Ley de Propagación del Error - Panel de Estado · Valores de la serie de Taylor para valores de...

Ley de Propagación del Error

Carrera de Ingeniería Eléctrica – Ingeniería Electromecánica

Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata

Mediciones Eléctricas I (3D1) - 2021 - Departamento de Ingeniería Eléctrica – FI UNMDP - Clase 3Prohibida la reproducción total o parcial de esta presentación en cualquier formato o medio sin la correspondiente autorización del autor

2

Planteo del problema

E I

A

Ejemplo de Medición Directa Ejemplo de Medición Indirecta

E I

A

VR

R

¿Cual será el error máximo en la medida de R?

I I Em limA= ±

I I Em limA= ±

U U Em limV= ±

• Se quiere saber I y se la mide con un

amperímetro:

𝑅 =𝑈𝑚

𝐼𝑚

• Se quiere saber R y para ello se miden U e I de forma

directa y con ellos se saca R:


3

Ley de propagación del error

La deducción de la ley de propagación del error está basada en la serie de Taylor.

Ejemplo: Serie de Taylor para una función f(x) entorno a un punto “a”

(Permite estimar el error de una medida indirecta)

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto “x”

en términos del valor de la función en otro punto “a” cercano a “x”, y sus derivadas en ese punto “a”.

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥 𝑎

𝑥 − 𝑎 +1

2 𝑑𝑓2 𝑥

𝑑𝑥2 𝑎

(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +1

𝑛! 𝑑𝑓𝑛 𝑥

𝑑𝑥𝑛 𝑎

(𝑥 − 𝑎)𝑛


Donde :

n! = factorial de n

= enésima derivada de f en el punto a. 𝑑𝑓𝑛 𝑥

𝑑𝑥𝑛 𝑎

Función exponencial

Ejemplo:

Valores de la serie de Taylor para valores de “X” entorno al punto a=0, con n=3


4




Supóngase que se tiene una función w = f(u). Considere que la variable “u” se mide y se obtiene un

valor medido “um” que es una aproximación del verdadero valor de u (“uv”) que no se puede conocer.

Por lo tanto, como um y uv son valores próximos se podría aplicar la serie de Taylor, entonces:

𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 +1

2 𝑑𝑓2 𝑢

𝑑𝑢2 𝑢𝑚

(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )2 + ⋯ +1

𝑛! 𝑑𝑓𝑛 𝑢

𝑑𝑢𝑛 𝑢𝑚

(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )𝑛

Luego, si es pequeño, entonces

Si se desprecian los términos de 2do orden y superior por ser muy pequeños se tendría:

𝑓 𝑢𝑚 − 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑑𝑓 𝑢

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑢𝑚 − 𝑢𝑣

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑤 = 𝑑𝑓 𝑢

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢

𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 2

𝑓 𝑢𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 +𝑑𝑓 𝑢

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑢𝑣 − 𝑢𝑚

Expresión general de la

ley de propagación del error

para una función de una variable

𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 es aún más pequeño.


5




w f u v ( , )

De manera similar, si W es función de dos variables:

𝑓 𝑢𝑣 , 𝑣𝑣 = 𝑓 𝑢𝑚 , 𝑣𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣

𝑑𝑣 𝑣𝑚

𝑣𝑣 − 𝑣𝑚

+1

2 𝑑𝑓2 𝑢, 𝑣

𝑑𝑢2 𝑢𝑚

(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )2 + 𝑑𝑓 𝑢, 𝑣

𝑑𝑢 𝑢𝑚

𝑑𝑓 𝑢, 𝑣

𝑑𝑣 𝑣𝑚

(𝑢𝑣 − 𝑢𝑚 )(𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 ) + 𝑑𝑓2 𝑢, 𝑣

𝑑𝑣2 𝑢𝑚

(𝑣𝑣 − 𝑣𝑚 )2 + ⋯

La serie de Taylor sería:

Y despreciando los términos de segundo orden y superior se tiene:

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = 𝜕𝑊

𝜕𝑢 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑢 + 𝜕𝑊

𝜕𝑣 𝑢𝑚 ,𝑣𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑣

Expresión general de la ley de propagación del error para funciones de dos variables


