Nociones Basicas de Calculo

CALCULO Nociones Bsicas

GLADIS HERNADEZ | ANGEL GONZALEZ

Prefacio

Es fcil olvidarnos de las cosas ms simples cuando estamos

introducindonos en temas ms complejos. Por ello es

importante mantener el orden y el repaso constante en todas

las etapas de nuestra vida escolar y laboral.

Este pequeo compendio de nociones bsicas de clculo

servir a todo aquel que ha perdido el orden en su cabeza y

necesita una pequea refrescada para volver a entender el

clculo.

En el podrn

encontrar un

poco de historia

para amenizar su

estudio, los

conceptos y

formulas bsicas,

as como

ejemplos para

comprobar lo

reaprendido.

La ilustracin es cortesa (bueno no tanto), de Albert Montt,

pueden encontrar mas de su arte en Dosis Diarias.com

Contenido

Historia del Clculo

Funciones

Limites

Derivada

Diferenciales

Aplicaciones

Bibliografa

ESIME Azcapotzalco

Historia del

Clculo

Lo que sabemos es una gota de agua, lo que ignoramos es el ocano Isaac Newton

Los orgenes del clculo se remontan al menos 2500 aos hasta los antiguos griegos,

que encontraban reas usando el mtodo de eliminaciones sucesivas. Saban cmo

hallar el rea A de cualquier polgono al dividirlo en tringulos y sumando las reas de

estos tringulos.

Un problema ms difcil es hallar el rea de una figura curva. El mtodo griego de

eliminaciones sucesivas era inscribir polgonos en la figura y circunscribir polgonos

alrededor de la figura; luego aumentar el nmero de lados de los polgonos.

Los griegos mismos no usaron lmites en forma explcita pero, por razonamiento

indirecto, Eudoxio (siglo V a.C.) uso el mtodo de eliminaciones sucesivas para

demostrar la conocida frmula para el rea de un crculo:

El problema del rea es el problema central en la rama del clculo llamada clculo

integral.

Newton y Leibniz en 1675 descubrieron de forma independiente el clculo diferencial e

integral.

Sus enfoques son distintos, pero llegan a los mismos resultados.

En el periodo 1615-1660; se haba utilizado el clculo infinitesimal por matemticos de

gran talla como Kepler, Cavalieri, Torriceli, Pascal, Fermat, Wallis, Gregory, Barrow,

etc.

Nociones Bsicas de Clculo

El gran merito de lo que hoy llamamos calculo diferencial e integral, es el de ser un

algoritmo general que vale para todas las expresiones analticas a la vez y se basa en

que los procesos de clculo de tangentes o derivacin y cuadraturas o integracin son

procesos inversos.

Isaac Newton fue un matemtico y fsico ingls,

considerado por muchos como el cientfico ms grande de

todos los tiempos.

Sus brillantes descubrimientos en mecnica se publicaron

en 1687 en su libro Principia Mathematica, una de las

glorias de la Edad de la Razn. En esta obra Newton

estableci las leyes del movimiento y la ley de la

gravitacin universal, y demostr que los planetas del

firmamento, igual que los cuerpos sobre la tierra,

obedecen las mismas ecuaciones matemticas.

Durante ms de 200 aos las leyes de Newton constituyeron la base indiscutida de

todos nuestros intentos de dar una explicacin cientfica al mundo fsico.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), de joven estudio

filosofa, derecho y lenguas clsicas. Su principal inters

estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje

simblico para representar los conceptos fundamentales

del pensamiento humano.

Como curiosidad Huygens le planteo Leibniz que hallara

la suma de los inversos de los nmeros triangulares.

Mediante suma y deferencias Leibniz fue capaz de hallar

la suma de esta serie y entonces creci su inters por

estudiar matemticas.

El trabajo de Leibniz se conoce por los numerosos artculos que publico en un Acta y

por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover.

Uno de los principios fundamentales de clculo de Leibniz son las reglas para la

manipulacin de los smbolos , de la integral y diferencial.

ESIME Azcapotzalco

Funciones


Introduccion

El concepto de funcin nace como una herramienta para describir la

dependencia entre dos o ms variables relacionadas (distancia y tiempo,

cantidad y costo, dimensin y rea o volumen, etctera).

