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Laboratorio Virtual No.2 MOVIMIENTO PARABÓLICO

OBJETIVOS 1. Observar como varía el alcance y la altura máxima con el ángulo de

lanzamiento. 2. Comprobar que el alcance de un objeto que lanzado con la misma rapidez y

dos ángulos diferentes pero complementarios, es el mismo.

3. Determinar la velocidad inicial de lanzamiento vo y la velocidad final al llegar al suelo.

4. Hallar experimentalmente la ecuación de la trayectoria de un proyectil lanzado

al aire con una cierta rapidez y ángulo de disparo inicial que cae bajo el efecto de la gravedad.

5. Comparar este resultado experimental con el resultado propuesto por el

modelo cinemático estudiado en clase. 6. Determinar el alcance de un proyectil como función del ángulo de lanzamiento. 7. Determinación de la altura máxima como función del ángulo de lanzamiento.

8. Determinación del alcance máximo como función de la velocidad inicial. 9. Calcular, a partir de los datos experimentales, la rapidez inicial del proyectil y

el ángulo de disparo.

10. Contribuir al desarrollo de la habilidad en el uso de las técnicas de graficación y linealización que permiten encontrar experimentalmente la ecuación que relaciona: las coordenadas (X, Y) de la trayectoria del proyectil que se lanza,

alcance y ángulo de lanzamiento (R, sen)

TEORÍA

Se le llama caída libre al movimiento que se debe únicamente a la influencia de la gravedad.

Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una aceleración

dirigida hacia abajo cuyo valor depende del lugar en el que se encuentren. En la Tierra este valor es de aproximadamente 9,8 m/s², es decir que los cuerpos dejados en caída libre aumentan su velocidad (hacia abajo) en 9,8

m/s cada segundo. En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire.

El movimiento de proyectiles es una combinación de dos movimientos rectilíneos perpendiculares entre sí e independientes, donde el movimiento vertical es

rectilíneo uniformemente variado y el horizontal rectilíneo uniforme.

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Se considerará un proyectil disparado en el instante t = 0, con una veloc idad inicial vo. (Fig. 1)

y( m

R

Fig. 1 Trayectoria del movimiento de un proyectil.

El origen del sistema de coordenadas coincide con el punto de lanzamiento del

proyectil.

Tomando en cuenta que el origen del sistema de coordenadas coincide con el

punto de lanzamiento del proyectil, las coordenadas de posición en función del

tiempo son:

𝑥 𝑡 = 𝑣𝑜 cos 𝜃 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡 − 𝑔 𝑡2

2

La altura máxima h como función del ángulo de lanzamiento :

𝑕 = 𝑣0

2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃

2 𝑔

y el alcance máximo R:

𝑅 = 𝑣0

2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃

𝑔

Cuando el ángulo de lanzamiento es igual a cero, la velocidad inicial es horizontal y se tiene un tiro horizontal. Sobre el objeto actúa la fuerza de gravedad y es

acelerado verticalmente hacia abajo, pero la componente horizontal en cualquier punto de su trayectoria es igual a la velocidad inicial.

𝑣0 𝑣0𝑥

𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝐻

𝑣0𝑥

𝑣0𝑦

3

=

En la dirección del eje X la aceleración es cero y el movimiento horizontal es un _______________________________ por lo tanto:

𝑥 = 𝑣0 𝑡 (𝟏)

En la dirección vertical (eje Y), para cualquier instante de tiempo, la coordenada y

será:

𝑦 = 𝑦0 − 𝑔 𝑡2

2 (𝟐)

Para escribir la ecuación (2) se considera la dirección positiva hacia arriba. Despejando t de (1) y sustituyendo en (2), la velocidad inicial estará dada por la

ecuación:

𝑣0 = 𝑥 𝑔

2 𝑦𝑜 − 𝑦 (𝟑)

𝑣0

𝑥

𝑅

𝑦0 = 𝐻

𝑋 (𝑚)

𝑌 (𝑚)

𝑦

Fig. 2

4

Como el movimiento del objeto en la dirección x es rectilíneo uniformemente acelerado, la componente vertical de la velocidad instantánea, 𝑣𝑦 es:

