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Resumen— Se presenta el análisis, diseño y funcionamiento del prototipo experimental de un sistema de levitación por atracción electromagnética para un balín metálico, cuyas características se consideran para definir el modelo matemático del sistema propuesto. Por la naturaleza del sistema, dado que la planta a controlar es no lineal, se obtiene una representación en variables de estado lineal de segundo orden inestable, linealizada alrededor de un punto de equilibrio. Para su control, la planta se lleva a un régimen de comportamiento estable. Para ello, se utiliza un compensador de atraso-adelanto de fase digital. El prototipo mantiene el efecto de levitación a través de un campo magnético generado por una corriente controlada por un transistor de potencia, la cual circula a través de una bobina. La posición del objeto levitante se determinada con sensores ópticos infrarrojos. El sistema de control digital que se propone para este sistema se implementa en SimulinkMR y su funcionamiento se verifica usando una tarjeta de adquisición de datos Sensoray modelo 626.

Palabras clave— Sistemas de Levitación, Controladores para levitación, Levitación por atracción electromagnética.

I. INTRODUCCIÓN

OS sistemas de levitación electromagnética han sido objeto de estudio en las últimas décadas por la

importancia que tienen en la disminución de la fricción de Coulomb debido al contacto mecánico. En la industria, estos sistemas se han implementado en varias aplicaciones; por ejemplo, en rodamientos de bajo roce, sistemas de aislamiento de vibraciones, suspensión de rotor superconductor de giroscopios, actuadores libres de contacto, en sistemas de transporte terrestre de alta velocidad con los trenes de levitación magnética (Maglev) [1][2]. Su principio de funcionamiento ha sido estudiado por diferentes naciones, principalmente Alemania y Japón. Desde los años setenta, el sistema de sustentación de los trenes Maglev se basa en la atracción (diseño alemán Transrapid) o en la repulsión magnética (diseño japonés Shinkansen) [3].

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Básicamente existen dos técnicas para desarrollar sistemas

de levitación que usan la fuerza electromagnética. Una de ellas es la que emplea la fuerza repulsiva, en la que el sistema es estable en su eje vertical y tiene un punto de equilibrio natural. La otra técnica emplea la fuerza de atracción, en el cual el cuerpo es atraído por un flujo magnético en contra de la gravedad, y asume que, el punto de equilibrio entre la fuerza de atracción y la gravedad es inestable. Esta última técnica requiere por tanto de un sistema de control.

Los sistemas de levitación electromagnética por atracción son no lineales e inestables a lazo cerrado. Una alternativa para el estudio, análisis y diseño de estos sistemas es linealizando las ecuaciones diferenciales que gobiernan su dinámica, de manera que se encuentren las condiciones que permitan estabilizarlos [4].

El control de los sistemas de levitación por atracción electromagnética ha sido muy estudiado y diversas propuestas se han realizado, Jiménez et al, [4] en el año 2005 propusieron el control del sistema a través de un compensador Proporcional-Integral-Derivativo (PID) implementado con amplificadores operacionales. Campos [1] en el año 2008 controla el sistema de levitación por medio de un controlador Proporcional-Derivativo (PD) analógico y evita el calentamiento de la bobina y la etapa de potencia con Modulación de Ancho de Pulso (PWM, por sus siglas en inglés). Por otro lado, Cruz [2] en el año 2008 propone la implementación de un sistema de control con un PID y una red neuronal que elimina las incertidumbres y otras dinámicas no modeladas. En este artículo se presenta la construcción, caracterización y control de un sistema de levitación electromagnética por atracción usando un compensador de atraso-adelanto de fase, implementado de manera digital a través de Simulink y una tarjeta de adquisición de datos Sensoray 626 [7].

II. ANÁLISIS DEL SISTEMA

El sistema de levitación electromagnética que se usa en este trabajo se muestra en la Fig. 1, consta de una bobina que funciona como electroimán que atrae y mantiene levitando a una distancia x una pequeña esfera metálica (balín) de masa M. La corriente que circula en la bobina debe producir una fuerza electromagnética suficiente para mantener al balín levitando sin que tenga contacto con la bobina. Esta bobina cuenta con núcleo de hierro con número aproximado de 600 vueltas de alambre esmaltado. La detección de la posición vertical del balín se realiza con un LED infrarrojo (IR) y un fototransistor. La señal detectada es la información usada en la realimentación del sistema de lazo cerrado.

