Las Operaciones Con Números Binarios No Son Difíciles

Y aunque la forma de realizar las operaciones con números binarios sea algo diferente a lo que se está acostumbrado, en realidad es algo bastante lógico cuando al fin se entienda la manera de realizarlas.

Sumar Binarios

Para sumar números binarios se tiene que utilizar casi el mismo sistema que para sumar en el sistema decimal. Es decir, como se ha acostumbrado en la enseñanza tradicional. Lo mejor para poder realizar este tipo de operación es poner los números en dos filas, alineados a la derecha, tal y como se hace para sumar cuando se tienen cifras muy extensas en el sistema decimal, incluso cuando son cifras pequeñas en binario, porque la longitud del número es comúnmente algo grande en este sistema. A continuación, también se inicia la suma desde la derecha y hacia la izquierda usando esta tabla de adición que se debe aprender si se quiere sumar de memoria.

0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 11 + 1 = 10

Es sencillo aprenderla porque los números que operan están casi todos dentro del mismo nivel que en el sistema decimal, a excepción del 10 que equivale al 2 si lo traducimos al sistema decimal. Ahora, para poder sumar hay que seguir estas reglas y si te encuentras con un 1+1, debes escribir el 0 en la columna correspondiente y llevar el 1 para la siguiente columna donde lo sumarás a la cifra y te dará el resultado de la siguiente, así sucesivamente hasta terminar. Por ejemplo, vamos a sumar 17 más 13, cuyo resultado debería ser 30. Mientras que en la suma de binarios se da de esta manera:

10001+1101=11110

Resta De Números Binarios

Cuando se quiere restar entre números binarios, se usa el mismo método que en el sistema decimal, con la misma idea de “llevar uno” que en la suma, pero la diferencia es que al llevar uno, el número que sobra se debe restar en la siguiente columna o posición de la cifra binaria, y la tabla de restas viene a ser parecida pero con una diferencia.

0 – 0 = 01 – 1 = 01 – 0 = 1

Sin embargo, no se puede restar 0 – 1 de la forma tradicional, pues en el sistema binario, los números negativos tienen un método distinto para ser representados y en una sola cifra no puede existir un número negativo de forma unitaria, sino que toda la cifra deberá ser convertida una vez que se la obtenga.

Entonces, para poder restar esta cifra, se tiene que pedir prestado de la columna siguiente y luego restar el número aumentado en la posición siguiente hacia la izquierda. Por ejemplo, si se quiere restar 26 menos 12, dando como resultado 14. En la resta de números binarios, quedaría de esta manera:

11010-1100=1110

Nótese que la primera cifra del sustraendo queda eliminada pues al “llevar uno” el arrastre se proyectó hasta el principio de la cifra.

Multiplicar Números Binarios

Continuación de operaciones con números binarios: Para multiplicar los números binarios, es bastante sencillo, pues se utiliza el mismo método del sistema decimal en el cual se va multiplicando de derecha a izquierda cada posición del multiplicador (abajo) por cada posición del multiplicando (arriba) y poniendo cada resultado a continuación y recorriendo una posición hacia la izquierda hasta terminar y luego se suman las cifras para obtener el producto. Pero al ser cifras pequeñas, no se tiene que “llevar” ningún número y el resultado se obtiene sin mucho esfuerzo. Utilizando la siguiente tabla se puede ver lo sencillo que es:

1 * 1 = 11 * 0 = 00 * 1 = 00 * 0 = 0

Siempre tomando en cuenta que cualquier cifra multiplicada por cero da igual cero. Veamos un ejemplo al multiplicar 12 por 4, cuyo resultado es 48:1100*100——-000000001100

Se procede a sumar tomando en cuenta que cada cifra está recorrida una posición hacia la izquierda en relación a la cifra superior y que se deben respetar las columnas para la suma=110000

Otro ejemplo con una cifra más grande, 24 por 9, cuyo resultado es 21611000*1001——-11000000000000011000=11011000

División De Números Binarios

Para la división de números binarios, se tiene que realizar las mismas operaciones que se hacen durante el algoritmo de la división larga de números decimales, con la diferencia de que el resto que se obtiene en el dividendo debe hacerse con una sustracción en binario, así como la división que se realiza entre el divisor y el resto tienen que hacerse en binario, pero al bajar las posiciones, se debe hacer normalmente y así se obtiene cada posición del cociente. Por ejemplo, se divide 171 para 9, cuyo resultado es 19. Lo que en binario viene a ser:

10101011 / 1001 = 10011-1001————-00011-00————-110-000————–1101-1001—————-01001-1001

Aquí se puede ver que cada vez que el número obtenido del resto, es mayor que el divisor, se anota un 1 en el cociente de izquierda a derecha, y si el resto es menor al divisor, se anota un cero, hasta terminar con todas las posiciones del dividendo. Aquí termina nuestra discusión de operaciones con números binarios.

