Calculo´ 1. Nociones basicas´ -...
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C´ alculo 1. Nociones b´ asicas Oct, 2008
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Calculo
1. Nociones basicas
Oct, 2008
Nociones basicasNumeros complejosFunciones reales de variable realValor absolutoFunciones polinomicas y racionalesFuncion exponencial y logarıtmicaFunciones trigonometricasFunciones trigonometricas inversasLımitesContinuidadDerivacion de funciones reales de variable realExtremos relativosTeoremas del calculo diferencialConcavidad y convexidadDerivacion implıcita y parametricaPolinomio de Taylor
Conjuntos de numeros
IN ⊂ Z⊂Q⊂ IR⊂ C
Densidad de Q en IR: dados a,b ∈ IR, a < b, existe q ∈Q t.q. a < q < bSea un subconjunto A⊂ IR, A 6= φ .
DefinicionDecimos que s ∈ IR es cota superior de A si:
x≤ s, ∀x ∈ A
En este caso, decimos que A esta acotado superiormente
I De manera analoga, se dice que i ∈ IR es cota inferior del conjunto A sii≤ x, ∀x ∈ A, y decimos que A esta acotado inferiormente
I Si un subconjunto de IR esta acotado superior e inferiormente, lollamamos acotado
I Las cotas superior e inferior no son necesariamente unicas
Conjuntos de numeros
DefinicionDecimos que s ∈ IR es supremo de A si s es cota superior de A y cualquierotra cota superior, s ′, de A verifica: s≤ s ′. Decimos que i ∈ IR es ınfimo de Asi i es cota inferior de A y cualquier otra cota inferior, i ′, de A verifica: i ′ ≤ i
I El supremo e ınfimo de A se representan por sup(A) e ınf(A), resp.I Si, ademas, pertenecen al propio conjunto A, se les llama maximo y
mınimo:sup(A) ∈ A =⇒ sup(A) = max(A)ınf(A) ∈ A =⇒ ınf(A) = mın(A)
Axioma del supremo. Sea A un subconjunto de IR no vacıo y acotadosuperiormente. Entonces existe sup(A)
Numeros complejosDefinicionEl conjunto de los numeros complejos es
C = {a+bi / a,b ∈ IR},
donde i =√−1 es la unidad imaginaria.
En C operaremos de la siguiente manera:I (a+bi)+(c+di) = (a+ c)+(b+d)iI (a+bi) · (c+di) = (ac−bd)+(ad +bc)i
Distintas representaciones de un numero complejo z:
a+ ib = (a,b) = |z|θ
|z|=√
a2 +b2 es el modulo, o distancia al origenθ ∈ [0,2π) se denomina argumento
Propiedades:I Sea a ∈ IR; entonces a = a+0i ∈ C. Podemos considerar IR⊂ CI Todo polinomio p(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0 (ai ∈ C) tiene
n raıces en C
Funcion real de variable real
Sea A⊂ IR
DefinicionLa correspondencia f : A−→ IR es una funcion si a cada x ∈ A lecorresponde una unica imagen f (x) ∈ IR
Llamamos:I dominio: D(f ) = {x/ existe f (x)}= {x/f (x) ∈ IR}I imagen: Im (f ) = {y ∈ IR/y = f (x) para algun x ∈ IR}
DefinicionDecimos que f es una funcion acotada si su imagen es un conjunto acotado(respectivamente, hablaremos de funcion acotada inferiormente y/o acotadasuperiormente).
Funcion real de variable real
Sea f : A−→ IR una funcion real de variable real.
DefinicionSea B⊂ A. f es creciente en B si
x1 < x2 =⇒ f (x1)≤ f (x2) , ∀x1,x2 ∈ B
I Analogamente se define funcion estrictamente creciente, decrecientey estrictamente decreciente
DefinicionDecimos que f es inyectiva si:
x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2)
Funcion real de variable real. SimetrıasDefinicionDecimos que una funcion f es par si f (x) = f (−x), y decimos que es imparsi f (x) =−f (−x)
Funcion par Funcion impar
NotaEl nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios conexponente par (x2, x4, x6,...) tienen simetrıa par y los monomios conexponente impar (x, x3, x5,...) tienen simetrıa impar.
