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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
UNI-NORTE
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
INGENIERIA INDUSTRIAL E
INGENIERIA DE SISTEMAS
V Unidad: Teoría de Colas
(Líneas de espera)de Espera:
Teoría de ColasMaestro
Ing. Julio Rito Vargas Avilés
12/06/2009
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Teoría de Colas
Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos para las líneas de esperas. Estos modelos se usarán para responder preguntas como las siguientes:
1. Cuánto tiempo está ocioso cada servidor?
2. Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola?
3. Cuál es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola?
4. Cuál es la distribución de probabilidad del tiempo de espera de un cliente?
5. Cuál es la distribución de probabilidad de la cantidad de clientes presentes en la cola?
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Las colas…
Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana:
En un banco
En un restaurante de comidas rápidas
Al matricular en la universidad
Los autos en un lava carro.
En un supermercado.
En una estación de combustible
En un estadio deportivo
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Las colas…
En general, a nadie le gusta esperar
Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar.
Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado
Es necesario encontrar un balance adecuado
Esto es la relación positiva de Beneficio/costo.
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Teoría de colas
Una cola es una línea de espera.
La teoría de colas es un conjunto de modelos
matemáticos que describen sistemas de líneas
de espera particulares.
El objetivo es encontrar el estado estable del
sistema y determinar una capacidad de servicio
apropiada
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Teoría de colas
Existen muchos sistemas de colas distintos
Algunos modelos son muy especiales
Otros se ajustan a modelos más generales
Se estudiarán ahora algunos modelos comunes
Otros se pueden tratar a través de la
simulación
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Sistemas de colas: modelo básico
Un sistema de colas puede dividirse en dos
componentes principales:
La cola
La instalación del servicio
Los clientes o llegadas vienen en forma
individual para recibir el servicio
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Sistemas de colas: modelo básico
Los clientes o llegadas pueden ser:
Personas
Automóviles
Máquinas que requieren reparación
Documentos
Entre muchos otros tipos de artículos
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Sistemas de colas: modelo básico
Si cuando el cliente llega no hay nadie en la
cola, pasa de una vez a recibir el servicio
Si no, se une a la cola
Es importante señalar que la cola no incluye
a quien está recibiendo el servicio
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Sistemas de colas: modelo básico
Las llegadas van a la instalación del servicio
de acuerdo con la disciplina de la cola
Generalmente ésta es primero en llegar,
primero en ser servido(FIFO)
Pero pueden haber otras reglas o colas con
prioridades(LIFO)
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Sistemas de colas: modelo básico
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Instalación
del
servicio
Disciplina
de la cola
Salidas
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Estructuras típicas de sistemas de colas: una
línea, un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
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Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea,
múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
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Estructuras típicas de colas: varias líneas,
múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
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Estructuras típicas de colas: una línea,
servidores secuenciales
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
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Costos de un sistema de colas
1. Costo de espera: Es el costo para el
cliente al esperar
Representa el costo de oportunidad del
tiempo perdido
Un sistema con un bajo costo de espera es
una fuente importante de competitividad
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Costos de un sistema de colas
2. Costo de servicio: Es el costo de
operación del servicio brindado
Es más fácil de estimar
El objetivo de un sistema de colas es
encontrar el sistema del costo total
mínimo
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Sistemas de colas: Las llegadas
El tiempo que transcurre entre dos llegadas
sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo
entre llegadas
El tiempo entre llegadas tiende a ser muy
variable
El número esperado de llegadas por unidad de
tiempo se llama tasa media de llegadas ()
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Sistemas de colas: Las llegadas
El tiempo esperado entre llegadas es 1/
Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es
= 20 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado entre llegadas
es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
!)(
k
ekP
k
: tasa media de llegadas
e = 2,7182818…
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Ejemplo: pedido de cervezas
La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el restaurante
Dick. Sigue una distribución de Poisson, con un promedio de
30 cervezas por hora.
1. Estime la probabilidad de que se pidan exactamente 60
cervezas entre las 10 y 12 de la noche.
2. Encuentre la de media y desviación estándar de cervezas
pedidas entre las 9 PM y 1 AM.
3. Determine la probabilidad de que el tiempo entre dos
pedidos consecutivos está entre 1 y 3 minutos.
