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Calculo 1.Lectura No. 17. Derivadas (2)

Julio Lizarazo Osorio

Calculo 1. Lectura No. 17. Derivadas (2) Construccion de funciones

Indice

1. Construccion de funciones 11.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Derivada de funciones Basicas 32.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Reglas de Derivacion 63.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Derivacion implcita 134.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Derivadas de orden superior 185.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20En esta lectura abordaremos las reglas basicas que permiten derivar funciones mas complejas. Para esto recordemos la

forma en la que se construyen o ensamblan funciones

Seccion 1: Construccion de funciones

Dadas la funciones f(x) y g(x), podemos construir con estas nuevas funciones usando basicamente 4 procedimientoselementales, el primero es la suma de la funciones, el segundo es la multiplicacion, el tercero es la division y el cuarto es lacomposicion.

Ejemplo 1. De f(x) = 1x1 y g(x) =x+ 1, se podra con estas funcion crear nueva as:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 1x1 +x+ 1

(fg)(x) = f(x)g(x) = 1x1 (x+ 1) =

x+1x1

(f/g)(x) = f(x)g(x) =1

x1x+1

= 1(x1)x+1

(f g)(x) = f(g(x)) = 1g(x)1 = 1x+11Las funciones simples que en esencia se derivan son de los siguientes tipos

Constantes 3, pi, e y en general c

Potencias de x como x3, x7/2, 1x = x1 y en general xp con p R

ex y ln(x)

sin(x) y cos(x)

Luego, el objetivo es aprender a identificar las funciones como el ensamble de funciones de este tipo, por ejemplo

Ejemplo 2. la funcion

f(x) =sin(x2 1)e4x

1 x2es en esencia el ensamble de funciones elementales de los tipos listados anteriormente

1

Calculo 1. Lectura No. 17. Derivadas (2) Construccion de funciones

funciones Operacion resultado

x2

1 + x2 14x + 4 x1x2 1 x2

sin(x)x2 1 sin(x2 1)ex

4 x e4xx

1 x2 1 x2sin(x2 1)

e4x sin(x2 1)e4xsin(x2 1)e4x

1 x2 / sin(x21)e4x1x2

Cuadro 1: ejemplo de ensamble

como se ve en la tabla marcados en verde se encuentran las funciones elementales que componen a f(x) y f en rojo. Seinterpreta entonces que f se obtiene al dividir las funciones sin(x2 1)e4x y 1 x2. Las que a su vez se obtiene de otrasfunciones. Note que esta descomposicion no es unica Construya otro cuadro en el que realice otra descomposicion distinta.

1.1: Ejercicios

1. Con base en la siguientes funciones construya f + g, f g, f/g y f ga) f(x) = 1xx2+1 y g(x) = cos(x) sin(2x)b) f(x) = ln(x+ 1)ex y g(x) = sin(cos(x))

c) f(x) = 1 y g(x) = 4x1/5

2. Encuentre las funciones elementales que componen las siguientes funciones

a)(ln(2x1)x

x1 + sinx)1/4

b) 5

2x+1 31xc) epi

3. Diga cual es la primera descomposicion de cada una de las siguientes funciones, es decir diga si es una suma o unproducto o un cociente o una composicion y escriba de que funciones.

a) sin(cos(x+ 1) + 1) + 1

b) ecos(2x1)+x2 3

2x2 1c) cos(2x

2+3x)sin(3x+2x2)

4. La funcion cos(2x2+3x)

sin(3x+2x2) es la composicion de dos funciones, diga de cuales.

2

Calculo 1. Lectura No. 17. Derivadas (2) Derivada de funciones Basicas

Seccion 2: Derivada de funciones Basicas

En esta seccion vamos a derivar las funciones basicas que en matematicas son usadas.

si f(x) = c una constante, entonces f (x) = 0, veamos esto.

f (x) = lmh0

f(x+ h) f(x)h

= lmh0

c ch

= 0

Esto obedece principalmente a que f (x) es una medida de cuan inclinada se ve una funcion en el punto x, y si esta esconstante su inclinacion obviamente es cero.

Ejemplo 3. Si f(x) = 2 entonces f (x) = 0, si f(x) = pi entonces f (x) = 0.

Para poder encontrar la derivada de xp debemos recordar primero lo que dice el teorema del binomio.

Teorema 2.1. Teorema del Binomio:si x y y son numeros reales, y n un numero natural, entonces

(x+ y)n = xn + a1xn1y1 + a2xn2y2 + a3xn3y3 + . . .+ an1x1yn1 + yn

donde los ai son numeros que se puede encontrar usando el triangulo de Pascal o la formula

ai =

(n

i

)=

n!

i!(n i)!y n! = 1 2 3 . . . (n 1) n

algunos ejemplos son

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2,

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

(a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4, observe que

6 =

(4

2

)=

4!

2!(4 2)! =1 2 3 4(1 2)2!

Usando este teorema del binomio podemos ver que si f(x) = xn, entonces f (x) = nxn1 Esto surge de la definicion dederivada que sera

lmh0

f(x+ h) f(x)h

= lmh0

(xn + a1xn1h1 + a2xn2h2 + . . .+ an1x1hn1 + hn) xn

h

= lmh0

a1xn1hh

+a2x

n2h2

h. . .+

an1x1hn1

h+hn

h

= lmh0

a1xn1 + a2xn2h . . .+ an1x1hn2 + hn1

= a1xn1 + 0 + . . .+ 0

revisando nuevamente el teorema del binomio vemos que

a1 =

(n

1

)=

n!

