Estadistica Empresarial Guia 2015

Departamento de Matemtica y Mtodos Cuantitativos

ESTADSTICA

EMPRESARIAL I

2015

Gua de trabajos prcticos


2

Trabajo Prctico 1 ESTADSTICA DESCRIPTIVA

1) Para las siguientes situaciones identifique la o las variables estudiadas, indicando tipo de variable, valores posibles

(dominio), unidades, individuo, si se trata de una muestra o de la poblacin y el tamao.

a) Un profesor de Matemtica contabiliza la cantidad de alumnos que aprobaron la materia por curso, en cada

uno de los 7 cursos que dict en el ltimo cuatrimestre. Los cursos poseen a lo sumo 50 alumnos.

b) Se miden los consumos mensuales efectuados con tarjeta de crdito por 100 personas.

c) En una encuesta poltica se indaga a 500 individuos sobre el candidato al que votaran en las prximas elecciones. Adems se registra el gnero y el nivel socioeconmico de los encuestados.

d) Una empresa decide lanzar al mercado una nueva gaseosa diet, pero previamente decide determinar el nivel de

aceptacin del nuevo producto. Con tal fin, un grupo de 50 panelistas efectan una degustacin del nuevo

producto y luego completan la siguiente encuesta:

1- Otorgue un puntaje de 0 a 10 al sabor de la gaseosa que prob

2- Con qu frecuencia comprara la gaseosa en caso de que se lance al mercado?

No la comprara nunca

La comprara ocasionalmente

La comprara frecuentemente

Respuestas:

a) Cantidad de alumnos que aprobaron la materia en cada curso. Cuantitativa Discreta. [Alumnos].

Individuo=Curso (n=N=7)

b) Consumos mensuales de tarjeta de crdito por persona. Cuantitativa Continua. $/persona. Individuo=Persona

Muestra. (n=100)

c) 1. Candidato que va a votar. Cualitativa Nominal. Individuo=Encuestado. Muestra (n=500).

2. Gnero. Cualitativa Nominal. Individuo=Encuestado. Muestra (n=500). 3. Nivel Socioeconmico. Cualitativa Ordinal. Individuo=Encuestado. Muestra (n=500).

d) 1. Nivel de agrado con el sabor. Cualitativa ordinal. Individuo=panelista. Muestra (n=50).

2. Intencin de compra. Cualitativa Ordinal. Individuo=panelista. Muestra (n=50).

2) Se ha relevado la edad de un grupo de 15 lectores de una revista infantil.

8-9-7-8-9-10-12-11-8-9-7-6-8-9-9

Calcular la media, mediana, moda y dispersin de la variable.

Respuestas: Me=9 aos; Mo=9 aos; Media=8.66 aos S=1.54 aos

3) La Consultora RH de recursos humanos se halla analizando el nmero de despidos que efectu la empresa SAX srl en

los ltimos doce meses y recopil los siguientes datos

18-15-14-23-20-18-17-18-16-20-18-15

a) Calcular el promedio de despidos, el desvo y la mediana. b) Analizar si los datos son homogneos.

Respuestas: a) Me = 18 despidos; media =17.67 despidos; S =2.53 despidos b) Si.

4) En 30 comercios del mismo ramo, se averigu el total de unidades vendidas del producto P durante la ltima semana,

obtenindoselas siguientes cantidades:

6 6 4 5 9 7 6 8 3 4 5 5 7 4 9 8 8 5 6 9 9 8 8 7 6 6 6 7 5 3


3

Nro. de personas Puesto Salario (en $) 1 Propietario/ presidente 225.000 1 Vice Presidente 75000 2 Ceo 50000 1 Asesor legal y contable 28500 3 Directores 25000 4 Gerentes 18500 1 Supervisores 15000 12 Obreros 10000

a) Definir la poblacin y el tamao de la muestra.

b) Definir la variable en estudio, el tipo y campo de variacin o dominio.

c) Ordenar los datos mediante una tabla de frecuencias.

d) Elegir la quinta fila de la tabla y analizar el significado de cada una de las frecuencias y expresarlo en

lenguaje coloquial.

e) Representar grficamente los datos

Respuestas: a) Todos los comercios; n = 30 b) Total de unidades vendidas. Variable cuantitativa, discreta.

e) Grfica de bastones.

5) Esta tabla muestra el salario anual promedio que recibe cada puesto de trabajo en una empresa y cuntas personas

reciben el mismo de acuerdo a su categora. Calcule el promedio. Es representativo? Lo reemplazara por otro

estadstico? Cul? Justifique sus respuestas.

Respuestas: $28500; No (CV 151%); Me= $15000, Mo= $10000

6) Se efectu una encuesta en una localidad y se registr la cantidad de aparatos de TV por hogar. Para ello se eligieron

200 hogares al azar. En base a los resultados obtenidos complete el informe.

La variable en estudio es .. y es de tipo ... porque .. Estos datos consisten en una .. (muestra/poblacin) porque .. El promedio vale y significa . El coeficiente de variacin vale y significa . . Se observa que el % de los hogares tiene TV, y de los que poseen algn aparato, el % tiene 3 o ms.

Respuesta: La variable en estudio es cantidad de aparatos de tv por hogar y es de tipo cuantitativa discreta porque no admite valores intermedios entre dos valores especficos. Estos datos consisten en una muestra (muestra/poblacin) porque no

incluye a todos los hogares de la poblacin El promedio vale 2.14 televisores y significa que por hogar hay en promedio 2,14 televisores

El coeficiente de variacin vale 44% y significa que el promedio no es representativo del conjunto de datos (el desvo estndar es

el 44% de la media). Se observa que el 96 % de los hogares tiene TV, y de los que poseen algn aparato, el 33,85 % tiene 3 o ms.

7) a) Dibuje dos histogramas que posean la misma forma y centro, pero que el primero posea mayor desvo estndar que

el segundo.

b) En una Universidad se tienen 2 cursos A y B. En ambos se efectu un examen a fin de evaluar el nivel de

conocimiento previo de los alumnos en determinada materia. Segn los histogramas disponibles, usted dira

1- en el curso A hay mayor cantidad de alumnos con menos conocimiento

Cantidad de televisores Cant.de hogares 0 8 1 37 2 90 3 49 4 16


4

A B

2- el puntaje ms comn es menor en el curso B

3- la frecuencia relativa de los puntajes ms altos es mayor en el curso A

4- en la curso A los alumnos estn en promedio ms preparados

5- ninguna de las anteriores

45 45

40 40

35 35

30 30

25 25

20 20

15 15

10 10

5 5

0 0

c) Para las siguientes distribuciones de frecuencias:

1- Sin efectuar clculos, ordnelas en orden creciente segn su media, mediana, modo y desvo estndar.

Clasifquelas segn su asimetra.

2- Repita el ejercicio anterior, pero calculando los estadsticos.

Respuestas:

b) 1) Si; 2) No; 3) No; 4) No

c) 1) segn su media E-ABC-D-F, mediana E-ABC-D-F, modo E-AB-F-D y desvo estndar FA-B-DE-C. Segn su asimetra

s/s/s/-/+/s.

8) Se midieron los tiempos de espera, en minutos, de algunos clientes en el Banco Ro, sucursal Pompeya (donde hay

tres cajas pero todos los clientes forman una sola fila) y en el Banco Galicia (donde los clientes esperan en filas

individuales en tres cajas):

Banco Ro 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.7 7.7 7.7 Banco Galicia 4.2 5.4 5.8 6.2 6.7 7.7 7.7 8.5 9.3 10.0

Calcule los estadsticos de tendencia central y de dispersin y compare. De cul Banco preferira ser cliente en

funcin a esta informacin?


5

Banco Ro Banco Galicia

Promedio 7.15 minutos 7.15 minutos Varianza 0.2272222 minutos 3.318333 minutos Desvo 0.47667832 minutos 1.821629 minutos

CV 6.666829% 25.47733% Mediana 7.2 minutos 7.2 minutos

Mo 7.7 minutos 7.7 minutos

Respuestas:

9) Los siguientes valores se refiere al peso de 30 saquitos de t en grs.

1,50 1,35 0,91 1,09 1,25 1,17 1,03 0,99 1,20 1,11

1,35 1,10 1,05 1,00 1,30 0,98 1,28 1,02 1,19 1,15

1,14 1,08 0,99 0,92 0,95 1,20 1,07 0,93 1,07 1,19

a) Identificar y definir la variable en estudio

b) Ordenar los datos y construir la tabla de frecuencias (amplitud 0,10)

c) Representar grficamente las frecuencias absolutas y las frecuencias acumuladas relativas. Determinar

grficamente el modo.

d) Qu tipo de asimetra tiene esta distribucin? Justifique.

e) Es homognea la variable en estudio? Justifique.

Respuestas: a) peso en grs, cuantitativa continua c) histograma y ojiva d) asimetra positiva

10) En una boletera del subte se ha registrado la cantidad de viajes adquiridos por los ltimos 8 clientes obtenindose:

5 - 1 - 10 - 5 - 3 - 1 - 5 - 2

a) Calcular modo, mediana y promedio.

b) Calcular variancia, desvo estndar y coeficiente de variacin.

c) Qu porcentaje de los clientes adquiri:

1) como mnimo 3 viajes?

2) ms de 5 viajes? 3) como mximo 2 viajes?

4) menos de 2 viajes?

Respuestas: a) Modo =5 viajes Mediana = 4 viajes Promedio = 4 viajes b) Variancia = 8,86 viajes Desv. St.= 2,976 viajes CV=74,4% c.1) 62,5% c.2) 12,5% c.3) 37,5% c.4) 25%

11) Los siguientes datos corresponden a la cantidad de menores de edad que integran el grupo familiar en una muestra de

40 familias:

Menores 0 1 2 3 4 5 6 8 Familias 1 4 9 8 7 6 4 1

a) Calcular modo y mediana.

b) Calcular el promedio de menores por familia. Es representativo? Por qu?

c) En qu porcentaje de las familias hay:

1) 3 menores de edad?

2) entre 1 y 4 menores de edad?

3) a lo sumo 2 menores de edad?

4) al menos 5 menores de edad?

Respuestas: a) Modo = 2 menores Mediana = 3 menores


6

b) Promedio = 3,4 menores (No es representativo porque CV = 51,51%) c.1) 20% c.2) 70% c.3) 35% c.4) 27,5%

12) En la siguiente tabla se muestra la distribucin del peso en gramos de una partida de 200 paquetes de pastillas:

Peso en gramos Cantidad de paquetes

30 32 28 32 34 36 34 36 43 36 38 51 38 40 27 40 42 11 42 44 4

a) Calcular modo y mediana.

b) Determinar si los datos anteriores son homogneos.

c) Cul es el peso no superado por el 20% de los paquetes?

d) Cul es el peso slo superado por el 10% de los paquetes?

e) Qu porcentaje de los paquetes pesa:

1) hasta 40 gramos?

