Libro Matadmon II

UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES IIMÓDULO AUTOFORMATIVO NO. 4

Educación a Distancia - UCA

Universidad Centroamericana (UCA)

Directora de Educación a Distancia

CoordinadoraMartha Xiomara Zamora G.

Autor de ContenidoIng. José María Rodríguez Pérez

MetodólogaMsc. Melba Batres

Revisaron en calidad de especialistas en ContenidoMsc. Elías Rodríguez PérezMsc. Azucena Mejía MaldonadoLic. Clara Pastora TéllezLic. Douglas López EustakyoIng. Guillermo RuizLic. Roberto Rodríguez

DiagramaciónLic. Marely Valdez Salazar

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Módulo Auformativo: “Matemática para Administradores II”

INDICE

Presentación general del módulo autoformativo no. 4..........................................................7Objetivos generales del módulo..........................................................................................10Esquema de contenidos del módulo...................................................................................10Descripción de las unidades...............................................................................................11Orientación para el aprendizaje del módulo.......................................................................12Evaluación diagnóstica del módulo.....................................................................................14Unidad autoformativa I Funciones de varias variables.................................................15Presentación.......................................................................................................................17Objetivos de la unidad.........................................................................................................17Esquema de contenido.......................................................................................................18Orientación para el aprendizaje..........................................................................................18Evaluación diagnóstica.......................................................................................................19

A. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES.............................211. Funciones de varias variables.............................................................................212. Funciones de dos variables independientes.......................................................22

a. El dominio de una función de dos variables....................................................23b. Funciones de producción de Cobb – Douglas................................................24c. Representación gráfica de funciones bivariadas.............................................25

Actividad de autoaprendizaje no 1......................................................................................29B. DERIVADAS PARCIALES..................................................................................31

1. Definición: Derivadas Parciales...........................................................................32Actividad de autoaprendizaje no 2......................................................................................35

2. Interpretación geométrica de las derivadas parciales.........................................363. Aplicaciones de las derivadas parciales..............................................................37

a. Análisis marginal.............................................................................................37b. Costos marginales...........................................................................................39c. Productividad marginal....................................................................................41d. Demanda marginal..........................................................................................43e. Elasticidades parciales de la demanda...........................................................45

Actividad de autoaprendizaje no 3......................................................................................474. Derivadas parciales de orden superior................................................................48

Actividad de autoaprendizaje no 4......................................................................................515. Regla de la cadena para funciones de varias variables......................................51

a. Regla de la cadena.........................................................................................52b. Derivada total..................................................................................................53c. Diferencial total................................................................................................55

Actividad de autoaprendizaje no 5......................................................................................57C. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES............................59

1. Definición de extremos relativos de funciones con dos variables.......................592. Definición de punto crítico...................................................................................613. Teorema: Criterio de la segunda derivada..........................................................62

Actividad de autoaprendizaje no 6......................................................................................66Resumen de la unidad........................................................................................................68Evaluación final de la unidad..............................................................................................71Hoja de respuestas.............................................................................................................72Bibliografía..........................................................................................................................77Unidad autoformativa II La Integral................................................................................79Presentación.......................................................................................................................81

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Objetivos de la unidad.........................................................................................................82Esquema de contenido.......................................................................................................82Evaluación diagnóstica.......................................................................................................83

A. LA INTEGRAL.....................................................................................................851. El concepto de Antiderivada................................................................................85

a. Primitiva...........................................................................................................85b. Teorema..........................................................................................................86

2. La integral............................................................................................................86a. Fórmulas de integración..................................................................................87b. Teoremas........................................................................................................88

Actividad de autoaprendizaje no.1......................................................................................90B. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN...........................................................................93

1. Puntos fundamentales y dificultades...................................................................932. Integración por cambio de variable o sustitución................................................94

Actividad de autoaprendizaje no.2......................................................................................983. Integración por partes.........................................................................................99

Actividad de autoaprendizaje no.3....................................................................................1024. Integración de funciones racionales por fracciones parciales...........................103

Actividad de autoaprendizaje no.4....................................................................................107C. APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA...........................................109

1. Costo.................................................................................................................1092. Ingreso..............................................................................................................1113. Ingreso, consumo y ahorro nacional.................................................................113

Actividad de autoaprendizaje no. 5...................................................................................114D. LA INTEGRAL DEFINIDA.................................................................................117

1. La sumatoria......................................................................................................1172. Área de una región plana..................................................................................1183. Integral definida.................................................................................................120

a. Definición de Integral Definida......................................................................121b. Definición del área de una región plana........................................................121c. Teorema Fundamental del Cálculo...............................................................122d. Propiedades de las integrales definidas........................................................123

Actividad de autoaprendizaje no 6....................................................................................1244. Calculo de áreas con integrales........................................................................125

a. Área bajo una Curva.....................................................................................125b. Área entre Curvas.........................................................................................127

Actividad de autoaprendizaje no 7....................................................................................131E. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA...............................................133

1. Aplicaciones variadas........................................................................................133a. Crecimiento poblacional................................................................................133b. Costo Total....................................................................................................134c. Demanda.......................................................................................................134

2. Superávit del consumidor y del producto..........................................................135Actividad de autoaprendizaje no 8....................................................................................141Resumen final de la unidad...............................................................................................145Resumen de la unidad......................................................................................................147Evaluación final de la unidad............................................................................................148Hoja de respuestas...........................................................................................................149Bibliografía........................................................................................................................153Unidad autoformativa III Matrices.................................................................................155Presentación.....................................................................................................................157

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Objetivos de la unidad.......................................................................................................158Esquema de contenidos....................................................................................................159Evaluación diagnóstica.....................................................................................................160

A. DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ.........................................................................1611. Definición de matriz...........................................................................................161

a. Notación de matrices.....................................................................................161b. Notación de elementos..................................................................................162c. Igualdad de matrices.....................................................................................162

2. Tipos especiales de matrices............................................................................163a. Definición: matriz fila (vector fila)..................................................................163b. Definición: matriz columna (vector columna)................................................163c. Definición: matriz cuadrada...........................................................................164d. Definición: matriz identidad...........................................................................164e. Traspuesta de una matriz..............................................................................165

Actividad de autoaprendizaje no 1....................................................................................166B. OPERACIONES CON MATRICES....................................................................167

1. Multiplicación de una matriz por un escalar......................................................1672. Adición y sustracción de matrices.....................................................................168

Actividad de autoaprendizaje no 2....................................................................................1703. Multiplicación de matrices.................................................................................170

a. Definición: producto interno...........................................................................171b. Definición: producto de dos matrices............................................................172

Actividad de autoaprendizaje no 3....................................................................................1754. Determinante.....................................................................................................176

a. Determinante de una matriz (1x1).................................................................176b. Determinante de una matriz de orden 2 x 2..................................................176c. Determinante de una matriz de orden 3 x 3..................................................177

Actividad de autoaprendizaje no 4....................................................................................179d. Determinante de una matriz de orden n x n..................................................179

Actividad de autoaprendizaje no 5....................................................................................1825. La matriz inversa ( a –1 )....................................................................................183

a. La matriz inversa de una matriz de orden 2X2..............................................183b. La inversa de una matriz de orden 3x3.........................................................184c. Inversión mediante el uso de operaciones de fila.........................................184d. Inversión mediante adjuntas y determinantes...............................................188

Actividad de autoaprendizaje no 6....................................................................................1916. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción de

renglones o método de eliminación Gaussiana.................................................1917. Sistemas de ecuaciones singulares..................................................................198

Actividades de auto aprendizaje no 7...............................................................................200C. APLICACIONES DE LAS MATRICES..............................................................201

Actividad de autoaprendizaje no 8....................................................................................206Resumen final de la unidad...............................................................................................211Evaluación final de la unidad............................................................................................212Hoja de respuestas...........................................................................................................213Glosario.............................................................................................................................217Bibliografía........................................................................................................................219

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Presentación General del Módulo Autoformativo No. 4

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En hora buena, futuro profesional:

Como hemos descubierto en nuestro aprendizaje dentro de la universidad y nuestra experiencia en el desempeño de nuestras actividades cotidianas, la matemática es esencial dentro de nuestra formación principalmente en la profesional, debido a que las Ciencias Administrativas y Económicas son de naturaleza esencialmente cuantitativas en las que se tratan conceptos tales como precio, costo, salarios, inversión, ingresos, utilidad que son esenciales en gran parte del análisis económico. Es por eso que la Universidad Centroamericana (UCA), considera la asignatura de ” Matemática para Administradores II”, al igual que “Matemática para Administradores I”, como una herramienta muy importante para su formación general básica y especializada. En ella se aborda áreas del conocimiento que inciden en el desarrollo de nuevas habilidades, manejo de otras herramientas y desarrollo de destrezas, que se integran para ampliar nuestras posibilidades de análisis, comprensión y solución de problemas del ámbito profesional y social.

Los requisitos de aprendizaje para el estudio y asimilación del presente módulo autoformativo, se fundamentan en los conocimientos adquiridos y desarrollados con la asignatura “Matemática para Administradores I”. Así mismo, los aprendizajes que alcance con el estudio de este módulo, le ofrecerán las bases para adquirir nuevos conocimientos, habilidades y actitudes, que le servirán de base para la comprensión de otros módulos como: Estadística, Investigación de Operaciones, Matemática Financiera, Administración de la Producción, Microeconomía y otros.

En este módulo auto formativo, le ofrecemos: información teórica, muchos ejemplos, tareas y actividades de autoaprendizaje, necesarios para su autoformación como profesional de la Administración de Empresas. Por lo general, las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercanía con el tratamiento del concepto matemático que se esté desarrollando. Por lo anterior, nuestro objetivo es contribuir al estudio independiente, base fundamental de la Educación a Distancia.

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Objetivos generales del módulo

Con el estudio de este módulo, usted estará en capacidad de:

1. Utilizar las funciones de varias variables para crear modelos matemáticos donde una variable de interés o factor depende de muchos otros, permitiendo un mejor análisis sobre los diferentes cursos de acción que optimicen nuestras decisiones para resolver los problemas en una empresa.

2. Aplicar correctamente las fórmulas de integración inmediata y el método de integración a fin de resolver de forma más simple una integral indefinida.

3. Aplicar el concepto de Integral Definida para el cálculo de áreas y en el análisis de problemas relacionados con la administración y la economía que permitan hacer una toma de decisiones más efectiva.

4. Utilizarla las matrices para en el almacenamiento, presentación, procesamiento y manipulación de datos al resolver problemas propios del área administrativa y económica.

5. Profundizar en los valores éticos y principios humanísticos, a través del trabajo independiente como una contribución social a su formación profesional.

Esquema de contenidos del módulo

No. Nombre de la Unidad Temas

I Funciones de Varias Variables

A. Funciones de varias variables Independientes

B. Derivadas ParcialesC. Optimización de funciones de varias

variables

II La Integral

A. La antiderivadaB. Técnicas de IntegraciónC. Aplicaciones de la Integral IndefinidaD. La Integral definidaE. Aplicaciones de la integral definida

III Matrices

A. Conceptos básicosB. Operaciones con matricesC. Determinante de una matrizD. Inversa de una matrizE. Resolución de Sistemas de ecuaciones

linealesF. Aplicaciones de las matrices

En el cuadro puede observar que el módulo “Matemática para Administradores II”, incorpora tres unidades, con el propósito de que usted se forme una visión general de los contenidos de esta asignatura y para que identifique sus fortalezas y debilidades con relación al contenido a estudiar en este módulo autoformativo. A continuación le presentamos una breve descripción de cada una de las tres unidades que lo conforman:

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Descripción de las unidades

Unidad autoformativa I: Funciones de varias variables

En esta primera unidad, iniciamos analizando algunos ejemplos de situaciones problemáticas donde los conceptos por estudiar involucran funciones que dependen de varias variables, de tal forma que nos quede de manifiesto la importancia de estas funciones, en la solución de muchos de los problemas cotidianos que se tratan en el ámbito empresarial y económico.

Posteriormente, estudiaremos los elementos teóricos conceptuales relacionados con las funciones de dos variables independientes, que nos permitirán comprender los conceptos de derivadas parciales y la optimización de las funciones de dos variables independientes.

En cada uno de los temas que desarrollamos, introducimos los contenidos teóricos y posteriormente ejemplos en que se aplican diferentes áreas de la administración y la economía. Además, aunque esta unidad está centrada en el estudio de las funciones de dos variables independientes, hacemos generalizaciones y presentamos ejemplos de funciones de más de dos variables independientes.

Unidad autoformativa II: La Integral

Estudiaremos el concepto de Integral indefinida de una función (que es el proceso inverso a la diferenciación), las fórmulas de integración inmediata y algunos métodos para resolver integrales indefinidas de mayor grado de complejidad; además, analizaremos algunos ejemplos variados de aplicaciones similares a los desarrollados en el proceso de derivación estudiado en el curso anterior.

La segunda parte de la unidad la dedicaremos al estudio de uno de los conceptos más importantes y de mayor aplicación del cálculo como es el concepto de área de una región en el plano, haciendo uso de los límites, lo que nos llevará a elaborar la definición de integral definida. Este aprendizaje nos permitirá desarrollar conceptos muy importantes del área económica, como el excedente de consumidores y productores y otras aplicaciones que son ampliamente tratadas en los ejercicios resueltos.

Unidad autoformativa III: Matrices

Aquí desarrollaremos aspectos conceptuales relacionados con matrices como: definición, notación, relaciones entre matrices y tipos de matrices. Estos conceptos son necesarios para el estudio de las operaciones con matrices, el determinante de una matriz y la inversa de una matriz. El desarrollo de los temas es bastante teórico haciendo énfasis en el dominio de los conceptos y procedimientos.

En la parte final trataremos las aplicaciones de las matrices, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de orden n x n y en ejercicios de índole general donde podemos observar el carácter cotidiano y práctico en del uso de las matrices, tanto para ordenar y procesar muchos datos numéricos, como para resolver sistemas de ecuaciones.

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Orientación para el aprendizaje del módulo

El contenido científico de este módulo autoformativo se presenta mediado pedagógicamente, de manera que le ayude a la asimilación de conceptos básicos, apropiación de métodos de razonamiento y aplicación práctica en la resolución de ejercicios y problemas. Fue diseñado para que domine por sí mismo la materia de Matemática para Administradores II. Por ello, le facilitamos el aprendizaje usando códigos que le permitan identificar conceptos, definiciones, procedimientos, reglas y soluciones referidos a los ejemplos presentados para cada uno de los temas.

Códigos por utilizar : En recuadro presentamos las fórmulas, procedimientos, reglas y teoremas.Negrilla: En negrilla destacamos las soluciones de los ejemplos, notas, observaciones y advertencias.

No podemos aprender matemática sin hacer matemática. Por tanto tiene que participar activamente usando los recursos a su disposición: su tutor, sus compañeros de estudio y este texto. Tome en cuenta que no se puede leer un libro de matemática de la misma forma que se lee una novela. Debe tener un lápiz, papel y una calculadora a mano, para resolver los problemas y enunciados que no entiende y tomar nota sobre las cosas que necesita preguntar a sus compañeros o a su profesor.

Recuerde que no existe pregunta tonta, más aún cuando ésta surge de un serio esfuerzo de su parte, lo que puedo asegurarle, según mi experiencia, es que los estudiantes que aprenden a dominar las técnicas, requieren menos esfuerzo para entender los procesos de planteamiento de problemas y su resolución.

Para lograr una vinculación teoría - práctica, usted debe dedicarle tiempo al estudio independiente y a la realización de todas las actividades de autoaprendizaje que se le indiquen, lo que le servirá para complementar sus conocimientos y le facilitará la comprensión de los conceptos matemáticos que se aborden en este módulo autoformativo.

El tiempo que usted dedique al trabajo independiente le permitirá desarrollar sus capacidades para identificar, analizar e interpretar los procesos organizacionales con el fin de aprovechar creativamente las oportunidades que brinda el entorno, razón por la cual creemos que el autoestudio le resultará motivante y enriquecedor. Sin embargo, es posible que, en algunas ocasiones, encuentre dificultades al querer resolver ejercicios o problemas, por lo que le recomendamos, anote las inquietudes en su cuaderno de trabajo, para luego plantearlas en las sesiones tutoriales y buscarle solución conjunta a las dificultades.

Las sesiones tutoriales se realizarán en forma presencial y las mismas serán utilizadas para la reflexión y discusión en grupos; la resolución de ejercicios que no haya podido resolver y para evaluar los conocimientos al final de este proceso de aprendizaje.

Durante el desarrollo del módulo le presentamos actividades evaluativas: evaluación diagnóstica que valora los conocimientos que usted posee sobre los contenidos por estudiar y, evaluación formativa, que se orienta a regular su autoestudio, mostrar el grado

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de avance de sus aprendizajes y determinar a qué contenidos deberá dedicar más tiempo de estudio.

También realizará evaluaciones sumativas, planificadas en el calendario académico y practicadas en las sesiones tutoriales presenciales, a fin de evaluar los aprendizajes totales del módulo y verificar el logro de los objetivos de la asignatura.

La evaluación diagnóstica se realizará mediante una prueba que resolverá antes de iniciar el estudio de los materiales autoformativos. Deberá ser contestada, corregida y valorada por usted mismo y para esto, le presentamos la solución al final del módulo.

Los resultados de esta evaluación le servirán como base para que identifique las fortalezas y debilidades de sus conocimientos previos. Al final del estudio, puede volver a la prueba, observando la mayoría de su aprendizaje y sus propios avances.

La evaluación formativa tendrá como finalidad mostrar el grado de avance de los conocimientos que usted va obteniendo en el transcurso del aprendizaje, le permitirá regular su autoestudio y determinar a qué contenidos deberá dedicar más tiempo de estudio y cuáles son los que requieren orientación especial de su tutor.

Esta evaluación será realizada por usted, en forma individual e independiente, mediante la resolución de diferentes actividades las que irán apareciendo durante la marcha. Le recomendamos realizar con honestidad, ya que usted será el único responsable de verificar el logro de los objetivos de aprendizaje y su autorregulación.

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Evaluación diagnóstica del módulo

Con la finalidad que valore l nivel de conocimientos previos requeridos para el estudio de esta unidad autoformativa, al iniciar el módulo de Matemática para Administradores II, le presentamos algunos ejercicios que deberá resolver y que corresponden tanto a contenidos estudiados en secundaria como a los aprendidos en Matemática para Administradores I.

Recuerde que usted evaluará sus propios conocimientos y que esto constituye un parámetro para determinar el nivel de los mismos y el esfuerzo que le demandará el estudio de los contenidos de esta unidad autoformativa.

Para realizar en forma adecuada la prueba diagnóstica, usted deberá resolverla inmediatamente después de leer esta introducción.

1) Derivo las siguientes funciones aplicando los teoremas sobre derivadas:

a) f(x) = 3x3 + (9x2 – 4)5

b) f(x) = (2x2 –4x)(3x - 5)

2) Enumero al menos 3 factores que inciden en el precio de un artículo: , , .

3) Elaboro la gráfica de la siguiente función.

a) y = x2 – 4

4) Presento los siguientes datos en cualquier orden dentro de una matriz con cuatro filas y cuatro columnas

2, 3, -5, 8, -9, 7, 12, 6, 21, 15, 1, 13, 8, -3, 14, 10

Luego de resolver estos ejercicios, comparo mis respuestas con las que se me presentan al final de la unidad autoformativa I, en la página 72.

Si contesto el 80% de la prueba diagnóstica (Aproximadamente tres ejercicios de cuatro), poseo los conocimientos básicos para esta asignatura y se me facilitará el autoestudio de la misma.

De no alcanzar el 80%, deberé dedicarle más tiempo del previsto y requeriré de mayor apoyo de mi tutor.

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Unidad Autoformativa I Funciones de varias variables

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Presentación

En esta primera unidad autoformativa se abordan tres temas fundamentales: Las funciones de varias variables, las derivadas parciales y los máximos y mínimos de funciones de varias variables. En cada uno de los temas se estudian las aplicaciones, más importantes a la Administración y la Economía.

Partimos estudiando las funciones de dos variables independientes, ya que los procesos matemáticos son más sencillos y a partir de ahí se generaliza para funciones de más de dos variables independientes. Aunque desde el punto de vista matemático los procesos son un poco más complejos que en el caso de una variable, resulta fácil comprenderlos ya que en la práctica todo el tiempo estamos en contacto con funciones de varias variables.

Seguidamente, estudiamos las derivadas parciales que no son más que la generalización del proceso de derivación aplicado a las funciones de una variable, esto representa una ventaja al realizar los análisis en las aplicaciones ya que guardan una estrecha relación con los realizados en las derivadas simples. Otra ventaja es que aunque existe reglas propias para derivar funciones de varias variables, son muy similares a los teoremas para derivadas de funciones de una variable, estudiados en el curso anterior.

Finalmente desarrollamos el tema de Optimización de Funciones de varias variables, que es una aplicación de las derivadas parciales para determinar los valores máximos y mínimos de funciones de varias variables tanto geométricamente como aplicadas a problemas prácticos, en los que se evalúen conceptos económicos como producción, utilidad, ingreso y costo entre otros.

Objetivos de la unidad

1. Derivo funciones de varias variables aplicando correctamente los teoremas sobre derivadas.

2. Planteo modelos matemáticos utilizando funciones con más de una variable independiente.

3. Aplico el concepto de función de costos, ingreso, utilidad y producción de varias variables a problemas relacionados con la Administración y la Economía.

4. Pongo en práctica hábitos y valores respecto a la verdad, honestidad, colaboración y responsabilidad a través del trabajo independiente, que me permitan construir y desarrollar mi propio conocimiento con miras a un mejor desenvolvimiento tanto en mi vida como estudiante universitario como en el ejercicio de mi profesión.

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Esquema de contenido

Orientación para el aprendizaje

Los temas que abordamos en esta primera unidad están estrechamente relacionados con los estudiados en el curso de Matemática para Administradores I tanto así que son la base sobre la cual desarrollaremos las primeras dos unidades del módulo. Por esta razón ese módulo debe ser su texto de consulta obligatorio durante todo el curso.

Cuando estudie esta unidad autoformativa tenga siempre presente los objetivos propuestos, los que constituyen la guía principal de su aprendizaje.

Lea cuidadosamente el contenido de cada tema que se aborda y trate de dominar los conceptos más importantes de cada uno para que pueda continuar con su estudio independiente. Si tiene dudas, le sugerimos volver a leer y anotar sus inquietudes para solicitarle aclaración al tutor.

1. Definición derivadas parciales2. Interpretación geométrica de las derivadas parciales

3. Aplicaciones de las derivadas parciales

4. Derivadas parciales de orden superior

5. Regla de la cadena para funciones de varias variables

A. Funciones de varias variables independientes

1- Funciones de varias variables2. Función de dos variables independientes

a) Dominio de una función de dos variablesb) Funciones de producción de Cobb – Douglasc) Representación gráfica de funciones bivariadas

B. Derivadas Parciales

a) Análisis marginalb) Costo marginal c) Productividad marginal d) Demanda marginale) Elasticidades parciales de la demanda

a) Regla de la cadena

b) Derivada total

b) Diferencial total

C. Optimización de funciones de varias variables

1. Definición de extremos relativos funciones con dos variables

2. Definición de punto crítico

3. Teorema: Criterio de la segunda derivada

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Durante el desarrollo de cada tema usted encontrará además de ejemplos, una variedad de ejercicios resueltos que ilustran las explicaciones, tratando de esta forma que los contenidos sean más comprensibles. También le ofrecemos una serie de actividades de autoaprendizaje que deben ser resueltas por usted para que de esta manera logre una mayor fijación de los conocimientos.

Cuando realice las actividades de autoaprendizaje que aparecen inmediatamente después del desarrollo de cada tema, verifique sus respuestas al final de la unidad.

Le recordamos que para su autoaprendizaje debe dedicar como mínimo dos horas diarias de autoestudio, ya que este módulo de matemática requiere mucha práctica para fijar los conocimientos y dominar los procedimientos. Además deberá esforzarse por realizar todas las tareas que le orientemos, ya sean teóricas o prácticas. No olvide que de su autoestudio y dedicación depende el éxito de su aprendizaje.

Evaluación diagnóstica

Valoro los conocimientos previos obtenidos con los aprendizajes de la asignatura Matemática para Administradores I. Para ello resuelvo las siguientes cuestiones y me retroalimento según las orientaciones que esta prueba contiene.

1. Defino el concepto de Ingreso marginal

2. Enumero al menos tres factores de cualquier naturaleza que considero afectan la producción del país

3. Derivo las siguientes funcionesa) f(x) = (2x2 +5x)2 b) f(x) = 3K x5

c) f(y) = 2y2 (y3 + 1)

4. Encuentro los números críticos para la siguiente funciónf(x) = 2x2 – 4x

Luego de resolver estos ejercicios, compararé mis respuestas con las que se me presentan al final de la unidad autoformativa I, en la página 72.

Si contestó el 80% de esta prueba diagnóstica (Tres ejercicios de cuatro), significa que poseo los conocimientos básicos para esta unidad y se le facilitará el autoestudio de la misma.


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A. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

INDEPENDIENTES

Hasta ahora hemos restringido nuestra atención en el estudio de las funciones aplicadas a casos en que la variable dependiente “x” sólo es función de una variable independiente “y”, esto es y = f(x). Sin embargo, en muchas (quizás la mayoría) de las aplicaciones debemos afrontar situaciones en que una cantidad depende no sólo de una variable sino de varias variables. Cuando las funciones incluyen más de una variable independiente, se llaman funciones multivariadas o funciones de varias variables.

Examinaremos algunos métodos de cálculo diferencial y determinaremos valores óptimos (máximos y mínimos) y explorar diferentes aplicaciones, principalmente en el área de las ciencias económicas y administrativas. Al estudiar algunos de esos métodos notará que se parecen a los que se aplicaron en las funciones de una variable independiente.

Nos concentraremos en las funciones bivariadas (las que contienen dos variables independientes). Se describirán sus gráficas para que podamos comprender el alcance general del tema, aunque no profundizaremos en la elaboración de ellas ya que no es objetivo del curso elaborar gráficos de estas funciones. Luego se introducirá el concepto de derivación parcial y su interpretación, conceptos muy útiles en las aplicaciones.

Los métodos para obtener valores óptimos. Luego vendrá una sección en que se comentan las aplicaciones de las funciones bivariadas, explicando el proceso de optimización de las funciones de n variables.

1. Funciones de varias variables

Hemos visto la gran utilidad de las funciones en la descripción de los diferentes fenómenos de la naturaleza. Hasta el momento se ha considerado solamente funciones de una variable, sin embargo, la explicación y uso del mundo natural y social nos plantean la necesidad de considerar funciones de más de una variable.

En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede depender de los valores de otras dos o más. Por ejemplo, la cantidad de agua contenida en una represa puede depender de la cantidad de agua consumida por los residentes locales y las precipitaciones. La demanda o volumen de venta total de un producto puede depender del precio, la cantidad gastada en promocionar el producto y el precio de la competencia además de otros factores difíciles de evaluar.

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La demanda de mantequilla puede depender del precio de ésta y del precio de la margarina, esto, debido a que se considera a la margarina un substituto de la mantequilla y al subir el precio de esta la población optaría por comprar margarina.

La producción de una fábrica puede depender del capital invertido en la planta y del tamaño de la fuerza laboral además de otras variables no consideradas. Por ejemplo, considere el volumen de un cilindro circular recto (figura 1.1):

r

h

Figura 1.1

El volumen depende de r y de h. Por eso se puede escribir V(r,h) = r2h.

Es decir, se expresa el volumen del cilindro como función de dos variables, r (radio de la base) y h (altura del cilindro).

Con frecuencia, las relaciones de este tipo pueden representarse en forma matemática mediante funciones que tienen más de una variable independiente. En la mayor parte de nuestro estudio consideraremos funciones de dos variables independientes (bivariadas) o tres variables independientes y por lo regular las denotaremos con x y y ó con x, y y z.

En el caso de dos variables independientes se tendrá a z como la variable dependiente

z = f(x,y) y

cuando tengamos tres variables independientes w será la variable dependiente

w = f(x,y,z).

2. Funciones de dos variables independientes

Si una compañía produce x artículos a un costo de $10 por artículo, entonces el costo total C(x) de producir los artículos está dado por C(x) = 10x. El costo es una función de una variable independiente, o sea del número de artículos producidos. Si la compañía produce dos productos, con x de un producto a un costo de $10 cada uno y y de otro producto a un costo de $15 cada uno, entonces el costo total para lo compañía es una función de dos variables independientes x y y , al generalizar la notación f(x), el costo total se puede escribir como C(x,y), donde C(x,y) =10x + 15y

Ahora daremos una definición formal para una función de dos variables independientes.

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Definición: Sea D un conjunto de parejas de números reales (x,y) , f es una regla que asigna un único número real a cada pareja (x,y) en D. Decimos que f es una función de las variables x y y y que el conjunto D es el dominio de f. El valor de f en la pareja (x,y) se denota por f(x,y) y el conjunto de todos esos valores se denomina el rango de f.

a. El dominio de una función de dos variables

El dominio de la función f (x,y) es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) de números reales para los que puede calcularse f (x,y).

Ejemplo 1. Si f(x,y) = 2x + y a) Calcularemos el valor de f en la pareja (1,2).b) Determinaremos el dominio de f.

Solución: a) sustituyendo los valores de x e y obtenemos f (1,2) = 2(1) + 2 = 4b) en este caso no existe ninguna restricción para los valores que se les puedan asignar

a x e y por lo tanto el dominio de la función es el conjunto de todas las parejas (x,y) de números reales.

Ejemplo 2.

Si f(x, y) =

3x2+5 yx− y ,

a) Calcularemos f(1,-2).b) Encontraremos el dominio de f.

Solución:

a) Como es posible dividir entre cualquier número real excepto cero, los únicos pares ordenados (x,y) para los que no puede calcularse la función son aquellos en que x = y debido a que esto haría cero el denominador de la expresión y la división entre cero no esta definida. Por lo tanto, el dominio de f son todos los pares ordenados (x,y) de números reales para los que x¿ y.

b) sustituyendo los valores de x e y f (1,-2 ) =

3(1)2+5 (−2 )1−(−2)

=3−101+2

=−73

Ejemplo 3.

Si f (x, y) = x ey +ln x.a) Encontraremos el dominio de f.b) Calcularemos f ( e2, ln 2).

Solución:

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a) Puesto que x ey está definida para todos los números reales x y y , y como ln x está definido sólo para x > 0, el dominio de f son todos los pares ordenados ( x,y) de números reales para los que x > 0.

b) f (e2, ln2) = e2 eln 2 + lne2 = 2e2+2 = 2(e2+1) 16.78

No existe una regla que permita determinar el dominio de una función de varias variables y al igual que en las funciones de una variable independiente el poder determinarlo dependerá de las características de la expresión algebraica que represente a la función.

Ejemplo 4.

Un almacén de artículos deportivos en St. Louis tiene dos tipos de raquetas de tenis, las marcas autografiadas Michael Chang y Boris Becker. La demanda de consumo de cada marca depende no sólo de su precio, sino también del precio de la marca competidora. Las cifras de ventas indican que si la marca Chang se vende a x dólares por raqueta y la Becker a y dólares por raqueta, la demanda de raquetas Chang será D1 = 300 - 20x + 30y raquetas por años y la demanda de las raquetas Becker será D2 = 200 + 40x – 10y raquetas por año. Expresar el ingreso total anual del almacén de artículos deportivos proveniente de la venta de estas raquetas, como una función de precios x y y.

Solución:

Sea R, el ingreso total mensual, entonces, el ingreso queda definido por:

R = (número de raquetas Chang vendidas) (precio por raqueta Chang) + (número de raquetas Becker vendidas) (precio por raqueta Becker). Por tanto,

R(x, y) = (300 - 20x + 30y)(x)+(200 + 40x - 10y)(y)R(x, y) = 300x + 200y +70xy – 20x2 – 10y2

Esta expresión nos permite determinar el ingreso mensual teórico que obtendríamos para los diferentes niveles de precio de las raquetas Chang y Becker y su utilidad dependerá de la valides de los supuestos planteados para su construcción y de que los precios sugeridos se encuentren dentro del marco de la realidad.

b. Funciones de producción de Cobb – Douglas

En una fábrica, la producción Q con frecuencia se considera una función de la inversión de capital K y del tamaño L de la fuerza laboral. Se ha demostrado que las funciones de producción de la forma

Q(K , L) = AKα L1-α

donde A y α son constantes positivas y 0≤α≤1 , son muy útiles, especialmente en el análisis económico. Tales funciones se conocen como funciones de producción de Cobb – Douglas”.

24


Ejemplo 5.

Si en cierta fábrica la producción está dada por la función de producción de Cobb Douglas Q(k , L) = 60K1/3L2/3 unidades, donde K es la inversión de capital medida en unidades de US $ 1,000 y L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas trabajador.a) Calcularemos la producción, si la inversión de capital es US $ 512, 000 y se utilizan 1,

000 horas – trabajador de mano de obra.b) Demostraremos que la producción obtenida en el literal a) se duplicará si tanto la

inversión del capital como el tamaño de la fuerza laboral se duplican.

Solución:

a) Calcular Q(K , L) con K = 512 (en miles) y L = 1, 000 para obtener Q(512, 1,000) = 60(512)1/3(1,000)2/3

Q(512, 1,000) = 60(8)(100) = 48,000 unidades

b) Calcular Q(K, L) con K = 2(512) y L = 2(1,000) como sigue, para obtener

Q [2 (512 ) ,2 (1 ,000 ) ]=60 [2 (512 ) ]1 /3 [2 (1 ,000 )2 /3 ]= 60 (2 )1 /3 (512 )1/3 (2 )2/3 (1 ,000 )2/3

= (2 )1 /3+2 /3 [60 (512 )1 /3 (1 ,000 )2/3 ]= 2Q (512 ,1 ,000 )=2 (48 ,000 )=96 ,000 unidades

Es decir, la producción Q cuando K = 2(512) y L = 2(1,000) es el doble de la producción cuando K = 512 y L = 1,000.

Empleando un cálculo similar al del literal b) del ejemplo anterior, puede probarse que si la producción está relacionada con el capital y la mano de obra por una función de producción de Cobb – Douglas, y si tanto el capital como la mano de obra se multiplican por algún número positivo m, entonces la producción también se multiplicará por m.(Los detalles se dejan como ejercicio por realizar).

En economía, las funciones de producción que posee esta propiedad se dice que tienen rendimientos constantes a escala.

c. Representación gráfica de funciones bivariadas

Representación gráfica

25


Una función que incluye una variable dependiente z y dos variables independientes x y

y puede representarse con la notación z=f ( x , y )

Antes en el texto se dijo que el número de variables presentes en una función determina el número de dimensiones necesarias para graficarla. Se requieren dos dimensiones para trazar las funciones de una sola variable, y en cambio hacen falta tres dimensiones para graficar las funciones con dos variables independientes.

Con el objeto de graficar z=f ( x , y ), una función de dos variables, necesitamos un sistema de coordenadas entres dimensiones, una para cada variable x , y y z, esto es un sistema coordenado rectangular tridimensional.

Este sistema se forma cuando tres ejes de números reales mutuamente perpendiculares en el espacio se intersecan en el origen de cada eje. Los tres ejes se llaman x, y y z y su punto de intersección recibe el nombre de origen del sistema. Las flechas indican las direcciones positivas de los ejes y las porciones negativas de los ejes se muestran con líneas punteadas (figura 1.2). z

y

x

Figura 1.2

En esta forma estándar de presentación, los ejes están mostrados en perspectiva porque de lo contrario no se podría apreciar alguno de ellos.

Tomados por pares, los ejes determinan tres planos coordenados, nombrados como plano xy, plano xz y plano yz. Estos tres planos coordenados separan el espacio tridimensional en ocho octantes. El primer octante es aquel en que las tres coordenadas son positivas.

A cada punto P en el espacio podemos asignar una terna ordenada (x,y,z) única de números, llamada coordenadas de P. Debido a esta correspondencia uno a uno entre puntos en el espacio y ternas ordenadas, a una terna ordenada puede denominársele punto (Figura 1.3).

• (xo , yo , zo )

zo

yo xo

26


Figura 1.3

Tal como hicimos antes para graficar pares ordenados, podemos graficar ahora las tríadas ordenadas de la forma (x,y,z). Por ejemplo para localizar el punto correspondiente a la tríada ordenada (2,-4,3), comience en el origen y vaya 2 unidades a lo largo del eje x positivo. Luego vaya 4 unidades en dirección negativa (hacia la izquierda), paralelamente al eje y. Finalmente, vaya 3 unidades hacia arriba, paralelamente al eje z. El punto que representa (2,-4,3) se muestra en la figura 1.4

z

(2,-4,3)

•

y

x

Figura 1.4

Siguiendo este procedimiento podemos representar geométricamente una función de dos variables, z = f(x,y).

A cada par ordenado (x,y) en el dominio de f le asignamos el punto (x,y,f(x,y)). El conjunto de todos esos puntos se llama el gráfica de f a como se muestra en la figura 1.5. Se puede considerar que z = f(x,y) representa una superficie en el espacio.

z f(x,y) (x,y,f(x,y))

Gráfica de z = f(x,y) y y

x Figura 1.5

En la práctica trazar la gráfica de una función de dos variables (una superficie en tres dimensiones) no es tan sencillo como graficar una función y = f(x) de una sola variable. Cuando nos enfrentamos a este problema, se pueden aplicar diferentes métodos sin embargo, con frecuencia es de utilidad hacer uso de las trazas que son las intersecciones de la superficie con los planos coordenados.

27


Para ilustrar estos procedimientos utilizaremos la ecuación del plano el cual es muy sencillo de graficar.

En el espacio, la gráfica de una ecuación de la formaAx +By + Cz + D = 0

donde D es una constante y A, B y C son constantes no todas iguales a cero, es un plano. Como tres puntos distintos (no todos en la misma recta) determinan un plano, una manera conveniente de graficar el plano es encontrando primero los puntos, en caso de que existan, en que el plano interseca los ejes x, y o z. Esos puntos son llamados intersecciones.

Ejemplo 6.

Grafiquemos el plano 2x +3y +z = 6

Solución: El plano interseca el eje x cuando y = 0 y z = 0. Así 2x = 6, lo que da x = 3. Similarmente, si x = z = 0, y = 2; si x = y = 0, z = 6. Las Intersecciones son entonces (3,0,0), (0,2,0) y (0,0,6). Después de marcar esos puntos se pasa un plano por ellos. La porción del plano en el primer octante se muestra en la figura 1.6 sin embargo, debe quedar claro que el plano se extiende indefinidamente en el espacio.

Para el mismo ejemplo la traza en el plano xy se obtiene haciendo z = 0. Esto da 2x + 3y = 6, que es la ecuación de una línea recta en el plano xy. Similarmente hacer x = 0 da la traza en el plano yz con lo que obtenemos la línea 3y + z = 6. La traza xz es la línea 2x + z = 6 que se obtiene al hacer y = 0. (ver figura 1.7)

z 6

Traza yz Traza xz 3y + z = 6 2x + z = 6

2 y

3 Traza xy 2x + 3y = 6 x Figura 1.6 Figura 1.7

Aunque este ejemplo nos ilustra dos métodos para la elaboración de la gráfica de una función de dos variables independientes, se requiere de una habilidad muy especial y de mucha práctica para graficar estas funciones a tal extremo que muchos profesores de cálculo de mucha experiencia también tienen dificultades para elaborar algunos de estos gráficos, por esta razón se debe aclarar que el elaborar graficas de funciones de dos variables no es un objetivo del curso. Solamente para darnos una idea observemos las siguientes gráficas en el espacio. (ver figuras 1.8, 1.9, 1.10)

28


Figura 1.8 Figura 1.9 Figura 1.10

Actividad de autoaprendizaje No 1

1) Calculo los valores de las funciones dadas en los puntos indicados

a) f ( x , y )=x2−2 xy+ y2 ; (x,y )=(3,-2 ) y (-4,-4 )

b) f ( x , t )= x−t+1

x2+t2 ; ( x,t)=(2,1) , (3,1/2) , (−1/4 ,3/ 4 )

c) f ( x , y , z )=x2+2 y2+3 z2 ; ( x,y,z )=(1,2,3 ) y (-2,1,-4 )

d) f ( x , y )=4 x− y2+3 ; ( x,y )=(2,1 )

e) g( x , y , z )=ex(2 y+3 z ) ; ( x,y,z )=( 0,-1,2)

f) h(r , s , t , u)= rs

t2−u2 ; (r,s,t,u )=(-3,3,5,4 )

2) Sea f ( x , y )=x2 y+√ y . Determino cada valor

a) f(2,1) b) f(3,0) c) f(1,4) d) f(a,a4) e) f(1/x, x4) f) f(2,-4)¿Cuál es el dominio natural de esta función?

3) Determino el dominio de las funciones siguientes

a) f ( x , y )=x2+2 xy+ y2

b) f ( x , y )= x2

y2−1

c) f ( x , t )=ln( x−t )

4) (Función de Costo) Una empresa produce dos productos ‘x’ y ‘y’. Las unidades de costos de mano de obra y de materiales son de $5 en el caso del producto x y de $12 para el producto y. Además, la empresa también tiene costos fijos de $3,000 al mes. Expreso el costo mensual C como una función de las unidades x y y producidas ¿Cuál es el costo total de producir 200 unidades de x y 150 unidades de y.

5) (Funciones de Costo y Utilidad) Electrónica de Occidente fabrica dos tipos de cinta de cassettes, de 60 y 90 minutos. El costo por unidad de mano de obra para los dos tipos es de 30¢ y de 40¢. Además, la empresa tiene costos fijos semanales de $1,200.

29


a) Obtengo el Costo semanal como una función de las unidades de los dos tipos de cintas producidas.

b) Evalúo el costo total de producir 10,000 cintas de 60 minutos y 8,000 cintas de 90 minutos.

c) Si la compañía vende los dos tipos de cinta a 60¢ y 75¢ cada una, respectivamente, obtengo la utilidad mensual como función del número de unidades producidas y vendidas por semana.

6) Un fabricante produce máquinas de escribir eléctricas a un costo de $80 cada una, y máquinas de escribir manuales a un costo de 420 cada una.a) Expreso el costo total mensual de producción para el fabricante como una función

del número de máquinas de escribir eléctricas y de máquinas de escribir manuales producidas.

b) Calculo el costo total mensual si se producen 500 máquinas de escribir eléctricas y 800 manuales.

c) Si el fabricante desea aumentar la producción de máquinas de escribir eléctricas en 50 al mes, a partir del nivel logrado en el literal b), ¿calculo qué cambio correspondiente debe hacerse en la producción mensual de máquinas de escribir manuales para que el costo total mensual no cambie?

7) En cierta fábrica la producción es Q(K , L)=120K2/3L1/3 unidades, donde K es la

inversión de capital medida en unidades de $1,000 y L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.a) Calculo la producción si la inversión de capital es $125,000 y el tamaño de la

fuerza laboral es 1,331 horas-trabajador.b) ¿Qué sucederá a la producción obtenida en el literal a), si tanto el nivel de

inversión de capital como el tamaño de la fuerza laboral se reducen a la mitad?

Autoregulo mi aprendizaje descubriendo mis aciertos y desaciertos en las páginas 72-73.

