1. l. G. PETROVSKI '.Lecciones sobre ecuaciones enDERIVADAS PARCIALES ... .-(!)"~"' INSTITUTO DEL LIBROLa Habana, 1969,

2. . .... ,. .,...'..... 3. NDICE Prlogo a la tercera .edicin ................ , . . . . . . . . .IXDel prlogo a la primera edicin ..................... .XI.......................XIIIIntroduccin. Clasificacin de las ecuaciones ..1 l. Definiciones. Ejemplos .............. : ........ .1 2. Problema de Cauchy. Teorema de Kovalevskaya : .23Del prlogo a la segunda, edicin CAPTULOI. 3. Generalizacin del problema de Cauchy. Concepto de aracterstica ....................... ' ...... .45 4. Sobre la unicidad de la s.olucin del problema de Cachy en la clase de funciones no analticas ..... .60 5,. Reduccin a l forma cannica en un punto y clasificaci~1! d~ la,s ..e.cuaciones de segundo orden con .una func1on mcogmta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 6. Reduccin a la forma cannica, en la vecindad de un punto, de una ecuacin en derivadas p,arciales de segundo orden respecto a dos variables independientes79 7. ReduccicSn a la forma cannica de un ~isterna de ~1>ua ciones lineales en derivadas parciales de primer orden respecto a dos variables independientes ......... , . . CAPTULO11.Ecuaciones hiperblicas ... ; ........ : . . . . .92107 4. NDICESECCION I Pro?l.ema de Cauchy en la clase de funciones no anaht11;as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 - 8. Planteamiento correcto del problema de Cauchy . . . .107, 9. Concepto de soluciones generalizadas . . . . . . . . . . . . .112 10. Problema de Cauchy para sistemas hiperblicos condos variaJ>l.es independientes .. : .............. : . . . 118 11. Problema de Cauchy para la ecuacin de ondas. Tedrema de la unicidad de la solucin .............. : 132 12. Frmulas que dan la solucin del.problema de Cauchy par4' la, ecuacjn de ondas ............ .". . . . . . . . . . 139 13. Estudios de las frmulas que dan la solucin del problema d~ ~au.chy .. : .................. : . . . . . . . . . 148 14. Transf~rmacin de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 15. Fl,Uldamento~ ma~emtcos de la teora especial de la 1'elativicfud .. ............................. : . . . . 168 16. Resea"d.~ lo~ resulfados principales de la teora:del problema de Cauchy y algunas investigaciones de las ero.aciones hiperblicas generales ............. : . . .173SECCION I '. ~Vibraciones de cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . .193 17. Int~oducci~ ................... : ...... . . . . . . . . .193de la solu~iri del problema mxto.... . . . .198 ]8. 1Jni~idad ~~19. Dependencia continua eritre la solucin y las condi, ciones iniciales ........................... : . . . . . 202.' 20. Mtodo de Fourier para la ecuacin de fa cuerda . . .210 5. NDICE 21. Mtodo general de Fourier ( consideracioi:ies previas)VII219 22. Propiedades generales de las funciones propias y de los valores propios . : '. .... '. .......... ~ ....... : . .225 23. Fundamentacin del mtodo de Fourier ..........' .25624.Aplicacin de la funcin de Green al prpblei:na sobre . los valores propios y a la fondatnentain del mtodo de Fourier ................. : ....... , ..... . . . . 274 25. Estudio de. las vibraciones de na membrana .... ~.291 26. Resultdos complemen_tarios sobre l~s funciones propias y la posibilidad de resolver el problema mixto ' para ecuaciones hiperblicas ............... 1 304 Ecuaciones elpticas ........ : .... : . . . . . . . 32{ 27. Introduccin .. ....... .... ~..... . . . . . . . .... . . . . . . . 321 28. Propedad . A. Ladyzhenskaya y L. A. Chudov sus_ valiosas observaciones, 2 de agosto de 1953:I.PETROVSKI.. /. 9. '. PRLOGO AL~TERCERA EDICINzaEn presente edicin .se han hecho varias modificaciones y adiciones; las ms importantes se refieren a los 9, J6, 24," 26, 29, 30, 37, 41 y 43,, y tambin se han aadj.do. nuevos problemas. El trabajo preparatorio de esta edicin ha sido realizado por O. A. Oleynik y A. S. Kalashnikov, y el 43 ha sido escrito de nuevo por L. A. Chudov. A todos estoy muy agradecido. 3 de mayo de 1960.I.PETROVSKI.' 10. .,Captulo 1INTRODUCCIN. CLASIFICACIN DE: LAS ECUACIONES . l. DEFINICIONES. EJEMPLOS l. Una ecuacin en derivadas parciales de las funciones i:Q.. cgnitas i, U2, , un, se dice de orden n si contiene al rn.enos una derivada d_~ orden n 'y no contiene derivadas de orden superior. El orden de un sistema de ec!Jaciones en derivadas parciales es el mayor entre los rdenes de' las ecuaciones del sistema,. Una ecuacin en derivadas parciales .se ama lteal si es lineal respecto a tooas las funciones -incgnitas y sus derivadas. Una ecuacin ei;t derivadas parciales se llama casilineal si es lineal respecto a las derivadas de orden superior de las funciones 'incg:. nitas: As; por ejeihpIO, la ecuacinau a u -.-- + - -- .+ u ax '(},i-2 ay ()y2'ou ; (Fu 22=Oes una ecu~ciqn. casi~ineal de segundo orden respecto a la -funcin incgnita u. _La ecuacin - 11. 2ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESes una ecuac1on lineal .de segundo orden respecto a la funcin incgnita u. Pero la ec~acinno es lineal ni casilineal respecto a esta funcin...Se llama solucin de una ecuacin en derivadas parciales, a todo sistema de funciones que al ser ~ustituido por las funciones incgnitas transforma la ecuacin en una identidad respecto a las variables independientes. De forma anloga se define la soluc.in de un sistema. ' En este curso estudiaremos fundamentalmente ecuaciones lineales de segundb orden con una funcin incgnita. Como, por ejemplo, las siguientes ecuacioes .at .a2 a2 u u a~ + a.t; + ax~ 'a2u at = a2 ua2u . ax; + . a2 u~ul. trmica.2.3. a~a2 uecuacin de la conducci11 .a2u ' a2u ax; + ax; ' ecuacin a2 u ,+ ax; + a~. = o, ecuacin dede ondas. Laplace.Muchos problemas de fsica se reducen a ecuaciones en deriva- . das parciales, y en particular l. las sealadas ms arriba.2. Ejemplo 1. Ecuacin de la conduccin del calor. Sea G un cuerpo, cuy~ temperatura en el punto (x1, X-2, x 8 ) en el instante t se determina por la funcin u(t, X1, x 2 , za). Supongamos que la funcin u(t, x 1 , x 2 , x 8 ) tiene .derivadas parciales 12. CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONEScontinuas de segundo orden respecto a las var,iables x-1 , x 2 , x 3 ; y una derivada co11tinua respecto. a t. La deduccin de la ecuacin que describe el proceso to se determina de un modo nico con slo establecer las condici0nes iniciales : los valores de la funcin u(t, z 1 , z 2 , za) en el instant~ t . t0 : Par.a _una, regin acotada G se puede, por ejemplo, dareJ valor de la temperatura en cada punto del cuerpo en el instante .. t =. t0 y dar el vaior de la temperatura en cada punto de la frontera del cuerpo para 't > to. Resulta ser que estas condiciones son suficientes para determinar una solucin acotada para t > -to y (zi. Z2 za) E G. ' Para detennnr fa soluein nica de la ecuacin de la conduccin trmica, en lugar de definir u( t, x-1 , z 2 , z 8 ) _!'!n lJ. ~rontera de G para t>. .au an' .t0 , se puede dar en esta frontera - - , que es la.derivada de la funcin i~cgnita u, en l d.ireccin, de la normal a la frontera. de la regin G. Llegaremos a un problema matemtico de este tipo cada vez que estudiemos. la temperat.ra dentro de un cuerpc;> .9, siempre que ccmo~a;mos la:. cantidad de. calot transmitido, en cualquier interva19. d,e tiempo (t1, t2) ,. del espacio 18. CLASIFICACIN DE' LAS ECUACIOWESexterior a la superficie .del cuerpo G, a travs de cu~lquier rea S en la frontera del cuerpo. Cantidad de calor que debe ser igual a la cantidad de ~lot transmitida del rea S al interior del cuerpo ; esta ltima, segn la frmula (1,1), es i~l adonde. k > O es el coeficiente de conduccin trmica en el punto fronterizo correspondiente...Por lo tanto, si conocepios la ley de la transril:isin deJ ~11lor para cada rea S de la frontera del cuerpo G, s.e puede hallar el valor deou. }nen la frontera de G. En particular, si no hay inter.ca~bio de calor a travs de la .tfrontera, .~= }n.O en la misma. ..Finalmente, se puede dar como condicin de frontera, para t0 , los valores ~e la. combinacin lineal :>(}ukan+ kiu, en la frontera de G, donde ki es ~l coeficiente de conduccin 'trmica al pasar d~l espacio exterior l cuerpo G, y k es el coeficiente de conduccin trmica interna del cuerpo. Estos coeficientes se . suponen conocidos. Llegaremos a este problema matemtico si estudiamos la temperatura dentro de un cuerpo G bajo la condicin de que conocemos la temperatura U1 deJ medio exterior al cuerpo G. Entonces, si realizamos el balance de la cantidad de 19. .10ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESCa.or que pasa por un trozo arbitrario de la frontera de G, de acuerdo con las frmulas (1,1) y (1',1), obt~ndremos que: l. La cantidad de calor que pasa, ert un intervalo efe tiempo . . (.t1, h), del espacio exterior a fa superficie del cuerpo a travs del rea S, es igual a2. La cantidad de calor transmitido en este mismo tiempc;> del trozo S de su superficie al interior del ~erpo es igual aCmo (t1 , 12) y S son arbitrarias' . ou onk1U +k --=.k1U1.En particular, si U1 =O, esta condicin se convierte enkouan + kiu =' Q'..Supongamos que la temperatura en cada punto (.x-1, ;t-2, xa) dentro del cuerpo G .se ha estabilizado, es decir, no vara con: el,;' .tiempo .. Ent~ncesou ' . on .O y las .ecuaciones(5,1) y (7,1) se 20. CLASIRICACIN DE LAS ECUACIONES11convierten respectivamente en las' ecimciones a~--(k~) . Lax, ax, =0, i=l8'' 02u =0. Lo~ i=l '(8,1)_Para determinar ahora u(x1 , x 2 , x 8 ), no es necesario dar las condiciones iniciales. Es suficiente dar las condiciones de frontera, que deben ser independientes del tiempo. Es fcil representarse esto fsicamente dl modo siguiente. Si las condiciones de frontera no dependen del tiempo, para cualquier temperatura inicial la temperatura u(t, X1, X2, xa) en cada punto (x1, X2, xa) del cue'rpo tiende a cierto lmite u(x1 , X2, x 3) cuando t-+ oo. La funcin lmite u(x1, x 2, x 3) satisface las ecuaciones estaciona~ias (8,1) y las condiciones de frontera anteriores que no dependen de t. El problema de la determinacin de la solucin de cualquiera de las ecuaciones (8,~) ~ partir de sus valores eri la !ontera de la regin considerada se llama pro~lema de Dirichlet~ o primer problema de frontera. Adems de la propagacin del calor en el espacio, .con frecuencia hay que estudiai; la variacin de temperatura a lo largo de una varilla o en una placa; Si .en- este caso el grueso de la varilla homognea es tal que h. temperatura en t~dos los puntos de una seccin es la misma y s no se transmite calor al exterior a travs de la superficie lateral de la varilla, la temperatura depende solamente del tiempo t y una coordenada espacial x. En este caso la funcin u(t, x) satisface una ecuacin de la forma _(9,1} 21. 12.ECV.ACIONES EN DERIVAD.AS~.UCIALESsi las unidades se escogen d~bidamente. La. temperatura u(t, Xi, x 2, .i:a) dentro de un cuerpo tridimensional satisfara la misma ecuacin ( 9, 1) , si dependiera de una sola coordenada espacial, pr ejemplo, de X1 x. As sucede si l temperatura en todos los puntos de cada plano x1 const. es la misma. Anlogamente, 'al estudiar la propagaCin del calor en una placa homognea plana y trmicamente aislada, obtenemos la ecuatin '=~ot=__:_ 02u 02u - a~+ ax212 . 