Tal dependencia se traduce a un par de conjuntos y a una correspondencia

entre sus elementos, construyndola siempre desde el primer conjunto al

segundo.

Historia

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

Vivamus id ante quis lacus tristique eleifend nec ornare elit.

Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et

malesuada fames ac turpis egestas. Etiam vestibulum

tincidunt risus placerat dictum.

Funcion de Una Variable Real

Notacion y Simbolismo

Se refiere a aquellas funciones en las que el dominio y el codominio pertenecen

al conjunto de los nmeros reales.

Funcin f con dominio en A y codominio en B.

Dominio

Es el primer conjunto. Todos sus elementos (llamados argumentos) tienen su

imagen en el codominio.

Argumento

Se le llama as a cualquier elemento del dominio.

Imagen

As se le llama al elemento correspondiente a un argumento en particular.

ESIME Azcapotzalco

Rango

Es el conjunto de imgenes. En ocasiones el rango y el codominio son el mismo

conjunto.

Codominio

Es el segundo conjunto. En l se encuentran las imgenes, aunque puede ser

que no todos sus elementos lo sean.

Relacion y funcion

Los conceptos matemticos de relacin y funcin estn estrechamente ligados.

En ambos se asocian elementos de dos conjuntos, y desde luego, se puede

aplicar el mismo lenguaje que hemos construido tanto para la funciones como

para las relaciones. Existe, sin embargo una diferencia radical entre ellos: la

relacin permite que a cada elemento del primer conjunto se le asocie uno o

ms elementos del segundo; no hay lmite para ello. En contrario, en una

funcin, para cada argumento existe una nica imagen asociada a l.

Las funciones pueden ser llamadas relaciones, pero no todas las relaciones

pueden ser funciones.

Clasificacion de funciones

Funcin constante

Representa una recta paralela al eje "x" sobre k.

Dominio: Rango:


Funcin lineal

Esta funcin tiene la forma y representa una recta en el plano

cartesiano, en donde m es la pendiente y b la ordenada al origen.

Dominio: Rango: Rf=R o bien x (-,)

Para graficar una funcin lineal se lleva a cabo lo siguiente:

I. Se localiza la ordenada al origen, es decir, el punto (0,b).

II.A partir de este punto, se localiza otro, tondo la pendiente como el

incremento o decremento vertical sobre el incremento horizontal.

4

Ejemplo 1.1

2/3 4

Ejemplo 1.2

Fig. 1-2 Grafica de una function lineal

Fig.1-1 Grafica de una function constante

ESIME Azcapotzalco

Funcin identidad

Es la funcin lineal , con y , es decir:

Dominio:

Rango: Rf=R o bien y (-,)

Funcin cuadrtica

Es de la forma y representa una parbola cncava hacia

arriba o hacia abajo

Dominio:

Dominio: Df=R o bien x (-,)

Rango:

Rango:

Para obtener las coordenadas del vrtice se aplican las siguientes

formulas:

2

4

4

Ejemplo 1.3

Fig. 1-3 Grafica de una function identidad


Orientacin o concavidad

Una primera caracterstica es la orientacin o concavidad de la parbola.

Hablamos de parbola cncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y

hablamos de parbola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Funcin racional

Se expresa como el cociente de dos funciones polinomiales.

/

Definicin de asntota

Si la distancia d entre una recta o curva y el punto mvil de la funcin

tiende a cero, entonces la recta o curva recibe el nombre de asntota.

Existen 3 tipos de asntotas: verticales, horizontales y oblicuas.

Cuando la grafica de la funcin se acerca entre un punto de a a la curva o

recta y la distancia , y la curva o recta tiende a cero (es decir la

grafica no toca a , entonces recibe el nombre de asntota.

ESIME Azcapotzalco

2 3 / 2

2 2

2 2 2

2

2 3

2

Ejemplo 1.4

Determinar el dominio, el rango y la grafica de la funcin

Solucin:

El denominador debe ser diferente de cero,

Por tanto, el dominio esta dado por:

y la asntota vertical es

Al despejar se obtiene el rango y la asntota horizontal:

Entonces 2 3 / 2 donde 2 2

Por tanto, el 2 y la asntota horizontal es 2

Fig. 2-1 Se trazan las asntotas y mediante una tabulacin se obtienen los pares ordenados, los cuales forman la siguiente curva


Funcin raz cuadrada

La funcin esta dada por: con

2 2 2

Ejemplo 1.5

Obtn la grafica de la funcin 2

Solucin

Para determinar el dominio se resuelve la desigualdad: 2

Donde 2, entonces el dominio es el conjunto:

El rango se obtiene despejando x

Fig. 2-2 Grafica de una function logaritmica

ESIME Azcapotzalco

Funcin valor absoluto

La funcin es , donde y

Funcin valor absoluto

Se llama funcin explicita a aquella en la que una variable se escribe en

trminos de la otra.