1!(n 1)!=

(n 1)! n(n 1)! = n,

esto termina de mostrar que si f(x) = xn, entonces

f (x) = nxn1.

En general con mucha mas dificultad se puede mostrar que Si f(x) = xp, con p R se tiene que f (x) = pxp1

3


Ejemplo 4. Como se menciono anteriormente, si f(x) = 15x , entonces f(x) = x1/5, luego

f (x) =15x1/51 =

15x6/5 =

15x6/5

=1

4( 5x)6

Veamos ahora que si f(x) = ex, entonces f (x) = ex.

f (x) = lmh0

f(x+ h) f(x)h

= lmh0

ex+h exh

= lmh0

exeh exh

= ex lmh0

eh 1h

En su curso de calculo anterior en el cual debieron abordar lmites, se analiza este ultimo lmite y se ve que es 1. De aqu quef (x) = ex

Use la siguiente tabla para terminar de convencerse que

lmh0

eh 1h

= 1

h < 0 eh1h h > 0

eh1h

-1 0.632120559 1 1.718281828-0.9025 0.658665368 0.9025 1.624110595-0.81 0.685360412 0.81 1.540627144

-0.7225 0.712059661 0.7225 1.466540788-0.64 0.738605587 0.64 1.400751374

-0.5625 0.764830534 0.5625 1.34231939-0.49 0.790558379 0.49 1.290441265

-0.4225 0.815606499 0.4225 1.244428922-0.36 0.839787983 0.36 1.203692818

-0.3025 0.862914088 0.3025 1.167727856-0.25 0.884796868 0.25 1.136101667

-0.2025 0.905251938 0.2025 1.108444865-0.16 0.924101319 0.16 1.084442944

-0.1225 0.941176286 0.1225 1.063829552-0.09 0.956320164 0.09 1.04638093

-0.0625 0.969390995 0.0625 1.031911343-0.04 0.980264021 0.04 1.020269355

-0.0225 0.988833903 0.0225 1.011334852-0.01 0.995016625 0.01 1.005016708

-0.0025 0.998751041 0.0025 1.001251042

Cuadro 2: limite cuando h 0 de f(h) = eh1h

La siguiente funcion elemental es el logaritmo natural. si f(x) = ln(x), entonces f (x) = 1x .

Este resultado lo veremos despues de ver derivacion implcita, ya que esta nos permite calcular las derivadas de funcionescomo ln(x), arc cos(x) y arcsin(x) que son la inversas de ex, cos(x) y sin(x) respectivamente.

Continuamos con la siguiente funcion elemental que es f(x) = cos(x). si f(x) = cos(x), entonces f (x) = sin(x),veamos esto de la definicion de derivada

f (x) = lmh0

f(x+ h) f(x)h

= lmh0

cos(x+ h) cos(x)h

4


usando la identidad trigonometrica

cos(+ ) = cos() cos() sin() sin()

podemos escribir

cos(x+ h) = cos(x) cos(h) sin(x) sin(h)

usando esto, tenemos

f (x) = lmh0

(cos(x) cos(h) sin(x) sin(h)) cos(x)h

= lmh0

cos(x)(cos(h) 1) sin(x) sin(h)h

= cos(x)

(lmh0

cos(h) 1h

) sin(x)

(lmh0

sin(h)

h

).

estos ultimos lmites tambien son tema del curso previo de calculo, solo para ilustrar al estudiante los valores de estos lmitespresento las siguientes tablas

h < 0 cos(h)1h h > 0cos(h)1

h

-1 0.459697694 1 -0.459697694-0.9025 0.421440764 0.9025 -0.421440764-0.81 0.383335268 0.81 -0.383335268

-0.7225 0.345806339 0.7225 -0.345806339-0.64 0.309225378 0.64 -0.309225378

-0.5625 0.273912001 0.5625 -0.273912001-0.49 0.240137023 0.49 -0.240137023

-0.4225 0.208126185 0.4225 -0.208126185-0.36 0.178064379 0.36 -0.178064379

-0.3025 0.150100152 0.3025 -0.150100152-0.25 0.124350313 0.25 -0.124350313

-0.2025 0.100904482 0.2025 -0.100904482-0.16 0.079829479 0.16 -0.079829479

-0.1225 0.061173444 0.1225 -0.061173444-0.09 0.044969633 0.09 -0.044969633

-0.0625 0.031239829 0.0625 -0.031239829-0.04 0.019997333 0.04 -0.019997333

-0.0225 0.011249525 0.0225 -0.011249525-0.01 0.004999958 0.01 -0.004999958

-0.0025 0.001249999 0.0025 -0.001249999

Cuadro 3: limite cuando h 0 de cos(h)1h

5

Calculo 1. Lectura No. 17. Derivadas (2) Reglas de Derivacion

h < 0 sin(h)h h > 0sin(h)h

-1 0.841470985 1 0.841470985-0.9025 0.869671452 0.9025 0.869671452-0.81 0.894181697 0.81 0.894181697