30


B. DERIVADAS PARCIALES

Es pertinente señalar que a las funciones de varias variables se les puede aplicar también los métodos del Cálculo Diferencial e Integral, con algunas modificaciones.

Abordaremos ahora el tema de la diferenciabilidad de funciones de varias variables. En esta sección, sólo nos interesará desarrollar el aspecto mecánico de la diferenciación, y posteriormente, estudiaremos la interpretación y aplicación de las derivadas resultantes.

Sea z = f(x,y) una función de dos variables independientes. Si la variable y se mantiene y se fija en el valor y = yo, entonces la relación z = f(x,yo) expresa a z como una función de la variable x. Esta función tendrá como gráfica una curva en el plano xz, la cual en realidad es la sección vertical de la gráfica de z = f(x,y) definida por el plano y = yo.

Por ejemplo: Suponga que una compañía pequeña fabrica sólo dos productos, radios y grabadoras. Las ganancias de la compañía están dadas por

P(x,y) = 40x2- 10xy +5y2 – 80

Donde x, es el número de unidades de radios vendidos y y es el número de unidades de grabadoras vendidas. ¿Cómo afectará a P, un cambio en x o en y?

Suponga que las ventas de radios han sido constantes en 10 unidades, sólo las ventas de grabadoras pueden cambiar. La gerencia quisiera encontrar la ganancia marginal con respecto a y, es decir, el número de grabadoras vendidas. Recuerde que la ganancia marginal está dada por la derivada de la función de ganancias. Aquí x está fija en 10. Usando esa información, comenzamos por encontrar una nueva función f(y) = P(10,y).

Haga x = 10 para obtener f(y) = P(10,y) = 40(10)2-10(10)y + 5y2-80

f(y) = 3920 – 100y + 5y2

La función f(y) muestra la ganancia por la venta de y grabadoras, suponiendo que x está fija en 10 unidades. Encuentre la derivada df / dy para obtener la ganancia marginal con respecto a y

dfdy=−10+10 y

En este ejemplo, la derivada de la función f(y) se tomó sólo con respecto a y; supusimos que x estaba fija. Para generalizar, consideremos una función z de dos variables independientes x y y.

z = f(x,y)

31


Si y se mantiene constante, z es una función de x solamente, y se puede calcular la derivada de z con respecto a x. La derivada obtenida en esta forma es la derivada parcial de z con respecto a x y se designa por

∂ z∂ x

; ∂ f∂ x

; ∂ f (x , y )∂ x

; f x( x , y ) ; f x ; zxEn forma semejante, si x se mantiene constante, la derivada parcial con respecto a y puede ser calculada y se denota por

∂ z∂ y

; ∂ f∂ y

; ∂ f ( x , y )∂ y

; f y( x , y ) ; f y ; z y

En general, una función de cualquier número de variables puede tener una derivada parcial con respecto a cada una de sus variables.

1. Definición: Derivadas Parciales

En este momento somos capaces de derivar cualquier función de una sola variable independiente mediante las fórmulas y técnicas aprendidas en el módulo de Matemática para Administradores I, este mismo proceso se puede desarrollar para funciones de dos variables independientes, con algunas variaciones que analizaremos en los ejemplos.

Ahora daremos una definición formal para la derivada de las funciones de dos variables.

Definición: Derivada parcial de una función de dos variables

Sea z = f(x,y) una función de dos variables. Entonces la derivada parcial de f con respecto a x es

f x ( x , y )=limh→0

f ( x+h , y )−f ( x , y )h

;

la derivada parcial de f con respecto a y es

f y (x , y )= limh→ 0

f ( x , y+h )−f ( x , y )h

;

siempre que esos límites existan

Definiciones similares podrían darse para funciones de mas de dos variables independientes.

Las derivadas parciales pueden calcularse usando, en esencia, las mismas técnicas utilizadas en la evaluación de las derivadas ordinarias. Sólo debemos manejar cualquier variable como si fuera una constante, excepto aquella con respecto a la cual estamos derivando. Aparte de esto, la fórmula familiar de la potencia, las reglas del producto y el cociente y la regla de la cadena puede aplicarse en forma ordinaria.

Ejemplo 1: Sea f(x,y) = 4x2 – 9xy + 6y3 . Encontremos fx y fy .

Solución

32


Para encontrar fx , trate a y como una constante y a x como una variable. La derivada del primer término, 4x2 , es 8x. En el segundo término, -9xy, el coeficiente constante de x es –9y, por lo que la derivada con x como variable es –9y(1) = -9y. La derivada de 6y3 es cero ya que estamos tratando a y como una constante. Entonces,

fx = 8x – 9y

Ahora para encontrar fy , tratamos a y como variable y a x como constante. Como x es una constante, la derivada de 4x2 es cero. En el segundo término, el coeficiente de y es –9x y la derivada de –9xy es –9x(1) = -9x. La derivada del tercer término 6y3 es 18y2 . Entonces,

fy = -9x + 18y2

Ejemplo 2: Encontremos las derivadas parciales fx y fy si f ( x , y )=x2+2 xy2+2 y

3 x

Para simplificar el cálculo, escribimos la función como f ( x , y )=x2+2 xy2+2

3yx−1

Para calcular fx , considerar f como una función de x y derivar la suma término por término, tomando y como una constante, para obtener

f x ( x , y )=2x+2(1) y2+ 23y (−1 x−2 ) = 2x+2 y2−2

3yx−2 = 2 x+2 y2− 2 y

3x2

Para calcular fy , considerar f como una función de y y derivar f término por término, tomando x como una constante, para obtener

f y (x , y )=0+2x (2 y )+ 23(1) x−1 = 4x y+ 2

3x−1 = 4x y+ 2

3 x

Ejemplo 3: Encontremos las derivadas parciales

∂ z∂ x y

∂ z∂ y si z = (x2 + xy + y)5

SoluciónSi y se considera fija y se emplea la regla de la cadena para derivar z con respecto a x, se obtiene

∂ z∂ x=5( x2+xy+ y )4 [2 x+(1) y+0 ] = 5 (x2+xy+ y )4 (2 x+ y )

Si x se considera fija y se emplea la regla de la cadena para derivar z con respecto a y, se obtiene

∂ z∂ y=5( x2+xy+ y )4 [0+x (1)+1 ] = 5( x2+xy+ y )4 ( x+1 )

Ejemplo 4: Calculemos las derivadas parciales fx y fy si f ( x , y )=xe−2 xy

SoluciónComo podemos observar, los dos factores x y e-2xy contienen a la variable x por lo que en términos de x tenemos un producto de funciones y al calcular fx debemos aplicar la regla del producto,

f x ( x , y )=x [e−2xy(−2 y )]+(1)e−2 xy=¿−2 xy e−2xy+e−2 xy¿

Al derivar con respecto a y consideramos a x constante y no es necesario aplicar la regla del producto

f y (x , y )=x [e−2xy(−2 x(1))]=−2 x2e−2 xy

33


Ejemplo 5: Sea f(x,y) = ln(x2 + y). Encontremos fx y fy .

SoluciónEn este caso debemos aplicar la fórmula para la derivada de la función logaritmo natural,

si y = lnU, y '= 1

UD xU

. Al aplicar esta fórmula,

f x=1

( x2+ y )Dx ( x

2+ y )= 1

(x2+ y )(2x+0 )= 2 x

x2+ y y

f y=1

( x2+ y )D y( x

2+ y )= 1

( x2+ y )(0+1)= 1

x2+ y

El apropiarse de la noción de que una variable puede considerarse una constante es un poco confuso al inicio pero con la debida ejercitación llega a ser muy sencillo, por lo que, en este caso la recomendación es, hacer la mayor cantidad de ejercicios posibles para habituarnos a este proceso.

Como sabemos de Matemática para Administradores I, las derivada de una función es

una funcione, por lo tanto, la notación f x (a ,b ) o

∂ f∂ x(a ,b)

representa el valor de una derivada parcial cuando x = a y y = b como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6: Sea f(x,y) = 2x2 + 3xy3 +2y +5. Encontremos los siguientes valores.a) fx(1,2) b) fy(-4,-3)

a) Primero encontramos fx manteniendo a y constante.fx (x,y)= 4x + 3y3 Ahora hagamos x = -1 y y = 2fx(1,2) = 4(-1) + 3(2)3 = -4 + 24 = 20

b) Encontremos fy manteniendo a x constantefy (x,y)= 9xy2 + 2Ahora hagamos x = -4 y y = -3fy (-4,-3) = 9(-4)(-3)2 + 2 = 9(-36) + 2 = -322

Ejemplo 7: Sea f(x,y) = 3x3y3 – 9x2y + xy2 +4y. Encontremos los siguientes valores.a) fx(1,0) b) fy(1,0)

Solución

a) Primero derivemos f con respecto a x manteniendo y constantefx (x,y)= 9x2y3 – 18xy + y2

Ahora hagamos x = 1 y y = 0fx (1,0) = 9(1)2(0)3 – 18(1)(0) + (0)2 = 0

b) Encontremos ahora fy manteniendo a x como constante

34


fy (x,y) = 9x3y2 – 9x2 + 2xy + 4Ahora hagamos x = 1 y y = 0fx (1,0) = 9(1)3(0)2 – 9(1)2 + 2(1)(0) + 4 = -5 La derivada de una función de una variable evaluada en un punto, puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto. Con alguna modificación, lo mismo es cierto de las derivadas parciales de funciones de dos variables.


I. Encuentro las derivadas parciales de primer orden de las funciones dadas.

1) f ( x , y )=−x2 y+3xy+2xy 2 2) f ( x , y )=x

3+2 x2 y+xy

3) f ( x , y )=ln(2 x+3 y ) 4) f ( x , y )=exy

5) f ( x , y )=2xy 5+3 x2 y+x26) z=(3x+2 y )5

7) f (s ,t )=3 t

2 s 8) f ( x , y )=

e2−x

y2

9) z=xexy

10) f ( x , y )=2 x+3 y

y−x

11) z=u ln v 12) f ( x , y )=

ln( x+2 y

y2

13) z=3e2x−5 ln y+7 14) z=e2 x+3 y

15) z=(x+2 y3 )1/3 16) z=xexy

17) z=ln (ex+xy 3) 18) z= y

y−x II. Evalúo las derivadas parciales en los puntos indicados.

1) f ( x , y )=x2+xy2+5 y−10 ; a) fx(1,2) b) fy(1,2)

2) f ( x , y )=x3 y+7 x2 y2

; fx(1,-2)

3) g( x , y , z )=ex√ y+2 z ; gz(0,1,4)

4) f (r , s , t )=rst (r2+s3+t4 ) ; fs(1,-1,2)

5) f ( x , y )= 2

x− y ; a) fx(3,1) b) fy(3,1)

6) f ( x , y )=ln|2 x−x2 y|; a) fx(2,-1) b) fy(-4,3)

7) f ( x , y )=x2e2 xy

; a) fx(2,-1) b) fy(-4,3)

III. Calculo las derivadas parciales f x ( x , y ) y f y ( x , y ) en el punto dado po(xo , yo)

35


1) f ( x , y )=3x2−7 xy+5 y3−3( x+ y )−1 ; po(-2,1)

2) f ( x , y , z )=xe−2 y+ y e−x+xy2 ; po(0,0)

En las páginas 73-74, encontraré las respuestas a esta actividad, que me permitirán compararlas con las que obtuve al aplicar los conocimientos aprendidos y corregir mis errores.

2. Interpretación geométrica de las derivadas parciales

Las derivadas parciales de una función de dos variables pueden interpretarse geométricamente de la manera siguiente: para cada número fijo yo , los puntos (x,yo,z) forman un plano vertical cuya ecuación es y = yo .

Si z = f(x,y), y si y se mantiene fija en y = yo , entonces los puntos correspondientes (x,yo,f(x,yo)) forma una curva en el espacio tridimensional que es la intersección de la superficie z = f(x,y) con el plano y = yo .

En cada punto de esta curva, la derivada parcial

∂ z∂ x es simplemente la pendiente de la

recta en el plano y = yo que es tangente a la curva en el punto en cuestión. Es decir,

∂ z∂ x

es la pendiente de la tangente en la dirección de x (ver figura 1.11 y 1.12)

Figura 1.11 Figura 1.12

De modo similar, si x se mantiene fija en x = xo , los puntos correspondientes (xo,y,f(xo,y)) forman una curva que es la intersección de la superficie z = f(x,y) con el plano vertical

36


x = xo . En cada punto de esta curva, la derivada parcial

∂ z∂ y es la pendiente de la

tangente en el plano x = xo . Es decir ,

∂ z∂ y es la pendiente de la tangente en la dirección

de y (ver figura 1.13 y 1.14)


Esta definición indica que si z = f(x,y), entonces para calcular fx consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para obtener fy

consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y.

En las aplicaciones de las funciones de varias variables surge una pregunta: ¿Cómo será afectada la función por una variación de una de las variables independientes?. Podemos responder esta interrogante considerando cada vez una variable independiente. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento, un químico llevaría a cabo el experimento varias veces usando cantidades distintas de catalizador, pero manteniendo constantes otras variables, tales como la temperatura y la presión. Seguimos un procedimiento parecido para determinar la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes. Esto es, hacemos la derivada de f cada vez con respecto a una variable independiente, manteniendo constantes las demás. Este proceso se conoce como derivada parcial, y su resultado se refiere como la derivada parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

3. Aplicaciones de las derivadas parciales

a. Análisis marginal

En Economía, el término análisis marginal se refiere a la práctica de emplear una derivada para estimar el cambio producido en el valor de una función al aumentar 1 unidad en una de sus variables. Anteriormente se estudiaron ejercicios relacionados al análisis marginal pero con funciones de una variable independiente. Aquí presentaremos ejemplos que

37


ilustran el análisis marginal pero con funciones de dos variables. Como

∂ z∂ x es la derivada

de z con respecto a x cuando y permanece constante y una derivada es una razón de cambio, tenemos que

∂ z∂ x es la razón de cambio de z con respecto a x cuando y se mantiene constante.

De modo similar

∂ z∂ y es la razón de cambio de z con respecto a y cuando x se mantiene constante.

Ahora trataremos a partir de algunos ejemplos algunas aplicaciones donde el utilizar la derivada como una razón de cambio es de mucha utilidad.

Ejemplo 1.

Una farmacia vende dos tipos de multivitaminas, la marca A y la marca B. Las cifras de ventas indican que si la marca A se vende a x dólares el frasco y la marca B a y dólares el frasco, la demanda de la marca A será:

Q(x,y) = 300 – 20x2 + 30y frascos por mes.

Se estima que dentro de t meses el precio de la marca A será: x = 2 + 0.05t dólares por

frasco y el precio de la marca B será: y = 2 + 0.1√ t dólares por frasco. ¿A que razón cambiará la demanda de la marca A con respecto al tiempo dentro de 4 meses?

Solución: El objetivo consiste en hallar

dQdt cuando t = 4 . Aplicando la regla de la

cadena se obtiene

dQdt=∂Q∂ x

dxdt+∂Q∂ y

dydt

dQdt = -40x (0.05) + 30(0.05 t-1/2)

Cuando t = 4, x = 2 + 0.05(4) = 2.2 y por lo tanto

dQdt = -40(2.2)(0.05) + 30(0.05)(0.5) = -3.65

Es decir, dentro de 4 meses la demanda mensual de la marca A decrecerá a la razón de 3.65 frascos por mes.

Ejemplo 2.

38


Se estima que la producción semanal en cierta planta está dada por la función

Q(x,y) = 1,200x + 500y + x2y – x3 – y2 unidades, donde x es el número de trabajadores calificados y y es el número de trabajadores no calificados empleados en la planta. En la actualidad, la fuerza laboral está conformada por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Aplicar el análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción semanal al adicionar un trabajador calificado, si no cambia el número de trabajadores no calificados.

Solución:

La derivada parcial

∂Q( x , y )∂ x = 1,200 + 2xy –3x2 es la razón de cambio de la producción

con respecto al número de trabajadores calificados. Para cualesquiera valores de x y y , ésta es una aproximación de la cantidad de unidades adicionales producidas cada semana si el número de trabajadores calificados aumenta de x a x + 1, mientras que el número de trabajadores no calificados se mantiene fijo en y. En particular, si la fuerza laboral aumenta de 30 trabajadores calificados a 31 trabajadores calificados y la cantidad de trabajadores no calificados permanece constante (60), el cambio resultante en la producción es aproximadamente.

∂Q(30 ,60 )∂ x = 1,200 + 2(30)(60) – 3(30)2 = 2,100 unidades

La producción aumenta en 2,100 unidades al aumentar el número de trabajadores calificados de 30 a 31, manteniendo el número de trabajadores no calificados constantes (60).

b. Costos marginales

Supongamos que un fabricante produce x unidades del producto X y y unidades del producto Y. Entonces el Costo Total C de esas unidades es una función de x y de y y se llama función de costos conjuntos.

Si representamos la función de costos conjuntos por C(x,y), entonces ∂C /∂ x se llama costo marginal (parcial) con respecto a x, y representa la razón de cambio de C con

respecto a x cuando y se mantiene fija. De la misma forma ∂C /∂ y representa el costo marginal (parcial) con respecto a y y es la razón de cambio de C con respecto a y cuando x se mantiene fija.

Ejemplo 1.

39


Una empresa fabrica dos tipos de equipos para escalar, los modelos Alpine y Climb. Suponga que la función de costos conjuntos de producir x unidades del modelo Alpine y y unidades del modelo Climb por semana es

C(x,y) = 0.06x2 + 65x + 75y + 1000

Donde C está expresado en dólares. Determine los costos marginales ∂C /∂ x y ∂C /∂ ycuando x = 100 y y = 50 e interprete los resultados

Solución: Los costos marginales son

∂C /∂ x = 0.12x + 65 y ∂C /∂ y = 75

∂C (100 ,50 )∂ x = 0.12(100) + 65 = 77

Este resultado nos indica que al aumentar la producción del modelo Alpine de 100 a 101 mientras se mantiene en 50 la producción del Climb, aumentan los costos aproximadamente en $77

∂C (100 ,50 )∂ y = 75

Esto quiere decir que al aumentar la producción del modelo Climb de 50 a 51 mientras se mantiene en 100 la producción del modelo Alpine, los costos aumentan aproximadamente

en $75. De hecho, como ∂C /∂ yes una función constante, el costo marginal con respecto a y es de $75 en todos los niveles de producción .

Ejemplo 2. Si la función de costos conjuntos de producir las cantidades x y y de dos artículos A y B es

C(x,y) = 15 + 2x2 + xy + 5y2

Donde C está expresado en dólares. Determine los costos marginales ∂C /∂ x y ∂C /∂ ycuando x = 3 y y = 6 e interprete los resultados

Solución:

∂C /∂ x = 4x + y costo marginal con respecto a x

∂C /∂ y = x + 10y costo marginal con respecto a y

∂C (3,6)∂ x = 4(3) + 6 = 18

Este resultado nos indica que al aumentar la producción del artículo A de 3 a 4 mientras se mantiene en 6 la producción del artículo B, aumentan los costos aproximadamente en $18

40


∂C (3,6)∂ y = (3) + 10(6) = 63

Esto quiere decir que al aumentar la producción del artículo B de 6 a 7 mientras se mantiene en 3 la producción del artículo A, los costos aumentan aproximadamente en $63.

c. Productividad marginal

La producción total de un determinado producto en una empresa depende de un gran número de factores, los cuales la empresa tiene flexibilidad de modificar. Los dos factores más importantes son la cantidad de mano de obra empleada por la empresa y el monto del capital invertido en edificios, maquinaria etc.

Denotemos con L el número de unidades de mano de obra empleadas por la empresa(en horas hombre por año o en dólares por año gastados en salarios) y sea K el monto del capital invertido en la planta productiva por la empresa. Entonces la producción total Q (número de unidades del producto de la empresa producidos en un mes) es función de L y K, y lo denotamos como Q = f(L,K) o Q(L,K). Esta función se conoce como función de producción de la empresa y las variables L y K son factores insumo de producción (variables que afectan el nivel de producción).

En ciertos casos, los cambios en K y L no son independientes entre sí. Por ejemplo, si la empresa compra una máquina extra, también debe contratar mano de obra adicional con el objeto de operarla. Por otra parte, K y L a menudo son variables independientes en el contexto de la estrategia de producción básica de la empresa. Por ejemplo, la empresa puede elegir invertir una gran cantidad de capital en una planta altamente automatizada y de esta manera emplear relativamente poca mano de obra o, por otro lado, puede decidir utilizar mano de obra menos sofisticada y más mano de obra. En general K y L pueden considerarse como variables independientes.

Definimos la productividad marginal de la mano de obra como ∂Q /∂L , la derivada parcial de la función de producción con respecto a L, que mide el incremento en la producción por incremento unitario en la cantidad de mano de obra empleada cuando el capital invertido K se mantiene fijo.

De forma análoga se define la productividad marginal del capital como ∂Q /∂K , la derivada parcial de la función de producción con respecto a K que mide el incremento en

41


la producción por incremento unitario en el capital invertido cuando la mano de obra se mantiene fija.

Ejemplo 1.

La función de producción de cierta empresa está dada por

Q = 5L + 2L2 + 3LK + 8K + 3K2

en donde L es el insumo de mano de obra medido en miles de horas-hombre por semana, K es el monto de capital invertido medido en miles de dólares por semana y Q es la producción semanal en miles de artículos. Determine las productividades marginales cuando L = 5 y K = 12 e interprete los resultados.

Solución: las productividades marginales son

∂Q∂L = 5 + 4L + 3K y

∂Q∂K = 3L + 8 + 6K

Cuando L = 5 y K = 12

∂Q∂L = 5 + 4(5) + 3(12) = 61

∂Q∂K = 3(5) + 8 + 6(12) = 95

Esto significa que si se emplean 5,000 horas-hombre por semana y el monto del capital invertido es de $12,000 a la semana, entonces la producción Q se incrementa en 6,100 artículos a la semana por cada 1,000 horas-hombre adicionales de mano de obra empleada cuando K se mantiene fija, y la producción se incrementa en 9,500 artículos por semana cada $1,000 adicionales de incremento en el monto semanal del capital invertido cuando L se mantiene fijo.

Ejemplo 2

El fabricante de un juguete popular ha determinado que su función de producción es Q =

√LK , donde L es el número de horas de trabajo por semana y K el capital (expresado en cientos de dólares por semana) requerido para una producción semanal de Q gruesas de juguetes (una gruesa son 144 unidades). Determinar las funciones de productividad marginal y evaluarlas cuando L = 400 y K = 16. Interprete los resultados.

Solución: Q = (L K)1/2

42


∂Q∂L =

12(LK )−1/2K= k

2√LK y

∂Q∂K=1

2(LK )−1/2L= L

2√LK

Si evaluamos las derivadas cuando L = 400 y K = 16, obtenemos

∂Q∂L =

162√400(16)

= 110

∂Q∂K =

4002√400(16)

=52

Esto significa que si L = 400 y K = 16, al incrementar el número de horas de trabajo por semana de 400 a 401 manteniendo el capital en $1,600, la producción aumentara aproximadamente en 1/10 de gruesa. De la misma forma si el capital se incrementa de $1,600 a $1,700 y se mantiene el número de horas de trabajo por semana en 400 la producción se incrementará aproximadamente en 5/2 gruesas.

d. Demanda marginal

Anteriormente consideramos un modelo muy simple para la demanda de un artículo la cual dependía sólo del precio por unidad del artículo. En la realidad, esto no es cierto porque la demanda de un articulo puede ser afectada por el precio de otro artículo relacionado. Por ejemplo: las cámaras y las películas fotográficas, la mantequilla y la margarina o el filete de res y el de cerdo, en este último caso podemos fácilmente percibir que la demanda del filete de res no depende solamente del precio de la libra de filete sino del precio de la libra del filete de cerdo. Cualquier cambio en el precio en la carne de cerdo afectará la demanda de la carne de res y viceversa, dado que algunos consumidores estarán dispuestos a cambiar de un producto a otro.

Si este tipo de relación existe entre dos productos A y B, la demanda de cada producto depende del precio de ambos. Supongamos que qA y qB son las cantidades demandadas de A y B, respectivamente, y que pA y pB son sus respectivos precios. Entonces qA y qB

son funciones de pA y pB:

qA = f(pA , pB), función de demanda para A.

qB = g(pA , pB), función de demanda para B.

Para estas funciones podemos encontrar cuatro derivadas parciales

43


1)

∂ q A∂ pA demanda marginal de A con respecto a pA

Mide la cantidad en que varía la demanda de A cuando se da un incremento en precio unitario de A

2)

∂ qA∂ pB demanda marginal de A con respecto a pB

Mide la cantidad en que varía la demanda de A cuando se da un incremento en precio unitario de B

3)

∂qB∂ pA demanda marginal de B con respecto a pA

Mide la cantidad en que varía la demanda de B cuando se da un incremento en precio unitario de A

4)

∂ qB∂ pB demanda marginal de B con respecto a pB

Mide la cantidad en que varía la demanda de B cuando se da un incremento en precio unitario de B

Si el precio del artículo B se mantiene fijo, entonces , en general, un incremento en el precio de A dará como resultado una disminución en la demanda xA de A. En otras

palabras ∂ xA /∂ pA < 0. En forma análoga un incremento en el precio de B dará como

resultado una disminución en la demanda xB de B o sea ∂ xB /∂ pB < 0.

Las otras dos derivadas parciales ∂ xA /∂ pB y ∂ xB /∂ pA pueden ser positivas o negativas, dependiendo de la interacción particular entre los productos.

Por ejemplo suponga que los dos artículos son mantequilla(A) y margarina(B). Un incremento en el precio de la mantequilla da como resultado un incremento en la demanda de margarina cuando el precio de la margarina permanece sin cambio, debido a que algunos consumidores estarán dispuestos a cambiar de mantequilla a margarina. Así ∂ xB /∂ pA > 0. De forma similar si, si el precio de la mantequilla permanece sin cambio, un incremento en el precio de la margarina da como resultado un incremento en la demanda

de mantequilla, esto es ∂ xA /∂ pB > 0

Por lo tanto

Si

∂qB∂ pA > 0 y

∂ qA∂ pB > 0

Los artículos A y B se dice que son competitivos o sustitutos entre si

44


Consideremos una situación diferente para dos productos A y B, en este caso un incremento en el precio de B causa una disminución en la demanda de A si el precio de A

no cambia ∂ xA /∂ pB < 0. Similarmente, un incremento en el precio de A causa una

disminución en la demanda de B cuando el precio de B se mantiene fijo ∂ xB /∂ pA < 0 en este caso

Si

∂qB∂ pA < 0 y

∂ qA∂ pB < 0

Los artículos A y B se dice que son complementarios entre si

En otro caso si

∂qB∂ pA y

∂ qA∂ pB tiene signos opuestos, los artículos no son sustitutos ni

complementarios, en este caso, una disminución en el precio de uno de los artículos corresponde a aumentos en las cantidades demandadas de ambos bienes, en tanto que una disminución en el precio del otro artículo corresponde a un incremento en la cantidad demandada de uno y a una disminución en la del otro. Esto se da y podría deberse a la calidad del material de los productos u otras razones.

Ejemplo 1.

Las funciones de demanda para los productos A y B son cada uno una función de los precios de A y B y están dadas por

q A=50 3√ pB√ pA y

qB=75 pA

3√ pB2respectivamente. Encuentre las cuatro funciones de demanda marginal y determine también si A y B son productos competitivos, productos complementarios o ni uno ni otro.

Solución: Si hacemos q A=50 pA−1/2 pB

1/3 y qB=75 pA pB

−2/3, entonces

∂ q A∂ pA =

50(−12 ) pA−3 /2 pB

1/3=−25 pA−3 /2 pB

1 /3

∂ qA∂ pB =

50 pA−1/2( 13 ) pB−2 /3=50

3pA−1/2 pB

−2 /3

∂qB∂ pA = 75(1 ) pB

−2/3=75 pB−2/3

∂ qB∂ pB =

75 pA(−23 ) pB−5 /3=−50 pA pB

−5/3

Ya que pA y pB representan pecios, ambas son positivas. Por lo tanto ∂ xB /∂ pA > 0 y ∂ xA /∂ pB > 0. Concluimos que A y B son productos competitivos

45


Ejemplo 2

Las demandas xA y xB para los productos A y B están dadas por las funciones

xA=300+5 pB−7 pA2

y xB=250−9 pB+2 pAen donde pA y pB son los precios unitarios de A y B, respectivamente. Determine las cuatro funciones de demanda marginal e investigue si los productos A y B son competitivos o complementarios entre si.

Solución:

∂ xA∂ pA = -14pA ;

∂ xA∂ pB = 5 ;

∂ xB∂ pA = 2 ;

∂ xB∂ pB = -9

Ya que ∂ xB /∂ pA > 0 y ∂ xA /∂ pB > 0 los productos A y B son competitivos

e. Elasticidades parciales de la demanda

Considere la función de demanda del producto A: xA = f(pA,pB) en donde pA es le precio por unidad de A y pB es el precio unitario del producto relacionado B. Entonces el precio de la elasticidad de la demanda de A se define por

Precio de la elasticidad de la demanda de A se define por

η pB=

∂ xA /∂ pBxA / pB

=pBxA

∂ x A∂ pB

La elasticidad de la demanda cruzada de A con respecto a pB se define por

Elasticidad de la demanda cruzada de A con respecto a pB

η pB=∂ xA /∂ pBxA / pB

=pBxA

∂ x A∂ pB

Aquí, PA puede interpretarse como la razón del cambio porcentual de la demanda A al cambio porcentual en el precio de A cuando el precio de B permanece fijo. En forma análoga, PB pude interpretarse como la razón de cambio porcentual de la demanda de A al cambio porcentual en el precio de B cuando el precio de A se mantiene fijo.

Ejemplo 1.

La función de demanda del producto A está dada por xA=250+0 .3 pB−5 p A2

Determine PA y PB cuando pA = 6 y pB = 50

Solución:

46


∂ xA∂ pA = -10pA y

∂ xA∂ pB = 0.3

Si pA = 6 y pB = 50, resulta que xA = 250 + 0.3(50) – 5(6)2 = 85

∂ xA∂ pA = -10(6) = -60 y

∂ xA∂ pB = 0.3

Ahora sustituyendo los valores encontrados tenemos

η pA=∂ xA /∂ pAxA / pA

= −60(85/6 )

≈−4 . 24

y η pB=

∂ xA /∂ pBxA / pB

= 0 .3(85 /50 )

≈0 .176

Por lo tanto, podemos decir que un incremento aproximado del 1% en el precio de A provocara una caída del 4.24% en la demanda de este producto, mientras que un incremento del 1% en el precio de B da como resultado un aumento del 0.176 en la demanda de A


1) Para las funciones de costos conjuntos, encuentro el costo marginal indicado al nivel de producción dadoa) C(c,y) = 4x + 0.3y2 + 2y + 500 ; C/y , x = 20, y = 30

b) C(x,y) = x √x+ y + 1000 ; C/x , x = 40, y = 60c) C(c,y) = 0.03(x+y)3 –0.6(x+y)2 + 4.5(x+y) + 7,700 ; C/x , x = 50, y = 50

2) Para las funciones de producción siguientes P(L,K), determino las producciones marginales para los valores de L y Ka) P(L,K) = 7L + 5K + 2LK – L3 – 2K2 ; L = 3 , K = 10b) P(L,K) = 18L – 5L2 + 3LK + 7K – K2 ; L = 4 , K = 8c) P(L,K) = 50L + 3L2 - 4L3 + 2LK2 – 3L2 K – 2K3 ; L = 2 , K = 5d) P(L,K) = 25L + 2L2 - 3L3 + 5LK2 – 7L2 K + 2K2 – K3 ; L = 3 , K = 10e) P(L,K) = 100L0.3 K0.7 f) P(L,K) = 250L0.6 K0.4 g) P(L,K) = 25 + 1/L – 1/K ; L = 1 , K = 1

3) En los siguientes ejercicios qA y qB son funciones de demanda para productos A y B

respectivamente. En cada caso encuentro

∂ q A∂ pA ,

∂ qA∂ pB ,

∂qB∂ pA ,

∂ qB∂ pB y determino si A

y B son competitivos, complementarios o ni uno ni otro.

47


a) qA = 1000 – 5pA + 2pB ; qB = 500 + 4pA - 20pB b) qA = 20 – pA - 2pB ; qB = 50 - 2pA - 3pB

c) qA =

100p A√ pB ; qB =

500

pB3√ p A

d) qA = 20 – 3pA + pB ; qB = 30 + 2pA - 5pB

e) qA =

30√ pB3√ pA2 ; qB =

50 pA3√ pB

4) Para las funciones de demanda siguientes del producto A, determino PA y PB en los niveles de precio dados para los dos productos relacionados A Y B.

a) xA=250+0 .3 pB−5 p A2

; pA = 5 y pB = 40

b) x A=60 pB /√ p A ; pA = 9 y pB = 2

Busco mis aciertos o desaciertos en la página 74 de las respuestas a esta actividad y me retroalimento.

4. Derivadas parciales de orden superior

En general, las derivadas parciales de una función z = f(x,y) son funciones de x y de y, por lo tanto, pueden diferenciarse nuevamente con respecto a x o con respecto a y; (y en general todas las de orden superior) estas derivadas, si existen, reciben el nombre de derivadas parciales de segundo orden de z. Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación. Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada parcial segunda de z = f(x,y).

1. Derivar dos veces respecto de x:

∂∂ x ( ∂ z∂ x )=∂

2 z∂ x2

=z xx=∂2 f∂ x2

=f xx

2. Derivar dos veces respecto de y:

∂∂ y ( ∂ z∂ y )= ∂

2 z∂ y2

=z yy=∂2 f∂ y2

=f yy

3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

48


∂∂ y (∂ z∂ x )= ∂2 z

∂ y∂ x=z yx=

∂2 f∂ y ∂ x

=f yx

4. Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

∂∂ x ( ∂ z∂ y )= ∂2 z

∂ x ∂ y=z xy=

∂2 f∂ x ∂ y

=f xy

También es posible encontrar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen.

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales mixtas o cruzadas. Se debe observar que hay tipos de notación para las derivadas parciales mixtas, según convenio se utilice para indicar el orden de derivación.

∂∂ y (∂ z∂ x )= ∂2 z

∂ y∂ x Orden de derecha a izquierda indica que la primera derivación es con

respecto a x, y la segunda derivación con respecto a y

(fy)x = fyx Orden de izquierda a derecha indica que la primera derivación es con respecto a y, y la segunda derivación con respecto a x Estas derivadas a su vez pueden seguir derivándose generando derivadas de mayor orden, lo cual se representa con la notación indicada según sea el caso de que se derive con respecto a x, y u otra variable, sin embargo rara vez se calculan.

Ejemplo 1. Calculemos todas las derivadas parciales de segundo orden de

f(x,y) = 3xy2 –2y +5x2y2 y calcula r el valor de fxy(-1,2)

Solución: Primero debemos calcular las primeras derivadas parciales con respecto a x y a y

fx (x,y) = 3y2 +10xy2 y fy (x,y) = 6xy –2 + 10x2y

Ahora derivemos cada una de estas derivadas con respecto a x y y

fxx (x,y) = 10y2 y fyy (x,y) = 6x + 10x2

fxy (x,y) = 6y + 20xy y fyx (x,y) = 6y + 20xy

Finalmente fxy (-1,2) = 12 – 40 = -28

Ejemplo 2. Obtengamos las segundas derivadas parciales de f para

f(x,y) = x3y2 –2x2y + 3x y calcular el valor de fxy(2,3)

Solución: Calculemos primero fx y fy

fx (x,y) = 3x2y2 – 4xy + 3 y fy (x,y) = 2x3y –2x2

49



∂∂ x

f x ( x , y )= fxx (x,y) = 6xy2 – 4y ;

∂∂ y

f x( x , y )= fyx (x,y) = 6x2y – 4x

∂∂ x

f y (x , y )= fxy (x,y) = 6x2y – 4x ;

∂∂ y

f y ( x , y )= fyy (x,y) = 2x3

Finalmente fxy (2,3) = 72 – 8 = 64

Ejemplo 3 Encontremos todas las derivadas parciales de segundo orden para

f(x,y) = -4x3 – 3x2y3 +2y2


fx (x,y) = -12x2y2 – 6xy3 y fy (x,y) = -9x2y2 + 4y

Ahora derivemos las funciones resultantes con respecto a x y y

∂∂ x

f x ( x , y )= fxx (x,y) = -24x – 6y3 ;

∂∂ y

f x( x , y )= fyx (x,y) = -18xy2

∂∂ x

f y (x , y )= fxy (x,y) = -18xy2 ;

∂∂ y

f y ( x , y )= fyy (x,y) = -18x2y + 4

Ejemplo 4. Obtengamos las segundas derivadas parciales de f para

f(x,y) = 2y ex + 9x2y3


fx (x,y) = 2y ex + 18xy3 y fy (x,y) = 2 ex + 27x2y2


∂∂ x

f x ( x , y )= fxx (x,y) =2y ex + 18y3 ;

∂∂ y

f x( x , y )= fyx (x,y) =2 ex + 54xy2

∂∂ x

f y (x , y )=

fxy (x,y) = 2 ex + 54xy2 ;

∂∂ y

f y ( x , y )= fyy (x,y) = 54x2y

Ejemplo 5. Sea f(x,y,z) = xy2z + 2z2y – 4xz2 Encontremos: fx , fy , fz , fxy y fyz

Solución:

fx (x,y,z) = y2z + 4xy –4z2 ; fy (x,y,z) = 2xyz + 2x2 ; fz (x,y,z) = xy2 – 8xz

Para encontrar fxy derivemos fx con respecto a y

fxy = 2yz + 4x

de la misma manera, derivemos fy con respecto a z para obtener

fyz = 2xy

50


Ejemplo 6. Sea f(x,y,z) = (2x + 3y + 4z)3 Encontremos: fxyz

Solución:

∂∂ x

f ( x , y , z )= 3(2x + 3y + 4z)2 .

∂∂ x

(2x + 3y + 4z)

∂∂ x

f ( x , y , z )= 6(2x + 3y + 4z)2

∂2

∂ y ∂ xf ( x , y , z )=

12(2x + 3y + 4z) .

∂∂ y

(2x + 3y + 4z)

∂2

∂ y ∂ xf ( x , y , z )=

36(2x + 3y + 4z)

∂3

∂ z ∂ y ∂ xf ( x , y , z )=

36(4) = 144


1) Encuentro las derivadas parciales indicadas

a) f(x,y) = 4x3y ; fx (x,y) , fxy(x,y) b) f(x,y) = 4e2xy ; fy (x,y) , fyx(x,y)

2) Encuentro todas las segundas derivadas parciales

a) f(x,y) = 5x4y3 +2xy b) f(x,y) = ex2 y

3) Demuestro que

a) f(x,y) = xe−y2

b) z = x2 – 2xy + 3y2 c) z = x3 + 3x2y

4) Para las siguientes funciones encuentro:

∂2 z∂ x2

,∂2 z∂ y2

, ∂2 z∂ y ∂ x

a) z = x4 + y4 + 3x2y3 b) z = xy + ln(x+y) c) z = x5y-1/2 d) z = y exy

51


e) z =

xx+ y f) z =

xyx− y

Verifico mis aprendizajes en las páginas 74-75.

5. Regla de la cadena para funciones de varias variables

En muchas situaciones prácticas, una cantidad específica se presenta como una función de dos o más variables, cada una de las cuales puede considerarse como una función de otra variable. En este caso, el objetivo consiste en hallar la razón de cambio de la cantidad con respecto a esta variable

Recordemos el caso para funciones de una sola variable independiente. Si y es una función de u, y u es una función de x, entonces y puede considerarse como una función de x y la razón de cambio de y con respecto a x está dada por la regla de la cadena.

dydx=dydu⋅dudx

Esto nos proporciona la base para la extensión de la regla de la cadena para funciones de dos variables independientes.

a. Regla de la cadena

Sea z = F(x,y) donde x y y son funciones de r y s dadas por x = f(r,s) y y = g(r,s). Si

F, f y g tiene derivadas parciales continuas, entonces z es una función de r y s

y

∂ z∂r=∂ z∂ x∂ x∂ r+ ∂ z∂ y∂ y∂r y

∂ z∂ s=∂ z∂ x∂ x∂ s+ ∂ z∂ y∂ y∂ s

En la regla de la cadena, el número de variables intermedias de z (dos) es el mismo que el número de términos que componen cada una de las derivadas parciales.

Esta regla se puede extender a funciones de tres o más variables

Ejemplo 1.

52


Sean z = 4x – y2 , x = uv2 e y = u3v. Hallemos

∂ z∂u

y ∂ z∂v

Solución: Aunque resulte un poco extenso, cuando apliquemos la regla de la cadena para funciones de varias variables resulta útil calcular cada uno de los elementos por separado y posteriormente unirlos en el orden en que lo indica la fórmula.

Con el tiempo y la práctica será muy sencillo que abandonemos éste procedimiento y derivemos de forma directa

∂ z∂ x = 4 ,

∂ z∂ y = -2y ,

∂ x∂u = v2 ,

∂ y∂u = 3u2v ,

∂ x∂ v = 2uv ,

∂ y∂v = u3

Apliquemos la regla de la cadena

∂ z∂u =

∂ z∂ x∂ x∂u +

∂ z∂ y∂ y∂u

= (4)(v2) + (-2y)(3u2v) = 4v2 –2(u3v)(3u2v) = 4v2 – 6u5v2

∂ z∂ v =

∂ z∂ x∂ x∂ v +

∂ z∂ y

∂ y∂v

= (4)(2uv) + (-2y)(u3) = 8uv –2(u3v)u3 = 8uv – 2u6v

Ejemplo 2.

Sean w=r2+sv+ t2 y r=x

2+ y2+z2 , s=xyz , v=xe y y t= yz2 . Usemos la

regla de la cadena para encontrar

∂w∂ z .

Solución: Observemos que w es función de r, s, v , t y que cada una de estas variables es a su vez función de x , y y z, por lo tanto:

∂w∂ z=∂w∂r∂r∂ z+∂w∂ s∂ s∂ z+∂w∂ v∂ v∂ z+∂w∂ t∂ t∂ z

∂w∂ z=(2 r )(2 z )+v ( xy )+s(0 )+(3 t2)(2 yz )

53


∂w∂ z=4 z ( x2+ y2+z2)+xe y ( xy )+0+3( yz2 )2(2 yz )

∂w∂ z=4 z ( x2+ y2+z2)+x2 ye y+6 y3 z5

b. Derivada total

Consideremos ahora el caso en que z = F(x,y) tal que x = f(t) y y = g(t) siendo f y g funciones derivables de t, entonces z es también una función derivable de t y por la regla de la cadena.

dzdt=∂ z∂ x⋅dxdt+ ∂ z∂ y⋅dydt

Aquí utilizamos el símbolo

dzdt en vez de

∂ z∂ t ya que z puede considerarse como una

función de una variable al igual que f y g, por esta razón esta derivada recibe el nombre particular de Deriva Total.

Recordemos que la derivada total es un caso particular de la regla de la cadena para funciones de varias variables y que por lo tanto también es posible extenderlo a funciones de más de dos variables independientes.