1(10,1) 3. Ejemplo 2. Ecuaciones: .de equilibrio y de las vibraciones de. una membrana Llamamos membrana a una pelcula tensa que ofrece resistencia a la traccin y que no ofrece resistencia a la flexin, es decir, a un cambio de forma que no altera el rea de ninguna parte de la membrana; el trabajo de una fuerza externa que produce la vaFiacin del rea de una parte de la membrana es propor.cional a esta variacin. El coeficiente positivo de proporcionalidad T, no depende de la forma de este ~ea. ni de . su situacin y se llama tensin de la membr:;na. Hagamos notar que el trabajo de las fuerzas i.nten::1.as de elasticidad es igual en valot' absoluto ai' trabajo de las fuerzas externas que producen la alteracin del rea, pero de signo contrario. Supongamos que en el estado de reposo la membrana est ~n el plano (x1, X2) y ti.ene la fl'.ma. de cierta regin plana G de frontera L. . Supongamos que sobre la membrana se aplica una fuerza cuya densidad en l pnto (x1, x 2) es igual a f(x1, X2) (vea la llamaqa en la pag. 5) y cuya direccin es perpendicular al plano (x1, x2). 0 22. CLASFICACIN DE LAS ECUACIONESBajo el efecto de esta fuerza, la membrana toma la forma de cierta superficie cuya ecuacin escribiremos en la forma. !"=U (X1, X2). El eje u es perpendicular al plano (xJ, x?). Deduciremos la ecuacion que satisface la funcin u(x1 , .i-2 ) en las condiciones siguientes. En primer lugar,' supondremos que la superficie de la membrana no presenta gran cu~atura en la posicin. de equilibrio, es decir, que est cerca de ser un trozo de..auplano. En otras palabras, supongamos que las derivadas - - y.au~. .-.- son peqtJ.enas y a~.d.....ax1.1espr:ec1efllOS .en nuestros razonamientos as.. .potencias ms altas de estas derivadas. Adems,. supongamos qu'e bajo el efecto de la. fuerza f (1 , x 2 ) los puntos de' la membrana se mueven solamente' por la perpendicular al plano (x1 , x 2 ) de manera que sus coordenadas (x1 , .i-2) no varan .. La deduccin de 1a ecuacin 'est basada en uno de' los l?rinCipibs fundamentales de la mecnica:. en el principio de los desplzamientos virtuales segn el cu~l, en estado de equilibrio la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas que actan sobre un sistema par cualquier desplazamiento virtual (que admite las condiciones impuestas) es igual a cero. 2Para calcular los trabaj~s elementales, hallemos el trabajo realizado por las fuerzas que actan sobre la membrana c~ando sta se desplaza de la posicin inicial plana a' la posicin definida 2Vase G. K.susfov, Mecnica terica, Gostiejizdat, 1946. 23. 14ECUACKINES EN DERIVADAS PARCIALESporla funcin u(x1 , x 2 ): El trabajo de una fuerza cuya densidad es igual a f (x1, x2) est dado por la integral: Jj f(x1, X2)~(x1, x~) d;.1 dx2,Gya que sobre el elemento dx1 dx 2 acta la fue~za f(x 1, x 2 }dx1 dx 2 La variacin del rea .de la membr~na para este' desplazamiento es igual aJJ(V +u:: +u::~1 ).a~1 dx2 ; 1Q''y el trab~jo de las fuerzas internas -para esta variacin del rea es igual aGDesarrollemos la fum::in subintegral en serie seg'1.n las potendas de .u',, 1 y u',, 2 y, bas~ndonos en la suposicin de que estas cantidades son pequeas, omitiremos los trminos de exponentes ms a.lto de la descomposicin. Entonces, '.obtendremos fa expresinp~ra el trabajo de las fuerzas internas de elasticidad.Por eso el trabajo .de todas las fuerzas interiores' que .actan sobre la membrana y de la fuerza f, para un desplazamiento de 24. 15CLASIFICACIN DE LAS ECTJACIONESla membrana de la posicin de repso hasta cierta posicin u(.i-1, .i-2), es igual a(11,1} 8 ' GRealiCemos ahora un desplazamiento virtual de la membr~na, es decir, agreguemos a u(.i-1, x2) una cierta funcin au(xi. x2). El trabajo de todas las fuerzas que actan en este desplazamiento es igual a la variacin de la iritegral ( 11,1) que no es difcil de calcular: aA =.A(u=+ au)J J[-T-A(u):::::::(u~ au: .+ 1u:; au;1)+ tau] dx1 .dxa,G( 12,1) y que de acuerdo con el principio de los d~splazamientos virtua-les, debe ser igual a cero. Integrando por partes los primeros dos sumandos, encon~ tramos,G..a La integral (11,1) difiere slo en el signo de la energa potencial de la membrana en la posicin de equilibrio. Por lo tanto, podemos decir que nuestra deduccin se basa en que, en la posicin de equilibrio, la. energa. potencial de cualquier sistema mecnico es mnima. 25. ~16:e'cti'AClONESENde donde,DERivADAS PARCIALES''JaA = ~J~: au .ds + Jcr~u + f) au dx1Tdx2,.aL(13,1). -. .,.. .. .-.-.. 0 2~ . 02udonde ..!lu representa la. suma de. las segundas denvada.s 'rou ,.. .On es. la deri.vada..~n..1+ ox2,~la direccin de la normal exterior a la fron-tera L. Como sealamos m~ arriba, au es un desplazamiento virtual, es decir, un desplazamiento que admite .las condiciones impuestas a la membrana. Estas condiciones se dan generalmente en la frontera -de la membrana, por eso la funcin au(X-1, x2) es una funcn continua arbitraria en los puntos interiores' de la misma. Por consiguiente, -haciendo aA igual a cero se puede deducir que' para la- pqsicin ,de equilibrio la funcin u(x-1, .X-2), en cualquier punto iterior, satisface la ecuacin 'T.il+ f =o.(14,1)Esta ecuacin se llama ecuacin de Poisson. En cuanto a las condiciones de ligadura, stas se reflejan en las condiciones de fro~tera, que pueden .ser muy variadas. Consi. deraremos por separado lqs casos ms frecuentes.1. Membrana fija Supongamos que el -borde d~ la membrana s.e ha fija.do a lo largo de cierta curva alabeada que se proyecta en. L .. Si las ecua.. clones paramtricas de L son .t"1 = Z1(s); %2 = %2{s), exigimos que la membrana pase por cie!ta curva X1 = z1(s), %2 ::::. x2(s), 26. CLASIFICACIN DE I.AS ECUACI0n511=cp ( s). En .este caso, la condicin ,piaa impqesta ~ au, es au := O en L.. Gracias a esta condicin, en la frmtila (13,1)udesaparece la integral curvilnea .El problema obtnido (hallar la solucin de la ecuac;:in de cp ( s) en L) se llama Poisson con la condicin de frontera u problema de Dirichlet para esta ecuacin.=Para f = O, la ecuacin pe Poisson se convierte en .la ecuacin Laplaee con la cual ya nos hemos encontrado en el ej.~mplo anterior. ~e2.Me.mbrana libreSi no imponemos ninguna condicin a 'la posicin de la meqibrana, SU borde puede desplazarse arbitrariamente >Or la superficie lateral vertical de un cilindro de Qa.se L. En este caso, au es arbitrario dentro y: en la frontera de G Y' obtenemos para la ecuacin ( 14, 1) la siguiente condicin en L :au an-=0.3. Con frecuencia se .presenta el caso, cuando adems de la fuerza f que ata sobre los puntos interiores de . la membrana, existe una fuerza vertical de densidad lineal f 1 y aplicada al brde de manera que la fuerza f ids -acte sobre el elemento ds de la frontera. Si buscamos la posicin de equilil?rio de la membrana en e'stas condiciones, a las integrales ( 11, 1) y (12, ) es precisof (fff1LL.uagregar!idu) ds yOau.ds respectvamnte. --. 27. 18ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES .La integral curvilnea en la frmula ( 13,1) tiene, en este caso, la formaJ(-T~: + f i) au ds,Ly para la ecuacin de Poisson obtenemos la 'siguiente condicin de frontera .ou onT- -/1 =Oen L. Este problema se llama segundo problema de frontera (o, tambin, problema de N eumann) si f 1 no depende de u. - 4. A veces se considera el llamado ajuste elstico de la membrana, es decir, el caso en que la fuerza que acta sobre el borde de la membrana es proporcional al .desPl.azamiento : f1(s)= 'ku(s).En este caso, la condicin de frontera par la ecuacin de Poissonou antoma la forma T - -.ku= O.Pasemos ahora a deducir la ecuacin del movimiento de la m~brana. Consideraremos solamente las vibraciones pequeas . 1 . L . . .f. y transversa1 de a misma. es o primero s1gm 1ca que u, you0~.OX1son nequeos; en la deduccin de la frmula (11,1) imnu-OX2simos esta condicin. Las vibraciones se llaman transversales si se realizan en la direccin de la perpendicular al plano (x1, X2). 28. 19 De"es 1 m O es una constantex8 ).(velocidad del sonido).La ecuacin de la forma (18,1) se'llama ecuacin de ondas en el espacio; muchos otros procesos vibratorios '(por ejemplo, los electromagnticos) tambin se describen por la ecuaciii ( 18,l). La ecuacin ( 17, 1 ) se llama ecuacin de ondas en el plano. En el caso unidimensional (vibraciones de una cuerda o de , un gas en un tubo) la funcin u correspondiente, satisface la ecuacin(19,1) Esta ecuacin se llama ecuacin de la .cuerda vibrante. Aqu p ( .r) es la densidad lineal en el punto ~ y V es la tensin de la 'Cuerda. La~ condiciones iniciales y de frontera para )as ecuaciones ( 18, 1) y (19, 1) son iguales. a las condiciones correspondientes , para la ecuacin (15,1). Hagamos notar una vez ms qu.e las ecuaciones (15,1), ( 18,l) y ( 19,1 ), se obtienen .si se desprecian las derivadasou ax,4( --)ou ax,2en comparacin con ( - - ) . Si no las'.despre~iamos, ,(es decir, si no se supone que las vibraciones son pequeas), las ecuaciones del movimiento de los cuerpos elsticos correspondien- . tes son ectiaciones no lineales, mucho ms complejas .. 31. ~. ,~l;lll;a~ ciones de la membrana estar. definida' en un cilindro e con generatrices paralelas al eje Ot y que pasan por la ftoniera de G sobre la cual se encuentra ia membrana. ~1 problema:.crisiderado anteriormente consista en determinar los valor~s ~ de esta. 'funcin ~ ! ~ . dentro del cilin.dro partiendo de ciertas condic10nes para la superficie lateral del cilindro C y para los valores de ii~t0 , .f1.; ~2 ) y u~ (to, %1, -i-2) cilando el 'punto (.i' 1, x-2') E G s eneuentra ert la base (: .. .' . ' .) ip X1,X2, ,Xn--= ar,. .. .('k. ..-o' 11 2 ::n- 1)' " : .. .. 33. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Todas las funciones q, (x1, x 2, . , x,.) estn definidas en una ~isma regin Go del espacio (x1 , 2 , , , x,.). La derivada de orde.n cero de la funcin u, es la propia funcin u,.xEl problema de Cauchy consiste en hallar la solucin del sistema ( 1,2) que satisfaga para t t0 las condiciones iniciales (2,2).=La solucin se busca en cierta regin G del espacio (t, x 1 . . . . . x,.), que toca la regin Go en el hiperplano t t0 donde estn dadas las condiciones (2,2). =Un caso especial del problema de Cauchy es el problema de determinar las vibra(x1, x2)(desplazamiento inicial), 1>(.%'1, x 2) (velocidad inicial). q son anal-ticas en una vecindad del _Punto ( ~, x~, ... , x~) , el problema de 35. 26.ECUACil'>"NES EN DERIVAl>AS PARCIALES Gwh~ :."admite' soluci6n analtica en una vecindad de/. punto uo-; ~ , x~, .... , x~) , solucin que 'es nica e'ft ,la 'clase de las 'funciones analticas '3... Daremos la delTiostracin del teorema de Kovalevsk,aya para sistemas lineales ~rbitratios'. Para ~tos ltims el_ p~oblema de Cauchy se redu....... .'..eri la vecincfad'de},t>Unto {t:;'K~, ::~~ 1~!). -'.X1, ,.':~..'..'.i,,,.'''..' El"problema"de cauchy pata' e~t~ 't!cuadn 'consiste 'en hallar la: solt.itin que 'satisfaga lf:i:s siguietit'es cond!C'tons initiales : . '' . U.(t 0; Xi,''.:., x,t')::::: iji(.ii," ~ ~. X11); .} ~t0,' z11 ., x,.)' . ~~(x11".'. ~~- ~~);'. .. 1.(,~ 42 36. CLASJFICAt:I.N DE. LAS. ECU,ACIO;Nli:Sdonde. :fo y !f1 son ~unciones analtiqi.s ~n la. vecindad del punto .