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ESE ediciones

Matemática 7º (Versión revisada y actualizada con enfoque

de competencias)

rené guillermo figueroa escalón

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Matemática 7º grado

© rené guillermo figueroa escalón

© Edición: Sabina Velásquez de Alger

© Diagramación: Ricardo E. López

© Ediciones Servicios Educativos

Primera edición, 2009.

Ediciones Servicios Educativos

San Salvador, El Salvador, Centroamérica.

© Derechos reservados. Hecho el depósito que marca la ley.

ISBN Nº 978-99923-43-45-6

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ESE ediciones

Presentación

La Matemática, una ciencia que debe aprenderse para la vida, no para pasar una evaluación. Esta ciencia está inmersa en toda nuestra vida y los jóvenes de hoy amantes de la computadora deben comprender que todos los programas con los que nos divertimos se originan en la Matemática. Los reproductores de MP3, los ipod, los celulares también tienen su origen en la matemática.

En este libro encontrarás diferentes maneras de resolver las diferentes situacio-nes de la vida que muchas veces llamamos problemas, este libro te permitirá descubrir que los procesos matemáticos se aplican en el área científica, técnica, artística y en la vida cotidiana.

Te proponemos que tú mismo generes situaciones en las que explores, apli-ques y argumentes los conceptos y procedimientos que deberás aprender en éste libro.

Hemos trabajado muy duro para que tengas en tus manos un libro que te per-mita desarrollar las competencias básicas de Matemática:

Razonamiento lógico matemático

Utilización del lenguaje matemático

Aplicación de la matemática al entorno

Tú deberás poner creatividad y una actitud positiva que te permitirá descubrir el maravilloso mundo de la Matemática.

rené guillermo figueroa escalón

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Matemática 7º grado

Apliquemos los números enteros 1.1. Números enteros 1.1.1 Identificación de las características y utilidad de los números enteros. 1.2 Gráficas 1.2.1 Ubicación gráfica de los números enteros en la recta numérica 1.3 Valor Absoluto 1.3.1 Aplicación del valor absoluto en los números enteros 1.3.2 Resolución de ejercicios aplicando el valor absoluto 1.4 Operaciones

1.4.1 Suma y sustracción Determinación y explicación de la ley de los signos en la suma y en la

.soretne soremún ed atser Resolución de ejercicios de suma o resta con números enteros

1.4.2. Multiplicación Deducción, utilización y explicación de la ley de los signos en la multiplicación con números enteros.

Resolución de ejercicios aplicando la multiplicación de números enteros 1.4.3. División

Deducción, utilización y explicación de la ley de los signos en la división con números enteros.

Resolución de ejercicios aplicando la división de números enteros 1.4.4. Operaciones combinadas

Resolución de ejercicios aplicando la suma y resta de números enteros con y sin signos de agrupación

Resolución de ejercicios aplicando la multiplicación y división combinados de números enteros

Resolución de ejercicios aplicando la división combinada con suma, resta y producto de números enteros

Utilicemos unidades de superficie y agrarias 2.1. Unidades métricas de longitud 2.1.1. Metro. 2.1.2. Múltiplos y submúltiplos del metro

Identificación de unidades métricas de longitud. 2.1.3. Conversión

Conversión de unidades métricas de longitud

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Resolución de ejercicios de conversión de unidades métricas de longitud

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ESE ediciones

Apliquemos los números enteros 1.1. Números enteros 1.1.1 Identificación de las características y utilidad de los números enteros. 1.2 Gráficas 1.2.1 Ubicación gráfica de los números enteros en la recta numérica 1.3 Valor Absoluto 1.3.1 Aplicación del valor absoluto en los números enteros 1.3.2 Resolución de ejercicios aplicando el valor absoluto 1.4 Operaciones

1.4.1 Suma y sustracción Determinación y explicación de la ley de los signos en la suma y en la

.soretne soremún ed atser Resolución de ejercicios de suma o resta con números enteros

1.4.2. Multiplicación Deducción, utilización y explicación de la ley de los signos en la multiplicación con números enteros.

Resolución de ejercicios aplicando la multiplicación de números enteros 1.4.3. División

Deducción, utilización y explicación de la ley de los signos en la división con números enteros.