Ejemplo 1. Si z = x2 + y2 , x = 1/t , y = t2 . Hallemos dz/dt

Solución:

Tenemos que

∂ z∂ x = 2x ,

∂ z∂ y = 2y ,

dxdt =-t-2 ,

dydt = 2t

Aplicando la regla de la cadena

dzdt =

∂ z∂ x

dxdt +

∂ z∂ y

dydt

54


= (2x)(-t-2) + (2y)(2t)

= 2(t-1)(-t-2) + 2(t2)(2t)

= -2t-3 + 4t3

Ejemplo2. Sean w = x2 + yz y x = 3t2 + 1, y = 2t – 4, z = t3 encontremos dw/dt.

Solución:

dwdt=∂w∂ x⋅dxdt+∂w∂ y⋅dydt+∂w∂ z⋅dzdt

dwdt = (2x)(6t) + z(2) + y(3t2)

dwdt = 2(3t2 +1)6t + t3(2) + (2t – 4)3t2

dwdt = 44t3 – 12t2 + 12t

Este ejercicio podría resolverse sin utilizar la regla de la cadena, si sustituimos a las variables x, y y z por los valores funcionales definidos para cada una de ellas de tal forma que w se exprese como una función de t y aplicando las reglas para derivar funciones de una sola variable independiente.

w = (3t2 +1)2 + (2t –4)t3

El resultado debe ser el mismo que obtuvimos aplicando la regla de la cadena.

Ejemplo 3. Encontremos

dzdt si z = x2 + 3xy +1 , x = 2t y y = t2

Solución: Por la regla de la cadena

dzdt=∂ z∂ x

dxdt+ ∂ z∂ y

dydt

dzdt = (2x + 3y)(2) + 3x(2t)

lo que podemos escribirse en términos de t , sustituyendo x = 2t + 1 y y = t2 para obtener

dzdt = 4(2t + 1) + 6t2 + 3(2t + 1)(2t) = 18t2 + 14t +4

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c. Diferencial total

Al estudiar las funciones de una sola variable independiente, se utilizó la diferencial de una función para aproximar el cambio resultante en la función a partir de un cambio pequeño en su variable independiente. En particular se analizó que si y es una función de x, y = f(x) podíamos definir el diferencial de y como dy = f ’(x) dx .

Esta terminología se puede extender para una función de dos variables dada por z= f(x,y), en donde llamamos x y y a las variaciones (incrementos o decrementos) de x y de y , y el incremento de z viene dado por z = f(x + x, y + y) – f(x,y) y el diferencial de z se define como: Diferencial Total.

Diferencial Total

Si z = f(x,y) y x , y son incrementos de x y de y, entonces las diferenciales de la variables independientes x e y son dx = x y dy = y y la diferencial total de la variable dependiente z es:

dz= ∂ z∂ x

dx+ ∂ z∂ y

dy=f x( x , y )dx+ f y( x , y )dy

Esta definición puede extenderse a funciones de tres o más variables

Ejemplo 1. Encontremos el diferencial total de la siguiente función f(x,y) = x2 ln(3y2 –2x)

Solución: df=∂ f

∂ xdx+ ∂ f

∂ ydy

df=[2 x ln(3 y2−2 x )+x2 −2

3 y2−2 x ]dx+[x2 6 y

3 y2−2 x ] dydf=[2 x ln(3 y2−2 x )− 2x2

3 y2−2x ]dx+[ 6 x2 y3 y2−2 x ]dy

Ejemplo 2. Calculemos el diferencial total de la siguiente función

f(x,y,z) = 2x3 +5y4 – 6z

Solución:

df=∂ f∂ x

dx+ ∂ f∂ y

dy+∂ f∂ z

dz

df=6 x2dx+20 y3dy−6 dz

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Ejemplo 3.

En una cierta fábrica la producción diaria es Q = 60 K1/2 L1/3 unidades, donde K designa el capital invertido (en miles de dólares) y L la fuerza laboral (en horas de trabajo). En la actualidad el capital invertido es de $900,000 y se emplean cada día 1,000 horas de trabajo. Estimemos la variación de la producción que resultará de aumentar la inversión e $1,000 y disminuir en 2 el número de horas de trabajo.

Solución:

La variación de la producción se puede calcular de forma aproximada por el diferencial total dQ.

Tenemos que K = 900 , L = 1,000 , dK = K = 1 y dL = L = -2 , la diferencial total de Q(x,y) es

dQ=∂Q∂ K

dK+∂Q∂ L

dL

= 60(1/2)K-1/2 L1/3 dK + 60(1/3)K1/2 L-2/3 dL

= 30 K-1/2 L1/3 dK + 20 K1/2 L-2/3 dL

Sustituimos ahora el valor de cada variable en la expresión resultante

dQ = 30(900)-1/2 (1,000)1/3 (1) + 20 (900)1/2 (1,000)-2/3 (-2) = -2

Esto significa que la producción disminuye en dos unidades cuando se aumenta la inversión en $1,000 y se quitan dos horas de trabajo.

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Regla de la cadena

1) Utilizo la regla de la cadena para encontrar ∂w /∂ r y ∂w /∂ s

a) ∂w /∂ r y ∂w /∂ s si w = u2 + 2uv, u = r lns, v = 2r + s

b) ∂ z /∂ x y ∂ z /∂ y si z = r3 + s + v2, r = xey , s = yex , v = x2y

c) ∂ r /∂u , ∂ r /∂ v y ∂r /∂ t si r = x lny , x = 3u + vt , y = uvt

Derivada total

2) Encuentro dz/dt aplicando la regla de la cadena si:

f(x,y) = (4 + y2)x , x = e2 t e y = e3 t

3) Si z = 3x2 – y2 , x = 2s + 7t , y y = 5st calculo

∂ z∂ t y las expreso en términos de las

variables s y t

Diferencial total

4) Hallo la diferencial total de cada una de las funciones siguientes

a) f(x,y) = 5x2y3 b) f(x,y) = y/x c) f(x,y) = yex

d) f(x,y,z) = 3x3 – 2y2 + 5z

5) En una tienda de alimentos se venden dos tipos de zumo de naranja envasado. La utilidad semanal es P(x,y) = (x – 30)(70 – 5x + 4y) + (y – 40)(80 + 6x – 7y) dólares, donde x es el precio en centavos de cada envase de la primera marca e y el de la segunda. El precio actual de la primera marca es 50 centavo por envase y el de la segunda 52. Utilizo la diferencial total para estimar la variación del beneficio semanal si se suben los precios en 1 y 2 centavos respectivamente.

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Busco mis aciertos o desaciertos en la página 75 y me retroalimento.

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C. OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

DE VARIAS VARIABLES

Una de las aplicaciones más importantes del cálculo es la localización y evaluación de los máximos y mínimos de funciones. Anteriormente estudiamos el cálculo y las aplicaciones de los máximos y mínimos de funciones de una sola variable independiente. Ahora nos interesan los máximos y mínimos particularmente de funciones de dos variables independientes.

1. Definición de extremos relativos de funciones con dos variables

Máximo Relativo

La función f(x,y) tiene un máximo relativo en el punto (xo,yo) si f(x,y) < f(xo,yo) para todos los puntos (x,y) lo suficientemente cercanos a (xo,yo), con excepción de (xo,yo) mismo.

Mínimo Relativo

La función f(x,y) tiene un mínimo relativo en el punto (xo,yo) si f(x,y) > f(xo,yo) para todos los puntos (x,y) lo suficientemente cercanos a (xo,yo), con excepción de (xo,yo) mismo.

El valor correspondiente de f(xo,yo) se denomina el valor máximo local (o valor mínimo local, según el caso) de la función f. El término extremo abarca tanto a máximos como a mínimos (ver figuras 1.15 y 1.16).

Máximo relativo Mínimo relativo

60



La gráfica de una función de dos variables puede tener múltiples extremos relativos como lo muestra la figura 1.17

Figura 1.17

Recordemos que para localizar los extremos relativos de una función y = f(x) de una variable, examinamos aquellos valores de x en el dominio de f para los cuales f’(x) = 0 ó f’(x) no existe. Para funciones de dos (o más) variables, se sigue un procedimiento similar. Sin embargo, para las funciones que nos interesan, los extremos no se presentarán donde una derivada no exista, y tales casos no se considerarán. Para este estudio de funciones de dos variables, sólo consideraremos funciones cuyas gráficas sean superficies suaves en tres dimensiones y como mencionamos anteriormente no se construirán los gráficos de las funciones estudiadas ya que esto no está al alcance de este curso ni es parte de sus objetivos.

Sea la función z = f(x,y) con un máximo local en (xo,yo). Construyamos la sección vertical de la gráfica determinada por y = yo es decir la sección a través delm punto máximo. Esta tiene la ecuación z = f(x,yo) y puede representarse por una gráfica en el plano xz (figura 1.18). Puesto que la superficie z = f(x,y) presenta un máximo si x = xo y y = yo , esta sección debe tener un máximo relativo en x = xo. En consecuencia, la pendiente a esta

sección que esta dada por ∂ z /∂ x=f x( x , yo ), debe ser cero si x = xo

En forma similar, consideremos la sección correspondiente a x = xo , que consta de una curva en el plano yz con ecuación z = f(xo,y). Esta curva tiene un máximo cuando y = yo,

por lo tanto la pendiente si la pendiente∂ z /∂ y= f x( xo , y )debe ser igual a cero si y = yo

(figura 1.19). Este mismo análisis se puede desarrollar para el caso de un mínimo relativo lo que nos llevaría a la misma conclusión la cual se presenta en el siguiente teorema.

Teorema

Si f(x,y) tiene un extremo relativo en (xo,yo), entonces si fx (xo,yo) y fy (xo,yo) existen fx(xo,yo) = 0 y fy (xo,yo) = 0

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z =f(xo,y)z =f(x,yo)


z z

zo zo

xo x yo y


2. Definición de punto crítico

Cuando estudiamos los extremos relativos para funciones de una variable independiente en el módulo de Matemática para Administradores I, descubrimos que estos se presentaban en valores particulares de x, específicamente aquellos para los cuales la derivada se hacía cero, estos puntos reciben el nombre de puntos críticos.

Ahora necesitamos generalizar este concepto para funciones de dos variables independientes.

Definición: Punto crítico de una función de dos variables independientes

Un punto crítico de una función suave f(x,y) es un punto (xo,yo) para el cual fx(xo,yo) = 0 y fy (xo,yo) = 0

A partir de lo que se ha discutido queda claro que todo extremo relativo de una función suave debe ser un punto crítico. Sin embargo, no todo punto crítico es un extremo relativo, como en el caso de funciones de una variable cuando para un punto crítico se podía presentar un punto de inflexión, en el caso de las funciones de dos variables nos podemos encontrar con puntos denominados puntos de silla que son puntos en los que

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la función presenta máximos y mínimos simultáneamente en dependencia de la sección transversal de la gráfica que se este analizando .

Ejemplo 1 Encontremos los puntos críticos de la siguiente función

f(x,y) = 2x2 + y2 – 2xy + 5x – 3y +1

Solución: fx(x,y) = 4x – 2y + 5 y fy (x,y) = 2y – 2x – 3, ahora resolvemos el sistema de ecuaciones lineales formado por estas derivadas

1) 4x – 2y + 5 = 0 2) 2y – 2x – 3 = 0

Esto nos da x = -1 y y = 1/2 .Asi (-1,1/2) es el único punto críticoEjemplo 2 Encontremos los puntos críticos de la siguiente función

f(x,y) = x3 + y3 – xy

Solución:

1) fx (x,y) = 3x2 – y = 0 2) fy (x,y) = 3y2 – x = 0

Despejamos y de la ecuación (1) y = 3x2 y sustituimos ese valor en la ecuación (2) con lo que obtenemos 0 = 27x4 – x = x(27x3 – 1).

Por lo tanto, x = 0 ó x = 1/3. Ahora encontremos los valores de y sustituyendo por los valores de x encontrados. Si x = 0, y = 0 ; si x = 1/3, y = 1/3. Los puntos críticos son entonces (0,0) y (1/3,1/3).

Ejemplo 3 Encontremos los extremos relativos de la función definida por

f(x,y) = 6x – 4y – x2 – 2y2

Solución: calculemos fx y fy y las igualamos a cero para determinar los puntos críticos

1) fx (x,y) = 6 - 2x = 0 2) fy (x,y) = -4 – 4y = 0

Resolvemos las ecuaciones 1 y 2 para x y y con lo que obtenemos que x = 3 y y = -1. Por lo tanto el único punto crítico es (3,-1), y f/3,-1) = 11. Ahora determinamos si se tiene un extremo relativo en (3,-1) para ello procedemos a analizar la función, en este caso particular completamos los cuadrados, con lo que obtenemos

f(x,y) = -(x2 – 6x + 9) –2(y2 + 2y + 1) + 9 + 2 f(x,y) = -(x - 3)2 –2(y + 1)2 + 11

Analizando la expresión resultante podemos observar que para cualquier par ordenado (x,y) (3,-1) la función f(x,y) siempre será menor que 11 por lo tanto en f(3.,-1) = 11 la grafica de la función tiene un máximo relativo Además se tiene un máximo absoluto en (3,-1).

63


3. Teorema: Criterio de la segunda derivada

Aunque en el ejemplo anterior pudimos demostrar que en el punto crítico la gráfica de la función tiene un extremo relativo, en muchos casos no es fácil hacer esto. Sin embargo existe una prueba de la segunda derivada que nos da las condiciones bajo las cuales un punto crítico será un máximo o un mínimo relativo

Supongamos que z = f(x,y) tiene todas sus derivadas parciales de primer y segundo orden fx , fy , fxx , fxy , fyy continuas en todo punto (x,y) cercano al punto crítico (a,b).

Sea D: D(a,b) = fxx(a,b) fyy(a,b) – [ fxy(a,b)]2. Entonces1) f tiene un valor mínimo relativo en (a,b) si

D(a,b) > 0 y fxx(a,b) > 0 (ó fyy(a,b) > 0)

2) f tiene un valor máximo relativo en (a,b) si

D(a,b) > 0 y fxx(a,b) < 0 (ó fyy(a,b) < 0)

3) f(a,b) no es un extremo relativo, pero f tiene un punto de silla en ((a,b),f(a,b)) si

D(a,b) < 0

4) No se tiene ninguna conclusión acerca de los extremos relativos si

D(a,b) = 0

Ejemplo 1. Dada f(x,y) = 2x4 + y2 – x2 – 2yDeterminemos los extremos relativos de f si es que existen

Solución: Para poder aplicar el criterio de la segunda derivada se calculamos las primeras y segundas derivadas parciales de f.

fx (x,y) = 8x3 – 2x , fy (x,y) = 2y – 2 ,

fxx (x,y) = 24x2 – 2 , fxy (x,y) = 0 , fyy (x,y) = 2 Al considerar fx (x,y) = 0 se obtiene que x = 0, x = 1/2 y x = -1/2. Si consideramos ahora fy

(x,y) = 0 se obtiene y = 1. Por lo tanto los puntos críticos son (-1/2,1), (0,1) y (1/2,1). Los resultados de aplican el criterio de la segunda derivada los resumimos en la siguiente tabla

(a,b) fxx(a,b) fyy(a,b) fxy(a,b) D(a,b) Conclusiones(-1/2,1) 4 2 0 8 f tiene un valor mínimo relativo

(0,1) -2 2 0 -4 f no tiene extremo relativo – p silla(1/2,1) 4 2 0 8 f tiene un valor mínimo relativo

f(-1/2,1) = -9/8 ; f(0,1) = -1 ; f(1/2,1) = -9/8

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Entonces f tiene un mínimo relativo de –9/8 en los dos puntos críticos (-1/2,1) y (1/2,1) y un punto de silla en (0,1,-1)

Ejemplo 2 Dada f(x,y) = 1 + x2 – y2 Determinemos los extremos relativos si es que existen

Solución: Calculamos todas las primeras y segundas derivadas parciales de f

fx (x,y) = 2x , fy (x,y) = -2y ,

fxx (x,y) = 2 , fxy (x,y) = 0 , fyy (x,y) = -2

Igualando a cero fx (x,y) y fy (x,y) y resolviendo las ecuaciones obtenemos 2x = 0-2y = 0

De modo que el único punto crítico es (0,0). Ahora procedemos a aplicar el criterio de la segunda derivada y presentar el resumen de los resultados.

(a,b) fxx(a,b) fyy(a,b) fxy(a,b) D(a,b) Conclusiones(0,0) 2 -2 0 -4 f no tiene extremo relativo - p silla

f(0,0) = 1 por lo tanto la gráfica de f tiene un punto de silla en (0,0,1)

Ejemplo 3. Sea Q una función de producción dada por

Q = f(L,K) = 0.54L2 – 0.02L3 + 1.89K2 – 0.09K3

Donde L y K son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y Q es la cantidad producida. Encontremos los valores de L y K que maximizan la producción Q

Solución: Igualemos a cero las derivadas QL y QK para encontrar los puntos críticos QL = 1.08L – 0.06L2 = 0 y QK = 3.78K – 0.27K2 = 0 0.06L(18 – L) = 0 0.27K(4 – K) = 0 L = 0 , L = 18 K = 0 , K = 14

Tenemos cuatro puntos críticos (0,0), (0,14), (18,0) y (18,14)

Apliquemos ahora el criterio de la segunda derivada

QLL = 1.08 – 0.12L, QKK = 3.78 – 0.54K , QKL = 0

(a,b) fLL(a,b) fKK(a,b) fKL(a,b) D(a,b) Conclusiones(0,0) 1.08 3.78 0 4.08 f tiene un valor mínimo relativo

(0,14) 1.08 -3.78 0 -4.08 f no tiene extremo relativo – p silla(18,0) -1.08 3.78 0 -4.08 f no tiene extremo relativo – p silla

(18,14) -1.08 -3.78 0 4.08 f tiene un máximo relativo

Esto indica que la producción máxima la obtenemos cuando L = 18 y K = 14 o sea cuando la cantidad de trabajo es 18 y el capital 14

65


Ejemplo 4.Una empresa produce dos tipos de dulces, A y B, para los cuales los costos medios constantes de producción son de $2 y $3 por libra, respectivamente. Las cantidades qA y qB (en libras de A y B que pueden venderse cada semana están dadas por las funciones de demanda conjunta

qA = 400(pB – pA)y qB = 400(9 + pA – 2pB)

donde pA y pB son los precios de venta (en dólares por libra) de A y B, respectivamente. Determinemos los precios de venta que maximizan la utilidad P de la empresa.

Solución: La ganancia total P, está dada por

P = (utilidad por libra de A)(libras vendidas de A) + (utilidad por libra de B)(libras vendidas de B)

Para A y B, la utilidades por libra son pA – 2 y pB – 3 , respectivamente. Así

P = (pA – 2)qA + (pB – 3)qB

= (pA – 2)[400(pB – pA)] + (pB – 3)[400(9 + pA – 2pB)]

De esta forma P queda expresada como una función de las variables pA y pB y para maximizar P calculamos sus derivadas parciales las simplificamos y las igualamos a cero para encontrar los puntos críticos.

∂ P∂ pA = (pA – 2)[400(–1)] + [400(pB – pA)](1) + (pB – 3)[400(1)] = 0∂P∂ pB = (pA – 2)[400(1)] + (pB – 3)[400(–2)] + [400(9 + pA – 2pB)](1) = 0

Al simplificar las ecuaciones anteriores resulta

-2pA + 2pB – 1 = 0, 2pA - 4pB + 13 = 0.Cuya solución es pA = 5.5 y pB = 6, punto crítico (5.5,6)

Calculemos todas las segundas derivadas parciales

∂2P∂ pA

2 = -800,

∂2P∂ pB

2 = -1,600,

∂2P∂ pA∂ pB = 800

Apliquemos el criterio de la segunda derivada y evaluemos en el punto crítico

(a,b) fAA(a,b) fBB(a,b) fBA(a,b) D(a,b) Conclusiones(5.5,6) -800 -1600 800 640000 f tiene un máximo relativo

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Ya que en el punto crítico la función tiene un máximo relativo, esto significa que la empresa deberá vender el dulce tipo A a $5.50 la libra y el dulce tipo B a $6 la libra con lo que su utilidad se maximiza.

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1. Para las siguientes funciones encuentro los puntos críticos y aplico la prueba de la segunda derivada para determinar si en este punto la gráfica de f tiene un máximo relativo, un mínimo relativo, un punto de silla o si la prueba no me brinda información al respecto.

a) f(x,y) = x2 + 3y2 + 4x – 9y + 3b) f(x,y) = y – y2 – 3x – 6x2

c) f(x,y) = x3 – 3xy + y2 + y + 5d) f(L,K) = 2LK – L2 + 24K – 10L – 2K2 e) f(x,y) = 2x2 – 3y2 + 4x + 12yf) f(x,y) = 2xy – x2 – 3y2 – x – 3y g) f(x,y) = x3 + y2 – 3x – 4y + 7h) f(x,y) = 4xy – 10x2 – 4y2 + 8x + 8y + 9i) f(x,y) = 2x3 + 2y2 – 12xy + 15j) f(x,y) = 3x2 + 6y3 – 36xy + 27

2. La ganancia (en miles de dólares) por la venta de calculadoras graficadoras está dada aproximadamente por P8x,y) = 800 – 2x3 + 12xy – y2, donde x es el costo por unidad de chips y y es el costo por unidad de fuerza de trabajo. Encuentro la ganancia máxima y el costo de los chips y la fuerza de trabajo que producen la ganancia máxima.

3. El ingreso mensual en cientos de dólares por la producción de x miles de toneladas de hierro grado A y y miles de toneladas de mineral de hierro grado B está dado por R(x,y) = 2xy + 2y + 12 y el correspondiente costo en cientos de dólares está dado por c(x,y) = 2x2 + y2. Encuentro la cantidad de cada grado de mineral que producirá la ganancia máxima.

4. El costo total en dólares de fabricar x celdas solares y y colectores solares es C(x,y)=x2 + 5y2 + 4xy – 70x – 164y + 1800. Encuentro a) Los valores de x y y que produzcan un costo total mínimo b) El costo total mínimo.

5. Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. El costo diario total de producir x unidades de A y y unidades de B está dado por C(x,y) = 250 – 4x – 7y + 0.2x2 + 0.1y2. Determino el número de unidades de A y B que la empresa debe producir al día con objeto de minimizar el costo total.

6. Un decorador, quien es un monopolista hace dos tipos de marcos para pinturas. Por medio de la experiencia, el decorador ha determinado que si elabora x marcos del primer tipo y y marcos del segundo tipo y los pone a la venta en una sala de exhibición, pueden venderse por (100 – 2x) dólares y (120 – 3y) dólares cada uno, respectivamente. El costo total de fabricación de estos marcos es (12x + 12y + 4xy) dólares. ¿Cuántos marcos de cada tipo debe producir para obtener la máxima utilidad, y cuál es esa utilidad?

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7. Supongo que P(L,K) = 1.08L2 – 0.03L3 + 1.68K2 – 0.08K3 es una función de producción de una empresa. Encuentro las cantidades de entrada, L y K, que maximizan la producción P.

8. Supongo que la función de costos conjunto C=q A2 +3qB

2+2qA qB+aq A+bqB+d tiene un valor mínimo relativo de 15 cuando qA = 3 y qB = 1. Determino los valores de a, b y d

9. Un monopolista vende dos productos competitivos A y B, cuyas ecuaciones de demanda son.

pA=35−2q A2 +qB y pB=20−qB+qA

La función de costos conjuntos es

C=−8−2qA3 +3 qA qB+30qA+12qB+

12q A

2

a) ¿Cuántas unidades de A y B tienen que venderse para que el monopolista obtenga una utilidad máxima?

b) ¿Cuáles son los precios de venta requeridos para obtener la utilidad máximac) ¿Cuál es la utilidad máxima?

Comparo mis respuestas con las de la página 76 para verificar y autorregular mis aprendizajes.

69


Resumen de la Unidad

La terminología y algunos conceptos que desarrollamos a lo largo de esta primera unidad es importante revisarlo, por que son básicos para el aprendizaje de las unidades subsiguientes. Este resumen retoma los más relevantes.

Términos clave y símbolos1) z = f(x, y) función de dos variables independientes2) Función de varias variables3) Plano xy4) Tríada ordenada5) Primer octante6) Superficie7) Traza8) Función de producción9) Función de producción de Cobb–Douglas

10)f x o

∂ f∂ x derivada parcial de f con respecto a x

∂∂ x ( ∂ z∂ x )o ∂

2 z∂ x2

of xxderivada parcial de

segundo orden de ∂z / ∂x (ofx) con respecto a x

∂∂ y (∂ z∂ x )o ∂2 z

∂ y ∂ xof xy

derivada parcial de segundo orden de ∂z / ∂x (ofx) con respecto a y

11) Punto silla12) Máximo local13) Mínimo local14) Punto crítico

Conceptos clave

1) La gráfica de ax + by + cz = d es un plano.2) La gráfica de z = f(x, y) es una superficie en el espacio tridimensional.

Derivadas parciales

a) La derivada parcial de f con respecto a x es la derivada de f encontrada al tratar x como una variable y y como una constante.

b) La derivada parcial de f con respecto a y es la derivada de f encontrada al tratar y

como una variable y x como una constante. f x=

∂ z∂ x

f y=∂ z∂ y

c) Regla de la cadena:

dzdt=∂ z∂ x

dxdt+ ∂ z∂ y

dydt

d) Fórmula de aproximación Δz≈∂ z

∂ xΔx+∂ z

∂ xΔy=dz

Cambio porcentual en

z=100Δzz≈100

∂ z∂ x

Δx+ ∂ z∂ y

Δy

z

70


Derivadas parciales de segundo orden

a) Para una función z = f(x, y), si todas las derivadas parciales existen, entonces

∂∂ x ( ∂ z∂ x )=∂

2 z∂ x2

=f xx∂∂ y ( ∂ z∂ y )= ∂

2 z∂ y2

=f yy

∂∂ y (∂ z∂ x )= ∂2 z

∂ y∂ x=f xy

∂∂ x ( ∂ z∂ y )= ∂2 z

∂ x∂ y=f yx

b) Igualdad de las derivadas parciales cruzadas de segundo orden fxy = fyx

Extremos locales.

Consideremos que (a, b) esté en el dominio de una función f.a) f tiene un máximo local en (a, b) si existe una región circular en el plano xy con (a, b)

en su interior tal que f(a, b) ≥ f(x, y), para todo punto (x, y) en la región circular.b) f tiene un mínimo local en (a, b) si existe una región circular en el plano xy con (a, b)

en su interior tal que f(a, b) ≤ f(x, y), para todo punto (x, y) en la región circular.c) Si f(a, b) es un extremo local, entonces fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0d) Máximo relativo; mínimo relativo; punto de silla. Punto crítico: fx = fy = 0e) Criterio de las segundas derivadas parciales en un punto crítico: Sea D = fxx fyy – (fxy)2

Si D > 0 y fxx < 0, f tiene un máximo relativo.Si D > 0 y fxx > 0, f tiene un mínimo relativo.Si D < 0, f tiene un punto de silla.Si D = 0, el criterio no es concluyente.

Las funciones de más de dos variables no pueden representarse geométricamente.

Para una función de n variables, podemos considerar n derivadas parciales. Por ejemplo, si w = f(x, y, z), tenemos las derivadas parciales de f con respecto a x, de f con respecto a y y la derivada de f con respecto a z, denotadas fx, fy y fz o ∂f / ∂x, ∂f / ∂y y ∂f / ∂z, respectivamente.

Para encontrar fx(x, y, z), trate a y y z como constante y derive a f con respecto a x de la manera usual. Las otras derivadas parciales se encuentran de manera similar. Podemos interpretar fx(x, y, z) como el cambio aproximado en w que resulta al cambiar x en una unidad mientras se mantienen constantes a y y z. Las otras derivadas parciales se pueden interpretar de modo similar.

Las funciones de varias variables aparecen con frecuencia en análisis económicos y de negocios así como en otras áreas de estudio. Si un fabricante produce x unidades del producto X y y unidades del producto Y, el costo total c de esas unidades es una función de x y de y denominada función de costo conjunto. Las derivadas parciales ∂c / ∂x y ∂c / ∂y se llaman costos marginales con respecto a x y a y, respectivamente. Por ejemplo, podemos interpretar ∂c / ∂x como el costo aproximado de producir una unidad adicional de X mientras se mantiene fijo el nivel de producción de Y.

Si se usan l unidades de trabajo y k unidades de capital para producir P unidades de un producto, la función P = f(l, k) se llama función de producción. Las derivadas parciales de P se llaman funciones de productividad marginal.

71


Suponga que dos productos, A y B, son tales que la cantidad demanda de cada uno es dependiente de los precios de ambos. Si qA y qB son las cantidades de A y B demanda cuando los precios de A y B son pA y pB, respectivamente, entonces qA y qB son cada una funciones de pA y pB. Cuando ∂qA / ∂pB > 0 y ∂qB / ∂pA > 0, A y B se llaman productos competitivos.(o sustitutos). Cuando ∂qA / ∂pB < 0 y ∂qB / ∂pA < 0, A y B se llaman productos complementarios.

Si z = f(x, y) donde x = x(r, s) y y = y(r, s), z puede considerarse como una función de r y s. Por ejemplo, para encontrar ∂z / ∂r, puede usarse una regla de la cadena.

72


Evaluación Final de la Unidad

1) Encuentre

∂ f∂ x y

∂ f∂ y en los puntos (1,-2) y (4,-3)

f ( x , y )=−xy2+3 x3−8x+ y

2) Encuentre todas las derivadas de segundo orden

f ( x , y )=4 x3−5 xy2−4 x4 y2

3) Un distribuidor de autos estima que las ventas semanales de su modelo más popular son una función del precio promedio p del auto y de la tasa de interés que se ofrece. Las ventas semanales están dadas por

f ( p ,i)=132 p−2 pi−0 .01 p2

a) Encuentre las ventas semanales si el precio promedio es $9,400 y la tasa de interés ofrecida es del 8%

b) Encuentre e interprete f p y

f ic) Cuál sería el efecto sobre las ventas semanales si el precio es $9,400 y la tasa de

interés se eleva de 8% a 9%.

4) Determine los máximos y mínimos relativos de f ( x , y )=x−x2−3 y−6 y2

aplicando la prueba de la segunda derivada.

5) Discuto los resultados de esta evaluación con el tutor/a y el grupo para la verificación de mis aprendizajes.

73


Hoja de Respuestas

I. Evaluación diagnóstica del módulo

1)a) f*(x) = 9x2 + 90x(9x2 – 4)4 c) f* (x) = (4x - 4)(3x – 5) + (2x2 – 4x)(3)

2) La demanda, la calidad, los costos, la incertidumbre, inflación, ….

3) y

(-2,0) (2,0) x

(0,-4)

4)

[ 2 3 −5 8−9 7 12 621 15 1 138 −3 14 10

]II. Evaluación diagnóstica de la Unidad

1) La derivada del ingresoLa variación en el ingreso por variación unitaria de las unidades vendidas

2) Tasas de interés, Tecnología, Inversión, Costo de mano de obra, etc.

3)a) f *(x) = 2(2x2 + 5x)(4x + 5)c) f*(x) = 15 Kx4

d) f*(y) = 4y(y3 + 1) + 2y2(3y2)

4) f*(x) = 4x – 4 = 0 , x = 1

IV. Respuestas a las actividades de autoaprendizaje

Actividad de Auto Aprendizaje No 11)

a) f(3,-2) = 25 ; f(-4,-4) = 0b) f(2,1) = 2/5 ; f(3,1/2) = 14/37 ; f(-1/4,3/4) = 0c) f(1,2,3) = 36 ; f(-2,1-4) = 54

74


d) f(2,1) = 10e) g(0,-1,2) = 4f) h(-3,3,5,4) = -1

2)a) 5 b) 0 c) 6 d) a6 + a2 e) 2x2 f) (2,-4) no está en el dominio de f.El dominio es el conjunto de todos los (x,y) tales que y > 0

3)a) D = el plano completoe) D ={(x,y)/ y 1 y -1 }f) D = {(x,t)/ x – t > 0 }

4) C(x,y) = 3,000 + 5x + 12y ; C(200,150) = $5,800

5)a) C(x,y) = 0.30x +0.40y + 1,200 b) C(10,000,8,000) = 7,400c) P(x,y) = 0.30x + 0.35y –1,200

6)a) C(x,y) = 80x + 20yb) C(500,800) = 56,000a) C(550,y) = 56,000 44,000 +20y = 56,000 y = 700

7)a) Q(125,1331) = 120 (125)2/3 (1331)1/3 = 33,000b) Q(62.5, 665.5) = 120 (62.5)2/3 (665.5)1/3=16,500, la producción se reduce a la mitad

Actividad de Auto Aprendizaje No 2

I.

1) f x=−2 xy+3 y+2 y2 ; f y=−x

2−3x+4 xy2) f x=3 x2+4 xy+ y ; f y=2 x2+x

3) f x=

22x+3 y

; f y=3

2 x+3 y 4) f x= yexy

; f y=xexy

5) f x=2 y5+6 xy+2 x ; f y=10 xy4+3 x2

6)

∂ z∂ x=15(3 x+24 ;

∂ z∂ y=10(3 x+2 y )4

7) f s=−

3 t

2 s2 ; f t=

32 s 8)

f x=−e2−x

y2 ; f y=−

2e2−x

y3

9)

∂ z∂ x=( xy+1 )exy ;

∂ z∂ y=x

2

exy

10)

f x=5 y

( y−x )2 ; f y=−

5 x

( y−x )2

11)

∂ z∂u=ln v ;

∂ z∂ v=uv 12)

f x=1

y2( x+2 y ) ; f y=

2 [ y−( x+2 y ) ln ( x+2 y ]y3( x+2 y )

13) f x=6e2x ; f y=−

5y 14)

f x=2e2x+3 y ; f y=¿3e2x+3 y

¿

75


15) f x=

13( x+2 y3 )−2/3 ; f y=2 y2 ( x+2 y3 )−2/3

16) f x=( xy+1 )exy ; f y=¿ x

2

exy ¿

17)

f x=ex+ y3

ex+xy3 ; f y=

3 xy2

ex+xy318)

f x=y

( y−x )2 ; f y=

−x( y−x )2

II.1) a) fx(1,2) = 5 b) fy(1,2) = 5 2) fx(1,-2) = 50 3) gz(0,1,4) = 1/34) fs(1,-1,2) = 265) a) fx(3,1) = -1/2 b) fy(3,1) = 3/26) a) fx(2,-1) = 3/4 b) fy(-4,3) = 2/77) a) fx(2,-1) = -4 e-4 b) fy(-4,3) = -128 e-24

III.1) fx(-2,1) = 22 ; fy(-2,1) = 262) fx(0,0) = 1 ; fy(0,0) = 1


1) a) C/y (20,30) = 20 b) C/x (50,50) = 784.5 c) C/x (40,60) = 12

2) a) PL(3,10) = 21 ; PK(3,10) = -29 b) PL(4,8) = 2 ; PK(4,8) = 3c) PL(2,5) = 4 ; PK(2,5) = -122 d) PL(3,10) = 36 ; PK(3,10) = -23e) PL(L,K) = 30(K/L)0.7 ; PK(L,K) = 70(L/K)0.3

f) PL(L,K) = 150(K/L)0.4 ; PK(L,K) = 100(L/K)0.6 g) PL(1,1) = 1 ; PK(1,1) = 1

3) a)

∂ q A∂ pA = -50 ;

∂ qA∂ pB = 2 ;

∂qB∂ pA = 4 ;

∂ qB∂ pB = -20 ; Competitivos

b)

∂ q A∂ pA = -1 ;

∂ qA∂ pB = -2 ;

∂qB∂ pA = -2 ;

∂ qB∂ pB = -3 ; Complementarios

c)

∂ q A∂ pA

=100pA

2 pB1/2

;

∂ qA∂ pB

=−50pA pB

3/2 ;

∂qB∂ pA

=−5003 pB pA

4 /3 ;

∂ qB∂ pB

=−500pB

2 pA1/3

;

Complementarios

d)

∂ q A∂ pA = -3 ;

∂ qA∂ pB = 1 ;

∂qB∂ pA = 2 ;

∂ qB∂ pB = -5 ; Competitivos

e)

∂ q A∂ pA

=−2 pB1/2 pA

−5 /3

;

∂ qA∂ pB

=15 pB−1/2 pA

−2/3

;

∂qB∂ pA

=50 pB−1/3

;

76


∂ qB∂ pB

=(−50/3 ) pA pB−4/3

; Competitivos

4) a) PA = -25/53 ; PB = 3/53 b) PA = -1/2 ; PB = 1 Actividad de Auto Aprendizaje No 4

1) a) fx (x,y) = 8xy ; fxy(x,y) = 8x b) fy (x,y) = 8xe2xy ; fyx(x,y) = 8e2xy + 16xy e2xy

2) a) fxx (x,y) = 60x2y3 ; fyy (x,y) = 30x4y ; fxy (x,y) = fyx (x,y) = 60x3y2 +2

b) fxx(x,y) = 2y(2x2y+1) e x

2 y

; fyy(x,y) = x4 e x

2 y

; fxy(x,y) = fyx(x,y) = 2x(x2y+1) e x

2 y

c) a) fxx (x,y) = ; fyy (x,y) =; fxy (x,y) = fyx (x,y) =

3) a)

∂2 z∂ x ∂ y

= ∂2 z∂ y ∂ x

= -2ye− y2

b)

∂2 z∂ x ∂ y

= ∂2 z∂ y ∂ x

= -2 c)

∂2 z∂ x ∂ y

= ∂2 z∂ y ∂ x

= 6x

4) a)

∂2 z∂ x2

= 12x2 +6y3 ;

∂2 z∂ y2

= 12y2 +18x2y ;

∂2 z∂ x ∂ y

= 18xy2

b)

∂2 z∂ x2

=− 1( x+ y )2

;

∂2 z∂ y2

=− 1(x+ y )2

;

∂2 z∂ x ∂ y

=1−( x+ y )−2

c)

∂2 z∂ x2

= 20x3y-1/2 ;

∂2 z∂ y2

= 3/4 x5y-5/2 ;

∂2 z∂ x ∂ y

= -5/2 x4y-3/2

d)

∂2 z∂ x2

= y3 exy ;

∂2 z∂ y2

= x(xy +2)exy ;

∂2 z∂ x ∂ y

=(xy2 +2y)exy

e)

∂2 z∂ x2

= −2 y( x+ y )3

;

∂2 z∂ y2

= 2 x(x+ y )3

;

∂2 z∂ x ∂ y

=(x− y )( x+ y )3

f)

∂2 z∂ x2

= 2 y2

( x− y )3 ;

∂2 z∂ y2

= 2 x2

(x− y )3 ;

∂2 z∂ x ∂ y

= −2 xy( x− y )3


1) a) ∂w /∂ r= 2r(lns)2 + 8r lns + 2s lns ; ∂w /∂ s= (2r2 lns)/s + (4r2/s) + 2r + 2r lns

77


b) ∂ z /∂ x = 3x2e3y + yex + 4x3y2 ; ∂ z /∂ y = 3x3e3y + ex + 2x4y

c) ∂ r /∂u= 3 ln(uvt) + 3 + (vt/u) ; ∂ r /∂ v= t ln(uvt) + (3u/v) + t

∂ r /∂ t = v ln(uvt) + (3u/t) + v

2) dz/dt = 8e2 t + 2e6 t + 6e7 t

3)

∂ z∂ t = 84s + 294t – 50s2 t

4) a) 10xy3 dx + 15x2y2 dy b) (-y/x2)dx + (1/x)dy c) yex dx + ex dyb) 9x2 dx – 8y3 dy + 5 dz

5) El beneficio aumenta en $24 por semana


1) a) (-2 , 3/2) ; min. rel. b) (-1/4 , 1/2) ; máx. rel. c) (1 , 1) ; min. rel.d) (122,127) ; máx. rel. e) (-1, 2) ; punto de silla f) (-3/2, -1) ; máx. rel.g) Mínimo local en (1,2) ; Punto de silla en (-1,2) h) Mínimo local de 17 en (2/3,4/3)i) Punto de silla en (0,0) ; Mínimo local de -201 en (6,18) –5157 en (72,12)j) Punto de silla en (0,0) ; Mínimo local de –5157 en (72,12)

2) P(12,72) = $2.528,0003) 1,000 toneladas de mineral grado A y 2,000 toneladas de mineral grado B 4) a) Mínimo local en (11,12) b) $4315) x = 10 ; y = 356) 12 del tipo 1 y 10 del tipo 2 ; la utilidad total es $1,0647) L = 24 ; K = 148) a = -8, b = -12, d = 339) a) 2 unidades de A y 3 unidades de B

b) Precio de venta para A es 30 y para B es 19. c) La utilidad máxima es 25

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Bibliografía

1. Alvarez Blanco Manuel– Castro Lamas Julio– Deiros Fraga Beatriz– Lau Fenández Rogelio – Varela Marcelo María Virginia ( 1981 ). Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Pueblo y Educación.

2. Arya Jagdish C. – Lardner Robin W. (1992). Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. México. Tercera edición. Prentice – Hall.

3. Bradley Gerald L. – Smith Karl J. (1998 ). Cálculo de Varias Variables. Madrid. Primera edición. Volumen 2. Prentice Hall Iberia.

4. Budnick Frank S. (1990). Matemáticas aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales. México. Tercera edición. Mc. Graw – Hill.

5. Edwards C. H., Jr. – Penney David E. ( 1994 ). Cálculo con Geometría Analítica. México. Cuarta edición. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A.

6. Elorza Pérez Haroldo–Tejada (2000) Estadística para las Ciencias Sociales y del Comportamiento . México. Segunda edición. OXFORD.

7. Haeussler Ernest F., Jr. – Paul Richard S. (1997). Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. México. Octava edición. Prentice - Hall Hispanoamericana, S.A.

8. Larson Roland E. – Hostetler Robert P. – Edwards Bruce H. (1996). Calculo y Geometría analítica. México. Quinta edición. Volumen 1. Mc. Graw - Hill.

9. Larson Ronald E. – Hostetler Robert P. – Edwards Bruce H. – Heyd David E. ( 1995 ). Cálculo. Madrid. Quinta edición. Volumen 2. McGraw Hill / Interamericana de España, S. A.

10. Leithold Louis (1988). Cálculo para Ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales. México. Primera edición. Harla.

11. Leithold Louis (1998). El Cálculo. México. Séptima edición. Oxford.

12. Purcell Edwin J. – Varberg Dale – Rigdon Steven E. ( 2001 ). Cálculo. México. Octava edición. Pearson Education de México, S, A. De C. V.

13. Taylor Howard E. – Wade Thomas L. (1975). Cálculo diferencial e integral. México. Decimatercera edición. Limusa, S.A.

14. Weber Jean E. (1999). Matemáticas para Administración y Economía. México. Cuarta edición. Oxford.

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Unidad Autoformativa IILa Integral

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Presentación

El concepto de Integral indefinida de una función, las fórmulas de integración inmediata y algunos métodos para resolver integrales indefinidas de mayor grado de complejidad, serán los temas que abordaremos en esta unidad. Además, presentaremos algunos ejemplos variados de aplicaciones similares a los desarrollados en el proceso de derivación estudiados en el curso anterior.

También estudiaremos uno de los conceptos más importantes y de mayor aplicación del cálculo como el del área de una región en el plano, haciendo uso de los límites, que dan lugar a la definición de integral definida. Esto nos permitirá comprender conceptos importantes del área económica como el excedente de consumidores y productores y otras aplicaciones presentadas en los ejercicios resueltos.