Funcion real de variable real. Periodicidad
DefinicionSea f : R→ R. Diremos que f es periodica, con perıodo T si
f (x) = f (x+T), ∀x ∈ R.
El ejemplo mas clasico de funciones periodicas son las funcionestrigonometricas.Si sabemos que una funcion tiene un perıodo T nos sera suficiente conrepresentarla en [0,T]. Despues se repetira.
T
Composicion de funciones
DefinicionSean f : A⊂ R→ R, g : B⊂ R→ R, con f (A)⊂ B. Definimos la funcioncompuesta g◦ f (se lee “f compuesta con g”) a la funcion
g◦ f : A⊂ R → Rx ∈ A → (g◦ f )(x) := g(f (x)) .
x ∈ Af−→ f (x)
g−→ g(f (x)) .
Funcion inversaDefinicionSea f : A⊂ R→ R una funcion inyectiva. Existe una unica funcionh : im f → R tal que h(f (x)) = x, ∀x ∈ A.Esta funcion se denomina inversa de f y suele denotarse como f−1.
Es decir, f−1 ◦ f = Id. Ademas, en este caso se verifica que la composicion esconmutativa, es decir, que f ◦ f−1 = Id (la funcion Id es la funcion identidad,es decir, Id(x) = x, ∀x ∈ R).
x
y = f−1(x)
¡No se debe pensar que f−1 = 1f !
La forma practica de calcular una funcion inversa es despejar la x en funcionde la y (es decir, de f (x)) e intercambiar sus papeles.
Valor absolutoSea x ∈ IR
DefinicionLlamamos valor absoluto de x a la cantidad:
|x|={−x, si x < 0,x, si x≥ 0.
DefinicionSean x, y ∈ R. Definimos la distancia entre estos dos puntos como
d(x,y) := |x− y|.
Valor absoluto
PropiedadSean x,y ∈ IRI |x| ≥ 0I |x|= 0 ⇐⇒ x = 0I |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdad triangular)
I |xy|= |x| |y|,∣∣∣∣xy∣∣∣∣= |x||y| .
I Si C > 0, |x| ≤ C ⇐⇒ −C ≤−|x| ≤ x≤ |x| ≤ C
Funciones polinomicas
Las funciones polinomicas son funciones del tipo
p(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0,
con a0, a1, ..., an ∈ R, y an 6= 0.
Diremos queI grado del polinomio es n,I coeficiente principal es an.
Ejemplos de polinomios son1. p1(x) = 5x3−4x+2,
2. p2(x) = 8x3−√
2,3. p3(x) = πx4 +2x3−3x.
El dominio de una funcion polinomica es siempre R, mientras que suimagen varıa en cada caso.
Funciones racionales
Las funciones racionales son cocientes de funciones polinomicas, es decir,
f (x) =p(x)q(x)
.
Ejemplos de funciones racionales son
1. f1(x) =5x3−4x+2
8x3−√
2,
2. f2(x) =1
x3 +2.
El dominio de estas funciones son todos los reales, excepto aquellos queanulen el denominador,
Dom f = R−{x ∈ R : q(x) = 0} ,
mientras que su imagen varıa en cada caso.
Funcion exponencialSea a > 0. Definimos la funcion exponencial de base a como
f (x) = ax.Siempre que a 6= 1,I Dom f = R,I Im f = (0,+∞),I f (0) = a0 = 1.
1. a < 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente decreciente,
x < y⇒ ax > ay,
I lımx→−∞
ax = +∞,I lım
x→+∞ax = 0.
2. a > 1. En este caso,I f (x) = ax es una funcion estrictamente creciente,
x < y⇒ ax < ay,
I lımx→−∞
ax = 0,I lım
x→+∞ay = +∞.
Funcion exponencial
−4 −2 0 2 40
2
4
6
8
10
12
14
16
2x
0.5x
El caso mas importante es la funcion f (x) = ex (recordemos quee = 2,7182818...). A esta funcion es a la que se suele conocer, por defecto,como funcion exponencial.
