Las Fracciones y Sus Operaciones

Fracciones

1. f. Divisin de una cosa en partes: la fraccin de las acciones de una compaa.

2. Parte o porcin de un todo: toma una fraccin de torta.

3. MAT. Quebrado, nmero que expresa una o varias partes de la unidad dividida en partes iguales: los nios estn aprendiendo a sumar fracciones.

Qu es una fraccin?

El diccionario dice:

No dice mucho a una nia o nio de bsica, verdad?

Fracciones

Qu significa la siguiente expresin? 1

2Es un nmero?Observemos que esta expresin est formada por dos nmeros enteros y una rayita.Es un expresin simblica que significa lo siguiente: uno dividido por dosEn trminos coloquiales: la mitad de uno.Ms que un nmero entonces, es un trmino simblico que significa la mitad

Fracciones

12

Esta bien, este smbolo significa la mitad, pero la mitad de qu?En nuestro lenguaje ordinario, coloquial, hablamos de la mitad de algo, la mitad de un vaso de bebida, la mitad de una torta, la mitad de un mes, la mitad de una cierta cantidad de dinero, etctera.Este smbolo, entonces, nos servir para calcular la mitad de algo...

Fracciones

Veamos un ejemplo:

Este es un billete de mil pesos, conocido como una luca 1 luca = 1000

pesosCunto es media luca?De otra forma, cunto es la mitad de 1000 pesos?

Fracciones

En simbologa matemtica, la mitad de una luca, o la mitad de 1000 pesos, se escribe como

1 10002

Y como sabemos que media luca son 500 pesos, tenemos que 1 1000 500

2

Fracciones

12 =

La mitad de 1000 pesos son quinientos pesos

El nmero 1000 se ha dividido por dos y ha dado como resultado 500

Fracciones

12

=

La mitad de 100 pesos, o la mitad de una gamba, o media gamba, son 50 pesos.

100 pesos dividido por 2 son 50 pesos

Fracciones

Cul es la mitad de 600 pesos?1 600

2

Fracciones

Qu significa la siguiente expresin? 1

3Es un nmero?Observemos que esta expresin est formada por dos nmeros enteros y una rayita.Es un expresin simblica que significa lo siguiente: uno dividido por tresEn trminos coloquiales: la tercera parte de uno.Ms que un nmero entonces, es un trmino simblico que significa la tercera parte

Fracciones

Cul es la tercera parte de 600 pesos?

1 6003

Fracciones

Un seor tiene 9 vacas y quiere regalar la tercera parte a su hijo, cuntas vacas debe regalar?

1 93

Este vaso tiene capacidad para la cuarta parte de un litro, y si un litro es igual a 1000 centmetros cbicos (c.c), qu capacidad en c.c. tiene el vaso?

1 1000 2504 centmetros cbicos

250 250 250 250 1000

Fracciones

Aqu tenemos un terreno dividido en 8 partes iguales... de acuerdo?

20 metros

40 metros

Cunto mide el rea total del terreno?

rea 20 40 800 metros cuadrados

Fracciones

Cunto mide el rea de este terreno? 1 800 100

8 metros

cuadrados

Fracciones

Aqu tenemos el mismo terreno dividido en 8 partes iguales...

FraccionesCunto vale la dcima parte de esta cantidad

de dinero?

110

es la expresin numrica para indicar la dcima parte de algo.

1 1000 10010 peso

s

Fracciones

Cmo explicamos ahora la cantidad

32

?

posibles respuestas igualmente vlidas

1 332 2

Significa 3 veces la mitad de algo

Significa la mitad de 3

3 dividido por 2

Fracciones

Peligro!

En muchos textos, ya como parte atvica de nuestra educacin matemtica, se utiliza la expresin mixta

3 para describir el concepto de tres y medioDebemos evitar esta expresin ambigua en los primeros aos de la educacin matemtica, puesto que en definitiva es ms bien un lenguaje crptico que un nmero con sentido intuitivo. Rigurosamente hablando

3 =

132

FraccionesCunto es 3/2 de mil

pesos?De otra forma, cunto es tres veces la mitad de mil pesos?12

=

132 =

3 1000 15002 pes

os

Fracciones

Qu significa

34

? Significa 3 veces

Cuntos peces corresponden a las partes del total de estos peces amarillos?La cuarta parte de 8 es 2Luego tres veces la cuarta parte de ocho es tres veces 2, que es 6. 3 8 6

4 pece

s

FraccionesObserve atentamente esta

pecera...

