + 7) 2

En cada caso, agrega una constante para completar un trinomio cuadrado perfecto.

a) x2 + 12x... b) x2 + 18x...

c) x2 – 8x... d) x2 – 22x...

e) x2 + 14x... f) x2 + 7x...

g) x2 + 26x... h) x2 – 100x...

i) x2 – 15x... j) x2 – 9x...

k) x2 – 20x l) x2 + x...

m) x2 – 17x... n) x2 – 11x...

ñ) x2 + 2.4x... o) x2 – 4.2x...

p) x2 + 3.1x... q) x2 + 5.3x...

r) x2 + 0.5x... s) x2 + 0.9x...



23

Resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar al cuadrado

• Aplicar la técnica de completar cuadrados en la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Objetivo

Una vez entendido el proceso de completar al cuadrado, puedes usar la técnica para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo

Resuelve x2 – 12x + 9 = 0, por el método de completar el cuadrado.

Procedimiento

x2 – 12x + 9 = 0 Escribe la ecuación dada.

x2 – 12x = –9 Agrega –9 a cada miembro, dejando un espacio en el cual se va a completar al cuadrado.

1. En la ecuación x2 + 14x + 21 = 33 el miembro izquierdo no es un trinomio cuadrado perfecto. Ahora que ya sabes cómo completar el cuadrado y has resuelto una gran cantidad de ecuacio-nes en las secciones previas, serás capaz de imaginarte una forma para resolver esta ecuación.

(Si no estás seguro del camino seguido o no has podido hacerlo tú sólo, puedes continuar la lectura, que la técnica se te da a continuación.)

a) Primero sustrae 21 de cada miembro. b) Luego determina qué número se debe agregar a x2 + 14x para completar el cuadrado. c) Agrega este número a cada miembro de la ecuación. d) Resuelve ésta en la forma que aprendiste en la sección anterior.

2. En la ecuación x2 + 8x + 12 = 5, el miembro izquierdo no es trinomio cuadrado perfecto, de-bido a que el término constante 12, no es cuadrado exacto.

a) ¿Cuál deberá ser el término constante para que el miembro izquierdo fuera un trinomio cua-drado perfecto?

b) Agrega un número a cada miembro de la ecuación para hacer el miembro izquierdo un tri-nomio cuadrado perfecto.

c) Resuelve la ecuación.

Actividad


Etapa 1

24

x2 – 12x + 36 = –9 + 36 Agrega 36 a cada miembro de la ecuación para completar al cua-drado en el miembro izquierdo.

(x – 6) 2 = 27 Escribe el miembro izquierdo como un binomio al cuadrado; (–6 es la mitad de –12). Reduce términos en el lado derecho.

A partir de aquí, el problema es como los de secciones anteriores.

x

x x

−( ) =

+ +=

6 27

27

2 12 102

02

2

2

número

Indica la raíz cuadrada de cada miembro.

|x – 6| =

x

x x

−( ) =

+ +=

6 27

27

2 12 102

02

2

2

número

Ya que

x

x x

−( ) =

+ +=

6 27

27

2 12 102

02

2

2

número = |número|.

x – 6 = 6

x

x x

−( ) =

+ +=

6 27

27

2 12 102

02

2

2

número


x = 6 6

x

x x

−( ) =

+ +=

6 27

27

2 12 102

02

2

2

número

Agrega 6 a cada miembro y emplea la calculadora para obtener que

x

x x

−( ) =

+ +=

6 27

27

2 12 102

02

2

2

número

≈ 5.2.

Solución

{6 +

x

x x

−( ) =

+ +=

6 27

27

2 12 102

02

2

2

número

, 6 –

x

x x

−( ) =

+ +=

6 27

27

2 12 102

02

2

2

número

}

La comprobación corre por tu cuenta.

Nota

El método anterior para completar el cuadrado se aplica sólo si el coeficiente de x2 es igual a 1. ¿Y si no lo es?

Para resolver una ecuación como: 2x2 + 12x + 10 = 0

hay que reducir la ecuación al caso previo, esto es, a tener x2 con coeficiente 1, para lo cual simplemente divide cada miembro por 2, obteniendo:

x

x x

−( ) =

+ +=

6 27

27

2 12 102

02

2

2

número

En el lado izquierdo, la división se distribuye sobre la adición. En el lado derecho 02 es 0. Así la ecuación

llega a ser:x2 + 6x + 5 = 0,

la cual se trabaja como en los casos anteriores.

Desde aquí resolverás las ecuaciones como en el ejemplo 1.



25

Ejemplo

Resuelve 2x2 + 10x – 9 = 0, completando el cuadrado.

Procedimiento

2x2 + 10x – 9 = 0 Escribe la ecuación dada.

x2 + 5x – 4.5 = 0 Divide cada miembro por 2.

x2 + 5x = 4.5 Agrega 4.5 a cada miembro.

x2 + 5x + 6.25 = 4.5 + 6.25 Completa el cuadrado.

(x + 2.5)2 = 10.75 Escribe el miembro izquierdo como el cuadrado de un binomio.

x – 2.5 = 6 10 75

10 75 3 28

2 2 5 10 75 10 2 5 10 752

.

. . .

. . . .

≈

− −( ) + − −(( ) −= + +( ) − − −

=

9

2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9

12

. . . .

.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9

34 10 10 75 10 1

+ + − − −

= + −

. . .

. 00 75 34

0

2 5 10 75 5 78

.

. . .

−=

− − ≈ −

Obtén la raíz cuadrada de cada miembro.

x = – 2.5 6 10 75

10 75 3 28

2 2 5 10 75 10 2 5 10 752

.

. . .

. . . .

≈

− −( ) + − −(( ) −= + +( ) − − −

=

9

2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9

12

. . . .

.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9

34 10 10 75 10 1

+ + − − −

= + −

. . .

. 00 75 34

0

2 5 10 75 5 78

.

. . .

−=

− − ≈ −

Agrega –2.5 a cada miembro y emplea la calculadora para obtener que

10 75

10 75 3 28

2 2 5 10 75 10 2 5 10 752

.

. . .

. . . .

≈

− −( ) + − −(( ) −= + +( ) − − −

=

9

2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9

12

. . . .

.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9

34 10 10 75 10 1

+ + − − −

= + −

. . .

. 00 75 34

0

2 5 10 75 5 78

.

. . .

−=

− − ≈ −

Solución

S = {–2.5 + 10 75

10 75 3 28

2 2 5 10 75 10 2 5 10 752

.

. . .

. . . .

≈

− −( ) + − −(( ) −= + +( ) − − −

=

9

2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9

12

. . . .

.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9

34 10 10 75 10 1

+ + − − −

= + −

. . .

. 00 75 34

0

2 5 10 75 5 78

.

. . .

−=

− − ≈ −

, – 2.5 – 10 75

10 75 3 28

2 2 5 10 75 10 2 5 10 752

.

. . .

. . . .

≈

− −( ) + − −(( ) −= + +( ) − − −

=

9

2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9

12

. . . .

.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9

34 10 10 75 10 1

+ + − − −

= + −

. . .

. 00 75 34

0

2 5 10 75 5 78

.

. . .

−=

− − ≈ −

}

Verificación de una de las soluciones. Sustituimos –2.5 – 10 75

10 75 3 28

2 2 5 10 75 10 2 5 10 752

.

. . .

. . . .

≈

− −( ) + − −(( ) −= + +( ) − − −

=

9

2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9

12

. . . .

.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9

34 10 10 75 10 1

+ + − − −

= + −

. . .

. 00 75 34

0

2 5 10 75 5 78

.

. . .

−=

− − ≈ −

en la expresión 2x2 + 10x –9, lo cual debe darnos cero:

10 75

10 75 3 28

2 2 5 10 75 10 2 5 10 752

.

. . .

. . . .

≈

− −( ) + − −(( ) −= + +( ) − − −

=

9

2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9

12

. . . .

.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9

34 10 10 75 10 1

+ + − − −

= + −

. . .

. 00 75 34

0

2 5 10 75 5 78

.

. . .

−=

− − ≈ −Concluimos que

10 75

10 75 3 28

2 2 5 10 75 10 2 5 10 752

.

. . .

. . . .

≈

− −( ) + − −(( ) −= + +( ) − − −

=

9

2 6 25 5 10 75 10 75 25 10 10 75 9

12

. . . .

.55 10 10 75 21 5 25 10 10 75 9

34 10 10 75 10 1

+ + − − −

= + −

. . .

. 00 75 34

0

2 5 10 75 5 78

.

. . .

−=

− − ≈ − es una solución de la ecuación 2x2 + 10x – 9 = 0.

Ahora tú verifica la otra solución.

Resuelve este ejercicio que ha quedado incompleto, después de ver el ejemplo siguiente:

Repaso


Etapa 1

26

Práctica mental

Para los problemas siguientes, proporciona el número que debe ser sumado para completar un tri-nomio cuadrado perfecto.

a) x2 + 18x… b) x2 – 22x…

c) x2 + 6x… d) x2 – 18x…

e) x2 – 3x… f ) x2 + 5x…

g) x2 –13x… h) x2 – 11x…

1. Resuelve cada ecuación completando el cuadrado. Escribe las respuestas que no sean exactas, redondeando a dos decimales.

a) x2 + 6x + 7 = 0 b) x2 – 6x + 1 = 0

c) x2 + 4x + 6 = 0 d) x2 + 10x + 23 = 0

e) x2 – 18x + 10 = 0 f) x2 – 8x – 25 = 0

g) x2 – 2x – 3 = 0 h) x2 – 22x – 14 = 0

2. Utiliza el método que estamos estudiando. Algunos ejercicios tienen decimales en la ecuación, redondea la solución a un decimal.

a) x2 + 24x – 1.6 = 0 b) x2 + 8x – 6.5 = 0

c) x2 – 2x – 22.4 = 0 d) x2 – 10x – 17.5 = 0

e) x2 + 6x + 17x = 0 f) x2 – 4x + 25 = 0

g) x2 + 20x = 0 h) x2 – 10x = 0

3. Completa el cuadrado para resolver las siguientes ecuaciones, en las que el coeficiente del tér-mino lineal no es un número entero par.

a) x2 + 3x + 1 = 0 b) x2 + 2.4x – 5 = 0

c) x2 – 9x – 6 = 0 d) x2 – 7x + 18 = 0

e) x2 – 5x – 18 = 0 f) x2 – x + 1 = 0

g) x2 – 13x + 40 = 0 h) x2 + 6.4x – 7 = 0

4. Los siguientes casos requieren varias transformaciones antes de proceder a completar el cuadrado.

a) x2 = – 9x + 8 b) 4.6x = 4 – x2

c) 9x2 + 10 = 12x d) –6x2 + 18x + 29 = 0

e) x2 + 0.7 = 2.4x f) 0.6x2 + 2.3x – 20 = 0

g) 3x2 + 10x + 7 = 2 h) 0.4x2 + 1.5x – 1.3 = 0

Ejercicio



27

Lee con cuidado la explicación que se te da a continuación para que posteriormente puedas con-testar la actividad planteada.

La frase completando el cuadrado puede ser ilustrada con el concepto de área. Por ejemplo el dia-grama muestra un cuadrado con lado x, flanqueado por dos rectángulos de dimensión 2 por x. El área del cuadrado sumada con la de los dos rectángulos es: x2 + 2x + 2x, o sea x2 + 4x.

Como puedes ver, el cuadrado pequeño situado a la derecha con área 2 3 2 = 4 completa el cua-drado grande.

Repaso

i) x2 + 1.32 = –1.4x j) –3x2 – 10x + 4 = 0

k) 6.2x = 32 – x2 l) x2 – 5x = – x – 8

5. Resuelve las siguientes ecuaciones a manera de repaso.

a) |x – 6| = 36 b) |x + 11| = 9

c) |2x – 7| = 16 d) |5x – 3| = 25

e) (x – 5)2 = 100 f) (x –1.2)2 = 16

g) (x + 6.9)2 = 20 g) (x + 10)2 = 1

x2

x

x

2x

Área = x2 + 2x + 2x = x2 + 4x + 4

2x

x + 2

x + 2

42

2

2

2

En base a la explicación previa, dibuja las figuras que completen el cuadrado para las siguientes expresiones:

a) x2 + 12x b) x2 + 20x c) x2 – 6x

Actividad


Etapa 1

28

La fórmula cuadrática

• Aplicar la fórmula general para resolver cualquier ecuación cuadrática.

Objetivo

Toda ecuación cuadrática en una variable puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ? 0.

Veamos qué sucede cuando empleamos el método de completar el cuadrado para resolver la ecuación cuadrática general.

Sea la ecuación cuadrática general: ax2 + bx + c = 0

1. Comenzaremos dividiendo ambos miembros por a. Obtenemos:

xba

xca

ca

xba

xca

b

a

ba

x

2

2

2

2

2

2

0

4 2

+ + =

−

+ = −

=

+ 222 4 4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

ba

xb

a

b

a

ca

b ac

a

xba

+ = − =−

+

=−

− = ±−

−

− = ±

2 2

2

2

4

4

24

2

2

2

b ac

a

xba

b aca

ba

xba

bb aca

2 42−

2. Sumamos – ca

en ambos lados de la igualdad:

xba

xca

ca

xba

xca

b

a

ba

x

2

2

2

2

2

2

0

4 2

+ + =

−

+ = −

=

+ 222 4 4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

ba

xb

a

b

a

ca

b ac

a

xba

+ = − =−

+

=−

− = ±−

−

− = ±

2 2

2

2

4

4

24

2

2

2

b ac

a

xba

b aca

ba

xba

bb aca

2 42−

3. Completamos el trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo, para lo cual nos falta el tér-

mino b

a

ba

2

2

2

4 2=

, tal como fue explicado en la sección anterior. Lo agregamos en ambos miembros

y en el lado derecho se efectúa la operación indicada entre las fracciones.

xba

xca

ca

xba

xca

b

a

ba

x

2

2

2

2

2

2

0

4 2

+ + =

−

+ = −

=

+ 222 4 4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

ba

xb

a

b

a

ca

b ac

a

xba

+ = − =−

+

=−

− = ±−

−

− = ±

2 2

2

2

4

4

24

2

2

2

b ac

a

xba

b aca

ba

xba

bb aca

2 42−

4. Se factoriza el miembro izquierdo

xba

xca

ca

xba

xca

b

a

ba

x

2

2

2

2

2

2

0

4 2

+ + =

−

+ = −

=

+ 222 4 4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

ba

xb

a

b

a

ca

b ac

a

xba

+ = − =−

+

=−

− = ±−

−

− = ±

2 2

2

2

4

4

24

2

2

2

b ac

a

xba

b aca

ba

xba

bb aca

2 42−

.

5. Indicamos la raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:

xba

xca

ca

xba

xca

b

a

ba

x

2

2

2

2

2

2

0

4 2

+ + =

−

+ = −

=

+ 222 4 4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

ba

xb

a

b

a

ca

b ac

a

xba

+ = − =−

+

=−

− = ±−

−

− = ±

2 2

2

2

4

4

24

2

2

2

b ac

a

xba

b aca

ba

xba

bb aca

2 42−

6. Sumando – b2a

para despejar x, tenemos

xba

xca

ca

xba

xca

b

a

ba

x

2

2

2

2

2

2

0

4 2

+ + =

−

+ = −

=

+ 222 4 4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

ba

xb

a

b

a

ca

b ac

a

xba

+ = − =−

+

=−

− = ±−

−

− = ±

2 2

2

2

4

4

24

2

2

2

b ac

a

xba

b aca

ba

xba

bb aca

2 42−



29

7. Se efectúa la suma algebraica xb b ac

a

x

x

=− ± −

=− −( ) ±

=±

=+

=

2 42

121

9 11

49 11

4

9 114

2044

5

9 114

24

12

12

=

=−

=−

= −x

8. Y aquí tenemos una Fórmula General que nos permitirá obtener las soluciones de cualquier ecua-ción cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0.

Ejemplo

Encuentra el conjunto solución de 2x2 – 9x – 5 = 0.

Procedimiento

En esta ecuación, a = 2 b = –9 y c = –5

b2 – 4ac = 81– 4(2)(–5) = 121;

xb b ac

a

x

x

=− ± −

=− −( ) ±

=±

=+

=

2 42

121

9 11

49 11

4

9 114

2044

5

9 114

24

12

12

=

=−

=−

= −x

= 11

Luego,

xb b ac

a

x

x

=− ± −

=− −( ) ±

=±

=+

=

2 42

121

9 11

49 11

4

9 114

2044

5

9 114

24

12

12

=

=−

=−

= −x

Habrá dos soluciones, dado el signo ±

xb b ac

a

x

x

=− ± −

=− −( ) ±

=±

=+

=

2 42

121

9 11

49 11

4

9 114

2044

5

9 114

24

12

12

=

=−

=−

= −x

xb b ac

a

x

x

=− ± −

=− −( ) ±

=±

=+

=

2 42

121

9 11

49 11

4

9 114

2044

5

9 114

24

12

12

=

=−

=−

= −x

Solución

Las soluciones son x = 5 y x = – 12

Ejemplo

Resolver la ecuación 4x2 + 20x + 25 = 0.

Procedimiento

En esta ecuación, a = 4, b = 20 y c = 25

b2 – 4ac = 400 – 400 = 0; 0

20 0

8

52

8 64 4 2 5

2 2

x

S

x

S

=−( ) ±

= −

=− ± − ( )( )

( )

=−− + − −

8 244

8 244

24

,

= 0

Luego,

0

20 0

8

52

8 64 4 2 5

2 2

x

S

x

S

=−( ) ±

= −

=− ± − ( )( )

( )

=−− + − −

8 244

8 244

24

,


Etapa 1

30

Si admitimos que toda ecuación de 2º grado tiene dos soluciones, en este caso diremos que las dos son

iguales a x = – 52

Solución

0

20 0

8

52

8 64 4 2 5

2 2

x

S

x

S

=−( ) ±

= −

=− ± − ( )( )

( )

=−− + − −

8 244

8 244

24

,

Ejemplo

Resuelve usando la fórmula cuadrática: 2x2 + 8x + 5 = 0.

Procedimiento

2x2 + 8x + 5 = 0 Escribe la ecuación dada.

0

20 0

8

52

8 64 4 2 5

2 2

x

S

x

S

=−( ) ±

= −

=− ± − ( )( )

( )

=−− + − −

8 244

8 244

24

,

Usa la fórmula cuadrática sustituyendo los valores de a, b, c. En este caso: a = 2, b = 8, c = 5.

0

20 0

8

52

8 64 4 2 5

2 2

x

S

x

S

=−( ) ±

= −

=− ± − ( )( )

( )

=−− + − −

8 244

8 244

24

, El radical es

0

20 0

8

52

8 64 4 2 5

2 2

x

S

x

S

=−( ) ±

= −

=− ± − ( )( )

( )

=−− + − −

8 244

8 244

24

,

, el cual es aproximadamente 4,898979486.

Solución

S ={–0.78, –3.22} Soluciones aproximadas.

Otros ejemplos:

Ejemplo

Resuelve (usando la fórmula cuadrática) la ecuación: 5x2 – 7x – 11 = 0.

Procedimiento

5x2 – 7x –11 = 0 Escribe la ecuación dada.

x

x

=− −( ) ± − ( ) −( )

( )

=− ± − ( )( )

( )

7 49 4 5 11

2 2

5 25 4 2 2

2 2

2269

Usa la fórmula cuadrática sustituyendo los valores de a, b, c. En este caso: a = 5, b = –7, c = –11.

El radical es

x

x

=− −( ) ± − ( ) −( )

( )

=− ± − ( )( )

( )

7 49 4 5 11

2 2

5 25 4 2 2

2 2

2269 , el cual es aproximadamente 16.40121947.



31

Solución

S = {2.34, –0.94}

Ejemplo

Resuelve la ecuación 2x2 + 5x + 2 = 0, usando la fórmula cuadrática.

Procedimiento

2x2 + 5x + 2 = 0 Escribe la ecuación dada.

x

x

=− −( ) ± − ( ) −( )

( )

=− ± − ( )( )

( )

7 49 4 5 11

2 2

5 25 4 2 2

2 2

2269

Usa la fórmula cuadrática, a = 2, b = 5, c = 2.

El radicando es 9, y como 9 es un número con raíz exacta, esto quiere decir que las raíces son racionales.

Solución

S = {–0.5,–2} Efectuando las operaciones aritméticas.

Ejemplo

Resuelve la ecuación 3x2 – x + 8 = 0, usando la fórmula cuadrática.

Procedimiento

3x2 – x + 8 = 0 Escribe la ecuación dada.

x

x

=− −( ) ± − ( )( )

( )

−

=± − ( ) −( )

1 1 4 3 8

2 3

95

11 121 4 2 24

2 22( )

Usa la fórmula cuadrática sustituyendo los valores de a, b, c. En este caso: a =3, b =–1, c = 8.

El radical es

x

x

=− −( ) ± − ( )( )

( )

−

=± − ( ) −( )

1 1 4 3 8

2 3

95

11 121 4 2 24

2 22( )

, el cual no es un número real. (Esto ocurre siem-pre que b2 – 4ac es negativo).

Solución

S = [


Etapa 1

32

Ejemplo

Resuelve la ecuación (2x + 3) (x – 7) = 3, usando la fórmula cuadrática.

Procedimiento

(2x + 3)(x – 7) = 3 Escribe la ecuación dada

2x2 – 11x – 21= 3 Multiplica los binomios.

2x2 – 11x – 24 = 0 Resta 3 a ambos miembros para que la ecuación quede de la forma ax2 + bx + c = 0 y pueda ser empleada la fórmula general.

x

x

=− −( ) ± − ( )( )

( )

−

=± − ( ) −( )

1 1 4 3 8

2 3

95

11 121 4 2 24

2 22( ) Usa la fórmula cuadrática: a = 2, b =–11, c = –24.

Solución

S = + −

114

3134

114

3134

313

, El radical

S = + −

114

3134

114

3134

313

,

es aproximadamente 17.69180601.

Práctica mental

Identifica los valores de a, b y c para utilizarlos en la fórmula cuadrática.

a) 5x2 – 3x + 2 = 0 g) x2 – 2x = 0

b) 6x2 + 4x + 10 = 0 h) –3x2 – 2x – 6 = 0

c ) x2 – x + 3 = 0 i ) x2 + x + 1 = 0

d) 9x2 – 11x –15 = 0 j ) 6x2 – 9 = 0

e) 6x2 + 3x + 2 = 0 k) –x2 – x + 1 = 0

f ) 5x2 – 3x + 2 = 0 l ) 5–3x + 7x2 = 0

1. Escribe las soluciones que no son exactas, redondeándolas a dos decimales. Verifica cada res-puesta almacenándola en la memoria de la calculadora. Después evalúa la(s) expresión(es) en la ecuación usando el valor almacenado.

a) 4x2 – 11x – 3 = 0 b) x2 + 8x + 25 = 0

c) x2 – x – 30 = 0 d) 5x2 – 17x + 6 = 0

e) 2x2 – 4x + 1= 0 f) x2 – 6x + 13 = 0

g) 6x2 + 5x + 1 = 0 h) 8x2 + 10x + 1 = 0

Ejercicio



33

i) 3x2 – x – 2 = 0 j) –x2 – x + 1= 0

k) 0.5x2 + 11x + 3.5 = 0 l) 0.2x2 – 0.4x – 2.1 = 0

m) 0.8x2 + 5x + 3.1 = 0 n) –x2 + x + 1 = 0

2. En cada uno de los siguientes casos falta un término. Para aplicar la Fórmula General, sólo debes considerar que el coeficiente del término faltante es igual a cero.

a) 3x2 + 7 = 0 puede ser escrita como 3x2 + 0x + 7 = 0; entonces a = 3, b = 0, c = 7.

b) 8x2 – 5x = 0 puede ser rescrita como 8x2 – 5x + 0 = 0; entonces a = 8, b = –5, c = 0.

c) 4x2 + 9 = 0 d) 2x2 + 4 = 0

e) x2 – 2x = 0 f) 3x2 + 2x = 0

g) 2x2 + x = 0 h) x2 + x = 0

i) 5x2 + 1 = 0 j) 3x2 – 13 = 0

3. Transforma cada ecuación a la forma: ax2 + bx + c = 0, para que pueda ser usada la fórmula cuadrática.

a) 5x2 + 2x = –3 b) x2 + 3x – 1 = x – 2x2

c) 2x2 – 5x – 3 = 2x – 4x2 d) n(n + 2) = 35

e) x(x + 1) = 30 f) (x + 3)2 – x = 20

g) x2 = –2x + 2 h) (x – 2)(x – 5) = 6

i) (x + 2)2 + 36 = 0 j) (3x + 2)(2x – 1) = 13

k) 0.2(x – 4) = x2 –1.2 l) 0.3(3 – x) = x2 + 0.6

m) (x + 8)2 + x = (x + 6)2 + 4 n) (x – 3)2 + 3x = (x + 1)2 –10

Has notado que algunas veces no hay soluciones reales a ciertas ecuaciones cuadráticas. Esto su-cede cuando el número bajo el signo radical es negativo.

De la fórmula cuadrática, sabes que este número es b2 – 4ac.

Sin que resuelvas las siguientes ecuaciones, encuentra el valor de b2 – 4ac y usa el resultado para decir si la ecuación tiene o no soluciones reales. A la expresión b2 – 4ac se le llama discriminante.

a) 3x2 + 2x + 5 = 0 b) x2 + 7x – 3 = 0 c) 5x2 + x – 20 = 0

d) 2x2 – 3x + 7 = 0 e) x2 + x + 1 = 0 f ) –3x2 + x – 1 = 0

Actividad


Etapa 1

34

Resolucion de ecuaciones cuadráticas por factorización

• Aplicar los tipos apropiados de factorización en la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Objetivo

Cuando el polinomio ax2 + bx + c se puede factorizar como el producto de dos factores lineales (unidad 2), la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 puede resolverse igualando separadamente cada uno de los factores a cero. De esta manera la ecuación cuadrática queda expresada como dos ecuaciones lineales. El conjunto solución estará formado por las soluciones de dichas ecuaciones lineales.

Ejemplo

Encontrar el conjunto solución de la ecuación x2 – x – 2 = 0.

Procedimiento

Factorizar el miembro de la izquierda: (x – 2)(x + 1) = 0.

En esta forma, la ecuación nos señala que un producto de dos números es igual a cero. La única manera de que un producto pueda ser cero es que uno de los factores sea cero (o ambos).

Entonces la ecuación (x – 2)(x + 1) = 0

puede ser escrita: x – 2 = 0 ó x + 1 = 0

Esta transformación cambia un problema difícil en dos problemas fáciles. Despejando x en cada una de las ecuaciones lineales resultantes, tenemos:

x = 2 ó x = –1

Solución

Por lo tanto, el conjunto solución es S = {2,–1}

Propiedad multiplicativa del ceroEl producto de cualquier número por 0 es igual a 0.

Recíproco de la propiedad multiplicativa del ceroSi un producto de números reales es igual a cero, entonces uno de los factores es igual a cero. Esto es, para todo número real n y p, si n ? p = 0, entonces n = 0 ó bien, p = 0.



35

Para saber si una expresión cuadrática tiene o no factorización recurrimos al discriminante b2 – 4ac.

En la ecuación x2 – x –2 = 0, el discriminante es (–1)2 – (4)(1)(–2) = 9, que es un número cuadrado exacto. La expresión x2 – x – 2 puede ser factorizada como:

(x – 2)(x + 1)

Prueba de discriminante para factorizarUn trinomio cuadrático ax2 + bx + c puede ser factorizado si y solo si el discriminante b2– 4ac es un cuadrado perfecto.

Ejemplo

Resolver (7x – 3)(2x + 5) = 0.

Procedimiento

(7x – 3)(2x + 5) = 0 Escribir la ecuación dada.

7x – 3 = 0 2x + 5 = 0 Aplicar el recíproco de la propiedad multiplicativa del 0.

x x

S

=−

=−

37

52

37

52

,

Resolviendo cada ecuación lineal.

Solución x x

S

=−

=−

37

52

37

52

,

Ejemplo

Resolver 2x2 – x – 3 = 0.

Procedimiento

2x2 – x – 3 = 0 Escribir la ecuación dada.

(2x – 3)(x + 1) = 0 Factoriza el lado izquierdo.

1. Obtén el discriminante de la ecuación x2 – 3x –12 = 0.

2. La expresión x2 – 3x –12 ¿puede ser factorizada? ¿Hay alguna relación entre el valor del discrimi-nante y el hecho de que una expresión cuadrática pueda factorizarse?

Repaso


Etapa 1

36

2x – 3 = 0 ó x + 1= 0 Aplicar el recíproco de la propiedad multiplicativa del 0.

x x= = −32

1 Resolviendo cada ecuación lineal.

Solución

S = 32

1, −

Ejemplo

Resolver 2x2 + 15x + 12 = 0.

Procedimiento

2x2 + 15x + 12 = 0 Escribir la ecuación dada.

b2 – 4ac = 152 – 4(2)(12) = 129 Calcular el discriminante. Como 129 no es cuadrado exacto, decimos que la expresión no tiene factorización. Entonces:

x

x x

S

=− ±

( )

=− +

=− −

=− +

15 129

2 2

15 1294

15 1294

15 12

,

994

15 1294

310

83

10

,

,

x

x

S

=− −

=

=

Usando la fórmula cuadrática.x

x x

S

=− ±

( )

=− +

=− −

=− +

15 129

2 2

15 1294

15 1294

15 12

,

994

15 1294

310

83

10

,

,

x

x

S

=− −

=

=

Solución

x

x x

S

=− ±

( )

=− +

=− −

=− +

15 129

2 2

15 1294

15 1294

15 12

,

994

15 1294

310

83

10

,

,

x

x

S

=− −

=

=

Repaso

Escribe la solución, aproximando a dos decimales el resultado de las operaciones aritméticas.

Ejemplo

Resolver 10x2 – 83x + 24 = 0.

Procedimiento

10x2 – 83x + 24 = 0 Escribe la ecuación dada.

(10x – 3)(x – 8)= 0 Factoriza.



37

x = 8

x

x x

S

=− ±

( )

=− +

=− −

=− +

15 129

2 2

15 1294

15 1294

15 12

,

994

15 1294

310

83

10

,

,

x

x

S

=− −

=

=

Resolviendo cada ecuación lineal.

Solución

x

x x

S

=− ±

( )

=− +

=− −

=− +

15 129

2 2

15 1294

15 1294

15 12

,

994

15 1294

310

83

10

,

,

x

x

S

=− −

=

=

Práctica mental

¿Las siguientes ecuaciones pueden ser resueltas factorizando? Explica.

Ejemplos Respuestas

a) 3x2 –10x – 8 = 0 a) Si; b2 – 4ac = 196 es cuadrado perfecto.

b) 5x2 – 11x + 3 = 0 b) No; b2 – 4ac = 61 no es cuadrado perfecto.

1. x2 + 8x + 15 = 0 2. x2 – x – 6 = 0

3. x2 + 5x + 3 = 0 4. x2 + 3x + 10 = 0

5. x2 + 3x – 10 = 0 6. x2 + 3x + 10 = 0

7. 2x2 + 7x + 6 = 0 8. 3x2 – 8x + 5 = 0

9. 3x2 + 10x – 8 = 0 10. 2x2 + 5x – 10 = 0

11. x2 + 6x + 10 = 0 12. 4x2 – 12x + 9 = 0

1. Enuncia la propiedad de multiplicación del cero.

2. Enuncia el recíproco de la propiedad de multiplicación por cero.

3. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones.

a) (x – 3)(x – 7) = 0 b) (x – 9)(x – 2) = 0

c) (7x + 8) (2x – 11) = 0 d) (4x – 7)(x + 3) = 0

e) (x – 3)(x + 4)(x – 5) = 0 f) (11x + 17)(2x – 13) = 0

g) (6x – 5)(x + 7)(2x – 9) = 0 h) (5x + 24)(4x + 37) = 0

i) (x – 6)(x – 7)(x – 8)(x + 9) = 0 j) (2x – 9)(x + 8)(6x – 7) = 0

4. Resuelve por factorización si es posible. De otro modo resuelve usando la fórmula cuadrática. Redondea las soluciones no exactas a dos cifras decimales.

a) x2 – x – 12 = 0 b) x2 – 3x – 10 = 0

c) x2 + 4x – 5 = 0 d) x2 + 5x – 6 = 0

e) 5x2 – 12x – 6 = 0 f) 12x2 – 20x + 7 = 0

Ejercicio


Etapa 1

38

g) 6x2 – 5x – 6 = 0 h) x2 + 3x – 28 = 0

i) 16x2 – 46x + 15 = 0 j) 3x2 – 5x + 4 = 0

4. Transforma cada una de las siguientes igualdades en una ecuación cuadrática y resuélvela. Descarta soluciones extrañas.

a) b)

c) d)

e) f)

86

86

1

25

13

3

3

m m

x x

x

+−

−=

+−

−=

− 112

45

27

42

34

53

−+

=

+−

+=

−+

−=

x

xx x

x x2

4

12

2x −=

86

86

1

25

13

3

3

m m

x x

x

+−

−=

+−

−=

− 112

45

27

42

34

53

−+

=

+−

+=

−+

−=

x

xx x

x x2

4

12

2x −=

86

86

1

25

13

3

3

m m

x x

x

+−

−=

+−

−=

− 112

45

27

42

34

53

−+

=

+−

+=

−+

−=

x

xx x

x x2

4

12

2x −=

86

86

1

25

13

3

3

m m

x x

x

+−

−=

+−

−=

− 112

45

27

42

34

53

−+

=

+−

+=

−+

−=

x

xx x

x x2

4

12

2x −=

86

86

1

25

13

3

3

m m

x x

x

+−

−=

+−

−=

− 112

45

27

42

34

53

−+

=

+−

+=

−+

−=

x

xx x

x x2

4

12

2x −=

86

86

1

25

13

3

3

m m

x x

x

+−

−=

+−

−=

− 112

45

27

42

34

53

−+

=

+−

+=

−+

−=

x

xx x

x x2

4

12

2x −=

Para los problemas siguientes el miembro izquierdo se puede factorizar como producto de tres binomios lineales. Resuelve las ecuaciones, cada una tiene tres soluciones.

(Factoriza por agrupación).

1. x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0 2. x3 + 4x2 – 25x – 100 = 0

3. x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0 4. x3 + 5x2 – 36x –1 80 = 0

5. 3x3 + 4x2 – 3x – 4 = 0 6. 4x3 – 24x2 – x + 6 = 0

1.3 Problemas de aplicación

• Plantear y resolver ecuaciones cuadráticas que representen una situación cotidiana dada.

Objetivo

Veamos algunos ejemplos y tengamos en cuenta que las soluciones deben tener sentido en el contexto del problema; en caso de no ser así, la solución debe ser descartada.

Ejemplo

La casa de la familia Martínez tiene un patio cuyo largo es el doble del ancho. Se va a adoqui-

nar una parte y a dejar otra para jardín. La parte que se va a dejar para jardín son 6 metros

a lo largo de todo el lado poniente, como se ilustra en el dibujo. Si se necesitan 360 m2 de

adoquín para cubrir la parte correspondiente,

a) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?

b) ¿Cuántos metros cuadrados quedan de jardín?

Actividad



39

Procedimiento

Área adoquinada = 360 = x(2x – 6) = 2x2 – 6x

2x2 – 6x – 360 = 0 Se ordena la ecuación y se iguala a 0.

x2 – 3x – 180 = 0 Dividiendo la ecuación por 2.

(x –15)(x +12) = 0 Factorizando.

x = 15, x = –12 Aplicando la propiedad del 0 y resolviendo cada ecuación lineal.

Solución

a) El terreno mide 15 metros de ancho por 30 metros de largo, esto es, 450 m2.

b) El jardín mide 6(x) = 6(15) = 90, o bien 450 m2 del terreno – 360 m2 de adoquín = 90 m2 de jardín.

Observa que x = –12 no puede ser solución a nuestro problema porque la longitud es una mag-nitud positiva.

Ejemplo

La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto de los números. Encontrar ambos números.

Procedimiento

Primer número Segundo número

x (48 – x) Ya que la suma de ambos es 48.

Cuadrado Cuadrado Producto de los números.

x2 (48 – x)2 x(48 – x)2

x

2x


Etapa 1

40

x2 – 48 (48 – x)2 – 36 = x(48 – x) La relación existente entre los números.

x2 – 2304 –96x – x2 – 36 = 48x – x2 Efectuando operaciones.

x2 + 48x (48 – 2 304) = 0 Reduciendo términos.

(x + 78) (x – 30) = 0

x + 78 = 0, esto es x = – 78 Factorizando.

x – 30 = 0, es decir x = 30 Resolviendo cada ecuación lineal.

Solución

Los números son 30, y 48 – 30 = 18.

Repaso

¿Por qué se elimina –78 como solución del problema?

1. La suma de dos números es 20. La suma de sus recíprocos es

415.

a) Establece las ecuaciones que plantea el problema.

b) Procede por el método de sustitución.

c) Resuelve la ecuación cuadrática que resulta.

d) Determina los números.

2. Dado el siguiente triángulo rectángulo, determina:

a) El valor de x.

b) El valor de cada lado.

3. Una excursión geológica costó 120 dólares. Si hubieran ido 3 miembros más, el costo por estu-diante habría sido de 2 dólares menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión?

2x – 1x

2x – 10

Ejercicio



41

4. El largo de una pieza rectangular de madera mide 4 cm más que su ancho y el área es de 192 cm2. Encuentra las dimensiones de la pieza.

5. Si cada uno de dos lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo resultante supera en 32 pies cuadrados al área del cuadrado original. Encuentra la longitud del lado del cuadrado.

6. Se quiere cubrir una superficie triangular de 48 m2. La base del triángulo mide 4 metros menos que la altura. Encuentra las medidas de la base y la altura del triángulo.

7. La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. Encuentra los números.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto.

a) |5 – x| = 31

b) |6x + 3| = –15

c) |x – 8| = 0

d) |4x – 19| = 7

2. Resuelve aplicando =n n .2

a) (x + 3)2 = 100

b) (2x + 7)2 = 25

c) (0.7x + 5 – 8)2 = 46.31

d) (x + 9)2 = –36

3. Resuelve las ecuaciones cuadráticas escribiendo el miembro izquierdo como un trinomio cua-drado perfecto.

a) x2 – 4x + 4 = 25

b) x2 – 18x + 81 = 2 001

c) x2 + 14x + 49 = 49

d) x2 – 1.4x + 0.49 = 0.35

Autoevaluación 1


Etapa 1

42

e) x x

x x

2

2

23

19

49

54

2564

12164

+ + =

− + = f)

x x

x x

2

2

23

19

49

54

2564

12164

+ + =

− + =

4. Agrega una constante para completar el trinomio cuadrado perfecto.

a) x2 + 24x +...

b) x2 + 0.04x +…

c) x2 – 3x +...

d) x2 – x +...

e) x2 + 1 000x +...

5. Resuelve las ecuaciones completando el trinomio cuadrado perfecto.

a) x2 + 6x + 4 = 0

b) x2 – 16x – 17 = 0

c) x2 – 6x – 21.9 = 0

d) x2 – 6x + 13 = 29

e) x2 + 8x + 7 = 27

f) x2 + 0.65 = 1.8x

g) x2 + 1.68 = –2.6x

6. Resuelve las ecuaciones empleando la fórmula general.

a) 3x2 + 14x + 15 = 0

b) –8x2 + 5x + 21 = 0

c) 6x2 – 17x – 3 = 0

d) 7x2 + 10x + 3 = 0

7. Resuelve las ecuaciones por factorización.

a) x2 + x – 2 = 0

b) x2 – x – 6 = 0

c) 2x2 – x – 6 = 0

d) 2x2 + 15x + 7 = 0



43

8. Resuelve los siguientes problemas de aplicación.

a) La suma de dos números es 35. Si a un número le llamamos x, el otro número puede ex-

presarse como . Su producto se escribirá como

.

Si el producto de esos dos números es 264, escribimos la ecuación: .

Resolviendo la ecuación, encontramos que los números son: y .

b) La suma de dos números naturales es 40. La suma de sus cuadrados es 850. Encuentra los números.

c) Se desea cercar un terreno rectangular con 300 m de alambre. Un río corre a lo largo de uno de sus lados y, por tanto, no necesita cercar dicho lado. Halla las dimensiones del terreno si éste no es un cuadrado y su área es de 10 000 m2.


Etapa 1

44

a) x = –26, 36 a) S = {–0.76, –5.24}

b) [ b) S = {17, –1}

c) x = 8 c) S = {8.56, –2.56}

d) S = {3, 6.5} d) S = {8, –2}

a) S = {7, –13} e) S = {2, –10}

b) S = {–1, –6} f) S = {1.3, –0.5}

c) S = {1.44, –18.01} g) S = {–1.2, –1.4}

d) S = [ a)

S

S

S

= −

= −

= −

13

1

234

123

3

,

,

,

SS

S

S

= −

= − −

= −

316

37

1

32

2

,

,

,

= − −

S 712

,

a) S = {7, –3} b) S = {–1.34, 1.96}

b) S = {53.73, –35.73} c)

S

S

S

= −

= −

= −

13

1

234

123

3

,

,

,

SS

S

S

= −

= − −

= −

316

37

1

32

2

,

,

,

= − −

S 712

,

c) S = {0, –14} d)

S

S

S

= −

= −

= −

13

1

234

123

3

,

,

,

SS

S

S

= −

= − −

= −

316

37

1

32

2

,

,

,

= − −

S 712

,

d) S = {1.29, 0.11} a) S = {1, –2}

e) S

S

S

= −

= −

= −

13

1

234

123

3

,

,

,

SS

S

S

= −

= − −

= −

316

37

1

32

2

,

,

,

= − −

S 712

,

b) S = {3, –2}

f)

S

S

S

= −

= −

= −

13

1

234

123

3

,

,

,

SS

S

S

= −

= − −

= −

316

37

1

32

2

,

,

,

= − −

S 712

,

c)

S

S

S

= −

= −

= −

13

1

234

123

3

,

,

,

SS

S

S

= −

= − −

= −

316

37

1

32

2

,

,

,

= − −

S 712

,

a) 144 d)

S

S

S

= −

= −

= −

13

1

234

123

3

,

,

,

SS

S

S

= −

= − −

= −

316

37

1

32

2

,

,

,

= − −

S 712

,

b) 0.0004 a) 11 y 24.

c) 94

b) 15 y 25.

d) 154

c) 50 m 3 200 m.

e) 2.5 3 105

7.

6.

5.1.

2.

4.

3.

8.

Solución a la autoevaluación 1


¿Qué es la geometría?La Geometría griega parte de los conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y mesopotámicas, pero avanza en dirección a la abstracción al considerar los obje-tos como entes ideales: un cuadrado cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar de la entrada de un pozo, etc. Esto tiene la ventaja de que los objetos así representados pueden ser manipulados mentalmente, y al ser abstractos pueden gene-ralizarse. Aquí aparece por primera vez la demostración como justificación de la veracidad de un conocimiento, aunque en un primer momento se trataba más de justificaciones in-tuitivas que de verdaderas demostraciones formales.