Resolución de ejercicios aplicando la división de números enteros 1.4.4. Operaciones combinadas

Resolución de ejercicios aplicando la suma y resta de números enteros con y sin signos de agrupación

Resolución de ejercicios aplicando la multiplicación y división combinados de números enteros

Resolución de ejercicios aplicando la división combinada con suma, resta y producto de números enteros

Utilicemos unidades de superficie y agrarias 2.1. Unidades métricas de longitud 2.1.1. Metro. 2.1.2. Múltiplos y submúltiplos del metro

Identificación de unidades métricas de longitud. 2.1.3. Conversión

Conversión de unidades métricas de longitud

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Resolución de ejercicios de conversión de unidades métricas de longitud

Índice19

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Matemática 7º grado

2.2. Unidades métricas de superficie 2.2.1. Metro cuadrado 2.2.2. Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado

Identificación de unidades métricas de superficie. 2.2.3. Conversión

Conversión de unidades métricas de superficie Resolución de ejercicios de conversión de unidades métricas de superficie

2.3. Unidades agrarias 2.3.1. Manzana, caballería, área, hectárea

Identificación y conversión de unidades agrarias. Resolución de ejercicios de conversión de unidades agrarias utilizadas en el país

Operemos con números racionales 3.1. Números racionales (Fraccionarios)

3.1.1 Identificación y representación de números racionales positivos y negativos en la recta numérica.

3.2. Fracciones equivalentes 3.2.1 Identificación de fracciones equivalentes positivas y negativas.

3.2.2 Obtención de fracciones equivalentes positivas y negativas aplicando los procesos de amplificación y simplificación.

3.3. Operaciones. 3.3.1. Suma de fracciones 3.3.2. Resta de fracciones

Realización de sumas y restas de números fraccionarios 3.3.3. Multiplicación de fracciones 3.3.4 División de fracciones

Realización de multiplicaciones y divisiones de números fraccionarios Resolución de ejercicios con operaciones combinadas de números fraccionarios

3.4. Fracciones complejas. 3.4.1 Identificación y determinación de las fracciones complejas positivas y negativas 3.4.2. simplificación de fracciones complejas

Resolución de ejercicios con operaciones combinadas de fracciones complejas 3.5. Fracciones decimales. 3.5.1 Transformación de fracciones en decimales y decimales en fracciones. 3.5.2. Realización de las cuatro operaciones con números decimales.

Resolución de ejercicios de aplicación con números decimales.

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Calculemos áreas circulares y utilicemos medidas.

4.1. Circunferencia 4.1.1 Elementos

Identificación de los elementos de una circunferencia. Determinación de las relaciones que existen entre radio y diámetro, cuerda y

arco, diámetro y semicircunferencia. 4.1.2 Longitud

Deducción de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia.

olucríC .2.4 4.2.1 Construcción del círculo. 4.2.2 Perímetro

Relación entre la longitud de la circunferencia y el perímetro del círculo. 4.2.3 Área

Deducción de la fórmula para calcular el área del círculo. Cálculo del área del círculo. Resolución de ejercicios y aplicaciones con las fórmulas del área y el perímetro.

4.3. Medidas de capacidad. 4.3.1. Unidad

Identificación de las medidas y unidades de capacidad. 4.3.2. Múltiplos y submúltiplos del litro.

Determinación de los múltiplos y submúltiplos del litro. Resolución de ejercicios aplicando la equivalencia entre las medidas

de capacidad. Resolución de ejercicios de aplicación de medidas de capacidad.

4.4. Medidas de Volumen. 4.4.1. Unidad

Identificación de las medidas y unidades de volumen. 4.4.2. Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico.

Determinación de los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico. Conversión entre unidades de volumen.

4.4.3. Identificación de la equivalencia entre unidades de capacidad y de volumen. Conversión de unidades de volumen a unidades de capacidad.

4.5. Medidas de peso. 4.5.1.Unidad

Identificación de las medidas y unidades de peso. 4.5.2.Múltiplos y submúltiplos del gramo.

Determinación de los múltiplos y submúltiplos del gramo. Conversión entre unidades de peso.

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2.2. Unidades métricas de superficie 2.2.1. Metro cuadrado 2.2.2. Múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado

Identificación de unidades métricas de superficie. 2.2.3. Conversión

Conversión de unidades métricas de superficie Resolución de ejercicios de conversión de unidades métricas de superficie

2.3. Unidades agrarias 2.3.1. Manzana, caballería, área, hectárea

Identificación y conversión de unidades agrarias. Resolución de ejercicios de conversión de unidades agrarias utilizadas en el país

Operemos con números racionales 3.1. Números racionales (Fraccionarios)

3.1.1 Identificación y representación de números racionales positivos y negativos en la recta numérica.

3.2. Fracciones equivalentes 3.2.1 Identificación de fracciones equivalentes positivas y negativas.

3.2.2 Obtención de fracciones equivalentes positivas y negativas aplicando los procesos de amplificación y simplificación.