Control de un Sistema de Levitación por Atracción Electromagnética

J. Moreno Sáenz, S. R. Hernández Reyes, M. A. Quiroz Juárez, O. Jiménez Ramírez y R. Vázquez Medina

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Para la caracterización de la bobina, se toma en cuenta las variaciones de la inductancia cuando el balín se aproxima o se aleja del núcleo del electroimán. Se toma como distancia de referencia x = 0 cuando el balín tiene contacto con la bobina, este se coloca en una base sujeta a un vernier para medir con exactitud la distancia con respecto a la referencia, a su vez, es medida la inductancia de la bobina. En la Fig. 2 se observa el cambio de la inductancia de la bobina de acuerdo con la posición del balín.

Fig. 1. Sistema de levitación.

Fig. 2. Inductancia de la bobina respecto a la posición del balín.

Sea L1 la inductancia de la bobina en ausencia del balín y L0

es la razón de cambio de la inductancia respecto a la distancia del balín, la inductancia de la bobina es una función dependiente de x y se representa matemáticamente [5] como:

L ( x )=LI +L0e (−x /a )(1)

donde а es una distancia constante y representa la constante de tiempo.

Para realizar la detección de la distancia se emplea el circuito mostrado en la Fig. 3. En él se ajusta el potenciómetro para mantener la salida del amplificador operacional a 5 V

cuando el balín no se interpone entre el fototransistor y el LED IR.

La caracterización de los sensores se realiza de manera similar a la caracterización de la bobina. El balín se va alejando de la referencia milímetro a milímetro y el voltaje de salida del circuito de detección de la posición se mide y con los datos adquiridos, se realiza la gráfica que se muestra en la Fig. 4.

Fig. 3. Circuito de sensado.

Fig. 4. Voltaje de detección de la posición del balín.

En la Fig. 4 se observa una recta con pendiente positiva que comienza aproximadamente en (7, 1.25) y termina en (10,5), se toma un punto intermedio de esta recta y se proyecta sobre los ejes posición-voltaje para obtener así la distancia d y el voltaje de referencia con los que va a levitar el balín. El sensor proporciona una función de transferencia Gs que es una constante, dicho valor es la pendiente de la recta en V/m.

La corriente que circula por la bobina para producir el campo para que el balín levite se calcula utilizando la ecuación (2):

(2)donde g = 9.81 m/s2 es la aceleración de la gravedad.De acuerdo con [5], la función de transferencia del levitador

en el dominio de Laplace se puede obtener a través de la ecuación (3):

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(3)Es importante destacar que las ecuaciones dinámicas del

sistema son no lineales, pero se linealizan alrededor de un punto de operación (I, d) para tener un modelo matemático lineal para analizar y diseñar el controlador.

III. MODELO MATEMÁTICO

El modelo matemático del sistema de levitación electromagnética se obtiene con base en las características de la bobina, el balín y el circuito de detección de posición. La bobina tiene una inductancia en ausencia del balín L1= 15.7 mH y con una variación de la inductancia L0 = 1.48 mH para un balín cuya masa M es de 0.008 Kg. La distancia a obtenida de la gráfica de la inductancia es de 0.0027 m y la distancia de levitación d es de 0.008 m. Sustituyendo en la ecuación (2) se obtiene que la corriente eléctrica I que circulará por la bobina es de 2.35 A. La etapa de detección proporciona una constante Gs de 1250 V/m. Sustituyendo estos valores en la ecuación (3) se obtiene la función de transferencia en el dominio de Laplace del sistema analizado:

(4)Sin embargo, como el sistema va a ser controlado por medio

de una computadora, se requiere un modelo discreto de la planta. Por ello, se aplica la transformada Z a G(s), utilizando un Retenedor de Orden Cero [8] y un tiempo de muestreo 𝛕=0.001 seg se tiene que:

(5)

donde z1 = 1.062 y z2 = 0.9415.Aplicando el análisis del lugar geométrico de las raíces para

una función de transferencia discreta, se dice que el sistema es estable si todos los polos se encuentran dentro del círculo unitario. Así, en la Fig. 5 se observa que el sistema definido en la ecuación (5) es inestable ya que la trayectoria del lugar geométrico de las raíces se encuentra fuera del círculo unitario.

Fig. 5. Lugar Geométrico de las Raíces del sistema de levitación magnética.

IV. COMPENSADOR DE ATRASO – ADELANTO DE FASE

De acuerdo al análisis del lugar geométrico de las raíces [4] de la Fig. 5 que se hace sin tomar en cuenta el signo negativo de G(z) el sistema no puede estabilizarse con un controlador proporcional debido a que las trayectorias están fuera del círculo unitario . Para llevarlo a un régimen estable empleando técnicas de control clásico, en necesario la adición de polos y ceros al sistema a través de un compensador.

