LAB 3 Sistemas de Control

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROLTRANSFORMADA DE LAPLACE CON MATLAB

I. OBJETIVO:

- Que el alumno se familiarice con el dominio del software Matlab para ser usada como herramienta de análisis en el curo de sistemas de Control.

II. FUNDAMENTO TEÓRICO:

TRANSFORMADA DE LAPLACE CON MATLAB

En esta sección se presentará la sintaxis de diversos comandos de Matlab para aplicarlosen diferentes campos de la transformada de Laplace.

Evaluación de raíces

El comando roots determina las raíces de polinomios de grado n (tabla 2.4)

LABORATORIO DE SISTEMAS DE CONTROL 1 Ing. ALEJANDRO SOTO A.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRICA

Solución:>> % Obtención de los ceros y polos de G(s)>> % Defi nición del numerador como vector fi la:>> num = [1 4];>> % Defi nición del denominador como vector fi la>> den = [1 6 17 13];>> % Obtención de la raíz del numerador o “cero”>> z = roots(num)

z = -4>> % Obtención de las raíces del denominador o “polos”>> p = roots(den)

p = -1.1312-2.4344+2.3593 j-2.4344-2.3593 j

OBTENCIÓN DE POLINOMIOS A PARTIR DE SUS RAÍCES

El comando poly obtiene el polinomio de las raíces dadas (tabla 2.5).

Solución:

>> % Obtención del polinomio asociado a las raíces r1, r2, r3 y r4.>> % Definición de las raíces como vector columna>> r = [−0.5; −2; −1.5+3j; −1.5−3j];p = poly(r)1.0000 5.5000 19.7500 31.1250 11.2500

Lo que equivale al polinomio de grado 4:

s 4 + 5.5s 3 +19.75s 2 + 31.125s +11.25

CONVOLUCIÓN


El comando conv lleva a cabo el producto de funciones representadas en el dominio s(tabla 2.6).

Solución:>> % El producto de (s + 4)(s ^ 2 + 2 s + 5) corresponde a>> % la convolución:>> den = conv([1 4],[1 2 5])den = 1 6 13 20

Solución:>> % La convolución de (s + 2)(3s + 5)(s^2 + 2s + 10) se lleva a cabo:>> p = conv(conv([1 2],[3 5]),[1 2 10])p= 3 17 62 130 100

Lo que corresponde a:

3s 4 +17 s 3 + 62 s 2 +130 s +100

REPRESENTACIÓN DE POLINOMIOS COMO FUNCIÓN RACIONAL

El comando printsys representa como función racional en s a la relación de polinomios numerador/denominador (tabla 2.7).


Solución:>> num = [1 6 15];>> den = conv([1 4],[1 2 5])den = 1 6 13 20>> printsys(num,den)num/den =

s^2 + 6 s + 15-----------------------s^3 + 6 s^2 + 13 s + 20

REPRESENTACIÓN DE POLOS Y CEROS EN EL PLANO S

El comando pzmap efectúa la representación gráfica de polos y ceros en el plano s de una función racional previamente definida.


Solución:>> num = [1 4 -20]; den = conv([1 2 10],[1 5]);>> printsys(num,den)num/den =s^2 - 4 s + 20-----------------------s^3 + 7 s^2 + 20 s + 50

>> numraices=roots(num)

numraices =2.0000 + 4.0000i2.0000 − 4.0000i

>> denraices=roots(den)denraices =-5.0000-1.0000 + 3.0000i-1.0000 - 3.0000i>> pzmap(num,den),

>> % Personalización de coordenadas>> axis([-6 3 -5 5]) % ([Xmin Xmax Ymin Ymax])


DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia G(s) se descompone en fracciones parciales con el comando residue: [r, p, k] = residue(num, den), tabla 2.9:

con lo cual G(s) puede expresarse como:

donde:


Solución:>> num = [5 -15 -11]; den = [1 -5 6 4 - 8]; [r,p,k] = residue(num,den)r =0.33334.0000-7.0000-0.333p =2.00002.00002.0000-1.0000k =

Que corresponde a:

G(s) = 0.3333/(s-2) + 4/(s-2)2 - 7/(s-2)3 - 0.3333/(s+1)

CONVERSIÓN DE FRACCIONES PARCIALES A FUNCIÓN RACIONAL

El comando [num,den] = residue(r, p, k) convierte las fracciones parciales en funciones racionales G(s) = P(s)/Q(s) (tabla 2.10).