Funcion Creciente

Una funcin definida en un intervalo es creciente es ese intervalo, si y solo si,

para todo 2 se cumple que 2 esto es, una

funcin es creciente si al aumentar tambien aumenta.

Funcion decreciente

Una funcin definida en un intervalo es decreciente es ese intervalo, si y solo si,

Para todo 2 se cumple que 2 esto es una

funcin es decreciente si al aumentar disminuye.

Ejemplo 1.1

Obtn la grafica de f(x)=|x+3|

Solucin

Se parte de la definicin de valor absoluto, en la que se obtienen las siguientes

desigualdades 3, 3 las cuales son dos rectas donde el dominio

son los nmeros reales y el rango esta dado por

La grafica que se obtiene es:

Fig. 2-3 Grafica de un valor absoluto


Operaciones con funciones

Sean las funciones y , entonces:

Suma de funciones

Se denota y se define por:

Resta de funciones


Multiplicacin de funciones


Divisin de funciones

Se denota / y se define por:

/ /

Definicion de una funcin compuesta

Dadas las dos funciones y , la funcin compuesta denotada por

.

Y el dominio de es el conjunto de todos los nmeros del dominio de

tales que esta en el dominio de

Ejemplo:

2 3

2 3

2 3

ESIME Azcapotzalco

Ejercicios Propuestos

Problema 1.1

Si 24 6, halle a) ; b) 3 ; c) 2 .

Demuestre que 1

7

y 2 2 .

Problema 1.2

Si f (x) = 1

+1, halla a) ; b) ; c) 2 .

Demuestre que 1

y

1

1

Problema 1.3

Si , pruebe que

Problema 1.4

Si 1

, demuestre que

Problema 1.5

Si 5+3

+ 5 , pruebe que

Problema 1.6

Determine el dominio de cada una de las funciones siguientes:

a) 2 4

b) 4

c) 4

d)

+3

e)

+1

f) 1

9

g) 1

+1

h)

Problema 1.7

Dado 3 5 4 2 , demostrar que:

2, 5 , 2 3 , 7 5

Problema 1.8

Si 4 2


3 2 2

2 6 2

3 3 3

Problema 1.9

Si 4 2 , calcular , , , 2 , 2 .

Problema 1.10

Si 2 , hallar , 1

,

Problema 1.11

Dado 3 5 4 2 , demostrar que:

Problema 1.12

Dado 2 6, demostrar que:

Problema 1.13

Dado 3 3, demostrar que:

Problema 1.14

Dado 1

, demostrar que:

ESIME Azcapotzalco

Limites


Introduccion

En el estudio y sus aplicaciones se analiza la forma en que varan ciertas

cantidades y si estas tienden a valores especficos, bajo determinadas

condiciones.

La definicin de derivada, depende de la nocin del lmite de una funcin.

Definicin de lmite:

Sea un numeo real contenido en un intervalo abierto y sea una una funcin

definida en todo intervalo, excepto en el punto

Historia

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

Vivamus id ante quis lacus tristique eleifend nec ornare elit.

Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et

malesuada fames ac turpis egestas. Etiam vestibulum

tincidunt risus placerat dictum.

Nociones Basicas

Notacin del lmite:

Definicin informal de lmite

Se en un intervalo abierto, y sea una funcin definida en todo el intervalo

excepto posiblemente en , y un numero real, entonces

Significa que puede acercarse arbitrariamente a si se elige

suficientemente cercano a per o

Lmite de una variable

Se dice que la variable tiende a la constante como limite, cuando los valores

sucesivos de son tales que el valor numrico de puede llegar a ser,

ESIME Azcapotzalco

finalmente, menor que cualquier numero positivo predeterminado tan pequeo

como se quiera.

La relacin as definida se escribe .