3.3. Operaciones. 3.3.1. Suma de fracciones 3.3.2. Resta de fracciones

Realización de sumas y restas de números fraccionarios 3.3.3. Multiplicación de fracciones 3.3.4 División de fracciones

Realización de multiplicaciones y divisiones de números fraccionarios Resolución de ejercicios con operaciones combinadas de números fraccionarios

3.4. Fracciones complejas. 3.4.1 Identificación y determinación de las fracciones complejas positivas y negativas 3.4.2. simplificación de fracciones complejas

Resolución de ejercicios con operaciones combinadas de fracciones complejas 3.5. Fracciones decimales. 3.5.1 Transformación de fracciones en decimales y decimales en fracciones. 3.5.2. Realización de las cuatro operaciones con números decimales.

Resolución de ejercicios de aplicación con números decimales.

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Calculemos áreas circulares y utilicemos medidas.

4.1. Circunferencia 4.1.1 Elementos

Identificación de los elementos de una circunferencia. Determinación de las relaciones que existen entre radio y diámetro, cuerda y

arco, diámetro y semicircunferencia. 4.1.2 Longitud

Deducción de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia.

olucríC .2.4 4.2.1 Construcción del círculo. 4.2.2 Perímetro

Relación entre la longitud de la circunferencia y el perímetro del círculo. 4.2.3 Área

Deducción de la fórmula para calcular el área del círculo. Cálculo del área del círculo. Resolución de ejercicios y aplicaciones con las fórmulas del área y el perímetro.

4.3. Medidas de capacidad. 4.3.1. Unidad

Identificación de las medidas y unidades de capacidad. 4.3.2. Múltiplos y submúltiplos del litro.

Determinación de los múltiplos y submúltiplos del litro. Resolución de ejercicios aplicando la equivalencia entre las medidas

de capacidad. Resolución de ejercicios de aplicación de medidas de capacidad.

4.4. Medidas de Volumen. 4.4.1. Unidad

Identificación de las medidas y unidades de volumen. 4.4.2. Múltiplos y submúltiplos del metro cúbico.

Determinación de los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico. Conversión entre unidades de volumen.

4.4.3. Identificación de la equivalencia entre unidades de capacidad y de volumen. Conversión de unidades de volumen a unidades de capacidad.

4.5. Medidas de peso. 4.5.1.Unidad

Identificación de las medidas y unidades de peso. 4.5.2.Múltiplos y submúltiplos del gramo.

Determinación de los múltiplos y submúltiplos del gramo. Conversión entre unidades de peso.

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Matemática 7º grado

6.2.2. Interpretación y utilización de parte literal para generalizar propiedades observadas o fórmulas matemáticas. 6.2.3. Explicación del valor numérico que puede tomar una letra.

6.3. Signos algebraicos: 6.3.1. De operación. 6.3.2. De agrupación 6.3.3. De relación.

6.4. Expresiones algebraicas 6.4.1. Reconocimiento y explicación de “término” a partir de cualquier expresión algebraica. 6.4.2. Identificación y explicación de los elementos de un término. 6.4.3. Diferenciación y explicación del término monomio y polinomio.

6.5. Grado de un monomio: 6.5.1. Determinación del grado relativo y absoluto de un monomio.

6.5.2. Utilización del grado relativo y absoluto en ejercicios de aplicación.

6.6. Términos semejantes 6.6.1. Interpretación de términos semejantes a partir de su parte literal y su exponente. 6.6.2. Descripción de términos semejantes a partir de varios monomios. 6.6.3. Simplificación de términos semejantes.

6.7. Reducción 6.7.1. Resolución de ejercicios utilizando reducción de términos semejantes.

6.8. Valor numérico: monomio. 6.8.1. Interpretación y explicación del valor numérico de un monomio. 6.8.2. Utilización del valor numérico en ejercicios de aplicación.

Utilicemos los exponentes. 7.1. Potenciación 7.1.1. Determinación y explicación de los exponentes positivos.

7.1.2. Deducción y aplicación del significado del exponente cero. 7.1.3. Deducción y aplicación de los exponentes enteros negativos 7.1.4. Definición y explicación de la utilidad de los exponentes.

Simplificación de cantidades numéricas y monomiales positivas o negativas elevadas a una potencia entera (positiva o negativa). Simplificación de cantidades numéricas y monomiales elevadas a la potencia cero.

7.2. Propiedades de los exponentes:

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4.6. Relación entre unidades de capacidad, volumen y peso 4.6.1. Explicación de la relación entre las unidades de capacidad, volumen y peso.

Conversión de unidades Resolución de ejercicios utilizando las unidades de capacidad, volumen y peso.

Utilicemos proporcionalidad. 5.1. Proporcionalidad 5.1.1. Razones

Determinación y ejemplificación de las razones. Aplicación de las razones en ejercicios.