Pitágoras —y la secta por él creada (los pitagóricos)— tiene un papel central en el desarro-llo de la geometría, pues asienta definitivamente el concepto de demostración formal como única vía de establecimiento de la verdad. Sin embargo, al querer demostrar cada afirma-ción geométrica, se cae en la trampa de entrar en un proceso sin fin.

Se resuelve este dilema con las aportaciones de Euclides, quien propone un sistema de estudio en el que se da por sentado la veracidad de ciertas proposiciones por ser intui-tivamente claras: llamadas axiomas o postulados, y a partir de ellas se deducen todos los demás resultados. Su obra, “Los Elementos””, es un modelo de sistema axiomático-deductivo: sobre tan sólo cinco postulados y las definiciones que precisa construye toda la geometría y la aritmética conocidas hasta el momento1. Cualquier estudio básico de geometría, toma el modelo euclidiano. En nuestro caso, sin pretender agotar el tema, seguimos la metodología en cuestión, que sería:

1. Reconocer que en nuestro mundo existen formas que pueden ser identificadas, cla-sificadas y estudiadas.

2. Partir de algunos términos indefinidos —el menor número posible—, que se puedan entender de manera más o menos intuitiva— pero de los que no se dará una defini-ción formal; en todo caso, ejemplos para una comprensión más o menos uniforme (es el caso de punto, recta, plano).

3. Definiciones. (ángulo, triángulo, etc.)

4. Axiomas o postulados. Principios que se aceptan como ciertos o evidentes.

5. Teoremas y corolarios. Proposiciones que se aceptarán como verdaderas sólo des-pués de su demostración.

6. Razonamiento inductivo. Una especie de generalización a partir de la observación de hechos particulares

7. Razonamiento deductivo. El proceso que garantiza la veracidad de las conclusiones a partir de unas premisas y mediante la lógica pura.

8. Problemas. Con la aplicación de todo el sistema planteado, estar en posibilidad de resolver situaciones tanto del ámbito escolar como del mundo real.

1 Su obra, en 13 volúmenes, perdura como única verdad geométrica hasta entrado el siglo XIX. A partir del quinto postulado se desarrollan otras geometrías, llamadas no euclidianas.

45


Geometría plana

Etapa 2

46

El siguiente esquema muestra en qué consiste el método axiomático, que se usa en el estudio de la Geometría.

Razonamiento Inductivo-deductivo

Teoremas y corolarios

PostuladosDefiniciones

Términos indefinidos

Formas delmundo real

Problemas


47

¿Un balón de futbol te es común? ¿Tiene forma esférica perfecta? Si lo observas, verás que está formado por pentágonos y hexágonos unidos. (cuántos habrá de cada tipo?. Su forma esférica, cuando lo desin-flas un poco, es en realidad un poliedro: un icosaedro truncado. Según información de la página http://www.diadelasimetria.com/ml/page3.html tenemos que: ¿Por qué se utiliza este poliedro para construir los balones? ¿Es el que más se aproxima a una esfera? Su

volumen es sólo el 86,74 % de la esfera correspondiente, que no es una mala aproximación. Al curvar sus caras cuando se infla este porcentaje aumenta ligeramente y sobrepasa el 95 %. Para abundar en el tema puedes consultar la siguiente dirección: http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/

La Geometría tiene que ver con temas, objetos, ideas, presentes en la vida y la mente del hombre desde la más remota antigüedad. ¿Te imaginas cómo le hicieron las culturas egipcia o maya para lograr que los ángulos de la base de las pirámides quedaran tan exactos? ¿Y cómo le harían para que al repartir un terreno entre varios hermanos cada uno tuviera la misma cantidad de tierra para sembrar?

De ahí precisamente proviene la palabra geometría, de las raíces griegas “geo” y “metron”, que significan tierra y medida, respectivamente. Así que si se traduce literalmente, resulta ser que Geometría significa “medición de la tierra”. Sabemos que esa sería una definición demasiado estrecha de esta ciencia de tan gran utilidad.1

1 La geometría plana que solemos estudiar es conocida también como Geometría euclideana. Es interesante conocer entonces quién es Euclides. Puedes entrar a la página: http://es.geocities.com/eucliteam/estudios_de_geometria.html#Geometría

Etapa

2Geometría plana

“El icosaedro truncado deriva del icosaedro, uno de los cinco sólidos platónicos, el cual está formado por 20 caras en forma de triángulo equilátero. Cortando cada vértice como se muestra en la figura, se forman las 12 caras pentagonales y 20 hexagonales del icosaedro truncado”.


Etapa 2

48

La Geometría es una ciencia muy práctica. Los ingenieros y arquitectos deben dominar la geometría, así como los físicos y otros científicos deben dominarla. Pero la geometría también facilita enormemente el trabajo al dibujante, al carpintero, al fabricante de herramientas y al artesano en general.

Puede ser que no vayas a realizar ninguna labor que necesite directamente de la geometría. Sin embar-go, ésta también te ayudará a pensar y a expresarte ante los especialistas en Matemáticas a quienes en algún momento plantearás algún problema que te interese resolver.

Si esto no basta para motivarte totalmente por esta rama de las Matemáticas, piensa que la geometría es hermosa2, y en su belleza ayuda a comprender mejor la naturaleza del mundo que nos rodea; en efecto, si observas la realidad descubrirás un mundo pletórico de imágenes geométricas provenientes de la misma naturaleza como del trabajo del hombre; así que puedes darte cuenta de lo útil que puede ser el estudio de la Geometría para comprender el mundo en que vivimos. Por otro lado la geometría ayuda a desarrollar las habilidades del razonamiento lógico por lo que vale la pena disfrutar su conocimiento.

2.1 Conceptos elementales de geometría

2 Te recomendamos la siguiente dirección, para que leas la Declaración Pública de Amor que su autor hace hacia esta ciencia. http://www.nacho.unicauca.edu.co/Matemas/0104DecAmo/DecAmo.htm

Si preguntas a alguien qué cosa es un cuerpo, seguramente recibirás respuestas como: un objeto, algo que se puede ver y tocar, por ejemplo un jarrón, una pelota, etc. Como puedes observar, se relaciona a la palabra cuerpo con objetos materiales. Ahora bien, un cuerpo físico es toda porción del espacio que está ocupada por materia.

Sin embargo, existe otro tipo de cuerpos que constituyen el objeto de estudio de la geometría plana, los cuerpos geométricos, que no son objetos materiales en general. Es decir, un cuerpo geométrico es toda porción limitada del espacio (aunque no esté ocupada por materia).

La geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades de los cuerpos geomé-tricos en general. Dichas propiedades pueden ser referidas tanto a las medidas de los cuerpos (longitud, área, volumen, etc.) como a las relaciones entre sus diferentes partes.

Definición

Los cuerpos geométricos elementales son el punto, la recta y el plano. Resulta imposible obtener una definición rigurosa de dichos conceptos, pues cualquier intento de definición de uno de ellos incluye

• Comprender los conceptos intuitivos de punto, recta, plano y conocer los axiomas bá-sicos de la Geometría euclidiana.

Objetivo


Geometría plana

49

siempre a alguno de los otros, sin poderse establecer un orden jerárquico entre ellas. Así, podemos en-contrar “definiciones” como las siguientes:

• Un punto es la intersección de dos rectas no paralelas.

• Una recta es la intersección de dos planos no paralelos.

• Un plano es el conjunto de todos los puntos determinados por tres puntos no colineales prefijados.

Por lo tanto, punto, recta y plano son conceptos que no van a definirse; sin embargo, cualquier persona es capaz de imaginar más o menos intuitivamente qué es un punto, una recta o un plano, viéndolos por ejemplo como la esquina de una mesa, el borde de la mesa, o la superficie de la mesa. Luego, para desarrollar el concepto geométrico sólo resta tener en cuenta las siguientes consideraciones, que son de gran importancia en el trabajo geométrico y se obvian a menudo:

• El punto no tiene longitud. Por lo general, se menciona con letras mayúsculas, por ejemplo: el punto A, el punto B, etcétera, y se representan gráficamente como “ • ”.

• La recta contiene una cantidad infinita de puntos; no tiene principio ni fin. Su longitud es infinita y no tiene área.

• Una recta se representa mediante una línea, en la que pueden marcarse uno, dos o más de sus puntos, como lo muestra la siguiente figura:

r A B

Se denota con una letra minúscula escrita a un lado; la recta anterior se llamaría “la recta r”. Tam-bién se puede hacer referencia a ella mencionando dos de sus puntos de la siguiente forma: AB, lo cual se lee: la recta AB.

• El plano contiene una cantidad infinita de puntos y rectas, no tiene bordes, su área es infinita y no tiene volumen.

Un plano se representa con una figura que asemeje a una superficie y se hace referencia a él men-cionando tres de sus puntos no alineados como en la siguiente figura:

A

Plano ABCD:

B

C

D

En el trabajo geométrico se dibuja la recta y el plano como objetos finitos por razones de espacio, pero nunca se deben olvidar las consideraciones anteriores mencionadas.


Etapa 2

50

Otros conceptos elementales de la geometríaAdemás de los conceptos básicos de punto, recta y plano, tenemos otros, que definiremos a continuación:

• Si en una recta se fija un punto O, entonces el conjunto formado por todos los puntos de la recta que se encuentran a un mismo lado del punto O, incluyendo el punto O, se llama semirrecta o rayo, y el punto O se llama origen de la semirrecta.

En el ejemplo siguiente se puede hablar del rayo AB, se escribe AB, el cual incluye todos los puntos a la derecha de A, incluyendo al punto A; o del rayo BA, se escribe BA, que incluye todos los puntos a la izquierda de B, incluyendo a B.

A B

Notarás que también se puede hablar de los puntos que están entre A y B; en este caso se habla sólo de una parte de la recta, mismo que se denomina segmento de recta, en este caso se repre-senta como: AB.

• Si en un plano se fija una recta r, entonces el conjunto formado por todos los puntos del plano que se encuentran a un mismo lado de la recta, incluyendo la recta r, se llama semiplano.

• Una superficie es el conjunto de todos los puntos que limitan un cuerpo plano geométrico. Todo cuerpo geométrico plano es una superficie (conocida también como figura plana).

• Se dice que tres puntos son colineales si se encuentran todos sobre la misma recta, y coplanares si están en el mismo plano.

• Dos rectas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y no tienen ningún punto en común.

• Dos planos son paralelos si no tienen ningún punto en común.

Conociendo estos conceptos primarios, la Geometría se desarrolla a partir de una serie de axiomas o pos-tulados, los cuales son proposiciones que se consideran válidas gracias a la observación y la experiencia, y que no pueden ser demostradas con rigor matemático partiendo de conocimientos previos.

Axiomas de la geometría euclidianaAlgunos Axiomas de la geometría euclidiana son los siguientes:

• Por un punto pasan infinitas rectas.

• Dos rectas se cortan a lo sumo en un punto.

• Dos puntos distintos determinan una recta.

• Tres puntos no colineales determinan un plano.

Y el siguiente:

• Por un punto exterior a una recta dada se puede trazar una única recta que sea paralela a la anterior.


Geometría plana

51

Este último axioma se conoce con el nombre de postulado de las paralelas3 y fue objeto de discusión en la Geometría durante muchos años. Se trataba de determinar si constituía un axioma o no, es decir, si podía ser demostrado con la ayuda de los axiomas ya conocidos. Luego de mucho tiempo de estudio se logró determinar que efectivamente el axioma de las paralelas sí podía ser considerado como tal, demos-trándose además que su sustitución por otro podía conducir al desarrollo de otras geometrías llamadas no euclidianas, como son los casos de la Geometría elíptica y la Geometría hiperbólica, donde en el lugar del postulado de las paralelas se considera que:

• Por un punto exterior a una recta dada no se puede trazar ninguna recta que sea paralela a la an-terior.

• Por un punto exterior a una recta dada se pueden trazar infinitas rectas que sean paralelas a la anterior.

2.2 Ángulos y su clasificación Ángulos

3 http://www.ivic.ve/estudio_de_la_ciencia/Geometrias.pdf

En la figura precedente las semirrectas son: AB y AC con origen común en A.

Si dos semirrectas o rayos tienen el mismo origen, entonces el conjunto unión de ambas es lo que se llama Ángulo. Las dos semirrectas se llamarán lados del ángulo y el origen común de las semirrectas se llamará vértice del mismo.

Definición

A

B

C

Figura 2.1

• Aplicar el concepto de ángulo (y su notación) y de grados y radianes como unidades de medición de ángulos.

• Transformar medidas de ángulos en grados a radianes y viceversa, y aplicarlo a la solución de problemas prácticos de medición de ángulos.

Objetivos


Etapa 2

52

Para designar el ángulo que forman AB y se usa una de las dos notaciones siguientes: ∠BAC o ∠CAB situando la letra del vértice en el medio.

A veces, con la finalidad de abreviar, se designa el ángulo con la letra del vértice; en el caso de nuestra figura, sería ∠A. Desde luego, esto último se hace si no hay más de un ángulo con el mismo vértice.

Si revisas otros libros encontrarás otras definiciones de ángulo que se refieren en general a regiones planas determinadas por dos semirrectas de origen común o por dos rectas que se cortan en un punto. Sin embargo, en casi todas ellas surge alguna ambigüedad al tratar de determinar la región en cuestión.

Esto conduce a otra forma de denotar los ángulos, haciéndolo a través de letras del alfabeto griego que marcan en la gráfica la región determinada por el ángulo, como se observa en la figura 2.1, así se denota ∠BAC = ∠a.

Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que tiene su origen en el vértice del mismo y lo divide en dos ángulos de igual medida.

Definición

En la figura 2.2, el ángulo BAC se ha dividido en dos ángulos de igual medida por la semirrecta AD.

Figura 2.2

A

Bisectriz

B

D

C

En su obra “La isla misteriosa” Julio Verne describe cómo el ingeniero Ciro Smith calcula aproximadamente la latitud y longitud geográficas de la isla Lincoln con herramientas muy rústicas, pero con la ayuda indiscuti-ble del cálculo geométrico. Para determinar la latitud mide un ángulo determinado y expresa el resultado en grados. Para ello construye un instrumento utilizando un círculo, cuya circunferencia divide en 360 partes iguales. Así logra expresar la medida del ángulo buscado en grados sexagesimales.

Existen diferentes sistemas de medición de ángulos. Los más utilizados y conocidos son el sistema sexa-gesimal y el circular, los cuales se describen a continuación.


Geometría plana

53

Sistema sexagesimalConsideremos una circunferencia con centro en O y de radio arbitrario. Supongámosla dividida en 360 partes (es decir arcos) iguales entre sí, mediante puntos situados sobre la circunferencia.

Sean A y B dos puntos de división consecutivos. Si los unimos con el centro O se formará el ángulo ∠ AOB, que mide, por definición, un grado sexagesimal, y se denota 1° (se lee: “un grado”).

Figura 2.3

Figura 2.4

AB

O

Consecuencia inmediata de lo anterior es que en una circunferencia completa hay 360 grados, lo cual se escribe: 360º.

El nombre sexagesimal se debe a que cada grado se divide en 60 partes iguales que se llaman minutos, por tanto un minuto es 1/60 de grado, es decir, la sexagésima parte de un grado. Un minuto se designa así: 1′.

A su vez el minuto se divide en 60 partes que se llaman segundos. Un segundo se denota así: 1”.

De modo que si escribimos que un ángulo mide: 20º 15′ 34”, leemos: veinte grados, quince minutos, treinta y cuatro segundos.

Una herramienta muy útil para estudiantes, obreros, técnicos y profesionistas es el transportador, éste permite medir o dibujar ángulos en grados sexagesimales.

9090

80100

70110

60120 50130 40140 30150

20160

10170

0180180 0

170

1016

020

150

3014

040

130

50

120

60

110

70

10080


Etapa 2

54

Sistema circularOtro sistema para medir ángulos que además de emplearse en Geometría también se usa en Trigonometría, Física, y otras áreas. Este sistema emplea la unidad llamada radián, que se define del modo siguiente.

Sean una circunferencia de radio r y centro en O, y dos puntos situados sobre ella: A y B, tales que uno de los arcos que tienen sus extremos en A y en B tengan una longitud igual al radio. Entonces la medida del ángulo ∠ AOB es un radián.

Definición

r r

r

B

O

El hecho de que el arco AB tenga longitud igual al radio lo indicamos así AB = r Entonces ∠ AOB = 1 radián.

Cómo escribir la medida de un ángulo dado en el sistema sexagesimal, en radianes, o viceversaLa longitud de la circunferencia de radio “r ”, es 2p r, donde p es la letra griega Pi que se usa para desig-nar una constante4 cuyo valor aproximado es de 3.1416.

Si dividimos 2p r por r nos dará el número de radianes que hay en un ángulo de una vuelta completa. Es decir que 2p radianes equivalen a 360º, es decir:

2p radianes = 360º;

360° 1 radián = –––– 2p

180° 1 radián = –––– p

4 Para conocer algo de historia del número Pi, consultar http://ciencianet.com/pi.html

Figura 2.5


Geometría plana

55

Imagina la siguiente situación:

Un ingeniero eléctrico ha diseñado una pieza metálica para un equipo de transporte eléctrico. El siguien-te dibujo muestra el diseño de la vista frontal de la pieza realizado por el ingeniero.

22.5 cm

= ?

15 cm

15 cm

Figura 2.6

El operario que debe elaborar la pieza dispone para ello de una pieza metálica redonda de 30 cm de diámetro, de manera que sólo necesita conocer la medida del ángulo “a” formado por los bordes rectos de la pieza. Pero, al observar el dibujo descubre que el ingeniero ha olvidado señalar ese dato y ya no tiene modo de localizarlo para obtener la información.

Observa detenidamente el dibujo y nota que el ángulo a corresponde a un arco de longitud L = 22.5 cm en una circunferencia de radio r = 15 cm.

El operario recuerda que un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de una circunfe-rencia de radio r, correspondiente a un arco de longitud igual al radio, es decir, la longitud r. Así obtiene L 22.5rápidamente que, a = — radianes, es decir, a = –––– = 1.5 radianes. r 15

Pero volvamos a nuestro problema: las dificultades del operario no han terminado, pues ahora descubre con sorpresa que sólo dispone de un transportador para dibujar el ángulo sobre la pieza redonda, por lo que necesita conocer la medida del ángulo “a” en grados sexagesimales. De nuevo, sus conocimientos de Matemáticas lo ayudan a solucionar el problema, y piensa así:

Podemos reescribir esta fórmula para utilizarla en posteriores casos: Si S es el arco de una circunferencia de radio r descrito por un ángulo θ, la relación entre estos tres elementos está dada por:

Sθ = — r


Etapa 2

56

Si conozco que 180º equivalen a p radianes, entonces, llamándole “x ” a la medida del ángulo “a” en grados sexagesimales, puedo plantear: 1.5 radianes es a p radianes como “x ” grados es a 180º.

1.5 x Luego, tengo que –––– = ––––, es decir, p 180

1.5 270 x = (180) –––– = –––– = 85.9, p p

entonces el ángulo “a” mide 85.9º.

De esa manera pudo el operario elaborar la pieza.

Este es un ejemplo que nos muestra la necesidad de saber convertir de un sistema de medición de án-gulos a otro. Además, nos indica el camino a seguir para hacerlo, a través de la relación:

grados radianes–––––– = ––––––––

180 p

Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo

Transformar 75º a radianes.

Procedimiento 75 xAplicando la relación presentada donde “x ” es el valor buscado, se tiene que, –––– = –––, es decir, 180 p 75p 5px = –––– = –––, de manera que, 180 12

5p Solución: 75º = ––– radianes. 12

Es muy frecuente dar la medida de un ángulo en radianes en función de p. Pero podemos sustituir esta constante por su valor aproximado: 3.1416. En este caso obtendríamos que 75º es aproximadamente igual a 1.309 radianes.

Ejemplo p Convertir al sistema sexagesimal — radianes. 4


Geometría plana

57

Procedimiento x 4En este caso se tiene: –––– = — , 180° p

x p –––– = ––– 180° 4p

x 1 –––– = — 180° 4

180° x = –––– 4

x = 45º

p Solución: — radianes equivale a 45º. 4

1. Convierte en radianes las siguientes medidas dadas en grados.

a) 15º i) 135º p) 270º

b) 25º j) 150º q) 280º

c) 30º k) 180º r) 300º

d) 40º l) 200º s) 315º

e) 100º m) 220º t) 320º

f) 45º n) 225º u) 340º

g) 90º o) 240º v) 350º

h) 120º

2. Convierte los siguientes ángulos de radianes a grados sexagesimales.

p 11p 2p a) ––– = f) –––– = k) ––– = 12 18 9

3p 7p 4p b) ––– = g) ––– = l) ––– = 12 9 9

p 5p 5p c) — = h) ––– = m) ––– = 2 9 9

p 8p p d) — = j) ––– = n) — = 3 3 9

p 10p 5p e) — = k) –––– = o) ––– = 4 9 9

Ejercicios


Etapa 2

58

3. En cada una de las siguientes figuras, donde “S ” representa la longitud del arco, encuentra la medida del ángulo x en radianes y grados sexagesimales.

a) B

S

Ar

r = 20 cm

S = 20 cm

∠ x = _________

b) B

S

A

xr = 35.81 cm

S = 50 cm

∠ x = _________

c) B S

A

x

r

r = 20 cm

S = 30 cm

∠ x = _________

d) B

S

A

x

r

r = 25 cm

S = 60 cm

∠ x = _________


Geometría plana

59

Clasificacióndeángulos

e)B S

A

x

r

r = 15 cm

S = 40 cm

∠ x = _________

f)

B

S

A

xr

r = 30 cm

S = 120 cm

∠ x = _________

g)

B

S

A

r

r = 15 cm

S = 75 cm

∠ x = _________

Los ángulos son magnitudes que pueden ser sumadas y restadas tanto analítica como geométricamente.

Sumar ángulos geométricamente implica determinar la apertura del ángulo que se forma al colocar (di-bujar) un ángulo a continuación del otro, de modo que coincidan sus vértices y una de las semirrectas que los generan. Así, en la figura que se presenta a continuación se tiene: ∠ BAD + ∠ DAC = ∠ BAC.

• Clasificar los ángulos de acuerdo a su medida.

Objetivo


Etapa 2

60

Sumar analíticamente implica determinar la medida del ángulo que se obtuvo al sumar geométricamen-te. Por ejemplo, si ∠ BAD = 15º y ∠ DAC = 20º, entonces se tiene que ∠ BAD + ∠ DAC = 35º.

Para ello se debe tener en cuenta que deben de coincidir los sistemas de medición para los ángulos que van a ser sumados. En caso contrario se debe unificar el sistema de medición de acuerdo a la conve-niencia según la tarea propuesta.

Ejemplo

Determina la suma de los ángulos ∠ PQR y ∠ RQS, y dibuja el ángulo resultante, si se conoce que p ∠ PQR= — y ∠ RQS = 45º. 6

Procedimiento

Para resolver este ejercicio resulta necesario unificar el sistema de medición de ángulos. Teniendo en cuenta que se debe dibujar el ángulo resultante, es conveniente realizar la transformación de la medida del ángulo ∠ PQR a grados sexagesimales para poder utilizar el transportador al dibujar.

pEn el ejemplo 2 del epígrafe anterior ya hemos realizado la transformación. Así sabemos que, — 6radianes = 30º. Entonces se tiene: ∠ PQS = ∠ PQR + ∠RQS = 30º + 45º = 75º.

Solución

Clasificación según su medida:

Figura 2.7

Figura 2.8

A

B

D

C

Q

P

R

S

45°

30°


Geometría plana

61

Los ángulos se pueden clasificar de acuerdo a su medida en ángulos rectos, llanos, agudos u obtusos.

• Un ángulo recto es aquel que mide 90°.

• Un ángulo llano es aquel que mide 180°.

• Un ángulo agudo es aquel que mide menos de 90°.

• Un ángulo obtuso es aquel que mide más de 90°.

Actividad

Actividad

Realiza un dibujo para cada uno de los casos de la clasificación anterior, esto es, traza:

a) Un ángulo recto. b) Un ángulo llano.

c) Un ángulo agudo. d) Un ángulo obtuso.

Realiza un dibujo para cada uno de los casos de la clasificación anterior, esto es, traza:

a) Un par de ángulos complementarios.

b) Un par de ángulos suplementarios.

c) Un par de ángulos conjugados.

Según el valor de su suma:

De acuerdo a este criterio, las parejas de ángulos se pueden clasificar en complementarios, suplemen-tarios y conjugados.

• Dos ángulos son complementarios si la suma de ambos mide 90°.

• Dos ángulos son suplementarios si la suma de ambos mide 180°.

• Dos ángulos son conjugados si la suma de ambos mide 360°.

De gran utilidad resulta en la práctica de la Geometría la siguiente:

Clasificación según su posiciónSi dos rectas en un plano se cortan en un punto, ellas determinan cuatro ángulos (ver figura 2.9), que se clasifican dos a dos de acuerdo a su posición relativa, como adyacentes (los consecutivos) y opuestos por el vértice (los alternos).

Así por ejemplo, en la figura 2.9, son adyacentes5 los ángulos ∠ AOB y ∠ BOC, y son opuestos por el vértice los ángulos ∠ AOB y ∠ COD.

5 Algunos autores toman como ángulos adyacentes aquellos que son simplemente consecutivos, sin embargo, en este texto opta-mos por la definición dada previamente, es decir, aquella que considera adyacentes aquellos consecutivos cuya suma es 180º.


Etapa 2

62

Como se observa, los ángulos adyacentes ∠ AOB y ∠ BOC son simultáneamente suplementarios.

Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Se llaman ángulos adyacentes aquellos dos ángulos que tienen un lado común y los otros dos son semirrectas opuestas.

Definición

Figura 2.9

Figura 2.10

C

B

D

O

A

C

B

D

O

E

A

Si se introduce el segmento OE, como se ve en la figura 1.10, los ángulos ∠ AOD y ∠ EOC no son opues-tos por el vértice, pues los puntos D, O y E no se encuentran situados sobre la misma recta. Es decir, el lado OE del ángulo ∠ EOC no es prolongación del lado OD del ángulo ∠ AOD.

Pide a varios compañeros que tracen un par de rectas que se intersecten y que midan, con la ayuda de un transportador, el par de ángulos opuestos así formados.


Geometría plana

63

Los ángulos opuestos por vértice tienen igual magnitud.

Teorema

Demostración:

Observemos de nuevo nuestro dibujo.

C

B

D

O

A

Demostraremos que ∠ AOB = ∠ COD.

Ya habíamos señalado que los ángulos adyacentes ∠ AOB y ∠ BOC son simultáneamente suplementa-rios, esto es:

∠ AOB + ∠ BOC = 180º y ∠ BOC + ∠ COD = 180º,

de donde se tiene que,

∠ AOB = 180º – ∠ BOC y ∠ COD = 180º – ∠ BOC,

igualando ambas ecuaciones se obtiene, ∠ AOB = ∠ COD, que es lo que queríamos demostrar.

El siguiente ejemplo es un caso donde se aplica este resultado:

Notarás que todos obtienen la misma respuesta: los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Y efec-tivamente, eso es cierto. Demostrémoslo.


Etapa 2

64

Ejemplo

En la figura que aparece a continuación se conoce que los puntos A, O y C son colineales, al igual que los puntos B, O y E. Además se sabe que el ángulo ∠ AOD es recto. Determine el valor del ángulo ∠ BOC, si se conoce que la semirrecta de origen en O y que contiene al punto E es bisectriz del ángulo ∠ AOD.

Figura 2.11

D

C

A

E

O

B

Procedimiento

Para resolver este ejercicio notemos primero que,

∠ AOE = ∠ EOD,

porque la semirrecta de origen en O que contiene al punto E, es bisectriz del ángulo ∠ AOD.

Por otra parte conocemos que, ∠AOD = 90º, por ser recto.

Luego, como ya señalamos, la semirrecta OE es bisectriz del ángulo ∠ AOD, así que tenemos:

∠ EOD = ∠AOE = 45º.

Pero los ángulos ∠ AOE y ∠ BOC son opuestos por el vértice, por lo que tienen igual magnitud. De ese modo se tiene que:

Solución: ∠ BOC = ∠AOE = 45º.


Geometría plana

65

Ejemplo

Determina el valor del ángulo ∠a en la figura 2.12, si se sabe que ∠a = 6(x + 4)º y ∠β = 4(x + 12º para un valor de x en grados sexagesimales.

Figura 2.12

Figura 2.13

O

C

D

B

A

O

C

D

B

3x + 2

x + 1

A

Procedimiento

Observa que los ángulos a y β son iguales: ∠a = ∠β, por ser opuestos por el vértice. Entonces tenemos que 6(x + 4)º = 4(x + 12)º, por lo que:

6x + 24º = 4x + 48º

6x - 4x = 48º - 24º

2x = 24º

x = 12º.

Pero ∠a = 6 (x + 4º), por lo que, ∠a = 6(12º + 4º) = 6(16º) = 96º.

Solución: El ángulo ∠a mide 96º.

Ejemplo

Determina el valor de x que aparece en la siguiente figura. Procedimiento


Etapa 2

66

Como las expresiones dadas: (3x + 2) y (x + 1) no están escritas en grados, los ángulos que la variable representa están medidos en radianes.

Los ángulos ∠AOD y ∠ DOC son suplementarios, por lo tanto, su suma es un ángulo llano, cuya medida en radianes es p, es decir;

∠ AOD + ∠DOC = p.

Sustituyendo en esta ecuación las expresiones en la variable x que indica la figura se obtiene la ecuación:

(x + 1) + (3x + 2) = p, de donde obtenemos: p- 3 Solución: x = –––––.

4

Actividad

Realiza el ejemplo anterior (ejemplo 4), considerando que las expresiones son (3x + 2)º y (x + 1)º, esto es, representan grados sexagesimales.

1. Determina el complemento, el suplemento y el conjugado de cada uno de los siguientes ángulos.

Ángulo Complemento Suplemento Conjugado

30º

45º

60º

63º48’

24º36’

17º12’

55º24’

Ejercicios


Geometría plana

67

33º45’30”

81º12’48”

15º18’6”

2. Encuentra lo que se te pide en cada uno de los siguientes casos; los ángulos estarán ex-presados en grados a menos de que explícitamente se señale lo contrario:

a) Un ángulo y su suplemento, están a la razón de 5:4, encuentra la medida de dichos ángulos.

b) Un ángulo y su conjugado están a la razón de 2:1, encuentra la medida del ángulo mayor.

c) Un ángulo y su complemento están a la razón de 3:2, encuentra la medida del ángulo menor.

1d) Un ángulo es igual a — de su complemento, determina la medida de los ángulos. 3

e) Sean A y B dos ángulos complementarios, donde A = 4(x + 3)º y B = 7(x - 3)º. Encuentra la medida del ángulo B.

f) En la siguiente figura, sea el ángulo ∠ AOC recto. ¿Cuánto mide ∠ AOB ?

B

AO

C

x + 65

x

g) En la siguiente figura sea el ángulo ∠ AOC recto. Determina la medida del ángulo ∠ COB.

B

AO

C

2x

x


Etapa 2

68

h) Calcula el valor del ángulo ∠ BOC de la siguiente figura, si el ángulo ∠ AOC es recto.

B

AO

C

53° 48�

i) En la siguiente figura sea el ángulo ∠ AOC, un ángulo recto. Encontrar la medida de los án-gulos ∠ AOB y ∠ BOC.

B

AO

C

2x5

2x3

2 7j) Sean los ángulos ∠A = — x y ∠B = — x complementarios. Encuentra la medida de ellos. 5 4

k) Sean los ángulos ∠A = 8(2x - 3) y ∠B = 10(x + 3.5) suplementarios. Hallar la medida de ellos.

xl) Sean los ángulos ∠A = — y ∠B = (x - 30) suplementarios, determina la medida del ∠ A. 2

m) Sean A y B dos ángulos conjugados, donde A = 8x y B = (2x + 40), hallar la medida de dichos ángulos.

n) Sean los ángulos ∠M = 2 (4x - 10) y el ∠N = 10(x + 2) conjugados, encuentra la medida de ambos.

ñ) Sean los ángulos ∠B = 4 (2x + 15) y ∠C = 2x conjugados, encuentra la medida del ángulo B.

o) Encuentra la medida del ∠b de la siguiente figura.


Geometría plana

69

b = 2(x + 27)°

a = 5(3x – 14)°

p) Sea el ángulo A = 8(x + 3) y el ángulo B = 4(12 + x). Encuentra el valor de x si,

• A y B son complementarios.

• A y B son suplementarios.

• A y B son conjugados.

q) Sean el ángulo ∠ A = 8(x + p) y el ángulo ∠ B = p(112 + x ). Encuentra x si A y B son complementarios.

r) En la siguiente figura, encuentra las medidas de los ángulos ∠AOB y ∠BOC.

(3x + 20)°

C

B

O A

x

3. En cada uno de los siguientes casos, encuentra el valor de la variable x.

a)

144°(2x)°

C

B

O A

b)

42°

(3x + 15)°

C

B

O A


Etapa 2

70

c)

A

B

D

O

C

(3x)° (x + 50)°

d)

A

B

D

O

C

(3x + 85)°(7x + 53)°

e)

A

B

D

O

C

3(15 – x)°6(x – 3)°

4. En los siguientes ejercicios encuentra el valor de x y el de y.

a)

A

B

D

O

C (5x – 2y)°

(–2x + 6)°

40°


Geometría plana

71

b)

A

B

D

OC (x – 2y)°(x + y)°

60°120°

c)

A

B

D

O

C

(2x + y)°

(4x + 3y)°

55°

d) En el siguiente problema sea x > 0.

A

B

D

O

C

(5x + 12y)°

(–2x + 6y)°

(2x2)°

e) Sea x > 0.

A

B

D

O

C

(17x + 6y)°

(3x2)°


Etapa 2

72

Paralelismoyperpendicularidad

En la Geometría plana es evidente que dos rectas r y t sólo pueden presentar dos posiciones relativas diferentes, a saber:

• se cortan en un punto, o...

• no se cortan en ningún punto. En ese caso se dice que las rectas son paralelas y se denota r || t. (Ver figura 2.14a).

t

t

r 90°

r

t

a) b)

r tr

Cuando las rectas no son paralelas resulta de especial interés el caso en que ellas se cortan formando un ángulo recto.

• Entonces se dice que las rectas son perpendiculares y se denota r ⊥ t. (Ver figura 2.14b).

Ejemplo

Seguramente alguna vez haz visto una regla T. Pero, ¿sabes cómo se utiliza? ¿Para qué sirve?

Cuando un ingeniero, un arquitecto o un dibujante técnico desean dibujar rectas paralelas o perpendiculares utiliza la regla T. Para dibujar dos rectas paralelas r y t apoya la regla en el borde lateral del tablero de dibujo y traza la recta (r ) (posición 1 de la regla T en la figura). Luego mue-ve la regla manteniéndola apoyada en el borde lateral del tablero hasta el lugar en que desea dibujar la otra recta (t ) paralela a la primera (posición 2 de la regla T en la figura), obteniendo así el resultado esperado.

Figura 2.14

• Comprender las propiedades de las relaciones de perpendicularidad y paralelismo de dos rectas y aplicarlas a las resoluciones de ejercicios.

Objetivo


Geometría plana

73

Actividad

t

r

Tablero de dibujo

r || t

posición2

posición1

Tratemos de traducir al lenguaje de la geometría plana lo sucedido.

La regla T está construida de manera que la “tilde” forma un ángulo recto con la regla, y el tablero también tiene sus lados consecutivos formando ángulos rectos. De esa manera, dibujar una recta r utilizando la regla T significa trazar una recta perpendicular al borde del tablero. Entonces real-mente lo que se realiza es dibujar dos rectas perpendiculares a una misma recta representada en este caso por el borde del tablero.

Esto resulta una demostración no rigurosa, pero no por ello menos acertada de los siguientes e importantes teoremas:

Esta idea del uso de la regla T no representa otra cosa que la traslación de rectas, manteniendo el ángulo con una recta representada por el borde del tablero, y permite también asegurar que:

Si una recta r es perpendicular a dos rectas diferentes s y t, entonces estas últimas son para-lelas entre sí. Es decir, si r ⊥ t y r ⊥ s, entonces s || t.

Teorema

Si una recta r es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces también es perpendi-cular a la otra recta. Es decir, si r ⊥ t y t || s, entonces r ⊥ s.

Teorema

Dado un punto P sobre una recta r, existe una única recta t que corta a la recta r en el punto P y es perpendicular a ella.

Teorema


Etapa 2

74

Demostración:

La existencia de la recta t puede ser demostrada mediante el mismo procedimiento utilizado en los teo-remas anteriores.

Veamos ahora que dicha recta t es la única que cumple con las condiciones impuestas por el teorema. Para ello recurriremos a la técnica clásica de las demostraciones de unicidad.

Supongamos que existe otra recta s que corta a la recta r en el punto P.

Entonces, por el primer teorema de la página anterior, las rectas s y t son paralelas. Pero ya que ambas contienen al punto P, entonces son coincidentes.

Ello demuestra la unicidad de la recta t, y por tanto el teorema.

En la historia de la Geometría siempre se dedicó especial atención a las construcciones geométricas, es decir, a determinar cuáles figuras geométricas podrían ser dibujadas con regla y compás y cómo hacerlo.

Ahora veremos cómo dibujar una recta t que sea perpendicular a una recta r dada, cortándola en un punto P.

Paso 1: Dibuja la recta r y señala en ella el punto P.

Paso 2: Coloca la punta del compás sobre el punto P y fija una abertura cualquiera en el mismo, marcando así los puntos Q1 y Q2.

Paso 3: Apoyando la punta del compás en el punto Q1 y con una abertura ligeramente mayor que

r

P r

P rQ1 Q2

P rQ1 Q2


Geometría plana

75

Paso 5: Traza ahora la recta que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias. Esta recta será perpendicular a r y pasará por el punto P.

P rQ1 Q2

P rQ1 Q2

Del mismo modo y aplicando el axioma de las paralelas, si P es un punto exterior a una recta r dada, existe una única recta t que es paralela a la recta r y contiene a P. Pero, según el teorema anterior, por P se puede trazar una única recta que sea perpendicular a t (y por tanto también a r ). Así se obtiene el siguiente:

Por un punto P exterior a una recta se puede trazar una única recta que sea perpendicular a la recta original.

Teorema

la fijada en el segundo paso, dibuja una circunferencia.Paso 4: Repite el paso 3 apoyando ahora la punta del compás sobre el punto Q2.


Etapa 2

76

Ángulosentrerectascortadasporunatransversal

A continuación vamos a estudiar las relaciones que vinculan a un conjunto de ocho ángulos. Como po-dremos constatar más adelante, estas relaciones tienen un importante papel en muchas aplicaciones, especialmente en la demostración de un teorema mediante el cual sabremos cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Sean r y r 9 las rectas paralelas y t la transversal:

BA

D

t

∠1∠2

∠3

∠5

∠7 ∠8

∠6

∠4

r

rC

Figura 2.15

Se han formado ocho ángulos que hemos designado por los números naturales del 1 al 8, tal como se ve en la figura 2.15. De estos ocho hay cuatro que son internos, así llamados por hallarse ubicados en la franja comprendida entre r y r 9: ellos son el ∠3, ∠4, ∠5 y ∠6. Los otros cuatro son externos, que se hallan en la parte exterior a la citada franja. Es conveniente usar denominaciones especiales para referir-nos a ciertas parejas de ángulos:

Ángulos correspondientes

Se aplica a dos ángulos, uno interno y otro externo, situados del mismo lado de la transversal y con vér-tices en dos paralelas distintas.

En la figura 2.15, son ángulos correspondientes los siguientes:

∠ 1 y ∠ 5, ∠ 2 y ∠ 6, ∠ 3 y ∠ 7, ∠ 4 y ∠ 8.

• Identificar los ángulos entre rectas paralelas cortadas por una transversal y las relaciones entre ellas y ser capaz de utilizar estas últimas en la resolución de ejercicios.

Objetivo


Geometría plana

77

Ángulos alternos internos

Son pares de ángulos, ambos internos, situados en lados distintos (es decir, en semiplanos distintos) respecto a la transversal t.

En la figura 2.15 hay dos pares de ángulos alternos internos que son:

∠ 3 y ∠ 6 ; ∠ 4 y ∠ 5.

Ángulos alternos externos

Son pares de ángulos externos situados en lados distintos respecto a t.

En la figura 2.15, son ángulos alternos externos:

∠ 1 y ∠ 8 ; ∠ 2 y ∠ 7.

Relación entre pares de ángulos correspondientes

Supongamos que efectuamos un movimiento de traslación a la recta r 9 con los requisitos siguientes:

El vértice común a los ángulos ∠5, ∠6, ∠7, y ∠8 se mueve a lo largo de t hasta coincidir con el vértice común a ∠1, ∠2, ∠3 y ∠4 (en este movimiento supongamos que r se mantiene inmóvil). Entonces se comprende que:

El ∠ 5 coincidirá con el ∠ 1.




Es decir, que los pares de ángulos correspondientes son iguales.

El razonamiento anterior no es propiamente una demostración rigurosa de un teorema, pero es una explica-ción que confiamos en que será convincente. Así pues, a partir de ahora, admitiremos pues que:

Habiendo establecido esta relación, ahora es muy sencillo demostrar el siguiente:

Los pares de ángulos correspondientes son iguales.

Teorema

Dos ángulos alternos internos son iguales.

Teorema


Etapa 2

78

Demostración:

En la siguiente figura tenemos que r || r 9 y deseamos demostrar que ∠ 3 = ∠ 6.

BA

D

t

∠1∠2

∠3

∠5

∠7 ∠8

∠6

∠4

r

rC

Figura 2.16

Pasos de la demostración:

∠ 2 = ∠ 6

Por ser correspondientes entre las paralelas r y r 9 cortadas por la transversal t.

∠ 2 = ∠ 3

Por ser opuestos por el vértice. De aquí que:

∠ 3 = ∠ 6 Por el carácter transitivo de la igualdad.

Por supuesto, de manera enteramente análoga se demuestra que ∠ 4 = ∠ 5.

Ángulos conjugados internos (o externos)

Se llaman así a dos ángulos internos (o externos) que estén situados del mismo lado de la transversal.

En la figura 2.16 hay dos pares de tales ángulos: ∠3 y ∠5 ; ∠4 y ∠6.

Dos ángulos conjugados internos (externos) son suplementarios (es decir, suman 180°).

Teorema


Geometría plana

79

Demostración:

Tomemos en cuenta la misma figura utilizada en la demostración del teorema anterior.

Ahora tomemos la pareja de ángulos ∠4 y ∠6.

Paso 1: ∠ 2 + ∠ 4 = 180° por ser suplementarios.

Paso 2: ∠ 2 = ∠ 6 por ser correspondientes entre paralelas.

Paso 3: Sustituyendo ∠ 2 por el ∠6 en la primera igualdad queda:

∠ 6 + ∠ 4 = 180°.

