Unidad 2 - Lección 2 -...

Unidad 2 - Lección 2.2

Inecuaciones de Primer Grado con una

variable

02/15/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 23

Actividad 2.2

• Capítulo 2 –

– Sección 1.2 Desigualdades Lineales. Realice los ejercicios

impares del 5 – 19; 20 al 39; 55, 57, 63, 64

– Sección 1.3 Valor absoluto en ecuaciones y desigualdades.

Realice los ejercicios 31, 32, 37, 38, 43-50, 69-72

• Referencias en el Web:

– Khan Academy: Desigualdades Lineales de varios Pasos

– Julio Profe

• Desigualdades Lineales: Ejercicio 1

• Desigualdades Lineales: Ejercicio 2

– The Math Page Skill in Algebra; Inequalities

– Webmath.com: Ejercicios interactivos de práctica de

inecuaciones.


https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-linear-equations-inequalities/core-algebra-linear-inequalities/e/linear_inequalities

https://youtu.be/jSZWvCh2PqI

https://youtu.be/1CmeGrYDgLU

http://www.themathpage.com/alg/inequalities.htm

http://www.webmath.com/solverineq.html

DESIGUALDADES LINEALES

EN UNA VARIABLE

02/15/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada

Situaciones en donde se usan desigualdades:

- Velocidad en la autopista es menos que 65 mph:

- Límite de mensajes de texto permitido al mes es 250

que"menor es"

que" igual omenor es"

que"mayor es"

que" igual omayor es"

- “alcance de una señal de radio”

3 de 23

Definición

• Una inecuación de primer grado en una variable o inecuación lineal en una variable es una expresión matemática que se puede expresar de la forma:

en donde a, b, c son números reales y a es diferente de cero

• Ejemplos:

02/15/2018

cbax cbax

cbax cbax

532 x

762 y

19 w

025 t

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 23

Solución

• Una solución de una inecuación lineal en una

variable es un valor de la variable que convierte

la inecuación en una aseveración cierta.

• Ejemplos:

– -3 es una solución de x + 5 < 9

• la aseveración “-3 + 5 < 9" es cierta.

– ¿ Es 8.5 una solución de x + 5 < 9 ?

– ¿ Es 2.5 una solución de x + 5 < 9 ?

– ¿ Es 7 una solución de x + 5 < 9 ?

– ¿Es cualquier número en {x| x < 4} una solución de

la inecuación x + 5 < 9 ?

02/15/2018

No

Si

No

Si

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

0 4

5 de 23

• Si n es un número cualquiera y a < b , entonces:

• Si n es un número positivo y a < b, entonces

• Ejemplo:

Propiedades de inecuaciónes

nbna

02/15/2018

nbna

bnan n

b

n

a


4𝑥 − 5 > 15

4𝑥 > 15 + 5

4𝑥 > 20

4𝑥

4>20

4

𝑥 > 5

El conjunto solución es {x| x > 5}

0 5

6 de 23

Propiedad de inecuaciónes …

• Si n es un número negativo y a < b, entonces:

• Si se multiplica o divide por un número negativo la desigualdad

se invierte.


8 − 2𝑥 > −7 + 𝑥

−2𝑥 − 𝑥 > −7 − 8

−3𝑥 > −15

−3𝑥

−3

−15

−3<

𝑥 < 5

El conjunto solución es {x| x < 5}

05

𝑎𝑛 > 𝑏𝑛𝑎

𝑛>

𝑏

𝑛

7 de 23

Ejemplos

• Resuelva:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/15/2018

38 − 2𝑥 > −10

−2𝑥 > −10 − 38

−2𝑥 > −48

−2𝑥

−2

−48

−2

𝑥 < 24

<

𝑥 − 5 > 2 − 3(𝑥 − 2)

𝑥 − 5 > 2 − 3𝑥 + 6

𝑥 + 3𝑥 > 2 + 6 + 5

4𝑥 > 13

4𝑥

4>13

4

𝑥 >13

4

31

4

0 5 15 25

0 1 2 3)24,(

,

4

13

8 de 23

• Es una notación que se usa para representar

el conjunto solución de inecuaciones lineales.

