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CORPORATIVO INTERNACIONAL UNIVERSITARIO S.C.
Investigación:
MÉTODOS DE CONTEO Y RELACIONES DERECURRENCIA
TEORÍA DE GRAFOS
Presentado Por:
TERESA MIRANDA SANDOVAL
Nombre del Catedrático:
LIC. GABRIEL FLORES GONZÁLEZ
Lugar y fecha de elaboración:ATLACOMULCO, ESTADO DE MÉXICO A 25 DE FEBRERO DE 2012
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Matemáticas Computacionales
Teresa Miranda Sandoval
2
ÍNDICE
MÉTODOS DE CONTEO Y RELACIONES DE RECURRENCIA
Principios Básicos de Conteo...………..……………..…………………… 3
Permutaciones…………………………………………………….…………. 4
Combinaciones……………………………..……………………..…………. 6
TEORÍA DE GRAFOS
Introducción……………………………………………………………………. 15
Recorridos Eulerianos…………….……….………….………..…………… 22
Circuitos Hamiltonianos…….…………………………………...…………. 24
Árboles y Colores………………………………….…………….…………… 30
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Matemáticas Computacionales
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3RINCIPIO BÁSICO DE CONTEO
El principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para
determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que
pueden variar.Ejemplo: El helado puede venir en un cono o una tasa y los sabores son
chocolate, fresa y vainilla.
/ Taza de chocolate
/ Chocolate <
/ \ cono de chocolate
/
/ / Tasa de fresa
<-- fresa <
\ \ cono de fresa
\
\ / tasa de vainilla
\ Vainilla <
\ Cono de vainilla
El diagrama anterior se llama diagrama de árbol y muestra todas las
posibilidades. El diagrama de árbol también se puede ordenar de otra forma.
Ambos diagramas tienen un total de 6 resultados.
/ Taza de chocolate
/
/ Tasa <-- tasa de fresa
/ \
/ \ tasa de vainilla
/
<
\
\ / cono de chocolate
\ /
\ Cono <-- cono de fresa
\
\ Cono de vainilla
Para determinar la cantidad total de resultados, multiplica la cantidad de
posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de
la segunda característica. En el ejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para
obtener 6 posibles resultados.
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4Si hay más de dos resultados, continúa multiplicando las posibilidades para
determinar el total de resultados.
PERMUTACIONES
Hay dos tipos de permutaciones:
1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No
puedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de
ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n
posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9)
y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas
que puedes elegir, y eliges r de
ellas
(Se puede repetir, el orden
importa)
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
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5Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección
tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones
sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería
solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre
16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función
factorial"
La función factorial (símbolo: !) significa que se
multiplican números descendentes. Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que
parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero
ayuda a simplificar muchas ecuaciones.
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14.
¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14
La fórmula se escribe:
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donde n es el número de cosas
que puedes elegir, y eliges r de
ellas(No se puede repetir, el orden
importa)
Ejemplos:
Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:
16! =
16! =
20,922,789,888,000 = 3360
(16-3)!
13!
6,227,020,800
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10
personas?
10! =
10! =
3,628,800 = 90
(10-2)! 8! 40,320
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
COMBINACIONES
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no
importa):
1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
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7. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los
números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
después lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se
eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el
orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades
son:
El orden importa El orden noimporta
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
1 2 3
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se
pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
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8(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para
reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos
interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes
paréntesis, así:
donde n es el número de cosas
que puedes elegir, y eliges r de
ellas
(No se puede repetir, el orden
no importa)
Y se la llama "coeficiente binomial".
Notación
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
16! =
16! =
20,922,789,888,000 = 560
3!(16-3)! 3!×13! 6×6,227,020,800
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9O lo puedes hacer así:
16×15×14 =
3360 = 560
3×2×1 6
Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que
elegir 13 bolas de 16.
16! =
16! =
16! = 560
3!(16-3)! 13!(16-13)! 3!×13!
Triángulo de Pascal
Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la
de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la
respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
1. Combinaciones con repetición
OK, ahora vamos con este...
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón,
fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
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10Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son
{c, c, c} (3 de chocolate)
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla)
{b, v, v} (Uno de banana, dos de vainilla)
(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)
Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar
una técnica especial para que lo averigües tú mismo.
Imagina que el helado está en contenedores,
podrías decir "sáltate el primero, después 3
paladas, después sáltate los 3 contenedoressiguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de
chocolate!
Entonces es como si ordenaras a un robot que te
trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo
que quieres.
Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el círculo
es tomar)
Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:
{c, c, c} (3 de chocolate):
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y
uno de vainilla):
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):
OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores,
ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras
puedes ordenar flechas y círculos"
Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas
(tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).
Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas
tengan círculos.
