IV Facultad de Economía y Negocios Microeconomía II … II UDP/Equilibrio General.pdf · con un...

Facultad de Economía y Negocios

Microeconomía II

Prof. Carlos R. Pitta

1

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IV Cuarta Parte:

Equilibrio General y Bienestar

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1. Equilibrio General

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Sistema de Precios Perfectamente Competitivo

• Asumiremos que todos los mercados son

perfectamente competitivos

– Existe un gran número de bienes homogéneos en la

economía• Tanto bienes de consumo como factores de producción

– Cada bien tiene un precio de equilibrio

– No existen costos de transacción o transporte

– Los individuos y las firmas tienen información

perfecta

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Ley de un Solo Precio• Un bien homogéneo se comercializa al

mismo precio, no importa quien lo

compra o quien lo vende

– Si un bien es comercializado a dos precios

diferentes, los consumidores comprarían el

bien donde es barato y las firmas

intentarían venderlo donde el precio es alto

• Ambas acciones tenderían a igualar el precio

del bien

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Supuestos de Competencia Perfecta

• Hay un gran número de personas

comprando cada bien

– Cada persona toma el precio como dado e

intenta maximizar su utilidad sujeta a su

restricción presupuestal

• Hay un gran número de firmas

produciendo cada bien

– Cada firma toma los precios como dados e

intenta maximizar sus ganancias

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Equilibrio General

• Asuma que existen solo dos bienes: x, y

• Se asume que todos los individuos

tienen las mismas preferencias

– Representadas mediante un mapa de

indiferencia

• La curva de posibilidades de producción

muestra como se encuentran

relacionados los insumos como los

productos

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La Caja de Edgeworth• La construcción de la curva de

posibilidades de producción para x, y

comienza con el supuesto de que los

montos de k y l son fijos

• Una Caja de Edgeworth muestra cada

forma posible en que el k y l existentes

pueden ser usados para producir x y y

– Cualquier punto en la caja representa una

locación de pleno empleo de los recursos

disponibles, para producir x, y

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La Caja de Edgeworth

Ox

Oy

Trabajo Total

Cap

ital To

tal

A

Cap

ital

pa

ra x

Cap

ital p

ara

y

Trabajo para yTrabajo para x Capital en

producción

de y

Capital

en la

producción

de x

Trabajo en la producción de y

Trabajo en la producción de x

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• Muchos lugares en la Caja de Edgeworth

son técnicamente ineficientes

– Es posible producir más x y más y moviendo

el capital y el trabajo

• Asumiremos que los mercados

competitivos no escogerán combinaciones

ineficientes de insumos

• Queremos encontrar los puntos eficientes

– Ellos ilustrarán los resultados de producción

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• Usaremos un mapa de isocuantas para

los dos bienes

– El mapa de isocuantas del bien x usa Ox

como su origen

– El mapa de isocuantas del bien y usa Oy

como su origen

• Los puntos eficientes ocurrirán donde las

isocuantas son tangentes unas con las

otras

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11


Ox

Oy

Trabajo Total

Cap

ital To

tal

x2

x1

y1

y2

A

El punto A es ineficiente, dado que moviéndose sobre y1, podemos

incrementar x de x1 a x2 mientras y no varía

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Ox

Oy

Trabajo Total

Cap

ital To

tal

x2

x1

y1

y2

A

También podríamos incrementar y de y1 a y2 manteniendo

constante x moviéndonos sobre x1

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Ox

Oy

Trabajo Total

Cap

ital To

tal

En cada punto eficiente, la Tasa de Sustitución Técnica

(RTS de k por l) es igual tanto en la producción de x

como en la producción de y

x2

x1

x4

x3

y1

y2

y3

y4

p4

p3

p2

p1

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Frontera de Posibilidades de Producción

• El conjunto de puntos eficientes

muestran el producto máximo de y que

puede ser producido para cada nivel de

x

– Podemos usar esta información para

construir una Frontera de Posibilidades de

Producción (FPP)