Qu fraccin, del total de peces, son peces amarillos?

815

Qu fraccin, del total de peces, son peces verdes?

315

Qu fraccin, del total de peces, son peces naranjas con franjas negras?

415

Fracciones

8 3 4 ?15 15 15

Cunto vale la suma de estas fracciones?

Operaciones. Las fracciones y sus operaciones

O cuando tardamos media hora en hacer los deberes,

En estas situaciones estamos utilizando las fracciones.

LAS FRACCIONES Y SUS OPERACIONESIntroduccin.

Cuando decimos que nos hemos comido las tres cuartas partes de la torta,

Unidad 7. Operaciones

Trminos de una fraccin.Recuerda que ya hemos estudiado lo que es una fraccin. a

Si tenemos dos nmeros a y b , y b 0, entonces la expresin ------ es una fraccin . b

b se llama denominador de la fraccin, y nos indica en cuntas partes se divide la unidad.

a se llama numerador de la fraccin , y nos indica cuntas partes tomamos. a NUMERADOR

------ b DENOMINADOR


1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el resultado por 210 : 5 = 2

2 . 2 = 4

2) Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado entre 5.10 . 2 = 2020 : 5 = 4

Fraccin de un nmero.

Si queremos calcular cuanto valen los 2 / 5 de 10, Cmo lo hacemos?Para calcularlo, lo puedes hacer de dos formas distintas :



Tipos de Fracciones: Propias e Impropias.

Dentro de las fracciones podemos distinguir tres tipos diferentes:

1. Fracciones que tienen el numerador igual al denominador: 3 5 9 456 ------ , -------- , ------- , -------- , 3 5 9 456 Todas estas fracciones son iguales a la unidad. la unidad

2. Fracciones que tienen el numerador menor que el denominador: 2 1 5 4 21------ , -------- , ------- , -------- , ---------- 3 4 7 9 47

Todas estas fracciones son ms pequeas que la unidad. 2Por ejemplo ------ 3Si la representamos grficamente:

1 Unidad

2/3Este tipo de fracciones se llaman fracciones propias.


3.Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador: 4 5 74 7 9------ , -------- , ------- , -------- , ---------- , --------- 3 3 9 5 4

Todas estas fracciones son mayores que la unidad. 4Por ejemplo ------ 3Si la representamos grficamente:

1 Unidad 1 Unidad

Este tipo de fracciones se llaman fracciones impropias.

3/3 + 1/3


Numero Mixtos. Como acabas de ver, las fracciones impropias son mayores que la unidad

Las fracciones impropias las podemos escribir como suma de un nmero natural y una fraccin.

4 3 1 1 5 4 1 1 ------ = -------- + ------- = 1 + ------ ------- = ------ + ------ = 1 + -----

3 3 3 3 4 4 4 4

Tambin podemos escribirlas de la siguiente forma.

4 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 -------

3 3 3 5 1 1

------ = 1 + ------- = 1 ------- 4 4 4

1 11 ------ y 1 -------

3 4son nmeros mixtos, y se leen uno y un tercio y uno y un cuarto


Fracciones Equivalentes. a c

Si dos fracciones ----- y ------ son equivalentes, entonces se verifica b dque a . d = b . c

Los productos a . d y b . c se llaman productos cruzados.

Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones. a c ------ = ---- a . d = b . c b dLuego, podemos decir que dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales.


2 4 ------ ---- 3 6

2 . 6 = 12 3 . 4 = 12

Luego 2 . 6 = 3 . 4 , y as comprobamos que las fracciones son equivalentes.

2 4Entonces ------ y ---- son equivalentes 3 6

a cPara indicar que dos fracciones son equivalentes ponemos ------ = ---- b d 2 4 La fracciones ---- y ---- son equivalentes 3 6

En efecto, comprobamos realizando los productos cruzados.


Si las fracciones no son equivalentes, entonces los productos cruzados son diferentesa . d b . C

3 4Por ejemplo : ------ y ---- 2 5

3 . 5 = 15 2 . 4 = 8

Comprobamos que 15 8

3 4

Entonces decimos que las fracciones no son equivalentes, y ponemos ----- ---- 2 5


Comprobacin y Ordenacin de Fracciones. a c

Si tenemos dos fracciones ---- y ---- b d

cmo podemos saber cul de ellas es la menor y cul la mayor? Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que

tienen mayor numerador. 2 3 3 2

Por ejemplo : ------ y ---- ------ > ----- 5 5 5 5

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.