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Solución: (1)
La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y las 12 de la
noche, se apega a una distribución de Poisson con parámetro
2(30)=60. (2 son dos horas entre las 10 y las 12) y 30
cervezas que es el promedio por hora. Por lo que la
probabilidad que se pidan 60 cervezas entre las 10 y las 12 es:
Se puede usar la función de excel. POISSON(60,60,FALSO)=
0.05143174= 5.1%
05143174.0!60
60
!)(
6060
e
k
ekP
k
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Solución…(2 y 3) Resulta que λ=30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Por
tanto la media de cervezas ordenas en ese tiempo es 4(30)= 120.La desviación estándar en ese período es (120)1/2 =10.95
Sea X el tiempo (en minutos) entre los pedidos sucesivos decervezas. El número de promedio de pedidos por minutos esexponencial con parámetros o razón 30/60 = 0.5 (treintacervezas en 60 minutos). Cervezas por minutos. Por lo tanto lafunción de densidad de la probabilidad del tiempo que transcurreentre pedidos de cervezas (dado que la tasade llegada para una cola M/M/1). Entonces.
38.05.0
5.0)5.0()31( 5.05.1
3
1
5.05.03
1
eeedteXP tt
tt eeta 5.05.0)(
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Sistemas de colas: Las llegadas
Además es necesario estimar la distribución
de probabilidad de los tiempos entre
llegadas
Generalmente se supone una distribución
exponencial
Esto depende del comportamiento de las
llegadas
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Sistemas de colas: Las llegadas –
Distribución exponencial
La forma algebraica de la distribución
exponencial es:
Donde t representa una cantidad expresada en
unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)
tetserviciodetiempoP 1)(
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Sistemas de colas: Las llegadas –
Distribución exponencial
Media Tiempo0
P(t)
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Sistemas de colas: Las llegadas –
Distribución exponencial
La distribución exponencial supone una mayor
probabilidad para tiempos entre llegadas
pequeños
En general, se considera que las llegadas son
aleatorias
La última llegada no influye en la probabilidad
de llegada de la siguiente
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Sistemas de colas: Las llegadas -
Distribución de Poisson
Es una distribución discreta empleada con
mucha frecuencia para describir el patrón de
las llegadas a un sistema de colas
Para tasas medias de llegadas pequeñas es
asimétrica y se hace más simétrica y se
aproxima a la binomial para tasas de llegadas
altas
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Sistemas de colas: Las llegadas -
Distribución de Poisson
Su forma algebraica es:
Donde:
P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo
: tasa media de llegadas
e = 2,7182818…
!)(
k
ekP
k
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Sistemas de colas: Las llegadas -
Distribución de Poisson
Llegadas por unidad de tiempo0
P
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Sistemas de colas: La cola
El número de clientes en la cola es el
número de clientes que esperan el servicio
El número de clientes en el sistema es el
número de clientes que esperan en la cola
más el número de clientes que actualmente
reciben el servicio
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Sistemas de colas: La cola
La capacidad de la cola es el número
máximo de clientes que pueden estar en la
cola
Generalmente se supone que la cola es
infinita
Aunque también la cola puede ser finita
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Sistemas de colas: La cola
La disciplina de la cola se refiere al orden en
que se seleccionan los miembros de la cola
para comenzar el servicio
La más común es (FIFO)PEPS: primero en
llegar, primero en servicio
Puede darse: selección aleatoria, prioridades,
(LIFO)UEPS, entre otras.
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Sistemas de colas: El servicio
El servicio puede ser brindado por un
servidor o por servidores múltiples
El tiempo de servicio varía de cliente a
cliente
El tiempo esperado de servicio depende de
la tasa media de servicio ()
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Sistemas de colas: El servicio
El tiempo esperado de servicio equivale a
1/
Por ejemplo, si la tasa media de servicio es
de 25 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado de servicio es
1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
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Sistemas de colas: El servicio
Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio
Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos:
La distribución exponencial (=media)
Tiempos de servicio constantes (=0)
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Sistemas de colas: El servicio
Una distribución intermedia es la distribución
Erlang
Esta distribución posee un parámetro de forma
k que determina su desviación estándar:
mediak
1
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Sistemas de colas: El servicio
Si k = 1, entonces la distribución Erlang es
igual a la exponencial
Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es
igual a la distribución degenerada con
tiempos constantes
La forma de la distribución Erlang varía de
acuerdo con k
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Sistemas de colas: El servicio
Media Tiempo0
P(t)k = ∞
k = 1k = 2
k = 8
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Sistemas de colas:
Distribución Erlang
Distribución Desviación estándar
Constante 0
Erlang, k = 1 media
Erlang, k = 2
Erlang, k = 4 1/2 media
Erlang, k = 8
Erlang, k = 16 1/4 media
Erlang, cualquier k
media2/1
media8/1
mediak/1
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Sistemas de colas: Etiquetas para
distintos modelos
Notación de Kendall: A/B/cLa notación de Kendall, caracteriza un sistema de línea de espera en el
cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que está libre
uno de los s servidores paralelos idénticos. Luego el primer cliente
en la cola entre al servicio, y así sucesivamente.
