LAS FORMULAS DE INTEGRACION DE NEWTON-COTES

U N I V E R S I D A D D E L I S T M O

M E T O D O S N U M E R I C O S

R E P O R T E

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*José Pablo Santiago Cabrera

*Víctor Hugo Ramírez

Domínguez

Se describen las variantes de las fórmulas de integración

de newton-cotes, de tal modo que se muestran cómo

resolver los distintos problemas que se reúnen.

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los tipos de integración numérica más

comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o datos tabulados

por un polinomio que es fácil de integrar:

∫ ( )

∫ ( )

Donde ( )= un polinomio de la forma

( )

Donde n es el grado del polinomio. Por ejemplo en la siguiente figura a, se utiliza un polinomio

de primer de primer grado como una aproximación.

La integral también se puede aproximar usando un conjunto de polinomios aplicados por

pedazos a la función o datos, sobre segmentos de longitud constante. Por ejemplo en la figura

b, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral.

Aunque pueden utilizarse polinomios de grado superior con los mismo propósitos. Con este

antecedente, reconocemos que el “Método de barras” emplea un conjunto de polinomios de

grado ceros (decir constantes) para aproximar la integral.

Existen formas cerradas y abiertas de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formulas cerradas

son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración. Las

formulas abiertas tienen límites de integración que se extienden más allá de intervalo de los

datos.

A) Aproximación de una integral mediante el área bajo una línea recta

B) Aproximación de una integral mediante el área bajo una parábola

Es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton-Cotes.

∫ ( )

∫ ( )

Si recordamos que una línea recta se puede representar como:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ( ) entre los límites a y b.

∫ ( ) ( ) ( )

( )

Entonces el resultado de la integración para la regla del trapecio quedaría así.

( ) ( ) ( )

Antes de integrar la ecuación

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Se puede expresar de la siguiente manera.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Agrupando los últimos dos términos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

La cual puede integrase entre x=a y x= b para obtener:

( ) ( )

( ) ( )

Este resultado se evalúa para dar:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Ahora como = (b-a) (b+a)

( ) ( )

( ) ( )

Multiplicando y agrupando términos se obtiene la fórmula del trapecio.

( ) ( ) ( )

Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área de un trapecio bajo

la línea que une a ( ) y ( ) en la figura siguiente. Recuerde que para calcular el área del

trapezoide es la altura por el promedio de las bases. En nuestro caso para sacar la fórmula del

trapecio de newton-cotes es el mismo, pero el trapezoide esta sobre su lado, por lo tanto, la

integral aproximada se representa como.

I ancho x altura

Ó

I (b-a) x altura promedio

Representación grafica de la regla del trapecio

Donde, para la regla del trapecio, la altura promedio es el promedio de los valores de la

función en los puntos extremos, o ( ) ( )

Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo

una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante, es decir que para la

fórmula del trapecio tendremos la siguiente fórmula para la 1ª aplicación del trapecio.

( )( )

Donde está en algún lugar del intervalo de a a b. la ecuación anterior indica que si la función

sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta.

Una manera alternativa para obtener la regla del trapecio consiste en integrar el polinomio de

interpolación hacia delante de Newton-Gregory. En este caso hay que recordar que la versión

de primer grado con el término de error, la integral será.

I ∫ ( ) ( ) ( )

( )

Para simplificar el análisis, considere que si ( )

entonces

Debido a que h=b-a (para un segmento de la regla del trapecio), los límites de integración a y b

corresponden a 0 y 1, respectivamente. Por lo tanto, la ecuación anterior se expresa de la

siguiente manera.

I ∫ ( ) ( ) ( )

( )

Si se supone que para una h pequeña, el término ( ) es -------- constante, entonces el

resultado de la integración es

I ( )

( ) (

) ( )

y tomando los términos de la integración.

( ) ( )

( )

Como la ( ) ( ) ( ), el resultado puede escribirse así.

( ) ( )

( )

Así, el primer término es la regla del trapecio y el segundo una aproximación el error.

Una forma de mejorar la precisión de la regla del trapecio consiste en dividir el intervalo de

integración a a b en varios segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos. Las áreas de los

segmentos se suman después para obtener la integral en todo el intervalo. Las ecuaciones

resultantes se llaman fórmulas de integración, de aplicación múltiple o compuesta.

El formato general y la nomenclatura que usamos para obtener integrales de aplicación

múltiples. ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Donde hay n+1 puntos igualmente espaciados en consecuencia, existen n

segmentos del mismo ancho.