Propiedadi) ax+y = axay, ∀x,y ∈ R,
ii) (ax)y = axy, ∀x,y ∈ R,
iii) a−x =1ax ∀x ∈ R (consecuencia de la anterior propiedad).
Funcion logarıtmicaEs la inversa de la funcion exponencial.
DefinicionDado a > 0, a 6= 1, decimos que y es el logaritmo en base a de x si ay = x,
y = loga(x) :⇐⇒ ay = x.
PropiedadPara cualquier valor de a,I el dominio de la funcion logaritmo lo forman los numeros positivos
(Dom log = (0,+∞)),I la imagen es todo R,I loga(1) = 0.
Propiedad
i) loga (xy) = loga (x)+ loga (y) , ∀x,y ∈ R,
ii) loga (xy) = y loga (x) , ∀x,y ∈ R,
iii) loga
(xy
)= loga (x)− loga (y) ∀x,y ∈ R, y 6= 0.
Funcion logarıtmica1. a < 1. En este caso,
I f (x) = loga(x) es una funcion estrictamente decreciente,
x < y⇒ loga(x) > loga(y),
I lımx→0+
loga(x) = +∞,
I lımx→+∞
loga(x) =−∞.
2. a > 1. En este caso,I f (x) = loga(x) es una funcion estrictamente creciente,
x < y⇒ loga(x) < loga(y),
I lımx→0+
loga(x) =−∞,
I lımx→+∞
loga(y) = +∞.
0 1 2 3 4−6
−4
−2
0
2
4
6log
2(x)
log0.5
(x)
Funcion logarıtmica
0 1 2 3 4−6
−4
−2
0
2
4
6log
2(x)
log0.5
(x)
El logaritmo mas importante es el que tiene como base el numero e,f (x) = loge(x). Se denomina logaritmo neperiano, y suele denotarse porln(x) o, simplemente, log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar enfuncion del ln mediante la formula
loga (x) =ln(x)ln(a)
.
Funciones trigonometricas
Funcion senoLa funcion f (x) = sin(x), verificaI su dominio es todo R,I su imagen es [−1,1],I es una funcion impar,I es una funcion periodica con perıodo 2π .
−10 −5 0 5 10
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
sen(x)
Funciones trigonometricas
Funcion cosenoLa funcion f (x) = cos(x), verificaI su dominio es todo R,I su imagen es [−1,1],I es una funcion par,I es una funcion periodica con perıodo 2π .
−10 −5 0 5 10
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cos(x)
Funciones trigonometricas
El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de lasproyecciones sobre los ejes del angulo, en radianes, dibujado sobre lacircunferencia de radio unidad.
sin(x)
cos(x)
x
1
Propiedad
I sin2(x)+ cos2(x) = 1 ∀x,I sin(x+ y) = sin(x)cos(y)+ cos(x)sin(y),I cos(x+ y) = cos(x)cos(y)− sin(x)sin(y).
Funciones trigonometricasDefinimos la funcion tangente como
tan(x) :=sin(x)cos(x)
.
El dominio de esta funcion lo forman todos los puntos de R en los que elcoseno no se anule, es decir,
Dom tan = R−{
π
2+ kπ : k ∈ Z
},
mientras que su imagen es todo R. Ademas, es una funcion impar yperiodica, con perıodo π .
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
tan(x)
Funciones trigonometricas
Otras funciones trigonometricas
I Cosecante, cosec(x) :=1
sin(x),
I Secante, sec(x) :=1
cos(x),
I Cotangente, cotan(x) :=1
tan(x).
Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-senoEs la inversa de la funcion seno. Como esta no es una funcion inyectiva,restringimos su dominio, quedandonos con el seno definido solo en elintervalo [−π
2 , π
2 ].
