PRCTICA 4:Induccin electromagntica y frenado magntico.Resumen:En la siguiente prctica se estudian los fenmenos de induccin electromagntica provocados por el pasaje de un imn por el interior a un medio conductor; en nuestro caso, un tubo de aluminio y un alambre de cobre de forma solenoidal. El pasaje del imn por el interior del tubo de aluminio provoca un cambio en el flujo magntico para una seccin dada del tubo. Esto produce corrientes en el tubo que generan un campo magntico opuesto al del imn y de esta forma frenan la cada del mismo. Por otra parte, si se hace la misma experiencia con un solenoide de alambre de cobre se produce el mismo fenmeno pero esta vez el frenado es mucho menor (se espera que sea despreciable). La principal diferencia con la anterior experiencia radica en que el movimiento se espera sea aproximado a una cada libre y en la posibilidad de efectivamente medir la corriente inducida en el alambre. Se logr calcular la aceleracin gravitatoria con un error porcentual menor a 2%, la velocidad de cada por el tubo de aluminio con gran precisin y la conductividad del aluminio con un error porcentual menor a 35%.

Joaqun Chadicov, Nahuel Barrios, Carlos Vega.

Introduccin:Ley de Faraday:La ley de induccin electromagntica de Faraday fue el resultado de una serie de experimentos realizados por Michael Faraday en 1831 que ponen en evidencia la relacin que existe entre el campo magntico y la fuerza electromotriz generada por dicho campo en un circuito cerrado. Esta ley es de gran importancia para el funcionamiento de motores elctricos, transformadores y generadores de corriente, pero no solo eso, sino que adems resulta ser un pilar esencial en la teora del electromagnetismo de Maxwell. La ley de Faraday establece que la fuerza electromotriz (FEM) sobre un circuito cerrado es proporcional a la variacin con respecto al tiempo del flujo magntico sobre una superficie delimitada por el circuito. Una corriente elctrica es un desplazamiento de partculas cargadas, en general electrones. Los tomos tienen electrones que ya de por s estn en movimiento, y si se trata de tomos de un material conductor, como puede ser un metal, los electrones ms externos de los tomos se mueven prcticamente libres. Las partculas de un material en equilibrio trmico tienen ya de por s una energa cintica proporcional a la temperatura del material, lo que quiere decir que el desplazamiento mencionado es en realidad un promedio de las velocidades de los portadores de carga del material. Los electrones, al desplazarse, chocan con los ncleos de los tomos del material, cedindole energa al mismo. La fuerza electromotriz (FEM) es la energa por unidad de carga que permite a los electrones seguir avanzando a pesar de los choques. Quiere decir entonces, que la FEM es un potencial (aunque no en el sentido matemtico estricto) para el campo elctrico, es decir:

Esto ya es bastante revelador, ya que segn la ley de Faraday, si

es un anillo metlico, al acercarle o

alejarle un imn en la direccin del eje del anillo estamos variando el flujo magntico sobre el mismo y entonces la integral anterior es no nula, lo que muestra que el campo elctrico E es no conservativo cuando hay conduccin. El flujo magntico se define como;

La ley de Faraday se escribe entonces de la siguiente manera:

Donde E es el campo elctrico, B el magntico y

simboliza el borde de la superficie S.

Aplicando el teorema de Stokes a la ecuacin anterior obtenemos la ley de Faraday en su forma diferencial:

Por argumentos de continuidad de

y B resulta,

Que es una de las ecuaciones de Maxwell y uno de los axiomas para la teora del electromagnetismo: 1) 2) 3) 4)

En esta prctica se tratar de comprobar (una vez ms) la Ley de Faraday mediante experiencias cuyo modelo terico se describe a continuacin.

