Captulo7SERIESDELAURENT. TEOREMADELOSRESIDUOSEnelcaptuloanterior,hemosconsideradodesarrollosenseriesdepotenciasalrededordeun complejoz0, asumiendo implcitamente que las potencias dez z0sonnonegativas. Inves-tigaremosahoraquconsecuenciastieneconsiderarlaposibilidaddequeaparezcanpotenciasnegativas enunaexpresindedesarrolloenserie. Veremos cmo, gracias aesto, podremosampliarla posibilidadde desarrollar,enciertas regiones,una funcinfenserie (de potenciasenteras) con centro en z0sin el requisito de analiticidad de fen z0, y exploraremos interesantesresultadosparaelcasoenquez0esunasingularidadaisladadelafuncin. Estonospropor-cionarherramientasalternativasparaintegrarfuncionescomplejas, ytambinparaobtenerintegrales de funciones de variable real que, con nuestros conocimientos de clculo bsico, seranmuy complicadas, cuando no imposibles.1. DesarrollosenseriesdeLaurentDefinicin7.1. UnasucesinbiinnitadenmeroscomplejosesunafuncinzdeZen C, y se denota por {zj}jZ. Una seriebiinnita es una expresin de la forma

j=zj, querepresenta a

j=1zj +

j=0zj, y es convergente cuando ambas series innitas convergen. La seriebiinnita se diceabsolutamenteconvergente si lo son cada una de esas series innitas.SiD C y para cadaj Z est denida una funcinfj: D C, decimos que {fj(z)}jZesunasucesinfuncional biinnita.Unaseriefuncional biinnitaesunaexpresinde laforma

j=fj(z). Si lamismaconverge absolutamente paracadazD, yadems

j=0fj(z) y

j=1fj(z) convergen ambas uniformemente en D, decimos que

j=fj(z)convergeuniformementeenD.UnaseriedeLaurentconcentroenz0esunaseriefuncional biinnitadelaforma

j=cj(zz0)j, en donde z0 es un complejo (jo) y {cj}jZ es una sucesin compleja biinnita.En base a las deniciones precedentes, resulta fcil extender, a series funcionales biinnitas,las operaciones con series funcionales innitas establecidas por las proposiciones 6.34, 6.35, 6.36y 6.37.Proposicin 7.2.Supongamos que

j=fj(z) y

j=gj(z) convergen uniformementeenD C, af(z)yg(z)respectivamente. Supongamostambinqueh(z)esunafuncindemduloacotadosuperiormenteenD.Entonces:1. j=fj(z) +gj(z)y

j=h(z)fj(z)convergenenDuniformementeaf(z) +g(z)yh(z)f(z),respectivamente.2. Silasfj(z)soncontinuasenD,f(z)tambinloes,y,paracualquiercontorno CenD,_C f(z)dz=

j=_C fj(z)dz.3. Silasfj(z)sonanalticasenD,f(z)esanalticaenD,yf(z) =

j=fj(z).123124 7.SERIESDELAURENT. TEOREMADELOSRESIDUOSDemostracin. Por denicin, las series innitas

j=0fj(z)

j=1fj(z)

j=0gj(z)

j=1gj(z)convergentodasabsolutayuniformementeenD,digamosaF1(z), F2(z), G1(z)yG2(z)res-pectivamente, conF1(z) + F2(z) = f(z) yG1(z) + G2(z) = g(z) para todozenD.Loanterior implicaque j=0fj(z)+

j=1fj(z)+

j=0gj(z)+

j=1gj(z) convergeuniformemente en D a F1(z)+F2(z)+G1(z)+G2(z) (prop. 6.34), lo que, por denicin, signicaque j=fj(z) + gj(z)convergeuniformementeenDaF1(z) + F2(z) + G1(z) + G2(z), esdecir,af(z) + g(z).Adems,nuevamenteporprop.6.34, h(z)

j=0fj(z)yh(z)

j=1fj(z)convergen enDuniformemente ah(z)F1(z) yh(z)F2(z), de dondeh(z)

j=fj(z) convergeuniformemente enDah(z)f(z). Esto prueba el primer inciso.Si cada fj(z) es continua, por prop. 6.35 se deduce que tanto F1(z) como F2(z) son continuasenD, de dondef(z) tambin lo es. Adems, para cualquier C D,_CF1(z)dz =_C

