Estándar: pensamiento aleatorio

c: Reconocer los conceptos básicos de estadrstica

s: ldentificar los tipos de muestreo que s: : -= l:-realizar dentro de una población.

:; Caracterizar variables cualitativas.

:: Realizar el conteo de los elementos de un esc¿c ,nuestral.

:r r¿ ar la probabilidad de ocurrencia de unevento,

: '- '-'-' 3 1i 12 11 11 12 12 12 11 12

: l,=- --. =.--:,entes asisten al taller de infor.-',¿ - aa'

;C-á- -:. -.--Jiantes no tienen 1 1 años?

¿Cuá- -:. =. --ciantes tienen menos de 1 3 años?

Solo l¿ ^ -at de los que t¡enen 12 años sonniños. ¿C-:-.-cs son niñas?

¿,

@ evaluac¡ones:/ De c:.=-::¡o

5 Multim-: 'I Galeria

l2 Actividades

a.

b.

c.

d.trE!tr

nEIE¡'

E

1 Audio

6 lmprimibles

2 Enlaces web

. :i:.:.:r:rtrlil:.,',:l:ili

... Para analizar Brobtemasambientales y eco[ó gicos.

Los seres humanos, pc' .::L.-li:leza, producimosdesperdicios de comida, p¿o- . : ,s:.trs entre otrosmateriales. Se diría que cada :-.s:-i :artrcipa en la

contaminación del mundo. A--:_ = :il: suene unooco irónico, es así; a diario so:r- :-.: ,,^ : r:cho:e consumir las onces, estás de-1;- _ _ ' , ,t: :---:r:ques de paquetes, jugos o bote ,.

:i iítás acerca de este tema en la c: _: _. _: _

,4 1.

4.,

!!r*:\

rtir i

I.f

't'

453 d. c.1245

d. q

ú$d.c

1565d',c'

i 645 d, c.

1654 d, (.

Heródoto(485 a. C.-425 a. C.)

Fue quien descubrió que

hacla el año 305 a. C. se rea-

lizó un registro para saber

el número de habltantes

y las ganancias en Fgipto,

este es el primer censo del

cual se tiene conocimiento.

s***. EP Actividad

La estadística es la ciencia que se ocupa del estudio de fenómenos de tipo genérico. --el ámbiio social y económico, normaimente complejos y enmarcados en un conte\-:

variable.

Esta ciencia emplea modelos de organización de la información y de análisis de -.misma, permitiendo así, validar los resultados de tal forma que se puedan conside¡¿--

representativos.

En el uso cotidiano, el término estadística está relacionado con hechos numéricos, sL-

embargo, la estadística involucra mucho más que números.

En un sentido más amplio, la estadística es la ciencia de reunir, analizar, presenta¡ ;interpretar datos. Especialmente en los negocios, en la economía, en la fisica, en l.medicina y en otras muchas ciencias, la estadística brinda herramientas para la toma i¡decisiones más acertadas.

La estadística se puede clasificar en dos grandes ramas: descriptiva e inferencial.

La estadística descriptiva se encarga de la recolección, procesamiento, análisis .

presentaciÓn de un conjunto de datos.

La estadística inferencial se refiere al método para lograr generalizaciones acerc¿

de las propiedades deltodo.

lJsualmente el término estadística se utiliza como sinónimo de dato. Sin embargo, u;:.información numérica cualquiera puede no constituir una estadística pues para merec.:esta denominación, los datos deben constituir un conjunto coherente, organizado i;forma sistemática,y que presente un criterio de ordenación.

En el estudio de la estadística es importante tener claro el significado de algunos coi-cepros que se usan en los contextos que involucran el análisis de información.

1.1 Pobtación y muestra

t****#e*s ****r#L#s

Población:::

-:,:-:: :l^

Muestra: =. -a(=-=- ^= .=)

:,: r- -'.J- -ric oe un;dades o elementos claramente definidc: " :- c3. -cs e ,ementos pueden ser personas, hogares, manzanasr:i :j:-: :' hOSpitales y empresas, entre otros.

- ..rcconjunto representativo de la población a partir del cual s:

-a' nferencias para dicha poblaclón.

Recuerda que.,.

Los elementos seleccio-

nados Para una muestra

reúnen ciertas caracteris-

trcas que los hacen rePre-

sentativos, si gnifi cativos

y confiables Para que,

con base en ellos, se

puedan hacer inferencias

respecto a la Población'

Si en ;¡:: :::r-¡s¡igación estadística, se necesita hacer el reconteo de la totalidad de lc.elen¡:::,:,s c;- .omponen la población por investiga¡ entonces, se dice que el estudi:es un cen50.

Por ejenl,c,. para incrementar la producción de huevos en una finca se decidió estudi¿-

los aspect,r. que influían en el comportamiento de las gallinas ponedoras. Para ello, s.

escogieror l0 gallinas en cada uno de los siete galpones. Luego, se agruparon en u:nuevo gaipc,n.

En este ca-.o. la población está formada por todas las gallinas que están en los sie:.

galpones r-la muestra está formada por las gallinas que se ubicaron en el nuevo galpón

Las estadísticas se ocupan de investigar aspectos que nos interesan acerca de una pobla-ción. En general, una estadística se hace con un objetivo económico,'social o con uninterés particular de conocer información específica de un determinado giupo. Teniendoen cuenta los intereses se definen variables de estudio dentro de una población.

l-.? Variabtes EB Actividades

Variable: es una característica de la población o de la muestra cuya medida puedecambiar de valor. Según su naturaleza puede ser cualitativa o cuantitativa.

Una variable cualitativa es aquella que representa cualidades, atributos o carac-terístrcas no numéricas.

Una variable cuantitativa es aquella característica de Ia población o de la muestraque es posible representar numéricamente.

Por ejemplo, una empresa de productos alimenticios planea fabricar un nuevo sabor de

goma de mascar. Antes de iniciar la producción, y para optimizar la inversión, el de-

partamento comercial decidió conocer las preferencias de la población parala cual será

promocionado el producto. Para ello, preguntó a un grupo de personas que consumenregularmente este tipo de productos, sobre sus preferencias en sabores ácidos y cuánto es-

tarían dispuestos a pagar por una nueva goma de mascar en presentación de 125 gramos.

En este caso, la empresa va a preguntar por dos aspectos: preferencias de sabores y can-tidad de dinero.

Las preferencias están enmarcadas dentro de las variables cualitativas,

La cantidad de dinero es una variable cuantitativa.

Para hacer la recolección de datos se usan principalmente dos métodos: la encuesta y laentrevista.

La encuesta es un método de recolección de datos que se lleva a cabo general-mente por medio de algún cuestionarro que puede o no ser diligenciado por la

persona encuestada.

La entrevista consiste en una serie de preguntas realizadas por quien entrevista,personalmente, a cada uno de los entrevistados.

A partir de estos dos métodos, se teúne información de la muestra que constituye lo queen estadística se denomina una base de daros.

El término dato también es conocido como información y es el valor de la variable aso-ciada a un elemento de una población o una muestra.

Es posible tepresentar la información de una base de datos en diferentes formasl las másusadas son los diagramas.

Los diagramas se usan dependiendo del conrexto y de la información que se desea mos-trar. Ofrecen una presentación sencilla y objetir.a de la información.

Los diagramas más usados en estadística son de diferentes tipos:

¡: De barras o histogramas

s De lineas

:: Picrogramas

:: Clrculares

Observar los siguientes diagramas y determinar qué tipo de variable describen.

W! usA

ffi$ir Reino Unido

ffilt Inüa

$ JapónChina

8,30/o \

7,lo/o Ia

4,6 o/o ;

La gráficade barras representa el comportamiento de dos productos diferentes, mes ¿

-.J, ,. diferencia po, el .olo, en cada pareja de barras. El diagrama circular represenG

el comportamiento de esos productos en cinco países diferentes'

b.I

6,20/oó.t,

6,5o/o

4,4o/o

Sector públicopresupuestario

Gobierno federal

La gráfr.carepresenra el comportamiento de una variable relacionada con el petróleo. E'-

este caso, ",r.tq,r.

la representación no es estrictamente de barras, sino pozos de petrólet'

estos dan .rrr" .1"r" idea del tema al que se refiere la información representada.

c, Znna donde se ubicalavivienda

Junio }{aro

31.-ú r .l2.0oo 32,300 !l.ooó

Distribución de la población Porestratos socioeconómicos

Estrato 2.3J% "\ -- Esvato

"4-r..

{i¡Sls{." 1F.-1 1/\

Estratoi Estrato4-5l7o/o 3o/o

: --'.'-- :.:'r-i':L.

I

-:-- -: =="-" 2,60/o |,9o a

2O,5o/o

17,$_:..:,

tttt1,,'-ttt i . j

-""i

ii.-lMarginal Marginal }{ultifmiliar Multifamiliat

.or ,"*i.io, sin servicios st¡ato 3 estrato 4 ' 5públicos Públicos

La gráñcarepresenra información sobre el tipo de vivienda en el que habita la poblacic--

de ln país. Óada barra se representa con un estilo específico de vivienda: marginal ct:':

servicios, marginal sin servicios, multifamiliar, etc

Multifamiliar Unifamiliarestrato 2

1""3 Tipos de muestrecLa muestra que se selecciona de una población además de ser representativa debe ser

aleatoria.

Una muestra aleatoria es aquella que es escogida al azar, de tal manera que quienrealiza el estudio no puede influir en la elección de los indivlduos y cada elementode la población puede tener la misma posibilidad de ser seleccionado.

Muestreo aleatorio simple

Es un método donde la selección se hace de tal manera que cada muestra posible, delmismo tamario, tiene igual probabilidad de ser escogida de la población. Se utilizacuando los datos son casi homogéneos.

Muestreo sistemático

Es una variante del muestreo aleatorio simple de selección de cada elemento de lamuestra. Se aplica cuando la población está listada en algún orden, es decir, está orga-nizada por código, fecha, hora, orden de llegada u otro aspecto. Puede dar la misma

precisión de estimación acerca de la población que una muestra aleatoria simple cuandolos elementos en la población están ordenados al azar.

Muestreo estratifi cado aleator¡o

Se realiza teniendo en cuenta los diferentes subgrupos que se pueden formar en unapoblación, estos subgrupos también se conocen con el nombre de estratos. Para aplicarlose divide la población en estratos que se suponen homogéneos respecto a la variable quese va a estudiar; luego, se selecciona una muestra aleatoria simple de cada estrato y conestos individuos se forma Ia muestra final.

Muestreo por conglomerados

Es un método de muestreo en e1 cual la población está dividida en grupos o conglo-merados debido a su organización adminis¡rariva de otro tipo. En el interior de los

conglomerados no se puede garantizar homogeneidad. Cada conglomerado es unaunidad donde la muestra se selecciona como en el muestreo aleatorio simple y se aplicala encuesta a todos los elementos del conglome¡ado.

Determinar, en la siguiente situación, el muestreo más

apropiado:

Con el ¡inimo de contribuir al mejoramienro de la mallavial, la alcaldesa de una ciudad desea saber si los habi-tantes están de acuerdo con que se aplique un aumentoal impuesto de viüenda.

Teniendo en cuenta el contexto se deben analizar situa-ciones específrcas de la población para determinar de quéforma se hace el muestreo.

Este caso se refiere a una ciudad, por tanto, se debe teneren cuenta que las ciudades están organizadas por estraros

según las capacidades económicas de sus habitantes.

Así, preguntar por el aumento o la creación de un deter-minado impuesto tendrá diferentes respuestas según el

estrato al que perten ezca sn ciudadano.

Por tal razón es necesario tomar una muestra en cada

estrato, es decir, el muestreo debe ser estratificado.

'{"|fi i',,t;,::r'¡,r ,r'r,:r,. S Propongo " S ftaeono " $l Soluciono problemas

$$Determina, en cada caso, la población, sus caracte-

rísticas, y la muestra. Explica si esta es o no signifi-cativ y el tipo de muestreo'

1. La asociación de padres de familia de un colegio

ha planeado entregar un obsequio a cada estu-

diante en el día de Halloween.

Con el fin de que todos los estudiantes queden

muy satisfechos, ha decidido realizar una encuesta

de gustos y preferencias. Ha seleccionado 20 estu-

diantes de preescolar, 20 estudiantes de primaria

y 20 estudiantes de bachillerato y les ha aplicado

una encuesta en la cual responderán sobre sus

preferencias en dulces y en juguetes.

Un fabricante planea lanzar al mercado un nuevo

estilo de camiseta deportiva usando telas inteli-gentes. Para asegurar que su producto tenga gran

acogida, preguntó a 10 personas que practican

deporte en la ciclo vía su opinión sobre dicha

prenda.

Una empresa desea ingresar al mundo de las

bebidas gaseosas. La gerente de mercadeo sabe

que este campo es muy comPetido, por lo cual

propone que los productos sean novedosos en

sabor y presentación. Teniendo en cLLenta estLrs

aspectos, los ingenieros de alimentos pla:rean d:,-

degustaciones del producto en 3(l aL¡:¿:¡i¡. c;cadena de ia ciudad.

Un grupo de nutricionistas dei Biene s¡al F:::::,--:está realizando una investigación sobre la sa¡t.:-:-ción que manifiestan las madres comunitari¿,. ;rrelación con los mercados que les son asignado.

mes a mes a los hogares y jardines infantiles que

son patrocinados por esta entidad en Colombia.

Para ello, el grupo ha enviado una encuesta a

cinco jardines, en cada una de las ciudades donde

funciona este servicio,

)

3.

4.

Sr.. y responde.

Fuma

Sí

No

Fuma

sí

No

La liga contra el cáncer de una ciudad ha decidido

emprender una campaña para disminuir el consumo

de cigarrillo entre los estudiantes universitarios. Para

ello, ha aplicado una encuesta en varias universidades

de la ciudad.