𝑣𝑦 = −𝑔 𝑡 (𝟒)

Si se despeja t de la ecuación (1) y se sustituye en la expresión para 𝑣𝑦 se

obtiene:

𝑣𝑦 = −𝑥 𝑔

𝑣0 (𝟓)

La dirección de la velocidad en cualquier instante de tiempo t es:

tan 𝜃 = 𝑣𝑦

𝑣𝑥 Al sustituir en esta ecuación (5) se obtiene:

tan 𝜃 = 𝑔

𝑣02 𝑥 (𝟔)

La aceleración a la que se ve sometido un cuerpo en caída libre es tan importante en la Física que recibe el nombre especial de aceleración de la gravedad y se

representa mediante la letra g.

Lugar g (m/s²)

Hemos dicho antes que la aceleración de un cuerpo en caída

libre dependía del lugar en el que se encontrara. A la izquierda se tiene algunos valores aproximados de g en diferentes lugares de nuestro Sistema Solar.

Para hacer más cómodos los cálculos de clase solemos

utilizar para la aceleración de la gravedad en la Tierra el valor aproximado de 10 m/s² en lugar de 9,8 m/s², que sería más correcto.

Mercurio 2,8

Venus 8,9

Tierra 9,8

Marte 3,7

Júpiter 22,9

Saturno 9,1

Urano 7,8

Neptuno 11,0

Luna 1,6

PROCEDIMIENTO Alcance y altura máxima

Si no tenemos en cuenta la influencia del aire, en el lanzamiento oblicuo el movimiento horizontal es uniforme y

el vertical es uniformemente acelerado. En este applet se realizan lanzamientos oblicuos (la velocidad forma un ángulo con la horizontal) y se observa

5

el alcance horizontal así como la altura máxima del proyectil. El punto de lanzamiento y llegada están al mismo nivel y el primero coincide con el origen del sistema de coordenadas (x,y). Se puede variar la velocidad inicial y el ángulo de

lanzamiento. En el lado derecho del applet se dan los datos iniciales, los instantáneos durante

el movimiento y los finales al impactar en el punto final. En el lado izquierdo si se coloca el cursor en la esferita azul de la velocidad se

varía la magnitud de la velocidad inicial al arrastrarlo y soltarlo; si se coloca sobre la esfera azul, arrastrarlo y soltarlo se varía el ángulo de lanzamiento.

También en el lado izquierdo se encuentran unas barras : dando clik en “Iniciar” el objeto es lanzado hasta llegar al punto de impacto, la trayectoria que describe se va dibujando y al final la distancia horizontal recorrida queda señaliza mediante

una recta horizontal de color rosa viejo. Al dar click en “reiniciar” el objeto retorna al punto inicial.

Cañones complementarios

Al lanzar un objeto con la misma rapidez y con dos ángulos diferentes pero complementarios, las alturas

máximas y los tiempos de vuelo son diferentes pero el alcance es el mismo.

Colocando el cursor en la flecha del sector de área ubicado en el lado derecho superior puede variar los ángulos de forma que tal que su suma siempre es 90°

(complementarios). Una vez que ha seleccionado los ángulos dar click en “iniciar”, los cañones

dispararán los proyectiles y estos impactaran a cierta distancia, preferiblemente que den en el blanco señalado por una flecha amarilla. Observe cuidadosamente y copie la imagen. Para continuar trabajando dar click en “reiniciar”. Considerar

ángulos con la horizontal menores de 45°, iguales a 45° y mayores de 45°. Puede obtener las imágenes para cada caso, si en el tablero de la computadora

da click en “imp print” (en algunas hay que dar click simultáneamente en “fn”), luego en una página Word da click en “pegar”, en Herramientas de imágenes dar click en “formato “, para luego hacerlo en “recortar” para obtener la imagen que

necesitamos.

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Lanzamiento horizontal: Gráficas del lanzamiento horizontal. Es posible obtener el mismo alcance sin variar la

velocidad del lanzamiento disparando con dos ángulos que sean complementarios, es decir que sumen 90°.

