ÁLGEBRA veces DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. A E · Razonamiento Lógico ÁLGEBRA DOCENTE: Dr....
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Razonamiento Lógico
ÁLGEBRA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
TEORIA DE EXPONENTES 1. Efectúa:
E =
2
1
4
1
3
12
81
1
125
1
4
1
2
1
A) 0,25 B) 1 C) 0,5 D) 4 E) 16
2. Simplifica: 294
336
30.14.5
80.35.21
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Halla el valor de:
4321
4321
2222
2222
xxxx
xxxx
M
A) 2 B) 1 C) 16 D) 1/5 E) 32
4. Simplifica:
x
x
xx
xxx
x
xx
xx
xx
xx21
; si: x > 0
A) 2x B) x C) x
D) 3x E) 1
5. Calcula:
753 7
75
53
32
7532: S
A) 8 B) 18 C) 15 D) 12 E) 17 6. Calcula:
)5,0)(125,0(4 )0625,0(2)16)(25,0(
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 2
7. Si:
41154 3243 16,9,3,2 cba
Calcula: 43
43
35
2
.ba
c
A) 8 B) 27 C) 3/4 D) 81/8 E) 81 8. El valor aproximado de:
.....16842A es:
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1/2 9. Si: "n" es número impar.
3 3 3 3
3 3 3 3
16....161616
4....444
B
A
entonces A.B es: A) 4 B) 2 C) 1 D) 1/2 E) 1/4 10. Si se cumple que:
.....
b
a
b
a
b
a
ba
ba , ab > 0
Calcula: 11 ab
A) 1 B) 2 C) 2
D) 3 E) 22
11. Simplifica:
41
24
2
3
4
5 5
x
x
x
x
G
A) 1 B) x C) 2x
D) 1x E)
2x
12. Halla: “n” en:12 48 42
xn
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 6 13. Reducir:
c
c
c
b
b
b
a
a
a
M
41
41
31
31
21
21
A) 9 B) 3 C) 4 D) 5 E) 12 14. Expresar en un solo radical.
3 8 5 3754 5 642 . bababaa
A) 12
ab B) 6 8ba C)
5ab
D) 6
ba E) 60 5ba
15. Si: a, b, c son números naturales simplifique:
cba
cbacba
cacbba
2232 7.5.3
175.147.135
A) 21 B) 75 C) 105 D) 14 E) 1
16. Halla el equivalente de: 12481
1
328
444
100
5555
...........
.............
veces
veces
xxx
xxxxE
A) 3 17x B)
9x C) 81x
D) 81 x E)
9 x
17. Encontrar el valor de "x"
241
3
2
xx
x
x
A) 1/4 B) 1/16 C) 1/32 D) 0,75 E) 1/2
18. Si: 818181
x
x , Calcula: x
x4
A) 1 B) 1/3 C) 1/9 D) 1/27 E) 1/81
19. Si: 4xx
Halla:
x
x
xx
xE
2
1
.256
1
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 20
20. Si: 122)1( xx x
. Calcula:
xx
1
A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 10
Razonamiento Lógico
ÁLGEBRA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
00. Luego de reducir la ex presión:
5555
555555
zyx
zyyxzxP
se le clasifica como: a) E. A. I. b) E. A. R. c) E. A. R. E. d) E. A. R. F. e) E. Trascedental
01. Después de reducir:
x xx xx xxx 21 2
La expresión que resulta es: a) Expresión algebraica racional entera b) Expresión algebraica racional fraccionaria c) Expresión algebraica irracional d) Expresión algebraica polinomial e) Expresión trascendental
03. Después de reducir: 11
1
xx
xx
x
La expresión que resulta es: a) Expresión algebraica racional entera b) Expresión algebraica racional fraccionaria c) Expresión algebraica irracional d) Expresión algebraica polinomial e) Expresión trascendental
03. Si el grado de P5Q2 es 44 y el grado de 5 3 PQ es
3. Calcular el grado de (P2 + a3)2, sabiendo que P y Q son 2 polinomios de grado desconocido.
a) 33 b) 42 c) 24 d) 12 e) 1089 04. Si el Polinomio:
nm4n1m3n5m xyyx2yx3)y,x(P
tiene: GR(x) = 9 y G.A. = 11 Calcular el grado relativo de “y” a) 1 b) 2 c) 5 d) 3 e) 4 05. Si el grado de P(x) . Q2 (x) es 13 y el grado de P2(x) .
Q3(x) es 22. Calcular el grado de: P3(x) + Q2(x)
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
06. Hallar “n” para que la expresión sea de 2º grado
4 n2
3 n2
xzxcx
cxbxax)x(M x 0
a) 40 b) 80 c) 20 d) 10 e) 160 07. Si el grado del polinomio “P” es 6 y el grado del
polinomio Q es 3, entonces el grado del polinomio.
E = 3
2
QP
QP2
es
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
08. La expresión n n32 x......x.x.x es de 5to grado,
el valor de “n” es: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) N.a. 09. El grado absoluto de:
720747372 )yx...()yx()yx()yx()y,x(P
es: a) 1436 b) 1463 c) 1346 d) 1634 e) N.a. 10. Si:
7n3n2m1m y3yx2xP
9nzn7mm y8yx3x2Q
GR(4) P + GR(y) Q = 12 GR(x) P = 5. ¿Cuál es el grado de Q? a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
11. Si: abba
abba
wz
yx
es de grado 16.
Calcule el grado de: ab
ba
zw
yx
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Indicar el grado de:
M = 33
2/1 7
3 933
x
)x()x(x
a) 10 b) 14 c) 17 d) 13 e) 12 13. Señale el grado de:
3 6423
5422
)y,x(
)yxyx)(1x(
xy)1x()yx(M
a) 21 b) 23 c) 22 d) 25 e) 24
BLOQUE I
1. Si el polinomio: P(x,y) = xm+2 y3 + xn–1 ym + xn+3 y es homogéneo, el valor de 2m – n es:
A) 0 B) 4 C) 7 D) –1 E) –7 2. Halla (a + b + c) si el siguiente polinomio es
ordenado y completo:
P(x) = xa+c + 3x6 – 2x5 – (a + b + c) xa+b+1 – (b + c)
xb+c+1 + 7x2 – 11x + 2
A) –6 B) 4 C) 6 D) –4 E) –2
3. Si el polinomio:
P(x) = 3xn+3 – xn+2 + xn+1 + ...... + 3 es completo, ordenado y tiene 38 términos, el valor de n es:
A) 33 B) 34 C) 39 D) 37 E) 40 4. Si el polinomio ordenado decreciente y completo:
P(x) = x2a+1 + 2xb+3 – 3xc+2 + …. posee 2c términos.
Halla a + b + c A) 14 B) 13 C) 12 D) 15 E) 16 5. El polinomio: R(x) = (a – b)x4 + (b – a)x3 + (c – a)x2
es idénticamente nulo, halla: a3
)cb(2
A) 2/3 B) 4/3 C) 4 D) 1/3 E) 1 6. Si los polinomios:
A(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1 B(x) = 3x2 + 6x + 12
son idénticos.
Halla: c – (a + b) A) 4 B) 1 C) 2 D) 3 E) –1
7. En un polinomio homogéneo, ordenado y completo
en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?