Definimos entonces la funcion arco-seno, arcsin(x), como la funcion que,dado un x ∈ [−1,1], le asocia el unico y en [−π
2 , π
2 ].
x
y = asin(x)
Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-seno
Por tanto la funcion arcsin(x) tiene como dominio el intervalo [−1,1] ycomo imagen el [−π
2 , π
2 ]. Es una funcion impar.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
asin(x)
Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-cosenoEs la inversa de la funcion coseno. En este caso, restringimos el dominiopara quedarnos con el coseno definido en el intervalo [0,π].
Definimos entonces la funcion arco-coseno, arccos(x), como la funcion que,dado un x ∈ [−1,1], le asocia el unico y en [0,π] tal que x = cos(y).
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
acos(x)
Funciones trigonometricas inversas
Funcion arco-tangenteEs la inversa de la funcion tangente. Restringimos su dominio al intervalo(−π
2 , π
2
).
Definimos entonces la funcion arco-tangente, arctan(x), como la funcionque, dado un x ∈ R, le asocia el unico y en
(−π
2 , π
2
)tal que x = tan(y).
y = arctan(x)
x
Funciones trigonometricas inversasFuncion arco-tangente
Por tanto la funcion arctan(x) tiene como dominio todo R y como imagen elintervalo
(−π
2 , π
2
). Es una funcion impar.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−1
0
1
atan(x)
Definicion de lımite. Introduccion
ε
δ
Figura: Eligiendo x en el intervalo azul, f (x) estara en el verde
Figura: Si x esta en el intervalo azul, f (x) esta dentro del rectangulo verde
Lımite de una funcion en un punto
Sea f : (a,b)−→ IR
DefinicionDecimos que ` ∈ IR es lımite de f en x0 ∈ (a,b) si:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x− x0|< δ =⇒ |f (x)− `|< ε
Se representa por lımx→x0
f (x) = `
PropiedadEl lımite de una aplicacion en un punto, si existe, es unico.
PropiedadSupongamos que lım
x→x0f (x) = `1 y lım
x→x0g(x) = `2. Entonces,
I lımx→x0
(f (x)+g(x)) = `1 + `2
I lımx→x0
(f (x)g(x)) = `1 `2
I lımx→x0
(f (x)g(x)
)=
`1
`2si `2 6= 0
Lımites laterales
DefinicionI Diremos que el lımite de f , cuando x se acerca a x0 por la derecha, es l
si
lımx→x+
0
f (x)= l :⇐⇒[∀ε > 0,∃δ > 0
/0 < x− x0 < δ =⇒ |f (x)− l|< ε
].
I Diremos que el lımite de f , cuando x se acerca a x0 por la izquierda, esl si
lımx→x−0
f (x)= l :⇐⇒[∀ε > 0,∃δ > 0
/0 < x0− x < δ =⇒ |f (x)− l|< ε
].
Lımites laterales
x0 x0
Lımite por la derecha Lımite por la izquierda
PropiedadExiste lım
x→x0f (x) si y solo si existen lım
x→x+0
f (x) y lımx→x−0
f (x) y son iguales.
Lımites infinitos
DefinicionI lım
x→x0f (x) = +∞ :⇐⇒
[∀M > 0,∃δ > 0
/0 < |x− x0|< δ ⇒ f (x) > M
],
I lımx→x0
f (x) =−∞ :⇐⇒[∀M > 0,∃δ > 0
/0 < |x− x0|< δ ⇒ f (x) <−M
].
M
−M
lımx→x0
f (x) = +∞ lımx→x0
f (x) =−∞
Lımites en el infinito
DefinicionI lım
x→+∞f (x) = l :⇐⇒
[∀ε > 0,∃M > 0
/x > M⇒ |f (x)− l|< ε
],
I lımx→−∞
f (x) = l :⇐⇒[∀ε > 0,∃M > 0
/x <−M⇒ |f (x)− l|< ε
].
lımx→+∞
f (x) = l
M
l
lımx→−∞
f (x) = l
l
−M
Decimos que la funcion f tiene:I una asıntota horizontal en y = l si: lım
x→±∞f (x) = l
I una asıntota vertical en x = x0 si: lımx→x0
f (x) =±∞
I una asıntota oblicua si lımx→±∞
(f (x)− (mx+n)) = 0.