A: Distribución de tiempos entre llegadas
B: Distribución de tiempos de servicio
M: distribución exponencial
D: distribución degenerada
Ek: distribución Erlang
c: Número de servidores
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Estado del sistema de colas
En principio el sistema está en un estado inicial
Se supone que el sistema de colas llega a una
condición de estado estable (nivel normal de
operación)
Existen otras condiciones anormales (horas
pico, etc.)
Lo que interesa es el estado estable
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Desempeño del sistema de colas
Para evaluar el desempeño se busca
conocer dos factores principales:
1. El número de clientes que esperan en la
cola
2. El tiempo que los clientes esperan en la
cola y en el sistema
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Medidas del desempeño del sistema
de colas
1. Número esperado de clientes en la cola Lq
2. Número esperado de clientes en el sistema
Ls
3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq
4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws
5. Número promedio de clientes que atenderá
el servidor W
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Medidas del desempeño del sistema de colas:
fórmulas generales
LW
LL
WL
WL
WW
qs
ss
qs
1
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Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
Suponga una estación de gasolina a la cual
llegan en promedio 45 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en
promedio a 60 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en
promedio 3 minutos en la cola
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Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
La tasa media de llegadas es 45 clientes por
hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto
La tasa media de servicio es 60 clientes por
hora o 60/60 = 1 cliente por minuto
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Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
clientesWL
clientesWL
WW
W
ss
qs
q
25.2375.0
3475.0
min41
13
1
min3
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Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejercicio
Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola
Calcule las medidas de desempeño del sistema
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Probabilidades como medidas del
desempeño
Beneficios:
Permiten evaluar escenarios
Permite establecer metas
Notación:
Pn : probabilidad de tener n clientes en el sistema
P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema más de t horas
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Factor de utilización del sistema
Dada la tasa media de llegadas y la tasa media
de servicio , se define el factor de utilización
del sistema .
Generalmente se requiere que < 1
Su fórmula, con un servidor y con s servidores,
respectivamente, es:
s
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Factor de utilización del sistema -
ejemplo
Con base en los datos del ejemplo anterior,
= 0.75, = 1
El factor de utilización del sistema si se
mantuviera un servidor es
= / = 0.75/1 = 0.75 = 75%
Con dos servidores (s = 2):
= /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%
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Modelos de una cola y un servidor M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de
servicio exponenciales
M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución general de tiempos de
servicio
M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de
servicio
M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de
servicio
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Modelo M/M/1
1,0
)()(
)()1(
)(
1
)(
)1()1(
1
2
t
etWPetWP
nLPP
LWW
LL
t
q
t
s
n
s
n
n
q
qs
qs
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Modelo M/M/1: ejemplo 1 Un lavacarro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media
de llegadas es de 9 autos por hora
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1
Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema
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Modelo M/M/1: ejemplo 1
17.0)60/30(
22.0)60/30(
32.0)3(25.0)1(
min1525.0)(
min2033.01
25.2)(
3
75.012
9,12,9
)1(
)1(
130
0
2
t
q
t
s
s
q
s
qs
eWP
eWP
LPP
hrsW
hrsW
clientesLclientesL
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Modelo M/M/1 ejemplo 2 Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con
un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes:
1. Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?
2. Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando)
3. Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco?(incluyendo el tiempo de servicio
4. Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?
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Solución:
De acuerdo con las premisas estamos trabajando con sistema
de colas M/M/1 para lo cual λ=10 automóviles por hora y
μ=15 automóviles por hora. Por lo tanto
1. , el cajero estará ocioso un
tercio del tiempo.