Modelo terico:En la primera experiencia dejamos caer un imn por el interior de un tubo de aluminio. Contamos con un imn de forma aproximadamente cilndrica, cuyos polos se encuentran en los centros de las tapas del cilindro. Supondremos que los ejes del imn y del tubo coinciden durante la cada. En coordenadas cilndricas, con el eje z coincidiendo con el eje del tubo (y del imn), esto se expresa como;

Aplicando la forma diferencial de la ley de Faraday a un campo E obtenemos la siguiente expresin:

De donde deducimos que,

Adems sabemos que

, por el siguiente argumento:

Est claro que al no haber cargas libres fuera del aluminio no puede haber FEM inducida, es decir que el campo elctrico no circula. Podemos considerarnos, por ejemplo, una curva contenida en el tubo de aluminio que solo tenga componente radial y vertical como se muestra en la figura:S

NN

B

Para el caso anterior, el campo magntico B es paralelo a la superficie determinada por la curva dibujada. En general el campo B ser paralelo a la superficie determinada por cualquier curva que solo tenga componentes radiales y verticales. Pero siendo as, Bn=0 para todo versor n normal a dicha superficie y el flujo magntico es cero en todo momento, por lo que su derivada temporal tambin ser nula. Entonces, por la ley de Faraday, deducimos que no hay FEM inducida en la curva, es decir que las componentes de E paralelas a la curva (radial y vertical) son cero; . El rotor de E se escribe entonces;

Teniendo en mente que el campo elctrico solo tiene componente segn

, estamos ahora en

condiciones de calcular algn parmetro del experimento y calcularlo por el estipulado, en nuestro caso la aceleracin gravitatoria g y la conductividad del aluminio . Las cargas en el imn se encuentran en equilibrio electrodinmico, pues si no fuera as habra corrientes que solo podran estar generadas por variaciones de flujo magntico, pero el campo magntico sobre el imn cayendo a su velocidad terminal es constante; es el del mismo imn ms uno generado por las corrientes en el tubo, las cuales se mueven junto con el imn. Como cae a velocidad constante sabemos que el campo producido por las corrientes tambin debe ser constante para que la fuerza neta sobre el imn sea nula. La fuerza de Lorentz para cada carga del imn resulta entonces nula:

Pero el campo elctrico de la ecuacin anterior es ni ms ni menos que el inducido por el propio imn. A su vez, el aluminio es prcticamente un material hmico (siempre que se encuentre en equilibrio trmico, como se espera sea en nuestro caso), as que podemos expresar la densidad de corriente como sigue;

Entonces, la intensidad de la corriente que circula por una seccin de alto dz del tubo es;

Donde es el espesor del tubo. Sabiendo esto podemos calcular la fuerza que ejerce una seccin del tubo de alto infinitesimal sobre el imn:

Lo que resta ahora es resolver la integral que aparece en la ecuacin anterior. Para ello aproximaremos al imn como un dipolo magntico:

Donde mB es el momento magntico total del imn. Como la longitud del tubo es mucho mayor que su radio R, la expresin para la fuerza resulta;

Materiales:Tubo de aluminio Radio R=1.5cm, espesor =2mm Tubo de plstico Alambre de cobre galvanizado Imn de geometra cilndrica Masa m=1.4g Sensor Hall Amplificador de voltaje Osciloscopio y PC

Procedimiento:

Se enrolla el alambre de cobre alrededor de cada uno de los tubos de forma de que quede bien apretado y que cada vuelta quede lo ms horizontal posible. Esto se hace para distintas secciones de los tubos; en las secciones donde el alambre no se enrolla, se lo adhiere al tubo tal que quede lo ms paralelo al eje del mismo posible. Se miden luego las distancias a las que se encuentra cada uno de los bobinados de alambre en el tubo, para cada tubo. Estas distancias (medidas al punto medio de cada bobinado) fueron: Tubo de aluminio z(cm) = 6.2, 16.4, 26.2, 36.0, 46.3, 56.1, 65.9 Tubo de plstico z(cm) = 3.2, 13.3, 23.2, 33.1, 43.4 Luego se conectan los extremos del alambre de cobre de un tubo al amplificador de voltaje, y este ltimo al osciloscopio, el cual va conectado a un PC que recibe y guarda la seal. Una vez armado el dispositivo y asegurndose de que el tubo a estudiar est perfectamente vertical, se suelta el imn desde el comienzo del tubo, tratando de que caiga con una de sus caras hacia abajo y se recibe la seal de voltaje en el computador. Para calcular el momento dipolar magntico mB del imn se tomaron medidas de intensidad de campo magntico sobre el eje del imn a distintas distancias y se ajust mB modelando el imn como un dipolo magntico ideal. Las medidas de campo magntico de tomaron con un sensor Hall (o punta Hall), el cual aprovecha el efecto Hall para dar un valor de campo magntico. El efecto Hall se observa cuando se hace circular corriente a travs de una placa metlica que se encuentra sometida a un campo magntico. Supongamos la situacin en la que la placa se encuentra perpendicular a un campo magntico uniforme, como se muestra en la figura; i