Ejemplo

En la figura adjunta r || r 9 y el ángulo ∠ 5 mide 73°. Hallar la medida de los demás ángulos que aparecen.

Figura 2.17

t

∠1∠2

∠3

∠5

∠7∠8

∠6

∠4r

r�

Procedimiento

En primer lugar, ∠ 8 = ∠ 5 por ser opuestos por el vértice. Luego, ∠ 8 = 73°.

Pero ∠ 6 + ∠ 5 = 180°.

Luego, ∠ 6 = 180° - 73° = 107°.

Como ∠ 3 = ∠ 6 por ser alternos internos; entonces es ∠ 3 = 107° y ∠ 2 = ∠ 3 por ser opuestos por el vértice.

Por tanto: ∠ 2 = 107°.


Etapa 2

80

Solución

Resumiendo, los ángulos ∠2, ∠3, ∠6 y ∠7 miden 107°. Es fácil llegar a la conclusión de que los ángulos ∠5, ∠8, ∠4 y ∠1 miden cada uno 73°.

En efecto, ya teníamos que: ∠ 5 = 73° por datos y ∠ 8 = ∠ 5 = 73° por ser opuestos por el vértice. Pero ∠ 5 = ∠ 1 por ser correspondientes y ∠ 4 = ∠ 1 por ser opuestos.

Ejemplo

En la figura 2.17, del ejemplo anterior se conoce que ∠ 1 = (5x - 1)° y ∠ 6 = (8x + 12)°. Hallar la medida de los ángulos señalados.

Procedimiento

Como ∠ 4 = ∠ 1 = (5x - 1)° por ser ángulos opuestos por el vértice.

Pero ∠ 4 + ∠ 6 = 180°, pues el ∠ 4 y el ∠ 6 son conjugados internos.

Sustituyendo ∠ 4 por (5x - 1)° y ∠ 6 por (8x + 12)° en la igualdad anterior, tenemos:

(5x - 1)° + (8x + 12)° = 180º

13x + 11º = 180º

13x = 169°

x = 13°.

Solución

Por tanto:

∠ 1 = 5(13°) - 1 = 64° y ∠ 6 = 8(13°) + 12 = 116°.

Y, en consecuencia:

∠ 4 = ∠ 5 = ∠ 8 = 64° y ∠ 7 = ∠ 3 = ∠ 2 = 116°.


Geometría plana

81

1. De acuerdo con la siguiente figura señala lo que se te indica:

a) Los ángulos internos:

b) Los ángulos externos:

c) Los pares de ángulos que son correspondientes:

d) Los pares de ángulos que son alternos-internos:

e) Los pares de ángulos que son alternos-externos

f) Los pares de ángulos que son conjugados internos:

g) Los pares de ángulos que son conjugados externos:

2. Escribe en el paréntesis de la izquierda la letra que corresponde a la respuesta correcta.

( ) Si dos ángulos son correspondientes, en-tonces:

( ) Si dos ángulos son conjugados internos, entonces:

( ) Si dos ángulos son alternos internos, en-tonces:

( ) Si dos ángulos son conjugados externos, entonces

( ) Si dos ángulos son alternos externos, en-tonces:

a) Son complementarios.

b) Son congruentes (igual medida).

c) Son suplementarios.

3. En la siguiente figura el ángulo 4 mide 125º. Encuentra la medida de los demás ángulos con-siderando que AB || CD.

Ejercicios

t

A B

C D

∠1∠2

∠3

∠5

∠7 ∠8

∠6

∠4

r

r


Etapa 2

82

∠1 =

∠2 =

∠3 =

∠5 =

∠6 =

∠7 =

∠8 =

4. En la siguiente figura el ángulo 7 mide 30°. Encuentra las medidas de los demás ángulos considerando que AB || CD.

∠1 =

∠2 =

∠3 =

∠5 =

∠6 =

∠7 =

∠8 =

5. En la siguiente figura AB || CD y EH es la bisectriz del ángulo AEF. Determina el valor del ángulo DFE.

t

A B

C D

∠1 ∠2

∠3

∠5

∠7 ∠8

∠6

∠4

t

A B

C D

∠1 ∠2∠3

∠5

∠7 ∠8∠6

∠4

A E B

C HF D

70°


Geometría plana

83

6. En cada una de los siguientes ejercicios encuentra los valores de x y y.

a)

A

E

B

C

G

F

D

150°

(x + y)°(x – 2y)°

b)

120°

(2x – y)°

Datos: r1 | | r2

(x + 3y)°r2

r1

c)

Datos: AB | | CD

(3y)°

(2x)°C D

BA70° 60°


Geometría plana

85

h)

(15x + 8)°

(3x + 36)°

(3y)°

Datos: r1 | | r2

r1

r2

i)

(2x + 7)°

(x + 21)° (4y + 15)°

Datos: r1 | | r2

r1

r2

j)

Datos: DE | | AC

4y2x + 6

CA

B

70° 60°

D E

k)

Datos: r1 | | r2

(3x – 11)°

130°

r1

r2


Etapa 2

86

2.3 Triángulos y su clasificaciónTriángulos

l)

(–––)°3y2

(5x + 8)°

(3x + 36)°

Datos: r1 | | r2

r1

r2

m)

Datos: AB | | CD

BC | | AD2x

3y

30°

30°

B C

A D

n)

Datos: r1 | | r2(3x – 2y)°(x + 5y)°

60°

r1

r2

Sean A, B y C tres puntos no alineados, esto es no situados en una misma recta. Cada par de puntos determinan un segmento. Estos son: AB, BC y CA. La unión de estos tres segmentos forman una figura que se llama triángulo y se denota así: ∆ ABC. Los puntos A, B y C se llaman vértices del triángulo y los segmentos AB, BC y CA se llaman lados, los cuales se denotan con letras minúsculas a, b, c, aplicándoles el nombre según su ángulo opuesto.

Definición

• Conocer el concepto de triángulo así como algunas líneas y puntos importantes re-lacionados con él.

Objetivo


Geometría plana

87

Así tendremos figuras como la siguiente:

En cada triángulo hay tres ángulos interiores, que son en este caso:

El ∠ ABC o simplemente ∠ B,

El ∠ BCA o simplemente ∠ C, y

El ∠ CAB o simplemente ∠ A.

Te presentaremos ahora algunas rectas y puntos notables en el triángulo, así como algunos resultados de gran utilidad que aceptaremos por el momento sin demostración:

• Suele llamarse base al lado sobre el cual descansa el triángulo (esto es, el horizontal, aunque cual-quiera de los lados puede tomarse como tal).

• La altura es una recta que siendo perpendicular a la base llega hasta el ángulo opuesto a ella. La altura hAB respecto al lado AB es el segmento de recta que une el vértice C (opuesto al lado AB) con el lado AB y es perpendicular a este último.

Figura 2.18

Figura 2.19

C

b

A cB

a

C

b

A cB

hAB

a

Las alturas de un triángulo se cortan en un punto único llamado ortocentro.

Teorema


Etapa 2

88

• La mediana mAB respecto al lado AB es el segmento de recta que une el vértice C (opuesto al lado AB) con el punto medio del lado AB.

Actividad

Actividad

• Dibuja un triángulo.

• Traza las alturas.

• Localiza el ortocentro.

Dibuja un triángulo. Traza las medianas. Localiza el baricentro.

Figura 2.20

Figura 2.21

C

b

Ac

B

mAB

a

C

b

A c B

MAB

a

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto único llamado baricentro. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos cuyas longitudes representan respectivamente 1/3 y 2/3 de la longitud de la mediana.

Teorema

• La mediatriz MAB del lado AB es la recta perpendicular al lado AB, que pasa por su punto medio.


Geometría plana

89

• La bisectriz bACB del ángulo ∠ACB es la recta que divide el ángulo a la mitad.

Actividad

Actividad

• Investiga qué quiere decir circunferencia circunscrita.


• Traza las mediatrices.

• Localiza el circuncentro.

• Investiga qué quiere decir circunferencia inscrita.


• Traza las bisectrices.

• Localiza el incentro.

Figura 2.22

C

b

A c B

bACB

a

Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto único llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.

Teorema

Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto único llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.

Teorema


Etapa 2

90

Sumadelosángulosinterioresdeuntriángulo

• • Aplicar los conceptos de las secciones previas y el teorema sobre los ángulos inte-

riores de un triángulo a la resolución de ejercicios prácticos y de demostraciones.

Objetivo

Antes de proseguir con la explicación sobre nuevos aspectos referentes a los triángulos te proponemos que hagas la siguiente experiencia gráfica.

• Traza un triángulo arbitrario.

• Toma un transportador y mide cada uno de los ángulos interiores del triángulo.

• Suma las tres medidas de los mismos.

¿Cómo es posible que hagamos esta afirmación si cada uno de ustedes, al realizar la experiencia gráfica que proponemos va a dibujar un triángulo diferente al del resto de la clase?

Pues la explicación es muy sencilla: se puede demostrar la afirmación que acabamos de hacer, indepen-dientemente de la forma y tamaño que seleccionemos para ilustrar la demostración.

Finalmente podemos garantizar que esta propiedad (es decir, que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es constante e igual a 180°) es uno de los resultados más importantes y útiles de toda la Geometría y, francamente, sin saber aplicarlo correctamente, no se puede ir muy lejos en esta ciencia. Afortunadamente, como verás, es muy fácil entenderlo y aplicarlo.

Demostración:

La suma de las medidas de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

Teorema

Sea ABC un triángulo como se muestra en la figura 2.23.

Actividad

Realiza la medición con cuidado, verás que la suma obtenida debe ser de 180° o muy próxima.


Geometría plana

91

1. Por el punto C trazamos la recta r paralela al lado AB. Sabemos, por el postulado de las paralelas, que tal paralela existe y, además, que es única.

2. Sobre la recta r hemos situado dos puntos arbitrarios D y E, distintos de C pero en semirrectas distintas (con origen en C ) formándose así los ángulos ∠ DCA y ∠ ECB.

3. Los ángulos: ∠ DCA, ∠ ACB, y ∠ ECB, cubren el semiplano inferior cuyo borde es r, de modo que la suma de ellos es igual a 180°, o sea:

∠ DCA + ∠ ACB + ∠ ECB = 180°.

4. ∠ DCA = ∠ A por ser ambos alternos internos entre las paralelas r y AB cortadas por la transver-sal CA.

∠ ACB = ∠ C simplemente estamos cambiando de notación.

∠ ECB = ∠ B por ser alternos internos entre las paralelas r y AB cortadas por la transversal CB.

5. Sustituyendo en (1) los ángulos ∠ DCA, ∠ ACB y ∠ ECB por ∠ A, ∠ C y ∠ B respectivamente queda:

∠ A + ∠ C + ∠ B = 180°, lo cual es lo queríamos demostrar.

Figura 2.23

CD Er

A B

En un triángulo no puede haber más que un ángulo interior obtuso.

Corolario

Demostración

En efecto, si hubiera dos obtusos su suma sería mayor de 180°, lo cual es imposible.


Etapa 2

92

Ejemplo

En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 49° y 73°. Hallar la medida del tercer ángulo.

Procedimiento

Sean ∠ A = 49° y ∠ B = 73°. Entonces el ángulo que falta es C.

Sabemos que:∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°

Luego:49° + 73° + ∠ C = 180°

122° + ∠ C = 180°

Despejando, queda: ∠ C = 180° - 122° = 58°.

Solución: 58º

Veamos otra aplicación importante del Teorema:

Si se consideran las rectas determinadas por los lados de un triángulo, cada vértice determina cuatro án-gulos (ver figura 2.24). Así, a cada ángulo interior corresponden dos ángulos adyacentes y uno opuesto por el vértice, que están determinados por el mismo vértice.

Si en un triángulo hay un ángulo recto, los otros dos son agudos y su suma es 90°. Es decir, los otros dos son complementarios.

Corolario

Figura 2.24

J H

E

D G

F

C

A B


Geometría plana

93

De esa manera, en la figura 2.24, tenemos:

• El ángulo ∠ GBC es exterior opuesto a los ángulos ∠BAC y ∠BCA. Lo mismo sucede con el ángulo ∠ FBA, que tiene como ángulos internos opuestos a ∠BAC y ∠BCA.

• El ángulo ∠ EAB y el ángulo ∠ DAC son, ambos, exteriores opuestos a los ángulos ∠ABC y ∠ACB.

• El ángulo ∠ JCA y el ángulo ∠ HCB son, ambos, exteriores opuestos a los ángulos ∠CBA y ∠CAB.

Se dice que un ángulo es exterior de un triángulo si es adyacente y suplementario de un ángulo interior del triángulo. Los otros dos ángulos interiores del triángulo se llaman ángulos internos opuestos al ángulo exterior.

Definición

Actividad

Q

P

M

C

A

B

• Aquí tenemos un triángulo de vértices A, B, C.

• Se han prolongado los lados de la siguiente manera: el lado BC hasta un punto Q, el lado AC hasta el punto M, y el lado BA hasta el punto P.

• Marca en color azul el ángulo exterior al ángulo interior CBA, y escribe el nombre de sus ángulos internos opuestos.

• Marca en color rojo el ángulo exterior al ángulo interior CAB, y escribe el nombre de sus ángulos internos opuestos.

• Marca en color negro el ángulo exterior al ángulo interior ACB, y escribe el nombre de sus ángu-los internos opuestos.


Etapa 2

94

Respecto a los ángulos exteriores del un triángulo se cumple el siguiente teorema:

Demostración

En la figura 2.25, el ángulo ∠DBC es exterior opuesto a los ángulos interiores ∠BAC y ∠BCA.

La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de sus dos ángulos interiores opuestos.

Teorema

Ejemplo

Se desea demostrar que ∠DBC = ∠BAC + ∠BCA.

Sabemos que:

∠DBC + ∠ABC = 180° por ser suplementarios, y

∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180° por el primer teorema de esta sección.

Igualando los miembros izquierdos de las ecuaciones anteriores es:

∠DBC + ∠ABC = ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA,

de donde:

∠DBC = ∠BAC + ∠BCA,

lo cual es lo que queríamos demostrar.

Figura 2.25

D

C

A B


Geometría plana

95

Ejemplo

En el caso del triángulo se daban los valores de dos ángulos internos: 49° y 73°. ¿Cuál sería la medida del ángulo exterior opuesto a los ángulos dados?

Procedimiento

Sea el triángulo similar al que mostramos en la figura 2 .26.

Figura 2.26

49°

70°

P

C

A

B

Siguiendo el teorema, tendríamos que ∠PAC = 49° + 73° = 122°.

Solución: 122°.

1. Para los siguientes ejercicios encuentra los valores de x y z, según los datos dados. a)

x =

z =

(3x – 15)°

(2x + 20)° 2z 100°

Ejercicios


Etapa 2

96

b) Datos: ‹ACB= (5x - 30)º

x =

z =

AC

B

(2x)°20°

(2z)°

c) Datos: AB || ED

x =

z =

A D

E

C

B

(5x + 3z)°

64°

70°

(3x + 4z)°

d)

x =

z =

zx

60°25°

55°


Geometría plana

97

e) Datos: DE || AC

x =

z =

50°60°D E

B

CA

x—3

z—4

f) Datos: DE || AB

x =

z =

60°70°

D E

B

C

A

g) x =

z =

zx

x

100°B

C

A


Etapa 2

98

h)

x =

z =

z

x

20°88°

i)

x =

A

B

x70°

30°

C

j)x =

z =

E

A

D

B

x zx

120°

C

2. Basándote en la siguiente figura, demuestra que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º.


Geometría plana

99

Desigualdadtriangular

3. Los ángulos de un triángulo están a la razón de 2:3:5, hallar la medida de dichos ángulos.

4. Los ángulos de un triángulo están a la razón de 7:6:5, encuentra la medida de dichos ángulos.

5. En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos están a la razón de 2:3. Encuentra la medida de dichos ángulos.

6. Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo, donde A = (2x + 35)º,

B = (4x – 10)º y C = (3x – 7)º. Determina la medida de los ángulos.

7. Sean ∠A, ∠B y ∠C los ángulos interiores de un triángulo. Si B mide el doble que A y C mide el triple que A. ¿Cuánto mide cada ángulo?

8. Los ángulos de un triángulo están a la razón de 3:4:5. Hallar la medida del ángulo mayor.

A

D B

1 2

E

C

Ya hemos visto que tres puntos no colineales determinan un triángulo, y que éste siempre tiene tres la-dos que son segmentos de recta unidos por sus extremos. Entonces surgen de la pregunta sobre si tres segmentos de recta determinarán siempre un triángulo.

Te recomendamos que antes de seguir leyendo trates de responderla, probando qué sucede cuando tomas tres segmentos de longitudes diferentes y tratas de unirlos por sus extremos.

• Comprender el postulado de la desigualdad triangular.

Objetivo

Actividad

Intenta, por ejemplo, construir un triángulo con tres segmentos de longitudes de 3, 5 y 10 cm respectivamente.


Etapa 2

100

Notarás que si fijas cada uno de los segmentos de menor longitud (3 y 5 cm) a cada uno de los extremos del segmento mayor, estos no logran unirse en sus extremos libres, es decir que resul-tan demasiado cortos. (Ver figura 1.27).

Intentemos entonces lo siguiente:

Traza un triángulo cualquiera, mide los tres lados con una regla graduada, suma las longitudes de dos de sus lados. Podemos afirmar que dicha suma es mayor que la longitud del tercer lado.

Esta desigualdad se cumple para todo triángulo y lo aceptamos como un postulado, conocido como:

Figura 1.27

Figura 2.28

10 cm

5 cm3 cm

D E

F

Desigualdad triangular. En un triángulo cualquiera, la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

Definición

Consideremos la siguiente figura:

En el triángulo DEF podríamos hacer lo siguiente: dejar DE con la misma longitud, pero cambiar la posición del vértice F de modo que se sitúe muy cerca del lado DE. Entonces la suma de DF + FE disminuiría, pero se mantendría siempre mayor que DE, es decir, que la desigualdad triangular seguiría siendo válida.


Geometría plana

101

Ejemplo

Explica por qué existe un triángulo cuyos lados miden 7 cm, 4 cm y 5 cm y trázalo.

Procedimiento

El mayor lado sería 7 cm. Como 7 < 4 + 5, se cumple la desigualdad triangular y el triángulo existe.

Para dibujarlo trazamos con la regla graduada un segmento cuya longitud sea igual a la de uno de los tres lados dados, por ejemplo el de 7 cm. Sea éste AB.

Ahora tomamos el compás: Haciendo centro en A, trazamos un arco de circunferencia, cuyo radio sea 4 cm, y haciendo centro en B trazamos otro arco de radio 5 cm.

Los dos arcos se intersectan en un punto, el cual es, precisamente, el tercer vértice, es decir, C.

A B7 cm

5 cm4 cm

C

El siguiente resultado, que aceptaremos también como postulado, resulta de gran aplicación en la Geometría plana:

Actividad

Ahora que ya conoces el postulado de la desigualdad triangular, intenta demostrar la afirmación, que habrás oído y aplicado muchas veces:

“la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta que los une”.

En un triángulo cualquiera ∆ ABC, el ángulo ∠ A tiene mayor amplitud que el ángulo ∠ B, sí y sólo sí el lado BC (opuesto a ∠ A) tiene mayor longitud que el lado AC (opuesto al ∠ B). Es decir, a mayor ángulo corresponde mayor lado opuesto, y viceversa.

Postulado


Etapa 2

102

Clasificacióndetriángulos

Los triángulos se clasifican según sus ángulos y según sus lados. Veamos las diferentes clasificaciones:

Clasificación de los triángulos según sus ángulos• Si en un triángulo hay un ángulo obtuso se le llama obtusángulo. Ver figura 2.29.

Figura 2.29

Figura 2.30

A

B

Triángulo obtusángulo

C

A

B

Triángulo rectángulo

R

Donde: ∠ A y ∠ C son agudos, o sea menores de 90°, y el ∠ B > 90°, o sea, es obtuso.

• Si un ángulo interior de un triángulo es recto, el triángulo es llamado rectángulo.

Donde ∠ A y ∠ B, son agudos (menores de 90°). Y el ∠ R es igual a 90°, o sea un ángulo recto. En este caso se dice que el ∆ ARB es rectángulo en R.

• Clasificar los triángulos según sus ángulos y las longitudes de sus lados.

Objetivo


Geometría plana

103

• Si en un triángulo, los tres ángulos interiores son agudos, se le llama acutángulo.

Figura 2.31

Figura 2.32

Figura 2.33

A

B

Triángulo acutángulo

C

A B

AB > BC > CA

Triángulo escalenoC

A C

AB = BC

Triángulo isósceles

B

Donde ∠ A, ∠ B y ∠ C, son agudos (o sea menores de 90°).

Clasificación de los triángulos según las longitudes de sus lados• Si los tres lados del triángulo son de longitud distinta, se le denomina escaleno.

• Si en el triángulo hay dos lados iguales, se dice que éste es isósceles.

A los triángulos que no son rectángulos, esto es acutángulos y obtusángulos, se les llama oblicuángulos.


Etapa 2

104

• Si los tres lados son iguales, se dice que el triángulo es equilátero.

Actividad

Actividad

Comprobar que en un triángulo isósceles de base AB coinciden la altura hAB, la mediana mAB , la mediatriz MAB y la bisectriz del ángulo ∠ ACB opuesto al lado AB.

Comprueba que en un triángulo equilátero coinciden siempre altura, mediana, mediatriz y bi-sectriz.

Figura 2.34

A B

AC = CB = AB

Triángulo equilátero

C

Si ya comprobaste la relación existente entre altura, mediana, mediatriz y bisectriz en un triángulo isós-celes, podrás realizar fácilmente la siguiente actividad:

¿Puede un triángulo ser equilátero e isósceles simultáneamente?

Todo triángulo equilátero es también isósceles, puesto que, como tiene sus tres lados iguales, es cierto que tiene también dos lados iguales.

Nota que decimos que hay dos lados iguales pero no se le impone ninguna condición a la longitud del tercer lado; esto es, no dijimos que debe tener exactamente o solamente dos lados iguales, por lo que el tercer lado puede ser menor, mayor e incluso igual a los dos lados iguales.


Geometría plana

105

Actividad

¿Cuántos triángulos equiláteros hay en esta figura?

2.4 Teorema de Thales TeoremadeThales

Imagina que deseas medir la altura de un poste eléctrico. Subir al poste es una estrategia demasiado peligrosa para intentarla. Por otra parte, no es fácil encontrar puntos de referencia que permitan cons-truir triángulos congruentes, a causa de la posición vertical del poste. Esta vez acude a nuestra ayuda la Geometría plana a través de la semejanza de triángulos.

Recordemos también lo que conocemos acerca de la proporcionalidad de segmentos.

• Repasar los conceptos de razón y proporción; conocer y aplicar el Teorema de Thales.

Objetivo

aLlamamos razón de dos números reales a y b al cociente —, con b ≠ 0. b ABSe llama entonces razón de dos segmentos AB y CD a la razón de sus longitudes –––– CD a cUna proporción es una expresión numérica de la forma — = —, donde b ≠ 0 y d ≠ 0. b d

Se dice que dos pares de segmentos AB, CD y PQ, RS son proporcionales si es válida la proporción de AB PQsus longitudes, es decir, si ––– = –––. CD RS


Etapa 2

106

Uno de los teoremas más usados en Geometría plana es el teorema de Thales que te enunciaremos a continuación.

BC PR BC AC ABAsí por ejemplo en la figura siguiente se tiene que ––– = –––, o bien ––– = ––– también la razón ––– es AC QR PR QR QPigual a las anteriores.

Si a rectas paralelas las cortan transversales, sobre estas se determinan segmentos propor-cionales.

El recíproco también es válido. Es decir, si los segmentos determinados por transversales que cortan varias rectas son proporcionales, entonces estas últimas son paralelas.

Teorema de Thales

A continuación mostramos un ejemplo práctico de este resultado.

Ejemplo

Dado un segmento AB, dividirlo en n segmentos de igual longitud, con la utilización exclusiva de regla y compás.

Procedimiento

Mostraremos cómo resolver este problema para n = 4.

Paso 1: Dibuja el segmento AB.

A B

Paso 2: Dibuja un rayo AC con origen en A y formando un ángulo cualquiera con el segmento AB.

C R

B P

A Q

CR || BP || AQ

CA y RQ son transversales

Figura 2.35


Geometría plana

107

Paso 3: Con una abertura fija en el compás marca en AC (partiendo del punto A) 4 segmentos congruentes, uno a continuación del otro y numera las marcas.

A B

C

4

3

2

1

Paso 4: Traza una recta “r4” que contenga el punto B y al punto numerado 4 sobre AC.

A B

C

4

3

2

1

r4

Paso 5: Traza rectas r1 r2, r3 que sean paralelas a r4 y que contengan a los puntos numerados 1, 2, 3 respectivamente.

A B

C

4

r3r2r1

3

2

1

r4

Paso 6: Los puntos de intersección de las rectas r1, r2 r3 y r4 con el segmento AB marcan la divi-sión del segmento AB en 4 segmentos iguales.

A B

C


Etapa 2

108

2.5 Semejanza y congruencia de triángulos Congruenciadetriángulos

Iniciaremos este tema planteando un ejemplo.

Ejemplo

Se desea medir el ancho de un canal en un tramo recto del mismo, y para ello se dispone de los siguientes datos:

1. En una ribera del canal y a una distancia de 3 m de la misma se encuentra una hilera de pos-tes eléctricos.

2. En la otra ribera del canal y también a una distancia de tres metros del mismo se encuentran señaladores de camino (S1, S2 y S3) que marcan cada 30 metros la distancia que falta para llegar a una curva peligrosa. Es decir, el texto de los señalamientos dice:

S1 : Curva peligrosa a 30 m,

S2 : Curva peligrosa a 60 m,

S3 : Curva peligrosa a 90 m.

3. La línea recta determinada por los señalamientos S1, S2 y S3 se encuentra en ángulo recto con una línea imaginaria que une al señalamiento S1 con uno de los postes eléctricos (P en la figura) en la otra orilla del canal.

4. A 43 metros de la segunda ribera mencionada del río se coloca un observador (R en la figura), formando una línea imaginaria con el señalamiento S3, que se encuentra en ángulo recto con la línea recta determinada por los señalamientos S1, S2 y S3.

• Dominar el concepto de congruencia de triángulos y los teoremas sobre congruen-cia y ser capaces de aplicar estos últimos a la resolución de ejercicios prácticos y demostraciones.

Objetivo

La posibilidad de aplicar la técnica aquí explicada para dividir un segmento en “n” partes iguales se justifica mediante el teorema de Thales.

Nota que sobre la semirrecta AC han sido marcados “n” segmentos consecutivos de igual magnitud, por lo que la razón de 2 cualesquiera de ellos es 1. Por otra parte, las rectas r1, r2, r3.... rn son paralelas según la construcción. Luego, según el teorema de Thales los segmentos determinados sobre AB mantienen la proporción 1, por lo que son iguales.

Tomando en cuenta los resultados vistos anteriormente podemos pasar a desarrollar el tema que nos ocupa.


Geometría plana

109

5. Al mirar hacia el poste P, el observador descubre que el señalamiento S2 no le permite ver el poste completo, por lo que deduce que él, el señalamiento y el poste se encuentran sobre una línea recta imaginaria.

Figura 2.36

P43

m

3 m

3 m

A

BCCANAL

30 m30 m30 m

S3

???

R

S2 S1

curvapeligrosa

Traslademos los datos al lenguaje de la Geometría y realicemos un dibujo plano para tratar de comprender el problema.

En la figura y de acuerdo a los datos se reconoce que:

• La incógnita del problema es la longitud del segmento AB.

También se sabe que AP = BS1 = 3 m (por (1) y (2)) , por lo tanto:

PS1 = AB + AP + BS1 = AB + 6.

entonces:

AB = PS1 - 6.

• Por otra parte, se conoce que:

RC = 43 m (por (4)),

CS3 = 3 m (por (2)) y

RC = RS3 + S3C

entonces:

RS3 = 40 m.

• Además:

RS3 ⊥ S3S2 (por (4)) y

S2S1 ⊥ PS1 (por (3))


Etapa 2

110

entonces:

el triángulo ∆RS3S2 es rectángulo en S3.

el triángulo ∆S2S1P es rectángulo en S1.

• Por (5) se observa que los ángulos ∠ RS2S3 y ∠ PS2S1 son opuestos por el vértice.

Entonces:

∠ RS2S3 = ∠ PS2S1

• El triángulo ∆RS3S2 tiene catetos:

RS3 = 40 m y S3S2 = 30 m, y

el triángulo ∆S2S1P tiene un cateto:

S2S1 = 30 m (por (2)).

Figura 2.37

PA

BC

CANAL

43 m

40 m

30 m 30 mS3

incógnita

R

S2 S1

3 m

3 m

Evidentemente, las herramientas de que disponemos no nos permiten aun resolver este problema. Sin embargo, si pudiésemos encontrar una relación entre los triángulos ∆RS3S2 y ∆S2S1P que nos permitiese asociar de alguna manera la distancia RS3 con la distancia PS1, seríamos capaces de encontrar la me-dida buscada.

Si observamos detenidamente el dibujo, vemos que los triángulos rectángulos ∆RS3S2 y ∆S2S1P “parecen ser iguales”, por lo que la distancia buscada “podría” ser PS1 = 40 m.

Presentamos a continuación el marco teórico que nos permite solucionar este tipo de problemas:

Este teorema es muy utilizado como criterio de congruencia de triángulos y se conoce con el nombre de criterio LLL.

Si en dos triángulos coinciden las longitudes de sus lados, entonces ellos son congruentes.

Teorema


Geometría plana

111

Ejemplo

En la figura AB = CD y E es el punto medio de AD y de BC. Demuestra que ∆ABE ≅ ∆DCE.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales y el lado comprendido entre esos ángulos es de igual longitud, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema

El resultado de este teorema se conoce como criterio ALA.

Demostración:

En la figura se tiene lo siguiente:

∠ CAB = ∠ RPQ

∠ CBA = ∠ RQP

AB = PQ.

Figura 2.38

Figura 2.39

C D

A B

E

C

A B

R

P Q

Demostración:

En este problema se tiene que:

AE = ED por ser E punto medio de AD

BE = EC por ser E punto medio de BC

AB = CD por hipótesis.

Entonces por el criterio LLL es

∆ABE ≅ ∆DCE.


Etapa 2

112

C

A = P B = Q

R

CD

A B

Demostraremos que ∆ ABC ≅ ∆ PQR,

Supongamos que AC ≠ PR.

Traslademos ahora el triángulo ∆ PQR sobre el triángulo ∆ ABC de modo que coincidan los puntos A y P, y los puntos B y i.

Figura 2.40

Figura 2.41

En esta traslación el punto R quedará situado sobre la recta determinada por los puntos A y C, pues ∠A = ∠P.

Como hemos supuesto que AC ≠ PR, entonces los puntos C, Q y R determinan un triángulo, de manera que el ángulo ∠ CQR tiene una amplitud positiva (no nula).

Pero entonces es:

∠ PQR = ∠ ABC + ∠ CQR,

lo cual contradice la igualdad de los ángulos ∠ PQR y ∠ ABC.

Luego, tiene que ser AC = PR.

De manera análoga se demuestra que BC = QR, quedando así demostrado el teorema.

Ejemplo

En la figura 1.40 AB II CD y AD II BC. Demuestra que ∆ ABD ≅ ∆ CDB.


Geometría plana

113

Demostración:


∠ ADB = ∠ DBC porque son alternos internos entre las paralelas AD y BC cortadas por la trans-versal DB.

∠ ABD = ∠ CDB porque también son alternos internos entre las paralelas AB y DC cortadas por la transversal DB.

El lado DB es común a ambos triángulos.

CD

A B

Figura 2.42

Entonces por el criterio ALA se tiene que ∆ ABD ≅ ∆ CDB.

Existe un tercer criterio de congruencia de triángulos conocido como criterio LAL, con base en el siguiente teorema:

Si dos triángulos tienen dos lados con iguales longitudes y el ángulo comprendido tiene igual magnitud, entonces ellos son congruentes.

Teorema

Demostración:

En la figura sea: ∠ CAB = ∠ RPQ

AB = PQ

AC = PR.

Figura 2.43

C

A B

R

P Q


Etapa 2

114

Demostraremos que ∠ ABC = ∠ PQR, con lo que se obtendría la congruencia de triángulos ∆ ABC ≅ ∆ PQR por el criterio ALA.

Supongamos que el ángulo ∠ ABC es menor que el ángulo ∠ PQR, y traslademos el triángulo ∆PQR sobre el triángulo ∆ ABC de modo que coincidan los puntos A y P, y los puntos B y Q (ver figura).

C

A = P B = Q

R

Figura 2.44

Si el ángulo ∠ ABC es menor que el ángulo ∠ PQR, entonces el punto R quedará situado sobre la recta determinada por los puntos A y C, formándose un triángulo determinado por los puntos C, Q y R.

Pero entonces sería:

PR = AC + CR,

lo cual contradice la hipótesis de la igualdad de las longitudes de los lados AC y PC.Luego, tiene que ser:

∠ ABC ≥ ∠ PQR.

De manera análoga se demuestra que:

∠ ABC ≤ ∠ PQR,

siendo así:

∠ ABC = ∠ PQR.

Aplicando entonces el criterio ALA se obtiene:

∆ ABC ≅ ∆ PQR.


Geometría plana

115

Ejemplo

En la figura E es punto medio de AB y de CD. Demuestra que ∆AEC ≅ ∆ BED.

Demostración:C B

A D

E

PA

BC

CANAL

43 m

40 m

30 m 30 mS3

incógnita

R

S2 S1

3 m

3 m

Figura 2.45

Figura 2.46


CE = ED por ser E punto medio de CD.

AE = EB por ser E punto medio de AB.

∠ AEC = ∠ BED por ser opuestos por el vértice.

Entonces es:

∆ AEC ≅ ∆ BED por el criterio LAL.

Intentemos ahora resolver el problema inicial de este capítulo:

Los resultados obtenidos en el análisis preliminar del problema son:

S1S2 = 30 m

RS3 = 40 m


Etapa 2

116

RS3 ⊥ S2S3

PS1 ⊥ S1S2

La incógnita es AB = (PS1 - 6)

Analizando el problema desde el punto de vista de la congruencia de triángulos se tiene que:

∠S2S3R = 90° por ser RS3 ⊥ S2S3,

∠S2S1P = 90° por ser PS1 ⊥ S1S2 .

Entonces es:

∠S2S3R = ∠S2S1P.

Así mismo es:

∠RS2S3 = ∠S1S2P por ser opuestos por el vértice.

Además, se conoce que:

S2S1 = S2S3 = 30 m.

Entonces, por el criterio ALA se tiene que:

∆ RS2S3 ≅ ∆ PS2S1 .

De ahí que los lados homólogos PS1 y RS3 tengan igual longitud, es decir:

PS1 = RS3 = 40 m,

y entonces es:

AB = PS1 - 6 = 34.

Luego, el canal tiene un ancho de 34 metros.

ResumenPara determinar la congruencia de dos triángulos existen tres criterios que pueden ser aplicados según sea necesario. Ellos son:

Criterio Significa

LLL Los tres lados iguales.

ALA Dos ángulos y el lado comprendido de igual magnitud.

LAL Dos lados y el ángulo comprendido de igual magnitud.


Geometría plana

117

Te recomendamos ahora que analices la posibilidad de simplificar estos criterios en el caso de triángulos específicos, por ejemplo, en los triángulos equiláteros, isósceles y rectángulos.

Inténtalo primero por ti mismo. Para ello puedes preguntarte si serán congruentes todos los triángulos equiláteros, o isósceles, o rectángulos; o que condición necesitarías para poder dibujar dos triángulos congruentes del mismo tipo.

A continuación te mostramos cuáles son esos criterios, deberás hacer su demostración como ejercicio.

Criterios de congruencia para triángulos específicos

Triángulos equiláteros

Si en dos triángulos equiláteros coincide la longitud de uno de sus lados, entonces ellos son congruentes.

Corolario

Si en dos triángulos isósceles coinciden las magnitudes de un lado y de uno de sus ángulos, en-tonces ellos son congruentes.

Corolario

• Dos triángulos rectángulos de catetos de igual longitud son congruentes.

• Si en dos triángulos rectángulos coinciden las longitudes de la hipotenusa y de uno de sus catetos, entonces ellos son congruentes.

• Si en dos triángulos rectángulos coincide uno de sus ángulos agudos y la longitud de uno de sus lados, entonces ellos son congruentes.

Corolario

Triángulos isósceles

Triángulos rectángulos

Más adelante veremos otra aplicación importantísima de la congruencia de triángulos a la demostración del conocido Teorema de Pitágoras.


Etapa 2

118

1. Si en la figura AE y BD, se bisecan mutuamente en C, demuestra que ∆ABC = ∆EDC.

D E

C

BA

2. Si en la figura AB ⊥ AE DE ⊥ AE, C es el punto medio de AE y ∠ ACB ≅∠ ECD. Demuestra que los triángulos ∆ACB y ∆ECD son congruentes.

D

EC

B

A

3. En la figura BD biseca al ángulo ABC y BD ⊥ AC. Demuestra que los triángulos ∆ADB y ∆CDB son congruentes.

Ejercicios


Geometría plana

119

D

1 2

C

B

A

4. Si en la figura C es el punto medio de BD y ∠ 2 ≅ ∠ 3. Demuestra que AC = CE.

D

E

2 3

CB

A

5. En la figura, si AB ≅ BC y BD es una mediana, demuestra que los triángulos ∆ABD y ∆ACD son congruentes.

DC

B

A


Etapa 2

120

6. Si en la figura BE ⊥ AD, CF ⊥ AD, BC // AD y AD está trisectado (dividido en tres secciones iguales) demuestra que los triángulos I y II son congruentes.

E F D

I II

CB

A

7. Sea el triángulo ∆ABC isósceles, donde el segmento de recta AB ≅ BC, con bisectriz BD ; demuestra el siguiente teorema: “Si dos lados de un triángulo son congruentes, los ángulos opuestos a ellos también son congruentes”.

DC

B

1 2

A

8. Si BE ≅ EC, AE ≅ ED, demostrar que ∠ BAE = ∠ CDE.

D

CB

E

I II

A


Geometría plana

121

9. Si AB ⊥ BE, EF ⊥ BE, BC ≅ DE y AB ≅ EF , demostrar que los triángulos I y II son congruen-tes.

DC

F

B E

I

II

A

10. Sea el triángulo ∆ABC equilátero con AP ≅ BR , demuestra que ∆PQR es equilátero.

Q R

C

P B

III

III

A


Etapa 2

122

Teorema de Thales

Imagina que deseas medir la altura de un poste eléctrico. Subir al poste es una estrategia demasiado peligrosa para intentarla. Por otra parte, no es fácil encontrar puntos de referencia que permitan cons-truir triángulos congruentes, a causa de la posición vertical del poste. Esta vez acude a nuestra ayuda la Geometría plana a través de la semejanza de triángulos.

Recordemos también lo que conocemos acerca de la proporcionalidad de segmentos.

• Repasar los conceptos de razón y proporción; conocer y aplicar el Teorema de Thales.

Objetivo

aLlamamos razón de dos números reales a y b al cociente —, con b ≠ 0. b ABSe llama entonces razón de dos segmentos AB y CD a la razón de sus longitudes –––– CD a cUna proporción es una expresión numérica de la forma — = —, donde b ≠ 0 y d ≠ 0. b d

Se dice que dos pares de segmentos AB, CD y PQ, RS son proporcionales si es válida la proporción de AB PQsus longitudes, es decir, si ––– = –––. CD RS

Uno de los teoremas más usados en Geometría plana es el teorema de Thales que te enunciaremos a continuación.

Si a rectas paralelas las cortan transversales, sobre estas se determinan segmentos propor-cionales.

El recíproco también es válido. Es decir, si los segmentos determinados por transversales que cortan varias rectas son proporcionales, entonces estas últimas son paralelas.

Teorema de Thales

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Geometría plana

123

BC PR BC AC ABAsí por ejemplo en la figura siguiente se tiene que ––– = –––, o bien ––– = ––– también la razón ––– es AC QR PR QR QPigual a las anteriores.

A continuación mostramos un ejemplo práctico de este resultado.

Ejemplo

Dado un segmento AB, dividirlo en n segmentos de igual longitud, con la utilización exclusiva de regla y compás.

Procedimiento

Mostraremos cómo resolver este problema para n = 4.

Paso 1: Dibuja el segmento AB.

A B

Paso 2: Dibuja un rayo AC con origen en A y formando un ángulo cualquiera con el segmento AB.

C R

B P

A Q

CR || BP || AQ

CA y RQ son transversales

Figura 2.47

A B

C


Etapa 2

124

Paso 3: Con una abertura fija en el compás marca en AC (partiendo del punto A) 4 segmentos congruentes, uno a continuación del otro y numera las marcas.

A B

C

4

3

2

1

Paso 4: Traza una recta “r4” que contenga el punto B y al punto numerado 4 sobre AC.

A B

C

4

3

2

1

r4

Paso 5: Traza rectas r1 r2, r3 que sean paralelas a r4 y que contengan a los puntos numerados 1, 2, 3 respectivamente.

A B

C

4

r3r2r1

3

2

1

r4

Paso 6: Los puntos de intersección de las rectas r1, r2 r3 y r4 con el segmento AB marcan la divi-sión del segmento AB en 4 segmentos iguales.


Geometría plana

125

Actividad

La posibilidad de aplicar la técnica aquí explicada para dividir un segmento en “n” partes iguales se justifica mediante el teorema de Thales.

Nota que sobre la semirrecta AC han sido marcados “n” segmentos consecutivos de igual magnitud, por lo que la razón de 2 cualesquiera de ellos es 1. Por otra parte, las rectas r1, r2, r3.... rn son paralelas según la construcción. Luego, según el teorema de Thales los segmentos determinados sobre AB mantienen la proporción 1, por lo que son iguales.

Tomando en cuenta los resultados vistos anteriormente podemos pasar a desarrollar el tema que nos ocupa.

Semejanza de triángulos

• Definir el concepto de semejanza de triángulos.

Objetivo

Observa las siguientes figuras. ¿Cuáles son semejantes en tu opinión? ¿Cuáles son congruentes?

Efectivamente, las figuras 2.48a y 2.48b son congruentes, mientras que la figura 2.48d es sólo se-mejante a ellas, pues es más grande, la figura 2.48c no es semejante a ninguna de las anteriores.

Figura 2.48a

Figura 2.48c

Figura 248b

Figura 2.48d


Etapa 2

126

¿Qué criterio hemos aplicado?

Consideramos que son congruentes las figuras que coinciden en todos sus puntos.

Son semejantes las figuras que coinciden en su forma.

Según este criterio, dos triángulos equiláteros son siempre semejantes pero no siempre son congruentes (excepto cuando coinciden las longitudes de sus lados). Sin embargo, dos triángulos rectángulos no siempre son semejantes (ver figura siguiente).

R

P Q

R

P Q

C

A B

C

A B

Generalizando estas observaciones, podemos notar que dos triángulos son semejantes si uno es una ampliación de otro.