Si a y b se designan como , respectivamente, la integral se representara como:

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

Sustituyendo la integral en la regla del trapecio nos da la formula general para obtener

aplicaciones múltiple y si agrupamos términos quedara de la siguiente manera.

[ ( ) ∑ ( ) ( )

]

O si usamos esta ecuación siguiente

Para expresar la ecuación

[ ( ) ∑ ( ) ( )

] Quedará de la siguiente manera.

( ) [ ( ) ∑ ( ) ( )

]

a) Representación grafica de la regla del trapecio de 2 segmentos

b) Representación gráfica de la regla del trapecio de 4 segmentos

c) Representación gráfica de la regla del trapecio de 3 segmentos

d) Representación gráfica de la regla del trapecio de 5 segmentos

Como la sumatoria de los coeficientes de ( ) en el numerador dividido entre 2n es igual a 1,

la altura promedio representa un promedio ponderado de los valores de la función.

Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicación múltiple al sumar los errores

individuales de cada segmento, así. ( )

∑ ( )

Donde ( ) es la segunda derivada en un punto de ( ) localizado en el segmento i. Este

resultado se simplifica al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada en todo el

intervalo como:

∑ ( )

Por lo tanto, ∑ ( )

se reescribe de la siguiente manera.

( )

Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación más fina, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir con una parábola. Si hay dos puntos a la mitad entre ( ) y ( ) los tres puntos se pueden unir con una parábola. Si hay dos puntos igualmente espaciados entre ( ) y ( ), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado. Las fórmulas que resultan de tomar integrales bajo esos polinomios se conocen como regla de Simpson.

A) Descripción grafica de la regla de Simpson 1/3 que consiste en tomar el área bajo una parábola que une los puntos. B) Descripción grafica de la regla de Simpson 3/8, que consiste en tomar el área bajo una ecuación cubica que une cuatro

puntos.

La regla de Simpson 1/3 resulta cunado un polinomio de interpolación de segundo grado se

sustituye en la ecuación.

∫ ( )

∫ ( )

La regla de Simpson

también se puede expresar usando el formato de la ecuación

( ) ( ) ( ) ( )

Donde a= , b= y =el punto a la mitad entre a y b, que está dado por (b-a)/2 . Observe que,

de acuerdo con la anterior, el punto medio esta ponderado por dos tercios, y los dos puntos

extremos, por un sexto.

Se puede demostrar que la aplicación a un solo segmento de la regla de Simpson 1/3

tiene un error de truncamiento la cual se expresa así.

( )

( )

Así como la regla del trapecio, la regla de Simpson se mejora al dividir el intervalo de

integración en varios segmentos de un mismo tamaño.

Representación grafica de la regla de Simpson 1/3 para aplicación múltiple.

Observe que el método solo se puede emplear si el número de segmentos es par.

La integral total se puede representar como

∫ ( )

∫ ( ) ∫ ( )

Al sustituir la regla de Simpson 1/3 en cada integral se obtiene

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

O, combinando términos y usando la ecuación.

De tal modo que queda de la siguiente

manera.

( ) ( ) ∑ ( )

∑ ( )

( )

CALCULE EL VALOR DE LA SIGUIENTE INTEGRAL.

∫

Con a--- (-4) Y b--- (4)

De la lista llegamos a comparar que el método de Simpson es mucho mejor porque representa

el mino de error.

REGLA DEL TRAPECIO PARA UN SOLO USO

fprintf(' ***** SELECCIONO REGLA DEL TRAPECIO (1 APLICACION) *****\n'); f=input('INGRESE LA FUNCION: ','s'); a=input('INGRESE EL INTERVALO INFERIOR [a] : '); b=input('INGRESE EL INTERVALO SUPERIOR [b] : '); f=inline(f); h=(b-a); aprox=(f(a)+f(b))/2; x=aprox*h; fprintf('\n\nLA APROXIMACION ES: %.5f',x); ******************************************************************************************************************

REGLA DEL TRAPECIO PARA USO MULTIPLE

fprintf(' ***** SELECCIONO REGLA DEL TRAPECIO (APLICACION MULTIPLE) *****\n'); f=input('INGRESE LA FUNCION: ','s'); a=input('INGRESE EL INTERVALO INFERIOR [a] : '); b=input('INGRESE EL INTERVALO SUPERIOR [b] : '); n=input('INGRESE EL NUMERO DE SEGMENTOS PARA LA FUNCION [n] : '); f=inline(f); h=(b-a)/n; aprox=f(a)+f(b); for i=1:n-1

x=a+i*h; aprox=aprox+2*f(x); fprintf('\n x : %.5f',x);

end aprox=(h/2)*aprox; a=0; fprintf('\nLA APROXIMACION FINAL ES: %.5f',aprox); ******************************************************************************************************************