A) 10 B) 13 C) 1 D) 12 E) 8 8. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
P(x,y) = (3m2 – n) x4–m ym + (n – 9m)xm+1 ym–2 + m(xy)m
A) 4 B) 6 C) 5 D) 3 E) 2 9. P(x) = ax4m+3 + ax2n + ….. + axa–4 + axa–5 P(x) es completo, ordenado y tiene 3(n – 5)
términos. Halla la suma de coeficientes de P(x)
A) 40 B) 80 C) 140 D) 180 E) N.A. 10. El polinomio: P(x,y) = (b – c – m2)x2 + (c – a – 2mn)xy + (a – b –
n2)y2 es idénticamente nulo.
Halla la relación entre a, b y c.
A) a + b = 2c D) a + b + c = 0 B) a + c = 2b E) a + b = c C) b + c = 2ª F) 1
BLOQUE II 11. Determina el valor de “m” en el polinomio: xm+p + xp+q + xq+r + xr–3, suponiendo que es ordenado
descendentemente y completo en “x”. A) –1 B) 3 C) –2 D) 4 E) –3 12. Halla la suma de los coeficientes del siguiente
polinomio ordenado y completo: R(x) = axm+1 + 2mxa–1 – (3p – 1) xp–2 + (b – 2) xb–2 + 1
A) 11 B) 1 C) –11 D) 14 E) 0 13. Si: P(x+1) = x2 + x + 1 Q(x+2) = ax2 + bx + c P(x – 1) = Q(x) halla: A = a + b + c A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
14. ¿Qué se puede afirmar respecto al siguiente polinomio ordenado y completo?
P(x,y)=xm+xm–1y + xm–2 y2 +... + xym–1 + ym
I. Posee m + 1 términos. II. Es homogéneo de grado m.
III. La suma de todos sus exponentes es m (m + 1)
A) Sólo I es verdadera B) Sólo II es verdadera C) Sólo III es verdadera D) Todas son verdaderas E) Ninguna de las anteriores
Razonamiento Lógico
15. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo?
P(x,y) = xm + xm–2 y2 + xm–4 y4 + ... Para que sea de grado 40, respecto a “y”. A) 22 B) 20 C) 19 D) 23 E) 21 16. Si la expresión: A(x,y,z) = xm+n yn+p zp+m Es de grado 18, y los grados relativos a x, y, z son
tres números consecutivos (en ese orden). Calcula: E = mnp A) 9 B) 12 C) 24 D) 28 E) 29 17. P(x) = 2xa–1 + (d + 5)xb–1 + 5xc+2 Si P(1) = 14, P(2) = 576 y los grados de sus
términos son consecutivos en forma creciente. Halla “a + b + c + d” A) 17 B) 14 C) 24 D) 35 E) 41 18. El polinomio: Q(x)=(ab – 1)x3a + (a2c2 –4)x2b+(b3c3– 8)x5c es idénticamente nulo. Si a> 0, b>0 y c> 0. Halla: 3a + b + 4c A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 19. Los polinomios: P(x) = (x + 2)2 + ax + 7n Q(x) = (x + a)2 + nx + 2 Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a. A) 24 B) 36 C) 15 D) 10 E) 16 20. Si: F(x) = ax + b, y F( F( F (x) ) ) = 64x + 105
Además: F(5) = mn
Calcula: E = mn
A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 21. Calcula E = A + B sabiendo que: x3 + 2x2 – 1 = (x + 1) [Ax2 + B(x – 1 )] A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 22. Si el trinomio:
c cab cba ba xxx
Es homogéneo de grado 10. ¿De qué grado será el
monomio: c cab cba b xxx
?
A) 7 B) 13 C) 29 D) 33 E) 30 23. Sabiendo que el polinomio es idénticamente nulo: P(x) = (a+c–3abc) x2 + (a+c–6abc) x + (b+c–7abc);
abc 0
Calcula: M =
2
cba
abc
A) 1 B) 16 C) 25 D) 49 E) 64
24. Se tiene un polinomio P(x,y,z,w) ordenado decrecientemente y consecutivamente con respecto a todas las letras, cuyos grados relativos con respecto a x, y, z, w, de uno de sus términos son 7, 6, 5, 4, respectivamente: Si la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 240; el número de términos en P, es:
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 25. Si el polinomio: P(x) =
122)1(16 22
53 baaa nxxxxaa
(n 0 ; b > 0), es completo y ordenado en forma ascendente y tiene 4a2 términos.
Calcula: M = b a
bab
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 26. Dado el polinomio homogéneo: P(x,y) = 5x4 – 3x2 y2 + 2xy3. Determinar el polinomio
P(x,y) que debe agregarse a P(x,y) para que el polinomio resultante sea un polinomio homogéneo y completo tal que la suma de los coeficientes sea 7 y su valor numérico para x = 2, y = –1 dé como resultado 4.
A) 7x3 y – 4y4 D) 7xy3 + 4y4 B) 7x3 y + 4y4 E) N.A. C) 7xy3 – 4y4
27. Si se cumple la siguiente identidad:
m(x – 2) + n(x + 1) 4x – 17. Halla m – n.
A) 4 B) 10 C) 5 D) 6 E) 4/3 28. Halla el grado de homogeneidad del polinomio: P(x,y) = 8xm+n yn – 5xm+6 yn+4
si se sabe que el grado respecto a “x” es menor en 2 unidades que el grado respecto a “y”.
A) 24 B) 23 C) 22 D) 21 E) 20 29. Calcula el valor de k + m + n, si P es homogéneo y
de grado 17. P(x,y,z) = 5x2m+3 (3yn+1 - xm–1 + zk-2)
A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 30. Calcula la suma de coeficientes del siguiente
polinomio homogéneo: P(x,y) =
bann yxbayax 2327 )(5325
17225 2
)711( nyxb
A) 408 B) 405 C) 40 D) 402 E) 407 31. Siendo:
P(x,y,z) =
cbccabba zxzyyax 43122 523 Un polinomio homogéneo de grado “m + 2”.
Calcula: nn
nnn
cba
cba
1
)(
A) 4 B) 5 C) 2 D) 3 E) 1
Razonamiento Lógico
ÁLGEBRA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1. Si el polinomio: P(x,y) = xm+2 y3 + xn–1 ym + xn+3 y es homogéneo, el
valor de 2m – n es: A) 0 B) 4 C) 7
D) –1 E) –7
2. Halla (a + b + c) si el siguiente polinomio es ordenado y completo: P(x) = xa+c + 3x6 – 2x5 – (a + b + c) xa+b+1 – (b + c)
xb+c+1 + 7x2 – 11x + 2
A) –6 B) 4 C) 6
D) –4 E) –2
3. Si el polinomio: P(x) = 3xn+3 – xn+2 + xn+1 + ...... + 3 es completo, ordenado y tiene 38 términos, el valor de n es:
A) 33 B) 34 C) 39
D) 37 E) 40
4. Si el polinomio ordenado decreciente y completo: P(x) = x2a+1 + 2xb+3 – 3xc+2 + …. posee 2c términos.
Halla a + b + c
A) 14 B) 13 C) 12
D) 15 E) 16
5. El polinomio: R(x) = (a – b)x4 + (b – a)x3 + (c – a)x2
es idénticamente nulo, halla: a3
)cb(2
A) 2/3 B) 4/3 C) 4
D) 1/3 E) 1
6. Si los polinomios: A(x) = ax2 + (b – 1)x + c + 1
B(x) = 3x2 + 6x + 12
son idénticos.