Notación: El símbolo que se usa para expresar la relación de semejanza es: ~

En los triángulos siguientes, se tiene que:

∠ ABC = ∠ PQR AB BC CA ∠ BCA = ∠ QRP ––– = ––– = ––– PQ QR RP ∠ CAB = ∠ RPQ

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes y los lados homólogos son propor-cionales. En ese caso se llama razón de semejanza al valor constante de la razón para todo par de lados homólogos.

Definición

Entonces, ∆ABC ~ ∆PQR

Figura 2.49

Figura 2.50


Geometría plana

127

Teorema fundamental de semejanza de triángulos

• Comprender y aplicar el teorema fundamental de semejanza de triángulos.

Objetivo

Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros lados un triángulo semejante al primero y viceversa, es decir, si al trazar una recta en el interior de un triángulo se obtiene otro semejante al primero entonces la recta trazada es paralela al lado del triángulo al cual no corta.

Teorema

Vamos a obviar la demostración de este teorema.

Ejemplo

En la figura se tiene que DE | | AB y se quiere demostrar que ∆ ABC ~ ∆ DEC.

C

D E

A B

Procedimiento

Demostraremos primero la igualdad de los ángulos.

∠ C es común a ambos triángulos.

∠CAB = ∠CDE por ser correspondientes entre las paralelas AB y ED, cortadas por la transver-sal AC.

∠CBA = ∠CED por ser correspondientes entre las paralelas AB y ED, cortadas por la transver-sal CB.

Entonces los triángulos ∆ABC y ∆DEC tienen ángulos de igual medida.

Estudiemos ahora las razones de los lados homólogos de los triángulos.

Figura 2.51


Etapa 2

128

Trazando por el punto C una recta paralela a DE y a AB (ver figura 2.52).

Cr

D E

A B

y aplicando el Teorema de Thales se obtiene:

CD CE DE––– = ––– = –––

CA CB AB

Los triángulos ∆ ABC y ∆ DEC tienen ángulos congruentes y lados homólogos proporcionales, lo cual demuestra que:

∆ ABC ~ ∆ DEC

El teorema fundamental de semejanza de triángulos nos permite entonces resolver ejemplos como el siguiente:

Ejemplo

Observa la figura y calcula la altura de la torre:

Figura 2.53

Figura 2.52


Geometría plana

129

Procedimiento

Para calcular la altura de la torre (que se encuentra colocada formando un ángulo recto con el suelo) aprovecharemos la sombra que esta proyecta. Para ello observamos un árbol de una altura conocida en ángulo recto con el suelo de manera que el extremo de su sombra coincida con el extremo de la sombra de la torre. (ver figura anterior).

De esta manera se forman dos triángulos rectángulos.

C

D

E

A B

∆ABC y ∆ADE, de los que se conoce que:

DE representa la altura del árbol.

AD representa la sombra del árbol y

AB la sombra de la torre.

Por lo que sus longitudes son fáciles de determinar y se pueden considerar conocidas.

BC representa la torre del que se pretende calcular la altura, por lo que la longitud de BC es la incógnita del problema.

Por construcción es DE ⊥ AB y AB ⊥ BC por lo que aplicando el teorema de las paralelas se obtiene DE || BC.

Entonces, el teorema fundamental de semejanza de triángulos nos asegura que:

∆ ABC ~ ∆ ADE

Por esta razón los lados homólogos de ambos triángulos son proporcionales, por lo que:

CB DE––– = –––

AB AD

de donde despejando CB se obtiene la fórmula para calcularlo:

DE · ABCB = ––––––––

AD

partiendo de las longitudes de DE, AB y AD que son conocidas.

Figura 2.54


Etapa 2

130

Criterios de semejanza de triángulos

• Dominar los criterios de semejanza de triángulos y aplicarlos en la resolución de ejer-cicios.

Objetivo

Al igual que en la congruencia, existen criterios que permiten determinar fácilmente la semejanza de dos triángulos. Estos son los siguientes:

Criterio AA

Dos triángulos que tienen dos ángulos de igual magnitud son semejantes.

Teorema

Demostración:

Sean los triángulos ∆ABC y ∆PQR tales que ∠ A = ∠ P y ∠ B = ∠ Q.

Entonces, aplicando el teorema sobre la suma de las magnitudes de los ángulos interiores de un triángulo tenemos que ∠ C = ∠ R.

Luego, podemos transportar el triángulo ∆PQR sobre el triángulo ∆ABC, de manera que coincidan los vértices C y R y que los lados PR y QR del triángulo ∆PQR se encuentren sobre los lados AC y BC del triángulo ∆ABC (ver figura 2.9).

C = R

QP

A B

Los ángulos ∠ CAB y ∠ CPQ son correspondientes entre las rectas PQ y AB, cortadas por la transversal CA, así como los ángulos ∠ ABC y ∠ PQR tomando a CB como transversal.

Pero se conoce que:∠ RPQ = ∠ CAB

∠ RQP = ∠ CBA

Entonces se tiene que:PQ || AB

Y los triángulos ∆ ABC y ∆PQR son semejantes por el teorema fundamental de semejanza de los triángulos.

Figura 2.55


Geometría plana

131

Ejemplo

En la siguiente figura, CD es altura del triángulo ∆ABC el cual es rectángulo en C. Demuestra que ∆ABC ~ ∆ACD.

Actividad

Demuestra los siguientes corolarios.

Demostración

En el ∆ABC se tiene ∠ ACB = 90°

Entonces, ∠ CAB = 90° – ∠ CBA (1)

por el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

En el triángulo ACD se tiene: ∠ ADC = 90° = ∠ ACB (2)

por dato.

Entonces, ∠ ACD = 90° – ∠ CAB por el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo.

Luego, aplicando (1) se tiene:

∠ ACD = 90° – (90° – ∠ CBA) = ∠ CBA (3)

Aplicando el criterio AA y los resultados (1) y (3) se demuestra que ∆ABC ~ ∆ACD.

A BD

C

a) Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo de igual magnitud son semejantes.

b) Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

Figura 2.56


Etapa 2

132

y queremos demostrar que ∆ABC ~ ∆PQR.

Trasponiendo el triángulo ∆PQR sobre el triángulo ∆ABC, de manera que coincidan los vértices C y R y que los lados PR y QR del triángulo ∆PQR se encuentren respectivamente so-bre los lados AC y BC del triángulo ∆ABC (ver figura 2.58).

Entonces aplicando el recíproco del Teorema de Thales se obtiene que PQ || AB, por consiguiente. de acuerdo al teore-ma fundamental de semejanza de triángulos tenemos que:

∆ABC ~ ∆PQR

Ejemplo

1 En la figura 2.59 el punto E divide a DB y a CA en la razón —. Demostrar que ∆DEC ~ ∆BEA. 3

Demostración:

Sean las figuras:

Criterio LAL

Dos triángulos que tienen un ángulo de igual magnitud comprendido entre lados proporciona-les, son semejantes.

Teorema

A B

C

C = R

A B

P Q

CD

A B

E

P Q

R

Figura 2.57

Figura 2.58

Figura 2.59


Geometría plana

133

Demostración:

∠ DEC = ∠ BEA Por ser opuestos por el vértice. EC ED 1––– = ––– = — por dato. EA EB 3

Entonces por el criterio LAL se tiene:

∆DEC ~ ∆BEA

Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes.

Teorema

Criterio LLL

Demostración:

En la figura, sea: AB BC AC

––– = ––– = ––– PQ QR PR

y queremos demostrar que: ∆ABC ~ ∆PQR. Sean P 9 y Q 9 puntos en CA y CB respectivamente tales que

CP9 = RP y CQ9 = RQ (ver figura).

C

A B

R

P Q

C

A B

P Q

Entonces,

CA CB ––– = ––– CP 9 CQ 9

Figura 2.60

Figura 2.61


Etapa 2

134

Además, el ángulo ∠ C es común a los triángulos ∆P9Q9C y ∆ABC, luego, se tiene que:

∆ABC ~ ∆P9Q9C por el criterio LAL.

Por otra parte se tiene:

AB CA ––––– = –––– por semejanza de triángulos. P 9Q 9 CP 9

AB CA ––––– = –––– por dato. P 9Q 9 CP 9

Entonces es P9Q9 = PQ de donde:

∆P9Q9C ≅ ∆PQR.

Entonces que tenemos que:

∆ABC ~ ∆P9Q9C

∆P9Q9 C ≅ ∆PQR

Por lo que por transitividad se tiene que:

∆ABC ~ ∆PQR,

Que es lo que queríamos demostrar.

Este criterio resulta útil para demostrar que:

Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

Teorema de Pitágoras

Vamos a dar la demostración del Teorema de Pitágoras por semejanza de triángulos.

Actividad

Intenta obtener criterios de semejanza que te sean útiles para tipos específicos de triángulos, al igual que se procedió en el caso de la congruencia.

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras


Geometría plana

135

Demostración:

Sea el triángulo rectángulo ∆ABC y tracemos la altura CD.

C

c

A BP D q

43

21 ab

Podemos demostrar que el triángulo ∆ADC ~ ∆ACB

∠ A + ∠ 1 = 90°

∠ A + ∠ B = 90°

∴ ∠ B = ∠ 1

Como ∠ C = ∠ 3 por el criterio AA se demuestra que son semejantes. Estableciendo las proporciones entre sus lados homólogos tenemos:

lado opuesto ∠ 1 lado opuesto ∠ 3 ––––––––––––––– = ––––––––––––––– lado opuesto ∠ B lado opuesto ∠ C

p b — = — b c

∴ b 2 = pc

así mismo demostramos que los ∆BDC ~ ∆ACB.

∠ C = ∠ 4 (rectos)

∠ A + ∠ 1 = 90°

∠ 2 + ∠ 1 = 90°

∠ A = ∠ 2

Por el criterio AA, queda demostrado que dichos triángulos son semejantes.

Estableciendo la proporción entre sus lados homólogos; tenemos que:

lado opuesto ∠ C lado opuesto ∠ A ––––––––––––––– = ––––––––––––––– lado opuesto ∠ 4 lado opuesto ∠ 2

Figura 2.62


Etapa 2

136

c a — = — a q

a 2 = cq

Sumando a 2 y b 2 tenemos:

a 2 + b 2 = cq + cp

= c(q + p)

= c(c )

= c 2

Por lo tanto,

a2 + b2 = c2

que es la expresión matemática del Teorema de Pitágoras.

1. En cada uno de los siguientes ejercicios demuestra que los triángulos que se indican son se-mejantes y establece la proporcionalidad entre lados homólogos.

a) ∆ABC ~ ∆AED

CA

B

E

D

b) ∆ABC ~ ∆AEDC

CA

B

E20 5

D

16

4

Ejercicios


Geometría plana

137

c) AB | | CD

∆ABE ~ ∆CED

C

A B

E

D

E

d)

CA

B

E

D

Demostrar que ∆ABC ~ ∆DEC.

e)

CA

B

EDx

Si ∠ x ≅ ∠ C demuestra que ∆ABC ~ ∆DBE.


Etapa 2

138

f)

CA

B

EDy

Si ∠ y ≅ ∠ A, demuestra que ∆ABC ~ ∆DBE.

g) Demostrar que ∆DEC ~ ∆AEB.

BA

D C

45

2016

E

h) En la siguiente figura demuestra que ∆CED ~ ∆CAB. CE = 6

AD = 14

DC = 4

BE = 21

BA

D

C

E


Geometría plana

139

2. Encuentra el valor de x en cada uno de los ejercicios siguientes:

a) AB | | DE

CD = x

AD = 12

CE = 9

EB = 15

BA

D

C

E

b) AB | | DE

CD = 6

DA = x

CE = 6

EB = 8

BA

D

C

E

c) AB | | DE

CD = 8

DA = 16

CE = x

EB = 20

BA

D

C

E


Etapa 2

140

d) DE | | AB

CD = 12

DA = 15

CE = 18

EB = x

A B

D

C

E

e) AB | | DE

CD = x

CE = 20

EB = 30

AD = 24

BA

D

C

E

f) DE | | AB

CD = 10

DA = 15

CE = 12

EB = x

BA

D

C

E

3. Encuentra en cada caso, el valor del lado que falta.

a) b)

12

5C

4

3 C


Geometría plana

141

2.6 Polígonos, clasificación, elementos y propiedades

Polígonos

c) d )

6

8 C

1220

x

e) f )

6

10 x

2 2 5

x

• Dominar el concepto de polígono y polígono convexo y su clasificación según sus lados y ángulos.

Aquí nos limitaremos al caso de polígonos planos.

Como los que se muestran enseguida:

Un polígono es toda porción del espacio limitada por segmentos de recta. Estos segmentos se llaman lados del polígono.

Definición

Figura 2.63

Objetivo


Etapa 2

142

Clasificación de polígonos

Según el número de lados que tienen los polígonos, estos se clasifican en:

Triángulo: Polígono de 3 lados

Cuadrilátero: Polígono de 4 lados

Pentágono: Polígono de 5 lados

Hexágono: Polígono de 6 lados

Heptágono: Polígono de 7 lados

Octágono: Polígono de 8 lados

Nonágono: Polígono de 9 lados

Decágono: Polígono de 10 lados

Endecágono: Polígono de 11 lados

Dodecágono: Polígono de 12 lados

Pentadecágono: Polígono de 15 lados

Icoságono: Polígono de 20 lados

a) Un polígono regular es aquel que tiene sus lados iguales y sus ángulos interiores iguales. b) Ademáslospolígonosseclasificanenpolígonosconvexosyencóncavos. c) Unpolígonoesconvexocuandoelsegmentoderectaqueuneacualesquieradosdesus

puntos se encuentra totalmente en su interior. En caso contrario se dice que el polígono es cóncavo.

d) Además,unpolígonoesconvexocuando todos susángulos interiores sonmenoresde180°; en caso contrario, es cóncavo.

Definición

Polígono convexo Polígono cóncavo

Figura 2.64


Geometría plana

143

Elementos y propiedades de un polígono

• Aplicar las propiedades de los polígonos a la resolución de ejercicios.

Objetivo

Elementos de un polígono

En un polígono tenemos los siguientes elementos:

Ángulos interiores: Son los ángulos formados por cada dos lados consecutivos.

Ángulos externos: Son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores, que se obtienen al prolongar los lados de estos: Es decir, se forman por un lado y la prolongación de otro.

Observa que un ángulo interno y su externo son suplementarios.

∠1 + ∠19 = 180°

Hay un conjunto de rectas importantes en el interior de los polígonos. Aquí presentamos algunas de ellas:

1 2

35

4

1

2

3

4

5

Diagonal: Es todo segmento de recta que une un vértice con otro que no es consecutivo con él.

Definición

C

D

B

A

AC es una diagonal del polígono de la figura.

Ángulos interiores Ángulos exteriores

1, 2, 3, 4, 5 19, 29, 39, 49, 59

Figura 2.65

Figura 2.66


Etapa 2

144

radio: OFapotema: OP

C

D

B

A

F

E

G

H

PO

C

D

B

A

F

E

G

H

O

Definición

Radio. Es el radio de la circunferencia circunscrita en un polígono regular, y se obtiene median-te el segmento de recta que une al centro de esta última con uno de los vértices del polígono.

Apotema: El segmento de recta perpendicular a cualquiera de los lados de un polígono regular, trazada desde el centro de la circunferencia inscrita en el mismo.

Definición

Ángulo central: Es el ángulo que forman los radios que pasan por dos vértices consecutivos, en un polígono regular.

Ángulo central:∠ FOE

¿Recuerdas el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo? A partir de ese valor, intenta obtener una fórmula similar para la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo cualquiera.

Figura 2.68

Figura 2.67


Geometría plana

145

Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo

La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es igual a (n - 2)180°.

Teorema

Demostración:

AB, AD y AE son diagonales del polígono de la figura (aquí el número de lados es n = 6).

Observa que desde el vértice A de este polígono se pueden trazar tres diagonales (n - 3) = 6 – 3 = 3 del mismo, obteniéndose así una división de éste en cuatro triángulos (n - 2) = 4. Este análisis puede ser fácilmente generalizado a un polígono de n lados. Si se observa un vértice, entonces, partiendo de él se pueden trazar “n – 3” diagonales del polígono, dividiéndolo así en “n - 2” triángulos.

Pero ya hemos demostrado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, de donde concluimos que la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual al número de triángulos que se pueden formar, multiplicando por 180°.

Es decir:

Sai(n) = suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados.

Entonces es:

Sai(n) = (n - 2)180°.

Medida de un ángulo interior de un polígono regular

Como la suma de los ángulos interiores de un polígono regular de “n” lados está dada por la expresión Sai(n) = (n – 2)180°, entonces se deduce que la medida de cada ángulo interior se obtiene dividiendo dicha suma entre el número de lados, es decir.

Sai (n - 2)180°Ai(n) = ––– = ––––––––––

n n

C

D

BA

F

E

Figura 2.69


Etapa 2

146

Donde Ai(n) es la medida de cada ángulo interior de un polígono regular de “n” lados.

Te recomendamos ahora que intentes obtener el valor de la suma de los ángulos exteriores de un polí-gono convexo cualquiera.

Suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo

La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a 360°, independientemen-te del número de lados del polígono.

Teorema

Demostración:

1 2

35

4

1

2

3

4

5

Ángulos interiores Ángulos exteriores 1, 2, 3, 4, 5 19, 29, 39, 49, 59

Como el número de lados es igual al número de vértices, en cada vértice el ángulos interior y exterior suman 180°, es decir

∠ 1 + ∠ 19 = 180°

∠ 2 + ∠ 29 = 180°

Por lo tanto, la suma total de ángulos interiores y exteriores es de 180° multiplicado por el número de lados n.

Suma de ángulos interiores + suma de ángulos exteriores = 180° n.

Sea Sae(n) = Suma de los ángulos exteriores, entonces es:

Sae (n) = 180° n - Sai(n)

Sae(n) = 180° n - 180° (n - 2) Sae(n) = 180° n - 180° n + 360° = 360°.

Figura 2.70


Geometría plana

147

De donde se concluye que:

Sae(n) = 360°

Número de diagonales que se pueden trazar en un polígono convexo

El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono convexo de n lados es igual a:

n (n - 3)d = ––––––

2

Teorema

Demostración:

Ya hemos visto que desde cada vértice del polígono se pueden trazar (n - 3) diagonales. Sin embargo, cualquier diagonal trazada desde un vértice prefijado coincide con una diagonal trazada desde otro vér-tice. Por esa razón, si sumamos las cantidades de diagonales que se pueden trazar desde cada vértice, obtendremos el doble de la cantidad total de diagonales del polígono. Así es

2d = n (n - 3),

n (n - 3) de donde: d = –––––– 2

siendo d es el número de diagonales del polígono.

Para fines de este curso nos interesa aprender lo relacionado con los polígonos regulares.

Resumen:

Si n representa el número de lados de un polígono convexo, tenemos que:

a) Suma de ángulos interiores.

Sai(n) = 180° (n - 2)

b) Medida de cada ángulo interior en un polígono regular.

Sai (n) 180°(n - 2) Ai(n)= ––––– = –––––––––– n n

c) Sae(n) = 360°

d) Número de diagonales (d )

n (n - 3) d = ––––––– d


Etapa 2

148

e) Medida de cada ángulo exterior en un polígono regular.

360° Ae(n) = –––– n

f) El valor de un ángulo central en un polígono regular.

360° q (n) = –––– n

Ejemplo

Calcular en un octágono regular: a) La suma de los ángulos interiores.

Sai(8) = 180°(n - 2)

Sai(8) = 180°(8 - 2)

Sai(8) = 180°(6)

Sai(8) = 1080°

b) La medida de cada ángulo interior.

Sai(8) 1080° Ai(8) = ––––– = –––––– = 135° 8 8

c) La medida de cada ángulo exterior.

360° Ae(8) = –––– = 45° 8

d) El número de diagonales.

n (n - 3) d = ––––––– 2

8(8 - 3) d = ––––––– 2

8(5)° d = –––– = 20 diagonales 2 e) El valor de cada ángulo central, expresado en radianes.

360° q = ––––– = 45° 8


Geometría plana

149

45° p q = ––––– = rad 180

p q = — = rad 4

Ejemplo

¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores suman 1260°?

Procedimiento

Sai(n) = 180°(n - 2)

1260° = 180°(n - 2)

1260° = 180° n - 360°

1260° + 360° = 180° n

1620 180° n = 1620° n = ––––– 180

n = 9

Solución

El polígono tiene 9 lados, es decir se trata de un nonágono.

Ejemplo

¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 108° cada uno?

Procedimiento

180° (n - 2) Ai(n) = ––––––––––– n

1801(n - 2) 108° = ––––––––––– n

108° n = 180° n - 360°

108° n - 180° = -360°

-72° n = -360°


Etapa 2

150

-360° n = ––––– -72°

Solución: n = 5

Ejemplo

Hallar el número de lados de un polígono regular, si su ángulo externo mide 10°.

Procedimiento

360° Ae(n) = ––––– n

360° 10° = ––––– n

10° n = 360°

360° n = ––––– = 36 10°

Solución: El polígono tiene 36 lados.

Ejemplo

Hallar el número de lados de un polígono regular, si su ángulo interno mide el triple de su ángulo externo.

Procedimiento

Ai(n) + Ae(n) = 180°

Como Ai(n) = 3Ae(n); tenemos:

3 Ae(n) + Ae(n) = 180°

4 Ae(n) = 180°

180° Ae(n) = –––– = 45° 4


Geometría plana

151

360° Como A(n) = –––––, tenemos que: n

360° 45° = ––––– n

360° n = ––––– 45°

n = 8

Solución: n = 8

Ejemplo

Los ángulos interiores de un pentágono están representados por: ∠ A = (x - 10)° ∠ B = (2x - 20)° ∠ C = (2x - 10)° ∠ D = (2x + 10)° ∠ E = (3x - 30)°

Encuentra la medida de cada ángulo.

Procedimiento

Sai(n) = 180°(n - 2) Como n = 5, tenemos que:

Sai(n) = 180(5 - 2) = 540°; de donde

∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 540°

(x - 10)° + (2x - 20)°+ (2x - 10)° +(2x + 10)°+ (3x - 30)° = 540°

Entonces resulta:

10x – 60 = 540

10x = 540 + 60

10x = 600


Etapa 2

152

600 x = –––– 10

x = 60°

Solución

Por lo tanto:

∠ A = (60° - 10°) = 50°

∠ B = [2(60°) - 20°] = 100°

∠ C = [2(60°) - 10°] = 110°

∠ D = [2(60°) + 10°] = 130°

∠ E = [3(60°) - 30°] = 150°

Ejemplo

¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 14 diagonales?

Procedimiento

n (n - 3)d = –––––––– 2

n 2 - 3n14 = ––––––– 2

14 (2) = n2 - 3n

n2 - 3n – 28 = 0

Resolviendo por factorización se tiene:

(n - 7)(n + 4) = 0

n - 7 = 0 n + 4 = 0

n = 7 y n = -4

Dado que “n” no puede ser negativo, la única resolución es n = 7.

Solución El polígono es un heptágono.


Geometría plana

153

1. Encuentra la medida de los ángulos interiores de un pentágono que están representados por:

a) ∠ A = 2x °

b) ∠ B = x °

c) ∠ C = 3x °

d) ∠ D = 4x °

e) ∠ E = 5x °

2. Los ángulos interiores de un cuadrilátero medidos en grados están representados por 1.4x, 2.6x, 3.5x, 4.5x. Encuentra la medida de dichos ángulos.

3. Calcular en un hexágono regular:

a) La medida de cada ángulo interior.

b) La medida de cada ángulo exterior.

c) El número de diagonales.

4. Calcular en un octágono regular:

a) La suma de los ángulos interiores.

b) El valor de cada ángulo interior.



5. Determina el número de lados que tiene un polígono cuyos ángulos interiores suman 1 260°.

6. El ángulo interior de un polígono regular mide 120°. Determina:

a) El número de lados del polígono.

b) El número de diagonales.

c) El valor de cada ángulo exterior.

7. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular que posee 5 diagonales?

8. El ángulo exterior de un polígono regular mide 40°. Hallar:

a) El número de lados.

b) La suma de los ángulos interiores.

c) El número de diagonales.

d) La medida de cada ángulo interior.

Ejercicios


Etapa 2

154

9. Un polígono regular tiene 15 lados, hallar:

a) La suma de los ángulos interiores.

b) La medida de cada ángulo interior.



10. Los ángulos interiores de un polígono regular suman 1440°.. Hallar:

a) El número de lados.

b) El número de diagonales.

c) La medida de cada ángulo interior.

d) La media de cada ángulo exterior.

11. Determina cuántos lados tiene un polígono que posee:

a) 5 diagonales.

b) 20 diagonales.

c) 35 diagonales.

d) 44 diagonales.

e) 54 diagonales.

12. Determina el número de lados de un polígono regular en el cual la medida de cada uno de los ángulos internos es:

a) 170°

b) 144°

c) 108°

d) 60°

13. Determina el número de lados que tiene un polígono, si la suma de sus ángulos internos es de 3 600°.

14. Encuentra el número de lados que tiene un polígono regular si:

a) Su ángulo interno es de 165°.

b) Su ángulo externo es de 5°.

c) Su ángulo interno es de 140°.

d) Su ángulo externo es de 40°.


Geometría plana

155

2.7 Cuadriláteros

Cuadriláteros

• Clasificar los diferentes tipos de cuadriláteros y la aplicación de sus propiedades en la solución de ejercicios.

Objetivo

Un cuadrilátero como ya lo hemos señalado, es un polígono de cuatro lados.

También hemos demostrado que en todo polígono convexo de n lados, la suma de sus ángulos interiores se calcula por la fórmula.

Sai(n ) = 180°(n - 2)

Luego,

En todo cuadrilátero, la suma de sus ángulos interiores es de 360°.

Atendiendo al paralelismo de sus lados, los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Definiciones

• Un paralelogramo es un cuadrilátero, en el cual sus lados opuestos son paralelos. En la figuraes AB | | CD y AD | | BC.

• Un trapecio es un cuadrilátero que tiene solo dos lados opuestos paralelos. Así es en la figura AB | | DC.

A B

D C

Figura 2.71


Etapa 2

156

Clasificación de los paralelogramos

Definiciones

• Un cuadrado es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes y sus ángulos interiorestodossonrectos.Asíesenlafigura AB = BD = CD = CA.

• Un trapezoide es el cuadrilátero que no tiene lados paralelos.

• Un rectángulo esunparalelogramoquetienetodossusángulosinterioresrectos(verfigura).

A B

D C

A B

D

C

A

C

B

D

Figura 2.72

Figura 2.73

Figura 2.74

Resulta fácil reconocer que en un rectángulo los lados opuestos son congruentes. De esta manera se observa que un cuadrado es un caso particular de rectángulo.


Geometría plana

157

Por ser una generalización del rombo incluimos aquí el romboide, a pesar de no ser un paralelogramo.

• Un rombo es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes.

• Un romboide es un trapezoide que tiene dos pares de lados contiguos iguales.

A B

C D

A

B

C

D

A

B

C

D

Figura 2.77

Figura 2.76

Figura 2.75

Resulta fácil reconocer que en un rombo los ángulos opuestos son congruentes. De esta manera se observa que un cuadrado es el caso particular del rombo, cuyos ángulos inte-riores son todos rectos.


Etapa 2

158

Propiedades de los paralelogramos

Todo paralelogramo tiene las siguientes propiedades:

A

2

1

4

3

B

CD

Definición

• Losladosopuestosdeunparalelogramosonparalelos.Estoespordefinición.• Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.• Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.• Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.• Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes.• Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente.

Te recomendamos que intentes demostrar cada una de estas propiedades.

A continuación, demostraremos algunos teoremas, referentes a las propiedades anteriores.

Cada diagonal de un paralelogramo, lo divide en dos triángulos congruentes.

Teorema

Demostración:

En la figura la diagonal AC, divide al paralelogramo en los triángulos ∆ABC y ∆CDA y queremos demostrar que ellos son congruentes.

Figura 2.78

Recalcamos aquí que un romboide no es un paralelogramo. Sin embargo, resulta fácil reconocer que un rombo es el romboide que tiene todos sus lados iguales.


Geometría plana

159

En la figura tenemos:

∠ 2 = ∠ 4 por ser alternos internos entre paralelas.


El lado AC es común a ambos triángulos.

De acuerdo con el criterio ALA, los triángulos ∆ ABC y ∆ ACD son congruentes.

Demostración:

Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Teorema

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Teorema

A

2

1

45

6

3

D

CB

A

2

1

45

6

3

D

CB

Queremos demostrar que AD = BC y AB = CD.

Ya sabemos que los triángulos ∆ CBA y ∆ ADC son congruentes. Entonces AB y CD son lados homólogos de triángulos congruentes, lo mismo que AD y BC, por lo que son iguales.

Demostración:

Queremos demostrar que: ∠ A = ∠ C y ∠ B = ∠ D.

Figura 2.80

Figura 2.79


Etapa 2

160

En la figura es:



sumando miembro a miembro las igualdades.

∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 3 + ∠ 4

Por otro lado ∠ A = ∠ 1 + ∠ 2 y ∠ C = ∠ 3 + ∠ 4.

Dos cantidades iguales a una tercera, son iguales entre sí, por lo tanto: ∠ A = ∠ C.

Además, sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, así:

∠ 2 + ∠ 3 + ∠ B = 180°

∠ 1 + ∠ 4 + ∠ D = 180°, es decir

∠ 2 + ∠ 3 + ∠ B = ∠ 1 + ∠ 4 + ∠ D .

Como ∠ 2 = ∠ 4 y ∠ 3 = ∠ 1 , tenemos:

∠ 4 + ∠ 1 + ∠ B = ∠ 1 + ∠ 4 + ∠ D

∠ B = ∠ 1 + ∠ 4 + ∠ D – ∠4 – ∠ 1

∠ B = ∠ D + 0

∠ B = ∠ D

Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

Teorema

Demostración:

A D

CB

Queremos demostrar que:

∠ A + ∠ D = 180°

∠ A + ∠ B = 180°

Figura 2.81


Geometría plana

161

∠ C + ∠ B = 180°

∠ C + ∠ D = 180°

La suma de los ángulos interiores del paralelogramo es de 360°, así es que:∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360°

Pero ∠ A = ∠ C y ∠ B = ∠ D, por lo tanto tenemos:

2 ∠ A + 2 ∠ B = 360°

∠ A + ∠ B =180°.

Los ángulos ∠ A y ∠ B son consecutivos y hemos demostrado que su suma es de 180°. De manera análoga podemos demostrar que cualesquiera dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son su-plementarios.

Las diagonales de un paralelogramo, se bisecan mutuamente.

Teorema

Demostración:

A2

1

47

65E

8

3

D

CB

En la figura anterior, queremos demostrar que E es el punto medio de AC y de BD; es decir que AE = EC y BE = DE.

Para demostrar lo anterior se requiere comprobar que los triángulos ABE y CDE son congruentes.

AB = CD Por ser lados opuestos del paralelogramo.

∠ 5 = ∠ 6 Por ser opuestos por el vértice.

∠ 1 = ∠ 4 Por ser alternos internos entre paralelas.

∠ 7 = ∠ 8 Por ser alternos internos entre paralelas.

De acuerdo con el criterio ALA, los triángulos ∆ ABE y ∆ CDE son congruentes, donde AB = CD, AE = EC y BE = ED por ser lados homólogos de triángulos congruentes.

Figura 2.82


Etapa 2

162

Además de las propiedades de los paralelogramos, como casos particulares,

Los rectángulos cumplen:

• Todos los ángulos de un rectángulo miden 90°.

• Cada diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos congruentes y rectángulos.

• Las diagonales de un rectángulo se bisecan mutuamente y son congruentes.

Los cuadrados cumplen además:

• Cada diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos congruentes, rectángulos e isósceles.

• Las diagonales de un cuadrado se bisecan mutuamente, son congruentes y son perpendiculares entre sí.

Por su parte, los rombos cumplen:

• Cada diagonal de un rombo lo divide en dos triángulos congruentes e isósceles.

• Las diagonales de un rombo se bisecan mutuamente, son congruentes y son perpendiculares entre sí.

Sin embargo, los ángulos interiores de un rombo en general no son rectos. Trata de demostrar cada una de estas propiedades.

Aplicaciones de las propiedades de los paralelogramos

Ejemplo

Halla los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD, si: ∠ A = (x 5)°, ∠ B = (x + 20)°, ∠ C = (2x 45)° y ∠ D = (2x 30)°

Procedimiento

La suma de los ángulos interiores es de 360°, por lo tanto:

∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360°

(x 5)° + (x + 20)° + (2x 45)° + (2x 30)° = 360°

6x 60 = 360°

6x = 360 + 60


Geometría plana

163

6x = 420

420 x = –––– 6

x = 70°

Solución

∠ A = (x – 5)° = (70 – 5)° = 65°

∠ B = (x + 20)° = (70 + 20)° = 90°

∠ C = (2x – 45)° = [2(70) – 45]° = 95°

∠ D = (2x – 30)° = [2(70) – 30]° = 110°

Ejemplo

Si ABCD es un paralelogramo, encuentra x y y.

Procedimiento

∠ A = ∠ C por ser ángulos opuestos del paralelogramo.

4x – 30 = 3x – 5

4x – 3x = –5 + 30

x = 25°

∠ A + ∠ B = 180° por ser suplementarios.

[4(25) – 30]° + ∠ B =180°

(100 – 30)° + ∠ B =180°

70°+ ∠ B = 180°

∠ B = 180° – 70°

∠ B = 110°

A D

CB(2y – 18)° (3x – 5)°

(4x – 30)°

Figura 2.83


Etapa 2

164

Solución

(2y – 18)° = 110°

2y – 18 = 110

2y = 110 + 18

110 + 18 y = –––––––– = 64 2

Ejemplo

Si el cuadrilátero de la figura, es un paralelogramo, hallar x y y.

AE = x + 2y

EC = 15

BE = x

DE = 3y

A

E

D

CB

Procedimiento

Como las diagonales se bisecan mutuamente, entonces:

x + 2y = 15

x = 3y

Resolviendo:

3y + 2y = 15

5y = 15

15y = ––– 5y = 3

Figura 2.84


Geometría plana

165

Solución

x = 3y

x = 3(3)

x = 9

Ejemplo

Encuentra los valores de x y y en el siguiente paralelogramo.

Procedimiento

AB = CD por ser lados opuestos del paralelogramo.

2x = 8

8 x = — 2

x = 4

AD = BC por ser lados opuestos del paralelogramo.

2y 2 = 3x

2y 2 = 3(4)

2y = 12 + 2

2y = 14

Solución

14 y = ––– 2

y = 7

A D

CB

2x 8

3x

2y – 2

Figura 2.85


Etapa 2

166

Ejemplo

Si ABCD es un paralelogramo, encuentra la longitud de sus lados.

A D

CB

x + 9 3x + 5

2x + 3

Procedimiento

AB = CD por ser lados opuestos del paralelogramo.

3x + 5 = x + 9

3x – x = 9 – 5

2x = 4

4 x = — 2

x = 2

Solución

AB = x + 9 = 2 + 9 =11

CD = AB = 11

AD = 2x + 3 = 2(2) + 3 =7

BC = AD = 7

Ejemplo

Si la figura representa el rectángulo ABCD, encuentra BD si:

AE = 4x + 12y CE = 2x + 48.

Figura 2.86


Geometría plana

167

Procedimiento

Como las diagonales se bisecan mutuamente, entonces:

AE = CE

4x + 12 = 2x + 48

4x – 2x = 48 – 12

2x = 36

36 x = ––– 2

x = 18

AC = AE + CE

AC = 4(18) + 12 + 2(18) + 48

AC = 84 + 84

AC = 168

Solución

Como las diagonales de un paralelogramo son congruentes; entonces:

BD = AC

BD = 168

Ejemplo

El cuadrilátero ABCD de la figura es un rombo, hallar a y b.

A D

CB

E

Figura 2.87


Etapa 2

168

Procedimiento

AD = AB

5a – 12 = 33

5a = 33 +12

5a = 45

45 a = ––– 5

a = 9

∠ A + ∠ B = 180 por ser ángulos consecutivos de un rombo, entonces:

∠ B = 180° – ∠ A

∠ B =180 – 60

∠ B = 120°

Como BD es bisectriz del B, entonces:

120° ∠ 1 = –––– = 60° 2

Por lo tanto el triángulo ∆ ABD es equilátero, entonces:

Solución

2b = 33

33 b = ––– = 16.5 2

Ejemplo

Encuentra x y y en el rombo de la siguiente figura.

A60°

5a – 12

2b33

21

D

CB

I

Figura 2.88


Geometría plana

169

Procedimiento

∠ 1 = 7x 10

∠ 2 = 3x + 18 y ∠ 1= ∠ 2 porque AC es bisectriz del ∠ A, entonces:

7x – 10 = 3x + 18

7x – 3x = 18 + 10

4x = 28

x = 7

∠ A + ∠ B = 180° por ser ángulos consecutivos de un rombo y además,

∠ A = ∠ 1 + ∠ 2 por adición de ángulos, entonces:

∠ A = 7(7) – 10 + 3(7) + 18

∠ A = 49 – 10 + 21 +18

∠ A = 78°

Solución 78°+ y = 180°

y = 180 – 78

y = 102°

Trapecios

Los lados paralelos de un trapecio se llaman bases y como son de diferente longitud, una es la base mayor y la otra la base menor (generalmente se denotan como B y b respectivamente.

A

h

B

CD

A

y

21

D

CB

Figura 2.89

Figura 2.90


Etapa 2

170

En la figura anterior:

CD es la base menor (b)

AB es la base mayor (B)

Se llama altura del trapecio al segmento de recta perpendicular a las bases que determina la distancia entre éstas (h en la figura).

El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio se llaman paralelo medio y su longitud es la semisuma de sus bases.

A D

Mh

E

F

N

CB

A B

CD

EF = Altura = h

MN = Paralela media.

Si M y N son los puntos medios de AB y CD respectivamente, entonces:

BC + ADMN = ––––––––

2

Trata de demostrar esta última afirmación.

• Un trapecio se dice isósceles si los lados no paralelos tienen igual longitud.

AD = BC

Figura 2.91

Figura 2.92


Geometría plana

171

Propiedades de los trapecios

Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son congruentes.

Teorema

• Los ángulos contiguos a cada uno de los lados no paralelos de un trapecio son suplementarios.

• La longitud de la paralela media de un trapecio, es igual a la semisuma de las bases.

Teorema

Demostración:

Si el cuadrilátero ABCD es un trapecio isósceles, queremos demostrar que:

∠ A = ∠ D

∠ B = ∠ C

Tracemos en la figura anterior los segmentos de recta BE y CF perpendiculares a AD, por lo que son altura del trapecio.

Podemos demostrar que los triángulos ∆ ABE y ∆ DCF son congruentes, pues:

AB = CD por definición,

BE = CF por ser ambos segmentos alturas del trapecio,

y ∠ AEB = ∠ DFC por ser ángulos rectos.

Si dos triángulos rectángulos tienen congruente su hipotenusa y un cateto, entonces los triángulos son congruentes. Como el segmento AE es el homólogo de FD, entonces es ∠ A = ∠ D.

A D

CB

A DE F

CB

Figura 2.93

Figura 2.94


Etapa 2

172

Queremos demostrar que:

BC + ADMN = –––––––– 2

En la figura tenemos que los triángulos ∆ ABE y ∆ MBG, son semejantes, por lo que sus lados son propor-cionales, como M es punto medio de AB, es:

MG 1–––– = — , por lo tanto: AE 2

AE MG = ––– 2

Así mismo, los triángulos ∆ CHN y ∆ CFD son semejantes y como N es el punto medio de CD,

HN 1–––– = — , es decir, FD 2

FD HN = ––– 2

Expresando el segmento MN en términos de AE y FD resulta:

MN = MG + BC + HN

AE FD MN = ––– + BC + ––– 2 2

AE + 2BC + FD MN = ––––––––––––– 2

Pero BC = EF, luego 2BC se puede descomponer como BC + EF, por lo que:

AE + FD + BC + EF Ae + EF + FD + BC MN = ––––––––––––––––– = ––––––––––––––––– 2 2

AD + BC MN = –––––––– 2

que es lo que queríamos demostrar.

A DE F

G HM N

CB

Figura 2.95


Geometría plana

173

Aplicación de las propiedades del trapecio

Ejemplo

Encuentra los valores de x y y en el trapecio ABCD de la figura si es isósceles.

A D

CB

(4x + 30)° (7x)°

2y

Procedimiento

∠ A = ∠ D por ser ángulos de la base de un trapecio isósceles.

4x + 30 = 7x

30 = 7x – 4x

3x = 30

30 x = ––– 3

x = 10°

∠ D + ∠ C = 180 por ser conjugados internos.

7x + 2y = 180°

7(10) + 2y = 180°

70° + 2y = 180°

2y = 180° – 70°

2y = 110°

Solución

110°y = –––– = 55° 2

Figura 2.96


Etapa 2

174

Ejemplo

Si el trapecio ABCD de la figura es isósceles, encuentra el valor de los ángulos A, B, C, y D si B y A están en razón de 3:2

A D

CB

A D

CB

a – 680°

b 3a – 10

Procedimiento

Tenemos que el ∠ A + ∠ B = 180°.

Ahora sea x el factor proporcional,

3x + 2x = 180°

5x = 180°

180° x = –––– 5

x = 36°

∠ A = 2x y ∠ B 3x; luego

∠ A = 2(36°) y ∠ B = 3(36°)

∠ A = 72° y ∠ B =108°

y además, ∠ A = ∠ D por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles

por lo tanto: ∠ B = ∠ C por la misma razón.

Ejemplo

Encuentra los valores de a y b en el trapecio de la figura.

Figura 2.97

Figura 2.98


Geometría plana

175

Procedimiento

b + 80° = 180°

b = 180° – 80°

b = 100°

(3a –10) + (a – 6) = 180°

4a – 16 = 180°

4a = 180° + 16

4a = 196°

196 a = –––– 4

Solución a = 49°

Ejemplo

Si MN es la paralela media del siguiente trapecio ABCD, determinar los valores de m, b9 y b :

Procedimiento

a) Si b = 40 y b 9 = 30

b + b 9 40 + 30 70m = –––––– = ––––––– = ––– 2 2 2

m = 35

b) Si b = 26 y m = 20

b + b 9 m = ––––– 2

20(2) = 26 + b 9

40 – 26 = b 9

b 9 = 14

A D

CB

NM

b

b

m

Figura 2.99


Etapa 2

176

c) Si b 9 = 16 y m = 30

b + b 9 m = ––––– 2

b + 16 30 = –––––– 2

60 = b + 16

b = 60 – 16

b = 44

1. Hallar los ángulos interiores de un cuadrilátero si se representan por:

A = (2x +10)°, B = (8x)°, C = (7x - 5)° D = (9x + 5)°

2. Hallar la medida de los ángulos internos de un cuadrilátero, si sus ángulos externos están a la razón de 2 : 3 : 4 : 6.