-0.7225 0.915241694 0.7225 0.915241694-0.64 0.933117877 0.64 0.933117877

-0.5625 0.948093642 0.5625 0.948093642-0.49 0.960460996 0.49 0.960460996

-0.4225 0.97051337 0.4225 0.97051337-0.36 0.978539537 0.36 0.978539537

-0.3025 0.984818585 0.3025 0.984818585-0.25 0.989615837 0.25 0.989615837

-0.2025 0.993179624 0.2025 0.993179624-0.16 0.995738791 0.16 0.995738791

-0.1225 0.997500834 0.1225 0.997500834-0.09 0.998650547 0.09 0.998650547

-0.0625 0.999349085 0.0625 0.999349085-0.04 0.999733355 0.04 0.999733355

-0.0225 0.999915627 0.0225 0.999915627-0.01 0.999983333 0.01 0.999983333

-0.0025 0.999998958 0.0025 0.999998958

Cuadro 4: limite cuando h 0 de sin(h)h

como se ve en los cuadros anteriores,

lmh0

cos(h) 1h

= 0, y lmh0

sin(h)

h= 1

lo que nos permite concluir nuestra afirmacion. Para f(x) = cos(x), f (x) = sin(x)

2.1: Ejercicios

1. Demuestre que si f(x) = sin(x), entonces f (x) = cos(x)

2. Demuestre que si f(x) = tan(x), entonces f (x) = sec2(x)

3. Usando la definicion muestre que si f(x) =x entonces f (x) = 1

2x

Seccion 3: Reglas de Derivacion

Estudiemos ahora como derivar funciones que no son elementales como por ejemplo, como se puede derivar cos2(x) o1

1+x2 .Demos inicio con las funcion que se ensamblan mediante la suma.

Teorema 3.1. Si H(x) = f(x) + g(x), con f y g derivables. Se tiene que H es derivable y H (x) = f (x) + g(x).

Esto es una consecuencia inmediata de las propiedades de los lmites ya que si lmxa f(x) existe y es L, y tambien el

lmxa g(x) existe y es M , se tiene que lmxa(f + g)(x) existe y es L + M . Esto quiere decir simplemente que si tiene unauna suma de funciones que desea derivar, simplemente deriva cada una de las funciones por separado y luego suma dichasderivadas. Por ejemplo.

6


Ejemplo 5. La funcion x2 + 3x + e sin(x) es la suma (o resta) de las funciones elementales x2, x, e que es constante ysin(x) La derivada de la funcion x2 +x+ e sin(x) es 2x+ 1 cos(x), ya que la derivada de x2 es 2x, la derivada de x es 1,la derivada de una constante es cero ya que las funciones constantes no presentan variacion alguna y la derivada de sin(x)es cos(x) como se pidio mostrar en un ejercicio previo. La resta tiene el mismo comportamiento de la suma en las derivadas.

Las funciones que se obtienen mediante la multiplicacion de una funcion elemental y una funcion constante son lassiguientes, para estas tenemos.

Teorema 3.2. Si H(x) = cf(x), entonces H (x) = cf (x)

Esto quiere decir que las constantes no las derivamos, solo las funciones siempre y cuando las constantes esten multi-plicando a la funcion, este resultado es consecuencia inmediata de las propiedades de los lmites. Observe que la constanteesta por fuera del argumento de la funcion (no es lo mismo 2 sin(x) que sin(2x), en la primera el argumento de la funcion esx mientras que en la segunda es 2x).

Ejemplo 6. La derivada de la funcion h(x) = 3 sin(x) es h(x) = 3 cos(x), La derivada de la funcion 3x es 3, la derivada dela funcion 7x2/3 es 7 23x2/31 = 143 x1/3

La derivada de la funcion sin(3x) no se calcula usando la propiedad recien descrita, se debe usar la regla de la cadena( de la cual hablaremos mas adelante) o la definicion, ya que esta no se obtiene multiplicando una funcion que ya se sabederivar y una constante sino mediante la composicion.

Continuando con la forma en la cual se ensamblan funciones consideremos ahora las funciones que se obtienen medianteel producto de otras dos por ejemplo cos(x) cos(x), para las cuales tenemos.

Teorema 3.3. Si H(x) = f(x)g(x), entonces H(x) = f (x)g(x) + f(x)g(x)

Note que dice que la derivada de un producto no es el producto de las derivadas sino la suma de dos productos en losque se tienen las funciones una derivada a la vez. Veamos rapidamente porque esta afirmacion es cierta.

Demostracion. De la definicion de derivada se tiene que

H (x) = lmh0

H(x+ h)H(x)h

= lmh0

f(x+ h)g(x+ h) f(x)g(x)h

sumando y restando al numerador la cantidad f(x)g(x+ h) tenemos

H (x) = lmh0

f(x+ h)g(x+ h) f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h) f(x)g(x)h

agrupando y factorizando tenemos

H (x) = lmh0

(f(x+ h) f(x))g(x+ h)h

+f(x)(g(x+ h) g(x))

h

de las propiedades de los lmites tenemos

H (x) =(

lmh0

f(x+ h) f(x)h

)(lmh0

g(x+ h)

)+

(lmh0

f(x)

)(lmh0

g(x+ h) g(x)h

)= f (x)g(x) + f(x)g(x)

X

7


veamos ahora algunos ejemplos sobre esta propiedad de las derivadas.

Ejemplo 7. La derivada de la funcionf(x) = x cos(x)

esf (x) = cos(x) x sin(x),

esto es porque la funcion x cos(x) es el producto de las funciones x y cos(x), ambas ya las sabemos derivar.La derivada de x es 1 y la derivada de cos(x) es sin(x), luego al aplicar la regla para derivar productos que solo pide

conocer las derivadas de cada una de las funciones que se estan multiplicando tenemos

(x cos(x)) = (x)(cos(x)) + (x)(cos(x))

donde () significa que estamos derivando lo que esta en el parentesis, luego tendramos

(x cos(x)) = (1)(cos(x)) + (x)( sin(x)),

si esta notacion confunde al lector tambien existe esta como opcion

d

dx(x cos(x)) =

d

dx(x) cos(x) + x

d

dx(cos(x))

= 1 cos(x) + x( sin(x)).