2) por lo menos 34 gramos?

3) como mximo 38,15 gramos? 4) como mnimo 33,50 gramos?

Respuestas: a) Modo = 36,50 grs Mediana = 35,674 grs b) Si. C. V. = 8,45% c) 32,6667 gramos d) 39,6296 gramos e.1) 92,5% e.2) 68% e.3) 80% e.4) 72,5%

13) A Leopoldo le piden que calcule la tasa global de fecundidad promedio en ciudad de Buenos Aires - provincia de

Buenos Aires. Basndose en la siguiente informacin obtuvo un valor de 2,15 hijos por mujer. Est de acuerdo con

dicho valor? Justifique su respuesta.

Provincia

Total de

habitantes

Tasa global de fecundidad

(hijos por mujer) Ciudad de Buenos Aires

Buenos Aires 2.776.138

13.827.203 1.8

2.5 Fuente: INDEC, Censo Nacional de Poblacin, Hogares y Viviendas 2001

Respuestas: 2.38 hijos por mujer (Promedio Ponderado)

14) Se desea evaluar cunto tiempo tarda un atleta en realizar una prueba en los juegos olmpicos. Se sabe por

olimpadas anteriores que la duracin de la misma prueba para un grupo de 50 individuos fue la siguiente:

X (minutos) Atletas 10-15 8 15-20 21 20-25 10 25-30 7 30-35 4

a) Los datos son homogneos? Justificarla respuesta. Indicar el tipo de asimetra.

b) Cunto tiempo tarda el competidor ms rpido del 15% de los competidores ms lentos?

c) Sabemos que hay 10 medallas para ser entregadas a los competidores ms veloces, indicar cul ser el tiempo

mximo que deber tardar un competidor parta recibir una de ellas.

Respuestas:

a) Media = 20.3 minutos Desvo = 5.8169 minutos CV = 28.65% b) 27.5 minutos c) 15.48 minutos


7

15) Una empresa dedicada al transporte de mercadera fue consultada acerca de los kilmetros recorridos por sus

camiones y proporcion la siguiente informacin:

kilmetros recorridos cantidad de camiones

600 - 800 6 800 - 1000 8

1000 - 1200 5 1200 - 1400 3 1400 - 1600 2 1600 - 1800 1

a) Determinar el promedio y desvo de kilmetros recorridos. Podra concluirse que la media aritmtica es

representativa?

b) Cul es el porcentaje de camiones que recorren ms de 1200 km?

c) Cul es la cantidad de kilmetros recorridos superado por el 10 % de los camiones? Interpretar. d)

Cuntos camiones recorren a lo sumo 1080 km?

e) Cul es la cantidad de kilmetros no superado por el 40 % de los camiones?

Respuestas: a) 1020 km ; 277,13 km. . No b) 24% c) 1450 km. d) 16 camiones e) 900 km.

16) Una entidad bancaria decide aumentar el monto mnimo de sus imposiciones a plazo fijo. La siguiente tabla expone

los montos de depsitos correspondientes al mes anterior.

Monto de las inversiones en $

2000-4000 4000-6000 6000-8000 8000-10000 10000-12000

Cantidad de inversores

7 11 13 7 4

La poltica de la entidad financiera es actualizar el monto mnimo mensualmente, en funcin de las operaciones

registradas en el mes anterior, llevndolo al monto que desprecie el 25% de los plazos fijos menores del mes

anterior. Por otra parte, existe la posibilidad de pagar un punto adicional a aquellos cinco clientes que hayan

efectuado las operaciones de mayor importe.

Determine:

a) El nuevo monto mnimo.

b) El valor del certificado a partir del cual se podra pagar un punto adicional de inters en caso de que la

operacin sea renovada a su vencimiento.

c) La homogeneidad de la distribucin.

d) El valor del certificado a partir del cual se encuentran el 50% de los montos invertidos.

e) El monto invertido con mayor habitualidad.

f) El monto invertido que es superado por el 36% de los inversores.

g) La asimetra de la distribucin.

Respuestas: a) $ 4636.36 b) $ 9714.29 c) Distribucin heterognea d) $ 6461.54 e) $6500 f) $ 7366.15

g) Prcticamente simtrica


8

M

Ejemplo 1

Algunos ejemplos

Los siguientes datos corresponden a la distribucin de frecuencias del peso de caramelos (en gramos):

Peso de los caramelos 2,35-3,45 3,45-4,55 4,55-5,65 5,65-6,75 6,75-7,85 Cantidad de caramelos 5 14 25 10 6

a) Definir la variable

b) Construir la tabla de frecuencias

c) Calcular el peso medio y la variancia d) Calcular el modo y la mediana

e) Grafique las frecuencias absolutas simples y las frecuencias acumuladas

f) Veamos las diversas formas de preguntar acerca del clculo de un fractil:

Cul es el peso superado por el 70% de los caramelos?

Cul es el peso no superado por el 30% de los caramelos?

Cul es el peso mximo del 30% de los caramelos?

Cul es el peso mnimo del 70% de los caramelos?

Resolucin

a) La variable es: Peso de los caramelos; se trata de una variable cuantitativa continua

b)

Intervalos Marca de

Clase Frecuencias

absolutas Frecuencias

relativas Frecuencias

acumuladas 2,35-3,45 3,45-4,55

4,55-5,65

5,65-6,75

6,75-7,85

2,9 4

5,1

6,2

7,3

5 14

25

10

6

0,083 0,233

0,416

0,166

0,100

5 19

44

54

60 Totales 60 1

c) x = (2,9*5 + 4*14 + 5,1*25 + 6,2*10 + 7,3*6)/60 = 5,0633 gramos

(2,9*5 + 4*14 + 5,1*25 + 6,2*10 + 7,3*6) - 60(5,0633)

s = = 1.3936 gramos 59

d) o

4 ,55 11

11 15

1 . 1 5 ,015 gramos .

M e 4 ,55

60 19 2

44 19

1,1 5 ,034 gramos

e)


11

f) P 0 . 3

3 . 45 60 0 . 3 5

1 . 1 14

4 . 47 gramos

g) F (4.7) 19 4.7 4.55

* 25 22.41 22caramelos 1.1

Porcentaje de caramelos: 22/60*100=36.67%

Ejemplo 2

En una prueba de aptitudes realizada a los postulantes para un puesto en una importante empresa se observaron los siguientes puntajes, donde 1 representa aquellos que han obtenido un excelente desempeo y 4 un muy mal

desempeo:

Xi fi Fi fri Fri 1 2

3

4

10 20

30

40

10 30

60

100

0.1 0.2

0.3

0.4

0.10 0.30

0.60

1.00

a) Indicar las medidas de tendencia central y la varianza

b) Graficar la distribucin de los datos.

En este caso los clculos son ms fciles, debido a que la informacin no est presentada por intervalos como en el ejemplo

anterior.

Me = 3 Mo = 4 x = 3 s = 1.01

Obsrvese que el modo se puede calcular directamente a partir del grfico:

50 45 40 35 30 25

fi 20 15 10 5 0

0 1 2 3 4 5

X

Recuerde que en el eje de las y queda representada la frecuencia simple, que en este caso es: cantidad de postulantes

y en el eje de las x, la variable en estudio, que en este caso es: puntaje obtenido.


12

Trabajo Prctico 2 PROBABILIDADES

1) Sea el experimento que consiste en tirar un dado equilibrado y ver qu nmero sale en la cara superior.

a) Esquematizar el espacio muestral

b) Calcular la probabilidad de:

I) obtener un cuatro.

II) obtener un nmero par.

III) obtener un mltiplo de 3.

Respuestas: a) { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } b) 0,166 ; 0,5 ; 0,33

2) En una empresa trabajan 80 personas. 30 son mujeres y 45 personas residen en zona Norte. Adems hay 13

personas que son mujeres y residen en la zona Norte. Calcular la probabilidad de que si se selecciona una persona al

azar:

a) sea mujer o viva en la zona Norte

b) si vive en la zona Norte que sea varn.

Respuestas: a) 0,775 b) 0,71

3) Para promocionar una nueva vacuna contra la hepatitis B, un laboratorio realiza una encuesta entre 40 mujeres

de ms de 40 aos y 50 hombres de la misma edad, que se haban vacunado con la vacuna de laboratorio.

Encontraron que entre los hombres vacunados el 2% haba contrado la enfermedad, mientras que entre las mujeres

vacunadas solo 16 haban contrado la enfermedad. Se elige una persona al azar que est vacunada, cul es la

probabilidad:

a) De que se trate de un hombre enfermo.

b) Que sea mujer o est enferma.

c) Si est enferma, que sea mujer.

d) Demostrar si los sucesos son estadsticamente independientes.

e) Si se toman dos personas al azar, cul es la probabilidad de que sean del mismo sexo.

Respuestas: a) 0,0111 b) 0,455 c) 0,941 d) No e) 0,5006

4) En una zona rural el 3 % de los habitantes contrae una enfermedad, que se detecta con un anlisis el cual da

positivo en el 90% de las personas enfermas y en el 8% de las sanas. Si se le practica el anlisis a una persona, cul

es la probabilidad de que:

a) est enfermo y el anlisis sea positivo

b) est sano o el anlisis le haya dado negativo

c) resulte positivo cuando est enferma realmente

d) que est enferma o que el resultado sea negativo

Respuestas: a) 0,027 b) 0,973 c) 0,9 d) 0,9224

5) El 70 % de las amas de casa de una ciudad realizan sus compras en supermercados y el 15% en almacenes. Hay

un 3 % que compra en supermercados y almacenes.

a) Cul es la probabilidad de encontrar un ama de casa que compre slo en supermercados?

b) Al elegir un ama de casa que compra en supermercados, cul es la probabilidad de que compre tambin

en almacenes?

c) Cul es la probabilidad de encontrar un ama de casa que no compre en ninguno de los dos lugares?


13

Respuestas: a) 0,67 b) 0,043 c) 0,18

6) Dados dos sucesos aleatorios incompatibles A y B determinar la P (B) sabiendo que la P ( A) = 0,52 y que la

probabilidad de que no se presente ninguno de los dos es 0,17. Justificar claramente la respuesta.

Respuestas: 0.31.

7) Dados dos sucesos aleatorios compatibles A y B determinar la P (No A) sabiendo que la P (No B/ NoA) = 0,48

y que la probabilidad de que se presente alguno de los dos es 0,75. Justificar claramente la respuesta.

Respuestas: 0.5208

8) Sabiendo que C, D y E son sucesos exhaustivos y que la probabilidad de C es el triple que la de D y esta a su vez

en el doble de la probabilidad de E. Calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos.