REGLA DE SIMPSON 1/3 fprintf(' ***** SELECCIONO REGLA DE SIMPSON 1/3 *****\n'); f=input('INGRESE LA FUNCION: ','s'); a=input('INGRESE EL INTERVALO INFERIOR [a] : '); b=input('INGRESE EL INTERVALO SUPERIOR [b] : '); n=input('INGRESE EL NUMERO DE SEGMENTOS PARA LA FUNCION [n] : '); f=inline(f); h=(b-a)/n; for i=1:n+1

x(i)=a+(i-1)*h; end if rem(n,2)==0 s=0; for i=3:2:n+1

s=s+f(x(i-2))+4*f(x(i-1))+f(x(i)); end aprox=(h/3)*s; fprintf('\nLA APROXIMACION FINAL ES: %.5f',aprox); end ******************************************************************************************************************

REGLA DE SIMPSON DE 3/8 fprintf(' ***** SELECCIONO REGLA DE SIMPSON 3/8 *****\n'); f=input('INGRESE LA FUNCION: ','s'); a=input('INGRESE EL INTERVALO INFERIOR [a] : '); b=input('INGRESE EL INTERVALO SUPERIOR [b] : '); n=input('INGRESE EL NUMERO DE SEGMENTOS PARA LA FUNCION [n] : '); f=inline(f); h= (b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end if rem(n,3)==0 s=0; for i=3:n+1:3 s=s+f(x(i-2))+3*f(x(i-1))+3*f(x(i))+f(x(i-1)); end aprox=(3*h/8)*s; fprintf('\nLA APROXIMACION FINAL ES: %.5f',aprox); end ******************************************************************************************************************

De manera similar a la obtención de la regla de trapecio y Simpson 1/3, es posible ajustar

un polinomio de LangraGe de tercer orden a cuatro puntos e integrarlo de la siguiente forma:

Para obtener:

Donde h =( b - a ) /3. Esta ecuación se llama la regla de Simpson de 3/8 debido a que se

multiplica por 3/8. Esta es la tercera fórmula de integración cerrada de Newton -- Cotes. De

forma numérica es representada de la siguiente manera:

Donde (b -a) representa el ancho de los segmentos a dividir y el factor restante es la

altura promedio.

Así los dos puntos interiores tienen pesos de 3/8, mientras que los puntos extremos de un

peso de 1/8. La estimación de error de la regla de Simpson de 3/8 queda de la siguiente

manera:

(Fig. 2.21)

o como h= ( b -- a )/ 3,

(Fig. 2.22)

Dado que el denominador de la ecuación en la Fig. 2.22 es mayor que el de la ecuación de la

Fig. 2.21 esta regla es más exacta que la regla de 1/3.

Para los casos del uso de este método se dice que es muy fácil determinar cuál será el caso

al emplearlo. Para cuando la ecuación dada contenga datos de forma par. Para darle uso a

Simpson de 3/8 es necesario que los datos sean de forma impar, si esto llega a ocurrir se debe

ocupar para los 3 últimos segmentos a calcular, por ultimo ocupar la fórmula para completar

la Integral total.

Tabla relacional para el uso eficiente de los métodos de Newton-Cotes.

En la ingeniería integrar polinomios de grado superior es decir de más términos son poco

utilizada. Basta que para su solución s e ocupan las reglas de Simpson que son las más exactas

hasta el momento, pero esto puede mejorarse si se usa una versión para aplicaciones múltiple.

En la práctica existe muchas situaciones en donde está la suposición o en tales casos la

segmentación de intervalos desiguales. Para esto se ocupa la regla del trapecio para cada

segmento para después sumar los resultados:

Donde h= en ancho de segmento i. La diferencia que existe entre la ecuación del trapecio

múltiple y esta anterior es que las h en la primera son constantes.

Podría aplicarse una simplificación de esta fórmula agrupando términos pero no es

recomendable, debido a que sería tedioso y además causaría conflictos, sin embargo

podríamos realizar un programa computacional capaz de acomodar los segmentos de tamaño

desigual.

Este tipo de fórmulas tienen límites que se extienden más allá del intervalo de los datos.

Las fórmulas para segmentos pares e impares son generalmente los métodos de preferencia,

ya que se requieren menos puntos para alcanzar la misma precisión que las fórmulas de

segmentos impares y puntos pares. Las fórmulas abiertas no se utilizan con frecuencia en la

integración definida, pero tiene la utilidad de analizar integral impropia, además de facilitar la

resolución de diferenciales ordinarias.