En este caso tenemos ddx () = (). Es bueno acudir a esta la notacion en las derivadas porque esta es la que le permite derivar

sistematicamente.

Ejemplo 8. Veamos por ejemplo la derivada de la funcion x4/5ex usando la notacion, tenemos que la funcion es el productode 2 funciones la primera es x4/5 y la segunda es ex, luego debemos aplicar la regla del producto. Para esto encontramos laderivada de cada una de las funciones que componen el producto, y tenemos que

d

dx

(x4/5

)es

4/5x4/51 =4

5x1/5

y la derivada de la funcion ex como ya se vio es ex.Al usar la regla del producto de forma sistematica, tenemos

d

dx

(x4/5ex

)=

d

dx

(x4/5

)ex + x4/5

d

dx(ex)

=

(4

5x1/5

)ex + x4/5(ex)

Ejemplo 9. la derivada de la funcion sin(2x) es muy simple usando la regla de la cadena, pero tambien se puede derivarusando la regla del producto ya que

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)

luego si

f(x) = sin(2x)

entonces

f (x) = 2(cos(x) cos(x) + sin(x)( sin(x)))= 2(cos2(x) sin2(x)) = 2 cos(2x)

8


Ejemplo 10. Derivemos ahora un triple producto por ejemplo x cos(x)ex, para esto debemos agrupar las funciones con elobjetivo de reconocer dos factores de forma analoga al producto de tres numeros. Podemos entonces identificar x cos(x)ex

como (x cos(x))ex con lo que estamos identificando la funcion como el producto de dos funciones una de ellas es x cos(x) queya sabemos derivar y la otra es ex de la cual conocemos que su derivada es ex, entonces al haber reconocido nuestra funcioncomo un producto podemos aplicar la regla del producto para derivarla.

Tenemos entonces que

((x cos(x))ex)

= (x cos(x))(ex) + (x cos(x)) (ex)

,

usando que x cos(x) es un producto, obtenemos

((x cos(x))ex)

=((x) (cos(x)) + (x) (cos(x))

)(ex) + (x cos(x)) (ex)

= (cos(x) x sin(x)) ex + x cos(x)ex,La regla del cociente es muy parecida a la del producto y la enunciare sin demostrarla,

Teorema 3.4. Si H(x) = f(x)g(x) , entonces H(x) = f

(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2

La demostracion es por completo analoga a la anterior y se propone como ejercicio para el lector. Veamos mejor algunosejemplos de esta regla

Ejemplo 11. la funcion tanx es el cociente de las funciones sin(x) y cos(x) luego su derivada es sec2(x), veamos esto. Laderivada de la funcion sin(x) = cos(x), y la derivada de cos(x) = sin(x) luego al aplicar la regla de derivacion para elcociente obtenemos

d

dx(tan(x)) =

d

dx

(sin(x)

cos(x)

)=

ddx (sin(x)) cos(x) sin(x) ddx (cos(x))

(cos(x))2

=(cos(x))(cos(x)) (sin(x))( sin(x))

(cos(x))2

=cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)=

1

cos2(x)

= sec2(x)

Apliquemos la regla del cociente a otra funcion,

Ejemplo 12. Si f(x) = ex cos(x), esta se puede ver como un cociente o un producto, el problema de verla como un productoes que no sabemos derivar la funcion ex todava, entonces podemos mejor verla como el cociente cos(x)ex esto es gracias a laspropiedades de los exponentes. Ahora como cociente si sabemos cuales son las derivadas de cada una de las funciones queconforman la funcion cociente que son cos(x) y ex, la derivada de la primera es sin(x) y la derivada de la segunda es ex.Al aplicar entonces la regla del cociente tenemos

(cos(x)

ex

)=

(cos(x))(ex) (cos(x)) (ex)

(ex)2

=( sin(x))(ex) (cos(x))(ex)

(ex)2

Esta expresion puede ser simplificada pero no es necesario para derivar solo para presentar de forma mas elegante elresultado. Al simplificar la expresion se puede escribir como

sin(x) cos(x)ex

9


Veamos ahora la ultima regla de derivacion que se ocupa de un procedimiento fundamental en la construccion de funcionescomplejas, este procedimiento es la composicion y la regla de derivacion para la composicion de funciones es la regla de lacadena

Teorema 3.5. REGLA DE LA CADENA Si H(x) = f(g(x)), entonces H (x) = f (g(x))g(x).

Esta regla dice que para derivar una composicion se debe identificar la funcion externa y la interna, derivar cada una yconstruir una funcion mediante la derivada de la externa, evaluada en la interna y luego este resultado multiplicado por laderivada de la funcion interna.

Tambien se puede enunciar como.Si H(x) = f(g(x)), al llamar y = g(x) se tiene que H(x) = f(y) con y = g(x), entonces

d

dx(H(x)) =

d

dxf(y) =

d

dy(f(y))

d

dx(y)

y finalmente se reemplaza y por g(x).