j=0fj(z)dz=

j=0_Cfj(z)dz_CF2(z)dz =_C

j=1fj(z)dz=

j=1_Cfj(z)dzde donde_Cf(z)dz=_CF1(z)dz +_CF1(z)dz=

j=0_Cfj(z)dz +

j=1_Cfj(z)dz=

j=_Cfj(z)dzlo que prueba la segunda armacin.Si cadafj(z)esanalticaenD, porproposicin6.37tendremosqueF1(z)yF2(z)sernanalticasenD,yF1(z)=

j=0fj(z),F2(z)=

j=1fj(z).Luego,f(z)esanalticaenD,yf(z) = F1(z) + F2(z) =

j=fj(z). Nos interesa saber bajo qu condiciones una funcin admite desarrollo en serie de Laurent.Deduciremos que cuando una funcin es analtica en el interior de una corona, admite desarrolloenseriedeLaurent endichoconjunto. Paraloquesigue, si z0 Cy0 r10tal que |f(z)| 0talqueparatodoz B(z0), |f(z)| >1. Entonces, 0nopertenecealaclausuradef (B(z0)),yentoncesz0nopuedeserunasinguaridadesencial,ytampoco una evitable pues |f(z)| no est acotada en ningn entorno reducido, por la denicinde lmite innito. As quez0es un polo.Finalmente, si f(z) no tiene lmite en C cuando z tiende a z0, no puede ser z0 un polo (prop.7.17) ni una singularidad evitable (prop. 7.14), y entonces debe ser singularidad esencial. 3. Residuos.ElTeoremadelosResiduosSupongamosquef(z)tieneenz0unasingularidadaislada. Sear>0tal quefnotieneotra singularidad enBr(z0), y sea j=cj(z z0)jel desarrollo en serie de Laurent def(z)con centroz0vlido paraBr(z0). Del Teorema de Laurent, casoj= 1, resulta quec1=12i_Cf(z)dzdonde Cescualquiercircunferenciaconcentroz0yradiomenorquer, recorridaunavezensentido positivo. Esto sugiere que la integral de f(z) sobre C podra obtenerse de manera directasi se contara con el coecientec1de desarrollo defenBr(z0).Ejemplo7.24. Obtengamos _C e1/zdzcuando Ceselromboconvrtices1, i, 1, ireco-rrido en sentido positivo.Segnvimosenel ejemplo7.13, el integrandotienea0comonicasingularidad, yesdetipoesencial. e1/zesanalticaencualquierentornoreducidoalrededorde0, ysudesarrolloalrededorde0tienecoecientecj=1(j)!paraj 0, ycj=0paraj >0. Enparticular,c1= 1 =12i_C1e1/zdzdonde C1es, por ejemplo, la circunferencia con centro0 y radio1/100recorrida una vez en sentido antihorario. Pero, por el principio de deformacin de contornos, es_C1e1/zdz=_C e1/zdz, de modo que concluimos directamente que _C e1/zdz= 2i. Notar que ni el teorema ni las frmulas de Cauchy son de aplicacin en el ejemplo anterior,ylaparametrizacinresultarasumamenteengorrosa.Resultaentoncesinteresanteconsiderarcon detenimiento esta alternativa de clculo de integrales por medio dec1.Definicin7.25. Seaz0unasingularidadaisladaparaf(z). El residuodef enz0sedene medianteRes (f, z0) = c1endondec1esel coecientede(z z0)1enel desarrolloenseriedeLaurentdef(z)concentro enz0vlido para algn entorno reducido alrededor dez0.3.RESIDUOS. ELTEOREMADELOSRESIDUOS 137Formalicemosnuestroscomentariosanterioresrespectodelclculodeintegralescuandoelintegrandoes unafuncinanaltica sobreyenelinteriordelcontorno deintegracin,exceptoen una nica singularidad en el interior de la curva.Proposicin 7.26. Sean Cuncontornocerradosimple,z0unpuntointeriorde