(x~, x~; ._~ , x~) , .. Sin perder. generalidad.. podemos consid~rar que . ,ya que d.ca~q, d~t0:t ,~~;.i- 0 ._;. : . ; ::::: 1.:i-o .::.. .: O, . n . : ,;~ ~rbit~~ri~~ se ..r~duce a.s~~ ui~- aralelas al eje Ot, ntegl:amente contenidos en G y que intersectan G0 Pero las funciones consideradas son analticas ; por eso de aqu se desprende, segn un teorema .conocido de la teora de funciones analticas, que eitas expresiones se .anulan en tod_a la regin G. Es evidente que el problema de Cauchy para la. ecuacin (3,2) se puede reducir al problema de Cauchy para el sistema (5,2) del modo sefialado sin suponer que los coeficientes de la ecuacin y las funciones iniciales son analticas, siempre que la regin G sea convexa respecto a t, es decir, siempre que la recta paralela al eje t intersecte la frontera de G a lo sumo en dos puntos. 39. ECUAClONES EN DERIVADAS PARci:A:Set' sistema ( 5,2) en ciertQ sentido es ms rico en soluciones que la ecuacin (3.2), ya que las condieiones .iniciales arbitr~rias de la solucin u., u 0 , u 1 , .'. r u,. no tienen que estat vinculadas obligatoriamente . En: 'Canlbio; para cdndicioncs iniciales 'arbitrarfus,.por. 1a,s rela c~onesou .'uk -:- ~. uXkProblema J; Demuestre que el problema de Cauchy para cl.talquier sistema (1,2) puede ser reclucido al problema de Cauchy fara."ttn sistema de prmerorden de fa cirma: (1,2). . ' . '~:''j ; ''Problema 2. Demuestre que el problema de Cauchy para un sistema no lineal de primer orden de la forma (1,2) puede ser reducido, mediante la derivacin de las ecuaciones del sistema y mediante la introduccin de m:.evas funciones incgnitas y ecuaciones complementadas, al problema de. Cauchy para un sistema casilineal de ,ecuaciones de primer orden, es decir, para un sistema lineal respecto a tod.as las derivadas. 4. Por lo tanto el problema de eauchy para la ecuacin de segun.do orden, (3,.2). se .redujo .al. problema de Cauchy, para el sistema lineal ( 5,2)' de primer orden. bel mismo modo se puede reducir ~uatquiei- sistema d la forma '(lt) 'a un 'sistema de ecua,ciories de p~imer orden ..resuelto para. las .clerjvaQa.s respecto a -t de todas las funciones incignitas. Por. eso, el teorema de Kovalevskaya para un sistema lineal arbitrario que puede ser planteado en la: form ( 1',2) queda dmostrado; si lo: demostramos para un sistema lineal arbitrari de primer ord'e:n de la formaLL.. Nn' f ..l. (k)a. 1 k " l ,'(i,01'J -oX'k+,N.= 1,2,J=1!'. ' VUj+'" C " .... , N).(9,2) 40. cdrl cb~fidthte"an~ltkbs para las condiciohes irtidal~s atialticas arbitr:tfas ,.,,, ''" 11 ' ..... : ,.'r..,.."= q,(x.11 .z2, .. 1 (i = 1,2, ... , N). ....u,(O, Z1, ... , Zn) : .1!... ; " : ' '...(10,2)x,.)El c~s d' clialesquiera .funcfones ~nalticils ql se reduce f ci1mehte ~l ras eit' ~Htlal todas las ' ~U. ,,':. 1; ';~!,'>- .i. ) . : ; ''1' ' .'. '',P~r~, ~~.tQ ~. _11,1~1'.. ~e las ..funciones incgnitas anteriores (t, x1, ,'.. '.~ x-.,); i~ti.oduciremos nuevas funciones incgnitas '," '..' , .,. l!,~l''j '''. ' Las funciones v, satisfacen el sistema de ecuaciones:'' 1=,1J=l -k=l.NNn:: +(~.-'+,~ ~ a~~i : . ,; . :~L . ., , J;=,1~,: ... ,,..oq+ ~ bijq), L . .. ...axk .. 1(12,2)i=l,anlogo al sisteinlt '( 9,2), Y a las condicines iniciale5:. '''lfl~". :', . . '.. v, (o, z1, zl!, .. .x~) '1'. .'l. r'== o_. .. (13,2) 'Hb~'ndo d~mostrado la existencia de ta' s~1ucin del proble~a d Oi.iihy para el sistema ( 12,i) cqn condiciones iniciales nulas, del:h?stt'armt>s tiitnbiir que el problema inicial tiene sokcin. 41. 32ECUACIONES EN DERIVADAS 1:ARCIALES'Para abreviar tas denotaciones, consideraremos que las funciones u, (t, x 1 , . . . . , x,.)" satisfacen las condiciones iniciales 1.(14,2)u,(O, x1, .. , a-,.) ==: O.5. Demostremos primeramente la unicidad de la solucin del problema de Cauchy para. el sistema (9,2) con las condiciones . ' iniciales ( 14,2), en la clase de funciones analticas, en una vecindad del punto O de coordenadas t = O, x 1 O, ... , x 11 = O; es decir, demostremos que en ninguna. vecindad de este punto existen dos soluciones analti~s distintas del sistema (9,2) que satisfagan para t = O las mismas condiciones iniciales ( 14,2) . Las funciones u,(t~ .i-1, , x,.), analticas en una vecindad del origen de coordenadas, se descomponen en series de potencias d~ t, x 1 , , x,.=en una . vecindad del origen. El cofeicientetk~..x! del desarrollo de laa!_,., . . .funcin u,(t, x 11 , ,dex,.) -esLa unicidad de I. solucin del problema de Cauchy quedar demostrada si ~omprobamos que las cndiciones inieiales ( 14,2) determinan de un modo nico los coeficientes del desarrollo d~ . las funciones u,~ que -satisfacen el sistema. (9,2), en series de potencias de t, x 1 , , x .., o lo que es lo mismo, si demostramos que estas condiciones determinan de una manera nica los valores . . . de todas las derivadas de 14 en el punto O de .coordenadas t X1 = x,. = O. Determinaremos estas derivadas sucesivamente. Las condiciones iniciales determinan de una ma-.'''1c.== ... 42. CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES33nera nica los valores, en el punto O, de todas la:s derivadas de la forma '(. 0ku, Q~l Q~)(15,2) 1 = t: = = t: "'G 1Todas estas derivadas son iguales a. cero, ya qu,e las identidades ( 14,2) se pueden derivar respecto a x 1 , x 2 , , x,.. Supongamos que existe una. solucin del problema de Cauchy. Sustituyamos en las ecuaciones (9,2) u 1 por las funciones que constituyen esta solucin. Derivemos todas las identidades obtenidas k1 veces respecto a X1, k.~ veces respecto a .i-2," , k,. veces respecto a x,.. Entonces en los miembros izquierdos se obtienen derivadas de 1a forma . ' a~ .:. o~ (16,2)y en los derechos, las derivadas respecto a X1, X2, , x,. de las funciones idcgnitas y de los coeficientes de la ecuacin, es decir, cantidades determinadas unvocamente ~!1 el punto O por las ecuaciones y las condiciones iniciales. Las identidades obteni.das determinan en el punto O los valores de las derivadas de la forma {16,2) (una derivacin respecto a t). Derivemos cada una de lasidentidades (9,2) una vez respect a t, ki veces respecto a X1, , k,. veces respecto a x,.. Entonces, en los miembros derechos se obtienen expresiones formadas por derivadas. de u, de Ja forma- ( 16,2) y ( 15,2) y por las derivadas de los coeficientes a'~] , b H y e,. En los .miembtos izquierdos, se obtienen derivadas de la forma(17,2) 43. 34, ECUACIONES EN. I!ERIVA~A..S P~y~S(dos derivaciones respecto a t) .. , Como qu.~ ..Yr~ h.Ai'?s. ,.~erpp~ . frado que las derivadas de la forma ( 16,2) y ( 15,2) .. qt.Je,qan determinadas unvocamente en el punto O por las ectiacion.es (9,2) . .y las condiciones iniciales ( 14,2), '. de ~qu se. ded):tce que todas las de:rivadas (17,2) 'J.Uedan determinadas Urivcamente en el puhto O. Continuando este proceso, comprbaremos de ese modo, que todas las derivadas de u, quedan determirladf &n e( punto O de 'na manera nica por las ecuaciones' (9;2) y is' cciidkiones iniciales (14,2). Pero los valores de todas &tivalair' di:da uncin ii.naltica u, (t~ i1, .. ~, %,.) eri. el pti~to' !fijo 'O &termina~ unvocamente !Os' valores de los coeficientes de' la' s'erie' de potencias de t, X1> , Xn que es el desarrollo de esta'fuilcin en una vecindad de y' por eso, determintflos valotes .die, esta' misina: funcin en la vecindad del punto O. Por lo tanto, las dos sol u~ dones analticas del sistema (9,2) con las mismas condiciones iniciales ( 14,2) y en _cierta ve.~~!!~, tam~in qs, co~ficientes del desarrollo de U (.i-1 x2 . .%',.) ;e~ potencis- de . . X1, x~, . ,., x,r son no negativos, es decir, U (O, .i-1, .i- 2, , .r,.) es en realidad una mayorante de cero. Por consiguiente, fas funcio-nes++ .. : +.q,V; x~ .:.. , x,.) =V (f +:,.t'1+ ;..,: +'x,.) son solu:-cin del "prpbletna 2". La a~alitiddad de esta solucin se desprende de que U(z), como se ha mostrado ms arriba, es desarrollable en serie. de potencias de z y por fo tan~o en serie de potencias de t, .i-1, , De aqu, segn hemos sealado ms arriba, se deduce la convergencia de las series potenciales (22,2) que representan la solucin del proble:na inicial.x,..Con esto termina la d~mostracin del teorema de Kovalevskaya pa_ra_ ~istem~s lineale,s. .. , . ''Obse~acin 2 . .be 'hi' 4e~~str~d~ d~l -tepr~rna se v.e queparalas series que dan la solucin al problema de Cauchy el sistem (9,2) convergen, .en todo casQ, en.la regin donde convergen las series que. dan la solucin 'del .problema mayorante. De aqu se deduce que la 'soluci6n del probkina inicial de Cauchy para el sistema (9,2) y para las funciones illiciales. ~ no 'necesariamertte iguales a 'ero, t!xist~, ett lodo dsd, en la tegin. ,::'f.' 53. 44ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESsi los coeficientes del sistema (9,2) y las funciones iniciales eran holomorfas en la regin 1 t l ~ R, 1.i-;1 ~- R(i= 1, 2, .. .,n,"R>O).Aqu p y ~ dependen slo de R y del nmero M, pero no dependen . de ninguna forma de Jos valores de las funciones iniciales q?; (.i-1, .i-2, ... , x,.) ni de los trminos independientes de las ecuaciones, ya que ni a ni regin de vaacin de z, donde se verifica (27,2), dependen de estos valores.laObservaci6n 3. Para los sistemas que no son de la forma ( 1,2) el teorema de Kove.levskaya, en general, no es ~lido como lo ilustra el siguiente ejemplo que pertenece a la propia Kovalevskaya. Consideremos la ecuacin ou .02 uTt = aa-(28,2)2con la condicin inicial1 u(O,.i-)=l.-x'lxl(.... .... ,,. ) ;' ""' ""1 , ..... ~.. +0"1~1.~ ..k ~Je u~ou~11~,+... us,,.~ (Xo, X1, ;, x.) =O (i,j=l,2, ... ,N).. (2,3) 55. Hemos escrito aqu slo los miembros que contienen las derivadas ni~s .a,tis: 1e t~s)~~drt~ ili~~il~~. .K.1,.f ,.,~! . ~ .,~lt ~ Jj~~" t}1' ;1 ' :.. ._.,1!1t i : ,.,.., r . '_ ,t.f '' 'En. l~ vecindad 4e la superficie :S introduciremos nuevas coordenadas CUl'Vilneas ~~ 1 ~1 ; , de rmnera que la ecuacin . de la superficies tome la forma o que las lneas l coincidan con las lneas coordenadasen eo= y. e1= C11'~:_C2, .. ,en= e,,.Para esto p;recisemos la supsidn sobre. ei carcter suave de la superficie S y de las ineas l. Supongmos que para 1 superffcie se pUed~n irtioducir fos ..P,armetrs 1 , . ~ ; ~n : . . ..e .Xo X1'"7"=Xo X1en.), } ..(~i, (q:r, .... ., e,t), , .~~~~(~1~":::.:~e~):, de mat;iera .que el rango de la. oxllill(i=< 3 .~).mati:iz fw;iciona,l.. '.O, 1,' ... , n;k.~-:::;. ' 1,' 2, .,.. , n)sea igual a n n cada punto de S, .y que los. miembros dros: dereehos.de las. ecua,dos..$U& ,;.rg, mentos. Respecto al parmetro 1 denva.da asax. e~osupndrems qe; alm~~o'suna'd~o1,. ., n. es 1.11~tmta d~.cero, y _que ) ..1 ~ i ::::::;:. , :. o . , . . . ' ; .. ' . el punto de mtirrsecc1on de la lmea l cqn la superf1c1e S. corresponde al valor = s decir' las ecuaciones: ( 4,3) ..J.>ara ~~ " o son iguales a tas e:uaCiones ( 3;5) de ia superficie S). '~.1eo:. . . . :'...,' o(..Demostremos ahora que el determinante func;ional '-''.,..''',..0X~oXo 0X1.aeo aeo ... : aeo ' .I ......:ax ax1 a;1 a;l.1ex.. Ti(S,3). ... . . 'oXo 0X10Xnae.. aen ... aenes distinto de cero en cierta v~cindad de la superfic~e S. O, superficie S, es decir, para ~En la=ex...a.;., ... ,.... - , .. :r1 ''.1'.. . . . , . . .. . .I.''(~,3) 57. 