LEYES DE KEPLER 1. Los planetas describen órbitas elípticas planas en uno de cuyos focos está el sol. Esta ley resulta evidente si tenemos en cuenta que las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales y que se conserva el momento angular. Por tanto al conservarse el momento angular vmrL rrr

∧= (tanto en módulo como en dirección la trayectoria debe ser plana, formada por el plano que determinan los vectores rr y vv )

2. El radio vector que une el sol con uno de los planetas barre áreas iguales en tiempos iguales

En la figura hemos representado el área barrida por el vector de posición en el tiempo t∆ . Como recordarás, el módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman, y obviamente la mitad al triángulo, así que:

rdrdA rr∧=

21

dtlm

dtvmrm

dtvrdArrsrr

21

21

21

=⋅∧=⋅∧=

.21 ctelmdt

dA==

r

3. Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de la distancia media de los planetas al sol: T2 = kR3

La demostración de la tercera ley es consecuencia de la ley de gravitación universal de Newton. Que el planeta se mantenga en órbita supone, desde el punto de vista de un observador inercial, que el peso del satélite se compense con la fuerza centrífuga:

FcPeso = ⇒ r

vmr

mMG2

2 =⋅

simplificando:

rGMv =2

Teniendo en cuenta que:

rv ⋅= ω

Tπω 2

= T

rv ⋅=

π2

Sustituyendo:

rGM

Tr

=2

224π

despejando el periodo: 3

22 4 r

GMT π

=

32 rkT ⋅=

Como puede verse todo lo que engloba el círculo son constantes (no aparece la masa del planeta) y el resultado de la operación, lógicamente, corresponde a una constante

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE Suponiendo que la tierra es una esfera de radio R y de masa M, la fuerza con que atraerá a una masa m colocada en sus inmediaciones vendrá dada por la ley de gravitación universal de Newton:

ruhRmMGF rr

2)( +⋅

−=

A la fuerza con que la tierra a trae a las masas se le llama peso: gmF rr

= , así que tenemos que la aceleración de la gravedad en un punto no es más que la Intensidad de campo gravitatorio en ese punto:

ruhR

MGg rr2)( +

−=

Para el caso concreto de puntos próximos a la superficie terrestre, y si despreciamos por ahora la rotación de la tierra alrededor de su eje, su módulo sería:

22

2411

2 /83,96370000

1098,51067,6 smRMGg =

⋅⋅== −

FACTORES QUE INFLUYEN EN LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD La aceleración de la gravedad no es una constante (a veces de tanto utilizar en los ejercicios de mecánica el valor de 9,8 m/s2 algunos alumnos llegan a pensar que siempre vale eso) y depende de dos factores: 1. de la altura sobre la superficie terrestre, ya que su módulo es:

22 )( hRMG

rMGg

+==

Como puede verse el valor de la aceleración de la gravedad disminuye con la altura.

2. de la latitud. Ya que como la tierra está girando alrededor de su eje, cualquier cuerpo situado sobre ella estará sometido (desde el punto de vista de un observador inercial) a una aceleración que será la resultante de la gravedad en ese punto y de la aceleración centrífuga. A 45º de latitud y al nivel del mar, la aceleración de la gravedad tiene el valor de 9,81 m/s2, que es el valor que suele tomarse en los ejercicios de mecánica.

Ejemplo: Encontrar la relación entre el valor de la gravedad en la superficie terrestre y el valor que tiene a una altura h sobre la superficie. Si llamemos g al valor en la superficie terrestre y g´ al valor que tiene a una altura h, tendremos que:

2RMGg =

2)(´

hRMGg+

=

si dividimos miembro a miembro las dos expresiones, tendremos que:

2

2)(´ R

hRgg += ⇒ 2

2

)(´

hRRgg+

=

Como puede verse a medida que nos alejamos de la superficie terrestre el valor de g´ disminuye. Ejemplo: Calcular, en un lugar de la tierra situado a 45º de latitud: a) la aceleración centrífuga b) la aceleración de la gravedad

a) Hay que tener cuidado y darse cuenta de que la circunferencia que describe el punto de latitud 45º no es igual al radio de la tierra, sino a r. Por tanto la fuerza centrífuga será:

rmrrm

rvmFc 2

22 )( ωω=== ⇒ rac

2ω=

como:

• sraddíaT

/1027,7360024

2122 5−⋅=

⋅===

πππω

• mRr 450427045cos637000045cos =⋅=⋅=

Sustituyendo:

2252 /024,04504270)1027,7( smrac =⋅⋅== −ω b) La aceleración de la gravedad, suponiendo que la tierra no girase viene dada por:

22

2411

2 /83,96370000

1098,51067,6 smRMGg =

⋅⋅== −

Ahora bien, al considerar su rotación, la aceleración real en un determinado lugar es la que resulta de componer vectorialmente la aceleración centrífuga para ese punto con la aceleración de la gravedad calculada anteriormente:

creal agg rrr+=

Para un sistema de referencia como el de la figura, las aceleraciones en forma de vector serían:

jsenigrrr 4583,945cos83,9 −−=

iac

rr 024,0=

jigreal

rrr 951,6927,6 −−= El módulo de la aceleración en ese punto sería:

222 /81,9)951,6()927,6( smgreal =−+−= que resulta ser el valor que se toma para la aceleración de la gravedad en los ejercicios de mecánica. Observa que, de acuerdo con lo anterior, el valor máximo para la aceleración de la gravedad la tenemos en los polos, y el valor mas pequeño en el ecuador que es donde la aceleración centrífuga es mayor. ( rac

2ω= para el ecuador r=Rt y además es un vector opuesto a g)

2, RMGg poloreal =

RRMGg ecuadreal

22, ω−=

Ejemplo: ¿Qué relación hay entre el peso de una masa m en las inmediaciones de la tierra y en un planeta que tenga una masa 10 veces superior y el doble de radio? Muy sencillo, expresamos la fuerza que cada planeta hace sobre la masa y las dividimos miembro a miembro:

2RmMGFtierra⋅

=

2)2(10

RmMGFplaneta⋅

=

104

=planeta

tierra

FF

de donde:

410

tierraplaneta FF =

Evidente, ya que como la fuerza de atracción gravitatoria (peso) es directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa las masas, será 10 veces mayor y 22 veces más pequeña.

CAMPO GRAVITATORIO EN EL INTERIOR DE LA TIERRA De la expresión de la intensidad de campo podría deducirse a bote pronto que al disminuir r la gravedad irá aumentando hasta hacerse infinito en el centro de la tierra (r=0). Pero no es así, ya que si te das cuenta cada vez que nos vamos adentrando en el interior de la tierra cada vez hay menos capas de masas que influyen al campo, de manera que disminuimos r, pero también la masa, así que la gravedad en un punto interior será:

rur

MGg rr2

int

intint −=

Suponiendo que la densidad de la tierra fuera constante:

3int

int

3

34

43 r

M

R

MVmd

t

t

ππ===

de donde

3

3int

intt

t RrMM =

sustituyendo en gint tenemos:

ttr

t

tr R

rguR

rMGur

MGg int3

int2

int

intint

rrrr=

⋅−=−=

lo que resumiendo quiere decir que el módulo de la aceleración de la gravedad vale:

Rrgg tdentro =

2RMGg fuera =

Dentro de la tierra va aumentando linealmente con la distancia al centro hasta llegar a tener el valor máximo gt en su superficie y fuera disminuye con el cuadrado de la distancia

SATÉLITES: VELOCIDAD ORBITAL Y VELOCIDAD DE ESCAPE Para que un satélite de masa m orbite a una distancia r alrededor de la tierra, desde el punto de vista de un observador inercial, es preciso que la fuerza peso con que lo atrae la tierra sea igual a la fuerza centrífuga:

FcFgrav =

rvm

rmMG

2

2 =⋅

rGMvorbital =

La energía total del satélite cuando está en su órbita a una distancia r del centro de la tierra será suma de cinética y potencial, es decir:

EpEcE +=

⋅−+=

rmMGmvE 2

21

sustituyendo v

⋅−+

=

rmMG

rGMmE

2

21

y operando

rmMGE ⋅

−=21

• Mientras el satélite permanezca en esa órbita no consume energía, porque se

desplaza por una superficie equipotencial. Recuerda que:

).(, BAcampoBA VVmW −=→ Si VA=VB ⇒ W=0

además en el caso del campo gravitatorio resulta obvio, ya que la fuerza gravitatoria y el vector desplazamiento por una superficie equipotencial (que son esferas concéntricas) forman ángulo de 90º y su coseno es 0

• El signo menos de la energía total del satélite indica que se trata de un sistema

ligado a la tierra, es decir que por sí mismo nunca se podría escapar de la atracción terrestre. Para escapar debería tener energía positiva o como mínimo nula.