Halla: c – (a + b)
A) 4 B) 1 C) 2
D) 3 E) –1 7. En un polinomio homogéneo, ordenado y completo
en x e y, la suma de los grados absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál es su grado de homogeneidad?
A) 10 B) 13 C) 11 D) 12 E) 8 8. Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
P(x,y) = (3m2 – n) x4–m ym + (n – 9m)xm+1 ym–2 + m(xy)m
A) 4 B) 6 C) 5 D) 3 E) 2 9. P(x) = ax4m+3 + ax2n + ….. + axa–4 + axa–5 P(x) es completo, ordenado y tiene 3(n – 5)
términos. Halla la suma de coeficientes de P(x) A) 40 B) 80 C) 140 D) 180 E) N.A.
10. El polinomio: P(x,y) = (b – c – m2)x2 + (c – a – 2mn)xy + (a – b –
n2)y2 es idénticamente nulo. Halla la relación entre a, b y c. A) a + b = 2c D) a + b + c = 0
B) a + c = 2b E) a + b = c
C) b + c = 2a
11. Si el polinomio: P(x,y,z) = Ax2a+2b–c + By2b+2c–a + Cz2c+2a–b
es homogéneo. Halle:
F = n
nn
)ac(
)cb()ba(
A) 0 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
12. Señale el grado del polinomio entero ordenado en forma estrictamente decreciente.
P(x) = x12–2a + x2a–4 + x4–2a
A) 5 B) 3 C) 6
D) 4 E) 7
13. Señale el grado del binomio homogéneo:
P(x,y) = m
n2
n2
3m
y
ynx
y
ynx
A) 3 B) 2 C) 4
D) 5 E) 1
14. Determina el valor de “m” en el polinomio:
xm+p + xp+q + xq+r + xr–3, suponiendo que es ordenado descendentemente y completo en “x”.
A) –1 B) 3 C) –2
D) 4 E) –3
15. Halla la suma de los coeficientes del siguiente polinomio ordenado y completo:
R(x) = axm+1 + 2mxa–1 – (3p – 1) xp–2 + (b – 2) xb–2 + 1
A) 11 B) 1 C) –
D) 14 E) 0
16. Si: P(x+1) = x2 + x + 1 Q(x+2) = ax2 + bx + c
P(x – 1) = Q(x)
halla: A = a + b + c
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
17. ¿Qué se puede afirmar respecto al siguiente polinomio ordenado y completo?
P(x,y)=xm+xm–1y + xm–2 y2 +... + xym–1 + ym
I. Posee m + 1 términos. II. Es homogéneo de grado m.
III. La suma de todos sus exponentes es m (m + 1) F) Sólo I es verdadera G) Sólo II es verdadera H) Sólo III es verdadera I) Todas son verdaderas J) Ninguna de las anteriores
18. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo?
P(x,y) = xm + xm–2 y2 + xm–4 y4 + ...
Para que sea de grado 40, respecto a “y”.
A) 22 B) 20 C) 19
D) 23 E) 21
19. Si la expresión: A(x,y,z) = xm+n yn+p zp+m Es de grado 18, y los grados relativos a x, y, z son
tres números consecutivos (en ese orden).
Calcula: E = mnp
A) 9 B) 12 C) 24
D) 28 E) 29
20. P(x) = 2xa–1 + (d + 5)xb–1 + 5xc+2 Si P(1) = 14, P(2) = 576 y los grados de sus
términos son consecutivos en forma creciente.
Halla “a + b + c + d”
A) 17 B) 14 C) 24
D) 35 E) 41
21. El polinomio: Q(x)=(ab – 1)x3a + (a2c2 –4)x2b+(b3c3– 8)x5c
es idénticamente nulo. Si a> 0, b>0 y c> 0.
Halla: 3a + b + 4c
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
22. Los polinomios: P(x) = (x + 2)2 + ax + 7n
Q(x) = (x + a)2 + nx + 2
Son idénticos. Si a < 0 hallar n – a.
A) 24 B) 36 C) 15
D) 10 E) 16
23. Si: F(x) = ax + b, y F( F( F (x) ) ) = 64x + 105
Además: F(5) = mn
Calcula: E = mn
A) 2 B) 4 C) 5
D) 7 E) 9
24. Calcula E = A + B sabiendo que:
x3 + 2x2 – 1 = (x + 1) [Ax2 + B(x – 1 )]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
25. Si el trinomio:
c cab cba ba xxx
Es homogéneo de grado 10. ¿De qué grado será el
monomio: c cab cba b xxx
?
A) 7 B) 13 C) 29 D) 33 E) 30
Razonamiento Lógico
ÁLGEBRA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
PRODUCTOS NOTABLES I
PRINCIPALES IDENTIDADES:
Trinomio cuadrado perfecto:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
* Identidades de Legendre:
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Diferencia de cuadrados:
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Desarrollo de un binomio al cubo:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Suma y diferencia de cubos:
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
Multiplicación de binomios con término común:
(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab
PRACTICA
BLOQUE I
21. Reduce: 2
22
)()(
)()(
rqpnm
rqpnmrqpnm
22. Reduce:
)3(
)()(22
33
baa
baba
23. Si: x = 1313
y = 1313
halla: x2 – y2
24. Reduce: M = (a+2) (a+3) (a+4) (a+5) – (a2+7a) (a2+7a+22)
25. Si: 51
xx
halle: x3 + x–3
26. Si: x2 + 12y = (y + 6)2, halla:
10 4224322 2. yyxxyx
27. Si: a + b = 3 y ab = 1
Halle: a4 + a2 + a + b2 + b + b4
28. Si: a4 + b6 = 2
halle: 222222
232232
)()(
)()(
aaaa
baba
29. De la ecuación:
baba
411
Reduce: n
nn
n
ba
ba11
1)(
30. Si: x +
x
2 = 1
halle: (x – 3) (x + 2) (x – 4) (x + 3)
31. Si se cumple:
x
y
y
x 2
2 = 2
calcula:
8
y
x
32. Si: x +
x
1 = 3, halle: x2 –
2
1
x; x > 1
33. Reduce:
16 1688 2)23()97()13()5(
34. Sabiendo que x2 – 3x + 1 = 0 Calcula el valor de:
A = 32
23 11
xxxx
35. Si a +
a
1 = 3, halla el valor de
R =
a
a
a
a
aa
aa
11 /1
/1
36. Si: x2 + 1 = –x
halle: x19 + 25
1
x
BLOQUE II
37. Reduce: C = [ (m + n)2 – (m – n)2 ]2 – 16 m2n2
A) mn B) m+n C) 0
D) 1 E) –1
38. Reduce:
M = babababa
A) 2a C) 0 E) 2a – 2b
B) 2b D) 2a + 2b
39. Reduce: (x – 1)3 – x3 + 1
A) x C) 2x E) N.A.
