Reglas Básicas de la

Diferenciación

MATE 3031 – Cálculo 1

30/01/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 18

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Actividades 2.2

• Referencia: – Referencia: Sección 3.1 Derivadas de polinomios

y de funciones exponenciales, Ver ejemplos 1 al 9– Ejercicios de Práctica: Páginas 190 - 191: Impares

1 – 27

• Asignación 2.1: – Asignación 2.2: Página 191; 20 y 36 a y c; Haga

ejercicios de Khan Academy The Power Rule

• Referencia en el Web:– JGR Ahumada – Reglas Básicas de

Diferenciación– Khan Academy – The Power Rule– Calculus Phobe – The Power Rule– Visual Calculus – Differentiation Formulas;

Derivative of the Exponential Functions.

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Reglas de diferenciación (1)

• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, entonces 𝑓′ 𝑥 = 0

• Ejemplos:

Si 𝑓(𝑥) = 5, entonces 𝑓’(𝑥) = 0

Si 𝑓(𝑥) = 𝜋, entonces 𝑓’(𝑥) = 0

• Si f(x) = xn, entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1 para cualquier

número real 𝑛 diferente de 0.

• Ejemplos

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥8, entonces 𝑓’(𝑥) = 8𝑥7

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−3, entonces 𝑓’(𝑥) = −3𝑥−4

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Reglas de diferenciación (2)

• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔 𝑥 entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔′ 𝑥

• Ejemplo:

Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥6, entonces

𝑓′ 𝑥 = 3 ∙ 6𝑥5

= 18𝑥5

Si 𝑓 𝑥 = 6𝑥−2, entonces

𝑓′ 𝑥 = 6 ∙ −2𝑥−2−1

= −12𝑥−3

=−12

𝑥3

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Determine f’(x) si

Ejemplo 1

2

5)(

xxf

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25)( xxf

1)2()2(5)(' xxf

310 x

3

10

x

xxf 3)(

1)(

21 2

1

)(3)('

xxf

21

3)( xxf

21

2

3 x

21

2

3

x

21

21

x

x

x

x

2

3 21

x

x

2

3

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Ejercicios #1

1. F(x) = x4

2. F(x) =

3. F(x) = 9x

4. F(x) = -4x3

5. F(x) = -4x -2

6.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

Determine la función derivada:

53)( xxF

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Ejercicios #1

1. F(x) = x4

2. F(x) =

3. F(x) = 9x

4. F(x) = -4x3

5. F(x) = -4x -2

6.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

Determine la función derivada:

5

34)( xxF

0)( xF

9)( xF

212)( xxF

3

8)(

xxF

131

3

1)('

xxF

32

3

1 x

32

3

1

x

x

x

3

3

31

31

x

x

3)( xxF 3

1

x

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Ejemplo 2

• Problema: Si 𝑓 𝑥 = 5𝑥3 calcule la derivada de la

función en 𝑥 = 2.

• Solución:

– Paso 1 – calcule la función derivada 𝑓′(𝑥)

– Paso 2 – Evalúe la función derivada en 𝑥 = 2

• Otras maneras de presentar el mismo problema:

– Calcule la pendiente de la recta tangente cuando 𝑥 = 2

– Calcula la razón de cambio instantáneo cuando 𝑥 = 2

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

𝑓′ 𝑥 = 5 ∙ 3𝑥3−1 = 15𝑥2

𝑓′ 2 = 15 2 2 = 60

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Reglas de diferenciación:

Adición y Sustracción

• Si f(x) = u(x) + v(x) entonces:

f’(x) = u’(x) + v’(x)

• Si f(x) = u(x) - v(x) entonces:

f’(x) = u’(x) - v’(x)

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TE

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• Encuentre la función derivada de:

• Solución:

• Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la

función f en 𝑥 = 1

Ejemplo 2

xxxxf

358)( 33

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

13 358)( 31

xxxxf

11113 )1(33

15)3(8)(' 3

1

xxxxf

22 33

524 3

2

xxx

224x x

x

3

53

2

3

x

2

124)1(f

13

153

21

3=58

3

10 de 18

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Nomenclatura

• Primera derivada (“funcíon derivada”):

• La primera derivada en 𝑥 = 5

• Segunda derivada

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

)(' xf 'ydx

dy

dx

df fDx

)('' xf ''y2

2

dx

yd2

2

dx

fd fDx2

)5('f5xdx

dy

5xdx

df fDx 55

'x

y

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Ejercicio #2

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

Determine:

xdx

da

1 ) 5 ) x

dx

db

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Ejercicio #2

a)

b)

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

151

5

1 x

Determine:

121

2

1 x 2

3

2

1 x

23

2

1

x

22x

x

54

5

1

x54

5

1

x

21

21

23

2

1

x

x

x

51

51

54

5

1

x

x

x

x

x

5

5

xdx

da

1 ) 5 ) x

dx

db

21

xdx

d

51

xdx

d

13 de 18

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Derivadas de la funciones exponenciales

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aaadx

d xx ln)(

)( xedx

d

Ejemplos:

)3( x

dx

d3ln3x

x

dx

d

4

3

4

3ln

4

3x

ee x ln xe

x

dx

d

2

1

2

1ln

2

1x

x2

2ln

x2

2ln 1

12ln2

1 x

14 de 18

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Ejercicio #3

• Calcule:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

2xedx

d x

21

8 xdx

d x

15 de 18

Cálc

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1 -

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TE

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Ejercicio #3

• Calcule:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

2xedx

d x xex 22x

dx

de

dx

d x

21

8 xdx

d x 218 dx

dx

dx

d

dx

d x

8ln8x 11)1( x 0

28ln8 xx

2

18ln8

x

x

16 de 18

Cálc

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1 -

MA

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Ejemplo 4

Encuentre la ecuación de la recta tangente a

y = (ex + 1) por el punto (0, 2)

• Solución:

• La ecuación de la tangente por (0,2) es:

y – 2 = 1(x -0)

y = x + 2

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014

)1( xedx

d1

dx

de

dx

d x 0 xe xe

(0,2)en tangentela de pendiente 10xdx

dy )0( e

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Actividades 2.2

• Referencia: – Referencia: Sección 3.1 Derivadas de

polinomios y de funciones exponenciales, Ver ejemplos 1 al 9

– Ejercicios de Práctica: Páginas 190 - 191: Impares 1 – 27

• Asignación 2.1: – Asignación 2.2: Página 191; 36

• Referencia en el Web:– Calculus Phobe – The Power Rule– Visual Calculus – Differentiation Formulas;

Derivative of the Exponential Functions.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada30/01/2014 18 de 18