En esta interpretacion la idea es identificar y reemplazar la funcion interna por una nueva variable que depende de x,y derivar la funcion externa con respecto a esta nueva variable, luego multiplicar este resultado por la derivada de la nuevavariable con respecto a la anterior y finalmente se devuelve toda la expresion en terminos de la variable original. Veamosunos cuantos ejemplos tratando de utilizar las dos notaciones, la segunda es mas comun en la derivacion implcita.

Ejemplo 13. La derivada de la funcion sin(2x) ya fue calculada con anterioridad pero ahora repitamos su calculo usandola regla de la cadena.

Esta funcion es la composicion de la funcion sin(x) con la funcion 2x, la derivada de la funcion externa es cos(x) y laderivada de la funcion interna es 2.

Al aplicar entonces la regla de la cadena obtenemos que al escribir y = 2x, podemos calcular ddx (y) comoddx (2x) = 2 y

entonces

d

dx(sin(2x)) =

d

dx(sin(y))

=d

dy(sin(y))

d

dx(y)

= cos(y)d

dx(y)

que al cambiarlo a terminos de x tenemos

d

dx(sin(2x)) = cos(y)

d

dx(y)

= cos(2x)d

dx(2x)

= cos(2x)2

que usualmente se escribe como

d

dx(sin(2x)) = 2 cos(2x).

Trate como ejercicio de escribir la derivada usando la notacion de en vez del ddx vera que no es muy facil.

Entender que simplemente se calculo la derivada de seno y que esta es coseno que es la derivada externa y que la funcioninterna es 2x y su derivada es 2 es mas simple pero para funciones mas complejas tiende a generar confusion al comienzo, misugerencia es que a pesar de parecer y de ser mas engorrosa la notacion usada anteriormente es muy util aprenderla.

10


Ejemplo 14. Calculemos la derivada de la funcion f() = sin(sin()) en este caso la funcion externa es seno y la funcioninterna tambien. Usando la notacion propuesta se puede escribir algo asi:

se identifica la funcion interna y la externa, la interna es x = sin() y la externa es sin(x), al reemplazar x por sin()se obtiene f()

Estamos introduciendo una nueva variable auxiliar es temporal y al final del procedimiento no debe aparecer, esta es eneste caso x.

derivamos la externa con respecto a la nueva variable y la multiplicamos por la derivada de la nueva con respecto de laantigua, as: dd (f()) =

ddx (sin(x))

dd (x) = cos(x)

dd (x)

luego reemplazamos la variable auxiliar por la funcion interna, as:dd (sin(sin())) = cos(x)

dd (x) = cos(sin())

dd (sin())

por ultimo calculamos la derivada de la funcion interna y la reemplazamos en la expresion anterior, as:dd (sin(sin())) = cos(x)

dd (x) = cos(sin()) cos()

nuevamente le pido al lector paciencia con la notacion pero no es bueno saltarse los pasos, la notacion le permite seguir deforma segura el procedimiento, no se trata de aprenderse cosas de memoria, sino de entender procedimientos

Encontremos la derivada de la funcion

2x+ 1, esta tampoco es una funcion elemental de las que ya se saben derivar,esta se obtiene componiendo dos funciones mas simples una es la funcion y = 2x+ 1 y la otra es la funcion

y, que para ser

derivada es mas facil escribirla como y1/2, el procedimiento descrito anteriormente seria algo como

y = 2x+ 1

ddx (

2x+ 1) = ddy (y1/2) ddx (y) =

12y1/2 d

dx (y)

ddx (

2x+ 1) = 12 (2x+ 1)1/2 d

dx (2x+ 1) =12 (2x+ 1)

1/2(2 + 0) = 12 (2x+ 1)1/22

Ejemplo 15. Les presento un ejemplo sin seguir la redaccion de todo el procedimiento. Derivemos la funcion cos(ex) lafuncion externa es cos y su derivada es la funcion sin la funcion interna es ex y su derivada es ex entonces la derivada dela funcion cos(ex) es sin(ex)ex que es la derivada de la funcion externa pero evaluada en la interna y luego multiplicadapor la derivada de la funcion interna.

Ejemplo 16. La derivada de la funcion f() = ecos() que tambien es una composicion se realiza identificando la funcionexterna y la interna la externa es la funcion ex mientras que la interna es x = cos(), las derivadas de estas son ex y sin() respectivamente, siguiendo entonces el procedimiento descrito por la regla de la cadena tenemos que dd

(ecos()

)=

ecos()( sin()) en donde se aprecia la derivada de la funcion externa pero evaluada en la funcion interna y luego multiplicadapor la derivada de la funcion interna.

veamos un ultimo ejemplo usando la regla de la cadena

Ejemplo 17. derivemos la funcion

cos(x2), esta funcion es la composicion de tres funciones, esta la funcion y = x2, la

funcion z = cos(y) y tambien la funcionz, al usar colores podemos ver la funcion como

cos(x2) = (cos(x2))1/2, y su

derivada se puede entonces escribir como((cos(x2))1/2

)=

1

2(cos(x2))1/2

( sin(x2)) (2x) ,aca se puede apreciar que en la composicion el proceso de derivacion va de afuera hacia adentro en negro esta la funcionexterna que es ()1/2 por dentro tiene a la funcion azul cos() y esta a su vez tiene por dentro la funcion roja x2. Se ve que seempieza derivando la funcion mas externa y evaluandola en todo lo que tena antes se multiplica por la derivada de la funcionque tena por dentro, esta tambien evaluada en todo lo que tena por dentro y por ultimo se multiplica por la derivada de lafuncion que se encuentra mas adentro