El cálculo del área encerrada por una curva, ha constituido desde muy antiguo un problema interesante para los matemáticos. Arquímedes en el siglo III a. de C. fue uno de los grandes maestros en medir áreas y volúmenes, consiguió dar una aproximada medida del área del círculo, así como el cálculo con exactitud del área determinada por un arco de parábola y la cuerda correspondiente.

Con el estudio de las funciones y con el desarrollo del cálculo en el siglo XVI surgió el interés por la determinación del área limitada por la curva que representa una función más general y el eje x, de la representación. En un principio, este interés fue de motivación geométrica, pero pronto los matemáticos se percataron que el área tiene, en multitud de ocasiones prácticas, un significado importante sobre el fenómeno que la función describe como espacio recorrido, utilidad total, excedente, consumidores, etc.

La Integral se desarrolló para calcular el área bajo la gráfica de la función, pero como las funciones y sus gráficas surgen espontáneamente del intento de atender y representar fenómenos naturales, físicos, económicos y sociales, es lógico esperar que el área que se calcula mediante la integral definida tenga un sentido interesante para la comprensión más completa del fenómeno correspondiente. Esto lo comprobaremos en el desarrollo de esta unidad del módulo

Para una evolución correcta de la matemática, es preciso que exista una interacción entre aplicación y teoría. En los diferentes campos de la ciencia surgen problemas que para su mejor comprensión, necesitan la utilización de técnicas matemáticas ya sea la integral u otras nuevas que se van creando. Tal es el caso de la física, al estudiar el movimiento de los cuerpos; la mecánica de los fluidos, al estudiar el comportamiento de los fluidos, o la economía al evaluar los flujos totales de ingreso utilidad etc.

Abordaremos igualmente, tres temas fundamentales: La Antiderivada o Integral de funciones con sus técnicas, la Integral definida desarrollada a partir del concepto de área y las aplicaciones de la integral en que se estudian las aplicaciones más importantes a la Administración y la Economía.

¿Cuál será nuestra secuencia de aprendizaje?

Partiremos definiendo la integral como el proceso inverso al de diferenciación, para después estudiar las diferentes técnicas de Integración de funciones. Desde el punto de vista matemático, los procesos son un poco más complejos que en el caso de encontrar una derivada por lo que para dominarlos apropiadamente, realizaremos una práctica exhaustiva del proceso de integración y de sus técnicas.

Continuaremos con el abordaje del problema del cálculo del área de la región bajo la curva a través del proceso límite hasta llegar a la definición de Integral la que consideramos como el límite de una suma y, finalmente descubriremos se estudian una variedad de aplicaciones pero siempre dentro del campo de la administración y la economía o temas muy relacionados.

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1. Integro funciones aplicando correctamente las fórmulas y las técnicas apropiadas.

2. Interpreto geométricamente la Integral Definida como el área de una región bajo la curva.

3. Calculo áreas de regiones en el plano utilizando la integral definida.

4. Resuelvo problemas de aplicación relacionados con la Administración y la Economía haciendo uso de la Integral definida.

5. Practico hábitos y valores respecto a la verdad, honestidad, colaboración y responsabilidad a través del trabajo independiente, que me permitan construir y desarrollar mi propio conocimiento con miras a un mejor desenvolvimiento tanto en mi vida como estudiante universitario como en el ejercicio de mi profesión.

Esquema de contenido

A. La Integral

B. Técnicas de Integración

C. Aplicaciones de la Integral Indefinida

D. La Integral Definida

E. Aplicaciones de la Integral Definida

1. El concepto de antiderivada

2. La integral

1. Objetivos

2. Puntos fundamentales y dificultades

3. Integración por cambio de variable

4. Integración por partes

5. Integración de funciones racionales por fraccionesparciales.

1. Costo

2. Ingreso

3. Ingreso, consumo y ahorro nacional

a) Primitivab) Teorema

a) Formulas de integraciónb) Teorema

1. Sumatoria

2. Área de una región plana

3. Integral definida

4. Cálculo de área con integrales

a) Definición de la Integral Definidab) Definición de área de una región planac) Teorema fundamental del cálculod) Propiedad de las integrales definidas

a) Área bajo una curvab) Área entre curvas

1. Aplicaciones variadas

2. Superávit del consumidor y delproductor.

a) Crecimiento poblacionalb) Costo totalc) Demanda

a) Teoremab) Área de una región plana

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1) Evalúo el área de las siguientes figuras planas

a) a b) h

b

b2) Encuentro los diferenciales de las siguientes funciones

y = 2x2 +5x y = x3 + 4 y = x3 + 1

3) Evalúo la función en los valores de la variable x indicados

a) f(x) = 2x2 – 4x ; x = 3 y x = 1b) f(x) = 3x3/2 – 2x2 + 6x ; x = -2 y x = 1

Luego de realizar estos ejercicios, compararé mis respuestas a esta Evaluación Diagnóstica con las que se me presentan en la página 149, al final de la unidad autoformativa II.

Si contesto dos ejercicios de los tres propuestos en la evaluación diagnóstica, significa que posee los conocimientos básicos para esta unidad, con lo cual se me facilitaría el autoestudio de la misma.

De no lograr realizar al menos dos ejercicios, deberé dedicarle más tiempo del previsto y requeriré mayor apoyo de mi tutor.

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F(x)

Derivación


A. LA INTEGRAL

1. El concepto de Antiderivada

La mayoría de las operaciones matemáticas con que trabajamos vienen en pares de inversas por ejemplo: suma y resta, multiplicación y división, elevación a potencia y extracción de raíces, de esa misma forma existen muchas operaciones más dentro del cálculo donde encontraremos esta característica, particularmente en el concepto que nos corresponde estudiar ahora.

Hasta ahora en nuestro estudio del cálculo, nos hemos interesado del proceso de diferenciación ( el cálculo y aplicación de las derivadas de funciones). Esto es dada una función f, calcular su derivada denotada por f ‘, sin embargo habrá ocasiones, en que conociendo la derivada de una función f ‘, estemos interesados en determinar la función original f.

Puesto que el proceso de determinar la función original es el opuesto al de la derivación, se dice que f es una antiderivada de f ‘ o primitiva de f .

Antiderivada

La antiderivada de una función es aquella función que se obtiene al aplicar sobre la función original el proceso inverso al de derivar

a. Primitiva

La primitiva de una función f es una función F tal que F’ = f

Recordemos que cuando derivamos una función, el resultado es también una función.

Con objeto de evaluar la antiderivada de alguna función f(x), debemos encontrar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x).

Ejemplo : Si F es la función definida por ;F(x) = x3 + 2x2 +1 entonces F’ (x) = 3x2 +4x.

De modo que si f es la función definida por f(x) = 3x2 +4x entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f . El siguiente diagrama explica de manera más clara la relación que existe entre las funciones f y F las cuales se pueden interpretar de dos formas que establecen la misma relación.

- f(x) se obtiene al derivar la función F(x)- F(x) se obtiene al antiderivar f(x)

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Siguiendo con el ejemplo anterior si H es la función definida por H(x) = x3 + 2x2 +4 entonces H también es una antiderivada de f porque : H’ (x) = 3x2 +4x. y también G (x) = x3 + 2x2 +10 , P (x) = x3 + 2x2 –1/2 y en general F (x) = x3 + 2x2 + C son antiderivadas de f ya que para todas estas funciones presentadas la derivada es la misma.

Como podemos observar la única diferencia que existe entre cada una de las funciones señaladas es una constante, y como la derivada de una constante es cero, todas generan la misma función al derivarse, esto presenta algún problema al tener una función y querer encontrar su antiderivada ya que no se tiene certeza de cual era el valor de la constante antes de haber derivado la función, por esta razón cuando se está encontrando la antiderivada de una función, se agrega una constante arbitraria y decimos que hemos encontrado una antiderivada general de f.

b. Teorema

Antiderivada General de una Función

Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo I, entonces cada antiderivada de f en I está dada porF (x) +C (a)donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I pueden obtenerse a partir de (a) asignando valores particulares a C.

Existen condiciones que se dan al estudiar las aplicaciones de las funciones y sus derivadas, llamadas condiciones de frontera que permiten hallar una antiderivada particular que cumpla con esas condiciones dadas, en estos casos es posible determinar un valor para la constante C

2. La integral

Al aplicar el proceso inverso de diferenciación debemos utilizar un símbolo que nos indique que estamos antiderivando una función, este símbolo es una s mayúscula griega que se conoce como la integral de ahí que al hablar de ahora en adelante del proceso de antiderivación, diremos simplemente que estamos integrando, así:

Antiderivación

90


Si F’(x) = f(x) entonces F(x) es una antiderivada de f(x) por lo tanto:

Sea F(x) una antiderivada de f(x). Escribimos ésta afirmación en la forma

∫ f ( x )dx= F(x) + C que se lee como la integral de f(x), dx, es igual a F(x) + C.

La función f(x) se denomina el integrando y el símbolo ∫ es el signo de integral y el diferencial de x, dx, índica la variable con respecto a la cual se esta integrando. Por esta razón en adelante usaremos el término integral indefinida o simplemente integral en lugar de antiderivada. El proceso de encontrar una antiderivada suele recibir el nombre de integración, debido al símbolo de integral. No olvide entonces que calcular una integral indefinida es lo mismo que obtener una antiderivada general para una función.

Como se señaló anteriormente en el tercer párrafo de esta página el dx en la integral

indefinida ∫ f (x) dx indica que x es la variable de la función cuya antiderivada debe

encontrarse. Por ejemplo en la integral indefinida ∫ 2ax dx, la variable de la función es x ,

mientras que en la integral indefinida ∫ 2ax da, la variable es a.

Como la Integración es la operación inversa de la derivación, si prestamos atención a los teoremas estudiados para derivar una función, podríamos deducir los teoremas básicos para la integración de funciones.

a. Fórmulas de integración

En el cálculo diferencial hay una regla general para la diferenciación, de la cual se deducen las reglas particulares, desafortunadamente, no hay un correspondiente método general para la integración, y la integral de una expresión dada, debe obtenerse mediante el conocimiento de los resultados de la derivación. Así pues, la integración es por naturaleza más difícil que la operación de derivar.

Para facilitar el proceso de integrar una expresión dada, se han elaborado tablas de integrales o de fórmulas de integración. Las mas sencillas se obtienen directamente al considerar de modo inverso las reglas correspondientes a la derivada de una función.

El primer paso en el proceso para integrar una expresión dada consiste en compararla con formas de modelos apropiadas. Si una expresión es idéntica a una fórmula estándar, simplemente aplicamos la fórmula de integración indicada, sin embargo muchas veces las integrales no se ven similares a los modelos presentados en las fórmulas, en estos casos debemos probar si mediante algunas manipulaciones algebraicas y aplicando las propiedades de las integrales es posible llevarlas a formas conocidas y resolverlas.

91


Cuando lo anterior no sea posible se aplicarán otros métodos de integración que estudiaremos mas adelante.

b. Teoremas

Los siguientes teoremas son fórmulas que nos indican como se calcula la integral para los diferentes tipos de funciones con las que trabajaremos en esta unidad

1) ∫ dx=x+C

2) Si n es un número racional, entonces

∫ xn dx= xn+1

n+1+C

n≠−1

3) Si a es cualquier número real positivo diferente de 1, entonces:

∫ ax dx= ax

ln a+C

4) ∫ ex dx=ex+C

5) ∫ x−1 dx=∫ 1

x dx= ln x+C

6)∫ af ( x )dx=a∫ f (x )dx donde a es una constante

7) Si f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces:

∫ [ f ( x ) + g( x ) ] dx=∫ f ( x )dx+∫ g( x )dx

las fórmulas de integración son las numeradas del 1 al 5 y es de vital importancia que las tengamos presentes siempre ya que todas las integrales que resolvamos serán llevadas de una u otra forma a estas fórmulas básicas, los numerales 6 y 7 son propiedades de las integrales que resultan ser muy útiles en el proceso de integración

Ejemplo 1

Evaluemos las integrales siguientes :

a) ∫ x2dxb) ∫ x3/5dx c) ∫ dx d)

∫ 1

√ tdt

e) ∫(3ex+ 2

x−1

2x2 ) dx

f) ∫ 3 x5+2 x−5

x3dx

g) ∫(3x+5 )dx h)

∫√x (x+ 1x )dx i) ∫ x (x2+1 )2 dx

92


Solución:

Aumentando el exponente de x en 1 y luego dividiéndolo entre el valor del nuevo exponente

a) ∫ x2dx= x3

3+C

b) ∫ x

35 dx=

58

x8

5+C

En este caso se sobrentiende que se tiene X0 = 1

c) ∫1dx ¿ ∫ dx= x+ C

d) escribamos

1

√t como t−1

2 entonces

∫ 1

√ tdt=∫ t

−12dt=2 t

12 +C=2 √ t +C

en general siempre que se tenga un radical en el integrando este debemos expresarlo como una potencia de exponente fraccionario para que se pueda aplica la fórmula de integración para potencias.

e) ∫(3ex+ 2

x−1

2x2 ) dx

=3∫ex dx+2∫ 1

xdx−1

2x2 d x

=3 ex+2 ln|x|−1

6x3+C

f) ∫ 3 x5+2 x−5

x3dx

Efectuemos la división indicada para obtener las sumas de las potencias

3x5+2x−5x3

=3x2+ 2x2− 5x3=3 x2+2 x−2−5 x−3

y luego integremos término por término

∫ 3 x5+2 x−5

x3dx

= ∫(3x2+2x−2−5 x−3 )dx =x3−2 x−1+5

2x−2+C

=x3−2

x+ 5

2x 2+C

g) ∫(3x+5 )dx = ∫3 xdx+∫5dx

=3∫ x dx +5∫ dx

93


=3

x2

2+5x+C

Al expresar la integral de una suma de funciones como la suma de las integrales y resolverlas, no se agrega una constante de integración por cada integral que se resuelve sino que solamente se pone una constante al final ya que es una función la que se esta integrando y además la suma de varias constantes también es una constante.

h) ∫√x (x+ 1

x )dx = ∫ x1

2 (x+ x−1)dx =∫ (x3

2+ x−1

2)dx

=

25x

52+2x

12+C

i) ∫ x (x2+1 )2 dx = ∫ x (x4+2x2+1 )dx = ∫ (x5+2x3+x )dx

∫ x5dx+2∫ x3dx+∫ x dx =

x6

6+ 2 x4

4+ x

2

2+C

Actividad de autoaprendizaje No.1

Resuelvo las siguientes integrales aplicando cuando sea necesario algunas manipulaciones algebraicas de tal forma que pueda aplicar las fórmulas de integración :

1) ∫3 x4 dx 2) ∫2 x7dx 3) ∫ 1

x3dx

4) ∫ 2

3√ xdx

5) ∫ (3u5−2u3 )du 6)∫ x4 (5−x2 )dx 7) ∫( 1

√x+√x )dx

8)∫ x1 /2(3x2−1)dx

9) ∫(2+ 1

x3− 2

x2)dx

10) ∫ x3+2x+4

√ xdx

11) ∫ 4 x2−2

3√ xdx

12) ∫( 4

x− 2

x2+ 6

x3)dx

13) ∫ t2(3 t+2 )2dt 14) ∫ (1+ y )

2

ydy

15) ∫ 43√ x2dx 16)∫7 xdx

17) ∫ e3

xdx

18) ∫ 1x ln2

dx 19)

∫( ex +xe)dx

20)∫(e2−2e)exdx

21) ∫ ln 2

x2dx

22) ∫( x7+7 x+ 7

x+7 )dx

23)∫(7 x2−3 x+8+ 1

x+ 2

x2)dx

24) ∫ [ ( x+2 )( x+3) ]dx 25)∫ [ ( x+1 )(3 x−2) ]dx

94


26) ∫( x+2 )2dx27) ∫( x+ 1

x)2dx

28) ∫(2x−3

x)2dx

29)∫ [ x2 (x+ 2

√ x) ]dx

30)∫ [ x3 ( x+1 )( x+2 ) ]dx 31)

∫ [ ( x+2 )(3 x−1x) ]dx

32)∫ ln x3

ln x2dx

33) ∫ ln x

ln √xdx

34)∫ ex

ln 2dx

35)∫ eln (x2+1)dx

36)

∫(√x+3 )2dx37)∫ 3 x4−12

x2+2dx

38)∫ x .eln (x+1)dx

39) ∫ 2 x−18

√ x+3dx

40)∫(4 x3+3x2+2x+1+ 1

x+ 1

x3)dx

41)∫√u(u2+3u+7 )dx42)∫ √x ( x+1)(2 x−1)dx 43)

∫ 1+3 x+7 x2−2 x3

x2dx

44) La función de costo marginal de una empresa es C’ = 30 + 0.05 x

a) Determino la función de costo C(x), si los costos fijos de la empresa son de $2,000 por mes.

b) ¿Cuánto costará producir 150 unidades en un mes?.c) Si los artículos se pueden vender a $55 cada uno, ¿cuántos deben producirse

para maximizar la utilidad?.

45) El costo marginal de los productos ABC es C’(x) = 3 + 0.001x ; y el costo de fabricar 100 unidades es $1005. ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades?. Los artículos se venden a $5 cada uno. Determino el incremento en la utilidad si el volumen de venta es incrementado de 1000 a 2000.

46) La función de ingreso marginal de cierta empresa es R’(x) =4 – 0.01x

a) Determino el ingreso obtenido por la venta de x unidades de su producto.b) ¿Cuál es la función de demanda del producto de la empresa?.

34) La función de utilidad marginal de una empresa es U’(x) = 5 – 0.002x ; y la empresa obtiene una utilidad de $310 al venderse 100 unidades. ¿Cuál es la función de utilidad de la empresa?.

Busco mis aciertos o desaciertos en las páginas 149-150 de las respuestas a esta actividad y me retroalimento.

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96


B. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

Anteriormente se expusieron algunas formulas de integración que nos permitían de manera directa o mediante algunas manipulaciones algebraicas calcular la integral indefinida de las funciones más comunes, algunas de ellas empleadas en las aplicaciones a la Administración y la Economía. Pero ¿qué sucede cuando estas fórmulas no son aplicables?, ¿o cuando las manipulaciones algebraicas no nos permiten simplificar las integrales de forma que podamos resolverlas? , en ese caso se deben aplicar técnicas de integración que pueden utilizarse cuando las otras reglas fallan y cuando la forma del integrando tiene la forma apropiada.

Antes de que continuemos adelante es conveniente indicar algunas reglas prácticas que son de amplia aplicación en el cálculo de integrales. Estas son:

a) Si se puede separar la integral dada en integrales parciales, se debe separar.b) Si se trata de fracciones y se puede efectuar la división se divide.c) Si se tiene un producto indicado y se puede efectuar la multiplicación se multiplica.d) Es conveniente expresar los radicales en forma de exponentes fraccionarios.

Sin embargo, estas reglas no tienen carácter absoluto, es decir, que en ocasiones no resulta útil su aplicación por lo tanto la experiencia y la práctica juegan un papel muy importante en el proceso de integración.

Es importante también aclararnos que todas las formulas de integración vistas hasta el momento deben ser memorizadas por el alumno, ya que son de uso muy frecuente. Esto se logrará, si hace una buena ejercitación de las mismas.

1. Puntos fundamentales y dificultades

Suponemos que durante el estudio del contenido de la primera parte de esta unidad y el análisis de los ejemplos que en ella aparecen, usted se habrá percatado de las dificultades especiales que presenta la integración en comparación con la derivación. El estudio de la integración requiere de mucha ejercitación, dado que, no existen reglas para integrar y las fórmulas que conocemos sólo son aplicables de manera directa a ejercicios

Objetivos

Conozco algunas reglas de integración y ejemplos de su uso.

Utilizó otros métodos de integración que pueden ser apropiados cuando no lo son las reglas básicas.

Calculo las integrales usando otras técnicas de integración.

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muy simples; lo que sí es cierto, es que Usted sabrá integrar más, mientras más integrales haya resuelto.

2. Integración por cambio de variable o sustitución

El uso eficaz del método de sustitución que veremos depende de la disponibilidad y manejo de una lista de integrales conocidas.

Supóngase que tiene que resolver una integral indefinida, la secuencia de análisis para su resolución sería la siguiente: si es una integral que se ajusta a las fórmulas básicas estudiadas se integra directamente, si ninguna de estas fórmulas se ajusta puede que sea necesario hacer algunas manipulaciones algebraicas para que se puedan aplicar las fórmulas de integración.

Si esto no es posible, podemos proponer un cambio de variable que permita reescribir la integral que queremos resolver en función de esa nueva variable de tal forma que puedan aplicarse las fórmulas de integración.

Si la primera sustitución que intente no funciona, intente con otra ya que se podrán hacer muchos cambios de variable pero uno o muy pocos nos permitirán resolver la integral. Tener habilidad para integrar, al igual que en la mayoría de las actividades humanas que valen la pena, depende de la práctica.

El procedimiento depende de la idea de diferencial. Si U = f(x), la diferencial de u, se escribe como du y se define como du = f ‘ (x) dx, esto es muy importante ya que al cambiar la variable también debemos cambiar el diferencial, el cual estará expresado en función de la nueva variable.

Este método de integración es de prueba y error así que si la integral no se simplifica con un cambio propuesto pruebe con otro o con otro método de integración, de ahí que la elección adecuada de u es esencial, sin embargo existen algunas orientaciones generales a tomar en cuenta y que nos ayudarán a superar esta etapa.

Ejemplo 1: Resuelvo ∫(3x2+4 )4 6 xdxSolución:En este caso proponemos hacer u = 3x2 + 4 lo cual nos sugiere que la integral se simplificará al obtener con el cambio de variable una potencia de u (u4) y no una función elevada a un exponente, ahora como la nueva variable de integración es u calculamos el du = 6x dx que no es mas que la derivada de lo que llamamos u por el diferencial de la variable x (dx) (variable original)

Sustituimos ahora en la integral indefinida anterior u por 3x2+4 y du por 6x dx

∫(3x2+4 )4 6 xdx= ∫(3x2+4 )4 (6 xdx ) =∫u4 du

Esta última integral puede ahora encontrarse mediante la regla de la potencia

∫u4 du=u5

5+C

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Finalmente sustituimos 3x2 +4 por u en la respuesta para volver a la variable original

∫(3x2+4 )4 6 xdx=(3 x2+4 )5

5+C

Es fundamental conocer las reglas de derivación ya que la elección adecuada de u , al hacer el cambio de variable, debe lograrse que todos los términos de la integral original aparezcan en u y du.

Resumiremos de forma general el procedimiento para resolver una integral por cambio de variable, enfatizando que estos pasos deberán adaptarse a las características de cada ejercicio en particular, este método bien utilizado es une herramienta muy útil para resolver integrales.

Integración por sustitución

1) Elegimos una sustitución u = f(x). Por lo general, es mejor elegir la parte interior de una función compuesta, por ejemplo, una función elevada a una potencia.

2) Calculamos el diferencia du = f ´(x) dx. Anotar cualquier factor k de f ´(x) que no sea un factor del integrando dado.

3) Reexpresamos el integrando en la forma f(u) du/k

4) Evaluamos la integral en términos de u.

5) Deshacemos la sustitución para obtener una primitiva en términos de x

Ejemplo 2: Evaluemos ∫(3x3+2 )6 x2dx

Solución:

Como se indicó anteriormente cuando un integrando contiene alguna expresión elevada a una potencia como (3x3 + 2)6 , se suele sustituir dicha expresión por la nueva variable. En consecuenciau = 3x3 + 2 , du = 9x2 dx y du/9 = x2 dx

Observemos que una vez que se ha decidido lo que haremos u, du (la diferencial de u) queda determinado por derivación, en este caso se despejó el valor de 9 para obtener la expresión x2 dx en términos del du.

Realizando la sustitución indicada tenemos

∫(3x3+2)6 x2 dx=∫ u6 ( du9 )=19∫ u6du

Resolvemos esta integral en términos de u

19∫u6 du=1

9u7

7+C= 1

63u7+C

99


Regresemos ahora a la variable original, sustituyendo el valor de u por 3x3 + 2

∫(3x3+2 )6 x2dx =

163(3 x3+2)7+C

Ejemplo 3 : Evaluemos ∫ 3

√5x−1dx

Solución:

Antes de comenzar a resolver la integral debemos expresar el radical en forma de exponente fraccionario y además podemos sacar el 3 que es una constante fuera de la integral, todo esto con el fin de que el integrando quede expresado en la forma más simple posible.

∫ 3

√5x−1dx

=

3∫ dx

(5x−1)1/2 = 3∫(5 x−1 )−1/2 dx

Hacemos u = 5x – 1 , du = 5 dx y du/5 = dx y cambiamos variables

3∫(5 x−1 )−1/2 dx =

3∫ u−1/2( du5 ) =

35∫u

−1/2du

Resolvemos en términos de u35∫u

−1/2du =

35

2u1/2+C =

65u1 /2+C

Sustituimos u = 5x –1 para regresar a la variable original

∫ 3

√5x−1dx

=

65(5x−1)1/2+C

=

65√5 x−1+C

Ejemplo 4: Evaluemos ∫ x √2x−1 dx

Solución: ∫ x √2x−1 dx = ∫ x (2 x−1)1/2dx

Hacemos u = 2x –1 , du = 2 dx y du/2 = dx , ya que el integrando contiene además un factor x que no aparece contemplado en el du, debemos despejar x en términos de u en la forma siguiente.

u=2x−1 ⇒ x=u+12

Ahora que tenemos todos los términos del integrando expresados en términos de u la integral queda expresada como sigue:

∫ x (2 x−1)1/2dx = ∫( u+1

2 )u1/2( du2 ) =

14∫(u+1 )u1/2 du

=

14∫(u

3 /2+u1/2 )du

Resolvemos la integral en términos de u

14∫(u

3 /2+u1/2 )du=

14 [ 25 u5 /2+2

3u3/2]+C

=

110

u5/2+ 16u3/2+C

sustituimos u por 2x –1 para regresar a la variable original y obtenemos

∫ x √2x−1 dx =

110(2 x−1 )5/2+ 1

6(2x−1 )3/2+C

100


Ejemplo 5: Evaluemos ∫ x3ex4+2

dx

En esta integral aparece una función exponencial de base e, y debemos recordar que tenemos una fórmula de integración que involucra a la función exponencial particularmente si esta tiene la forma eu , si hacemos una rápida inspección del exponente de la función exponencial x4+2 podemos observar que su derivada 4x3 nos genera el otro factor que aparece en el integrando, esto nos indica que este podría ser el cambio de variable apropiado para reducir la integral a la forma eu que es más sencilla para integrar.u = x4+2 du = 4x3 dx du/4 = x3 dx

Expresamos en términos de u la integral y la resolvemos obteniendo:

∫ x3ex4+2

dx = ∫eu( du4 )

=

14∫e

u du =

14eu+C

=

14ex4+2+C

Ejemplo 6: Evaluemos ∫ 3 x

x2−1dx

Esta integral al igual que en los ejemplos anteriores no se puede resolver por integración directa y en el integrando no aparece ninguna función elevada a una potencia, sin embargo si hacemos el cambio de variable u = x2 – 1 esta integral quedaría expresada de

tal forma que sería posible aplicar la fórmulas de integración ∫ du

u=lnu+C

.

u = x2 – 1 , du = 2x dx y du/2 = x dx

∫ 3 x

x2−1dx

= 3∫ x

x2−1dx

=

32∫

duu =

32

ln u+C=32

ln ( x2−1 )+C

Todos los ejemplos que hemos desarrollado tienen el objetivo de servir como modelos para resolver otras integrales y los ejercicios propuestos por el método de sustitución, pero de ninguna manera reflejan todos los tipos de integrales que nos podemos encontrar, es por eso que insistimos que tanto la práctica como la creatividad y persistencia son cualidades que nos pueden llevar a utilizar apropiadamente este método de resolución de integrales

101



Resuelvo las siguientes integrales aplicando el método de integración por cambio de variable o sustitución:

1)∫(2x+6 )5dx2)∫ √4 x−1 dx

3)∫e1− x

dx 4)∫ x ex2

dx 5)∫ t ( t2+1)5 dt

6)∫ x2 (x3+1)3/ 4dx7)∫ 2 y4

y5+1dy

8)∫( x+1 )( x2+2 x+5 )12dx9)∫ ln x

xdx

10)∫ 1

x ( ln x )2dx

11)∫ e

√x

√ xdx

12)

∫ x3√1−2 x2

dx13)∫ x √x−2 dx

14)∫ x

x2+4dx

15)∫ x ( x2+1 )−4 dx16)∫6 z ( 4+z2 )5/3dz

17)∫(1+2x )42dx

18)∫ 6 x

(1+x2 )3dx

19)∫(2x+1 )7 dx20)∫ 1

(2−5 t )2dx

21)∫ 1

2 y−1dy

22)∫ 2u−1

4 u2−1dx

23)∫ e3 x+2dx24)∫ e5

exdx

25)∫ e2 x+3

e1−x dx

26)∫( x2+7 x+3)4(2 x+7)dx27)∫ 2x+3

( x2+3 x+1)3dx

28)∫ x √x2+1.dx

29)∫ x

x2+1dx

30)

∫ t23√ t3+8

dt31)∫ ( √x+7 )5

√xdx

32)∫√x (2+x √x )5 dx

33)∫ tet2

dt34)∫ ex

n

x1−ndx

35)∫ e3/ x

x2dx

36)∫ √xex √x

dx37)∫ x2e x

3

dx 38)

∫ (2 x−1 )e x2

exdx

39)

∫ ex

( ex+1)2dx

40)

∫ e3 x

3−e3 xdx

41)∫ e x+e−x

ex−e− xdx

42)∫ ln x

xdx

43)∫ √ ln x

xdx

44)∫ 1x( ln x )3dx

45)∫ 1x (1+ ln x )

dx

46)∫ 3 t2+1t ( t2+1)

dt47)∫( x+2 )√x2+4 x+1.dx

48) ∫ ln (2x )

xdx

49)∫ t2

t−1dt

50) ∫ x √x+1 .dx

102


51) El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por C’=x

1000√ x2+2500

en donde x es el número de zapatos producidos.Si los costos fijos son de $100, determino la función de costo.

Busco mis aciertos o desaciertos en la página 150-151 de las respuestas a esta actividad y me retroalimento.

3. Integración por partes.

Si la integración por sustitución falla al no permitirnos expresar la integral que estemos resolviendo de forma más sencilla (donde podamos aplicar directamente las fórmulas de integración), podemos utilizar un nuevo método que se conoce como integración por partes. Este método se aplica a una gran variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que contienen un producto de funciones algebraicas o trascendentes.

La esencia del método consiste en hallar la solución de una integral que no se puede resolver mediante las fórmulas de integración ni por cambio de variable, mediante la aplicación de una fórmula que la descompone en otra integral más sencilla de resolver por los métodos estudiados anteriormente. El método se fundamenta en la fórmula del diferencial de un producto:

Recuerde la regla para la diferenciación de un producto explicada en el curso anterior, ésta regla establece que si u y v son funciones diferenciables entonces:

d (u.v) = u dv + v du de donde u dv = d (u.v) – v du

Al integrar en cada miembro de esta ecuación se obtiene:

∫ u dv =∫ d(u .v )−∫ v dua ésta ecuación se le llama fórmula para integración por partes.Formula de integración por partes

∫udv=u .v−∫vdu

Esta fórmula expresa la integral ∫udv en términos de otra integral, ∫ vdu . Para aplicar esta fórmula en un caso dado, debe descomponerse el integrando en dos factores que llamaremos u y dv. Por medio de una elección adecuada de u y dv puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la primera. Cuando se eligen las sustituciones para u y dv se recomienda que dv sea el factor mas complicado del integrado que se pueda integrar directamente y que u sea una función cuya derivada sea una función más simple.

El procedimiento de integración por partes es un método de tanteo que puede o no dar buenos resultados con un integrando determinado por esa razón no pueden darse instrucciones generales para la elección de los factores, pero las siguientes siempre deben tenerse en cuenta.

103


1) dx es siempre parte de dv.2) Debe ser posible integrar dv

3) Escojemos u y dv de tal manera que ∫ vdu sea más simple que ∫udv .

Con varios ejemplo aclararemos este proceso

Ejemplo 1. Determinemos ∫ x exdx .

Solución: La primera observación debería ser que el integrando viene en una forma de producto. A continuación trataremos de definir dos funciones u y dv tales que el integrando tenga la forma u dv.

Una sugerencia es examinar los factores del integrando para determinar si uno de ellos presenta la forma de la derivada de otra función.

A continuación se definiremosdv = xdx y u = ex con las definiciones anteriores es posible determinar v al integrar dv y u´ al diferenciar u o sea dv = xdx indica que v(x) = x2 / 2 + C y u (x ) = ex

indica que du = ex dx , ahora sustituiremos en la fórmula

∫ x ex dx=¿ex .x2/2−∫ x2¿2. ex dx . ¿

Un examen de ∫ x2/2 ..ex dx ,Indica que esta integral puede ser más difícil de evaluar que la integral original. Por ello retrocederemos e iniciamos de nuevo. Redefiniremos a dv y u tales que: dv = ex dx y u = x. Con estas definiciones u = x indica que du = dx y dv = e xdx indica que v = ex + c

Sustituyendo en la fórmula obtenemos:

∫ xe xdx=xex−∫ exdx=xex−ex+C puesto que ∫ exdx=e x

En esta ocasión pudimos observar que la nueva integral que resultó al aplicar la fórmula, fue más fácil de resolver lo cual es el objetivo de este método.

comprobación : Al diferenciar esta respuesta se encuentra que: d/dx [ xex – ex +c ] = ex + xex – ex = xex

Ejemplo 2 Determinemos ∫ x2 ln xdx

Solución: si hacemos u = lnx y dv = x2 dx entonces, du = 1 / x dx y

v=∫ x2dx= x3

3 al sustituir en la formula se obtiene:

∫ x2 ln x= (ln x )( x3

3 )−∫ x3

3.

1xdx

104


=

x3

3ln x−∫ x2

3dx= x

3

3ln x− x3

9+c .

comprobación: La verificación de esta respuesta por diferenciación nos da:

d /dx [ x3

3ln x− x3

9+c ]=( 3 x2

3 ) ln x+ 1x ( x

3

3 )−3 x2

9=x2 ln x+ x

2

3− x2

3=x2 ln x .

Ejemplo 3 Determinemos ∫ x ln xdx .Solución : Hacemos u = lnx y dv = xdx se obtiene du = dx/x y

v = ∫ xdx= x2 /2. Aplicando la fórmula para la integración por parte nos da:

∫ x ln xdx=( ln x )( x2 /2)−∫ x2 /2(1/ x )dx

= x2/2 ln x−1/2∫ xdx

= x2/2 ln x−1

4x2+c=1

2x2 ln x−1

4x2+c .

comprobación :

d /dx [ 12 x2 ln x−14x2+c ]=1

2x2 (1/ x )+x ln x−1

2x=

=12x+x ln x− 1

2 x=x ln x .

Ejemplo 4 Evaluemos ∫ x3 ex2

dx=∫ x2 xex2

dx .

Solución: Para determinar las sustituciones para u y dv, debemos tener en mente que para hallar v debemos poder integrar dv. Esto sugiere que hagamos,

dv=xex2

dx y u = x2 integramos para encontrar v o sea

v=12ex

2

+c1 también calculamos el du = 2xdx y con la fórmula tenemos:

∫ x3 ex2

dx=x2( 12 ex2)−∫(12 ex

2)2 xdx .

=

12x2ex

2

−∫ xex2

dx

=

12x2ex

2

−12ex

2

+C

=

12ex

2

(x2−1 )+C

Ejemplo 5 Hallemos ∫ x2e xdx .

105


Solución: Sea u = x2 y dv = ex dx entonces, du = 2xdx y v = ex tenemos:

∫ x2e xdx=x2ex−2∫ xe xdx . Ahora aplicamos la integración por partes a la integral de la

derecha.

Sea u = x y dv = ex dx entonces du = dx y v = ex. Por ello, obtenemos:

∫ xe xdx=xex−∫ exdx = xe

x−ex+c .

de todo esto: ∫ x2e xdx=x2ex−2 [xe x−ex+c ] = x

2ex−2 xex+2ex+c

Generalmente la integración por partes se emplea a menudo cuando el integrando incluye logaritmos y productos de funciones.


Resuelvo las siguiente Integrales aplicando el método de integración por partes y el cambio de variable cuando se requiera.

1)∫ xe 3 xdx 2)∫ ln xdx3)∫ ( ln x )2 dx

4)∫ xex

( x+1 )2dx

5)∫ x3 dx

√1−x26)∫ x2 3x dx

7)∫ x e2 x dx8)∫ x e− x dx

9)∫ x3√ x+1 dx

10)∫ ( x+4 ) 1nx dx11)∫ x ( x+2 )4 dx

12)∫ x

√ x−3dx

13)

(1nx )x2

dx14)∫ xn ln x dx

15)∫ √x lnx dx

16)∫ ln √x√x

dx17)∫( x+1 )2 ln( x+1) dx

18)∫ ln (ex ) dx

19)∫ x2 ln (ex ) dx20)∫ x emx dx

21)∫(2x+1 ) e3x dx

22)∫ ln( xx ) dx23)∫ x2e x dx

24)∫ ln( xx2

) dx

25)∫ x3 ex2

dx (Sugerencia: Sea x2 = u )

106


26) Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por

C '( x )=5000 ln( x+20 )(x+20 )2 en donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos

ascienden a $2000, determino la función de costo.

Busco mis aciertos o desaciertos en la página 151 de las respuestas a esta actividad y me retroalimento.

107


4. Integración de funciones racionales por fracciones parciales.

Las funciones racionales tienen la forma de un cociente de dos Polinomios. Existen muchas funciones racionales que no pueden integrarse por medio de las reglas en especial por partes vistas anteriormente. Cuando es así, una posibilidad consiste en que la función racional sea expresada otra vez en una forma equivalente constituida por más funciones elementales.

Si H( x ) = P (x) / Q (X) , donde P (X) y Q (x) son polinomios, anteriormente vimos que si el grado del numerador no es menor que el grado del denominador, tenemos una fracción impropia y en este caso dividimos el numerador entre el denominador hasta obtener una fracción propia, en la cual el grado del numerador sea menor que el grado del denominador.

Ejemplo 1:

x4−10 x2+3 x+1x2−4

=x2−6+ 3 x−23x2−4 si queremos integrar

∫ x4−10 x2+3 x+1

x2−4dx=∫ (x2−6 )dx+∫ 3 x−23

x2−4dx .

En general, nos interesa la integración de expresiones de la forma P (x) / Q (x) dx donde el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Para hacer esto, suele ser necesario escribir P(x) / Q(x) como la suma de fracciones parciales. Los denominadores de tales fracciones se obtienen al factorizar Q (x) como un producto de factores lineales y cuadráticos. A veces puede ser difícil encontrar estos factores de Q(x). Sin embargo, un teorema de álgebra avanzado se afirma que teóricamente esto siempre puede hacerse. Enunciamos este teorema sin demostración.

Cualquier polinomio con coeficientes reales se puede expresar como un producto de factores lineales y cuadráticos, de tal forma que cada uno de los factores tenga coeficientes reales.

Después de que Q(x) ha sido factorizado en productos de factores lineales y cuadráticos, el método para determinar las fracciones parciales depende de la naturaleza de dichos factores. Consideramos varios casos por separados.

Caso 1. Los factores de Q (x) son todos lineales y ninguno se repite, es decir :

Q( x )=( x−a1)( x−a2 ). .. (x−an ) donde no hay dos factores idénticos. En este caso escribimos

(1)

P( x )Q( x )

≡A1

x−a1

+A2

x−a2

+. ..+An

x−andonde A1 , A2 , ......... An son constantes que se van a determinar.

108


Nótese que empleamos Ξ ( léase “ idénticamente igual “ ) en lugar de = en ( 1 ). Esto se debe a que es una identidad para el valor de cada A1.

Ejemplo 2: Calculemos

∫( x−1)dxx3−x2−2x

¿ ¿∫ ¿

Factorizando el denominador tenemos :

(2)

x−1x( x−2)( x+1)

≡ Ax+ Bx−2

+ Cx+1

Esta ecuación es una identidad para toda x (excepto x = 0, 2, -1)de (2) obtenemos.x−1≡A ( x−2)( x+1)+Bx ( x+1 )+Cx( x−2 ) (3). La ecuación (3) es una identidad la cual es cierta para todos los valores de x incluyendo 0, 2 y –1. Deseamos encontrar las constantes A, B y C. De la sustitución de 0 por x en (3) obtenemos

−1=−2 A o A=1

2 Al sustituir 2 por x en (3) obtenemos

1=6 B o B=1

6 Sustituyendo -1 por x en (3) obtenemos

−2=3CC=−2

3 .

x−1x( x−2)( x+1)

≡

12x+

16

x−2+

23x+1

por tanto podemos expresar la integral como sigue:

∫ x−1

x3−x2−2 xdx=1

2∫dxx+ 1

6∫dxx−2

−23∫

dxx+1

=12

ln|x|+ 16

ln|x−2|−23

ln|x+1|+ 16

ln|C|

=16(3 ln|x|+ln|x−2|−4 ln|x+1|+ln|C|)

=16

ln|Cx3 ( x−2 )( x+1 )4

|

Otro método para calcular A , B y C . Si en el lado derecho de (3) combinamos términos,

x−1≡( A+B+C ) x2+(−A+B−2C ) x−2 A (4)para que (4) sea una identidad, los coeficientes en la izquierda deben ser iguales a los coeficientes correspondientes en la derecha. Por tanto,A+B+C=0 , −A+B−2C=1 , −2 A=−1 . Resolviendo éstas ecuaciones

simultáneas , obtenemos A=1

2 , B=1

6 , Y C=−2

3 .

109


Ejemplo 3: Calculemos ∫ x+3

x2+3 x+2.dx

Solución : x2+3 x+2=( x+2 )( x+1 )

x+3( x+2)( x+1)

= A( x+1)

+ B( x+2) para toda x (excepto para x = -2 y –1 )

x+3=A ( x+1 )+B ( x+2 ), si x = -2 obtenemos que 1 = -B → B = -1 si x = -1 obtenemos 2 = A → A = 2 , sustituyendo los valores de A y de B tenemos :

x+3( x+2 ) ( x+1 )

= 2x+1

− 1x+2 integrando tenemos,

∫ x+3

x2+3 x+2dx=2∫ dx

x+1−∫ dx

x+2=

2 ln ( x+1 )−ln ( x+2 )+C=ln( x+2 )2

( x+2 )+C

Caso 2: Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos repetidos.Supongamos que ( x – ai ) es un factor que se repite p veces. Entonces correspondiente a este factor habrá la suma de p fracciones parciales.

A1

(x−a1)p+

A2

(x−a1 )p−1+. . .. .. .+

Ap−1

(x−a1)2+

A p

x−a1

donde A1 , A2 , ........ Ap son constantes que van a ser determinadas.