B) x + 1 D) 3x (1 – x)
40. Reduce:
W=2222 . abbabb ; a>0
A) b B) a C) a
D) b E) 0
41. Simplifica: Z = (x2 + x + 4) (x2 + x + 2) – (x2 + x + 8) (x2 + x – 2)
A) 8 B) 16 C) 24
D) 18 E) 43
42. Efectúa: E = (x2 + 5x + 5)2 – (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)
A) 7 B) 1 C) –2
D) 0 E) 3
43. Sea:
2233
22
113
11
211
yxxyyx
xyyxA
; xy 0
si se cumple: 9(x + y) =xy,
calcule: A
A) 1/9 B) 1/3 C) 3
D) 9 E) 1
44. Si: x +
x
1= 4
halle: x2 + x + 2
1
x+
x
1
A) 16 B) 18 C) 14
D) 10 E) 4
45. Si a + b = 5 y
2
ba
ba= 11, halla
ab.
A) 5 B) 7 C) 9
D) 11 E) N.A.
46. Reduce
(x2 –4x –1)2 –(x2– 4x–2)2 – 22
23
)42(
)8(2
xx
x
A) – 9 B) – 3 C) – 11
D) 0 E) 10
47. Calcula U + N, si: U = (a + b – c + d) (a – b + c + d)
N = (a + b + c – d) (b – a + c + d)
A) ad + bc B) ad – bc
C) 4 (ad + bc) D) 4 E) 2 (a2 – b2)
48. Si: a–1 + b–1 = 4(a + b) –1
calcula: E =
ba
ba
a
b
b
a
2
2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) N.A.
Razonamiento Lógico
ÁLGEBRA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
PRODUCTOS NOTABLES PRINCIPALES IDENTIDADES
Trinomio cuadrado perfecto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 * Identidades de Legendre: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Diferencia de cuadrados: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Desarrollo de un binomio al cubo:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
Suma y diferencia de cubos:
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
Multiplicación de binomios con término común:
(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab Desarrollo de un trinomio al cuadrado: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
Desarrollo de un trinomio al cubo: (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c) (a+c) (a+b+c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a+b+c) (ab+bc+ac) – 3abc (a+b+c)3= 3(a+b+c) (a2+b2+c2)–2(a3+ b3 +c3) + 6abc Identidad trinómica (argand): (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2 y2 + y4 Igualdades condicionales:´ Si: a + b + c = 0 , se cumple:
i. a3 + b3 + c3 = 3abc ii. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc) iii. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
NOTA:
Sean: a; b; c y m; n N
Equivalencia de Gauss:
PRACTICA
BLOQUE I 1. Efectúa:
E = (x2 + 5x + 5)2 – (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)
A) 7 B) 1 C) –2
D) 0 E) 3
2. Si: x +
x
1 = 4
halle: x2 + x + 2
1
x+
x
1
A) 16 B) 18 C) 14
D) 10 E) 4
3. Si a + b = 5 y
2
ba
ba= 11, halla ab.
A) 5 B) 7 C) 9
D) 11 E) N.A.
4. Si: x2 + 1 = –x halle: x37 + 49
1
x
A) 1 B) 0 C) –1
D) 2 E) 1/2
5. Reduce
(x2 –4x –1)2 –(x2– 4x–2)2 – 22
23
)42(
)8(2
xx
x
A) – 9 B) – 3 C) – 11 D) 0 E) 10
6. Calcula U + N, si: U = (a + b – c + d) (a – b + c + d) N = (a + b + c – d) (b – a + c + d)
A) ad + bc B) ad – bc
C) 4 (ad + bc) D) 4 E) 2 (a2 – b2)
7. Si: a–1 + b–1 = 4(a + b) –1
calcula: E =
ba
ba
a
b
b
a
2
2
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) N.A.
8. Si a + b = 5 y ab = 3, halla el valor numérico
de
P =
ba
ba
55
A) – 5 B) 1 C) – 1
D) 5 E) 12
9. Si: a4x + a–4x = 34, calcula R = ax – a–x
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) N.A.
10. Si: A + B = 8 ; A.B = 2
Halla A6 + B6
A) 8 B) –8 C) –16
D) 16 E) N.A.
11. Si: (a + b + c + d)2 = 4 (a + b) (c + d)
calcula: M =
cb
ad
bd
ca
dc
ba
A) 0 B) 1 C) –1
D) 3 E) –3
12. Si: x + x–1 = 5 , calcula: x6 + x–6
A) 12 B) 15 C) 16
D) 18 E) 20
13. Si: 2
2 1
xx = 3.
halla: C = 3 1010 2 xx
A) 3 B) –3 C) 5
D) –2 E) 4
14. Si: xy = 1, halla:
K = x
1
12
2
x
y + y
1
12
2
y
x
Además x ; y x ; y > 0 A) 1 B) –2 C) 2
D) 0 E) ½
15. Si: x2 + 1 = 3 x
halle: 3 (2 + 3 )
1
21
10
5
x
x
A) 1 B) –1 C) 0
D) 2 E) –2
BLOQUE II 16. Si: m + n + p = 0
Halla: 222
2333 )(
pnm
pnm
17. Calcula el valor de: E =
ab
c
ac
b
bc
a
acbcab
cba 222222
Para a = 35
b = 52
c = 23
18. Si se cumple: (x + y + z)2 = xy + xz + yz
calcula:
)(
)()(
xzz
zyyyxxP
19. Calcula abc, sabiendo que: a + b + c = 15,
a2 + b2 + c2 = 93,
a3 + b3 + c3 = 645
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac a = b = c
a3+b3+ c3–3abc=(a+b+c)[a2+b2+c2 – (ab+bc+ac)]
a2n + b2m = 0 a = b = 0
Razonamiento Lógico
20. Sabiendo que:
bababa 4444
= – c
Halle:
)(
)()( 333222
bcacababc
cbacba
21. Si x; y , cumple la igualdad: 2x2 – 4x + 4 + y2 – 2xy = 0
Dar el valor de: x y 43
22. Dado: a + b + c = 1 ab + bc + ac = 0
Halle:
abc
acbcab 222 )()()(
23. Si: x, y z son números reales:
x3 + y3 + z3 = 3xyz ; x + y + z 0
halla el valor de:
3
333
)( zyx
zyx
24. Si xy + yz + xz = 0
halla: E = 222
333333
zyx
zxzyyx
25. Reduce2
333 )2()2()2(
)2()2()2(
abcbcacba
abcbcacba
26. Si: a + b = c b + c = a c + a = b
reduce:
abc
acccbbbaa
3
)2()2()2( 333333333
27. Si: abc 0 y
a
bc
b
ac
c
ab = a + b + c
Entonces halle:
21777777
777777
)(.)( abccbcaba
cba
28. Si: a3 + b3 + c3 = 4abc
a2 + b2 + c2 = (ab + ac + bc) + 1 Calcula:
E = acbcab
c bab aca cb
xxx
xxx
29. Dadas las condiciones: a3 + b3 + c3 = 2 (a + b) (b + c) (a + c)
a + b + c = 1,
calcula el valor de:
bcacab
abcM
51
BLOQUE III
30. Si: a = 3 2 + 5;
b = 2 – 5 2 ;
c = 2 2 – 7
Halla:
M =
ab
c
ac
b
bc
a422 2)2(4
A) 4 B) 3 C) 7
D) 12 E) 1
31. Sabiendo que: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 = 0
calcula: 5
555
)( zyx
zyx
A) 9 B) 3 C) 1
D) 1/3 E) 1/9
32. Reduce:
)()()(9
)()()( 333
xzzyyx
xzzyyx
A) 1 B) 2 C) ½
D) 1/4 E) 1/3
33. Si: a2 + b2 + c2 = 2
ab + bc + ac = 3 halle:
(a – b + c)2 + (a + b – c)2 + (a – b – c)2
A) 0 B) 1 C) 6
D) 2 E) 5
34. Efectuar abreviadamente:
K = (x + x + 1) (x – x + 1) – (x – 1)2
A) x B) 2x C) 3x
D) 4x E) 5x
35. Simplificar: (a, b, +)
babababa
baba
22
A) a B) 0 C) b
D) ab E)–2 ab
36. De las condiciones:
a + b + c = 2 a3 + b3 + c3 = 8
Hallar el valor de:
N =
abc
bcacab
A) 1/3 B) 1 C) –1
D) 2 E) 1/2
37. Si: a3 + b3 + c3 = 0, además: (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 36
halle:
acbcab
111
A) 1/3 B) –1/3 C) –1/6 D) 1/6 E) 1
38. Teniendo en cuenta que: a + b + c = 12, y a2 + b2 + c2 = 100, halla ab + ac + bc
A) 44 B) 20 C) 28
D) 22 E) N.A.
