Lección 4.1 - Antiderivadas y La Integral...

Lección 3.1

Antiderivadas y La Integral Indefinida

02/03/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20

Actividades 3.1

• Referencia del Texto: Sección 4.1 Antiderivadas y la Integral

Indefinida, Ver ejemplos 1 al 9

• Ejercicios de Práctica: Impares 1 – 41

• Asignación 4.1: Sección 4.1 Antiderivadas y la Integral

Indefinida, 18, 22, 28, 40

• Referencias del Web:

Khan Academy - Integrales Definidas e Indefinidas – Antiderivadas

e Integrales Indefinidas, Integrales indefinidas de x elevada a una

potencia, Antiderivadas de 𝑥−1; Antiderivadas Trigonométricas y

Exponenciales Básicas.

Paul’s Online Note – Indefinite Integrals

Visual Calc - Antiderivatives / Indefinite Integrals; Tutorial sobre

antiderivadas y el integral indefinido. Table of Elementary Indefinite

Integrals. Ejercicios de práctica (Drill) usa Java.

eMathLab – Indefinite Integrals

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016 2 de 20

https://es.khanacademy.org/math/calculus/integral-calculus/indefinite_integrals/v/antiderivatives-and-indefinite-integrals

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/IndefiniteIntegrals.aspx

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/antider.1/index.html



http://emathlab.com/Calculus/indefiniteIntegrals.php

Antiderivada

• Una función F es la antiderivada de f sobre un

intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.

• Ejemplo:

• es una antiderivada de

• Otras son:

• En general, si F es una función antiderivada de f

sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f

será de la forma F(x) + c donde c es una constante.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016

5)( 2 xxxF

12)( xxf

1)( 2

1 xxxF xxxF 2

2 )( xxxF 2

3 )(

3 de 20

Integral indefinida

• La integral indefinida de f(x) se define como el

conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).

donde c es una constante.

• Ejemplos:


cxFdxxf )()(

dxx 12 xx 2c

dxx cos xsin c

dxx3

4

4x c

4 de 20

Ejemplo 1

1. Determine las antiderivadas de f(x) = sin x

• Como

2. Determine

• Como


cxdxx cos sinxxdx

dsin)(cos

cxdxx tan sec2xx

dx

d 2sec)(tan

dxx sin

dxx sec2

5 de 20

Otras antiderivadas ..

• Recuerde:


dxxecx tans cx sec

dxxx cotcsc cx csc

dxe xcex

cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐

𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝑐

6 de 20

Reglas básicas de antiderivadas


ckxdxk

xndx xn1

n 1 c , n 1

dx 5 cx 5

dxx 3c

x

4

4

Ejemplos:

dx cx

Ejemplos:

dxx 21

cx

2

3

23

cx

3

2 23

cxx

3

2

dx cx

7 de 20

Reglas básicas de antiderivadas …

• Ejemplos:


dxfcdxcf (x) (x)

dx5cosx dxx cos5 cx sin5

dxx26 cx

36

3

dxx26 cx 32

dxx33- dxx 3 3

1

cx

13

13

13

1

cx

3

43

3

4

cx

4

93 4

cxx

4

9 3

8 de 20

Reglas básicas de antiderivadas …

• Ejemplos:


dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[

dxxx 122

dxxdxdxx 122

3

3x

22

2x x

cxxx 23

31

c

dx

x

21

cx

x

2

12

2

1

dxxdx 2

1

2 1

cxx 4

dxxdx 2

1

2 1

321 cccc

9 de 20

Ejercicio #1

1.

2.


dxxx 121 53

dxx 4 3

dxxdxxdx 53 12

cxxx 64 24

1

dxx 43

cx

4

7

47

cxx

7

4 4 3

cx

7

4 4

7

10 de 20

Ejercicio #2


dxx cos

dxx sin

dxx sec2cx tan

dxxx tan sec cx sec

dxxx cot csc cx csc

dxx csc2cx cot

cx sin

cx cos

dxe xcex

11 de 20

Ejemplo 2

• Encuentre la antiderivada de

• Solución:


x

xxxxf

52sin4)(

x

x

x

xxxf

2152

sin4)( 2142sin4

xxx

dxxxx 2sin4 214

dxxdxxdxx

2142 sin4

dxxdxxdxx

2142 sin4

cxx

x 21

5 21

52cos4

cxxx 25

2cos4 5

12 de 20

Ejercicio #3

Encuentre


dxxex sec73 2

dxxdxex sec73 2

cxex tan73

dxx

x

23

dx

xx

x 23

dxxx 2

1

2

1

23

dxxdxx 2 3 2

1

2

1

cxx

2

12

2

33

2

1

2

3

cxxx 42

13 de 20

Ecuaciones Diferenciales


𝑦 = 3𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 + 𝑐Observe que si:

La gráficas que las ecuaciones 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝒙 + 𝒄 generan diferentes traslaciones

verticales de las gráficas de 𝐲 = 𝒙𝟑 − 𝒙 .