6


Si se aplica para propagar errores donde se conozca el signo de cada uno de ellos, tanto los

errores como las derivadas parciales se escriben con el signo correspondiente. (Tal cual la expresión

general de la transparencia anterior)

Si se aplica para propagar errores donde no se conozca su signo (por ejemplo para propagar

errores límite de instrumentos), se puede adoptar un criterio pesimista usando las derivadas y los

errores en módulo, quedando la expresión de la siguiente forma:

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = 𝜕𝑊





±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑊 = ± 𝜕𝑊






7


Ejemplo 1:

Se quiere medir la superficie “S” de una placa calefactora cuyas dimensiones verdaderas son 200 mm

de ancho y 100 mm de largo.

Un operario usa una regla y obtiene un valor medido para el ancho de 201 mm y para el largo de 99

mm. ¿Cuál sería el error en la medida de la superficie?

S

Ancho (a)

Largo (l)

Solución usando la definición de error absoluto𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚

𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚

𝑆𝑣 = 𝑎𝑣 . 𝑙𝑣 = 20000 𝑚𝑚2

𝑆𝑚 = 𝑎𝑚 . 𝑙𝑚 = 19899 𝑚𝑚2

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = 𝑆𝑚 − 𝑆𝑣 = −101 𝑚𝑚2

Veamos si llegamos a este mismo resultado aplicando la ley de propagación del error


8


Ejemplo 1:

S

Ancho (a)

Largo (l)

Solución usando la ley de propagación del error𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑎𝑣 = 200 𝑚𝑚

𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = 201 𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 = 𝑎𝑚 − 𝑎𝑣 = +1 𝑚𝑚

𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜: 𝑙𝑣 = 100 𝑚𝑚 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = 99 𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙 = 𝑙𝑚 − 𝑙𝑣 = −1 𝑚𝑚

Comentario:

En lugar de dar -101mm2 dio -102mm2.

La diferencia se debe a que en la deducción de la ley de

propagación del error se despreciaron términos de la serie de

Taylor.

Esta diferencia es mínima por lo que no invalida su uso.

𝑆 = 𝑎 . 𝑙

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 𝑙𝑚 . 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝑎𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = 99𝑚𝑚 . +1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . (−1𝑚𝑚)

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = −102 𝑚𝑚2

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = 𝜕𝑆

𝜕𝑎 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝜕𝑆

𝜕𝑙 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙


9


Ejemplo 2:

Se quiere medir la misma superficie “S” de una placa calefactora pero ahora los datos son:

Ancho medido 201 mm ± 1 mm

Largo medido 99 mm ± 1 mm

¿Cuál sería la superficie y el error en la medida de la superficie?

S

Ancho (a)

Largo (l) 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑙𝑚 = (99 ± 1) 𝑚𝑚

𝑎𝑛𝑐𝑕𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜: 𝑎𝑚 = (201 ± 1)𝑚𝑚

Solución usando la ley de propagación del error𝑆 = 𝑎 . 𝑙

±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ± 99𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚 + 201𝑚𝑚 . 1𝑚𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑠 = ±300 𝑚𝑚2

𝑆 = (19899 ± 300) 𝑚𝑚2

±𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑆 = ± 𝜕𝑆

𝜕𝑎 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑎 + 𝜕𝑆

𝜕𝑙 𝑎𝑚 ,𝑙𝑚

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑙

Clasificación de los Errores

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Clasificación de errores

Groseros Sistemáticos Accidentales o fortuitos

Clasificación de los errores

Errores Groseros:

Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación fallida de la

medición.

Errores Sistemáticos:

Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de mediciones equivalentes

(en igualdad de condiciones). Se pueden desafectar del resultado, bajo ciertas condiciones.

Errores Accidentales:

Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo sino que siguen

leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se pueden desafectar del resultado.


12




Se deben detectar y eliminar.

De ser posible se deben determinar y desafectar

de la medida usando alguna corrección.

De no ser posible desafectarlos contribuirán a la

incertidumbre.

Se deben estimar y

considerar en la

incertidumbre.

