UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERÍA – ESCUELA DE ELÉCTRICA

LEVITADOR MAGNETICO CON CONTROL PID

Bravo Luis a, Mogrovejo Wilson a,*, Quezada Fausto a,**, Rodriguez René a

(a) Universidad de Cuenca. Av. 12 de Abril y Agustín Cueva. Cuenca, Ecuador. Tel. +5937405100021

(*) wfedoml1@gmail.com, (**) fausto_quezada@outlook.com.

Resumen

Este proyecto consiste en el diseño de un levitador

magnético con la aplicación de un controlador

PID(Proporcional, Integrador, Derivador), usando el

circuito integrado LM741, sin embargo el presente

trabajo muestra la modelación matemática, y los

resultados reales(gráficos) del circuito practico.

Abstract

This project consist in the design of a magnetic

levitator, with PID application (Proportional, Integrate,

Derivation) using the integrate circuits LM741,

however the present paper including the mathematic

modeling, and real results (plots) of practice circuit.

1. Introducción

En esta articulo veremos el uso de la series de

Fourier, Transformada de Fourier, Transformada

discreta de Fourier, y La transformada rápida de Fourier,

con el objetivo de dar información necesaria que facilite

la compresión de los temas mencionados durante el

desarrollo del curso de Sistemas Lineales y Señales.

2. Modelo Matemático

El sistema de levitación se compone de un

electroimán que permanece fijo y el objeto levitante que

está debajo del primero, como se muestra en la figura 1.

Figura 1: Esquema del Levitador Magnético.

El electroimán está formado por un núcleo tipo “E”

laminado de material ferromagnético con alambre

esmaltado enrollado N veces a su alrededor (N vueltas)

y su modelo eléctrico es una inductancia de valor L.

La esfera (también de material ferromagnético) se

caracteriza por su masa m, la distancia de ésta con

respecto a la bobina x y su contribución al campo

magnético. En el caso de que 0x la inductancia

tendrá su valor máximo de M SL L , y para x la

inductancia presenta su valor mínimo, es decir, la

inductancia de la bobina es función inversamente

proporcional (decreciente) de la distancia x entre la

bobina y la esfera. Una aproximación práctica para

modelar este comportamiento es mediante la ecuación 1

[1]. Donde a es la constante de longitud para el sistema

completo (máxima distancia a la que puede estar la

esfera de la bobina).

( )x

aM SL x L L e

(1)

La inductancia ML puede ser expresada en función del

número de vueltas de la bobina del electroimán de la

siguiente manera 2

0M

N AL

i g

(1.1)

Donde A es la sección transversal del núcleo, N el

número de vueltas, g constante de gravedad y 0

permeabilidad de vacío. Por otra parte se tiene que la

energía almacenada en la bobina se puede calcular

median te la ecuación 2 [2]

21( , )

2W i x L i (2)

Donde i es la corriente instantánea que circula por esta;

y por tanto se puede calcular la fuerza que genera el

electroimán sobre la esfera a partir de la ecuación 3

2( , )

2

x

S aLdW i x

i edx a

(3)

Ahora si aplicamos las leyes de Newton al sistema de la

figura 1 y si consideramos el eje x como positivo hacia

abajo logramos obtener la siguiente ecuación diferencial

para la dinámica del sistema.

2 02

x

aSL e

x i gma

(4)

Con todos estos parámetros que anteriormente ya se

explicaron.

3. Realización del Levitador Magnético

En la figura 2 se puede ver que el levitador está

formado por un sensor de distancia y acondicionadores

de señal, un electroimán y el objeto que se va a hacer

levitar (una esfera metálica o moneda) un amplificador

de potencia para la bobina. Ahora bien este sistema se

va a implementar como una base de experimentación y

por conveniencia definiremos el voltaje de salida del

sensor y de entrada para el amplificador de potencia en

un rango de entre 0 y 5 voltios (de fácil uso para la

aplicación de circuitos lineales o microcontroladores)

[1].