5.1.2. Proporciones Planteamiento e interpretación de las proporciones. Deducción y utilización de la propiedad fundamental de las proporciones. Utilización de las proporciones en ejercicios de aplicación

5.2. Plano cartesiano 5.2.1 Explicación y trazo del plano cartesiano y sus elementos a partir de la recta

numérica. 5.2.2. Par ordenado y su gráfico en el plano cartesiano. 5.2.3. Proporcionalidad directa. 5.2.4. Gráfico de y = ax, y = –ax 5.2.5. Proporcionalidad inversa. 5.2.6. Gráfico de y = , y = .

5.3. Regla de tres. 5.3.1 Simple directa e inversa

Resolución y explicación de ejercicios usando regla de tres simple. 5.3.2. Regla de tres compuesta

Resolución y explicación de ejercicios utilizando la regla de tres compuesta. 5.3.3. Regla de tres por causas y efectos.

5.4. Tanto por ciento (porcentaje) 5.4.1. Resolución y explicación de ejercicios de porcentajes.

Conozcamos y utilicemos el álgebra. 6.1. Notación 6.1.1. Determinación y explicación de la utilidad de usar parte literal como elementos generalizadores.

6.2. Nomenclatura. 6.2.1. Interpretación, aplicación y explicación de parte literal como elemento fundamental dentro de la nomenclatura algebraica.

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6.2.2. Interpretación y utilización de parte literal para generalizar propiedades observadas o fórmulas matemáticas. 6.2.3. Explicación del valor numérico que puede tomar una letra.

6.3. Signos algebraicos: 6.3.1. De operación. 6.3.2. De agrupación 6.3.3. De relación.

6.4. Expresiones algebraicas 6.4.1. Reconocimiento y explicación de “término” a partir de cualquier expresión algebraica. 6.4.2. Identificación y explicación de los elementos de un término. 6.4.3. Diferenciación y explicación del término monomio y polinomio.

6.5. Grado de un monomio: 6.5.1. Determinación del grado relativo y absoluto de un monomio.

6.5.2. Utilización del grado relativo y absoluto en ejercicios de aplicación.

6.6. Términos semejantes 6.6.1. Interpretación de términos semejantes a partir de su parte literal y su exponente. 6.6.2. Descripción de términos semejantes a partir de varios monomios. 6.6.3. Simplificación de términos semejantes.

6.7. Reducción 6.7.1. Resolución de ejercicios utilizando reducción de términos semejantes.

6.8. Valor numérico: monomio. 6.8.1. Interpretación y explicación del valor numérico de un monomio. 6.8.2. Utilización del valor numérico en ejercicios de aplicación.

Utilicemos los exponentes. 7.1. Potenciación 7.1.1. Determinación y explicación de los exponentes positivos.

7.1.2. Deducción y aplicación del significado del exponente cero. 7.1.3. Deducción y aplicación de los exponentes enteros negativos 7.1.4. Definición y explicación de la utilidad de los exponentes.

Simplificación de cantidades numéricas y monomiales positivas o negativas elevadas a una potencia entera (positiva o negativa). Simplificación de cantidades numéricas y monomiales elevadas a la potencia cero.

7.2. Propiedades de los exponentes:

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4.6. Relación entre unidades de capacidad, volumen y peso 4.6.1. Explicación de la relación entre las unidades de capacidad, volumen y peso.

Conversión de unidades Resolución de ejercicios utilizando las unidades de capacidad, volumen y peso.

Utilicemos proporcionalidad. 5.1. Proporcionalidad 5.1.1. Razones

Determinación y ejemplificación de las razones. Aplicación de las razones en ejercicios.

5.1.2. Proporciones Planteamiento e interpretación de las proporciones. Deducción y utilización de la propiedad fundamental de las proporciones. Utilización de las proporciones en ejercicios de aplicación

5.2. Plano cartesiano 5.2.1 Explicación y trazo del plano cartesiano y sus elementos a partir de la recta

numérica. 5.2.2. Par ordenado y su gráfico en el plano cartesiano. 5.2.3. Proporcionalidad directa. 5.2.4. Gráfico de y = ax, y = –ax 5.2.5. Proporcionalidad inversa. 5.2.6. Gráfico de y = , y = .

5.3. Regla de tres. 5.3.1 Simple directa e inversa

Resolución y explicación de ejercicios usando regla de tres simple. 5.3.2. Regla de tres compuesta

Resolución y explicación de ejercicios utilizando la regla de tres compuesta. 5.3.3. Regla de tres por causas y efectos.

5.4. Tanto por ciento (porcentaje) 5.4.1. Resolución y explicación de ejercicios de porcentajes.

Conozcamos y utilicemos el álgebra. 6.1. Notación 6.1.1. Determinación y explicación de la utilidad de usar parte literal como elementos generalizadores.