Entonces una medición tendrá esta forma general:

Valor medido + Corrección ± Incertidumbre

(por errores sistemáticos)(por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos

por falta de alguna información)


13


Ejemplos:

Groseros

Método

Instrumento

Tendencia del Operador

Condiciones ambientales

Sistemáticos

Paralaje

Apreciación

Accidentales o fortuitos


•Transposición de cifras: 21.5 25.1

•Leer en escalas incorrectas

•Utilizar fórmula inapropiada

•No efectuar el ajuste del cero mecánico o infinito previo a la medición

Inserción

Poder separador del ojo


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Error de inserción

Error sistemático de inserción

E=300V

R1=2000 R1

R2

Veamos un ejemplo: Se quiere medir la caída de tensión en R2

R2=2000

𝑉2 = 𝐼 𝑅2 =𝐸

(𝑅1 + 𝑅2)𝑅2 = 150 𝑉

Podríamos decir que V2 es el valor verdadero de la

magnitud que queremos medir.

𝑉𝑣 = 𝑉2 = 150 𝑉

I

Es el error que se produce al incorporar un instrumento en un circuito, producto de su resistencia

interna (o impedancia), que modifica el circuito original que se quiso medir.


15

Error de inserción

E=300V

R1=2000

R2=2000

Supongamos que usamos un voltímetro cuya resistencia

interna (Rv) es 2000 Ω. Entonces (si el instrumento fuera

exacto) la tensión medida será:I

V Rv=2000

1000 1003000

med

EV V

VVVVVE vmedinserciónabs 50150100

33,0150

50

V

V

V

Ee

V

inserciónabs%33100.

V

inserciónabs

V

Ee

Cuanto más resistencia interna tenga el voltímetro menos error de inserción.


16

Error de inserción

E=300V

R=100

Veamos otro ejemplo: Se quiere medir la corriente en el siguiente circuito:

Podríamos decir que el valor verdadero de la magnitud

que queremos medir es 3A.

I

𝐼 =𝐸

𝑅=

300𝑉

100Ω= 3𝐴


17

Error de inserción

Supongamos que usamos un amperímetro cuya resistencia

interna (RA) es 0,5 Ω. Entonces (si el instrumento fuera

exacto) la corriente medida será:

𝐼 =𝐸

𝑅 + 𝑅𝐴=

300𝑉

100Ω + 0,5Ω= 2,985𝐴

AAAIIE vmedabs 0149,03985,2

0049,03

0149,0

A

A

I

Ee

V

inserciónabs%49,0100.

V

inserciónabs

I

Ee

Cuanto menos resistencia interna tenga el amperímetro menos error de inserción.

E=300V

R=100

I

A


18

Error de inserción

¿Cómo determinar las resistencias internas de los instrumentos a partir de los consumos

específicos?

AA

A

2

AA

A

AA IR

I

IR

I

Pp

V

A

v

v

v U

R

pVS

1

V

V

2

VV

2

V

V

VV

R

U

RU

U

U

Pp

Alcance

Potenciap

Consumo específico


19

Error de inserción

Existen técnicas de medición que permiten “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION

La técnica de oposición permite construir, por ejemplo un voltímetro, de resistencia interna “infinita”

• Se varía la resistencia variable hasta

lograr que el galvanómetro indique cero.

• Cuando eso ocurra el potencial del punto

A es igual al potencial del punto B.

•Entonces, el voltímetro indica la tensión en

R2 pero sin tomar corriente del circuito que

se quiere medir sino de la fuente auxiliar,

midiéndose la caída de tensión en R2 sin

cometer error de inserción.

Ig = 0

-V

+

GE=300V

I

R variable

Iaux

Fuente

auxiliar

+

-

R1=2000

R2=2000

AB


20

Error de inserción

Existen técnicas de medición que permiten “eliminar” el error de inserción: LA TECNICA DE OPOSICION

La técnica de oposición permite construir, por ejemplo un amperímetro, de resistencia interna “cero”

Fuente auxiliar

RA

Ig = 0

E=300VR=100

I

+

G

-

A

RP

R variable

III

Iaux

A B

• Se varía la resistencia variable hasta lograr que el

galvanómetro indique cero.

• Cuando eso ocurra, el punto A está al mismo potencial

que B (como si no se hubiese conectado ningún

amperímetro allí). Entonces:

• Esto quiere decir que la caída de tensión en el

amperímetro (I x RA) se igualó a una subida de tensión en

Rp producto de la presencia de Iaux.