Conmutatividad

Véase también: Propiedad conmutativa

Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *:

se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es conmutativa en A si:

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a.

Ejemplos

La adición en los conjuntos N, Z, Q, R, C (1)de los naturales, enteros, racionales, reales y complejos es conmutativa y se cumple que a+b = b+a, siendo a y b elementos de mismo cualquier conjunto indicado

La multiplicación es conmutativa en cualquiera de los conjuntos (1).

La división en Q*, racionales sin el cero, no es conmutativa; pues a:b≠ b:a, salvo para 1 y -1.

el producto de dos matrices cuadradas de orden n no es conmutativo.

El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo, AxB≠ BxA.

La unión, la intersección y la diferencia simétrica de conjuntos son conmutativas. Los conjuntos se consideran como partes del conjunto universal.

Lo mismo que la conjunción y la disyunción de proposiciones son conmutativas, dentro de la lógica proposicional bivalente.

Anticonmutatividad

La operación * en A es anticonmutativa si:

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al opuesto de operar b con a.

Como ejemplo si en 3-E el espacio de vectores de tres componentes, decimos:

se tiene con el producto vectorial :

y

en general, para cualquier par de vectores a, b:

Para los enteros , se ve que la sustracción

es anticonmutatava, pues si:

Asociatividad

Véase también: Propiedad asociativa

Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria en A:

Se dice que * es asociativa si, solo si:

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

También se puede decir que la operación * no es asociativa si se cumple:

Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de operar a con el resultado de operar b con c.

Ejemplos

La adición y la multiplicación con números pares son asociativas. La sustracción en el conjunto Z de los enteros no es asociativa La adición en el conjunto Z[i] es asociativa el producto vectorial de vectores en el espacio R3 no es asociativo; esto es:

(uxv)xw ≠ ux(vxw), donde u,v y w son vectores y x indica el producto vectorial.

Si en el conjunto R de los reales definimos a*b = ab +a+b +1, * es asociativo en R. (α)

Distributividad

Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas:

Que expresaremos , se dice que la operación es distributiva por la derecha de si se cumple:

Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectoresux(v+ w) =uxv + uxw

Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN + MQ.

Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda.

Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se cumple:

Ejemplo el caso del producto de matrices que no es conmutativo. Se tiene (M+N)P= MP+ NP, la simple yuxtaposición indica el producto de matrices.

La composición de funciones reales en un intervalo cerrado respecto de la suma de funciones: (f +g)ºh =fºh + gºh , donde f,g, h son funciones cualesquiera del caso señalado.

Una operación es distributiva sobre otra si es distributiva por la derecha y por la izquierda.

Los conjuntos numéricos gozan de la distributividad por ambos lados. Al definir un anillo se indican las dos formas distributivas

a(b+c) = ab +ac, por la izquierda; y por la derecha, (b+ c)a = ba +ca. Pues, al semigrupo multiplicativo no se exige la conmutatividad.

Ver si se cumple a*(b+ c) = a*b + a*c siendo * la operación definida en (α) y , + la suma usual en R.

La multiplicación en un conjunto numérico ( por ejm. ) respecto a laℕ

potenciación es distributiva por la derecha: La adición de funciones derivables es distributiva respecto a la derivación

de funciones: Dx (f + g) = Dxf + Dxg

Simplificación o cancelativa

Sea A con la operación * si a*b =a*c implica que b=c, se dice que se ha simplificado a por la izquierda. Y si de b*a =c*a se deduce b=a y se dice que se ha simplificado por la derecha. Si se puede simplificar por ambos lados se habla de simplificación o cancelación.

En el caso de la suma de números ( de cualquier naturaleza) a + b= a + c , cancelando a, resulta b=c

En el caso de los grupos es importante el orden. No todo grupo es conmutativo, para el caso, los grupos simétricos.

Divisores del cero

Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se dice que a y b son divisores del 0.

Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0. En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la

multiplicación * de restos, resulta 2*3=0. Sean las funciones reales: f / f(x) =0 si x≥0 y f(x)=1 en otro caso, g(x)= 1 si

x≥0 y g(x) =0 en otro caso; tanto f y g no son nulas pero sí su producto θ(x) = 0 para todo x real.

Sea el conjunto Z[4] = {0,1,2,3} de los restos módulo 4; con la adición tenemos que en este caso 2+2 = 0. De modo que no siempre "dos más dos dan cuatro".

Elementos distinguidos

Elemento neutroArtículo principal: Elemento neutro

Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria *, que indicaremos: (A,*),

diremos que el elemento e (del alemán einheit), es el elemento neutro por la derecha si:

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda e', tal que e'*a = a, e = e'; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro. Ejemplo:

En los sistemas aditivos Z, Q, R de los enteros, racionales y reales el 0 cero es el elemento neutro aditivo. Esto es a+0= 0+ a =a.