48ECUACIONES EN DERIVADAS PAll.CIALES Las ltimas n filas del determinante ( 6,3) son linealmente independientes, ya que por suposicin el rango d~ la . matriz funcior{al 11~::ff (i =O: 1 , .. ., n ; k= 1 , ... ,n) es iguala n. Si el determinante ( 6,3) fuera igual a cero, su primera fila, que representa un Vl'!ctor no nulo tangente a l, sera una combinacin lineal de las ltimas .n filas. Pero esto es imposible, ya que las ltimas n filas representan vectores situados sobre el hiperplano tangente a S y las lneas l por suposicin no son tangentes a S. Por continuidad, el determinante (5,3) es distinto de cero en cierta, vecindad de S .. Por eso, en esta vecindad, se pueden tomar como nuevas coordenadas del punto (x0 , X1, , Xn).eo, ei, ... , e,.e , , ... , ePasemos a las variables indepehdientes o ~ 1 en las n ecuaciones ( 2,3). En las ecuaciones transformadas nos van a interesar principalmente los trminos que contienen las derivadas de u, respecto a ~o de orden superior a n;. Escribiendo slo estos miembros obtendremosPor eso, escribiendo slo los miembros.on las drivadas de mayor orden de las funciones U respecto a ~o en las ecuaciones obtenidas de la transformacin de las, ecuaciones (2,3), tendremos N==o '=1 =nJ11:, + + 11:.(i= 1, 2,(7,3)... , N). 58. 49CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONESPara que estas ecuaciones se puedan resolver unvocamente o"iu . . . ~ respecto a - - - en cierta vecmdad de s , siendo arh. itrar1os 1 os.ae~1.dems trminos. de la ecuacin (que no estn escritos explcitamente), es necesario y suficiente que en todos los puntos de la superficie S el determinante 'IL (i, J= 1, 2,.. . , N).sea distinto de cero. Entonces, en virtud de la continuidad de los ~~,coeficientes A ' ... k.> y de las derivadas H(}X,.este determinantetambin es distinto de cero en cierta vecindad de la superficie S en el espacio (x0, X1, ... , x,.).' La ecuacinILA (x ijo 1 ' . , X',.) izl'o iz1'1 .' (i, j= 1, 2,q,k. , ..=O... , N)se llama ecuacin caracterstica d:>l sistema (2,3) ; aqu ',.son ciertos parmetros para los cuales::: a~.del hiperplanotiL "'"ix11o(x,. -(8,3)x~)-OfJ.1, .,a,.:/= O. lA direccin 59. so ,stH-lama dir'eccin caracferstica en el' punto ( x~ , .. ; ~) del sis-t~m~ (2,.3 ).; :si. ,""'..,_, '.~ .....-~l~:1">(~,~, .. ~, ~~) ~ .; . ~ k+.~=n1=:06..La superfici~ q (xo, Xi1 ., .rn) O se llama superficie caracterstica del sistema (23) o simplemente cara~t~rstica, si en cada. punto de' esta superficieLJ.A~~k,. .. k.>(xo,X1,. ,xn)X" + ; +1'. =ni. X.( Oq> .. ' ..3ro),. ( ~ ),.'..' .e~.)"' 1 QXn QX1.o.y si al meno; una de las derivadas c}q ( k = O; l ... , n) es.distinta de..cero._ ax,.De estas definiciones se deduce que la direccin de cada:hiperplano tangente a la superficie i;aracters.tica o, como vamos a deci~ para abreviar, la direccin de 'fa uperficie 'caracterstica es carac.terstica pi todo punto, . . '' '!"6a2, que , ."' ,, ,,,Debido a que la ecuaciprr-(8,3) es homognea respecto a las incgnit.as 1 , a,., estas variables se pueden normar suponiendo, por ejemplo,n a~ ='l.En~onces .''. ser el coseno~9elk=o al hiperplano caractersticoyel eje Ox,...ngulo entre la norma 60. 51CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES3. De lo anterior se ve que si la direccin de la superficie S de la cal se ti;at en el enunciado del problema generalizado de Cauchy, no es direccin caracterstica del sistema: (2,3) en ningn. punto, entonces, despus de sustituir por t;o , t; 1 , ... ; .;.. las oor.- denadas Xo, X1, , X,., segn se describi en el subepgrafe 2, el sistema t,ransformado (7,3) se puede resolver siempre en la vecindad de l:. superfiie . S, respecto. a. las derivadas de orden superior de. u, respecto a ~0 Se obtiene el sistema O"Utot;"~ o"'"""'.= Lp~~ ... k,,>(t;o," OkU; ... ,t;;.) a.;k, ... ~" o/,k+F.(t;o, ... ,.;!')"(9,3)(i, j ._:.._ 1, 2, ... , N; k= k0+ k + ... + k,. ~n;; kCJ < n1). 11Las condiciones definid~s para la superficie S se convierten en las condicionesk = O,J, .... , n,-1,(10,3)i=1,2, . . ,,N: Por lo tanto, si la superficie S no tiene direcin caracterstica en ningn plinto, el problema generalizado de Cauchy se .reduce al problema anterior de Cauchy. El P.aso del primero de estos problemas al segundo es totalmente reversible: a cada solucin suficientemente suave7 de uno ~orresponde una nica ;solucin suave del otro.u, 1 Es suficiente exigir que las funciones tengan derivadas continuas inclusive, y que las funciones que determinan el cambio hasta el orden de coordenadas tengan derivadas continuas hasta el orden mx (no), inclu. . sive.n,. 61. 52ECUACIONESE~DERIVADAS PARCIALES. Pero en el epgrafe antenor se trat de la solucin de un sistema. con co. 4. Para sistemas no_ lineales de la forma,.~o"ui oo iGl x",. ,.... )= . (13,3) k = k + ki + + kn ~ n1).(xo, ... ,x,.; u1, .. .,uN, (i, j= 1, ... , N;0la ecuacin caracterstic;a se.define de la siguiente manera. 0. --{-.-.-i()-"-1u_ _ _ _ }_'o . ox"o0 0~ , ox" 1..~.. ~O (14,3) 67. , 58ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESLa superficie . (15,3) se llama caracterstica para el sistema ( 13,3) y para la solucin . lada u1, u2, .. ., uN .de este ~istema, si en todo punto de esta: superficie y para las funciones consideradas u 1 , u 2 , , uN se cutlple l.a siguiente identidad :o. Anlogamente se definen las direcciones caracter,sticas del sistema (IJ,3) en un punto dado delespacio (x-0, , X'n) para la solucin dada u1 , u 2 , . , uN. En el caso de sistemas no lineales, slo tiene seb.tido hablar 9e la direccin caracterstica del hiperplanoLak(X'k -.~Z) ='oen el punto dado, si nos referimos a una solucin determinada U1, U2, , uN del sistema ( 13,3) ya que los coeficientes dt; la ecuacin ( 14,3) dependen, en este caso, en general, de las funciones Ui y de sus derivadas hasta el orden ni. Con. un, procedimiento anlogo al utilizado en el subepgrafe anterior se puede: dn'iostrar lo siguiente : Supongamos que en una superficie analtica estn dadas. las condiciones d~ Cauchy y supongamos que todas las funcione:; definidas en esa superficie son analticas. Puesto que despus de pasar a las coordenadas ~; /;_1 , , l;n el sistema deja de ser lineal, obtendremos para 1"'Ui un sistema no lineal de ecuaciones; designmoslo por.a.;~,~- 68. CLASIFICACI~. DE LAS .ECUACIONES59Este sistema tiene, .en general, varias soluciones respecto ai .= 1., 2,...0:U 'a..~,... , N, consideradas como funciones de 'las variables .independientes~=:E. ks ~ti,kc, .. . , 15 sustituyendo xpor -x. , Tracemos la recta x = a (a > O; fig. 1) y denotemos con Ha la regin comprendida entre el segmento la de esta recta y la parte Ka de la parbola y 2 x. Si a es suficientemente pequeo, todas las funciones u, son continuas al igual .que sus derivad.s parciales de primer orden, incluso hasta la frontera Ha (decimos que una funcin definida en la regin H es contiriua incluso hast. la frontera H* de esta regin, si se . puede extender la funcin a H* de manera que la funcin obtenida sea continua H*). en H Denotemos, para abreviar,=+ti.F,(u)== ou, - ~ au ()u - ~ bi,UJ oxL oyL J=lJ:st.(s _. 1, 2, , n), G,(v)"= ti== ~:-. :y i=t(aHv1)+Lb,.v,J=l(i -: l, 2, .. ., n)..Fig. 1 73. 64ECUACIONES EN DERIVADAS RARCIALESSupongamos que en Ha se tienen dos funciones u; y v; continuas incluso la frontera_ H 0 , al igual que su~ primeras derivadas parcil~. Entonces, la integracin por partes dahastaJJ['f . H,+[v;F,(u)iu 0G0 (v)]} dx dy ='"'1donde el contorno que limita a Ha (es decir, Ka+ la), se recorre en la direccin positiva. Si, en particular, u, es el sistema de soluciones de las ecuaciones ( 4,4 )' d~terminado anteriormente y si el sistema de funciones 'V1 , , v,. satisface las ecuaciones G;(v)=O(i= 1,., n),(6,4).lehtonces de (5,4) se obtieneinJ iu,v,dyo.'(7,4) i =1Recurramos ahora a algunos resultados obtenidos al realizar la demostracin del teorema dt: Kovalevskaya para un sistema de ecuaciones lineales. Utilicemos las observaciopes 1 y 2 del 2 y resolvamos el sistema de ecuaciones ( 6,4) en un entorno .del punto1.! .'' j 74. 65CLASIFICACIN DE LAS 'ECUACIONES(a, O), tomando como condiciones i~iciales para la todos los sis; temas posibles 'de polinomios. La constante M puede ser tomada igual a la constante M*, definida en la observacin 1 del 2 y comn para todos los puntos (a, O). Entonces, en virtud de la observacin 2 del ?. ,pocj.emos afirmar que, si a es suficientemente pequeo, todas las funciones que constituyen la .solucin del sistema ( 6,4) y verifican las condiciones inicialc::s establecidas, son, desde luego, definidas y analticas en Ha y, por consiguiente, son continuas incluso hasta la frontera Ha al igual que sus derivadas parciales. (ao De modo que laigualdad (7,4) se verifica si O O existe un sistema de polinomios v, (i .:.._ 1, ... , n), tales que en todos los puntos de la se tiene1 Ui -Vi1 tal que las fuciones u 0 y v 0 tienen derivadas parciales continuas de todos los rdenes, son iguales a cero en la recta x = O, pero son' distintas de cero en cualquier entorno del origen de coordenadas. Los coeficientes del sistema estn definidos y son derivables en todo el plano ; _sus derivadas 1, i = j, 8"" = { o, 8i """ j.Cal'dern, American: Journalof Mathematics 80, N9 1 (1958),16 - 36. 78. 169CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONESson discontinuas en X' = O y para estos valores de x la ecuacin caracterstica tiene races iguale~. 10 En 1954 Plis construy un nuevo ejemplo de sistema del tipo ( 10,4) que ofrece una solucin no trivial del problema de Cuchy O; adems, los siendo las condiciones iniciales nulas para x coeficientes del sistema tienen derivadas parciales continuas de cualquier orden en todo el plano.11 =La unicidad de la solucin del problema de Cauchy en la clase de funciones suficientemente ~uave; est demostrada para, ecu~ ciones hiperblicas y para sistemas hiperblicos con un nmero arbitrario de variables independientes (sobre esos sistemas hablaremos despus), as como para una clase amplia de ecuaciones y sistemas elpticos (vase S) ; exi~te una amplia bibliograffa referente a la ltima cuestin. 'La cuestin que nos interesa sobre la unicidad de la sol~cin del problema de Cauchy en la clase de funciones no analticas, pero suficientemente suaves, est relacionada con la posibilidad d~ extender de un modo nico la solucin suficientemente suave (u1, .. : uN) del sistema (13,3), definida en una regin real del espacio (x0 , . , x,.) que se encuentra a un lado de la .superficie S, suficientemente suave por no tener direq:in caracterstica en . 'ningun punto. En efecto, al definir las funciones de un lado de la. superficie S y en esta misma superficie, quedan definidos los v.alores en esta superficie de las propias funciones u, y de sus derivadas, que figuran en las condiciones de Cauchy. Por lo tanto,u,10Vase A. D. Myshkis, Logros de las ciencias mat. 3p. 3 - 46. 11P lis, Bull. Acad. Polon. Sci. 2(1954), 55 - 57.'2(1948). 79. 