• Entonces la corriente I se mide en el amperímetro sin

cometer error de inserción.

𝐼 𝑅𝐴 + 𝐼𝑅𝑝 − 𝐼𝑎𝑢𝑥 𝑅𝑝 = 0𝑉

AAAIIE vmedabs 0149,03985,2

0049,03

0149,0

A

A

V

Ee

V

inserciónabs%49,0100.

V

inserciónabs

V

Ee


21

Error de método

a) Método Corto

b) Método Largo

Ejemplo: Se quiere medir la resistencia Rx con un voltímetro y un amperímetro. Existen dos alternativas:

Es el error que se produce de acuerdo a donde se conecten los instrumentos que se usen.

Error sistemático de método


22

Error de método

a) Método Corto

E R

mA

VI I Im v r

R Rm

Es el valor verdadero

Es el valor

medido

Ir

Iv

Im

𝑅 =𝑈𝑟

𝐼𝑟

𝑈𝑚 = 𝑈𝑟

𝑅𝑚 =𝑈𝑚

𝐼𝑚=

𝑈𝑟

𝐼𝑟 + 𝐼𝑣

Ur

El método corto mide de menos


23

Error de método

a) Método Largo

E R

mA

V

Ir

Iv

Im

Ur

Es el valor verdadero

Es el valor

medido

I Im r

R Rm

𝑅 =𝑈𝑟

𝐼𝑟

𝑅𝑚 =𝑈𝑚

𝐼𝑚=

𝑈𝑟 + 𝑈𝑎

𝐼𝑟

U U I R m r a m

El método largo mide de más


24

Error de método

E R

mA

V IrIv

Im

a) Método Corto

vr

r

m

m

mII

U

I

UR

r

r

I

UR

m

v

mr

vr

vrr

vrrrrr

r

r

vr

rmcortométodoabs

I

IR

II

IU

III

IUIUUI

I

U

II

URRE

)(

m

v

m

vcortométodoabs

I

I

R

R

I

I

R

Ee

v

m

r

r

m

vcortométodoabs

R

R

U

U

I

I

R

Ee

v

mmcortométodoabs

m

cortométodoabs

R

RReE

R

Ee

2

O bien: Rv = Resistencia del voltímetro

rm UU

rVm III


25

Error de método

a) Método Largo

Im

E R

mA

V IrIvarm UUU

rm II a

r

arm RR

I

UUR

𝑒 =𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

𝑅=

𝑅𝑎

𝑅𝑚 − 𝑅𝑎=

1

𝑅𝑚

𝑅𝑎− 1

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 = 𝑅 + 𝑅𝑎 − 𝑅 = 𝑅𝑎

RRE mlargométodoabs


26

Error de método

¿Que método conviene si no realizáramos corrección de método?

RmRo

v

m

R

R

sce

1R

R

1e

a

msl

R R Ro a v

e


27

Error del instrumento

Condiciones:

• Temperatura ambiente constante, llamada decalibración (20 a 25ºC)

• Reducción de campos magnéticos externos

• Posición normal de trabajo

• cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según corresponda.

• Permanencia de las lecturas

• Constancia del cero

• Relación de exactitud (RE) > entre 3 y 10 a 1 (ejemplo RE = 3/1)

Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada de calibración” que

surge de un ensayo en el cual se comparan las lecturas de ese instrumento con otro que actúa como

elemento patrón.Circuito para estimar el error

de un amperímetro:

AcAp

RU

𝑅𝐸 =𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑐

𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑝

Es el error del propio instrumento (también se lo llama intrínseco).

Error propio del instrumento


28


Se puede estimar el error de un instrumento con un gráfico llamado “quebrada de calibración” que surge de

un ensayo en el cual se comparan las lecturas de ese instrumento con otro que actúa como elemento patrón.

Es el error del propio instrumento (también se lo llama intrínseco).

Error propio del instrumento

Condiciones:

• Temperatura ambiente constante, llamada decalibración (20 a 25ºC).

• Reducción de campos magnéticos externos.

• Posición normal de trabajo.

• cc ó c.a (sinusoidal, 50 Hz) según corresponda.