Cyfunafuncinanalticaen C int(C)exceptoenz0.Entonces,_Cf(z)dz= 2i Res (f, z0)cuando Cserecorreensentidopositivo.Demostracin. Elijamosr>0talqueBr(z0) int(C).Entonces,lanicasingularidadde fen Br(z0) es z0. Sea j=cj(z z0)jel desarrollo en serie de Laurent de f(z) con centroenz0vlido paraBr(z0), y sea C1cualquiercircunferencia con centroz0y radio menor quer.Porelprincipiodedeformacindecontornos,es _C f(z)dz=_C1f(z)dz,y,porelTeoremadeLaurent, es2ic1=_C1f(z)dz. Combinandoestasdosexpresiones, yteniendoencuentaladenicin de residuo defenz0, se sigue el resultado. Entonces, queda claro que si disponemos de algn mtodo para calcular fcilmente residuos,contaremos con una buena alternativa de clculo de ciertos tipos de integrales sobre contornoscerrados.En cualquier caso, realizar el desarrollo en serie de Laurent parafcon centro enz0vlidopara un entorno reducido de z0 es una alternativa para obtener el residuo de fen z0 sin resolverla integral dada en el Teorema de Laurent (basta con observar, en tal desarrollo, el coecientede(z z0)1). Dehecho, steesel nicomtododel quesedisponeparael casoenquez0essingularidadesencial. Porotrolado, el clculodel residuoenlassingularidadesevitablesesautomtico: vale0porladenicindeesetipodesingularidades. Veamosentoncescmopodemos calcular residuos en polos, dado que existen alternativas para obtenerlos sin siquierahacer desarrollos en serie.Supongamos quef(z) tiene enz0un polo simple. Luego,f(z) = c1(z z0)1+ c0 + c1(z z0) + c2(z z0)2+ en algnBr(z0). Entonces, en ese entorno reducido tenemos que(z z0)f(z) = c1 + c0(z z0) + c1(z z0)2+ c2(z z0)3+ Tomando en ambos miembros lmite cuandoztiende az0, resultac1= Res (f, z0) =lmzz0(z z0)f(z)Ejemplo7.27. Calculemos el residuo def(z) =z(z i)(z2+ 4)en cada una de sus singularidades aisladas. Notemos que f(z) = z(z i)1(z 2i)1(z +2i)1.Sus singularidades soni,2i y 2i, siendo todas polos simples. Entonces,Res (f, i) = lmzi(z i)f(z) = lmzizz2+ 4=ii2+ 4=13iAnlogamente,Res (f, 2i) =lmz2i(z 2i)f(z) =lmz2iz(z i)(z + 2i)=2ii(4i)= 12iyRes (f, 2i) = lmz2i(z + 2i)f(z) = lmz2iz(z i)(z 2i)=2i(3i)(4i)=16iEsdeobservarquesihubisemosdecididocalcularresiduoshaciendolosdesarrollosenserie,del ejemplo 7.8 slo podramos concluir que el residuo defeni esi/3, pero para los residuos138 7.SERIESDELAURENT. TEOREMADELOSRESIDUOSen2iy 2inonoshubieraservidoningunodelosdesarrollosobtenidosenaquelejemplo,yaque los mismos son con centro eni, pero aqu necesitamos desarrollos con centro en2i y 2i,respectivamente. Veamos un caso particular de polo simple que aparece a menudo en los clculos.Proposicin 7.28. Supongamosquef(z) =g(z)h(z),congyhanalticasenz0,z0cerosimpledeh,yg(z0) = 0.Entonces,Res (f, z0) =g(z0)h(z0)Demostracin. Por ser z0cerosimplede h, enalgnentornode z0debeser h(z) =(z z0)(z),conanalticaenz0y(z0) =0.Entonces,h(z)=(z) + (z z0)(z),porloqueh(z0) = (z0). Luego,Res (f, z0) =lmzz0(z z0)g(z)(z z0)(z)=lmzz0g(z)(z)=g(z0)(z0)=g(z0)h(z0)