70ECUACIONES EN DERIVADAS PARCiALESel probl~ma 'sobre la. extensin. de las funciones u; al otro lado de la superficie S se reduce a determinar la .solucin del problema g~eralizado de Cauchy en la regin si~uada al otro lado de la superficie S. Como hemos sealado, el problema sobre la unicidad esta . soiucin no ha sido esclarecido totalmente hasta' ahora .de. Del mismo modo, hasta ahora queda sin resolver el ;iroblema de la posibilidad de e~tender de diversas maneras una solucin real (u~, ... , u~) suficientemente suave del sistema (13,3), defi. ' niqa en una regin real del espacio. (.i-0 , ~ , x,.), situada a un lado de una superficie suficientem:ent~ suave S y sobre esta misma superficie, y tambin en el caso en que esta superficie" s sea . caracte~stica del sistema dado y de la solucin .dada, Para todas las ecuaciones que vamos a considerar es siempre posible realizar esta extensin de muchas maneras. La cuestin de la no unicidad de la extensin de la solucin del sistema .( 13,3) ms all de la caracterstica es equivalente a la cuestin de la existencia de ms de una solucin del problema generalizado de C~u~hy, si las condiciones de Cauchy, planteadas para la caracterstica/son tales que, en general; permiten al menos una solucin de este tipo. Hemos visto que para esto las funciones u; definidas sobre Ia caracterstica y sus derivadas deben verificar, . en g~neral, 'cierta~ relaciotes. Estas condiciones se cumplen de antma.o si e;x:isten funciones Ui, , uN, que satisfagan las ecuacion~s dadas por un lado cualquera de la caracterstica. Si nos interesamos solamente por las soluciones analticas, la cuestin de la unicidad de la extensin ms all de la caracterstica, a.s como, 'en general, ms all de cualquier superficie, dada en una regin. de solucin ( n 1)-dimensional, tiene solucin+ 80. . 71'.CLASIFICACIN DE LAS ECUACio:t:ms.siempre en et sentido de que esa. extensin es nica, ya que una funcin analtica de n +. 1 .variables independientes queda totalmente determinada por s~s valores en una regin (n !)-dimensional tan pequea como se quiera.+3. En el 3 dd 3 hemos visto qu.e si la superficie S, en la cual se definen las condiciones de Cauchy, no tiene dir~ccin caracterstica er ning~n punto, estas condici~nes de .cauchy conj untam~nte con las ecuaciones del sistema ( 7,3) determinan unvocamente en S los valores de todas las funciones u, y de todas sus derivadas hasta el orden n.. En cambfo, si la superficie S es . ' . .. caracterstica en un entorno del punto A, tas condiciones de Cauchy . . . . _' . .. OnUi defm1das en, la misma admiten d:stmtos sistemas. de valores_ae:;que pueden satisfacer el sistema (7,3) si ad~iten al menes un . . . OnU . sistema de valores del tipo - - : (aqu hemos aceptado que. la ~~ ..'. .. .ecuacin e = O es la ecuacin de la superficie S), Por eso, pqeden 0 existir fu~ciones tales q_ue satisfagan las ecuaciones (7,3) en todos los punt()s de una regin dentro de la cual. ill!.y un. trozo de0"" . . . ' .. . 1 super f 1c1e caractensttca, ' temendo .1 d envad as -r:- en esta a as ..0,n, osuperficie discontinuidades del. primer tipq. Al. acercarse a S por distintos lados, estas derivadas se aproximan a los distintos valores que satisfacen simultneamente las ecuaciones (7,3) en la superficie S. Si la superficie S no fuera car~cterstica, las fleri- . . :(}nUi . vadas - - no podran tener en la misma dis~ontinuidades del~~ 81. 72ECUACIONES EN_ DERIVADAS PARClALESpritner tipo, siendo continuos los coeficientes de las e.cuaciones (7~J) y todas las derivadas de la~ funciones u, de la forma 'kUk0+ae 0 a~ 1 o 1k1+ .. : +a~"k,.=' k ~ n;,k0< n, .. Para. los sistemas no lineales son vlidas afirmaciones similares.Ejemplo. Consideremos la ecuacinau.2(11,4)axoy = ?; para la cual las lneasx = C'onst., y = const. son caractersticas. Es evidente que toda funcin de la forma . u=f(y),satisface la ecttacin (11,4), donde f(y) es una funcin cualquiera que tiene derivada en todos fos puntos. En particular, se puede suponer que la funcin u = f (y) es tal que su segtmda derivada es contina en t0dos los puntos a excepcin de un punto donde tiene discontinuidad de primer tipo. Entonces, obtendremos una solucin de la ecuacin ( 11.,4) cuyas segundas derivadas parciales .. tienen discontimiidad de primer tipo en la caracterstica. A continuacin nos dedicaremos fundamentalmente al estudi.o de: ecuaciones de segundo orden con una funcin incgnita o bien de: sistemas .de cualquier orden con un nmero cualquiera de funciones incgnitas, pero con derivadas parciales slo respecto a rma cuadrtica '(4,5) cuando se sustituJ.eporX,~ksegn las. frmulasn=.;r, k~i =1l, .. . , n).(k(5,5}.Los coeficientes A,1 de la frmula ( 4,5) s~ consideran constantes e iguales a los valores de los coeficientes A;, (.i-1, . , xn) de la ecucin ( 1,5) .en un punto cualquiera ( x~ , ... / x~) de la regin G. En el lgebra se demuestra la existencia de una transformacin real no degenerada ( 5,5) que reduce toda forma ( 4,5) con coeficientes reales A,1 a la forma m~~.donde im~n.(6,5)=1Existen muchas transformaciones reales no degeneradas ( 5,5) que llevan la forma ( 4,5) a la forma (6,5), pero el nmero. de trminos con signos positivos y el nmero de trminos c~n signos negativos de la forma ( 6,5) est qeterminado nicamente por la 84. ' 75.CLASIFICAClN D&' LAS ECUACIONESforma ( 4,5) y no depende de. la seleccin de la transformacin no degenerada (5,5). (Ley de in~rcia de las formas cuadrticas).18 El determinante IAt - )..~>kl tendr slo rakes reales. El nmero de trminos con signos positivos y el nmero' de trminos con signos negativos en la forma ( 6,5) es igual al nmero de races ).. positivas y negativas, respectivatl).ente, de este determi- ' nante. Si e~contra~os una transformacin ( 5,5) que lleve la forma ( 4,5) a la forma ( 6,5), la transformacin (2,5), cuya matriz es la traspuesta de la inversa a la matriz (a1t), reducir la ec.'Uacin (1,5) a la forn:ia=o,(7,5)i,i = 1m.sealado aqu slo los trminos con derivadas ' de orde~ sup'erior de a funcin u. La forma (7,,5) d~ la ecuacin {l_,5) se llama forma cannica en el puntp (~, ... , ~). 0' Por lo tanto, para cada punto (x~, ... , x~) de la regin G se puede. indicar una transformacin no degenerada (2,5) .de las1aVase A. G. K uros h, Curso de lgebra superior,. Fizmatguiz, 1959, d, 'Lecciones sobre lgebra lineal, Gostiejizdat; 1951, 27; l. M. Ge 1 fa n p. 143. 85. 76ECUACIONES EN DERIVADAS l'ARCIALES .variables ndependient~s que reduce la ecuacin ( 1,5} a la forma cannic en este p~nto.,, .En general, para .cada punto ( x~ , ... , x~) existe una transformacin (2,5) que reduce. la ecuacin (1,5) a la forma can.nica'. en este punto; en otros puntos esta transformacin puede no .r.educir la ecuacin a la forma cannica. Diferentes ejemplos permiten afirmar que en el caso en que el nmero de variables independientes es inayor que dos, no existe, .hablando en general, una transformaein lineal con coeficientes constantes de las variables independientes, ni ninguna otra transformacin no degenerada de las" variables,' que reduzca fa ecuacin lineal dada 'de segundo orden a .la forma cannica, incluso en una regin tan pequea como se quiera. En el caso de dos variables independientes existe una ti;ansformacin de este tipo para suposiciones muy generales respecto a los coeficientes de la ecuacin ( 1,5), .como se demostrar en el si~iente epgrafe. La clasificacin de las ecuaciones de segundo orden est basada en la posibilidad de reducir la ecuacin (1,5) a la forma cannica en un punto.2. La ecuacin (1,5) se llama elptica en el punto (x~, ... , _ x) si en la ecuacin (7,5) todos los A~. (x , ... , .i-0 ) (i 1, n "" 1 " f ... , n) son distintos de cero y tienen un mismo signo.=La ecuacin ( 1,5) se ll~ma hiperblica en el punto ( x~ , ... , si en la. ecuacin (7,S)' todps los Af., (.i-~, ... , x~) tienen un mismo signo a excepcin de un At que tiene el signo c0ntrario, siendo adems m n. .i-~)=La ecuacin q,5) se llama ultrahiperblica en el punto (7,5) se tiene ms de un ) un A* ( ,i-o , , xn nega_H 1 tivo, siendo m n. (x~, ... , .i-~), si en la ecuacin ) .. , A ( .i-o , , xn positivo y mas d e u 1= 86. 77CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONESLa ecuacin ( 1,5) se llama parablica en sentido ampli'b en el punto (x~, ... , x:), si entre los Af, (x~, ... x~) hay algunos iguales a cero, es decir, si m < n. .La ecuacin ( 1,5) se llama parablica en sentido restringido o simplemente par,ablica en el punto (x~, : .. , x~) si slo uno de los coeficientes A~i (x~, ... , x~) (sea ste A{1 ) , es igual a cero mientras que todos los dems Ati (~~; ... , x~) tienen sig-nos igualesy ou el coeficiente de at es distinto. dec~ro..La ecuacin ( 1,5) se llama elptica, hiperblica, ultrahiperblica, etc., en toda la regin G si es elptica, hiperblica, ultrahiperblica, etc., respectivamente, en cada punto de la regin G.En las aplicaciones ai?arecen a veces ecuacione~ que en una parte G1 de la regin considerada G son elpticas, y, en otra parte . G2 de la r.egin G son hiperBficas. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones de tipo mixto. Un caso pai;ticular de estas ecuaciones es la ecuacin de Tricomi ' o2u 0 u y-+ax ay 22~-o.siempre que se considere en una regin G que del eje x. 14c~:mtengalos puntos'l.4 Las ecuaciones de tipp mixto han 'sido estudiadas por P.rimera vez en los trabajos de Tcicomi (vase su libro "'Sobre ecuaciones lineales de tipo mixto"). Estas ecuaciones despertaron inters especial cuando se encontr . la relacin que tienen con la. . dinmica de los gases (vase F. I. Frankl, Noticias de la A C de la U R S S, serie matemtica 9 (1945), 121 - 143). En los ltimos aos aparecieron muchos trabajos dedi~dos a ecuaciones de tipo mixto (Vase A. V. Bizadze, Ecuaciones de tipo mixto, Edicin de la A e de la u R s s, 19S9, donde viene una extensa bibliografa). 87. 78ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES3.. 'UQa ecuacin no lineal. de segundo orden' ('~Xi, ,, X,., U,.:'ou~' 'uX1ou , ; - - . .,ux,.02U~... uX;uXJ)=~con una fncin inc~ta u se. llama, para una solucin dada u*(x1 , ., x,.), elptica, hiperblica o parablica en sentido amplio en el punto {x~, ... , x~correspondientemente en la regin G, s1 la ecuacin ..i,j=1donde A;,;(x1, .... ~ 'x,.). aw= --'-----02u } O{. QX;QX(8,5)es elptica, hiperblica o parablica en sentido amplio en el punto (x~, ... , x~), corresponde:ptemente en la regin G. En el miem~ro .derecho de (8,5) en lugar de las funciones u y sus. derivadas,. figura la funcin u*(x1 , ., x,.) y sus deri.vadas respectivas. A continuacin vamos a estudiar solamente ecuaciones lineales de se~updo orden con una funcin incgnita, que p~eden ser elpticas,. hiperblicas, o bien parablicas en toda la regin. No estudiaremos las ecuaciones ultrahiperblicas, ya que estas ecuaci~~es no se encuentran ni ri la fsica ni en la tcnica. Tainpo~o vamos a estudiar las ecuaciones que soh parablicas en el sentido amplio peto no lo son en el sentido restringido. Por eso, a:l hablar en el capflo 4 de ecuacione~ parablicas nos reieriremos sola~ente a ecuaciones parablicas en sentido restringido. 88. CLASIFICACIN DE LAS ECUA1(Z, y), y = y(z, y) = q>2(x, y).}(7,6)En el miembro izquierdo d~ E3',6) desaparecen entonces los a2u . que contienen -1:- y - - . El coe f'1c1ente d e -a2u - es 1: 2 2, . termmos.o2u a..o'rl.3,aydistinto de cero en toda la regin considerada G; en el caso contrario, al pasar de las coordenadas ( x, y) a las coordenadas ( /;, y), el orden de la ecuacin se reduce ; por consiguiente, al pasar de las coordenadas (/;,y) a las coordenadas (x, y) el orden. de la ecuacin en un punto de la regin aumenta, lo cual, como es evidente no puede suceder. 02 . 