v

F

B

i Una corriente que circula implica cargas que se mueven en el sentido de la corriente con una cierta velocidad v. Estas cargas atraviesan el campo magntico B que les provoca una fuerza F = q (v x B) perpendicular a la velocidad y al campo, es decir hacia uno de los lados de la placa (dependiendo del signo de q). Esto produce una acumulacin de portadores de carga en uno de los lados de la placa, y para que la carga se conserve debe aparecer una carga opuesta del lado opuesto de la placa. El sistema se equilibra cuando la fuerza magntica es igual a la atraccin electrosttica entre las cargas a los lados de la placa, es decir;

Donde d es el ancho de la placa y VH es el potencial Hall que se mide en el sensor Hall. Si la intensidad se mantiene constante este voltaje es proporcional al campo magntico. Antes de usar un sensor Hall es necesario calibrarlo, es decir, encontrar el factor de proporcionalidad vd entre VH y B. Esto se logra midiendo el potencial Hall para un campo conocido, como puede ser el producido en el interior de un solenoide largo por la que corre una intensidad i conocida. Entonces el campo magntico en el interior del solenoide es;

Resultados:Para empezar vale la pena mencionar que se prob dejar caer el imn por el tubo metlico con el dispositivo apagado y se observ, como era de esperarse, que el imn demora mucho ms en caer de lo que demorara en una cada libre. An ms, si se lo observa desde la parte superior del tubo resulta casi evidente que la velocidad de cada es constante dentro del tubo. Esta observacin, ya por si sola, nos indica que efectivamente tiene que haber algn fenmeno de induccin electromagntica responsable de lo observado. Dicho esto estamos en condiciones de hacer un anlisis ms cuantitativo del problema. Al pasar por cada bobinado del tubo, el imn genera una corriente en el alambre de cobre que es amplificada y recibida en el PC. Se graficaron estos datos para cada uno de los tubos y se obtuvo;

Como se puede observar en el primer grfico (tubo de plstico), el pasaje del imn genera una perturbacin en el voltaje recibido, y dado que los bobinados estn suficientemente espaciados no afectan significativamente la cada del imn, es por esa razn que se observan picos de voltaje cada vez ms elevados y menos separados a medida que avanza el tiempo; el imn cae acelerado y el cambio en el flujo magntico por cada bobinado resulta mayor. En cambio, en el segundo grfico (tubo de aluminio) se observan perturbaciones en el voltaje que parecen equidistantes en el tiempo y de amplitud muy similar. Es de notar que el ruido recibido en este caso es mucho mayor. No es claro el origen del ruido, pero podra deberse a oscilaciones del imn durante la cada, lo que generara corrientes parsitas fluyendo en direcciones fuera del plano horizontal. Dichas corrientes produciran un campo magntico variable que induce una corriente de forma inesperada en las espiras del bobinado, el cual va por fuera del tubo. Se calcul el tiempo en el que el imn atraviesa cada uno de los bobinados para cada grfico como la media entre el momento en que se da el primer mximo (o mnimo) de la perturbacin y el momento en que se da el ltimo para dicha perturbacin. El imn cae con velocidad constante en el tubo de aluminio; y con aceleracin presuntamente constante en el segundo, la cual asumimos es g, la aceleracin gravitatoria;

Se realiz un ajuste lineal de la posicin z en funcin del tiempo para el tubo de aluminio y un ajuste cuadrtico para el tubo de plstico. Los resultados fueron;

Esto fue posible gracias al comando ginput de Matlab que permite tomar las coordenadas de puntos de un grfico manualmente. Debido a lo artesanal de la labor el proceso se repiti 10 veces y se obtuvieron por tanto 10 valores de g y v, y luego se promedio en dichos valores. A continuacin se comparan los grficos de posicin en funcin del tiempo para los valores medidos y los correspondientes a los ajustes realizados.