Por lo antes mencionado presentaremos el siguiente

diagrama de bloques para la representación del sistema:

Figura 2: Diagrama de Bloques del Sistema

3.1 Electroimán.

Dado que utilizamos un electroimán ya fabricado de una

bobina voltométrica de un contador eléctrico, tenemos

los siguientes valores:

Área núcleo interno:4 21.44 .E m

Numero de espiras: 2000

Voltaje máximo: 50V.

Estos valores son ajustados a un transistor TIP31C

debido a que este dispositivo cumple con las

condiciones mencionadas.

Para la obtención del electroimán a partir del elemento

ya mencionado, procedimos a cortar las chapas del

núcleo para obtener una “E”, y de manera experimental

verificamos la fuerza que se obtenía, al aplicarle 50V de

corriente continua, era la necesaria para atraer la esfera

que requeríamos levitar.

Entonces los cuerpos empleados en la levitación fueron:

una moneda de 5 centavos USD, 10 centavos USD, y

una esfera de masa considerada entre unos 0.04Kg. y

una corriente máxima de hasta de 2 amperios en la

bobina.

En la figura 3 se describen los experimentos de tensión

vs distancia de atracción, donde se logró determinar que

la distancia óptima de levitación se daba a los 8

milímetros.

Mediante los cálculos tenemos que mientras mayor sea

la variación de la inductancia, tendremos una mayor

fuerza de atracción, por lo que debemos tener en

consideración un cierto rango de distancias en el cual se

logre la levitación de la masa en forma práctica.

Tomando estas consideraciones llegamos a tener la

siguiente expresión en unidades del sistema de MKS:

30.011481.46 1.24 10

x

L x e

(5)

Es posible determinar la corriente requerida a la que

trabaja el electroimán, pero como vamos a trabajar con

una bobina voltométrica con especificaciones ya

establecidas no lo realizamos en este caso.

Figura 3: Pruebas de atracción del Electroimán

3.2 Diseño del sensor de distancia.

Se debe considerar que la corriente no debe pasar de un

cierto rango, y a su vez la distancia también debe ser

adecuada, entonces hemos optado por utilizar un opto

transistor y un fotodiodo por las características de

actuación rápida que tienen éstos elementos. La

alimentación fue de 2V al fotodiodo y con una

resistencia en serie de 53 0hmm (valor encontrado de

dividir un voltaje de 5V para la corriente permisible de

90mA). Sin embargo el ángulo entre la horizontal

formada por el fototransistor y el fotodiodo debe ser

máximo 10°

Figura 4: Esquema físico de los sensores

Mediante un LM741 amplificamos la señal en un rango

de 0V correspondiente a 0mm y los 5V a la distancia

que esperamos en este caso de 8mm.

Se puede colocar un potenciómetro de precisión entre el

pin 6 y 2 para lograr un mejor funcionamiento. El

inconveniente con este circuito es su rango reducido de

operación pero en éste caso no es inconveniente.

Figura 5: Esquema eléctrico de los sensores

3.3 Diseño del Amplificador de Potencia

El amplificador de potencia de rápida respuesta es

fundamental para el correcto desempeño del sistema, y

dadas las características inductivas de nuestra carga el

amplificador requerido para este sistema deberá

alimentar la bobina con corriente continua, con un valor

instantáneo proporcional a un voltaje de referencia que

representa la variable que se manipulará en el sistema

de control. Para lograr esto usamos una conexión

sencilla con un transistor TIP-131 que opera en las zonas

de saturación y corte por lo que la bobina será sometida

a entre valores de voltaje max 50V V y 0V, a una

corriente max 1I A y cuando se somete a un voltaje

nulo, la corriente se descarga a través del diodo

(1N4548) que es un diodo de activación rápida y se usa

como protección de la bobina.

De esta forma actuamos sobre el encendido y apagado

del transistor para controlar el nivel de corriente que

circula por el electroimán.

