L.A.D.E. ESTADISTICA EMPRESARIAL I (Segundo Curso) EJERCICIOS · ejercicios de estadÍstica...

L.A.D.E.

ESTADISTICA EMPRESARIAL I (Segundo Curso)

EJERCICIOS

Curso Académico 2008-2009

EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA EMPRESARIAL I 2º L.A.D.E

2

EJERCICIO 1 Lanzamos un dado 100 veces y hemos obtenido los siguientes resultados:

2 5 6 3 2 4 5 5 4 5 3 4 6 2 6 5 2 5 1 3

3 1 4 5 6 4 6 5 5 2 4 2 1 5 4 5 6 1 1 6

2 2 3 2 6 1 2 4 4 3 5 1 2 1 2 6 1 1 4 5

2 6 6 2 1 1 4 4 1 4 1 6 3 6 6 3 1 6 6 4

2 1 6 4 5 3 5 5 3 2 1 6 6 5 2 6 3 3 2 2

Construir una distribución de frecuencias y representarla gráficamente. EJERCICIO 2 En la siguiente tabla aparecen los pesos de 40 estudiantes de una universidad ameri-cana. Estos pesos se registran con aproximación de una libra. Construir una distribu-ción de frecuencias. Representarla gráficamente.

138 164 150 132 144 125 149 157

146 158 140 147 136 148 152 144

168 126 138 176 163 119 154 165

146 173 142 147 135 153 140 135

161 145 135 142 150 156 145 128

EJERCICIO 3 Se ha preguntado a 50 familias el nº de personas activas. Los resultados primarios son los siguientes:

2 1 2 2 1 2 4 2 1 1

2 3 2 1 1 1 3 4 2 2

2 2 1 2 1 1 1 3 2 2

3 2 3 1 2 4 2 1 4 1

1 3 4 3 2 2 2 1 3 3

a) Construir su tabla de frecuencias. b) Representarla gráficamente.


3

EJERCICIO 4 En el departamento de personal de una fábrica se ha realizado una investigación esta-dística en relación a los salarios que percibe diariamente su personal por todos los conceptos. Los resultados fueron los siguientes en 102 €.:

19 30 20 23 24 21 20 25 26 20 21 29 28

30 19 27 29 22 25 28 20 27 26 21 30 28

27 26 19 27 25 23 22 29 21 26 24 28 30

25 25 24 26 23 29 27 28 26 27 26 22 26

27 29 28 23 22 24 26 23

Se pide: a) La distribución de salarios sin agrupar en intervalos y agrupando en intervalos de

igual amplitud. b) Representación gráfica mediante un histograma de la distribución obtenida en el

punto a). EJERCICIO 5 Para estudiar el efecto de una determinada dieta alimenticia se ha tomado al azar una muestra de 60 personas. Los pesos obtenidos, expresados en Kg., son los siguientes:

80.1 72.8 76.3 79.3 78.5 78.9 85.4 69.4

75.8 77.9 75.6 83.1 77.7 71.6 72.8 84.7

76.2 74.1 82.4 88.2 82.2 65.8 83.2 78.1

80.4 69.7 72.2 81.2 76.3 81.2 82.5 69.3

70.8 75.6 77.5 78.3 71.5 68.6 90.32 82.3

79.2 88.8 92.3 81.3 78.9 69.4 85.2 84.5

77.6 81.7 89.1 81.4 80.2 79.4 72.6 77.6

77.2 78.7 82.3 75.4

Determinar: a) La distribución de frecuencias agrupada en intervalos de clase de amplitud 2, re-

dondeando si fuera necesario. b) Frecuencias de las marcas de clase, frecuencias relativas, frecuencias acumuladas

y frecuencias acumuladas relativas. c) Las siguientes gráficas:

C1) Histograma de frecuencias (absolutas y relativas). C2) El polígono acumulativo de frecuencias (absolutas y relativas).

d) Estimar el tanto por ciento de personas cuyo peso está comprendido entre 75 Kg. y 85 Kg. mediante el polígono acumulativo.


4

EJERCICIO 6 Tomada al azar una muestra de 160 pequeñas y medianas empresas se ha obtenido la siguiente distribución acerca del número de puestos de trabajo en cada una de ellas.

Puesto de trabajo Número de empresas 0 a 100 25

100 a 200 37

200 a 300 12

300 a 400 20

400 a 500 22

500 a 600 21

600 a 700 13

700 a 800 5

800 a 900 3

900 a 1000 2

Obtener: a) El número de empresas con más de 200 puestos de trabajo. b) El número de empresas que tienen más de 100 puestos de trabajo y menos de 400

puestos de trabajo expresado en tanto por ciento. c) Representar gráficamente la distribución. EJERCICIO 7 Se ha lanzado un dado 20 veces obteniéndose los siguientes resultados:

6,1,6,3,1,4,5,2,5,6,1,5,3,4,1,4,6,1,2,1

a) Presentar dichos resultados en una tabla estadística. b) Obtener la media aritmética, mediana y moda. c) Realizar su representación gráfica. EJERCICIO 8 Teniendo en cuenta los datos del EJERCICIO 4, calcular: a) La mediana de los salarios a partir de la distribución agregada. b) La moda. c) El salario medio:

1) Utilizando los datos originales. 2) Con los datos agrupados. 3) Comentar los resultados obtenidos.

d) El primer cuartil y el segundo decil a partir de la distribución agrupada.


5

EJERCICIO 9 Dada la distribución 6, 10, 20, 24. Calcular: a) La media aritmética. b) La media geométrica. c) La media cuadrática. d) La media armónica. e) Compara las diferentes medias obtenidas. EJERCICIO 10 El precio de la entrada al circo "Bermúdez e Hijos" es de 300 €. El precio de la entrada para adultos es de 400 €. y para niños acompañados de 100 €. ¿Qué tanto por ciento de adultos y niños asisten a los matinales del circo?. EJERCICIO 11 Los resultados obtenidos por un alumno en una prueba de evaluación consistente en la resolución de cinco problemas, calificados de 0 a 20 puntos cada uno de ellos, han sido los siguientes: 2, 8, 17, 12, 3. Sabiendo que la importancia de cada problema viene dada por los coeficientes: 2, 3, 1, 3, 2. Calcular: a) La media aritmética ponderada. b) La media geométrica ponderada. c) La media cuadrática ponderada. d) La media armónica ponderada. EJERCICIO 12 Calcular la tasa media acumulativa de los salarios anuales siguientes:

Años Salarios en miles de €. 1980 300

1981 360

1982 468


6

EJERCICIO 13 Una compañía multinacional tiene cinco factorías dedicadas a la elaboración y manu-factura de diferentes productos ultracongelados. Cada factoría produce un número dis-tinto de productos. Los ingresos totales y el rendimiento por producto de cada factoría son los siguientes:

Factorías Ingresos (miles de $) Rto. $/Producto 1 200 1.000

2 360 900

3 250 500

4 240 800

5 180 1.200

Calcular el rendimiento medio por producto para el total de las factorías de la multina-cional. EJERCICIO 14 Calcular todos los promedios conocidos de la distribución de frecuencias siguiente: Distribución de 200 familias con 5 hijos por el nº de varones habidos (datos de 1973).