Ejemplo7.29. La funcinz5+ 32 tiene un cero en 2, y el mismo es simple, como puedefcilmenteversepor el criteriodeladerivada. Lafuncinezes analticaentodoel planocomplejo, en particular en 2, ye2= 0. Entonces, por la proposicin 7.28,Res_ezz5+ 32, 2_ =ez5z42=180e2

Veamos ahora cmo calcular el residuo en polos de orden ms grande. Comencemos viendoel caso en queftiene enz0un polo de orden2. En esa situacin,f(z) =

j=2cj(z z0)jen algnBr(z0), conc2 = 0. Entonces, en ese entorno reducido tenemos que(z z0)2f(z) =

j=2cj(z z0)j+2Derivando miembro a miembro, resultad ((z z0)2f(z))dz=

j=2(j + 2)cj(z z0)j+1=

j=0(j + 1)cj1(z z0)jTomando en ambos miembros lmite cuandoztiende az0, resultac1= Res (f, z0) =lmzz0ddz_(z z0)2f(z)_Engeneral, siguiendoesteprocedimiento, paraunpolodeordenmtenemosel siguienteresultado.Proposicin7.30. Siz0espolodeordenmparaf(z),entoncesRes (f, z0) =1(m1)!lmzz0dm1((z z0)mf(z))dzm13.RESIDUOS. ELTEOREMADELOSRESIDUOS 139Demostracin. Por serz0polo de ordenm paraf, esf(z) =

j=mcj(z z0)jen algnBr(z0), concm = 0. Entonces, en ese entorno reducido tenemos que(z z0)mf(z) =

j=mcj(z z0)j+mDerivando miembro a miembrom1 veces, esdm1((z z0)mf(z))dzm1=

j=m(j + m)(j + m1) (j + 2)cj(z z0)j+1=

j=1(j + m)(j + m1) (j + 2)cj(z z0)j+1=

j=0(j + m1)(j + m2) (j + 1)cj1(z z0)jTomando en ambos miembros lmite cuandoztiende az0y despejandoc1, resultac1= Res (f, z0) =1(m1)!lmzz0dm1((z z0)mf(z))dzm1

3.1. El Teorema de los Residuos. La proposicin 7.26 nos proporciona una herramien-taparacalcularintegralessobrecontornoscerradossimplescuandolafuncindelintegrandoposee una nica singularidad en su interior. Sin embargo, podemos extender fcilmente la me-todologa para el caso en que la funcin presenta, en el interior del contorno, una cantidad nitade singularidades (que sern, obviamente, aisladas), a travs del siguiente resultado.Teorema7.31. (TeoremadelosResiduos)Seaf:D C C,ysea CuncontornocerradosimpleenD.Supongamosademsquefesanalticasobre C, yque,enel interiordeC,fposeeslounacantidadnitadesingularidadesz1, . . . , zn.Entonces,_Cf(z)dz= 2in

k=1Res (f, zk)cuando Cserecorreensentidopositivo.Demostracin. Haremos induccin en n, la cantidad de singularidades que fposee en elinterior de C.El caso en que hay una sola singularidad corresponde al enunciado de la proposicin 7.26.Supongamosahoraelenunciadovlidoparacualquiercontornoquecontengan 1singu-laridades del integrando en su interior, y hagamos de cuenta que fes analtica sobre Cy poseeexactamentensingularidadesensuinterior.ElijamospuntosA, Bdistintossobre Cdemodoque pueda trazarse un contorno simple C1desdeA hastaB, por el interior deC, sin pasar porlas singularidades de f, y que divida al interior de C en dos partes, una de las cuales contenga auna sola de las singularidades, y la otra al resto. Llamemos1a la concatenacin de C1con laporcin de Cque va desde Bhasta A en sentido positivo, y 2 a la concatenacin de la porcinde Cque va desdeA hastaBen sentido positivo con C1(ver g. 2).1y2soncontornoscerradossimplessobreloscualesfesanaltica,yunodeellos(di-gamos1)poseeensuinteriorexactamenten 1singularidadesdef(digamosz1, . . . , zn1),140 7.SERIESDELAURENT. TEOREMADELOSRESIDUOSFigura2.mientrasqueelotrotieneensuinteriorexactamenteunasingularidaddef,digamoszn.En-tonces, por hiptesis inductiva y por proposicin 7.26, las integrales defsobre1y2valen,respectivamente:_1f(z)dz = 2in1

k=1Res (f, zk)_2f(z)dz = 2i Res (f, zn)Notemosquelasumadeambasintegralesaizquierdaesigual alaintegral def sobre Censentido positivo, pues las integrales sobre C1 y sobre C1 se compensan. Por lo tanto, sumandomiembro las igualdades anteriores, resulta_1f(z)dz +_2f(z)dz=_Cf(z)dz= 2in1