Como se puede ver, la desviacin de g con respecto a su valor estipulado de 9.82m/s 2 es chica, solo un 1.9% de error porcentual, sin embargo el error obtenido no llega a cubrir este rango, lo cual es bastante razonable ya que es de esperar que los bobinados del tubo tengan algn efecto en el movimiento del imn, producir alguna fuerza de frenado que haga que el valor de aceleracin obtenido sea menor que g, tal y como sucedi. Por ltimo se calcul la conductividad del aluminio segn la ecuacin vista en el Modelo terico;

Pero para ello es necesario calcular el momento magntico mB del imn antes. Esto se logr usando un sensor Hall (o punta Hall), con el cual se midi el campo magntico producido por el imn sobre el eje del mismo a distintas distancias. Modelando al imn como un dipolo magntico podemos conocer el momento magntico usando el comando fminsearch de Matlab para la ecuacin,

El resultado obtenido fue: Y la grfica de B sobre el eje z del imn en funcin de la distancia z se muestra a continuacin.

Como se puede apreciar de la grfica, si bien la curva obtenida ajusta los datos de forma razonable, existe una desviacin con las medidas considerable, que probablemente responda a haber modelado el imn como un dipolo magntico, modelo que resulta algo pobre para un objeto del tamao del imn estudiado (aprox. 1cm de dimetro). Ahora si estamos en condiciones de calcular la conductividad del aluminio. El resultado obtenido fue: Cuando el valor estipulado para la conductividad del aluminio a una temperatura de 20oC (temperatura similar a la del laboratorio) es de 3.78 107-1m-1, es decir que la desviacin en error porcentual es de 34.9%.

Conclusiones:Como ya se mencion anteriormente, se obtuvo un valor para la aceleracin gravitatoria de (9.610.09)m/s2 con una desviacin respecto al valor estipulado de 1.9%. Es interesante observar que an sumando el error en la medida no se llega al valor estipulado (9.70m/s2 y 9.82 m/s2 respectivamente). Esto claramente es debido a que la interaccin de los bobinados en el tubo con el imn generan una fuerza de frenado que no es despreciable como se lleg a creer en un principio. Tal vez reduciendo el nmero de vueltas de los bobinados se podra despreciar dicha fuerza, pero la corriente inducida sera tambin muy pequea y podra ser significativo el ruido en la seal. Otra opcin es considerar la fuerza que le produce cada bobina al imn y estimar el retardo en la cada. No se podra haber pedido ms respecto al resultado de la velocidad terminal en el tubo de aluminio. Se midi una velocidad de (0.190.01)m/s constante que ajusta los datos con gran precisin como se puede ver en el grfico de posicin vs tiempo para el tubo de aluminio. Esto no es menor, es una

confirmacin importante de que el modelo empleado es muy aproximado y es a su vez una clara consecuencia de la ley de Faraday. En cuanto al resultado de la conductividad del aluminio, se obtuvo un valor de =2.46x107-1m-1 , que es del mismo orden de magnitud que el valor estipulado (3.78 107-1m-1), y tiene una desviacin porcentual con este ltimo de 34.9%. No es un error pequeo, pero hay que tener en cuenta que el valor de vara con la temperatura, la cual no fue medida en su momento, pero ms an depende del momento dipolar magntico, el cual se obtuvo modelando al imn como un dipolo magntico ideal, y a pesar de que se obtuvo un valor que ajusta razonablemente este modelo, el clculo del momento para cada valor de distancia e intensidad de campo magntico mostraba que el modelo es en realidad inadecuado para el imn usado, ya que se obtuvieron valores de momento muy distintos para distintos pares distancia-campo, que adems eran decrecientes con la distancia, cuando segn la ecuacin debera permanecer constante. No solo el modelo del dipolo podra estar fallando, sino tambin la geometra imperfecta del imn. Tambin hay que tener en cuenta que la barra est formada por otros materiales adems de aluminio, que adems podran estar distribuidos no uniformemente a lo largo del tubo. Este podra ser un factor muy significativo a la hora de calcular la conductividad del tubo. En fin, si bien el valor de conductividad obtenido no estuvo dentro de lo esperado, los resultados muestran una gran concordancia con las suposiciones ms importantes hechas en esta prctica, y en particular es otra confirmacin de la ley de Faraday.