'd' .' . " D 1V1 ten dO 1 ecuac1on (3 ,6)' por el COe f'1C1ente d e oeo1J , ena contraremos que (8,6) en la vecindad G del punto (.i- 0, y0 ). Esta forma de l ecuacin tambin se llama cannica.= a + ~ y y = a -Haciendo i; ( 8,6) a la forma 2QU2 -2QU~2 =( a,~.~.. reduciremos la ecuacin ,o~QU QU )u,.(9,6)Despus de reducir una ecuacin hiperblica a la forma cannica (8,6), se puede a veces integrar en formacerrada, es decir, hallar una frmula que d todas las soluciones de esta ecuacin. 93. 84ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESEjemplo 1. La ecuacin 02u a2u_, - - = 0 oy2( 10,6)a.rmediante el. cambio de variables-e+ X.e-'ll.'I-2-' y=-2''se reduce a la forma (11,6) D enotandoou a;' med.iante v, obtend remosau ' af = o, esd ec1r, .=v f('IJ), donde fes una ftincin arbitraria de 'll Considerando en la ecuacinou '- = f('IJ)'oYJecomo un parmetro e integrando esta ecuacin, obtendremos : u.=ff(YJ) dy+ C(;)o bien u= q(;)+ '11('1l)= q(x +y) + cti(x -y),(12,6)' . donde q y ci son funciones arbitrarias dos veces derivables.Ejemplo 2. Si en la ecuacin ()2u-ae o'tlou ce ae o'tl 1-:;1=o)(13,6) 94. asCLASIFICACIN DE LAS ECUACIONEStomamosau-=v a'I)tendremosav ae =1 2~ v.Esta ecuacin se integra fcilmente separando las variables. Pm;sto que 'I) fig'ra en v como parme~ro, la constante d integracin ser una funcin de este parmetro. Obtendremos : lni vio bien1 = -2lni e 1 + ln i C('ll)1ou -'{) ::;:;- = C('li) v'lel v'll .donde=c1C'll)vTl +C1('1l)u=Aqufc2ce).C('ll) d'I)es una "funcin de 'I) arbitraria [ya que es arbitraria C('ll') ]i y derivable, mientras que C2(e) es una funcin arbitraria de ;.3. Si B2=ACen toda la regin considerada, la ecuacin (1,6) es parablica en esa regin (vase la definicin en el epgrafe anterior). Suponemo~ que en la regin considerada Jos coeficientes A; B, C de la.. 95. . ECUAciONES EN DERIVADAS PARciALES.ecuacin (1,6) no se anulan simultneamente. En virtud de la condicn. B 2 AC, de la suposicin anterior se deduce que en. cada punto de esta regin uno de los coeficientes, A o C, es distinto de cero. Sea, por ejemplo, A '#= O en el punto considerado (x0 , y 0 ) . Entonces, ambas ecuaciones (5,6) son iguales y se convierten en la ecuacin=. (14,6) Puesto que B 2 .= AC toda solucin de la ecuacin (14,6) satisfac tambin la ecuacinox +e"'= O. oyBo

B2 98. 89CLASIFICACIN PE LAS ECUACIONES.en todos los puntos de la regin considerada, es decir, el caso en que la ecuacin (1,6) es elptica~ esta regin (vase la definicin en el 5). Supongamos ahora que todos los coeficiente!> A, B y e son funciones analticas de X e y. Entonces los coeficientes de las ecuaciones ( 5,6) tambin so~ funciones analticas de x e y. Sea qi(x, y)=qi*(x, y)+iqi**(x, y)una solucin anltica de la primera de las e~ua~iones (5,6) en la vecindad 9el punto (."ro, Yo) y seaj~!I + l~~I'=/= O en esta.vecindad. Pongamos en las igualdades (2,6) ~=q*(x, y) y y qi**(x, y).ox oy oTJ oTJ ox oy.J(21,6)(22,6)17 En ci1(x).Sea la funcin u0 , ( t, x) esta solucin. Entonces para las dones iniciales u(O, x)=c>o(x).;u; (O, x)= f1(x)condi~1 . + 7t sen nx. ; n"la funcinuo(t, x));. .'+' -1- sh nt sen nx fi'+l . .es la solucin del problema de Cauchy. Por lo tanto, una variacin muy pequea de las funciones iniciales y de sus derivadas hasta el rden k - 1, obtenida agregando las funciones (2,8)i y .(2,8). a las condiciones iniciales anteriores, puede implicar variaciones tan grandes como se quiera de ia slucin del problema de Cauchy en un entorno tan pequeocomo se quiera de~ valor inicial t . O. Diremos que el problellll de Cauchy en una regin cerrada G del espacio t, x 1 ," . , x.,, adherida~ la regin Go en el hiperplano 119. 110teiECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES=t0 , ~nde estn definidas.las condici9nes de Cauchy, para Sisten:;ia de ecuaciones lineales de la formaA (t ' .x1, H. oku + f,(t, .xi. ... , .x,.), (4,8) .ot" ar~ ... o~ 1, 2, ... ,_N, k + k + . + k,. = k ~ n 1, .. ko. < n; Xi. =... ' X ., .. ,.J01est correctaiente planteado si existen unos nmeros positivos Li y L2 tales quel. en la regin G existe una solucin nica del sistema ( 4,8) que satisface para t = t0 las condiciones (k =O, 1, .. . , n, -1),(5,8)cualesquiera que sean las funciones q~k> (.x1, .x2, , .x,,) defini-. das en la regin G0 , donde tanto esfas funciones como sus derivadas hasta el orden L 1 son continuas. 2. para cualquier que en toda la regin en menos de e, si en derivadas respecto a menos de "l .e psitivo, se puede sealar un Tl > O tal G la solucin del problema de Cauchy vara la regin G" las, funciones qk> y todas 'sus .x1 , ,. .x,. hasta el orden L 2 varan enGeneralmente las condiciones de Cauchy se determinan experimentalmente ypor eso no pueden hallarse con exactitud .absoluta. En virtud de esto, para la fsica (entenderemos la palabra "fisica'' 120. ECUACIONES HIPERBUCAS .. 111en su sentido ms amplio) presentan inters las soluciones del de Cauchy slo para . aqlef~s ecuaciones. para las cuales el problema est correctamente planteado. Como lo muestsa el ejemplo de Hadamard el problema de Cauchy no est correctamente planteado, en general, para una e~cin cualq11iera.20 p~oblemaLo que hemos venido diciendo en relacin con el proble~ .de Cauchy se puede extend~r tambin a los dems pi:oblemas de contorno, ya que para las ciencias naturales presentan inters slo aquellos pro~lemas en los cual~s la solucin depende :Continua.:. mente, en cierto sentido,_ de las condiciones de contorno, de !a correccin del planteamiento del problema. 21 Para cada tipo de ecua-. ciones exi!?ten sus problemas de contorno correctamente plan-. teados~20 Es interesante observ.ar que, si se consideran las soluciones del pro. blen:illo de' Cauchy para la ecuacin de Laplace en la clase de funciones de valor al;>soluto acotado por una constante dada de antemano, a .pequeas variaciones de las condiciones iniciales corresponden pequeas variaciones de la, solucin: ~ase, por ejemplo, M. M. Lavrientiev; Actas de la A C 106 (1956), N9 3, p. 389 - 390.n En cada caso concreto el concepto de problema correctamente planteado debe ser definido con exactitud.Al definir el problema de Cauchy correctamente planteado para ecuacio- . nes no lineales, es natural considerar como funciones iniciales posibles cp(t, ,,,.) .... -+ !["""""aif (t, . Lq>i ( ~) ' ....(i=X) u j+ b,(t, x) ]dt=l 1, ... ; N). iHablando con rigor, la ltima. igualdad se debe escribir as: u~n+ 1 >.(t, x) :::::: q>i[x;(O,t, :.t")]+N+ +J[E ;~" oix,(-.,i, x))u~">(-.,=lbi(-., x,"(i;, t, x))]di; (iXi(-.,= 1, 2,t, x))+. .. , N).Suponemos que x Xi (t, t0, .i") es la ecr.acin de. la caracterstica Li, que pasa por el punto (t, .). Si demostranl-9s 41. con- vergencia uniforme de la sucesin uhl (t, x) en la regin cerrada G, entonces el sistema de funciones lmites Ui ( t, x) sati.sfar las . ecuaciones (5,10). La convergencia. uniforme de la sucesin u ~" 1 ( t, x) es equivalente a la convergencia uniforme de la serie co(6,10)...n=oPara demostrar la convergencia uniforme de esta serie construyamos para sta una mayorante numrica. Como las funciones u~0 > (t, i) y u~1 > (t, x) son continuas en la regi~ cerrada G, estn acotadas en esta regin. ' Hagamos M= ma:c ~ I u~', .. ., 1 u;,o> J,1 u~1 ~, ::.;1u~>1} 133. 124 ..ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESen 18. reginG.Entonces1u~ >(t, 0x)1~M,u~0 > 1 ~ 2M,1 u~ > 1(t, x) E G.Designemos max 1a;1 en la regi~ G para todas las i, j, .. ., N, mediante A. Entonces= 1, .. ,N1~~>(t, ;i-) -u~1 >(t, x)1 ~.JL 1 - - u i dt ""-::Supongamos ahora. queEntone~ 1 u!n+i>(t,x) --- u~">(t, x)1 ~2 MANt' 134. ECUACIONES 'HIPERBUcAS125Por eso, de acuerdo con el mtodo de inducin matemtica, para cualquier n se tiene j u~n+t>(t, x) -. ufn>(t, x) j~(ANt)" 2 M _n_!_Pero la regin G est acotada y tomando un nmero fijo T mayor que todos los .valores de. t en esta regin, .o~tendremos que en toda la regin G (ANT)n 1u~n + 1) ~ u~nl j ~ 2 M ----.,- n! (ANT)" . , converge, la serie (6,10) n.1 converge uniformemente en toda .la regin cerrada G, lo cual demuestra la existencia y la continuidad de la solucin del sistema ( 5,10). .Como la serie numricaLDemostremos ahora la unicidad de la. solucin continua enG (y por lo tanto acotada) del sistema (5,10). Supongamos que . " ,..... ,..... tenemos dos soluciones del sistema (5,lOJ U1, ., UN y u1, , uN. Sustituyendo ambas soluciones en el sistema y restando una de otra las ecuaciones correspondientes obtendremos Nu;(t, x) -';,(t,=x)JLa, 1 ( - ';) dt.i, J = 1Supongamos ahora que max e'G t=1, , N,..... 1u,-u,1= M > O. 135. '126 .ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESEntonces, haciendo estimados sucesivos de la diferencia ,...., ju, (t, x) -u, (l, x) , como hicimos en la demostracin de la ~xisten~ia, obtendremos que . (ANT)" M::::;; M n! para cualquier n, lo que lleva a una contradicdn si n es suficienOy temente grande. Por lo tanto M u,(t, x)= ';,(t,x)= (i =1, 2, ... , N),es decir, la solucin es nica .. Para finalizar la demostracin debemos c~mprobar que las funciones halladas , ( t, x) tienen derivadas 'continuas de primer orden con respecto a t y x. Es evidente que para esto es suficiente demostrar que las funciones u, ( t, x) tienen primeras derivadas continuas en la direccin l; y respecto a :r en cada punto, ya que .de esto y del hecho de que las l.- tienen derivadas continuas se despr:ende la continuidad de las derivadas respecto a t y x en toda la regin G. ' : La existencia y continuidad de las derivadas de u 1 ( t, x) a lo largo de l;, se desprende directamente del .sistema ( 5,10) y de la continuidad de la solucin obtenida. Pa~ demostrar la existencia ' ..'.QUiy la contmmdad de las derivadas - .- , ooservemos primeramente.ax.que de la supuesta existencia de las derivadas continuas de 'P ( x), .A., ( t, x), a, 1 (t, x), b, ( t, x), se deduce que todas las aproximaciones construidas en. la. demostracin de la existencia de solucin tienen derivadas continuas respecto a x. Derivemos respecto a x' ta igualdad que determina la ( n 1) - si~a aproximacin. +''1 136. 127ECUACIONES Hll'ERBUCASObtendremos/ ;;'i,'+f['"':ai('>, Z{'>, t, z)) ut) ('>, Zi('>, t, X)_r+ . . . oz .oJ' ... 'J. .,.,z.(-., + obj(-.,' . t, x)). d-.25 . ax . (i= 1, 2,... , N).En virtud de las suposiciom;s hechas respecto al sistema (1,10), se ,1 d 1, . . . . .f .d ., (n). pue'te emostrar a convergen~ta um orme e la sucesion - - -.. ,., . ," '..au, ax(n = 1, 2, ... ) de la misma forma que se demostr)a conver:.geneia de u~n), eambiando nic~mente las constantes en las .esti';'..no+..,'.:I(n)uUimaciones realizdas. Por eso hm - - }z 'uU,= -- y. la func1on es ax ..continua que es lo que.se quera demostrar. 25 coorden~da xi del punto de intersec~in de l en la. rect~ I :::::: 'C es una funcin continuamente derivable de t y .i, en virtud de 1a supuesta continuidad de las derivadas de A. Los lmites de integi;acin. respecto a t 'er)a integral curvilnea' no varan al variar s.La 137. 128ECUACIONES EN DERIVADAS PARC!ALESSi las funciones f ( x) fuesen slo continuas y no, tuviesen derivadas, las construcciones descritas . al. principio del presente epgrafe daran slo las soluciones .generalizadas del sistema (1,10), (vase el siguiente subepgrafe). 