k=1Res (f, zk) + 2i Res (f, zn) = 2in

k=1Res (f, zk)quedando establecido el resultado. Ejemplo7.32. Seaf(z) =z(z i)(z2+ 4)Enelejemplo7.27,hemosvistoquelassingularidadesdefsoni, 2iy 2i,ylosrespectivosresiduos defen ellas soni/3, i/2,i/6.1. Calculemos _C1f(z)dzsi C1eselcrculoconcentro2iyradio2,recorridounavezensentido positivo. Para ello, notemos que f es analtica sobre C1, y posee las singularidadesi y2i en su interior. Por el Teorema de los Residuos es, entonces,_C1f(z)dz= 2i (Res (f, i) + Res (f, 2i)) = 2i_i3 i2_ =32. Ahoraobtengamos _C2f(z)dzsi C2esel crculoconcentro0yradio3, recorridounavez en sentido positivo. En este caso,fes analtica sobre C2, y posee las singularidadesi,2i y 2i en su interior. Luego,_C2f(z)dz= 2i (Res (f, i) + Res (f, 2i) + Res (f, 2i)) = 2i_i3 i2+i6_ = 0

4.APLICACIONESDELTEOREMADELOSRESIDUOSALCLCULODEINTEGRALESREALES 1414. AplicacionesdelTeoremadelosResiduosalclculodeintegralesrealesVeremos ahora una difundida aplicacin del Teorema de los Residuos para calcular algunostiposdeintegralesdefuncionesrealesdevariablereal.Setratadeintegralesque,enmuchoscasos, son dicultosas, cuando no imposibles, con los mtodos tradicionales del Clculo.4.1. Integralesdetipo_20F (cos x, sen x) dx.Supongamos dada una expresinFque es funcin decos x y desen x, y queremos hallar elvalor de su integral en el intervalo [0, 2]. La estrategia que presentaremos consiste en ver a dichaintegral como lo que resulta de aplicar la denicin de integral compleja de alguna funcin devariable compleja apropiada sobre algn contorno conveniente, y resolver esa integral complejafcilmente por el Teorema de los Residuos, en caso de satisfacerse las hiptesis correspondientes.Sea Clacircunferenciaderadio1concentroenel origen, recorridaunavezensentidopositivo.Unaparametrizacinpara Cesz(t)=eit,conelparmetrotvariandoentre0y2.Tenemos quez(t) = iz(t) cos t =12_z(t) +1z(t)_sen t =12i_z(t) 1z(t)_Consideremos la funcin de variable complejaf: C C denida porf(z) =1izF_12_z +1z_,12i_z 1z__Es decir, fes lo que surge de reemplazar, en la expresin de F, a cos x por (z + z1) /2, a sen xpor(z z1) /(2i) y dividir todo poriz.Si aplicamos la denicin de integral defsobre C, queda_Cf(z)dz=_20f(z(t))z(t)dt =_201iz(t)F(cos t, sen t)iz(t)dt =_20F(cos t, sen t)dtEn el caso en quefno tenga singularidades sobre C, y tenga una cantidad nita de singulari-dades en su interior, podemos aplicar el Teorema de los Residuos para calcular la integral de fsobre C:_Cf(z)dz= 2i

|zk|0y t10,existe>0tal queparatodoz Dcon |z|>,secumpleque |zf(z)| r, la longitud de CRes(t2t1)R, y entonces, por ladesigualdad M-L,_CRf(z)dz m ax {|f(z)| : z CR} R(t2t1) = m ax {|zf(z)| : z CR} (t2t1)Sea > 0. Por hiptesis, existe> 0 tal que si |z| < , entonces |zf(z)| < /(t2 t1). Luego,para cualquier realR mayor quey quer, es_CRf(z)dzt2t1(t2t1) = de donde se concluye el resultado. Juntando todas nuestras consideraciones anteriores, obtenemos la siguiente frmula de clcu-lo de VPC.Teorema7.35. Seaf(x) unafuncinreal devariablereal queadmitaextensinaunafuncincomplejaf(z)tal quesatisfaga:1. f(z)esanalticasobreel ejereal, ytieneunacantidadnitadesingularidadesenelsemiplanoporencimadel ejereal.2. |zf(z)|tiendea0cuandoztiendeainnitoporel semiplanosuperior.Entonces,V PC_f(x)dx = 2i