Figura 6: Circuito de amplificación de potencia

4. Controlador PID

Figura 7: Esquema de un controlador PID

La figura presentada muestra un sistema de control

con retroalimentación típica ya sea de un elemento

sensor o transductor que mide un parámetro físico, tal

como la velocidad o temperatura, y lo convierte en un

voltaje o corriente.

La función básica de un controlador es la de comparar

el valor real de la salida c(t) de una planta, con la entrada

de referencia r(t), es la de determinar el error e(t) y

producir una señal de control que reducirá el error al

valor mínimo posible.

Ahora bien para lograr el éxito de un error cercano a

cero dependiendo del tipo de sistema, habrá la necesidad

de aplicar lo que se denomina controladores tipo: P, I,

D; y dependiendo de los requerimientos necesarios para

optimizar el sistema existe la posibilidad de combinar

dichos controladores como veremos a continuación:

Figura 8: Respuesta al escalón de un sistema en lazo

cerrado por: a) Controlador P b) Controlador PD c)

Controlador PID

Un controlador que consiste solo en una ganancia es

llamado proporcional (P). La velocidad a la cual la

salida puede responder a la señal de error depende de la

ganancia del controlador. Por tanto aumentando dicha

ganancia, el tiempo de subida (Ts) del sistema puede ser

decrementado, permitiendo que la salida siga a la

entrada más rápidamente. Sin embargo, esto agrega el

problema de provocar un aumento del sobresalto,

causando oscilaciones en la salida, lo que llevaría al

sistema ser inestable. Además, una constante de

ganancia amplifica el ruido a alta frecuencia, causando

una disminución del ancho de banda del sistema de

control.

Una forma de reducir el tiempo de subida sin aumentar

el porcentaje de sobresalto es agregar un término

derivativo (D) al controlador P, dado que la derivada de

la señal de error provee información acerca de cómo el

error va cambiando con respecto al tiempo. De este

modo, el controlador puede estimar valore futuros de la

señal de error y compensar adecuadamente. Cabe

recalcar que un problema asociado al PD es que

funciona como un filtro pasa-alto. Por ello, el

controlador PD amplifica el ruido de alta frecuencia, lo

que reduce la estabilidad del sistema total.

Para eliminar el error de estado estacionario, se agrega

un término integral (I) que posibilita al nuevo

controlador PID recordar datos anteriores, permitiendo

así también dar una salida distinta de cero para una

entrada nula. Por tanto dicho controlador permite tener

un error de estado estacionario igual a cero. Como

contrapartida el integrador adiciona un polo en la

función de lazo cerrado, con lo cual la estabilidad del

sistema decae.

4.1 Detalles matemáticos y eléctricos de los

controladores

A continuación se muestra las configuraciones

electrónicas del amplificador operacional con sus

respectivas modelaciones matemáticas, para obtener los

diferentes controladores, cabe recalcar que se deberá

tomar en cuenta la estabilización del sistema para la

aplicación de cualquiera de los siguientes controladores.

Amplificador operacional básico[2]

Figura 9: Esquema eléctrico de un A.O.

En la figura se muestra la conexión del circuito básico

de un amplificador operacional, que nos permite obtener

una señal con ganancia constante y con señales de

entrada y salida desfasadas.

1 1

Vo RfGanancia A

V R

(6)

Ahora un amplificador de ganancia unitaria existe si

Rf=R1; es decir obtendremos una señal de salida

únicamente desfasada 180ª, o también:

Figura 10: Esquema eléctrico de un seguidor unitario

Amplificador operacional integrador

Si cambiamos el componente de retroalimentación, con

un capacitor, la conexión se denomina integrador, donde

la impedancia capacitiva puede expresarse como:

1 1

* *Xc

jw C S C (7)

Y resolviendo de Vo/V1 se tiene

1* *

V VoI I S C Vo

R Xc

(8)

1

1 * *

Vo

V S C R

(9)

que expresada en el dominio del tiempo tenemos:

1

1( ) ( )Vo t V t dt

RC (10)

Figura 11: Esquema eléctrico de un amplificador

integrador

Amplificador operacional diferenciador

Cambiando la resistencia de entrada por un capacitor en

la figura 7 obtenemos la siguiente ecuación mediante

procedimientos similares al anterior.