Varones (X) Familias 0 5

1 29

2 61

3 64

4 34

5 7

EJERCICIO 15 Un hombre viaja de A a B a una velocidad media de 30 kilómetros por hora y vuelve de B a A por la misma ruta con una velocidad media de 60 kilómetros por hora. Hallar la velocidad media para el viaje completo. EJERCICIO 16 Una empresa productora de bienes de consumo dispone de la siguiente información:

Producción Clientes Hasta 1.000 5

1.000 - 2.000 15

2.000 - 4.000 46

4.000 - 6.000 32

Más de 6.000 2

Total 100

Calcular cual es el número de unidades de producción más demandado.


7

EJERCICIO 17 Dada la siguiente distribución:

Intervalos ni

0-10 32

10-30 8

30-50 10

Obtener media, mediana y moda. EJERCICIO 18 Decir si se pueden calcular la media aritmética, mediana y moda de la siguiente distri-bución de frecuencias:

Variable ni

Menos de 10 21

10-20 62

20-40 275

40-80 130

Más de 80 26

En caso afirmativo, calcúlese. EJERCICIO 19 Dada la siguiente distribución de frecuencias:

Intervalos ni

2- 6 2

6-12 3

12-14 5

14-18 4

a) Obtener Media, Mediana y Moda. b) Suponiendo que el primer intervalo fuera de 0-6 y el último de 14-20 comentar de

qué forma influiría a los anteriores promedios. EJERCICIO 20 Demostrar que se cumple para los valores X1 y X2 la siguiente relación

aGH ≤≤

Siendo H la media armónica, G la media geométrica y a la media aritmética.


8

EJERCICIO 21 Obtener la media geométrica de las siguientes observaciones: -1, 2, 4 Comentar el resultado obtenido. EJERCICIO 22 Una población está dividida en tres estratos A1, A2 y A3. De la observación exhaustiva de la variable "x" se han obtenido los siguientes datos: Para el estrato:

A1: N1=50 a=2 Mo=3

A2: N2=100 a=7 Mo=8

A3: N3=200 a=10 Mo=10

Obtener la media aritmética y la moda de la población total. EJERCICIO 23 Un fabricante de tubos de televisión tiene dos tipos de tubos A y B. Los tubos tienen unas duraciones medias respectivas de 1.495 h. y 1.875 h.; las desviaciones típicas son: para el tubo A de 280 h. y para el tubo B de 310 h. Determinar: a) ¿Qué tubo tiene mayor dispersión absoluta? b) ¿Qué tubo tiene mayor dispersión relativa?. EJERCICIO 24 Un estudiante obtuvo en el examen de Matemáticas la calificación de 11 y en el exa-men de Geografía, 23. Conociendo el resultado de la totalidad de las calificaciones obtenidas por los estudian-tes examinados en ambas disciplinas.

Matemáticas Geografía Puntuación ni Puntuación ni 0- 4 47 0- 7 0

4-10 32 7-12 23

10-14 17 12-17 24

14-30 4 17-22 20

22-27 18

27-32 15

Calcular en qué asignatura obtuvo el estudiante mejor calificación.


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EJERCICIO 25 Lanzando un dado 50 veces se ha obtenido la siguiente distribución de frecuencias:

Xi: 1 2 3 4 5 6

ni: 6 11 6 7 9 11

a) Calcular la desviación media con respecto a la media aritmética. b) Calcular la desviación mediana. c) Calcular la varianza y desviación típica. d) Calcular el coeficiente de variación de PEARSON. EJERCICIO 26 Determinar cuál de las distribuciones A y B tiene mayor grado de dispersión.

Distribución A Distribución B Interv. ni Interv. ni 0-2 4 4-8 10

2-4 6 8-12 12

4-6 5 12-16 14

6-8 3 16-20 20

20-24 21

EJERCICIO 27 Una distribución A tiene una media aritmética que es doble a la de una distribución B y una desviación típica que es la mitad de B ¿Qué relación existe entre sus grados de dispersión?. EJERCICIO 28

Dada la distribución de frecuencias { }nixi, , donde N=100, se sabe que la media aritmé-

tica vale 5 y la varianza vale 15. Se añaden 20 nuevas observaciones a la distribución, todas ellas con valor cinco. ¿Qué valor tomaría el nuevo coeficiente de variación?. Con-testar razonadamente.


10

EJERCICIO 29 Con la siguiente distribución de la variable X, probar que la variable tipificada tiene una media igual a cero y una desviación típica igual a la unidad:

Xi: 0 2 4 6 8

ni: 3 2 2 1 1

EJERCICIO 30 Dada la siguiente distribución de frecuencias conjuntas:

iX

iY ijn

1 1 2 3 3 4 4 4

2 1 6 1 2 2 2 1 4 1 2 1 4 2 6 1

Total = 10

Se pide: Construir una tabla de correlación, obteniendo a partir de ella las siguientes cuestiones:

a) Distribuciones marginales de X e Y b) Distribución de Y condicionado a X=3 c) Covarianza d) Estudiar la posible independencia entre las variables

EJERCICIO 31 Dadas las observaciones de la variable (X,Y):

Y/X 1 2 3 4 5

1 2 4

3 2 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 4

Determinar razonadamente:

a) El valor medio de la distribución de X/Y=2 b) La dependencia o independencia de las variables c) Covarianza y coeficiente de correlación


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EJERCICIO 32 Comprobar mediante un ejemplo que dos distribuciones de frecuencias incorrelaciona-das no son necesariamente independientes. EJERCICIO 33 Comprobar que, cualquiera que sea el suceso A, se verifica:

( ) ( )1P A P A= −

donde A representa el suceso complementario del suceso A . EJERCICIO 34

Comprobar que la probabilidad del suceso O , suceso imposible, es igual a cero.

EJERCICIO 35 Sean P(A), P(B) y P(A∩B), las probabilidades de los sucesos A, B y A∩ B, respecti-vamente. Determinar, en función de ellas:

1) ( )P A BI

2) )( BAP ∩

EJERCICIO 36 Sean P(A), P(B) y P(A∩B), las probabilidades de los sucesos A, B y A∩B, respecti-vamente. Determinar, en función de ellas, la probabilidad del suceso A∪B. EJERCICIO 37 Basándose en el resultado obtenido en el problema 33, determinar:

)( CBAP ∪∪

EJERCICIO 38 Comprobar que para cualesquiera que sean los sucesos A y B, con P(B)>0, se verifica:

P(A/B)+P( A /B)=1: EJERCICIO 39 Comprobar que, para cualesquiera que sean los sucesos A, B y C, con P( C )>0, se ve-rifica: P(A∪B/C)=P(A/C)+ P(B/C)-P(A∩B/C)


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EJERCICIO 40 Comprobar que, para cualesquiera que sean los sucesos A y B, se verifica: P(A∩B)≤ P(A) ≤ P(A∪B) ≤ P(A)+P(B) EJERCICIO 41 Sean A y B dos sucesos independientes en probabilidad. Comprobar que son inde-pendientes entre sí los sucesos:

1) A y B 2) A y B 3) A y B EJERCICIO 42 Sean A, B y C tres sucesos independientes en probabilidad. Comprobar que son inde-pendientes entre sí los sucesos:

1) A , B y C 2) A , B y C 3) A , B y C EJERCICCIO 43 Comprobar que si los sucesos A y B son independientes en probabilidad, se verifica:

)()(1)( BPAPBAP −∪

EJERCICIO 44 Dos alumnos se presentan al examen de Estadística. La probabilidad de que apruebe el primero es de 0,7 y la de que apruebe el segundo es de 0,6. Determinar: a) La probabilidad del suceso S1, consistente en que aprueben los dos. b) La probabilidad del suceso S2, consistente en que apruebe al menos uno. c) La probabilidad del suceso S3, consistente en que no apruebe ninguno. d) Si los sucesos S1 y S2 son o no independientes. e) Si los sucesos S1 y S2 son o no incompatibles. EJERCICIO 45 En la Universidad X de determinada población, se pueden estudiar dos carreras, Eco-nómicas y Derecho. Se ha realizado una encuesta sobre las preferencias de los estu-diantes de COU de la ciudad, que ha dado los siguientes resultados: al 30 % les gusta-ría estudiar únicamente Económicas, al 10 % únicamente Derecho y al 20 % ninguna de las dos. Elegido al azar un estudiante de esta ciudad, determinar razonadamente: a) La probabilidad de que le guste estudiar ambas carreras. b) La probabilidad de que, sabiendo que siente preferencia por Derecho, también le

guste Económicas.