Imzk>0Res (f, zk)La condicin de tender |zf(z)| a 0 por el semiplano superior es satisfecha por una amplia co-leccin de funciones, en particular por las funciones racionales en las que el grado del polinomiodel denominador es al menos dos unidades mayor que el grado del polinomio del numerador.Ejemplo7.36. CalculemosV PC_x2x4+ 1dx144 7.SERIESDELAURENT. TEOREMADELOSRESIDUOSPara ello,consideremosf(z)=z2z4+1,quees analtica entodo elplano excepto enei/4,e3i/4,ei/4y e3i/4, que son polos simples. Slo las dos primeras de las singularidades mencionadasestn en el semiplano superior. Adems, paraz = 0, eszf(z) =z3z4+ 1=1z +1zquetiendea0cuandoztiendeainnito, yentonces |zf(z)| tiendea0cuandoztiendeainnito.Por otro lado, aplicando la proposicin 7.28, esRes_f, ei/4_=14ei/4=14 (cos(/4) + i sen(/4)) =28(1 i)Res_f, e3i/4_=14e3i/4=14 (cos(3/4) + i sen(3/4)) =28(1 i)Luego, segn el teorema 7.35,V PC_x2x4+ 1dx = 2i_28(1 i) +28(1 i)_ =22

4.3. Integralesdetipo_f(x) cos(mx)dx o_f(x) sen(mx)dx.Estos tipos de integrales, en principio,puedenresolverse porel mtodo visto en la seccinprecedente, bajo la condicin de que el integrando, extendido al campo complejo, satisfaga que|zf(z) cos(mz)| 0(o |zf(z) sen(mz)| 0)cuandoz porel semiplanosuperior. Sinembargo, |cos(mz)| y |sen(mz)| presentan direcciones de crecimiento exponencial (por ejemplo,cuando z por el semieje imaginario positivo), por lo que la condicin |zf(z) cos(mz)| 0slo se satisface para muy particularesf. Es preciso, entonces, buscar condiciones ms dbilesparafque las establecidas en el lema 7.34.Lasintegrales _f(x) cos(mx)dxy _f(x) sen(mx)dxsonlaspartesrealeimaginaria,respectivamente, de _f(x)eimxdx, porloquealcanzarconestudiarestaltima. Adems,essucienteanalizarelcasom>0,pueselotrocasopuederesolverseatravsdelcambiodevariablex = t.Para poder arribar a conclusiones, necesitaremos del hecho que, para todo realx entre0 y/2, es2x sen x xcomo lo muestra la superposicin de las grcas de las funciones 2x/, sen x y x en ese intervalo(ver g. 4).En efecto, si hacemos h(x) = xsen x, esa funcin es continua en _0,2, y h(x) = 1cos x,que se anula slo en/2, de donde la funcin no tiene extremos en el interior del intervalo, y,por lo tanto, conserva el signo, es decir que sen x x en todo el intervalo. Por un razonamientoparecido, se tiene tambin la otra desigualdad.Otra propiedad que necesitaremos es que, para todok R,_0ek sen xdx = 2_ 20ek sen xdxPara verlo, basta con particionar el intervalo de integracin en/2, tenindose que_0ek sen xdx =_ 20ek sen xdx +_2ek sen xdx4.APLICACIONESDELTEOREMADELOSRESIDUOSALCLCULODEINTEGRALESREALES 145Figura4.y, haciendo el cambio de variablet = x, se puede ver que la ltima integral resulta igual a_20ek sen xdx.Teorema7.37. Seam > 0,yseaf(x)unafuncinrealdevariablerealqueadmitaexten-sinaunafuncincomplejaf(z)tal quesatisfaga:1. f(z)esanalticasobreel ejereal, ytieneunacantidadnitadesingularidadesenelsemiplanoporencimadel ejereal.2. |f(z)|tiendea0cuandoztiendeainnitoporel semiplanosuperior.Entonces,V PC_f(x)eimxdx = 2i

Imzk>0Res_f(z)eimz, zk_Demostracin. Sear >0tal queparatodasingularidadzkdef(z), |zk| 0Res_f(z)eimz, zk_de dondeV PC_f(x)eimxdx +lmR_SRf(z)eimzdz= 2i