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11Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r
de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con
números un poco distintos. Lo podrías escribir así:
donde n es el número de cosas que
puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden no importa)
Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de
círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y
queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...
¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
(5+3-1)! =
7! =
5040 = 35
3!(5-1)! 3!×4! 6×24
COEFICIENTES BINOMIALES
Los coeficientes binomiales, números combinatorios o combinaciones son
números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas
en que se pueden extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin
embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar
otras definiciones equivalentes.
Definición combinatoria
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12, pues hay 10 formas de escoger (en rojo) 3 objetos a partir de un
conjunto con 5 elementos
Se tiene un conjunto con 6 objetos diferentes {A, B, C, D, E, F}, de loscuales se desea escoger 2 (sin importar el orden de elección). Existen 15
formas de efectuar tal elección:
A,B A,C A,D A,E A,F
B,C B,D B,E B,F
C,D C,E C,F
D,E D,F
E,F
El número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto de n ,
puede denotarse de varias formas: , , , o . Así, en el
ejemplo anterior se tiene entonces que C (6,2)=15, puesto que hay 15
formas de escoger 2 objetos a partir de un conjunto con 6 elementos.
Los números C(n ,k ) se conocen como «coeficientes binomiales», pero es
frecuente referirse a ellos como «combinaciones de n en k », o simplemente
«n en k ». Por tanto, la primera definición es:
El coeficiente binomial es el número de subconjuntos de k elementos
escogidos de un conjunto con n elementos.
Es importante notar que la definición asume implícitamente que n y k son
naturales, y que además k no excede a n . Podemos definir C(n ,k )=0 si k >n ,
puesto que no es posible escoger más elementos que los que tiene el
conjunto dado (por tanto hay cero formas de hacer la elección). Estas
precisiones cobrarán relevancia más adelante cuando se discutan
generalizaciones del concepto (por ejemplo, cuando n o k sean negativos o
cuando no sean números enteros).
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13DEFINICIÓN ALGEBRAICA
Hay 5×4×3 formas de escoger ordenadamente 3 objetos de un conjunto con
5.
La definición no permite calcular el valor de los coeficientes binomiales,
salvo listando los subconjuntos y contándolos. Sin embargo, existe una
fórmula explícita que nos proporciona el valor de C(n ,k ).
Supongamos que el conjunto original tiene 5 elementos, de los cuales se
deben escoger 3. Al momento de escoger el primero, se tiene 5 opciones
disponibles, pero una vez fijo el primero, sólo hay 4 opciones para el
segundo, y por tanto sólo 3 opciones para el último (pues no se puede
repetir los escogidos en los primeros 2 pasos). De este modo, la selección
puede hacerse de 5×4×3=60 formas.
Sin embargo, en tal conteo, el orden en que se escogen los elementos hace
diferencia. Por ejemplo, tomar C, luego B, luego E, es una selección
diferente de tomar B, luego C y luego E. Pero en la definición de coeficiente
binomial, no importa el orden en que se eligen los objetos, únicamente
cuáles se escogen. Por tanto, las elecciones BCE, BEC, CEB, CBE, ECB y
EBC son todas equivalentes. Del mismo modo, las elecciones ABC, ACB,
BCA, BAC, CAB y CBA son equivalentes, y así para cualquier terna de
letras.
De esta forma, el resultado obtenido (60) no es la cantidad de subconjuntos
de 3 elementos de {A, B, C, D, E}, sino que cada subconjunto está contado 6
veces, por lo que la cantidad de subconjuntos es realmente 60/6 = 10.
El argumento presentado para el ejemplo puede generalizarse de la
siguiente forma. Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se
van a escoger k de ellos, la elección (ordenada) puede hacerse de
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14n × (n -1) × (n -2) ×... × (n-k +1)
Ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n -1,
en el tercero n -2, y así sucesivamente, terminando en el paso k que tendrá
n-k +1 opciones.
Ahora, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones
«equivalentes». Pero si se tiene k objetos, hay k! formas de permutarlos, es
decir, k! formas de listarlos en distinto orden. Recordemos que k ! se lee k -
factorial y es igual a
K ! = 1×2×3×...× k
Concluimos que el número de subconjuntos con k elementos, escogidos de
un conjunto con n elementos es
.
Multiplicando el numerador y el denominador de la fracción por
1×2×3×···×(n-k)
La expresión anterior puede escribirse de forma más compacta usando
factoriales, expresión que es usada en ocasiones como la definición misma
de coeficiente binomial (sobre todo en textos elementales que no explican
el origen combinatorio de la misma):
El coeficiente binomial está dado por la fórmula
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15TEORÍA DE GRAFOS
INTRODUCCIÓN
En matemáticas y en ciencias de la computación, la teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los
grafos (también llamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de
objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices,
llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no.
Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los
vértices) conectados por líneas (las aristas).