En los mismos sistemas, pero con la multiplicación, el 1 uno es el elemento neutro multiplicativo. a.1 = 1.a = a.

En el conjunto de los racionales con la operación a*b = a+b +ab , el elemento neutro es 0.

En el conjunto de las matrices cuadradas con la multiplicación, el elemento neutro es la matriz que tiene unos en la diagonal principal y los demás elementos son cero.

En la composición de funciones de variable real, el elento neuto es la función I(x) = x para todo x.

Elemento simétricoArtículo principal: Elemento simétrico

Sea A un conjunto no vacío y * una operación binaria:

Diremos que a' es simétrico de a si:

donde e es el elemento neutro.

El 2 es el simétrico de -2 en Z con la adición; 1/2 es el simétrico de 2 en Q* con la multiplicación . En el casos de los sistemas algebraicos aditivos, el simétrico se llama opuesto o inverso aditivo, en el caso de los multiplicativos se llama: inverso multiplicativo.

Elemento involutivo

Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d.

el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multipicación en el conjunto Z de los enteros.

Elemento absorbenteArtículo principal: Elemento absorbente

Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la operación *.

0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo. El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en

el conjunto de partes de U.

Operación inversa

Sea A un conjunto con una operación binaria *:

por lo que cabe la ecuación:

Pero si se da el caso de que:

donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite elementos simétricos, se define:

donde

siendo a' simétrico de a, respecto de la operación binaria *. Queda pues:

Si se cumple la ecuación (1) se dice que es operación inversa de en A y recíprocamente que es la operación inversa de

en el conjunto Z de los enteros, se tiene -12 -(-15)= -12 +(15). Así la sustracción simbolizada por - en Z, es una operación inversa de la adición en Z y viceversa.

En el Q*, racionales no nulos, cabe 6:12 = 1/2 equivalentemente 6:12 = 6x(1/12).

Si hay operación binaria en S y existe elemento simétrico para cada a de S, según *, se puede definir una única operación inversa º de * en S. se exige la conmutatividad de * en S.

Estructura algebraica

En álgebra abstracta, una estructura algebraica, también conocida como sistema algebraico,1 es una n-tupla (a1, a2, ..., an), donde a1 es un conjunto dado no vacío, y {a2, ..., an} un conjunto de operaciones aplicables a los elementos de dicho conjunto.

Principales estructuras algebraicas

Las estructuras algebraicas se clasifican según las propiedades que cumplen las operaciones sobre el conjunto dado. En estructuras algebraicas más elaboradas, se definen además varias leyes de composición.

Con una ley de composición interna

Magma

Semigrupo Cuasigrupo Monoide Grupo Grupo abeliano

Con dos leyes de composición interna

Semianillo Anillo Pseudoanillo Dominio de integridad Cuerpo Retículo (orden)

Con leyes de composición interna y externa

Módulo Espacio vectorial Álgebra sobre un cuerpo

UN MAGMA (o grupoide) es una estructura algebraica de la forma con A es un conjunto donde se ha definido una operación binaria interna: .1

Siendo esta ley de composición una operación interna:

1.- Operación interna: para cualesquiera par ordenado de elementos del conjunto AxA operados con , el resultado pertenece al conjunto A. Es decir:

.

El término magma se debe a la asociación de matemáticos franceses que se hace llamar Nicolás Bourbaki.1 Durante algún tiempo compitió, para reflejar el mismo concepto, con la palabra grupoide, que tiene otros sentidos en matemática (ver artículo grupoide), por lo que no es aconsejable su uso como sinónimo de magma.

UN SEMIGRUPO es un sistema algebraico de la forma en la cual A es un conjunto no vacío, es una operación interna definida en A . Un semigrupo cumple las dos siguientes propiedades:

1.- Cerradura: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir:

.

2.- Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

.

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna si:

Se dice que es un semigrupo conmutativo o abeliano.

UN CUASIGRUPO es una estructura algebraica similar a un grupo en el sentido de que la "división" es siempre posible. Los cuasigrupos se diferencian de los grupos en que no poseen la propiedad asociativa. Un cuasigrupo con elemento neutro se llama bucle.

En álgebra abstracta, un MONOIDE es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.

Definición formal

Un monoide es una estructura algebraica en la que es un conjunto y es una operación binaria interna en que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):

1. Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:

2. Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el

orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

3. Elemento neutro: existe un (único) elemento, e, en A que es neutro de la operación , es decir:

GRUPOEs fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro. En álgebra abstracta, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso. Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas, como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. Esto permite, en álgebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras se conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos. La ubicuidad de los grupos en numerosas áreas (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se organizan las matemáticas contemporáneas.