2. Determinar clientes.
3. Estimamos W, pero necesitamos obtener L.
3
2
15
10
3
1
3
211 tantolo 0 por
3
4
3
21
3
2
1
2
2
qL
clientes 2
3
21
3
2
1
L
horas 5
1
10
2
L
W
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Solución:
4. Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio
de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en (1)
el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada
hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10
clientes.
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Modelo M/M/1: Ejemplo 3 Suponga que todos los dueños de automóvil acuden a la gasolinera cuando sus
tanques están a la mitad. En el momento actual llega un promedio de 7.5clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se requiere unpromedio de 4 minutos para servir a un automóvil. Suponga que los tiemposentre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales.
1. Calcule L y W para los tiempos actuales.
2. Suponga que hay un déficit de gasolina y que hay compras de pánico. Paramodelar este fenómeno, suponga que todos los dueños de automóvilescompran ahora gasolina cuando sus tanques tienen ¾ de combustible. Comocada dueño pone ahora menos gasolina en el tanque cada vez que acude a lagasolinera, supongamos que el tiempo de servicio promedio se reduce a 3minutos y un tercio. Qué tanto afectan a L yW las compras de pánico?
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Solución: Tenemos un sistema M/M/1 con λ= 7.5 automóviles por
hora y μ=15 (60/4) automóviles por hora. Por lo tanto
tiempo que la bomba pasa ocupada.
(cantidad de clientes promedio presente en
el sistema de colas
(Tiempo previsto que un cliente pasa en el
sistema de cola). Por tanto bajo estas circunstancia todo está
bajo control.
50.015
5.7
150.01
50.0
1
L
horas 13.05.7
1
LW
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Solución.
λ=2(7.5)= 15 automóviles por hora(esto se infiere por que
cada dueño llenará su tanque dos veces) . Ahora
Automóviles por hora. Entonces.
automóviles
18333.3
60
6
5
18
15
56/51
6/5
1
L
min 20 3
1
15
5 hora
LW
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Modelo M/M/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1
Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola
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Modelo M/G/1
1
1
1
)1(2
0
222
w
q
qqs
qqs
PP
LWWW
LLL
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Modelo M/G/1: ejemplo
Un lava carro puede atender un auto cada 5
min. y la tasa media de llegadas es de 9
autos/hora, = 2 min.
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/G/1
Además la probabilidad de tener 0 clientes en el
sistema y la probabilidad de que un cliente tenga
que esperar por el servicio.
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Modelo M/G/1: ejemplo
75.025.01
min7.8145.0
min7.13228.01
31.1)1(2
06.275.31.1
0
222
w
q
q
qs
q
qs
PP
hrsL
W
hrsWW
clientesL
clientesLL
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Modelo M/G/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son
atendidos entre sus 5 cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.
Suponga = 5 min Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1
Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la
probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio
![Page 67: Líneas de Espera: Teoría de Colas - JRVARGAS · PDF fileTeoría de Colas Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022052309/5a7876717f8b9a7b698b68f4/html5/thumbnails/67.jpg)
Modelo M/D/1
1
1
)1(2
2
q
qqs
qss
LWWW
LWL
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Modelo M/D/1: ejemplo
Un lava carro puede atender un auto cada 5 min.
La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/D/1
λ= 9 carros/hora.
μ= 12 carros/hora.
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Modelo M/D/1: ejemplo
min5.7125.09
125.1
min5.12208.012
1125.0
1
125.1)75.01(2
75.0
)1(2
87.1)208.0(9
22
hrsL
W
hrsWW
clientesL
clientesWL
q
q
qs
q
ss
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Modelo M/D/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre sus 5
cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos.
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/D/1
![Page 71: Líneas de Espera: Teoría de Colas - JRVARGAS · PDF fileTeoría de Colas Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022052309/5a7876717f8b9a7b698b68f4/html5/thumbnails/71.jpg)
Modelo M/Ek/1
1
1
)1(2
)1(2
q
qqs
qss
LWWW
k
kLWL
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Modelo M/Ek/1: ejemplo
Un lavacar puede atender un auto cada 5
min.
La tasa media de llegadas es de 9
autos/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.)
Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/Ek/1
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Modelo M/Ek/1: ejemplo
min25.111875.0
min25.162708.01
6875.1)1(2
)1(
437.2
2
hrsL
W
hrsWW
clientesk
kL
clientesWL
q
q
qs
q
ss
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Modelo M/Ek/1: ejercicio
A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre sus 5
cajas.
Cada caja puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4
Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/Ek/1
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Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el
cuadro ejemplo lavacarro
Modelo Ls Ws Lq Wq
M/M/1
M/G/1
M/D/1
M/Ek/1
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Modelos de varios servidores
M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de
servicio exponenciales
M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y
una distribución degenerada de tiempos de servicio
M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales
y una distribución Erlang de tiempos de servicio
![Page 77: Líneas de Espera: Teoría de Colas - JRVARGAS · PDF fileTeoría de Colas Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022052309/5a7876717f8b9a7b698b68f4/html5/thumbnails/77.jpg)
M/M/s, una línea de espera
00
0
02
1
0
0
!
1,
!
,!
1
)()!1(
!!
1
Ps
s
sPknsiP
ssP
knsiPn
PWW
LWLLP
ssL
ns
s
s
P
s
wsn
n
n
n
nqs
q
qqs
s
q
s
n
ns
![Page 78: Líneas de Espera: Teoría de Colas - JRVARGAS · PDF fileTeoría de Colas Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022052309/5a7876717f8b9a7b698b68f4/html5/thumbnails/78.jpg)
M/M/s, una línea de espera
)46)(3(
3
4
2
2
4
2
3
q
q
L
sSi
L
sSi
![Page 79: Líneas de Espera: Teoría de Colas - JRVARGAS · PDF fileTeoría de Colas Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando en una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos](https://reader034.fdocuments.ec/reader034/viewer/2022052309/5a7876717f8b9a7b698b68f4/html5/thumbnails/79.jpg)
Análisis económico de líneas de
espera
Costos
Tasa de servicioTasa óptima
de servicio
Costo de espera
Costo del servicio
Costo total
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Práctica 1, con WQSB Un almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5 minutos
por cliente siguiendo una distribución exponencial. Los clientesllegan a este almacén siguiendo una distribución Poisson a razónde 30 por hora. Con esta información calcular: A)Laprobabilidad de que el sistema esté lleno, B) La intensidad detrafico.
Datos:
Numero de servidores = 2
=30 [cl/hr]
=1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]
El problema será del tipo M/M/2/FIFO//
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Solución:
Procedimiento
Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de Colas
(QA).
Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del
que se conocen todos los datos. Este se llamará Cajeras,
eligiendo como unidad de tiempo a horas:
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Solución…
En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como
se muestra:
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Solución… En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se
muestra:
Los valores de M, representan que es un valor infinito
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Solución…
Al presionar el icono se verá la ventana de los
resultados:
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Solución…
Al presionar el icono se verá la ventana de los
resultados:
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Solución…
Para el Sistema: M/M/ de dos servidores de Fórmula
Promedio de cliente llegados por Hora λ= 30
Promedio de Servicio por servidor por Hora = 40
Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora = 30
Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora = 30
Tasa de ocupación del sistema 37.50%
Número promedio de clientes en el sistema (L) = 0.8727
Número promedio de clientes en la cola(Lq) = 0.1227
Número promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(Lb) = 0.6
Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) = 0.0291 Horas
Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(Wq) = 0.0041 Horas
Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) = 0.0200 Horas
Probabilidad que todos los servidores estén ociosos (Po) = 45.45%
Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(Pw) o sistema está ocupado(Pb) = 20.45%
Número promedio de clientes que no serán atendidos por el sistema por Hora = 0
Costo total del servidor ocupado por Hora = $0
Costo total del servidor ocioso por Hora = $0
Costo total clientes esperando por hora $0
Costo total de clientes que inician servicio por Hora = $0
Cosot total de clientes being balked per Hora = $0
Total queue space cost per Hora = $0
Costo total del sistema por Hora = $0
En
Esp
añ
ol
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Solución…
Adicionalmente podemos realizar los siguientes análisis:
Observar las probabilidades estimadas de que existan de 0
hasta 200 clientes en la cola:
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Solución…
También podemos realizar una simulación del sistema:
Si presionamos veremos la siguiente ventana:
En el que usaremos: La semilla de aleatoriedad por defecto
Una disciplina de cola de tipo FIFO (PEPS)
Un tiempo de simulación de cola de 24 horas (1 día).