• La FPP muestra la producción alternativa de x

e y que pueden ser producidos con los montos

fijos de capital y trabajo que son empleados

eficientemente

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Frontera de Posibilidades de Producción

Cantidad de x

Cantidad de y

p4

p3

p2

p1

y1

y2

y3

y4

x1 x2 x3 x4

Ox

Oy

Cada punto eficiente de producción se

Transforma en un punto de la FPP

La pendiente negativa de la

FPP es la Tasa de

Transformación del Producto

(TTP)

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Tasa de Transformación del Producto (TTP)

• La Tasa de Transformación de Producto

(TTP) entre dos productos es la

pendiente negativa de la Frontera de

Posibilidades de Producción:

FPP de pendiente )por (de yxTTP

) (sobre )por (de TP yxOOdx

dyyxT

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17

Tasa de Transformación del Producto (TTP)

• La TTP muestra como x puede ser

“transado” técnicamente por y mientras

continuamos usando eficientemente los

recursos productivos disponibles

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Forma de la FPP

• La FPP ilustrada anteriormente exhibía

una TTP creciente

– Esta forma cóncava caracterizará la mayor

parte de las situaciones productivas

• TTP es igual al cociente del Costo

Marginal de X (MCx) al Costo Marginal

de Y (MCy)

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Forma de la FPP

• Suponga que los costos de cada

combinación de productos son C(x,y)

– Sobre la FPP, C(x,y) es constante

• Podemos escribir el diferencial total de

la función de costos como:

0

dy

y

Cdx

x

CdC

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20

Forma de la FPP

• Reescribiendo, tenemos:

y

xyx

MC

MC

yC

xCOO

dx

dyTTP

/

/) (sobre

• La TTP es una medida de los costos

marginales relativos de dos bienes

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Forma de la FPP

• A medida que la producción de x sube y la

producción de y cae, el cociente de MCx a MCy

sube

– Esto ocurre si ambos bienes son producidos bajo

retornos decrecientes

• Incrementar la producción de x sube MCx, mientras que reducir

la producción de y baja MCy

– Esto también puede ocurrir si algunos insumos son más

adecuados para la producción de x que para la

producción de y

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Forma de la FPP

• Pero hemos asumido que los insumos

son homogéneos

• Necesitamos una explicación que

incluya que insumos homogéneos y

retornos constantes a escala

• La FPP será cóncava si los bienes x e y

usan los insumos en diferentes

proporciones

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Costos de Oportunidad

• La FPP demuestra que existen muchas

combinaciones eficientes posibles de 2

bienes

• Producir más de un bien requiere de

disminuir la producción del otro bien

– Esto es a lo que los economistas llamamos

Costo de Oportunidad

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Costos de Oportunidad

• El costo de oportunidad de una unidad

adicional de x es la reducción en la

producción de y que supone

• Así, el costo de oportunidad se mide

más adecuadamente como la TTP (de x

por y) en el punto pertinente sobre la

FPP

– El costo de oportunidad sube a medida que

se produce más de x

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Concavidad de la FPP

• Suponga que la producción de x e y

depende solamente del trabajo y que las

funciones de producción son:

5.0)( xxfx ll 5.0)( yyfy ll

• Si la oferta de trabajo se fija en100, entonces

lx + ly = 100

• Entonces, la FPP será:

x2 + y2 = 100 for x,y 0

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Concavidad de la FPP

• La TTP puede ser calculada tomando el

diferencial total:

y

x

y

x

dx

dyTydyxdx

2

)2(TP ó 022

• La pendiente de la FPP se incrementa a medida que la producción de x sube

– La FPP es cóncava

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Determinación de los Precios de Equilibrio

• Podemos usar la FPP conjuntamente

con un conjunto de curvas de

indiferencia para demostrar como se

determinan los precios de equilibrio

– Las curvas de indiferencia representan las

preferencias de los individuos por los dos

bienes

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Cantidad de x

Cantidad de y

U1

U2

U3

y1

x1

La producción será x1, y1

Si los precios de x e y son px y py, la

restricción presupuestal de la

sociedad es C

y

x

p

p pendiente

C

C

Los individuos

demandarán x1’, y1’

x1’

y1’

