ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

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LABORATORIO DE ANALISIS Y COMPENSACION DE

SISTEMAS DE CONTROL LINEALES

PRACTICA #1: ESTABILIDAD Y LUGAR GEOMETRICO DE LAS

RAICES

Ian Mateo Rodríguez López 1224334

Ian.rodriguez@correounivalle.edu.co

Héctor Camilo Rodríguez 1222911

Hector.Rodriguez@correounivalle.edu.co

Resumen — En un sistema de control de servo motor se busca

estudiar la técnica del lugar de las raíces, la cual consiste en el análisis

de los polos de red cerrada cuando se varia un parámetro k, este

análisis se logra por medio de la información de los polos y ceros de

red abierta, Este método es útil puesto que nos ayuda a ajustar de

manera correcta por medio de un controlador un sistema en

particular. Para el sistema de control del servomotor se busca

estudiar el comportamiento del sistema cuando se implementan polos

en la red abierta del controlador.

Palabras clave — lugar geométrico, raíces, polos, ceros,

controlador.

I. INTRODUCCION

Las características básicas de la respuesta transitoria de un sistema

realimentado las determinan los polos de lazo cerrado, por lo que

en el análisis de un sistema de control es importante poder ubicar

estos polos en lugares apropiados del plano S. Básicamente, el

diseño de sistemas de control lineal se puede enunciar como un

problema que consiste en arreglar la localización de los polos y

ceros de la función de transferencia del sistema, para que el

sistema se comporte de acuerdo a unas especificaciones prescritas.

Como los polos de lazo cerrado son las raíces de la ecuación

características resulta importante para el análisis conocer los

efectos de la ubicación de las raíces de lazo cerrado cuando

cambia un parámetro en la ecuación característica. En síntesis se

puede decir que el lugar geométrico de las raíces son las

trayectorias de la ecuación característica cuando un parámetro de

ella varía. [1]

II. OBJETIVOS

A. Objetivo general.

El objetivo general de la práctica de laboratorio es identificar y

conocer la importancia que tiene la técnica del lugar geométrico

de las raíces ante un sistema real que para este caso es un sistema

de servomotor.

B. Objetivos específicos.

♦ Identificar la zona lineal y operación del sistema, y con base

en lo anterior estipular un punto de operación.

♦ Obtener la ganancia crítica del sistema y ganancia con la que

el sistema se comporta como un segundo orden.

♦ Construir el lugar geométrico de las raíces con

MATLAB/SCILAB.

III. DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Y ANALISIS

3.1 Identifique el sistema y seleccione un punto de operación.

Para identificar el sistema y seleccionar un punto de operación

se comienza con la revisión del sistema servo mecánico con el

fin de asegurar que estén bien sus conexiones para asegurar que

el sistema funcione óptimamente y tenga el menor ruido.

V.entrada(V) V.salida(V) 0,5 0

1 0

1,5 0

2 1,4

2,5 2,5

3 3,5

3,5 4,4

4 5,3

4,5 5,8

5 6,6

5,5 7,3

6 7,9

6,5 8,4

7 8,9

7,5 9,3

8 9,4

8,5 9,4

9 9,4

9,5 9,4

10 9,4

TABLA.1. Valores de voltaje de entrada y salida.

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A continuación se procede a utilizar el software labview como

sistema de control para la planta (servomotor). Para el punto de

operación se procede a aplicar diferentes valores de voltaje al

sistema de control en lazo abierto para determinar la zona lineal

del sistema. Los datos recolectados se presentan en la tabla1.

En la figura1, se observan los datos graficados Vin (eje x) vs Vout

(eje y), de esta forma se puede ver más claramente las zonas del

sistema (muerta, lineal y saturación).

Fig.1. Grafica de voltajes de salida vs entrada.

Según la figura 1 se puede determinar que la zona muerta ocurre

desde Vin (0-2V), la zona lineal se presenta desde Vin (2-8V) y la

zona de saturación para (>8V), según estos datos, se selecciona el

punto de operación en 4V el cual pertenece a la zona lineal y nos

permite tener un rango amplio para ver el funcionamiento del

sistema cuando se implemente un controlador o una cierta

dinámica.

FIG.2. Respuesta del sistema ante un escalón unitario.

Con el punto de operación escogido se procede a modelar la

planta, esto se lo hace por medio de la constante tao, la cual

corresponde a 1/4 del tiempo de establecimiento del sistema en

lazo abierto, la dinámica del sistema se lo aproxima mediante la

función de transferencia que se muestra en la ecuacion1.

𝐺𝑝(𝑠) =1

𝑇.𝑆+1 (1)

La ecuación (1) hace referencia a la función de transferencia

de la planta donde la constante T es el tao del sistema y tiene

un valor de 2,25 segundos (valor que se obtuvo a partir del

tiempo de establecimiento a partir de la figura.2).

3.2 Por software adicione una acción integral, un polo estable

y una ganancia en lazo directo.

Mediante el software labview se procede a cerrar el lazo del

sistema y a modificar su controlador para agregar un polo

estable y una acción integral. El controlador se va a

implementar con la variable compleja Z.

Siendo el controlador a implementar el que se muestra en la

ecuación 2 con el parámetro “a” constante positivo para que el

polo sea estable, se procede a encontrar su transformada en la

variable Z la cual se muestra en la ecuación 3.