A continuación se presentan los resultados:

Estudiantes de sociología

GéneroriFuma -Hgmby i ., Myi:l .isí ?9 i "!le__ _ "iNo 32-: !9" )

Estudiantes de ingeniería

Género

Fuma Hombre ] l,n";.t*-.-. .--i-.--.--','-" -.'

sí68iSgNo

* - -30-- -T '- -;t-*

Estudiantes de medicina

Género

II

i

I

I

I

.."aI

.liI

10t2

Hombre Mujer

t6 55

Estuüantes de economía

Género

- I-qr6:: i Y-:i:,144 54.*i-**--*---**-'*-12t23

@ R.rpond.5, ;Qué variable(s) se plantean en el estudio?

6. ¿De qué tipo es (son)?

7. ¿Cuál fue la población?

8. ¿Cuál fue la muestra? ¿Es representativa? Justificatu respuesta.

9. ¿Cuántas personas formaron la muestra?

10. ¿Qué tipo de muestreo se utilizó en el estudio?

11. ¿Cuántos hombres fueron encuestados?

(l r.. y responde.

La siguiente tabla corresponde a los resultados obte-

nidos por 20 de las 1.000 personas que presentaron el

examen de certificación de Microsoft. La muestra es

aleatoria y ha sido seleccionada de manera sistemática.

Los porcentajes se redondearon al entero más cercano.

l2o/o

20o/o

52o/o

59o/o

30o/o 87o/o 2lo/o 600/o

46Vo 58o/o 72o/o 35o/o

8lo/o 680/o l9o/o 9o/o

630/o 34o/o 92o/o 55o/o

12. ¿A qué tipo de variable corresponde el estudio?

f 3. ¿Cuál es la población? ¿Cuál es la muestra?

14. ¿Esta muestra es representativa? Justifica tu res-

Puesta.

15. De acuerdo con los resultados, ¿es posible deducircuál fue el rendimiento de la población? Explicatu resPuesta.

16. Si tú fueras el encargado de realizar el estudio,

¿qué variaciones harías para que los resultados pu-dieran reflejar el comportamiento de la población?

Para determinar aspectos relacionados con la nu-trición y ei crecimiento de los niños, un grupo de

investigadores decidió medir la estarura de 20 niÁos

en edad preescolar. Los resultados, medidos en centí-metros. fueron los siguientes:

97 95 97 99

90 88 75 99

87 84 79 89

88 89 78 99

fl r.. y resuelve.

98

93

9r

86

17, ¿CuáI es la población asociada al estudio?

18. ¿Cuál es la muestra?

19. ¿Qué tipo de muesrreo se realizó?

20. ¿Cuál es la variable asociada a la muestra?

21. ¿Qué tipo de variat¡le es?

22. Organiza los daros de :rar-or a menor estatura.

23.Realiza una represenia;:ón gráfica, sobre unarecta numérica, del coni:-rn:o de daios.

24. Escribe algunas conclusiones de l¿ muestra plan-teada.

SO.firr. el tipo de variable y algunas opciones de res-

puestas en.cada caso:

25. Unaempresa fabricante de partes eléctricas decidehacer un estudio del nivel de satisfacción de sus

clientes en relación con el tiempo de duración de

dichas parres.

26.La empresa de energía de la ciudad propuso Ia

realización de un estudio para medir el promediode kVr-hora de sus usuarios de estrato tres.

27. llna fábrica de gaseosas quiere saber cuál es la

presenración de sus productos que sus clientes

preñeren.

@A continuación, se presentan diferentes representa-

ciones gráficas que describen variables. Determinaqué variable está en estudio y escribe dos conclu-siones respecto a ellas:

Inscripciones para cursos libres

Música Cocina Origami Judo

Distribución (o/o) del voto por nivel de estudios

100%

90o/o

8070

7\a/o

600/o

50o/o

40o/o

30o/o

20o/o

7Oo/o

0o/o

,.* .t"r'" "s cs *o*%-f_"r{,"4*d

30. Evolución comparada de los índices de preciosde los alquileres del INE y de Fotocasa

to'to J

-

10,00 ¡

9.t0 ia, t

--1q.oo- .,/

28.

,809? ()(t

.oO r^

!+u

z0

29.

lr i i üir

ffiffi'ffi

I SuperioresF Medios

universitariosFPSecundaria

w Prima¡ia& Sin estudios

tt4

t12

ll0108 éi

106 É

104 cJ

102 4

100

98

96

o¡

o o-5

o Precio alq,rfoto<*a)(fs(ala de la izda)

-

IPAI q.(INE)(Escala de la derecha)

F MAM.VJ JI A S ONDE IJMAMYJ JI A S OND2007 2008

@ry HryEnlace web Recurso

imprimible

?" tarerE*rie*e É*n #e v*s"ámmtms

***1*€*t*v*sCuando en una población se hace un estudio para medir gustos o preferencias, se dice

que se está analizando una variable cualitativa en dicha población.

Por ejemplo, el color de ojos, las preferencias deportivas, los sitios de interés para ir de

vacaciones, entre otras, se pueden considerar variables cualitativas.

Caracterizar una variable consiste en describir su comportamiento en una pobla-

ción según unos parámetros definidos.

Para caracrerizar una variable cualitativa se utilizan: la distribución de frecuencias, los

diagramas y la moda.

3.1- Distribuciún de frecuerlriss G[ry Aetivierad

Una distribución de frecuencias es un resumen del conjunto de datos que muestra el

número (frecuencia) de artículos de cada una de las clases de la variable estudiada.

En una distribución de frecuencias se identifican las siguientes columnas:

Clases: corresponden a opiniones, gustos, preferencias u otras características de la va-

riable estudiada.

Frecuencia: es el número de datos de cada clase. Se representa con la letra/

Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia y el número total de datos, se

simboliza/r. La frecuencia relativa se puede expresar como un porcentaje que se halla

muhiplicando por 100 el anterior cociente.

Una agencia de viajes especialista en ercursiones esco-

lares desea proponer un nue'!'o plan runsdco de riajes

por Colombia. Para ello, preguntó a 50 estudia¡tesentre grados sexto y octavo cuáles serían ios desri¡osque les interesaría conocer de nuestro pars. Los re-

sultados se muestran a cotinuación, donde T: Tolú.P: Pijiba, K: Kajuyal¡ A: Amacayacu.

TPPATPTAATAKAAPTKKATKTKKKATAAATAAATAKKAA

A

A

A

P

A

A

T

^

Construir la distribución de frecuencias.

,{-1 ¡ealizar el conteo, la distribución de frecuencias es la

siquiente:

K

K

A

P

A

T

A

Amacayacu' Z7 27156 48,2**-**-'*.'.**+'++<+.=.....!.+"'..".-.....''--..-:+

Kajuyaly : ff 11156 19.6-_--:_l-_',: - -- - --::ia,:-311-:i-*-11- =i :?!2! i ?!:! - .;

A partir de la distribución se puede concluir que: el

10,7o/o de las personas prefiere a Pijiba como destino

para excursión y este a su vez es el lugar de menor prefe-

rencia; el 48,2o/o prefiere Amacayacu como destino para

excursión y este a su vez es el lugar de mayor preferencia.

?"? ürÉticas EP f.fr?lll:t:

Un gráfico estadístico es un resumen visual de la distribución de frecuencias. Paralas variables cualitativas se plantean tres tipos de gráficas: los diagramas de barras, losdiagramas circulares y los pictogramas.

Diagrama de barrasFfu .qn¡Drrrrson r:E!h ncLur)u

JJ murtimeora IE¡F rmpnmr're

Un diagrama o gráfico de barras es una representación de los datos estadisticosasociados a una variable.

Para construir un diagrama de barras:

Frirerero, se dibujan dos ejes coordenados.

l.ueg*" en el eje horizontal se escriben las clases de la variable.

Por írhir:rei, en el eje vertical se utiliza una escala conveniente, la cual se usará para ubicarlas frecuencias de cada clase.

Sobre cada clase se dibuja una barra que tendrá Ia altura de la respectiva frecuencia.A continuación, se presenta el diagrama correspondiente al ejemplo anterior:

Pijiba Amacayacu Kajuyaly Tolú

Es importante anotar que la gráfica da una idea clara de las preferencias de la muest¡a ola población estudiada; en este caso resulta muy sencillo observar que la preferencia dela población es por Amacayacu.

Otras conclusiones que se pueden extraer de Ia gráfica son: sitios como Kajuvali y Tolútienen frecuencias simiiares. Por tanto, se puede afirmar que la pobiación los prefiereaproximadamente en el mismo porcenraje.

Diagrama circular tr Aüiv¡dad

Un diagrama circular es la representa.ión de cjatos en un círculo. se usa pararepresentar los porcentajes correspondienies : .3c¿ .iase.

En el diagrama circular, la información correspondienre a cada clase de la variable quedarepresentada por un sector circular.

El sector circular es proporcional a un ángu1o dentro del círculo.

Para construir un diagrama circular se usan las fracciones como operador.

Para hallar los ángulos correspondientes se parte de la relación en la cual el total de lapoblación represenra 360" del círculo.

Matemáticamente:i:

Elabora el oráfico de ba-rras horizontales para la

distribución del ejemplo.Recuerda que para ello las

clases irán ubicadas en el

eje vertical y las frecuen-

30

25

20

r5

10

5

0

eje verrcat y taS rrecuen-

c'as. en el eje horizontal.

Recuerda que,..

El diagrama circular tam-

bién recibe el nombre de

diagrama de Pastel o

torta.

Lambert AdolpheJacques Quetelet(1786-1874)

Matemático y astrónomobelga. Fue el primero en

aplicar la estadistica al

comportamiento de los

seres humanos.

Para consrruir el diagrama circular relacionado con el ejemplo de las preferencias para

excursión, se realizan los siguientes pasos.

Prim*r*, se calcula el ángulo correspondiente a cada clase, es decir, a cada porcentaje.

Para Pijiba:(:

*, rc0"

^,t %#C:38,6oEs decir, la clase correspondiente a Pijiba ocupará en el diagrama circular un sector de

39,5".

Para Amacayacu:

'r7

ft * lco"

^" z4P : 173,6'

Es decir, la clase correspondiente a Amacayacu ocupará en el diagrama circular un sector

de 173,5".

Para Kajuyaly:

ll * zeo")b

A,í -Ujféq : 70.7"

Es decir, la clase correspondiente a Kajuyaly ocupará en el diagrama circular un sector

de 70,7" .

Para Tolú:r)'#' Ko'

^ 12\360- --.a^5l l) - "'l

Es decir, la clase correspondiente a To1ú ocupará en el diagrama circular un sector de

77,r'.

En este caso, se usaron las irecuencias para encontrar los valores de los ángulos en

el círculo, pero esre procedimienro también se puede hacer con los porcentajes de cada

clase, en cuvo caso se calculan ios respectivos porcentajes de 360'.

Para el caso de Pijiba:

#..360. ____-_--+ ,iñr@: 38.6"

$*spuós, se dibuja una circunferencia y se ubica su centro. A partir de allí, se traza Lrn

radio. Luego con este radio como lado inicial, se construye el primer ángulo. Este ángulo.

dentro del círculo, será el sector circular correspondiente a la primera clase del estudio.

{.**g*, tomando como Lado inicial el final del sector anterior, se construye el ángulo

siguiente que corresponde¡á a Ia segunda clase; este procedimiento se repite con toda.

Ias clases de la variable.

F*r ¡11¡l-.,:. se colorea el diagrama y se proponen convenciones que permitan diferenciar

las clases.

A continuación, se presenta el diagrama circular correspondiente:

Sitios turísticos

19'5o/o

itiill

ffiWffilw,

Pijiba

Amacayacu

Kajuyaly

Tolú

Al igual que en el diagrama de barras, la información y las preferencias de la muestra sepresentan en forma muy clara dentro del diagrama circular.

Es posible hacer otras versiones del diagrama circular y presentarlo con volumen. Estaversión es la más usada en periódicos y revistas por claridad y estética para presenrarinformes. Para nuesrro caso, dicha versión sería la siguiente:

Sitios turísticos Sitios turísticos

,::li Pijiba

ffi, A-.."y."offi Ka¡uyaly

ffi; f"l,i

ffiW

Pijiba

Amacayacu

Kajuyaly

Tolú

L-*

Fletograma

El pictograma es un gráfico v¡stoso, simirar a un gráfico de barras; emplea un di-bujo alusivo al tema que representa, en una determinada escala, para expresar laun¡dad de medida de los datos correspondientes a cada clase.

Para la construcción de pictogramas se tiene en cuenra que su formato es libre, se empleauna secuencia de símbolos para representar frecuencias y se utilizan para el tratamientode daros tanto cualitativos como cuanritativos.

Regularmente se utilizan dibujos para representar dicha información, y el tamaño o elnúmero_de estos dibujos dentro de una gráficaqueda determinado por la frecuencia co-rrespondiente. A contint'ación, se presenta un pictograma para el ejemplo de ios destinosturísticos preferidos por los esrudiantes.

Pijiba

Amacavacu

Kajuvalv

Tolú

'll- ) estudianrestt

¡ff1 1 estudiante

:+.

RecuerdaQUQ... "rt'

Actualmente, ¡l con ma-

yor frecuencia en los

medios mas¡vos de co-

municación, se utilizan

los pictogramas Para llus-

trar los datos o los result¿-

dos de una investigació-

l",'!f *

Una empresa ensambladora de vehículos presentó información sobre la demanda anudde un tipo particular de vehículos en algunos países de Suramérica. A continuación se

muestra dicha demanda.

' Páls:

i c-ú:9i*, Venezuelai*- :' - -"'-' - --

I

I1

Demanda

20.000 i

""" "'.-"-, ...."""-"..".- ¡40.000 ¡----""'.-**-----* 1

120.000 I..***.-.-*:-,1150.000 i.*:" ",""*'" . '-.----"1

169:999 : .j

r Argentina

Chile

Brasil

El símbolo que se emplea tendrá forma de vehículo, teniendo como referencia el tema

del informe.