Imzk>0Res_f(z)eimz, zk_as que el resultado estar establecido al demostrar quelmR_SRf(z)eimzdz= 0.Si hacemos M(R) = m ax{f(z) : z SR}, por hiptesis para f sabemos que lmRM(R) =0. Paraz =Rei, con0, tenemos que imz =imRcos mRsen , de dondeeimz= emRsen +imRcos , as queeimz = emRsen e2mR/146 7.SERIESDELAURENT. TEOREMADELOSRESIDUOSPor lo tanto,_SRf(z)eimzdz=_0f_Rei_emRsen+imRcos Rieid_0f_Rei_emRsen Rd RM(R)_0e2mR/d = 2RM(R)_ 20e2mR/d= 2RM(R) 2mR_emR1_ =m_1 emR_M(R)Es decir que, paraR sucientemente grande,_SRf(z)eimzdzm_1 emR_M(R)Dadoque M(R) yemRtiendena 0cuando R(pues mes positivo), se tiene quelmR_SRf(z)eimzdz = 0, por lo quelmR_SRf(z)eimzdz= 0. En particular, las funciones racionales en las que el grado del denominador es al menos unaunidad mayor que el grado del numerador satisfacen el requisito de quelmz|f(z)| = 0.Ejemplo7.38. CalculemosV PC_xsen(3x)x2+ 1dxDicho valor corresponde a la parte imaginaria del valor principal de_xei3xx2+ 1dxPor el teorema 7.37, este ltimo vale2i Res_zei3zz2+ 1, i_ = 2iie3i22i=e3iPor lo tanto,V PC_xsen(3x)x2+ 1dx =e3De paso, hemos deducido tambin queV PC_xcos(3x)x2+ 1dx = 0

EJERCICIOS1. Encontrar el desarrollo en Serie de Laurent de las siguientes funciones alrededor de0:i)sen zz2ii)sen2zziii)z3e1ziv)1z sen22zv)ez1zvi)1+cos zz42. Desarrollar las siguientes funciones en Serie de Laurent en las regiones indicadas:a)1z(z+i)en:i) |z 1|2;iv)0< |z| 1b)1z2(z3)2en: i)0 < |z 3| < 3; ii) |z 3| > 3c)e2z(z1)3en |z 1| > 0EJERCICIOS 1473. Clasicar las singularidades delas siguientes funciones, y, enlos casos enqueseanevitables, redenir la funcin de modo que sea analtica en ellas.i)f(z) = cosh1zii)f(z) = ze1z1iii)f(z) =sen zsenh ziv)f(z) =z2+z+12z+1i34. El puntoz0escerodeordennparalafuncinf(z)yesuncerodeordenmparalafuncing(z). Qu es el puntoz0, para las funcionesf(z) + g(z),f(z)g(z) yf(z)g(z)?5. Demostrarquesi z0essingularidadevitableopoloparaf, yf (z0)=0, entoncesz0esunceroaisladoparaf. (Sugerencia:paralassingularidadesevitables, considerelaexpansinenserieparaunentornoreducidoalrededordez0, observandoquec0 =0,yentoncesesaexpansindeneunafuncinnonulayanalticaenz0.Paralospolos,tenga presente quelmzz0 f(z) = .)6. a)Determinar el orden del polo de(z2+ 1)/(ez+ 1) enz= i.b)Determinar el orden del polo desen z/ senh zenz= 0.c)Encontrar los polos y determinar sus rdenes, para las siguientes funciones:i)1z41ii)2z+1i3(z2+z+1)2iii)sen zz10(z+1)iv)110zezv)1(ez+1)4vi)sen1z(z+1z)3vii)1z12senh4zviii)1