Por conveniencia, nos serviremos de la notacin , que se leera tiende

hacia el lmite .

Lmite de una funcin

En las aplicaciones de la definicin de limite, se presentan usualmente casos

como el siguiente: se tiene una variable y una funcin dada de , y se

supone que la variable recibe valores tales que la . Tenemos que

examinar entonces los valores de la variable dependiente e investigar,

particularmente, si tiende tambin a un lmite. Si efectivamente existe una

constante tal que , entonces se expresa esta relacin escribiendo

,

Y se leer: el lmite de , cuando tiende a , es .

Teoremas sobre lmites

Los teoremas sobre lmites, simplifican y facilitan el proceso de obtencin, de tal

forma que el lmite se obtiene evaluando el valor al que tiende x.

Sean 1 , entonces:

1. , con c:constante

2. 3. 1 4. 1

5. 1

6.

7.

1

En particular

2 4 5 3 4 2 4

Ejemplo 2.1

Usemos la definicin precisa de lmite para demostrar que

2 4 5 3 4 ^2 5 3. Sea .

Se debe producir un tal que siempre que 2 ,

entonces 4 5 3 .

En primer lugar, observe que l(4x - 5) - 3l = l4x - 8l = 4 lx - 2l.

Si se toma como /4, entonces siempre que


Limites cuando

Si

los resultados de los lmites para las formas:

y son:

Si se obtiene una expresin de la forma

entonces el lmite es 0.


entonces el lmite es infinito.


entonces el lmite es infinito.

Ejemplo 2.2

a) 1

b) 1 1

1

c) 1

ESIME Azcapotzalco

Ejercicios Propuestos

5 3

3 5

5 3 3 5

3 5

5 3

3

3

9

3

2

4

4 2

/


5

3 25

5

4

3 8

3

43

4

5

2

2

2

1

2

ESIME Azcapotzalco

Bibliografia


LEZAMA M. A., CUESTA V., SOTO M. A.; "Calculo Diferencial Con

Enfoque en Competencias"

MARSDEN J. E., TROMBA A. J.; "Calculo Vectorial" Quinta Edicion

PEARSON EDUCACION S.A.; Madrid, 2004; 696 Paginas

Pag 89 a 156

GALDOS L.; "Consultor Matematico, Introduccion al Calculo"

CULTURAL S.A.; Madrid, 1998; 301 paginas

Pag 1065 a 1092, 1143 a 1196

GRANVILLE; "Calculo diferencial e Integral"

LIMUSA; Mexico 2010; 704 pginas

Pag 17 a 88, 165 a 178

AYRES F., MENDELSON E.; "Calculo Serie Schaum"

Mc Graw Hill; 518 pginas

Pag 49 a 64, 72 a 88

ROLAND E. LARSON; "Calculo Con Geometria Analitica, Sexta Edicion"

Mc Graw Hill, Espaa, 1999; 930 paginas

Pag 4 a 277

LAURENCE D. HOFFMAN; "Calculo Aplicado Para Administracion,

Economia y Ciencias Sociales"

Mc Graw Hill; Mexico, 2006; 1013 paginas

Pag 2 a 13, 57 a 70, 96 a 121

DENNIS G. Zill; "Calculo con Geometria Analitica"

Grupo Editorial Iberoamericana; 1997; 1014 paginas

Pag 1 a 239

EARL W. SWOKOWSKY; "Calculus With Analytic Geometry"

PWS Publishers, U.S.A. 1988; 245 paginas

Pag 29 a 47, 51 a 81, 93 a 155

SPIVAK M.; "CALCULUS Second Edition"

W. A. Benjamin, Inc.; New York; 1992, 920 paginas

Pag 49 a 68, 107 a 140, 197 a 226

F. VEGA; "Ejercicios de Calculo"

LIBRERIA AGORA S.A.; Malaga 1987; 393 pginas

ESIME Azcapotzalco

STEWART J.; "Calculus: Early Transcendentals"

THOMSON; 2007; 728 paginas

Pag 204 a 251, 585 a 590

MAXIMO MITACC; "Topicos de Calculo Vol. I"

THALES S.R.L.; Peru 2009; 230 paginas

Pag 46 a 172, 197 a 242, 261 a 324

Nociones Basicas de Calculo

Documents

Transcript of Nociones Basicas de Calculo