GRUPO ABELIANO

Dada una estructura algebraica sobre un conjunto A, y con una operación o ley de

composición interna binaria: " ". Se dice que la estructura es un Grupo abeliano con respecto a la operación si:

1. tiene estructura algebraica Grupo.

2. tiene la Propiedad conmutativa.

Los grupos abelianos son así llamados en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos en el estudio de las ecuaciones algebraicas solubles por radicales.1 Los grupos que no son conmutativos se denominan no abelianos (también no conmutativos, con menos frecuencia).

SEMIANILLO

En álgebra, un semianillo es una estructura algebraica más general que un anillo.Dado un conjunto A y dos operaciones binarias + y ·, llamadas adición y multiplicación, la 3-tupla (A,+,·) es un semianillo si satisface las siguientes condiciones:

(A,+) es un monoide conmutativo con 0 como elemento neutro; es decir:

1. (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c en A (asociatividad)2. a + b = b + a para todo a, b en A (conmutatividad)3. 0 + a = a + 0 = a para todo a en A (elemento neutro)

(A,·) es un monoide con 1 como elemento neutro; es decir:

1. (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c en A (asociatividad)2. a · 1 = 1 · a = a para todo a en A (elemento neutro)

La multiplicación distribuye sobre la adición; es decir:

1. a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c en A (distribución por la izquierda)

2. (a + b) · c = a · c + b · c para todo a, b, c en A (distribución por la derecha)

0 es elemento absorbente con respecto a la multiplicación; es decir:

1. 0 · a = a · 0 = 0

Entonces, un anillo es un semianillo en el que todo elemento tiene un inverso aditivo u opuesto.

ANILLO

En álgebra moderna, un anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto no vacío y dos operaciones internas, llamadas usualmente «suma» y «producto», que cumplen ciertas propiedades.

En términos más específicos, se define a la terna (A,+,•) como anillo si (A,+) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el inverso con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a.

El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida1 , a diferencia de otras estructuras algebraicas como el cuerpo. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina «anillo conmutativo». Además, si existe un elemento neutro para el producto, se dice que el anillo es unitario ya que, en este caso, se emplea el número 1 para designar al elemento neutro del producto.

PSEUDOANILLO

En matemáticas entendemos por pseudoanillo una Estructura algebraica de la forma

donde R es un conjunto, la base del pseudoanillo, + y * son operaciones binarias y existe 0, un elemento del conjunto, el cero del pseudoanillo, tal que

es un Grupo abeliano

es un semianillo.

Las operaciones + y * se dicen respectivamente suma y producto del pseudoanillo.

Cuando el producto de un pseudoanillo posee una unidad, que notamos con 1, es

decir, cuando es un monoide,

es una estructura llamada anillo.

Si el producto de un pseudoanillo es conmutativo, la estructura se llama pseudoanillo abeliano.

DOMINIO DE INTEGRIDAD

Un dominio de integridad, dominio íntegro, anillo íntegro, dominio entero1 es

un anillo que carece de elementos divisores de cero por la izquierda y de elementos divisores de cero por la derecha (con lo cual carece de elementos divisores de cero).

Un subanillo de un dominio de integridad es también un dominio de integridad.En la literatura "antigua" se exige (a veces se sobreentiende) que el anillo es conmutativo y unitario, porque se ignoraba la existencia de anillos no conmutativos que no tuvieran divisores de cero (por la izquierda o por la derecha). Los dominios de Mal'cev son un tipo de anillos no conmutativos que carecen de

elementos divisores de cero (ni por la izquierda ni por la derecha). Respecto a dominios íntegros no unitarios, el conjunto es un subanillo no unitario del dominio de integridad . En este artículo, un dominio íntegro será siempre un anillo conmutativo y unitario (ya que así se entiende en la mayor parte de la literatura, señalándose los casos en que no se adopta estos criterios).

Todo cuerpo es dominio de integridad conmutativo y unitario. Más en general, todo anillo de división es dominio de integridad unitario.

CUERPO

En álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa, conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición,1 además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

Los cuerpos son estructuras algebraicas importantes de estudio en diversas ramas de la matemática: álgebra, análisis matemático, teoría de los números, puesto que proporcionan la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de números racionales, de los números reales, o de los números complejos. Los cuerpos eran llamados dominios racionales.

El concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. La teoría de Galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

RETICULO

En matemáticas, un retículo es una determinada estructura algebraica con dos operaciones binarias, o bien un conjunto parcialmente ordenado con ciertas propiedades específicas (siendo equivalentes ambos enfoques). El término "retículo" viene de la forma de los diagramas de Hasse de tales órdenes.