39. Si: (a + 2 ab + b)( a – 2 ab + b) = 0,
calcula: E = 223
43
b a
5b a
baab
bba
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
40. Si a + b + c = 0
halla:
ab
c
ac
b
bc
a 222
A) 8 B) 6 C) 3
D) 0 E) N.A.
41. Si: yz
x
xz
y
xy
z = 1; x, y, z
halla el valor de:
E = )zyx(xyz3
zyx 444
A) 1/2 B) 1/3 C) 1
D) –1 E) –1/3
42. Calcula el valor de: S =
)xyz(z)xzy(y)yzx(x
)xyz(z)xzy(y)yzx(x
Para: xy
z
xz
y
yz
x = 1
A) 0 B) 1 C) 2
D) –1 E) –2
43. ¿A qué equivale: a3 + b3 + c3 – 6abc? Si se cumple:
a(a – b) + b(b – c) + c (c – a) = 0
A) –3abc B) a3 + b3 + c3 C) 0
D) (a+b+c)3 E) abc
44. Halla el valor numérico de: x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz + 2xz
Para: x = 32 ;
y = 52 ;
Razonamiento Lógico
ÁLGEBRA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
FACTORIZACIÓN
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
Multiplicación
FACTOR PRIMO Un polinomio es irreductible sobre un determinado campo numérico sino admite ser expresado como la multiplicación de dos o más factores sobre el mismo campo. Ejemplo:
14
x)x(P
)1x)(1x()x(P22
fp
)1x(
fp
)1x(
fp
)12
x()x(P
Tiene 3 factores primos en R # DIVISORES O FACTORES
...z.y.xPcba
#D=(a+1)(b+1)(c+1) …
PRÁCTICA
01. Señalar la suma de los coeficientes de un factor de: 333
)c2ba()b2ca()a2cb(
a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2
02. Marcar el número de factores de:
)mp)(mp(
)pn)(pn()nm)(nm(
2244
22442244
a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6
03. 3. Marcar un factor de:
)yx(z)xz(y)zy(x444
a) yzxzxyyzx 222
b) 222zyx
c) xy + xz + yz d) x + y e) x + z
04. Señalar el coeficiente numérico que se obtiene al factorizar
5555)zyx()yzx()xzy()zyx(
a) 20 b) 80 c)5 d) 10 e) 15
05. Marcar un factor de:
2x3x2x2x3x22345
a) x + 1 b) x + 2 c) 2x + 1
d) 2x – 1 e) 1xx2
06. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor:
4x12x8x2x246
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8
07. Factoriza1n6n3
262
proporcionando como respuesta el valor numérico de un factor, para n = 2/3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
08. ¿Cuánto vale A + B si el trinomio
4224Byyx42Ax3 es un trinomio
cuadrado perfecto?
a) 52 b) 35 c) 46 d) 63 e) 73
09. Señale el coeficiente de "x"2
que se obtiene en
un factor de:
1x5x6xx2456
a) 3 b) -2 c) -3 d) 5 e) 1
10. Factorizar 1x4x9x1023
, dar como
respuesta el producto de los coeficientes de un factor.
a) 2 b) 1 c) -1 d) -10 e) 10
11. Encontrar el coeficiente que aparece al factorizar:
222)ac()cb()ba(
a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) 4
12. Cuántos factores posee:
4x8x5xx4x4x23567
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6
13. Calcular la suma de coeficientes de un factor de:
1xxxx2345
a) 1 b) -2 c) -3 d) 3 e) -1
14. Marcar el coeficiente de “x” en un factor de:
1xx2x25
a) 3 b) 0 c) -2 d) 2 e) -1
15. Marcar un factor de:
12
x25
x
a) 1xx2
b) 1xx2
c) 1xx2
d) 1xx2
e) 1xx23
16. Determinar m si:
15x23mx3x
y6x11mx2x
23
23
Tienen 2 factores comunes
a) 5 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
17. Marcar la suma de coeficientes de un factor:
3223bb2ab5a3a
a) 5 b) -2 c) -4 d) 4 e) 2
18. Señalar un factor de: x(2x + 1) + y(2y + 1) + 4xy
a) 2x + 2y + 3 b) 2x + y c) x + 2y d) x + y + 1 e) 2x + 2y + 1
19. Marcar el valor de “a” para que el polinomio se pueda descomponer en 2 factores lineales.
)a1(y)4a(y)1a(x322
a) 2 b) 4 c ) -2 d) -4 e) 3
20. Señalar uno de los factores
33
33
33
33
ba
)ba2(b
ba
)b2a(a
a) a – b b) a – 2b c) 2a – 3b d) 2a + b e) a + b
21. Señale uno de los factores de:
2222)2x9x2()3x9x6(
a) 2x + 1 b) 3x + 1 c) 2x + 1 d) x – 1 e) 4x – 2
22. Reducir:
)4x3)(2x3(
9x27)1x3(M
3
a) 3x b) 2x – 1 c) 2x + 1 d) x – 1 e) 3x – 1
23. Simplifica:
22
4224
baba
bba3aE
a) 22
baba b) aba2
c) a(a + b) d)22
baba
e)22
baba
24. Indicar cuántos factores primos tiene: 5224322
)yx()1y()2x(yx4)y;x(P
a) 6 b) -10 c) 5 d) 0 e) 4
25. Si el polinomio:
0abc;cbxacxax)x(P23
Tiene como factor a f(x) = x – c. Calcular el valor de b.