HISTORIA
Puentes de Königsberg.
El trabajo de Leonard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes de
Königsberg es considerado el primer resultado de la teoría de grafos.
También se considera uno de los primeros resultados topológicos en
geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la
profunda relación entre la teoría de grafos y la topología.
En 1845 Gustav Kirchhoff publicó sus leyes de los circuitos para calcular el
voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos.
En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que
plantea si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier
mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo
color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por
Kenneth Appel y Wolfgang Haken, puede ser considerado como el
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16nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos
definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.
ESTRUCTURAS DE DATOS EN LA REPRESENTACIÓN DE GRAFOS
Artículo principal: Grafo (estructura de datos)
Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La
estructura de datos usada depende de las características del grafo y el
algoritmo usado para manipularlo. Entre las estructuras más sencillas y
usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se
usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos
dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las
matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades
de memoria.
ESTRUCTURA DE LISTA
GRAFO DE LISTA DE ADYACENCIA.
lista de incidencia - Las aristas son representadas con un vector de
pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa
una de las aristas.1
lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los
cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no
dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa),
pero las búsquedas son más rápidas, al costo de almacenamiento
extra.
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17En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vértice i del grafo una
lista que contenga todos aquellos vértices j que sean adyacentes a él. De
esta forma sólo reservará memoria para los arcos adyacentes a i y no para
todos los posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por
tanto, se representa por medio de un vector de n componentes (si |V|=n)
donde cada componente va a ser una lista de adyacencia correspondiente a
cada uno de los vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un
campo indicando el vértice adyacente. En caso de que el grafo sea
etiquetado, habrá que añadir un segundo campo para mostrar el valor de la
etiqueta.
ESTRUCTURAS MATRICIALES
Matriz de incidencia - El grafo está representado por una matriz de A
(aristas) por V (vértices), donde [arista, vértice] contiene la
información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado)
Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz
cuadrada M de tamaño n 2, donde n es el número de vértices. Si hay
una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento m x ,y
es 1, de lo contrario, es 0.
VÉRTICE (teoría de grafos)
Los vértices constituyen uno de los dos elementos que forman un grafo.
Como ocurre con el resto de las ramas de las matemáticas, a la Teoría de
Grafos no le interesa saber qué son los vértices.
Diferentes situaciones en las que pueden identificarse objetos y relaciones
que satisfagan la definición de grafo pueden verse como grafos y así aplicar
la Teoría de Grafos en ellos.
Grafo
En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }.
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18Un grafo es una pareja de conjuntos G = (V ,A), donde V es el conjunto de
vértices, y A es el conjunto de aristas, este último es un conjunto de pares
de la forma (u ,v ) tal que . Para simplificar, notaremos la arista (a ,
b ) como ab .
En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas
no son relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de
los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más
claro.
Muchas redes de uso cotidiano pueden ser modeladas con un grafo: una red
de carreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o la red de drenaje de
una ciudad.
SUBGRAFO
Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas
son subconjuntos de los de G . Se dice que un grafo G contiene a otro grafo
H si algún subgrafo de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las
necesidades de la situación).
El subgrafo inducido de G es un subgrafo G' de G tal que contiene todas las
aristas adyacentes al subconjunto de vértices de G .
Definición:
Sea G= (V, A). G’=(V’,A’) se dice subgrafo de G si:
1- V’ V
2- A' A
3- (V’, A’) es un grafo
Si G’=(V’,A’) es subgrafo de G, para todo v G se cumple gr (G’,v)≤
gr (G, v)
G2 es un subgrafo de G.
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19
ARISTAS DIRIGIDAS Y NO DIRIGIDAS
En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, por ejemplo,
si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus
direcciones únicas. El conjunto de aristas será ahora un subconjunto de
todos los posibles pares ordenados de vértices, con (a, b) ≠ (b, a). Los
grafos que contienen aristas dirigidas se denominan grafos orientados,
como el siguiente:
Las aristas no orientadas se consideran bidireccionales para efectos
prácticos (equivale a decir que existen dos aristas orientadas entre los
nodos, cada una en un sentido).
En el grafo anterior se ha utilizado una arista que tiene sus dos extremos
idénticos: es un lazo (o bucle), y aparece también una arista bidireccional, y
corresponde a dos aristas orientadas.
Aquí V = {a, b, c, d, e }, y A = { (a, c), (d, a), (d, e), (a, e), (b, e), (c, a), (c,
c), (d, b) }.
Se considera la característica de "grado" (positivo o negativo) de un vértice
v (y se indica como (v )), como la cantidad de aristas que llegan o salen de
él; para el caso de grafos no orientados, el grado de un vértice es
simplemente la cantidad de aristas incidentes a este vértice. Por ejemplo, el
grado positivo (salidas) de d es 3, mientras que el grado negativo (llegadas)
de d es 0.