Respuestas: 2/3; 2/9; 1/9

9) Sabiendo que los sucesos A y B son independientes y que: P(A)=h, P (A U B)=0,6 y que la P(B)=0.2. Se pide

calcular el valor de h.

Respuesta: 0.5

10) A un grupo de 300 personas que padecan una enfermedad viral que todava no tena un tratamiento especfico,

se le suministraron tres tipos de vacunas y se analiz la inmunizacin a dicho virus:

Vacuna I Vacuna II Vacuna III Totales

Inmuniz 30 70 50 150

No inmuniz 60 70 20 150

Totales 90 140 70 300

a) Qu porcentaje de los individuos no fueron inmunizados con la vacuna II?

b) De los individuos no inmunizados Qu porcentaje fue vacunado con la II?

c) Cul de las tres vacunas fue ms efectiva?

d) Si se seleccionan tres individuos vacunados al azar cul es la probabilidad de que dos de ellos inmunicen

y el restante no?

Respuestas: a) 23.33% b) 46.67% c) La vacuna III d) 0.3763

11) El 60% de los individuos que concurren a una universidad estudia carreras correspondientes a la facultad de

ciencias econmicas. De estos el 70% trabaja en reas relacionadas con la administracin. Adems, se sabe que el

75% de los individuos estudia ciencias econmicas o se desempea en el rea de la administracin. Si se selecciona

un individuo al azar:

a) Cul es la probabilidad de que no estudie una carrera de la facultad de econmicas y trabaje en el rea de

administracin?

b) De los individuos que trabajan en el rea de administracin, qu porcentaje decidi estudiar una carrera

de la facultad de ciencias econmicas?

Respuestas: a) 0.15 b) 73,68%

12) De una bolsa que contiene caramelos frutales de distintos sabores, un nio retira dos caramelos. Sabiendo que en

la bolsa haba 9 caramelos de naranja, 12 de anan y 4 de frambuesa, calcular la probabilidad de que los caramelos

extrados:

a) Sean uno de anan y el otro de frambuesa.

b) Sean los dos del mismo sabor.

c) Al menos uno de los dos tenga sabor a naranja.


14

Respuestas: a) 0,16 b) 0,36 c) 0,60

13) Tomando como base los datos del ejercicio dos, suponga que se tiene otra bolsa a la que llamaremos B2, con 10

caramelos de naranja, 8 de anan y 6 de frambuesa. El nio sacar ahora 1 caramelo de la primera bolsa y sin mirarlo

lo pasar a la segunda y luego extraer un caramelo de B2 y lo pasar a la primera bolsa:

a) Cul es la probabilidad de que luego de las dos extracciones las bolsas no haya modificado su contenido?

b) Si se sabe que la caja no ha modificado su contenido, Cul es la probabilidad de que haya pasado un

caramelo de sabor anan de la primera a la segunda bolsa?

Respuestas: a) 0.376 b) 0.4596

14) Si ahora el nio cuenta con dos bolsas una con 6 alfajores de chocolate blanco y 8 de chocolate negro y la otra

con 7 alfajores de frutas y 5 de chocolate negro. Por una confusin las bolsas, que se encuentran cerradas, no han

quedado identificadas. El nio elije una bolsa al azar y extrae de ella un alfajor para merendar,

a) cul es la probabilidad de que el alfajor extrado sea de chocolate negro?

b) Si el alfajor extrado result ser de chocolate negro, cul es la probabilidad de que la bolsa seleccionada

contenga tambin alfajores de chocolate blanco?

Respuestas: a) 0.494 b) 0.5784

15) Los siguientes datos pertenecen a una muestra de 80 familias de cierta poblacin, estos muestran la escolaridad

de los padres y la de sus hijos.

Hijos

Fue a la Universidad No fue a la Universidad.

Padres Fue a la Universidad 18 7

No fue a la Universidad. 22 33

a) Cul es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad, si el padre asisti?

b) Cul es la probabilidad de que el hijo vaya a la universidad si su padre no lo hizo?

c) Es estadsticamente independiente la asistencia del hijo a la universidad del hecho de que el padre fuera o

no universitario? Explique la respuesta empleando argumentos probabilsticos.

d) Si se seleccionan 3 padres al azar, cul es la probabilidad de que hayan sido universitarios?

Respuestas: a) 0.72 b) 0.4 c) No d) 0.028

16) Se conoce por estudios recientes que la probabilidad de aprobar Estadstica I en UADE es de 0.7. Si se

seleccionan al azar 4, cul es la probabilidad de que 2 de ellos aprueben Estadstica I y los restantes no

Respuestas: 0.2646

17) A y B se baten a duelo. En cada disparo, la probabilidad de acierto para A es 0,2 y para B 0,3. Dispara primero A

y si no acierta, se arroja una moneda; si sale cara dispara de nuevo A, de lo contrario dispara B. Si despus de esto

viven an A y B, tiene B un ltimo disparo. Calcular las probabilidades de que gane A, gane B y ambos salgan

ilesos.

Respuestas: 0,28; 0,3; 0,42.

18) Un fabricante de videograbadoras (RCV) compra un cierto microchip, a tres proveedores. Un 30 % de los

microcircuitos se compran a Electronic S:A ,un 20 % a Crown y el resto a Componentes CC. El fabricante tiene

historiales extensos de los tres proveedores y sabe que el 3 % de los microchip de Electronic son defectuosos en

tanto que los de Crown tienen un 5 % de defectuosos y un 4 % de los de Componentes CC son defectuosos. Cuando

los microcircuitos llegan al fabricante los coloca en un depsito, y no son inspeccionados o identificados de algn

modo por el proveedor. Calcular la probabilidad de que:


15

a) haya sido fabricado por Crown y sea defectuoso.

b) sea defectuoso

c) siendo defectuoso, corresponda a la partida enviada por Componentes CC.

d) si se extraen dos microcircuitos al azar, ambos sean del mismo proveedor.

Respuestas: a) 0.01 b) 0.039 c) 0.5125 d) 0.38

19) En una universidad el 20% de los profesores son titulares y el resto son adjuntos. El 70% de los titulares tiene

dedicacin exclusiva, mientras que solamente el 15% de los adjuntos la tiene. Calcular:

a) Qu porcentaje de los profesores no tiene dedicacin exclusiva?

b) Si se elige un profesor al azar, cul es la probabilidad de que sea titular o tenga dedicacin exclusiva?

c) Qu porcentaje de los profesores sin dedicacin exclusiva son adjuntos?

Respuestas: a) 74% b) 0,32 c) 91,89%

20) Supongamos que una empresa manufacturera recibe embarques de partes de 2 proveedores distintos.

Actualmente el 65 % de las partes que compra la empresa provienen del proveedor que llamaremos A y el resto del

proveedor B. La calidad de las partes vara segn su origen. Los niveles histricos de la calidad de los proveedores

indican que la probabilidad de que una parte sea considerada mala dado que proviene del proveedor A es del 2 %,

mientras que si proviene del proveedor B es del 5 %.

a) Determine la probabilidad de que la parte sea buena y provenga de A.

b) Calcule la probabilidad de que una parte sea mala.

c) Si la parte es considerada mala cul es la probabilidad de que provenga del proveedor B?

Respuestas: a) 0.637 b) 0.0305 c) 0.5737

21) El personal del Bco. Argentino atiende distintos tipos de consultas, de las cuales una parte corresponde a

autorizaciones de giros en descubierto. Se observa que slo 30% de los clientes aceptan las condiciones del banco: el

35 % a la tasa normal y el resto a una tasa mayor. La mitad de los clientes que no aceptan indica que la tasa ofrecida

es mayor a la normal.

a) Calcular la probabilidad de que si se recibe una consulta, sta corresponda a operaciones en descubierto a

tasa mayor.

b) Si la ltima consulta sobre descubierto se ofreci a tasa mayor, cual es la probabilidad de que el cliente la

acepte?


22) Una caja tiene bolas y cubos, con el siguiente detalle:

8 bolas rojas, 2 bolas blancas, 10 cubos rojos, 6 cubos blancos

Si se extrae un objeto al azar:

a) Cul es la probabilidad de que sea algo rojo? b) Cul es la probabilidad de que sea una bola? c) Cul es la probabilidad de que sea un cubo o algo blanco? d) Cul es la probabilidad de que sea un cubo rojo? e) Cul es la probabilidad de que sea una bola, sabiendo que es algo rojo? f) Cul es la probabilidad de que sea blanco, sabiendo que es un cubo? g) El evento extraer un cubo y el evento extraer algo rojo, son independientes?


16

Respuestas: a) 0,6923 b) 0,3846 c) 0,6923 d) 0,3846 e) 0,4444 f) 0,375 g) No

23) Sean dos sucesos A y B tales que P (B)=0,40 y P (A) es el doble que la P (B)

a) Si A y B son independientes, calcular P(AUB) b) Si A y B no son independientes y P(A/B)=0,60 , calcular P(AUB)


24) Dados dos sucesos A y B tales que P (AUB)=0,70, P (A)=0,40 y P (B/A)=0,125. Calcular P (B)

Respuestas: 0,35


17

Algunos ejemplos

Ejemplo 1

Sea el experimento que consiste en tirar un dado equilibrado y ver que nmero sale en la cara superior.

a) Esquematice el espacio muestral

b) Calcular la probabilidad de:

i) obtener un cuatro.

ii) obtener un nmero par.

iii) obtener un mltiplo de 3.

Resolucin

En primer lugar conviene identificar el espacio muestral (S), que en ste caso est determinado por todos los

resultados posibles que se pueden obtener al arrojar un dado. Puede salir cualquier nmero del 1 al 6:

S = {1,2,3,4,5,6}

y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de los resultados (suponiendo que el dado no est cargado) es 1/6 que es

el resultado de dividir el nmero de resultados favorables (1) sobre el nmero de resultados posibles (6). Entonces:

i) la probabilidad de obtener un cuatro es por lo tanto 1/6

ii) la probabilidad de obtener un nmero par ser el nmero de resultados favorables (los nmeros pares en el dado

son: 2,4 y 6), dividido el nmero de resultados posibles (6). Resulta: 3/6.

iii) los mltiplos de 3 en un dado son dos: 3 y 6, entonces la probabilidad pedida en este tem es 2/6.

Ejemplo 2

Los siguientes datos pertenecen a 50 comercios de la zona sur de Buenos Aires divididos en 3 categoras y

clasificados segn tengan o no deudas impositivas:

IMPUESTOS CATEGORIAS

A B C

Al da

En mora

7 6 12

9 8 8

Si se elige un comercio al azar cul es la probabilidad de que:

a) est en mora?

b) pertenezca a la categora A o B?

c) pertenezca a la categora C o est en mora?

d) Suponga que ahora se eligen 3 comercios al azar. Cul es la probabilidad de que todos estn al da con

los impuestos?

a) 5.050

25)( MoraP

b) En este caso los eventos son mutuamente excluyentes porque si el comercio pertenece a la categora A no puede

pertenecer simultneamente a la B.