a) -1 b) 3 c) 18 d) -2 e) 0,5
26. Indicar la suma de los coeficientes de los factores primos de:
)ba(c)ac(b)cb(a)c;b;a(P222
Razonamiento Lógico
a) -8 b) 0 c) 12 d) 8 e) -1
27. Indicar un factor primo de:
y12x9)y8x6()y4x3()y;x(F23
a) 3x – y b) 4y – 3 c) -1xy d) 3x + 4y e) 3x – 4y
28. Hallar la suma de los factores primos del polinomio:
2222224)vu(z)vu(2z)z(P
a) 2u b) 2z c) 4z
d) 3uv e) 2v
29. Cuántos factores primos admite el polinomio Q(x)= (x+2)(x+3)(x+4)+(x+3)(x+4)–x–4
a) 2 b) x + 2 c) 6x
d) 0 e) 6x
30. Indicar el número de factores primos de:
)2y5y3()5y7(xx2)y;x(P22
a) 6 b) 2 c) 1 d) 0 e) 12
31. Factorizar:
)2x(3)1x(x4x)x(P24
, e
indicar la menor suma de coeficientes de un factor primo.
a) -3 b) 2 c) 0 d) 1 e) 0,5
32. Factorizar:
20x92
x213
x94
x)x(P
Si F(x) representa la suma de los factores primos de P(x). Indicar un factor de F(x).
a) 8x22
x b) 6x22
x
c) x + 12 d) 9x – 14 e) -2x + 5
33. Factorizar:
2a32
a83
a12)a(F ; luego indicar el
número de factores lineales
a) 18 b) 6 c) 3 d) 0 e) 7
34. Al factorizar el polinomio:
92
x34
x36
x)x(P
Se obtiene:
)3b2
x2b4
x1b)(3ax2a2
x1a()x(P
Calcula:
3b2b1b
3a2a1a
a) -3 b) -5 c) 8 d) -2 e) 0
35. Halla la suma de factores primos lineales de:
6b27
3b
3a215
6a8)b;a(P
a) 3b – a b) 3a – 2b c) 3ab
d) -8b e) 3ab105
36. Factorizar los polinomios:
2a2x)1a3(2
x)1a()x(P
2x)1a2(2
x)1a()x(P
y calcular el valor de “a” si la suma de los factores no comunes es: 6x + a.
a) 1 b) 0 c) 12 d) 3 e) 5
37. Los trinomios:
3bxx)x(g
6axx)x(f
2
2
admiten un factor común de la forma (x+c). Hallar el valor de ac – bc. a) 3 b) 2 c) 11 d) 4 e) -5
38. Luego de factorizar:
)4x(61x)x(P24
indique el término lineal de un factor primo
a) 2
x4 b) 4x ó –4x c) 4
x9
d) 4
x6 e) 12x
39. Señale el factor primo de menor suma de coeficientes del polinomio:
16x12x)x(P48
a) 42
x24
x
b) 2xx2
c) 6x3
d) 4x2x2
e) 3
x6
40. Sabiendo que el polinomio:
1x2
x)x(F es un factor de:
cbx2
ax7
x)x(P
Calcula: 1bc
12
b2
a
a) 8ab b) 4b c) 2 d) 1 e) 5
41. Si: a + b + c + d =33; {a, b, c, d}
Z y el
polinomio:
7dxx6)x(P2
es factorizable por
aspa simple, tal que:
6x2 + dx + 7
3x a
bx c
indicar la suma de los factores primos.
a) 5x – 8 b) 5x + 8 c) x – 8 d) 2x – 8 e) 6x + 8
42. Señale la suma de coeficientes de uno de los factores primos en:
81x9x)x(P24
a) 12 b) 16 c) 13 d) 4 e) 27
43. Indique un factor de:
6aa7aa)a(R234
a) a – 14 b) -1 c) 2a7
d) 6 – a e) a + 1
44. Factorizar: ax – a + bx – b
a) (x + 1)(a – b) b) (x – 1)(a – b) c) (x – 1)(a + b) d) (x + a)(x – b) e) (ax – 1)(bx + 1)
45. Factorizar: ax + x – a – 1
a) (x + 1)(a – 1) b) (x – 1)(a + 1) c) (x – 1)(a – 1) d) (x – a)(x + 1) e) (x + 1)(1 – a)
46. Indicar un factor primo de:
axxabbx2
a) a +x b) bx2 c) b –x
d) x – a e) ax2
47. Señale un factor primo de: x(a – 1) + y(a – 1) – a + 1
a) a + 1 b) x + y c) x + y + 1 d) x – y –1 e) x + y – 1
48. Hallar la suma de los coeficientes de uno de los factores primos de:
P(x) (x+2) + (x+2)(x+3) + (x-1)(x+2) a) 8 b) 5 c) 2 d) 4 e) 7
49. Luego de factorizar:
babcacab2222
Señale un factor
a) b + c b) 2
ca c) 2cb
d) a + b + c e) 2cab
50. Señale la suma de los términos independientes de los factores primos de:
2am – 2an + 2a – m + n – 1 a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) 3
51. Indicar un factor primo de: (3x+2)(x+y-1) + (3x+2)(1-x+y)-2-3x
a) 3x – 2 b) 2y + 1 c) 2x – 1 d) 2y – 1 e) 2x + 1
52. Factorizar: 22
y4xy4x
a) (x + 2y)(x – 2y) b) 2)y2x(
c) 2)yx2( d) 2
)y2x(
e) (x + 2)(y – 2)
53. Hallar la suma de los factores primos de:
22c)ba(
a) 2(a + b + c) b) 2(a + b – c) c) 2(a + b) d) 2a + b e) 2a +2b – c
Razonamiento Lógico
ÁLGEBRA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera A. FACTORIALES COEFICIENTE BINOMIAL BINOMIO DE
NEWTON BLOQUE I
01. Al efectuar )!3n()!1n(
)!1n()!2n(
se obtiene:
a)
2
1
n
n b)
)1(
2
nn
n
c)
1
2
n
n d)
2n
n
e)
1
)1(
n
nn
02. Sabiendo que: )!5x()!6x(
)!5x()!7x(
= 15!
El valor de “x” es: a) 7 b) 11 c) 13 d) 9 e) 15
03. El valor natural de “n” que verifica
)!2n(99!n)!1n(
!n.)!1n(
, es:
a) 10 b) 3 c) 5 d) 8 e) 13
04. Al simplificar 80.......33.32.31
80.......22.21.20 se obtiene:
a) 80! – 19! b) 80! – 30! c) 19!/30! d) 19! e) 30!/19!
05. Al simplificar E = !nn!n
)!1n(1!n
)!n(])!1n[(
])!1n[(n
se
obtiene: a) 1/n b) n+1 c) n-1 d) n e) 1
06. El valor de “n” que satisface la ecuación )!!()!!(!5!119 !6!719)!720( nn x es:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 6
07. Si se cumple la igualdad
b])!!a[()!1!120(
)!)!!5(()!1!120(
, entonces
el valor de “a + b” es:
a) 5 b) 3 c) 8 d) 4 e) 7
08. El equivalente de)!)!)!!3((()!)!!4(()!1!5(
)!!24()!!5()!)!!6((
es: a) 2! b) 3! c) 4! d) 5! e) 6!
09. Si: 70
)!2(
!