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EJERCICIO 46 Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones sucesi-vas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y, a continuación, una bola roja: 1) Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta es devuelta a la urna para realizar

la segunda extracción (extracciones con reemplazamiento). 2) Cuando, habiendo extraído la primera bola, ésta NO es devuelta a la urna para rea-

lizar la segunda extracción (extracciones sin reemplazamiento). EJERCICIO 47 Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones sucesi-vas, determinar la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja: 1) Si se suponen extracciones con reemplazamiento. 2) Si se suponen extracciones sin reemplazamiento. EJERCICCIO 48 De un lote de dos piezas, del que se sabe que el 5 % son defectuosas, se efectúan ex-tracciones con reemplazamiento (se extrae una pieza y, una vez observada, se devuel-ve al lote). Determinar la probabilidad de que, en tres extracciones resulte una sola pie-za defectuosa. EJERCICIO 49 Determinar la probabilidad del suceso consistente en extraer una bola blanca de una urna que contiene cuatro bolas de dos colores, blanco y rojo, supuesto que las distintas composiciones de la urna sean igualmente probables. EJERCCCIO 50 Una urna A contiene cinco bolas negras y dos rojas. Otra urna B contiene tres bolas negras y dos rojas. Se traslada una bola de la urna A a la B y, a continuación, se extrae una bola de la urna B. Establecer: 1) La probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea bola roja. 2) Si, efectivamente, la bola extraída de la urna B es roja, determinar la probabilidad

de que la bola trasladada fuese negra. EJERCICIO 51 Una empresa dedicada a la fabricación de automóviles, desea lanzar al mercado un nuevo modelo en el año 2005. Al estudiar la posible situación económica que existirá


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en dicho año, contempla tres alternativas: existencia de inflación, estabilidad o depre-sión, estimando: 1) Dichas alternativas igualmente probables. 2) La probabilidad deque se lance el nuevo modelo al mercado es:

0,7 si existe inflación. 0,4 si existe estabilidad. 0,1 si la situación es de depresión.

Determinar la probabilidad de que el nuevo producto esté en el mercado en el año 2005. EJERCICCIO 52 El servicio de estudios de una empresa, que proyecta concurrir a un mercado donde sólo existiría otra empresa competidora, estima que, al finalizar el ejercicio económico, sus ventas superarán las 100.000 unidades con la probabilidad de: 0'8 si el precio fijado por la empresa competidora el ALTO

0'5 si el precio fijado por la empresa competidora el MEDIO 0'1si el precio fijado por la empresa competidora el BAJO

Además, por situaciones anteriores, el servicio de estudios determina que la probabili-dad de que la empresa competidora: - fije el precio ALTO es de 0.3 - fije el precio MEDIO es de 0.5 - fije el precio BAJO es de 0.2 Determinar la probabilidad de que las ventas de la empresa superen las 100.000 uni-dades. EJERCICIO 53 Una persona tiene dos negocios en funcionamiento, A y B. El primero puede producir mayor beneficio, pero en el 25 % de los balances arroja pérdidas, mientras que el se-gundo, donde la perspectiva de beneficio es menor, arroja pérdida sólo el 5 % de los casos. Se supone que el conjunto de operaciones es análogo en ambos negocios. Si analizando el resultado económico de una de las operaciones arroja pérdida. ¿Cuál sería la probabilidad de que dicha operación correspondiese al negocio B?. EJERCICIO 54 El volumen de producción diario en tres plantas de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 en las segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en las tras plantas es del 1 %, 0,8 % y 2 % respecti-vamente, determinar la probabilidad de que: 1) Extraída al azar una unidad resulte NO defectuosa. 2) Habiendo sido extraída una unidad defectuosa, haya sido producida en la primera

planta.


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EJERCICIO 55 Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas periféricas de una gran ciudad de suerte que el 60% de los autobuses cubren el servicio de primera línea, el 30% el de la segunda y el 10% de la tercera. Se sabe que la probabilidad de que di-ariamente un autobús se averíe es de 2% en la primera línea, 4% en la segunda y 1% en la última. Determinar: a) La probabilidad de que en un día un autobús sufra una avería. b) Sabiendo que un autobús ha sufrido una avería en un día determinado, ¿cuál es la

probabilidad de que preste servicio en la primera línea?. EJERCICIO 56 Comprobar que siendo F(x) la función de distribución de una variante ξ cualesquiera que sean los números reales a y b, se verifica: 1) )()()( aFbFbaP −=≤< ξ

2) )()()()( aPaFbFbaP =+−=≤≤ ξξ

3) ( ) ( ) ( ) ( )P a b F b F a P bξ ξ< < = − − =

4) )()()()()( bPaPaFbFbaP =−=+−=<≤ ξξξ

EJERCICIO 57 Comprobar que, si la distribución de probabilidad de la variante ξ es de tipo continuo, se verifica que:

0)( == xP ξ

EJERCICIO 58 Si la distribución de probabilidad de la variante ξ es de tipo continuo, comprobar que:

( ) ( ) ( ) ( )P a b P a b P a b P a bξ ξ ξ ξ< ≤ = ≤ ≤ = ≤ < = < <

EJERCICIO 59 Dada la variante ξ cuya distribución de probabilidad es: ξ =xi: 1 2 3 4 5

:)( ixP =ξ 2/8 1/8 2/8 2/8 1/8

Determinar: 1) La representación gráfica de la distribución de probabilidad de la variante. 2) La función de distribución de la variante. 3) La probabilidad )7.21( ≤< ξP

4) La probabilidad )5.31( <≤ ξP


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EJERCICIO 60 Dada la variante ξ cuya función de distribución viene definida por: F(x)=0 para x<0 F(x)=1/4 para 10 <≤ x

F(x)=2/4 para 21 <≤ x

F(x)=3/4 para 32 <≤ x

F(x)=1 para x≤3 Determinar: 1) La representación gráfica de dicha función de distribución. 2) La distribución de probabilidad de dicha función de distribución. 3) Las probabilidades )32.1(),2(),7,1( <<== ξξξ PPP

EJERCICIO 61 Dada la variante ξ cuya distribución de probabilidad es: ξ =xi: 0 1

:)( ixP =ξ 1/3 2/3

Determinar: 1) La función de distribución de la variante ξ 2) Las probabilidades )5.02(),5.0(),4,2(),1( ≤<−=≤> ξξξξ PPPP

EJERCICIO 62 Una función F(x) toma los siguientes valores: F(x)=0,3 para x<0 F(x)=0,5 para 10 <≤ x

F(x)=0,6 para 21 <≤ x

F(x)=0,55 para 32 <≤ x

F(x)=1 para x≤3

Establecer razonadamente si dicha función puede ser la función de distribución de una variable aleatoria ξ . EJERCICIO 63 Dada la variante ξ tal que:

n

rkrP

−•== )(ξ para r = 2,3,4,...n

0)( == rP ξ para cualquier otro valor de r


17

Determinar k para que )( rP =ξ sea la función de cuantía que defina la distribución de

probabilidad de la variante ξ EJERCICIO 64 Dada la variante ξ tal que:

mr

er

mrP −==

!)(ξ para r = 0,1,2,3,...,∞

0)( == rP ξ para cualquier otro valor de r

Comprobar que así definida )( rP =ξ es la función de cuantía que define la distribución

de probabilidad de la variante ξ . EJERCICIO 65 Sea una variante aleatoria ξ , cuya función de probabilidad viene definida por la función de cuantía:

!)(x

kxP ==ξ para r = 0,1,2,3,...