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Cantidad de x

Cantidad de y

y1

x

1

U1

U2

U3

y

x

p

p slope

C

C

El precio de x subirá y el

precio de y bajará

x1’

y1’

Hay exceso de demanda por x y

exceso de oferta de y

Exceso

de Oferta

Exceso de

Demanda

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Cantidad de x

Cantidad de y

y1

x1

U1

U2

U3

y

x

p

p pendiente

C

C

x1’

y1’

La producción de equilibrio

será x1* y y1*y1*

x1*

Los precios de equilibrio

serán px* y py*

C*

C*

*

* pendiente

y

x

p

p

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Análisis de Estática Comparativa

• El cociente de precios de equilibrio

tenderá a persistir hasta que las

preferencias o las tecnologías de

producción cambien

• Si las preferencias crecieran hacia el

bien x, px /py subirá y más x y menos y

será producido

– Nos moveríamos en un dirección a las

manecillas de reloj sobre la FPP

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Análisis de Estática Comparativa

• El progreso técnico en la producción del

bien x desplazará la curva de

Posibilidades de Producción hacia afuera

– Esto baja el precio relativo de x

– Más x será consumido

• si x es un bien normal

– El efecto sobre y es ambiguo

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Progreso Técnico en la Producción de x

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

U2

U3

x1*

El precio relativo de x caerá

Se consumirá más x

x2*

Progreso técnico en la producción de

x desplazará hacia afuera la FPP

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Formación de los Precios

de Equilibrio General• Suponga que la FPP puede ser

representada mediante:

x 2 + y 2 = 100

• Además, suponga que las preferencias

de la comunidad pueden ser

representadas mediante:

U(x,y) = x0.5y0.5

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de Equilibrio General• Una firma que maximiza ganancias

igualará su TTP con el cociente px /py

y

x

p

p

y

xTTP

• Mientras que la maximización de utilidad

requiere que:

y

x

p

p

x

yTMS

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de Equilibrio General• El equilibrio requiere que tanto las

firmas como los individuos enfrenten el

mismo cociente de precios:

TMSx

y

p

p

y

xTTP

y

x

Es decir,

x* = y*

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Existencia de los Precios de Equilibrio General

• A principios del siglo 19, cierta

investigación conducida por Leon Walras,

había examinado si acaso existe (o no) un

vector de precios que equilibrase todos

los mercados simultáneamente

– Y, si dicho conjunto de precios existiese,

¿Cómo podría ser encontrado?

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• Suponga que existen n bienes cuya oferta

es fija en una economía

– Defina Si (i =1,…,n) como la oferta total

disponible del bien i

– Defina pi (i =1,…n) como e precio del bien i

• La demanda total del bien i depende de

todos los precios

Di (p1,…,pn) for i =1,…,n

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• Escribiremos esta función de demanda

como dependiente de TOTO el conjunto

de precios, (P)

Di (P)

• Problema de Walras: ¿Existirá un

conjunto de precios de equilibrio tales que

Di (P*) = Si

para todo valor de i ?

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Funciones de Exceso de

Demanda• La función de Exceso de Demanda para

cualquier bien i a cualquier conjunto de

precios (P) se define como

EDi (P) = Di (P) – Si

• Esto significa que la condición de

Equilibrio puede ser reescrita como

EDi (P*) = Di (P*) – Si = 0

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Funciones de Exceso de

Demanda• RECORDEMOS DE MICRO 1: Las funciones

de demanda son Homogéneas de grado cero

– Esto implica que solo podemos establecer precios

relativos de equilibrio en un modelo de tipo

Walrasiano

• Walras también asumió que las funciones de

demanda son continuas

– Es decir, pequeños cambios en el precio generan

pequeños cambios en la cantidad demandada

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Ley de Walras

• Una observación final que Walras hizo

fue que las n ecuaciones de exceso de

demanda no son independientes una de

la otra

• La Ley de Walras muestra que el valor

total de exceso de demanda es cero

para cada conjunto de precios, es decir:

n

i

ii PEDP1

0)(

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Ley de Walras

• La Ley de Walras se mantiene para

cualquier conjunto de precios (no solo

los precios de equilibrio)