Para calcular m y n: m = lımx→±∞
f (x)x
y n = lımx→±∞
(f (x)−mx);
la ecuacion de la asıntota es: y = mx+n
Continuidad
Sea f : (a,b)−→ IR, x0 ∈ (a,b)
DefinicionDecimos que la aplicacion f es continua en x0 si y solo si:
∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que |x0− x|< δ =⇒ |f (x0)− f (x)|< ε
o bien, teniendo en cuenta la definicion de lımite, si lımx→x0
f (x) = f (x0)
En caso de no cumplir la condicion anterior, decimos que f es discontinuaen x0. Las discontinuidades pueden ser de varios tipos:I evitable: lım
x→x0f (x) 6= f (x0)
I esencial: no existe el lımite de f en x0, porque:I lım
x→x−0f (x) 6= lım
x→x+0
f (x)
I alguno de los lımites laterales (o ambos) no existe
PropiedadSi f ,g : (a,b)−→ IR son funciones continuas en x0 ∈ (a,b),I λ f es continua en x0, ∀λ ∈ R,I (f ±g) y (f ·g) son continuas en x0,
I si g(x0) 6= 0, entoncesfg
es continua en x0.
PropiedadLa composicion de funciones continuas es una funcion continua. Ademas, sif y g son funciones tales que lım
x→x0f (x) = ` y g es continua en `, entonces
lımx→x0
g(f (x)) = g(`)
PropiedadEl lımite conmuta con las funciones continuas. Es decir, sean f y g funcionestales que existe lım
x→x0f (x) = l ∈ R y g es una funcion continua en l. Entonces
lımx→x0
g(f (x)) = g(
lımx→x0
f (x))
= g(l).
Continuidad en intervalos
DefinicionSea f : (a,b)⊂ R→ R. Diremos que f es continua en (a,b) si es continuaen todos los puntos de (a,b).
DefinicionSea f : [a,b]⊂ R→ R. Diremos que f es continua en [a,b] si
1. f es continua en (a,b),2. f es continua en a por la derecha,
3. f es continua en b por la izquierda.
Teorema de Bolzano
Teorema (de Bolzano)Sea f : [a,b]−→ IR continua. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces∃x0 ∈ (a,b) tal que f (x0) = 0
Teorema de Bolzano. Comentarios1. Pueden existir varias raıces,
ba
2. Si se suprime alguna de las hipotesis, el teorema no es valido (engeneral),
f (a)f (b) > 0 f no continua en [a,b]
a b a b
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)Si f : [a,b]−→ IR es continua, entonces f alcanza el maximo y el mınimo enel intervalo [a,b], es decir, existen x1,x2 ∈ [a,b] tales que:
f (x1)≤ f (x)≤ f (x2) , ∀x ∈ [a,b]
Derivada. IntroduccionRecordemos la definicion de pendiente de una recta:
αy0
y1
x1x0
Pendiente= m = tanα =y1− y0
x1− x0
Y ahora consideremos las pendientes de las rectas secantes a una funcion, loque, en el lımite, sera la definicion de derivada:
x0 x0 +h
f (x0 +h)f (x0)
α
h→ 0
x0
f (x0)α
tanα =f (x1)− f (x0)
x1− x0tanα =
f (x0 +h)− f (x0)h
x→ x0
f (x)
x
Definicion de derivada
Sea f : (a,b)−→ IR
DefinicionSe dice que f es derivable en el punto x0 ∈ (a,b) si existe el siguiente lımite:
lımx→x0
f (x)− f (x0)x− x0
= lımh→0
f (x0 +h)− f (x0)h
en cuyo caso dicho lımite se representa por f ′(x0).
Definicion de derivada. Observaciones
1. Vemos la utilidad de no incluir el punto x0 (en este caso, el punto h = 0)
en la definicion de lımite. En la expresion lımh→0
f (x0 +h)− f (x0)h
no
podemos hacer nada si h = 0, ya que tendrıamos una division entre 0.