En este caso, cada símbolo tendrá una equivalencia de 20.000 unidades demandadas.

En un eje cartesiano, se escriben los países en el eje horizontal y las demandas en el

vertical.

En el caso de Chile, lademandaequivale ^7

y + vehiculos (140.000 * 10.000 uni-dades).

E1 pictograma correspondiente es:

sffilttÉtÁi+il=r*=-rÉaEsfgBrasil

iierriticar que Brasil es el país donde hay mayor de-

qie Colombia es el país donde menos demanda tiene

4EI+EEI

Colonbia Venezud¿

É-¡:{r=r=al={r="n|

EIl:f

Chile

¡:f¡-tti=lHl:l¡=l

...::.

Matemáticamente

i Consuita oué son las me- ,rfI didas de tendencia central. I

2.3 Moda

La moda es u-3 --:l r: :: -:idencia centralque describe elvalor de la variableque tiene ma),ci ''-a-a'- : =s

,Jecir, la que más se repite.

Es la única medida de :.¡:o;ncia central que tiene sentido estudiar en una variablecualitativa, pues no precisa .a realización de ningún cálculo. Por su propia definición.la moda no es única, pues puede haber dos o más valores de la variable que tengan la

misma f¡ecuencia siendo es¡a nixima. Entonces, se tendrá una distribución bimodal o

polimodal según el caso.

Para el caso de los sitios de ercursión, la clase con mayor frecuencia está ubicada en el

Amacayacu. Por tanto, se puede afirmar que la moda es esta elección.

sobre el servicio, la calidad de los alimentos, las be- | indi." la posición principal del jugador, así:

muestra a continuación:

Muy bueno V Malo P '| .lr,'d i',ero cen cral CBueno G

A continuación, se presentan los datos correspon-dientes a la evaluación de la calidad de los alimentosen Steakhouse:

OGVAGVA31. Elabora la distribución de flecuencias correspon-

diente.

32. Representa la información en un diagrama debarras.

33. Elabora un diagrama circul¿r p,rra el caso.

34. Responde. ¿Cuál de las dos representirciones re-sulta más adecuada en esre caso?

35. Escribe cuatro conclusiones a paltir de 1a disrri-bución de frecuencias r'1os diagramas.

36. Si fueras el administrador de Steakhouse, ;quéconclusiones sacarías con relación a la opinión delos clientes sobre los alimentos?

COVGAOOVOPVOGGVAGOVPGOGAOVOAVOVGOVAAOOOGOVVOOGOOV

ffiEl t.tt"orante Steakhouse, ubicado en una impor- I On continuación, se presentan los datos de unatante zona de negocios de una ciudad, aplica un i m.restra de 56 miembros de la Liga nacional decuestionario para conocer la opinión de sus clientes I béisbol para cada posición en el diamante. Cada dato

bidas, los precios y el ambiente del restaurante. I L"nrrdo, p Jardinero derecho R

Cada característica se valora en una escala, como se i lri-.ra base 1 Receptor HGrcela base 3 Segunda base 2

Notable o Mediano A I J"rainero izquierdo L parador corto S

LPCH2PRPPPRCSL23PHLP1RI2HS3H1SS1P1PRPCCSRPCPPPPRR2LPLPLL37. Const¡uye Llna tabla de distribución de frecuen-

cias.

38. ¿Cuál es la posición que riene más miembros en

la liga?

39. ¿Cuál es la posición que tiene menos miembros?

ffiDo."trt. el mes de diciembre, una fábrica de pro-ductos lácteos modifica los horarios de ingreso delos trabajadores del turno de la mañana teniendo encuenta las solicitudes de sus proveedores.

El siguiente diagr,ima represenra la hora de entrada dedichos empleados du¡ante el mes de diciembre.

"Ho¡zu de entrada en diciembre"

40. A partir del diagrama, elabora la distribución defrecuencias correspondiente al estudio.

41. Erplica por qué este estudio describe una variabl-cualitativa.

(l H siguiente diagrama de barras muestra la produc-ción mensual de prendas de vestir de una empresa deconfecciones. El gráfico corresponde al mes de mayo.

i1.200

:1.000

i soo;

; 600

. 4oo

" 200

o

Camisetas Licras Licras Camisetash¡mb1e homble O*l dama

42. ¿Cuántas prendas se confeccionaron en mayo?

43. Reconstruye la distribución de frecuencias corres-

pondiente al estudio.

44. ¿Q"é porcentaje del total de prendas representanlas licras para hombre?

45. ¿Qué se produjo en mayor cantidad: licras o ca-misetas?

46. ¿Es correcto afirmar que está de moda producirlicras? Justifica ru respuesra.

47. Si el precio de venta de cada licra es $35.000 y el

de cada camisera es $30.000, ¿cuánto dinero tienela fábrica en la producción del mes mayo?

flA continuación se presenta el diagrama relacionadocon la producción de la misma fiibrica en el mes de

iunio:

Camisetasdama

Licrasdr-a

Licrashombre

Camisetashombre

: I 20:0 400 600 800 1.000 1.200 I

48. ¿Qué porcentaje ¿¿ .r¡ r.Or.;.;;;.;O; ;";;.las prendas producidas?

49. ¿Qué cambios hubo en la producción en relacióncon el mes de mayo?

50. En relación con el monto de dinero, ¿se generómayor producción en mayo o en junio?

51. Si la producción de los dos meses será enviada a

un país del exterio¡ ¿qué se puede afirmar conrelación a Ia moda de estas dos distribuciones?

52.Elabora el diagrama circular que resume la pro-ducción de los dos meses.

53. Escribe dos conclusiones en relación con esre

último diagrama.

54. La directora de producción de la fábrica debe pre-sentar un informe donde reporta la producciónde mayo y junio. Elabora el pictograma corres-

pondiente y escribe, a partir de dicho pictograma,el informe que se debe presentar.

fl l"r" la evaluación de un curso de cocina interna-cional, se pidió a los participantes que valorarandiferentes aspectos que se ingresaron en una base dedatos. El conteo de dichos aspectos se hizo teniendoen cuenta la siguiente escala numérica:

1 : Malo 2 : Regular 3: Bueno

4: Muy bueno 5 : Excelente

Los datos obtenidos se presenran a continuación:

)4

5

4

4 44+i5534

55. Explica por qué este conjunto de datos representauna variable cualitariva.

56. Elabora la distribución de frecuencias correspon-diente a la opinión sobre el curso de cocina.

57. Elabora el diagrama de barras correspondiente ala distribución.

58. Elabora el diagrama circular que representa elconjunto de datos.

59. Escribe algunas conclusiones teniendo como in-formación la distribución de frecuencias y los dosdiagramas elaborados.

44555335

515414454454i35111-+z433353

345424352t5I4445

+

t)

v#riffi*fl*silmrm*tmr$m**$*mff##[$Hmflcwms

#m #*m

N

S

S

N

AV

AV

M AV 'H AV ,H N H ¿\¡ r\4

MSHAVHSH\HHNHAVMAVH\MM,AV \t '{\' r{ s H \\- MMAV\1\\\]\H\MM AV M S H 1\ \f {\ H

MSMA\\I S].f\\MM S M.S II A\. \I {\ H:'..H S H AV \I AV .\I .\\- ,Ml r-M AV M AV .\f S .\f S .H

S

AV

S

S

AV

NI

AV

ffiHry^-

Para caracterizar dos variables cualitativas de manera simukánea se utilizan las tabias decontingencia, las tablas marginales y los diagramas de barras.

Es importante tener en cuenta que para analizar dos variables, estas deben rener una re-lación en Ltn contexto determinado pues, de no existir dicha relación, no tendría sentidopresentarlas simultáneamente.

S.3 Tm*{es #* r*ñt:n}ü#srüi#

Una tabla decontingencia es un resunnen de los darcs e.:, a,,¿,,a.; es aotres-ponden a una varlable cualitatrva y las coiunrnas.o:-rescclce. a otta, ¿demás,estas dos variables están relacionadas en la muesira,

La tabla de contingencia también recibe el nombre de rabla cruzaday puede considerarsecomo una tabla de frecuencias; la información en cada casilla corresponde a la cantidadde individuos de la muestra que posee las dos características.

Después de analizar los resultados en el último bimesrre, la coordinación académicade un colegio está interesada en conocer si sus alumnos estudian para las evaluacionesbimestrales.

Para ello, entrevistó a un grupo de 60 estudiantes de secundaria y les preguntó si estudianpara sus evaluaciones. Las respuestas de los estudiantes fueron planteadas teniendo encuenta las siguientes clases:

S: siempre estudia AV: algunas veces estudia N: nunca estudia

Además, dichas respuestas se clasificaron teniendo en cuenra el género de los estudianres:

H: hombre M: mujer

Los resultados se presentan a conrinuación, donde G: Género y E: Estudia.

G]E .G' E G E G E G E G E

N

AV

AV

N

rff 1*&S,ry1W$Si${iliKiSl}irMatemática mente

Construye una tab a de ;

contingencia del elemplo

planteado tomando en las

filas la variable Frecuencta

de estudio para las evalua

cianes y en las columnas a

varlable Género,

Los resultados anteriores se pueden organizar en una tabla de contingencia en la cual una de

las variables es género. Esta puede estar ubicada en las filas y las diferentes respuestas a la pre-

gunta ¿ con qué fecuencia estudia para las eualuaciones? se pueden ubicar en las columnas. Por

tanto, es posibie ubicar las variables en orden diferente y el resultado en la tabla será el mismo.

Luego, la tabla de contingencia será la siguiente:

Siempre

6

t4

zo

:,;,.,,,.:llmill

24

.tb

60

Como última columna se incluye el total y, de la misma manera, como última fila se

incluye el totai.

El número total de alumnos que participaron en el estudio debe ser igual tanto en la

suma correspondiente a la variable género, como en la suma correspondiente a Ia variable

fecwencia de estudio para las eualuaciones.

Por tanto, la casiila en la cual se cruzan los dos totales debe contener el número de

alumnos de la muestra, que para este caso es 60.

Cada casilla de la tabla cruzada incluye ia interpretación de las dos variabies, así:

* 6 hombres siempre estudian para las evaiuaciones.

;t 14 mujeres siempre estudian para las evaluaciones.

il 11 hombres a veces estudian para las evaluaciones.

33 20 mujeres a veces estudian para las evaluaciones.

;: 7 hombres nunca estudian para las evaluaciones.

i: 2 mujeres nunca estudian para las evaluaciones.

El total ubicado en la parte final de las colun'rnas de la tabla corresponde, en cada caso,

a Ia cantidad de estudiantes que siernpre esrudia para las evaluaciones, a la cantidad de

estudiantes que algunas veces esrudi.r para ias elaluaciones r- a la cantidad de estudiantesque nunca estudia p;rra las evalu¿cionesr es decir. los rotales de las ciases de la variable

f"ent en c i rt d e e s i t t o.' ; o !,i ;,r, ¡',;- -, ¿ ¡,¡ i i t.i ¡ i o ¡ t : s,

Así. se cuede anrmar que:

:¡ lC) de los alumnos sien-rpre estudian para las evaluaciones.

:: 3i de los alumnos algunas veces estudian para las evaluaciones.

:: 9 de los alumnos nunca estudian para las evaluaciones.

El total ubicado en la parte final de las filas corresponde, en cada caso, a la cantidad de

hombres que respondieron a la pregunta y a la cantidad de mujeres que respondieron a

Ia pregunta; es decir, los totales de la variable género.

Así, se puede afirmar que:

* La pregunta la respondieron 24 hombres.

3: La pregunta Ia respondieron 36 mujeres.

Es posible observar que los totales tanto de filas como de columnas son los mismos, portanto, cabe atj¡mar que, al hace¡ ei conteo en cuaiquier base de datos, es muy importantetener cuid¿do r- verificar que las cantidades correspondan efectivamente a las variables.

.;:r:,.rr¡:r.::rr::r:rr:r.r:rrrr ri.::..

3.É Tmh[* de **ertírtgmsre6* de frsmq¡mm*ims neletFvesA partir de la información de una tabla de contingencia se puede consrruir una rablade contingencia de frecuencias relativas. Para tal caso, en cada casilla de la tabla cruzadase escribirán los cocientes correspondientes a la frecuencia de cada clase y el rotal de lamuestra.

Para el ejemplo que se está analizando, dicha tabla sería:

-:¡rl.'.:.r*;¿ d!¡x¡4g 1111 r1s evaruacioaes.. -'¿!6,.,,1,, Siempre ,.:,:,,,::Á,.¡eeer Nunca Total

Hombre IbU

Mujer

Total

/ )/t_-60 60

1160

r r._: ._ 14 20 2 36lvluJer 60 60 t,o ,*r

Total # 3t9Zo aro l

En este caso, como las frecuencias son relarir.as, el total será 1.

En forma similar, las frecuencias relativas se pueden escribir como números decimalesy, en consecuencia, como porcentajes. Para ello, se multiplica por 100 cada frecuenciarelativa.

La tabla que se construye con estos valores es una tabla de contingencia de porcentajes.A continuación se presenta dicha tabla para el ejemplo que se está analizando:

lllrr:tliilr¡ry,. *l$g¡ifd3¡9¡p'rr{{2qc¡4 srr:rirr::irr:r:r,:':':r:il

lllr:'1..,.(}éiieié;tllr,r:;r,,:, Siempre ,,,,'r¡:rllA',vóies Nunca ,:.,,ftialt,r::r,, ,'

Hombre 10,00 18,33 11,67 40

,.rrlrilt¡il¡,lt3ia¡a?iittli:.ii:.:,.

Matemáticamente

Busca en nternet os resulta-

dos de una encuesta.