El elemento de medición convierte la posición en una variable de voltaje dentro del rango de 0-5 V, la cual se utiliza como realimentación del sistema y se compara con la entrada de referencia. Esta comparación da como resultado una señal de error e(t) que se procesa por el compensador de atraso-adelanto de fase y genera una señal de control m(t) que alimenta al actuador (circuito de potencia). En la Fig. 6 se muestra el diagrama a bloques del sistema de levitación.

Fig. 6. Diagrama a bloques del sistema de levitación.

El compensador empleado en este trabajo consta de un compensador de adelanto y un compensador de atraso. La compensación por adelanto de fase acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema; mientras que la compensación por atraso mejora la precisión en estado estable pero reduce la velocidad de la respuesta. Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como al respuesta en estado estacionario, se usa el compensador de atraso-adelanto, que añade dos polos y dos ceros al sistema [6].

(6)

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Para estabilizar el sistema, todos los polos de lazo cerrado del sistema se deben encontrar dentro del semicírculo derecho unitario para tener una mejor respuesta. El compensador de adelanto de fase se usa para estabilizar el sistema, se añade el cero (Cade) cerca de los polos del sistema sin compensar (z1, z2) para atraer las trayectorias, y su polo (Pade) cercano al origen. El compensador de atraso debe tener la característica de que su polo y su cero se encuentran muy cercanos (catr ≅ patr ) para no alterar de manera significativa la respuesta transitoria. El diseño del compensador se realizó apoyándose en sisotool de MatLabMR como herramienta de diseño asistido.

V. RESULTADOS

Considerando la ecuación (6) y los valores obtenidos de la reubicación de los polos empleando sisotool de MatlabMR. Se logra controlar el sistema de levitación electromagnética. Esto se comprueba gracias a la simulación. En la Fig. 7 se observa la respuesta del sistema cuando la entrada es un escalon de 3.4 V, es evidente que el sistema es rápido pero no tiene seguimiento, por lo que cuenta con error en estado estacionario. Las variables graficadas son el voltaje de salida de la etapa de medición expresada en Volts contra el tiempo en segundos.

Fig. 7 Respues del sistema a un escalon.

A continuación en la Fig. 8 a) y b), se observa el comportamiento del sistema cuando a la misma referencia se le suma una señal periódica de frecuencia de 0.5 Hz y amplitud de 0.5 Volts.

Fig. 8 a). Respuesta del sistema al sumar a la referencia una señal cuadrada.

Fig. 8 b). Respuesta del sistema al sumar a la referencia una señal senoidal.

VI. CONCLUSIONES

En este artículo se presentó el control de un sistema de levitación por atracción electromagnética usando control por computadora y estabilizando el sistema con un compensador de atraso-adelanto de fase. El sistema controlado presentó buenas características a su salida. Es relevante destacar la importancia del periodo de muestreo, se observó que si el valor de τ era mayor (por ejemplo τ = 0.01) el balín no levitaba, aunque en el análisis matemático el sistema se podía estabilizar. Como trabajo futuro de busca determinar la τ crítica a partir de la cual el sistema pueda controlarse.

AGRADECIMIENTOSLos autores agradecen el apoyo financiero de los proyectos

SIP IPN 20120052 e ICYTDF 270/2010. J. Moreno-Sáenz y S. Hernández-Reyes agradecen el apoyo brindado por el Instituto de Ciencia y Tecnología del Distrito Federal – México por la beca de estudios otorgada.

REFERENCIAS

[1] P. J. C. Hernández, "Construcción y control de un levitador magnético." Director: Dr. Luís Arturo González Hernández y M. en C. Andrés Calvillo Téllez. Tesis de Maestría. Instituto Politécnico Nacional. Centro de Investigación y Desarrollo Digital. Tijuana, México. 2008.

[2] P. C. Francisco, “Control de un sistema de levitación magnética con conpensación de redes neuronales.” Director: Dr. Wen Yu Liu. Tesis de Maestría. Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. Cd. de México. 2009.

[3] D. A. Mantaras, y P. L. Rodriguez, Ingeniería e Infraestructura de los Transportes. Oviedo, España: Universidad de Oviedo, 2003. 577 pp.