)!22(
)!2(
n
n
n
n entonces el valor
de “n” es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
10. El valor de “x” que verifica la igualdad:
x+2 x+1 x+ +
x+2 x+1 x- -= 1,1
es:
a) 20 b) 18 c) 15 d) 22 e) 14
BLOQUE II
11. Si: n2
C =10, entonces el valor de “2n – 1”, es:
a) 5 b) 15 c) 13 d) 9 e) 7
12. Si “n” verifica
4
.1
3
2
42 n
C
CCn
nn
;
entonces el valor de 1n2 , es:
a) 20 b) 28 c) 32 d) 24 e) 35
13. Si: 18
2
18
xx CC . El valor de “x” es:
a) 4 b) 6 c) 2 d) 10 e) 8
14. Simplificando 21
14
21
7
21
14
3
126
C
CC
se obtiene: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
15. Calcula “x” en:
21x221
21x222
x21
2x21
1x22
2x20
CCCCCC
a) 18 b) 19 c) 20 d) 22 e) 21
16. Al reducir
r
1n
1r
n
1r
1n
1r
1n
se obtiene:
a)
r
2nb)
2r
3n c)
1r
2n
d)
2r
2n e)
1r
1nC
17. El valor de “n” en la igualdad:
1331CCC4 2n3
n3
1n3
es:
a) 11 b) 10 c) 12 d) 14 e) 13
18. El valor de “x” en la igualdad:
254
x6154
x59
254
7x54
5xCCCC
7x
54C.
x59
54C4
es:
a) 28 b) 33 c) 22 d) 35 e) 25
19. El valor de “n” en la siguiente igualdad:
1n3
n4
C5C2 , es:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 5
20. Al reducir
n
1n
nn
n3
n4
n2
n3
n1
n2
n1
C
Cn...
C
C4
C
C3
C
C2
1
C
se obtiene:
a) 2n(n-1) b) 2
)1n(n c)
2
)1n(n
d) 6
)1n2)(1n(n e) 1n3
21. El valor de “m+n” en la igualdad:
3m3n
2m8
m7
m6
m5
CCCC2C
es:
a) 24 b) 20 c) 28 d) 32 e) 16
BLOQUE III
22. Si la suma de los coeficientes del desarrollo de
10n432 )y3x7(
es igual a la suma de los
coeficientes de la expansión de n832 )wz3( .
Calcula el número de términos de la potencia de
n35 )y2x( .
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
23. Encontrar el coeficiente del término que admite a
20x como parte literal en la expansión de:
123
x
1x
a) 375 b) 415 c) 495 d) 525 e) 604
24. Encuentra el valor de “n” para que el 4t del
desarrollo de n2 )yx( contenga a:
10x .
a) 8 b) 6 c) 10 d) 12 e) 14
25. Halla el valor de “n”, sabiendo que la diferencia entre los grados absolutos de los términos 6to y
16mo del desarrollo de m2n4 )yx( es 10.
a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 8
26. En la expansión de
n3/13
xx
, la
suma de todos los coeficientes es igual a 128. Halla
el coeficiente que contiene a 5x .
a) 40 b) 28 c) 46 d) 35 e) 22
27. Encontrar al término que no contiene a “x” en la expansión de:
9
4 x
1x
a) 6 b) 7 c) 11 d) 8 e) 4
Razonamiento Lógico
ÁLGEBRA
DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
DIVISIÓN ALGEBRAICA Es una operación que consiste en hacer corresponder a dos
polinomios D(x), d(x) 0, llamados dividendo y divisor respectivamente, dos polinomios únicos Q(x) y R(x), llamados cociente y residuo respectivamente, tales que: donde: D(x) : Dividendo ; Q(x) : Cociente d(x) : Divisor ; R(x) : Resto
CLASES DE DIVISION
División Exacta: Si R(x)= 0 D(x)=d(x). Q(x) En este caso se dice que D(x) es divisible por d(x)
División Inexacta: En este caso el R(x) 0 PROPIEDADES RELATIVAS AL GRADO
El grado del dividendo es mayor o igual que el grado
del divisor.
Grado ( D(x) ) Grado ( d(x) )
El grado del cociente es igual al grado del dividendo
menos el grado del divisor, o sea:
Grado ( Q(x) ) = Grado ( D(x) ) – Grado ( d(x) )
El grado del Resto es menor o igual que, el grado del
divisor disminuido en la unidad, es decir:
Grado ( R(x) ) Grado ( d(x) ) - 1
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS METODO DE HORNER
ESQUEMA GENERAL
1
2
3 4
LINEA DIVISORIA METODO DE PAOLO RUFFINI Se utiliza para dividir polinomios y cuyo divisor es un binomio de primer grado de la forma: (ax+b).
ESQUEMA GENERAL
1
3 4
2
01. Al dividir 8 13x - 3x 2x 8x 234 entre (4x-1) se obtiene un cociente, que tiene por suma de coeficiente a:
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5
02. El resto que se obtiene al dividir:
46833236 23456 xxxxxx
entre 1 3x 2x - x 23 es:
a) 3x+2 b) x2+10 c) x2-20x d) x-20 e) N.A.
03. Al dividir:
4x x- 2x 2x 4x 2345 entre
2 x - 3x 2x 23 el cociente es:
a) 2x2-2x+5 b) 2x2+3x-2 c) 2x2-x+5 d) 2x2+x-2 e) N.A.
04. Calcula el resto en:
1) -(2x entre 4) -10x 2x - (4x 23
a) 4 b) 1 c) 2 d) 5 e) 6
05. Si la división de:
B Ax 7x - 5x - 6x 234 entre
2 -2x 3x2 es exacta. Entonces el valor
de A + 2B es: a) 8 b) 6 c) 4 d) 5 e) 0
06. Al dividir:
32
1813127456 23456
x
xxxxxx
el término independiente del cociente es: a) 8 b) 4 c) 2 d) 1 e) N.A.
07. Si la división de:
235
2523
235
xxx
cbxaxxx
es exacta. Entonces el valor de a + b + c es: a) -53 b) -48 c) -6 d) 32 e) N.A.
08. Si al dividir:
dxx
cbxaxxx
23
235
2
48
el resto que se obtiene es: 2x2 + 4x.
Entonces calcular: E = a + b + c - 5d. a) 9 b) 8 c) 4 d) 3 e) N.A.
09. Si al dividir:
324
8823
235
xxx
cbxaxxx
el resto que se obtiene es: 3x2 - 2x+1. Entonces a + b + c es: a) 2 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
10. Al dividir:
4
10511 2345
x
xxxxx
Se obtiene un cociente, cuya suma de coeficientes es: a) -12 b) -15 c) -17 d) 10 e) N.A.
11. Si:
5)32(2)23()( 35 xxxxf
obtener: )23( f
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
12. Si la división:
124
1522202
234
xx
baxxxx
es exacta, calcula " ab "
a) -1 b) 1 c) 3 d) 5 e) 6
13. Luego de dividir:
2
1211452
2345
xx
xxxxx
se obtiene un cociente de la forma:
dcxbxax 23
y un residuo idéntico a : ax + e - 1 Calcula: ad + bc - e
a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) – 1
14. En el siguiente esquema por Ruffini:
4 6 8 -4 -15
16
halla la suma de coeficientes del cociente:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15. Determina el término independiente del cociente, al dividir:
3
2820755
101520
y
yyy
a) -12 b) - 8 c) 4 d) 15 e) 21
16. Luego de dividir:
2
1511723 2345
x
xxxxx
Indica el residuo a) 84 c) 86 e) 88.