• No puede existir ni exceso de demanda

para todos los bienes, ni exceso de

oferta para todos los bienes

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Prueba de Walras de la Existencia de los Precios de Equilibrio

• Las condiciones de equilibrio de mercado

proveen (n-1) ecuaciones independientes en

(n-1) precio relativos

– ¿Podemos resolver un sistema para una

condición de equilibrio?

• Las ecuaciones no son necesariamente lineales

• Todos los precios deben ser no negativos

• Para resolver tales complicaciones, Walras

estableció una prueba MUY complicada

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• Comience con un conjunto de precios arbitrario

• Manteniendo los otros n-1 precio constante,

encuentre el precio de equilibrio para el bien 1

(p1’)

• Manteniendo p1’ y los otros n-2 precios

constantes, resuelva los precios de equilibrio

del bien 2 (p2’)

– Al cambiar p2 desde su posición inicial hasta p2’, el

precio calculado para el bien 1 no tiene porqué

continuar siendo un precio de equilibrio

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• Usando dichos precios provisionales p1’ y p2’,

encuentre p3’

– Y proceda de esta forma hasta que un conjunto

entero de precios relativos provisionales haya sido

encontrado

• En la 2da iteración de la prueba de Walras,

p2’,…,pn’ se mantienen constantes mientras

que un nuevo precio de equilibrio es calculado

para el bien 1

– Proceda de esta forma hasta que el conjunto

completo de nuevos precios es encontrado

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47


• La importancia de la Prueba de Walras

es su habilidad para demostrar la

naturaleza simultánea del problema de

encontrar precios de equilibrio

• Debido a que es muy compleja, no es

muy usada en la actualidad

• Más bien, se usan nuevas herramientas

matemáticas recientes

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Teorema del Punto Fijo de Brouwer

• Cualquier mapeo continuo [F(X)] de un

conjunto cerrado, acotado y convexo

hacia él mismo tiene por lo menos un

punto fijo (X*) tal que F(X*) = X*

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x

f (X)

1

1

0

45

Cualquier función continua

debe, entonces, cruzar la línea

de 45

Suponga que f(X) es una función continua definida

en el intervalo [0,1] y que f(X) toma valores que

también pertenecen al intervalo [0,1]

Este punto de intersección es

llamado un “punto fijo” debido

a que f mapea este punto (X*)

hacia sí mismo

X*

f (X*)

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• Un mapeo es una regla que asocia los puntos en

un conjunto con puntos en otro conjunto

– Sea X un punto para el cual el mapeo (F) se

encuentra definido

• El mapeo asocia a X con algún punto en Y = F(X)

– Si un mapeo está bien definido para un subconjunto

del espacio n-dimensional (S), y si cada punto en S se

encuentra asociado (mediante la regla F) con algún

otro punto en S, dicho mapeo se denomina un mapa

de S hacia sí mismo.

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• Un mapeo es continuo si puntos que se

encuentran “cerca” entre sí son mapeados hacia

puntos que también se encuentran “cerca” de

ellos

• El Teorema del Punto Fijo de Brouwer considera

mapeos definidos en ciertos conjuntos

– Cerrado (es decir, contienen a sus fronteras)

– Acotados (Es decir, ninguna de sus dimensiones es

infinitamente grande)

– Convexos (Es decir, no tienen “hoyos” en ellos)

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Prueba de la Existencia de Precios de Equilibrio