• Permanencia de las lecturas

• Constancia del cero

• Relación de exactitud (RE) > 3:1

Circuito para estimar el error de un voltímetro:

Vp

U

R

Vc

𝑅𝐸 =𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑐

𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑢𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑉𝑝


29


Construcción de la quebrada de calibración. Se toman valores de Vp y Vc y se los compara:

Vc [V]

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Vp [V]

9,98

20,05

31,02

39,50

51,80

59,00

69,70

81,10

89,50

99,60

110,95

119,95

129,20

140,80

148,75

Eabs inst [V]

0,02

-0,05

-1,02

0,50

-1,80

1,00

0,30

-1,10

0,50

0,40

-0,95

0,05

0,80

-0,80

1,25

Cr [V]

-0,02

0,05

1,02

-0,50

1,80

-1,00

-0,30

1,10

-0,50

-0,40

0,95

-0,05

-0,80

0,80

-1,25

Ejemplo:

Vc es un IPBM de alcance 150V

𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑐 − 𝑉𝑝

𝐶𝑟 = − 𝐸𝑎𝑏𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡

corrección

Se obtiene así una

corrección que se puede

aplicar a cada valor

medido


30


-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Valor Medido

Co

rrecció

n

V145

-0.25

Graficando la corrección en función de Vc se obtiene la Quebrada de CalibraciónVc [V]

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Cr [V]

-0,02

0,05

1,02

-0,50

1,80

-1,00

-0,30

1,10

-0,50

-0,40

0,95

-0,05

-0,80

0,80

-1,25

VVV 75,14425,0145 Ejemplo:

si con Vc mido 145V lo corrijo a:

El objetivo de una quebrada de calibración sería poder saber que error se comete

en cada punto de la escala, para poder así hacer una corrección por instrumento

a un valor medido cualquiera:


31


La quebrada de calibración también sirve para

detectar el error máximo cometido por Vc y con él la clase de Vc.

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Valor Medido

Co

rrecció

n

145 V-0.25

Vc [V]

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Cr [V]

-0,02

0,05

1,02

-0,50

1,80

-1,00

-0,30

1,10

-0,50

-0,40

0,95

-0,05

-0,80

0,80

-1,25

100.)(

Alcance

VVclase

máximopm

Para el ejemplo:

Vc era un IPBM de alcance 150V

%2,1100.150

8.1

V

V

5,1clase


32


1. Sin embargo, hay algunas consideraciones sobre todo lo anterior que convendría aclarar ahora…

Se consideró que el instrumento patrón indica el valor verdadero (y eso sabemos que no es

cierto).

Tampoco se consideró ningún error de lectura, en ningún instrumento si alguno es analógico.

No sabemos que si al repetir la experiencia obtendríamos los mismos valores.

Todo ello hace que tengamos que considerar también otros aspectos como veremos más

adelante, para mejorar nuestras conclusiones respecto del error del instrumento y su clase.

2. Si el ensayo realizado que determinó la quebrada de calibración tuvo por objetivo calcular la clase

del instrumento, entonces el ensayo se llama de “calibración” o de “contraste”.

En cambio, si tuvo por objetivo determinar si el error máximo del instrumento está dentro del margen

especificado por la clase que declaró un fabricante por ejemplo, se denomina ensayo de

“verificación”.


33


3. No siempre para calcular la clase se usa el alcance. En realidad, la clase se calcula como:

100.FiduciarioValor

Eclase máximo

donde:

Valor fiduciario: es el valor que por convención se toma en un instrumento para especificar su exactitud.

Ejemplos de valores fiduciarios:

• El límite superior del campo de medida (el alcance), en aparatos con „0‟ en un extremo no fuera de

escala.

• La suma absoluta de los valores extremos de la escala, en aparatos con „0‟ dentro de la escala.

• 90° eléctricos para cofímetros y fasímetros.

• La longitud total de la escala para aparatos con escala no lineal contraída


34


Valor fiduciario: 1 A y 100 V

respectivamente

Valor fiduciario: 240V

0 +35-15

mV

Valor fiduciario: 50mV Valor fiduciario: 53Hz

Ejemplos de valores fiduciarios:


35

Otros errores sistemáticos

Error por tendencia del observador

Se refiere a la técnica experimental que posee el operador que se repite siempre con la misma

intensidad y signo.