𝐺𝑝(𝑠) =𝐾𝑝

𝑠. (𝑠 + 𝑎) ; 𝑎 > 0 (2)

𝐺𝑝(𝑧) =𝐾𝑝

𝑎[(

𝑧

𝑧 − 1) − (

𝑧

𝑧 − 𝑒−𝑎.𝑇)] (3)

Donde T en la ecuación 3, representa el tiempo de muestreo,

para el laboratorio se escogió un tiempo de muestro de 50ms.

En la figura 3 se muestra el diagrama de bloques implementado

en labview para llevar acabo la practica donde “a” corresponde

a un valor de 1,6.

FIG.3. Diagrama de bloques implementado en labview.

FIG.4. Controlador implementado en labview.

3.3 En lazo cerrado varié la ganancia de lazo directo y

determine la ganancia para la cual el sistema empieza a

-2

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15

V.salida(V)

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oscilar de manera sostenida y determine la frecuencia de

oscilación.

En lazo cerrado se comenzó a variar la ganancia de lazo directo y

se determinó que la ganancia para la cual el sistema empieza a

oscilar de manera sostenida es para un Kp=0,44, la cual

corresponde a la máxima ganancia que se aplica al sistema para

que el sistema continúe siendo estable, por encima de este valor el

sistema empieza a volverse inestable. Las oscilaciones obtenidas

en el sistema para este valor de Kp se observan en la figura 5.

FIG.5.Respuesta del sistema ante la ganancia critica.

La figura 6 muestra una ampliación de la figura 5, la cual

facilitara el cálculo de la frecuencia de oscilación.

FIG.6.Respuesta del sistema ante la ganancia critica.

Observe que el periodo de la onda es de aproximadamente 5,1

segundos por lo cual la frecuencia lo determina la ecuación (4).

𝑓(ℎ𝑧) =1

𝑇=

1

5,1= 0,196 𝐻𝑧 (4)

En frecuencia angular corresponde al valor de la ecuación (5).

𝑤 (𝑟𝑎𝑑

𝑠) = 2𝜋 ∗ 𝑓 = 2𝜋(0,196) = 1,23 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (5)

3.4 Encuentre el valor más grande de la ganancia K para el cual

el sistema no presenta oscilaciones.

El valor más grande de la ganancia Kp para el cual el sistema

no presenta oscilaciones es decir que su comportamiento se

puede comparar con un sistema de primer orden es de

K=0,014. El comportamiento del sistema para este valor de K

se muestra en la figura7.

FIG.7.Respuesta del sistema sin oscilaciones.

Este valor de K es el mínimo para que el sistema empiece a

presentar oscilaciones. Es decir que para k mayores de 0,014

el sistema presenta oscilaciones subamortiguadas, y para

k<0,014 el sistema no presenta oscilaciones de ningún tipo.

3.5 Con base en los modelos del sistema; genere el Lugar

Geométrico de las Raíces y compare este con las

respuestas obtenidas con cada ganancia.

SIMULACIONES:

Por medio del programa MATLAB se implementa los

comandos específicos para obtener el lugar geométrico de las

raíces, En la figura 8 se muestra el grafico obtenido para el

sistema en tiempo continuo con variable compleja s.

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FIG.8.Lugar geométrico de las raíces del sistema implementado en

MATLAB.

La ganancia critica de acuerdo a la figura7 es de Kc=2,24 donde se

obtienen las oscilaciones constantes como lo muestra la figura8.

Fig.9. Oscilaciones para la ganancia crítica implementada en

MATLAB.

El periodo de las sinusoides constantes de la figura 9 corresponde

a un valor de aproximadamente 7 segundos, lo que corresponde a

un valor de frecuencia de 0,15 Hz o 0,95 rad/s.

La ganancia mínima donde el sistema alcanza a comportarse a un

sistema de primer orden corresponde a un k=0.115, el

comportamiento del sistema para este valor de k se ilustra en la

figura 10.

Fig.10. Comportamiento del sistema con K mínimo implementado

en MATLAB.

IV. CONCLUCIONES

Se concluye que la diferencia entre las ganancias tanto crítica

como mínima tienen una gran variación entre las obtenidas por

medio de simulación y las experimentales, uno de los factores

principales que posiblemente hace presentar esta variación es

por el punto de operación, puesto que las simulaciones en

Labview se presentan en condiciones iniciales ideales es decir

iguales a cero. Otro factor puede ser debido a los disturbios y

ruidos que se presentan en la planta. El error de las ganancias

críticas y mínima es de 80,2 %.

Se pudo apreciar también que la ganancia critica representa el

valor máximo de un sistema antes de volverse inestable esto se

observó puesto que cuando se ponían ganancias mayores a la

ganancia critica la planta después de un tiempo prudencial se

saturaba. Otro detalle a resaltar fue que ante ganancias

mínimas el sistema tiende a comportarse como uno de primer

orden.

Se aprecia que los datos de las frecuencias experimentales

concuerdan con las frecuencias simuladas el error de

discrepancia es de 23,46%.

REFERENCIAS:

[1] José Miguel SISTEMAS DE CONTROL enfoque de

proyectos. Página 397-423 análisis mediante el lugar

geométrico de las raíces.

[2] Benjamin C. Kuo SISTEMAS DE CONTROL

AUTOMATICO SEPTIMA EDICION.