3. Demuestra que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.

A D

CB

Demuestra que AB = CD y AD = BC

4. Si ABCD es un paralelogramo, hallar x y z.

x = __________

z = __________

A

4z – 4

5x

3x 48

D

CB

Ejercicios


Geometría plana

177


A2x + 5z

3x + 2z 22

D

CB33

6. Si ABCD es un paralelogramo hallar x y z.

A

7x

7

5x – 2z 6

D

CB


A D

CB

∠ A = (2x + 40)° ∠ B = 110° ∠ C = 2z


A D

CB

∠ A = (4x - 50)° ∠ B = (2z)° ∠ C = (x + 28)°


Etapa 2

178

9. Demuestra que los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

A D

CB

Demuestra que ∠ A = ∠ C ∠ B = ∠ D


A D

CB

∠ B = 140°∠ D = 4(2x + 10)°∠ A = 5z

11. Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se buscan mutuamente.

A D

CB

E

Demuestra que E es el punto medio de AC y BD.

(Sugerencia, demuestra que ∆ABE ≅ ∆DEC.


AE = 1.5x AC = 30 BE = 8 DE = 2Z

A D

CB

E


Geometría plana

179


AE = 4x - 2

EC = z

BE = 2x + 3z

ED = 22

x = ______

z = ______A D

CB

E


AE = 5x + 3z

EC = 66

BE = 4x + 6z

ED = 60

x = ______

z = ______A D

CB

E

15. Demuestra que las diagonales de un rectángulo son congruentes.

BA

CD

Demuestra que AC ≅ BD.

16. El largo y el ancho de un rectángulo están a la razón de 3:4 Encuentra la longitud de sus diagonales si su perímetro es de 140 cm.

17. Si ABCD es un paralelogramo, hallar x y z en los siguientes casos:

A D

CB

E


Etapa 2

180

a) AE = x + z, EC = 20, BE = x - z, ED = 8

b) AE = 2x + z, AC = 30, BE = 5x + Z, BD = 24

c) AD = 5x, AB = 2x, CD = z; perímetro = 84

d) ∠ A = (4z - 60)°, ∠ C = 2z °, ∠ D = x °

e) ∠ A = 3x °, ∠ B = (10x - 15)°, ∠ C = z

18. Si la figura siguiente es un rombo, demuestra que su diagonal AC es bisectriz de los ángulos de los vértices que une.

A D

CB

1

2

4

3

Demostrar que: ∠ 1 ≅ ∠ 2 ∠ 3 ≅ ∠ 4

19. Si ABCD es un rombo, encuentra x y z.

∠ 1 = (5x + 26)°

∠ 2 = (7x + 6)°

A D

CB

1

2z

2

20. Si ABCD es un rombo, encuentra x y z.x = __________

z = __________

A

D

C

B

4x + 1

z—2

x + 28

C


Geometría plana

181

a) AE = x + z, EC = 20, BE = x - z, ED = 8

b) AE = 2x + z, AC = 30, BE = 5x + Z, BD = 24

c) AD = 5x, AB = 2x, CD = z; perímetro = 84

d) ∠ A = (4z - 60)°, ∠ C = 2z °, ∠ D = x °

e) ∠ A = 3x °, ∠ B = (10x - 15)°, ∠ C = z

18. Si la figura siguiente es un rombo, demuestra que su diagonal AC es bisectriz de los ángulos de los vértices que une.

A D

CB

1

2

4

3

Demostrar que: ∠ 1 ≅ ∠ 2 ∠ 3 ≅ ∠ 4

19. Si ABCD es un rombo, encuentra x y z.

∠ 1 = (5x + 26)°

∠ 2 = (7x + 6)°

A D

CB

1

2z

2

20. Si ABCD es un rombo, encuentra x y z.x = __________

z = __________

A

D

C

B

4x + 1

z—2

x + 28

C

21. Sea el cuadrilátero ABCD un rombo. Demuestra que las diagonales de un rombo son perpen-diculares entre sí:

A D

CB

Demuestra que AC ⊥ BD.

22. Demuestra que las diagonales de un rombo, lo dividen en cuatro triángulos congruentes.

A D

CB

II

IIV III

Demuestra que ∆I ≅ ∆II ≅ ∆III ≅ ∆IV.

23. Las diagonales de un rombo miden 20 cm y 16 cm respectivamente, encuentra la longitud de sus lados.

24. Las diagonales de un rombo miden 10 cm y 24 cm respectivamente, encuentra su perímetro.

25. El perímetro de un rombo es de 40 cm y una de sus diagonales mide 12 cm. Encuentra la magnitud de la otra diagonal.

26. Si ABCD es un trapecio, hallar x y z.x = __________

z = __________

A D

CB120°

3x

4z + 30

2z


Etapa 2

182

27. Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar “x ”, “y ” y “z ”.x = __________

y = __________

z = __________

C D

BA(5y)°

6(x – 5)°

(6z)°

2(x + 5)°

28. Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar “x” y “z”.x = __________

z = __________

A D

CB

z (9x)°

(6x)°

C

C

2.8 Áreas de regiones poligonales

Áreas de regiones poligonales

A cada región poligonal se le puede relacionar un número positivo que se llama su área.

Para comprender este concepto comenzaremos por asumir que un cuadrado cuyo lado mide una uni-dad de longitud, tiene una área de una unidad cuadrada (A = 1u 2). La siguiente figura representa a un cuadrado de lado uno.

• Calcular áreas de polígonos rectangulares, paralelogramos, triángulos, trapecios y rombos.

Objetivo

A D

CB

Figura 2.100


Geometría plana

183

27. Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar “x ”, “y ” y “z ”.x = __________

y = __________

z = __________

C D

BA(5y)°

6(x – 5)°

(6z)°

2(x + 5)°

28. Si ABCD es un trapecio isósceles, hallar “x” y “z”.x = __________

z = __________

A D

CB

z (9x)°

(6x)°

C

C

El área de una región poligonal expresa cuántas veces está contenida la unidad de área, (es decir, el cuadrado de lado 1) en dicha región.

Para la medición de área debemos considerar los siguientes postulados:

1. Si dos polígonos son congruentes, entonces sus áreas son iguales.

2. Si una región poligonal puede dividirse en diferentes polígonos, su área es la suma de las áreas de esos polígonos.

Área de un rectángulo

Si se considera que el rectángulo ABCD de la figura tiene una longitud de 3 unidades, y una altura de 5 unidades, los segmentos horizontales y verticales forman un total de 15 cuadrados. Por lo tanto, su área es de 15 unidades de área.

La unidad de área = (unidad de longitud) 2.

A B

CD

A Db

h

CB

El razonamiento anterior nos permite enunciar el siguiente postulado:

El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura.

Postulado

A = b h

Figura 2.101


Etapa 2

184

Ejemplo

Encuentra el área del rectángulo de la figura.

8 cm

6 cm

15 cm

Procedimiento

A = (8 cm)(6 cm)

A = 48 cm2

Ejemplo

Hallar el área de un rectángulo si su base es de 15 cm y su perímetro es de 50 cm.

Procedimiento

A = bh

A = 15h

p = 2b + 2h

50 cm = 2(15 cm) + 2h

Figura 2.103

Figura 2.102


Geometría plana

185

50 cm = 30 cm + 2h

2h = 50 cm – 30 cm

2h = 20 cm

20bl h = ––––– 2

h = 10 cm

Solución El área A = (b)(h) = (15 cm)(10 cm) = 150 cm2

Ejemplo

Hallar el área de un rectángulo si su altura es de 10 m y su diagonal es de 26 m.

b

h = 10 cmd

Procedimiento

A = bh

A = b(10)

A = 10b

d 2 = b2 + h2

d 2 h2 = b2

b2 = (26m)2 – (10m)2

b2 = 676 m2 100 m2

b2 = 576 m2

b = 576m2

b = 24 m

Solución A = (10 m)(24 m) = 240 m2

Figura 2.104


Etapa 2

186

Ejemplo

El área de un rectángulo es de 70 m2 y su perímetro es de 34 m. Hallar la base y la altura.

Procedimiento

A = bh

bh = 70 m2

2b + 2h = p

2b + 2h = 34

Dividendo ambos miembros de la ecuación entre dos, nos queda:

2b + 2h 34––––––– = ––– 2 2

b + h = 17

De lo anterior nos resulta el siguiente sistema de ecuaciones:

a) bh = 70

b) b + h = 17

Despejando b en la ecuación 2 y sustituyendo en la ecuación 1, resulta:

b = 17 – h

(17 – h)h = 70

17h – h 2 = 70

–h2 + 17h – 70 = 0

Cambiándole los signos a la ecuación, resulta:

h2 – 17h + 70 = 0

Resolviendo por el método de factorización, nos queda:

(h – 7) (h –10) = 0

h = 7 h = 10

Solución

Si h = 7 m, la base b = 17 – h = 17 – 7 = 10 m

Si h = 10 m, la base b = 17 – h = 17 – 10 = 7 m


Geometría plana

187

Área del cuadrado

Dado que el cuadrado es un rectángulo equilátero, su base y su altura tienen igual longitud, por lo tanto su área es igual al cuadrado de la longitud de uno de sus lados.

Si ABCD es un cuadrado:

A = ,2

Ejemplo

Hallar el área de un cuadrado, si cada uno de sus lados mide 15 cm.

Procedimiento

A = (,)2

Solución

A = (15 cm)2

A = 225 cm2

Ejemplo

Si el área de un cuadrado es de 81 m2, hallar:

a) La longitud de sus lados.

b) El perímetro.

c) La longitud de su diagonal.

A D

B C

Figura 2.105


Etapa 2

188

Procedimiento

a) A = , 2

, 2 = 81 m2

, = 81 m2

, = 9 m

b) p = 4,

p = 4(9 m)

p = 36 m

c) d 2 = (9 m2) + (9 m2)

d 2 = (81 + 81) m2

d 2 = 2(81) m2

d = 2(81)m2

d = 9 2 m

Ejemplo

El lado de un cuadrado mide (x + 5) cm. Si su área es de 144 cm2 . Encuentra el valor de x.

A = 81 m2

x + 5

x + 5

Figura 2.107

Figura 2.106


Geometría plana

189

Procedimiento

A = (x + 5)2

(x + 5)2 = 144

x + 5 = 12 (se rechaza el número negativo).

x = 12 – 5

x = 7 cm

Ejemplo

Hallar el lado de un cuadrado cuyo diagonal es de 16 cm.

d = 16

Procedimiento

d 2 = , 2 + , 2

d 2 = 2 , 2

d 2 , 2 = ––– 2

d 2 , = ––– 2

d , = ––– 2

16 2 , = ––– · ––– 2 2

16 2 , = –––––– = 8 2 cm 2

Figura 2.108


Etapa 2

190

Área de un paralelogramo

Sea la figura un paralelogramo, con base AD y altura BE.

Al trazar por C el segmento de recta BF perpendicular a la prolongación de la base AD, se forma un rec-tángulo que tiene la misma base y la misma altura que el paralelogramo.

B C

AE

D

B b C

AE D

hA2A1 A3

F

Demostraremos que el área del paralelogramo ABCD, es de igual longitud que el área del rectángulo BCFE.

Sea A1 = Área del ∆ ABE.

Sea A2 = Área del cuadrilátero BCDE.

Sea A3 = Área del triángulo DCF.

De lo anterior resulta lo siguiente:

Área del paralelogramo ABCD = A1 + A2

Área del rectángulo BCFE = A2 + A3 = BC ·CF = bh

Figura 2.109

Figura 2.110


Geometría plana

191

Los triángulos ∆ ABE y ∆ DCF son congruentes, dado que:

AB = DC Por ser lados opuestos del paralelogramo.

BE = CF Por ser lados opuestos del paralelogramo BCFE.

Si dos triángulos rectángulos, tienen dos lados congruentes, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

De acuerdo con lo anterior, si dos triángulos son congruentes, entonces sus áreas son iguales.

A1 = A3

Área del paralelogramo ABCD = A1 + A2 = A2 + A3 = Área del rectángulo BCFE.

A2 + A3 = bh

Por lo tanto, el área del paralelogramo ABCD = bh.

Ejemplo

Hallar el área de un paralelogramo cuya base mide 20 cm y cuya altura mide 8 cm.

Procedimiento

A = bh

A = (20 cm)(8 cm)

A = 160 cm2

Ejemplo

Hallar la base de un paralelogramo, si su área es de 45 m2 y su altura de 15 m2.

Procedimiento

A = bh

45 m2 = b(15 m)

45 m2

b = –––––– 15 m b = 3 m


Etapa 2

192

Ejemplo

El área de un paralelogramo se representa por x 2, la base por (x + 3) cm y la altura por (x – 2) cm, hallar el área del paralelogramo.

Procedimiento

A = bh

x 2 = (x + 3)(x 2)

x 2 = x 2 + x – 6

x 2 – x 2 = x – 6

x – 6 = 0

x = 6 cm

Solución A = x 2

A = (6)2

A = 36 cm2

Ejemplo

La base de un paralelogramo se representa por (x + 3) m, la altura por (x + 1)m y su área es de 48 m2. Calcula la longitud de la base.

Procedimiento

bh = A

(x + 3)(x + 1) = 48

x 2 + 4x + 3 = 48

x 2 + 4x + 3 – 48 = 0

x 2 + 4x – 45 = 0

Resolviendo por factorización:

(x + 9)(x – 5) = 0

x = –9 , x = 5, se rechaza x = –9 ∴ x = 5

b = x + 3

b = 5 + 3

b = 8 m


Geometría plana

193

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual al semiproducto de la base por la altura; como lo vamos a demostrar.

bhA = –––

2

Sea el triángulo ∆ ABC, con base AC = b y altura BD = h.

En el triángulo de la figura anterior, al trazar BE | | AC y EC | | AB, se forma un paralelogramo que tiene igual base y altura que el triángulo.

B

AD

h

C

BE

AD

C

Entonces BC es una diagonal que divide al paralelogramo en dos triángulos congruentes.

∆ ABC ≅ ∆ BCE

Por lo tanto el área del triángulo ∆ ABC en la mitad del área del paralelogramo.

Ejemplo

La base de un triángulo es de 12 cm y su altura es de 7 cm. Halla su área.

Figura 2.111

Figura 2.112


Etapa 2

194

Procedimiento

bhA = ––– 2

(12 cm) (7 cm)A = ––––––––––––– 2

84 cmA = –––––– 2

A = 42 cm2

Ejemplo

Encuentra el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 m y 12 m respectivamente.

Procedimiento

bhA = ––– 2

(8 m) (12 m) 96 m2

A = ––––––––––– = –––––– 2 2

Solución A = 48 m2

Ejemplo

Encuentra el área de un triángulo equilátero, cuyos lados miden 20 cm.

20 cm 20 cmh

10 cm 10 cm

Procedimiento

(20)2 = h 2 + (10)2

h 2 = (20)2 – (10)2

Figura 2.113


Geometría plana

195

h 2 = 400–100

h 2 = 300

h = 300

h = 3(100)

h = 10 3

Solución

bhA = ––– 2

(20 cm) (10 3)cmA = ––––––––––––––– = 100 3 cm 2

Ejemplo

El perímetro de un triángulo equilátero es de 48 cm. Encuentra el área.

Procedimiento

P = 3 ,

3 , = 48 cm

48 cm , = –––––– 3

, = 16 cm

16 cm 16 cmh

8 cm 8 cm

(16 cm)2 = h 2 + (8 cm)2

h 2 = 256 cm2 – 64 cm2

h 2 = 192 cm2

h = 192 cm2

h = 3(64 cm)2

Figura 2.114


Etapa 2

196

h = 8 3 cm

bh A = ––– 2

16(8 3) A = ––––––– 2

A = 64 3 cm2

Ejemplo

Halla el área de un triángulo equilátero si su altura es igual a 6 m.

6

/2

Procedimiento

bh A = ––– 2

A = 3, m2, pero:

, , 2 = ( — )

2 + (6)2

2

, 2 , 2 = ––– + 36 (Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 4) 4

4, 2 = , 2 +144

4, 2 – , 2 =144

3, 2 = 144

144 , 2 = –––– 3

144 , = –––– 3

, = 48 = 16(3) = 4 3 cm

Figura 2.115


Geometría plana

197

bhSolución A = –––

2

, A = — (6) = 3 , 2

4 3 A = ––––– (6) 2

A = 2 3 (6)

A = 12 3 cm

Área de un trapecio

El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de su altura por la suma de sus bases como lo vamos a demostrar.

1A = — (B + b) h

2

Sea el trapecio ABCD, de altura BE = h, base AD = b y base BC = b 9.

h

B

b

b C

A DE

h h

B FC

A DE

La diagonal BD, divide al trapecio en los triángulos ∆ ABD y ∆ DBC y ambos tienen igual altura.

La altura del triángulo ∆ DBC, se obtiene al trazar el segmento DF ⊥ BC en su prolongación.

Figura 2.117

Figura 2.116


Etapa 2

198

BE = FD porque son lados opuestos del paralelogramo BFDE.

Área del trapecio = Área ∆ ABD + Área ∆ DBC

1 1Área del trapecio = — AD · BE + — BC · DF 2 2

1 1Área del trapecio = — Bh + — bh 2 2

1Área del trapecio = — h (B + b)

2

Ejemplo

Halla el área del trapecio ABCD, si b = 25 cm, b 9 = 15 cm y h = 7 cm.

h

B Cb

bA D

1A = — h (b + b9)

2

Procedimiento

1 A = — (7 cm)(25 cm + 15 cm) 2

A = 140 cm2

Ejemplo

Hallar el área de un trapecio si su paralela media mide 10 m y su altura es de 2 m.

Procedimiento

1 A = — h (b + b 9) 2

Figura 2.118


Geometría plana

199

A = mh

A = 10 m (2 m)

A = 20 m2

Ejemplo

El área de un trapecio es de 40 cm2. Si su base mide 13 cm y 7 cm respectivamente, determina su altura.

Procedimiento

1 A = — h (b + b 9) 2

2A = h (b + b 9)

2A h = ––––––– (b + b 9)

2(40 cm)2

h = –––––––––––––– (13 cm + 7 cm)

h = 4 cm

Ejemplo

Hallar el área del trapecio isósceles ABCD, si b 9 = 17 pulg, , = 10 pulg. y h = 7 pulg.

h

B Cb

bE FA D

Procedimiento

b = AE + EF + FD

b = AE + b 9 + FD

Figura 2.119


Etapa 2

200

b = AE + 17 + FD

Como el trapecio es isósceles, entonces AE = FD

b = 17 + 2AE

AE 2 + h 2 = , 2

AE 2 = , 2 – h 2

AE 2 = (10 pulg )2 – (6 pulg)2

AE 2 = 64 pulg2

AE = 8 pulg.

b = 17 pulg + 2AE

b = 17 + 2(8)

b 9 = 33 pulg

1 A = — h (b + b 9) 2

1 A = — (6 pulg)(33 pulg + 17 pulg) 2

A = 150 pulg2

Área del rombo

El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales.

B

CA

D

Sea AC = d

BD = d 9

dd 9Queremos demostrar, que el área del rombo es igual a ––––. 2

Figura 2.120


Geometría plana

201

dd 9A = ––––

2

Como ya hemos demostrado, las diagonales son mutuamente mediatrices y los cuatro triángulos forma-dos son congruentes, entonces:

1Área de uno de los triángulos = — bh 2

1 d d 9 = — ( — ) ( ––– ) 2 2 2

dd 9 = –––– 8

dd 9 Área total = 4 ( –––– ) 8

4dd 9 Área total = ––––– 8

dd 9 Área total = –––– 2

Ejemplo

Hallar el área de un rombo, si sus diagonales miden 14 cm y 10 cm respectivamente.

Procedimiento

dd 9 A = –––– 2

(14 cm) (10 cm) A = –––––––––––––– 2

A = 70 cm

Ejemplo

El área de un rombo es de 675 pulg2 .Si sus diagonales están a la razón de 3:2, encuentra la lon-gitud de sus diagonales.


Etapa 2

202

Procedimiento

dd 9 A = –––– 2

Sea d = 3x

d 9 = 2x

(3x )(2x ) A = –––––––– = 675 pulg2

2

6x 2 = 1350 pulg2

1350 pulg2

x 2 = –––––––––– 6

x 2 = 225 pulg2

x = 225 pulg2

x = 15 pulg

d = 3x

d = 3(15 pulg) = 45 pulg.

d 9 = 2x

d 9 = 2(15 pulg)

d 9 = 30 pulg

Ejemplo

Sea la figura un rombo, con diagonal BD = 30 cm y AB = 17, encuentre el área del rombo.

B C

A D

E

Figura 2.121


Geometría plana

203

Procedimiento

BD = d 9 = 30 cm

AB = 17

AB 2 = AE 2 + BE 2

d d 9 AB 2 = ( — )2 + ( ––– )2 2 2

d 2 30 (17)2 = ––– + ( ––– )2 4 2

d 2 289 = ––– + 225 4

d 2 ––– = 289 – 225 4

d 2 ––– = 64 4

d 2 = 4(64)

d = 16 cm

dd 9 16 cm (30 cm) Área = –––– = ––––––––––––– = 240 cm2

2 2

Ejemplo

El área de un rombo es de 96 cm2 , si una de sus diagonales mide 12 cm, encuentra:

a) La longitud de la otra diagonal.

b) La longitud de sus lados.

Procedimiento

dd 9a) A = ––––

2 2A ––– = d d 9

2(96 cm2)––––––––– = d 12 cm

d = 16 cm


Etapa 2

204

b)

, 2 =(8)2 + (6)2

, 2 = 64 + 36

, 2 =100

, = 100

, = 10

12 cm

1. Encuentra el área de un rectángulo si su base mide 25 cm y el perímetro mide 90 cm.

2. Halla el área de un rectángulo si su base mide 5 m y su diagonal 13 m.

3. Encuentra la base y la altura de un rectángulo si su área es de 180 m2 y su perímetro mide 56 m.

4. Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro es de 80 pulgadas.

5. El área de un cuadrado es de 625 cm2, halla la longitud de sus lados.

6. Encuentra la base y la altura de un paralelogramo si están a la razón de 4 :5 y su área es de 1 280 cm2

7. Encuentra la base de un paralelogramo, si su altura es de 15 cm y su área es de 40 cm2

8. Halla el área de un triángulo con base 20 cm y altura 12 cm.

9. Encuentra el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 28 pies y 8 pies respecti-vamente.

10. Encuentra el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 30 cm.

11. Encuentra el área de un triángulo equilátero cuya altura mide 6 pulgadas.

12. Halla el área de un triángulo equilátero si su altura es de 5 3 pulgadas.

Ejercicios

Figura 2.122


Geometría plana

205

13. Halla el área de un rombo si sus diagonales miden 12 cm y 8 cm respectivamente.

14. Encuentra el área de un rombo si una de sus diagonales mide 10 pulgadas y sus lados miden 13 pulgadas.

1 5. Encuentra el área de un rombo cuyo perímetro es de 40 cm y una de sus diagonales mide 12 cm.

16. El área de un rombo es de 35 pulgadas, una de sus diagonales mide 7 pulgadas, halla la longitud de la otra diagonal.

17. Las diagonales de un rombo están a la razón de 5 : 4. Si el área es de 54 m, encuentra la longitud de sus lados.

18. Las bases de un trapecio miden 9 pies y 11 pies respectivamente. Si su área es de 60 pies2, encuentra la medida de su altura.

19. Las bases de un trapecio son 25 cm y 35 cm respectivamente, Si el área es de 300 cm2, halla la magnitud de la altura.

20. Para cada uno de los siguientes casos, encuentra el área del trapecio ABCD.

m

h

bA D

CB

a) b = 25 cm

b 9 = 15 cm

h = 7 cm

b) b = 36

b 9 = 20

h = 6

21. Si cada uno de los siguientes cuadriláteros ABCD son trapecios isósceles, halla el área.


Etapa 2

206

a)

b)

c)

22. Halla la altura de un trapecio, si sus bases miden 13 m y 7 m respectivamente y su área es de 40 m2.

23. Halla la altura de un trapecio si la suma de sus bases es el doble de su altura y su área es de 400 cm2.

24. Halla las bases de un trapecio, si la mayor es el doble de la menor la altura es 8 cm y el área es de 84 cm2.

6 cm10 cm 10 cm

b = 20 cm

24 cm30 cm

b = 68 cm

b�

h13

5 5

12


Geometría plana

207

Circunferencia y círculo

• Identificar los elementos de una circunferencia y resolver ejercicios de medición de ángulos y arcos en una circunferencia.

Objetivo

Una circunferencia es una curva plana y cerrada y cuyos puntos equidistan de un punto interior fijo llamado centro.

La circunferencia divide al plano que la contiene en dos partes, una exterior y otra interior. Al conjunto de los puntos interiores de una circunferencia se llama círculo.

Elementos de la circunferencia

Radio: Cualquier segmento de recta que une al centro con un punto de la circunferencia.

O

B

Cuerda: Cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

A

B

Figura 2.124

Figura 2.123


Etapa 2

208

Diámetro: Cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro.

A

B

O

El diámetro es la cuerda de mayor longitud y su tamaño es dos veces el radio.

Secante: Cualquier recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

r

Tangente: Cualquier recta r que toca a la circunferencia en uno y sólo un punto.

rA

Figura 2.127

Figura 2.126

Figura 2.125


Geometría plana

209

Arco: Es cualquier porción de la circunferencia. Para representar un arco se emplea el símbolo .

B

A

Arco AB = AB

Ángulo central: Es cualquier ángulo con vértice en el centro y cuyos lados son radios de la circunferencia.

Br

r

O

A

El ángulo ∠ AOB es un ángulo central.

Ángulo inscrito: Es cualquier ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia.

B

C

A

Figura 2.129

Figura 2.128

Figura 2.130


Etapa 2

210

Medición de ángulos y arcos en una circunferencia

Ángulo central: Un ángulo central tiene por medida en radianes, la magnitud del arco que subtiende.

Br

r

O

A

∠ AOB = AB

Un ángulo inscrito tiene por medida, la mitad de la medida del ángulo central que subtiende el mismo arco.

Para demostrar lo anterior tenemos tres casos.

Primer caso: Uno de los lados pasa por el centro de la circunferencia.

B

C

O

A

En la circunferencia anterior, sea el punto O el centro de la circunferencia.

BCQueremos demostrar que: ∠ BAC = ––– 2

En la figura anterior trazamos el segmento de recta OB, que en un radio de la circunferencia al igual que OC.

Figura 2.131

Figura 2.132


Geometría plana

211

B

C

O

A

El ángulo ∠ BOC es un ángulo central y además es un ángulo externo del triángulo ABO.

∠ BOC = ∠ A + ∠ B. Por la razón señalada anteriormente.

Como AO = BO por ser radios de la circunferencia, entonces tenemos que, si dos lados de un triángulo son congruentes, sus ángulos opuestos también lo son, por lo tanto ∠ A ≅ ∠ B, por lo que tenemos:

∠ BOC = ∠ A + ∠ B

∠ BOC = 2∠ A

∠ BOC BC –––––– = ∠ A A = –––– 2 2

Segundo caso. El centro de la circunferencia es interior al ángulo.

1. Si en la siguiente figura DE AB, hallar el valor de x.

B

C

OA

BCQueremos demostrar que ∠ A = ––––. Sea el punto O el centro de la circunferencia, tracemos el diámetro 2

AOD y los segmentos de recta OB y OC.

Figura 2.133

Figura 2.134


Etapa 2

212

B

D

C

OA

BC DC BC = BD + DC ∠ A = ––– + ––– 2 2

BC 1 ∠ BAD = ––– ∠ A = — ( BC + DC ) 2 2

DC 1 ∠ DAC = ––– ∠ A = — BC 2 2 Tercer caso: El centro de la circunferencia es exterior al ángulo.

B

C

OA

BCQueremos demostrar que ∠ A = –––. Tracemos el diámetro AD. 2

Figura 2.135

Figura 2.136


Geometría plana

213

B

C

OA D

BD∠BAD = ––– 2

CD∠CAD = ––– 2

1 1∠ BAC = — BD – — CD 2 2

1∠ BAC = — ( BD – CD ) 2

1∠ BAC = — BC 2

Ejemplos

Determina la medida de los ángulos que se te indican.

1. ∠ x = ?

Figura 2.137

Figura 2.138

B

A

Ox 80°


Etapa 2

214

Procedimiento

∠ AOB = 80°

∠ AOB ∠ x = –––––– 2

80° ∠ x = ––– 2

∠ x = 40°

2. Halla la medida del ángulo x, si el ángulo y es igual a 120°.

B

AO

x yC

Procedimiento

Tenemos que ∠ BOC + ∠ y = 180° Por ser ángulos adyacentes, luego:

∠ BOC = 180° ∠ – y

∠ BOC = 180 –120°

∠ BOC = 60°

BOC ∠ x = –––––– 2

60° ∠ x = ––– 2

∠ x = 30°

3. Encuentra la medida del ángulo x, si AC es un diámetro de la circunferencia.

Figura 2.139


Geometría plana

215

B

AO

x

C

Procedimiento

∠ AC ∠ x = ––––– 2

180° ∠ x = –––– 2

∠ x = 90°

4. Encuentra la medida del ángulo x.

Procedimiento

BC ∠ x = ––– 2

100° ∠ x = –––– 2

∠ x = 50°

Figura 2.141

Figura 2.140

B

AO

x

C

100°


Etapa 2

216

5. Encuentra la medida del ángulo x.

Procedimiento

BC ∠ A = ––– 2

BC∠ A = ––– 2

∠ x∠ A = –––– 2

∠ x = 2 ∠ A∠ x = 2(60°)

∠ x = 120°

Área y perímetro de un círculo

Una circunferencia se puede considerar como un polígono regular de un número infinito de lados. Si un cuadrado se inscribe en una circunferencia y se duplica continuamente el número de sus lados para formar un octágono, es 16-gono, un 32-gono, y así sucesivamente ; los perímetros de los polígonos re-sultantes se aproximarán cada vez más a la longitud de la circunferencia.

De tal manera que, para calcular el área de un círculo, se puede utilizar la fórmula para calcular el área de un polígono regular.

1A = — pr, en lo que p se sustituye por el perímetro del circunferencia. 2

1A = — (2pr )r 2 2

2pr 2A = —–– pr 2 2

A = pr 2

Figura 2.142

B

A

O

x

C

60°


Geometría plana

217

1. En cada uno de los siguientes ejercicios encuentra la medida del ángulo que se te indica.

a)

B

AO z = 50°

C

x = ?

∠ x = ______

b)

B

AO z = ?

C

x = 38

∠ z = ______

c)

B

AO

Cx z120°

∠ z = ______

∠ x = ______

d)

B

AO

Cx

z25°

∠ z = ______

∠ x = ______

Ejercicios


Etapa 2

218

e) Si a : b : c = 4 : 3 : 2

∠ a = ______

B

A C

a

c

b

∠ b = ______

∠ c = ______

f) Si AC es un diámetro y a : b = 5 : 4

B

A C

a

c

b

∠ a = ______

g) Si ABC = 210°

B

A C

a

c

b

∠ b = ______ h) Si a : b : c = 5 : 4 : 3

∠ a = ______

∠ b = ______

B

A C

a

c

b

∠ c = ______


Geometría plana

219

i) Si ∠ A : ∠ B : ∠ C = 5 : 4 : 3

a = ______

b = ______

B

A

C

a

c

b

c = ______

2. Demuestra que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.

B

A D

C

Demostrar que ∠ A + ∠ C = 180°

y ∠ B + ∠ D = 180°

3. Demuestra que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo.

B

AO

C

4. Determina la medida de z.

BA

x

CD

Si AD = 70°, DC = z y ∠ x = 60°


Etapa 2

220

S

A

Rectasparalelas66°

Autoevaluación 2 1. Calcula la medida del ángulo q en grados.

r = 25 cm

S = 0.3 m

q =

a) 68.75° b) 67.57° c) 75.67° d ) 56.67° e) 67.67°

2. Transforma 228º a radianes.

9p 15p 19 19p 5p a) ––– b) –––– c) –––– d ) –––– e) ––– 5 9 15p 15 9

3. Calcula el ángulo complementario de 27º 29’ 10”.

a) 152°30´50” b) 67°29´10” c) 62°30´50” d ) 57°29´50” e) 19°30´50”

4. Calcula la media del ángulo B.

B

123°

a) 56° b) 57° c) -33° d ) 66° e) 65°

5. Calcula la medida del ángulo A.

a) 24° b) 114° c) 55° d ) 66° e) 77°


Geometría plana

221

6. Calcula el valor positivo de x.

a) 1.7 b) 7.1 c) 7.0 d ) 7.01 e) 1.07

7. Los ángulos interiores de un triángulo son A = 9x + 35, B = 5x + 11 y C = 8x + 24. Calcula el valor de x.

a) 5 b) 4 c) 6 d ) 5 e) 3

8. Calcula los valores de x y y suponiendo que CE | | AB.

x2 – 6x + 21 42 – 2x

A

E

B

C

10x – 5y

6y + 18x84°

30°

a) x = 4, y = 2 b) x = 2, y = 4 c) x = 2, y = 2 d ) x = 4, y = 4 e) x = 3, y = 3

9. En el triángulo equilátero dado el segmento EB, está dividido en tres segmentos congruentes. Demuestra que ∆ABE ≅ ∆CBD.


Etapa 2

222

10. En la siguiente figura, las rectas dadas son paraleleas y AB ≅ CD . Demuestra que ∆ABE ≅ ∆DCE.

A

E BCD

A

EB

CD

11. Si en la siguiente figura DE || AB, hallar el valor de x.

AD = 12

CD = 8

DE = 2x + 6

AB = 9x – 5

BA

E

C

D

a) x = 6 b) x = 4 c) x = 3 d ) x = 2 e) x = 5


Geometría plana

223

12. Si en la figura ST || PR, hallar el valor de “x”.

PS = 24

SQ = 16

ST = 2x 8

PR = 3x + 12

RP

T

Q

S

a) x = 18 b) x = 12 c) x = 16 d ) x = 14 e) x = 20

13. Si en la figura MN || BC, hallar el valor de x, si x > 0.

AN = 6

NC = x

BC = 6x + 1

MN = 4x 1

CA N

B

M

a) x = 4 b) x = 6 c) x = 5 d ) x = 3 e) x = 2

14. Calcula la longitud de la diagonal “d ” del rectángulo de la figura.

8

15

d

a) 20 cm b) 17 cm c) 23 cm d ) 20 cm e) 18 cm

15. Calcular la medida del ángulo C de un pentágono irregular cuyos ángulos interiores están repre-sentados por ∠ A = (2x)°, ∠ B = x ° , ∠ C = (3x)°, ∠ D = (4x)° y ∠ E = (5x)°.

a) 96° b) 120° c) 140° d ) 100° e) 108°


Etapa 2

224

Un polígono regular tiene 15 lados. Contesta las preguntas 16, 17, 18 y 19.

16. Calcula la suma de los ángulos interiores.

a) 1 860° b) 2 340° c) 2 950° d ) 2 100° e) 2 400°

17. Determina la medida de cada ángulo interior.

a) 140° b) 165° c) 138° d ) 150° e) 156°

18. Determina la medida de cada ángulo exterior.

a) 24° b) 30° c) 28° d ) 45° e) 35°

19. Determina el número de diagonales.

a) 90° b) 35° c) 77° d ) 44° e) 54°

20. La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 1 440°. Calcula el número de dia-gonales.

a) 90° b) 35° c) 77° d ) 44° e) 59°

21. Determina el número de lados de un polígono convexo que tiene 20 diagonales.

a) 8° b) 7° c) 6° d ) 9° e) 5°

22. Cada ángulo interior de un polígono regular mide 120°. Determina el número de diagonales.

a) 35° b) 9° c) 20° d ) 27° e) 44°

23. Si ABCD es un paralelogramo, determina el valor de y.

54

75A D

B C

5x – 6

3y + 6

a) y = 20 b) y = 23 c) y = 26 d ) y = 30 e) y = 21.5


Geometría plana

225

24. Si ABCD es un paralelogramo, hallar el valor de y.

B = 150°

D = (40x + 30)°

C = (7y + 3x)°

A D

B C

a) y = 1 b) y = 2 c) y = 3 d ) y = 4 e) y = 6

25. Si ABCD es un paralelogramo, encuentra el valor de y.

AE = 4x – 2

EC = y

BE = 2x + 3y

BD = 44

A D

B

E

C

a) y = 6 b) y = 5 c) y = 4 d ) y = 3 e) y = 7

26. Las diagonales de un rombo miden 10 y 24 cm respectivamente. Calcula su perímetro.


27. Si ABCD es un trapecio isósceles, calcula el valor de b.

D C

A

6(a – 5)° (2a + 10)°

(5b)°B

a) b = 15 b) b = 30 c) b = 25 d ) b = 20 e) b = 35


Etapa 2

226

28. En un trapecio su paralelo medio mide 50 cm y su base mayor 64 cm. Determina la longitud de su base menor.


29. Calcula el área de un rectángulo, si su ancho mide 30 pulgadas y su perímetro es de 140 pulga-das.

a) 1 400 pulg2 b) 1 500 pulg2 c) 900 pulg2 d ) 1 200 pulg2 e) 1 640 pulg2

30. Calcula el área de un rectángulo si su largo es de 24 cm y su diagonal mide 74 cm.

a) 1 680 cm2 b) 1 400 cm2 c) 1 780 cm2 d ) 1 900 cm2 e) 1 840 cm2

31. El área de la siguiente figura es de 5 750 cm2. Halla el valor de x.

(2x – 5) cm

(x – 10) cm

a) 70 b) 55 c) 80 d ) 60 e) 40

32. Si ABCD es un trapecio isósceles, calcula su área.

15 cm

60 cm CB

DA

a) 640 cm2 b) 753 cm2 c) 920 cm2 d ) 864 cm2 e) 828 cm2

33. Calcula el área de un rombo si cada uno de sus lados mide 17 cm, y una de sus diagonales mide 30 cm.

a) 200 cm2 b) 189 cm2 c) 289 cm2 d ) 240 cm2 e) 300 cm2

34. Las bases de un trapecio miden 9 y 11 cm respectivamente. Si su área es de 60 cm2, calcula su altura.



Geometría plana

227

25. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 30 cm.

a) 43.3 cm2 b) 49 cm2 c) 48.6 cm2 d ) 36.4 cm2 e) 50.2 cm2


1. a)

2. d )

3. c)

4. b)

5. d )

6. c)

7. d )

8. a)

9. --

10. --

11. e) x = 5

12. c) x = 16

13. a) x = 4

14. b) 17 cm

15. a) 108°

16. b) 2340°

17. e) 156°

18. a) 24°


Etapa 2

228

19. a) 90 diagonales

20. b) 35 diagonales

21. a) 8 lados

22. b) 9 diagonales

23. b) y = 23

24. c) y = 3

25. a) y = 6

26. c) 52 cm

27. b) b = 30

28. b) 36 cm

29. d ) 1200 pulg2

30. a) 1680 cm2

31. d ) x = 60

32. e) 828 cm2

33. d ) 240 cm2

34. a) 6 cm

35. a) 43.3 cm2


¿Qué es la trigonometría?

La trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata de la resolución de triángulos, relacionando sus lados y sus ángulos. ¿Cómo o por qué son tan importantes los triángulos que se les dedica toda una rama a su estudio?

Los triángulos son los bloques básicos para construir cualquier figura rectilínea. El cuadrado, el pentágono, el hexágono y cualquier otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas que se tracen desde un ángulo cualquiera hacia los otros. Siendo la forma básica, es de suma importancia conocer sus propiedades, teoremas y ciertos resultados fundamentales, que nos permitan calcular las medidas de los elementos que la componen: ángulos y lados. Esto puede aplicarse con facilidad al cálculo de distancias entre puntos dados, así como determinación de posiciones de objetos que estemos observando, y por tanto es sumamente útil en la interpretación y solución de problemas del mundo físico.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. A partir de entonces, se realizan innumerables aplica-ciones de las funciones trigonométricas en diversas ciencias y en casi todas las ramas de la ingeniería.

La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos aso-ciados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Con la ventaja de que las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo sobre el que se miden debido a que dos triángulos rectángulos con un mis-mo ángulo agudo son semejantes. Tenemos así que existe un enlace entre la fase previa (Geometría) y la fase actual.

A continuación presentamos un mapa del contenido de nuestro curso de Trigonometría, que por cierto no agota el tema, pero brinda las bases para un estudio futuro más exhaus-tivo o para su aplicación en la resolución de problemas tanto de la disciplina matemática como de la vida real.

229


230

Etapa 3

Identidadestrigonométricas

Funcionestrigonométricas

Teorema dePitágoras

Triángulosobtusángulos

Triángulosacutángulos

Ley de senosLey de cosenos

Triángulos

Resolución de triángulos

Aplicaciones

Trigonometría

Triángulosrectángulos

Triángulosoblicuángulos


La trigonometría plana estudia las relaciones métricas existentes entre los elementos de las figuras tra-zadas en un plano y limitadas por segmentos de rectas; como dichas figuras pueden descomponerse siempre en triángulos1, reviste especial importancia la resolución de los mismos2.

La Trigonometría estudia entonces las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos aunque sus aplicaciones se extienden a funciones y ángulos en general; se le ha llamado también la ciencia de las medidas indirectas, ya que es útil para calcular ciertas longitudes, distancias y ángulos que no po-drían ser medidos directamente, como la profundidad de un precipicio, la altura de una montaña, etc.

La trigonometría desempeña un papel importante en muchas disciplinas, entre otras la física, diversas ingenierías y en aplicaciones técnicas.

Por razones didácticas hemos dividido nuestro estudio de la Trigonometría en dos secciones. La primera de ellas está contenida en la presente etapa y consiste en el estudio de los triángulos rectángulos, lo cual sirve de base y punto de partida a estudios más avanzados. La etapa 4 se dedica al estudio de triángulos oblicuángulos.

c

A

a

b

BC

1 Cualquier polígono puede descomponerse en triángulos uniendo vértices no consecutivos: ejemplo: 2 La Trigonometría, ¿para qué sirve? Consultar http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Mtrig1.htm

Etapa

3Trigonometría I

231


232

Etapa 3

hipotenusa c

hipotenusa c

cateto b

cateto bcateto a

cateto a

3.1 Funciones trigonométricas de un ángulo agudo

Funciones trigonométricas de un ángulo agudo

Actualmente la trigonometría tiene aplicaciones que tienen poco que ver con triángulos, pero los concep-tos básicos se entienden mejor en relación con el triángulo rectángulo.

Para triángulos rectángulos tenemos la relación matemática más famosa, que es el llamado Teorema de Pitágoras:

• Definir las seis funciones trigonométricas con respecto a cualquiera de los dos ángu-los agudos de un triángulo rectángulo y utilizarlas para encontrar el valor de las otras cinco si se conoce el valor de una de ellas.

Objetivo

3 En unas tablillas babilónicas que se conservan en Nueva York, y que son 2.500 años más antiguas que Pitágoras aparecen inscripciones que permiten suponer que los sabios de aquella época conocían la relación entre los lados de algunos triángu-los rectángulos. Proponemos la siguiente actividad que enlaza el concepto de semejanza con el resultado del Teorema que estamos mencionando, veamos:

Definición

El cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos 3.