Ejemplo 4: Encontremos ∫ x3−1

x2 ( x−2 )3dx

Escribimos la fracción en el integrando como una suma de fracciones parciales como sigue :

x3−1

x2 (x−2 )3≡ Ax2+ Bx+ C( x−2 )3

+ D( x−2 )2

+ E( x−2 )

La anterior es una identidad para toda x ( excepto x = 0 , 2 ). Multiplicamos ambos lados de ( 5 ) por el mínimo común denominador.

x3−1≡A ( x−2 )3+Bx (x−2 )3+Cx2+Dx2 ( x−2 )+Ex2 (x−2 )2 ó

x3−1≡A (x3−6 x2+12 x−8 )+Bx (x3−6 x2+12 x−8 )+Cx2+Dx3−2Dx2+Ex2 ( x2−4 x+4 ).ó

x3−1≡(B+E ) x4+ (A−6 B+D−4 E ) x3+ (−6 A+12B+C−2D+4 E ) x2+(12 A−8 B ) x−8 A .Igualamos los coeficientes de potencias iguales de x obteniendo:B+E=0A−6B+D−4 E=1−6 A+12 B+C−2D+4 E=012 A−8 B=0

110


−8 A=−1

Resolviendo obtenemos: A=1

8,B= 3

16,C= 7

14, D= 5

4,E=−3

16.

Por lo tanto de (5) tenemos :

x3−1

x2 (x−2 )3≡

18

x2+

316x+

74

( x−2 )3+

54

( x−2 )2−

316

( x−2 ) de este modo:

∫ x3−1

x2 ( x−2 )3dx=1

8∫ dxx2+ 3

16∫ dx

x+ 7

4∫ dx

( x−2 )3+ 5

4∫ dx

( x−2 )2− 3

16∫ dxx−2

.

=−18x+ 3

16ln|x|− 7

8 ( x−2 )2− 5

4 ( x−2 )− 3

16ln|x−2|+C .

=−x2−13x+16

8 x ( x−2 )2+ 3

16ln| x

x−2|+C .

Ejemplo 5: Calculemos ∫ 5 x+8

x2+4 x+4dx

x2+4 x+4=( x+2 )25 x+8

( x+2 )2= A

(x+2 )2+ B( x+2 )

≡ −2

( x+2 )2+ 2( x+2 )

5 x+8=A+B (X+2 )5 X+8=A+Bx+2 B5 x+8=Bx+ (A+2B )→B=5 , A+2 B=8→A+2 (5 )=8=A+10=8→A=8−10→ A=−2.

∫ 5x+8

( x+2 )2dx=5∫ dx

x+2−2∫ dx

( x+2 )2=5 1n|x+2|−

−2 ( x+2 )−1

−1+C .

=5 ln|x+2|+ 2x+2

+C .

Ejemplo 6: Encontremos ∫ 2 x2−1

x3+x2dx

Solución:

x3+x2=x2 ( x+1 )2x2−1x2 (x+1 )

= Ax2+ Bx+ C( x+1 )

2 x2−1=A (x+1 )+Bx ( x+1 )+Cx2

2 x2−1=Ax+A+Bx2+Bx+Cx2

2 x2−1=Bx2+Cx2+Ax+Bx+A2 x2−1=x2 (B+C )+x ( A+B )+A .→B+C=2→1+C=2→C=2−1→C=1.

111


A+B=0→A=−1→B=1.A=−1.2x2−1x2 (x+1 )

=−1x2+ 1x+ 1x+1

∫ 2 x2−1x2 ( x+1 )

dx=∫ dxx−∫ dx

x2+∫ dx

x+1

=ln|x|+ 1x+ ln|x+1|+C .


Resuelvo las siguientes integrales aplicando el método de integración de funciones racionales por fracciones parciales y la integración por cambio de variable cuando sea necesario.

1)∫ dx

x2−4 2)∫ 5 x−2

x2−4dx

3)∫ 4ww−1

2w2+7w−4dw

4)∫ 6 x2−2x−1

4 x3−xdx

5)∫ dx

x3+3 x26)∫ dx

x2( x+1)2

7)∫ x2−3 x−7(2 x+3)( x+1)2

dx8)∫ 3 z+1

( z2−4 )2dz

9)∫ x−3

x3+x2dx

10)∫ x2−4 x+3

x ( x+1 )2dx

11)∫ 5−xx2−5 x+6

dx12)∫ 7−2 x

x2−2x+1dx

13)∫ 5 x2−2 x+6

x3−16 xdx

14)∫ 4 x2−2 x−6

x3−xdx

Comparo mis respuestas con aquellas que se me presentan en la página 151 de las hojas de respuestas y me retroalimento.

112


113


C. APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Al estudiar la derivada de una función, estábamos interesados en encontrar la razón de cambio de esa función con respecto a la variable independiente, en este caso si se conoce la razón de cambio el objetivo es hallar una expresión para la función misma. Como la razón de cambio esta dada por la derivada de la función, para encontrar la función aplicamos el proceso de antiderivación o integración.

Ejemplo 1.

Se estima que dentro de x meses la población de cierto pueblo cambiará a una razón de 2 + 6x personas por mes. Si la población actual es 5,000 personas, ¿Cuál será la población dentro de 9 meses?

Solución:

Sea P(X) la población dentro de x meses. Entonces la razón de cambio de ésta con respecto al tiempo es la derivada

dPdx=2+6√ x=2+6 x1/2

por lo tanto la función de población P(x) es una antiderivada de 2 + 6x1/2. Es decir,

P(x) = ∫ dPdx

dx=∫(2+6 x1/2)dx= 2x + 4x3/2 + C

Determinamos C, utilizando la información de que en la actualidad (cuando x = 0) la población es 5,000 personas. Es decir

5,000 = 2(0) + 4(0)3/2 + C ó C = 5,000

Por lo tanto P(x) = 2x + 4x3/2 + 5,000

Y dentro de 9 meses la población será

P(9) = 2(9) + 4(9)3/2 + 5,000 = 5,126

1. Costo

114


Si el costo total C de producir y comercializar x unidades de un producto está dado por la función

C = C(x)

Entonces el costo promedio por unidad es

C̄=C( x )x

y el costo marginal estará dado por

C’ = C’(x) Es decir el costo es la primera derivada de la función de costo total C = C(x), con respecto a x. Por lo tanto, el costo total será la integral con respecto a x de la función de costo marginal; o sea,

C = ∫C '( x )dx=C( x )+C

Para obtener una única función de costo total al integrar la correspondiente función de costo marginal, debe especificarse una condición inicial. Frecuentemente tal especificación se hace en términos del costo de un nivel determinado de producción.

Ejemplo 2.

Un fabricante descubrió que el costo marginal cuando se producen x unidades es 3x2 – 60x + 400 dólares por unidad. Si el costo total de producción de las dos primeras unidades es de $900, ¿Cuál es el costo total de producción de las primeras cinco unidades?

Solución

Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función de costo total C(x). Así .C(x)=3x2 – 60x + 400

y por lo tanto C(x) es la antiderivada

C(x) = ∫C' ( x )dx=∫(3 x2−60x+400)dx=x3−3 x2+400 x+K

(Se empleó K como constante para evitar confusión con el costo C)

El valor de K está determinado por el hecho de que C(2) = 900.900 = (2)3 – 30(2)2 – 400(2) + K esto es K = 212

Por lo tanto C(x) = x3 – 30x2 + 400x + 212

y el costo de producción de las 5 primeras unidades

C(5) = (5)3 – 30(5)2 + 400(5) + 212 = $1,587

Ejemplo 3.

115


En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de $4,000. Los costos fijos son costos que permanecen constantes durante todos los niveles de producción en un período dado. Si la función de costo marginal es

C’(x) = 0.000001(0.002x2 – 25x) + 0.2donde C es el costo total de producir x libras de producto por semana, encontrar el costo de producir 10,000 libras en una semana

Solución:

C = ∫ [0.000001(0.002x2 – 25x) + 0.2] dx

=0.000001 ( 0 . 002x3

3−25 x2

2 )+0 . 2x+K

De la condición inicial tenemos que C = 4,000 cuando x = 0, y al sustituir obtenemos K = 4,000 y

C(x) = 0.000001 ( 0 . 002x3

3−25 x2

2 )+0 . 2x+4 ,000

Cuando x = 10,000 C(x) = 5,416.67

El costo total de producir 10,000 libras de producto en una semana es de $5,416.67.

2. Ingreso

Para una cierta función de demanda p = f(x), en la cual p es el precio por unidad y x es el número de unidades vendidas, el ingreso total R es el producto de x y p es decir,

R = x.p = x.f(x)

El ingreso marginal en función de la cantidad demandada es la derivada del ingreso total con respecto a x

dRdx = R’(x)

Por lo tanto, la función de ingreso total es la integral con respecto a x de la función de ingreso marginal; es decir,

R = ∫R’(x) dx = R(x) + C

tiene que especificarse una condición inicial para obtener una única función de ingreso total integrando la correspondiente función de ingreso marginal. Para evaluar la constante

116


de integración puede usarse la condición inicial de que el ingreso es cero cuando la demanda es nula.

Ejemplo 4

Si la función de ingreso marginal es

R’(x) = 8 – 6x – 2x2

determinar la función de ingreso total y la función de demanda

Solución:

R(x) = ∫ (8 – 6x – 2x2) dx = 8x – 3x2 – 2x3/3 + C

Si x = 0, R = 0 por lo que se deduce que C = 0, y se tiene

R(x) = 8x – 3x2 – 2x3/3

Para obtener la función de demanda simplemente utilizamos la relación R(x) = p.xde donde p = R(x)/x

p = R/x = 8 – 3x – 2x2/3

Ejemplo 5

Si la función de ingreso marginal de una empresa esta dada por

R’(x) = 15 – 0.01x

determinamos la función de ingreso total y encontramos la relación de demanda para el producto de la empresa.

Solución:

La función de ingreso es la integral de la función de ingreso marginal. Así que

R(x) = ∫R’(x) dx = ∫ (15 – 0.01x) dx = 15x – 0.005x2 + C

A fin de determinar C, usamos la condición inicial de que el ingreso es cero Cuando no se venden unidades. Es decir x = 0 y R = 0

0 = 15(0) – 0.005(0)2 + C

lo que da C = 0. Por lo tanto la función de ingreso es

R(x) = 15x – 0.005x2

Sustituimos R(x) por p.x para encontrar la relación de demanda

117


p.x = 15x – 0.005x2 o bien p = 15 – 0.005x

3. Ingreso, consumo y ahorro nacional

Si la función de consumo está dada por c = f(x), en la cual c es el consumo nacional total y x es el ingreso nacional total, entonces la propensión marginal al consumo es la derivada de la función de consumo con respecto a x

dcdx = f’(x)

y suponiendo que x = c + s, en donde s es el ahorro la propensión marginal al ahorro será

dsdx = 1 -

dcdx

Por lo tanto el consumo nacional total es la integral con respecto a x de la propensión marginal al consumo.

c = ∫ f’(x) dx = f(x) + C

Debe especificarse una condición inicial para obtener una función de consumo única al integrar la correspondiente función de la propensión marginal a consumir.

Ejemplo 6

La propensión marginal al consumo (en miles de millones de unidades monetarias) es

dcdx = 0.7 +

0 .2

√ xCuando el ingreso es cero, el consumo vale 8 mil millones de unidades monetarias. Determine la función de consumo.

Solución:

c = ∫ ( 0.7 +

0 .2

√ x ) dx = 0.7 + 0.4x + C

Si x = 0, c = 8 y C = 8 por lo tanto la función de consumo es

c = 8 + 0.7x + 0.4x

118


Ejemplo 7

La propensión marginal a ahorra vale 1/3. Cuando el ingreso es cero el consumo es de 11 mil millones de unidades monetarias. Obtener la función de consumo.

Solución:

dcdx = 1 -

dsdx = 1 – 1/3 = 2/3

c = ∫ 2/3 dx = 2x/3 + CSi x = 0, c = 11 y C = 11 por lo tanto la función de consumo es

c = 2x/3 + 11

Actividad de autoaprendizaje No. 5

Resuelvo los siguientes ejercicios de aplicación utilizando las técnicas de integración estudiadas en esta unidad.

1) Si el ingreso marginal es una constante diferente de cero, demuestro que el precio es constante.

2) Si R´(x) = 0 y R(0) 0, ¿Cuál es al naturaleza de la curva o gráfica de demanda?

3) Si el costo marginal es constante, demuestro que la función de costo total es una línea recta.

4) La propensión marginal al consumo (en miles de millones de unidades monetarias, u. m) es dcdx=0 .6+ 0 .5

2 x1/2

Cuando el ingreso es cero, el consumo vale 10 mil millones de u. m. Obtengo la función de consumo.

5) La función de costo marginal para la producción es C´ = 10 + 24x – 3x2; si el costo (total) de producir una unidad es 25, determino la función de costo total y la función de costo promedio.

6) Si el ingreso marginal es R´ = 15 – 9x – 3x2, evalúo las funciones de ingreso y de demanda.

7) Si el ingreso marginal es R´ = 10 – 5x, determino las funciones de ingreso total y de demanda.

119


8) Si el ingreso marginal es R´ = 20 – 3x2, obtengo las funciones de ingreso total y de demanda.

9) La propensión marginal al consumo (en miles de millones de u. m.) es dcdx=0 .5+ 1

3 x1/3

Cuando el ingreso es cero, el consumo es de 6 mil millones de u. m. Establezco la función de consumo.

10) La propensión marginal al ahorro (en miles de u. m.) esdsdx=1−0 .4− 1

6 x2/3

Cuando el ingreso es nulo, el consumo vale 9 mil millones de u. m. Obtengo la función de consumo.

11) El ingreso marginal por un producto está dado por 50 – 3x – x2 Encuentro la función de demanda para el producto. (Sugerencia: recuerdo que R=xp. Además, si x=0, R=0)

12) La ganancia marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es P´(x)=4– 6x + 3x2 y la “ganancia” cuando ningún artículo se vende es de -$40. Encuentro la función de ganancia.

13) Un fabricante estima que el costo marginal es 6q + 1 dólares por unidad cuando se han producido q unidades. Si el costo total (incluidos los costos fijos o indirectos) de producción de la primera unidad es $130, ¿cuál es el costo total de producción de las 10 primeras unidades?

14) La utilidad marginal (la derivada de la utilidad) de cierta compañía es 100 – 2q dólares por unidad cuando se producen q unidades. Si la utilidad de la compañía es $700cuando se producen 10 unidades, ¿cuál es la máxima utilidad posible para la compañía?

15) Supongo que se ha determinado que el ingreso marginal asociado a la producción de x unidades de determinado artículo es R’(x) = 240 – 4x dólares por unidad:. a) ¿Cuál es la función de ingreso R(x)? Si R(0) = 0 y, b) qué precio se pagará por cada unidad cuando el nivel de producción es x = 5 unidades?

16) La función de costo marginal para la producción es C’(x) = 10 + 24x – 3x2 ; si el costo total de producir una unidad es 25, determino la función de costo total y costo promedio

120


Busco los resultados en la página 151 de las hojas de respuestas, las comparo con las obtenidas y me retroalimento.

121


D. LA INTEGRAL DEFINIDA

1. La sumatoria

Para el desarrollo de la integral definida usaremos sumas de muchos números. Para expresar tales sumas en forma compacta es conveniente utilizar la notación de

sumatoria. Por ejemplo, dado un conjunto de números { a1, a2, a3, ..., an}, el símbolo ∑i=1

n

ai

representa su suma indicada o sumatoria es decir,

∑i=1

n

ai = a1 + a2 + a3 + …..+ an

La letra griega sigma mayúscula denota la sumatoria y ai representa el i-ésimo término. La letra i se llama índice de sumatoria o variable de sumatoria y adquiere valores enteros sucesivos. Los enteros 1 y n denotan los valores extremos del índice de la sumatoria sin embargo el índice de la sumatoria no tiene que comenzar en 1. Por ejemplo,

∑i=4

8

ai = a1 + a2 + a3 + a4, + a5, + a6, + a7 + a8

Para denotar el índice de una sumatoria se pueden usar otras letras además de i. Por ejemplo,

∑k=1

n

f ( xk )Δx = f(x1)x + f(x2)x + f(x3)x + f(x4)x + ……. + f(xn)x

Ya que la notación de sumatoria nos ayudará a expresar de forma simplificada la suma de muchos términos, será necesario conocer algunas de sus propiedades.

Teorema

Sea n un entero positivo y sean { a1, a2, a3, ..., an} y { b1, b2, b3, ..., bn} dos conjuntos de números reales. Entonces

1. ∑i=1

n

(ai+bi )=∑i=1

n

a i+∑i=1

n

bi.

2. ∑i=1

n

cai=c (∑i=1

n

a i) para todo número real c.

3. ∑i=1

n

(ai−bi )=∑i=1

n

ai−∑i=1

n

bi

122


2. Área de una región plana

Desde tiempos muy remotos el hombre se interesó por hallar métodos que le permitieran determinar áreas de regiones planas. En la edad antigua los egipcios y en especial los griegos hicieron serios avances en este sentido, ahora los métodos han mejorado por los aportes de decenas de matemáticos durante siglos y esto ha dado lugar a la definición de integral y con ello a una definición general y precisa del concepto de área.

Seguro que todos estamos familiarizados con las fórmulas para calcular áreas de rectángulos, triángulos, círculos y en general de regiones planas que pueden descomponerse en esas figuras geométricas como en el caso de la topografía donde para calcular el área de terrenos de forma poligonal, utilizan la técnica de desmembración que no es más que descomponer el polígono en triángulos para los cuales es posible determinar el área y posteriormente sumar dichas áreas para tener el área total del terreno (ver figuras 2.1, 2.2, 2.3, 2.4).

Figura 2.1 Figura 2.2 Figura 2.3 Figura 2.4

Para calcular el área de regiones más complicadas, cuyas fronteras están dadas por gráficas de funciones, es necesario utilizar un proceso límite y aplicar los métodos del cálculo.

Sea R una región de un plano coordenado acotada por las rectas verticales x = a y x = b, por el eje x y por la gráfica de la función f que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] (ver figura 2.5)

y = f(x)

R

x = a x = b

Figura 2.5

123

f(xi)


El área bajo la gráfica de f entre x = a y x = b puede aproximarse como sigue: primero se divide el intervalo a x b en n subintervalos iguales de ancho x de tal forma que

Δx=b−an , y se toma xi como el comienzo del i-ésimo subintervalo; luego se dibujan n

rectángulos tales que la base del i-ésimo rectángulo sea el i-ésimo subintervalo y la altura del i-ésimo rectángulo sea f(xi) que es el mínimo absoluto de la función en el subintervalo [xi , xi+1]. (ver figura 2.6)

xo=a xi xi+1 xn=b

Figura 2.6

El área del i-ésimo rectángulo es f(xi)x por lo tanto una aproximación del área bajo la curva desde x = a hasta x = b se obtiene sumando las áreas de todos los n rectángulo

AREGION f(x1)x + f(x2)x + f(x3)x + + f(xn)x = ∑i=1

n

f ( x i)Δx

Si se divide el intervalo [a, b] en más subintervalos, podemos esperar una mejor aproximación para el valor del área A. (ver figuras 2.7, 2.8)


Ahora haciendo que el número de subintervalos “n” entre a y b crezca sin límite, y por lo tanto el número de rectángulos, el valor de la sumatoria de las áreas de los rectángulos se aproxima a un límite. Este límite es el que se toma como definición de la medida del área de la región R

124


Definición del área de una región plana

Area de una región plana

Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], con f(x) 0 para toda x en [a, b], y que R es la región limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x

= b. Divida el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de longitud Δx=b−a

n , y denote el i-ésimo subintervalo por [xi , xi+1]. Entonces si f(xi) es el valor de la función mínimo absoluto en el i-ésimo subintervalo, la medida del área de la región R está dada por

A= limn→+∞∑i=1

n

f ( xi)Δx

3. Integral definida

De forma más general, en el proceso utilizado para encontrar el área de la región bajo la curva y = f(x) y además acotada por el eje x y las rectas x = a y x = b, los subintervalos pueden tomarse de diferentes longitudes 1x, 2x, 3x, .. ix y la altura del i-ésimo rectángulo puede trazarse a partir de cualquier punto wi dentro del i-ésimo subintervalo quedando expresada como f(wi) por lo tanto la suma de las áreas de los n rectángulos quedaría expresada como.

∑i=1

n

f (w i)Δi x

Esta suma recibe el nombre de suma de suma de Riemman

Cuando n tiende al infinito el ancho de los rectángulos ix tiende a cero, por lo tanto si llamamos ” la norma de la partición” al intervalo de mayor longitud (puede haber más de uno) podemos definir el área de la región R como

A= lim‖Δ‖→0∑i=1

n

f (wi )Δi x

Ahora podemos definir la Integral Definida

125


a. Definición de Integral Definida

Integral Definida

Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a, b], entonces la integral definida de

f desde “a” hasta “b”, denotada por ∫a

b

f ( x )dx, esta dada por

∫a

b

f ( x )dx =

lim‖Δ‖→0∑i=1

n

f (w i)Δix

si el límite existe

En la notación de integral definida ∫a

b

f ( x )dx, f(x) es el integrando, a es el límite inferior, y

b es el límite superior.

Si la integral definida ∫a

b

f ( x )dx existe, es el límite de todas las sumas de Riemman de f en

[a, b] incluyendo la utilizada para definir el área de una región en el plano. Debido a esto definimos el área de una región de manera más general.

b. Definición del área de una región plana

Sea f una función continua en [a, b] y f(x) 0 para toda x en [a, b]. Sea R la región limitada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b. Entonces la medida A del área de la región R está dada por

A= lim‖Δ‖→ 0∑i=1

n

f (wi )Δi x

A=∫a

b

f ( x )dx

De esta definición la ∫a

b

f ( x )dx la podemos interpretarse geométricamente como la

medida del área de la región R mostrada en la figura 2.9

126


y = f(x)

R

x = a x = b

Figura 2.9

Para obtener el valor de la integral definida y por lo tanto del área de la región, aplicamos el teorema fundamental del cálculo el cual presentamos a continuación .

c. Teorema Fundamental del Cálculo

Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es continua en el intervalo [a, b] y F es cualquier antiderivada de f en el intervalo, entonces

∫a

b

f ( x ) dx=F ( x )|ab=F (b )−F (a )

El símbolo ∫a

b

f ( x ) dx se lee “la integral definida de f desde a hasta b”. Los números a y

b se denominan límites de integración y la notación F ( x )|a

b nos indica que para

efectuar la resta después de haber integrado, se evalúa primero en el límite superior y posteriormente en el límite inferior de la integral.

Ejemplo 1. Encontremos ∫1

4

(3x2+4 x+1 )dx

Solución:

∫1

4

(3x2+4 x+1 )dx = x3+2 x2+x+C|1

4

= [(4 )3+2( 4 )2+4+C ]−[(1)3+2(1)2+1+C ] = (100 + C) – (4 + C) = 96 + C – C

127


= 96

Observemos lo que pasa con la constante C en el cálculo de una integral definida. Esta aparece en las expresiones de F(b) y F(a) , y al final se elimina por la diferencia. Por esta rezón siempre que se calculan integrales definidas se omite la constante de integración C.

Ejemplo 2. Encontremos ∫0

5

√x+4 dx

Solución:

∫0

5

( x+4 )1/2 dx =

23( x+4 )3/2|0

5

= [ 23 (5+4 )3/2]−[ 23 (0+4 )3/2]

= (18) – (16/3)

=

383

d. Propiedades de las integrales definidas

Enunciaremos algunas propiedades de la integral definida que nos serán muy útiles cuando estemos resolviendo ejercicios sobre áreas de regiones planas.

Para cualesquiera números reales a y b para los cuales existen las integrales definidas,

1. ∫a

a

f ( x )dx = 0

2. ∫a

b

k f ( x )dx = k ∫a

b

f ( x )dx, para cualquier constante real k

3. ∫a

b

[ f ( x )±g (x )]dx = ∫a

b

f ( x )dx ∫a

b

g (x )dx

4. ∫a

b

f ( x )dx = ∫a

c

f ( x )dx + ∫c

b

f ( x )dx, para cualquier número real c.

128


5. ∫a

b

f ( x )dx = - ∫b

a

f ( x )dx

Como podemos observar las propiedades de la integral indefinida son muy similares a las propiedades de la integral indefinida con la salvedad de que en este caso cada una de ellas esta relacionada con la interpretación geométrica de la integral definida como el área de una región mientras que en el caso de la integral indefinida se referían a las propiedades de la integral como operación.


Aplico el Teorema Fundamental del calculo para evaluar las siguientes Integrales Definidas.

1)∫0

1

x2dx2)∫−1

1

t5dt3)∫0

83√x dx

4)∫1

2

(3x2−5 x+7)dx

5)∫1

2 (2 x+1)( x−2 )x

dx6)∫0

1

t4 ln e tdt7)∫0

1

x √x2+1dx

8)∫e

e2

ln ttdt

9)∫0

3/2

(6 x2−7 x−3)dx10)∫−1

3

(6 x2−4 x+3)dx

11)∫0

2

3√4 u+1du12)∫0

1

2( t1/2−t )dt13)

∫4

62

( x−3 )2dx

14)∫1

2

7 x dx15)∫−3

1

(2x−3)dx16)∫1/3

31

x2dx

17)

∫4

52

( x−3 )3dx

18)∫1/3

2

√10−3 x dx19)∫0

4

(2+6√x )dx

20)∫0

1

8 x ( x2+1 )dx


129


4. Calculo de áreas con integrales

a. Área bajo una Curva

Ahora estamos preparados para determinar el valor del área de una región haciendo uso de la integral definida. En todos los ejercicios propuestos sobre área es importante que siempre construyamos el gráfico de la región que se esta evaluando.

Ejemplo 1.

Encontremos el área de la región limitada por la curva y = x2 + 1, el eje x y las rectas x = -2 y x = 4

Solución:

Elaboramos el gráfico de la parábola y las rectas x = -2 y x = 4 para determinar gráficamente el área de la región que se desea encontrar (figura 2.10)

y y = x2 +1

(o,4)

0 x x = -2 x = 4 Figura 2.10

El área que deseamos encontrar se presenta rayada y su valor es

A = ∫−2

4

( x2+1)dx =

x3

3+x|−2

4

= [(4)3/3 + 4] – [(-2)3/3 + (-2)] = (76/3) – (-14/3) = 30 u2 (unidades de área)

Ejemplo 2. Encontremos el área de la región limitada por la curva y = x2 – 1 y el eje x .

Solución:Elaboremos el gráfico de la función para determinar el área y los limites de integración (figura 2.11).

130


y

x = -2 x = 2 x

(0,-4)

Figura 2.11

Podemos ver a partir del gráfico que el área de la región sombreada tiene como límite izquierdo y derecho los valores de x donde la parábola intercepta al eje x, los cuales se determinan igualando a cero la función.

x2 – 4 = 0(x + 2)(x – 2) = 0x = -2 y x = 2 Debido a la simetría de la parábola con respecto al eje y, el área de la región a la izquierda del eje de las y es la misma que el área que se encuentra a la derecha por lo tanto podemos calcular el área entre 0 y 2 y después multiplicar por 2 para obtener el área total.

Como en este caso f(x) es negativa en consecuencia el valor de la integral definida que obtengamos será negativo y ya que el área no puede ser negativa, multiplicamos la integral por –1 para poder transformar el valor de la integral en positivo

A1 = - ∫0

2

( x2−4 )dx =

−( x3

3−4 x )|02

= - {[(2)3/3 - 4(2)] – [(0)3/3 - 4(0)]} = -(-16/3) = 16/3 u2 AT = 2 A1 = 2(16/3) = 32/3

Ejemplo 3. Encontremos el área de la región limitada por la curva y = 2x – 2, el eje x y las rectas x = -1 y x = 2

Solución:Elaboramos el gráfico de la función para determinar el área y los limites de integración (figura 2.12).

131


y y = 2x -2 x = -1 x = 2

x

Figura 2.12

Como podemos observar a partir del gráfico se forman dos regiones una que queda por debajo del eje x y otra por encima, por esta razón para que podamos determinar el área total, se plantean dos integrales, ya que si integramos directamente desde –1 hasta 2 lo que obtendríamos sería la diferencia entre el valor de las áreas debido a que la que se encuentra por debajo del eje x es negativa, por lo tanto, calculamos el valor donde la recta corta el eje de las x, lo que representara uno de los límites de integración en el cálculo del área.

2x –2 = 0 de aquí que x = 1 por lo tanto

A =

−∫−1

1

(2 x−2)dx+∫1

2

(2 x−2 )dx

= −(x2−2x )|−1

1 +(x2−2x )|12

= - [(1 – 2) – (1 + 2)] + [(4 – 4) – (1 – 2)] = - (-4) + (1) = 5 u2

Como pudimos ver en cada uno de los ejemplos, es esencial que se elabore correctamente el gráfico que muestre la región para la cual deseamos calcular su área ya que pueden presentarse casos como los mostrados en los ejemplo 2 y 3

b. Área entre Curvas

Consideremos ahora el área acotada por las curvas y = f(x) y y = g(x) y las rectas x = a y x = b. Por simplicidad supondremos que f(x) 0 y g(x) = 0 en el intervalo cerrado [a, b] y que f(x) g(x) en ese intervalo (ver figura 2.13)

132


y

y = f(x)

y = g(x)

x

x = a x = b Figura 2.13

Esta claro que esta área es la diferencia entre área de la región acotada por la curva y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b y el área de la región acotada por la curva y = g(x), el eje x y las rectas x = a y x = b

= -

Por lo tanto el área estará dada por A = ∫a

b

f ( x )dx - ∫a

b

g (x )dx = ∫a

b

[ f ( x )−g (x )]dx

Siempre debe recordar que al plantear la diferencia, la primera función f(x) es la que gráficamente es mayor (esta por encima) en el intervalo donde se esta evaluando la integral definida.

Ejemplo1. Encontremos el área de la región encerrada por las curvas y = 4 – x y y = 4 – x2

Solución: En este caso no se dan los límites de integración por lo tanto se debe construir el gráfico de las dos curvas para determinar el área que buscamos y encontrar los límites de integración (ver figura 2.14)

Como podemos observar en el gráfico, el área de la región que buscamos es la que se encuentra encerrada por la recta y la parábola, quedando en ese intervalo la parábola por encima de la recta. Los límites de la región sobre el eje x están definidos por los valores de x en los puntos de intersección entre las dos curvas

133


y Interceptos 4 – x = 4 – x2

x2 – x = 0x(x – 1) = 0x = 0 y x = 1

x x = -2 x = 2 Figura 2.14

El área que buscamos es A = ∫0

1

[ (4−x2 )−( 4−x ) ]dx=∫0

1

(−x2+x )dx

A =

− x3

3+ x

2

2|01

= (-1/3 + 1/2) – (0) = 1/6 u2

Ejemplo2. Encuentre el área de la región encerrada por las curvas y = x - 3 ; y = x2 – 6x + 7 y las rectas x = 3 y x = 6

Solución: Para encontrar el área de integración se construye el gráfico de las dos curva y de las rectas en el mismo sistema de ejes cartesianos (ver figura 2.15)

y

y = x 2 – 6x + 7 y = x - 3

o x x = 5 x = 3 x = 6

Figura 2.15

Como podemos notar en el gráfico, se forman dos regiones, la primera entre la recta x = 3 y el punto donde se interceptan las gráficas, donde la recta está por encima de la

134


parábola y la segunda desde el punto de intersección hasta la recta x = 6 donde la parábola está por encima de la recta.

Buscamos los puntos de intercepción x2 – 6x + 7 = x - 3 x2 – 7x + 10 = 0 (x – 5)(x – 2) = 0 x = 5 y x = 2

en este caso nos interesa únicamente el valor de x = 5 ya que se encuentra entre x=3 y x=6

El área estará dada por

A=∫3

5

[( x−3)−( x2−6 x+7 )]dx + ∫5

6

[ ( x2−6 x+7)−( x−3)]dx

A=∫3

5

(7 x−x 2−10)dx + ∫5

6

( x2−7 x+10)dx

A=( 72 x2− x3

3−10 x)|35+( x3

3−7

2x2+10 x )|56

A=[( 72 (5 )2−(5 )33−10 (5 ))−( 72 (3 )2−(3 )

3

3−10 (3))]+[((6 )33

−72(6)2+10(6 ))−((5 )33

−72(5)2+10(5))]

A=103+11

6=31

6u2

Ejemplo 3. Encontremos el área de la región encerrada por las curvas y = 2x - 2 ; y = x2 +1 entre las rectas x = -1 y x = 2

Solución: Construimos el grafico de las dos curva y de las rectas en el mismo sistema de ejes cartesianos (ver figura 2.16)

y y = 2x - 2

y = x2 +1

x

135


x =-1 x = 2 Figura 2.16En este caso el área que buscamos está limitada por las rectas x = -1 y x = 2 y la parábola está por encima de la recta entre –1 y 2 por lo tanto El área es

A=∫−1

2

[ ( x2+1)−(2x−2) ]dx=∫−1

2

( x2−2x+3 )dx

A= x3

3−x2+3x|−1

2 =((2)33−(2)2+3(2))−((−1)3

3−(−1)2+3 (−1 ))

A=9u2


Determino el Área de las regiones acotadas por las curvas y rectas indicadas y la represento gráficamente.

I. Área bajo una curva

1) La región acotada la curva y = -x2 +4x –3, el eje x y entre las rectas x = 1 y x = 42) La región acotada la curva y = x2 – 16, el eje x y entre las rectas x = 0 y x = 53) La región acotada la curva y = x2 + 8x + 15, el eje x y entre las rectas x = -2 y x = -44) La región acotada la curva y = 2x/3 - 4, el eje x y la recta x = 15) La región acotada la curva y = x2 – 9, el eje x y entre las rectas x = 0 y x = 46) La región acotada la curva y = -x2 + 2x + 3 y el eje x 7) La región acotada la curva y = 3x - 9, el eje x y las rectas x = 2 y x = 58) La región acotada la curva y = x2 + 6x + 5 y el eje x 9) La región acotada la curva y = 3x/2 - 3, el eje x y las rectas x = 3 y x = -3

II. Área entre curvas

1) La región acotada por las curvas y = x2 y y = 2x2) La región acotada por las curvas y = 3 - x2 y y = 3 - x

3) La región acotada por las curvas y = √ x y y = x4) La región acotada por las curvas y = 4x - x2 + 8 y

y = x2 – 2x5) La región acotada por las curvas y = x3 y y = 2x2 6) La región acotada por las curvas y = x2 y y = 2x + 3 7) La región acotada por las curvas y = x2 y y = -x2 + 4x


136


137


E. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Aplicaciones variadas

Supongamos que conocemos la razón f ( x )=dF

dx a la que cambia la cantidad F y deseamos encontrar la cantidad en la cual cambiará la cantidad F entre x = a y x = b. Primero hallamos F mediante el proceso de antiderivación y luego calculamos la diferencia.

Cambio de F entre x = a y x = b = F(b) – F(a) (Recordemos que

dFdx=F '(x )

, por lo tanto para encontrar F(x) se debe integrar).

El resultado numérico de este tipo de cálculo se llama integral definida de la función f y

se representas por el símbolo ∫a

b

f ( x ) dx

En muchas de las aplicaciones de la integral definida no se hace una referencia directa al concepto de área, como plantea esta pequeña introducción, aunque el análisis geométrico de ellas nos lleve irremediablemente a el, es por eso que en algunos casos de los que propondremos se seguirá este planteamiento.

Al igual que la derivada, la integral definida tiene muchas aplicaciones en problemas prácticos en el campo de la administración y la economía, ahora desarrollaremos algunas de esas aplicaciones mediante ejemplos.

a. Crecimiento poblacional

Ejemplo 1

Un estudio indica que dentro de x meses la población del Rosario crecerá a la razón

2+6√ x personas por mes. ¿ En cuánto crecerá la población durante los próximos 4 años?

Solución

Sea P(x) la población dentro de x meses. Entonces, la razón de cambio de la población

con respecto al tiempo es

dPdx=2+6√ x

, y la cantidad en la que crecerá la población durante los próximos 4 meses es la integral definida

138


P(4) – P(0) = ∫0

4(2+6√ x )dx=(2 x+4 x3/2+C )|0

4

=[2( 4 )+4 (4 )3/2+C ]− [2(0)+4(0 )3/2+C ] =(40+C )−(0+C )=40 personas

Observemos lo que pasa con la constante C en el cálculo de una integral definida. Esta aparece en las expresiones de F(b) y F(a) , y al final se elimina por la diferencia . Por esta razón siempre que se calculan integrales definidas se omite la constante de integración C.

b. Costo Total

Ejemplo 2

En cierta fábrica el costo marginal es 3(q –4)2 dólares por unidad cuando el nivel de producción es q unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción aumenta de 6 a 10 unidades?

Solución

Sea C(q) el costo total de producción de q unidades. Entonces el costo marginal es la

derivada

dCdq=3(q−4 )2

, y el incremento en el costo, si la producción aumenta de 6 a 10 unidades, es la integral definida

C(10) – C(6) = ∫6

103( q−4 )2dq=(q−4 )3|6

10

= (10 – 4)3 – (6 – 4)3 = 216 – 8 = $208

c. Demanda

Ejemplo 3

En Leon, la demanda de gasolina crece exponencialmente a la razón de 5% por año. Si la demanda actual es 4 millones de galones por año, ¿Cuánta gasolina consumirá la comunidad durante los próximos 3 años?

Solución

Si Q(t) es el consumo total ( en unidades de millones de galones) de gasolina en la comunidad en los próximos t años, la demanda (millones de galones por año) es la razón

139


de cambio

dQdt del consumo total con respecto al tiempo. El hecho de que esta demanda

crezca exponencialmente a la razón de 5% anual y en la actualidad sea igual a 4 millones de galones por año implica que

dQdt=4e0 .05t

millones de galones Por tanto, el consumo total durante los próximos 3 años es la integral definida

Q(3) – Q(0) = ∫0

34e0.05t

dt=80e0.05t|03

= 80(e0.15−1) = 12.95 millones de galones

2. Superávit del consumidor y del producto

Sea p = f(x) la curva de demanda de cierto artículo y p = g(x) la curva de la oferta del mismo artículo. Aquí x denota la cantidad del artículo que puede venderse o suministrarse a un precio p por unidad. En general, la función de demanda f(x) es una función decreciente indicando que los consumidores dejarán de comprar si el precio se incrementa. Por otro lado la función de la oferta g(x) por lo regular es una función creciente porque los productores con todo gusto proveerán más si consiguen precios más altos. El equilibrio del mercado (x0, p0) es el punto de intersección de las curvas de demanda y de oferta. Esto significa que a un precio P0 por unidad, los consumidores están dispuestos a comprar y los productores a vender el mismo número x0 de unidades del artículo. (ver figura 2.17. )

oferta

po (xo , po)

demanda

xo

Figura 2.17

A partir de la gráfica de la curvatura de demanda, es claro que a medida que el precio se incrementa, la demanda decrece. Esto implica, que hay algunos consumidores que

140


estarían dispuestos a comprar el artículo a un precio más alto que el precio en el equilibrio del mercado P0 que en realidad deberían pagar.

En una economía competitiva, la cantidad total que los consumidores gastan realmente en un artículo es por lo general menor que la cantidad total que habrían estado dispuestos a gastar. La diferencia entre las dos cantidades puede considerarse ahorros logrados por los consumidores y se conoce en economía como excedente de consumidores. Es decir.

[Excedente de los ¿ ]¿¿

¿¿

Las condiciones del mercado determinan el precio de venta unitario de un artículo. Una vez que se conoce el precio po , por ejemplo, la ecuación de demanda p = f(x) determina la cantidad de unidades xo que los consumidores comprarán. El gasto de consumo real para xo unidades del artículo al precio po por unidad es xo po. El excedente de los consumidores se calcula restando esta cantidad de la cantidad total que los consumidores estarían dispuestos a gastar para obtener xo unidades del artículo.

p (Precio)

p = f(x)

po (xo, po)

x xo Cantidad

Figura 2.18

La ganancia total del consumidor está representada por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta p = po (ver figura 2.18) y se conoce como excedente (o superávit) del consumidor (o de los consumidores). Se evalúa como sigue.

Excedente del consumidor = ∫0

x o

f ( x )dx−xo po

Generalmente el excedente del consumidor se expresa en las mismas unidades que p por ejemplo, si p se expresa en córdobas (o dólares, etc.) lo mismo sucederá con el excedente del consumidor

141


De manera similar, en un mercado de libre competencia existen también productores que estarían dispuestos a vender el artículo a un precio menor que el de equilibrio de mercado p0 que los consumidores en realidad pagan. En tal situación, los productores también se benefician; este beneficio de los productores se denomina el excedente (o superávit) del productor(o los productores).

[Escedente de los ¿ ]¿¿

¿¿

p = f(x) p (Precio)

po (xo, po)

xo x Cantidad

Figura 2.19

La ganancia total del productor está representada por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = po (ver figura 2.19) y se conoce como excedente (o superávit) del productor (o de los consumidores). Se evalúa como sigue.

Excedente del productor = xo po−∫

0

x o

f ( x )dx

Generalmente el excedente del productor se expresa en las mismas unidades que p por ejemplo, si p se expresa en córdobas (o dólares, etc.) lo mismo sucederá con el excedente del productor

Cuando se evalúe tanto el excedente del productor como del consumidor se debe tener cuidado de utilizar apropiadamente la función que corresponde con cada caso ya que para el excedente del consumidor utilizamos la función de demanda y para calcular el excedente del productor la de oferta.

Ejemplo 4.

Supongamos que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es

D(x) = 4(25 – x2) dólares por unidad

142


Hallemos el excedente de los consumidores si el artículo se vende a $64 por unidad.

Solución

Primero encontramos el número de unidades que se comprarán, resolviendo la ecuación de demanda p = D(x) para cuando x = $64 para obtener

64 = 4(25 – x2)16 = 25 – x2 x2 = 9 x = 3

Es decir, se comprarán 3 unidades cuando el precio sea $64 por unidad. El excedente de los consumidores correspondientes es

EC = 4∫

0

3

(25−x2 )dx−(64 )(3)

=

4 (25 x− x3

3 )|03−192

=

4 [25(3 )−(3 )3

3 ]−192

= 264 – 192EC = $72

En la figura 2.20 se representa la curva de demanda de los consumidores. El excedente de los consumidores encontrado está representado por el área de la región limitada por la curva de demanda y la recta horizontal p = 64

p (dólares por unidad)

100

64

x (unidades)

3 Figura 2.20

Ejemplo 5.

Si la función de oferta de cierto artículo es

143


O(x) = (x +2)2 dólares por unidad

Calculemos el excedente de los productores, si el precio del artículo se fija en $25 por unidad

Solución

Primero se encntramos el número de unidades que se ofertarán, resolviendo la ecuación de oferta p = O(x) para cuando x = $25 para obtener 25 = (x + 2)2

5 = x + 2 x = 3

EP =

(3 )(25 )−∫0

3

( x+2)2dx

=

75−[ ( x+2)3

3|03 ]

= 75−[125

3−(8)3 ]

= 75 – 39EP = $36

En la figura 2.20 se representa la curva de demanda de los consumidores. El excedente de los consumidores encontrado está representado por el área de la región limitada por la curva de demanda y la recta horizontal p = 64

Como se muestra en la figura 2.21 la función de oferta está dada por la gráfica de la parábola que se encuentra en el primer cuadrante y el excedente de los productores lo representamos por el área de la región que se encuentra limitada por la curva de oferta y la recta horizontal p = 25

p

25 (3,25)

p = (x + 2)2

x (-2,0) 3

Figura 2.21

144


Ejemplo 6.