2. El cociente f (x)−f (x0)x−x0
mide la variacion de la funcion respecto a lavariacion de la variable. Por ese motivo a f ′(x0) se le denomina, enocasiones, coeficiente de variacion de f , o razon de cambio de lafuncion f , en el punto x0.
3. Ahora ya podemos calcular la ecuacion de la recta tangente utilizandola formula punto-pendiente,
y− y0 = m(x− x0) =⇒ y = y0 +m(x− x0) .
En este caso, (x0,y0) = (x0, f (x0)), m = f ′ (x0). Y la recta tangente,
y = f (x0)+ f ′ (x0)(x− x0) .
Derivadas laterales
DefinicionSea f : (a,b)→ R, x0 ∈ (a,b). DefinimosI derivada por la izquierda de f en x0 como
f ′(x−0 ) := lımh→0−
f (x0 +h)− f (x0)h
,
I derivada por la derecha de f en x0 como
f ′(x+0 ) := lım
h→0+
f (x0 +h)− f (x0)h
.
PropiedadSea f : (a,b)→ R, x0 ∈ (a,b). f es derivable en x0 si y solo si es derivablepor la izquierda y por la derecha en x0 y ambas derivadas coinciden.
Derivable⇒ continua
PropiedadSi f es derivable en x0, entonces f es continua en x0. El recıproco no siemprees cierto.
Consecuencia: Si f no es continua en x0 entonces f no puede ser derivableen x0.
Recuerda:I Derivable en x0⇒ continua en x0
I No continua en x0⇒ no derivable en x0
Derivadas elementales
.ddx
xn = nxn−1,
.ddx
logx =1x,
ddx
loga x =1x
loga e,
.ddx
ex = ex,ddx
ax = ax loga,
.ddx
sinx = cosx,ddx
cosx =−sinx,
.ddx
tanx =1
cos2 x,
.ddx
arcsinx =1√
1− x2, arccosx =
−1√1− x2
,
.ddx
arctanx =1
1+ x2 .
Propiedades aritmeticas de la derivadaPropiedadSean f ,g : (a,b)→ R, dos funciones derivables en un punto x0 ∈ (a,b).EntoncesI para cualquier λ ∈ R, la funcion λ f es derivable en x0 y
(λ f )′ (x0) = λ f ′(x0),
I f ±g es derivable en x0 y
(f ±g)′ (x0) = f ′(x0)±g′(x0),
I fg es derivable en x0 y
(fg)′ (x0) = f ′(x0)g(x0)+ f (x0)g′(x0),
I si g(x0) 6= 0, entonces fg es derivable en x0 y(
fg
)′(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f (x0)g′(x0)g(x0)2 .
Regla de la cadenaSean f y g dos funciones tales que f es derivable en x0 y g es derivable enf (x0). Entonces (g◦ f ) es derivable en x0 y
(g◦ f )′ (x0) = g′ (f (x0)) f ′(x0)
Derivacion implıcitaSe trata de calcular el valor de dy
dx a partir de expresiones de la formaF(x,y) = 0. Para hacerlo debemos tener en cuenta que al derivar unaexpresion que dependa de y debemos derivar de la forma ordinaria y anadiral final dy
dx = y′.
Derivacion logarıtmicaPara obtener la expresion de y′ a partir de formulas como
y = f (x)g(x),
tomaremos logaritmos, logy = g(x) log(f (x)), y despues aplicaremosderivacion implıcita para obtener
y′ = f (x)g(x)(
g′(x) log(f (x))+g(x)f ′(x)
f (x)
).
Derivadas sucesivasDefinicionSea f : (a,b)−→ IR una funcion derivable en todos los puntos de (a,b).Definimos la funcion derivada como:
f ′ : (a,b) −→ IRx f ′(x)
I Dado x0 ∈ (a,b) se define:
f ′′(x0) = lımh→0
f ′(x0 +h)− f ′(x0)h
si este lımite existe y es finito. En este caso, se dice que f es derivabledos veces en x0
I En general, una vez que se tiene f (n) : (a,b)−→ IR, se define:
f (n+1)(x0) =(
f (n))′
(x0)
DefinicionDiremos que f es de clase n en (a,b), y se representa por:
f ∈ C n(a,b)
si existe la derivada n–esima de f en (a,b) y es continua.