6.2. Nomenclatura. 6.2.1. Interpretación, aplicación y explicación de parte literal como elemento fundamental dentro de la nomenclatura algebraica.

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Matemática 7º grado

8.5.2 De monomio por polinomio

8.6. División 8.6.1. De monomio entre monomio 8.6.2. De un polinomio entre un monomio 8.6.3 Resolución de ejercicios algebraicos utilizando operaciones combinadas entre

Conozcamos y apliquemos los radicales. 9.1. Radicación 9.1.1. Determinación y explicación de la radicación de cantidades numéricas. 9.1.2. Determinación, explicación y cálculo de las raíces cuadradas y cúbicas exactas.

9.1.3. Resolución de ejercicios aplicando raíces exactas.

9.2. Propiedades de los radicales. 9.2.1. Aplicación de la propiedad: producto de las raíces. 9.2.2. Simplificación de raíces cuadradas y cúbicas con radicando entero, numérico y

algebraico. 9.2.3. Aplicación de la propiedad: cociente de las raíces. 9.2.4. Aplicación de la propiedad: raíz de otra raíz.

9.3. Radicales semejantes. 9.3.1. Simplificación de radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicando entero

numérico o algebraico.

9.4. Operaciones con radicales de cantidad subradical entera 9.4.1. Suma y resta

Cálculo de la suma y resta de radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicando entero, numérico y algebraico.

9.4.2. Multiplicación. Cálculo de la multiplicación de radicales cuadrados y cúbicos con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.

9.4.3. Cociente. Cálculo del cociente de radicales cuadrados y cúbicos con radicandos enteros numéricos y algebraicos que den respuestas exactas.

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Respuestas a los ejercicios

7.2.1. Deducción y aplicación de la propiedad Del producto de bases iguales. Del cociente de bases iguales. De la potencia de otra potencia. De la potencia de un producto. De la potencia de un cociente. Simplificación de cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la aplicación de dos o más propiedades de los exponentes.

7.3. Notación científica 7.3.1. Conversión de notación decimal a científica

Determinación y explicación de la utilidad de la notación científica. 7.3.2. Calculadora científica 7.3.3. Conversión de cantidades

En notación científica a notación decimal y viceversa. 7.3.4. Operaciones con notación científica

Suma y resta de cantidades en notación científica sin y con calculadora. Multiplicación y división de cantidades en notación científica Aplicación de la notación científica a ejercicios de la vida diaria.

Operemos con monomios. 8.1. Suma de monomios 8.1.1. Resolución de sumas de monomios.

8.2. Diferencia de monomios. 8.2.1. Cálculo de restas monomios. 8.2.2. Resolución de operaciones combinadas de suma y resta de monomios.

8.3. Supresión e introducción de signos de agrupación. 8.3.1. Explicación y utilización de las reglas para suprimir e introducir signos de

agrupación al realizar operaciones. 8.3.2. Resolución de ejercicios aplicando operaciones con signos de agrupación.

8.4. Potencias de monomios con exponentes enteros 8.4.1. Resolución de ejercicios con monomios aplicando:

Potencia de un producto. Potencia de un cociente; Potencia de potencias Conversión de expresiones con exponentes negativos a expresiones con exponentes positivos y viceversa. Exponente cero.

8.5. Multiplicación. 8.5.1 De monomio por monomio

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8.5.2 De monomio por polinomio

8.6. División 8.6.1. De monomio entre monomio 8.6.2. De un polinomio entre un monomio 8.6.3 Resolución de ejercicios algebraicos utilizando operaciones combinadas entre

Conozcamos y apliquemos los radicales. 9.1. Radicación 9.1.1. Determinación y explicación de la radicación de cantidades numéricas. 9.1.2. Determinación, explicación y cálculo de las raíces cuadradas y cúbicas exactas.

9.1.3. Resolución de ejercicios aplicando raíces exactas.

9.2. Propiedades de los radicales. 9.2.1. Aplicación de la propiedad: producto de las raíces. 9.2.2. Simplificación de raíces cuadradas y cúbicas con radicando entero, numérico y

algebraico. 9.2.3. Aplicación de la propiedad: cociente de las raíces. 9.2.4. Aplicación de la propiedad: raíz de otra raíz.

9.3. Radicales semejantes. 9.3.1. Simplificación de radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicando entero

numérico o algebraico.

9.4. Operaciones con radicales de cantidad subradical entera 9.4.1. Suma y resta

Cálculo de la suma y resta de radicales cuadrados y cúbicos semejantes con radicando entero, numérico y algebraico.

9.4.2. Multiplicación. Cálculo de la multiplicación de radicales cuadrados y cúbicos con radicandos enteros, numéricos y algebraicos.