Lee las conclusiones e iden-

tifica cómo se usan los por-

centajes en la presentación

de estas conc usiones.23,33 JJ,JJ J,JJ 60

33,33 5r,67 1 5,00 1 00

Una buena caracterización de las variables incluiría, entre otras cosas, el análisis de losporcentajes más altos y más bajos del esrudio. por ejemplo:

z¿ El 33,33o/o de los encuestados estudia algunas veces para las evaluaciones y son mujeres.

ex EI 3,33% de los encuesrados r-lunca estudia para las evaluaciones y son mujeres.er EI 51,670/o de rodos los encuesrados a \-eces estudia para las evaluaciones.

Es importante enfatizar que, cuando se habla de ur-r estudio esradísrico, los resultadosdados en porcentajes son mli\'ú¡iles: rir i:rg,.1¿;6 nun.ierico presentado con porcentajes1e permite al investigador o a quien an¿ii¡: ¡l ;s:¡dio planre ar conclusiones^.1"r", y .ttérminos que la mayor parte de las person-. ;r:-¡nde .

i,,:. r¡nbién se puede decir que:

:':b:e s qui a 'eces

estudian para las e.. ¿.uaciones constituyen eI lg,33o/o.

.:-i: ¡.:r ilu jeres que siempre esruiir¿n p,rra las evaluaciones.: ¡;':, ::¡nbres que siempre estudian para las evaluaciones.

.t,--: .,-: iombr-es que nunca estudian F,rra las er.aluaciones.

.. El

.. El

3.3 Tabtas marsinales

Una tabla marginal es una tabla cruzada, en la cual se muestran las frecuencias

relativas con relación a cada fila o a cada columna.

Es importante anotar que para cada tabla cruzadase generan dos tablas marginales. Por

ejemplo, para el caso que se viene analizando se pueden presentar las siguientes tablas

Á"tgr"l.r. La tabla marginal teniendo en cuenta el total en la variablefecuencia d.e

estudio para las eualuaciones ubícada en ias columnas es:

Siempre

Mujer

620-l¿

n

i 11' JIi",..-.--..-.---.--..;20': 37

_.f!

Nunca

79--29

Thbla marginal teniendo en cuenta el total en la variable Género, ubicada en las filas.

a ..

Nunca

I4

724

)-56

Estas tablas se pueden escribir en forma de porcentajes, así:

,,....i

Siempre

30o/o

70o/o

35o/o

65o/o

M

,Matemátieamente

Frecueacia de estudi¡

Siempre A weces

Hombre 2 50 o 45.8o/o 29.2o/o

aa /^/ < /'ñ/

-_- _ Muier .J8,90/o 55.6oto 5.60/o

A partir de las tablas marginales se puede concluir, entre otras cosas, que:

t', El30o/o de las personas que siempre estudian para los exámenes son hombres y el70o/o

son mujeres.

,"t El 35o/o de las personas que a veces estudian para los exámenes son hombres y el 650/o

de las personas que a veces estudian para los exámenes son mujeres.

w El78o/o de las personas que nunca estudian para los exámenes son hombres y el 22o/o

de las personas que nunca estudian para los exámenes son mujeres.

Nunca

' ¿Tiene sentido escribir Ia

columna lolal en una ta-

bla marginal? Explica tu

respuesta.

Escribe algunas otras

conclusiones que se pue-

dan extraer de las tablas

marglnales planteadaspara el ejemplo

3.4 üiagramas ds harraspars dos variab{es cua{itativas

La representación gráfica de una tabla de contingencia corresponde a un diagrama debarras en el cual se presentan en el eje horizontal las dos variables con sus respectivasclases y en el eje vertical las frecuencias.

A continuación se presentan las gráficas de barras para las variables Frecuencia de estudiopara las eualuacionesy género:

I

l

r 15

t 1.,

5

r0

Frecuencia de estuüo para las evaluaciones

Cabe anotar que las clases: Siempre, A veces y Nunca, se ubican en el eje horizontal ylos colores de las barras dererminan en cada caso la variable género.

Es posible plantear una sola columna para la variable género, diferenciando por colorlas respectivas frecuencias, así:

6GGénero hombre

..,. Género mujer

[ütGénero hombre

:.,-..,Género mujer

Siempre A veces Nunca

Frecuencia de estudio paralas evaluaciones

ventaja de que la barra completa indica el roral de individuos quecada una de ia-. clases de la'ariables Freute,ci,r. de estudio para las

Recuerda que...

Es posible hacer diagra-

mas de barras Para tablas

marginales. Solo es im-

portante tener en cuenta

que estos representarán

el total en cada una de las

varlables.

,,:rrlillllllltlillilliiliilii:liri,:r;::,r:r:r:U::::,itl::::llrtr:r:rli,illrl

Matemáticamente

¿Cómo podrias compararla cantidad de tiempo de

estudio de mujeres con re-

lación a la de los homb'=.-

Esta gráfica tiene laestán clasificados en

eualuaciones.

Se puede ver Fácilmente en la gráfica que lr-r esrudiantes s:en¡¡¡ estudian para las

=-':luaciones; 31 estudiantes estudian algunrs \--ces para las e. elu¿.-iones r.9 estudiantes---:¡¿ estudian para las evaluaciones.

l ; :::qramas de barras se convierten en una excelente estrareqia para la interpretacióni- ::::'): de hecho, en la mayoría de periódicos y revisras los resultados de muchase:l.-i---)-=i son presentados en forma de diag¡ama y no en forma de distribución def¡ec.r¡::-¿..

Siempre

35

30

20

r5

10

5

0-Siempre A veces

QE,l d.p"rtamento de bienestar estudiantil d.e unauniversidad realizó un estudio sobre el tipo de co-mida que consumen los estudiantes de varias de las

carreras a la hora del almuerzo

Además, como era de su interés hacer propuestaspara la alimentación en el restaurante, clasificó lainformación teniendo en cuenta el género de las

personas que participaron del estudio.

A continuación se presentan los resultados:

R: comida rápida A: almuerzo corriente

L: almuerzo balanceado V: aimuerzo vegerariano

O: otros tipos de almuerzo

M: Hombre F: Mujer

I lpo

R

L

L

R

R

ooR

R

L

I,

I,

L

R

L

VA

A

A

L

L

R

lri Género

MM

MF

F

F

MF

MF

F

F

F

M

F

I\4

F

X,,I

M

F

F

F

F

F

F

¡,,,Tipo¡i¡A

R

t,

R

AR

oo

L

L

R

R

R

R

V

L

L

oL

I,

R

Género

M

F

MM

F

M

M

M

F

F

F

NI

F

\IF

M

F

M

F

MF

M

F

F

F

@ Razono " fl soluciono problemas

60. Construye la tabla de frecuencias para la variablegénero.

61. Construye la tabla de fi'ecuencias para la variabletipo de comida.

62. F,n el departamento de bienestar universitarioproponen que si más deI 40o/o de los estudiantesgustan de un menú vegetariano, se abrirá unrestaurante especializado en esre tipo de comida.

¿Se emprenderá este nuevo proyecto? Justifica tufesPuesta.

63. Elabora la ¡abla de contingencia que relacionalas dos variables.

64. Escribe tres conclusiones a partir de la tablade contingencia del punto anterior.

65. Construye la tabla marginai asociada a la variabletipo de comida.

66. Escribe cuatro conclusiones a parrir de la tablaanterior.

67. El¿rbor¿ la rabla marginal asociada a la variableqér'rero.

68. Escribe tres conclusiones a parrir de dicha tabla.

69. En esta situación y para la variable tipo de co-mida, ;cuál selía la moda? Justifica ru respuesra.

70. En esta situación específica, ¿es útil analizar lamoda en la variable género? Explica tu respuesta.

71. Elabora Ia gráfica de barras correspondiente a Iatabla cle conringencia del numeral 63.

72. ¿Se presenra mayor claridad al interpretar la tablao Ia gráfica? Escribe tu opinión al respecto.

73. Elabora la gráfica correspondiente a cada tablamarginal v escribe algunas conclusiones a partirde ellas.

74. ¿Es posible representar esta información en undiagriima circr,rlar? Explica ru respuesta.

ff Uo" caja de compensación familiar va a inaugurarun nuevo centro de recreación para sus usuarios.Antes de la inauguración decidió envia¡ por In-ternet, una encuesta a una muestra de sus afiliados.

La encuesta preguntaba a cada persona si utilizaría ono un pase de cortesía y qué servicios del nuevo clubusarla. Los resultados se muestran a continuación:

Servjcis Uso

Natación i Sí

Cy- ' Sí

Gy* i Si

Gy* I Sí

Natación , Sí

Tenis i No-l--

Tenis 1 No

Natación ' No'i

Natación I No

Servicio;r:,,, Uso Servic-io:r,,, Uso

Bolos ' No Tenis Sí

Tenis Sí Gy* Sí

Tenis No . Tenis No

Gy- Sí G.t- No

Natación No Natación No

Tenis Sí Naración Sí

Natación No Naración Sí

Gy* No G1.m Sí

Natación Sí Natación No

75,F,Ia6ora la tabla de contingencia relacionada conia situación de la caja de compensación familiar.

76. Escribe tres conclusiones ¡elacion,rd:rs con la tabla

del numeral anterio¡.

TT.EIabora la tabla de contingencia de porcer.rr,rjcs.

78.;Cuál es el servicio que definitivamente los ah-

liados usarían? ¿En qué porcentaje lo usariar.ri

79. ;Cuá.l es el servicio que definitivamente ios afiliados

no usarían? ¿En qué porcentaje no lo usaría¡l?

!0. Elabora la tabla marginal asociada a la variableserr-icio y escribe una afirmaciór-r que explique

:--ré lepresenta cada casilla.

i - - .:ora la tabla marginal relacionad¿r con la va-

..:':: Lrso y escribe una afirmación clue explique:, -: ::':r-.senta Cada CaSilla.

(l L".-p..sa de energía eléctrica realizó una encuestatelefónica a 36 nuevos usuarios con respecto a su

preferencia en la forma de pago del servicio. Cadarespuesta se reportó de la siguiente forma:

C, págo en ia central de servicioB: pago en sucursal bancariaI: pago por Trrre rner

Adicionalmente, cada usuario informó sobre su pago

en dos momentos del mes:

P: en los primeros qr,rince días

S: en los orros quir-rce días

Los lesultados se presentan a continuación:

Forma

B

T

I

I

B

B

C

C

C

I

B

B

C

l)

C

B

I

C

Momento

P

S

S

P

P

P

S

S

S

S

S

S

S

P

P

P

S

S

Férma Momento

CSCSCSBP

'l

CPBPISIPCSISCiBSIP

l

CSI

B,PI.sBPRS

82. C,-,1¡¡r'Ln'e la tabla cruzadade frecuencias porcen-

----r,:\.

83. ' r -:rpresa de energía ha¡á ur-r descuento del 60/o

: :,¡dos los usuarios qLLe paguen su factura en los< ;.rirneros días del n.ie s. ;A cuántos usuarios les

r...:á el descuento?

84. Ce¡nstruye la tabla m.rrqinal asociada a la variableFtt¡tlttl de pdg7.

85. f scr-ibe tres conch-rsiones a pardr de la tabla delni,Lmeral ¿rnterior.

Recuerdaque,.. '.!

La regularidad en un ex-

perimento aleatorio hace

poslble la construcclon

de un modelo matemáti-

co preciso a Partir del cual

se puede estudiar dicho

experlmento.

4. txperiment*s ateatsrissEn estadística, podemos definir un experimento como un proceso que genera resultados

bien definidos y que, en general, en cualquier repetición del experimento ocurrirá unoy sólo uno de los posibles resultados.

Por ejemplo:

l¿ Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.

i¿ Lanzar una moneda cuatro veces y contar el número de caras obtenidas.

:: Fabricar artículos electrónicos de una línea de producción y escoger cuáles de ellos son

defectuosos.

:l Se analiza el lanzamiento de un proyectil ¡ en los tiempos t¡, t2, t3, ... tn, se registra la

altura del proyectil en relación con el suelo.

¡: De una urna que contiene cinco balotas negras y una blanca, se escoge una de ellas yse anota su color.

:: Escoger una carta entre 52 cartas de una baraja.

La situaciones anteriores tienen en común características bien específicas por las cuales,

además de ser experimentos, son aleatorias.

Un experimento aleatorio es una acción en la cual se conoce el procedimientoque se va a seguir para desarrollarla, se conocen los posibles resultados, pero nose sabe con certeza cuál será el resultado final.

Los experimentos aleatorios tienen las siguientes características:

:: Es posible repetir cada experimento en forma indefinida sin cambiar, esencialmente,las condiciones.

!: Aunque, en general, no se puede indicar cuál será el resultado particular, se puededescribir el conjunto de todos los posibles resultados.

:: A medida que el experimento se repite un gran número de veces, los resultados indi-viduales parecen ocurrir en forma caótica, sin embargo, aparece un patrón definido oregularidad.

Un experimento en el que se conoce el resultado no es aleatorio.

Por ejemplo, solucionar una ecuación o sumar dos números no son experimentos alea-torios.

En la vida cotidiana es bastante común relacionarse con experimentos aleatorios, observalas siguientes situaciones:

:¡ Luis acostumbra comprar todos los sábados un billete de lotería; espera ganar pero notiene certeza de hacerlo pues son muchos los billetes impresos y la elección del númeroganador es aleatoria.

n Juliana se va a enfrentar a un examen que contiene preguntas de selección múltiple.Ella no estudió para este examen, así que hará la selección de las respuestas al azar.

¡¡ Lina va a comprar mil piezas electrónicas que necesita para incorporar a varios de losjuegos electrónicos que está diseñando. Ella sabe que puede encontrar piezas defectuo-sas, pero no tiene la certeza de saber cuántas de ellas Io serán.

n Felipe va de compras, sabe que quiere un jean y una camiseta pero no tiene la seguridadde qué será lo que va a escoger.