6.050

30

50

14

50

16)()()( BPAPBAP

c) En este caso los eventos no son excluyentes, porque un individuo puede pertenecer a la categora c y estar en mora

simultneamente.

74.050

37

50

8

50

25

50

20)()()()( MoraCPMoraPCPMoraCP


18

d) En este caso las probabilidades que debemos calcular estn condicionadas entre s debido a que, una vez que

seleccionamos un comercio queda fuera de nuestras posibles observaciones (sin reposicin)

)/(*)/(*)()( 213121321 AlDaAlDaAlDaPAlDaAlDaPAlDaPAlDaAlDaAlDaP

= 1173.048

23*

49

24*

50

25

Ejemplo 3

Para los siguientes datos: P(A/B)=0.2; P(No A U B) = P(A U No B) = 0.7. Se pide:

a) Indicar si A y B son o no sucesos estadsticamente independientes. Justificar la respuesta.

b) Calcular la P(A U B).

c) Calcular la P (No B / A)

Respuestas: a) No son independientes b) 0.675 c) 0.8

Si sabemos que:

P(A/B)=0.2; P (No A U B) = P(A U No B) = 0.7

Podemos inferir que

P (No A/B)=0.8; P(A y No B) = P (No A y B) = 0.3

Por otra parte si:

P (No A/B) = P ( No A y B) / P (B)

0.8 = 0.3 / P (B)

Y despejando obtenemos: P (B) = 0.375

Si ubicamos esta informacin en un diagrama de Venn tendremos:

Ejercicio Integrador:

Introduccin: En la Argentina, al igual que en los pases ms desarrollados, las enfermedades no transmisibles (enf.

cardiovasculares, cncer y lesiones) (ENT) ya han conquistado el primer lugar como causantes de dolencias y de

muerte. Producen en forma casi silenciosa el 50% de todas las muertes y se ha proyectado que para el 2020, las ENT

explicarn el 75% de todas las muertes en el mundo. A pesar de este escenario poco alentador, las ENT son

prevenibles y se cuenta con evidencia consistente sobre la efectividad de intervenciones tanto de promocin,

prevencin y tratamiento, que justifican llevar a cabo acciones de poltica pblica. Para poder realizar estas

intervenciones se necesita disponer de informacin relevante relacionada con las principales causas de las ENT. Los

principales determinantes de las ENT son los llamados Factores de Riesgo, como el tabaco, el alcohol, la inactividad

fsica, la presin arterial elevada, el colesterol elevado, la diabetes y la alimentacin no saludable. Es por ello que el


19

Ministerio de Salud de la Nacin realiz la primera Encuesta de Factores de Riesgo, que presenta la situacin de los

principales determinantes del riesgo de enfermedades no transmisibles.

Aspectos metodolgicos: La encuesta fue domiciliaria. Los resultados que se presentan corresponden la ciudad de

Buenos Aires, en donde se encuestaron un total de 2000 habitantes de 18 aos y ms. Para ello se efectu un

muestreo probabilstico de viviendas y de cada una se seleccion al azar un individuo, que complet el cuestionario.

Resultados:

Encuesta Nacional de Factores de Riesgo. Ciudad Autnoma de Buenos Aires

Tabla 1: Consumo de tabaco segn sexo

Sexo

Consumo de tabaco

Total Total

encuestados Fumador Ex-fumador Nunca

fumador

Varn 34,0 23,5 42,5 100 45,2%

Mujer 30,1 21,9 48,0 100 54,8%

100,0%

Tabla 2: Consumo de tabaco segn edad

Edad

Consumo de tabaco

Total Total


fumador

18 a 25 37,3% 5,9% 56,8% 100% 14,9%

25 a 35 34,3% 18,5% 47,2% 100% 20,9%

35 a 50 34,0% 23,9% 42,1% 100% 23,4%

50 a 65 23,6% 36,6% 39,8% 100% 22,0%

65 a 85 8,1% 30,7% 61,2% 100% 18,8%

100,0%

Tabla 3: Consumo de tabaco segn ingreso

Ingreso

Consumo de tabaco

Total Total


fumador

0 a 600 $ 26,9% 20,3% 52,8% 100% 16,1%

600 a 1500 $ 34,4% 21,9% 43,8% 100% 41,2%

1500 y ms 28,5% 25,6% 46,0% 100% 42,7%

100,0%

Tabla 4: Consumo de tabaco segn nivel de instruccin

Instruccin

Consumo de tabaco

Total Total


fumador

Hasta primario

incompleto 21,8% 30,4% 47,8% 100% 4,0%

Hasta secundario

incompleto 35,3% 23,3% 41,4% 100% 27,7%

Secundario

completo y ms 31,1% 22,2% 46,8% 100% 68,3%

100,0%

Tabla 5. No fumadores expuestos al humo ambiental de

tabaco

Lugar de exposicin al

humo


20

Hogar 41,0%

Trabajo 50,4%

Lugar de estudio 15,0%

Otros lugares 23,0%

Evaluacin: Debe contestar los siguientes tems, siguiendo las siguientes pautas:

Estadsticos: Exprese el resultado con sus unidades (en caso de que posea)

Porcentajes o probabilidades: Exprese el resultado utilizando la notacin adecuada. Por ej: P(AyB) donde A y B se adaptarn a cada enunciado

1- Identifique para la Encuesta Nacional de Factores de Riesgo los siguientes tems: poblacin, muestra, individuo, al menos 5 variables estudiadas y su clasificacin

2- Determine si la edad de los fumadores es homognea, fundamentando su respuesta. 3- Interprete el valor 47.8% de la Tabla 4. 4- Construya la tabla de doble entrada (en porcentajes) para consumo de tabaco x ingresos. Identifique en dicha

tabla dos sucesos compatibles y dos incompatibles, justificando su eleccin.

5- En base a la Tabla 4 determine el porcentaje de individuos fumadores. 6- En base a la tabla 2 calcule la Gr% de 65 para el total de encuestados e interprete el resultado. 7- Calcule la edad promedio de los encuestados y su desvo estndar. Interprete ambos resultados. 8- Si se eligen al azar dos habitantes de la Ciudad de Buenos Aires mayores de 18 aos, cul es la probabilidad de

que solo uno tenga secundario completo o ms?

9- Es independiente el consumo de tabaco de la edad del individuo? Justifique exponiendo datos de la encuesta. 10- Qu porcentaje de los individuos no fumadores estn expuestos a humo ambiental de tabaco en el hogar o en

otros lugares que no sean el trabajo o el lugar de estudio? Y qu porcentaje no est expuesto en el lugar de

estudio? Indique qu grafico utilizara para presentar los resultados de la Tabla 5.

11- Calcule el percentil 80 de los ingresos para el total de los encuestados e interprete el resultado. Qu grfico utilizara para representar los ingresos?

12- Comente los resultados de la encuesta en la ciudad de Buenos Aires (media carilla). Sobre qu grupos enfocara una eventual campaa contra el tabaquismo?


21

Trabajo Prctico 3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variables aleatorias discretas

1) El nmero de errores por hora que comete un administrativo en cierto trabajo es una variable aleatoria que tiene la

siguiente distribucin

Cantidad de errores: 0 1 2 3

P (r) 0,4 0,3 0,2 0,1

a) Calcule el nmero medio de errores

b) Determine la probabilidad de que se cometa como mnimo un error.

Respuestas: a) E ( r ) = 1error b) 0,6

2) Un experimento consiste en tirar dos dados y anotar las sumas de las caras superiores:

a) Construir la distribucin de probabilidad de la variable suma de las caras de los dos dados b) calcular la probabilidad de que la suma sea:

I) 4

II) seis o doce

III) superior a 5

IV) a lo sumo 4

V) ms de 3

Respuestas: b) 0,083; 0,16; 0,722; 0,16; 0,916

3) Jos Muoz vende automviles en la agencia Ford Norte. Generalmente negocia el mayor nmero de autos los

das sbados. Ha establecido la siguiente distribucin de probabilidad para los autos que vende para un sbado en

particular

Nmero de autos vendidos 0 1 2 3 4

P (r) 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

a) En un sbado cualquiera cuntos espera vender?

b) Cul es la variabilidad absoluta y la relativa de la distribucin? Qu significa esta ltima?

Respuestas: a) 2,1 b) 1,136 CV = 0.54

4) La demanda de un producto, por parte de Industrias Martn, vara mucho de mes a mes. La demanda en miles de

unidades y su distribucin de probabilidad basadas en los datos de los dos ltimos aos es la siguiente:

Demanda de unidades : 300 400 500 600

P (x) : 0,2 0,3 0,35 0,15

a) Si la empresa basa sus pedidos en el valor esperado de la demanda mensual, cul debe ser la cantidad

pedida por Martn para este producto.

b) Suponga que cada unidad demandada genera ingresos de $ 70 y que cada unidad pedida cuesta $50.

Cunto debe ganar o perder la empresa en un mes si coloca un pedido basado en su respuesta anterior y la

demanda real es de 300 unidades.

Respuestas: a) 445 unidades b) Perdera $ 1250.

5) Una empresa tiene dos empleados, A y B, que faltan aleatoriamente el 10 y 8% de la veces, respectivamente. Se

sabe que: si concurre A se procesan 50 facturas por da, si concurre slo B se procesan 25 facturas por da, si

concurren ambos slo el empleado A se encarga del procesamiento de facturas.

a) Construir la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria: cantidad de facturas procesadas por da b) Cul es el promedio de facturacin diario? Considera que la variable presenta una baja fluctuacin.


22

Justifique estadsticamente su respuesta.

Respuestas: a) P (0)=0,008; P (25)=0,092; P (50)=0,9; b) 47,3 facturas, Si

6) Se van a extraer dos bolillas de una caja que contiene 3 bolillas numeradas (del 3 al 5). Construir la distribucin de

probabilidad de la variable: suma de los nmeros de las dos bolillas y calcular la media y la varianza, considerando las extracciones con y sin reposicin.

Respuestas:

Con reposicin: P (6)=P (10)=1/9; P (7)=P (9)=2/9; P (8)=1/3. Promedio: 8; Varianza: 1,3333

Sin reposicin: P (7)=P (8)=P (9)=1/3; Promedio: 8; Varianza: 0,6667

7) Se desea hacer una encuesta de mercado para estudiar cul ser la repercusin de un producto que ser lanzado

en los prximos das. Se conoce por estudios anteriores que el porcentaje de aceptacin sobre productos similares es

del 60%. Si se toma una muestra de 20 personas:

a) Cul es la probabilidad que exactamente diez personas compren el producto?

b) Cul es la probabilidad de que a lo sumo 12 personas compren el producto?

c) Cul es la probabilidad de que ms de 9 personas no lo adquieran?

d) Cuntas personas se espera que no compren el producto?