2. Hemos' demostrado la existencia y unicidad de la solucin del problema de Cauchy para el sistema ( 1,10) en la clase de funciones que tienen derivadas continuas de pri~er orden. Para demostrar que el problema est correctamente planteado vamos a . hacer la d_emostracin del siguiente teorema (vase 8). Si las funciones iniciales f;,(x) del problema de Caucliy son sustituidas por unas funciones y,,(x) que difieren de 'las respec. tivas f;,(x) en menos de TJ, entonces las funciones' v,(t, x) que determinan la solucin del problema transformado de Cauchy diferirn der ls respectivas u, ( t, x) en menos de e, donde e -+ O si 'ti-+. O. Supongamos ~,(.x)=v;,(t, x)=~i(x) -u,(t, x) -(7,10)TJ(x); z,(t, .i-).Las funciones JJ(t, x) satisfacen l~s ecuaciones integrales Nz,(t, x),= TJ;,(x;,) +. J( a. z1 1)Supongamos max (t,Z)1Z(t, x) 1/u' = 1, ,=dt.(8,10)&.NEnt~nces, repitiendofa estimacin hecha en' la demostracin de la existencia de la solucin, obtenemos 1 z,(t,x)1 ~ 'tj+ Ae.Nt.(9,10)-. 138. 129ECUACIONES BIPEllBLICASUtilizando la desigualdad (9,10) y haciendo de nuevo la estima-' x) j, mediante la ecuacin (8,10) obtenemos, cin lz(t;.jz,(t, x)1~ "l (1+. A 2N 2 t'" ANt) ~e~Repitiendo esta operacin n v.eces demostramos la desigualdad '.1z;(t, ~)1.~ "l(.11+ ANt. + ... + (ANt)nl)- ! + ~ (ANt) . (n _ n! )Pasando al lmite cuando n --. ea ol;>tenemos S ~ ~eANT.De aqu es evidente que e --. O, si y constante que no depende de y.-i'O, ya queeANf'es unaProblema 1. Enuncie la definicin de soludn generalizada del problema de Cauchy para el sistema (1,10) baio }as condiciones (2,10) y mediante una identidad integral, aniogamente como se hizo e11 el 9 para la ecuacin ( 4,9). ' ~aProblema 2. Demuestre la unicidad de la so!ucin generalizada del problema .de Cauchy (1,10), (2,10) en la clase de ftleiones que son continuas y tienen derivadas continuas fuera de un nmero finito de .lineas suaves. Problema 3.. Supongamos que la solucin generalizada del problema d~ Cau.diy (1,10), (2,10) tiene discontinuidad de.primer orden en un nmero finito de lneas suaves y que fuera de estas lneas la solucintiene dedvada.s continuas. Demuestre que estas lneas so.n las caractersticas del sistema ( 1,10). 3. Para finalizar el presente epgrafe dare.mos una desctrip-. cin breve del metodo de" las diferencias finitas que es "til. a ]a 139. ~UAClQ:t'l'Jt$ Elf mtRzvADAS PARCIALESpwbt~mabc>t& de.,.busoar la soluci1,1 aproximada del pl~teado tiq. el subepigrafe Lde .1o1chy'"'Sean tpj(x) las funciones iniciales definidas sobre el segmento [a, b] del 'eje Ox. Para hallar aproximadamente valores de la~ funciones u,( t, x) que satisfagan el sistema (1,10) y que para t .....:."o fornen los vafores dado~ 'P (x) ,' procederer'nos dei siguientetos,m~~Fijemos un nmero entero n y dividamos el' s~gmento [a, b]. en n partes iguales de longitud h= b -:- . Seguidameri.te trace-= +n=mos las. rectas x a ph y las rectas t qh para ciertos valores enteros p y q tales que la r!!gin G, en la cual se bu.sea la solucin del problma de Cauchy (vase el 1), est cubierta por una red cuadrada de lado igual a h, Denotemos los vrtices del cuad~ado con dos subndices, es decir, . desiguemos por M 11 q el ptinto de interseccin de las rectas x = .a p~ y t~ qh. Los v;i.lores de las funciones incgrutils u; (t, x) .en, todo~ los puntos Mpo: ui(O, a ph) q,(a ph) ,tpi(M,,o) e;Stn dados. Descri~os el proceso mediante el cual se p~~en hallar -aproximadainent~ los valores de U; (t, X) en todos los vrtices de l red , ' . .. ; , ,' . . ' , '. ; : . '.' : contemdos en G. En cada uno de los puntos M1'1> est~n definidos los coeficientes del sistema ( 1,10) y en particular l~s N nmer~s A; ( M 110) = );~0 ( i = 1, ... , N). A partir de cada punto Mpo tracemos N segmentos de recta con coeficientes atlgulares kf _.:. ~ . 1 ' . . ' . "' . :!: '' . . -. --:p.;- hast.a l. interseccin con la recta t. ,, , ,(!,,y, .~ll~!llO:> ,lo~++.. .,+==.'valores de u,( t, x) en los extremos de los segmentos tbrrspondientes. Para esto usamos la forma (4,10) d,eLsi:ste.ma (l,10) y sttstituimos el diferencial a .lo largo de carac~tsti~1L porla 140. '.lll' el incremento, y la igualdad exacta correspondinte . POt' .urla aproximada. Obtetldr~mos 1a .r~lacin .lli :::::: (~ a'ij/'+ b,) h, '.que permite hallar el irtcremento de la funcin .,6. ui ''',,' ',a:l psar ''del .'punto M-po a lo largo.de la .caracterstjca. L;,. (ms exactamente a lo. largo de ,la tangente .a, esta caracterstica) .a la. recta t = h. Aadiendo los incrementos halladps a lbs valores iniciales de la funcin en los puntos Mp 0, .encontraremos los valores de' cada funcin u;, en los puntos de la recta t :=. h; Los valores de las distintas funciones quedarn determinados, en general, en distintos puntos. Mediante cualquier proceso de interpolacirt, a partir de los valores hallados para u 0 sobre la recta t h, e.lculamos sus 1 vafore~ en los puntos Mp;,, s decir, en fos vrtices de la red' sittiados sobre esta recta. Despus de esto, podemos continuar el clculo de los valores de u, (t, z) mediante el mismo mtodo y ~i:icqi;itr,ar es~o~ valo,rt:s en, los~ puptQ8 .d-e, la rect:} -~' _?lf que pertenecen a la, regi~ G. R,.epitiepd~)a in_terpolaci.Qn y },a determinacin de los valores de.( t, ~) ,.tatJ:tas .v;E t0 que cuando t < t0 Observaciones. l. En lugar de la ecuacin (1,11) en el enunciado del teorema se pudo haber tomado la eroacin 2aat. '0 u )' -+-,, ax; ax~ 2u -=a2 ( 22(2,11)Udo11-de a > O es una constante cualquiera, si sustituimos el cono cuyas generatrices forman un ingulo de 45 con Ot por otro con cuyas generatrices estn indinadas respecto al eje Ot un ngulo a = are tg a. En efecto, la ecuacin (2,11) se reduce a la ecuacin ( 1,11) al sustituir por t.at2. Siempre podemos. considerar que t0 = O. El caso de cualq:uier t0 se reduce a ste si intr~ducimos en lugar 'de la variable independiente t, una nueva variable independiente t* t - t0 , con lo ctial la forma de la ecuacin ( 1, 11 ) no vara.=3. Supongamo~ que en el plano t0 :=; O est 'definida la regin G0 Construyamos copos, K con bases situadas en la regin Go, con ejes paralelos al eje Ot y con generatrices que forman con Ot un ngulo de 45. Entonces de nuestro teorema se deduce que. 143. ECUACIONES EN DERIV/dJAS PARCIALES~d~'~y au en 'ia' regin Go, la ~olucin" . . . ,, . :: ''""~'> > : ; . . . ..... . queda determinada umvocamente. en lade la ecuacin (1,11).',"" .reg1on. G del espacio comprendida entre los conos K; Por ejemplo, dados(t, x 1 . x 2 ).....at . . . . . . . < a, !x2j. < ci, la solucin u(t, X1, X2), . . . ..u y-0U h el cuadrado l:t-1!de la ecuacin (1,11), cuyas dos primeras derivadas son continuas, quecia unvocament~ determinada dentro de cada una de las dos pirmides para las cuales este cuadrado es base com.n y cuyas aristas laterales forman un gulo de 45 con la base..... ..a~4. Dados u y -.en un crculG G 0 cualquieraotsi~adoen elplano (x1, .i-2), la solucin_ u(t, X1, x 2) de la ecuacin (1,11) no queda determinada en ningn punto B si'tuado fuera de" los conos K correspondientes cuya base comn es ei crculo G0 , cuyos ejes son paralelos al ej~ Ot y cuyas. generatrices forman con el eje Ot un ngulo de 45. Para demostrar esto, es suficiente tomprobar . ,...,, . ....,.-' "que existe una solucin u(t, x 1 , x 2 ) tal que u y - - son iguales...........ata cero en el crculo G0 y u(B) ~O. Para construir esta solucin obserVem~s que para cualquier funcin f(z) con dos derivadas funci6~ , y para a2 + a2 l, '.l.2 'la.. ''f(t" ..+ C%1X1 +C%2X2)(3,11)es una soludn de la ecuacin ( 1, 11). ( Comprubese ! ) La funin ( 3,11) es c_onsfante en cualquier planot+a1r1+a:i-i-2= e,( 4,11) 144. . T3SECUACIONES HIPERBUCAS,que forme n ,ngulo de 45. con :t; Es~ojamos a y 112 de tal manera que el. plano de 'ta familia (4,11) que pasa por el punto. B no intersecte el crculo G0 Despus de esto,.'se puede escoger una funcin f (z) con dos derivadas continuas de . modo que f (t 1%1 x1 + 1%2 x2) sea distinta' de cero en el punto B e igual+a cero en G0 Entotices'';(t, la solucin que necesitamos.x1 :i-2)= f (t + 1%1 X1 + 1%2 x2)esLa5: de~ostraci6n que se h~ce n:is abajo del teorem~ de fa unicidad es aP,licable para as soluciones, cuyas ds primeras derivadas son continuas, de la ecuacin 2 QUat2 =02U ox~02U+ ... + ox!para cualquier n. En este. caso el cho tridimensional K del enunciado del teorma habra que sustituido por un cono en el espacio de n + l dime11siones, de ~je paralelo al eje Ot y cuyas generatrices forman un ngulo de 45 con Ot. Este cono tambin se llama caracterstico. Para ~ 1, se convierte en un. tringulo cuya base es paralela al eje Ox y cuyos lados forman. con'el mismo un ngulo de 45.nlaDemostra.cin del teorema de unicidad. Supongamos que dentr9 del 1,:000 K y sobre su superficie existen .dos solucines U1 ( t, z 1, x 2 ) y ~ ( t, x 1, x2) de la ecuacin ( 1,11), .continuas al igual que sus dos pr_imeras derivadas y que en la base de K, como sus primeras derivadas respecto a f, son iguales entre s. Entonces la diferencia u(.t, Xi,:x~)= U2(t, .%'1, X2)-U1(t, ..t",Z:t).debe tambin ~atisfacer la ecuacin homognea (1,11) dentro de K, pero en la base del cono u(t, X1 x2) y u( t,.x1 z2) deben anup 145. 136ECoACIONES. EN DERIVADAS l'AJlCIALESJarse. . El terema de la unicidad quedar demostrado si demos tr8mo~ que'i'(t, X1, x 2) ::::; O en el vrtice de K. Para demostrar esto integremos por dentro del cono K la expresin 'por donde la misma es igual a cero en todo punto ya que la funcinu s.tisface la ecuacin (1,11). Como queyentonces.Transformemos esta integral en una integral doble mediante la frmula de Ostrogradski. . Si designamos por K 1 la superficie lateral dl cono K y por C su base; como en C, en virtud de las1,' 146. .137ECUACIONES HIPERBLICAS. . .ou = -- = -- = Q, queda s.olamente au ou ot OX1 QXz. .. 1cond ic10nes m1cia es, - la integralo= _!_j'"J. {[ (~ ) + .(~ ) + (~ )_1cos 2 ot ox1 ax2 J 222(n, t) - K1.- 2 -ou c o s ou . .Ot.(n,X1) -QX1QU. QU'2 --;-- - . cos .(n, x 2 ) ut OXz}da.28(5,11) Per~en la superficie. lateral del cono caracterstico cos 2 (n, .x1 )cos 2 (n, t) --cos 2 (n, x 2 ) = O.(6,11)Multipli~ando y dividiendo la funci~ subintegral por cos (n, t) . y utilizando la relacin (6,11) obtendremos a partir de (5,11) 1 2 cos ( n, t )JJ { (~ cos(n, .i-1) ot+(~ otcos(n, .x2).-~ oxzou- oxi cos(n, t))+2cos(n, t) )}da= O. (7,11)zs Fijenos la atencin en que durante las transformacion.es realizadas con la integral(2"()u. 02u 02u ). - - - - - - - dx 1 dx 2 dl (}'x12 (}x~. !!! o'ot2Khemos asumido la continuidad de las primeras derivadas de u dentro y en la de K y la integrabilidad en K de las segindas derivadas de u. Estas ltimas se pueden integrar en K si son, por ejemplo, continuas dentro de K y en su frontera. front~ra 147. . Aqu cos ( n, t) se . coloca. fuera del signo de integral por1 que en K 1 es constante : ( cos ( n, t) para t > t0 y..'':;:>-.".;'"cos (n, t). '"= --y2= -:--S para t ERIVADAS PARCIALESsatisface para t= -O las condiciones t1v:(o, .X1,(0, X1, X2, Xa).i-2, xa) .:_a~. 'At 2 , V=qi(X1, .i:2, Xa), ,o~ a~ o~ = --' + --' + --'. = O. OX~ 0%~ OX~. Por eso si u, tiene derivads continuas de tercer orden, la solucin de la ecuacin (1,12) que satisface ambas condiciones (2,12) ', Yiene dada por la frmula ( 4,12). De ese modo el problema genera,l. de Cauchy para la ecuacin ( 1,12) se reduce a hallar u,. Y podemos afirmar que se cumple la frmula 1 ~!!