En este applet se puede observar las gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo en un

lanzamiento horizontal. En el instante t = 0 s, la pelota está en reposo y

en el cuadro ubicado a la izquierda se presentan los datos iniciales correspondientes a esta situación. Al dar click en “iniciar” el hombre patea la pelota, por lo que esta adquiere una velocidad horizontal, de allí el nombre del

applet, cae describiendo una trayectoria parabólica que se va dibujando a medida que va cayendo, y simultáneamente en el cuadro se proporcionan los valores instantáneos.

En el lado izquierdo están los gráficos para posición-tiempo y velocidad-tiempo, en los cuales a

medida que el cuerpo cae se van dibujando las rectas correspondientes. Al llegar a la posición final se obtiene: la trayectoria del cuerpo, los valores

finales en el cuadro de la izquierda y los gráficos de las curvar finales.

No es posible cambiar los datos proporcionados inicialmente.

LANZAMIENTO HORIZONTAL: Principio de independencia

La bola azul se deja caer y la roja se lanza con velocidad horizontal. Observa la equivalencia de los movimientos verticales de las dos bolas debidos a la

acción de la gravedad. La barra de desplazamiento de la velocidad

horizontal inicial nos permite variar su magnitud, para ello es necesario arrastra la esferita azul con el cursor.

Pulsando la barra “iniciar” la bola azul golpea la roja, la primera cae describiendo una trayectoria rectilínea, la segunda con velocidad horizontal se mueve

describiendo una trayectoria parabólica.

7

Al pulsar la barra “reiniciar” las esferas retornan al reposo en la posición inicial a cierta altura del piso.

TIRO HORIZONTAL: El tiro horizontal como composición de un movimiento uniforme y no acelerado.

TIRO PARABÓLICO:

Composición de un movimiento acelerado y otro uniforme.

El manejo del applet es idéntico al del Tiro parabólico, con la diferencia que se ha agregado:

Una barra de desplazamiento que permite el cambio de ángulo.

Un espacio que indica el la altura máxima alcanzada por el cuerpo en

movimiento.

Reinicia

Inicia Pausa

Tiempo: Indica el inicial, el instantáneo y el final

Posición en cada instante

Componentes de la velocidad: iniciales,

instantáneas y finales. Altura de lanzamiento: desplazando

la barra azul es posible cambiar la

posición inicial en y

Cambia la

magnitud de

la velocidad

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PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. Alcance y altura máxima:Entrar a la siguiente dirección

http://www.educaplus.org/play-305-Alcance-y-altura-m%C3%A1xima.html

El valor de la aceleración de la gravedad a considerar es:

𝑔 = −9.8 𝑚/𝑠2

a. Manteniendo la velocidad constante (puede escogerla al colocar el cursor en velocidad, arrastrarlo y

soltarlo) variar el ángulo de lanzamiento (tomar en

cuenta = 45°).

Colocar en la Tabla 1 los valores iniciales:

TABLA 1

𝑡0 (𝑠) 𝑦0(𝑚) 𝑥𝑜 (𝑚) 𝑣 0(𝑚/𝑠) 𝜃 (°) 𝑣0𝑥 𝑣0𝑦

0 0 0

b. En la Tabla 2 colocar los datos obtenidos:

𝒚𝒐 = 𝒚𝒇 = 𝟎 TABLA 2

𝑣0

𝑚/𝑠

𝑡 (𝑠) 𝜃0

(°)

𝑣𝑓𝑥

𝑚/𝑠

𝑣𝑓𝑦

𝑚/𝑠

𝑥𝑓 = 𝑅

(𝑚)

1

2

3

4

5 45

6

7

8

9

10

9

c. Manteniendo el ángulo de lanzamiento constante (puede escogerla al colocar el

cursor en “ángulo (°), arrastrarlo y soltarlo) variar la velocidad inicial de

lanzamiento. Colocar en la Tabla 3 los valores iniciales:

TABLA 3

𝑡 (𝑚) 𝑦0(𝑚) 𝑥𝑜 (𝑚) 𝑣 0(𝑚) 𝜃 (°) 𝑣0𝑥 𝑣0𝑦

d. En la Tabla 4 colocar los datos obtenidos:

𝒚𝒐 = 𝒚𝒇 = 𝟎 TABLA 4

𝜃

(°)

𝑡 (𝑠) 𝑣0

𝑚/𝑠

𝑣𝑓𝑥

𝑚/𝑠

𝑣𝑓𝑦

𝑚/𝑠

𝑥𝑓

(𝑚)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2. CAÑONES COMPLEMENTARIOS: Entrar a la página

http://www.educaplus.org/play-308-Ca%C3%B1ones-complementarios.html

a. Anotar en la TABLA 5 los ángulos complementarios que se indican en el applet y dar click en “lanzar”,

observar las trayectorias descritas por los objetos y pegue la imagen en el espacio debajo de los ángulos

correspondientes. b. Repetir la acción para el ángulo

azul lo más aproximado posible,

menores que 30 y mayores que 45°, No es necesario que los

10

proyectiles acierten impactando en el blanco dibujado en el applet.

TABLA 5

30° 45°

Complementario

75°

Complementario

3. Lanzamiento Horizontal. Entrar a la página: http://www.educaplus.org/play-303-Gr%C3%A1ficas-del-lanzamiento-horizontal.html

a. Anotar en la TABLA 6 los

datos iniciales que se proporcionan en el applet.

b. Pulsar “iniciar” y observar el movimiento de la pelotita hasta que llega al suelo. Al

mismo tiempo debe observar lo que está pasando con los gráficos del movimiento.

c. Anotar los datos finales en la TABLA 6.

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TABLA 6 Inicial Final

t (s) t (s)

ax (m/s2) ax (m/s2)

ay (m/s2) ay (m/s2)

vx (m/s) vx (m/s)

vy (m/s) vy (m/s)

x0 (m) x0 (m)

y0 (m) y0 (m)

d. Pegar la imagen del gráfico de las posiciones. Señalar o identificar cada

curva como curva de la posición “x” y “y”.

e. Haciendo uso del gráfico escribir la ecuación correspondiente a cada una de las posiciones. En el caso de la posición “y” determinar gráficamente el valor de la aceleración.

f. Pegar la imagen del gráfico de las componentes de la velocidad en función del tiempo.

g. Haciendo uso del gráfico escribir la ecuación correspondiente a cada

componente. Determinar el valor de la aceleración. h. Calcule la magnitud de la velocidad de impacto y el ángulo de impacto

(respecto de la horizontal).

4. Lanzamiento horizontal: Principio de independencia

Entrar a la página: http://www.educaplus.org/play-304-Principio-de-Independencia.html

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a. Iniciar con valores pequeños de velocidad horizontal de la pelota roja, repita varias veces la experiencia incluyendo el caso de la rapidez máxima.

b. Observar en cada caso el movimiento de las dos pelotitas. ¿Qué se puede decir respecto a la posición vertical de ambos en cada instante de tiempo? ¿Cuándo llegan al suelo? Y ¿en todos los casos?

c. Para un caso dado (por ejemplo, el presentado en la figura de la derecha superior de la página) ¿Qué se puede decir acerca de la posición horizontal de ambas pelotitas?

d. En el tiempo (todos los casos), ¿Qué se observa de la posición de la pelotita roja respecto de la pelotita azul?

5. TIRO HORIZONTAL:

a. Entrar a la página: http://www.educaplus.org/movi/4_4thorizontal.html

b. Seleccionar un valor de velocidad

horizontal inicial y anotarlo en la TABLA 7

y uno de altura respecto del suelo. Así mismo anotar los demás valores iniciales indicados en el applet.

c. Para valores diferentes de velocidad

inicial poner en movimiento a la moto, y

observarla. Anotar los datos en la Tabla 7.