La velocidad de escape de un cuerpo que es lanzado desde la superficie de la tierra es aquella que permite que el cuerpo escape de la atracción terrestre y ello requiere que su energía total sea positiva o nula como mínimo. En efecto, ya que como sabemos, cuando lanzamos un cuerpo desde la superficie de la tierra, la atracción gravitatoria hace que su velocidad vaya disminuyendo conforme se aleja a la vez que se va transformando en potencial.

• Si queremos que el cuerpo escape completamente debemos comunicarle una energía cinética de manera que no se detenga hasta llegar al infinito.

• Y en el infinito su energía mecánica sería cero porque llega con velocidad cero y porque allí su Ep=0, ya que es inversa a la distancia, así que como la energía mecánica en el lanzamiento debe ser igual a la que tiene en el infinito:

∞∞ +=+ EpEcEpEc tierratierra

∞⋅

−+=

⋅−+= ∞

mMGmvR

mMGmvE escape22

21

21

de donde:

RGMvescape

2=

• Si el cuerpo estuviera a una altura h la velocidad de escape, sería r

GMescapev 2=

donde r=R+h

• Como puedes ver comparando la velocidad orbital y la velocidad de escape:

orbitalescape vv ⋅= 2 Ejemplo: ¿Con qué velocidad habría que lanzar desde la superficie de la tierra una nave para que llegue a la luna? Datos: MT=5,98.1024Kg ML=7,35.1022Kg dT-L=3,84.108m Esto es casi igual si que nos pidieran la velocidad con que hay que lanzar una piedra para que llegue al tejado. La pequeña diferencia es que, en este caso, solo tenemos que llevar el cuerpo hasta una distancia x donde el campo gravitatorio y el lunar se igualan y luego ya será la luna la que tire del cuerpo y lo lleve hasta su superficie.

El punto Po donde la gravedad terrestre y lunar se igualan, es decir gT=gL :

22 )( xdMG

xMG LT

−=

x=3,45.108m

Y ahora simplemente, aplicamos la conservación de la energía mecánica entre la superficie de la tierra y ese punto Po donde la gravedad es cero, que es donde hay que llevar al cuerpo.

00 PPtierratierra EpEcEpEc +=+

⋅−+=

⋅−+

xmMGmv

RmMGmv T

PoT 22

21

21

smxR

GMvT

T /1011,1112 4⋅=

−=

Ejemplo: Un satélite de 100Kg de masa describe una orbita circular a 200Km de la superficie terrestre. a) Calcular su velocidad orbital b) ¿Qué le pasaría si por efecto del rozamiento el satélite va perdiendo energía? Y en particular ¿Qué le ocurriría a su velocidad angular? c) Periodo d) Energía potencial, cinética y total del satélite e) Energía necesaria para ponerlo en órbita f) Velocidad necesaria para que escape del campo gravitatorio Datos: MT=5,98.1024Kg RT=6370Km

Para un observador situado en el satélite, éste estará sometido a dos fuerza en la misma dirección y sentido contrario: El peso y la F.centrífuga, y ambas deben ser iguales para que se mantenga en órbita.

hRr Tierra +=

FcFgrav = ⇒ r

vmr

mMG2

2 =⋅

de donde:

smhR

GMr

GMvorbital /77922000006370000

1098,51067,6 2411

=+

⋅⋅⋅=

+==

−

b) Cuando por efecto del rozamiento pierda energía comenzará a describir una espiral hasta caer en la tierra, es decir la altura h cada vez será menor y como:

hRGMvorbital +

=

al disminuir h, su velocidad lineal aumentará, y lo mismo le sucederá a la velocidad angular, ya que:

3)( hRGM

rv

+==ω

como puede verse, al disminuir h, la velocidad angular aumenta con mayor rapidez que la lineal. c) Supongamos que el satélite no pierde energía y se mantiene en la órbita estacionaria a 200Km, para lo que es necesario que tenga una velocidad de 7792 m/s. En este caso:

Trv πω 2== ⇒ seg

vrT 8,5297

7792)2000006370000(22=

+⋅⋅==

ππ

d) La energía potencial, cinética y total serían:

Juliosr

mMGEpA9

2411 1007,6

20000063700001001098,51067,6 ⋅−=

+⋅⋅

⋅−=⋅

−= −

smr

mMGr

GMmmvEcA /1004,321

21

21 9

2

2 ⋅=⋅

=

==

JuliosEpEcE 999 1004,3)1007,6(1004,3 ⋅−=⋅−+⋅=+= e) La energía que hemos de comunicarle nosotros para ponerlo en órbita será igual a la que tiene, pero como se la damos nosotros tendrá signo positivo:

JuliosEnosotros91004,3 ⋅+=

f) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicarle para mandarlo al infinito, donde la energía es cero, así que:

021 2 =

⋅−=+

rmMGmvEpEc escapeAA

smr

GMvescape /110192000006370000

1098,51067,622 2411

=+

⋅⋅⋅⋅==

−

Ejemplo: Calcular la altura a que debe colocarse un satélite geoestacionario sobre el ecuador. Los satélites geoestacionarios, como los de comunicaciones, son los que se encuentran en todo momento sobre el mismo punto, dicho de otra forman giran con la misma velocidad angular que la tierra. Su órbita, además, debe estar en el plano del ecuador.

La velocidad angular de la tierra, y del satélite también, es:

sraddíaT

/1027,7360024

2122 5−⋅=

⋅===

πππω

Como sabemos, para un observador inercial, la fuerza de atracción gravitatoria debe compensarse por la centrífuga, así que:

rvm

rmMG

2

2 =⋅

y como rv ⋅= ω si sustituimos y despejamos r tendremos:

KmGMr 42259)1027,7(

1098,51067,63

25

24113

2 =⋅

⋅⋅⋅== −

−

ω

La altura sobre la superficie terrestre será KmRh T 3588942259 =−=

FORMAS DE LA TRAYECTORIA DEL LANZAMIENTO DE UN COHETE En primer lugar vamos a recordar que:

• La energía potencial gravitatoria siempre es negativa y que va aumentando conforme nos alejamos de la superficie de la tierra (donde tiene su máximo negativo) hasta llegar a cero en el infinito.

• La energía cinética por el contrario siempre es positiva, aunque si lanzamos un cuerpo hacia arriba ira disminuyendo hasta llegar a cero.

• La energía mecánica total, que es la suma de la cinética y de la potencial, podrá por lo tanto ser negativa, cero o positiva.

Energía mecánica negativa: Si la energía mecánica es negativa decimos que el cuerpo está ligado a la gravedad terrestre y que por tanto no puede escapar de su campo. Pueden ocurrir tres cosas: a) Que la velocidad con que lo lancemos el cuerpo sea tal que rGMvorbital /= . En ese caso describirá una órbita circular alrededor de la tierra y su energía como hemos deducido valdrá:

rmMGE ⋅

−=21

b) Si su velocidad fuese menor, y por tanto su energía, volvería a la superficie terrestre, como ocurre cuando lanzamos una piedra o un proyectil a poca velocidad c) Si lo lanzamos a una velocidad superior a la obtenida mediante rGM / pero más pequeña que la de escape ( rGMvescape /2= ) entonces el cuerpo seguirá ligado al campo gravitatorio, pero describirá una órbita elíptica en lugar de circular.

Energía mecánica cero : Si la energía mecánica es cero (Ec+Ep=0), entonces el satélite tendrá la energía mínima para escapar del campo, y lo haría siguiendo una trayectoria parabólica. A la velocidad necesaria se le llama velocidad de escape: rGMvescape /2= Energía mecánica positiva: Es decir, si le comunicamos una velocidad tal que Ec>Ep entonces, por supuesto escapará del campo gravitatorio, pero lo haría siguiendo una trayectoria hiperbólica. Además como puede suponerse llegaría al infinito con una velocidad>0.