9.4.3. Cociente. Cálculo del cociente de radicales cuadrados y cúbicos con radicandos enteros numéricos y algebraicos que den respuestas exactas.

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Respuestas a los ejercicios

7.2.1. Deducción y aplicación de la propiedad Del producto de bases iguales. Del cociente de bases iguales. De la potencia de otra potencia. De la potencia de un producto. De la potencia de un cociente. Simplificación de cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la aplicación de dos o más propiedades de los exponentes.

7.3. Notación científica 7.3.1. Conversión de notación decimal a científica

Determinación y explicación de la utilidad de la notación científica. 7.3.2. Calculadora científica 7.3.3. Conversión de cantidades

En notación científica a notación decimal y viceversa. 7.3.4. Operaciones con notación científica

Suma y resta de cantidades en notación científica sin y con calculadora. Multiplicación y división de cantidades en notación científica Aplicación de la notación científica a ejercicios de la vida diaria.

Operemos con monomios. 8.1. Suma de monomios 8.1.1. Resolución de sumas de monomios.

8.2. Diferencia de monomios. 8.2.1. Cálculo de restas monomios. 8.2.2. Resolución de operaciones combinadas de suma y resta de monomios.

8.3. Supresión e introducción de signos de agrupación. 8.3.1. Explicación y utilización de las reglas para suprimir e introducir signos de

agrupación al realizar operaciones. 8.3.2. Resolución de ejercicios aplicando operaciones con signos de agrupación.

8.4. Potencias de monomios con exponentes enteros 8.4.1. Resolución de ejercicios con monomios aplicando:

Potencia de un producto. Potencia de un cociente; Potencia de potencias Conversión de expresiones con exponentes negativos a expresiones con exponentes positivos y viceversa. Exponente cero.

8.5. Multiplicación. 8.5.1 De monomio por monomio

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Introducción La matemática siempre le ha servido al ser humano para resolver sus problemas, las cosas que

aparentemente son difíciles se hacen fáciles, con el apropiado conocimiento de la matemática.

Por ejemplo si tu quieres multiplicar 7 x 19, claro, la tabla del 19 no te la puedes, entonces puedes sumar 70 + 63 = 133 o bien 140 – 7 = 133, estos resultados son iguales a 7 x 19 = 133. Esto se puede hacer así por una propiedad de la multiplicación sobre la suma y sobre la resta, o sea, 19 lo puedes escribir como 10 + 9, entonces tienes 7x(10 + 9) = 7x10 + 7x9 = 70 + 63 = 133 ó puedes escribir el 19 como 20 – 1 entonces 7 x 19 se escribe como el siguiente arreglo 7 x (20 – 1) = 7 x 20 – 7 x 1 = 140 – 7 = 133.

O si te piden que multipliques 82 x 78 te resulta más fácil:

80 x 80 – 2 x 2 = 6,400 – 4 = 6,396, Esto es porque 82 x 78 se puede escribir como (80 + 2) x (80 – 2) como son los mismos

números, pero unidos por signos contrarios, esto representa la diferencia de sus cuadrados, es decir, (80)2 – (2)2 = 6,396.

Si te piden que sumes los números desde el 1 hasta el 16, es decir: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16, puedes hacer el

siguiente arreglo:

Entonces hay que sumar 17 ocho veces, es decir, 8 x 17 = 136.

Te das cuenta ¿cómo las propiedades matemáticas te simplifican los resultados? Observa qué hicimos:

En la 1ª fila escribimos hasta la mitad de los números que nos dijeron, para luego en la 2ª fila la otra mitad pero de derecha a izquierda, para formar sumas iguales, además si te das cuenta el número de sumas que resultan es solo la mitad de los números que nos dieron, aquí te dan 16 números solo hay 8 sumas; dichas sumas son todas iguales, en este ejemplo todas suman 17, es decir 1 + 16, ó sea, el primero y el último.

Entonces si te piden que sumes desde 1 hasta 1,000 habría 500 sumas todas iguales a 1,001, bueno 500 porque es la mitad de 1,000, cada una igual a 1,001 porque 1 + 1,000 = 1,001 luego el resultado es 500 x 1,001 = 500,500 esto se hace, siempre y cuando sean números sucesivos, si representamos los números por letras se puede llegar a una formula así:

p = el primer número u = el último número = el número de sumas iguales s = la suma de todos los números

Las sumas iguales vienen dadas por p+u, multiplicadas por , entonces

Estas y otras propiedades serán estudiadas en este libro, haciendo que la matemática te resulte muy agradable.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 816 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 917 17 17 17 17 17 17 17

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En la actualidad que escuchas de un mundo globalizado, casi para todo el que hacer humano, la matemática y su estudio es fundamental para el desarrollo de la ciencia y la tecnología, pilares del progreso. La matemática tiene fines expresamente definidos a nivel formativo, instrumental y práctico, ya que fomenta el desarrollo del pensamiento lógico y estructurado así como su sistematización. Es una herramienta indispensable para la explicación y análisis de fenómenos que tienen que ver con otras ciencias o disciplinas. Además, es de gran utilidad para enfrentarse a variadas situaciones de la vida cotidiana.