TABLA 7

t0

v0 (m/s)

vx0 (m/s)

vy0 x0

(m) y0 = H

(m) t (s) vx Vy

x= R (m)

y

1

2

3

4

5

d. Para un valor dado de velocidad (durante esta actividad se mantendrá constante) variar la altura (posición inicial y0). Dar iniciar y anotar en la TABLA 8 los valores finales de las magnitudes física que varían.

13

𝑣0 = 𝑚/𝑠 TABLA 8

H = y

(m)

vY (m/s) x (m) = R t (s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6. Tiro parabólico a. Entrar a la página http://www.educaplus.org/play-110-Tiro-parab%C3%B3lico.html

b. Elegir un valor de velocidad inicial y un ángulo de lanzamiento y manteniéndolos constante, dar

“click” en para iniciar, luego en para detener y poder así anotar posición (x, y), la velocidad vertical (vx) y el instante de tiempo

correspondiente, dar luego click en para reiniciar. Anotar en la

TABLA 9. c. El paso anterior repetirlo 9 veces más a medida que se mueve el

proyectil, siendo la última posición el punto localizado en el suelo, es decir el punto de impacto. Anotar en la TABLA 9. Sin falta anotar en la Tabla la posición (x, y) para las cuales el proyectil alcanza la altura

máxima, así como la posición del punto de impacto. TABLA 9

𝑣0 = 𝑚/𝑠 =

vY (m/s) x (m) y (m) t (s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

14

d. En esta actividad se mantendrá constante la velocidad inicial y se

variará el ángulo l. Anotar en la TABLA 10 los datos que encuentra

en el applet.

Para las TABLAS de las 10 a la 12,

TABLA 10

v0 (m/s) =

vx (m/s) vY (m/s) x (m) = R ymáx (m)

t (s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

e. Repetir el inciso d, para dos valores más de velocidad inicial

TABLA 11

v0 (m/s) =

vx (m/s) vY (m/s) x (m) = R ymáx (m)

t (s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

TABLA 12

v0 (m/s) =

vx (m/s) vY (m/s) x (m) = R ymáx

(m)

t (s)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CÁLCULO Y ANÁLISIS DE RESULTADOS a. Alcance y altura máxima.

Calcular la velocidad inicial 𝑣0

Calcular la magnitud y dirección de la velocidad de impacto. TABLAS 1 y 2

𝑣0 (𝑚/𝑠 ) 𝑣 (𝑚/𝑠 ) 𝜃0

(°) 𝜃

(°)

𝑣0𝑥 𝑚/𝑠

𝑣𝑥 𝑚/𝑠

𝑣0𝑦

𝑚/𝑠

𝑣𝑦

𝑚/𝑠

𝑅 (𝑚)

Trazar los gráficos: alcance en función del ángulo de lanzamiento, Alcance

en función del tiempo y velocidad de impacto en fucilón del ángulo de lanzamiento. TABLA 2

Para ángulo de tiro constante, calcular la velocidad de impacto TABLA 3

Trazar el gráfico 𝑅 = 𝑓 (𝑣0) TABLA 4

b. Cañones complementarios.

¿Qué observó relacionado con la altura máxima a medida que variaba el

ángulo de tiro?

¿A qué es igual el ángulo de tiro para el cual se obtiene la mayor de las

alturas máximas?

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c. Lanzamiento horizontal.

¿Qué observó en el applet a medida que la pelotita roja caía bajo la acción

de la gravedad?

A partir de los datos de la TABLA 6, ¿qué se puede inferir acerca de los

movimientos vertical y horizontal?

En los gráficos de las posiciones en función del tiempo, aparte de la

diferencia de colores ¿cómo distinguir cuál de las curvas corresponde al movimiento vertical y cuál al movimiento horizontal?

d. Lanzamiento horizontal (Principio de Independencia)

Considerando un objeto que es lanzado con velocidad horizontal en el instante inicial y a partir de la trayectoria que describe, ¿cuántos y cuáles

son los movimientos cuya combinación dan como resultado el movimiento horizontal?

Con base a lo observado ¿Qué se puede decir acerca de la relación

existente entre los movimientos?

e. Tiro horizontal.