Activid¿d Ep

:scoger una carta de una

: '':. ¿ de 52 cartas es un

: -:- -:nto aleatorio.

4"1 [spacia rnuestral y eventos

El espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados que

se pueden dar en el experimento aleatorio. Se simboliza con la letra S y es el con-junto universal del experimento.

El espacio muestral debe ser construido de tal forma que indique claramente todas las

posibilidades de ocurrencia de un experimento aleatorio.

En ocasiones, a partir de una misma situación se pueden generar distintos experimentos

aleatorios con sus espacios muestrales correspondientes. Por ejemplo, dos posibles expe-

rimentos aleatorios a partir de girar una ruleta, pueden ser:

¡: Hacer girar una ruleta y ver en qué número cae, en el cual ei espacio muestral sería

.9 : {1, 2, 3, 4, 5, ..., 36}.

l; O también, hacer girar una ruleta y ver en qué color cae, en el cual el espacio muestral

sería .S : {blanco, amarillo, negro}.

1. Una persona desea hacer una rifa en la cual cada opción será de dos números.Determinar la cantidad de números que tiene la rifa.

En este caso se presenta lo siguiente:

* En cada opción hay un número de dos dígitos.

¡i Estos dígitos pueden ser diferentes o iguales.

Así, para cada dígito hay 10 opciones de números: 0, 1,2,3, 4, 5, 6,7, 8 y 9, como se

muestra en el siguiente esquema:

Primerdígito: 0 I 2 3 9

Segundodígito: 0 1 2 3 9

Luego, se puede saber que un posible resultado es78 o 99,

Por tanto, hay 100 números que pueden ser el resultado del ganador de la rifa.

2. Luisa tiene para escoger tres camisetas y dos pantalones para su traje del día de hor'.Determinar de cuántas maneras las puede escoger.

Para saber de cuántas maneras diferentes puede Luisa combinar esras prendas para es-

:cger lo que se pondrá, se escribe el siguiente conjunto:

-i : {(camiseta morada, pantalón azul), (camiseta morada, panralón anaranjado),(camiseta roja, pantalón azul), (camiseta roja, pantalón anaranjado),icamiseta verde, pantalón azul), (camiseta verde, panraión anaranjado)]

-{sr. ¡i ¡..r¿;io muestral del experimento aleatorio, que consiste en escoger una camiseta

r- ul p:;rraton. tiene seis elementos y son los que se mencionaron anres.

Evento

Un evento es un conjunto que se define dentro de un espacio muestral, por lotanto, está formado por los elementos del espacio, que trene una característicadefinida. Los eventos se nombran con letras mayúsculas.

Para el ejemplo de Luisa y sus opciones para vestirse hoy, se puede definir el siguienteevento.

E1: escoger un pantalón azul

En el espacio muestral, cada expresión dentro del paréntesis es un evento, formado poruna camiseta y un pantalón; en particular el evento que consiste en escoger un pantalónazul es:

E1 : {(camiseta morada, pantalón azul), (camiseta roja, pantalón azui), (camiseta verde,

pantalón azul)]

En este caso el evento tiene tres elementos.

Dentro de este mismo espacio muestral se pueden definir otros eventos, por ejemplo:

:: E2: escoger una camiseta morada

Ez : {(camiseta morada, pantalón azul), (camiseta morada, pantalón anaranjado)}

:: E3: escoger un pantalón anaranjado

4 : {(camiseta morada, pantalón anaranjado), (camiseta roja, pantalón anaranjado),(camiseta verde, pantalón anaranjado)]

* E4: escoger una camiseta verde

Ea : {(camiseta verde, pantalón azul), (camiseta verde, pantalón anaranjado)}

Clases de eventos

Dado que los eventos son conjuntos, es posible clasificarlos así:

:! Evento vacío: también es llamado evento imposibie. Este evento se riene cuando se

espera un resultado que no puede suceder. Por ejemplo, no es posible que Luisa escoja

una camiseta negra, pues el evento que consiste en rener una camiseta negra no existe

en el espacio muestral.

:! Evento unitario: tan-rbién llam¿rdo evenro simple ; esr€ evenro se tiene cuando el con-junto en consideración tiene un solo elemento. Por ejemplo, el evento que consiste enusar una camiseta verde ,v un pantalón azul.

:i Eyento universal: también es llamado evento seguro; este evento ocurre cuando alconformar el conjunto, este resulta ser igual al espacio muestral.

Es importante tener en cuenta que las operaciones de unión, intersección y diferenciaque se verifican entre los conjuntos también se verifican entre los evenros.

Además, al igual que en los conjuntoso los er.entos pueden ser represenrados en undiagrama de Venn.

E4

Consulta en qué consisten

1as operaciones de unlón

i - ?rsección vdiferencia\-

ffiDetermina cuáles de los siguientes experimentospueden considerarse aleatorios. Explica tu respuesta.

86. Lanzar dos dados.

87.Lanzar una moneda y un dado.

88. Encontrar el valor de una incógnita en una ecua-ción.

89. Cobrar un tiro penal en una final de futbol.

90. Apostar a la lotería comprando varios billetes.

91. Obtener la corona en el Reinado Nacional de

Belleza.

92. Encontrar el número siguiente en una serie de

números pares.

93. Hallar el volumen de un poliedro.

94. Escoger un frasco de salsa inglesa enrre los frascos

puestos en una vitrina.

95. Escoger cinco estudianres que representen al co-legio en las olimpiadas de matemáricas, entre los20 que es¡án en 6A.

96. Tomar la ruta escolar para ir al colegio.

97. Escoger una bombilla en buen estado enrre ungrupo de 10 posibles.

Q Escribe el espacio muestral de cada uno de los si-guientes experimentos aleatorios.

98. David y Juliana juegan con un dado.

99. La familia Mendoza planea ir a almorzar a unrestaurante. La carta se muestra a continuación:

i EntradasF;el¡l:ii¡..

Yrii--a..

l-rrr:p;u-: liiii*s

Platos fuertesl,¿i;l: ::, i;: ¡:i:*rrh*i].'¡ii.; i;¡.: i: :: :,, ¡, :

El experimento consiste en escoger una entraday un plato fuerte.

100. Soffa ). Manuel lanzan en un juego dos monedasdiferenres: una de 5200 v una de Sj00.

ge,---r-r-t. . etrt

101. David, Julián, Ór.". y Beto van a participar enuna carrera. El experimento consiste en saberquién liegará al final de ia carrera de primero yquién llegará de segundo.

102. Se quiere formar un número de dos dígitos di-ferentes con los dígitos 3,4y 5.

103. Se quiere formar un número de dos dígitos conlos cifras 5,6 y 7.

104. En una bolsa oscura se rienen cuatro baiotas; dos

verdes, una roja y una blanca. El experimentoconsiste en sacar una balota de 1a bolsa.

105. Para la misma bolsa del numeral anterior el

experimento consiste en sacar dos baloras de labolsa, teniendo en cuenta que ai sacar 1a primerabalota esta no se devuelve a la bolsa.

106. Claudia juega a encestar un balón de balonce sto.

El experimenro consiste en realizar 10 lanza-

mientos y observar cuántos acierta.

107. Juan compra una boleta para la rifa de un iPod.Cada boleta tiene un número de dos dígitos.El experimento consiste en escoger una boleta.

108. Adriana tiene las siguientes cuarro ca¡ras de unjuego de póquer.

Ei experimento consiste en seleccionar dos delas cuat¡o cartas.

109, \lanuel y sus amigos van a una heladería y de-ciden comer helado con dos sabores. Tienen a

su disposición los sabores de:

Fresa

Chicle

E1 experimento consisre en escoger los dos s:-bores de helado.

Mandarina

Pistacho

Feijoa

Brownie

í

Q Obr"rrr" con atención los elementos de cada es-pacio muestral ¡ luego, escribe los elementos de loseventos pedidos.

Se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral es:

S : {(cara, cara), (cara, sello), (sello, cara), (sello, sello)}

110. E1: obtener al menos una vez cara.

lll. E2: obtener al menos una vez sello.

ll2. fi: obrener únicamente cara.

ll3. E-: obrene¡ únicamente sello.

ll4. E;: obtener dos caras y un sello.

@ P"r" escoger presidente, vicepresidenre y secrerariodel consejo estudiantil se han postulado Pedro, Juany María. Estos se pueden ubicar en las posicionesque muestra el siguiente espacio muestral:

S: {(Pedro, Juan, María), (Ped¡o. \laría, Juan)(Juan, Pedro, María). (,Juan. -\fa¡ia. PedLo)(María, Pedro, Juan). r\faria. Tuan. Pedro))

ll5. E; Pedro queda de presid.nre .

116. E2: María queda de presiii:.ir-:.

ll7. fi: Juan queda de presicen:e .

Il8. Ea: María queda de presice n:- -.' P.¿:c, je r.ice-presidente.

Il9. E5: Juan queda de vicepre s.c.-:; ' _',1=--.= .t i¿drde secretaria.

@E rtt el siguiente grupo se selecciona¡r dr-¡s

para formar sílabas, con o sin senrido:ta¡l etas

rii i1\{

iiiP

il

IIiiI

120. Determina el espacio muestral. Luego.cada uno de los siguienres evenros.

L2l. E¡ la sílaba inicie en P.

122, E2: la sílaba inicie en M.

123. fi: la sílaba tenga una E.

124. Ea: la sílaba no tenga A.

L25. E5: la sílaba tenga I.

E

@ S"." una carta de una barajade póquer que contiene52 cartas. Luego, escribe los elementos de cadaevento.

126. El evenro que consiste en obrener un as.

127. El evento que consiste en obtener una carta decorazones con un número par.

128. El evenro que consiste en obtener una carra quesea Q roja.

L29. El evento que consiste en obtener una carta roja.

@Escribe el espacio muestral de cada experimentoaleatorio. Luego, define dos eventos diferentes yescribe sus elementos.

130. Lina quiere comer r-rna hamburguesa de un ripode carne y un tipo de queso. Las opciones son:

Tipos de carne

Res Cerdo Pollo

Tipos de queso

Mozarela Doble crema

El experimenro consisre en escoger un tipo deuna carne y uno de queso.

131. Daniel debe formar un número de dos dígitosdiferentes usando únicamente los siguientes:

L32. Para la final de una válida automovilística se

inscriben ocho deportisras:

0

4I

Gabriel

Esteban

Aiejandro Pablo Manuel

Miguel Iván Jorge

Solamenre reciben premio los dos primeros.

El experimenro consiste en ver cómo puedenrecibir premio dos de los ocho competidores.

q

En el lenguaje común se acostumbra usar expresiones como:

Es muy probable que suceda.

Es casi seguro que mi equipo ganarrí.

¡Jamás pasará!

Es imposible que pierda.

Estas expresiones, que hacen parte del lenguaje cotidiano, también conrienen dentro de

sí el lenguaje de la matemática, en el cual cada una de ellas tiene un significado numéricoespecífico.

Así, cuando se utiliza este estilo de expresiones se está haciendo referencia a la probabi-lidad de que algo ocurra. Esta probabilidad es una medida de incertidumbre que aportaelementos en la toma de decisiones.

Por ejemplo, si en una semana ha llovido de lunes a

sábado se cree que es muy probable que el domingollueva; así que, si una persona va a decidir cuál tipode ropa usará el domingo, este antecedente de lluviapuede influir en su decisión.

Nm*ímnes dn #r'cbffihi[ádedEF EFEAmpliación Recurso Enl

multimedia imprimible

Siempre €std listo.

5.L Escala de probabilidades EP Actividad

A la probabilidad se le asignan valores numéricos que están entre 0 y 1.

Así, 0 será el valor que se le asigna al evento imposible, es decir, aquello que jamás pasará,

y 1 será el valor asignado al evento seguro, es decir, aquello que siempre pasará.

Teniendo en cuenta estos valores, es posible establecer la siguiente escala de probabili-dades:

Imposible

Casi imposible

Poco probable

Igualmente probable

Muy probable

Casi seguro

Seguro

Con estos criterios se puede hablar de un método subjetivo de asignación J- ::-- ¡::-r-dades, en el cual cada sujeto, a partir de su relación con el evento esrud:¿c.-. -:.::s:.¿ unvalor a la probabilidad de ocurrencia del evento.

.\í, si en un determinado lugar de la ciudad ha llolido tod¿ l: )::::,-.:. :::r .r orro-:gar ha habido días sin lluvia, dos personas ubicadas en L:: :*.-:- .--:::-r;Jio d.e la

- ..lad el día domingo pueden emitii criterios diferenres >trr:: -= :-- --.:'.:i.ad de que*...: en dicho punto.

,.:. -:a de ellas puede ser muv probable que liuer-a, mieni:'. .--: :-¿ ia orra puedei-: :r -'.' :r..bable que no llueva.

I - ;: -. -.: .,-,. ! - está emitiendo un criterio sub ie rivo fiente a -¿ ::c,:::,--;¿d de ocurre ncia,j. -_- =. =:-:o e specífico.

l. Sobre una mesa hay fichas de ensamblar de dos colores como se muestra a conti-

nuación. Si se ponen en una bolsa oscura 10 fichas, ¿cuál es la probabilidad de sacar

una ficha roia? y ¿cuál es la probabilidad de sacar una ficha azul?

tüünm mSi se seleccio na al azar una ficha, se tiene que: es muy probable que la elección sea una

ficha roja y es poco probable que la elección sea una ficha azul.

En este caso, la asignación de la probabilidad está directamente ligada a la cantidad de

fichas que hay para la elección, pero al tener en cuenta el caso de ios días de lluvia, allí

la probabilidad estará relacionada con ia frecuencia con la que ocurre el suceso que se

va a estudiar.

2. Parala elección del comité estudiantil se han postulado los siguientes candidatos:

Pablo Juliana A¡drés Camila

Andrea Diana César Marina

Roberto Valentina Ót.". Javier

Para el comité solamente serán seleccionados dos de todos los candidatos postulados.

