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Lección 1.1

Antiderivadas y La Integral Indefinida

07/07/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 21

Objetivo

• Describir la antiderivada de una función

• Usar la notación de la integral indefinida

para antiderivadas

• Identificar la antiderivada de funciones

trigonométricas, exponenciales y

logarítmicas básicas.

• Usar las reglas básicas de integración para

encontrar la Integral Indefinida de una

función polinómica.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 07/07/2011 2 de 21

Antiderivada

• Una función F es la antiderivada de f sobre un

intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.

• Ejemplo:

• es una antiderivada de

• Otras son:

• En general, si F es una función antiderivada de f

sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f

será de la forma F(x) + c donde c es una constante.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 07/07/2011

5)( 2 xxxF

12)( xxf

1)( 2

1 xxxF xxxF 2

2 )( xxxF 2

3 )(

3 de 21

Integral indefinida

• La integral indefinida de f(x) se define como el

conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).

donde c es una constante.

• Ejemplos:


cxFdxxf )()(

dxx 12 xx 2 c

dxx cos xsin c

dxx3

4

4x c

4 de 21

Ejemplo 1

1. Determine las antiderivadas de f(x) = sin x

• Como

2. Determine

• Como


cxdxx cos sinxxdx

dsin)(cos

cxdxx tan sec2xx

dx

d 2sec)(tan

dxx sin

dxx sec2

5 de 21

Otras antiderivadas para recordar ..


dxx

1

dxxecx tans cx sec

dxxx cotcsc cx csc

dx

x21

1cx 1tan

dxx21

1cx 1sin

dxe x cex

dx a x ca

a x

ln

cx ||ln

dxxx cotcsc cx csc

6 de 21

Reglas básicas de antiderivadas

• Recuerde


ckxdxk

xndx xn1

n 1 c , n 1

dx 5 cx 5

dxx 3 cx

4

4

Ejemplos:

dx cx

Ejemplos:

dxx 21

cx

23

23

cx

3

2 23

cxx

3

2

dx cx

7 de 21

Reglas básicas de antiderivadas …

• Si f, g son las funciones antiderivables en un

intervalo. Entonces:

• Ejemplos:


dxfcdxcf (x) (x)

dx5cosx dxx cos5 cx sin5

dx 3- x dxx 3 cx

ln3 c

x

ln

3

dxx26 cx

36

3

dxx26 cx 32

8 de 21

Reglas básicas de antiderivadas …

• Si f, g son las funciones antiderivables. Entonces:

• Ejemplos:


dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[

dxxx 122

dxxdxdxx 122

3

3x

22

2x x

cxxx 23

31

c

dx

x

21

cx

x

2

12

2

1

dxx

dx1

2 1

cxx 4

dxxdx 2

1

2 1

321 cccc

9 de 21

Ejercicio #1

1.

2.

3.


dxxx 121 53

dxx 4 3

dxxdxxdx 53 12

cxxx 64 24

1

dxx 43

cx

4

7

47

cxx

7

4 4 3

dx

x

61 xdxdx

x

16 ||ln6 x c

cx

7

4 4

7

10 de 21

Ejercicio #2


dxx cos

dxx sin

dxx sec2cx tan

dxxx tan sec cx sec

dxxx cot csc cx csc

dxx csc2cx cot

cx sin

cx cos

dx x

1

dxe xcex

dx a x ca

a x

ln

cx ||ln

dx

x21

1cx 1tan

dxx21

1cx 1sin

11 de 21

Ejemplo 2

• Encuentre las antiderivadas de

• Solución:


x

xxxxf

52sin4)(

x

x

x

xxxf

2152

sin4)( 2142sin4

xxx

dxxxx 2sin4 214

dxxdxxdxx

2142 sin4

dxxdxxdxx

2142 sin4

cxx

x 21

5 21

52cos4

cxxx 25

2cos4 5

12 de 21

Ejercicio #3


2ex dx

2ex c

1

5 1 x2 dx

1

5sin1 x c

6

1 x 2 dx

6tan1 x c

dx

x

1

1

2cx 1cos

ax 3 dx

ax 3

lna c

dx

x

1

12

cx 1sin

dxx

1

11

2

Observe que hay otra solución ...

¡Estas dos son equivalentes!

13 de 21

Ejercicio #4

Encuentre


dxxex sec73 2

dxxdxex sec73 2

cxex tan73

dxx

x

23

dx

xx

x 23

dxxx 2

1

2

1

23

dxxdxx 2 3 2

1

2

1

cxx

2

12

2

33

2

1

2

3

cxxx 42

14 de 21

Ejemplo 3

• Encuentre una función f si si f(1) = 3

• Solución: f es una antiderivada de f’(x)


21

105)('

xxf x

dxx

f x

21

105 dx

xdxx

21

105

dxx

x

21

110

5ln

5

cxx

1cos105ln

5

15 de 21

Solución del Ejemplo 3 …

• Si f(1) = 3


c )1(cos105ln

53 1

)1(

c 05ln

53

cxxfx

1cos105ln

5)(

5ln

53c

5ln

53cos10

5ln

5)( 1 xxf

x

16 de 21

Ejemplo 4

Determine si la siguiente aseveración es

cierta:

Solución:

¡Es cierto!


222 235 xxxx dxxxx 14310 24

222 235 xxxxdx

d14310 24 xxx

17 de 21

Ejemplo 5

Determine la solución general de la ecuación

diferencial:

• Solución:


23xdx

dy

dxxdxdx

dy 23

cx

y 3

3 3

cxy 3

18 de 21

Integral indefinido

• Observe

• Compare

• Recuerde: Al integrar, observe siempre con

respecto a qué variable lo está haciendo.

• ¡Observe el diferencial! … dx, dt, dz


xdx3 tdt3 zdz3

cx

2

3 2

ct

2

3 2

cz

2

3 2

xdt3 tdx3 zdx3

19 de 21

Ejercicio #5


dxx sec2cx tan

dxx csc2cx cot

dx x

1

dxe xcex

cx ||ln

dxx21

1cx 1sin

dxx cos

dxx sin

dxxx tan sec cx sec

dxxx cot csc cx csc

cx sin

cx cos

dx a x ca

a x

ln

dx

x21

1cx 1tan

20 de 21

Actividades 1.1

• Ejercicios de Práctica: Problemas impares 1

– 27 de las páginas 224.

• Referencias del Web:

Paul’s Online Note – Indefinite Integrals

Visual Calc - Antiderivatives / Indefinite Integrals;

Tutorial sobre antiderivadas y el integral

indefinido. Table of Elementary Indefinite

Integrals. Ejercicios de práctica (Drill) usa Java.

eMathLab – Indefinite Integrals

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 07/07/2011 21 de 21

http://myfaculty.metro.inter.edu/jahumada/calculo_larsen/pag224.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/IndefiniteIntegrals.aspx



http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/antider.1/index.html




http://emathlab.com/Calculus/indefiniteIntegrals.php



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