Las funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por

(1) O: p = g(x) = 52 + 2x (2) D: p = f(x) = 100 – x2.

Determinemos el superávit del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado.

Solución

El punto de equilibrio (x0, p0) se obtiene resolviendo las ecuaciones de oferta y demanda simultáneamente para x y p. Igualando las dos expresiones de p de las ecuaciones (1) y (2), tenemos que 52 + 2x = 100 –x2 x2 + 2x – 48 = 0 (x - 6)(x + 8) = 0

que da x = 6 o x = -8. Dado que el valor negativo de x es inadmisible, nos quedamos con x = 6. Sustituyendo este valor en la ecuación (1), obtenemos que p = 52 + 12 = 64. Por consiguiente, tenemos que los valores de equilibrio x0 = 6y p0 = 64. El superávit del consumidor está dado ahora por

EC = ∫0

6

(100−x2 )dx−(6 )(64 )

=

100 x− x3

3|06−384

= [100(6 )−

(6 )3

3 ]−384

= 600 – 72 – 384 EC = 144 um

y el superávit de los productores es

EP =

(6 )(64 )−∫0

6

(52+2 x )dx

145


= 384−[(52x+x2 )|0

6] = 384−[52(6 )+(6 )2 ] = 384 – 312 – 36 EP = 36 um

p (dólares por unidad)

100

64 (6,64)

52

x (unidades)

6

Figura 2.22

En la figura 2.22 mostramos las regiones correspondientes al excedente del consumidor y productor las que se encuentran delimitadas por la recta horizontal p = po . Se representa el excedente del consumidor por el área que se encuentra por encima de p = po y el excedente del productor por el área que esta por debajo.


I. Resuelvo la siguiente variedad de ejercicios planteados

1) Supongo que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón de R1(x) = 50 + x2 dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón R2(x) = 2000 + 5x dólares por año.a) ¿Durante cuántos años será más rentable el segundo plan?b) Calculo el exceso de utilidad neta, si se invierte en el segundo plan, en lugar del

primero, durante el período expresado en el literal a)

2) Cuando tiene x años, cierta maquinaria industrial genera ingresos a la razón de R(x) = 5,000 – 20x2 dólares por año, y costos que se acumulan a la razón de C(x) = 2,000 + 10x2 dólares por año.a) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el período

expresado en el literal a)

146


3) Supongo que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a la razón de R1(x) = 100 + x2 dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón R2(x) = 220 + 2x dólares por año.a) ¿Durante cuántos años será más rentable el segundo plan?b) ¿Calculo el exceso de utilidad neta, si se invierte en el segundo plan, en lugar del

primero, durante el período expresado en el literal a)

4) Una maquinaria industrial de x años genera ingresos a la razón de R(x) = 6,025 – 10x2

dólares por año, y origina costos que se acumulan a la razón de C(x) = 4,000 + 15x2

dólares por año.a) ¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria?b) ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el período

expresado en el literal a)

5) Después de t horas en el trabajo, un obrero de fábrica produce Q1(t) = 60 – 2(1 – t)2

unidades por hora, mientras que un segundo obrero produce Q2(t) = 50 – 5t unidades por hora. Si ambos llegan al trabajo a las 8 a.m., hacia el medio día, ¿cuántas unidades más habrá producido el primer trabajador en relación con el segundo?

6) Una pequeña empresa de escritores sobre artículos científicos, encontró que su razón de ganancias(en miles de dólares) después de t años de operación está dada porP’(t) = (3t + 3)(t2 + 2t + 2)1/3 a) Encuentro la ganancia total en los próximos tres añosb) Encuentro la ganancia en el cuarto año de operaciónc) ¿Qué le pasa a la ganancia anual a largo plazo?

7) Después de t años, una mina está produciendo a razón de P( t )=15

t+1 toneladas por año. Al mismo tiempo, el mineral producido se está consumiendo a razón de C(t)=0.1t+2 toneladas por año

a) ¿En cuántos años será igual la razón de consumo a la razón de producción?b) ¿Cuál es la producción en exceso total antes de que el consumo y la producción

sean iguales?

8) Si el ingreso marginal esta dado por R’ = 44 – 9x y el costo marginal por C’ = 20 – 7x + 2x2, determino el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total en un mercado de competencia pura.

9) Si el ingreso marginal esta dado por R’ = 15 – 5x y el costo marginal por C’ = 10 – 3x + 3x2, determino el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total en un mercado de competencia pura.

II. Excedente del Consumidor y del Productor

1) Si la función de demanda es y=39−x2, evalúo el excedente del consumidor si:

a)x0=5/2

y0=0 ( es decir el artículo es gratuito )

147


2) Si la función de demanda es y=16−x2 y la función de oferta es y=2x+1 ,

determino el excedente del consumidor y excedente del productor en un mercado de libre competencia.

3) Si la ecuación de demanda y oferta de un producto son :

p=20−qp=4+1 . 4 q

determino el excedente de los consumidores y productores bajo equilibrio del mercado.

4) Repito el ejercicio anterior si las ecuaciones de oferta y demanda son:

O: p=200+x2

D: p=1200−1 .5 x2

5) Supongo que la función de oferta de un cierto artículo está dada por S(q )=7

5q

y la

función de demanda está dada por : D(q )=−3

5q+10

a) Elaboro la gráfica de las curvas de oferta y demanda b) Encuentro el punto donde la oferta y la demanda están en equilibrioc) Encuentro el Superávit (excedente) de consumidoresd) Encuentro el Superávit (excedente) de productores

6) Repito los cuatro pasos del ejercicio anterior si las ecuaciones de oferta y demanda son:

S(q )=q2+114

q

D(q )=150−q2

7) Las funciones de demanda y oferta ( en un mercado de libre competencia ) son:

y= 14(9−x )2

y y= 1

4(1+3 x )

, respectivamente. Si se establece un impuesto adicional de $ 3 por unidad de producto, calculo la disminución en el excedente del consumidor.

148


8) Encuentro el superávit ( excedente ) de productores si la función de oferta de cierto

artículo está dada por : S(q )=100+3q3 /2+q5 /2, suponiendo que la oferta y

demanda están en equilibrio en q=9 encontraré el superávit de productores.

9) La cantidad vendida y el precio en un mercado monopólico, se determinan por las

funciones de demanda y=20−4 x2 y el costo marginal y

'=2 x+6 , de manera que se maximice la utilidad. Determino el correspondiente excedente de consumidores.

10) Repito el ejercicio anterior si la función de demanda y costo marginal son:

y=45−x2 y y

'=6+ x2 respectivamente.

11) Si la función de oferta es y=√9+ x y x0 = 7, obtengo el excedente del

productor.

12) La función de demanda es y=20−3 x2 y la función de oferta es y=2x2

, obtengo los excedentes del productor y consumidor en un mercado de competencia libre o pura.

13) Determino el superávit (excedente) del consumidor y productor para las siguientes funciones de oferta y demanda (suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado)

a)

D : P=280x+2

O : P=20+2.5 x b)

D : P=15−2 xO : P=3+ x


149


Resumen final de la unidad

Igual que señalamos en la unidad I, presentamos una serie de términos y conceptos importantes desarrollados a lo largo de la segunda unidad y le recomendamos revisarlos a partir de la propuesta siguiente.

Términos claves y símbolos

1) ∫ f(x) dx integral indefinida de f 2) Antiderivada3) Símbolo de integral4) Integrando5) Integración6) Regla de la potencia para integrar7) Regla del múltiplo constante8) Regla de la suma o diferencia9) Diferencial10) Integración por sustitución

11)∫abf ( x )dx

integral definida de f, cambio total de F(x)

12) Teorema fundamental del calculo ∫abf ( x )dx

=F ( x )|a

b=F( b)−F(a)

13) Superávit del consumidor14) Superávit del productor15) Solución general de una integral16) Solución particular de una integral17) Condición inicial18) Ingreso total19) Costo total20) Función de producción

Conceptos clave

1) F(x) es una antiderivada de f(x) si F1(x) =f(x)

2) Integral Indefinida. Si F1(x) = f(x), entonces ∫ f(x) dx = F(x) + C, para cualquier número real C.

3) Propiedades de Integrales ∫ k * f(x) dx = k * ∫ f(x) dx, para cualquier número real k ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

4) Reglas básicas para integrales Para u = f(x) y du = f1(x) dx,

∫undu=un+1

n+1+C ∫ eu du=eu+C ∫u−1 du=∫ du

u=1n|u|+C

5) La integral definida. Si f es continua en [a, b], la integral definida de f entre a y b es

∫abf ( x )d=lím

n→∞f ( x )Δx

, siempre que el límite exista, donde Δx=b−a

n y xi es el extremo izquierdo del i-ésimo intervalo.

150


6) Teorema fundamental del cálculo. Sea f continua sobre [a, b] y sea F cualquier

antiderivada de f. Entonces ∫abf ( x )dx

=F ( x )|a

b=F( b)−F(a)

7) Cambio total en F(x). Sea f continua sobre [a, b] y f(x) ≥ 0 para toda x en [a, b]. Si f(x) es la razón de cambio de F(x), entonces el cambio total en F(x) cuando x pasa de a a

b está dado por ∫abf ( x )dx

=F ( x )|a

b=F( b)−F(a)

8) Área. Si f(x) 0 y continua en [a,b], el área de la región limitada por y = f(x) y el eje x

entre x = a y x = b. ∫abf ( x )dx

=F ( x )|a

b=F( b)−F(a)

9) Superávit del consumidor. EC =∫0

x0f ( x )dx

- (x0)(p0)

10) Superávit del productor. EP = (x0)(p0) - ∫0

x0f ( x )dx

151


Resumen de la unidad

La antiderivada de una función f es una función tal que F’(x) = f(x). Dos antiderivadas cualesquiera de f difieren cuando mucho en una constante. La antiderivada más general de f se llama integral

indefinida de f y se denota ∫abf ( x )dx

. Así, ∫abf ( x )dx

= F(x)+C, donde C se llama constante de integración.

Para integrar se aplican fórmulas básicas como:

∫undu=un+1

n+1+C ∫ eu du=eu+C ∫u−1 du=∫ du

u=1n|u|+C

Además de algunos métodos como el cambio de variable, la integración por partes y las fracciones parciales que permiten reducir las integrales a formas simples donde se aplique las fórmulas básicas.

Si conocemos la razón de cambio de una función f, esto es, f ’ se conoce, entonces f es una antiderivada de f ’. Además si sabemos que f satisface una condición inicial, entonces podemos encontrar la antiderivada particular. Por ejemplo, si nos dan una función de costo marginal dC/dx, por integración podemos encontrar la forma más general de C: Esta forma implica una constante de integración. Sin embargo si también nos dan los costos fijos (los costos implicados cuando x =0), podremos determinar el valor de la constante de integración y así encontrar la función de costo particular C. Similarmente, si nos dan una función de ingreso marginal dR/dx, entonces por integración y usando el hecho de que R = 0 cuando x = 0, podemos determinar la función de ingreso particular R. Una vez conocida R, puede encontrarse la correspondiente ecuación de demanda usando la ecuación p = R/x.

La notación sigma es conveniente para representar sumas y particularmente útil en la determinación de áreas.

En vez de evaluar integrales definidas usando límites, puede usarse el teorema fundamental del

cálculo integral ∫abf ( x )d x=F (b )−F (a )

donde F es cualquier antiderivada de F

Si conocemos la razón de cambio de una función f, entonces un cambio en los valores de una

función f puede encontrarse fácilmente por medio de la fórmula ∫abf ( x )d x=F (b )−F (a )

Si f(x) 0 y continua en [a,b], la integral definida puede usarse para encontrar el área de la región limitada por y = f(x) y el eje x entre x = a y x = b. La integral definida puede usarse también para encontrar áreas de regiones más complicadas. En este caso es conveniente dibujar un elemento de área de la región para plantear correctamente la integral definida.

Una aplicación de la determinación de áreas tiene que ver con los excedentes de consumidores y productores. Suponga que el mercado para un producto está en equilibrio y que (xo, po) es el punto de equilibrio. El excedente de consumidores corresponde al área entre x = 0 y x = x0 , limitada

arriba por la curva de demanda y abajo por la línea p = p0 : Entonces EC =∫0

x0f ( x )dx

- (x0)(p0) donde f es la función de demanda. El excedente de los productores, EP, corresponde al área entre x = 0 y x = x0 ,limitada arriba por la línea p = p0 y abajo por la curva de oferta. Así EP = (x0)(p0) -

∫0

x0f ( x )dx

donde f es la función de oferta.

152


Evaluación final de la Unidad

1) Resuelvo las siguientes integrales indefinidas

a) ∫ 2 x2+5 x−2

√ x dx

b) ∫ x2

3 x3+6 dx

c) ∫ x √x−4 dx

2) Encuentro el área de la región limitada por la curva y=x2−9 el eje x . entre las

rectas x=0 y x=4 .

3) Supongamos que las ecuaciones de demanda y oferta para un producto están dadas

por las funciones p=900−2 x−x2 y p=x

2+10x respectivamente, donde p es precio unitario y x representa las toneladas del producto demandadas u ofertadas. Determine el correspondiente excedente del consumidor y del productor en un mercado de libre competencia.

4) Comparta los resultados con su tutor/a o grupo a fin de autorregular su aprendizaje.

153


Hoja de Respuestas

I Evaluación diagnóstica de la Unidad

1) a) ab/2 b) bh2) a) dy = (4x + 5)dx b) dy = 3x2 dx c) dy = 3x2 dx3) a) f(1) = -2 : f(3)=6 b) f(-2) = -32 :f(1)=11/2

III. Respuestas a las actividades de autoaprendizaje

Actividad de Auto Aprendizaje No.1

1)

35x5+C

2)

14x8+C

3)−1

2x−2+C

4)3 x2/3+C 5)

12u6−1

2u4+C

6)x5−1

7x7+C

7)2 x1 /2+ 2

3x3 /2+C

8)

67x7 /2−2

3x3 /2+C

9)2 x−1

2x−2+2x−1+C

10)

27x7 /2+ 4

3x3 /2+8 x1 /2+C

11)

32x8 /3−3 x2/3+C

12)4 ln x+2x−1−3 x−2+C

13)

95t5+3 t4+ 4

3t3+C

14)ln y+2 y+ y

2

2+C

15)

125x5/3+C

16)

7 x2

2+C

17)e3 ln x+C 18)

ln xln 2

+C

19)e ln x+ x

2

2e+C

20)(e2−2e)ex+C 21)

−ln2x+C

22)x8

8+ 7 x2

2+7 ln x+7 x+C

23)7 x3

3−3 x2

2+8 x+ln x−2

x+C

24)

x3

3+ 5 x2

2+6 x+C

25)x3+ x

2

2−2 x+C

26)

x3

3+2x2+4 x+C

27)

x3

3+2x−1

x+C

28)

4 x3

3−12 x−9

x+C

29)

x4

4+(4 x5 /2)

5+C

30)

x6

6+ 3 x5

5+ x

4

2+C

31)x3+3 x2−x−2 ln x+C 32)

3x2+C

33)2 x+C

34)

ex

ln 2+C

35)

x3

3+x+C

36)

12x2+4 x3/2+9 x+C

37)x3−6 x+C 38)

x3

3+ x

2

2+C

39)

43x3/2−6 x+C

154


40)x4+x3+x2+x+ ln x− x−2

2+C

41)

27u7 /2+ 6

5u5 /2+14

3u3 /2+C

42)

47x7/2+ 2

5x5/2−2

3x3/2+C

43)

−1x+3 ln x+7 x−x2+C

44) a)C ( x )=2 ,000+30 x+0 .025 x2 b)$ 7,062.5 c) 500 unidades

45) $ 1,320 ; $ 1,500 46) a)R( x )=4 x−0.005 x2b)p=4−0 .005x

47)U ( x )=5x−0 .001 x2−180

Actividad de Auto Aprendizaje No. 2

1)

112(2 x+6)6+C

2)

16(4 x−1 )3/2+C

3)−e1−x+C

4)

12ex2

+C5)

112( t2+1 )6+C

6)

421( x3+1 )7/4+C

7)

25

ln|x5+1|+C8)

126( x2+2x+5 )13+C

9)

12( ln x )2+C

10)− 1

ln x+C

11)2e√x+C 12)

−38(1−2 x2 )2/3+C

13)25( x−2)5/2+ 4

3(x−2)3/2+C

14)

12

ln|x2+4|+C15)−2

3(x2+1)−3+C

16)

98(4+ z2 )8 /3+C

17)

15(1+2 x )5+C

18)−3

2(1+x2 )−2+C

19)

116(2x+1)8+C

20)

15(2−5 t )−1+C

21)

12

ln|2 y−1|+C

22)

12

ln|2u+1|+C23)

13e3 x+2+C

24)−e5−x+C

25)

13e3 x+2+C

26)

15( x2+7 x+3 )5+C

27)−1

2( x2+3 x+1)−2+C

28)

13( x2+1)3/2+C

29)

12

ln( x2+1 )+C30)

12( t3+8)2/3+C

31)

13(√x+7 )6+C

32)

19(2+ x√ x )6+C

33)

12e t

2

+C

34)( 1n )e x

n

+C35)−1

3e3/ x+C

36)−2

3e− x√x+C

37)

13e x

3

+C38)e

x2−x+C 39)

−1

ex+1+C

40)−1

3ln|3−e3 x|+C

41)ln|ex−e−x|+C 42)

12( ln x )2+C

155


43)

23( ln x )3/2+C

44)

14( ln x )4+C

45)ln|1+ ln x|+C

46)ln|t3+ t|+C 47)

13( x2+4 x+1)3 /2+C

48)ln 2 ln|x|+ 1

2( ln x )2+C

49)

t2

2+t+ln|t−1|+C

50)

25( x+1 )5 /2−2

3( x+1 )3/2+C

51)C ( x )= 1

3000(x2+2500)3 /2+175

3


1)

13xe3 x−1

9e3 x+C

2)x ln x−x+C 3)x ln2 x−2 x ln x+2 x+C

4)

ex

x+1+C

5)−x2√1−x2−2

3(1−x2)3/2+C

6)

3x

ln 3(x2−2 x+ 2

ln 33x)+C

7)

14e2 x(2 x−1)+C

8)−x e−x− e− x +C 9)

3x ( x+1 )4/3

4−

9 ( x+1 )7/3

28+C

10)( x2

2+4 x ) 1nx− x2

4− 4 x+C

11)

x ( x+2 )5

5−

( x+2 )6

30+C

12)2 x ( x−3 )1 /2 − 4

3( x−3 )3/2+C

13)

−1nxx

− 1x+C

14)[ xn+1

n+1 ] ln x− xn+1

(n+1)2+C

15)

29x3/2 (3 ln x−2)+C

16)√ x ( ln x−2)+C 17)

19( x+1 )3 [3 ln( x+1)−1 ]+C

18)x ln x+C

19)

19x3 (2+3 ln x )+C

20)( xm )emx−( 1

m2 )emx+C21)

13(2 x+1)e3 x−2

9e3 x+C

22)( x2

2 ) ln x− x2

4+C

23)( x2−2x+2)ex+C 24)

x3

3 (ln x−13 )+C

25)

12(x2−1 )ex

2

+C26)C ( x )=2250+250 ln20−5000( x+20 )−1 [1+ ln( x+20) ]


1)

14

1n |x−2x+2

| +C2)ln|c( x−2)2( x+2 )3| 3)

ln|c (w+4 )3

2w−1|

4)

14

ln|cx4 (2 x+1)3

2 x−1|

5)

19

ln|x+3x|− 1

3 x+C

6)2 ln|x+1

x|− 1

x− 1x+1

+C

7)3x+1

+ln|x+1|+ 12

ln|2 x+3|+C8)

516( z+2 )

− 716( z−2)

+ 132

ln| z+2z−2

|+C

9)

3x+4 ln| x

x+1|+C

10)ln| x3

( x+1)2|− 8

x+1+C

11)−3 ln|x+3|+2 ln|x+2|+C

156


12)−2 ln|x−1|− 5

x−1+C

13)−4 ln x+19

4ln|x+4|+17

4ln|x−4|+C

14) 6 ln x−2 ln|x−1|+C


4)c = 0.6x + 0.25x1/2 5)C(x)=10x 12x2–x3+4;Ĉ(x)=10+12x–x2+4/x6)R(x)=15x–9x2/2–x3;p=15–9x/2–x2 7) R(x)=10x – 5x2/2 ; p = 10 – 5x/28)R(x)=20x–x3 ; p=20–x2 9)c=0.5x + 0.5x2/3 + 6 10)c=0.4x+0.5x1/3+9 11)p=50–3x/2– x2/312)P(x)=4x–3x2+x3– 40 13)$43614)$2,300 15) a)R(x)=$23016)C(x) = 10x + 12x2 – x3 + 4 Ĉ(x) = 10 + 12x – x2 + 4/x


1) 1/3 2) 0 3) 12 4)13/2 5)–2 ln26)1/6 7) (22–1)/3 8) 3/2 9) -45/8 10) 5211)13 12) 1/3 13) 4/3 14) 21/2 15) –2016) 5/3 17) ¾ 18) 38/9 19) 40 20) 15


I. Área bajo una curva

1) A = 8/3 u2 2) A=141/3 u2 3) A=2 u2 4) A=49/3 u2 5) A=64/3 u2 6) A = 32/3 u2 7) A=15/2 u2 8) A=32/3 u2

II. Área entre curvas

1) A=4/3 u2 2) A=1/6 u2 3) A=1/6 u2 4) A=125/3 u2 5) A=4/3 u2 6) A=32/3 u2 7) A=8/3 u2

Actividad de Auto Aprendizaje No. 8

I. Ejercicios variados1) a) durante 10 años b) $1,687.50 (el área entre las curvas)2) a) durante 10 años b) $20,000 (el área entre las curvas)3) a) durante 12 años b) $1,008 (el área entre las curvas)4) a) durante 9 años b) $12,150 (el área entre las curvas)5) 184/3 unidades (el área entre las curvas)6) a) $46,341 b) $37,477 c) Está creciendo7) a) 5 años b) Aproximadamente 15.6 toneladas8) x = 3 ; Pmax = 459) x = 1 ; Pmax = 3

II. Excedente del Consumidor y del Productor

1) a) 31 ¼ = 31.25 b) 26√13 93.72) EC = $18 , EP = $ 9

157


3) EC = 25.6 y EP= 38.44) EC= 8000 y EP = 16000 / 3.5) b) ( 5, 7) c) $ 7.50 d) $ 17.56) b) ( 8, 86) c) $341.33 d) $429.337) 121/12 10.0838) EP =$ 1999.549) EC = 8 / 3

10) EC = 16 √3 27.7111) EP = 10 / 3 3.3312) EC= 16 y EP= 32 / 3 10.6713) a) EC =16 y EP = 8 b) EC = 178.16 y EP = 45

Bibliografía

1. Alvarez Blanco Manuel– Castro Lamas Julio– Deiros Fraga Beatriz– Lau Fenández Rogelio – Varela Marcelo María Virginia ( 1981 ). Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Pueblo y Educación.

2. Arya Jagdish C. – Lardner Robin W. (1992). Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. México. Tercera edición. Prentice – Hall.

3. Bradley Gerald L. – Smith Karl J. (1998 ). Cálculo de Varias Variables. Madrid. Primera edición. Volumen 2. Prentice Hall Iberia.

4. Budnick Frank S. (1990). Matemáticas aplicadas para administración, Economía y Ciencias Sociales. México. Tercera edición. Mc. Graw – Hill.

5. Edwards C. H., Jr. – Penney David E. ( 1994 ). Cálculo con Geometría Analítica. México. Cuarta edición. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A.

6. Elorza Pérez Haroldo–Tejada (2000) Estadística para las Ciencias Sociales y del Comportamiento . México. Segunda edición. OXFORD.

7. Haeussler Ernest F., Jr. – Paul Richard S. (1997). Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. México. Octava edición. Prentice - Hall Hispanoamericana, S.A.

8. Larson Roland E. – Hostetler Robert P. – Edwards Bruce H. (1996). Calculo y Geometría analítica. México. Quinta edición. Volumen 1. Mc. Graw - Hill.

9. Larson Ronald E. – Hostetler Robert P. – Edwards Bruce H. – Heyd David E. (1995). Cálculo. Madrid. Quinta edición. Volumen 2. McGraw Hill / Interamericana de España, S. A.

10. Leithold Louis (1988). Cálculo para Ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales. México. Primera edición. Harla.

11. Leithold Louis (1998). El Cálculo. México. Séptima edición. Oxford.

158


12. Purcell Edwin J. – Varberg Dale – Rigdon Steven E. ( 2001 ). Cálculo. México. Octava edición. Pearson Education de México, S, A. De C. V.

13. Taylor Howard E. – Wade Thomas L. (1975). Cálculo diferencial e integral. México. Decimatercera edición. Limusa, S.A.

14. Weber Jean E. (1999). Matemáticas para Administración y Economía. México. Cuarta edición. Oxford.

159


Unidad Autoformativa III Matrices

160


161


Presentación

En esta unidad introducimos el concepto de Matriz, su naturaleza y terminología básica, lo que nos permite denotar de forma más simplificada todo lo relacionado con matrices.

Definiremos las operaciones de suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices que representan las operaciones elementales del álgebra de matrices. Hasta aquí, todo lo que hemos desarrollado sobre matrices sólo ha requerido un poco de atención a los procesos de resolución aritméticos muy simples que no han requerido de alguna base de cálculo, si no más bien de los conocimientos que traemos de secundaria.

En la segunda parte de la unidad estudiaremos conceptos característicos de las matrices como el determinante y la inversa, analizados a través de diferentes métodos, algunos muy particulares y otros más generales de matrices de orden nxn.

En la parte final trataremos las aplicaciones de dos matrices; la primera de ellas relacionada con la solución de sistemas de ecuaciones lineales, que forma parte del álgebra lineal y, la segunda, con problemas de aplicación de índole variado, en los que queda de manifiesto la utilidad de las matrices para el procesamiento, manipulación y presentación de datos.

El álgebra representa un estado superior de simbolización. El propio número símbolo y las operaciones que con él se podían realizar se convirtieron en objetos de una ulterior simbolización. Un nuevo símbolo, una letra, podría representar un número cualquiera o un número específico, pero aún desconocido. Su manipulación abstracta proporcionaba una eficacia y economía de pensamiento muy notables.

La búsqueda de un simbolismo fácilmente manipulable y eficaz, fue la que condujo en el siglo XIX y XX, a la introducción y al uso constante del lenguaje vectorial y matricial, especialmente en relación con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

A medida que la geometría, la física y la economía, empezaban a utilizar con gran profusión sistemas de ecuaciones lineales, se advirtió la conveniencia de ir eliminando de ellas el lastre supérfluo de notación.

Un sistema de ecuaciones lineales queda suficientemente especificado al señalar meramente la matriz de los coeficientes que en ella intervienen. Esto representa un considerable ahorro de energía, al tiempo que permite enfocar la matriz misma como un objeto directo de la consideración matemática, de enorme importancia, por otra parte por su significación geométrica.

El cálculo de matrices se puede identificar en realidad con lo que se denomina álgebra lineal.

En los temas que siguen trataremos de estudiar las posibles operaciones con matrices que conducen de forma fácil y práctica a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Es fácil entender como los algoritmos y manipulaciones sencillas que introducimos en las matrices pueden constituir un campo de juego ideal para el ordenador. Gracias a ello la resolución de los grandes sistemas de ecuaciones que constantemente aparecen en

162


multitud de problemas de Economía, física, a veces de miles de ecuaciones, pueden ser resueltos con gran facilidad.

Nuestra cultura está llena de matrices de números. En matemáticas, las matrices que aparecen tienen en general una estructura muy rica por tener un sentido muy preciso y muy informativo la suma de ellas, su producto y otras operaciones que con ellas se pueden llevar a cabo.

Esto ha conducido a un gran desarrollo, del álgebra lineal que ha tenido una intensa repercusión en campo tales como las ecuaciones diferenciales, el análisis funcional, la optimización y consecuentemente en muchos aspectos de la Economía

En esta tercera unidad autoformativa abordaremos tres temas fundamentales:

En primero, la matriz, definiciones, notación, terminología y operaciones básicas. Luego, estudiaremos otros elementos de las matrices como el determinante y la inversa, para terminar con las aplicaciones en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y en problemas de manipulación y presentación de datos.

Ya que las operaciones elementales de las matrices son de carácter aritmético solamente se requiere poner atención a los procesos de solución y sistematizarlos, ya que estos no cambian, lo que facilita el proceso de aprendizaje.

Siempre que sea posible las aplicaciones estarán orientadas al campo de nuestro interés aunque como verán en administración este es muy amplio.


1. Efectúo operaciones básicas entre matrices.

2. Encuentro el determinante y la Inversa de una matriz de orden nxnx aplicando diferentes métodos.

3. Resuelvo sistemas de ecuaciones lineales de orden nxn aplicando métodos matriciales

4. Resuelvo problemas de aplicación de matrices relacionados con la manipulación y presentación de datos en el campo de la Administración y la Economía.

5. Pongo en práctica hábitos y valores respecto a la verdad, honestidad, colaboración y responsabilidad a través del trabajo independiente, que me permitan construir y desarrollar mi propio conocimiento con miras a un mejor desenvolvimiento tanto en mi vida como estudiante universitario como en el ejercicio de mi profesión.

163


Esquema de contenidos

A. Definición de una Matriz

B. Operaciones con Matrices

C. Aplicaciones de las Matrices

1. Definición de matriz

2. Tipos especiales de matrices

a) Notación de matricesb) Notación de elementosc) Igualdad de matrices

a) Matriz filab) Matriz columnac) Matriz cuadradad) Matriz identidade) Matriz transpuesta

1. Multiplicación de una matriz por un escalar

2. Adición y sustracción de matrices

3. Multiplicación de matrices

4. Determinantes

5. La matriz inversa

6. Resolución de sistemas de ecuaciones

a) Producto internob) Producto de dos matrices

a) Determinantes de una matriz (1x1)b) Determinantes de una matriz de orden (2x2)c) Determinantes de una matriz (3x3)d) Determinantes de una matriz de orden (nxn)

a) La matriz inversa de una matriz de orden (2x2)b) La inversa de una matriz de orden (3x3)c) Inversión mediante el uso de operaciones de filad) Inversión mediante adjuntas y determinantes

a) Sistemas de ecuaciones singulares

164



1) Resuelvo el sistema de ecuaciones lineales siguiente3x – 3y = 42x + 3y = 11

2) Encuentro el determinante de la siguiente matriz

A =[2 38 3 ]

3) Ordeno los siguientes valores en un arreglo de tres filas y dos columnas.2, 5, 8, 12, 34, 11,

4) Efectúo las operaciones indicadasa) 1/3 (a + 3)b) –2 ( 4 + b)

Luego de resolver estos ejercicios, comparo mis respuestas con las que se me presentamos al final de la unidad autoformativa .III, en la página 213.

Si contesto el 80% de la prueba diagnóstica (tres ejercicios de cuatro), poseo los conocimientos básicos para esta unidad y se me facilitará el autoaprendizaje.


165


A. DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ

Siempre que utilizamos datos, sentimos la necesidad de organizarlos de modo que sean significativos y puedan identificarse sin dificultad y esta función la cumple la condensación de los datos en forma tabular. La matriz es un medio común para resumir y presentar números y datos.

En muchos análisis suponemos que las variables que intervienen están relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. El álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de tales problemas, muchos de los cuales serían c asi imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria.

En ésta unidad, definimos las matrices, así como las operaciones correspondientes. Consideramos tipos especiales de matrices, la traspuesta de una matriz, las operaciones entre matrices y el determinante de una matriz.

También las aplicamos a la resolución de ecuaciones lineales simultáneas y la inversa de una matriz, que son de mucha utilidad al tratar aplicaciones de diferentes tipo. Al final del capítulo incluimos adicionalmente algunas aplicaciones variadas.

1. Definición de matriz

Se llama matriz a un arreglo rectangular de elementos dispuesto en m filas y n columnas. Las líneas horizontales reciben el nombre de filas, renglones o hileras y las líneas verticales se llaman columnas. El número de filas puede ser menor, igual o mayor que el número de columnas.

Los siguientes son ejemplos de matrices;

a) [3 −45 6 ]

b) [ 8 2 1 1−3 6 0. 5 0 ] c) [5 −7 56 ] d)

[1/2−34

12]

Las filas se enumeran de arriba hacia abajo y las columnas de izquierda a derecha. La notación (m x n), indica el orden de la matriz o sea el número de filas y columnas de la matriz. En el ejemplo a) la primera fila de la matriz es 3, -4, la segunda fila es 5 y 6; la

primera columna es

35 y la segunda columna

−4 6

a. Notación de matrices

Las matrices se representaban por letras mayúsculas como: A, B, C Los elementos se encierran mediante corchetes. El orden de la matriz se indica debajo de la letra mayúscula.

166


Ejemplo:

A2×2=[3 −45 6 ] B2×4=[ 8 2 1 4 /3

−3 6 1/2 0 ] Es una matriz 2x2 Es una matriz 2x4

b. Notación de elementos.

Entre las diversas propuestas de simbología para identificar los elementos de una matriz se ha aceptado por razones prácticas, la de utilizar una letra minúscula con un par de subíndices que indican la fila y la columna correspondiente al lugar que ocupa cada elemento dentro de la matriz. Por lo general se escribe a ij , bij , cij , etc., en que la letra latina minúscula (a, b, c, ...) hacen las veces de elementos genéricos de la matriz A, B, C, respectivamente, el subíndice i representa la fila y el subíndice j la columna en que se encuentra el elemento, esta notación nos permite construir matrices de forma generalizada que ayudan a expresar simbólicamente operaciones con matrices.

Forma generalizada

Una matriz A que contenga los elementos aij tiene la forma general

Am×n=[ a11 a12 . .. .. . a1n

a21 a22 . . .. .. a2n

.. . .. . . .. .. . .. .am1 am2 . . .. .. amn

]Las letras aij representan números reales que son los elementos de la matriz.

c. Igualdad de matrices

Se dice que dos matrices del mismo orden (igual número de filas y columnas) son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes son también iguales, es decir, si las matrices son idénticas. Observemos que, por definición, las matrices que son de diferente orden no pueden ser iguales.

Ejemplo:

A=[ 2 −2−2 2 ] B=[ 2 −2 2

−2 2 −2 ] C=[−2 2 2 −2 ] D=[ 2 −2

−2 2 ]Aquí A = D A ¿ C B ¿ D A ¿ B B ¿ C C ¿ D

167


2. Tipos especiales de matrices

Vectores

Un caso especial de matrices recibe el nombre de vector. El vector es una matriz que tiene únicamente una fila (renglón) o una columna.

a. Definición: matriz fila (vector fila)

La matriz renglón o fila es una matriz que tiene sólo una fila. Una matriz renglón R con n elementos r1j tiene una dimensión 1 x n y la forma general

R = [r11 r12 r13 ……. r1n ]

Por ejemplo

B1x8 = [3 4 7 -6 2 0 1 -2 ] B es una matriz renglón ( 1 x 8 ).C1x5 = [2 6 7 -3 0 ] C es una matriz renglón ( 1 x 5 ).D1x2 = [13 -9] D es una matriz renglón ( 1 x 2 ).

b. Definición: matriz columna (vector columna)

La matriz columna es una matriz que tiene una columna solamente. Una matriz columna C que posea m elementos c j1 tiene la dimensión m x 1 y la forma general

C=[c11

c21

.

.

.cm1

] Por ejemplo A4x1 =

[−2−38

12] ; B5x1 =

[38197] ; C3x1 =

[1/3−219 ]

La matriz A es una matriz columna 4x1La matriz B es una matriz columna 5x1La matriz C es una matriz columna 3x1

168


c. Definición: matriz cuadrada

La matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas y columnas. Si la dimensión de una matriz es m x n, una matriz cuadrada es tal que m = n. Las siguientes matrices son cuadradas.

A1x1 = [3 ] B2x2

=[ 1 3−5 4 ] C3x3

=[2 0 −31 −4 50 2 6 ]

Sí una matriz A es cuadrada, se le llama diagonal principal a un subconjunto de elementos aij , para los cuales i = j ; por ejemplo a11 , a22, a33, a44,.... a nn. , en los ejemplos anteriores los elementos de la diagonal principal son los que se encuentran señalados sobre la línea, de la misma forma a los elementos que conforman la diagonal que se presenta en el sentido contrario a la principal suele llamársele diagonal secundaria.

Los elementos de la diagonal principal de la matriz B son: b11 = 1, b22 = 4.

Los elementos de la diagonal principal de la matriz C son: c11 = 2, c22 = -4 , c33 = 6.

d. Definición: matriz identidad

La matriz identidad I , algunas veces denominada matriz unidad, es una matriz cuadrada en la cual los elementos situados sobre la diagonal principal son iguales a 1 y el resto de los elementos son iguales a 0.

Si ei j denota un elemento generalizado dentro de una matriz identidad, entonces

e ij={1 si i ¿ j0 si i ¿ j }

Las matrices

I =[1 0

0 1 ] , I

=[1 0 00 1 00 0 1 ] y I =

[1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]son matrices identidad de orden ( 2 x 2 ) , ( 3 x 3 ) y (4 x 4) respectivamente

Aunque veremos aquí varias aplicaciones de la matriz identidad, una propiedad importante incluye la multiplicación de una matriz identidad y otra matriz. La multiplicación de matrices es una operación algebraica legítima en ciertas circunstancias. Sí se tiene

169


una matriz A y una matriz identidad I , AI = A en caso de que se defina el producto AI. De manera análoga, si el producto IA se define, entonces IA = A.

La matriz identidad I es a la multiplicación de matrices lo que el número 1 es a la multiplicación en el sistema de números reales; es decir, (a) (1) = (1) (a) = a.

e. Traspuesta de una matriz

A veces es preciso re-arreglar los elementos de una matriz. El re-arreglo puede consistir simplemente en ver el arreglo de números desde otra perspectiva o bien en manipular los datos en una etapa posterior. Un re-arreglo es formar la traspuesta de una matriz.

Definición: transpuesta

En la matriz A de orden ( m x n ) con elementos aij , la transpuesta de A , denotada por At , es una matriz de orden ( n x m ) que contenga los elementos a t i j donde at

i j = a j i .

Para obtener la transpuesta de una matriz se intercambian las filas por columnas o las columnas por filas.

Ejemplo 1.

Hallemos la traspuesta de la matriz

A=[ 3 24 0

1 −2 ] Puesto que A es una matriz ( 3 x 2 ) , A t será una matriz ( 2 x 3 ) donde la primera fila será la primer columna de A y la segunda fila la segunda columna de A.

Empleando la definición anterior se obtiene

a11t

a12t

a13t

¿¿¿

a11

a21

a31

¿¿¿

341

a21t

a22t

a23t

¿¿¿

a12

a22

a32

¿¿¿

20−2

o bien A t = [3 4 12 0 −2 ]

Al estudiar las matrices A y At en el ejemplo anterior. ¿Descubrimos en ellas algún patrón? Lo que observamos es que las filas de A se convierten en las columnas de A t y las columnas de A se convierten en las filas A t . Estas relaciones pueden ser verdaderas para cualquier matriz y su traspuesta, y ofrecen un método fácil de determinar la traspuesta.

170


Ejemplo 2.

A continuación aplicaremos esta lógica para calcular la traspuesta de

B = [3 0 65 1 32 −1 4 ]

Para formar la traspuesta de B, los renglones 1, 2 y 3 se convierten en las columnas 1, 2 y 3 de Bt , o sea

Bt = [3 5 20 1 −16 3 4 ]

Este procedimiento también se podría haber visto en términos de las columnas 1, 2 y 3 de B que se convierten en las filas 1, 2 y 3 de Bt . Ambas perspectivas son válidas.


Determino la dimensión de cada una de las siguientes matrices y obtengo la traspuesta.

1) [6 −8 2 3 ] 2) [ 3 5−1 8 ] 3)

[ 0 1 4 2−5 3 1 4

]4) [ 2 0 −1−3 −5 0 1 −6 2 ] 5)

[1 0 00 1 00 0 1 ] 6)

[−6 3 2 12 3 1 42 −1 5 8 ]

7) [1234]

8) [12

34

56

78

910] 9)

[16045

34161

52232]

Luego de resolver estos ejercicios, comparo mis respuestas con las que se me presentan al final de la unidad autoformativa III, en la página 213.

171


B. OPERACIONES CON MATRICES

Con frecuencia se necesitan manipular datos que se almacenan en una matriz. Por ejemplo, un profesor desea conocer el promedio de un grupo en determinada prueba o un promedio de los alumnos en tres exámenes utilizando los datos de las calificaciones de los estudiantes en una matriz antes definida. El álgebra de matrices tiene en cuenta la manipulación de datos y la realización de cálculos mientras los datos se conservan en una forma matricial.

Operaciones análogas a las de adición, sustracción; multiplicación y división de números reales se pueden definir para las matrices.

En esta sección se definiremos e ilustraremos ejemplos específicos de la adición y sustracción de matrices, la multiplicación de una matriz por un escalar y la multiplicación de matrices entre sí.

1. Multiplicación de una matriz por un escalar

Un solo número real ( que equivale a una matriz 1x1 ) se denomina escalar en las operaciones del álgebra matricial. Cuando una matriz se multiplica por un escalar, cada elemento de la matriz queda multiplicado por ese escalar ( que es una constante) por lo tanto si A es una matriz y k un escalar.

A = [ a11 . . a1n

. . . .

. . . .am1 . . amn

] Entonces k x Amxn = k Amxn =

[ ka11 . . ka1 n. . . .. . . .kam1 . . kamn

]Ejemplos

1)

3 [ 48−1

−3−2

0 ]=[1224−3

−9−60 ] 2)

5 [ 0−1

0 ]=[0−5

0 ] 3) −1 [6 −2 −3 ]=[−6 2 3 ]

4) a [ 5 6 2 4−3 −1 0 −6 ]=[ 5a 6 a 2a 4a

−3 a −1a 0 −6a ] 5)

−b [0−23−1

5]=[

02b−3b

1b−5b

]6) c [0 0 0 16 ]=[0 0 0 16c ]

172


2. Adición y sustracción de matrices

Las matrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. La suma o la diferencia de dos matrices m x n es otra matriz m x n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos correspondientes de las matrices originales; de modo que si.

A = [ a11 . . a1n

. . . .

. . . .am1 . . amn

] y B =

[ b11 . . b1n

. . . .

. . . .bm1 . . bmn

]Entonces A±B=C , en donde

C = [ a11±b11 . . a1n±b1n

. . . .

. . . .am1±bm1 . . amn±bmn

] =

[ c11 . . c1n

. . . .

