La Matemática de los Seguros de Vida
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Wilson Mayorga M.Director de Cámara de Vida y Actuaría
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Matemática de los Seguros de Vida
Es la teoría para medir los riesgos contingentes basados en tanto en la experiencia demográfica como en variables financieras.
Algunos productos de Vida:
Tradicionales:
• Vida Entera
• Temporal
• Dotal Puro
• Seguro Dotal
Recientes:
• Vida Universal / Ahorro
• Participación de Utilidades
• Unit Link
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Función de supervivencia
(x) = La edad de una persona
Tx = El tiempo de vida futuro de una persona
Kx = Entero (Tx) . Los años de vida futura de una persona
La edad de fallecimiento de una persona
Es una variable aleatoria. La probabilidad de ocurrencia está dada por la función:
Esta es la probabilidad de fallecer antes de Tx años en el futuro.
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Función de supervivencia
• Ahora se define lo siguiente:
En este caso representa la probabilidad de que (x) sobreviva por lo menos t años y es conocida en el campo actuarial como la función de sobrevivencia.
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Función de sobrevivencia
15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99102
105108
-
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
Edad (x)
Prob
abili
dad
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Función de sobrevivencia
• Utilizando las funciones de sobrevivencia se define la siguiente relación:
• Utilizando probabilidad se puede llegar a la siguiente relación:
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Notación actuarial
La notación actuarial de las probabilidades de sobrevivencia y mortalidad es la siguiente:
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Notación actuarial
• Es la probabilidad de que (x) sobreviva por lo menos hasta la edad x+t.
• Es la probabilidad de que (x) muera antes de la edad x+t.
• Es la probabilidad de que (x) sobreviva u años y muera en los siguientes t años, es decir entre x+u y x+u+t.
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Notación actuarial
Gráficamente tenemos:
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Tablas de Mortalidad
Contiene los elementos básicos que permiten calcular las probabilidades de muerte y sobrevivencia en una población homogénea.
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Tablas de Mortalidad
La Historia de las Tablas de Mortalidad en Colombia se encuentra en:
http://www.fasecolda.com/fasecolda/BancoMedios/Documentos%20PDF/tablas%20de%20mortalidad.pdf
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Tablas de mortalidad
Algunas definiciones básicas:
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Un Ejemplo:
Calculemos las anteriores probabilidades para hombres usando la tabla de mortalidad de asegurados de Colombia:
Ver vídeo: Ejemplo Tabla de Mortalidad
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Prima de un Seguro de Vida Entera
Por facilidad, supongamos un seguro con valor asegurado de $1. El flujo futuro de beneficios esperados del asegurado serán:
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Prima de un Seguro de Vida Temporal
Por facilidad, supongamos un seguro con valor asegurado de $1. El flujo futuro de beneficios esperados del asegurado serán:
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Prima de un Dotal Puro
Por facilidad, supongamos un seguro con valor asegurado de $1. El flujo futuro de beneficios esperados del asegurado serán:
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Prima de un Seguro Dotal
Por facilidad, supongamos un seguro con valor asegurado de $1. El flujo futuro de beneficios esperados del asegurado serán:
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Anualidades de Vida
Una Anualidad es una serie de pagos futuros periódicos
Una Anualidad de Vida es una serie de pagos (dados o recibidos) por una persona mientras está vivo.
En matemáticas financieras, una anualidad anticipada es:
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Anualidades de Vida
En el cálculo de seguros de vida, una anualidad de vida entera es:
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Anualidades de Vida Temporal
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Cálculo de Prima Nivelada
Principio de Equivalencia:
Valor Presente de los Beneficios = Valor Presente de la Prima
Cuando Existen Comisiones y Gastos Asociados, se mantiene el Principio de Equivalencia:
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Un Ejemplo
Calcule la prima de un seguro a tres años con Beneficio de $1.000 con los siguientes gastos:
• El Primer Año, 30% de la Prima y una Gasto Fijo de $10
• En Años de Renovación, el 8% de la Prima y un gasto fijo de $4.
Agrupando términos y despejando:
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Un Ejemplo
Ver vídeo: Ejemplo Cálculo de Prima
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