Calculo 1.Lectura No. 1. Nociones basicas de funciones.

Hugo E. Zamora C.

Calculo 1. Lectura No. 1. Nociones basicas de funciones. La nocion de funcion

Seccion 1: Introduccion

La era que vivimos se ha catalogado como la era de la informacion. En este sentido, los datos presentadosen diversas formas: graficos, tablas de valores, son la materia prima de la informacion. En esencia, los datos sonnumericos y las relaciones que se establecen entre ellos caracterizan su importancia en el suministro de informacionsobre fenomenos naturales, sociales, economicos, etc. La nocion de funcion permite estudiar un tipo de relacionesque se establece entre datos y, por lo tanto, generar acciones sobre la informacion suministrada a traves de suselementos. Acciones como preveer, suponer, conjeturar, proyectar, son producto del conocimiento y utilizacion delos elementos y propiedades basicas de la funcion.

Seccion 2: La nocion de funcion

La recoleccion de datos sobre situaciones diversas se basa en la idea de relacionar elementos de dos conjuntos(casi siempre numericos), y en su presentacion, de manera que la informacion sea legible y sirva como punto departida de la identificacion de regularidades y, por lo tanto, de patrones de comportamiento de los datos.Si A y B son dos conjuntos, una funcion de A en B es una relacion entre los elementos de A y B, de tal formaque a cada elemento de A le corresponde uno y solo un elemento de B. Esta aproximacion a la nocion de funcionrequiere que:

Todo elemento de A se relacione con un elemento de B.

La relacion de un elemento de A con un elemento de B sea unica.

2.1: Ejemplos

1. Una forma usual de presentar datos que relacionan dos conjuntos es mediante el uso de una tabla de valores.Veamos este hecho.

Un comerciante hace un registro de las ventas de cierta clase de tela y las presenta as:

Numero de metros vendidos 5 9 14 22 45

Valor total de venta 95.000 171.000 266.000 418.000 855.000

La relacion que se establece entre el numero de metros de tela vendidos y su valor de venta es una funcion,pues a cada valor del numero de metros de tela vendido corresponde un valor de venta y este es unico.

Un hecho interesante aqu es observar que el valor total de venta depende del numero de metros de tela quese venden. En este sentido, una funcion tambien es una relacion de dependencia entre dos cantidades quevaran, de tal forma que a cada valor de la variable 1 independiente corresponde un unico valor de la variabledependiente. Aqu la variable independiente es el numero de metros vendidos y la variable dependiente es elvalor de la venta.

2. Los graficos se han convertido en una de las formas caractersticas de informacion y muchos de ellos nosproveen un acercamiento a la nocion de funcion. Veamos:

1En este escrito se asume que una variable es un smbolo que representa los elementos de un conjunto. El conjunto se llama eldominio de la variable, y cada elemento del conjunto se denomina un valor de la variable.

1

Calculo 1. Lectura No. 1. Nociones basicas de funciones. Elementos de una funcion

Figura 1: Grafica de temperaturas

La relacion entre cada hora en la manana (representada en el eje horizontal) y la temperatura (representadaen el eje vertical) establece una funcion, pues a cada hora en la manana corresponde un unico valor detemperatura.

Los ejemplos muestran dos de las representaciones usuales de funciones: mediante una tabla de valores ymediante un grafico de coordenadas cartesianas. Veamos los elementos basicos de las funciones que ayudana comprender sus representaciones. Lo hacemos a partir de una definicion amplia de funcion.

Seccion 3: Elementos de una funcion

Si A y B son dos conjuntos, entonces una funcion de A en B es una regla que asigna a cada elemento x de A ununico elemento y de B. Se nota f : A B. El elemento y se denomina la imagen de x mediante f . La imagen deun elemento x se nota tambien como f(x) que se lee f de x.Al conjunto A se le llama el dominio de la funcion y se nota Df y el conjunto B se conoce como el codominiode la funcion, que se nota Cdf . Al conjunto de imagenes de la funcion se le denomina el rango de la funcion y sesimboliza RfLa regla de asignacion que define una funcion puede describirse de forma verbal o de forma algebraica.