2 2 2 2 Por ejemplo : ------ y ---- ------ < ----- 4 3 4 3


Qu sucede cuando las fracciones no tienen ninguno de sus trminos iguales?

En este caso buscamos fracciones equivalentes con el mismo denominador, y comparamos los numeradores.

2 3 Por ejemplo : ------ y ---- 3 4

2 4 6 8 ------ = ---- = ----- = ----- 3 6 9 12

Buscamos fracciones equivalentes. 3 6 9

------ = ---- = ----- 4 8 12

8 9 2 3 Como ------ < ---- , entonces ---- < -----

12 12 3 4


suma y resta con:

a) Mismo Denominador:

Cuando tenemos dos fracciones con el mismo denominador. a c ---- y ----

b b Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y dejando el mismo denominador.

a c a + c ------ + ---- = --------

b b b

3 2 3+ 2 5 ------ + ------ = -------- = ----- 7 7 7 7


O tambin podemos restarlas de la misma forma. a c a - c

----- - ---- = -------- b b b

3 2 Por ejemplo ------ y ----- 7 7

3 2 3 - 2 1

------ - ---- = -------- = ----- 7 7 7 7

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumamos o

restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.


b) Distinto Denominador.

Para sumar o restar fracciones, stas deben tener el mismo denominador.

Si no lo tiene, debemos buscar fracciones equivalentes, hasta que stas tengan el mismo denominador

3 4 Por ejemplo ------ y ----- 5 2


3 6 ------ = ----- 5 10

4 8 12 16 20 ------ = ----- = ----- = ------ = -------

2 4 6 8 10

4 3 20 6 20 + 6 26 ------ + ----- = ----- + ------ = ----------- = ------- 2 5 10 10 10 10

4 3 20 6 20 6 14 ------ - ----- = ----- - ------ = --------- = ------

2 5 10 10 10 10


Para hallar fracciones con distinto denominador, podemos usar el mtodo del mnimo comn mltiplo de los denominadores ( m. c. m. )


1 2 3Tenemos las fracciones ----, ----- , ------ 2 3 4

1) Calculamos el m.c.m. de los denominadores:m.c.m. ( 2, 3, 4 ) = 2. 2. 3 = 12

2) Multiplicamos el numerador de cada fraccin por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fraccin.

1 1 6

------ 12 : 2 = 6 ; 6 . 1 = 6 ------ = ------ 2 2 12

2 2 8 ------ 12 : 3 = 4 ; 4 . 2 = 8 ------ = ------

3 3 12 3 3 9

------ 12 : 4 = 3 ; 3 . 3 = 9 ------ = ------ 4 4 12


6 8 9 1 2 3 A si , las fracciones ------, ----- y ----- son equivalentes a ---- , ---- y ----- 12 12 12 2 3 4 y tienen el mismo denominador, luego podemos sumarlas y restarlas.

1 2 3 6 8 9 6 + 8 + 9 23 ------ + ----- + ----- = ------ + ------ + ----- = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12

1 2 3 6 8 9 6 + 8 - 9 5 ------ + ----- - ----- = ------ + ------ - ------ = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12


Multiplicacin y Divisin a c

Para multiplicar las fracciones ------ y ----- , hacemos b d

a c a . c

------ . ---- = ---------- b d b . d

Al multiplicar dos fracciones, obtenemos otra fraccin cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los

denominadores.


Por ejemplo:

1 2 1 . 2 2 ------ . ----- = -------- = ------ 3 5 3 . 5 15 a cPara dividir dos fracciones ---- y ---- , hacemos

b d a c a d a . d ---- ---- = ----- . ------- = ---------- b d b c b . c


Dividir dos fracciones es lo mismo que multiplicar la primera de ellas por el inverso de la segunda.

Por ejemplo: 3 2 3 5 3 . 5 15 ------ ----- = ----- . ---- = ---------- = ------ 2 5 2 2 2 . 2 4

Tambin podemos hacer el producto cruzado de las fracciones, que consiste en multiplicar el numerador de cada una de las fracciones por el denominador de la otra.

a c a . d ---- : --- = ---------

b d b . C Por ejemplo:

3 2 3 . 5 15---- : --- = --------- = ------

2 5 2 . 2 4


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