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 − 𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 + 𝑐Ésta ecuación se expresa como:

En general, esto expresa: 𝑭′(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝒄

Una ecuación diferencial es una que contiene la derivada de una función.

Una solución de una ecuación diferencial es una función cuya derivada de la

función. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 − 1Ejemplo: Resuelva

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 3𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 + 𝑐y =

Si se desea determina una solución en específco, se necesita al menos un

punto de su gráfica.

14 de 20

Ejemplo 3

• Encuentre f si 𝑓′ 𝑥 = 5 − 2𝑥 + 𝑥2 si 𝑓(1) = 3

• Solución: f es una antiderivada de f’(x)

• si f(1) = 3, entonces


dxxxf 225 dxxxdxdx 225

x52

22x

3

3x

cxxx 32

3

15

c

3)1(3

1)1()1(5)1( 32 cf

33

115 c

3

4c

3

4

3

15)( 32 xxxxf

15 de 20

Ejemplo 4

• Una bola es lanzada desde el topo de un edificio de 80 𝑝𝑖𝑒𝑠 de alto a

una velocidad de 64 𝑝𝑖𝑒𝑠𝑒𝑔 . Encuentre la función que describa la

altura s del objeto en el tiempo t. ¿Cuándo la bola llegará al piso?

• Solución:


80 𝑝𝑖𝑒𝑠

= 64 𝑝/𝑠

Observe que 𝑠(0) = 80 , 𝑠′ 0 = 𝑣0 = 64

Además, por la acelaración de la gravedad

es −32 𝑝/𝑠. 𝑠"(𝑡) = −32

𝑠′ 𝑡 = 𝑠"(𝑡) 𝑑𝑡 = −32 𝑑𝑡 = −32𝑡 + 𝑐

Como 𝑠′ 0 = 64 64 = −32(0) + 𝑐

64 = 𝑐

De modo que 𝑠′ 𝑡 = −32𝑡 + 64

16 de 20

Ejemplo 4 …

1. Encuentre la función que describa la altura s del objeto en el tiempo t.

2. ¿Cuándo la bola llegará al piso?


80 𝑝𝑖𝑒𝑠

= 64 𝑝/𝑠

= (−32𝑡 + 64 ) 𝑑𝑡

= −16𝑡2𝑡 + 64𝑡 + 𝑐

Como 𝑠 0 = 80

… Similarmete 𝑠(𝑡) = 𝑠′ 𝑡 𝑑𝑡

80 = −16𝑡2(0) + 64(0) + 𝑐

80 = 𝑐

De modo que la función que describe la altura

del obeto es 𝒔 𝒕 = −𝟏𝟔𝒕𝟐 + 𝟔𝟒𝒕 + 𝟖𝟎

Llegará al piso cuando 𝑠 𝑡 = 0

Resolviendo por 0 = −16𝑡2𝑡 + 64𝑡 + 80

0 = 𝑡2 − 4𝑡 − 5 = (𝑡 − 5)(𝑡 + 1)

La bola tocará el piso cuando 𝒕 = 𝟓 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐𝒔

17 de 20

Fórmulas de Integración de funciones

trigonométicas

• Recuerde:


tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos 𝑥 + 𝑐

cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln sin 𝑥 + 𝑐

sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝑐

cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐

sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐

csc 𝑥 𝑑𝑢 = −ln 𝑐sc 𝑥 + 𝑐𝑜t 𝑥 + 𝑐

18 de 20

Resumen de Fórmulas de Integración


dxx sec2cx tan

dxx csc2cx cot

dxe x ce x

dxx cos

dxx sin

dxxx tan sec cx sec

dxxx cot csc cx csc

cx sin

cx cos

tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos 𝑥 + 𝑐

cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln sin 𝑥 + 𝑐

sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐

csc 𝑥 𝑑𝑥 = −ln 𝑐sc 𝑥 + 𝑐𝑜t 𝑥 + 𝑐

19 de 20

Ejercicios del Texto

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/03/2016 20 de 20

Lección 4.1 - Antiderivadas y La Integral...

Documents

Transcript of Lección 4.1 - Antiderivadas y La Integral...