Solución:>> r = [−2.3750 3 −0.6250];>> p = [−10 −5 −2];>> k = [0];>> [num,den] = residue(r,p,k)

num =0 10 5den =1 17 80 100

>> printsys(num,den)

num/den =10 s + 5_______________s^3 + 17 s^2 + 80 s + 100

>> raicesden = roots(den)

raicesden =−10.0000−5.0000−2.0000

Por lo que la función racional es:

TEOREMAS DE VALOR INICIAL Y FINAL

Una leve modificación del comando poly produce una instrucción adicional,polyval, cuya función es la de cuantificar un polinomio para valores específicosde s. Tal instrucción se aplicara para obtener el valor inicial y(0), asi como el valor final y(∞) de Y(s).


TEOREMA DE VALOR INICIAL

Para obtener el valor inicial de una función dada, por ejemplo, cuando y(t ) t→0, según la ecuación (I), la salida Y(s) multiplicada por s se cuantifica para un valor tendiente al infinito, de manera que se define una variable inf como un valor grande.

…. (I)

Solución:Al multiplicar Y(s) por s:

Evaluando la expresión cuando s →∞

>> num = [4 0 5 18 0];>> den = [3 12 15 24 10];>> inf = 1000000;>> valorinicial = polyval(num,inf)/polyval(den,inf)

valorinicial =1.3333

TEOREMA DE VALOR FINAL


El valor final de una función determinada, por ejemplo, cuando y(t ) t → ∞, representado por la ecuación (II), se obtiene al multiplicar la respuesta del sistema Y(s) por s y evaluar el resultado cuando s → 0 utilizando nuevamente la función polyval. Lo anterior se llevara a cabo con Matlab.

…. (II)

Solución:

Al multiplicar el numerador de Y(s) por s:

y evaluar los polinomios cuando s → 0:>> num = [10 5 8];>> den = [1 4 16 4];>> valorfinal = polyval(num,0)/polyval(den,0)valorfinal =

2

El valor final es:

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Con Matlab es posible determinar las transformadas de Laplace directa e inversa, respectivamente, con la utilización de los comandos: laplace e ilaplace, junto con la instrucción syms, que genera variables simbolicas; por ejemplo, t y s (para transformar del dominio t al dominio s) y s y t (para transformar del dominio s al dominio t ).

Solución:>> % Para obtener la transformada de Laplace Y(s), el comando syms>> % generan las variables t y s para pasar del dominio t al dominio s>> syms t s>> % La notacion con minuscula supone una funcion defi nida en t


>> y=8*sen(4*t)−5*cos(4*t);>> % y la notacion con mayuscula indica una funcion transformada>> Y = laplace(y)

Y = 32/(s^2 + 16)−5*s/(s^2 + 16)

Por lo tanto:

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Solución:>> % La transformada inversa de Laplace se obtiene con el comando>> % syms que genera variables s y t para pasar del dominio s al t>> syms s t>> % La notación con mayúscula supone funciones en s>> Y=(6*s−4)/(s^2+4*s+20); >>y=ilaplace(Y)

y = 6*exp(−2*t)*cos(4*t)−4*exp(−2*t)*sen(4*t)

Problemas:

1.- Obtenga los polos y ceros de las siguientes funciones:

2.- Obtenga la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

3.- obtenga las transformadas inversas de las siguientes funciones:


4.- obtenga g(t) por descomposición de fracciones parciales


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