En este caso, como hay igual número de hombres que de mujeres, es igualmente pro-

bable que para el comité sea seleccionada una determinada mujer o que sea seleccionado

un determinado hombre.

Los eventos que t¡enen la misma probabilidad de ocurrencla reciben el nombre

de eventos equiprobables. l

Por ejemplo, un grupo de niños juega con una ruleta similar a la que se muestra a con-

tinuación:

En este caso se puede afirmar que:

Es muy probable que la bola caiga en una porción verde de la ruleta; es poco probable

que la bola caiga en una porción azul; es casi imposible que la bola caiga en una porción

amarilla v e s imposible que la bola caiga en una porción negra.

5"3 Frmhmhitldad simpte reP Actividades m *Tiln:ffi ffi! ,n,u,

La probabilidad es una medida que se caiculaparalaocurrencia de los eventos. Luego, encada caso se debe plantear un experimento aleatorio, un espacio muestral y unos eventosespecíficos de los cuales se quiere saber su probabilidad de ocurrencia.

La probabilidad de ocurrencia de un evento es el cociente entre el número deelementos del evento #(,4)y el número de elementos dei espacio muestral #(5).

Si A es un evento de un experimento aleatorio, entonces 1a probabilidad de A,

nombrada P(A)es: ^,,. - #(A)rrrl _

#(51

La señora Sofía quiere pintar las paredes de su sala. Como aún no ha escogido el colo¡decidió ir a ver la carta de colores en una importante distribuidora de pinturas paraespacios interiores.

A continuación se presenta la carta de colores:

\rse[€ sri{l¡ru A@r:&+ Rd

w k._._*"*

EtiÁ*o¡w,et!:it*:tí];rntti,

:*:ilüi:.t*¡fJ{*l:t¡E'it!;rratx¡,;r:lra;1.'*.1,.1¡t¡i;:tr:lri;¡{¡¡&+-"i.4;;;1.' W .

i\xric;r&ü Nam1íxe¡¡¡effir

Si la seÁora Sofia quiere pintar sus paredes de dos colores distintos, ¿cuál es la probabi-lidad de que uno de los colores que escoja sea rojo pasión?

Para poder determinar la probabilidad, primero debemos escribir los elementos delespacio muestral del experimento aleatorio que consiste en escoger dos colores de ungrupo de seis.

Verde aceituna: VA Amarillo sol: AS

Rojo pasión: RP

Azul cielo: AC

Lila extremo: LE

Naranja estreila: NE

.9: {(VA, Rp), (VA, AC), (VA, AS), (VA, LE), (VA, NE), (RB AC), (RB AS),(RB LE), (RB NE), (AC,AS), (AC, LE), (AC, NE), (AS, LE), (AS, NE), (LE, NE)]

I?¿¡r ta*s*. el espacio muestral riene 15 elementos, #(.9 : 15.

El evento cuya probabilidad se quiere determinar es aquél en el cual ia elección de loscolores inciuye el rojo pasión, así:

A: E\egir rojo pasión

.1 : {(VA, Rp), (RB AC), (R?, AS), (np, LE), (Rp, NE)}r..e elento tiene cinco elementos. Así, --tl) : 5.

P(A):! Q4)

"'($i _11.i* 3

ii,ó-.¡1.iiii,i¡tfii,i¡n*,i,'i.,il:.rl:r. ilt]|:lt¡;":,1

Matemáticamenfe

¿Qué evento recibe el valor

0 como asignación de su

probabilidad?

¿Qué evento rec oe el valor'l como asignación de su

probaci cad?

Recuerda que,.,

Dos conjuntos son dis-

juntos si su intersección

es vacÍa, es decir, si no

tienen elementos en co-

mún.

Es importante destacar que no siempre para hallar Ia probabilidad de un evento es

necesario saber los elementos específicos de dicho evento, incluso hay ocasiones en las

cuales ni siquiera es necesario conocer los elementos del espacio rnuestral sino solamentesu cantidad.

5"3 F*"'cpi da es ds te Srsbabi{ídadLa probabilidad de ocurrencia de un evento tiene algunas propiedades que se deben tener

en cuenta a la hora de calcularla. A continuación se describe una de ellas:

1. Sea,,{ cualquier evento de un experimento aleatorio, entonces:

0=P(A)=rEs decir, la probabilidad de un evento simple siempre es un número entre cero y uno.

Es importante anotar que el número de elementos del evento siempre es menor o igual

que el número de elementos del espacio muestral.

2. Sea -B un evento simple, es decir, un conjunto unitario, entonces:

P@):-r#($

Se debe tener en cuenta que si se considera la probabilidad de todos los eventos simplesen un espacio muestral finito, la suma de estas probabilidades es l.

3. Sean z4 y B dos eventos disjuntos, entonces:

P(AU B): P(A) + P(B)

4. Sean A y -B dos eventos intersecantes, entonces:

P(Au B): P(A) + P(B) - P(A. B)

Como las probabilidades de los eventos son números, las expresiones con probabilidadespueden trasladarse de un lado a otro de las igualdades; así, dados tres valores conocidosen la igualdad anterior, se puede calcular el cuarto valor.

fuí, de la propiedad 4 se puede despejar el valor de la expresión P(A O B), así:

P(4. B): P(A) + P(B) - P(AU B)

l. En una urna cerrada se colocan diez balotas: una negra, dos blancas, tres rojas ycuatro amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer la balota negra?cooo

Primero, se asigna el nombre al evento.

A'. extraer una balota negra.

Luego, como A es un evento simple y solo hay una balota negra, entre diez posibilidades,

se tiene que: P(A): +Finalmente, la probabilidad de extraer una balora n.gr"., {-.

2. El departamento de salud de un colegio está interesado en saber cuánros de susestudiantes de primaria tienen algún tipo de seguro médico diferente al obligatorio.Para ello, aplicó una encuesta a 70 estudiantes, ilue arrojó los siguientes resultados:

50 estudiantes tienen medicina prepagada.

35 estudiantes tomaron el seguro estudiantil contra accidentes.

23 estudiantes tienen medicina prepagada y seguro estudiantil contra accidentes.

Si se escoge un estudiante en forma aleatoria, hallar la probabilidad de que este tengaalguno de los seguros médicos mencionados.

Para solucionar esta situación debemos tener en cuenta que cada uno de los darospresentados es un evento y el espacio muestral estará formado por todos los evenrosmencionados.

Primero, asignaremos el nombre de un evento a cada uno de los datos dados. Sean 14 yB los siguientes eventos:

,4: estudiantes que tienen medicina prepagada.

,B: estudiantes que tomaron el seguro estudiantil contra accidentes.

De acuerdo con esto, se tiene que,4 O B representa a los estudiantes que tienen los dosseguros médicos anteriores. Ahora:

r: El número de elementos del espacio muestral es 70, pues este es el total de estudiantesencuestados.

s: El número de elementos de,4 es 50.

$ El número de elementos de B es 35.

gl El número de elementos de,4 l-l B es 23.

Aplicando las propiedades de Ia probabilidad se riene que:

P(AU B): P(A) + P(B) - P(A. B)

P(AuB):#* ^b-#:62

70

Así la probabilidad de que al escoger un estudiante en forma aleatoria esre re nrr¿ :i*.-:de los dos seguros médicos es de 0,89 (89o/o).

Esta situación se puede represenrar en un diagrama de Venn como se mLLe i:::nuación, donde se observa que 8 no tienen seguro alguno.

!n\ -' ,'. j

::: \. jr'.

l$i$E" una mesa se tienen los siguientes postres:

ffiffi_Fffiffi.,"...a4-. .-* .ttt:i:.á:;..-. -r¡M*]- {áffi'ffiffi*sffk ffiffi.iiiÉJrg f w#* irjlgi¡¡#

'ffiffi,tr

133. Si una persona llega a comprar un postre y su

elección es aleatoria, halla ia probabilidad de que

su elección sea un ponqueciro.

l34.Halla la probabilidad de que su elección sea un

helado.

135. Halla la probabilidad de que su elección sea un

pie de fresa.

136. Teniendo en cuenta estas probabilidades, asigna

las expresiones de la escala de probabilidades a

cada uno de los eventos anteriores.

@U" psicólogo que aplica pruebas de aptitud en es-

tudiantes de edad preescolar tiene sobre una mesa

diferentes láminas para colorear. Observa y resuelve.

t 1,., '1.' " -. "

' .t',

'

137. Escribe cuatro expresiones que definan, en tér-

minos de la escala de probabilidad, ia posibilidadde que un estudiante que llegue al consultoriodel psicólogo escoja alguno de los cuatro tipos

de láminas.

138. Calcula la probabilidad de que un estudiante

escoja la lámina de osito.

139. ¿Cuál de las láminas tiene menor probabilidad

de ser escogida? ¿Por qué?

140. ¿Cuál de las láminas tiene mavor probabilidadde ser escogida? ¿Por qué?

{i$ lnle,:pr*l* - Q Razono " @ Propongo. Q soluciono problemas

@Inventa una situación en la cual la probabilidad de

cada uno de los eventos sea la siguiente:

t4r. P(A): +r42. P(B): +

/.Á3. P(A: lb144. P(Di): +

Qobr.rrr" el calendario con el pronóstico del tiempo

para el mes de octubre. Luego, responde.

f

1i :13 l41.F

21I7

12l01 s ',9

i19l8

)<24

1615

:22'':

23

Día soleado

Día nublado

..:-. .. ...,.. :. . .....- ... .t..

26 ;27 ',28:*i'

Día llur.ioso

.,.' -,r,.'-,='.,;.'Li¡ii.l, rliiÍiiii

145. Piob¿bleErenre . ;qué día hará el domingo 7 de

octubre? ;Qué dia hará e1 14 de octubre?

146,E|21 de octubre es más probable que haya un

día soLeado, un día lluvioso o un día nublado?

147. ¿Qué pronóstico de tiempo hay para el 28 de

ocrubr¡? Justifica tu respuesta.

Qt.. y resuelr-e.

Laura, Marrin r-Juliana se disputan la oportunidad de

ser monito¡ de la clase de matemáticas.

148. Escribe ei espacio muestral del experimento que

consiste en elegir un monitor.

149. ¿CuáI es la plobabilidad de que Laura sea elegido

monitor?

l$ t.rir" quiere comprar un par de zapatos y un jeanpero aún no ha decidido de qué colores. Ella tienelas siguientes opciones:

WRojosNegrosMiel

150. Halla el espacio muestral del experimento alea-

torio que consiste en escoger un par de zapatos

y un jean.

151. Anota los elementos del evento que consiste en

escoger unos zaparos rojos.

152. Escribe los elementos del evento que consiste en

escoger un iean bianco.

153. Copia los elementos del evento que consisre en

escoger un jean azul y unos zapatos negros.

154. Encuentra la probabilidad de que en la elecciónhalla unos zaparos rojos.

155. Halla la probabilidad de que en la elección se

encuentre un jean gri:.

156. Halla la probabilidad de que en la elección apa-nezcan unos zapatos color miel y un jean blanco.

Sl P"r" la final de los cien metros planos se han clasi-ficado cinco adetas: Carlos, Lina, Laura, Mario yCarolina.

157. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer ganela competencia?

158. ¿Cuál es la probabilidad de que Mario gane lacarrera?

159. Si Laura tuvo una lesión 1'no se presentó a laprueba, ¿cuál es la probabilidad de que gane unamujer?

(l 1"." representar a su colegio en un concurso de bailese han postulado siete estudiantes:

Luisa, Juana, Javie¡ Pablo, Esteban, Natalia y Va-Ieria.

Al concurso irán dos estudiantes y no importa si sondos hombres, dos mujeres o un hombre y una mujer.

160. Escribe los elementos del experimento aleatorioque consiste en escoger dos estudiantes de ungrupo de siete.

161. Halla la probabilidad de que se elija un hombrev una mujer.

Bii'Éii¡Í-

, AzulBlanco

' G.it

$l H p..p"rador físico del equipo de futbol está intere-sado en conocer qué tipo de deportes han practicadosus deportistas antes de pertenecer al equipo. Para

ello preguntó a los 30 deportistas del equipo sobre

este aspecto y los resultados fueron los siguientes:

12 deportistas dijeron haber practicado natación.

10 deportistas dijeron haber practicado patinaje.

6 deportistas dijeron haber practicado natación ypatinaje.

El resto no practicaba ningún deporte antes.

162. Halla la probabilidad de que si se escoge un de-

portista en forma aleatoria este haya practicadoalguno de los dos deportes.

163. Representa la situación en un diagrama de Venn.

164. A partir del diagrama de Venn, halla la pro-babilidad de que, si se escoge aleatoriamenteun deportista, este no haya practicado ningúndeporte antes de pertenecer al equipo.

165. Halla la probabilidad de que al escoger un de-

portista aI azar, este haya practicado únicamentenatación.

166. Halla Ia probabilidad de que al escoger un de-

portista aI azar, este haya practicado únicamentepatinaje.

En el siguiente diagrama el evento A representa a las

personas que son vegetarianas y el evento B representa

a las personas que practican alguna disciplina orienral.

' ":-/'

Si se selecciona una persona al azar:

167. ¿CuáI es la probabilidad de que no sea \.:r.,-riana ni practique ninguna disciplina c-.:, .. . . -

16B. ¿Cuál es la probabilidad de que ún-:.-',. .: ,::vegetariana?

169. ¿Cuál es 1a probabilidad de : --: i..y practique una disciplina ." . : , i

k '*e

Representa 2

6

Conceptos generates

En cada situación determinar la población y lamuestra. Luego, determinar, en cada uno de los

casos, el muestreo adecuado.

l7O. EI comité científico de una multinacional de

medicamentos desea promover un producto que

ha sido efectivo en el tratamiento de Ia malaria en

varios países.

Para esto, dicho comité decide realizar una cam-

paña en 6 hospitales que están ubicados en tres

zonas colombianas donde se ha detectado la en-

fermedad.