Figura 3.1


233

Trigonometría I

hipotenusa

A C

B

b

c a

cateto adyacente al ángulo A

cateto opuesto al ángulo A

Traducido a símbolos, el teorema se escribe: a 2 + b 2 = c 2.

Además del Teorema de Pitágoras4 tenemos otras relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, que son las llamadas funciones trigonométricas.

Iniciemos analizando el triángulo rectángulo de la figura 3.2.

4 Para ver otras demostraciones del Teorema de Pitágoras, consultar el siguiente site: http://roble.cnice.mecd.es/~jarran2/cabriweb/1triangulos/teoremapitagoras.htm

Figura 3.2

Los lados de un triángulo rectángulo son referidos a uno de los dos ángulos agudos. Así por ejemplo, el lado de longitud a se denomina “cateto opuesto” al ∠ A, el lado b se le designa como “cateto adyacen-te” al ángulo A y el lado de longitud c se denomina “hipotenusa” y es el lado opuesto al ángulo recto al mismo tiempo que es el lado de mayor longitud.

Es posible formar seis razones diferentes con los lados del triángulo rectángulo.

a a c c b b—, —, —, —, —, —

b c b a a c

Estas razones se pueden formar independientemente del tamaño del triángulo, y aunque dependen de la magnitud del ángulo agudo en cuestión siempre tienen todas los mismos valores respectivos en todo par de triángulos semejantes. Para facilitar su análisis, cada una recibe un nombre especial, como se indica en las siguientes definiciones de la tabla 1, las cuales tienen como referencia el triángulo de la figura 3.2.


234

Etapa 3

Definición de la función trigonométrica: Para el ∠ A Para el ∠ B

cateto opuesto al ánguloseno del ángulo = ––––––––––––––––––––– hipotenusa

asen A = —

b

bsen B = —

c

cateto adyacente al ángulocoseno del ángulo = ––––––––––––––––––––––– hipotenusa

bcos A = —

c

acos B = —

c

cateto opuesto al ángulotangente del ángulo = ––––––––––––––––––––––– cateto adyacente al ángulo

atan A = —

b

btan B = —

a

cateto adyacente al ángulocotangente del ángulo = ––––––––––––––––––––––– cateto opuesto al ángulo

bcot A = —

a

acot B = —

b

hipotenusasecante del ángulo = ––––––––––––––––––––––– cateto adyacente al ángulo

csec A = —

b

csec B = —

a

hipotenusacosecante del ángulo = ––––––––––––––––––––– cateto opuesto al ángulo

ccsc A = —

a

ccsc B = —

b

Tabla 1. Es importante notar que las abreviaturas sen, cos, tan, cot, sec y csc son las abreviaturas de las funciones de la fila correspondiente y el símbolo A o B son los argumentos de la función (ángulos) y además las razones son el valor numérico de la función trigonométrica.

Estas relaciones se llaman “funciones trigonométricas” y en este caso son funciones del ∠ A. Puesto que las funciones trigonométricas son las piedras angulares de la trigonometría, es absolutamente necesario que las domines. Deberás conocerlas a tal grado, que cuando alguien mencione “sen q ”, automática-mente pienses en “opuesto al ángulo q sobre hipotenusa”.

Como consecuencia inmediata de estas definiciones, se pueden observar algunas relaciones entre las funciones trigonométricas. Por ejemplo, observa que los ángulos agudos (∠ A y ∠ B) del DABC son com-plementarios, es decir, ∠ A + ∠ B = 90°.

hipotenusa

A C

B

b

c a



Figura 3.3


235

Trigonometría I

¿Qué resultados interesantes encuentras a partir de la tabla 2?

De la tabla anterior puedes observar que:

sen A = cos B tan A = cot B sec A = csc B

cos A = sen B cot A = tan B csc A = sec B

Como ∠ B = 90° - ∠ A tenemos:

sen A = cos (90° – A)

tan A = cot (90° – A)

sec A = csc (90° – A)

Ejercicio

Actividad

1. Llena los espacios en blanco en la siguiente tabla, siguiendo la definición de las funciones trigonométricas y la figura del triángulo previo.

opuesto al ∠A asen A = ––––––––––––– = — hipotenusa c

opuesto al ∠B b = ––––––––––––– = —

hipotenusa c

cos A =

adyacente al ∠Bcos B = ––––––––––––––– = hipotenusa

opuesto al ∠Atan A = ––––––––––––––– = adyacente al ∠A

btan B = ––––––––––––––– = — adyacente al ∠B a

bcot A = = — a

acot B = ––––––––––––––– = — opuesto al ∠B b

hipotenusa c = ––––––––––––––– = —

adyacente al ∠A b sec B = ––––––––––––––– = adyacente al ∠B

ccsc A = = — a

hipotenusa = ––––––––––––– =

opuesto al ∠B

Tabla 2.


236

Etapa 3

Observa que los nombres de las funciones que aparecen en los miembros derechos de las atenciones igualdades comienzan en el prefijo “co”. De esta manera se indica abreviadamente que se refieren a la función del ángulo complementario y son llamadas por lo tanto cofunciones. Así toda función de un ángulo agudo es igual a la cofunción correspondiente de su ángulo complementario.

Ejemplo

Si tan q = cot 51°; encuentra el valor de q (suponiendo que q es agudo).

Procedimiento

Como la cofunción de la tangente es la cotangente, los dos ángulos deben ser complementarios:

q + 51° = 90°

q = 90° - 51°

Solución q = 39°

Ejemplo

Si cos q = sec 47°; encuentra el valor de q (suponiendo que q es agudo).

Procedimiento

Como la cofunción de la secante es el coseno, los dos ángulos deben ser complementarios:

Entonces, q + 47° = 90°

q = 90° - 47°

Solución q = 43°

Observemos ahora las funciones seno y cosecante del ∠ A, de la figura 3.2.

a c sen A = — y csc A = — c a

Dado que las funciones resultan ser números a final de cuentas, podemos operarlas según las reglas que conocemos, entonces,


237

Trigonometría I

Actividad

si multiplicas (sen A) (csc A), obtienes:

a c ac(sen A) (csc A) = ( — )( — ) = ––– = 1

c a ca

1 1Como (sen A) (csc A) = 1, entonces sen A = –––––– y csc A = ––––––, esto es: csc A sen A

Seno y cosecante son funciones recíprocas.

¿Podrías, observando los valores de las restantes funciones, reconocer cuáles otras funciones son recíprocas entre sí?

El coseno y la secante son recíprocas, así como también lo son entre sí la tangente y la cotangente. Esta reciprocidad entre pares de funciones da lugar a 6 identidades o ecuaciones que se cumplen siempre:

Relaciones entre funciones recíprocas

1 1 sen A = –––––– csc A = –––––– csc A sen A

1 1 cos A = –––––– sec A = –––––– sec A cos A

1 1 tan A = –––––– cot A = –––––– cot A tan A

A pesar de que tenemos 6 ecuaciones, las de la columna de la izquierda se utilizan más frecuentemente.

Ejemplo 2 Si cos q = —, encuentra el valor de sec q, si q es agudo. 3

Procedimiento

1 sec q = –––––– (por ser relaciones recíprocas).

cos q


238

Etapa 3

1 sec q = –––– 2/3

3 Solución sec q = — 2

Ejemplo

Sea tan A = 1, encuentra el valor de cot A, si A es agudo.

Procedimiento

1 cot A = ––––– (por ser relaciones recíprocas).

tan A

1 cot A = — 1

Solución cot A = 1

Otras relaciones de gran importancia son las resultantes de dividir ciertos pares de funciones trigonomé-tricas. Por ejemplo, considera las funciones seno y coseno del ∠ A de la figura.

hipotenusa

A C

B

b

c a



a bsen A = — y cos A = — c c

sen ASi se divide ––––––, se obtiene: cos A

sen A a / c ac a sen A a–––––– = ––––– = ––– = — esto es: –––––– = — que es, por definición, tan A. cos A b / c bc b cos A b


239

Trigonometría I

es decir, en términos de funciones trigonométricas,

sen A ––––– = tan A cos A

y como la tangente y la cotangente son funciones recíprocas, se sigue también que:

cos A cot A = ––––– sen A

Por lo tanto, tenemos:

Relaciones en forma de cociente

sen A cos A tan A = ––––– cot A = ––––– cos A sen A

Ejemplo

Si sen q = 3/5 y cos q = 4/5; encuentra tan q y cot q.

Procedimiento

sen q tanq = –––––– por relaciones en forma de cociente. cos q

3 / 5 (3)(5) tan q = ––––– = –––––– y por tanto: 4 / 5 (4)(5)

Solución

3 4 tan q = — y cot q = — por relaciones recíprocas. 4 3

Ejemplo

Si sen q = m/n y cos q = c/n, encuentra tan q y cot q

Procedimiento

sen q tanq = –––––– por relaciones en forma de cociente. cos q


240

Etapa 3

m/n mn tan q = –––– = ––– efectuando extremos por extremos y medios por medios y luego sim- c/n cn plificando, tendremos:

Solución

m tan q = — c

c y cot q = — por relaciones recíprocas. m

Finalmente con la ayuda del Teorema de Pitágoras, con el que hemos iniciado la presente etapa, obten-dremos las siguientes relaciones muy importantes también. Veamos:

hipotenusa

AC

B

a c

b



Para el ∠ A del triángulo rectángulo de la figura, se cumple que

(cateto opuesto)2 + (cateto adyacente)2 = (hipotenusa)2

o sea,a2 + b 2 = c 2

Si divides ambos miembros de esta igualdad entre c2, obtienes:

a b c( — )2 + ( — )

2 = ( — )

2

c c c

esto es, en términos de las funciones trigonométricas,

(sen A)2 + (cos A)2 = 1

Se acostumbra escribir (sen A)2 y (cos A)2 en la forma sen2A y cos2A, respectivamente. Entonces la igualdad se expresa como:

sen2A + cos2A = 1


241

Trigonometría I

Similarmente se pueden obtener otras dos fórmulas dividiendo la igualdad original entre b 2 y a 2, respec-tivamente.

Ejercicio

1. Efectúa el desarrollo que se requiera para obtener, a partir de la fórmula del Teorema de Pitágoras, las siguientes relaciones:

a) tan2 A + 1 = sec2 A

b) cot2 A + 1 = csc2 A

Relaciones pitagóricas

sen2 A + cos2 A =1

tan2 + 1 = sec2 A

cot2 A + 1= csc2 A

Relaciones, como las que hemos llamados Recíprocas, Cociente y Pitagóricas, que se cumplen para todo ∠ A (para el cual están definidas las funciones) se llaman identidades trigonométricas.

Definición

Identidades trigonométricas son aquellas igualdades en las que aparecen funciones trigonomé-tricas, igualdades que siempre se verifican, sea cual sea el valor que pudieran tomar los ángulos a los que se les aplican las funciones.

Ejemplo

15 Si sen q = –––; encuentra el valor de las otras cinco funciones del ∠q, si ∠q es agudo. 17

Procedimiento

Resolviendo la primera relación pitagórica para cosq, tenemos:

cos q = 1 - sen2q

15 225 64 cos q = 1 - ( ––– )

2 = ( –––– ) = –––– Sustituyendo y efectuando operaciones.

17 289 289


242

Etapa 3

Solución

81. cos q = ––– tomando solamente la raíz positiva, pues el ∠q es agudo. 17

Ahora, utilizando las relaciones en forma de cociente.

sen q 15/17 152. tan q = ––––– nos queda: tan q = ––––– = ––– cos q 8/17 8

3. cotq = 8/15 por relaciones recíprocas.

4. sec q = 17/8

5. csc q = 17/15

Las relaciones recíprocas, las que aparecen en forma de cociente y las pitagóricas que hemos encontra-do en esta sección se refieren a funciones de un solo ángulo no pudiéndose utilizar estas fórmulas con dos ángulos diferentes a la vez. Así por ejemplo, no se puede decir que senA/cosB sea igual a tan A o a sen xtan B, ni que sen2x + cos2y sea igual a 1, sino tan sólo que para un ángulo x, ––––– = tan x, sen2 x + cos2

cos xx = 1, etc.

En general, puedes determinar el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo si sólo conoces el valor de una de ellas (como en el ejemplo 4) o bien, si conoces al menos la longitud de dos de los lados del triángulo rectángulo, utilizando el teorema de Pitágoras y las definiciones de las funciones trigonométricas.

Ejemplo

Determina el valor de cada una de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo ACB de la siguiente figura, si los catetos a y b miden 60 cm y 91 cm, respectivamente.

Procedimiento

Figura 3.3

A C

B

a = 60

b = 91


243

Trigonometría I

Por medio del teorema de Pitágoras se puede encontrar el tercer lado de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos: si se conocen los catetos, la fórmula que da la hipotenusa es:

c 2 = a 2 + b 2

Por consiguiente, conocidos los catetos y valiéndonos de la primera de estas fórmulas encontra-remos primero c:

c2 = a 2 + b 2 = (60)2 + (91)2 = 3 600 + 8 281=11 881

Por lo tanto, c = 109 cm.

Ya tenemos ahora los tres lados a = 60, b = 91 y c =109; entonces podemos escribir inmediata-mente las funciones trigonométricas de los ángulos A y B (puesto que ∠ C = 90°) mediante las definiciones de las funciones:

Solución

a 60 b 91 a 60 sen A = — = –––– cos A = — = –––– tan A = — = ––– c 109 c 109 b 91

b 91 c 109 c 109 cot A = — = ––– sec A = — = –––– csc A = — = –––– a 60 b 91 a 60

Otro procedimiento

Después de hallar sen A = 60/109 y cos A = 91/109, se podría, desde luego, utilizar las relaciones en forma de cociente y las recíprocas y calcular tan A, cot A, sec A y csc A de la manera siguiente:

Solución

1 1 91 cos A 91/109 91cot A = ––––– = ––––– = ––– ó también cot A = ––––– = ––––––– = ––– tan A 60/91 60 sen A 60/109 60

1 1 109 1 1 109 sec A = ––––– = –––––– = –––– y csc A = ––––– = –––––– = –––– cos A 91/109 91 sen A 60/109 60

Tenemos, entonces, como conocimientos básicos: el Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométri-cas. Veamos:

1. Si se conocen la hipotenusa y uno de los catetos y se desconoce el otro, éste se pude encontrar a partir de la trasposición de términos en la fórmula del teorema, escrita en su forma más común:

a 2 + b 2 = c 2

Entonces, resulta que:

a 2 = c 2 - b 2 o bien b 2 = c 2 - a 2


244

Etapa 3

2. Para familiarizarse con las definiciones de las funciones trigonométricas, se sugiere calcular las funciones directamente a partir del triángulo en vez de hacerlo valiéndose de las relaciones que ligan a las funciones entre sí. Una vez determinadas las funciones por cálculo directo, es útil, sin embargo, utilizar estas relaciones como comprobación.

Para determinar el valor de las funciones trigonométricas correspondientes al ∠ B del triángulo rectángu-lo de la figura, se puede utilizar la relación que liga a las funciones de los ángulos complementarios A y B escribiendo las funciones y cofunciones de B deducidas de las correspondientes cofunciones y funcio-nes del ∠ A ya encontradas. Esto será un ejercicio muy instructivo para ti, sin embargo, aquí calcularemos todas las funciones de ∠ B directamente a partir del triángulo:

b 91 a 60 b 91 sen B = — = –––– cos B = — = –––– tan B = — = ––– c 109 c 109 a 60

a 60 c 109 c 109 cot B = — = ––– sec B = — = –––– csc B = — = –––– b 91 a 60 b 91

Ejercicio

1. Sin utilizar figura alguna, sino sólo a partir del conocimiento de los valores de las funciones del ángulo A que se te brindan y el conocimiento sobre cofunciones, determina los valores de las funciones del ángulo B.

5 12 5 sen A = ––– cos A = ––– tan A = ––– 13 13 12

12 13 13 cot A = ––– sec A = ––– csc A = ––– 5 12 5

A C

B

a = 60

b = 91


245

Trigonometría I

En todas las fracciones que representan valores de funciones trigonométricas, tanto el numerador como el denominador están expresados en las mismas unidades. El valor de una función es pues, sencillamen-te, un “número” que no va expresado en ningún tipo de unidad. Lo mismo da, por consiguiente, que los lados 60, 91, 109 de la figura 3.3, estén expresados en centímetros, en pulgadas, en metros, en pies, en millas o en otra unidad cualquiera que ésta sea, con tal de que se emplee la misma unidad para medir los tres lados. Así, por ejemplo, si nos dicen que a mide 0.6 m, b mide 91 cm y c mide 1.09,m, hay que empezar por expresar las tres longitudes en centímetros o las tres en metros, ya que con cualquiera de esas unidades se obtiene el mismo valor de la función para el mismo ángulo.

1. Utiliza las relaciones fundamentales para encontrar el valor exacto de la función trigonométrica indicada. Considera que el ángulo en cuestión es agudo.

2 t w a) sen q = —, encuentra csc q. b) cos w = — sen w = —, encuentra tan w. 7 r r

4 5 c) cos φ = —, encuentra sec φ. d) csc q = –––, encuentra tan q. 5 2

3 e) tan β = 4, encuentra cot β. f) sen φ = —, encuentra las otras cinco. 5

10 5 g) sen δ = –––, encuentra cos δ. h) sen β = –––, encuentra las otras cinco. 7 13

1 21 i) senα = —, encuentra cos α. j) tan δ = –––, encuentra las otras cinco. 2 20

2. Utiliza las relaciones fundamentales y una calculadora para encontrar las funciones trigonomé-tricas indicadas.

a) sen q = 0.4313, encuentra csc q. b) cos q = 0.1155, encuentra sec q.

c) tan β = 2.397, encuentra cot β. d) csc A = 1.902, encuentra sen A.

e) sec B = 2.03, encuentra tan B.

3. En cada uno de los siguientes ejercicios, c representa la hipotenusa y las otras dos letras los catetos de un triángulo rectángulo. Dibuja una figura para cada uno, indicando los ángulos opuestos a los lados respectivos por las correspondientes letras mayúsculas. Partiendo de los dos lados que se dan como datos, en cada caso, hallar el tercero y calcular después las seis funciones trigonométricas de cada ángulo agudo del triángulo.

a) a = 28 b) p = 36 c) c = 37 b = 45 q = 77 m = 35 c = ? c = ? n = ?

Ejercicio


246

Etapa 3

d) c = 73 e) c = 41 f = 48 x = 9 g = ? y = ?

Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo

Hasta esta parte de la etapa se han calculado los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo utilizando las longitudes de los lados de triángulo rectángulo. Sin embargo, como se dijo anterior-mente, los valores de las funciones trigonométricas dependen únicamente de la magnitud del ángulo y no del tamaño del triángulo; así, para encontrar el valor de una función trigonométrica podemos despren-dernos de su referente geométrico (el triángulo) ya que sólo se necesita la medida del ángulo.

• Encontrar los valores aproximados de las funciones trigonométricas de ángulos agu-dos utilizando la calculadora y viceversa.

• Encontrar un ángulo agudo a partir del valor de una de sus funciones trigonométricas.

• Determinar (ahora sin calculadora) los valores exactos de las seis funciones trigono-métricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°.

Objetivos

Los valores de las funciones trigonométricas los necesitarás principalmente para resolver los problemas de aplicación propuestos en las próximas secciones. Dichos valores los puedes encontrar utilizando una calculadora. Existen tablas trigonométricas5 adaptadas a diferentes fines, que dan los valores de las fun-ciones trigonométricas con ocho o diez cifras decimales para ángulos dados a intervalos de un minuto y hasta de un segundo (por ejemplo, las utilizadas en Astronomía y Topografía), pero en la actualidad, a cau-sa de las innovaciones tecnológicas, han caído en desuso. Hoy en día, el uso de calculadoras proporciona el medio más conveniente para encontrar los valores específicos de las funciones trigonométricas.

5 En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Esta tabla es simi-lar a la moderna tabla de la función seno.

Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 0° a 180°, con un error menor que 1/3,600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos.

Los árabes recibieron la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y ya para las últimas décadas del siglo X se habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamen-tales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Con la invención del cálculo las funciones trigonomé-tricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

A lo largo de los siglos dichas tablas trigonométricas fueron perfeccionándose hasta llegar a nuestros días en donde se ha usado el algoritmo para su construcción para programar las calculadoras electrónicas y ordenadores o computadoras, despla-zando estos útiles avances tecnológicos el empleo de las tradicionales tablas trigonométricas.


247

Trigonometría I

Cómo utilizar la calculadora científica para encontrar los valores de funciones trigonométricas

Para empezar, debes asegurarte de seguir el procedimiento indicado por el manual de la calculadora. En general, el procedimiento es el siguiente:

1. Asegúrate de que la calculadora esté en el modo de grados (degree mode, tecla “deg”)

2. Introduce el valor del ángulo en grados, usando la tecla de grados, minutos y segundos.

3. Presiona la tecla de la función trigonométrica deseada (las calculadoras no traen tecla para cotan-gente, secante ni cosecante, por lo que para obtener estas funciones debemos utilizar el conoci-miento de que ellas son recíprocas de la tangente, el coseno y el seno respectivamente, lo cual, en el teclado lo indicamos con la tecla: 1/x).

4. Lee el valor de la función desplegado en la pantalla.

A la inversa, al utilizar la calculadora para encontrar un ángulo agudo, cuando se conoce el valor de la fun-ción trigonométrica, se realiza la operación inversa: se introduce el valor de la función, después se presiona la tecla INV (o SHIFT o 2nd) y se presiona la tecla de la función trigonométrica deseada. Se utiliza el modo degree para obtener el resultado en grados. La tecla de grados incluye también minutos y segundos.

Ejemplo

Encuentra el valor de las siguientes funciones:

a) sen 24° 409 c) tan 55° 209

b) cos 72° d) cot 41° 509

Solución

a) sen 24° 409 = 0.4173

b) cos 72° = 0.3090

c) tan 55° 209 = 1.4460

d) Para obtener el valor de cot 41° 509, ya que no existe una tecla para dicha función, se utiliza el resultado de funciones recíprocas:

1 cot 41° 509 = –––––––––– = 1.1171 tan 41°509

Ejemplo

Utilizando la calculadora encuentra el valor de las siguientes funciones trigonométricas:

a) tan 48° 239 b) csc 37° 209


248

Etapa 3

Procedimiento

a) La calculadora debe estar en modo grados (degree mode).

tan 48° 239= 1.1257 redondeando a 4 cifras decimales.

b) 1. La calculadora debe estar en modo grados (degree mode). 2. Presiona la tecla (sen) para el ángulo dado.

3. Presiona la tecla (1/x) o divide 1 entre el valor encontrado para sen 37° 209.

Solución csc 37° 209= 1.6491 redondeado a 4 cifras decimales.

Ejemplo

Encuentra el valor de sen 24° 439.

Solución

Tenemos:

sen 24° 439 = 0.4181.

Dado el valor de una función trigonométrica, el valor del ángulo se puede encontrar fácilmente en grados y decimales con el auxilio de la calculadora. Para ello se teclea el valor de la función y con la ayuda de la tecla INV (2nd o Shift) y la de la función dada, se obtiene el ángulo. Si los ángulos se desean en minutos, se toma la parte decimal y se multiplica por 609, redondeando el resultado según se requiera.

Ejemplo

Encuentra A, si

a) sen A = 0.4234 b) sec A = 3.4172

Procedimiento

a) 1. La calculadora debe estar en modo grados (degree mode).

2. Introduce 0.4234, presiona la tecla (INV, o 2nd, o Shift), y la tecla (Sen).

3. A = 25.05° (al centésimo más cercano).

4. Presiona la tecla INV (o 2nd, o Shift) y la tecla de grados.

5. A = 25° 29 5899


249

Trigonometría I

b) 1. La calculadora debe estar en modo grados (degree mode).

2. Introduce 3.4172, presiona la tecla (1/x), o bien introduce 1, presiona (÷), teclea 3.4172 y presiona la tecla (=).

3. Presiona la tecla (INV) y la tecla (Cos).

4. A = 72.98°.

5. Presiona la tecla INV (o 2nd, o Shift) y la tecla de grados.

6. A = 72° 599 2.799.

Ejemplo

Dado el valor de la función encuentra el ángulo correspondiente:

a) sen A = 0.2924 c) sec C = 1.8361

b) tan B = 2.7725 d) cos D = 0.8886

Procedimiento

Siguiendo el procedimiento indicado en los casos del ejemplo 4, usando la tecla INV o bien la tecla de las segundas funciones (2nd).

Solución

a) Si sen A = 0.2924, A = 17°

b) Si tan B = 2.7725, B = 70° 109

c) Si sec C = 1.8361, C = 57°

d) Si cos D = 0.8886, D = 27° 309

Ejemplo

Encuentra A, si cot A = 0.6345

Solución A = 57° 369.

Los ángulos de 30°, 45° y 60°, por sus propiedades geométricas, aparecen con mucha frecuencia, por esa razón a veces se les llama “ángulos especiales”. Es relativamente fácil determinar los valores exactos de las funciones trigonométricas de estos ángulos sin la necesidad de usar una calculadora. El procedi-miento para determinar estos valores se muestran a continuación:


250

Etapa 3

Si en el cuadrado ABCD de la figura 3.4 se traza la diagonal AB, se obtienen dos triángulos rectángulos iguales, y puesto que los catetos de esos triángulos son iguales por ser lados de un cuadrado, resulta que los dos ángulos agudos de cada triángulo serán iguales a la mitad de 90°, o sea, 45°.

A C

D B

90°

90°45°

45°

45°

45°

1

1

1 1

A C

B

90°45°

45°

b = 1

a = 1

Figura 3.4 A

Figura 3.4 B

Si tomamos el cuadrado con lados iguales a una unidad y dibujamos separadamente el triángulo ABC, por el teorema de Pitágoras, obtendremos que:

c2 = a2 + b2

c2 = 12 + 12 = 2

c = 2

Por lo tanto las funciones trigonométricas del ∠ A = ∠ B = 45° son:

1 2 2 sen 45° = ––– = ––– csc 45° = ––– = 2 2 2 1

1 2 2 cos 45° = ––– = ––– sec 45° = ––– = 2 2 2 1

1 1 tan 45° = — = 1 cot 45° = — = 1 1 1


251

Trigonometría I

Ejercicio

Como ya sabemos, el triángulo equilátero es también equiangular, midiendo cada ángulo 60° (∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°).

En el triángulo equilátero ABC de la figura 3.5 se ha trazado por el vértice B la altura BC que es perpen-dicular a la base AD, y por consiguiente, los dos ángulos en C son rectos.

Los dos triángulos ABC y BCD son pues, rectángulos. Entonces, como en el triángulo rectángulo ABC, la suma de los ángulos A y el ángulo ABC es igual a 90° y ∠ A = 60°, concluimos que ∠ ABC es igual a 30°.

Análogamente, en el triángulo rectángulo BCD el ∠ CBD es igual a 30°. Por lo tanto, la altura BC es al mismo tiempo bisectriz del ∠ ABD.

A D

B

C1 1

60°60°

30°30°

90° 90°

22

A D

B

C1 1

60° 60°

30° 30°

90° 90°

2 2

Figura 3.5 A

1. Dado un triángulo como el de la figura, demostrar que los triángulos ABC y CBD son congruentes.

Si tomamos el triángulo de la derecha de la figura 3.5A, y lo estudiamos separadamente, obtenemos lo siguiente (ver fig. 3.5B):


252

Etapa 3

Los catetos del triángulo tienen valor: d y 1, y la hipotenusa mide 2. Por el teorema de Pitágoras, se tiene:

d 2 + 12 = 22

d 2 = 22 - 12 = 4 - 1

d 2 = 3

d = 3

Por lo tanto, de acuerdo al DBCD de la figura 3.5B, las funciones trigonométricas de 30° y 60° son las que aparecen en la siguiente tabla.

1 3 sen 30° = — sen 60° = ––– 2 2

3 1 cos 30° = ––– cos 60° = — 2 2

1 3 3 3 tan 30° = ––– = ––– cot 60° = ––– = ––– 3 3 1 3

3 1 3 cot 30° = ––– = 3 cot 60° = ––– = ––– 1 3 3

2 2 3 2 sec 30° = 30° = ––– = –––– sec 60° = — = 2 3 3 1

2 2 2 3 csc 30° = — = 2 csc 60° = ––– = –––– 1 3 3

Tabla 3.

C D

B

1

60°

30°

90°

d 2

Figura 3.5 B


253

Trigonometría I

Los triángulos rectángulos con ángulos agudos de 45° y de 30° y 60° son muy importantes y conviene aprenderse de memoria los valores de las funciones trigonométricas de estos ángulos. Existe una manera muy sencilla para recordar los valores de las tres principales funciones escribiéndolas en forma radical; ésta se muestra en la siguiente tabla:

0° 30° 45° 60° 90°

sen q 0

— 4

1 —

4

2 —

4

3 —

4

4 —

4

cos q 4

— 4

3 —

4

2 —

4

1 —

4

0 —

4

tan q 0

— 4

1 —

3

2 —

4

3 —

1indeterminado

Tabla 5.

De cualquier forma, si no recuerdas los valores de las funciones para estos ángulos especiales, no hay problema, siempre podrás obtenerlos a partir de la construcción de los correspondientes triángulos rec-tángulos: triángulos con lados de medidas 1, 1, y 2 (en el caso de ángulos de 45°) y medidas 1,2, 3 (en el caso de ángulos de 30° y 60°)

Ejercicio

1. Llena los espacios en blanco para completar la tabla 4, donde se concentran los resultados de las funciones de 30°, 45° y 60°.

q sen q cos q tan q cot q sec q csc q30° 1

—2

1 3––– = –––

3 3

3––– = 3

1

2— = 1

1

45° 1 2––– = –––

2 2

1— = 1

1

2––– = 2

1

60° 3–––2

1 3––– = –––

3 3

Tabla 4.


254

Etapa 3

1. En los siguientes problemas, encuentra el valor de cada una de las siguientes funciones; redon-dea el resultado a cuatro cifras decimales.

a) sen 76° b) csc 64° 149

c) tan 18° d) sen 40.4°

e) cos 32° 09 f) cos 55.5°

g) sec 28° 409 h) tan 62.6°

i) cot 54° 309 j) cot 37.7°

2. En los siguientes problemas, encuentra la medida del ángulo agudo q en grados decimales y en grados y minutos.

a) sen q = 0.3907 b) csc q =1.4897

c) cos q = 0.4695 d) sen q = 0.2686

e) tan q = 0.6787 f) cos q = 0.0258

g) cot q = 0.3185 h) tan q = 2.9460

i) sec q =1.1890 j) csc q = 3.0150

3. En los siguientes problemas, utilizando los valores exactos de las funciones 30°, 45° y 60° (esto es, sin usar calculadora), comprueba que el miembro de la izquierda es igual al miembro de la derecha.

1a) csc 45° = ––––––– b) sec2 60° - tan2 60° = 1 sen 45°

c) sec 30° = csc 60° d) sen 30° cos 60° + sen 60° cos 30° = 1

cos 60°e) cot 60° = ––––––– f) cos 30° cos 601 – sen 301 sen 60° = 0 sen 60°

sen 45°g) tan 45° = ––––––– h) sen 60° = 2 sen 30° cos 30° cos 45°

1 - cos 60°i) sen2 45° + cos2 45° = 1 j) sen 30° = –––––––––– 2

Ejercicio


255

Trigonometría I

3.2 Relaciones fundamentales e identidades

Relaciones fundamentales e identidades

Hemos tenido la ocasión de aprovechar con frecuencia las relaciones que desarrollamos en la sección 3.1 entre las funciones trigonométricas de un ángulo. Esas fórmulas y otras relaciones análogas tienen mucha aplicación en la parte de la trigonometría que constituye el llamado “Análisis trigonométrico”, y en algunas otras ramas de las matemáticas superiores, como por ejemplo, en el Cálculo infinitesimal. Son además sumamente útiles para la elaboración de las tablas trigonométricas y su deducción presenta un gran interés de tipo teórico. Para nosotros son importantes ya que nos plantean retos intelectuales dado que no existen caminos rígidos o establecidos para la solución o demostración de los casos que se nos presenten; esto hace que hagamos uso de procesos mentales tan importantes para nuestro desarrollo de pensamiento como la intuición, inventiva, poder de discriminación, etc.

• Usar los diferentes tipos de relaciones fundamentales e identidades: recíprocas, de cociente, pitagóricas, de la suma y diferencia de dos ángulos, del ángulo doble y de la mitad del ángulo para:

a) Simplificar expresiones.

b) Demostrar que una ecuación trigonométrica dada es (o no es) una identidad.

Objetivo

Hay once relaciones fundamentales con las que ya debes de estar familiarizado, pues las estudiaste en la sección 3.1; éstas se enlistan de nuevo a continuación:

Relaciones recíprocas (6)

1 1 sen q = ––––– csc q = ––––– csc q sen q

1 1 cos q = ––––– sec q = ––––– sec q cos q

1 1 tan q = ––––– cot q = ––––– cot q tan q

Relaciones de cocientes (2)

sen q cos q tan q = –––––– cot q = ––––– csc q sen q


256

Etapa 3

Relaciones pitagóricas (3)

sen2 q + cos2 q = 1 1 + tan2 q = sec2q 1 + cot2 q = csc2 q

Estas once relaciones se llaman “identidades fundamentales” de la trigonometría y son válidas para todos los valores de q para los cuales tienen significado las funciones que aparezcan en la expresión.

Las fórmulas anteriores nos permiten resolver problemas como el siguiente:

Ejemplo

Conocida una de las funciones trigonométricas de un ángulo, determinar en función de ella todas las demás.

Así, por ejemplo, para expresar todas las funciones trigonométricas en función del seno, se tiene:

1. sen q = sen q

2. Según la relación pitagórica: sen2 q + cos2 q = 1

cos2 q =1 - sen2 q

por lo tanto, cos q = 1 – sen2 q

sen q 3. Según la relación de cocientes: ––––– cos q

sen q Por lo tanto, tan q = –––––––––– 1 – sen2 q 1 4. Por ser cot q = –––––, resulta: tan q

1 – sen2q cot q = –––––––––– sen q

1 5. Análogamente, de sec q = ––––– y de cos q = 1 - sen2q se deduce: cos q

1 sec q = –––––––––– 1 – sen2q

6. Y finalmente, según ya hemos visto:

1 csc q = ––––– sen q


257

Trigonometría I

Las fórmulas anteriores expresan todas las funciones en términos de sen q. De manera semejante se pueden expresar, en función de cos q, de tan q, etc.

Ejercicio

Ejercicio

1. Escribe todas las funciones trigonométricas en términos de:

a) cos q b) tan q c) cot q d) sec q e) csc q

1. Llena los espacios en blanco correspondientes a una forma distinta de escritura para la identidad en cuestión.

Identidad fundamental Formas equivalentes

Recíprocas

1sen q = ––––– csc q

1csc q = ––––– sen q

sen q csc q = 1

1cos q = –––––– sec q

cos q sec q = 1

1tan q = ––––– cot q

1cot q = –––––– tan q

Cocientes

sen qtan q = ––––– cos q

sen q = tan q cos q

cos qcot q = –––––– sen qPitagóricas

sen2 q + cos2q = 1 cos2 q = 1 - sen2q1 + tan2 q = sec2 q tan2 q = sec2 q - 1

1 + cot2 q = csc2 q

Tabla 6.

El objetivo más importante de esta sección es que aprendas cómo simplificar o modificar la forma de expresiones trigonométricas usando las relaciones fundamentales.

Se pueden obtener varias formas equivalentes de las identidades fundamentales mediante la manipu-lación algebraica. Dichas formas alternas se dan en la tabla que deberás completar como parte de la siguiente actividad.


258

Etapa 3

Las once identidades fundamentales y sus formas equivalentes se pueden aplicar para:

1. Simplificar expresiones que contienen funciones trigonométricas.

2. Demostrar que ciertas igualdades relativamente complicadas son asimismo identidades.

Simplificar quiere decir reducir el número de términos de la expresión o el número de funciones trigono-métricas distintas que se usan.

Una demostración lógica puede requerir los siguientes pasos:

a) La transformación de uno de los miembros de la igualdad, o bien;

b) La transformación de ambos miembros de la igualdad para llegar a una misma expresión.

En todo caso, no hay que pasar ningún término o factor de un lado a otro de la ecuación, pues es inco-rrecto verificar una identidad partiendo de la suposición de que la igualdad planteada es válida.

Una o más de las siguientes sugerencias te pueden ayudar a simplificar expresiones trigonométricas o a verificar identidades:

1. Conocer las once relaciones fundamentales y reconocer las formas equivalentes de cada una.

2. Manejar las técnicas de despeje algebraico.

3. Saber las operaciones algebraicas fundamentales

4. Conocer los procedimientos de adición, sustracción y simplificación de fracciones.

5. Conocer las técnicas algebraicas de factorización y de productos especiales.

6. Usar sustituciones para cambiar todas las funciones trigonométricas en expresiones que conten-gan únicamente senos y cosenos, y entonces simplificar algebraicamente.

7. Evitar, en la medida de lo posible, sustituciones que introduzcan expresiones con radicales.

Ejemplo

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

cot3 q - tan3 qa) (sec q + tan q)(1 – sen q) c) ––––––––––––– cot q - tan q

cos q 1 + sen qb) cos2 q - cos4 q + sen4 q d) ––––––––– - –––––––– 1 - sen q cos q

Procedimiento a)

Escribimos cada una de las funciones en términos de seno y coseno.

1 sen q(sec q + tan q)(1 – sen q) = (––––– + ––––––)(1 – sen q) cos q cos q


259

Trigonometría I

Sumamos las fracciones del primer factor.

1 + sen q = (–––––––––)(1- sen q) cos q

(1 + sen q)(1 - sen q) = ––––––––––––––––––– cos q

Multiplicamos los factores del numerador de la fracción resultante.

1 - sen2 q = –––––––––– cos q

Usamos la relación 1 - sen2 q = cos2 q.

cos2 q = –––––– cos q

Solución = cos q

Procedimiento b)

Agrupamos los primeros dos términos y factorizamos.

cos2 q - cos4 q + sen4 q = (cos2 q - cos4 q) + sen4 q

= cos2 q (1 - cos2q) + sen4 q

Sustituimos la relación pitagórica equivalente a 1 - cos2 q = sen2 q

= cos2 q sen2 q + sen4 q Factorizamos: = sen2 q(cos2 q + sen2 q)

Usamos la relación pitagórica sen2 q + cos2 q = 1

= sen2 q (1)

Solución = sen2 q

Procedimiento c)

Factorizamos el numerador de la fracción (diferencia de dos cubos)

cot3 q - tan3 q––––––––––––– - sec2 q cot q - tan q

(cot q - tan q )(cot2 q + cot q tan q + tan2q )= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– - sec2 q (cot q - tan q )


260

Etapa 3

Se simplifica la fracción cancelando el factor (cot q - tan q )

= cot2 q + cot q tan q + tan2 q - sec2 q Sustituimos el valor de la relación recíproca tan q cot q = 1

= cot2 q + 1 + tan2 q - sec2 q

Luego tenemos que la relación pitagórica 1 + tan2 q = sec2 q

Sustituimos y simplificamos:

= cot2 q + sec2 q - sec2 q

Solución = cot2 q

Procedimiento d)

Restamos las fracciones, obteniendo el MCD.

cos q 1 + sen q cos2 q - (1 + sen q )(1 - sen q )––––––––– - ––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––– 1 - sen q cos q (1 - sen q ) cos q

Efectuamos las operaciones indicadas en el numerador.

cos2 q - (1 - sen2 q ) = –––––––––––––––––– (1 - sen)(cos q )

Dado que la relación pitagórica 1 - sen2 q = cos2 q, nos queda:

cos2 q - cos2 q = –––––––––––––––– (1 - sen q ) cos q

Solución = 0

Como puedes ver en los ejemplos anteriores, una gran parte del proceso es algebraico. La serie de pasos usados en los procedimientos de simplificación no es única, puedes encontrar diversos y variados cami-nos. La experiencia con el uso de las relaciones fundamentales y sus formas equivalentes al simplificar expresiones trigonométricas te dará alguna facilidad para escoger el procedimiento más adecuado.


261

Trigonometría I

Ejemplo

Demuestra que las siguientes igualdades son identidades.

sen4 q - cos4 q a) –––––––––––––– + cot2 q = csc2 q sen2 q - cos2 q

csc q tan q csc2 qb) –––––– - sen q sec q = ––––––––––– cos q 1 + tan2 q

Procedimiento a)

Aquí, vamos a ir simplificando el lado izquierdo de la igualdad, ya que es el que presenta más com-plicación por la serie de operaciones indicadas. A la par que simplificamos iremos tratando de probar que la expresión que resulte en el miembro izquierdo es equivalente a la del lado derecho.

Escribimos una interrogación sobre el signo de igual porque aún no sabemos si la igualdad se cumple o no. Factorizando el numerador de la fracción, tenemos:

(sen2 q + cos2 q )(sen2 q - cos2 q )––––––––––––––––––––––––––––– + cot2 q = csc2 q

(sen2 q - cos2 q )

Simplificamos la fracción y tenemos:

(sen2 q + cos2 q) + cot2 q = csc2 q

Aplicamos la primera y luego la tercera identidad pitagórica:

(sen2 q + cos2 q =1 y 1 + cot2 q = csc2 q).

Quedando: csc2 q = csc2 q

Conclusión:

Se ha demostrado que la igualdad planteada es una identidad, esto es, siempre es válida indepen-dientemente del valor de la variable, en este caso el ángulo q.

Procedimiento b)

Aquí, lo más conveniente es desarrollar ambos miembros.

Primeramente, por relaciones pitagóricas el denominador de la fracción del miembro derecho se puede escribir como sec2 q.


262

Etapa 3

csc q ? tan q csc2 q ––––– - sen q sec q = ––––––––––– cos q sec2 q

Expresemos ambos lados de la ecuación en términos de seno y coseno.

1 sen q 1 ––––– ? ––––– (–––––– )2 sen q 1 cos q sen q –––––– - sen q (–––––– ) = –––––––––––––––– cos q cos q 1 (–––––– )2 cos q

sen q 1 ––––– · –––––– 1 sen q ? cos q sen2 q ––––––––––– - –––––– = ––––––––––––– sen q cos q cos q 1 –––––– cos2 q

sen q ––––––––––– 1 - sen2 q ? cos q sen2 q ––––––––––– = –––––––––––– sen q cos q 1 –––––– cos2 q

cos2 q cos2 q sen q ––––––––––– = ––––––––––– sen q cos q cos q sen2 q

cos q ? cos q –––––– = –––––– sen q sen q

cot q = cot q

Conclusión:

Como hemos llegado a una misma expresión partiendo de los miembros izquierdo y derecho, resulta que estos son iguales, y por lo tanto la igualdad es una identidad, ya que q es un ángulo cualquiera, es decir la igualdad vale para todo ángulo.