1z12

47. Determinar qu tipo de singularidad es0 para las siguientes funciones:i)1zsenzii)1ez+z1iii)sen zez+z18. Hallar los puntos singulares y determinar su carcter, para las funciones:i)11sen zii)1cos zz2iii)e1z+2iv) cos1zv)1ez1+1z2vi)z cos1zcos z19. Determinar el carcter de la singularidad en los puntos indicados:i)1+cos zz(z0= ) ii)z23z+2z22z+1(z0= 1) iii) cos1z+(z0= )iv)Ln(1+z3)z2(z0= 0) v)sen2zz(z0= 0) vi) cos1z+ sen2z2z(z0= 0)10. Calcular el residuo en los puntos singulares para las siguientes funciones:i)tan zz24zii)ez14sen2ziii)zz2+4z + 2iiv)e1z21+z4v) cos(1z) + z3vi)ez2+1z2vii)cos zz32z2viii)z2n(z1)n(n Z+) ix) cot2z11. Calcular las siguientes integrales por el teorema de los residuos, cuando sea posible:a) _1sen1zdzsiendola circunferencia con centro en 0 y radio110.b) _1sen1zdzsiendola circunferencia con centro en12y radio130.12. Vericar los siguientes resultados:i) _|z|=1z tan(z)dz= 0 ii) _|z|=10z(z1)2(z+2)dz= 0iii) _|z|=2ezz3(z+1)dz=_1 2e_i iv) _|z|=12z2sen1zdz= 3iv) _|z1|=3ez21z3iz2dz= 2e(e 1)i vi) _|z1|=5zez+3dz=43i ln 3148 7.SERIESDELAURENT. TEOREMADELOSRESIDUOS13. Vericar las siguientes igualdades para integrales reales:i) _20d12 cos +2=212para0 < < 1 ii) _20d53 cos =2iii) _20d12k sen +2=21k2parak2< 1 iv) _20d(a+b cos )2=2a(a2+b2)12(a > b > 0)14. Comprobar los siguientes resultados:i) _dx1+x4=22ii) _dx(1+x2)3=38iii) _x3dx1+x8= 0 iv) _x(x22x+2)2dx =215. Aplicando el teorema de los residuos a funciones de la formaf(z)eimz, vericar:i) _cos(sx)k2+x2 dx =keksparak > 0 ys > 0 ii) _sen(sx)k2+x2 dx = 0 parak > 0 ys > 0iii) _sen(2x)1+x+x2dx = 2e3sen 13iv) _cos x1+x4dx =2e12_sen12+ cos12_v) _0ex2cos(2x)dx = 016. SeaKcompacto yfanaltica enK, excepto tal vez en singularidades aisladas que sonevitables o polos. Suponga tambin quefno es idnticamente0 enK.a)Mostrar quefpuede tener, a lo sumo, una cantidad nita de singularidades enK.(Sugerencia:SupongaqueelconjuntoSdesingularidadesesinnito;porteorema2.28,Stiene punto de acumulacinz0enK; muestre quez0 S, pero entonces noes una singularidad aislada.)b)Mostrar que f puede tener, a lo sumo, una cantidad nita de ceros en K. (Sugerencia:para cadaz K, existerz> 0 tal queBrz(z) contiene a lo sumo un cero def; esafamilia de entornos es cubrimiento por abiertos para el compactoK.)17. Sea f: D C con D dominio simplemente conexo, y sea Cun contorno cerrado simpleenD. Supongamos quefno tiene ceros sobre C.a)Mostrar que sifes analtica enD, entonces12i_Cf(z)f(z)dz= Nen donde Cse recorre en sentido positivo yNes el nmero de ceros (contando susrdenes)defenelinteriorde C.(Sugerencia:Seaz0unceroparafenelinteriorde C; mostrar que debe ser aislado; seam su orden; entoncesf(z) = (z z0)mg(z);obtengafy luegof/f; deduzca que esta ltima tiene un polo simple enz0y queel residuo def/fenz0esm; concluya el ejercicio aplicando el ejercicio anterior yel Teorema de los Residuos.)b)Generalizar el resultado anterior, mostrando que si fes analtica sobre Cy no tienesingularidades esenciales en el interior de C, entonces12i_Cf(z)f(z)dz= N Pendonde Cserecorreensentidopositivo, Neselnmerodeceros(contandosusrdenes) de fen el interior de C, y Pes el nmero de polos (contando sus rdenes)defen el interior de C.18. Demuestre el Teorema de Rouch: Sean fy g dos funciones analticas sobre un contornocerrado simple Cy en su interior. Si |f(z)| > |g(z)| para todo z C, entonces fy f +gtienen el mismo nmero de ceros (contando sus rdenes) dentro de C. (Sugerencia: Dena(t) =12i_Cf(z) + tg(z)f(z) + tg(z)dzEJERCICIOS 149cont [0, 1] y Crecorridoensentidopositivo. Muestrequeel denominadordel inte-grando no tiene ceros sobre Cy que es continua en [0, 1]. Aplique entonces el ejercicioanterior para concluir que es constantemente igual a algn entero. Concluya el ejercicioobservando a qu es igual(0) y(1). Para la continuidad de, probar que|(t) (t0)| = |t t0|2_Cf(z)g(z) f(z)g(z)(f(z) + tg(z))(f(z) + t0g(z))dzy que, para todoz C, el mdulo de ese integrando est acotado por|f(z)g(z)f(z)g(z)|(|f(z)||g(z)|)2;por lo tanto, para alguna constante positivaA, es |(t) (t0)| A|t t0|.)19. En cada caso, determinar la cantidad de ceros (contando rdenes) de p(z) en el conjuntoR.a)p(z) =z74z3+z 1, R= {zC:|z| |g(z)| sobre y fuera de C, y aplicarTeorema de Rouch.)