Población:

Muesira:

Tipo de muestreo:

171. Con el ánimo de contribuir al mejoramiento de la

malla vial, el alcalde de la ciudad desea saber si los

habitantes están de acuerdo con que se aumente el

impuesto de vivienda.

Para conocer Ia opinión de la ciudadanía, deciderealizar una encuesta a 3.000 ciudadanos.

Población:

Muestra:

Tipo de muestreo:

Caracterización de variablescualitativas

trI A continuación se presenta la información reco-gida entre un gropo d" niños Boys Scouts según el

grupo al cual pertenecen:

Lobatos: 50 Rovers: 7Scouts: 46 tavers: 3

Caminantes:31

L72. Elabora el pictograma que representa la infor-mación sobre los Boys Scouts. Ten en cuenta lasiguiente información:

173. Completa en tu cuaderno, la tabla de frecuenciascorrespondiente al pictograma.

BoÍs Scouti f fi.,

174. Elabora la tabla distribución de frecuencias.

175. Escribe tres conclusiones en relación con el es-

tudio planteado.

Conclusión 1:

Conclusión 2:

Conclusión 3:

176. ¿Cuál será el medio de comunicación en el que Iaagencia debe promover el producto?

I77. ¿CuáI será el medio en el que definitivamente novale la pena aumentar la publicidad del producto?

o/o

@ L.. la siguiente información. Luego, resuelve. F .

Unaagenciadepublicidadquieresabercuálesel%'<medio de comunicación que más consultan los

clientes de un producto de belleza específico. Elobjetivo de la agencia es establecer estrategias de

mercadeo que incrementen la venta del producto. @- ____

AcontinuaciónsePresentanlosresultadosdela%,<encuesta que aplicaron entre una muestfa repre-

sentativa de sus clientes, donde T televisión, R:

revistas, V: vallas, P: periódicos y Ra: radio.

TVRTTPTTRaPTTTPRRaVTVVRaPTVRaTRVRaTRV

R

R

R

R

TR

R

R

de

TRTRRTVTTPTPVTPRaTPRaRaTVTR

Luego, realiza. el diagrama de barras correspon- & ,

diente. %.

178. Si fueras ia persona encargada de tomar la deci- 6f----sión de no poner más publicidad en dos medios qfo

de comunicación, ¿cuáles escogerías? Explica turespu.esta.

Caracterización de dos variablescualitativas

@ La siguiente base de datos, muestra los resultados

de una encuesta sobre los gustos y las preferencias

en bebidas hidratantes de hombres y mujeres

que asisten a la ciclovía un domingo del mes de

octubre.

Género Bebida

H Jugo

M Agua

H Energética

M J,tgo

H J.tgo

H J.rgo

H Agua

H Agua

H Agua

M Energética

M Energética

H Energética

M Energética

H Jngo

M Agua

Género Bebida

M Energética

M Energética

H Energética

H Energética

M Energética

M Energética

H Energética

M Energética

H Energética

M Agua

H Agua

M Agua

M Agua

M Agua

H Energética

179. Completa la tabla de contingencia para la situa-ción anterior.

180. Escribe tres conclusiones a partir de la tabla.

Experimentos ateatorios

Lucía y Jaime van a un sitio de comidas rápidas a

comer pizza. Pueden escoger el tipo de carne y el tipode queso que llevará Ia pizza. Las opciones son:

Carne

Pollo

JamónSalami

Queso

MozarelaParmesano

Campesino

,,'¡{itlf i*li,,I *.r I.i l,i J'-."1

'r*trtr11¡¡iriif,l'{t:ii.?,ltii:$:,ñ:''' iili!$ltiii"

183.

182. Encuentra el espacio muestral del experimentoaleatorio que consiste en escoger un tipo de carne

y uno de queso para la pizza que se va a pedir.

Luego, escribe los elementos de cada evento.

5:{I

--l

Er: La pizza tiene queso mozareia.

D -t ILll I

184. Er: La p

E,: I

izza tiene pollo.

*____]185. E3: La pizza tiene queso parmesano y salami.

F -t ILt¡ .-J

Nociones de probabitidad

Para una convocatoria de talentos artísticos se ha pre-guntado a los 116 participantes cuál es su habilidad.Las respuestas fueron 1as siguientes:

Canto:49 Danza:67 Canto y danza:35

186. Elabora e1 diagrama de Venn de la situación.

187. Si se escoge un participanre al azar, halla la proba-bilidad de que su talento sea únicamente canto.

188. Si se escoge un participante aI azar, halla la proba-bilidad de que este posea los dos talentos.

Conclusión 1

Conclusión 2

Conclusión 3

181. Elabora la tabla marginal relacionada con la va-

riable Tipo de bebida y elabora tres conciusiones a

partir de ella.

189. ;Cuál es la probabilidad de que un participantetenga uno de los dos talentos pero no ambos?

El profesor de ingiés aplicÓ a sus estudiantes una prueba sobre

las competencias básicas para la certifrcación en el uso y ma-

nejo de la lengua extranjera. Observó que e resultado no fue

el esperado, así que decidió analizar en qué competencia de

la prueba consideraban sus estud antes que necesitaban un

refuerzo. A continuac ón, se [¡uestran los resultados.

Readinq Listening

¿Cuáles la competencia en la que los estudiantes deberían recibir un refuerzo?

Speaking

Writing

Reodit',9

f',ttiiing

Listening

Listening

Listening

Speaking

Readtng

Writing

Listening

Listentng

Wr¡t¡ng

Listening

Speaking

Reading

Writing

Listeninq

Writing

\Y/t iting

Reading

Listening

ffi emrnpremdeetpnoblenna.

Reading Listening

Speaking Speaking

Writing Listening

¿Curiles son las preguntas del problema?

En este caso solo hay una pregunta y es: ¿Cuál es la competencia en la que los estudiantes deberían recibir

un refuerzo?

¿Curíles son los datos del problema?

Luego, se muestran los resultados de la prueba, respecto a la competencia en que los estudiantes tuvieron

peor desempeño y que demanda un refuerzo:

Speaking

Reading

Listening

Listening

Reading

Listening

Listening

Writing

Listening

Writing

W'iting

Writing

6ffi;i&&ñssi]lttrrso;€s ;- i,i ., . : ! jl i JiJi.: !;. li$rl¡l* ; j:¡ili;ffi#d**i'i&#

Competencia

Reading

Listening

W'iting

Spertking

l:';:,i:",,;',.'. se determina qué tipo de variable es la que se \¡a a estudiar: para este caso es una variable

cualitativa: competencia en la leng'-ra extr¿tn jera.

i r:r'L-,, se deben identificar las diferentes opciones de respuesta de la variable para elaborar la tabla de

flecuencias: Esas con'rperencias son: Reading, Listening,Writingy Speaking.

Con 1as opciones de lespuesta identificadas se procede a elaborar la tabla y a anaiizarla:

f l:. o/^J Jt /u

4 0,19 190/o

8 0,38 38%

6 0,28 29%

3 o.l4 r40/o

ffi Verifica y redscta [e respi;*:ta

Con base en Ia tabla de frecuer:Lcias, se puede concluir que la competencia en la cual el profesor debe hacer

el leFuerzo es Listening-

,+41

--r-=GG----¡-----I-I{¡ €, É¡ g +¿ é¡ * sr * *} g {¡ s¡ E re-Resuelve las preguntas y actividades de la t90 a I95.

El alcalde de la ciudad quiere implementar un proyecto

de comedores comunitarios en los cuales los ciudadanos

de bajos recursos puedan consumir una comida diariapor cuenta de la alcaldía.

Para ello, se realizó una encuesta, en uno de los barrios, a

un grupo de 49 familias. A estas se les preguntó por su es-

trato económico y se obtuvieron los siguientes resultados.

f95. Si tú fueras el asesor del alcalde y tuvieras que

presentarle un informe en el cual le describas la

población del barrio en cuestión, ¿qué datos in-cluirías? Escribe brevemente a continuación lo que

diría tu informe.

Resuelve las preguntas 196 a 202 con base en la si-

guiente información

Un grupo de médicos especialistas en alergología decide

investigar sobre las alergias en una población de un ba-

rrio de estrato 3 de la ciudad. Para ello, realizaron una

encuesta en un centro médico, donde preguntaron a 500

pacientes, que acuden regularmente a control, sobre sus

alergias a la comida y si habían sido vacunados.

A continuación se presentan los resultados.

á 22I personas son alérgicas a alguna comida.

ft 224 personas son niÁos.

lt 246 personas han sido vacunadas.

¡: 56 personas son niáos alérgicos a alguna comida y que

han sido vacunados.

!: 90 personas son niáos que han sido vacunados.

E 100 personas son niños con alergia a alguna comida.

s 107 personas han sido vacunadas y presentan alergia a

alguna comida.

196. ¿Cuántos eventos

situación anterior?diferentes se presentan en la

r97. ¿Cuáles esos eventos?

El

198. Representa la siruación en un diagrama de Venn.

Si se escoge un paciente aL azar

199. ¿Curíl es la probabiJidad de llue sea un niño?

-

2

1

)1

2

1

I

1

2

2

2

1

3

I

2

2

1

2

2

2

2

I1

2

1

2

2

2

r31123211312t21t)J

122

190. ¿Cuál es la variable que se quiere estudiar?

191. ¿Es una variable cualitativa? ¿Por qué?

192. Construye la tabla de frecuencias correspondiente.

jj

circular que representa la si

''t"1,'.,,1 't,.'"t"

193. El alcalde ha decidido abrir un comedor comuni-tario en cada barrio en donde, como mínimo, el

650/o de la población sea de estratos I y 2. Deter-mina si en el barrio donde se realizó la encuesta se

abrirá el comedor comunitario.

194. Especifica cuál estrato es el que tiene mayor repre-

sentatividad en dicho barrio. Escribe el porcentaje

correspondiente en relación con el total de encues-

tado.s.

es la probabilidad de que haya sido racu-

o/o

E2

Ei

2AO. ¿Cuílnado?

201. ;Cuál es la probabilidad de que tenga alguoealergia a la comida?

242. ;Cuál es la probabilidad de que

alergia a algun tipo de comida?

Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?

... Para analizar problemasambientates y ecológicos.

Reciclar. Una misión de todos

¿Te has puesto a pensar cuántos kilos de basura pro-duces en una semana?

Los seres humanos, por naturaleza, producimos desper-

dicios de comida, papel, plásticos entre otros materiales.

Se diría que cada persona participa en la contaminacióndel mundo. Aunque esto suene un poco irónico, es así;

a diario solamente con el hecho de consumir las onces,

estás dejando a un lado empaques de paquetes, jugos o

borellas.

En ei mundo, se emprenden a diario campaóas de re-

ciclaje de basuras. Algunos aspectos relacionados coneste proceso son:

¿Qué es reciclar?

Es un proceso fisicoquímico o mecánico que consisteen someter una mareria o un producto r-a utilizado a

un ciclo de tratamiento rotai o parcial para obteneruna materia prima o un nuevo producro, Este procesointroduce los productos, de nuer.o, en el ciclo de uriliza-ción con lo cual dejan de ser "basura", para conver¡irseen nuevos elementos reutilizables.

Durante años, los grandes basureros han tenido quealmacenar los residuos hasta que se pudren, sus olores se

evaporan o son sepultados debajo de nuevas monrañasde desechos. Sin embargo, la gran mayoría pudo ha-berse reciclado para que no contaminara más el planeta.

Reciclar en casa. . . Una buena idea

En un hogar, diariamente se genera una gran cantidadde desperdicios. Inclusive los consumidores respon-.ables que utilizan materiales ecológicos v solamente

Galería de

imágenes

tiran a Ia basura lo justo y necesario, producen basura.

Por eso, una de las mejores acciones que se pueden em-prender en casa para el cuidado del medio ambiente es

separar, es decir, clasificar la basura.

En primer lugar, Io ideal es disponer recipientes de co-lores diferentes, o marcados de alguna forma. En ellos se

colocarán los residuos domésticos, realizando una tarea

que muy pocas veces es tenida en cuenta, y que es la base

del reciclaje: la separación o clasificación.

Lo ideal es utilizar un recipiente o contenedor para los

desechos de vidrio, plástico, empaques Tetra pack, latay metales, papel y cartón, y un contenedor para residuos

biodegradables, como restos de comida y vegetación.

Incluso, hay recomendaciones específicas para cada

material, como por ejemplo: colocar el vidrio en bolsas

resistentes, doblar el cartón, compacrar los envases plás-ticos, pisar o aplanar las latas para que no ocupen rantoespacio v dejar el Tetra pack en hojas planas.

Contenedor amarillo (envases): en esre se debe depositartodo tipo de envases ligeros como los de plástico (bo-

rellas. bolsas, bandejas, etc.), latas (bebidas, conselvas,etcétera).

Contenedor azul (papel y cartón): en esre contenedorse deben colocar los envases de cartón así como papel,periódicos, revistas, papeles de envolver, etc.

Contenedor verde (vidrio): en este contenedo¡ como loindica su nombre, se guardan envases y otros elementosde vidrio.

Contenedor gris (orgánico): en é1 se depositan el restode residuos que no tienen cabida en los grupos anre-riores, fundamentalmenre, mareria biodegradable.

Contenedor rojo (desechos peligrosos): como celulares,insecticidas, pilas o baterías, aceire comestible o de ca-

rros, jeringas, latas de aerosol, erc.

Reciclaje de basura orgánica

Cuando se tienen residuos que formaron parte de seres

vivos, es decir, productos de origen animal y vegetal se

puede hacer la "compostd', que es un magnífico abonopara la tierra.

Restos de comida, frutas y verduras, cáscaras de huevo,restos de caÍé, aserrín, paja, trozos de madera, césped,

ramas, hojas, raíces, pétalos, etc, sirven para este pro-pósito.