Muchas de las ecuaciones trigonométricas no son identidades; no son válidas para todos los valores de la variable. En general para mostrar la falsedad de una afirmación basta con dar un contraejemplo, así, para mostrar que una igualdad trigonométrica no es una identidad, basta con dar un contraejemplo, esto es, en este caso, encontrar un ángulo que no satisfaga la igualdad. (Es necesario que este ángulo sea tal que todas las funciones y expresiones que aparezcan en la igualdad estén definidas para dicho ángulo).


263

Trigonometría I

cos q - sen q Muestra que –––––––––––– = 1 + tan q no es una identidad. cos q

Procedimiento

El valor de q se puede elegir de muchas formas, la elección es arbitraria. Por simplicidad en este caso, el valor que se usará será q = 60°

cos 60° - sen 60° ? –––––––––––––––– = 1 + tan 60° cos 60°

1 3 — - ––– 2 2 ? –––––––– = 1 + 3 1 — 2

1 - 3 –––––– 2 ? ––––––– = 1 + 3 1 — 2

1 - 3 ≠ 1 + 3

Conclusión:

Dado que la igualdad no es cierta cuando q = 60°, la igualdad no es una identidad.


264

Etapa 3

1. Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

csc q sen q cos q a) ––––– b) –––––– + –––––– cot q csc q sec q

(1 + sen q )(1 - sen q ) c) sec q (1 - sen2 q ) d) –––––––––––––––––––– cos q

e) sen q sec q f) (sec q + tan q )(sec q - tan q )

g) sen2 q (1 + cot2 q ) h) csc q sec q - cot q

sen q 1 1 i) ––––– + cos q j) –––––––– + –––––––– cot q 1 + sen q 1 - sen q

1 + sec q k) cot2 q (1 + tan2 q ) l) –––––––––––– sen q + tan q

sen q + cos q m) –––––––––––– + cot q sen q

2. Demuestra que cada una de las siguientes igualdades son identidades.

cot q - sen qa) sec q + cos q - sen q tan q = 0 b) –––––––––––– = cos q csc q - tan q

csc2 q - cot2 q c) cos q tan q + cos q cot q = csc q d) ––––––––––––– = cos2 q sec2 q

tan2 q - sen2 q sen q 1 + cos q e) ––––––––––––– = sen 2 q f) –––––––– + –––––––– = 2 csc q tan2 q 1 + cos q sen q

1 g) –––––––––––– + tan q = sec q h) (sec q - cos q ) cos q = sen2 q sec q + tan q

sec q - cos q i) –––––––––––– = sen q j) 1 - sen q cos q tan q = cos2 q tan q

cos2 q k) ––––––––– + sen q = 1 l) (sec q + tan q )(sec q - tan q ) = 1 1 + sen q

cos q - sen q m) –––––––––––– = cos q n) (sec q + tan q )(1 - sen q ) = cos q 1 - tan q

Ejercicio


265

Trigonometría I

Identidades para la suma y diferencia de dos ángulos para ángulo doble y ángulo mitad

A veces es necesario trabajar con expresiones referentes a la función trigonométrica de la suma o la di-ferencia de dos ángulos, tales como sen(α + β ). Ahora veremos las identidades que se pueden usar para obtener las funciones trigonométricas de estos casos: la suma y diferencia de ángulos.

• Con ayuda de los valores de los triángulos con ángulos de 30°, 45° y 60°, y/o con la calculadora, comprobar si:

a) sen 30° + sen 30° es o no igual a sen (30° + 30°)

b) sen 30° + sen 45° es o no igual a sen (30° + 45°)

c) sen 30° + sen 60° es o no igual a sen (30° + 60°)

Como habrás observado, sen (α + β ) no es igual a sen α + sen β. Esto es, el signifi-cado de sen (α + β ) no es el producto de (sen) × (α + β ).

sen (α + β ) significa que se trata del seno de un ángulo que sea suma de los ángulos α y β.

Objetivo

La relación entre sen (α + β ) y cos (α + β ) se establece construyendo la siguiente figura.

x

y

A C

BD

P

0

Figura 3.6


266

Etapa 3

Para construir esta figura, sigue los pasos que se te dan a continuación:

Coloca el ∠ α en posición normal6.

Sitúa el ∠ β de tal forma que su vértice se encuentre en el origen O y su lado inicial coincida con el lado terminal del ∠α.

Sea P cualquier punto en el lado terminal del ∠ (α + β ),

Trazas las rectas.

PA perpendicular al eje x,

PB perpendicular al lado terminal de α (es decir a OB),

BC perpendicular al eje x y BD perpendicular a AP.

Ahora, ∠ APβ = α

6 Un ángulo en posición normal es aquél que tiene su vértice en el Origen y el lado inicial en la parte positiva del eje x.

Ejercicio

1. Señala qué criterios se siguen para afirmar que, dada la figura 3.6, ∠ APB = α.

x

y

A C

BD

P

0

Prosigamos:

Sigue con cuidado los pasos que se mencionan a continuación. Comprueba cada paso utilizando tu dibujo (o el dibujo que está dado en la figura 3.6)

AP AD + DP CB + DP CB DP CB OB BP DPsen (α + β ) = ––– = –––––––– = –––––––– = ––– + ––– = ––– · ––– + ––– · –––

OP OP OP OP OP OB OP OP BP

Esto es: sen(α + β ) = sen α cos β + sen β cos α


267

Trigonometría I

Por otro lado,

OA OC - AC OC - DB OC DB OC OB DB BPcos (α + β ) = ––– = –––––––– = –––––––– = ––– + ––– = ––– · ––– + ––– · –––

OP OP OP OP OP OB OP BP OP

Por lo tanto,

cos(α + β) = cos α cos β - sen α sen β

Veamos ahora una fórmula que da tan (α + β ) en términos de tan α y tan β.

sen qPuesto que la relación tan q = ––––– es válida para cualquier ángulo, también lo será para el ∠(α + β) y cos qtendremos:

sen(α + β ) sen α cos β + sen β cos αtan (α + β) = –––––––––– = –––––––––––––––––––––––

cos (α + β ) cos α cos β - sen α sen β

Si recordamos que al dividir el numerador y el denominador de una fracción por una misma cantidad no se altera el valor de la fracción, podemos dividir el numerador y el denominador de la fracción anterior por el producto cos α cos β, con lo que resultará:

sen α cos β sen α cos β sen α sen β ––––––––––– + ––––––––––– ––––– + ––––– cos α cos β cos α cos β cos α cos β

tan (α + β) = ––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––– cos α cos β cos α cos β sen α sen β ––––––––––– - ––––––––––– 1 - ––––– · ––––– cos α cos β cos α cos β cos α cos β

Lo cual, al sustituir las identidades cociente, nos da:

tan α + tan β tan (α + β) = –––––––––––––

1 - tan α tan β

Para deducir las fórmulas de sen(α - β) y de cos(α - β) procederemos de manera parecida a como lo hicimos en la discusión anterior.

x

y

A C

BD

P

0

Figura 3.7


268

Etapa 3

Para construir la figura 3.7, se siguen los pasos que se mencionan a continuación:

Coloca el ∠ α en posición normal.

Sitúa el ∠ β de tal forma que su vértice se encuentre en el origen y su lado inicial coincida con el lado terminal del ∠ α.

Sea β cualquier punto en el lado terminal del ∠(α - β ).

se trazan las rectas:

PA perpendicular a OC.

PB perpendicular al lado terminal del ∠ α.

BC perpendicular al eje x.

BD perpendicular a AP.

Ahora tenemos que ∠ APB = α.

Ejercicio

1. Señala qué criterios se siguen para afirmar que ∠ APB = α.

x

y

A C

BD

P

0

Prosiguiendo con nuestra explicación, entonces tenemos que:

BC AP - PD AP PD AP OP PB PDsen (α - β ) = ––– = –––––––– = ––– + ––– = ––– · ––– + ––– · –––

OB OB OB OB OP OB OB PB

Haciendo simplificaciones análogas a las utilizadas en el caso anterior, tenemos:

sen (α - β) = sen α cos β - sen β cos α

Y además:

OC OA + AC OA + BD OA BD OA OP BD PBcos (α + β ) = ––– = –––––––– = –––––––– = ––– + ––– = ––– · ––– + ––– · –––

OB OB OB OB OB OP OB PB OB


269

Trigonometría I

Por lo tanto, cos (α - β ) = cos α cos β + sen α sen β

Vamos ahora a encontrar una fórmula que nos permite expresar tan (α - β ) en función de tan α y tan β.

La identidad cociente es válida para cualquier ángulo, en este caso para (α -β ) tendríamos ahora:

sen (α - β )tan (α - β ) = ––––––––––

cos (α - β )

Sustituimos los valores recientemente obtenidos:

sen α cos β - cos α sen βtan (α - β ) = –––––––––––––––––––––––

cos α cos β + sen α sen β

A continuación dividimos numerador y denominador por cos α cos β.

sen α cos β - cos α sen β sen α cos β cos α sen β –––––––––––––––––––––––– ––––––––––– - ––––––––––– cos α cos β cos α cos β cos α cos β

tan (α + β) = ––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––– cos α cos β cos α cos β sen α sen β ––––––––––– - ––––––––––– 1 - ––––– · ––––– cos α cos β cos α cos β cos α cos β

Después de hacer esto nos queda, realizando todas las simplificaciones y sustituciones:

tan α - tan βtan (α - β) = –––––––––––––

1 + tan α tan β

También se pueden establecer identidades acerca de funciones trigonométricas de ángulos dobles, tales αcomo sen 2α, o mitades de ángulos como cos —. 2

Supongamos que en las fórmulas de la suma de dos ángulos, ambos sean iguales, es decir α = β. Quedará entonces,

sen (α + α) = sen α cos α + sen α cos α

Es decir:

sen 2α = 2 sen α cos α

De modo similar,

Cos (α + α) = cos α cos α - sen α sen α

Esto es, cos 2α = cos² α - sen² α


270

Etapa 3

Ahora, para tan 2α escribimos tan (α + α) y desarrollamos:

tan α + tan α tan(α + α) = ––––––––––––– 1 – tan α tan α

Tendríamos entonces: 2 tan α tan 2α = –––––––– 1 – tan α

Por último, las funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo se expresan en función de las de éste, con ayuda de las relaciones anteriores.

De la identidad cos 2α = cos2 α - sen2 α, si sustituimos cos2α por 1 - sen2 α, se obtiene que:

cos 2α = 1 – sen2 α – sen2 α cos 2α = 1 – 2sen2 α

y si aquí despejamos sen α, nos queda:

1 – cos 2 α sen α = –––––––––– 2

Si ahora hacemos 2α = q, entonces α = q–2 y se tiene:

1 – cos α sen q–2 = ––––––––– 2

En rigor, se debería colocar el signo ± delante de la raíz cuadrada, lo cual significaría que el sen q–2 es

positivo o negativo según el cuadrante donde quede ubicado el ángulo, tal como va a explicarse en el ca-pítulo siguiente. A reserva de volver a esto más tarde, baste decir que para nosotros no resulta necesario colocar el doble signo delante de las raíces cuadradas en ninguna de las fórmulas siguientes.

De la relación cos 2α = cos2 α - sen2 α, al sustituir sen2 α por 1 - cos2 α, se obtiene:

cos 2α = cos2α – (1 – cos2α)

cos 2α = 2 cos2 α - 1

Y si aquí despejamos cos α, resulta:

1 + cos 2 α cos α = –––––––––– 2


271

Trigonometría I

Hagamos 2α = q, entonces α = q–2 y se tiene:

1 + cos 2 α cos q–2 = –––––––––– 2

Ahora bien, tan q–2 se puede expresar en función del cos q como:

q 1 – cos q sen — ––––––––– 2 2 tan q–2 = ––––––– = –––––––––––– q 1 + cos q cos — ––––––––– 2 2

Simplificando tendríamos:

1 – cos q tan q–2 = ––––––––– 1 + cos q

O bien, racionalizando el denominador, obtenemos:

1 – cos q 1 + cos q tan q–2 = –––––––––– · –––––––––– 1 + cos q 1 + cos q

1 – cos2 q tan q–2 = –––––––––––– (1 + cos q )2

de donde, al sustituir la primera relación pitagórica y al simplificar el denominador, tenemos: sen q tan q–2 = ––––––––– 1 + cos q

Las identidades para la suma, diferencia, el doble y la mitad del ángulo con senos, cosenos y tangentes se resumen en la siguiente tabla:

Identidades para la suma de dos ángulos:

sen(α + β) = sen α cos β + sen β cos α cos(α + β ) = cos α cos β - sen α sen β

tan α + tan β tan (α + β) = –––––––––––––– 1 – tan α tan β


272

Etapa 3

Identidad para la diferencia de dos ángulos:

sen(α - β) = sen α cos β - sen β cos α cos(α - β) = cos α cos β + sen α sen β

tan α – tan β tan (α – β) = –––––––––––––– 1 + tan α tan β

Identidad para el doble del ángulo:

sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2 α - sen2 α

2 tan α tan 2α = ––––––––– 1 – tan2 α

Identidades para la mitad del ángulo:

α 1 – cos α α 1 + cos α sen — = ––––––––– cos — = ––––––––– 2 2 2 2

α sen α tan — = –––––––––– 2 1 + cos α

Ejemplo

Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

a) (sen α + sen β )2 + (cos α - cos β )2 + 2 cos(α + β )

(sen α + sen β )2 + sen (α - β )b) ––––––––––––––––––––––––––– sen 2 a

Procedimiento a)

Desarrollamos cada uno de los binomios al cuadrado y aplicamos la identidad para cos (α + β).

(sen α + sen β)2 + (cos α - cos β)2 + 2 cos(α + β) == (sen2 α + 2 sen α sen β + sen2 β) + (cos2 α -2 cos α cos β + cos2 β) +2(cos α cos β - sen α

sen β)

= sen2 α + 2sen α sen β + sen2 β + cos2 α - 2 cos α cos β + cos2 β + 2cos α cos β - 2sen α sen β


273

Trigonometría I

Combinando términos semejantes tenemos:

= (sen2 α + cos2 α) + (sen2 β + cos2 β)

Aplicando consecutivamente la primera identidad pitagórica, obtenemos: = 1 + 1

Solución = 2

Procedimiento b)

sen (α + β ) + sen (α - β )–––––––––––––––––––––– = sen 2 α

Aplicamos las relaciones correspondientes a seno de la suma de ángulos y seno de la resta de ángulos:

sen α cos β + sen β cos α + sen α cos β - sen β cos α–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2 sen α cos α

Se reducen los términos del numerador.

2 sen α cos β = ––––––––––––– 2 sen α cos α

cos β = –––––– cos α

Ejemplo

Demuestra cada una de las siguientes identidades:

2 sen3 qa) –––––––– + cos q = sec q sen 2 q

2 tan q - sen 2 qb) ––––––––––––––– = tan q 2 sen2 q

Procedimiento a)

Desarrollamos el miembro izquierdo de la ecuación, obteniendo el MCD, y vamos efectuando las


274

Etapa 3

operaciones indicadas para ver si la igualdad planteada es cierta o no: 2 sen3 q + cos q sen2q ? –––––––––––––––––––– = sec q sen 2q

1Ahora usamos las relaciones siguientes: sen 2q = 2 sen q cos q y sec q = ––––– cos q

2 sen3 q + 2 sen q cos2 q ? ––––––––––––––––––––––– = sec q 2 sen q cos q

Efectuando el producto indicado.

2 sen2 q + 2 sen q cos2 q ? –––––––––––––––––––––– = sec q 2 sen q cos q

2 sen q es factor común en el numerador:

2 sen q (sen2 q + cos2 q ) ? ––––––––––––––––––––––– = sec q 2 sen q cos q

Sustituimos sen2 q + cos2 q por su valor de 1 y nos queda: 2 sen q –––––––––––– = sec q 2 sen q cos q

Simplificamos el lado izquierdo y tenemos:

1 –––––– = sec q cos q

Conclusión:

sec q = sec q Con lo que la identidad queda demostrada.

Procedimiento b)

Se utilizan las siguientes relaciones:

sen qtan q = –––––, sen 2q = 2 sen q cos q , desarrollando el lado izquierdo de la ecuación para ver si cos q 2 tan q - sen 2 qal ir simplificando nos queda cierta la igualdad planteada ––––––––––––––– = tan q 2 sen2 q


275

Trigonometría I

Veamos: 2 sen q ––––––– - 2 sen q cos q cos q ? ––––––––––––––––––––– = tan q 2 sen2 q

Se obtiene el MFC para hacer la resta de fracciones indicada en el numerador:

2 sen q - 2 sen q cos2 q ––––––––––––––––––––– cos q ? ––––––––––––––––––––– = tan q 2 sen2 q

Dado que 2sen2 q tiene como denominador al 1, se simplifica la fracción, quedando:

2 sen q - 2 sen q cos2 q ––––––––––––––––––––– cos q 2 sen q - 2 sen q cos2 q ? ––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––– = tan q 2 sen2 q 2 sen2 q cos q –––––––– 1

2 sen q es factor común del numerador, por lo tanto puede escribirse:

2 sen q (1 - cos2 q) ? –––––––––––––––––– = tan q 2 sen2 q cos q

Aplicamos la primera relación pitagórica y sustituimos:

2 sen q (sen2 q) ? –––––––––––––– = tan q 2 sen2 q cos q

Simplificando la fracción:

sen q ? –––––– = tan q cos q

Conclusión: tan q = tan q , luego, la identidad queda demostrada.

Ejercicio

Ver ejercicios resueltos en la siguiente dirección: http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id211.htm


276

Etapa 3

1. Simplifica las siguientes expresiones.

a) sen(q + δ ) cos q - cos (q + δ ) sen q b) cos(q - δ ) sen q - sen (q - δ ) cos q

sen(q + δ) + sen(q - δ) c) sen(q + δ ) cos q - cos (q + δ ) sen q d) –––––––––––––––––––– cos(q + δ) + cos(q - δ)

q e) sen 2q sec q f) 2 cos2 — 2

q q g) (sen — + cos — )2 - 1 2 2

2. Demuestra que las siguientes igualdades son identidades:

sen 2q sen 2q cos 2q a) –––––––––– = cot q b) –––––– - ––––––– = sec q 1 - cos 2q sen q cos q

cos 2q sen 2q cos 2q c) –––––– + –––––– = csc q d) cot q - ––––––––––– = tan q sen q cos q sen q cos q

1 - cos 2q tan q - tan δ e) –––––––––– = tan2 q f) ––––––––––– = sen (q - δ ) 1 + cos2 q sec q sec δ

Ejercicio

3.3 Resolución de triángulos rectángulos y su aplicación en diferentes contextos

• Resolver ejercicios y problemas de aplicación que impliquen encontrar los elemen-tos faltantes en triángulos rectángulos (resolución de triángulos) mediante la aplica-ción de las funciones trigonométricas.

Objetivo

Supongamos, por ejemplo, que se desea sujetar un poste de 8 m. de altura empleando un tirante de alambre sujeto a lo alto del poste y a una estaca situada a una distancia de 5 m. del pie del mismo sobre un suelo horizontal. ¿Cual deberá ser la longitud del alambre que se necesita y cual su inclinación con respecto al suelo y con respecto al poste? Este problema se resuelve con facilidad por medio de las rela-ciones trigonométricas anteriormente vistas.


277

Trigonometría I

En efecto, si DL es el poste (figura 3.8) y “h ” su altura conocida de 8 m, “d ” la distancia HL de 5 m. desde la estaca al pie del poste, y DH representa el alambre de longitud “,” sujeto a la estaca en H; el

DDHL es un triángulo rectángulo en L en el que, como sabemos, , 2 = d 2+ h 2, de donde , , = d 2 + h 2.Puesto que “d ” y “h ” se conocen, esta fórmula nos permite calcular inmediatamente “,”.

, = d 2 + h 2 = 52 + 82 = 25 + 64 = 89 = 9.43 m

La inclinación del alambre con respecto al suelo es el ∠ H, y de la definición de la función tangente, deducimos que:

h tan H = — d

Como conocemos “h” y “d ”, esta fórmula da en seguida la tangente del ∠ H,

8 m tan H = –––– = 1.6 5 m

Y conocida la tangente, buscamos con una calculadora, el valor del ángulo de inclinación H,

∠ H = tan -1 1.6 = 58°.

Una vez conocido el ∠ H, el ∠ D = 90° - ∠ H,

∠ D = 90° - 58° = 32°

Ahora bien, la longitud “ l ” del alambre se pudo haber determinado también sin utilizar el teorema de Pitágoras, si primero calculamos el ∠ H por la fórmula:

h tan H = — d

D

LH

h = 8 m

d = 5 m

Figura 3.8


278

Etapa 3

Tal como lo acabamos de hacer, obteniendo ∠ H = 58° y después determinamos la función sen H,

h sen H = — l

Despejando en esta fórmula el valor de “ l ” se obtiene que,

h L = –––––– sen H

Por lo tanto,

8 m 8 , = –––––– = ––––––– = 9.43 m sen 58° 0.8480

De manera que eligiendo entre las funciones trigonométricas del triángulo rectángulo aquella que invo-lucra los datos y la incógnita, y transformándola convenientemente mediante los métodos algebraicos, tenemos a nuestra disposición fórmulas que nos permiten calcular cualquier lado o ángulo de un trián-gulo rectángulo cuando se dan suficientes datos.

Ejemplo

En el DABC de la figura ∠ A = 35°109 y c = 72.5; resuelve el triángulo rectángulo, es decir, encuen-tra la medida de los elementos faltantes: ∠ B, el lado a y el lado b.

B

CA

72.5

35°10’

Figura 3.9

Procedimiento

Para determinar el valor del ángulo B:

∠ B = 90°-∠ A = 90° - 35° 109 = 89° 609 - 35° 109 = 54° 509

B = 54°509.


279

Trigonometría I

Ahora veamos qué hacer para obtener el valor del lado a:

aTomemos sen A = — c

Despejemos “a ” de esta fórmula,

a = c (sen A) = 72.5 (sen 35° 109) = 72.5 (0.5760) = 41.8

a = 41.8

Por último, obtengamos el valor del lado b a partir de

bcos A = — despejando “b” de esta fórmula. c

b = c (cos A) = 72.5 (cos 35° 109) = 72.5 (0.8175) = 59.3

b = 59.3

Solución B = 54° 509 a = 41.8 b = 59.3

Ejemplo

Resuelve el triángulo rectángulo ABC de la siguiente figura, donde a = 24.36 y ∠ A = 58° 539

A

C B

58°53�

24.36

Figura 3.10

Procedimiento

El ∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 58° 539 = 89° 609 - 58° 539 = 31° 79


280

Etapa 3

Para el lado b vamos a utilizar la función cotangente:

b cot A = — y despejando b: c

b = a(cot A) = 24.36 (cot 58° 539) = 24.36 (0.6036) = 14.70

Para el lado c se utiliza la función que creamos más apropiada, por ejemplo,

a sen A = —; despejando c: c

a 24.36 24.36 c = –––––– = –––––––––– = –––––– = 28.45 sen A sen 58° 539 0.8561

Solución ∠ B = 31°79 b = 14.70 c = 28.45

Ejemplo

Resuelve el triángulo rectángulo ABC de la siguiente figura, donde a = 43.9 y b = 24.3

B

A C

43.9

24.3

Figura 3.11

Procedimiento

a 43.9a) tan A = — = ––––– = 1.8066 b 24.3

por lo tanto ∠ A = 61°

b) ∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 61° = 29°


281

Trigonometría I

cc) Para el lado c se utiliza la función csc A = —; despejando c, se tiene que: a

c = a(csc A) = 43.9 (csc 61°) = 43.9 (1.1434) = 50.2 aO bien, se pudo haber utilizado la función sen A = — ; y despejando c, se hubiera obtenido el cmismo valor:

a 43.9 43.9 c = –––––– = ––––––– = ––––––– = 50.2

sen A sen 61° 0.8746

Solución ∠ A = 61° ∠ B = 29° c = 50.2

Ejemplo

Supón que te dan el trabajo de medir un poste de luz que está colocado afuera de un negocio. Como es muy difícil para ti subirte para medirlo, decides hacerlo desde el piso. De un punto situa-do a 47.3 metros del poste, encuentras que con un teodolito el ángulo del piso a la punta del poste es de 53°. (Figura 3.12) ¿Cuál es la altura del poste?

53°

y = ?

47.3 m

Figura 3.12

Procedimiento

En la figura puedes ver que se forma un triángulo rectángulo, con el cateto adyacente = 47.3 m y donde la incógnita es el cateto opuesto.

Así que con la definición de la tangente del ángulo dado tenemos:

ytan 53° = –––––

47.3


282

Etapa 3

Despejando tenemos: y = 47.3 ( tan 53° ). y = 47.3 (1.327)

Solución La altura del poste es 62.77 metros.

1. Resuelve cada uno de los siguientes triángulos rectángulos ABC;

Datos:

a) ∠ B = 36° 529 y c = 35 b) ∠B = 11° 259 y c = 101

c) ∠A = 67° 239 y c = 39 d) ∠A = 58° 79 y a = 45 e) ∠A = 73° 449 y a = 36 f) ∠A = 59° 299 y b = 33

g) ∠ A = 61° 569 y b = 32 h) ∠ A = 64° 579 y c = 85

i) ∠ B = 12° 419 y b = 36 j) a = 13 y b = 84

k) a = 180 y b = 33 l) a = 15 y c = 113

m) a = 96 y c = 146 n) b = 16 y c = 65

o) b = 12 y c = 37 p) ∠ B = 26° y a = 80

q) ∠ B = 6° 449 y a = 144 r) ∠ B = 48° 409 y c = 22.5

s) ∠ B = 43° 369 y b = 20

Ejercicio

cb

A

C Ba

Figura 3.13


283

Trigonometría I

2. Si necesitas comprar cuerda para el asta de una bandera y observas que la sombra del asta en el piso es 11.6 m. y el ángulo de elevación del sol es de 35°409. ¿De qué tamaño debes de com-prar la cuerda?

3. Hasta ahora, la torre más alta del mundo mide 553 m. de altura y se encuentra en Toronto; si la sombra que proyecta en el piso mide 1100 metros de longitud ¿Cuál será el ángulo de elevación del sol a esa hora del día?

4. Un observador ve desde lo alto de un faro de 60 m. de altura un barco en el agua, con un ángulo de depresión de 12°429 ¿Cuál será la distancia del barco a la torre?

5. Un tubo de rayos gamma es usado para tratar un tumor que se encuentra 5.7 cm. debajo de la piel del paciente; para no dañar un órgano que está arriba del tumor, el técnico mueve el tubo 8.3 centímetros hacia un lado. ¿Cuál será el ángulo del tubo para que los rayos lleguen al tumor? ¿Qué distancia tendrá que viajar el rayo para llegar al lugar indicado?


284

Etapa 3

Autoevaluación 3

1. Si en un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide 65° 339 220, ¿Cuánto mide el otro ángulo agudo?

a) 24° 369 380

b) 24° 269 380

c) 34° 369 380

d ) 34° 369 480

e) 24° 469 180

2. Si en un triángulo rectángulo las medidas de los catetos son 2 3 y 4 5, respectivamente. Hallar el valor de la hipotenusa.

a) 10

b) 2 30

c) 6 15

d ) 2 23

e) 8 15

6. Cierta persona desea saber cuál es el ángulo de inclinación de una calle. Se da cuenta que los ladrillos de una barda son horizontales con respecto a la calle y mide desde un punto, la distancia horizontal de 35 cm. y de ahí hacia abajo del ladrillo mide 6 cm. de distancia verti-cal hacia la calle. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la calle?

35 cm6 cm

θ

B

C A

4 5

2 3


285

Trigonometría I

1 2 3. Si sen A = 1 –––– y cos A = ––––, encuentra los valores exactos de las restantes funciones trigono- 5 5 métricas.

1 3 5 a) tan A = —, cot A = ––––, sec A = ––––, csc A = 5 2 5 2

1 5 b) tan A = 2, cot A = —, sec A = 5, csc A = –––– 2 2

1 1 5 c) tan A = —, cot A = ––––, sec A = ––––, csc A = 5 2 12 2

1 5 d ) tan A = —, cot A = 2, sec A = ––––, csc A = 5 2 2

3 4. Si sen q = — y cos q < 0, determinar el valor de tan q (usa identidades trigonométricas además 5 del Teorema de Pitágoras).

3 a) tan q = - 3 b) tan q = - 6 c) tan q = — 4

3 d ) tan q = - — e) tan q = 0 4

5. Empleando las cofunciones, llena los espacios en blanco de la siguiente tabla.

cos 47° = sen

tan 22°= cot

csc 39°= sec

tan = cot 60°

6. Empleando las identidades trigonométricas y la calculadora, llena los espacios en blanco de la siguiente tabla.

sec 20° 1= ––––––––––– =


286

Etapa 3

cot 68° 1= ––––––––––– =

csc 44° 1= ––––––––––– =

sec2 36° = 1 + = 1 + =

sen 75°= sen (45° + 30°) = sen 45° · cos 30° + .

= + =

1 + tan q 7. Verifica la identidad ––––––––– = tan q. Luego compara tu procedimiento con los pasos que se te 1 + cot q dan a continuación. Ordena entonces los pasos que te damos y escribe la secuencia correcta.

tan q (1 + tan q)A = –––––––––––––– = tan q + 1

B = tan q 1 + tan qC = ––––––––– = tan q + 1 –––––––– tan q 1 + tan qD = –––––––– = 1 + cot q 1 + tan qE = ––––––––– = 1 1 + ––––– tan q

a) CDBAE b) DCAEB c) DECAB

d ) EABDC e) EDCAB

8. Empleando las identidades trigonométricas pertinentes, reduce cada expresión a su forma más simple:

A) csc A · cos A

a) tan A b) cot A c) sen A d ) sec A e) cos A · sen A

B) cos q (tan q + cot q )

a) cos q b) cot q c) csc q d ) sec q e) cos2 q


287

Trigonometría I

9. Si en un triángulo rectángulo como el siguiente, a = 8 y b = 4, encuentra los valores de c, A y B

a) c = 4 5, A = 33.44° B = 26.56°

b) c = 2 5, A = 38.44° B = 21.56°

c) c = 4 5, A = 23.14° B = 66.56°

d ) c = 2 10, A = 26.56° B = 63.44°

e) c = 4 5, A = 63.44° B = 26.56°

10. Si en un triángulo rectángulo A = 32° y a = 6.5, encontrar los valores de b, B y c.

a) B = 58°, b = 8. 5, c = 2.76

b) B = 68°, b = 9.6, c = 14.6

c) B = 52°, b = 11. 8, c = 12.3

d ) B = 58°, b = 5.3, c = 19.6

e) B = 58°, b = 10. 4, c = 12.26

1 1. Calcula la altura h de un edificio cuya sombra es de 118 m cuando el ángulo de elevación del mismo es de 22°.

118 m

22°

h

a) 47.9 m b) 39.8 m c) 89.7 m d ) 45.9 m e) 47.7 m

12. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, empleando los valores exactos de las funciones:

A) 3 cos 60° - 5 sen 0° + ½ sen2 45° + tan 45° cot 45°

11 7 1 -1 a) ––– b) — c) — d ) –––– e) 0 4 8 2 4

b

c

a

B

CA


288

Etapa 3

3 B) 2 sen 90° + 2 cos 90° - — tan 45° 7

11 11 1 a) ––– b) ––– c) - — d ) - 1 e) 0 4 7 2

13. Un barco se encuentra en la bahía de Nueva York; desde él se observa la Estatua de la Libertad que tiene una altura aproximada de 305 pies. Si el ángulo de elevación a la parte superior de la antorcha es de 20°. ¿Qué tan lejos está el barco de la base de la estatua?

305

20°

a) 665.8 pies b) 233.4 pies c) 837.98 pies

d ) 123.6 pies e) 981.5 pies

14. Para calcular el ancho de un río, un topógrafo procede como sigue:

Fija un punto A en una de las orillas (por ejemplo un árbol o una estaca). Desde la orilla opuesta se coloca en un punto B, frente al punto A, y girando en un ángulo de 90° camina 100 metros de distancia hasta un punto C. Desde el punto C observa el punto A y encuentra que está a 36° con respecto a la línea BC.

Calcula el ancho del río a partir de esos datos.

a) 72.65 m.

b) 59.89 m.

c) 7.69 m.

d ) 45.89 m.

e) 132.8 m.

A B

C


289

Trigonometría I

15. Una escalera de 3.5 m. se apoya contra el borde superior de una barda que rodea un jardín. Si el pie de la escalera se encuentra a un metro de distancia de la base de la barda ¿Cuál es la altura de ésta?

a) 3.05 m b) 3.64 m c) 3.35 m d ) 6 m e) 3.45 m


1. 24° 269 380

2. 2 23

1 5 3. tan A = —, cot A = 2, sec A = ––––, csc A = 5 2 2

3 4. tan q = - — 4

5. cos 47° = sen 43°

tan 22° = cot 68°

csc 39° = sec 51°

tan 30° = cot 60°

1 6. sec 20° = ––––––– = 1.064 cos 20°


290

Etapa 3

1cot 68° = ––––––– = 0.404 tan 68°

1csc 44° = ––––––– = 1.44 sen 44°

sec2 36° = 1 + tan2 36 = 1 + 0.528 = 1.528

sen 75° = sen (45° + 30°) = sen 45°. cos 30° + cos 45° · sen 30°

1 3 1 1 1 + 3 = ––– · ––– + ––– · — = –––––– = 0.966 2 2 2 2 2 2

7. DECAB

8. A) cot A

B) csc q

9. A = 63.44°, B = 26.56°, c = 4 5

10. B = 58°, b = 10.4, c = 12.26

11. 47.7 m

11 12. A) ––– 4

11 B) ––– 7

13. 837.98 pies

14. 72.65 m

15. 3.35 m


Una de las principales aplicaciones de las funciones trigonométricas es su uso para calcular dimensiones de triángulos. Esto puede parecer, quizá, sólo de interés académico, pero como se verá en las próximas secciones, los tipos de aplicaciones pueden ser de carácter práctico.

A menudo, en los problemas aparecen datos incompletos sobre los ángulos o longitudes de los lados de un triángulo, elementos cuyos valores son necesarios. Al proceso de determinar, a partir de algunos de ellos, los elementos restantes de un triángulo, se le llama “resolución de un triángulo”.

Como ya sabes, un triángulo está compuesto básicamente de seis partes: tres lados y tres ángulos. Un triángulo rectángulo puede quedar determinado completamente si conoces, además del ángulo recto: a) un lado y un ángulo agudo, o b) dos lados, tal como ya lo trabajaste en el capítulo anterior. Ahora nos toca estudiar triángulos oblicuángulos (aquellos que no son rectángulos), los cuales pueden resolverse cuando se conocen a) sus tres lados, b) dos lados y un ángulo o, c) dos ángulos y un lado.

Cuando se presenten triángulos rectángulos se hará uso de conceptos ya conocidos por ti, como son las funciones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y el hecho de que los dos ángulos agudos son com-plementarios. Para la resolución de triángulos oblicuángulos se deberá recurrir a procedimientos como la Ley de los senos y la Ley de los cosenos, los cuales serán material de estudio de la presente etapa. Usualmente será muy útil hacer un bosquejo aproximado del triángulo; lo cual ayudará a determinar las funciones trigonométricas que se pueden usar para encontrar las partes desconocidas.

291

Etapa

4Trigonometría II


Etapa 4

292

4.1 Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera

En determinados tipos de problemas como los que hasta ahora hemos estudiado, en los que intervienen rectas y ángulos, estos elementos forman parte de triángulos rectángulos. Pero no siempre es éste el caso y, como veremos más adelante, es necesario muchas veces resolver triángulos oblicuángulos.

En los triángulos rectángulos, los ángulos cuyas funciones trigonométricas hemos utilizado en los cálcu-los son siempre agudos. Esto por la forma en que se definieron las funciones trigonométricas, sin embar-go, en los triángulos oblicuángulos en ocasiones, hay que trabajar con ángulos obtusos. Se presenta la necesidad de retomar el concepto de ángulo.

Un “sistema de coordenadas rectangulares” en un plano consiste en dos rectas numéricas perpendi-culares entre sí (llamadas ejes), una horizontal y la otra vertical, cuyo punto de intersección (origen) es el cero de cada escala. Se acostumbra escoger la dirección positiva, en la escala horizontal (eje X ), a la derecha del origen y hacia arriba del origen en la escala vertical (eje Y ).

Gracias a este sistema, la posición de un punto P en el plano puede darse por medio de sus distancias dirigidas con respecto a estos ejes, las que son llamadas “coordenadas” del punto. La coordenada “x ” o abscisa de un punto P es la distancia dirigida “x ” desde el eje Y hasta el punto P, y la coordenada “ y “ u ordenada es la distancia dirigida “y ” desde el eje X hasta el punto P. Un punto P con una abscisa “x ” y una ordenada “ y ” se denotará como P (x, y ). Observa que siempre la abscisa se escribe en primer lugar y la ordenada en segundo. (Figura 4.1),

• Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud, dado: a) un punto del lado terminal del ángulo en posición normal o b) el valor de una función trigonométrica junto con información sobre el cuadrante en el que se localiza el ángulo. Encontrar los ángulos de referencia y usarlos para encontrar los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo mayor de 90°.

Objetivo

x

y

y

P (x, y)

x

Figura 4.1


Trigonometría II

293

Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas “cuadrantes” y se enumeran en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Los cuadrantes numerados, junto con los signos de las coordena-das de un punto en cada uno de ellos, se muestran en la figura 4.2.

X

Y

I(+, +)

IV(+, −)

III(−, −)

II(−, +)

O

x

y

y

O

R2 = x 2 + y 2

R2 = x 2 + y 2

x

R

P (x, y)

Figura 4.2

Figura 4.3

Otra distancia por considerar es la del origen O al punto P. Esta distancia designada por R (figura 4.3), es la “distancia radial” de P. La “distancia radial” de P no es una distancia dirigida, por lo cual siempre es un número no negativo. Utilizando el teorema de Pitágoras se puede determinar R en términos de “x ” y de “y ”:

Por lo tanto, a cada punto P localizado en un sistema de coordenadas rectangulares, se le asocian tres valores: “x ”, “y ” y R.

A un punto P se le asocia también un cuarto valor θ, donde θ es la medida de un ángulo dirigido (positivo, si se mide en contra de las manecillas del reloj y negativo, si se mide a favor).


Etapa 4

294

Este ángulo tiene como lado inicial la parte positiva del eje X y como lado terminal el rayo “R ” que sale del origen “O ” y que pasa por el punto “P ” (figura 4.4). Observa que no hay un único valor de “θ ” para cada punto “P ”; de hecho, hay un número ilimitado de valores de “θ ” que pueden asociarse a cada pun-to “P ”, los que pueden encontrarse agregando múltiplos enteros de 360° al valor del ángulo específico.

x

y

θ

R

O

P (x, y)

Figura 4.4

Un ángulo en posición normal pertenece al “primer cuadrante” cuando su lado terminal cae dentro del cuadrante I, pertenece al “segundo cuadrante” si su lado terminal cae dentro del cuadrante II y así en los otros dos cuadrantes. Si el lado terminal de un ángulo coincide con uno de los ejes coordenados, se dice que el ángulo es un “ángulo cuadrantal” (ya que el lado terminal es una frontera entre dos cuadrantes adyacentes). Por ejemplo, los ángulos situados en 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, 450°, 540°, 630°; etc. son cuadrantales.

Observa que R puede rotar, ya sea en la dirección en que giran las manecillas del reloj, o bien en la dirección contraria hacia el punto P. También R puede rotar dando una o más vueltas completas hasta llegar al punto P.

Los ángulos de medidas distintas pero con el mismo lado terminal se llaman “ángulos coterminales”. Los ángulos son coterminales si sus lados terminales coinciden al estar los ángulos en posición normal. La figura 4.5 muestra tres ángulos coterminales.

Con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares, se dice que un ángulo se en-cuentra en “posición normal”, cuando su vértice está en el origen y su lado inicial coin-cide con el eje positivo “x ”.


Trigonometría II

295

Para dibujar un ángulo en posición normal y localizar R exactamente, nos podemos auxiliar encontrando el ángulo agudo positivo entre el eje X (parte positiva o negativa) y el lado terminal R del ángulo dado. A este ángulo se le llama “ángulo de referencia” (θr). La figura 4.6 muestra ángulos de referencia para algunos valores de θ :

θ = 133° + 360°

493°

θ = 133° + (–1)(360°)

–227°

θ = 133° + 360°

133°

x

y

θ = r = 65°θ r = 45°

θ = 135°

x

θ = 245°

r = 65°

y

x

y

x

θ = 305°

θ r = –55°

y

θ

θ

Figura 4.5

Figura 4.6

En general, el valor del ángulo de referencia de un ángulo depende del cuadrante en el que se encuentre R. Si θ es un ángulo positivo en posición normal y el lado terminal de θ está en el:

Cuadrante I, entonces θr = θ Cuadrante II, entonces θr = 180° - θ Cuadrante III, entonces θr = θ - 180°

Cuadrante IV, entonces θr = 360° - θ


Etapa 4

296

Si θ es la medida de un ángulo en posición normal, P (x, y) es un punto distinto del origen localizado en el lado terminal del ángulo, y R es la distancia radial positiva desde O hasta P (como se muestra en la figura 4.7), entonces las seis funciones trigonométricas definidas ahora en términos de la abscisa, la ordenada y la distancia radial del punto P, quedan como sigue:

xx

θ

R

P (x, y)

O

y

y

Figura 4.7

ordenada de P y sen θ = –––––––––––––– = — distancia radial R

abscisa de P x cos θ = –––––––––––––– = — distancia radial R

ordenada de P y tan θ = ––––––––––––– = — abscisa de P x

abscisa de P x cot θ = ––––––––––––– = — ordenada de P y

distancia radial R sec θ = –––––––––––––– = — abscisa de P x

distancia radial R csc θ = –––––––––––––– = — ordenada de P y

Puesto que el ángulo θ, en posición normal, generado al rotar R, puede tomar cualquier valor, R puede estar en cualquiera de los cuatro cuadrantes. Así, los valores de “x ” y de “y ”, que representan las dis-tancias dirigidas a un punto en R, varían en signo, dependiendo del cuadrante en el que se encuentra R; por lo tanto, los signos de las funciones trigonométricas variarán de acuerdo con esto.


Trigonometría II

297

Ejemplo

Encuentra los valores de las funciones trigonométricas de θ si su lado terminal pasa por (-3, 4).

Procedimiento

Primero se determina la distancia R:

R 2 = x 2 + y 2

R = x 2 + y 2

R = ± (-3) 2 + (4) 2 = ± 9 + 16

= ± 25 = ± 5

entonces, R = 5 (pues R siempre es positiva).