Error por efectos circundantes

Se refiere a los errores que se repiten en magnitud y signo al repetirse las mismas condiciones

experimentales ajenas al instrumento.

Ejemplos:

Modificación de una resistencia interna de un instrumento al cambiar la temperatura.

Modificación de una impedancia interna de un instrumento al cambiar la frecuencia.

Presencia de vibraciones, presión, humedad, campos magnéticos externos, etc.

Formas de onda de tensión o corriente distintas a la de diseño.


36




Errores Groseros:

Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación fallida de la

medición.

Errores Sistemáticos:

Son aquellos que se repiten en magnitud y signo en una serie de mediciones equivalentes

(en igualdad de condiciones). Se pueden desafectar del resultado, bajo ciertas condiciones.

Errores Accidentales:

Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo sino que siguen

leyes del azar. Se los suele llamar residuales. No se pueden desafectar del resultado.


37

Errores accidentales

Errores accidentales o fortuitos

Se refiere a los errores que inevitablemente están presentes, pero que siguen las leyes del azar. No se

los puede eliminar por eso se los llama “residuales”.

Estos errores no se repiten ni en magnitud ni en signo aunque se repitan las condiciones experimentales,

entonces solo un estudio estadístico puede caracterizarlos. No se pueden corregir.

Si se tiene información sobre mediciones repetidas se podrá conocer la distribución de frecuencia de

ocurrencia de esas mediciones. En general, dentro de las mediciones eléctricas hay tres distribuciones

que se usan comúnmente:

La distribución de Gauss La distribución rectangular

o uniforme

La distribución

triangular


38

Al no repetirse en magnitud y signo no se puede hacer ninguna corrección, pero sí, gracias a la teoría

estadística, se puede encontrar algún índice de dispersión, que con alguna probabilidad, (también

llamado nivel de confianza), defina un intervalo dentro del cual se encuentre el valor verdadero de la

medición, y usar ese índice de dispersión para calcular una incertidumbre como veremos más adelante.

Valor verdadero

Índice de dispersión (con bajo nivel de confianza)

Índice de dispersión

(con alto nivel de confianza)

Índice de dispersión

(con medio nivel de confianza)

Errores accidentales

Errores accidentales o fortuitos


39

Resumiendo lo visto…



Se deben detectar y eliminar.

De ser posible se deben determinar y desafectar

de la medida usando

alguna corrección.

De no ser posible desafectarlos contribuirán a la

incertidumbre.

Se deben estimar y

considerar en la

incertidumbre.

Entonces una medición tendrá esta forma general:

Valor medido + Corrección ± Incertidumbre

(por errores sistemáticos) (por errores fortuitos o sistemáticos no corregidos

por falta de alguna información)


40

Ejemplo integrador

Ejemplo:

Se mide una resistencia por el método corto con voltímetro y amperímetro.

El voltímetro indica 22,3 V es de clase 0,5 y alcance 25 V.

El amperímetro indica 145,5 mA es de clase 0,2 y alcance 150mA.

La resistencia interna del voltímetro es 100 kΩ con un error límite de 0,5 kΩ.

Suponga además que no se comete error de lectura en ningún instrumento.

Determine el valor de la resistencia y su error límite.


41

Ejemplo integrador

Solución: En este caso tendremos las siguientes fuentes de error relevantes:

1. El método empleado (error sistemático). Se puede aplicar una corrección.

2. Inexactitud en la medida de V (error del instrumento + lectura)

(como tenemos su signo porque no tenemos la quebrada de calibración no lo podemos corregir )

3. Inexactitud en la medida de I (error del instrumento + lectura)

(como tenemos su signo porque no tenemos la quebrada de calibración no lo podemos corregir )

CmRLímmétodoasistemáticm ECRR

En este caso debemos llegar a:


42

Ejemplo integrador

Solución:

1. Ya vimos que para este caso:

I I Im v r 𝑈𝑚 = 𝑈𝑟

3. Necesitamos calcular la corrección por método para aplicarla al valor medido.

Podemos usar la expresión del error sistemático de método deducida en la diapositiva 24 o deducirla

nuevamente usando esta vez la ley de propagación del error. En ese caso sería:

m

mm

I

UR

𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚= 𝑈𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝑈𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝑈𝑚 − 𝑈𝑟 = 𝑈𝑟 − 𝑈𝑟 = 0

𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚 = 𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 − 𝐼𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = 𝐼𝑚 − 𝐼𝑟 = (𝐼𝑣 + 𝐼𝑟 ) − 𝐼𝑟 = 𝐼𝑣

Aplicamos la ley

de propagación:

(con signo en este caso)

𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 𝜕𝑅𝑚

𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚

+ 𝜕𝑅𝑚

𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚

R Rm Por ende

2. Vimos que se comete un error sistemático de método ya que:


43

Ejemplo integrador

Solución:

Calcularíamos las derivadas parciales de

Entonces:

m

mm

I

UR

𝜕𝑅𝑚

𝜕𝑈𝑚=

1

𝐼𝑚

𝜕𝑅𝑚

𝜕𝐼𝑚= −

𝑈𝑚

𝐼𝑚2

(expresión que ya habíamos obtenido en la

diapositiva 24 por otro camino, lo que muestra

que la ley funciona…)

𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 1

𝐼𝑚 0 + −

𝑈𝑚

𝐼𝑚2 𝐼v

𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = −𝑈𝑚

𝐼𝑚2

𝑈𝑚

𝑅𝑣= −

𝑅𝑚2

𝑅𝑣

𝐸𝑎𝑏𝑠 método corto = 𝜕𝑅𝑚

𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝑈𝑚

+ 𝜕𝑅𝑚

𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑎𝑏𝑠 sistemático 𝐼𝑚


44

Ejemplo integrador

Solución:

Entonces la resistencia medida y corregida por el error sistemático de método sería:

métodoasistemátic

m

m CI

UR

2366,05,145

3,22

mA

VR

5012,153R

2366,0

100

5,145

3,2222

2

métodoasistemátic

V

m

m

métodoasistemátic

V

m

cortométodoabsmétodoasistemátic

C

K

mA

V

R

I

U

C

R

REC

2366,02646,153R

(Nota: Una corrección es el error cambiado de signo)


45

Ejemplo integrador

4. Nos queda por considerar los errores propios del voltímetro y del amperímetro.

• Como no tenemos sus quebradas de calibración como para corregir los valores medidos, por lo

que calculamos el error límite de cada medida (un valor ±).• Al ser ± los trataremos como errores accidentales aunque no lo son.

• Usando la ley de propagación del error nuevamente podemos determinar ahora como influyen

los errores límite de cada uno de los instrumentos en el resultado, calculando el error límite de

Rm

Aplicamos la ley de propagación:

(sin signo definido en este caso) ±𝐸𝑙í𝑚 𝑅𝑚= ±

𝜕𝑅𝑚

𝜕𝑈𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝑈𝑚 +

𝜕𝑅𝑚

𝜕𝐼𝑚 𝐸𝑙í𝑚 𝐼𝑚

VVAlcanceClase

E VV

Ulím m125,0

100

255,0

100

mAmAAlcanceClase

E AAIlím m

3,0100

1502,0

100

CmRLímmétodoasistemáticm ECRR

Solución:


46

Ejemplo integrador

v

m

m

m

m

v

m

m

m

R

I

U

I

U

R

R

I

UR

2

2

vmmCm Rlím

v

Ilím

m

Ulím

m

Rlím ER

RE

I

RE

U

RE

Donde:

v

m

m

m

m

R

I

U

I

UR

2

ARI

U

IU

R

vm

m

mm

1...8939,6

212

23

2

2...5938,1056

2

A

V

RI

U

I

U

I

R

vm

m

m

m

m

6

2

2

10349,21

vm

m

v RI

U

R

R

Solución:


47

Ejemplo integrador

Solución:

179889,1236692,05,145

3,22

mA

VR

vmmCm Rlím

v

Ilím

m

Ulím

m

Rlím ER

RE

I

RE

U

RE

50010349,23,059,1056125,0

18939,6 6

2mA

A

VV

AE

CmRlím

179889,1CmRlímE

Finalmente:

𝑅 = 153,5 ± 1,2 Ω

Ley de Propagación del Error - Panel de Estado · Valores de la serie de Taylor para valores de...

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