0)( == xP ξ para cualquier otro valor de x

Se pide: 1) Comprobar en qué condiciones dicha función es efectivamente una función de

cuantía. 2) Determinar la ).2( >ξP

EJERCICIO 66 Dada la variante ξ , cuya distribución viene definida por la función:

)!4(!

1

2

3)(

xxxP

−==ξ para r = 0,1,2,3,4

0)( == xP ξ para cualquier otro valor de x

Determinar 1) La función de distribución de la variante ξ 2) Las probabilidades )5.2(),5,21(),3( ≤≤≤= ξξξ PPP

EJERCICIO 67 Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de densidad:


18

( ) 0f x = para x≤0

( ) 1( 1)

9f x x= + para 10 ≤< x

( ) 4 1( )

9 2f x x= + para

2

31 ≤< x

( ) 4 5

9 2f x x

= −

para 22

3≤< x

( ) 1(4 )

9f x x= − para 32 ≤< x

( ) 1

9f x = para 63 ≤< x

( ) 0f x = para 6 < x

Determinar: 1) La representación gráfica de dicha función de densidad. 2) La función de distribución de la variante ξ 3) La probabilidad )4.23.1( << ξP .

EJERCICIO 68 Suponiendo que el tiempo de espera en el metro tiene una distribución de probabilidad definida por la función de distribución:

( ) 0F x = para x≤0

( ) 1

2F x x= para 10 ≤< x

( ) 1

2F x = para 21 ≤< x

( ) 1

4F x x= para 42 ≤< x

( ) 1F x = para 4 < x

Determinar: 1) Dibujar la función de distribución y la función de densidad. 2) Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea: - superior a 3 minutos. - inferior a 3 minutos. - entre 1 y 3 minutos. 3) Sabiendo que el tiempo de espera ha sido superior a 1 minuto, ¿cuál es la probabi-

lidad de que sea superior a 3?.


19

EJERCICIO 69 Dada la variante ξ tal que:

5

1)(

2 −•==r

krP ξ para r=1,2,3,4,5.

1) Determinar k para que esa función sea efectivamente la función de cuantía que de-

fina la distribución de probabilidad de la variante ξ . 2) Definir, a partir de ella, la función de distribución. 3) Las probabilidades: )5.23(),4(),41( ≤<−><≤ ξξξ PPP

EJERCICIO 70 Dada la variante ξ cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de densidad:

( )1

para 0 330 para cualquier otro valor de

xf x

x

< <=

Determinar: 1) Que f(x), así definida, es ciertamente la función de densidad. 2) La función de distribución de la variante ξ 3) Las siguientes probabilidades )4.21(),1( <<−≤<− ξξ PP


( )2 para 0 1

0 para cualquier otro valor de

x xf x

x

< <=

Determinar: 1) La función de distribución de la variante ξ . 2) Las siguientes probabilidades )8.03.0(),5.01(),75.0( ≤<≤<−= ξξξ PPP


( )2 para 0 1

0 para cualquier otro valor de

kx xf x

x

< <=

Determinar:


20

1) El valor de k, para que ciertamente ( )f x sea la función de densidad que define a la

distribución de probabilidad de la variante. 2) La función de distribución de la variante ξ . 3) La probabilidad )7.03.0( ≤≤ ξP


( ) para 0

0 para 0

xe xf x

x

θθ − ≥=

<f(x)= xe θθ −

Determinar el valor de θ , para que ciertamente f(x) sea la función de densidad que de-

fine a la distribución de probabilidad de la variante ξ . EJERCICIO 74 Aun estando sometidos a control diario los artículos ofrecidos a la venta en unos gran-des almacenes, se estima que la probabilidad de que en un día sean vendidos "r" artí-culos defectuosos es:

r

rxP

==3

1

3

2)( para r = 0,1,2,3,...

Determinar la probabilidad de que en un día sean vendidos: 1) Dos o más artículos defectuosos. 2) Cinco artículos defectuosos. 3) Tres o menos artículos defectuosos. EJERCICIO 75 La cantidad de dinero ahorrada, aleatoria, por una persona en un mes, sigue la ley de probabilidad dada por la función de distribución:

( )

0 para 0

1 para 0 1

21

para 1 221

para 2 441 para 4

x

x x

F x x

x x

x

< ≤ <

= ≤ <

≤ <

≤


21

donde x viene expresada en miles de euros. Determinar la probabilidad de que, en un mes, la cantidad de dinero ahorrada: 1) Sea superior a 2000 € 2) Sea inferior a 4500 € 3) Sea superior a 500 € y menor o igual a 2500 € EJERCICIO 76 El beneficio aleatorio, que una empresa dedicada a la prestación de un servicio público puede obtener a lo largo de un año, sigue la ley de probabilidad definida por la función de distribución:

( )250

2

1)(

x

exF−

= para 0≤x

( )250

2

11)(

x

exF−

−= para 0>x

donde x viene expresado en miles de euros. Determinar la probabilidad de que el beneficio obtenido: a) Sea superior a 50 miles de €. b) Sea inferior a -50 miles de €. c) Sea 100 millones de euros o más, sin superar los 200 miles de euros. EJERCICIO 77 La demanda diaria de un artículo sigue la ley de probabilidad definida por la función de densidad:

xxF2

11)( −= para 20 ≤≤ x

0)( =xF para el resto de los valores de x

donde x viene expresado en miles de euros. Determinar la probabilidad de que el número de unidades demandadas en un día: 1) No supere las 3500 unidades 2) Esté comprendida entre 635 y 1870 unidades EJERCICIO 78 El número de unidades vendidas mensualmente, de un determinado tipo de artículo, si-gue la ley de probabilidad definida por la función de densidad:


22

( ) ( )

para 0 5251

10-x para 5 10250 para cualquier otro valor de

xx

f x x

x

≤ <

= ≤ <

donde x viene expresado en miles de unidades. Determinar la probabilidad de que el número de unidades vendidas en un mes: 1) Sea superior a 5000 unidades. 2) Sea superior a 5000 no superando las 7500 unidades. EJERCICIO 79 Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la de-manda, aleatoria, de sus potenciales clientes, se comportará, semanalmente, con arre-glo a la ley de probabilidad definida por la función de densidad:

)24(8

3)( 2xxxF −= para 20 ≤≤ x

0)( =xF para el resto de los valores de x

donde x viene expresado en millones de unidades. ¿Qué cantidad deberá tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, para poder satisfacer plenamente la demanda, en dicho periodo, con la probabilidad de 0,5?. EJERCICIO 80 Dada una variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución F(x), comprobar que el momento de orden dos respecto al origen:

∫+∞

∞−)(2 xdFx

si existe, puede ser expresado en la forma:

∫+∞

∞−=)(2 xdFx ∫

+∞

∞−+− dFxx )1( ∫

+∞

∞−)(xxdF

EJERCICIO 81 Dada la variante x, cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución:

0)( =xF para x < 1

4

1)( =xF para 31 <≤ x

1)( =xF para x≤3


23

Determinar el valor probable. EJERCICIO 82 Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución:

0)( =xF para x < 0 2)( xxF = para 10 <≤ x

1)( =xF para x≤1

Determinar el valor probable. EJERCICIO 83 Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución:

0)( =xF para x < 0 2/1)( xxF = para 10 <≤ x

1)( =xF para x≤1

Determinar el valor probable y la varianza. EJERCICIO 84 Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad es:

mr

er

mrP −==

!)(ξ para r = 0,1,2,... m +∈R

Determinar el valor probable y la varianza. EJERCICIO 85 Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución:

xxF

+−=

1

11)( para 0≥x

0)( =xF para cualquier otro valor de x.

Comprobar que dicha distribución carece de valor probable


24

EJERCICIO 86 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 67. EJERCICIO 87 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 68. EJERCICIO 88 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 69 EJERCICIO 89 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 72. EJERCICIO 90 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 74. EJERCICIO 91 Determinar el valor probable de la distribución de la variante ξ correspondiente al EJERCICIO 75. EJERCICIO 92 Sea una variable aleatoria ξ , de cuya distribución de probabilidad se conoce que la media es cero y la desviación típica σ . Determinar la probabilidad de que la variable

tome valores comprendidos entre -1 y +1. Justifíquese la respuesta. EJERCICIO 93 En una plaza de toros se sabe que al finalizar el festejo esperan el autobús una media de 7000 personas, con una desviación típica de 350. La empresa concesionaria del servicio quiere tener una probabilidad del 80 % o superior de tener el servicio bien


25

atendido. La capacidad del autobús es de 50 personas. ¿Cuántos autobuses son nece-sarios?. EJERCICIO 94 En una empresa multinacional de refinado de aceites se regula la temperatura de una disolución en un proceso químico. La presencia de perturbaciones aleatorias origina una fluctuación en la temperatura. En el transcurso del tiempo se efectúan una serie de medidas, de las que se deduce que la temperatura media es de 150 º F., con una des-viación típica de 1º F. Determinar la fracción de tiempo durante la cual la temperatura puede exceder de 160 º F. EJERCICIO 95 En un cine de verano al aire libre hay instaladas 800 sillas. Sabiendo que el número de asistentes es una variable aleatoria con esperanza 600 y desviación típica 100, ¿qué probabilidad se asignaría al suceso de que el número de asistentes fuese superior al de sillas instaladas?. EJERCICIO 96

De la variable ξ se sabe que [ ] 6=ξE y . [ ] 4V ξ = Discutir si son ciertas las siguientes

afirmaciones:

a) [ ] 014 ≈>ξP

b) [ ] 04 ≈−<ξP

c) [ ] 7.0120 ≈≤< ξP

EJERCICIO 97 Dada la variable aleatoria ξ , cuya distribución de probabilidad es:

3

1)0( ==ξP

3

2)1( ==ξP

Determinar la función característica. EJERCICIO 98 Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad viene definida por la función de distribución:

0)( =xF para 0<x


26

xxF =)( para 10 ≤≤ x

1)( =xF para x<1

Determinar la función característica. EJERCICIO 99 Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad es

mr

er

mrP −==

!)(ξ para +∈= Rmr ,....2,1,0

Determinar: 1) La función característica. 2) El valor probable y la varianza, con base en dicha función característica. EJERCICIO 100 Dada la variante ξ , cuya distribución de probabilidad es

1)( −== rpqrP ξ para ,....2,1,0=r

con 10 << p

10 << q

1=+ qp

Determinar: 1) La función característica. 2) El valor probable y la varianza, con base en dicha función característica. EJERCICIO 101 Tenemos un dado defectuoso, de manera que la probabilidad de que obtenga puntua-ción 2 es el doble que la de obtener el 1; la probabilidad de obtener puntuación impar es la misma en todos los casos y la de obtener 4 y 6 es la mitad de obtener puntuación impar. Calcular: a) Distribución de probabilidad del experimento "lanzar el dado defectuoso". b) La puntuación media esperada. c) Construir la función característica. EJERCICIO 102 De una urna, que contiene cinco bolas blancas y cuatro rojas, se realizan dos extrac-ciones sucesivas sin reemplazamiento (extraída la primera bola de la urna no se rein-


27

tegra a ella para efectuar la segunda extracción). Si convenimos en representar por 1ξ

y 2ξ los resultados aleatorios de la primera y segunda extracción respectivamente:

Determinar:

1) La distribución de probabilidad conjunta de la variante ( 1ξ , 2ξ ).

2) La distribución de probabilidad marginal de la variante 2ξ

3) La covarianza entre las variantes 1ξ y 2ξ

4) El coeficiente de correlación.

5) Si las variantes 1ξ y 2ξ son o no estocásticamente independientes.

EJERCICIO 103 De una urna, que contiene seis bolas blancas y tres rojas, se realizan dos extracciones sucesivas con reemplazamiento (extraída la primera bola de la urna se reintegra a ella

para efectuar la segunda extracción). Si convenimos en representar por 1ξ y 2ξ los re-

sultados aleatorios de la primera y segunda respectivamente: Determinar:

1) La distribución de probabilidad conjunta de la variante ( 1ξ , 2ξ ).

2) La distribución de probabilidad marginal de la variante 2ξ

3) La covarianza entre las variantes 1ξ y 2ξ

4) 2ρ .

EJERCICIO 104

Dada la variante ( 1ξ , 2ξ ), cuya distribución de probabilidad conjunta viene definida por

la función de distribución conjunta:

)1)(1(),( 32 yx eeyxF −− −−= para 0≥x 0≥y

0),( =yxF para cualquier otro valor de (x, y).

Determinar: 1) Las distribuciones de probabilidad marginales.


EJERCICIO 105


la función de distribución conjunta:

)1)(1(),( yx eeyxF −−= para 0≥x 0≥y

0),( =yxF para cualquier otro valor de (x, y).

Determinar:

1. La probabilidad del suceso )1;1( 21 ≤≤ ξξ .


28

2. Las distribuciones de probabilidad marginales de la variante 1ξ y de la variante

2ξ .

3. Si las variantes 1ξ y 2ξ son o no estocásticamente independientes.

EJERCICIO 106


la función de densidad conjunta:

9

1),( =yxf para 30 << x 41 << y

0),( =yxf para cualquier otro valor de (x, y).

Determinar:

1) La probabilidad del suceso )2;2( 21 << ξξ .

2) La probabilidad del suceso )3/5,22( 21 <<< ξξ

EJERCICIO 107


la función de densidad conjunta: yxyxf +=),( para 10 << x 10 << y

0),( =yxf para cualquier otro valor de ),( yx

Determinar:

1) La probabilidad del suceso )2,0;5,0( 21 ≤≤ ξξ .