1( )( )

V tVo t RC

dt

(11)

Figura 11 Esquema eléctrico de un amplificador

derivador

Los controladores mencionados se pueden combinar

entre sí (PI, PD, PID); sin embargo para su aplicación se

deberá tomar en cuenta la necesidad de la estabilidad del

sistema; que para el presente proyecto fue necesario el

controlador PID que se muestra a continuación:

Controlador PD

Figura 12: Esquema eléctrico de un controlador PD

Controlador PI

Figura 13: Esquema eléctrico de un controlador PI

Controlador PID

Figura 14 Esquema eléctrico de un controlador PID

Figura 15: Funciones de transferencia de elementos

electrónicos [4].

5. Cálculo de la función de transferencia

El cálculo de la función de transferencia como la

relación de voltaje que entrega el sensor entre el voltaje

del electroimán obtenemos

Deducción de la función de transferencia

2

3

1

2( )( )

( ) 2

*

o

o

o

CIVs sG s

V s CIRS S

L m x

(12)

Donde L y R representan la inductancia de la bobina,

(son datos que se obtuvieron experimentalmente) y m la

masa de la esfera.

Las cantidades de Io y Xo son la corriente de la bobina

y la posición en el punto de operación y a partir de esto

podemos calcular nuestra constante C ya que en este

punto de operación la fuerza magnética es igual a la

fuerza de gravedad dada por la ecuación.

2

4

*

1.555 50 0.22

0.008 12

oo

o

E o

o

If C m g

x

C I A

x m m gr

De esta manera podemos determinar nuestro sistema de

suspensión magnética mediante el siguiente diagrama

de bloques en la figura 16:

Figura 16: Diagrama de bloques de un sistema de

suspensión.

1

2( )

2 2

* *

o

o o

o o o o

CIG s

I IR C CS S S

L m x x m x x

0.0341

( )102.26 49.41 49.41

G sS S S

70

lim ( ) 1.3659Es

Kv G s Kv

( ) * ip D

KG s K K S

S

10.0341(1 * )

( )102.26 44.41 44.41

DK SG s

S S S

( )( )

1 ( )

G sT s

G s

3 2

1

1 ( ) 102.265

(0.0341* 2441.35)* 0.0341D

G s S

K S

1

3 2

1 ( )

0.0341* *1

102.26* 2441.35* 0.0341

eq

D

G s

K S

S S S

Usando Matlab y tomando 1DK del lugar geométrico:

1

3 2

0.0083

0.0341*( )

102.26* 2441.35* 0.0341

D

eq

K

SG s

S S S

:

0.0341* 1 0.0083( )

102.26 49.41 49.41

Ahorabien

G ss S S

6. Desarrollo práctico del levitador

magnético

Los parámetros físicos que se tomaron en cuenta

fueron los siguientes:

- Esfera metálica para que el campo magnético

sea uniforme sobre este elemento y así

optimizar el funcionamiento.

- Luz infrarroja para obtener una alta velocidad

de respuesta de retroalimentación.

- Soportes no ferromagnéticos para sostener la

bobina, de manera que evite la desviación de

campo magnético.

De manera experimental se realizaron las primeras

pruebas con controladores PD y controladores PI,

siguiendo los circuitos presentados en 4.1, sin embargo

no obtuvimos éxito con la levitación de la esfera

metálica por tanto recurrimos a la investigación sobre la

implementación del controlador PID, que permitió

cumplir con el objetivo de levitar la esfera metálica.