Respuestas: a) 0,11714 b) 0.58411 c) 0,24466 d) 8

8) Se sabe por experiencias anteriores, que el 30% de los alumnos universitarios, trabaja ms de 4 horas por da. Si

seleccionamos al azar 10 alumnos universitarios, Cul es la probabilidad de hallar:

a) 4 alumnos que trabajan ms d 4 horas.

b) Ms de 2 alumnos que trabajen ms de 4 horas.

c) A lo sumo 8 alumnos trabajen ms de 4 horas.

Respuestas: a) 0.2001 b) 0.6172 c) 0.9999

9) En un bingo del conurbano resulta ganador del premio mayor un promedio de un jugador cada 2,5 horas. En un

lapso de 6 horas cul es la probabilidad de que el premio mayor salga 3 veces por lo menos?

Respuestas: 0,43029

10) Por una esquina de la Capital Federal transitan en promedio 15 autos por minuto. Se desea calcular la

probabilidad de que

a) En u minuto pasen exactamente 11 autos

b) En un minuto pasen ms de 12 autos.

c) Durante 30 segundos pasen 7 automviles.

Respuestas: a) 0,06629 b) 0.73239 c) 0.14648

11) Un gerente financiero sabe que el 20% de los cheques rechazados son habitualmente irrecuperables. En el ltimo

mes ha recibido 9 cheques que han sido rechazados.

a) Cul es la probabilidad que ms de la mitad de los mismos sean irrecuperables? b) Cul es la probabilidad de recuperar al menos la tercera parte de los mismos? c) Cul es la probabilidad de recuperar alguno de estos cheques?

Respuestas: a) 0,019581 b) 0,99968 c) 0,99999


23

12) En una central telefnica se reciben en promedio 5 llamadas por minuto.

a) Definir la variable aleatoria, identificar su distribucin y parmetros.

b) Cul es la probabilidad de que en 2 minutos se reciban ms de 8 llamadas?

c) Cuntas llamadas en promedio se reciben en 4 horas?

Respuestas: b) 0.66718 c) 1200 llamadas.

13) Entre los numerosos postulantes que se presentaron para cubrir un puesto administrativo en una importante

empresa se preseleccionaron catorce, de los cuales solamente cinco pueden acreditar experiencia previa en tareas

similares, y el director de Recursos Humanos de la empresa decidi elegir por sorteo los siete postulantes

preseleccionados que entrevistar en primer trmino. Calcular la probabilidad de que en el grupo as elegido, haya:

a) Exactamente 3 postulantes con experiencia previa.

b) A lo sumo 2 postulantes con experiencia previa.

c) Como mnimo 4 postulantes con experiencia previa.

d) Cuntos postulantes sin experiencia previa se esperara encontrar en un grupo de tres postulantes?

Respuestas: a) 0,36713 b) 0,50 c) 0,13287

d) 1,93 postulantes sin experiencia previa (aprox. 2)

14) En la seccin Contadura de la empresa A, donde trabajan 8 empleados casados y 12 empleados solteros, el jefe elige al azar un equipo de empleados para hacer horas extras el prximo sbado.

a) Para las siguientes preguntas definir la variable de estudio, identificar la distribucin y sus parmetros.

b) Si dicho equipo estuviera integrado por 4 empleados, cul sera la probabilidad de que ms de la mitad de

los mismos fueran casados?

c) Si dicho equipo estuviera integrado por 9 empleados, cul sera la probabilidad de que menos de la

tercera parte de los mismos fueran solteros?

Respuestas: b) 0,15315 c) 0,00322

15) Para realizar el control de recepcin de una pieza el comprador decide tomar una muestra de 5 unidades de la

caja recibida y si encuentra mas de 1 de segunda calidad rechazar la misma. Se cree que el proveedor ha incorporado

en cada caja que entrega 2 unidades de segunda calidad sobre un total de 16 unidades. Cul es la probabilidad de

que el comprador acepte la caja?

Respuesta: 0.91667

16) En una agencia de publicidad trabajan 25 publicistas, de los cuales 8 provienen de la agencia RR advise SA Si se elige al azar un grupo de 6 publicistas,

a) Cul es la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellos provengan de la mencionada agencia? b) Cul es la probabilidad de que ms de 3 de ellos provengan de dicha agencia? c) Cuntos publicistas provenientes de la agencia en cuestin espera ud que estn presentes en una muestra de 10

publicistas elegidos al azar? Con qu desvo?

Respuestas: a) 0.72569 b) 0,059289 c) 3,2 y 1,1662

17) Suponga que la probabilidad de que un vendedor ambulante logre realizar alguna venta con la modalidad puerta

a puerta, es de 0,15. Si una maana ofrece su producto en 18 casas:

a) Cul es la probabilidad de que logre realizar por lo menos una venta?

b) Cul es la probabilidad de que logre entre 4 y 8 ventas?

c) Qu tipo de asimetra tiene la distribucin de la variable nmero de ventas para este problema?


24

Respuestas: a) 0.94635 b) 0.27925 c) Asimetra Positiva.

18) El nmero de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos de un hospital en cualquier da, posee una

distribucin de probabilidad de Poisson, con una media igual a 5 personas.

a) Cul es la probabilidad de que el nmero de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos en

un da particular sea igual a 2?

b) Y a lo sumo 2?

c) Cuntas personas se espera que entren durante 15 das?

Repuestas: a) 0,08422 b) 0,12465 c) 75 personas

19) Al comenzar las clases, en un curso de 80 alumnos en el que hay 24 recursantes, el profesor selecciona al azar 10

alumnos para contestar un cuestionario a fin de evaluar los conocimientos previos que tienen acerca de la materia.

Calcular la probabilidad de que en el grupo de alumnos seleccionados haya:

a) Entre 2 y 5 recursantes.

b) Por lo menos 8 alumnos que cursan por primera vez la materia.

c) Algn recursante.

Respuestas: a) 0,833 b) 0,3701 c) 0,9718

20) Un auditor contable conoce por propia experiencia que el 90% de las pruebas de auditora que rene son vlidas

para redactar su informe final.

Actualmente est trabajando en una empresa donde ha reunido 15 pruebas de auditora.

a) Cul es la probabilidad de que a lo sumo 10 de estas pruebas sean vlidas? b) Cul es la probabilidad de que menos de 8 pruebas no sean vlidas? c) Cul es la probabilidad de que entre 7 y 12 pruebas sean vlidas?

Respuestas: a) 0,0127 b) 0,99996 c) 0,1841

21) La cajera de cierto supermercado atiende a una tasa de 3 personas cada 5 minutos en promedio.

a) Cul es la probabilidad de que en los prximos 15 minutos logre atender a mas de 12 personas? b) Cul es la probabilidad de que en la prxima media hora atienda a lo sumo a 20 personas? c) Cul es la probabilidad de que en los prximos 3 minutos no atienda a nadie?

Respuestas: a) 0,1242 b) 0, 7307 c) 0,1653

22) Un comerciante afirma que el 40% de las ventas que realiza, las hace a plazos superiores a los 3 meses.

De las prximas 10 ventas que realice,

a) Cul es la probabilidad de que al menos 6 de ellas las realice a mas de 3 meses?

b) Cul es la probabilidad de que menos de la tercera parte de las ventas no sea realizada en plazos superiores a los

3 meses? c) Cuntas ventas espera que se realicen por plazos superiores a los 3 meses? Con qu desvo?

Respuestas: a) 0,1662 b) 0,0547 c) 4 y 1,55

23) En la seccin tele marketing de cierta empresa hay 40 empleados, de los cuales 15 son bilinges. Se seleccionar

a 5 empleados en forma aleatoria para un comit de recepcin de las nuevas autoridades para Latinoamrica,

a) Cul es la probabilidad de que todos sean bilinges? b) Cul es la probabilidad de que ms de la mitad sean bilinges? c) Cul es la probabilidad de que a lo sumo 2 no sean bilinges?

Respuestas: a) 0,00456 b) 0,2639 c) 0,2639


25

24) Un mdico atiende a sus pacientes a un ritmo de 1 cada 15 minutos en promedio.

a) Cul es la probabilidad de que en la prxima hora atienda algn paciente? b) Cul es la probabilidad de que en los prximos 30 minutos atienda a 2 personas?

Respuestas: a) 0,9817 b) 0,2707

25) En una reunin de directorio de una ONG hay 15 personas, de las cuales 4 son ambientalistas y el resto no. Si se

elige al azar un comit compuesto por 6 miembros de este directorio,

a) Cul es la probabilidad de que ms de la mitad sean ambientalistas? b) Cul es la probabilidad de que a lo sumo 3 de sus miembros no sea ambientalista?

Respuestas: a) 0,0109 b) 0,1429

26) La mquina expendedora de boletos de cierto colectivo entrega el boleto en un promedio de 6 segundos.

a) Cul es la probabilidad de que entregue ms de 5 boletos en los prximos 15 segundos? b) Cul es la probabilidad de que no entregue ningn boleto en los prximos 30 segundos? c) En una hora, cuntos boletos esperara que la maquina entregue?

Respuestas: a) 0,042 b) 0,0067 c)10

27) A una panadera llegan entre las 8 y 8:30 am en promedio 6 personas por minuto.

a) Cul es la probabilidad de que en un lapso de 3 minutos lleguen ms de 20 personas? b) Cul es la probabilidad de que en 30 segundos no llegue nadie? c) Cul es la probabilidad de que en un lapso de 90 segundos lleguen a lo sumo 10 personas?

Respuestas: a) 0,2693 b) 0,0498 c) 0,70598

28) En un depsito de televisores hay un stock de 60 aparatos, de los cuales la tercera parte son de tipo LCD. Si se

eligen al azar 15 aparatos,

a) Cul es la probabilidad de que por lo menos las dos terceras partes sean de tipo LCD? b) Cul es la probabilidad de que menos de la mitad no sean de tipo LCD?

Respuestas: a) 0,00259 b) 0,05884

29) Un gerente de produccin controla peridicamente un material clave del proceso de manufactura del nico

producto de la empresa. Sabe por experiencia que el 30% de los controles son positivos en el sentido de que detectan

fallas.

Si en esta semana realizar 7 controles,

a) Cul es la probabilidad de que ms de la mitad de ellos resulte positivo? b) Cul es la probabilidad de que a lo sumo 2 resulten negativos? c) Cul es la probabilidad de que ms de 4 resulten positivos?