[4] O. Jimenez, V. Rashkovan, J. F. Márquez, y D. Méndez, “Diseño de un compensador del tipo Proporcional-Integral-Derivativo para controlar un sistema de levitación electromagnético.”, Presentado en el 4° CIIES, México D.F., Nov. 2005.

[5] H.William, and W. Werner, “Electromagnetic Design of a Magnetic Suspension System”. IEEE transactions on education, 1997, vol 40, num 2.

[6] K.Ogata, Ingeniería de control moderna. Pearson Education 3° Edición, 1998. 997 pp. ISBN: 970-17-0048-1.

[7] Instruction Manual Sensoray Model 626 PCI Multifuction I/O Board, Revision F, Sensoray Co, Inc., Tigard, OR, 2004.

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[8] K. Ogata, Sistemas de control en tiempo discreto, 2° Edición, 1996, 795 pp., ISBN: 9688805394, 9789688805398.

CURRICULUM

Jairo Moreno-SáenzNació en la Ciudad de México en 1990. Actualmente es alumno en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Culhuacán (ESIME Culhuacán) del Instituto Politécnico Nacional (IPN) en la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica

con Especialidad en Control. De Agosto de 2009 a Diciembre de 2011 participó en el Programa Institucional de Formación de Investigadores (PIFI-IPN) con publicaciones y asistencia a congresos institucionales y nacionales. En Julio del 2010 participó en el Programa Interinstitucional para el Fortalecimiento de la Investigación y el Posgrado del Pacífico. Desde 2012 es miembro de la rama estudiantil de la IEEE. Sus áreas de interés son la programación, matemáticas aplicadas, control y electrónica digital.

Sergio Román Hernández-ReyesNació en Ciudad Valles, San Luis Potosí en 1988, recibió el título de Técnico en Computación y cédula profesional en 2006 en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de México Ixtapaluca II (CECyTEM-Ixtapauca II). Actualmente es alumno en la Escuela

Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Culhuacán (ESIME-Culhuacán) del Instituto Politécnico Nacional (IPN) en la carrera de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica con Especialidad en Control. Desde 2011 es miembro del comité organizador de ExpoCiencias Metropolitanas y de la SIEEC (Semana de Ingeniería en Electrónica de ESIME Culhuacán). Sus áreas de interés son control óptimo, control robusto, sistemas caóticos y la electrónica de potencia.

Omar Jiménez-RamírezNació en la Ciudad de México en 1967. Recibió el título de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en la especialidad de Control en 1990 en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco del Instituto Politécnico Nacional. Posee el grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería en

Microelectrónica por la Sección de Estudios de Posgrado e Ingeniería (SEPI) en 2003 en ESIME Culhuacán y el grado de Doctor en Comunicaciones y Electrónica por la SEPI ESIME Culhuacán en 2007. Actualmente se desempeña como profesor-investigador de tiempo completo en la ESIME Culhuacán del Instituto Politécnico Nacional desde 1992 en el área de control, impartiendo cátedra en la Licenciatura en

Comunicaciones y Electrónica con especialidad en Control y en la Maestría en Ciencias de Ingeniería en Microelectrónica. Realiza actividades de investigación en el área de las comunicaciones, la electrónica, el control lineal y no lineal, así como en el control aplicado.

Rubén Vázquez-MedinaNació en la Ciudad de México en 1966. Recibió el título de Ingeniero en Electrónica con área de concentración en comunicaciones en 1988 en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa (UAM-Iztapalapa). Posee el grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Eléctrica con opción en comunicaciones en Septiembre de

1993 por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN). En octubre de 2008 obtuvo el grado de Doctor en Ciencias en la UAM-Iztapalapa. Desde 1997 se desempeña como profesor- investigador en el Instituto Politécnico Nacional (IPN) en la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica unidad Culhuacán (SEPI-ESIME Culhuacán), dentro de los programas de posgrado en Maestría en Ciencias de Ingeniería en Microelectrónica, Maestría en Ingeniería en Seguridad y Tecnologías de la Información y en el Doctorado en Comunicaciones y Electrónica. Desde 2006 es profesor invitado en la Maestría en Seguridad de la Información del Centro de Estudios Superiores Navales (CESNAV) de la Secretaría de Marina Armada de México (SEMAR-México). Es miembro del Consejo Editorial como Revisor de la Revista del IEEE América Latina. Realiza actividades de investigación en las áreas de la criptografía, la esteganografía, la informática forense y el cumplimiento regulatorio en seguridad de la información; así como en el modelado de sistemas de reacción difusión para aplicaciones en la seguridad de la información, la biología y la ecología.

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