I Diremos que f ∈ C ∞(a,b) si f ∈ C n(a,b), ∀n ∈ INI Diremos que f ∈ C n[a,b], si existe (c,d)⊃ [a,b] tal que f ∈ C n(c,d)
Extremos relativos
DefinicionSea f : (a,b)−→ IR. Diremos que la funcion f tiene un mınimo local orelativo en x0 ∈ (a,b) si existe r > 0 tal que:
f (x0)≤ f (x) , ∀x ∈ (x0− r,x0 + r)
Extremos relativos
DefinicionSea f : (a,b)−→ IR. Diremos que la funcion f tiene un maximo local orelativo en x0 ∈ (a,b) si existe r > 0 tal que:
f (x0)≥ f (x) , ∀x ∈ (x0− r,x0 + r)
PropiedadSea f : (a,b)−→ IR derivable en x0 ∈ (a,b). Si f tiene en x0 un extremorelativo, entonces f ′(x0) = 0.
Criterio de la primera derivadaSea f : [a,b]−→ IR una funcion continua, x0 ∈ (a,b) y existe r > 0 tal que fes derivable en (x0− r,x0)∪ (x0,x0 + r).I Si f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0− r,x0), y f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0,x0 + r), entonces f
presenta en x0 un mınimo relativoI Si f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0− r,x0), y f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0,x0 + r), entonces f
presenta en x0 un maximo relativo
Criterio de la segunda derivadaSea f : (a,b)−→ IR con derivada segunda continua en (a,b). Sea x0 ∈ (a,b)tal que f ′(x0) = 0. Entonces:I si f ′′(x0) < 0, f presenta en x0 un maximo relativo,I si f ′′(x0) > 0, f presenta en x0 un mınimo relativo.
PropiedadSean f ∈ C n(a,b) y x0 ∈ (a,b) tales quef ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0 y f (n)(x0) 6= 0. EntoncesI Si n es par y f (n)(x0) < 0, f presenta en x0 un maximo relativoI Si n es par y f (n)(x0) > 0, f presenta en x0 un mınimo relativoI Si n es impar, f no tiene extremos relativos en x0
Teorema (de Rolle)Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua en [a,b], derivable en (a,b) y talque f (a) = f (b). Entonces existe al menos un punto x0 ∈ (a,b) tal quef ′(x0) = 0Consecuencias:I Si f tiene n raıces reales, f ′ tendra, al menos n−1 raıces realesI Si f ′ tiene n raıces reales, f tendra, a lo sumo n+1 raıces reales
Teoremas de Cauchy y de Lagrange
Teorema (de Cauchy)Sean f ,g : [a,b]−→ IR dos funciones continuas en [a,b] y derivables en(a,b). Existe x0 ∈ (a,b) tal que
[g(b)−g(a)] f ′(x0) = [f (b)− f (a)] g′(x0)
Teorema (del valor medio de Lagrange)Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua en [a,b] y derivable en (a,b).Existe x0 ∈ (a,b) tal que
f ′(x0) =f (b)− f (a)
b−a
Aplicaciones
PropiedadSea f derivable en (a,b)
1. Si f ′(x)≥ 0, ∀x ∈ (a,b), f es monotona creciente en el intervalo
2. Si f ′(x)≤ 0, ∀x ∈ (a,b), f es monotona decreciente en el intervalo
3. Si f ′(x) = 0, ∀x ∈ (a,b), f es constante en el intervalo
4. Si f ′(x) 6= 0, ∀x ∈ (a,b), f es inyectiva en el intervalo
Regla de L’Hopital
Regla de L’HopitalSean f ,g : (a,b)−→ IR funciones derivables en (x0− r,x0)∪ (x0,x0 + r), conx0 ∈ (a,b) y r > 0. Si
lımx→x0
f (x) = lımx→x0
g(x) = 0 y ∃ lımx→x0
f ′(x)g′(x)
entonces,
∃ lımx→x0
f (x)g(x)
y lımx→x0
f (x)g(x)
= lımx→x0
f ′(x)g′(x)
Regla de L’HopitalI El recıproco no es cierto:
∃ lımx→x0
f (x)g(x)
6=⇒ ∃ lımx→x0
f ′(x)g′(x)
I El enunciado del teorema tambien es valido si:
lımx→x0
f (x) =±∞ y lımx→x0
g(x) =±∞
o cuando calculamos los lımites en ±∞
I Si en la expresion lımx→x0
f ′(x)g′(x)
se vuelve a producir una indeterminacion
del tipo00
o∞
∞se puede volver a aplicar l’Hopital (si se verifican las
hipotesis)
I Las indeterminaciones 0 ·∞, ∞−∞, 00, ∞0 y 1∞ se pueden reducir aindeterminaciones de tipo l’Hopital
Concavidad y convexidad
Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua.