D(x)=d(x). Q(x) + R (x)
Razonamiento Lógico
b) 87 d) 85
17. Luego de dividir :
Indica la suma de coeficientes del cociente
a) 0 c) 1 e) -1 b) 2 d) -2
18. En la siguiente división exacta:
33
3472
234
xx
xxnxmx
el valor de: mn es:
a) 8 b) 49 c) 64 d) 25 e) 81
19. Al dividir :
7-2
5756-4713-610
10203040
x
xxxx
se e obtiene de residuo a) 4 c) 5 e) 6 b) 7 d) 8
20. Calcula el resto al dividir:
12
)1()2(2
164141
xx
xxx
a) 123 b) 232 c) 257 d) 321 e) 222
21. Halla el resto en:
43
19435577
xx
xx
a) 2x + 2 b) 2x + 12 c) 2x + 6 d) 2x – 8 e) x – 3
22. Calcula el residuo de dividir:
23
793)33(5)13(22
2511210032
xx
xxxxxx
a) 8 b) 81 c) 10 d) 12 e) 14
23. Calcula el resto en:
57
186135422
xx
xxxxxx
y dar una respuesta la raíz cuadrada de dicho residuo
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
24. Calcula la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división:
1
101100
x
x
a) - 5 b) 0 c) 1 d) 100 e) 102
25. Calcula el valor de " a " para que la suma de coeficientes del cociente sea 161, tal que el resto es 16.
1
2251
x
abbxax
a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 6
26. Si el resto de dividir:
842
2658323
2345
xxx
nmxxxxx
es: - 5x + 2, entonces “m + n” es:
a) – 2 b) 2 c) 3 d) – 7 e) 7
27. En la división no inexacta:
Determina el valor numérico de:
)9
(1
a
a
cE
a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/6 e) ¼
28. Halla (a + b + m), si la división:
57
1219423
2345
xx
baxxxxx
de por residuo : mx2 + 2x – 6
a) 0 b) 23 c) – 22 d) – 19 e) 11
29. Dividir:
x
xxxxx 92)3(5)3(2)3(3)3( 2345
Dando el valor del cociente cuando “x” tome el valor de 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
30. Halla el resto de la división:
209
9)4()5(2
4051
xx
xx
a) x - 1 b) 2x c) 3 d) 6 e) N.A.
31. Halla el cociente de dividir:
124
461514122
234
xx
xxxx
a) 32x - x + 2 b) 3
2x - 3x + 2
c) 32x + 2x + 2 d) 3
2x - 3x + 1
e) 32x - 2x + 2
32. Determina "m" y "n" de manera que el polinomio:
53
722
234
xx
nmxxxx
Tenga como residuo a: 4x + 1
a) 16; 21 b) 20; 16 c) 15; 12 d) 8; 16 e) 12; 7
33. Calcula el valor de "m" y "n" si la siguiente división:
122
7
xx
nmxx es exacta.
a) 2; -3 b) -7; -6 c) 5; 3 d) 9; 3 e) 6; 5
34. Halla el resto de:
2
2)7()3( 827
x
xxxx
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
1-3
7817-53 234
x
xxxx
cbxax
babcxabxxcabxax
2
223245 9)26(22
Razonamiento Lógico
ÁLGEBRA DOCENTE: Dr. Richard Herrera A.
COCIENTES NOTABLES
PRACTICA
01. En el desarrollo de:
915
2745
ax
ax
hay un término de grado 24, la diferencia de los exponentes de “x” y “a” es:
a) 7 b) 24 c) 5 d) 6 e) Ninguno
02. Cuál de las siguientes divisiones no genera un cociente notable?
a) 22
1010
yx
yx
b)
56
1012
yx
yx
c) 75
3525
yx
yx
d)
43
2015
yx
yx
e) N.A.
03. Calcula el número de términos del cociente notable:
32
32
yx
yx mn
si se cumple que: T20 . T30 = x100 y144
a) 100 b) 150 c) 50 d) 30 e) 60
04. Dar el número de términos del cociente notable:
22 yx
yx nn
si el penúltimo término es: x2 y82
a) 42 b) 82 c) 86 d) 43 e) 45
05. El número de términos que tiene el siguiente desarrollo de:
54
54
yx
yx nn
sabiendo que el T(5) tiene grado absoluto 32, es:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) N.A.
06. Halla “m” y “n” para que el término 60 del cociente:
nm
nm
ba
ba42
296148
; sea a56 b708
a) m = 2 b) m = 3 c) m = 3 n = 2 n = 2 n = 3 d) m = 2 e) N.A.
n = 3
07. Dado la siguiente división notable ba yx
yx
180120
Calcula la suma de las cifras de “ab” sabiendo que los grados absolutos de los términos de su desarrollo aumentan de 3 en 3.
a) 10 b) 9 c) 8 d) 54 e) 44
08. x12 + x9 + x6 + x3 + 1 es el desarrollo de:
a)
1
13
12
x
x b)
1
13
12
x
x c)
1
13
12
x
x
d)
1
13
15
x
x e)
1
13
15
x
x
09. En el cociente de:
35
63105
ba
aa
el grado del término que ocupa el lugar “k” supera en 8 al grado del término de lugar “k” contado desde el último. Calcula k . k. a) 9 b) 81 c) 100 d) 15 e) 36
10. Si xm-96 y14 es el octavo término del desarrollo del cociente notable:
qp
m
yx
yx
24
; calcula (m + p + q).
a) 124 b) 144 c) 168 d) 158 e) N.A.
11. En el cociente notable de:
75 yx
yx ba
Calcula “a + b” si el término quinto es: xc yd, además d - c = 3. a) 70 b) 100 c) 120 d) 130 e) 140
12. En el desarrollo del cociente notable de:
32 yx
yx ba
hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
13. Calcula el valor numérico del término central del cociente notable:
)(8
)()(22
100100
yxxy
yxyx
para x = 3, y = 2 2
a) 3-2 2 b) 2 2 c) 2
d) 1 e) 3+2 2
14. En el cociente notable de:
22
5050
22
)()(
ba
baba
¿Qué valor adquiere el término central para:
a =
2
248x ; b =
2
248x
a) 2 b) 1/2 c) 2
d) 24 2 e)
48 2
15. Efectuando:
23
1015
yy
yy
el número de términos enteros es: a) 6 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5
16. Halla el número de términos que tendrá el cociente notable:
5292
505105
nn
mm
yx
yx
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) N.a.
17. Calcula el número de términos de: . . . - x108 y55 + x99 y60 - . . . .
sabiendo que es el desarrollo de un cociente notable. a) 12 b) 22 c) 24 d) 21 e) 23
18. Halla a + b + c si el término central del cociente notable:
ba
ba
yx
yx
11440 33
es el noveno e igual a x40 yc. a) 53 b) 54 c) 11 d) 48 e) 59