Actualmente, hay muchos ejemplos de comunidadesque emprenden acciones de reciclaje en beneficio de los

seres humanos y del medio ambiente. A continuación,presentamos el caso de una de ellas.

La junta administradora de un conjunto residencialelaboró una encuesta por medio de la cual se preguntóa cada uno de los residenres si

ÉÉ conocen los procesos de reciclaje y

;t con qué periodicidad reciclan.

Los datos resultantes se registran a continuación:

Conoce el proceso

Sí

No

Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

Sí

Sí

No

Sí

Periodicidad

Algunas veces

Nunca

Siempre

Algunas veces

Siempre

Nunca

Algunas veces

Algunas veces

Nunca

Nunca

Nunca

\lgunas r-eces

Conoce el proceso

No

Sí

Sí

Sí

Si

No

No

Sí

iiNo

Sí

No

Sí

si

Sí

Sí

No

No

Sí

Sí

No

Periodicidad

Nunca

Nunca

Algunas veces

Nunca

Siempre

Nunca

Nunca

Nunca

Nuncl

. Sigmple

sl:-P:'Sigmpre

Siempre

Nulca

Nu¡rca

Nuncl

Nunca

Algunas veces

Silmpre

Siempre

Siempre

1. ¿Cu:il es el objetivo del estudio planteado? Lrplicaen un párrafo tu respuesta.

2" Determina cuál es la población v cuái es 1a muesrraen este caso. También explica cuá1 podría ser el

muestreo utilizado en este caso.

1. ¿Q"é variables se estudia¡on en la muesrra? ;De quétipo son?

1¿" Elabora una tabla de frecuenci¿s para cada una delas variables estudiadas" F{az,Lr por separado.

5. Elabora una tabla dc c¡i:tr¡gencia que relacione las

dos variabl.. c:i -r - .i.:{:" Elabora el dirq¡¿r: :- :,¿ii¿s correspondiente a la

tabla de contingencia que hiciste.

7. Escribe cuarro conclusiones a partir del diaeran.

i Si se selecciona u¡ habitante al azar, ¿que ,r -' : .r --

lidad hav de que este conozca los procesr, :; :::.-claje? ;Qué probabilldad hay de qu- n r - , - ,--: -.:-l ,/

Trabaja con Stadis

í3ar;¡ aeeeei*r a 5*;:¡dis, ingresa y *:leseang;l*l p rn g ra n: ; en : E{aq:l i s.s{:}ftnm i e.c,r¡ ¡r:/

l:::=¡lS Haz clic en StadiS. fu#S Observa la ventana que se despliega.

Luego, en la parte inferior, haz clic en Nueva,como se muestra en la figura.

W Visualiza la ventana que se despliega.

Luego, selecciona Unidimensional.

Después haz clic en Categórica.

Y finalmente en Aceptar, como se muestra a

continuación.

Discreta

Continua

,+t .&6é BTDIMENsToNAL:X,y

Objetivo: organizar,procesar y analizar cualquier tipo de datos, realizando cálculos, manejo de fórmulas y crea-ción de gráficos.

Concepto: representar datos en una tabla de frecuenctas. Luego, eaborar el diagrama de barras, circular ehrstogramas en el programa Stadis.

ffi lntrodr.e, en la Tabla de distribución, los si-guientes datos relacionados con los sitios webmás visitados por un grupo de 300 personas,de la siguiente manera: Google 1 00, Twitter 30,Youtube 1 20, Facebook 50.

€ffi Para calcular la frecuencia relativa, seleccionaColumnas: X.

Luego, haz clic en f,, como se muestra a conti-nuación.

'' (':44

ciona Columnas: X.

Luego, haz clic enf!/o, como se muestra en lafigura.

-l'@il ii;;l.

€€ Responde, ¿qué porcentaje de personas visitaTwitter?

ffi Puru elaborar el diagrama de barras, seleccionala opción F2. Luego, haz clic en Barras, como se

muestra en la figura.

Fac

'*

Seclores

"1ll¡l'@ g' E

@ Puru realizar el estudio de variables cuantita-tivas, se selecciona Unidimensional, despuéshaz clic en Discreta y luego en Aceptar, comose muestra en la figura.

@ puru realizar el diagrama circular, haz clicSectores.

t'lUEvl OtStRlgUCrÓN

i - l¡lt, unrorrvreNSroNAL : X

{ :i Categóricai^o

. ; continua

: - ,Mt BTDTMENSToNAL: X,y

l,I Aceptar'. $ Cancelar :

W lntroduce los datos en la Tabla de distribuciónque se muestra en la figura.

1,4

1,43

1,47

I,O

1,66

1,7

1,72

& puruconstruir el polígono de frecuencias, selec-ciona la opción F2. Luego, haz clic en Líneas,como se muestra en la figura.

:..i: 'i'rr I r¡l_T -:i-l!:

lt &= -¿ -t' =',,llii W- ^/ ,,,:

ClProgramf es\2p\stadis\d Lineas mdb

@l Cambia el aspecto de los diagramas de barras ycirculares, y el polígono de frecuencias con las

herramientas que se muestran en la figura.

f*il"t9

fsii r' :

i ""- --;

:- .=*-

_-i

Polirái- "'---.'- "-::

@ Completa la tabla de frecuencia con los datosque introdujiste en el punto 11. Luego, realizael diagrama de barras y el diagrama circularcorrespond ientes.

o

o

10

7

4

2

en ,:,¡*rua - - -,

fl:rtiil . -.t_

Reti¡

TABLA DE LA DISTRIBUCION

aI

¡

@

Abscisa: valor que se representa en el eje horizont¿l o eje x, en el

plano cartesiano.

Ángulo: unión de dos semirrectas que parten de un mismo punto.

Angulos adyacentesr ánguLos consecutivos cuyas med das suman

T BO",

Ángulos complementarios: dos ángulos cuyasg0'.

Ángulos consecutivos: ángulos que solamente

un ladoye vértice.

Ángulos suplementarios: dos ángulos cuyas

1 80",

medidas surn¿-

tienen en común

medidas suman

#lW

Base numérica: nrimero de elementos que conforman cada orden

o nivel en un sistema de numeración posicional.

Bicondicional o equivalencia: proposicion compuesta por e1 co-

nectrvo lógico "si )t sólo si" (<+).

Conectivo lógico: expresión que sirve para unir o enlaz¿r dos pro-

posiciones simples,

Conjunción: proposición compuesta por dos proposiciones simples

enlazadas por el conectivo lógico "y" (A).

Conjunto fi nito: conjunto con un número determin¿do de elemen-

tos, que se puede contar.

Conjunto infinito: conJunto con un número indeterminado de ele-

mentos.

Datos: c¿ntidades o medidas obtenldas de la observación, compara

ción y ¿plrc¿ción de encuest¿s.

Diferencia simétrica: operación Iógica entre dos conjuntos,4 y B,

que corresponde a os e ementos que pertenecen a la unjón deAyB,que no pertenecen a su intersección.

Ecuacién: igua dad entre expresiones algebra cas que solo es clertapara algunos valores de las vari¿bles.

Eje de simetría: recta que divide una figura en dos partes que

coinciden exactamente.

Ecuaciones equ¡valentes: ecuaciones que tienen el mismo con

junto solución.

Factorización de un número: expres ón de un número como el

producto de sus 1'actores primos.

Figuras semejantes: aquellas qLre t!enen a mrs^'¿ ':'-: ::'J l .tinto tamaño.

Figuras simétricas: co - '-. :t' - ^ : :i ' ---:-: . :todas las parejas de pJ.ros ací'esCc.a.aniei in dici¿,i ic.ras .¡ - -

distan de é

Fracción decimal::oda fracción cuyo denominador es una poten-

cia de 10.

Fracción impropia: fracción en la que el numer¿dor es mayor o

igual que el denominador,

lmplicación o condicional: proposición compuesta por dos pro-

posiciones simples enlazadas por el conectlvo lógico "entonces" (=+).

Línea poligonal: unión de segmentos coniicuos. Una linea poligo-

nal puede ser abierta o cerrada,

Bisectriz de un ángulo: rayo que parte del vértice y divide al án-

gulo en dos ángulos de igual medida.

Conjunto universal: conjunto que sirve como referencia para otros

conjuntos.

Conjunto vacío: conjunto que carece de elementos.

Conjuntos disyuntos: dos conjuntos que no tienen elementos co-mune5.

Conjuntos intersecantes: dos conjuntos que tienen elernentos

comuneS,

Divisores: un número a es divisorde un número b, cuando la divi

sión de b entre d es exacta.

Disyunción: proposición compuesta por dos proposrciones slmp es

en azadas por el conectivo lógico'b" (V)

Espacio muestral: conjunto formado por los posibles resultados de

un experimento ¿leatorio.

Experimento aleatorio: experimentc del cual no se puede prever

el resultado.

Fracción propia: fracción en a que.^l numerador es menor que el

denom rnador.

Fracciones equivalentes: aqueilas fracciones que expresan la

-,,-'.::' :l:J.Frecuencia absoluta: nú¡rero de veces que se repite un deterrni-':l: .i :' :- : .:-.::. -.Sl::iSlCa qUe Se eStUdia.

Frecuencia acumulada: -,,'-:.c de eventos ocurridos o de indi-rrlduos que presentan u¡¿ c¿.aa-:";st'c¿ de a variable hasia el mo-mento considerado.

Frecuencia relativa: cociente entre la irecuencia absoluta y el nú-

mero de individuos de la población en un estudio estadístico.

lntersección: conjunio formado por los elementos comunes de am

bos co^jur lo5.

Longitud: magn rud lísica que expresa la distancia entre dos puntos

Máximo <omún divisor: el mcd de dos o más números es igual

al producto de sus factores primos comunes, elevados a su menorexponente.

Mediatriz de un segmento: recta perpendicular que pasa por el

punto medio de un segmento.

Número compuesto: número que se puede expresar como el pro

ducto de números primos diferentes al mismo y a la unid¿d.

Número decimal: expresión numérica formada por una parte en-

tera y una parte decimal separada con una conna o un punto decimal.

Obtuso: éngulo cuya medida es mayor que 90'y menor que 1 80".

Ordenada: valor que se representa en el eje vertical (eje y) en el

p ano cartesiano.

Pareja ordenada: dupla formada por dos elementos en la cual el

orden es determinante.

Planos coincidentes: dos planos son coincidentes cuando poseen

puntos comunes no colineales.

Planos paralelos: dos planos son paralelos si no poseen puntos

comuneS.

Planos secantes: dos planos que se cortan y determinan una recta

en común.

Población: conjunto de indrvlduos, objetos o fenómenos de los cua

les se desea estudiar una o varias característícas.

Polígono: figura plana formada por una linea poligona cerrada y

su interior

Polígono cóncavo: polígono que tiene un ángulo interior mayorque 1 B0'.

Polígono convexo: po ígono cuyos ángulos interiores son menoresque I B0'.

Raíz n-ésima: se llama raíz n ésima de un número m, a número b,

queal elevarloal exponenten es igual a m. Se escribe'^[, -,tRecta numérica: recta donde se representa un determln¿do con-junto de números, de tal forma que a cada punto de la recta, le co-

rresponde un único número,

Sistema de numeración! conjunto de símbolos con reglas bien

definidas de combinación, us¿dos para representar cantidades y rea

lizar operaciones con ellas.

Tabular: expresar magnitudes o datos por nredio de tablas.

Tantoporciento: una ovarias partesdecada 100 partes qj¿ es

Transformación rígida: transformación de una ñgura er ei p ano,

sin cambiar las medidas de sus ánguLos, ni de sus lados

Valor absoluto de una cifra: valor del número que esia representa.

Valor relativo de una cifra: valor del número que est¿ reci'esenta

pero dependiendo de a posición que ocupa.

Mínimo <omún múltiplo: el mcm de dos o más números es el pro- ,;ducto de todos los factores prlmos de ios números dados, elevados a r¡r''r'{r'

su mayor exponente.

Múltiplos de un número a: conjunto formado por todos aquellos

números de la forma a X n, donde n es un número natural distintode 0.

Números primos: aquellos números naturales que t¡enen solo dos

divisores positivos: la unidad y el mismo número.

Origen: punto en e que se intersec¿n los ejes que conforman e

plano car::: ano. Se representa con la coordenada (0,0)

Polígono regular: l: igonc en el cual las longitudes de sus lados y

la abertura de.,,5:¡i,, os rnteriores son guales.

Polinomio aritmético: :,r:.:s ¡¡ :n La cual se combrn¿" .ar as

operaciones.

POrcentaje: res!:¿r: ,r::t :-r.e tanto por cientc a una cantid¿d

dada.

Potencia: expres ó' :s¡l¿ c¿r'¿ indicar la mu tlp icación de un factor

por él m smo ur J:.erl raCo número de veces.

Primos relativos: ¿que los números cuyo único divisor común es 1.

Proposición: ¿lr'rr¿ción o enuncrado del cual se puede decir si es

verdadero o f¿ so.

Puntos colineales: puntos que pertenecen a una misma recta.

Puntos coplanares: puntos que están en un mismo p ano.

Reflexión: transformación riq da en el plano que consiste en dar me-

dia vuelta a una figura mediante un¿ recta ilamada eje de reflexión.

Rotaciónr transformaclón rigida en el plano que consiste en girar

una figura alrededor de un punto determinado. Para rotar una figura

se debe tener en cuenta e ánqu o de rotación y eJ sentido contrario o

no conirario a las m¿necilias del reloj

Subconjunto: un conjunto,4 es subconjunto de un conjunto B sr

todos los elementos de,4 están en B.

Traslación: transform¿ción r g da en el p ano que consiste en des-piazar una figura a o argc Ce una recia. Para trasladar una figura

debe especificarse n¡¿qnituci, Cirecclón y sentido.

Variable estadística: característica que se estudia en cada

mento de la población o muestra

ri,ii;