DefinicionDecimos que f es convexa en [a,b] si
f (x)≤ f (b)− f (a)b−a
(x−a)+ f (a) , ∀x ∈ [a,b]
DefinicionDecimos que f es concava en [a,b] si (−f ) es convexa en [a,b]
Definicionf tiene un punto de inflexion en x0 si cambia de concava a convexa (oviceversa) en x0
Concavidad y convexidad
Sea f : [a,b]−→ IR una funcion continua.
PropiedadSea f : [a,b]−→ IR continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces f esconvexa en [a,b] si y solo si f ′ es creciente en (a,b). Esto equivale a quef ′′ ≥ 0, si f tiene derivada segunda.
I Respectivamente, f es concava en [a,b] si y solo si f ′ es decreciente en(a,b) (es decir, si existe derivada segunda, si y solo si f ′′ ≤ 0)
Derivacion implıcita
Una ecuacion F(x,y) = 0 define implıcitamente una funcion f en unintervalo (a,b) si:
F(x, f (x)) = 0 ∀x ∈ (a,b)
I Por ejemplo, la ecuacion:
x2 + y2 = 4
define la funcion
f (x) =√
4− x2 ∀x ∈ (−2,+2)
PropiedadSi f es derivable, entonces F tambien lo es.
I Como consecuencia, podemos calcular f ′ a partir de F′
Derivacion implıcitaI Dada la ecuacion x2 +2y2−3xy = 0, deseamos calcular y′(1,1)
Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos:
2x+4yy′−3y−3xy′ = 0.
Para x = 1, y = 1,
2+4y′−3−3y′ =−1+ y′ = 0 ,
de donde y′(1,1) = 1
I Dada la ecuacionx−1
4+4y2 = 1, deseamos calcular y′(1,0,5)
I Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos:
14
+8yy′ = 0 =⇒ y′ =− 132y
de donde y′(1,0,5) =−1/16
Derivacion logarıtmica
Es un caso particular del tema anterior.
I Supongamos que queremos calcular la derivada de la funcion f (x) = xx
Sea y = xx. Tomando logaritmos:
lny = x lnx
y derivando:
y′
y= lnx+
xx
= 1+ lnx
de donde: y′ = y(1+ lnx) = xx (1+ lnx)
Polinomio de Taylor
Sea f : [a,b]−→ IR una funcion que admite derivada n−sima.Para x0 ∈ [a,b], definimos el polinomio de Taylor de grado n−1 relativo ala funcion f y al punto x0 como:
Pn−1(x)= f (x0)+f ′(x0)
1!(x−x0)+
f ′′(x0)2!
(x−x0)2 +. . .+f (n−1)(x0)(n−1)!
(x−x0)n−1
Entonces, para todo x ∈ (a,b) existe ξ ∈ (a,x0) o ξ ∈ (x0,b) tal que:
f (x) = P(x)+f (n)(ξ )
n!(x− x0)n = P(x)+Rn
I Si x0 = 0, el polinomio se denomina de McLaurin
Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor
Polinomio de Taylor