En ese sentido este libro ha sido preparado y escrito especialmente para ti, que estás deseoso de estudiar, comprender y aplicar la matemática.

Esta obra es desarrollada en nueve unidades, procurando que con poca teoría, la básica, tú comprendas cada uno de los temas que trataremos, dichas unidades se describen a continuación:

Apliquemos los números enteros: estudiando las principales propiedades y operaciones con números enteros

Utilicemos Unidades de superficie, agrarias: estudiando las medidas de longitud, de superficie y agrarias que se utilizan en El Salvador.

Operemos con números racionales: haciendo un estudio detenido con los números fraccionarios sus propiedades y sus operaciones, así como el estudio de los decimales.

Calculemos áreas circulares y utilicemos medidas: se refiere a la geometría plana; circunferencia y círculo, así como las medidas de capacidad, volumen, y de peso, haciendo una relación muy importante entre estas medidas.

Utilicemos proporcionalidad: inicia con el estudio de las razones y proporciones, luego la regla de tres, por el método de causa y efecto y terminando con el tanto por ciento.

Conozcamos y utilicemos álgebra: inicia con una breve historia, luego generalidades que comprenden; concepto de álgebra, notación, signos y expresiones algebraicas. Continuando con términos semejantes, y el valor numérico de expresiones algebraicas.

Utilicemos los exponentes: enfatiza en las propiedades de la potenciación, presentando abundantes ejercicios para su comprensión.

Operemos con monomios: acá conoceremos formas y métodos fáciles para poder efectuar las operaciones algebraicas como; suma, resta, supresión e introducción de signos de agrupación, potencia de exponentes, productos y cociente.

Conozcamos y apliquemos los radicales: enfatiza en las propiedades de los radicales, presentando abundantes ejercicios para su comprensión.

La estructuración de este libro, ha sido pensada para que tú seas el constructor de tu propio conocimiento matemático, y que lo hagas en forma activa.

Los ejercicios de aplicación se refieren a situaciones de nuestra realidad.

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Orientaciones sobre la utilización del libro

Estimados estudiantes, a continuación te presentamos una serie de orientaciones o sugerencias de cómo utilizar este texto para que le saques el mayor de los provechos.

1) Para aprender matemática es necesario que participes activamente en todas las acciones que se realicen, como: resolver ejercicios, plantear y resolver Aplicaciones, realizar investigaciones de campo y bibliográficas, hacer y responder preguntas relacionadas con el contenido y más; no basta con que seas un espectador de lo que otros hacen.

2) Tienes que elaborar un plan de estudio, en el cual dediques cierto tiempo todos los días, además del que empleas en clase, para estudiar matemática, no procures estudiar casi todo en un solo día. Por ejemplo en una escuela de manejo, ofrecen que te enseñan a manejar en 10 horas: Plan A: una hora cada día durante 10 días. Plan B: 10 horas en un solo día, desde las 7 de la mañana, hasta las 5 de la tarde, sin descanso. Es posible que con el plan B, aprendas a manejar, pero es menos factible, que si lo hubieras hecho con el plan A.. Este plan A, es el plan correcto para estudiar matemática, es decir, un poco cada día.

3) No pases al siguiente tema sin haber comprendido completamente el anterior.

4) Subraya aquellas palabras o apartados en los que tengas duda, para que se los consultes a tu profesor o profesora.

5) Con respecto a los ejercicios planteados en el texto, sería bueno que los trabajaras en grupo, realizando primero aquellos que te presenten menos dificultad. Y si hay alguno o algunos que te resulten difíciles, inténtalo la primera vez y si no puedes con el, descansa un rato y vuelve a intentarlo después para ver si entonces puedes. Solamente en el caso que creas que ya trataste lo suficiente, y no lograste su resolución, hasta entonces pide ayuda a tu profesor o a un compañero que ya lo haya resuelto.

6) El texto está elaborado de tal manera que lo puedes estudiar solo, en grupo, o con la dirección de tu profesor o profesora. Su estructura es la siguiente:

Te presentamos las competencias generales de matemática para séptimo grado. Estas son las que debes haber adquirido al finalizar este curso. Se pretende que seas competente tanto para realizar operaciones como para que apliques tu conocimiento matemático en el medio en que te desenvuelves.