Respuestas: a) 0,12604 b) 0,02879 c) 0,0288


26

Trabajo Prctico 4 DISTRIBUCIN NORMAL

1) El volumen contenido en una lata de gaseosa es una variable aleatoria normal con media igual 354 cm3 y desvo

de 8 cm3.

a) Cul es la probabilidad de que los volmenes sean inferiores a 340 cm3?

b) Cul es la probabilidad de que se ubiquen entre 350 y 360 cm3?

c) Cul es el volumen mximo del 10% de las latas con menos contenido?

Respuestas: a) 0,0401 b) 0,4649 c) 343,76

2) Sabiendo que la recaudacin diaria de cierto comercio minorista se distribuye normalmente con un monto

promedio de $830 y un desvo estndar de $125:

a) Cul es la probabilidad de que maana se recaude menos de $885?

b) Cul es la probabilidad de que maana se recaude ms de $600?

c) En qu porcentaje de los das se recauda entre $700 y $800?

d) En qu porcentaje de los das se recauda entre $900 y $1500?

e) Cul es el monto no superado en el 20% de los das?

f) Cul es el monto slo superado en el 30% de los das?

Respuestas: a) 0,67003 b) 0,96712 c) 25,60%

d) 28,774% e) $724,75 f) $895,50

3) Los pesos de los paquetes de harina se distribuyen normalmente con una media de 950 gramos y un desvo

estndar de 47 gramos:

a) Cul es la probabilidad de que un paquete elegido al azar pese menos de 800 gramos?

b) Cul es el peso superado por el 10% de los paquetes?

c) Si de una muestra de 5 paquetes alguno pesa menos de 900 gramos se le aplica una multa al productor de

harina. Cul sera la probabilidad de dicho evento?

Respuestas: a) 0.00071 b) 1010gramos c) 0.5296

4) Las estaturas de un grupo de individuos de entre 18 y 20 aos se distribuyen normalmente con una media de 1,68

metros. Se sabe que el 95% mide menos de 1,78 metros.

a) Calcular el desvo estndar.

b) Cul es la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida ms de 1,8 metros?

c) Cul es la estatura mxima del 10% de los individuos ms bajos?

Respuestas: a) 0.061 b) 0.02442 c) 1,6 metros.

5) El tiempo que tarda un operario en realizar una tarea, tiene distribucin normal con promedio de 20 minutos y

desvo de 4 minutos. El departamento tcnico informa que el tiempo mximo tolerado para dicha tarea es de 25

minutos, para evitar retrasos en todo el proceso; todo operario que exceda de ese tiempo debe hacer un curso de

capacitacin

a) Qu porcentaje de operarios debera concurrir al curso?

b) El departamento de administracin informa que por razones de presupuesto no se puede enviar al curso a

ms del 5% del total de operarios de la empresa. Qu empleados debern tomar el curso?

Respuestas: a) 0.10565 b) 26 min 35 seg


27

6) En una empresa automotriz se ha determinado que el consumo de combustible promedio es de 18.5 litros para 150

km. en camino de tierra, con un desvo de 1.8 litros. El consumo de combustible se encuentra normalmente

distribuido.

a) Cul es la probabilidad de que un vehculo tenga un consumo entre 15.15 y 22.42 litros en los 150 km?

b) Cul es el consumo no superado por el 95% de los vehculos?

c) Si se sabe que el consumo de combustible fue mayor a los 17.5 litros, cual es la probabilidad de que

haya superado a la media?

d) Si se sabe que el consumo de combustible fue inferior a los 19 litros Cul es la probabilidad de que de

ms de 18.3 litros?

Respuestas: a) 0.95393 c) 0.702

b) 21.45 litros d) 0.2525

7) Una mquina dosificadora de caf llena bolsas que deben contener en promedio 250grs con un desvo estndar de

20grs.cuando trabaja en condiciones normales. Suponga que los pesos de las bolsas de caf tienen distribucin

Normal.

a) Cul es la probabilidad de que al sacar una bolsa al azar esta pese menos de 244,36 grs. o ms de

255.64 grs.?

b) Cul es el peso superado por el 5% de las bolsas

Respuestas: a) 0.7795 b) 282,9 grs.

8) Una mquina llenadora de latas de cerveza, dosifica volmenes normalmente distribuidos con un promedio de 750

ml y un desvo de 50 ml.

a) Cul es la probabilidad de que una lata cualquiera quede con un contenido de al menos 800 ml?

b) Las latas con menos de 650 ml son desechadas para la venta. Qu porcentaje de latas ser desechado?

c) El 10% de las latas con mayor contenido se regalan al personal de fbrica. Cul es el contenido mnimo

que deben tener para encontrarse en dicha situacin?

Respuestas: a) 0,15866 b) 0,02275 c) 814,1

9) El contenido de bolsas de cemento tiene distribucin normal y se sabe que el 10% de las bolsas tiene un peso

mnimo de 65kgs, mientras que el 10 % de las bolsas tiene un peso mximo de 55 kgs.

a) Determine el peso promedio y el desvo estndar

b) Cul es la probabilidad de que una bolsa pese ms de 65 kgs?

c) Qu porcentaje de las bolsas pesan ms que la mediana?

Respuestas: a) promedio 60, desvo estndar 3.9 b) 0,10 c) 0,50

10) En un hospital de una gran ciudad se registra el peso de todos los bebes nacidos en l. La distribucin de los

pesos es aproximadamente normal, con un valor de

= 2.9 kilogramos y un = 0.45 kilogramos. Se desea conocer:

a) El porcentaje de bebes que pesan menos de 2,1 kgs.

b) El porcentaje de bebes que pesan entre 1,8 y 4 kgs.

c) A partir de que peso se encuentra el 5% de los bebes de mayor peso?

d) Si para el prximo ao se se proyectan un total de 15000 nacimientos, cuntos bebs se espera que

pesen menos de 3,5 kgs?

Respuestas: a) 3.75% b) 98.53% c) 3.64 d) 13624 bebs

11) Los consumos mensuales de gas natural en cierta empresa gastronmica tienen distribucin normal con un

promedio de 7000 m3 mensuales y se observ adicionalmente que en el 20% de los meses el consumo fue inferior a

los 6158 m3


28

a) Cul es el consumo mensual superado slo en el 10% de los meses?

b) Qu porcentaje de los meses donde el consumo sea de a lo sumo 7800m3, se observar un consumo

superior a la mediana?

Respuestas: a) 8282 b) 0,3656

12) La duracin del embarazo en humanos, medido desde la concepcin hasta el parto, es una variable que sigue una

distribucin normal de media 266 das y desvo de 16 das segn estadsticas de una investigacin realizada para la

sociedad argentina de medicina.

a) Qu probabilidad hay de que un embarazo dure entre 240 y 270 das (entre 8 y 9 meses)?

b) Cul es el tiempo superado slo por el 30% de los embarazos?

Respuestas: a) 0,54663 b) 274,39

13) Las ventas mensuales de un producto tienen distribucin normal. Se sabe que el 15% de los meses se venden

menos de 1.500 unidades, mientras que el 7% de los meses las ventas superan las 1800 unidades.

a) Definir la variable aleatoria e identificar sus parmetros.

b) Cul es la probabilidad de que las ventas mensuales sean de 1600 unidades?

c) Cul es la venta garantizada el 90% de los meses?

Respuestas: a) 1624 y 119 unidades b) 0 c) 1471 unidades

14) Se ha comprobado que el tiempo que requiere un alumno para completar un examen tipo Multiple Choice se

distribuye normalmente con promedio 43 minutos y desvo estndar igual a 16 minutos:

a) Qu porcentaje de los alumnos que tardan como mnimo media hora para completar dicho examen, lo

terminan en menos de una hora?

b) Si el examen se toma a un grupo de 6 alumnos, cul es la probabilidad de que a lo sumo la tercera parte

del grupo necesite ms de 50 minutos para completarlo?

c) Sabiendo que el tiempo requerido para completar otro examen del mismo tipo, al que denominaremos

Examen B, tambin tiene distribucin normal con promedio igual a 37 minutos y que solamente el 10% de los alumnos logra terminarlo en menos de 25 minutos, qu porcentaje de los alumnos tarda ms de

media hora para completar el Examen B?

Respuestas: a) 81,81% b) 0,69 c) 77%

15) Por lo general, las notas finales estn distribuidas de manera aproximadamente normal con media igual a 72 y

desviacin estndar de 12.5. Un profesor afirma que el 8% superior de un grupo recibir como nota MB (muy bien);

el siguiente 20% B (bien); el siguiente 42% recibir M (mediano); el siguiente 18% S (suficiente); y el 12%

inferior recibir I ( insuficiente). Qu nota debe excederse para obtener:

a) MB?

b) M?

c) Aprobar el curso (se necesita al menos S)?

Respuestas: a) 89.56 puntos b) 65.45 puntos c) 57.3 puntos

16) El examen GMAT (Graduate Management Admission Test) es un test habitual que se toma a los graduados que

aspiran a ingresar a un curso de Posgrado o a una Maestra (por ej un MBA). Segn experiencias en varias casas de

altos estudios de Europa y los Estados Unidos se ha establecido que el puntaje obtenido como resultado de este test

es una variable aproximadamente normal con un promedio de 527 y un desvo de 112.


29

a) Si para ingresar a determinado programa MBA se requiere un puntaje de al menos 500, cul es la

probabilidad de que un postulante logre ingresar?

b) En ese mismo programa se otorgar una beca del 50% al 5% mejor evaluado en este examen. Qu

puntaje entonces debera un postulante obtener para acceder a dicho beneficio?

Respuestas: a) 0,59525 b) 711,24


30

Algunos ejemplos Ejemplo 1

El peso de las bolsas de granos de caf que recibe una empaquetadora es una variable aleatoria distribuida

normalmente, para el distribuidor A con una media de 1000 gramos y un desvo de 15 gramos, y para el distribuidor

B una media de 1005 gramos y un desvo 5 gramos. Se sabe que en depsito hay un 45% de bolsas del distribuidor

B.

a) Si se selecciona una bolsa al azar, Cul es la probabilidad de que pese menos de 990 gramos?

b) Si la bolsa seleccionada pesa ms de 990 gramos, cul es la probabilidad de que pertenezca al

distribuidor A?