Conociendo las componentes de la velocidad final (TABLA 7):

Calcular la rapidez final

1 2 3 4 5

𝑣𝑓 𝑚/𝑠

𝑣0 (𝑚/𝑠 )

Trazar la curva v = f (v0) en papel milimetrado.

La dirección del vector velocidad final (X positiva) .

Calcular la tan

1 2 3 4 5

𝑡𝑎𝑛

𝑅 (𝑚 )

Graficar en papel milimetrado la tan = f(R) y calcular la aceleración

de la gravedad.

Graficar en papel milimetrado

La posición vertical y = f (x) :

la componente vertical de la velocidad en función de la altura

(posición y).

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la posición x = R (distancia horizontal recorrida) en función de la altura, x = f (H).

Determinar la 𝑣0 utilizando los valores de las coordenadas de la posición

final.

f. Tiro parabólico o Tiro oblicuo.

TABLA 9

Calcular la posición xmáx correspondiente a cada ymax.

1 2 3 4 5

𝑥𝑚á𝑥 (𝑚)

𝑦𝑚á𝑥 (𝑚)

Calcular la posición la magnitud de la velocidad de impacto y su dirección,

el ángulo respecto de la horizontal (x positiva)

Calcular la velocidad instantánea v y anotarla en la tabla siguiente:

1 2 3 4 5

𝑣 (𝑚)

𝑥 (𝑚)

Graficar en papel milimetrado 𝑣2 = 𝑓 𝑥

Del gráfico obtener la magnitud de la aceleración de la gravedad.

Graficar en papel milimetrado 𝑦 = 𝑓( 𝑥).

¿El resultado es una curva lineal?

𝑦 = 𝑓( 𝑥). se curva hacia ________________, de aquí se puede

inferir que la ______________________ tiene signo

__________________

Para las distintas velocidades iniciales, trazar en un mismo gráfico la altura

máxima 𝐻 = 𝑦𝑚á𝑥 en función del ángulo de lanzamiento . Utilizar papel

milimetrado. (TABLAS 10 a 12).

Plotear el alcance máximo R en función de la velocidad inicial 𝑣0 para un

ángulo de 45°.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R (m)

𝑣0 (𝑚/𝑠)

Graficar R en función de v0.

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El trazo directo de los datos R(v0) da como resultado una curva no __________. R se curva hacia _________________, es decir R

depende de v0 en una potencia n _______________ que 1 y la forma de la ecuación será del tipo

Considerando que n = 2, determinar la constante k de la ecuación

empírica.

Mostrar que la aceleración de la gravedad es igual a:

Si 𝑔 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃

𝑘 donde k es la constante de la ecuación empírica,

determinar la aceleración de la gravedad.

Trazar en papel log-log el alcance máximo en función de la velocidad inicial

con ángulo de lanzamiento 𝜃 = 45°.

Deducir la ecuación que permite encontrar la potencia n.

Determinar la potencia n

Determinar la constante k

Determinar la aceleración de la gravedad.

Trazar en papel milimetrado log R = f (log v0), si 𝜃 = 45°. D

La potencia n

La constante k de la ecuación empírica

La aceleración de la gravedad.

CONCLUSIONES

PREGUNTAS.

1. Mostrar que la aceleración de la gravedad es igual a:

𝑔 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜃

𝑘

2. En el caso del tiro horizontal, se mantiene constante la altura de

lanzamiento pero se varía la velocidad horizontal inicial. Además de altura y

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de la aceleración vertical, ¿qué otra magnitud se mantiene constante? En el caso del tiro horizontal, se mantiene constante la altura de lanzamiento pero se varía la velocidad horizontal inicial, aparte ella y de la aceleración

vertical, ¿qué otra magnitud se mantiene constante? 3. ¿Por qué en el caso del numeral anterior, la posición vertical inicial (y0) es

diferente de cero?

4. ¿Por qué en algunos casos al determinar la posición y(m) se está determinando la altura respecto del suelo de los objetos que caen?

5. ¿Dónde está ubicado el origen del sistema de coordenadas (sistema

cartesiano)?