Por ultimo quiero mostrar un ejemplo en el que se aplican todas las reglas de derivacion mostradas anteriormente

11


Ejemplo 18. Derivemos

f(x) =cos(2x)ex + e

pi x2 + 1

es un cociente, luego empezamos aplicando la regla para el cociente

f (x) =ddx (cos(2x)e

x + e)(pi x2 + 1) (cos(2x)ex + e) ddx (pi x2 + 1)

(pi x2 + 1)2

tenemos entonces que calcular la derivada de

(cos(2x)ex + e)

que es una suma de cos(2x)ex y e, entonces

d

dx(cos(2x)ex + e) =

d

dx(cos(2x)ex) +

d

dx(e)

=d

dx(cos(2x)ex) + 0

ya que e es constante y solo nos queda la derivada del producto cos(2x)ex que tiene por derivada

d

dx(cos(2x))ex + cos(2x)

d

dx(ex) = sin(2x)2ex + cos(2x)ex

aqu tuvimos que usar la regla de la cadena.Tambien debemos calcular la derivada de pix2 + 1, que tambien es una sumay el primer termino es constante y por ende su derivada es cero. De ah que

d

dx(pi

x2 + 1) = d

dx(x2 + 1)

= 12

(x2 + 1)1/2(2x)

tambien en este caso se utilizo la regla de la cadena. Despues de esto escribimos el resultado que es:

f (x) =( sin(2x)2ex + cos(2x)ex)(pi x2 + 1) (cos(2x)ex + e)( 12 (x2 + 1)1/2(2x))

(pi x2 + 1)2

3.1: Ejercicios

1. Si f (x) = g(x) y g(x) = h(x), demuestre que (f(x)g(x)) = (g(x))2 + f(x)h(x)

2. Derive las siguientes funciones con respecto a su variable

a) 1x +2x2 x+1(x1)3 + 11x

b) cos(x2 + 3)

c) e6x2+1 1x

d) 1t2+3

e) 1+1

f )3x

x+1+2

g) (M + 3)e

h) (N21)3+cos(N)

eN

i) cos( 3y)

3. Encuentre:

12

Calculo 1. Lectura No. 17. Derivadas (2) Derivacion implcita

a) ddv (u2 + 1) donde u = 3v + 2

b) ddx (cos(sin(y))) donde y = tan(x)

c) dd

((e3x

2+ 1x )(x 3x)

)donde x = +11

d) ddt (sin(y)) donde y = cos(ex2 + 1) y x = 2

t+ 1

4. Verifique que :

a) ddx(cos(x4/3 + e3x) sin(2x)

)= ( sin(x4/3+e3x)( 43x1/3 + 3e3x)) sin(2x) + (cos(x4/3 + e3x)) cos(2x)2

b) dd

(tan()(x+1)4

)= sec

2()(x+1)4tan()4(x+1)3(x+1)4

c)(

(cos(2x) + 1)7/3

+ ex2+1)1/3

= 13

((cos(2x) + 1)

7/3+ ex

2+1)2/3 (

73 (cos(2x) + 1)

4/3( sin(2x)2) + ex2+1 (2x)

)5. Demuestre la regla del cociente

Seccion 4: Derivacion implcita

Todos los puntos del plano cartesiano que estan a la misma distancia del origen forman un circulo y segun el teoremade Pitagoras los puntos (a, b) que tienen distancia r al origen satisfacen la relacion r2 = a2 + b2 como se ve en la grafica

se tiene entonces que las componentes a y b de cada punto que esta sobre la circunferencia satisfacen la relacion r2 = a2 + b2.Lo que quiere decir que las variables a y b estan relacionadas, supongamos por el momento que r = 2 para que no sigaapareciendo en nuestra expresion y les genere confusion ya que esta letra no se esta considerando como variable sino comoconstante. Si despejamos la variable a en terminos de b tendramos una relacion explicita de la forma a = 22 b2, el es debido a que a puede ser positiva o negativa esto puede apreciarlo en la grafica.

En este caso la variable a no es funcion de la variable b revise por favor el porque en su curso anterior, se debe escogerun signo para que si sea funcion. Si no despejamos una variable en terminos de la otra, la relacion entre estas no desapareceluego se dice que una de las variables esta relacionada con la otra de forma implcita. En realidad se afirma que una de lasvariables esta en funcion de la otra de forma implcita.

Bajo la suposicion que una variable es funcion de otra uno puede entonces derivar una relacion, que usualmente seexpresa por una igualdad, sin que una variable tenga que despejarse de forma explicita en terminos de la otra. Se tiene eneste caso ejercicios como:

Encontrar la variacion de a en funcion de b en el punto (

2,

2) sabiendo que a y b satisfacen la relacion a2 + b2 = 22.Es el mismo caso de la circunferencia y hacemos mencion al punto en el que queremos medir la variacion es decir el punto encual queremos encontrar la derivada.

13


Lo que hacemos es derivar a ambos lados de la igualdad que describe la relacion as:

d

db(a2 + b2) =

d

db(4),

segun las propiedades de la derivada vistas anteriormente

d

db(a2) +

d

db(b2) = 0

usamos que en la izquierda se tiene una suma y a la derecha una constante.