A continuación se te presenta el desarrollo de cada uno de las unidades, que te describimos en la introducción. Los cuales han sido desarrollados, con la teoría fundamental para la comprensión del tema, pero con suficientes ejercicios, para que tú puedas asimilar y comprender cada uno de ellos. Aparecen en al final de cada unidad

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una autoevaluación, la que sería recomendable que realizaras individualmente y sin ayuda de nadie, para que verifiques, tu nivel de aprovechamiento.

7) Los siguientes íconos aparecen en el texto:

El maestro o la maestra explica y el estudiante pone atención y pregunta. También contesta las preguntas que el maestro hace. No escribe; porque el ejemplo ya está resuelto.

El estudiante trabaja en el aula o en su casa, individualmente o en equipo, completando en su cuaderno de trabajo los pasos que aparecen descritos.

El estudiante desarrolla solo o en grupo lo planteado, con base a ejemplos desarrollados.

El estudiante trabaja individualmente y el docente, revisa el nivel de aprovechamiento

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Competencias generales de matemática para 7° Grado

El alumno o la alumna será competente para:

1 Realizar las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética: Suma, resta, multiplicación y división, para números racionales cualesquiera, por medio de algoritmos que ejecuta de manera mecánica; para poder resolver problemas prácticos de la vida cotidiana, en cuya solución están involucradas cualesquiera de estas cuatro operaciones, valorando de esta manera la importancia práctica de la aritmética.

A este nivel es determinante esta competencia; porque mediante el conocimiento adecuado de los números racionales y su manipulación por medio de las cuatro operaciones fundamentales podrá dar solución a situaciones problemáticas en las que estén involucrados no solamente números enteros, si no que también decimales y fracciones.

2 Interpretar el concepto de proporcionalidad, estableciendo la relación de causa (lo que produce) y efecto (lo producido), para poder calcular los porcentajes de descuentos, intereses, comisiones, ganancias, pérdidas, impuestos, etc; desarrollando el sentido de la prudencia y cautela

Esta competencia lo dotará de las herramientas adecuadas para enfrentarse a situaciones problemáticas que el entorno le presente en lo relativo a cálculo de porcentajes, para que al momento de comprar artículos o servicios; así como para adquirir un crédito, proceda de manera juiciosa, conociendo los intereses que deberá cancelar. Lo que lo convierte en un consumidor sensato.

3 Identificar la potenciación como una multiplicación abreviada y la radicación como proceso inverso de la potenciación, desarrollando ejercicios en los que estén involucrados la extracción de raíces y la elevación a potencias; para que puedan acometer exitosamente estudios posteriores en los que se encuentren involucradas estas dos operaciones, lo que potenciará la capacidad de abstracción.

Esta competencia es específicamente para que el/la estudiante tenga la capacidad de emprender estudios de octavo grado en adelante, en los cuales tendrá que utilizar los conceptos de potenciación y de su proceso inverso, es decir, la radicación. Él deberá adquirir la habilidad para manipular los algoritmos concernientes a estas dos operaciones. De más está decir que este manipuleo mejorará su capacidad de abstracción y de razonamiento analítico.

4 Identificar las figuras geométricas básicas en dos dimensiones y las principales medidas: circunferencias y círculos, desarrollando ejercicios prácticos de cálculo del perímetro y de las áreas contenidas por estas figuras; así como saber trazarlas para que realice adecuadamente la medición de objetos, adquiriendo de esta manera precisión en las mediciones en general y poder así realizar trabajos prácticos (hogareños y laborales) del entorno en los que estén involucrados procesos de medición.

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Se pretende que el/la estudiante sea competente para poder tener un concepto claro de las medidas tanto lineales como de superficies y que pueda con facilidad calcular el área de un terreno o cualquier objeto de forma rectangular o circular, que pueda tener a este nivel, bien claro cuantos metros hay en determinados kilómetros, y pueda hacer conversiones sin ninguna dificultad. Además que desarrolle un sentido de ubicación que le permita mediante un proceso de abstracción, tener una idea clara tanto de distancia como de áreas.

5 Relacionar adecuadamente ideas con símbolos, planteando y desarrollando expresiones algebraicas. Por medio de la automatización de manipulaciones rutinarias da solución a situaciones problemáticas del entorno cuyos modelos a elaborado previamente. Mejorando la capacidad de lectura comprensiva.

Esta competencia es básica ya que por medio de ella se logra abstraer el concepto de cantidad, el cual queda expresado por variables. La manipulación y uso adecuado de las reglas algebraicas es de suma importancia; porque el álgebra es una rama auxiliar de la matemática y un manipuleo inadecuado induce a errores de manera reiterada.