. . . .cm1 . . cmn

]Es decir ( aij) + ( bij) = Cij , en donde

c ij=aij+bij∀ i y toda j

Esto nos indica que para obtener la matriz suma C, simplemente debemos sumar los elementos correspondientes de las matrices A y B. Esta definición también es válida si se están sumando más de dos matrices

Ejemplos

I. Efectuemos las operaciones indicadas entre matrices

1)[3 2 −45 6 83 0 0 ]+[

0 3 8−5 −6 20 0 −4 ]=[

3 5 40 0 103 0 −4 ] 2)

[ 3 −10−11 25 ]−[−6 −4

22 −21 ]=[ 9 −6−33 46 ]

3)[4 6 12 ]+[−3 2 −12 ]=[1 8 0 ] 4)

[11241]−[

11241]=[

00000] que es una matriz nula

5)[2 36 4 ]+[ 1 1

−1 2 ]−[0 06 4 ]=[ 3 4

−1 2 ] 6) [111 ]+[

324 ]−[

68

10 ]+[010 ]=[

−2−4−5 ]

173


7)[2 , 1 ]+ [3 4 ]+ [6 7 ]−[11 12 ]=[0 , 0 ] 8) [123

468 ]−[

0711

5912]−[

10201

1300 ]=[

−9−25−9

−14−3−4 ]

II. Determinemos los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes son validas

1) [ x+2 4

3 y−1 ]=[ 5 z−3w+1 6 ]

Recordemos que según la definición dos matrices del mismo orden son iguales si su elementos correspondientes son iguales, en este ejemplo ambas matrices son de orden (2x2) por lo que, para que se cumpla la igualdad, debe verificarse que los elementos correspondientes sean iguales, esto es:

x +2 = 5 de aquí que x = 3 4 = z –3 de aquí que z = 73 = w +1 de aquí que w = 2 y –1 = 6 de aquí que y = 7

2) [ x+1 −2 3

4 1 z+2−1 y 2 ]+2 [3 −1 2

1 2 −34 −1 0 ]=[

6 u+2 7v+1 5 −7

7 0 w ]Ya que en el miembro izquierdo de la ecuación tenemos indicada una operación entre matrices, se deben efectuar las operaciones indicadas para obtener la matriz resultante y posteriormente igualar los elementos de la matriz resultante con los de la matriz que se encuentra en la parte derecha de la ecuación.

[ x+1 −2 34 1 z+2−1 y 2 ]+[6 −2 4

2 4 −68 −2 0 ]=[

6 u+2 7v+1 5 −7

7 0 w ][ x+7 −4 7

6 5 z−47 y−2 2 ]=[ 6 u+2 7

v+1 5 −77 0 w ]

Es evidente en ambas matrices que donde no aparecen variables, los elementos correspondientes son iguales, por lo tanto solamente planteamos las igualdades para los elementos de las matrices donde están las variables, y así determinar su valor.

x +7 = 6 por lo tanto x = -1 ; -4 = u + 2 por lo tanto u = -66 = v + 1 por lo tanto v = 5 ; z – 4 = -7 por lo tanto z = -3y – 2 = 0 por lo tanto y = 2 ; w = 2

174



I. Efectúo las operaciones indicadas entre matrices

1)[2 −3 65 4 50 1 9 ]−[

1 −3 40 −2 51 0 −1 ] 2)

[6 −1 04 2 1 ]+[5 0 2

0 1 3 ]+[−2 −1 −3−4 1 −1 ]

3)[134]−[

202 ]+[

312 ] 4)

[2 11 2 ]+[−1 0

0 −1 ]−[2 22 2 ]

5)[1 3 −1 2 ]−[0 1 −2 3 ] 6)[−1 2 ]−[3 4 ]+ [1 −2 ]−[6 5 ]

II. Determino los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes son válidas.

7)[ x+1 −2 3

4 1 z+2−1 y 2 ]

+ [3 −1 21 2 −34 −1 0 ] =

[ 6 u+2 5v+1 3 −7

3 0 w ]8)

2[1 x+1 00 −2 y−1z 1 2 ]

-

3[u −1 21 v+2 30 −3 1 ] =

[ 8 7 2v−2 zu+ y −7 1−7 z

4 w+11 t ]Como pudimos observar la suma y resta de matrices y la multiplicación de una matriz por un escalar aun guardan una relación muy cercana con las operaciones de números reales que conocemos por lo tanto resultan muy sencillas de efectuar.

Luego de resolver estos ejercicios, comparo mis respuestas con las que se me presentan al final de la unidad autoformativa III, en las páginas 213-214.

3. Multiplicación de matrices

Dos matrices se pueden multiplicar entre si, sólo si el número de columnas en una de ellas es igual al número de filas en la otra.

En particular la matriz producto AB esta definida solamente si el número de columnas en A es el mismo que el número de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B

175


son compatibles ante la multiplicación y la matriz producto tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. Así, una matriz m x n se puede multiplicar con una matriz n x p para obtener una matriz m x p.

Ejemplo 1.

Supongamos que la matriz A es de orden 2x2 y que la matriz B es de orden 2x4 ¿Puede calcularse el producto AB? ¿Cuál es el tamaño del producto?

El siguiente diagrama ayuda a decidir las respuestas a esas preguntas.

Tamaño de la matriz A Tamaño de la matriz B 2 x 2 2 x 4 deben coincidir tamaño de AB 2 x 4

El producto AB puede calcularse porque A tiene dos columnas y B tiene dos filas. El producto será una matriz de orden 2 x 4

La multiplicación de matrices ya no es análoga a la multiplicación que nosotros conocemos y requiere de un procedimiento especial que se encuentra claramente establecido, para ello necesitamos definir el producto interno.

a. Definición: producto interno

Cuando una matriz fila (vector fila) 1 x n multiplica a una matriz columna (vector columna) n x 1, el resultado es un escalar al que se le denomina producto interno (o interior de los dos vectores) y su valor es la suma de los dos productos de los componentes de las matrices (vectores) . Por lo tanto si:

U = [u1 . . . un ] y V =

[v1

.

.

.vn] entonces

U1xn Vnx1 = W (un escalar) , en donde W=u1v1+u2v2+.. . .. .. .+un vn=∑

i=1

n

uiv i

Ejemplo 2.

En los vectores fila y columna

176


M = [5 −2 0 1 3 ] y N =

[−2−41020

6] M.N = [5 −2 0 1 3 ]

[−2−41020

6]

El producto interno se calcula como = (5)(-2) + (-2)(-4) + (0)(10) + (1)(20) + (3)(6) = 36 que es un escalar

Ejemplo 3.

En los vectores fila y columna

A = [4 8 2 ] y B = [ 5−13 ] A.B =[4 8 2 ]

[ 5−13 ]

El producto interno se calcula como

= (4)(5) + (8)(-1) + (2)(3) = 18 que es un escalar

b. Definición: producto de dos matrices

Si A = [aij] es una matriz mxn y B = [bij] es una matriz nxp , el producto AB es una matriz C = [cij] de orden mxp en donde el ij – ésimo elemento cij se obtiene multiplicando la i – ésima fila de A por la j – ésima columna de B.

De acuerdo a lo anterior, el producto de dos matrices puede expresarse como la matriz de los productos internos de los vectores fila de la primera matriz por los vectores columnas de la segunda.

Ejemplo 4.

Encontremos el producto de AB si

A = [12 3

0−10 ]2X 3 y B =

[ 1 0−1 21 3 ]3X 2

Aquí la matriz A es 2x3 y la matriz B 3x2, por lo tanto la matriz AB puede encontrarse ya que el número de filas de A es igual al número de columnas de B y la matriz producto será de orden 2x2

Paso 1: fila 1 por columna 1

177


[12 30−10 ]2X 3

[ 1 0−1 2

1 3 ]3 X2

=

(1)(1) + (3)(-1) + (-1)(1) = -3

Paso 2 : fila 1 por columna 2

[12 30−10 ]2X 3

[ 1 0−1 2

1 3 ]3 X2

=

(1)(0) + (3)(2) + (-1)(3) = 3


[12 30−10 ]2X 3

[ 1 0−1 2

1 3 ]3 X2

=

(2)(1) + (0)(-1) + (0)(1) = 2


[12 30−10 ]2X 3

[ 1 0−1 2

1 3 ]3 X2

=

(2)(0) + (0)(2) + (0)(3) = 0

Paso 5 : El producto es

AB =

[12 30−10 ]2X 3

[ 1 0−1 2

1 3 ]3 X2

=

[−3 3

2 0 ]Aunque puede parecer un poco tedioso, con la práctica este procedimiento se logra agilizar mucho, además no es necesario especificar tanto el procedimiento como se hizo en el ejemplo ilustrativo anterior.

Ejemplo 5.

[−1 0 6 3 2 ]1 x5 [3 04 0−2 31 80 2

]5 x2

=

[(−1)(3 )+0( 4 )+6(−2)+3(1 )+2(0) (−1)(0 )+0(0 )+6(3 )+3(8 )+2 (2) ] =[−3+0−12+3+0 0+0+18+24+4 ] = [-12 46]1x2

En la multiplicación de matrices, el orden o sucesión, según el cual se efectúa la multiplicación es muy importante. Sí A es mxn y B es nxm, entonces es posible obtener

178


la matriz producto AB y BA; sin embargo, en general AB ¿ BA. En los casos en que ambos productos son iguales se dice que las matrices son idempotentes.

Ejemplo 6.

S i A = [1 2 34 5 62 1 4 ] y B =

[−2 1 2 3 2 1 1 3 2 ]

Calculemos AB y BA

Aquí A y B son de tamaño 3x3. En consecuencia, tanto AB como BA están definidas y ambos productos darán como resultado matrices de tamaño 3x3.

AB = [1 2 34 5 62 1 4 ] [

−2 1 2 3 2 1 1 3 2 ]

= [1(−2 )+2(3)+3(1 ) 1(1)+2(2 )+3(3) 1(2)+2(1 )+3(2)4 (−2 )+5(3 )+6(1) 4(1 )+5(2)+6 (3) 4(2 )+5(1)+6 (2 )2(−2)+1(3 )+4 (1) 2(1)+1(2)+4(3 ) 2 (2 )+1(1)+4(2 ) ]

= [ 7 14 1013 32 253 16 13 ]

BA = [−2 1 2 3 2 1 1 3 2 ] [

1 2 34 5 62 1 4 ]

= [−2(1)+1( 4 )+2(2) −2(2)+1(5)+2(1 ) −2(3 )+1(6 )+2(4 ) 3(1 )+2(4 )+1(2) 3(2)+2(5 )+1(1) 3(3)+2(6 )+1(4 ) 1(1)+3 (4 )+2(2) 1(2)+3(5 )+2(1) 1(3)+3(6 )+2(4 ) ]

= [ 6 3 813 17 2517 19 29 ]

Es claro que AB ¿ BA aunque ambos productos están definidos.

Ejemplo 7.

Sí A = [5 −6−1 00 3 ]

B = [−1 8 −30 10 −4 ]

179


Encontremos AB y BA

A.B=[ 5−1

0

−603 ][−1

08

10−3−4]

=[(5 )(−1 )+(−6 )(0) (5)(8 )+(−6 )(10) (5 )(−3)+(−6 )(−4 )(−1)(−1)+(0)(0 ) (−1 )(8 )+(0 )(10 ) (−1 )(−3 )+(0 )(−4 )(0 )(−1 )+(3 )(0) (0)(8 )+(3 )(10) ( 0)(−3)+(3)(−4 ) ]

A.B = [−5 −20 9

1 −8 30 30 −12 ]

B.A = [−1 8 −30 10 −4 ][

5 −6−1 00 3 ]

= [(−1)(5 )+(8 )(−1 )+(−3)(0 ) (−1 )(−6 )+( 8)(0 )+(−3)(3 )( 0)(5 )+(10 )(−1 )+(−4 )(0 ) (0 )(−6 )+(10 )(0 )+(−4 )(3 ) ]

B.A = [−13 −3−10 −12 ]


1) En los siguientes ejemplos se presenta la matriz producto, verifico mediante los procedimientos señalados en los ejemplos anteriores, que tanto el orden de la matriz producto como sus elementos son los correctos.

a) AB =

[4 6 −1 30 −1 2 1 ] [ 1

−112

2163] = [3 175 14 ]

b) B.A = [ 1−112

2163] [4 6 −1 3

0 −1 2 1 ] = [ 4 4 3 5−4 −7 3 −24 0 11 98 9 4 9

]2) Encuentro A x B , B x A y calculo A2 = A.A.

a) A = [−1 3 1

2 0 −20 4 5 ] B =

[ 0 2 38 −1 9−2 0 5 ]

3) Efectúo las operaciones indicadas entre matrices siempre que sea posible

a)[1 3 6 ] [−2

4−1] b)

3[−101

2−1

2

3−10

423 ]

180


c)

[1 −1 0 2 ] [ 21−10

1302]

d)[−1 1

1 −1 ] [2 00 2 ] [1 1 1

1 1 1 ]

e)[ 2 1

0 23 −1 ]([1 −2

2 −1 ]+3[2 01 2 ])

f)[ 4−3

12−21 ] ([

5 61 0

2 −3 ]−4 [−4 2 3 1−2 3 ])

Luego de resolver estos ejercicios, comparo mis respuestas con las que se me presentamos al final de la unidad autoformativa III, en la página 214.

4. Determinante

Un concepto importante en el álgebra matricial es el de determinante. El determinante de una matriz es un escalar (un número ) obtenido a partir de los elementos de una matriz por operaciones especificadas y que es característico de la matriz. Los determinantes están definidos solamente para matrices cuadradas.

El determinante de una matriz se denota encerrando la matriz entre barras verticales. Por

ejemplo si A es una matriz de orden nxn, el determinante se denota por |A| , det A o en algunos casos por el símbolo Δ (delta)

Se cuenta con diversas formas de calcular el valor del determinante de una matriz. Primero se explicarán técnicas específicas para las matrices (1x1), (2x2) y (3x3) y luego el procedimiento de cofactores más generalizado.

El determinante de una matriz es un escalar y por lo tanto puede tomar cualquier valor real, lo que estará en dependencia de las características de los componentes de la matriz.

Si el determinante una matriz es igual a cero |A| = 0 se dice que la matriz es singular y

si es distinto de cero |A| ≠ 0 se dice que es no singular, estos conceptos serán de mucha importancia cuando estemos tratando el tema de la inversa de una matriz.

a. Determinante de una matriz (1x1)

El determinante de una matriz (1x1) que es un escalar, es simplemente el valor del elemento contenido en la matriz. Por ejemplo si:

1) A = [5 ] , |A| = 5 2)B = [−3 ] , |B| = -3 3)C = [10 ] , |C| = 10

181


b. Determinante de una matriz de orden 2 x 2

Si A es la matriz de orden (2x2) definida por A = [a11

a21

a12

a22], entonces el determinante

de A estará dado por |A| = a11 a22 - a12 a21 . En otras palabras está dado por el producto de los elementos de la diagonal principal a11 . a22 menos el producto de los elementos de la otra diagonal a12 . a21 (diagonal secundaria) como se indica enseguida

|A| =

|a11

a22

| - ¿¿

Como podemos ver las operaciones son muy sencillas pero se debe tener cuidado con los signos de los elemento y el de la fórmula para el calculo del determinante.

Ejemplos:

1) Si A = |12

23|

entonces |A| = (1) (3) - (2) (2) = 3 – 4 = - 1

2) Si E = |3 −64 1

|entonces |A| = (3) (1) - (-6) (4) = 3 + 24 = 27

3) Si B = |−1 0

6 10|

entonces |B| = (-1)(10)–(0)(6) = -10 – 0 = - 10

4) Si D = |0 86 6

|entonces |D| = (0)(6)–(8)(6) = 0 – 48 = - 48

c. Determinante de una matriz de orden 3 x 3

Existen diversos métodos para calcular el determinante de una matriz de orden 3x3, aquí examinaremos el método de Sarrus por considerarlo el más sencillo y de fácil aplicación.

Sea A la matriz de orden 3x3 definida por:[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] entonces para encontrar su

determinante se agregan debajo de la tercera fila horizontal las dos primeras filas

horizontales [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

] Ahora trazamos 3 diagonales de derecha a izquierda y tres de

izquierda a derecha (cada una con tres elementos) como se indica a continuación

182


[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

] Se multiplican entre sí los tres números por los que pasa cada diagonal,

de tal forma que el determinante estará dado por la suma de los productos de los elementos de las diagonales primarias (líneas continuas), menos la suma de los productos de los elementos de las diagonales secundarias (líneas punteadas) esto es:

|A| =(a11a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 ) – (a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21 )

Ejemplos:

Resolvamos por sarrus

1)

|1 2 11 3 41 0 2

|=

|

1 2 11 3 41 0 21 2 11 3 4

|

= [1(3)(2) + 1(0)(1) + 1(2)(4)] – [1 (3)(1) + 4(0)(1) + 2(2)(1)] = 7

2)

|−9 3 47 −5 −34 6 1

| =

|

−9 3 4 7 −5 −3 4 6 1−9 3 4 7 −5 −3

|

= (45 +168-36) – (-80 +162 + 21) = 177 - 103 = 74

3)

|1 2 −21 −3 3−1 4 5

| =

|

1 2 −2 1 −3 3−1 4 5 1 2 -2 1 −3 3

|

= (-15-8-6) – (-6+12+10) = -29 – (16) = -45

183


4)

|2 5 73 4 86 2 4

| =

|

2 5 73 4 86 2 42 5 73 4 8

|

= (32+42+240) – (168+32+60) = 314 – 260 = 54

184



Calculo el valor de los determinantes siguientes

1)|3 −24 7

|2)|5 34 −1

|3)|−3 −6−8 −1

|4)|4 x0 1

|5)|a −bb −a

|

6)|a 54 −a

|7)

|2 1 43 5 41 0 1

|8)

|2 3 45 6 78 7 10

|9)

|3 9 16 4 21 3 2

|10)

|2 1 42 8 13 8 4

|

11)

|1 2 3−1 0 40 2 2

|12)

|1 2 −1−3 4 5−4 2 6

|


D. Determinante de una matriz de orden n

x n

Cuando el orden de una matriz es mayor que 3x3, su determinante se calcula por un procedimiento conocido como desarrollo por cofactores. Para ello es necesario conocer dos conceptos muy importantes que son útiles no solo para calcular el determinante de una matriz si no para encontrar la inversa de una matriz que es un tema que desarrollaremos mas adelante.

Definición: Si A es una matriz cuadrada de orden (nxn), entonces el menor Mij de un elemento aij , es el determinante de la matriz de orden (n-1)x(n-1) que se obtiene al omitir la fila i y la columna j de la matriz A.

Definición: El cofactor Cij (que es un escalar) del elemento aij se define como

Cij = (-1)i+j |M ij| esto es, el determinante del menor pare el elemento ij multiplicado por el

factor (-1)i+j el cual será positivo si la suma (i+j) es par y negativo si es impar.

185


Ejemplo 1: Si A es la matriz de orden 3x3 definida por [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] entonces como

podemos observar, cada elemento dentro de la matriz tiene una posición ij por lo tanto

M11 = [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] = [a22 a23

a32 a33] y C11 = (-1)2

|a22 a23

a32 a33

|

M12 = [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] = [a21 a23

a31 a33] y C11 = (-1)3

|a21 a23

a31 a33

|

M13 = [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] = [a21 a22

a31 a32] y C11 = (-1)4

|a21 a22

a31 a32

|

Aunque en este caso hemos determinado los cofactores de tres de los elementos de la matriz, esto puede hacerse para cualquiera de los elementos, si esto se hace para todos los elementos de la matriz podemos formar una matriz de cofactores, que nos será muy útil para determinar la inversa de una matriz.

Podemos notar que si la matriz A es de orden 4x4 entonces los menores serán de orden 3x3, si es de orden 5x5 los menores serán de orden 4x4 y así sucesivamente, esta claro entonces que entre mayor es el orden de la matriz es mas complicado calcular el cofactor de cada uno de sus elementos, por esa razón aunque las definiciones están dadas de forma general para matrices de orden nxn, los ejercicios que desarrollaremos estarán orientados a matrices de orden 3x3.

Ejemplo 2: Si A = [3 7 −22 1 −34 0 6 ] calcule C11, C12, C13

1) C11 = (-1)2 [3 7 −22 1 −34 0 6 ]= +

|1 −30 6

| = +[ (1)(6) – (-3)(0) ] = 6

2) C12 = (-1)3 [3 7 −22 1 −34 0 6 ]= -

|2 −34 6

| = - [ (2)(6) – (-3)(4) ] = -24

186


3) C13 = (-1)4 [3 7 −22 1 −34 0 6 ]= +

|2 14 0

| = + [ (2)(0) – (1)(4) ] = -4

Existe una relación entre el determinante de una matriz y sus cofactores de tal forma que es posible encontrar el valor del determinante a partir de los cofactores, esta relación se expresa de la siguiente manera.

El valor de un determinante puede encontrarse multiplicando los elementos en cualquier fila (o columna) por sus cofactores y sumando los productos correspondientes a todos los elementos en la fila (o columna) considerados. Por esta razón el método recibe el nombre de método de desarrollo por cofactores

Ejemplo 3: Si A es la matriz de orden 3x3 definida por [a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33] y decidimos

calcular el determinante a partir del desarrollo de los cofactores de la primera fila de la matriz, el determinante quedaría expresado de la siguiente manera:

|A| = a11 (-1)2

|a22 a23

a32 a33

| + a12 (-1)3

|a21 a23

a31 a33

| + a13 (-1)4

|a21 a22

a31 a32

|

Recordemos que puede seleccionar cualquier fila o columna para hacer el cálculo por lo tanto si en una matriz alguna de las filas o columnas contienen elementos iguales a cero, sería conveniente seleccionarla ya que al multiplicar a su cofactor, el resultado sería también cero y no sería necesario expresar ese producto facilitando el cálculo del determinante.

Ejemplos:

1) Calculemos el valor del determinante por el método de desarrollo por cofactores a) a partir de la primera fila, y b) a partir de la segunda columna.

a)

|1 3 −32 0 1−1 4 −2

| = 1(-1)2

|0 14 −2

|+3(-1)3

| 2 1−1 −2

|+(-3)(-1)4

| 2 0−1 4

|

= 1(1)[(0)(-2)-(1)(4)] +3(-1)[(2)(-2)-(1)(-1)] + (-3)(1)[(2)(4)-(0)(-1)] = -4 + 9 –24 = -19

b)

|1 3 −32 0 1−1 4 −2

| = 3(-1)3

| 2 1−1 −2

| + 0(-1)4

| 1 −3−1 −2

|+ 4(-1)5

|1 −32 1

|

= 3(-1)[(2)(-2)-(1)(-1)] + 0 + 4(-1)[(1)(1)-(-3)(2)] = 9 + 0 -28 = -19

187


Está claro que el valor del determinante es el mismo independientemente de si se utiliza una fila o una columna para el desarrollo, también podemos observar que al utilizar la segunda columna que contenía un elemento igual a cero los cálculos se simplifican por que todo el producto es cero.

2) Calcule el valor del determinante por el método de desarrollo por cofactores a partir a) de la tercera fila b) de la tercera columna

a)

|3 4 52 −1 31 2 6

|= 1(-1)4

| 4 5−1 3

| + 2(-1)5

|3 52 3

|+ 6(-1)6

|3 42 −1

|

= 1(1)[(4)(3)-(5)(-1)] + 2(-1)[(3)(3)-(5)(2)] + 6(1)[(3)(-1)-(4)(2)] = 17 + 2 - 66 = -47

b)

|3 4 52 −1 31 2 6

|= 5(-1)4

|2 −11 2

| + 3(-1)5

|3 41 2

|+ 6(-1)6

|3 42 −1

|

= 5(1)[(2)(2)-(-1)(1)] + 3(-1)[(3)(2)-(4)(1)] + 6(1)[(3)(-1)-(4)(2)] = 25 - 6 - 66 = -47


Calculo el valor de los determinantes siguientes aplicando el método de desarrollo por cofactores y comparo los resultados con los obtenidos al aplicar el método de Sarrus.

1)

|2 1 43 5 41 0 1

|2)

|2 3 45 6 78 7 10

|3)

|3 9 16 4 21 3 2

|

4)

|2 1 42 8 13 8 4

|5)

|1 2 3−1 0 40 2 2

|6)

|1 2 −1−3 4 5−4 2 6

|


188


5. La matriz inversa ( a –1 )

Supongamos que a es un número real distinto de cero. Existe entonces un único número a-1 que tiene la propiedad de que a.a-1 = 1. Llamamos a.a-1 el inverso multiplicativo de a, análogamente estamos interesados en encontrar una matriz tal que al multiplicarse con A de cómo resultado la matiz identidad I

Definición: Si para una matriz A de orden nxn (cuadrada) existe otra matriz B de orden nxn (cuadrada) tal que su producto es la matriz identidad de orden nxn, es decir, si Anxn Bnxn = BnxnAnxn = I , entonces se dice que B es la inversa de A y se escribe B = A-1

Es claro por la definición que sólo las matrices cuadradas pueden tener inversa. Pero no todas las matrices cuadradas tienen inversa, entonces ¿Qué matrices tienen inversa?.

Recordemos de los determinantes que una matriz se llama matriz singular si |A| = 0

y matriz no singular si |A| ≠ 0 entonces :

Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si |A| ≠ 0 o sea si es no singular, por lo tanto una matriz cuadrada que tiene su determinante igual a cero no tiene inversa.

Se cuenta con diversos métodos para calcular la inversa de una matriz y estos resultan de mayor o menor complejidad en dependencia del orden de la matriz a la cual se le está calculando su inversa. Nosotros revisaremos los métodos para determinar la inversa de matrices de orden 2x2 que es muy sencillo y para matrices de orden 3x3 los cuales pueden generalizarse para matrices de mayor orden a pesar de que no sea un objetivo del curso.

a. La matriz inversa de una matriz de orden 2X2

Sea A = [a11

a21

a12

a22] una matriz 2x2 para la cual el determinante |A| ≠ 0 entonces la

inversa de A denotada por A-1 estará dada por

A−1= 1|A|[ a22 −a12

−a21 a11 ]=[ a22

|A|−a12

|A|−a21

|A|a11

|A|]

Lo cual podemos resumir en los siguientes 4 pasos:

1) Calculamos el determinante de la matriz para determinar si tiene inversa, si es así2) Intercambiamos de posición los elementos en la diagonal principal3) Cambiamos el signo de los elementos en la diagonal secundaria4) Dividimos todos los elementos de la matriz entre el valor del determinante.

189


La matriz que resulte después de estas operaciones es la inversa de la matriz dadaEjemplos:

Encuentremos la inversa de las matrices indicadas si existen

1. A = [3 72 6 ]

el determinante de a es |A|= (3)(6) – (7)(2) = 4 lo que nos indica que la matriz posee

inversa y estará dada por A-1 = [ 6

4−74

−24

34]=[ 3/2 −7 /4−1/2 3 /4 ]

2. B = [ 4 3−2 −1 ]

|B|= (4)(-1) – (3)(-2) = 2 y B-1 = [−1

2−32

22

42]=[−1/2 −3 /2

1 2 ]

3. C = = [1 32 5 ]

|C|= (1)(5) – (3)(2) = -1 y B-1 = [ 5−1

−3−1

−2−1

1−1]=[−5 3

2 −1 ]

b. La inversa de una matriz de orden 3x3

Existen numerosos procedimientos para invertir matrices de orden 3x3 o de mayor orden. En esta sección estudiaremos dos métodos de inversión; ambos factibles a no ser que la matriz sea demasiado grande, o que sus elementos consten de muchos dígitos en cuyo caso se pueden utilizar programas estándar disponibles para la mayor parte de computadoras.

c. Inversión mediante el uso de operaciones de

fila

Cuando se intenta resolver un sistema de ecuaciones lineales simultaneas, se emplean ciertas operaciones sencillas para convertir el sistema original a un sistema equivalente,

190


es decir que tenga la misma solución que el sistema original, pero que sea más sencillo de resolver. Se obtiene un sistema equivalente si :

1) Se intercambian dos ecuaciones.2) Se multiplica una ecuación por una constante diferente de cero.3) Se cambia una de las ecuaciones por la suma de esa ecuación y otra de las

ecuaciones del sistema multiplicada por una constante distinta de cero.

Análogamente tres operaciones elementales de fila para las matrices se definen como sigue:1) Podemos intercambiar dos filas cualquiera de una matriz2) Podemos multiplicar una fila de la matriz por una constante k distinta de cero3) Podemos reemplazar la i-ésima fila de una matriz por la suma de la i-ésima fila y k

veces la j-ésima fila, siendo k una constante distinta de cero

Estas operaciones elementales de fila se pueden utilizar para obtener la inversa de una matriz si se utilizan adecuadamente a como lo establece el siguiente teorema.

Teorema: Si una matriz A es convertida en la matriz identidad por una serie de operaciones de fila, entonces si esta misma serie de operaciones se realizan sobre la matriz identidad la convertirán en la matriz inversa de A, A-1

Existe un método estándar que describe los pasos que se deben realizar para convertir una matriz no singular en la matriz identidad a partir de las operaciones elementales de fila señaladas anteriormente, este método se conoce con el nombre de Método de Eliminación de Gauss.

Pasos para convertir una matriz cuadrada en la matriz identidad(Método de eliminación de Gauss)

1) Dividir la primera fila de la matriz entre el elemento de su primera columna, esto con el fin de hacer igual a uno el elemento en la primera fila y primera columna; usar luego la fila resultante para obtener ceros en la primera columna de cada una de las otras filas.

2) Dividir la segunda fila entre el elemento de su segunda columna, con el fin de hacer igual a uno el elemento en la segunda fila y segunda columna; emplear la fila resultante para obtener ceros en la segunda columna de las demás filas.

3) Dividir la tercera fila entre el elemento de su tercera columna, para hacer igual a uno el elemento en la tercera fila y tercera columna ; usar la fila resultante para obtener ceros en la tercera columna de las demás filas.

En la primera parte de cada paso se señala que se debe dividir el elemento de la i-ésima fila entre el elemento de la i-ésima columna con el objetivo de hacer uno ese elemento, sin embargo cuando ese elemento ya sea igual a uno no será necesario efectuar este paso.

Para obtener los ceros que se indican en la segunda parte de cada paso haremos uso de las operaciones elementales de fila y columna para las matrices, lo cual quedará más claro en el desarrollo de los ejemplos.

191


Para obtener la inversa de la matriz A por el procedimiento señalado, se acostumbra a

trabajar con las matrices en una disposición de la forma [A | I] que luego de aplicar el

procedimiento expuesto anteriormente se transforma en [I | A -1 ] obteniendo la matriz inversa buscada.

Si en algún paso se obtiene una matriz que no es de la forma apropiada o no se puede cambiar como se indico anteriormente, entonces A no tiene inversa, sin embargo siempre se recomienda calcular el determinante como un paso previo para no hacer operaciones innecesarias.

Ejemplos:

1) Encontremos la inversa, si existe, de la matriz

A = [ 0 −2 −3 1 3 3-1 -2 -2 ]

Expresemos la matriz en la forma indicada anteriormente

[ 0 −2 −3 1 3 3−1 −2 −2

|1 0 00 1 00 0 1 ]

[ 1 3 30 −2 −3−1 −2 −2

|0 1 01 0 00 0 1 ]

[ 1 3 30 −2 −30 1 1

|0 1 01 0 00 1 1 ]

[ 1 3 30 1 3/20 1 1

|0 1 0

-1 /2 0 00 1 1 ]

[ 1 0 −3/20 1 3/20 0 −1/2

|3/2 1 0-1 /2 0 01/2 1 1 ]

Intercambiamos la primera fila por la segunda para obtener 1 en la primera fila y primera columna

Ya tenemos cero en la segunda fila y primer columna, ahora necesitamos hacer cero en la tercera fila primera columna por lo tanto sumamos la fila 1 a la fila 3

Dividimos la segunda fila por –2 , que es el elemento de su segunda columna para obtener un 1 en su lugar

a) Multiplicamos por –3 la fila dos y se la sumamos a la fila 1 b) Multiplicamos por –1 la fila dos y se la sumamos a la fila 3

Dividimos la tercera fila por –1/2 , que es el elemento de su tercer columna para obtener un 1 en su lugar

192


[ 1 0 −3/20 1 3/20 0 1

|3/2 1 0-1 /2 0 0-1 -2 -2 ]

[ 1 0 00 1 00 0 1

|0 -2 -31 3 3-1 -2 -2 ]

Esto significa que A-1 = [ 0 -2 -3 1 3 3-1 -2 -2 ] Lo cual se puede probar ya que se cumple que

[ 0 −2 −3 1 3 3-1 -2 -2 ]

. [ 0 -2 -3 1 3 3-1 -2 -2 ] =

[1 0 00 1 00 0 1 ]

2) Encontremos la inversa, si existe, de la matriz

B = [ 1 2 3−1 0 40 2 2 ]

Expresamos la matriz en la forma indicada junto a la matriz identidad.

[ 1 2 3-1 0 4 0 2 2

|1 0 00 1 00 0 1 ]

[ 1 2 30 2 7

0 2 2|1 0 01 1 00 0 1 ]

[ 1 2 30 1 7 /2

0 2 2|

1 0 01/2 1/2 00 0 1 ]

[ 1 0 −40 1 7/2

0 0 -5|

0 -1 01 /2 1 /2 0-1 -1 1 ]

[ 1 0 −40 1 7/2

0 0 1|

0 -1 01 /2 1 /2 01/5 1 /5 -1 /5 ]

a) Multiplicamos por 3/2 la fila 3 y se la sumamos a la fila 1 b) Multiplicamos por –3/2 la fila 3 y se la sumamos a la fila 2

La matriz original se convirtió en la matriz identidad y la matriz identidad en la inversa de A

Como ya tenemos un 1 en al primera columna de la primera fila, sumamos la fila 1 a la fila 2 para hacer cero el elemento de la primera columna y segunda fila.

Dividimos por 2 la segunda fila para hacer 1 el elemento de la segunda columna.

a) Multiplicamos por –2 la fila 2 y se la sumamos a la fila 1 b) Multiplicamos por –2 la fila 2 y se la sumamos a la fila 3 (hacer ceros)

Dividimos la fila 3 por –5 para hacer 1 el elemento de la tercera fila tercera columna.

a) Multiplicamos por 4 la fila 4 y se la sumamos a la fila 1 b) Multiplicamos por –7/2 la fila 3 y se la sumamos a la fila 2 (hacer ceros)

193


[ 1 0 00 1 0

0 0 1|

4 /5 -1/5 -4 /5-1 /5 -1/5 7/101/5 1/5 -1/5 ]

Esto significa que B-1 = [ 4/5 -1 /5 -4 /5-1/5 -1 /5 7 /101/5 1/5 -1 /5 ] por lo tanto se cumple que el producto de

B . B-1 = I o sea que [ 1 2 3−1 0 40 2 2 ] . [

4/5 -1 /5 -4 /5-1/5 -1 /5 7 /101/5 1/5 -1 /5 ] =

[1 0 00 1 00 0 1 ]

d. Inversión mediante adjuntas y determinantes

Un método alternativo de inversión de matrices implica la obtención de la adjunta y el

determinante de la matriz que se desea invertir. Sí A es no singular, es decir, si |A|≠0 ,

entonces A-1 =

1|A|

adj A donde la matriz adjunta de A denotada por adj A, es la matriz

que se obtiene al transponer la matriz de cofactores de A esto es adj A = (Cij)t

Ejemplo 1.

Si A = [ 1 3 −3

2 0 1−1 4 −2 ] encontremos su inversa si existe

1° paso: Encontremos el determinante

|A|=1[0 14 −2 ]−3 [ 2 1

−1 −2 ]−3[ 2 0−1 4 ] = [1(0-4) – 3(-4+1) – 3(8-0)] = -19

el |A|≠0 por lo tanto A tiene una inversa.

2° paso: Encontremos la matriz de cofactores

C11 = (−1)2 [0 1

4 −2 ] = -4 ; C12 = (−1)3 [ 2 1

−1 −2 ] = 3 ; C13 = (−1)4 [ 2 0

−1 4 ] = 8

C21 = (−1)3 [3 −3

4 −2 ] = -6 ; C22 = (−1)4 [ 1 −3

−1 −2 ] = -5 ; C23 = (−1)5 [ 1 3

−1 4 ] = -7

La matriz original se convirtió en la matriz identidad y la matriz identidad en la inversa de B

194


C31 = (−1)4 [3 −3

0 1 ] = 3 ; C32 = (−1)5=[1 −3

2 1 ] = -7 ; C33 = (−1)6=[1 3

2 0 ] = -6

Sustituyendo cada elemento de la matriz por su cofactor obtenemos la matriz de cofactores de A

Cij = [−4 3 8−6 −5 −73 −7 −6 ]

3° paso: transponemos la matriz de cofactores para encontrar la matriz adjunta de A

adj A = [−4 −6 3

3 −5 −78 −7 −6 ]

4° paso: Multiplicaamos el reciproco del determinante por la adj A para obtener la matriz inversa de A

A-1 =

1−19 [−4 −6 3

3 −5 −78 −7 −6 ] =

[4

196

19−3

19−3

195

197

19−8

197

196

19]

Ejemplo 2.

Encontramos la inversa, sí existe, de la matriz ; B = [ 0 −2 −3

1 3 3−1 −2 −2 ]

1° paso: Encontramos el determinante

|B|=2[ 1 3−1 −2 ]−3[ 1 3

−1 −2 ] = [2(-2+3) – 3(-2+3)] = -1

el [B ]≠0 por lo tanto B tiene una inversa.

2° paso: Encontramos la matriz de cofactores

C11 = (−1)2 [ 3 3

−2 −2 ] = 0 ; C12 = (−1)3 [ 1 3

−1 −2 ] = -1 ; C13 = (−1)4 [ 1 3

−1 −2 ] = 1

C21 = (−1)3 [−2 −3

−2 −2 ] = 2 ; C22 = (−1)4 [ 0 −3

−1 −2 ] = -3 ; C23 = (−1)5 [ 0 −2

−1 −2 ] = 2

195


C31 = (−1)4 [−2 −3

3 3 ] = 3 ; C32 = (−1)5 [0 −3

1 3 ] = -3 ; C33 = (−1)6 [0 −2

1 3 ] = 2

Sustituyendo cada elemento de la matriz por su cofactor obtenemos la matriz de cofactores de A

Cij = [0 −1 12 −3 23 −3 2 ]

3° paso: transponemos la matriz de cofactores para encontrar la matriz adjunta de B

adj B = [ 0 2 3−1 −3 −31 2 2 ]

4° paso: Multiplicamos el reciproco del determinante por la adj B para obtener la matriz inversa de B

B-1 =

1−1 [ 0 2 3

−1 −3 −31 2 2 ] =

[ 0 −2 −31 3 3−1 −2 −2 ]

196



1) Determino si las matrices dadas son inversas entre si, calculando su producto.

a)[5 23 −1 ] y [−1 2

3 −4 ] b)[ 3 −1−4 2 ] y [1 1/2

2 3 /2 ]

c)[ 2 5 4

1 4 3−1 3 2 ] y [−1 2 1

−5 8 27 −11 −3 ] d)

[1 1 12 3 01 2 1 ] y [3 /2 1/2 −1/2

−1 0 11/2 −2 2 ]

2) Encuentro la inversa si existe de cada una de las siguientes matrices

a)|2 31 2

|b)|2 43 6

|c)|2 61 4

|d)|2 53 4

|e)| 1 −2−3 4

|f)| 3 −2−6 4

|

3) Calculo el determinante de las siguientes matrices para determinar si tienen inversa, y si la tiene aplique el método de eliminación Gaussiana y el método de desarrollo por cofactores para encontrarla.

g)

|1 −1 10 2 −12 3 0

|h)

|1 4 31 −3 −22 5 4

|i)

|1 −3 42 −5 70 −1 1

|j)

|1 0 20 3 12 −1 0

|k)

|2 3 41 2 04 5 6

|

Luego de resolver estos ejercicios, comparo mis respuestas con las que se me presentamos al final de la unidad autoformativa III, en las páginas 214-215.

6. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción de renglones o método de eliminación Gaussiana

197


Hasta este momento ya estamos familiarizados con algunos procedimientos matemáticos tales como igualación, eliminación, etc. para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma

a1x+b1 y=c1

a2 x+b2 y=c2 ó

a1 x+b1 y+c1 z=d1

a2 x+b2 y+c2 z=d2

a3 x+b3 y+c3 z=d3

4 x+3 y=107 x−2 y=3 ó

3x+4 y+5 z=262 x+5 y−3 z=34 x−2 y+4 z=12

En esta sección trataremos de explicar un nuevo procedimiento de solución de sistemas de ecuaciones lineales que juega un papel muy importante en la solución de problemas relacionados a la programación lineal. Este procedimiento es un poco tedioso al efectuarlo manualmente. Sin embargo, una de sus ventajas es que los pasos en el procedimiento de resolución no cambian a pesar de las dimensiones del sistema de ecuaciones y en el caso de sistemas de mayor orden que 3x3 es más fácil de aplicar que los métodos tradicionales además resulta fácil de programarlo para computadoras.

El método de eliminación Gaussiana es un tipo especial de procedimiento de eliminación. Comienza con el sistema original de ecuaciones y lo transforma, mediante operaciones de fila, en un sistema equivalente en el cual la solución sea más evidente

El procedimiento puede simplificarse si se utiliza una notación abreviada para representar el sistema de ecuaciones. Con esta notación se eliminan las variables y se representa el sistema de ecuaciones utilizando sólo los coeficientes de las variables y las constantes del miembro derecho, de esta forma haciendo uso de las matrices se construye lo que llamaremos la matriz ampliada del sistema de ecuaciones. Así por ejemplo para los sistemas 2x2 y 3x3 tenemos:

a1x+b1 y=c1

a2 x+b2 y=c2 [a1 b1

a2 b2

|c1

c2] es la matriz ampliada para un sistema 2x2

a1 x+b1 y+c1 z=d1

a2 x+b2 y+c2 z=d2

a3 x+b3 y+c3 z=d3 [a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|d1

d2

d3] es la matriz ampliada para un sistema 3x3

Siguiendo este procedimiento podemos construir la matriz ampliada para un sistema de ecuaciones lineales de orden nxn. Como podemos observar este procedimiento consiste en eliminar las variables del sistema de ecuaciones dejando solamente sus coeficientes numéricos y los términos independientes del sistema de ecuaciones.Por ejemplo:

198


1)

4 x+3 y=107 x−2 y=3

[4 37 −2

|103 ]

2)

2 x−3 y+4 z=13x+ y+2 z=4

3x+5 y−z=−4 [2 −3 41 1 23 5 −1

|134−4 ]

3)

x+ y+2 z+3w=12 x+ y+3 z+4w=13 x+ y+4 z+5w=22 x−6 y−3 z =4

[1 1 2 32 1 3 43 1 4 52 −6 −3 0

|

1124]

y así sucesivamente para sistemas mayores.

El propósito es aplicar las operaciones definidas anteriormente entre filas de una matriz hasta obtener una forma reducida. El trabajo consiste en convertir la matriz de coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones, en una matriz identidad de tal forma que al revertir el proceso, regresemos a un sistema de ecuaciones equivalente donde la solución será más evidente.

después de las transformaciones la matriz [1 00 1

|k1

k2] nos llevaría al sistema

xy¿k 1

¿k2

así como la matriz [1 0 00 1 00 0 1

|k 1

k 2

k3] nos lleva al sistema equivalente

xy

z

¿k1

¿k 2

¿k3

lo que representa la solución de un sistema de ecuaciones 2x2 y 3x3 respectivamente.