3.1: Ejemplos

1. La funcion f : Z Z se define verbalmente mediante el enunciado A cada entero le corresponde 1 masque su duplo. f es una funcion pues todo entero tiene duplo y al sumar 1 esta suma existe (es un numeroentero) y ademas es unica.

El dominio y codominio de f es el conjunto de los numeros enteros. Asimismo, afirmamos que la imagen de3 es 5 o en forma equivalente que f(3) = 5. Al determinar algunas imagenes de numeros enteros seconcluye que Rf = {... 5,3,1, 1, 3, ...}

2. La funcion f del ejemplo 1, se define en forma algebraica, mediante la descripcion de la imagen de unelemento x del dominio de f . En este caso se escribe:

2

Calculo 1. Lectura No. 1. Nociones basicas de funciones. Grafica de una funcion

f : Z Z definida por f(x) = 2x + 1

La descripcion algebraica de la funcion permite abordar interrogantes como:

Cual es la imagen de 27 mediante f?Se pregunta por f(27). Al usar la expresion f(x) = 2x+1 que define f , se obtiene: f(27) = 2(27)+1,es decir f(27) = 53Existe algun elemento del dominio de f tal que su imagen mediante la funcion sea 32?Al usar de nuevo la expresion f(x) = 2x + 1, se tiene 32 = 2x + 1. La solucion de esta ecuacion esx = 33

2, no es un numero entero. Por lo tanto no existe un elemento del dominio de f cuya imagen

sea 32Como presentar la informacion de imagenes de elementos del dominio de f? La tabla de valores de unafuncion f se construye en dos filas o dos columnas, una de las cuales contiene elementos del dominio dela funcion y la otra contiene las respectivas imagenes. Para el ejemplo anterior, una tabla de valores def es:

x -8 -5 0 2 6

f(x) -15 -9 1 5 13

Seccion 4: Funciones de valor real

Si una funcion f tiene como dominio y codominio a subconjuntos de numeros reales se afirma que f es una funcionde valor real. Es usual que las funciones de valor real se definan mediante una expresion algebraica sin especificarsu dominio y codominio. Por lo tanto, es importante determinar el dominio de f para representar la funcion endiversas formas.

4.1: Ejemplos

1. Para determinar el dominio de la funcion f definida por f(x) =

2 3x, es preciso dar respuesta al inte-rrogante: Para que numeros reales x existe la imagen f(x)? Esto equivale a determinar para que numerosreales x la expresion

2 3x es un numero real?

2 3x es un numero real si 2 3x 0. Luego, el conjunto solucion de la inecuacion sera Df . Como x 23 ,entonces Df = (, 23 ]

2. El dominio de la funcion g definida por g(x) = x3 1 es el conjunto de los numeros reales, pues la expresionx3 1 que es la imagen de un numero real x mediante g, representa un numero real para cualquier valor x.

Seccion 5: Grafica de una funcion

Se utiliza el plano cartesiano para representar graficamente una funcion. Para ello se afirma que la grafica de unafuncion f (Notacion: Grf ) se construye as: Grf = {(x, y)|y = f(x)}. Cada uno de los pares ordenados de la graficade f tiene como primera componente un elemento del dominio de f y como segunda componente la imagen dedicho elemento. Cada par ordenado de la grafica de f corresponde a un punto del plano cartesiano. El dominio def se representa en el eje horizontal y las imagenes se ubican en el eje vertical

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Calculo 1. Lectura No. 1. Nociones basicas de funciones. Ejercicios

El hecho de determinar pares ordenados que pertenezcan a la grafica de f y representarlos en el plano cartesiano,no garantiza que se pueda trazar la grafica de la funcion de forma precisa. Se presentan elementos de la funcionque permiten una mejor aproximacion a su grafica.

5.1: Ejemplo

Para trazar la grafica de la funcion f definida por f(x) = 24 x2 se sugiere identificar los siguientes elementos:

El dominio de f . Hay que determinar numeros reales x para los cuales la expresion 24 x2 este definida.