Resolucin

x: peso de las bolsas de caf. Posee distribucin normal

550

15

1000

.)(

AP

gramos

gramos

A

A

450

5

1005

.)(

BP

gramos

gramos

B

B

a) Al seleccionar una bolsa, el hecho de que pese menos de 990 gramos, lo que a partir de aqu llamaremos suceso,

no nos informa acerca de la procedencia de la misma, es por ese motivo que para la resolucin de este punto

debemos utilizar el teorema de la probabilidad total:

P (Suceso) = P ( (A y Suceso) o P (B y Suceso))=

=P (A). P (Suceso/A) + P (B) . P (Suceso/B)=

= 0.55 . 0.25143 + 0.45 . 0. 00135 =0.138894

Donde, las probabilidades de los sucesos se obtienen de aplicar la probabilidad acumulada a la izquierda de 990,

teniendo en cuenta las caractersticas correspondientes a cada una de las mquinas ( media y desvo). Esto es:

P (Suceso/MA)=F(990)=F(Z=-0.67)=0.25143

P (Suceso/MB)= F(990)=F(Z= -3 )=0.00135

b) En este caso el suceso es que la bolsa seleccionada pesa ms de 990 gramos (a diferencia del punto anterior

debemos tomar las probabilidades acumuladas por la derecha del dicho valor) y nos interesa saber cul es la

probabilidad de que la bolsa provenga del distribuidor A, es decir estamos en presencia del Teorema de Bayes.

P (A/Suceso)= P(A y Suceso) / P(Suceso) =

= P (A). P (Suceso/A)

=

P (B). P (Suceso/B) + P (A). P (Suceso/A)

= 0.55 . 0.74857

= 0.47812

0.45 . 0.99865 + 0.45 . 0.74857


31

Sugerencias

Podes consultar en Internet la siguiente pgina con programas interactivos para reforzar el tema.

*Normal Approximation to the Binomial Distribution Muestra el clculo de la probabilidad binomial a partir de una normal. Da como resultados el valor exacto y el

arrojado por la aproximacin. Se solicita n, p y los valores de r para los cuales se desea calcular la probabilidad

*Probabilidades en la distribucin normal: http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/handleNormal.html

Muestra para distintos valores de Z el rea bajo la curva con solo mover el Mouse. Tambin se puede trabajar

directamente con los valores de una normal general


32

TRABAJO PRCTICO 5 SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS

TEOREMA CENTRAL DEL LMITE

Nota: Para los ejercicios que siguen a continuacin asuma que las variables involucradas en los mismos son

estadsticamente independientes entre s.

1) Los pesos de los paquetes de harina se distribuyen normalmente con una media de 950 gramos y un desvo

estndar de 47 gramos. Para ser distribuidos dichos paquetes se colocan en lotes de 20 paquetes en un packaging de

plstico cuyo peso no se tiene en cuenta.

a) Cul es la probabilidad de que un packaging elegido al azar pese ms de 19640 gramos?

b) Cul es el peso total no superado por el 10% de los envoltorios?

c) Si ahora se piensa que los paquetes de harina sufrirn menos roturas si se los coloca en una caja de

cartn corrugado cuyo peso puede ser considerado constante e igual a 200 gramos cul es el peso total que

no ser superado con probabilidad del 10 %?

Respuestas: a) 0.0012 b) 18730.62grs. c) 18930.62grs.

2) La venta diaria de golosinas en un kiosco es una variable aleatoria de la cual se desconoce su distribucin y se

sabe que su media es de 130 unidades y su desvo de 40 unidades. Determine:

a) Cul es la probabilidad de que la venta anual (365 das) sea inferior a las 45000 unidades?

b) Cul es la venta no superada el 5% de los bimestres (60das)?

Respuestas: a) 0.00066 b) 7290 unidades

3) En una empresa que cuenta con una dotacin de 30 obreros se sabe que el promedio salarial mensual es de $ 700

con un desvo estndar de $60. Si dentro de ese grupo de empleados se puede considerar que las retribuciones se

distribuyen normalmente,

a) Cul es la probabilidad de que un empleado gane ms de $ 750?

b) Determinar el valor del salario superado por el 30 % de los empleados.

c) Cul es la probabilidad de que el importe total que la empresa abone en un mes en concepto de salarios a

sus obreros sea superior a $ 21.500?

d) Qu concepto estadstico utilizo para contestar la pregunta c)?

Respuestas: a) 0.20327 b) 731.44$ c) 0.0643

4) En una empresa se ha asignado al departamento de costos una hora y 55 minutos diarias para la utilizacin del

Sistema de Procesamiento de datos. Cada tarea que debe procesar el departamento requiere un tiempo de proceso

distribuido normalmente con una media de 3 minutos. Se sabe que slo el 1% de las tareas tarda ms de 4,2 minutos

para ser procesadas. Si en un da determinado el departamento de costos debe procesar 40 tareas, cul es la

probabilidad de que el tiempo asignado sea suficiente?

Respuesta: 0.06301

5) El consumo mensual de gaseosas en un local de comidas rpidas es una variable distribuida normalmente con una

media de 750 litros y un desvo de 25 litros y se calcula que el ingreso por cada litro de gaseosa es de $5.

a) Determinar el ingreso mensual promedio del rubro gaseosas y el desvo estndar

b) Cul es el ingreso mnimo en el 10% de los meses?

Respuestas: a) = 3750 $ = 125 $ b) 3910.2 $


33

6) En relacin al ejercicio anterior, suponga que ahora desea determinar cul debera ser el ingreso por litro. Para ello

se estipula que, la probabilidad de que el ingreso mensual del rubro gaseosas sea inferior a los $5500 valga un 10%.

Respuestas: a) Debera ser 7.66 $/litro

7) Si se supone que el tiempo requerido para terminar de resolver un examen final tiene una distribucin

aproximadamente normal, con una media de 80 minutos y un desvo estndar de 12 minutos, determinar:

a) Cunto tiempo debe durar un examen si se pretende que el 90% de las personas lo terminen?

b) Se sabe que en promedio se demora 18 minutos con un desvo de 3 minutos en ordenar a los alumnos y

un tiempo promedio de 15 minutos con un desvo de 1,5 minutos en repartir los temas. Suponiendo que

ambas variables se distribuyen de manera aproximadamente normal, Cul es la probabilidad de que el

tiempo total de una mesa examinadora desde que los profesores entran al aula, hasta que el alumno entrega

la hoja sea superior a 140 minutos?

Respuestas: a) 95min.23seg. b) 0.0154

8) En una empresa de mudanzas afirman, en base a su experiencia, que los servicios prestados en Capital demandan

un tiempo variable distribuido normalmente con una media de 5 horas y un desvo estndar de 50 minutos, mientras

que el promedio de canastos que alquilan por mudanza es 10 con un desvo de 2 (tambin posee una distribucin

normal). Cobran por el transporte 23$/hora, 10$ por cada pen y 3 $ por cada canasto alquilado. Cul es la

probabilidad de que el ingreso por los servicios del prximo sbado superen los $ 500 si efectan tres mudanzas en

Capital y en cada una deben disponer de 2 peones?

Respuesta: 0.44433

9) El costo de un producto que se procesa en forma automtica est formado por el costo de los materiales del envase

y el costo del contenido, tomndose como unidad el envase de presentacin.

Debido a ciertas fluctuaciones, dichos costos son variables aleatorias independientes que pueden considerarse

normalmente distribuidas:

- el costo de materiales (x) con media 180$/m2 y desvo estndar de 2$/m

2.

- el costo del contenido (y) con media 20$/gramo, y desvo estndar de 1,5 $/gramo.

Por otra parte se sabe que:

El envase posee 0.07 m2/unidad y que el contenido del mismo es 5 gramos/unidad

a) Cul es la probabilidad de que el costo del producto de una unidad terminada supere los $ 122?

b) Cul es la probabilidad de que el costo de un pack de 25 unidades supere los 2950$?

Respuesta: a) 0.11 b) 0.0002

10) El peso de las vacas sigue una distribucin normal con media de 800kg y desvo de 140kg. El peso de los toros

sigue una distribucin normal con media de 1200kg y desvo de 210kg. Se envan peridicamente embarques en

camiones que tienen una carga mxima de 15 tn. Si se sobrepasa dicho peso, el transporte rompe la suspensin. Por

razones de espacio se suelen enviar 10 vacas y 5 toros por embarque.

a) Cul es la probabilidad de romper la suspensin en un envo cualquiera?

b) En los prximos envos decide agregar 3 tambores de leche cuyo peso individual es constante e igual a

300 kg. Cul es la probabilidad de romper la suspensin ahora?

c) Si el precio de las vacas es 40$/kg y el de los toros es 25$/kg, Cul es la probabilidad de vender todo el

embarque por ms de medio milln de pesos?

Respuestas: a) 0.06057 b) 0.44038 c) 0.07927

11) En un programa de cocina de un canal de cable, la seccin comidas dulces tiene un tiempo mximo de duracin

de 17 minutos, fijado por la produccin del programa. La conductora de dicha seccin prepara habitualmente unos

platos y divide a su seccin en tres etapas cuyos tiempos de duracin se distribuyen de manera normal, segn se

detalla abajo.


34

Etapa Media Desvo

Presentacin del plato 2 min 24 seg

Preparacin del plato 13 min 2,6 min

Lectura de la receta y cierre 1 min 12 seg

a) Cul es la probabilidad de que la conductora no pueda terminar a tiempo su seccin?

b) Si el costo del minuto en el aire es de $300, Cul es la probabilidad de que esa seccin tenga un costo

superior a $5000?

c) La produccin levantar la seccin si en una muestra al azar de 10 programas sucede que en ms de la

mitad no puede terminarse la seccin. Cul es la probabilidad de que el programa sea levantado?

Respuestas: a) 0.35197 b) 0.40129 c) 0.0948

12) La lluvia cada mensualmente en una regin tiene distribucin normal con media de 30 milmetros y desvo de 10

milmetros.

a) Cul es la probabilidad de que la lluvia anual supere los 370 milmetros?

b) Cul es la lluvia superada el 15% de los aos?

Respuestas: a) 0.38591 b) 396 milmetros

13) La cantidad diaria de pantalones con defectos que salen de un taller de confeccin es una variable aleatoria con

distribucin asimtrica, con un promedio de 5 pantalones y un desvo estndar de 2 pantalones. Considerando un

periodo de 50 das laborales, determinar:

a) La probabilidad de que se produzcan a lo sumo 240 pantalones con defectos en ese lapso.

b) Cul ser la cantidad mxima de pantalones con defectos que se fabrican en ese periodo con

probabilidad de 0,4?

c) Qu herramienta estadstica utiliza para resolver este problema? Enunciar la misma.

Respuestas: a) 0 .23885 b) 246.42

14) El Gerente de produccin de una yerbatera considera que el peso de los paquetes es una variable aleatoria que se

distribuye normalmente. Sabe tambin que la probabilidad de que un paquete pese menos de 450 gr es de 0,30,

mientras que la probabilidad de que un paquete pese menos de 600 gr es de 0,85. Calcular:

a) cul es la probabilidad de que un paquete de yerba elegido al azar pese ms de 650 gr?

b) Los paquetes de yerba se venden en cajas que contienen 20 unidades. El peso de las cajas que contienen

los paquetes puede considerarse constante y es de 400 gr. Deben exportarse en contenedores que se sabe

que soportan una carga de 525 Kg Cul es la probabilidad de que en un solo contenedor pueda enviarse un

pedido de 50 cajas?