2ad

db(a) + 2b = 0,

esto es consecuencia de la regla de la cadena ya que la variable a en realidad es una funcion de b no una constante y estafuncion fue elevada al cuadrado es decir fue compuesta, sigue apareciendo ddb (a) porque es la derivada interna y hasta ahorano sabemos como es que a varia en terminos de b esto es lo que queremos encontrar precisamente. La derivada de b2 conrespecto a b es como ya habamos aprendido 2b. Despejando ddb (a) de la ultima relacion tenemos:

d

db(a) =

2b2a

y simplificando tenemosd

db(a) =

ba

esta derivada sigue estando en funcion de a y b no como tradicionalmente nos quedaba en terminos de una sola variable, poreso para ser evaluada necesitamos un punto que tenga a a y a b como (

2,

2), en este punto la derivada nos dara

d

db(a) =

22

= 1

Observemos graficamente la interpretacion de este numero

podemos decir entonces que la forma en la cual cambia a con respecto a b es 1 a 1 en el punto (a, b) = (

2,

2).Veamos otro ejemplo

Ejemplo 19. Si consideramos los puntos que satisfacen la relacion

x

xy + y= xy.

En particular el punto (3, 12 ) satisface la relacion, tratemos de encontrar la forma en la cual varia x en terminos de y en esepunto.

14


Igual que en ejercicio anterior empezamos derivando a ambos lados haciendo uso de la regla de la cadena,

d

dy

(x

xy + y

)=

d

dy(xy)

la funcion de la izquierda es un cociente y la de la derecha un producto, se tiene

ddy (x)(xy + y) x ddy (xy + y)

(xy + y)2=

d

dy(x)y + x

d

dy(y)

la primera derivada se deja indicada ya que estamos suponiendo que conocemos que x es funcion de y, la segunda es unasuma y uno de las terminos de la suma es un producto, tenemos

ddy (x)(xy + y) x( ddy (x)y + x ddy (y) + ddy (y))

(xy + y)2=

d

dy(x)y + x

d

dy(y)

resolviendo y despejando en cada caso ddy (x), tenemos

ddy (x)(xy + y xy) + (x2 x) ddy (y)

(xy + y)2=

d

dy(x)y + x

d

dy(y)

pasando el denominador de la izquierda a multiplicar en la derecha y usando que ddy (y) = 1, tenemos

d

dy(x)y x2 x =

(d

dy(x)y + x

)(xy + y)2

pasando a la izquierda los terminos con ddy (x), tenemos

d

dy(x)y d

dy(x)y(xy + y)2 = x2 + x+ x(xy + y)2

por ultimo factorizamos y despejamos

d

dy(x) =

x2 + x+ x(xy + y)2

y y(xy + y)2

finalmente al evaluar esta expresion en (3, 12 ) tenemos

d

dy(x) =

32 + 3 + 3(3( 12 ) +12 )

2

12 12 (3( 12 ) + 12 )2

=2432

= 16

La grafica de la relacion y de la recta tangente en el punto indicado se muestra a continuacion

15


La derivacion implcita es usada para encontrar la derivada de las funciones inversas como por ejemplo, logaritmo natural,arco seno, arco coseno, arco tangente.

veamos como por ejemplo podemos encontrar la derivada de la funcion logaritmo natural.

Ejemplo 20. si y = ln(x), entonces ey = x y derivando implcitamente la relacion tenemos

d

dx(ey) =

d

dx(x)

al usar la regla de la cadena da

eyd

dx(y) = 1

y como ey = x se puede despejar ddx (y) como

d

dx(y) =

1

x

lo que quiere decir que

d

dx(ln(x)) =

1

x

o tambien, como la relacion entre ln(x) y ex es de inversas una de la otra podemos escribir que eln(x) = x, entonces derivandoa ambos lados tenemos

d

dx

(eln(x)

)=

d

dx(x)

usando la regla de la cadena tenemos

eln(x)d

dx(ln(x)) = 1

16


y como eln(x) = x, se tiene

xd

dx(ln(x)) = 1

que al despejar da

d

dx(ln(x)) =

1

x

veamos ahora la de arco coseno.

Ejemplo 21. si y = arc cos(x), entonces cos(y) = x y derivando implcitamente tenemos

d

dx(cos(y)) =

d

dx(x)

con la ayuda de la regla de la cadena tenemos

sin(y) ddx

(y) = 1

y despejando

d

dx(y) =

1sin(y)

ayudandonos de la relacion cos2(y)+sin2(y) = 1, podemos despejar sin(y) en terminos de cos(y) como sin(y) =

1 cos2(y),y como cos(y) = x, se concluye que sin(y) =

1 x2, por lo tanto

d

dx(arc cos(x)) =

d

dx(y)

=1

1 x2

4.1: Ejercicios

1. Encuentre ddx (y) en el punto (x, y) = (0, 1) si se tiene la relacion entre y y x de la forma cos(cos(x) y) + sin(x) = y ycon esta encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva en dicho punto.

2. Encuentre ddt () en el punto (t, ) = (0, 1) si se tiene la relacion entre t y de la forma e1 = cos(t), si no existe

justifique y pruebe encontrar dd (t).

3. Muestre que ddx (arctan(x)) =1

1+x2 .

4. Muestre que ddx (arcsin(x)) =11x2 .

5. Derive arcsin(arc cos(x)), usando la regla de la cadena.

6. Derive ln(tan(arcsin(x))).

7. Encuentre la derivada de las inversas de sec(x), csc(x), cot(x).

8. Encuentre la derivada de cos(x)sin(x) (sugerencia utilice el mismo procedimiento descrito para la derivada de las funcionesinversas y = cos(x)sin(x) y luego tome a ambos lados la funcion ln as: ln(y) = ln

(cos(x)sin(x)

)= sin(x) ln(cos(x)) y

luego derive implcitamente la relacion obtenida ln(y) = sin(x) ln(cos(x))) .