Una fraccion esta definida si su denominador es diferente de 0. As que se requiere que 4 x2 6= 0. O enforma equivalente determinar numeros reales x tales que 4 x2 = 0 y excluirlos del dominio de f . Como lasolucion de 4 x2 = 0 es x = 2 o x = 2, se afirma que Df = R \ {2, 2}Una informacion util es la determinacion de los interceptos de la grafica de f con el eje horizontal del planocartesiano. Si estos existen, corresponden a puntos del plano cartesiano de la forma (x, 0) y se denominanlos ceros de f . As que la solucion de la ecuacion f(x) = 0 da respuesta al interrogante planteado. En este

caso como f(x) = 24 x2 entonces se tiene 0 =

2

4 x2 . Ya que x 6= 2 y x 6= 2 se obtiene 0 = 2, lo

que permite concluir que 0 = 24 x2 no tiene solucion en los numeros reales. Por consiguiente, se dice que

f no tiene ceros reales o que su grafica no intercepta el eje horizontal del plano cartesiano.

El intercepto de la grafica de f con el eje vertical del plano (si existe) es un punto del plano cartesiano dela forma (0, f(x)). Por lo tanto f(0) (si existe) senala dicho intercepto. Para la funcion f de este ejemplo se

tiene f(0) = 12

, y as se afirma que el intercepto de f con el eje vertical es 12

Determinar un conjunto de pares ordenados de Grf . En la practica no es claro cuantos pares ordenadosposibilitan visualizar la grafica de f . Con la informacion obtenida, se intenta trazar un esbozo de la graficade f . La siguiente tabla muestra pares ordenados de la grafica de f . La figura 2 presenta la grafica de lafuncion f .

x -4 -72 -3 -52 -

74 -1 -

14 0

12 1

54

52 3

134 4

f(x) 16833

25

89 -

3215 -

23 -

3263 -

12 -

815 -

23 -

3239

89

25

32105

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Nota. El estudio de propiedades de las funciones proporcionara herramientas para graficar una funcion conprecision. Asimismo el apoyo de un programa graficador es util para complementar el trabajo planteado. Programascomo Winplot o Graph, corresponden al denominado software de distribucion gratuita. Las graficas de este escritose realizan con Graph. Graph esta disponible en www.padovan.dk/graph

Seccion 6: Ejercicios

Utilice las nociones estudiadas para responder los interrogantes planteados. Detalle el procedimiento utilizado.

1. Para cada una de las siguientes funciones de valor real, determinar el dominio.

a) f(x) = 5

1 xb) g(x) =

2x2 + 5x 3

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Calculo 1. Lectura No. 1. Nociones basicas de funciones. Ejercicios

Figura 2: Grafica de f(x) = 24 x2

c) h(x) = 4

x

x + 2

d) r(x) =x + 1 +

1

x 1

2. Para la funcion f definida por f(x) =2 x3 + x

, contestar los interrogantes:

a) Es f(12) un real negativo?b) Existe un valor del dominio de f tal que su imagen mediante f sea 12?c) Calcular y simplificar f(2+h)f(2)h

3. Esboce la grafica de funciones f y g que cumplan las siguientes condiciones:

a) Df = R {3, 4}. f tiene dos ceros que son reales positivos. f(5) < 0. Intercepto de la grafica de fcon el eje vertical es un real positivo

b) Dg = R {1, 1}. Rg = R [0, 2). g no tiene ceros reales. g(0) = 2. g(2) < 0

4. Dada la dificultad para representar graficamente una funcion unicamente con base en pares ordenados,se utilizara la grafica de algunos modelos basicos para transformarlos y lograr graficas de mejor nivel deelaboracion. El listado de funciones que a continuacion se da, corresponde a algunos de estos modelos.Determine el dominio, los interceptos con los ejes coordenados (si existen) y esboce la grafica de cada unode ellos.

a) f(x) = x

b) g(x) = k donde k es un numero real.

c) h(x) = x2

d) m(x) = x3

e) r(x) = 3x

f ) s(x) =x

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Calculo 1. Lectura No. 1. Nociones basicas de funciones. Ejercicios

g) t(x) =1

xh) j(x) = xn con n numero par.

i) m(x) = xn con n numero impar.

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