3) La regresión de 2ξ sobre 1ξ .

4) El coeficiente de correlación. EJERCICIO 108



( ) yxeyxyxf 235

4),( −−•+•= para 0≥x 0≥y

( ), 0f x y = para cualquier otro valor de ),( yx

Determinar:

1) La distribución de probabilidad marginal de la variante 1ξ y de la variante 2ξ .

2) La distribución de probabilidad de la variante 2ξ condicionada a la variante 1ξ .

3) La covarianza entre ambas variantes.


29

EJERCICIO 109



[ ])(14

1),( 22 yxxyyxf −+•= para 11 ≤≤− x 11 ≤≤− y

0),( =yxf para cualquier otro valor de ),( yx

Determinar:

1) La distribución de probabilidad marginal de la variante 1ξ y de la variante 2ξ

2) La distribución de probabilidad de la variante 2ξ condicionada a la variante 1ξ


4) La correlación existente entre las variantes 1ξ y 2ξ .

5) La regresión de 2ξ sobre 1ξ .

EJERCICIO 110 El 80 % de las bolas contenidas en una urna son de color blanco, siendo el 20 % res-tante de color rojo. Determinar la probabilidad de que al efectuar tres extracciones su-cesivas con reemplazamiento, dos de las bolas sean de color blanco y una roja. EJERCICIO 111 Un agente de seguros vende pólizas a cinco individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad vi-va 30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan: 1) Los cinco individuos. 2) Al menos tres. 3) Sólo dos. 4) Al menos uno. EJERCICIO 112 Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente, en una de sus secciones, sólo dos artículos a precios p1 y p2, de suerte que: - el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p1. - El 30 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p2. Si un día determinado se venden en dicha sección 20 unidades, determinar la probabi-lidad de que las 20 unidades correspondan al artículo de precio p2. EJERCICIO 113 Una empresa, dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo, que ofrece a sus habituales clientes dos formas de pago: "pago al contado" o "pago aplazado", sabe que


30

el 20 % de las unidades adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de "pago al contado". Si en un periodo de tiempo determinado, se han adquirido cinco unidades, determinar la probabilidad de que: 1) Dos unidades o más, lo hayan sido bajo la forma "pago al contado". 2) Dos unidades o menos, lo hayan sido bajo la forma de "pago aplazado". EJERCICIO 114

Si las variantes ),..3,2,1( nii =ξ independientes, poseen todas la distribución:

);1( pB

comprobar que la variante η definida por:

nξξξξη ++++= ...321

se comporta con arreglo a la distribución );( pnB .

EJERCICIO 115

Sean 1η y 2η dos variantes tales que:

- 1η se distribuye según la ley );( 1 pnB

- 2η se distribuye según la ley );( 2 pnB

Comprobar que la variante η , definida de la forma η = 1η + 2η se distribuye según la

ley );( 21 pnnB + , suponiendo que 1η y 2η son estocásticamente independientes.

EJERCICIO 116 A dos grupos, compuestos por diez individuos el primero y seis individuos el segundo, se les efectúa una misma pregunta; supuesto que las únicas posibles sean "si" o "no", ambas en principio igualmente probables, y que todos los individuos respondan, deter-minar la probabilidad de que: 1) El número de respuestas afirmativas en el primer grupo sea inferior a seis. 2) El número de respuestas afirmativas de los dos grupos sea igual o superior a doce. (Supóngase la independencia para las respuestas de cada individuo, y para las de los dos grupos.) EJERCICIO 117 El 50 % de las bolas contenidas en una urna son de color blanco; el 30 % de color rojo; y el 20 % de color negro. Determinar la probabilidad de que, al efectuar cinco extrac-ciones sucesivas con reemplazamiento:


31

1) Dos de las bolas extraídas sean de color blanco, dos de color rojo y una de color negro.

2) Tres de las bolas extraídas sea de color blanco. 3) Una de las bolas extraídas sea de color rojo. 4) Dos de las bolas extraídas sean de color negro. EJERCICIO 118 Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente, cuatro artículos que ofre-ce a los precios p1, p2, p3 y p4, de suerte que: - el 40 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p1. - El 30 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p2. - el 10 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p3. - El 20 % de las unidades ofrecidas lo son del articulo de precio p4. Si un día determinado se venden 8 unidades, determinar la probabilidad de que: 1) Una unidad sea del artículo de precio p1, dos del artículo de precio p2, dos del artí-

culo de precio p3 y tres del artículo de precio p4. 2) Tres unidades sean del artículo de precio p2. EJERCICIO 119 Un accionista tiene la posibilidad de comprar acciones de cuatro empresas: A, B, C y D. Las probabilidad de que compre acciones de cada empresa son:

P(A)=0'1 P(B)=0'2 P(C)=0'3 P(D)=0'4 Si un día determinado ha comprado 10 títulos, calcular las siguientes probabilidades: 1) Que dos títulos sean de A, cinco de B y tres de las otras empresas. 2) Que no compre ningún título de A. EJERCICIO 120 El número medio de automóviles que llega a una estación de servicio es 210 por hora. Si dicha estación puede atender a un máximo de 10 automóviles por minuto, determi-nar la probabilidad de que, en un minuto dado, lleguen a la estación de suministro más automóviles de los que puede atender. EJERCICIO 121 La proporción de individuos de una población con renta superior a los dos millones de euros, es de 0,005 %. Determinar la probabilidad de que, entre 5.000 individuos consul-tados, haya dos con ese nivel de renta, supuesto que todos los consultados respondan.


32

EJERCICIO 122 Por parte de una compañía de seguros se sabe que el 0'003 % de los individuos de una población fallece cada año de un determinado tipo de accidente. Determinar: 1) La probabilidad de que la compañía tenga que pagar a más de tres de los 10.000

asegurados contra tal tipo de accidente en un año determinado. 2) El número de accidentes esperados. EJERCICIO 123 En una determinada zona geográfica se pretende introducir un nuevo producto del que es razonable esperar sea demandado por el 0,4 % de los habitantes de dicha zona. De-terminar la probabilidad de que, consultados 1.000 de éstos, dicho producto sea de-mandado: 1) Por tres o más. 2) Por cinco o menos. EJERCICIO 124 Sean 1η y 2η dos variantes tales que:

- 1η se distribuye según la ley de Poisson de parámetro 1λ

- 2η se distribuye según la ley de Poisson de parámetro 2λ

Comprobar que la variante η , definida de la forma 21 ηηη += se distribuye según la ley

de Poisson de parámetro ( 1λ + 2λ ), si 1η y 2η son estocásticamente independientes.

EJERCICIO 125 Del volumen de producción diaria en dos plantas diferentes de una fábrica se sabe que la probabilidad de que resulten "r" unidades defectuosas:

- En la primera planta es: 4

!

4 −er

r

para ,...3,2,1,0=r

- En la segunda planta es: 6

!