9. Derive 2x y log2(x) aplicando la tecnica usada para la derivada de las inversas y la sugerencia dada en el ejercicio 8.

10. Muestre que la derivada de xx es xx(ln(x) 1) mire la sugerencia dada en el ejercicio. 8

17

Calculo 1. Lectura No. 17. Derivadas (2) Derivadas de orden superior

Seccion 5: Derivadas de orden superior

Como ya nos dimos cuenta, al derivar estamos generando una funcion nueva cuyo objetivo o mision es brindar informacionacerca de la inclinacion que presenta la funcion original. Esta funcion tambien se puede derivar obteniendo una segundaderivada y as mismo derivadas de mayor orden. La notacion usada en este caso es

dn

dxn(f(x)) = (f(x))(n)

La interpretacion de la segunda derivada se dara mas adelante y de ordenes superiores no se considera. Si tomamos porejemplo al funcion ln(x)

su primera derivada es ddx (ln(x)) =1x

y su segunda derivada, osea la derivada de la anterior es

d2

dx2(ln(x)) =

d

dx

(d

dx(ln(x))

)=

d

dx

(1

x

)=

d

dx(x1) = x11

=1x2

en general se tiene que

dn

dxn(f(x)) =

dn1

dxn1

(d

dx(f(x))

)=

d

dx

(dn1

dxn1(f(x))

)revisemos otro ejemplo de derivada de orden superior

Ejemplo 22. Calculemosd3

dx3(cos(x2))

f(x) = cos(x2)

Aplicando la regla de la cadena, tenemosf (x) = sen(x2)2x

f (x) = f (2)(x) = d2

dx2 (cos(x2)) es la derivada de la anterior funcion que es un producto y usando la regla del producto

tenemos

f (x) = ( sin(x2))(2x) + ( sin(x2))(2x)

en la primera usando la regla de la cadena y en la segunda que es una constante por x tenemos

f (x) = ( cos(x2)2x)(2x) + ( sin(x2))(2)= 4x2 cos(x2) 2 sin(x2)

Al calcular la ultima derivada que se puede notar por

f (x) = f (3)(x) =d3

dx3(f(x))

18


que es derivar la segunda derivada y se puede identificar como una suma tenemos

f (x) =d

dx

((( cos(x2)2x)(2x) + ( sin(x2))(2))

=d

dx(4x2 cos(x2) + d

dx(2 sin(x2))

la segunda es simplemente una constante por una composicion pero la primera es el producto de dos funciones, aplicandolas respectivas reglas tenemos

f (x) = (4x2)(cos(x2)) + (4x2)(cos(x2)) 2(sin(x2))= (8x)(cos(x2)) (4x2)( sin(x2))(2x) 2 cos(x2)(2x)

Cuando se derivan productos muchas veces se puede utilizar una regla que esta asociada al teorema del binomio

Teorema 5.1 (Regla de Leibniz Para el producto). Si las funciones f y g son derivables n veces entonces el productotambien y

dn

dxn(f(x)g(x)) = a0f

(0)(x)g(n)(x) + a1f(1)(x)g(n1) + + an1f (n1)(x)g(1)(x) + anf (n)(x)g(0)(x)

donde los ai son los mismos coeficientes generados por el triangulo de Pascal o el teorema del binomio, en esta notacionf (0)(x) = f(x) significa que no se ha llevado a cabo ninguna derivada

veamos como se aplica a un ejemplo sencillo

Ejemplo 23. Calculemos la cuarta derivada de x5 ln(x) que es un producto. Primero construyamos una tabla con todas lasderivadas

f(x) f f f f (4)

x5 5x4 20x3 60x2 120x

g g(1) g(2) g(3) g(4)

ln(x) 1x1x2

2x3

6x4

y segun el triangulo de pascal0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 1

se puede ver que los coeficientes de (a + b)4 son 1, 4, 6, 4, 1 luego (a + b)4 = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b4 La reglade Leibniz dice lo mismo pero para derivadas de un productos asi

(fg)(4) = 1f (4)g(0) + 4f (3)g(1) + 6f (2)g(2) + 4f (1)g(3) + 1f (0)g(4)

Para nuestras funciones nos quedara

(x5 ln(x))(4) = 1(120x)(ln(x)) + 4(60x2)(1

x) + 6(20x3)(

1x2

) + (5x4)(2

x3) + 1(x5)(

6x4

)

Realizando las operaciones nos dara(x5 ln(x))(4) = 120x ln(x) + 124x

Semejantes a esta regla tambien se tienen para la regla del cociente y la regla de la cadena solo que son bastante masdifciles de mostrar y de usar. Puede ser un buen ejercicio para el lector tratar de establecer estas reglas para una cantidadfija de derivadas. Como se propone en los ejercicios.

19


5.1: Ejercicios

1. Ecuentre d3

dx3 (cos(sin(x)))

2. Encuentre una regla para d3

dx3 (f(g(x)))

3. Encuentre d3

dx3

(e3x

tan(x)

)4. Encuentre una regla para d

3

dx3

(f(x)g(x)

)5. Encuentre d

3

dt3 (f(x)) si f(t) =

{cos(t) , si t 0t2 + 1 , si 0 < t

20

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