Para el sistema de ecuaciones 3x3 del ejemplo 2) mostrado anteriormente podemos resumir el proceso expresado anteriormente de la siguiente manera:

2 x−3 y+4 z=13x+ y+2 z=4

3x+5 y−z=−4 [2 −3 41 1 23 5 −1

|134−4 ]

[1 0 00 1 00 0 1

|1−12 ]

x+0 y+0 z=10 x+ y+0 z=−10 x+0 y+ z=2

Construimos la matriz ampliada del sistema de ecuaciones con los coeficientes de las variables y los términos independientes, se efectúan operaciones de fila para convertir la matriz de coeficientes del sistema en una matriz identidad, regresamos al sistema de ecuaciones equivalentes, en este sistema equivalente puede advertirse la solución del sistema de ecuaciones de forma inmediata, esta es:

x = 1, y = -1, z = 2

199


Retomamos ahora los pasos que se deben seguir para convertir una matriz cuadrada en la matriz identidad, lo que representa la parte medular de este método de resolución.

Pasos para convertir una matriz cuadrada en la matriz identidad(Método de eliminación de Gauss)

1) Dividimos la primera fila de la matriz entre el elemento de su primera columna, esto con el fin de hacer igual a uno el elemento en la primera fila y primera columna; usar luego la fila resultante para obtener ceros en la primera columna de cada una de las otras filas.

2) Dividimos la segunda fila entre el elemento de su segunda columna, con el fin de hacer igual a uno el elemento en la segunda fila y segunda columna; emplear la fila resultante para obtener ceros en la segunda columna de las demás filas.

3) Dividimos la tercera fila entre el elemento de su tercera columna, para hacer igual a uno el elemento en la tercera fila y tercera columna; usar la fila resultante para obtener ceros en la tercera columna de las demás filas.

En la primera parte de cada paso se señala que se debe dividir el elemento de la i-ésima fila entre el elemento de la i-ésima columna con el objetivo de convertir en 1(uno) ese elemento, sin embargo cuando ese elemento ya sea igual a uno no será necesario efectuar este paso.

Para obtener los ceros que se indican en la segunda parte de cada paso haremos uso de las operaciones elementales de fila y columna para las matrices, lo cual quedará más claro con el desarrollo de los ejemplos.

Ejemplo 1.

Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones por el método de eliminación de Gauss.

5 x+20 y=254 x−7 y=−26

A continuación se escribe la matriz ampliada del sistema.

[5 204 −7

|25−26]

Dividimos la primera fila por 5 (f1 ÷ 5) para obtener un 1 en la primera columna de la primera fila con lo que se obtiene,

[1 44 −7

| 5−26]

200


Multiplicamos la primera fila por –4 y se la sumamos a la segunda fila(-4f1 + f2) buscando hacer cero el elemento de la primera columna y segunda fila.

[1 40 −23

| 5−46 ]

Dividimos la segunda fila por –23 (f2 ÷ -23) para convertir en 1 el elemento de la segunda fila y segunda columna.

[1 40 1

|52 ]

Multiplicamos la segunda fila por –4 y se la sumamos a la primera (-4f2 + f1) para hacer cero el elemento de la primera fila y segunda columna.

[1 00 1

|−32 ]

Ya que la matriz de coeficientes quedó transformada en la matriz identidad, construimos ahora el sistema equivalente, el cual representa la solución del sistema de ecuaciones.

x=−3y= 2

Ejemplo 2.

Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones por el método de eliminación de Gauss

x− y+5 z=−63 x+3 y−z=10x+3 y+2 z=5

Escribimos la matriz ampliada del sistema de ecuaciones

[1 −1 53 3 −11 3 2

|−6105 ]

Al desarrollar este ejemplo iremos incorporando la notación simplificada para las operaciones que comúnmente se utilizan al resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss, es bueno que ponga atención a esta notación y que la utilice sistemáticamente en todos los ejercicios que resuelva ya que la mayoría de los textos

201


hacen uso de ella y es una forma sencilla de indicar los pasos a seguir. Las operaciones que afectan a cada fila se indican a la par de cada una de ellas antas de realizarse.

1) El primer paso es hacer uno el elemento de la primera fila y primera columna, pero en este caso ese elemento ya es igual a 1.

2) Para hacer cero los elementos de la primera columna y en la segunda y tercera fila:- Multiplicamos por –3 la fila 1 y sumamos el resultado a la fila 2, o sea cambiar la

fila dos por (-3 f1 + f2 ).- Multiplicamos por –1 la fila 1 y sumamos el resultado a la fila 3, o sea cambiar la

fila tres por (-1 f1 + f3 )

[1 −1 53 3 −11 3 2

|−6105 ]−3 f 1+ f 2

−1 f 1+f 3 = [1 −1 50 6 −160 4 −3

|−62811 ]

3) El siguiente paso es dividir la fila dos de la matriz resultante por 6 para hacer igual a 1 el elemento de la segunda fila y segunda columna

[1 −1 50 6 −160 4 −3

|−62811 ]¿6

¿¿

= [1 −1 50 1 −8 /30 4 −3

|−6

14 /311 ]

4) Procedemos a hacer cero los elementos de la segunda columna en la primera y tercera fila:- Sumamos la fila 2 a la fila 1 esto es cambiar la fila 1 por (f2 + f1)- Multiplicamos por –4 la fila 2 y la sumamos a la fila 3, es decir cambiamos la fila 3

por (-4f2 + f3)

[1 −1 50 1 −8 /30 4 −3

|−6

14 /311 ] f 2+ f 1

−4 f 2+ f 3 = [1 0 7 /30 1 −8/30 0 23 /3

|−4/314 /3−23 /3]

5) Dividimos la fila 3 de la matriz resultante por 23/3 para hacer 1 el elemento en la tercera fila y tercera columna.

[1 0 7 /30 1 −8/30 0 23 /3

|−4/314 /3−23 /3]¿23/3 =

[1 0 7 /30 1 −8/30 0 1

|−4 /314 /3−1 ]

6) hacemos cero los elementos en la tercera columna de las filas uno y dos - Multiplicamos la fila 3 por -7/3 y se la sumamos a la fila 1 (-7/3f3 + f1) - Multiplicamos la fila 3 por 8/3 y se la sumamos a la fila 2 (8/3f3 + f2)

202


[1 0 7 /30 1 −8/30 0 1

|−4 /314 /3−1 ]−7 /3 f 3+ f 1

8 /3 f 3+ f 2

¿¿

= [1 0 00 1 00 0 1

|12−1]

Ahora la matriz de coeficientes del sistema quedó transformada en la matriz identidad por lo que construimos ahora el sistema de ecuaciones equivalentes con los nuevos coeficientes donde la solución del sistema de ecuaciones es más que evidente.

x ¿ 1y ¿ 2z ¿ −1

Ejemplo 3.

Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones por el método de eliminación de Gauss

2 x− y+3 z=4x+ y+z=6

4 x+5 y−10 z=13

Escribimos la matriz ampliada del sistema de ecuaciones

[2 −1 31 1 14 5 −10

|4613 ]

1) Recordemos que el primer paso es hacer igual a uno el elemento de la primera fila y primera columna por lo cual deberíamos dividir la primera fila por 2, sin embargo podemos observar que la segunda fila tiene el elemento de su primera columna igual a uno, en este caso para evitar hacer la división podemos intercambiar la fila 1 con la dos y obtenemos el resultado deseado, usted puede comprobar como ejercicio que de no haber hecho el cambio el resultado sería el mismo.

[1 1 12 −1 34 5 −10

|64

13 ]2) Ahora que elemento de la primera fila y primera columna es 1 procedemos haciendo

uso de la primera fila a hacer cero los elementos de la primera columna en la segunda y tercera fila.

203


[1 1 12 −1 34 5 −10

|64

13 ]−2 f 1+ f 2

−4 f 1++ f 3 = [1 1 10 −3 10 1 −14

|6−8−11 ]

3) El siguiente paso es hacer igual a uno el elemento de la segunda fila y segunda columna.

[1 1 10 −3 10 1 −14

|6−8−11 ]¿−3

¿¿

= [1 1 10 1 −1/30 1 −14

|6

8/3−11]

4) Haciendo uso de la fila 2 hacemos cero los elemento de la segunda columna en la primera y tercera fila.

[1 1 10 1 −1/30 1 −14

|6

8/3−11]

−1 f 2+ f 1

−1 f 2+ f 3 = [1 0 4/30 1 −1/30 0 −41/3

|10 /3

8/3−41/3]

5) El siguiente paso es hacer igual a uno el elemento de la tercera fila y tercera columna.

[1 0 4/30 1 −1/30 0 −41/3

|10 /3

8/3−41/3]¿−41 /3

= [1 0 4 /30 1 −1/30 0 1

|10/38/3

1 ]6) Haciendo uso de la fila 3 hacemos cero los elemento de la tercera columna en la

primera y segunda fila.

[1 0 4 /30 1 −1/30 0 1

|10/38/3

1 ]−4 /3 f 3+f 1

1/3 f 3+ f 2

¿¿

= [1 0 00 1 00 0 1

|231 ]

Ahora la matriz de coeficientes del sistema quedó transformada en la matriz identidad por lo que construimos ahora el sistema de ecuaciones equivalentes con los nuevos coeficientes donde queda expresada la solución del sistema de ecuaciones.

x ¿ 2y ¿ 3z ¿ 1

204


Los pasos para resolver un sistema de ecuaciones por el método de eliminación Gaussiana son muy similares y con pocas variantes pero solamente la práctica permite dominar este procedimiento con más seguridad.

7. Sistemas de ecuaciones singulares

Todos los sistemas de ecuaciones lineales que hemos resuelto tenían soluciones únicas sin embargo existen sistemas de ecuaciones que tienen más de una solución y otros sistemas de ecuaciones que no tienen ninguna solución, a este tipo de sistema de ecuaciones se les llama singulares. Para identificar estos casos debemos observar los elementos de la matriz al estar efectuando el proceso de convertir la matriz de coeficientes del sistema en una matriz identidad a como lo indican los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1 (sin solución)

Determinemos el conjunto solución para los siguientes sistemas de ecuaciones.

−2 x1 + x2 + 3 x3 ¿ 12

x1 + 2 x2 + 5 x3 ¿ 10

6 x1 − 3x2 − 9x3 ¿ 24

SoluciónComo en el ejemplo anterior, las transformaciones sucesivas se enumeran con las correspondientes operaciones de renglón indicadas a la derecha de cada renglón.

[−2 1 31 2 56 −3 −9

|121024 ]

f 1÷−2

¿¿

[1 −1/2 −3 /21 2 56 −3 −9

|−61024 ] −f 1+ f 2

−6 f 1+ f 3

[1 −1/2 −3 /20 5/2 13 /20 0 0

|−61660 ]

En esta etapa, la fila 3 en el sistema transformado representa una proposición falsa, 0=60 esto significa que el sistema original de ecuaciones no tiene solución.

205


Ejemplo 2 (número infinito de soluciones)

Determinemos el conjunto solución para el sistema de ecuaciones

x1 + x2 + x3 ¿ 20

2 x1 − 3 x2 + x3 ¿ −5

6 x1 − 4 x2 + 4 x3 ¿ 30

SoluciónYa que el elemento de la primera fila y primera columna es igual a 1 procedemos con el siguiente paso que es hacer cero los elementos de la primera columna en las demás filas y las otras operaciones sucesivas como se indica a la par de la matriz.

[1 1 12 −3 16 −4 4

|20−530 ]−2 f 1+ f 2

−6 f 1+ f 3

[1 1 10 −5 −10 −10 −2

|20−45−90 ] f 2÷−5

¿¿

[1 1 10 1 1 /50 −10 −2

|20

9−90]

−f 2+ f 1

10 f 2+ f 3

[1 0 4 /50 1 1/50 0 0

|1190 ]

En esta etapa se hace imposible continuar el proceso de diagonalización. No podemos crear un 1 en una columna 3, sin cambiar las dos primeras. El hecho de que el tercer renglón haya sido convertido en la identidad 0 = 0 indica que el sistema de ecuaciones tiene un número infinito soluciones.

Actividades de Auto Aprendizaje No 7

1) Resuelvo cada uno de los siguientes sistemas con dos variables aplicando el método de eliminación de Gauss.

a)

x−2 y=52 x+ y=3 b)

2 x−2 y=12−2 x+3 y=10 c)

x+3 y=−12x− y=5 d)

2 x+3 y=158x+2 y=40 e)

2 x−8 y=23 x−12 y=3

2) Resuelvo los sistemas de ecuaciones para las variables indicadas aplicando el método de eliminación de Gauss.

206


a)

2 x+ y+ z=9−x+ y+z=33x− y+ z=9 b)

4 x− y+3 z=−23x+5 y−z=15−2 x+ y+4 z=14 c)

3x−2 y−8 z=19 x−6 y−24 z=−2

x− y+z=1 d)

4 x−3 y+z=93 x+2 y−2 z=4x− y+3 z=5

e)

2 x−3 y+2 z=53 x+5 y−3 z=10x−2 y−z=7 f)

4 x+ y+z=32x+4 y−z=3

−2 x−4 y+4 z=−6 g)

3x+6 y−8 z=212 x−4 y+4 z=36 x+2 y−12 z=0 h)

x+2 y+3 z=−142 x−3 y−3 z=13

3 x+ y+z=−8

Luego de resolver estos ejercicios, comparo mis respuestas con las que se me presentan al final de la unidad autoformativa III, en la página 215.

C. APLICACIONES DE LAS MATRICES

Como dijimos al introducir esta unidad, si se conoce la naturaleza de una matriz, es posible servirse de ellas para utilizarlas en el almacenamiento, presentación y manipulación de datos. Cuando los datos se almacenan dentro de matrices, a menudo se necesitan exhibirlos. Si los datos se guardan dentro de una matriz en algún patrón lógico, la recuperación de los elementos individuales o grupos de elementos puede ser relativamente fácil. El álgebra de matrices tiene en cuenta la manipulación de datos y la realización de los cálculos, mientras los datos se conservan en una forma matricial. Esto es de gran utilidad sobre todo en las aplicaciones.

El álgebra matricial se emplea extensamente en análisis teóricos y son también importantes en los campos de administración, ciencias, ingeniería y ciencias sociales como manera de organizar y manipular grandes conjuntos de datos.

En esta última parte se presentarán algunas aplicaciones al área de la administración con el fin de mostrar una forma lógica de organizar la información para resolver algunos problemas, pero la forma de hacerlo de ninguna manera representa una fórmula, ni la forma única de hacerlo, de echo usted con su creatividad podría plantear de otra forma las soluciones. De lo que si debemos estar claro es que entre más conozca a las matrices mejor uso podrá hacer de ellas para plantear y resolver problemas de cualquier tipo.

Ejemplo 1.

Supongamos que una empresa fabrica dos productos I y II, usando diferentes cantidades de tres materias primas P, Q y R. Sean las unidades de las de materias primas usadas en los productos indicados por la matriz siguiente:

P Q R

A=[3 2 42 5 1 ]Pr oductoI

Pr oductoII

207


Supongamos también que la empresa produce estos dos productos en dos plantas X y Y. Sean los costos de las materias primas (por unidad) en las dos localidades X y Y representado por la matriz B.

X Y

B=[10 128 76 5 ]PQR

El costo total de materia prima por cada unidad del artículo I producido en la localidad X se obtiene multiplicando los elementos de la primera fila de A por los elementos correspondientes de la primera columna de B y sumándolos.

3(10) + 2(8) + 4(6) = 30 + 16 + 24 = 70

De manera similar, El costo total de materias primas por cada unidad del artículo I producido en la planta Y se obtiene multiplicando los elementos del la primera fila de A por los elementos correspondientes de la segunda columna de B y sumándolos. 3(12) + 2(7) + 4(5) = 36 + 14 + 20 = 70

El costo total de materias primas por cada unidad del artículo II producido en la localidad X se obtiene multiplicando los elementos de la segunda fila de A por los elementos correspondientes de la primera columna de B y sumándolos.

2(10) + 5(8) + 1(6) = 20 + 40 + 6 = 66

El costo total de materias primas por cada unidad del artículo II producido en la planta Y se obtiene multiplicando los elementos del la segunda fila de A por los elementos correspondientes de la segunda columna de B y sumándolos. 2(12) + 5(7) + 1(5) = 24 + 35 + 5 = 64

Los costos totales de materias primas para los dos productos elaborados en las plantas X y Y pueden presentarse en forma matricial como sigue.

X Y

C=[70 7066 64 ]Pr oductoI

Pr oductoII

Si analizamos bien lo que acabamos de hacer y recordamos las operaciones básicas entre matrices estudiadas al inicio de esta unidad, podemos observar que la matriz C se puede expresarse como el producto de la matriz A por la B como sigue:

[3 2 42 5 1 ] [10 12

8 76 5 ]=[70 70

66 64 ]

208


Ejemplo 2.

Matriz de producción: Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en su planta de Managua está dada por la matriz A.

Mod.I Mod.II Mod.III

Tamaño1Tamaño2Tamaño3

(((

20 pu lg adas23 pu lg adas26 pu lg adas

)))¿ [ 5 3 2

710

4 58 4 ]=A ¿

(En otras palabras, la capacidad de la planta es de 5000 televisores modelo I de 20 pulgadas, 8000 televisores modelo II de 26 pulgadas, etc.) La capacidad de producción en la planta de León está dada por la matriz B.

Mod.I Mod.II Mod.III

Tamaño 1Tamaño 2Tamaño 3

¿¿

(a) ¿ Cuál es la capacidad de producción total en las dos plantas?

(b) Si la empresa decide incrementar su producción en Managua en un 20%, ¿cuál será la nueva producción en su planta?

Solución.

(a) La producción combinada (en miles) en las dos plantas está dada por la suma de las matrices A y B.

A+B ¿ [ 5 3 27 4 5

10 8 4 ] + [4 5 39 6 48 12 2 ] ¿ [ 9 8 5

16 10 918 20 6 ]

(Por ejemplo, las dos plantas producen 9000 televisores modelo I de 20 pulgadas)

(b) Si la producción en Managua se incrementa en un 20%, la nueva producción (en miles) estará dada por la matriz 1.2A

1 .2 A ¿ 1 .2 [ 5 3 27 4 5

10 8 4 ] ¿ [ 6 3 .6 2.48 .4 4 .8 612 9 .6 4 .8 ]

(Por consiguiente, se producirán 4800 televisores modelo II de 23 pulgadas, etc.)

Ejemplo 3.

209


Un contratista construye tres tipos de casas, los modelos A, B Y C, con opción de dos estilos, el español y el contemporáneo. La matriz P muestra el número de cada tipo de casas planeada para un fraccionamiento nuevo de 100 casas.

Español Contemporáneo

ModeloAModeloBModeloC [

0 10 20

30 20 20 ]=P

Las cantidades de cada uno de los materiales externos usados dependen principalmente del estilo de la casa. Esas cantidades se muestran en la matriz Q. (El concreto está en yardas cúbicas, la madera en unidades de 1000 pie-tablón, ladrillos en miles y las tejas en unidades de 100 pies cuadrados.)

Concreto Madera Ladrillo Tejas

[¿1050 ¿¿

21 ¿¿

020 ¿

22 ]=Q

La matriz R da el costo de cada tipo de material.

Costo por unidad

ConcretoMaderaLadrilloTejas

¿¿

(a) ¿Cuál es el costo total de cada modelo de casa?

Primero encuentre PQ. El producto PQ muestra la cantidad de cada material necesario para cada modelo.

PQ=[ 0 3010 2020 20 ] [10

5021

020

22 ]

Concreto Madera Ladrillo Teja

PQ=[1500 30 600 601100 40 400 601200 60 400 80 ]

ModeloAModeloBModeloC

Ahora multiplicamos PQ por la matriz costo R, para obtener el costo total de cada modelo de casa.

Español Contemporáneo

210


[1500 30 600 601100 40 400 601200 60 400 80 ] [20

1806025

]=[72 ,90054 ,70060 ,800 ]

ModeloAModeloBModeloC

(b) ¿Cuánto de cada uno de los cuatro tipos de material debemos ordenar?

Los totales de las columnas de la matriz PQ darán una matriz cuyos elementos representan las cantidades totales de cada material necesario para el fraccionamiento.Llame T a esta matriz y escríbala como una matriz renglón.

T=[3800 130 1400 200 ]

(c) ¿Cuál es el costo total del material?

Encontramos el costo total de todos los materiales formando el producto de la matriz T, la matriz que muestra las cantidades totales de cada material y la matriz costo R. [Para multiplicar estas matrices y obtener una matriz de 1 x 1, que represente el costo total, debemos multiplicar una matriz de 1 x 4 por una matriz de 4 x 1. esta es la razón por la que antes escribimos T como una matriz renglón en (b)].

TR=[3800 130 1400 200 ] [201806025

]=[188 ,400 ]

(d) Supongamos que el contratista construye el mismo número de casas en cinco fraccionamientos. Calcule la cantidad total de cada material para cada modelo en los cinco fraccionamientos.

Multiplicamos PQ por el escalar 5, como sigue.

5[1500 30 600 601100 40 400 601200 60 400 80 ]=[

7500 150 3000 3005500 200 2000 3006000 300 2000 400 ]

Podemos introducir una notación que nos ayude a llevar el control de las cantidades que una matriz representa. Por ejemplo, podemos decir que la matriz P del ejemplo 4 representa modelos /estilos, la matriz Q representa estilos/ materiales y la matriz R representa material/ costo. En cada caso, el significado de las filas se escribe primero y luego el de las columnas. Cuando encontramos el producto PQ en el ejemplo 4, las filas de la matriz representaron modelos y las columnas representaron materiales. Por lo tanto, podemos decir que la matriz producto PQ representa modelos/ materiales. La cantidad

211


común, estilos, tanto en P como en Q se eliminaron en el producto PQ. ¿ Ve usted que el producto (PQ ) R representa modelos/ costo?

En problemas prácticos esta notación ayuda a decidir en qué orden multiplicar dos matrices de manera que los resultados tengan sentido. En el ejemplo 4 (c ) podríamos haber encontrado el producto RT o el producto TR. Sin embargo, como T representa fraccionamientos/ materiales y R representa materiales/ costo, el producto TR da fraccionamientos / costo.


1) Administración: Los tres locales de Burger Barn venden hamburguesas, papas fritas y refrescos. Barn I vende 900 hamburguesas, 600 órdenes de papas fritas y 750 refrescos diariamente. Barn II vende 1500 hamburguesas diarias y Barn III vende 1150. Las ventas de refrescos son de 900 al día en Barn II y de 825 al día en Barn III.Barn II vende 950 y Barn III vende 800 órdenes de papas fritas al día.a) Escribo una matriz S de 3 x 3 que muestre las ventas diarias de los tres locales.b) Las hamburguesas cuestan $ 1.50 cada una, las papas fritas $0.90 por orden y los

refrescos $0.60 cada uno. Escribo una matriz P de 1 x 3 que muestre los precios.c) ¿Qué matriz producto muestra los ingresos diarios en cada uno de los tres

locales?d) ¿Cuál es el ingreso diario total de los tres locales?

2) Administración: La compañía Perulli Candy fabrica tres tipos de dulce de chocolate: Cheery Cherry, Mucho Mocha y Almond Delight. La Compañía fabrica sus productos en San Diego, Ciudad de México y Managua usando dos ingredientes principales: chocolate y azúcar.a) Cada kilogramo de Cheery Cherry requiere 0.5 kg de azúcar y 0.2 kg de chocolate;

cada kilogramo de Mucho Mocha requiere 0.4 kg de azúcar y 3 kg de chocolate; y cada kilogramo de Almond Delight requiere 0.3 kg de azúcar y 0.3 kg de chocolate. Presentto esta información en una matriz de 2 x 3, indicando el nombre de los renglones y las columnas.

b) El costo de 1 kg de azúcar es de $3 en San Diego, $2 en la Ciudad de México y de $1 en la Ciudad de Managua. El costo de un 1 kg de chocolate es de $3 en San Diego, $3 en la Ciudad de México y de $4 en Managua. Ilustro esta información en una matriz de forma que cuando la multiplique por la matriz del inciso (a), obtenga una matriz que represente el costo de los ingredientes para producir cada tipo de dulce en cada ciudad.

c) Multiplico las matrices en las partes (a) y (b), poniéndole nombre a la matriz producto.

212


d) De la parte (c), ¿ cuál es el costo combinado de azúcar y chocolate para producir 1 kg de Mucho Mocha en Managua ?

e) Perulli Candy necesita producir rápidamente una orden especial de 100 kg de Cheery Cherry , 200 kg de Mucho Mocha y 500 kg de Almond Delight, y decide seleccionar una fábrica para surtir toda la orden. Empleo la multiplicación de matrices para determinar en qué ciudad es más bajo el costo total de azúcar y chocolate para producir la orden.

3) Ciencias Sociales: Las tasas promedio de nacimientos, las defunciones por millón en varias regiones y la población del mundo (en millones) por región, están dadas a continuación.

Nacimientos DefuncionesAsiaAmérica LatinaAmérica del NorteEuropaUnión Soviética

.027

.030

.015

.013

.019

.009

.007

.009

.011

.011

Asia AméricaLatina

América del Norte

Europa UniónSoviética

1960197019801990

1596199624402906

218286365455

199226252277

425460484499

214243266291

a) Escribo la información en cada tabla como una matriz.b) Uso las matrices del inciso (a) para encontrar el número total (en millones) de

nacimientos y defunciones en cada año.c) Usando los resultados del inciso (b), comparo el número de nacimientos en 1960 y

en 1990. También comparo las tasas de nacimientos del inciso (a). ¿Cuál da mejor información?

d) Usando los resultados del inciso (b), comparo el número de defunciones en 1980 y 1990. Analizo cómo esta comparación difiere de la comparación de las tasas de defunciones del inciso (a).

4) Comercio Internacional: El comercio entre tres países I, II, III durante 1986 (En

millones de dólares estadounidenses) está dado por la matriz A ¿ [aij ] , en donde

a ij representa las exportaciones del país i al país j.

A ¿ [ 0 16 2017 0 1821 14 0 ]

El comercio entre estos tres países durante el año de 1987 (en millones de dólares estadounidenses) está dado por la matriz B.

213


B ¿ [ 0 17 1918 0 2024 16 0 ]

(a) período de dos años, 1986 y 1987.(b) Escribo una matriz que represente el comercio total entre los tres países en 1986 y

1987, 1 dólar estadounidense equivale a 5 dólares de Hong Kong, escribo la matriz que representa el comercio total durante los dos años en dólares de Hong Kong.

5) Matrices de Producción: Un fabricante de zapatos los produce en color negro, blanco y café para niños, damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta de Sonora está dada por la matriz siguiente.

Hombres Mujeres Niños

NegroGrisBlanco

¿¿

La producción en la planta de Durango está dada por Hombres Mujeres Niños

NegroGrisBlanco [ 35 30 26

52 25 1823 24 32 ]

(a) Determino la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapato en ambas plantas.

(b) Si la producción en Sonora se incrementa en un 50% y la de Durango en un 25%, encuentro la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de calzado.

6) Valoración de Inventarios: Un comerciante de televisores a color tiene cinco televisores de 26 pulgadas, ocho de 20, cuatro televisores de 18 pulgadas y diez de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en $650 cada uno, los de 20 en $550 cada uno, los televisores de 18 pulgadas en $ 500 cada uno y los de 12 se venden en $300 cada uno. Expreso el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de dos matrices.

7) Costos de Materias Primas: Una empresa utiliza tres tipos de materias primas M1 , M2 y M3 en la elaboración de dos productos P1 y P2 . El número de unidades de M1 , M2 y M3 usados por cada unidad de P1 son 3, 2 y 4, respectivamente y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3, respectivamente. Se supone que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana. Expreso las respuestas a las preguntas siguientes como productos de matrices.

(a) ¿Cuál es el consumo semanal de las materias primas?(b) Sí los costos por unidad ( en dólares ) para M1, M2 y M3 son 6, 10 y 12

respectivamente, ¿Cuáles son los costos de las materias primas por unidad de P1 y P2.?

214


(c) ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la producción de P1 y P2.

Luego de resolver estos ejercicios, comparo mis respuestas con las que se me presentan al final de la unidad autoformativa III, en la página 215-216.

Ahora le damos una lista de términos, símbolos y conceptos a los que deberá prestar atención especial ya que forman parte del lenguaje propio de las matrices y están presentes en todos los procesos, operaciones y aplicaciones de las matrices.

Términos clave y símbolos

1) Sistema de ecuaciones lineales2) Solución de un sistema3) Método de eliminación4) Operaciones elementales5) Renglón6) Columna7) Matriz (matrices)8) Matriz ampliada9) Operaciones sobre renglones10) Método de Gauss – Jordan11) Matriz renglón (vector renglón)12) Matriz columna (vector columna)13) Matriz cuadrada14) Inversa aditiva de una matriz15) Escalar16) Producto de un escalar y una matriz17) Matriz producto18) Matriz de identidad19) Matriz inversa 20) Matriz singular21) Orden de una matriz (o tamaño)22) Igualdad de matrices23) Transpuesta de una matriz, AT

215


24) Diagonal principal

Conceptos claves

Resolución de sistemas de ecuaciones

Las siguientes operaciones elementales se usan para transformar un sistema de ecuaciones en un sistema equivalente más simple.

Intercambie dos ecuaciones cualesquiera.

Multiplique ambos lados de una ecuación por una constante no nula.

Reemplace una ecuación por la suma de ellas mismas y un múltiplo constante de otra ecuación en el sistema.

El método de eliminación es una manera sistemática de usar las operaciones elementales para transformar un sistema en otro sistema equivalente que pueda ser resuelto más fácilmente.La versión matricial del método de eliminación usa las siguientes operaciones de matriz renglón que corresponde a usar operaciones elementales sobre renglones con sustitución hacia atrás en un sistema de ecuaciones.Intercambie dos renglones cualquiera.

Multiplique cada elemento de un renglón por una constante no nula.

Reemplace un renglón por la suma de el mismo y un múltiplo constante de otro renglón en la matriz.

El método de Gauss–Jordan es una extensión del método de eliminación para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Se usan operaciones sobre renglones en la matriz aumentada del sistema. Vea la sección 7.2 para detalles.

Operaciones con matrices

La suma de dos matrices X y Y de m X n es la matriz X + Y de m X n en la que cada elemento es la suma de los elementos correspondientes de X y Y. La diferencia de dos matrices X y Y de m X n es la matriz X – Y de m x n en la que cada elemento es la diferencia de los elementos correspondientes de X y Y.

El producto de un escalar k y una matriz X es la matriz kX, con cada elemento k veces el elemento correspondiente de X.

El producto matricial AB de una matriz A de m X n y una matriz B de n X k es la matiz de m X k cuyo elemento es el i-ésimo renglón y j-ésima columna es el producto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B.

216


La matriz inversa A-1 de cualquier matriz A de n X n para la cual existe A -1, se encuentra como sigue. Forme la matriz aumentada [A | I]; efectúe operaciones elementales sobre los renglones de [A | I] para obtener la matriz [I | A-1].

Resumen final de la unidad

Una matriz es un arreglo rectangular de números cerrados entre corchetes. Dos tipos especiales de matrices son: matriz cuadrada y matriz identidad I. Además de la operación básica de multiplicación por un escalar, están definidas las operaciones de suma y resta de matrices, que se aplican a matrices del mismo orden. El producto AB está definido cuando el número de columnas de A es igual al número de renglones de B. Aunque la suma de matrices es conmutativa, la multiplicación no lo es. Utilizando la multiplicación matricial, podemos expresar un sistema de ecuaciones lineales como la ecuación matricial AX = B.

Un sistema de ecuaciones lineales puede tener solución única, ninguna solución o bien un numero infinito de soluciones. Tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales por medio de matrices son: (1) utilizar las tres operaciones elementales sobre renglones, (2) usar una matriz inversa, y (3) por medio de determinantes. El primer método implica aplicar las operaciones elementales sobre renglones a la matriz aumentada del sistema hasta que se obtiene una matriz reducida equivalente. La matriz reducida hace que la solución o soluciones para el sistema sean obvias (suponiendo que existan). La inversa (si existe) de una matriz cuadrada A es una matriz A -1 tal que A-1A = I. Si A es invertible, podemos encontrar A-1 aumentando A con I y aplicando operaciones elementales sobre renglones hasta que A sea reducida a I. El resultado de aplicar las mismas operaciones elementales sobre renglones a I es A-1.

Nuestra aplicación final de matrices trata sobre la manipulación y ordenamiento de los datos para expresar de forma más simple un conjunto de operaciones con esos datos.

217


Evaluación final de la Unidad

1) Efectúe las operaciones indicadas entre matrices

3[1 2 35 1 2 ]([−3 2

11 48 1 ]+[ 1 5

0 −3−1 −1 ])−2[−3 −6

−4 12 ]2) Para la siguiente matriz, determine si es singular o no singular calculando su

determinante y si es no singular, encuentre su inversa aplicando el método de la adjunta con determinante.

A=[3 −2 17 −6 45 3 −2 ]

3) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de eliminación de gauss.

x+2 y−3 z=−113x−5 y+z=194 x+2 y+3 z=13

218


219


Hoja de respuestas

I. Evaluación diagnóstica de la Unidad

1).x = 3, y = 5/3 2) |A| = -18

3).[ 2 5

8 1234 11 ]

4) a) a/3 b) (-8 – 2b)

III. Respuestas a las actividades de autoaprendizaje

Actividad de Auto aprendizaje No 1

1).(1x4) ; [ 6−823]

2) (2x2) ; [3 −15 8 ] 3) (4x2) ;

[ 0 4 −5 1 1 2 3 4 ]

4) (3x3) ; [ 2 -3 1 0 −5 -6−1 0 2 ] 5) (3x3) ;

[1 0 00 1 00 0 1 ] 6) (3x4) ;

[−6 2 2 3 3 −1 2 1 5 1 4 8

]7) (4x1) ; [1 2 3 4 ] 8) (2x5) ;

[1 23 45 67 8

9 10]

9) (5x3) ; [1 6 0 4 53 4 1 6 15 2 2 3 2 ]

Actividad de Auto aprendizaje No 2

1. Efectúo las operaciones indicadas entre matrices

1) [ 1 0 2

5 6 0−1 1 10 ] 2)

[9 −2 −10 4 3 ] 3)

[244 ]4) [−1 −1−1 −1 ]

5) [1 2 1 −1 ] 6) [−9 −9 ]

220


2. Determino los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes son válidas.

7).x=2, y=1, z=-6, u=-5, v=4, w=2 8) x=1, y=-1, z=2, u=-2, v=-1, w=0, t=1

9) [1 x+1 00 −2 y−1z 1 2 ]

- [u −1 21 v+2 30 −3 1 ] =

[ 8 7 2v−2 zu+ y −7 1−7 z

4 w+11 t ]Actividad de Auto Aprendizaje No 3

1) a) (2x4).(4x2) = (2x2) orden de la matriz producto; sus elementos son correctos. b) (4x2).(2x4) = (4x4) orden de la matriz producto ; sus elementos son correctos.

2) AxB = [22 −5 29

4 4 −422 −4 61 ] ; BxA =

[ 4 12 11−10 60 55 2 14 23 ] ; A2 =

[ 7 1 −2−2 −2 −8 8 20 17 ]

3) a)4(escalar) b)[ −3 6 9 12

0 −3 −3 6 3 6 0 9 ] c)[1 2 ]

d)[0 0 00 0 0 ](matriz nula) e)

[ 19 110 1016 −11 ]

f)[ 53 18−75 −17 ]


1) 29 2) –17 3) –45 4) 4 5) b2 – a2 6) -a2 – 207) –9 8) –12 9) –70 10) 11 11) –10 12) 0 (singular)


1) –9 2) –12 3) –70 4) 11 5) –10 6) 0 (singular)


1) a) si b) no c) no d)no

2) a)| 2 −3−1 2

|b)No tiene inversa c)

| 2 −3−1 /2 1

|d)|−4 /7 5/7

3/7 −2/7|

e)| −2 −1−3 /2 −1/2

|f)No tiene inversa

221


3) g)

|3 3 −1−2 −2 1−4 −5 2

|h), i) No tiene inversa j)

|−1 /11 2/11 6 /11−2 /11 4/11 1/116 /11 −1/11 −3 /11

|

k)

|−2 −1 /3 4/31 2 /3 −2/3

1/2 −1 /3 −1/6|


1) a) x=11/5; y=-7/5 b) x=28;y=22 c) x=2;y=-1 d) x=9/2; y=2e) Tiene infinitas soluciones

2) a) x=2; y=1; z= 4 b) x=-1; y=4; z=2 c) No tiene soluciónd) x=2; y=0; z=1 e) x=3; y=-1; z=-2 f) x=1; y=0; z=-1g) x=1/3; y=1/2; z=1/4 h) x=-1; y=-2; z=-3


1) a)[900 1500 1150600 950 800750 900 825 ]

b)[1. 50 0 . 90 0 . 60 ] c)

[1.50 0 .90 0 . 60 ] [900 1500 1150600 950 800750 900 825 ]=[2340 3645 2940 ]

d) $ 8,925

2) a)

CC MM ADSC[0 . 5 0 .4 0. 3

0 . 2 0 .3 0 .3 ] b)

S CSDMCM [3 3

2 31 4 ]

c)

CC MM ADSDMCM [ 2 .1 2 .1 1 .8

1. 6 1. 7 1 .5 1. 3 1. 6 1 .5 ] d) $ 1.60

e) $ 1,200 en Managua

3) a)

[0 .027 0 .0090 .030 0 .0070 .015 0 .0090 .013 0 .0110 .019 0 .011

] ; [1596 218 199 425 2141996 286 226 460 2432440 365 252 484 2662906 455 277 499 291

]b)

Nacimientos Muertes

1960197019801990

[ 62 .208 24 .71076 .459 29 .73391 .956 35 .033108 .283 40 .522

]222


4) a)[ 0 33 3935 0 3845 30 0 ] b)

[ 0 165 195175 0 190225 150 0 ]

5) a)[65 64 4697 45 3437 50 57 ] b)

[88 . 75 88 .50 62 .50132 .5 61 .25 46 .5049 .75 69 .00 77 .50 ]

6)

[5 8 4 10 ][650550500300

] = 12 ,650

7) Sean A=[3 2 44 1 3 ] ; B=[20 30 ] ; C=

[ 61012 ]

a)BA=[180 70 170 ] b)AC=[8670 ] c)BAC=[3 ,820 ]

223


Glosario

Análisis marginal: En Economía se refiere a la práctica de emplear una derivada para estimar el cambio producido en el valor de una función al aumentar 1 unidad en una de sus variables.

Antiderivada: aquella función que se obtiene al aplicar sobre la función original el proceso inverso al de derivar.

Antiderivación: El proceso de encontrar una antiderivada.

Área: Medida de una superficie comprendida en un perímetro

Catalizador: Sustancia que hace más rápida o más lenta la velocidad de una reacción química sin participar en ella.

Compatible: Que puede hacerse al mismo tiempo que otra cosa

Costo marginal: cantidad en que varía el costo total cuando se da una variación en la cantidad de artículos producidos.

Demanda: Cantidad de producto que los consumidores están dispuestos a comprar a un precio determinado

Demanda marginal: cantidad en que varía la demanda de un artículo cuando se da una variación en su precio unitario.

Derivada parcial: Derivada de una función de varias variables, con respecto a una de sus variables.

Diagonal: Recta que une un ángulo con otro no consecutivo.

Escalar: Un solo número real.

Funciones bivariadas: funciones que contienen dos variables independientes.

Funciones multivariadas: funciones que incluyen más de una variable independiente.

Integración: El proceso de encontrar una antiderivada.

Integral: ∫ Símbolo que denota que se realiza el proceso de antiderivación.

Matriz: Arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas.

Mercado de libre competencia: Mercado en el que los precios de los productos se rigen por la oferta y la demanda de ellos.

224


Monopolio: Dominio de una empresa o conjunto de empresas sobre la producción o venta de un producto.Octante: Una de las ocho partes en que los planos xy, xz y yz separan el espacio tridimensional.

Optimización: Localización y evaluación de los máximos y mínimos de funciones.

Pendiente: Valor que indica el grado de inclinación de una recta con respecto a la horizontal.

Primitiva: Función que se obtiene al aplicarle el proceso de antiderivación.

Punto crítico: Valores de las variables independientes en una función para los cuales su derivada es cero o no existe.

Puntos de silla: Puntos en los que una función presenta máximos y mínimos simultáneamente.

Recta tangente: Recta que corta a una curva en un punto.

Simetría: Correspondencia de posición, forma y tamaño de las partes de un cuerpo, a uno y otro lado de un plano o al rededor de un punto o un eje.

Sistema coordenado rectangular tridimensional: sistema que se forma cuando tres ejes de números reales mutuamente perpendiculares en el espacio se intersecan en el origen de cada eje.

Sucesión: Serie de elementos que se suceden unos a otros

Sumatoria: símbolo ∑i=1

n

ai representa su suma indicada o sumatoria.

Trazas: son las intersecciones de una superficie con los planos coordenados.

Tríadas ordenadas: Conjunto de tres valores de la forma (x, y, z) que se utiliza para localizar un punto en el espacio a partir de un sistema de ejes de referencia.

Vector: Matriz que tiene únicamente una fila o una columna.

225


Bibliografía

1) Alvarez Blanco Manuel– Castro Lamas Julio– Deiros Fraga Beatriz– Lau Fenández Rogelio – Varela Marcelo María Virginia (1981). Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Pueblo y Educación.

2) Arya Jagdish C. – Lardner Robin W. (1992). Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. México. Tercera edición. Prentice – Hall.

3) Bradley Gerald L. – Smith Karl J. (1998). Cálculo de Varias Variables. Madrid. Primera edición. Volumen 2. Prentice Hall Iberia.

4) Budnick Frank S. (1990). Matemáticas aplicadas para administración, Economía y Ciencias Sociales. México. Tercera edición. Mc. Graw – Hill.

5) Edwards C. H., Jr. – Penney David E. (1994). Cálculo con Geometría Analítica. México. Cuarta edición. Prentice Hall Hispanoamericana, S. A.

6) Elorza Pérez Haroldo–Tejada (2000) Estadística para las Ciencias Sociales y del Comportamiento. México. Segunda edición. OXFORD.

7) Haeussler Ernest F., Jr. – Paul Richard S. (1997). Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. México. Octava edición. Prentice - Hall Hispanoamericana, S.A.

8) Larson Roland E. – Hostetler Robert P. – Edwards Bruce H. (1996). Calculo y Geometría analítica. México. Quinta edición. Volumen 1. Mc. Graw - Hill.

9) Larson Ronald E. – Hostetler Robert P. – Edwards Bruce H. – Heyd David E. (1995). Cálculo. Madrid. Quinta edición. Volumen 2. McGraw Hill / Interamericana de España, S. A.

10) Leithold Louis (1988). Cálculo para Ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales. México. Primera edición. Harla.

11) Leithold Louis (1998). El Cálculo. México. Séptima edición. Oxford.

12) Purcell Edwin J. – Varberg Dale – Rigdon Steven E. (2001). Cálculo. México. Octava edición. Pearson. Education de México, S, A. De C. V.

13) Taylor Howard E. – Wade Thomas L. (1975). Cálculo diferencial e integral. México. Decimatercera edición. Limusa, S.A.

14) Weber Jean E. (1999). Matemáticas para Administración y Economía. México. Cuarta edición. Oxford.

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Libro Matadmon II

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