6 −er

r

para ,...3,2,1,0=r

Determinar la probabilidad de que en un día determinado: 1) Resulten cinco o más unidades defectuosas en la primera planta. 2) Resulten cuatro o menos unidades defectuosas en la segunda planta. 3) Resulten ocho o más unidades defectuosas del total de la producción de la fábrica. EJERCICIO 126 Del volumen de producción diario en dos plantas diferentes de una fábrica se sabe que, en media, el número de unidades defectuosas producidas es de 2 y 3 respectivamente. Elaborar el modelo de probabilidad correspondiente al número de unidades defectuo-sas de cada planta y, con base a ellos, determinar la probabilidad de que:


33

1) En un día determinado resulten dos unidades defectuosas en la primera planta. 2) En un día determinado resulten tres unidades defectuosas en la segunda planta. 3) En un día determinado resulten ocho o menos unidades defectuosas del total de la

producción de la fábrica. 4) En 360 días resulten 190 o más unidades defectuosas del total de la producción de

la fábrica. EJERCICIO 127 Un televisor tiene un gran número de válvulas, tanto de tipo A como de tipo B. Al año, el número de válvulas del tipo A que se estropean es de dos, y de tipo B es de tres. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un año determinado, se estropeen 6 válvulas de

tipo A?. b) Un televisor no funcionará si el número de válvulas de tipo A estropeadas es supe-

rior a 2 y el número de válvulas estropeadas de tipo B es superior a 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un televisor no funcione?.

EJERCICIO 128 Se considera un colectivo formado por n elementos, de los cuales n - 1 poseen una misma característica. Si por ν representamos el número que hace la primera extrac-ción en la que obtenemos el elemento que NO posee dicha característica (supuestas extracciones sucesivas con reemplazamiento de un solo elemento), establecer razo-nadamente: 1) El modelo de distribución de probabilidad correspondiente. 2) Si )2(,5 ≤= vPn

EJERCICIO 129 Deducir la función de cuantía de la variable aleatoria "número de lanzamientos necesa-rios de un dado hasta obtener un 2". EJERCICIO 130 Una urna contiene cinco monedas: tres de 1 euro y dos de 2 euros. Si se efectúan tres extracciones sin reemplazamiento, determinar razonadamente, estableciendo el mo-delo de probabilidad correspondiente: 1) La probabilidad de que en las tres extracciones sólo una sea de 1 euro. 2) La probabilidad de que en las tres extracciones aparezca al menos una moneda de

2 euros.


34

EJERCICIO 131 Se pide al Director General de cierta empresa multinacional que seleccione a tres eje-cutivos para integrar un Comité, con el fin de estudiar el posible lanzamiento de un nuevo producto. Se presentan como voluntarios 20 ejecutivos de las filiales en América y 30 de las filiales europeas. Si del total de 50 voluntarios el director selecciona al azar a los 3 ejecutivos requeridos, ¿cuál es la probabilidad de que sean elegidos un americano y dos europeos?. EJERCICIO 132 Un participante en un concurso de tiro al blanco sabe que su probabilidad de hacer di-ana en cada disparo es igual al 95 %. Calcular: a) Probabilidad de acertar al menos 10 blancos en 12 disparos. b) Si el concursante tiene que retirarse en el caso de que cometa 3 fallos, ¿cuál es su

probabilidad de hacer exactamente 10 disparos?. EJERCICIO 133 Un conocido delantero es fichado por un importante club. El contrato estipula que se producirá una rescisión del mismo en cuanto deje de marcar en 10 partidos. En base a su historial deportivo se sabe que la probabilidad de marcar en cada partido es del 70%. ¿Cuál sería la probabilidad de que se le rescinda el contrato después de jugar 20 partidos?. EJERCICIO 134 Se efectúan lanzamientos consecutivos de un dado correcto: a) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria

"número de veces que se obtiene un resultado par en 10 lanzamientos". Calcular la probabilidad de obtener más de dos pares en los diez lanzamientos.

b) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria "número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir el primer resultado par". Calcular la probabilidad de que se requieran 3 lanzamientos.

c) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria "número de lanzamientos que deben efectuarse hasta conseguir tres pares". Calcu-lar la probabilidad de que se requieran 5 lanzamientos.

d) Determinar razonadamente la distribución de probabilidad de la variable aleatoria "número de veces que se dan los resultados 1,2,3,4,5 y 6 en n lanzamientos". Cal-cular la probabilidad de obtener DOS veces el "1", UNA vez el "4" y TRES veces el "5" en seis lanzamientos consecutivos.


35

EJERCICIO 135 Acerca de la cantidad aleatoria demandada durante un cierto periodo de tiempo por ar-te de una empresa textil, sólo se sabe que no supera la tonelada. Determinar para di-cho periodo de tiempo: 1) La probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 grs. 2) La probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900

kgs. 3) La demanda probable. EJERCICIO 136 La duración aleatoria de un determinado tipo de artículo, en horas, viene regulado por la ley de probabilidad N(180,5). Determinar la probabilidad de que la duración de tal artículo: 1) Sea superior a 170 horas. 2) Sea inferior a 150 horas. EJERCICIO 137 Una empresa sabe que el comportamiento en probabilidad de la demanda aleatoria de un artículo, que produce, viene explicada por la ley N(10.000,100). Si la empresa deci-de seguir produciendo el artículo en el futuro, supuesto que la demanda esté compren-dida entre 9.930 y 10.170 unidades, determinar la probabilidad de que no siga produ-ciendo tal artículo. EJERCICIO 138 Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina, durante un cierto periodo de tiempo, se comporta con arreglo a una ley normal, de media 150.000 litros, con desviación típi-ca igual a 10.000 litros, determinar la cantidad que hay que tener dispuesta a la venta en dicho periodo, para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95. EJERCICIO 139

Sean 1ξ y 2ξ dos variantes tales que:

1) 1ξ se distribuye según la ley 1 1( , )N µ σ

2) 1ξ se distribuye según la ley 2 2( , )N µ σ

Comprobar que la variante ξ definida en la forma ξ = 1ξ + 2ξ , se distribuye según la

ley ))(;( 22

2121 σσµµ +N ; si 1ξ y 2ξ son estocásticamente independientes.


36

EJERCICIO 140 Dos marcas comerciales se dedican a la venta de un mismo tipo de artículo. Las ven-tas, para ambas marcas, se comportan con arreglo a la ley normal de media 1.800 uni-dades y desviación típica 150 unidades, para la primera marca, y 1.650 unidades de media, con desviación típica de 120 unidades, para la segunda. Determinar la probabi-lidad de que las ventas de la primera marca superen en más de 100 unidades a las de la segunda, supuestas las ventas de una y otra marca independientes. EJERCICIO 141 Para una pieza de precisión se toman medidas de su longitud y su diámetro, observán-dose que la longitud se mantiene entre 10 y 10,4 centímetros y el diámetro entre 2,4 y 2,6 centímetros. Suponiendo que ambas magnitudes sean independientes obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria bidimensional (Longitud, Diámetro). Si elegimos una pieza al azar, calcular la probabilidad de que su longitud sea inferior a 10,1 cm., y su diámetro esté comprendido entre 2,5 y 2,54 cm. EJERCICIO 142 Un establecimiento comercial pone a la venta diariamente, en una de sus secciones,

sólo dos artículos a precios 1p y 2p de suerte que:

- el 70 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo 1p

- el 30 % de las unidades ofrecidas lo son del artículo 2p .

Si en un día determinado se venden en dicha sección 2.000 unidades, determinar la

probabilidad de que más de 800 unidades correspondan al artículo de precio 2p .