(S,12)Esta frmula se llama f~mula de Kirchhoff. Aqu Se(.i-1, X2, xa) .designa una .esfera de radio t con centro en el punto .(.i-1, %2, .i-a) sobre el hiperplano t = O donde esti dada la funcin qi, y dut es un elemento de superficie de esta esfera. Supondremos que la funcin qi (.i-1, .i-2, ~a) es continua y acotada al igual que sus der'i vadas hasta el k - simo orden inclusive ( k ;;;i. 2) ; entonces la funcin u,, como se ver nfs adelante a partir de la. frmula (6,12), tambin tendr derivadas continuas hasta el k-simo orden intlusive. Demostremos primeramel'lte que la fun~in u, definida por la frmula ( 5,12)' satisface las condiciones iniciales ( 3,12). La primera de estas condiciones se satisface ya que 'lfJ 's,.1qi(CX1, ;2 cxa) licre 1~ max j qi 1 ~t2, 150. 141ECUACIONES Hll'ERBUCASy, por lo tanto,Para comprobar la segunda condicin observemos que haciendo" = .i'k +ala forma. reducimos la integral ( 5,12) u, ( t,X1, Z2, Za)=~~,t,fJq> (.i-1+ t~1, Z2 + t~2, Xa + t~s)81d111;(6,_lZ)donde la integracin se lleva a cabo por una misma sfera S, para todos los ..i-1, X2, za, t:Por eso8+~ff 2= ~"qi~(..i-1 + t~1, 81k..i-2+ ~2 ~a + t~3 ) d111 ~7,12)=1Aqu q>1c designa la derivada de qi respecto a a1c. Es fcil ver que el prime.r sumando en .el miembro derecho tiende a q>(..i-1, X2, Xa) cuando t -+ O y que el segundo. tiende a cero ya que la integral que f gura en el mis.mo per~nece acotada. . 151. .. 142ECUACJ.ONES EN DERIVADAS PARCIALESAh?ra ~s suficiente demostrar que la funcin u,. definida. por la. frmula de Kirchhoff satisface la ecuacin ( 1,12). De la igualdad (6,12) encontramos !! (-+-+1 (-+-+2" '0 u, , aau, 0 u, t -+-+-=. o~ ax~ ox~ 47. 2102q02f ).2 1.QIX~OIX~(}1Xa2q.=47.t0 2qQIX. s, .2 1a2q )QIXQIX2 22 3 a u Para calcular - - ' volvamos a escribir la igualdad>da1= ' .dat.(8,12) .2. a12,(7,12) as:. v,u, t .= ..l(t) + ~ ....(9,12) 47.t .donde l(t)= ,!!! (-0 + - + - . , d1X1 diXz. diXa, . QIX; QIX~ QIX: ._ . , a2qia2qi2q )ev, .y- Vt eS una esfera de radio t con centro en el punto (X1, z2; Xa) sobre el hiperplano t = 0, 152. ECUACIONES HIPERBUCfLS,De la frmula (9,12) obtenemos ~ ~i, +!._[u~+ l(t)J --!(t) +-:_ oI(t)02u, = ae ,ttt2141rt 241rtat .aI(t)ikt41rt at(10,12)Pero es fcil ver que (11;12)Comparando 1y igualdades (8,12)., ( 10,12) y ( 11,12), es fcil . comprobar que"la funcin u definida por la frmula de KirchhOff satisface efectivamente la ecuacin de ondas ( 1,12). .Observacin. Si la funcin cp1(%i, %2, xs) es continua y cpo(x1, x 2, .ia) es continua al igual que sus primeras derivadas, la funcin u definida por las igualdades (4,12) y (5,12) da solmente una soluCin gene~alizada del problema de Cauhy. Aqu entendemos como solucin generalizada del problema de Catichy 27 En efecto, pa~ando a coordenadas polares ( Q, t>, 'lj!) con centro en el punto (x1 , x 2 , x 8 ) tenemos t ',,. 2JEj (t)=JJ.JA q(r, "" t>) 1:2 sen t> d q.d t> dr, ,oooff JIai2ff--.-. =. . Aq (t,cp,t>)_t2_sen t>d q, di>,=.. Acp d ()"t' . ' . ' oo Bt't 153. 144 para la ecuacin (1,12) con las condiciones iniciales (2,i2); el , lmite de la ~cesin uniformemente convergente de las soluciones ""(t; .X1, ,x1, x 8 ) de lq. ecuacin (1,12) con las condiciones iniciales0si cuando n.~oo las_ sucesiones IPo, .um ormemente en G0 a 'f..ip 0OIPo, --;ax.ip 10IPo!n> .a~,ip 1 cn>convergen. . respectivamente. E s f' 1 aci..ver que si ip1 (xi, X2, x 3 ) es continua y ip0 es dertvable continuamente, la solucin ge~eralizada del problema de Cauchy con las condiciones iniciales (2,12) existe y es nica. 2. Consideremos el caso particular cuando la funcin ip no . depende de x 3 Es fcil comprobar que .la funcin u dada por la frmula de Kirchhoff tampoco depende de x 3 y por eso satistar . la ecuacin (12,12) En este caso es posible sustituir la integral referida a la esfera St por una integral doble segn la seccin K, de la: esfera Vi por el plano aa = xa. Proyect.ndo el elem~nto da, de la superficie sobre este plano obtenemos- - - - - - - - - - - - - da1 da, 154. ECUACIONES HIPEJIBUCAS14$y la frmula de Kirchhoff se puede escribir del siguiente modo: ' u,(t, X1, Xz). = . .Por eso la solucin de la e~,lacin (12,12) que satisface las '' condiciones U (0, X1, X2) _ fo(X1, X2), U~(0,'X1, X2)=ql1(X1, X2),(13,12)Esta frmula se llama frmula de Poisson.;3. Si la funcirt q no depende ni de x 2 ni de x 3 , la funcin u d~da por la frmula de Kirchhoff tampoco depende ni de! X2 ni de Xs y por ~so satisface la ecuacinazua2u- =ox~ ot2 -.(14,12)' 155. l'U> . Eti"este -easO ~i.: frmula' de- Kirchhoff se puede escribir as:s,"1 - tAqu nos hemos basado en que el rea de la parte de la esfera St contenida entre los plarios a 1. =' const: y 1 + da1 = c;onst. que inters~~tati a esfera es igual a 2'1':t da/8 y que l funcin q> ( a1) en t~a esta. parte de fa esfera c'on'serva un valor i;onstante con exactitud del orden de da1 Por, e~o la -~olucin de condiciones u(O, z 1)la= fo(.i-1),.eeuadri (14;)' qu~ satisface las u~(O,Z1) ,::::;: q>1(z1),est dada por la frmula ..,~+tu(t, Xi)1+t= ~ Jq>1 ( .ri1) Jar1 + ..!._ ~ f q>~ ( ar1) da1 = ... 2 2. ot "1 -t ' .." - .t(15,12) Esta frmula se llama frmula de D' Alembert. . :is El ~rea 'de .una franja es:frica .de J?equea altura da .es a_proximada mente igual a 2 n: Qd'l, donde Q eS el radio de la. secdn media de la franja y d l es la generatriz del cono truncado inscrito en esta franja. Pero cL da.=~.dedondeQdl= tda. y da.= 2 x tda.. . tQ= 156. "147ECVACIONES HIPERB.UCAS1 .Re.cardemos : que' de acuerdo con el teorema de la unkidad,' demostrado en el 11, el problema de Cauchy no tiene otras solueiones que las dadas para las ecuaciones (1,12), (12,12).y (!4,t?) n;ie~iagte. las frmulas :(4,12), (13,12), (15,12), respectivament~. El mtodo mediante el cual obtuvimos la solucin del problema de Cauchy para las ecqaciones ( 12,12) y ( 14,12), a partir de la .solucin del problema de Cauchy para la ecuacin ( 2) se llama mltodo. de des,censo. . . Hemos encontrado la solucin del problei:na de Cauchy para t > O: El caso t < O se reduce al anterior sustituyendo t por -t, lo C}la/ 9~.:,i~ter~;lp,s :~CU!.qoes, _(1,1~), q~,12~,,C'1t~,1~) . :: J';:,-,_,.,'. .''- -.' .. -""' '; ' ....,-. -''; 'Problema 1. Sea u(t, .i-1, .i-2, xs; 1:) la soluc1on de la ecua:cin .(l,12).9ue ~. t = 1: satisfa:ce Jas'_q>ndiciones ~-a; ot-(1:, X1, .t'2, Xa; 1:) = f(1:, X1, X2, Xs)..Demq.strar que la -solucin u(t,.02u . .,0 2u(}t~ .. ~.}F,_ -02uox; -x 2_,X:1,,02QX~.i-8 )de la ecuacin= ~(1:, Xi,.X,2'X~), ~que satisface ~r't =O las 'conaiciones ' :~. 1 :.... ' :,,, ,''.u(O, X1, X2, X&) -. ,ou .,.~(0, X1, X2, Xs) ut -.= ,,fest d;da .PQJ' _la rmula"t.u(t,.s1,;:r2,,Xa) .. ;.. ' '"f(t, oX1, X2, x 8 ;.1:)dt.(16,12) 157. 148ECUACONES EN DERIVADAS PARCIALESProblema 2. Utilizando la frmula ( 5,12) demuestre que la solucin ( 16,12) es de la formadonde r =V (x1 - ix1) 2 + (x2 - ix2) 2 + (xa gral (17,12) se llama potencial retardado:ix1) 2. La inte- i3. ESTUDIO DE LAS FRMULAS QUE DAN LA SOLUCIN DEL PROBLEMA DE CAUCHY1. Dependencia continua de la solucin respecto a los datos iniciales. Todas las frmulas deducidas por nosotros en el epgrafe.anterior y que dan la solucin del problema de Cauchy para la ecuacin n. (1,13)contienen, cuando n = 2, 3, integrales de las funciones iniciales multiplicadas por determinadas funciones y derivadas respecto al tiempo de esas integrales. Para n = 1 estas frmulas contienen slo integrales de las funciones iniciales y las propias funciones iniciales. Por eso, si hacemos variar las funciones iniciales fo y q 1 de manera que tanto las citadas funciones como sus primeras derivadas varen suficientemente poco, la funcin u( t, x 1 , x 2 , , xn) que da la solucin del problema de Cauchy variar tambin poco. Si n = 1, para que lo anterior se cumpla es suficiente que varen 158. ECUACIONES HIPERBLICASpoco las propias funciones fo y fi Aqu se supone, por supuesto, que se consideran solamente valores actdos de t, si la regin en la cuar se dan. las funciones iniciales. es infinita. De ese modo queda establecido que el problema de Cauchy para las ecuaciones ( 1,12), ( 12,12), ( 14,12) est correctapiente planteado. Se pueden deducir las frmulas que dan la. solucin del problema de Cauchy para la ecuacin (1,13) siendo n cualquiera, anlogas a las frmulas (4,12); (13,12), (15,12), y comprobar que tambin para esta ecuacin el problema de Cauchy queda correctamente planteado, si damos las condiciones iniciales para t = O. 29 Los nmeros Li y L 2 que figuran en. la definicin del problema correctamente planteado (vase 8) son iguales respectivamente a[-i-] +2 y [;J;aqu [xJ denota la parte en-tera de x. D las frmulas ( 4,12) y ( 13,12) se .deduce que para t peque- os, 1u(t, Xi, X2, x3 ) 1 y respectivamente 1 u(t, x 1, x 2 ) 1 puede ser muy grande a pesar de que sean pequeas fo y fi, si las derivadas de la funcin fo son grandes. Puede forQlarse "crestas" de la nda. '2. Difusin de gndas Las frmulas ( 4,12) y ( 5,12) muestran que el valor eri el punto ( t, Xi, , x.) de l~ solucin del problema de Cauchy para la ecuacin de ondas (1,13), siendo n 3, depende de los datos iniciales slo en el .contorno de la base del cono caracterstico con vrtice en el punto (t, xi, .;"2, x 3 }. Sin= 1on::::;2, u(t, Xi , x-.)=2e Estas frmufas se pueden, por ejemplo, deducir por el mtodo expuesto en el "Curs de matemtica superior" de V. l. Sm i r no v, tomo 2, t 173; Fizmatguiz, 1958. 159. 15,0ECUAC,IONES EN DERIVADAS PARCIALES.d~penqe de h>s aatos iniciales en toda la base. :del cono, como lo :~tran lasfr1nulas (13,12) y (15,12). ' Supongamos que ls valores iniciales de uy 'u; para t .:_o dl-fi~ren de cero slo dentro de un: pequea regin: G~, terca de cierto pun'.t. (O, .x~, ... , x~). Analicemos los valores que tom~ u en los puntos ( t, .xi, ... , .i-,.) para .x1 , , .x,. fijos, y para ~-recientesvalores de t a partir de cero. Par n = 3, u( t, xi,''. . ., .i-,.) puede diferir de cero slo en 1.lna parte pequefi.a de la recta, . considerada en el espacio (t, X1, , .x,.) y paralela al eje' Ot; precisamepte en la parte donde estn stuads tos vrtices de los coros caractersticos de la ecuacin (1,12), las fronteras de cuyas bases ihtersectan la regin G,. Si ~ = 1 o = 2 y el punto (O, z1); respectiyamente, {O, z1, %J1), no perteriece a G,, ertfonces u(t, ..x1 ) y respectivamente u(t, z1, .x2 ) es igual a cei:-o, par;;L t suficientemente pequeos, y ser,. en general, diferente de cero a partir de los valores .de t para los cuales el segmento j.x1 - a 1 I. ~ t, respectivamente, el crculo (a1 .:_ .i-1 ) 2 (a 2 ..:.:.'..'.i2 ) ~ t2 , 'intersecta la regin G,.n+Por lo tanto, fa pertt.trbacin ocurrida er{ el !tistant~ iriciai' en cierto ~ntorno pequeo del punto (x~' ... ' z~),' }aran' . 3 y t > O, se hace sentir en los valores de la_ funcin .slo en los puntos del espacio (.x1 ,' ., .x,;) que estn situados cerca de la esfera.de radio t. con centro en el.punto {.x~,, ....... ,,.r~), P.e ese modo la. perturba:cin ocurrida en. el instante inicial en .el punto (.x~, :r~, x~) origin~ una nda esfrica con centrQ en e&t~ punt qu'e tiene im frente delantero y. uno trasero. En ~mbio 1 si n = 1 2, la perturbacin ocurrida en d instnte -inicial en la o n vecindad del punto (.x~' ... ' .x~) s