Respuestas: a) 0,05938 b) 0,93574


35

Algunos ejemplos

Ejemplo 1

Las bolsas de cal y de cemento tiene un peso normalmente distribuido con media: 25Kg y 50 Kg y desvo de 2,5 Kg

y 4 kg. respectivamente. Para su distribucin se cargan en un camin que puede transportar a lo sumo 10200 kg.

Si se cargan 100 bolsas de cemento y 200 de cal, calcule la probabilidad de superar el peso que puede transportar el

camin.

Resolucin

Llamaremos :

x: peso de las bolsas de cal

y: peso de las bolsas de cemento

Para responder la consigna debemos armar una nueva variable a la que denominaremos w.

w = Carga total que transporta el camin (Kilogramos)

Como la variable x y la variable y ambas tienen distribucin normal, la variable w que resulta de una suma de las

anteriores, tambin tiene distribucin normal.

1002120021 .......... yyyxxxw

1002120021 .......... yyyxxxw

.10005010025200 Kgsw

.385,53

285041005,2200 2222

Kgs

Kgsw

?)10200( wP

75.3385,53

1000010200

Z 00009.0)75.3(1)75.3( zPZP

Si el costo de la bolsa de cal es de 7,5$/kg y la de cemento 15$/kg y usted necesita comprar 10 bolsas de cal y 5 de

cemento, determine el promedio del costo total y su desvo estndar.

R: Costo total ( $)

5211021 ...............: ybybybxaxaxaR


36

5211021 ...............: ybybybxaxaxaR

5015.......50155015255,7........255,7255,7: R

5625$5501510255,7: R

625.21515$5415105,25,7: 222222 R

68.146$R

Ejemplo 2

Se esta estudiando la posibilidad de efectuar traslados de equipaje a travs de encomiendas, por parte del servicio de

ferrocarriles que circulan hacia varios puntos tursticos del pas, con el objetivo de optimizar los espacios para el

transporte de sus pasajeros. El peso del equipaje es una variable muy asimtrica con un valor promedio de 15 kilos y

un desvo de 8 kilos, la carga mxima que pueden enviar por encomienda es de 2000 kilos. Se desea saber cul es el

nmero mximo de cajas a transportar mediante este medio, para que la probabilidad de que se supere el lmite

tolerado sea a lo sumo del 1%.

Respuesta: Aproximadamente 119 valijas

Resolucin

Llamaremos:

x: peso del equipaje

El equipaje ser enviado por un ferrocarril que puede tolerar un peso mximo de 2000 kilos con una probabilidad del

1%, con lo cul deberemos construir una variable que nos de informacin acerca del peso del equipaje total:

W: peso total del equipaje (con n valijas) que transporta el ferrocarril

nxxxxxw ............

4321.

154321 ........ nnxxxxxw n

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 ............ 8nw x x x x x n n

8n

Si sabemos entonces que

( 2000) 0.01P w

32628

152000.

.

n

n

Para poder despejar entonces nuestra incgnita, que es la cantidad de valijas, debemos elevar ambos trminos de la

ecuacin al cuadrado.


37

2326228

2152000.

.

).(

n

n

y despejando obtenemos:

0222526.603464000000 nn

Finalmente resolviendo obtenemos el resultado que buscbamos que es 119.


38

Trabajo Prctico 6 NMEROS NDICES

1) Una empresa report $17.446 (millones) en prstamos comerciales en el ao 2000, $19.989 en el ao 2002,

$21.468 en el ao 2004, $21.685 en el ao 2005, $15.922 en el ao 2007 y $18.375 en el ao 2009. Utilizar 2000

como ao base y desarrollar un ndice simple para el cambio en el monto de prstamos comerciales para los aos

2002, 2004, 2005, 2007 y 2009. Interpretar dichos ndices en trminos del problema.

Respuestas: 114,6 123,1 124,3 91,3 105,3

2) Se presentan a continuacin las ventas netas de una empresa entre el 2001 y 2009.

a) Utilizar las ventas medias de los tres primeros aos para determinar una base y luego determinar el ndice

de 2004 y 2009

b) En qu porcentaje variaron las ventas desde el perodo base hasta el 2009?

Respuestas: a) 113,7 90,4 b) Cayeron 9,6%

3) A continuacin se detallan los precios de diferentes productos de una verdulera para agosto de 2005 y agosto de

2006. Adems se incluyen las cantidades compradas. Utilizar agosto de 2005 como base.

a) Determinar los ndices de precios simples

b) Determinar el ndice de precios agregado simple para los dos aos

c) Determinar el ndice de precios de Laspeyres

d) Determinar el ndice de precios de Paasche

Respuestas: a) 108,03 109,12 112,58 127,93 b) 113,1 c) 111,7 d) 112,2

4) Los precios y la cantidad de varios artculos producidos por una empresa se presentan a continuacin. Utilizar el

ao 2000 como base

Producto Precio Cantidad Precio Cantidad

Lechuga $ 2,49 6 $ 2,69 6

Papas $ 3,29 4 $ 3,59 5

Tomates $ 1,59 2 $ 1,79 3

Morrones $ 1,79 3 $ 2,29 4

Agosto de 2006Agosto de 2005


39

a) Determinar los ndices de precios simples

b) Determinar el ndice de precios agregado simple para los dos aos

c) Determinar el ndice de precios de Laspeyres

d) Determinar el ndice de precios de Paasche

Respuestas: a) 142,9 75 100 125 b) 111,8 c) 102,92 d) 103,325

5) La empresa Electronics Systems compra repuestos para mquinas robticas utilizadas en su proceso de

manufactura. A continuacin se detalla informacin del precio de las partes de repuesto y la cantidad comprada:

a) Calcular un ndice de precios simple para cada uno de los tres artculos, utilizando 2000 como periodo

base. Interpretar.

b) Calcular el ndice de precios de Laspeyres para 2006 con 2000 como periodo base.

Respuestas: a) 120 75 117,65 b) 106,87

6) A continuacin se listan las principales naciones productoras de acero, en millones de toneladas durante 2004.

a) Expresar la cantidad producida por China, la Comunidad Europea, Japn y Rusia como ndice, utilizando

a Estados Unidos como base

b) Qu porcentaje produce China ms que Estados Unidos?

Respuestas: a) China 252,6 Comunidad Europea 184,6 Japn 132,1 Estados Unidos 100 Rusia 66,7

b) China produce 152,6% ms acero que Estados Unidos

2005

Precio Cantidad Precio Cantidad

Arandela $0,07 17.000 $0,10 20.000

Chaveta $0,04 125.000 $0,03 130.000

Perno para estufa $0,15 40.000 $0,15 42.000

Tuerca Hexagonal$0,08 62.000 $0,10 65.000

2000

Parte 2000 2006 2000 2006

RC-33 $0,50 $0,60 320 340

SM-14 $1,20 $0,90 110 130

WC-50 $0,85 $1,00 230 250

Precio Cantidad

Nacin Cantidad (millones de toneladas)

China 197

Comunidad Europea 144

Japn 103

Estados Unidos 78

Rusia 52


40

REVISION DE CONCEPTOS

Primera Parte: Ejercicios Integradores

1) La universidad se encuentra analizando la posibilidad de otorgar beneficios a los alumnos que cumplan determinadas caractersticas. Aquellos alumnos que posean calificaciones superiores a los 8 puntos y no hayan

faltado a clases durante el cuatrimestre (120 das) recibirn una beca total para la conclusin de sus estudios. Los

alumnos que presentan calificaciones entre 7 y 8 y no presenten inasistencias durante el cuatrimestre, se les otorgar

una beca parcial. Finalmente aquellos alumnos que no cumplan con alguna de las condiciones mencionadas no

recibirn beneficios.

Se sabe que las calificaciones de los alumnos poseen distribucin normal con una media de 6,5 puntos y que el 2%

del alumnado supera los 9 puntos. Por otra parte se sabe que los alumnos faltan aleatoriamente 1 vez cada 60 das. Si

se asume que los dos eventos analizados son independientes:

a) Qu porcentaje de los alumnos recibir la beca total? b) Si se evalan los analticos de 100 alumnos, cul es la probabilidad de que ms de 5 alumnos reciban la

beca total?

c) Si se postularon a fin de ao 300 alumnos para obtener alguna beca, cul es la probabilidad de que ms de 287 alumnos no logren obtener ninguna de las becas?

Repuestas: a) 0.0148; b) 0.00383; c) 0.3704;

2) A un supermercado arriban en promedio 8 personas por minuto. Se ha estimado que el 60% de las familias que

concurren al local lo hacen en automvil propio. Por otra parte se supo de los individuos que abonan en la caja

posean una edad promedio de 27 aos con un desvo estndar de 2 aos (variable que puede considerarse

normalmente distribuida) y que el 45% de los mismos abonaron con tarjeta de crdito. El gerente del local tiene

como objetivo optimizar el tiempo de permanencia en caja de los clientes a fin de evitar reclamos de parte de los

mismos y para ello decidi disear un plan de entrenamiento a tal fin. El supermercado cuenta con 45 cajeras de las

cuales 23 de ellas tienen ms de 6 aos de antigedad, el gerente decidi seleccionar a 7 de ellas para incorporarlas a

un plan de entrenamiento teniendo en cuenta los aos de antigedad.

a) Determinar la probabilidad de que ms de la mitad de las seleccionadas posea 6 aos o menos de antigedad

b) Si se observa el arribo de personas durante 3 minutos cul es la probabilidad de ingresen al supermercado

menos de 20 personas?

c) Si se selecciona una muestra de 10 familias cul es la probabilidad de que de que seis o ms hayan llegado

en automvil propio al supermercado?

d) De los individuos que abonan en la caja con ms de 28 aos de edad, qu porcentaje tiene menos de 29

aos?

e) Cul es la probabilidad de que en los prximos 2 minutos entren 17 personas?

Respuestas: a) 0.47387 (exacto) b) 0.18026 (exacto); 0,17879 ( aproximacin) c) 0.63310 d) 0.4856 e) 0.09338

3) La estatura de los nios de un jardn de infantes tiene un promedio de 1 metro. Se sabe que el 5% de los nios

supera 1,10 metros.

a. Calcular la probabilidad de que un nio elegido al azar mida menos de 1.05 m

b. De los nios que miden ms de 90 cm que porcentaje mide:

1. Ms de 1,10 m

2. Menos de 1 m

c. Cul es la estatura mnima del 80% de los nios?

Estadistica Empresarial Guia 2015

Documents

Transcript of Estadistica Empresarial Guia 2015