• Dado que solo nos importan los precios

relativos, es conveniente asumir que los

precios han sido definidos de manera tal que la

suma de todos los precios es igual a 1

• Así, dado un conjunto arbitrario de precios

(p1,…,pn), podemos usar precios normalizados

de la forma:

n

i

i

ii

p

pp

1

'

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• Estos nuevos precios retendrán sus

valores relativos originales y sumarán 1

1'1

n

i

ip

j

i

j

i

p

p

p

p

'

'

• (Sumarán 1):

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• Asumiremos que el conjunto factible de

precios (S) está compuesto de todos los

números no negativos que suman 1

– S es el conjunto al cual aplicaremos el

Teorema de Brouwer

– S es cerrado, acotado, y convexo

– Necesitaremos definir un mapeo continuo

de S hacia sí mismo

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Mapeando el Conjunto de Precios hacia sí mismo

• Para lograr el equilibrio, los precios de

los bienes con exceso de demanda

subirán, mientras que aquellos con

exceso de oferta bajarán sus precios

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• Definimos el mapeo F(P) para cualquier

conjunto normalizado de precios (P),

tales que el i-ésimo componente de F(P)

esté dado por:

F i(P) = pi + EDi (P)

• Este mapeo desempeña la tarea crítica

de subir o bajar apropiadamente los

precios

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57


• Aun así, existen dos problemas con este

mapeo

• Primero, nada asegura que los precios

serán no negativos

– El mapeo debe ser redefinido para

garantizar dicha condición:

F i(P) = Max [pi + EDi (P),0]

– Así, los nuevos precios definidos por el

nuevo mapeo deben ser positivos o cero

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• Segundo, los precios recalculados no

estarán, necesariamente, normalizados

– No sumarán 1

– Requerimos normalizar tal que:

n

i

i PF1

1)(

– Asumiremos que dicha normalización ha

sido hecha adecuadamente

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Aplicación del Teorema de Brouwer

• Así, la nueva F satisface las condiciones

del Teorema del Punto Fijo de Brouwer

– Es un mapeo continuo del conjunto S hacia

sí mismo

• Por lo tanto, debe existir un punto (P*)

que se mapea hacia sí mismo

• En este punto, ocurre:

pi* = Max [pi* + EDi (P*),0] para todo i

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Aplicación del Teorema de Brouwer

• Esto implica que P* es un conjunto de precios de equilibrio

– Para pi* > 0,

pi* = pi* + EDi (P*)

EDi (P*) = 0

– Para pi* = 0,

pi* + EDi (P*) 0

EDi (P*) 0

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61

Ejemplo: Equilibrio General con 3 Bienes

• Suponga que en la economía de Oz se

compone solamente de 3 metales

preciosos: (1) plata, (2) oro, y (3) platino

– Existen 10 (mil) onzas disponibles de cada

mineral

• Suponga que las demandas por oro y

platino son:112

1

3

1

22

p

p

p

pD 182

1

3

1

23

p

p

p

pD

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Slide 62

62

Equilibrio General con 3 Bienes

• El equilibrio en los mercados de Oro y

Platino requiere que la demanda sea

igual a la oferta en ambos mercados de

manera simultánea:

101121

3

1

2 p

p

p

p

101821

3

1

2 p

p

p

p

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Slide 63

63


• Este sistema de ecuaciones simultáneas puede ser resuelto mediante:

p2/p1 = 2 p3/p1 = 3

• En equilibrio:– El precio del Oro en equilibrio será el doble que el

de la Plata

– El precio del Platino será el triple que el de la Plata

– El precio del Platino será 1.5 veces lo que el precio del Oro

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64


• Dado que la Ley de Walras debe prevalecer, sabemos que

p1ED1 = – p2ED2 – p3ED3

• Y, substituyendo las funciones de exceso de

demanda para el Oro y la Plata tenemos:

3

1

23

1

322

1

32

1

22

11 822 pp

p

p

ppp

p

pp

p

pEDp

1

3

1

2

21

23

21

22

1 822p

p

p

p

p

p

p

pED

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