Figura 17: Circuito electrónico real

Los circuitos de control y de fuerza que conforman este

proyecto están aislados por un opto acoplador, por esta

razón podemos analizar cada uno por separado.

6.1 Circuito de control

Para verificar el funcionamiento de los elementos de

retroalimentación, tomamos en cuenta la salida de error,

y al interrumpir el paso de luz infrarroja del fotodiodo

hacia el fototransistor, mediremos una variación de

voltaje cada vez que ocurra este procedimiento; de no

ser así hubiese sido necesario utilizar la base del

fototransistor para insertar una corriente que permita

una mayor sensibilidad en la recepción de luz.

Prueba uno: Con interrupción de luz. Fig.18

Figura18: Señal de error con interrupción de luz

1 Software libre WINSCOPE disponible en:

http://winscope.software.informer.com/1.5/

Prueba dos: Sin interrupción de luz Fig. 19.

Figura 19: Señal de error sin interrupción de luz

Utilizando el programa Winscope1 2.5v obtuvimos la

siguiente señal de control Fig.20:

Figura 20: Señal de control entrante en el

optoacoplador

El circuito de fuerza es sencillo puesto que consiste en

un transistor que trabaja como interruptor de manera que

encienda y apague el electroimán; cabe recalcar que

para proteger la bobina se colocó un diodo rápido en

conexión anti-paralela.

La alimentación de dicho electroimán está definido por

2 transformadores con sus bobinados primarios en

paralelo y los secundarios de 24v y 12v en serie de

manera que no se contrarresten y den un voltaje en

terminales igual a 36v.

Mediante un puente de Graetz la corriente alterna es

rectificada y luego filtrada con un capacitor que elimina

el rizado y aumenta el voltaje eficaz de la corriente

continua aplicada a los terminales colector emisor del

transistor, al cual se ha colocado en disipador de calor.

Para la calibración de la sensibilidad del fototransistor

fue únicamente necesario variar la resistencia que se

muestra en el circuito mediante un potenciómetro;

finalmente colocando la esfera entre el límite de

distancia permitido por los sensores, el peso de la esfera

fue contrarrestado con la fuerza de atracción del

electroimán, lo cual mantiene levitando al objeto.

En la figura 21 se observa el esquema electrónico para

el comando de los sensores:

Figura 21: Diagrama eléctrico del sistema de

retroalimentación

7. Referencias

7. Materiales Empleados

- Optoacoplador PC-871

- Transistor TIP 31C

- Resistencias:

20KΩ

2.2KΩ

1.8KΩ

2.2MΩ

680kΩ

470kΩ

- Capacitores :

100nF

2200uF

- Amplificadores Operacionales

LM-741

- Puente de Graetz

- Potenciómetro

- Bobina

- 2 Transformadores

- Fuente +Vcc y –Vcc

- Alambre multipar

- Fusibles

- Fototransistor

- Diodo de luz infrarroja

- Esfera metálica

9. Anexos

Datasheet LM741CM

[1] Angel Abusleme H., Aldo Cipriano Z. “Experiencia

De Levitación Magnética De Bajo Costo Para

Laboratorio De Control Automático”, Universidad de

Chile.

[2] A.E. Fitzgerald, Stephen D. Umans, and Charles

Kingsley Jr, “Maquinas Eléctricas”, McGraw-Hill

Interamericana 2004.

[3] Boylestad Nashelsky. “Electrónica: Teoría de

circuitos y dispositivos electrónicos” Octava Edición

[4] Benjamin C. Kuo “Sistemas de control Automático”

Séptima Edición

[5] Helenna Bass. “Circuitos Eléctricos”.

Datasheet Fototransistor

Dimensiones:

Datasheet TIP31C

Datasheet rectificador de puente:

Datasheet OPTOACOPLADOR PC817

DIAGRAMA FINAL DEL CONTROLADOR PID

CASA ABIERTA 2008 FACULTAD DE INGENIERA