El momento que iniciará la recolección de datos
será a las cero horas.
La capacidad de la cola es infinita (M).
El máximo de número de recolecciones de datos será infinito (M).
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Solución…
• Si presionamos OK, se llevará adelante la simulación y veremos
los siguientes resultados de la actuación de la cola durante 24 horas:
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Solución…
• Las probabilidades estimadas para n clientes:
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Solución…
• Otro de los análisis del que podemos disponer es el de Análisis de
sensibilidad.
•Si presionamos podremos observar la siguiente
ventana:
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Solución…
• Si realizamos un análisis de sensibilidad, seleccionando como
parámetro de análisis a la tasa de llegadas , haciendo que esta
cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando el
modelo de aproximación G/G/s, podremos ver de que manera
reacciona el sistema:
•Podemos observar claramente de que la utilización del sistema va en
incremento en una proporción de 10 [cl/hr], y cuando ésta llega a los
70 [cl/hr], se da una utilización del 87.5% (Máxima utilización posible),
pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistema
se vuelve inestable, es decir el número de servidores es insuficiente.
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Solución…
También podemos ver el gráfico del análisis de sensibilidad de un
parámetro determinado en función del parámetro analizado:
Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph
•Se abrirá la siguiente ventana:
En la que seleccionaremos como
variable independiente para el
gráfico a L (Número promedio de
clientes en el sistema), en función
de nuestro parámetro analizado ():
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Solución…
En el que se puede ver un crecimiento exponencial.
Así sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los
parámetros, dependiendo que necesidades se tiene.
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Solución…
• Otro análisis disponible es el de Análisis de Capacidad:
Como éste análisis se realiza a partir de costos, se asumirán los
siguientes costos
Costo de servidor ocupado por hora = 5 $
Costo de servidor ocioso por hora = 1 $
Costo por cliente en espera = 0.5 $
Costo por cliente servido por hora = 3 $
Costo por cliente no atendido = 1 $
Costo unitario por capacidad de cola = 3 $
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Solución…
Si presionamos podremos observar la
siguiente ventana:
En el que variaremos el número de servidores de 2 a 8, con un paso
de 1, y en el que la capacidad de la cola es Infinita, seleccionando la
formula G/G/s de aproximación.
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Solución…
c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados será la siguiente:
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Práctica 2, con WQSB Una cadena de supermercados es abastecida por un almacén central. La mercadería que
llega a este almacén es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descarganllegan en forma aleatoria siguiendo una distribución Poisson a razón de dos camiones porhora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo unadistribución exponencial. Si el número de trabajadores del equipo es incrementado, larazón de servicio se incrementa en la misma proporción. Cada trabajador recibe 5$ porhora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener el chofer esperando serservido, se estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el tamaño del equipo queminimiza el costo total.
Datos:
Numero de servidores = 2
=2 [cl/hr]
1= 3 [cl/hr], 2= 4 [cl/hr], 3= 5 [cl/hr]…………
El problema será del tipo M/M/1/FIFO//
CS = 5 [$/hr]
CE = 20 [$/hr]
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Problema 3 Cierta computadora tarda exactamente 1.5 horas en atender un
servicio requerido. Si los trabajos llegan según una Poisson a razón de un trabajo cada 120 minutos, se desea saber: ¿Qué tanto debe esperar en promedio un trabajo para recibir atención? ¿Será necesario la compra de otra computadora? Si la distribución del tiempo de servicio fuera Erlang con una media de 1.5 y
con un parámetro k = 5, ¿Cuánto debería esperar un trabajo para ser atendido? ¿Cuál sería la probabilidad de ser atendido?
Datos:
Numero de servidores = 1
=1/120 [tr/min] = 0.5 [tr/hr]
= 1/1.5 [tr/hr] = 0.667 [tr/hr]
El problema será del tipo M/M/1/FIFO//
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Solución…
Procedimiento
Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de
Colas (QA).
Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del
que se conocen todos los datos. Este se llamará
Computadora, eligiendo como unidad de tiempo a horas:
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Solución…
En la hoja de cálculo se introducirán los datos conocidos
como se muestra:
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Solución…
Al presionar el icono se verá la ventana de los
resultados: