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Metodos mimeticos

Johan Estiben Lopez Cifuentes

Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellın

27 de abril de 2018

Johan Estiben Lopez Cifuentes (UNAL) M. mimeticos 27 de abril de 2018 1 / 26

Contenido

1 Aspectos teoricosPropositoEn que consiste el metodo

Que son?Formulacion teorica

Aproximacion de Castillo y GroneEjemplos teoricos


Proposito

Construir aproximaciones discretas de la derivada garantizando el mismoorden de convergencia en toda la region.

En la literatura existen diversos metodos para este proposito pero no todosgarantizan que tales aproximaciones sean de alto orden. (orden == gradode exactitud de la aproximacion.)

Los metodos mimeticos se consolidan entonces como una excelente opcionpara enfrentar esa falencia, sin embargo, esa exactitud es “uniforme” unavez se imponen algunas condiciones.

Objetivos:

Introducir los metodos mimeticos (como se aplican en la solucion deproblemas que involucran Ecuaciones Diferenciales.)

Estudiar el enfoque que plantean los profesores Castillo y Grone enuno de sus artıculos.


Que son los metodos mimeticos

Los metodos mimeticos inician discretizando la teorıa continua adyacenteal problema, lo que significa que estos metodos comienzan construyendouna matematica discreta analoga de la descripcion relevante delmecanismo continuo. Tal descripcion relevante usualmente toma laforma de conservacion fısica o ley de conservacion y lo que se busca esconstruir operadores discretos que satisfagan el esquema discreto de tal ley.

Esto significa que la forma que pueden tomar los operadores discretosdepende o esta limitada por la forma del esquema discreto de la ley deconservacion.

Operadores mimeticos

Esos operadores discretos reciben el nombre de operadores mimeticos.


Marco teorico

Estamos interesados en construir aproximaciones discretas de alto orden dela derivada en mallas unidimensionales escalonadas unidimensionales quesatisfagan de manera exacta leyes de conservacion global.

Problema

Encontrar aproximaciones de alto orden de la divergencia (∇·) y delgradiente (grad) que satisfagan una version discreta analoga del teoremade la divergencia:∫

Ω∇ · ~v f dV +

∫Ω~v gradf dV =

∫∂Ω

f ~v · ~n dS (1)


Teniendo en cuenta que queremos una discretizacion unidimensional

Consideremos f (x) y v(x) dos funciones suaves de valor real definidas enel intervalo Ω = [0, 1]. vemos que la ecuacion 1 se reduce a una expresiondel Teorema fundamental del Calculo.

∫ 1

0

dv

dxf dx +

∫ 1

0vdf

dxdx = v(1)f (1)− v(0)f (0) (2)

En 1Ddv

dxjuega el rol de la divergencia del campo vectorial y

df

dxel del

gradiente de la funcion escalar f (x). La ecuacion (2) es un ejemplo basicode ley de conservacion fısica.


Configuracion de la malla

Tomamos un tamano de paso h =1

n.

Nodos Los puntos finales de las celdas.

Puntos de frontera: x0 y xn.

Puntos centrales: xi+1/2 = 12 (xi + xi+1), para 0 ≤ i ≤ n.

Se particiona la region Ω en n celdas igualmente espaciadas de la forma[xi , xi+1], con 0 ≤ i ≤ n − 1. De esta manera, los puntos de frontera, losnodos y los puntos centrales conforman el conjunto completo de puntos demalla para una malla escalonada uniforme.Lo anterior nos dice que la divergencia discreta debera actuar en los valoresde v, mientras que el gradiente discreto debera actuar en los valores de f.


Malla

The staggered one-dimensional grid


Con lo anterior en mente, definimos los vectores:

v ≡ (v(x0), v(x1), v(x2), . . . , v(xn−1), v(xn))T

f ≡ (f (x0), f (x1/2), f (x3/2), . . . , f (xn−1/2), f (xn))T

Operadores discretos de orden 2

Divergencia:

(Dv)i+ 12

=vi+1 − vi

h, 0 ≤ i ≤ n − 1

Gradiente: (orden 2 en el interior y 1 en la frontera)

(Gf )0 =f 1

2− f0

h/2

(Gf )i =fi+ 1

2− fi− 1

2

h, 1 ≤ i ≤ n − 1

(Gf )n =fn − fn− 1

2

h/2


Esquema de discretizacion mimetico

Antes de poder construir operadores mimeticos de divergencia y gradientenecesitamos construir una forma discreta de la ley de conservacion (2).

Debe satisfacer alguna expresion tanto de la conservacion local, comode la conservacion global, ambos casos especiales de (1).

Conservacion local

Tomando f = 1 y Ω como una simple celda.

Conservacion global

Tomando f = 1 y se aplica a toda la region en consideracion.

En este caso vemos que el segundo termino de (2) se anula.


Conservacion global significa entonces que se cumpla:∫ 1

0

dv

dxdx = v(1)− v(0) (3)

Considerando la misma malla, es importante notar que

Esas versiones discretas de la divergencia y el gradiente son ambosoperadores lineales de dimension finita, por lo que podemos expresarloscomo matrices. Tomando D y G como las matrices asociadas a ladivergencia y el gradiente respectivamente, vemos que D resulta en unoperador con dimension matricial n x (n + 1) y G en un operador condimension matricial (n + 1) x (n + 2).

Como buscamos que los operadores mimeticos cumplan la condicion deconservacion global hacemos las siguientes consideraciones:


Enfoque de Castillo y Grone

Consideraciones:

D denotara la matriz D aumentada con dos filas de ceros (una arribay otra abajo)

Definimos la matriz

B =

−1 0 · · · · · · 0

0 0. . .

. . ....

.... . .

. . .. . .

......

. . .. . . 0 0

0 · · · · · · 0 1

∈ R(n+2)x(n+1).

Dados dos vectores x , y ∈ Rn, escribimos el producto interno de x y ycomo 〈x , y〉.


Teniendo en cuenta que con la malla establecida v es una (n + 1)-tupla y funa (n + 2)-tupla, se formula la version discreta de (2) como:⟨

Dv , f⟩

+⟨v ,Gf

⟩= vnfn − v0f0 (4)

o equivalentemente como⟨Dv , f

⟩+⟨GT v , f

⟩=⟨Bv , f

⟩(5)

para algunas matrices G y D.

En este contexto, la matriz B incorpora el requisito de conservacion globalpara la ley de conservacion discreta. Los requisitos de conservacion localesy globales restringen la posible estructura de D y G .


De (5) se sigue que D + GT = B, de donde se deduce que G debe tener laforma

G =

−1 00 0... −DT ...0 00 1

Esto nos dice que G es en cierto sentido, la matriz negativa de la adjuntade D, estableciendo ası una relacion entre D y G. Esto permite enfocarnosen construir solo operadores mimeticos de D.


Para obtener un mayor control sobre las propiedades de convergencia delos operadores mimeticos, Castillo y Grone introducen productos internospesados en su formulacion:⟨

Dv , fcb

⟩Q

+⟨GT v , fcb

⟩P

=⟨Bv , fcb

⟩donde 〈x , y〉A

.= yTAx , para alguna matriz A definida positiva. De esta

manera son entonces las matrices definidas positivas Q y P las queconducen la forma de D y G respectivamente.

D y G son los operadores mimeticos!!!


Cuidado!!!

Si bien estos operadores son mimeticos, puede pasar que no tienen elmismo orden de convergencia sobre toda la region.

Ejemplo: Tomando Q como la identidad de tamano (n + 2)x(n + 2) y Pcomo

P =

1/2

1. . .

11/2

∈ R(n+1)x(n+1)

se logra obtener los siguientes operadores mimeticos:

hD =

−1 1

−1 1. . .

−1 1−1 1

∈ Rnx(n+1)


hG =

−2 2

−1 1. . .

−1 1−2 2

∈ R(n+1)x(n+2)

Se puede mostrar facilmente que con D y G definidos de esta manera, Dvaproxima la verdadera divergencia de v(x) con grado 2 en toda la region, yGf aproxima el valor verdadero del gradiente de f (x) con orden 2 a travesde los puntos internos de la malla, pero solo logra orden 1 en los puntos defrontera.


Solucion

Supongamos que queremos construir un operador mimetico con orden deconvergencia k en todos lados en la region. El punto de partida es unstencil o plantilla que da una aproximacion de orden k en el interior, dondeorden en este contexto significa que queremos que el stencil brinde unarespuesta exacta cuando se aplica a polinomios de grado k o menos.Dichos stencils pueden ser obtenidos usando Polinomios de Lagrange.

La idea es extender dicho stencil a una matriz S con las siguientescondiciones estructurales impuestas:

Sea e = (1, 1, . . . , 1, 1)T con la dimension apropiada tal que:

1. Se = (0, 0, . . . , 0, 0)T (Suma de filas = 0)

2. eTS = (−1, 0, . . . , 0, 1) (Suma de columnas = −1, 0, · · · , 0, 1).

3. S debe ser skew-centrosymmetric (i,e., JmSJm+1 = −S)


La meta detras del enfoque de los autores es intentar retener las plantillasen las filas internas de S , para construir filas externas que ayudan asatisfacer las 3 condiciones estructurales ya mencionadas y aun ası producirlas propiedades de convergencia deseadas. Ellos esperaban lograr todo estomientras restringıan sus cambios a un bloque k x 3

2k en la esquina superiorizquierda e inferior derecha de la matriz S , asumiendo k un numero par.

Ejemplo: Suponga que queremos construir un gradiente mimetico deorden 2 en toda la malla uniforme escalonada. Partimos del stencil(

0, . . . , 0, −1, 1, 0, . . . , 0)


y la idea es extenderlo a una matriz de la forma

G =

X1 X2 X3

X4 X5 X6

−1 1. . .

. . .

−1 1X7 X8 X9

X10 X11 X12

en donde los bloques de tamano 2x3 con entradas Xi , 1 ≤ i ≤ 12 se usanpara ayudar a G a satisfacer las condiciones estructurales y de ordenrequeridas.

P = P ⊕ I(n−2)k ⊕ Jk PJk , P es kxk definida positiva.

La condicion de suma de columna es entonces expresada comoh · 〈e,Gf 〉P = fn − f0, o lo que es lo mismo

h · eTPG =(−1, 0, . . . , 0, 1

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Para una matriz P adecuada, con las condiciones estructuralesre-expresadas de esta manera, el sistema lineal resultante ya no esincompatible.En el caso del gradiente de segundo orden G , la matriz de ponderacion Ptoma la forma

P =

3/8 0

0 9/8. . .

. . . 1. . .

. . .. . .

. . .. . . 1

. . .. . . 9/8 0

0 3/8


El operador gradiente de segundo orden es

hG =

−8/3 3 −1/3

0 −1 1 0. . .

. . .. . .

. . .

0 −1 1 01/3 −3 8/3


Claramente difieren

hG =

−2 2

−1 1. . .

−1 1−2 2

hG =

−8/3 3 −1/3

0 −1 1 0. . .

. . .. . .

. . .

0 −1 1 01/3 −3 8/3


Ventajas

Discretizaciones obtenidas usando metodos mimeticos tienden areplicar mucho del comportamiento encontrado en el problemacontinuo relacionado y como las leyes fısicas quedan integradas en ladiscretizacion, estos metodos se convierten en buenos candidatos altratar con problemas difıciles como por ejemplo aquellos queinvolucran propiedades de materiales poco homogeneos.

Mismo orden de convergencia.


References

Hyman, James M and Larrouturou, Bernard (1982)

The numerical differentiation of discrete functions using polynomial interpolationmethods

Applied Mathematics and Computation v10, 487–506.

Trefethen, Lloyd N (2000)

Spectral methods in MATLAB

Siam v10.

Castillo, Jose E and Yasuda, Mark (2005)

Linear systems arising for second-order mimetic divergence and gradientdiscretizations

Springer v4(1), 67–82.

Castillo, Jose E and Grone, RD (2003)

A matrix analysis approach to higher-order approximations for divergence andgradients satisfying a global conservation law

SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications v25(1), 128–142.


Muchas gracias!!


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