Luego, utilizando las definiciones de las funciones trigonométricas:

y 4 R 5sen θ = — = — = 0.8 csc θ = — = — = 1.25 R 5 y 4

x -3 R 5cos θ = — = ––– = -0.6 sec θ = — = ––– = -1.6666 R 5 x -3

y 4 x -3tan θ = — = ––– = -1.3333 cot θ = — = ––– = -0.75 x -3 y 4

Ejemplo

Encuentra los valores de las cinco funciones trigonométricas restantes de θ, si θ está en posición 5 normal en el tercer cuadrante y sen θ = - –––. 13

Procedimiento

y 5 y 5Como sabemos que sen θ =— y sen θ = - –––, (— = - ––– ) R 13 R 13

x

θ

R

–3

4P (–3, 4)

O

y

x

θ

–513

–12

P = (–12, –5)

O

y


Etapa 4

298

entonces, y = -5 y R = 13; luego, utilizando el teorema de Pitágoras, para determinar la abscisa, x :

R 2 = x 2 + y 2

x = R 2 - y 2

x = ± (13) 2 - (-5) 2 = ± 169 - 25 = ± 144 = ± 12

donde: x = -12 ( ya que la abscisa de un punto en el tercer cuadrante es negativa).

Entonces, los valores de las demás funciones serán:

R 13csc θ = — = –––– = -2.6

y -2.6

x -12 R 13cos θ = — = –––– = -0.9231 sec θ = — = –––– = -1.0833 R 13 x -12

y -5 x -12tan θ = — = –––– = 0.4167 cot θ = — = –––– = 2.4 y -12 y -5

Ejemplo

Encuentra los valores de las funciones trigonométricas de θ si su lado terminal pasa por:

a) (1, 0) b) (0, 1) c) (-1, 0) d ) (0, -1)

Procedimiento

a) El lado terminal coincide con la parte positiva del eje X, por lo tanto, θ es el ángulo cuadrantal de 0°; donde: x = 1 y y = 0.

R = x 2 + y 2 = ± (1) 2 + (0) 2 = ± 1 = ± 1

R = 1 Entonces los valores de las funciones de 0° son:

y 0 R 1sen 0° = — = — = 0 csc 0° = — = — = indefinido R 1 y 0

x 1 R 1cos 0° = — = — = 1 sec 0° = — = — = 1 R 1 x 1

y 0 R 1tan 0° = — = — = 0 cot 0° = — = — = indefinido x 1 y 0

x

P (1, 0)R

O

y


Trigonometría II

299

b) El lado terminal coincide con la parte positiva del eje Y, por lo tanto,θ es el ángulo cuadrantal de 90°; donde: x = 0 y y =1

R = x 2 + y 2 = ± (0) 2 + (1) 2 = ± 1 = ± 1

R = 1

Entonces los valores de las funciones de 90° son:

y 1 R 1sen 90° = — = — = 1 csc 90° = — = — = 1 R 1 y 1

x 0 R 1cos 90° = — = — = 0 sec 90° = — = — = indefinido R 1 x 0

c) El lado terminal coincide con la parte negativa del eje X, por lo tanto, θ es el ángulo cuadrantal de 180°; donde: x = -1 y y = 0.

R = x 2 + y 2 = ± (-1) 2 + (0) 2 = ± 1 = ± 1

R = 1


y 0 R 1sen 180° = — = — = 0 csc 180° = — = — = indefinido R 1 y 0

y 0 x -1tan 180° = — = ––– = 0 cot 180° = — = ––– = indefinido x -1 y 0

d ) El lado terminal coincide con la parte negativa del eje Y, por lo tanto, θ es el ángulo cuadrantal de 270°; donde x = 0 y y = -1

R = x 2 + y 2 = ± (0) 2 + (-1) 2 = ± 1 = ± 1

R = 1


y -1 R 1sen 270° = — = ––– = -1 csc 270° = — = ––– = -1 R 1 y -1

x 0 R 1cos 270° = — = — = 0 sec 270° = — = — = indefinido R 1 x 0

y -1 x 0tan 270° = — = ––– = indefinido cot 270° = — = ––– = 0 x 0 y -1

x

P (0, 1)90°R

O

y

x

P (–1, 0) 180°

R O

y

xP (0, –1)

270°

RO

y


Etapa 4

300

Por lo tanto, los resultados obtenidos en este ejemplo se pueden resumir en la tabla 3:

sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ0°90

180°270°

0 1 0 -1

1 0 -1 0

0--0--

--0--0

1---1--

--1---1

Tabla 3.

Los signos asociados a los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo dependen del cuadran-te en el que se encuentre el lado final del ángulo. El valor de R siempre es positivo; así, los signos de las funciones dependen de los signos de “x ” y de “y ”. Si θ está en el primer cuadrante, tanto “x ” como “y ” son positivas; por lo tanto, todas las razones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas. Si θ está en el segundo cuadrante, la “x ” es negativa y la “y ” es positiva; así que las razones en las que apa-rezca “x ” son negativas y las demás positivas. Por lo tanto, en el cuadrante II únicamente son positivas el seno y la cosecante, y el coseno, la tangente, la cotangente y la secante son negativas. Después de analizar los signos de las funciones para cada cuadrante, podemos resumir los resultados en la Tabla 4.

sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θIIIIIIIV

++--

+--+

+-+-

+-+-

+--+

++--

Tabla 4.

Observa que los signos de las funciones reciprocas coinciden.

También se pueden resumir estos resultados, como se muestra en figura 4.8 (las funciones que no apa-recen son negativas en ese cuadrante).

Figura 4.8

x

III IV

II I

O

y

sen = +csc = +

θθ

Todas +

tan = +cot = +

θθ

cos = +sec = +

θθ


Trigonometría II

301

Es evidente que las definiciones de las funciones trigonométricas son válidas independientemente del cuadrante en el que se encuentre R y sus valores para un ángulo dado, también son independientes del punto P en su lado terminal; pero los diagramas de la figura 4.9, demuestran que los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo θ cambian de acuerdo con el valor de θ y están relacionados con el valor de las funciones del ángulo de referencia θr correspondiente.

Figura 4.9

xx

y

y

θθ r

0

P(x, y)

x

y θθ r

0

P(x, y)

x

y

x

y

θ

θ r 0

P(x, y)

x

y

x

y

θ

θ r0

P(x, y)

x

y

Haciendo uso de este último concepto, se pueden determinar las funciones trigonométricas de los ángu-los y sus ángulos de referencia.

Por ejemplo,

sen θ = sen θr o bien, sen θ = ± sen θr

Definición

Cualquier función trigonométrica de un ángulo es igual en valor absoluto, al mismo valor de su ángulo de referencia. El signo asociado al valor de cada función trigonométrica se determina según el cuadrante en que se encuentra el lado terminal del ángulo dado.


Etapa 4

302

Este procedimiento se puede aplicar a todas las funciones trigonométricas en todos los cuadrantes, por lo que el resultado anterior puede utilizarse para cualquier ángulo entre 0° y 360°. Por lo demás, si el ángulo es mayor de 360° o menor de 0° (ángulo negativo), dicho ángulo es coterminal con un ángulo que está entre 0° y 360°. Así, se puede aplicar la regla a cualquier ángulo.

Conviene recordar que los valores varían en signo dependiendo del cuadrante en que se encuentre el lado terminal del ángulo.

Ejemplo

Utilizando el concepto del ángulo de referencia y una calculadora encuentra el valor de las funcio-nes trigonométricas de cada uno de los siguientes ángulos:

a) 110° b) 320° c) 230° d ) 865° e) -160°

Procedimiento

1. El lado terminal del ∠ 110° está en el segundo cuadrante. El ángulo de referencia, θr = 180° - 110° = 70°, entonces:

sen 110° = sen70° = 0.9397 csc 110° = csc70° = 1.0642

cos 110° = -cos70° = -0.3420 sec 110° = -sec70° = -2.9238

tan 110° = -tan 70° = -2.7475 cot 110° = -cot 70° = -0.3640

2. El lado terminal del ∠ 320° está en el cuarto cuadrante. El ángulo de referencia, θr = 360° - 320° = 40°, entonces:

sen 320° = -sen 40° = -0.6428 csc 320° = -csc 40° = -1.5557

cos 320° = cos 40° = 0.7660 sec 320° = sec 40° = 1.3054

tan 320° = - tan 40° = -0.8391 cot 320° = -cot 40° = -1.1917

3. El lado terminal del ∠ 230° está en el tercer cuadrante. El ángulo de referencia, θr = 230° - 180° = 50°, entonces.

sen 230° = -sen 50° = -0.7660 csc 230° = -csc 50° = -1.3054

cos 230° = -cos 30° = -0.6428 sec 230° = -sec 50° = -1.5557

tan 230° = tan 50° = 1.1917 cot 230° = cot 50° = 0.8391

Ejercicio

Tomando como referencia la figura 4.9, encuentra el valor de θ en cada eje de coordenadas, si el án-gulo de referencia θr = 30°. Evalúa la función sen, cos y tan para cada par de ángulos de cada caso.


Trigonometría II

303

4. El lado terminal del ∠ 865° está en el segundo cuadrante, pues su ángulo coterminal, θC = 865° - 720° (2 revoluciones) = 145°. Su ángulo de referencia, θ R = 180° - 145° = 35°, entonces:

sen 865° = sen 145° = sen 35° = 0.5736 csc 865° = csc 145° = csc 35° = 1.7434

cos 865° = cos 145° = -cos 35° = -0.8192 sec 865° = sec 145° = -sec 35° = -1.2208

tan 865° = tan 145° = -tan 35° = -0.7002 cot 865° = cot 145° = -cot 35° = -1.4281

5. El lado terminal del ∠-160° está en el tercer cuadrante, pues su ángulo coterminal, θC = -160° + 360° = 200°. Mientras que su ángulo de referencia, θ R = 200° -180° = 20°, enton-ces:

sen (-160°) = sen 200° = -sen 20° = -0.3420 csc (-160°) = csc 200° = -csc 20° = -2.9238

cos (-160°) = cos 200° = -cos 20° = -0.9397 sec (-160°) = sec 200° = -sec 20° = -1.0642

tan (-160°) = tan 200° = tan 20° = 0.3640 cot (-160°) = cot 200° = cot 20° = 2.7475

Cuando se da un ángulo, sus funciones trigonométricas están determinadas en forma única; sin em-bargo, cuando se da el valor de alguna función de un ángulo éste no se determina unívocamente, por ejemplo, si sen θ = 0.5, entonces θ = 30°, 150°, 390°, 510°, etc. En general, dos posiciones posibles del lado terminal pueden encontrarse entre 0° y 360°, por ejemplo, los lados terminales de 30° y 150° mencionados anteriormente. La excepción a esta regla ocurre cuando el ángulo es cuadrantal.

Ejemplo

Utilizando el ángulo de referencia, encuentra θ tal que 0° ≤ θ ≤ 360°, si sen θ = - 0.5736.

Procedimiento

Puesto que el seno es negativo, tanto en el tercero como en el cuarto cuadrante, tienes que en-contrar dos ángulos θIII y θIV cuyo seno sea el valor dado. Para encontrar estos ángulos, tienes que hallar primero el ángulo relacionado con sen θ = 0.5736; así el ángulo de referencia es θr = 35°.

Para la solución del tercer cuadrante:

θ III = 180° + 35° = 215°.

θ3 = 215°

θr = 35°

x

y


Etapa 4

304

Para la solución del cuarto cuadrante:

θ IV = 360° - 35° = 325°.

θ = 325°

θr = 35° x

y

La mayoría de las calculadoras proporcionan los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo, simplemente dando entrada al ángulo y oprimiendo el botón “función” apropiado. Esto es, la cal-culadora se toma el trabajo de encontrar funciones trigonométricas para ángulos que no son agudos.

Ejemplo

Determinar el valor de sen 192°.

Procedimiento

En la calculadora puede evaluarse sen 192° poniendo simplemente la calculadora en el modo gra-dos, dando entrada a 192 y oprimiendo el botón sin. En la pantalla se leerá –0.20791. Por lo tanto.

Solución sen 192° = - 0.2079

Sin embargo, notarás que al usar tu calculadora para encontrar un ángulo si se conoce el valor de fun-ción trigonométrica, se obtiene solamente un ángulo. Por ejemplo, si sen θ = -0.5, tu calculadora dará solamente el ∠ θ = -30° mientras que para cos θ = -0.5, tu calculadora dará el ∠ θ = 120°.

La razón por la que obtenemos un ángulo agudo negativo en el primer caso y un ángulo obtuso positivo en el segundo es porque, por ejemplo, si quisiéramos encontrar el valor de θ para el cual tan ∠ θ = -1, desafortunadamente hay una infinidad de valores de ∠θ, que satisfacen esta condición algunos de los cuales son: 45°, 225°, 405°, 585°, 765°, 945°, etc., también, -135°, -315°, -485°, -675°, etc., deberás estar consciente de las dificultades inherentes que representa para la calculadora resolver la ecuación tan θ = -1. ¿Y qué valor aparecería en la pantalla como solución?


Trigonometría II

305

Para evitar esta ambigüedad la calculadora restringe el dominio de tan θ al intervalo entre 0° y 180° o entre 0° y -180°. Entonces, θ = 45°, que es el único valor de θ para el cual tan θ = 1. Una situación similar a la descrita para la función tangente ocurre también para las demás funciones; los valores del dominio, a los cuales se limita se llaman “valores principales” de la misma función.

Sobre el dominio de valores principales, ecuaciones tales como senθ = -0.5, o cos θ = 0.5 tienen sola-mente una solución posible.

Para evitar confusiones, te sugerimos que uses la calculadora para encontrar el ángulo de referencia para una función trigonométrica dada. El ángulo de referencia se obtendrá de la calculadora entrando el valor absoluto de la función dada. Por ejemplo, si tan θ = -0.3500, el ángulo de referencia se encuentra presionado 0.3500. Esto es:

0.3500INV tan = 19.29°

Los ángulos deseados se encuentran ahora mediante el procedimiento descrito previamente; esto es, θIII = 180° - 19.29° = 160.71° y θIV = 360° - 19.29 = 340.71°.

Ejemplo

Determina los valores de θ tales que 0° ≤ θ < 360° si: sen θ = - 0.5664.

Procedimiento

Introduciendo el valor absoluto de la función y presionando las teclas INV sin. El ángulo de refe-rencia resultante es:

0.5664 INV sin = 34.5°

Ahora, puesto que el seno es negativo en el tercero y en el cuarto cuadrante, obtenemos:

θIII = 180°+ 34.5° = 214.5°

θIV = 360°- 34.5° = 325.5


Etapa 4

306

1. Encuentra el valor de las funciones trigonométricas del ángulo θ si su lado terminal pasa por:

a) (15.8) b) (-7,-24)

2. En qué cuadrante quedaría localizado θ si:

a) sen θ es negativo y cos θ es positivo. b) sen θ es positivo y tan θ es negativo.

c) sen θ y cos θ son negativos. d) sen θ y tan θ son positivos.

3. Encuentra los valores de las demás funciones trigonométricas de θ, dado:

12 a) cos θ = ––– y θ está en el IV cuadrante. 35

21 b) tan θ = - ––– y θ está en el II cuadrante. 20

4. Evalúa cada una de las siguientes expresiones:

a) tan 180° - 2 cos 180° + 3 csc 270° + sen 90°.

b) sen 0° + 3 cot 90° + 5 sec 180° - 4 cos 270°

π π π c) 4 cos (— ) - 5 sen (3 — ) - 2 sen (— ) + sen 0°. 2 2 2

π d) 3 sen π + 4 cos 0° - 3 cos π + sen (— ). 2

e) sen 0° + 2 cos 0° + 3 sen 90° + 4 cos 90° + 5 sec 0° + 6 csc 90°.

f) sen 180° + 2 cos 180° + 3 sen 270° + 4 cos 270° - 5 sec 180° - 6 csc 270°.

5. Expresa cada una de las funciones del ángulo dado, como la función de su ángulo de referencia y encuentra el valor de la función.

a) cot 147° b) tan 590°

c) sec 333° d) sen 1 000°

e) csc 233° f) cos (-345°)

g) cos 100° h) sen (-965°)

Ejercicio


Trigonometría II

307

6. Dado el valor de la función, encuentra la medida del ángulo θ, si 0° < θ < 360°.

a) cos θ = 0.6157 b) sen θ = 0.4014

c) tan θ = -1.376 d) sec θ = -1.035

7. Utiliza los valores de los ángulos especiales cuadrantales y con el concepto del ángulo de refe-rencia para encontrar los valores de las seis funciones trigonométricas de los ángulos: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330° y 360° sin usar la calculadora ni tablas.

θ sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°


Etapa 4

308

4.2 Triángulos oblicuángulos

Ley de cosenos

Nuestro estudio ha estado referido sólo a triángulos rectángulos. Sin embargo, habrá muchos problemas de la realidad que se refieran a triángulos que no sean rectángulos, esto es oblicuángulos. Por lo tanto, nuestra tarea actual es trabajar con este nuevo tipo de triángulo.

• Dados dos lados y el ángulo incluido, encontrar la longitud del tercer lado.

• Dados tres lados de un triángulo, encontrar la medida de un ángulo específico.

Objetivo

Supón que la longitud de los lados b y c del DABC son conocidos, así como también la medida del ángulo incluido ∠ A (figura 4.10), entonces se puede encontrar la medida del tercer lado.

Figura 4.10

ab

C

BA c

ar = b

C (x, y)

y

xB (c, 0)

A c

Si construyes un sistema coordenado “x ” “y ” con el ángulo A en posición en el origen; entonces el lado “a ” es la distancia entre los puntos B(c, 0) y C (x, y). Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene dis-tancia “a ”: a 2 = (c – x) 2 + (y – 0) 2.

Para obtener a 2 en términos de “b” y “c” y el ángulo A, se procede de la siguiente manera: Por definición de seno y coseno:

x y cos A = — y sen A = — b b

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por “b ”, obtienes,

x = b cos A y y = b sen A

Sustituyendo estos valores en la fórmula anterior de la distancia tenemos:

a 2 = (c – b cos A) 2 + (b sen A – 0) 2


Trigonometría II

309

Elevando al cuadrado los binomios,

a 2 = c 2 – 2bc cos A + b 2 cos 2 A + b 2 sen 2 A

Asociando sen 2 A + cos 2 A y teniendo de factor común la b 2

a 2 = b 2 (cos 2 A + sen 2 A) + c 2 – 2bc cos A

como cos 2 A + sen 2 A = 1

entonces a 2 = b 2+ c 2 – 2bc cos A

El cuál usualmente se escribe de la siguiente manera:

Ley de los cosenos

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A

Esta ecuación es llamada Ley de los cosenos porque en ella aparece el coseno del ángulo. Si el ángulo A es igual a 90°, entonces el cos A = 0 y la Ley de los cosenos se reduce a:

a 2 = b 2 + c 2

el cual es el teorema de Pitágoras.

De igual manera la Ley de los cosenos se puede escribir de las siguientes formas si son dados otros datos:

b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B

y

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C

Ejercicio

1. Demuestra que: b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B.


Etapa 4

310

Procedimiento

Aplicando la Ley de cosenos tenemos:

e 2 = d 2 + f 2 – 2df cos E

e 2 = (14.78) 2 + (2.65) 2 – 2(14.78)(2.65) cos 129° 40′

e 2 = 218.45 + 7.02 – 2(14.78)(2.65)(-0.64)

e 2 = 218.45 + 7.02 + 50.13

e = 275.60

e = 16.6

Ejemplo

En el DABC si b = 6, c = 9 y ∠ A = 39°. Determinar el lado a.

Procedimiento

Utilizando la fórmula tenemos:

a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A

a 2 = (6) 2 + (9) 2 – 2(6)(9) cos 39°

a 2 = 36 + 81 – 83.93

a 2 = 33.07

a = 33.07

a = 5.75

Ejemplo

En el DDEF si ∠ E = 129° 409, d = 14.78 y f = 2.65. Determinar el lado e.

Debes reconocer que la Ley de los cosenos es independiente de las letras que se usan para expresarla.

C

A B

a = ?6

39°

9

E

D

F

e = ?

14.78

129° 402.65


Trigonometría II

311

Ejemplo

En el D XYZ si x = 4, y = 7 y z = 9. Determina ∠ Z.

Procedimiento

Aplicando la Ley de los cosenos:

z 2 = x 2 + y 2 - 2xy cos Z

Despejando cos Z tenemos:

z 2 - x 2 - y 2cos Z = –––––––––––– -2xy

(9) 2 - (4) 2 - (7) 2

cos Z = –––––––––––––– -2(4)(7)

81 - 16 - 49cos Z = ––––––––––– -56

16cos Z = –––– = -0.2857 -56

Al obtener el inverso de cos Z, se tiene que: ∠ Z = 106° 369 redondeando a minutos.

En la calculadora, el inverso del cos Z, lo cual se escribe como: cos-1Z, obtenemos que ∠ Z = 106.6015°, que son grados en forma decimal, lo cual se puede cambiar a forma sexagesimal.

Y

Z

X

74

9

B A

7

No se forma triángulo

3

11

Ejemplo

En el D ABC si a = 3, b = 7 y c = 11. Determina ∠ C.

Procedimiento

Aplicando la Ley de los cosenos:

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C


Etapa 4

312

Despejando cos C tenemos:

c 2 - a 2 - b 2cos C = ––––––––––– -2ab

(11) 2 - (3) 2 - (7) 2

cos C = –––––––––––––––– -2(3)(7)

121 - 9 - 49 cos C = –––––––––––– -42

63cos C = –––– = -1.5 -42

cos C = –1.5

Como el coseno sólo tiene valores entre –1 y 1 inclusive, esto quiere decir que el triángu-lo no se cierra, o sea, no se forma, por lo que no hay solución en este caso.

1. Para los siguientes problemas encuentra el lado opuesto al ángulo dado.

a) En el D ABC si b = 4, c = 5 y ∠ A = 50°.

b) En el D ABC si a = 7, c = 9 y ∠ B = 35°.

c) En el D PQR si p = 3, q = 2 y ∠ R = 136°.

d) En el D HJK si h = 8, j = 6.1 ∠ K = 172° 159.

e) En el D DEF si d = 35.3, f = 47.8 y ∠ E = 65° 409.

f) En el D BAD si a = 2.99, d = 5.92 y ∠ B = 119° 229.

2. Para los siguientes problemas encuentra el ángulo que se te indica.

a) ∠ A en el D ABC si a = 2, b = 3 y c = 4.

b) ∠ F en el D DEF si d = 5, e = 6 y f = 8.

c) ∠ X en el D UVX si u = 6, v = 7 y x = 12.

Ejercicio


Trigonometría II

313

Área de un triángulo

d) ∠ E en el D TEN si t = 12.1, e = 20.2 y n = 16.3.

e) ∠ Y en el D XYZ si x = 7.12, y = 5.03 y z = 13.34.

f) ∠ N en el D PON si p = 8, o = 3 y n = 12.

• Dada la medida de dos lados y el ángulo incluido, encuentra el área del triángulo.

Objetivo

De geometría puedes recordar que el área de un triángulo es:

b ⋅ hÁrea = ——

2

donde b = base y h = altura.

Si conoces los lados b y c y la medida del ángulo A puedes calcular la altura h. Construyendo el punto cartesiano x, y observa la figura 4.11, el punto B(x, y ) se convierte en un punto en el sistema cartesiano.

Por la definición de seno.

y— = sen A

r

y = r sen A

Multiplicando ambos miembros por r.

Figura 4.11

A Cb

h

a

B

c

A

xb

h = y

r = c a

B (x, y)

C (b, 0)

y


Etapa 4

314

Como h = y y c = r entonces sustituyendo tenemos que la altura es:

h = c sen A Sustituyendo h en la ecuación del área, entonces se tiene:

1Área = — bc sen A

2

Ejemplo

Determina el área del triángulo D ABC si b =13, c =15 y ∠ A = 70°.

Procedimiento

Aplicando la fórmula.

1Área = — (13)(15) sen 70° 2

1Área = — (13)(15)(0.9397) 2

Área = 91.62

Ejemplo

Determina el área del D ABC si a = 5, b = 7.

Procedimiento

Primero tienes que encontrar uno de los ángulos, utilizando la ley de los cosenos.

b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B

Despejando:

2ac cos B = a 2 + c 2 – b 2

B A

11

7

C

5


Trigonometría II

315

a 2 + c 2 - b 2 cos B = ––––––––––– 2ac

(5) 2 + (11) 2 - (7) 2

cos B = –––––––––––––––– 2(5)(11)

25 + 121 - 49 cos B = ––––––––––––– 110

97 cos B = ––––– 110

cos B = 0.8818

∠ B = 28° 089

Aplicando la ecuación del área.

1 Área = — ac sen B 2

1 Área = — (5)(11) sen 28° 089 2

Área = 12.96

1. Para los siguientes problemas determina el área de cada triángulo.

a) D ABC, si a = 6, b = 10 y ∠ C = 15°.

b) D ABC, si b = 8, c = 4 y ∠ A = 66°.

c) D DEF, si d = 4.8, f = 3.7 y ∠ E = 43° 129.

d) D XYZ, si y = 34.28, z = 28.35 y ∠ X = 138° 259.

e) D ABC, si a = 6, b = 9, c = 13.

f) D ABC, si a = 5.1, b = 12.2, c = 13.3.

Ejercicio


Etapa 4

316

4.3 Triángulo oblicuángulo. Ley de los senos

La Ley de los cosenos puede ser usada directamente cuando conoces dos lados y el ángulo incluido. Si solo conoces un lado, la Ley de los cosenos no puede ser usada; para este caso se utilizará la Ley de los senos.

• Dada la medida de un ángulo, su lado opuesto y la medida de otro ángulo, calcular la longitud de un lado.

Objetivo

La ley de los senos puede deducirse a partir de la fórmula del área de un triángulo:

1Área = — bc sen A

2

A

b

c

a

B

C

Figura 4.12

1 1El área también es igual a — ac sen B o bien — ab sen C; como el área es constante, no importa el lado 2 2del triángulo que uses para medirla. Igualando estas expresiones obtienes:

1 1 1— bc sen A = — ac sen B = — ab sen C

2 2 2

Multiplicando todos los miembros por 2 y dividiendo por abc nos queda:

2bc sen A 2ac sen B 2ab sen C––––––––– = ––––––––– = –––––––––

2abc 2abc 2abc

Eliminando términos semejantes queda la siguiente expresión:

Ley de los senos

sen A sen B sen C––––– = ––––– = –––––

a b c


Trigonometría II

317

Esta fórmula es llamada la Ley de los senos y es igual al seno del ángulo dividido entre su lado opuesto. Esta fórmula también puede ser escrita de la siguiente manera:

Ley de los senos

a b c––––– = ––––– = –––––

sen A sen B sen C

Sólo se invierten los numeradores y denominadores.

Los siguientes ejemplos te muestran cómo usar éstas fórmulas.

Ejemplo

Dados dos ángulos y un lado determinar los otros lados.

En el D ABC, ∠ B = 64°, ∠ C = 38° y lado b = 9; determinar lado c, y lado a. (Figura 4.13)

B

c =

a =

9

38°64°C

A

Figura 4.13

Procedimiento

Sustituyendo los datos en la fórmula tenemos:

a 9 c ––––– = ––––––– = ––––––– sen A sen 64° sen 38°

Como se puede observar, nos conviene tomar las dos últimas partes de la fórmula, ya que así ten-dremos tres datos y sólo una incógnita.

9 c ––––––– = ––––––– sen 64° sen 38°

Despejando c tenemos:

(9)(sen 38°) ––––––––––– = c sen 64°


Etapa 4

318

o sea:

(9)(sen 38°) c = –––––––––– sen 64°

(9)(0.6157) c = –––––––––– 0.8988

Lo cual nos da el valor:

c = 6.165

Para determinar el lado a, primero tienes que encontrar el ∠ A, entonces:

∠ A = 180° – 38° – 64° = 78°

Usando las dos primeras partes de la fórmula tenemos:

a 9––––––– = –––––––

sen 78° sen 64°

Despejando a,

(9)(sen 78°)a = –––––––––––

sen 64°

Y haciendo operaciones queda:

(9)(0.9781)a = –––––––––––

0.8988

a = 9.794

Ejemplo

Dado dos ángulos y un lado determinar otro lado.

En el D ABC, a = 8, ∠ B = 64° y ∠ C = 38°: encuentra lado b. (Figura 4.14).

B

c =

a = 8

b =

38°64°C

A

Figura 4.14


Trigonometría II

319

Procedimiento

Sustituyendo los datos en la fórmula.

8 b c ––––– = ––––––– = ––––––– sen A sen 64° sen 38°

Observa que para poder usar la fórmula tenemos que determinar primero el ∠ A.

∠ A = 180° – 64° – 38° = 78°

Ahora, usando las dos primeras partes de la fórmula tenemos:

8 b ––––––– = ––––––– sen 78° sen 64°

Despejando b:

(8)(sen 64°) b = ––––––––––– sen 78°

(8)(0.8988) b = –––––––––– 0.9781

b = 7.351 Redondeando a tres cifras.

El siguiente ejercicio está diseñado para que practiques la Ley de los senos.

1. Resuelve los siguientes problemas.

a) En D ABC, ∠ A = 54°, ∠ B = 30° y lado a = 9, determina:

Lado b.

Lado c.

b) En D PQR, ∠ P = 15°, ∠ Q = 130° y lado q = 9, determina:

Lado p.

Lado r.

c) En D AHS, ∠ A = 29°, ∠ H = 107°, lado a = 112, determina:

Lado h.

Lado s.

Ejercicio


Etapa 4

320

d) En D BIG, ∠ B = 2°, ∠ I = 79°, lado b = 20, determina:

a) Lado i.

b) Lado g.

e) En D PAF, ∠ P = 28°159, ∠ A = 117° 309 y lado f = 8, determina:

a) Lado a.

b) Lado p.

f) En D JAW, ∠ J = 48° 129, ∠ W = 73° 279 y lado a = 5, determina:

a) Lado j.

b) Lado w.

g) En D ALP, ∠ A = 85° 409, ∠ L = 87° 509 y lado p = 30, determina:

a) Lado a.

b) Lado l.

2. En el D ABC si lado a = 7, lado b = 4, lado c = 10 determina los ángulos.

Para este caso primero tienes que usar la Ley de los cosenos.

a) Usa la Ley de los cosenos para determinar el ∠ A.

b) Usa la respuesta anterior y con la Ley de los senos determina el ∠ C.

c) Determina otra vez el ∠ C, pero ahora usando la Ley de cosenos.

d ) Las respuestas de b y c no son iguales, ¿Puedes explicarlo?


Trigonometría II

321

4.4 Los casos ambiguos

Ahora resolverás un triángulo cuando tenemos los datos conocidos de dos lados y un ángulo no com-prendido (Figura 4.15).

• Dados dos lados y el ángulo no comprendido, determinar si hay o no triángulo, y si lo hay, obtener las medidas del otro lado y el otro ángulo.

Objetivo

Figura 4.15

Figura 4.16

B

cb

a

Datos: lado a, lado b, ∠ B

C

A

B b

a

C

Hay 4 formas en que un triángulo ABC puede resolverse si conoces los lados a, b y el ángulo B. La figura 4.16 muestra el lado a, el ángulo B construido, dibujando al lado c como una línea punteada.

Como el lado c no está dado, se dibujó una línea punteada en la dirección correcta, formando el ángulo B con el lado a. Luego, para completar el triángulo, se pone un compás en el punto c con una abertura igual a la del lado b, y después se traza un arco. Donde el arco del compás toque la línea punteada, ahí será la posición correcta del punto A. La figura 4.17 muestra cómo hay cuatro formas posibles en que puede quedar el punto A.


Etapa 4

322

Ejemplo

En el triángulo D ABC si a = 4, b = 5 y ∠ A = 27°. Determina los posibles valores del lado c.

Procedimiento

Como a < b, hay dos posibles triángulos (figura 4.18). La Ley de los senos no puede ser usada di-rectamente para determinar el lado c. ya que ∠ C es desconocido. La Ley de los cosenos sí puede ser usada, sólo hay que despejar el lado c.

Figura 4.17

B C

B C

A

A2

A1

b

bb

c

A

b

b

c

Una posición para el punto A, b < a.

Una posición para el punto A, < A = 90°.No hay posición para el punto A,

b es demasiado corto.

Dos posiciones parael punto A, b < a.

a

B Ca B Ca

a

Puedes observar que hay uno, dos o ningún posible triángulo cuando son dados dos lados y el ángulo no comprendido, es por esta razón que se llaman casos ambiguos.


Trigonometría II

323

Escribiendo la Ley de los cosenos tenemos:

4 2 = c 2 + 5 2 - 2(c)(5) cos 27°

0 = c 2-(10 cos 27°) c + 25 –16

0 = c 2 – 8.912c + 9

8.91 ± (8.91) 2 - 4(5)(9) c = ––––––––––––––––––––––– 2(1)

8.91 ± 6.58 c = ––––––––––– 2

c ≈ 7.75 ó 1.16

Ejemplo

En el D ABC, a = 6, b = 5 y ∠ B = 27. Determina los posibles valores de c.

Procedimiento

Como a > b, sólo hay un posible triángulo (Figura 4.19).

Figura 4.18

Figura 4.19

A C

c

cB

B

b = 5 A Cb = 5

a = 4 a = 4

27° 27°

c

B

A Cb = 5

a = 6

27°

Por la Ley de los cosenos:

6 2 = c 2 + 5 2 – 2(c)(5) cos 27°

0 = c 2 – 8.91c - 11


Etapa 4

324

8.91 ± (8.91) 2 - 4(1)(-11) c = ––––––––––––––––––––––––– 2

c = 10.009 ó –1.099

∴ c = 10.01 Redondeando a dos decimales.

El valor negativo en c, confirma que sólo hay un posible triángulo.

Ejemplo

En el D ABC, a = 2, b = 5 y ∠ A = 27°. Determina los valores posibles de c.

Figura 4.20

A Cb = 5

a = 2

No se forma triángulo

Procedimiento

Utilizando la Ley de los cosenos

(2) 2 = c 2 + 5 2 – 2(c)(5) cos 27°

0 = c 2 – 8.91c + 21

8.91 ± (8.91)2 - 4(1) c = –––––––––––––––––––– 2(1)

8.91 ± -4.61 c = ––––––––––––– 2

No hay solución por el valor negativo del radicando.

∴ No hay triángulo (Figura 4.20).


Trigonometría II

325

4.5 Solución de triángulos oblicuángulos y su aplicación en diferentes contextos

Solución de triángulos oblicuángulos

1. Para los siguientes problemas determina la longitud del lado indicado.

a) En D ABC, ∠ B = 32°, lado a = 5 y lado b = 4. Determina lado c.

b) En D XYZ, ∠ X = 13, lado x = 13 y lado y = 6. Determina lado z.

c) En D ABC, ∠ B = 33°, lado a = 4 y lado b = 5. Determina lado c.

d) En D XYZ, ∠ X = 13°, lado x = 11 y lado y = 14. Determina lado z.

e) En D ABC, ∠ B = 32°, lado a = 4, lado b = 2. Determina lado c.

f) En D XYZ, ∠ X = 13°, lado x = 11, lado y = 60. Determina lado z.

g) En D ABC, ∠ A = 130°, lado a = 20, lado c = 16. Determina lado b.

h) En D ABC, ∠ A = 170°, lado a = 19 y lado c = 11. Determina lado b.

2. En los siguientes ejercicios determina si hay uno o dos triángulos y luego calcula los valores del ángulo que se pide.

a) En D ABC, ∠ A = 19°, lado a = 26 y lado c = 31. Determina ∠ C.

b) En D HDJ, ∠ H = 27°, lado h = 50 y lado d = 20. Determina ∠ D.

c) En D XYZ, ∠ X = 58°, lado x = 9.4, lado z = 7.3. Determina ∠ Z.

d) En D BIG, ∠ B = 110°, lado b = 100 y lado g = 90. Determina ∠ G.

Ejercicio

• Dado tres lados, 2 lados y el ángulo comprendido, 2 lados y el ángulo no compren-dido, poder seleccionar la técnica apropiada y calcular el otro lado o la medida de los ángulos y el área.

Objetivo

Algunas ocasiones puedes usar la Ley de los senos o cosenos para cualquier problema, pero a veces no funcionan para algunas situaciones. En seguida te daremos una guía para que reconozcas situaciones donde determinada técnica sí funciona.


Etapa 4

326

Técnicas para la solución de triángulos

1. La Ley de los cosenos involucra tres lados. Así que, no funciona cuando te dan dos ángulos y un lado.

2. La Ley de los senos involucra la razón del seno de un ángulo y la longitud de su lado opuesto, así que no funciona cuando no hay ningún ángulo conocido (tres lados) o cuando sólo se conocen dos lados y el ángulo comprendido.

3. La Ley de los senos no debe ser usada para determinar medidas de ángulos a menos que ya co-nozcas si es un ángulo agudo u obtuso.

4. La fórmula del área requiere que conozcas dos lados y el ángulo incluido, así que, si no los tienes debes calcularlos primero.

El siguiente ejercicio requiere que selecciones la técnica apropiada para que resuelvas el problema.

1. En los siguientes problemas determina los datos faltantes.

a) En D ABC, lado a = 3, lado b = 4, ∠ C = 71° 209.

b) En D ABC, lado a = 8, lado b = 5, ∠ C = 32° 409.

c) En D ABC, lado a = 28, lado b = 58, ∠ C = 22° 509.

d) En D ABC, lado a = 16, lado b = 38, ∠ C = 81° 309.

e) En D ABC, lado a = 18, lado b = 19, lado c =17.

f) En D ABC, lado a = 3, lado b = 4, lado c = 2.

g) En D ABC, lado a = 9, lado b = 10, lado c = 18.

h) En D ABC, lado c = 28, ∠ A = 121°509, ∠ B = 15° 109.

i) En D ABC, lado c = 48, ∠ A = 11°209,∠ B = 27° 309.

Ejercicio


Trigonometría II

327

Problemas del mundo real de triángulos oblicuángulos

La siguiente sección se hizo para que practiques, mediante ejercicios reales, tus habilidades en la solu-ción de triángulos oblicuángulos utilizando la leyes de los cosenos y de los senos.

j) En D ABC, lado c = 17, ∠ A = 83°209, ∠ B = 88° 309.

k) En D ABC, lado a = 5, lado b = 7, ∠ A = 25° 409.

l) En D ABC, lado a = 10, lado b = 6, ∠ A = 30° 109.

m) En D ABC, lado a = 6, lado b = 10, ∠ A = 30° 109.

n) En D ABC, lado a = 10, lado b = 6, ∠ A = 140° 509.

o) En D ABC, lado a = 5, lado b = 3, ∠ A = 36° 509.

1. Dos lados de un paralelogramo son 83 y 140 m, y una de las diagonales mide 189 m. Calcular el área de uno de los triángulos que forma la diagonal con los lados del paralelogramo.

2. Calcular el perímetro y el área de un paralelogramo, si una de sus diagonales mide 17 m. y los ángulos que forma ésta con los lados del paralelogramo son de 35° y 49°.

3. Dos hombres que están en el campo, separados 3 000 m. uno del otro, observan un helicóp-tero. Sus ángulos de elevación respecto al helicóptero son de 60° y 75°. Determina la altura del helicóptero.

Ejercicio

• A partir de un enunciado serás capaz de dibujar un triángulo oblicuángulo y calcu-larás los datos que se te piden.

Objetivo


Etapa 4

328

4. Los tres lados que limitan un terreno miden 320, 480 y 500 m. respectivamente. Calcula los ángulos que forman dichos lados.

5. Un puente de 24 m de largo une dos colinas cuyas laderas forman con el horizonte ángulos de 23° y 32°. ¿Cuál es la altura del puente con respecto al vértice del ángulo formado por las laderas?

6. Para medir la altura de una montaña, una persona ve hacia la cresta desde un punto A y encuentra su ángulo de elevación de 35° 409, después desde un punto B, alejado 500 m. de A. Encuentra su ángulo de elevación de 21° 309. ¿Cuál es la altura de la montaña?

7. Un buque sale de un puerto hacia el sur y navega 84 km. Después vira al sudoeste y navega 120 km.

a) ¿Qué distancia tendrá que recorrer para regresar al puerto?

b) ¿Qué rumbo habrá de tomar?

8. Una pieza de artillería está en A y no puede ver el blanco C. Si el puesto de mando B está a 35 km. de A y a 22 km. de C, calcula la distancia de la pieza al blanco si el ángulo ABC es de 50° 109.

9. Tres circunferencias cuyos radios miden 115, 150 y 225 cm. son tangentes exteriormente entre sí. Determina los ángulos que forman cuando se unen los centros de dichas circunferencias.

10. Para calcular la anchura BC de una bahía se miden, desde un punto A, dos distancias, AB y AC, y el ángulo BAC. AB = 8 km, AC = 9 km y ∠ BAC = 65° 309. ¿Cuál es el ancho de la bahía?


Trigonometría II

329

Autoevaluación 4

21 1. Determina el valor de la csc A dado la tan A = –––. 20

2. Evalúa la siguiente expresión trigonométrica:

tan 50° + tan 10°[–––––––––––––––––––] - [sen2 50° + cos2 50°] 1 - tan 50° + tan 10°

3. Dada la tan θ = -0.839. Determina el valor del ángulo θ. Si 0° ≤ θ ≤ 360°.

4. La sombra que proyecta una persona de 1.68 m de estatura es de 1.22 m. En ese instante un árbol proyecta una sombra de 5.81 m . Calcula su altura.

5. Determina el valor del lado c, del triángulo oblicuángulo, cuyos lados son a = 14.6 cm, b = 20 cm y el ∠ C = 120°.

A C

B

20

c = ?

14.6

6. Determina el área del triángulo, cuyos lados b = 76 cm, c = 54 cm y el ∠ A = 49°.

A C

B

76

49°

54


Etapa 4

330

7. Dados los lados a = 50 cm, b = 35 cm y c = 74 cm del triángulo oblicuángulo. Determina el valor de los ángulos ∠ A y ∠ B.

A B

C

74

? ?

35 50

8. Para medir la altura de una montaña, una persona ve hacia la cresta desde un punto A y en-cuentra su ángulo de elevación igual a 28° 309, enseguida se traslada hacia otro punto B, a una distancia de 430 m, y visualiza la cresta con un ángulo de elevación de 20° 459. ¿Cuál es la altura de la montaña?

9. La estación “B ” se encuentra a 10.2 km al este de la estación “A”. La dirección de un incendio es S 10° 409 O desde “A”. La dirección del incendio desde “B” es S 31° 209 O. ¿A que distancia de “A” se encuentra el incendio? ¿Y de “B ”?

10. Resolver el siguiente triángulo ABC, dado a = 20, b = 15 y ∠ B = 30° (caso ambiguo, dos solucio-nes). Determinar el valor de “c ”, ∠ A y ∠ C.

A B

C

a = 20b = 15

30°A B

C

a = 20

b = 15

30°


Trigonometría II

331

Solución a la autoevaluación 4 29 1. csc A = –––. 21

2. - 69

3. 140° y 320°

4. Altura = 8 m.

5. c = 30.09 cm.

6. Área = 1548.66 cm 2

7. ∠ A = 35.8° y ∠ B = 24.2°.

8. Altura = 538.92 m.

9. Distancia desde A = 24.69 km y distancia desde B = 28.41 km.

10.

A B

C

a = 20b = 15

30°A B

C

a = 20

b = 15

c = 28.5 c = 6.2

30°138°

12°

108°42°


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