EJERCICIO 143 Una empresa dedicada a la venta de un determinado tipo de artículo, que ofrece a sus habituales clientes dos formas de pago: "pago al contado" o "pago aplazado", sabe que el 20 % de las unidades adquiridas de dicho artículo lo son bajo la forma de "pago al contado". Si en un periodo de tiempo determinado, se han adquirido 1.000 unidades, determinar la probabilidad de que 250 o menos lo hayan sido bajo la forma de "pago al contado". EJERCICIO 144 Entre 100 empresas, cuyas reacciones se suponen independientes entre sí, se analiza la modificación en su actividad, derivada de la adopción de una serie de medidas eco-nómicas. Cada una de estas empresas entiende que dicho conjunto de medidas eco-nómicas incidirá sobre su actividad con una probabilidad, común para todas ellas de


37

0,4. Determinar la probabilidad de que al menos 20 de estas empresas modifiquen realmente su actividad como consecuencia de las referidas medidas. EJERCICIO 145 Un concesionario de automóviles vende a particulares vehículos de la misma marca. Sabiendo que la probabilidad de que este tipo de vehículos esté en servicio dos años después es de 0,8, determinar la probabilidad de que, de 4.000 vehículos, más de 3.120 estén en servicio dentro de dos años. EJERCICIO 146 En un proceso de fabricación se sabe que el número aleatorio de unidades defectuosas producidas diariamente viene dado por la ley de probabilidad:

10

!

10)( −== e

rrP

r

ξ para ,....1,0=r

Determinar la probabilidad de que, en 150 días, el número de unidades defectuosas supere 1.480 unidades. EJERCICIO 147 En la producción de piezas de precisión se sabe que la longitud aleatoria de las mis-mas se distribuye con función de densidad:

xexf −= 1)( para mmx 1≥

1) Se considera aceptable la pieza, si su longitud está comprendida entre 1 mm y

1,0512932 mm, ¿cuál es la probabilidad de que la pieza sea correcta? 2) Si se empaquetan las piezas en lotes de 5 unidades, determinar:

a) La distribución de la variable "número de piezas correctas en el lote". b) La probabilidad de que en un lote haya dos o más piezas correctas.

3) Si se empaquetan en lotes de 50, ¿cuál es la probabilidad de que haya por lo me-nos una pieza correcta?.

4) Si se empaquetan en lotes de 500, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 235 piezas correctas?.

EJERCICIO 148 En la realización de test psicotécnicos para optar a un puesto de trabajo, se sabe que la calificación aleatoria de los mismos varía entre 0 y 1.000 puntos. a) Se considera no rechazable una persona, si su calificación es superior a 900 pun-

tos. ¿cuál es la probabilidad de que una persona sea aceptada? b) Si a dichas pruebas se presentan 10 personas, determinar:

1) La distribución de probabilidad de la variable "número de personas aceptadas en la misma".

2) La probabilidad de que haya 3 o más personas que continúen en las pruebas.


38

c) Si se presentan 50 personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una persona continúe en las pruebas?.

d) Si se presentan 10.000 personas, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 985 personas que continúen en las pruebas?.

EJERCICIO 149 La longitud aleatoria de una pieza se distribuye con función de densidad:

)3)(1(4

3)( xxxf −−= para 31 ≤≤ x

Si se considera que una pieza es correcta, cuando su longitud está comprendida entre 2 y 3, ¿cuál es la probabilidad de que la pieza sea correcta?.

Si se empaquetan dichas piezas en paquetes de cinco unidades, establecer: 1) La distribución de la variable aleatoria "número de piezas defectuosas en el lote". 2) ¿Cuál es la probabilidad de que en un lote hay dos o más piezas defectuosas? 3) Si el lote fuera de 5.000 piezas. ¿cuál sería la probabilidad de que haya más de

2.575 piezas defectuosas?. EJERCICIO 150 La demanda de un producto oscila entre 20 y 40 unidades. Determinar la probabilidad de que, en un periodo de 182 días, el número de unidades demandadas supere las 6.370 unidades, supuesta la independencia de la demanda de cada día respecto a la de los restantes. EJERCICIO 151 El volumen de ventas aleatorio de una empresa, expresado en miles de euros, se halla comprendido diariamente entre 96,5 y 103,5. Determinar la probabilidad de que, a lo largo de un periodo de 100 días, el volumen de ventas supere la cifra de 10.005, su-puesto que el volumen de ventas de cada día sea independiente de los restantes. EJERCICIO 152 Dada una población representada por la variable aleatoria ξ con distribución de proba-bilidad:

:ix 1 2 3

9

3:ip

9

1

9

5

elaborar la distribución de probabilidad de la media y la varianza muestral, supuestas m.a.s. de tamaño n = 2.


39

EJERCICIO 153 Si X, muestra aleatoria simple de tamaño n, representa la información acerca de un fe-nómeno aleatorio representado por la variableξ , obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria muestra, X, en el supuesto que el comportamiento en probabili-dad de la variable aleatoria ξ resulte explicado por: el modelo BINOMIAL el modelo POISSON el modelo UNIFORME el modelo NORMAL EJERCICIO 154 Si X, muestra aleatoria simple de tamaño "n", representa la información obtenida acer-ca de un fenómeno aleatorio representado por la variable aleatoria ξ , de cuyo compor-

tamiento en probabilidad se sabe que:

µξ =)(E y 2)( σξ =V

determinar el valor probable y la varianza del estadístico t(X) en el supuesto que el es-tadístico t(X) resulte ser:

( ) i

i

t X x= ∑ , total muestral

( ) i

i

xt X

n= ∑ , media muestral

EJERCICIO 155 Si X, muestra aleatoria simple de tamaño "n", representa la información obtenida acer-ca de un fenómeno aleatorio representado por la variable aleatoria ξ , tal que en cada realización sólo puede concretarse en dos sucesos mutuamente excluyentes represen-tados por los números "1" y "0", determinar el valor probable y la varianza del estadísti-

co n

rXt =)( , proporción de sucesos representados el número "1" en la muestra.

EJERCICIO 156 Si X e Y - muestras aleatorias simples de tamaños "n" y "m" respectivamente-, repre-sentan la información obtenida acerca de dos fenómenos aleatorios representados por

las variables 1ξ y 2ξ respectivamente, de cuyo comportamiento en probabilidad se sa-

be que:

11)( µξ =E 111)( σξ =V

22 )( µξ =E 222 )( σξ =V

determinar el valor probable y la varianza del estadístico yx aayxt −=),( , diferencia de

medias muestrales.


40

EJERCICIO 157 Si X, muestra aleatoria simple de tamaño n, representa la información acerca de un fe-

nómeno aleatorio representado por la variable ξ , obtener la distribución de probabili-

dad del estadístico xaxt =)( , media muestral, en el supuesto de que el comportamiento

en probabilidad de la variable aleatoria ξ resulte explicado por:

el modelo BINOMIAL el modelo POISSON el modelo NORMAL EJERCICIO 158 Si X e Y - muestras aleatorias simples de tamaños "n" y "m" respectivamente- , repre-sentan la información obtenida acerca de dos fenómenos aleatorios representados por

las variables 1ξ y 2ξ respectivamente, obtener la función de probabilidad del estadístico

( , ) x yt X Y a a= − , diferencias de medias muestrales, en el supuesto en que el compor-

tamiento en probabilidad de las variables aleatorias 1ξ y 2ξ resulten explicadas por el

modelo NORMAL. EJERCICIO 159

De una población normal de varianza 2σ , se extraen dos muestras de tamaño n. Hallar cual debe ser el tamaño de ambas muestras para que la probabilidad de que las me-dias muestrales difieran en mas de dos veces la desviación típica poblacional sea, aproximadamente, del 5 %.

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