Intervalos

),4(

02/15/2018

}4|{ xx0

{ | 4}x x

( ,4)0 4

{ | 1}x x 0

[ 1, ) -1

Observe que se usa el corchete para indicar que el punto está incluido.

4

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 23

DESIGUALDADES LINEALES

DE TRES PARTES


bxa cba bxa bxa Se usan para expresar que “un número” real 𝒙 se encuentra entre los

números reales 𝒂 y 𝒃.

Ejemplos: 54 x

25 x 52 x

Situaciones en donde se usan desigualdades de tres partes:

- La temperatura 𝑇 del día fluctuó entre 𝟕𝟎° y 𝟖𝟎° Fahrenheit:

- En un fábrica los cinturones que se cortan para medir 36

pulgadas, se le permite un margen de error de 0.1 pulgadas:

70° < 𝑇 < 80°

35.9 ≤ 𝑚 ≤ 36.1°

0-3

}53|{ xx )5,3(

5

10 de 23

Desigualdades en tres partes

• Resuelva la desigualdad y exprese su solución en

notación de intervalos

−4 < 4𝑥 + 1 < 5

−4 − 1 < 4𝑥

−5 < 4𝑥 < 4

−5

4<4𝑥

4<4

4

−5

4< 𝑥 < 1

(−5

4, 1)

−2 < 4𝑥 + 1 𝑦 4𝑥 + 1 < 5

< 5 − 1

0-5

4

1

−11

4


Ejemplos• Resuelva

−14 < 4𝑥 + 1 < 5

−14 − 1 < 4𝑥

−15 < 4𝑥 < 4

−15

4<4𝑥

4<4

4

−15

4< 𝑥 < 1

< 5 − 1

0-15

4

1

−33

4


−1 <4 − 𝑥

3<1

4

(12)(−1) < (12)4 − 𝑥

3< (12)

1

4

−12 < 16 − 4𝑥 < 3

7 > 𝑥 >13

4

31

4

𝟏𝟑

𝟒< 𝒙 < 𝟕

0 13

47

−12 − 16 < −4𝑥 < 3 − 16

−28 < −4𝑥 < −13

−28

−4> 𝑥 >

−13

−4

(−15

4, 1)

(13

4, 7)

12 de 23

Ejercicios del Texto

• Exprese en términos gráficos

• Exprese en notación de intervalos

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/15/2018 13 de 23

Ejercicios del Texto …Resuelva y grafique

Prof. José G. Rodríguez Ahumada02/15/2018 14 de 23

ECUACIONES Y

DESIGUALDADES CON VALOR

ABSOLUTO02/15/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada

0

Si 𝑥 es un número real

|𝑥| es la distancia entre la gráfica de 𝑥 y el punto origen

𝑥 = ቊ𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ 0−𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0

Ejemplos: Si es a es un número real …

𝑥 = 𝑎 𝑥 < 𝑎 𝑥 > 𝑎

𝑥 ≤ 𝑎 𝑥 ≥ 𝑎

15 de 23

Ecuaciones con valor absoluto

• Ejemplos:|𝑥| = 6 , entonces 𝑥 = −6, 𝑥 = 6

|𝑥| = 4 , entonces 𝑥 = –4, 𝑥 = 4

|𝑥| = 0 , entonces 𝑥 = 0

• Ejemplos


2𝑥 − 1 = 9

2𝑥 − 1 = 𝟗 2𝑥 − 1 = −𝟗

2𝑥 = 9 + 1

2𝑥 = 10

𝑥 = 5

2𝑥 = −9 + 1

2𝑥 = −8

𝑥 = −4

5𝑥 − 2 = 0

5𝑥 − 2 = 0

5𝑥 = 0 + 2

𝑥 =2

5

3𝑥 + 1 = −5

N𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛Caso 1 Caso 2

16 de 23

Ejemplo 7

• Resuelva:

• Las soluciones son:

02/15/2018

51

4𝑦 4

3

4


−2 +2

5𝑥 =

1

10

−2 +2

5𝑥 =

1

10−2 +

2

5𝑥 = −

1

10

10(−2 +2

5𝑥) = 10(

1

10)

−20 + 4𝑥 = 1

4𝑥 = 1 + 20

4𝑥 = 21

𝑥 =21

4= 5

1

4

10(−2 +2

5𝑥) = 10(

−1

10)

−20 + 4𝑥 = −1

4𝑥 = −1 + 20

4𝑥 = 19

𝑥 =19

4= 4

3

4

Caso 1 Caso 2

17 de 23

Ejemplo 8

• Resuelva 𝑥 + 4 = 3𝑥 − 8


𝑥 + 4 = 3𝑥 − 8

Caso 1: 𝑥 + 4 ≥ 0

Esto es 𝑥 ≥ −4

𝑥 − 3𝑥 = −8 − 4

−2𝑥 = −12

𝑥 = 6

Observe que 6 ≥ −4

Además, verifique

𝑥 + 4 = −(3𝑥 − 8)

Caso 2: 𝑥 + 4 < 0

Esto es 𝑥 < −4

𝑥 + 4 = −3𝑥 + 8

4𝑥 = 4

𝑥 = 1

Observe que 1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 − 4

𝑥 + 3𝑥 = 8 − 4

Solución única es 6

18 de 23

Inecuaciones con valor absoluto: |x| < a

• | x | < 3

Conjunto solución: {x| - 3 < x < 3 }

Ejemplos

02/15/2018

0-3 3


2𝑥 − 1 < 7

−7 < 2𝑥 − 1 < 7

−7 + 1 < 2𝑥 < 7 + 1

−6 < 2𝑥 < 8

−6

2<

2𝑥

2<

8

2

−𝟑 < 𝒙 < 𝟒

−5 − 3𝑥 < 1

−1 < −5 − 3𝑥 < 1

−1 + 5 < −3𝑥 < 1 + 5

4 < −3𝑥 < 6

4

−3

−3𝑥

−3

6

−3> >

−4

3> 𝑥 > −2

−𝟐 < 𝒙 <−𝟒

𝟑

(−3,4) (−2,−4

3)

19 de 23

Ejemplos 8• Resuelva

02/15/2018

511 2 x

2

61

2

2 x

313 x

1313 x

42 x


151 2 x

114 x

N𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

014 x

014 x

014 x

14 x

4

1x

(−2,4)

31 x

20 de 23

Inecuaciones con valor absoluto: |x| > 3

• | x | > 3

• Ejemplos

02/15/2018

0-3 3


2𝑥 − 1 < −𝟕 2𝑥 − 1 > 𝟕

2𝑥 < −7 + 1

2𝑥 < −6

𝑥 < −3

2𝑥 > 7 + 1

2𝑥 > 8

𝑥 > 4

2𝑥 − 1 > 7

−𝑥 − 1 < −3 −𝑥 − 1 > 3

−𝑥 − 1 > 3

-3 0 4

−𝑥 < −3 + 1

−𝑥 < −2

𝑥 > 2

−𝑥 > 3 + 1

−𝑥 > 4

𝑥 < −4

-4 0 2

(−∞, 3) (4,∞)∪ (−∞,−4) (2,∞)∪

21 de 23

Ejemplo 9• Resuelva:

02/15/2018

6 2 3 4x

2 3 4 6x

2 3 2x

2 3 2x

2 3 2x 2 3 2x

3 2 2x

3 0x

0x

3 2 2x

3 4x 4

3x


0 4/3

114 x

T𝑜𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

014 x

T𝑜𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

(−∞, 0] [4/3,∞)∪

22 de 23

Ejercicios del Texto


Resuelva y escriba su solución en notación de intervalos y grafique

¿Para cuáles valores de x esta

igualdad se sotiene?

23 de 23

Unidad 2 - Lección 2 -...

Documents

Transcript of Unidad 2 - Lección 2 -...