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20Según la terminología seguida en algunos problemas clásicos de
Investigación Operativa (p.ej.: el Problema del flujo máximo), a un vértice
del que sólo salen aristas se le denomina fuente (en el ejemplo anterior, el
vértice d ); tiene grado negativo 0. Por el contrario, a aquellos en los que
sólo entran aristas se les denomina pozo o sumidero (en el caso anterior, el
vértice e ); tiene grado positivo 0. A continuación se presentan lasimplementaciones en maude de grafos no dirigidos y de grafos dirigidos. En
los dos casos, las especificaciones incluyen, además de las operaciones
generadoras, otras operaciones auxiliares.
CICLO EULERIANO
Un ciclo o circuito euleriano es aquel camino que recorre todas las aristas
de un grafo cortando cinco veces por cada arco (arista) del grafo, siendo
condición necesaria que regrese al vértice inicial de salida (ciclo = camino
en un grafo donde coinciden vértice inicial o de salida y vértice final ometa). Una definición más formal lo define como: "aquel ciclo que contiene
todas las aristas de un grafo solamente una vez".
En la teoría de grafos, un camino euleriano es un camino que pasa por cada
arista una y solo una vez. Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado
que recorre cada arista exactamente una vez. El problema de encontrar
dichos caminos fue discutido por primera vez por Leonard Euler, en el
famoso problema de los puentes de Königsberg.
En relación con los ciclos eulerianos Carl Hierholzer publicó la primera
caracterización completa de los grafos eulerianos en 1873, probando
matemáticamente que de hecho los grafos eulerianos son exactamente
aquellos grafos que están conectados con todos y donde cada uno de los
vértices tiene grado par.
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21CICLOS EULERIANOS
EJEMPLO:
En la imagen, es un ciclo euleriano, luego es un
grafo euleriano.
Un grafo es una representación, un modelo, compuesto por un número
determinado de vértices (nodos) y un número de arcos (aristas) que los
relacionan, cada arista o arco tiene la capacidad de relacionar dos nodos. La
palabra ciclo se emplea en teoría de grafos para indicar un camino cerrado
en un grafo, es decir, en que el nodo de inicio y el nodo final son el mismo,
como contrapartida un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos
los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el
camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano.
Si un grafo admite un ciclo euleriano, se denomina grafo euleriano.
HISTORIA
Problema de los puentes de Königsberg
El origen de la teoría de los ciclos eulerianos fue planteado y resuelto por el
propio Leonard Euler en 1736 en un problema que tiene el nombre de Siete
puentes de la ciudad de Königsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII y
actualmente, Kaliningrado, provincia rusa) dando origen a la Teoría de losgrafos.
El problema se enuncia de la siguiente forma: Dos islas en el río Pregel, en
Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes.
¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes
de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de
partida?
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22Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y
cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden.
Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta:
¿se puede recorrer el dibujo sin repetir las líneas?
Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que
inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de
cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en
todo momento).
CASOS
Dado un grafo conexo (no existen nodos aislados) y no dirigido
, si tiene exactamente dos vértices de grado impar, entonces tiene un
camino euleriano no cerrado. En caso de que todos los vértices tengan
grado par, tiene un ciclo euleriano.
TEOREMA
Dado no orientado y conexo; si tiene nodos de grado impar,
entonces puede ser escrito como unión de caminos (simples) distintossobre los arcos y valen las siguientes expresiones:
1) es euleriano;
2) con grado y par.
3) todos disjuntos (caminos distintos) en los arcos,
es decir con
va de un nodo de grado impar a un nodo de grado impar.
Un grafo admite un camino euleriano cuando tiene exactamente dos nodos
de grado impar (conexos a los caminos).
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23PROPIEDADES
Un grafo conexo y no dirigido se dice que es euleriano si cada vértice
tiene un grado par.
Un grafo no dirigido es euleriano si es conexo y si se puede
descomponer en uno con los vértices disjuntos. Si un grafo no dirigido G es euleriano entonces su grafo-línea L (G ) se
dice que es también euleriano.
Un grafo dirigido es euleriano si es conexo y cada vértice tiene
grados internos iguales a los externos.
Un grafo no dirigido se dice que es susceptible de ser recorrido (en
inglés: trasversales) si es conexo y al menos dos vértices en el grafo
tienen grado impar.
CONTANDO CIRCUITOS EULERIANOS EN DÍGRAFOS
El número de circuitos euleriano en los dígrafos puede ser calculado
mediante el teorema denominado en Inglés: BEST-theorem, procedente de
los nombres de sus fundadores: de Bruijn, van Aardenne-Ehrenfest, Smith y
Tutte.
En dicho teorema se menciona que dado un dígrafo euleriano G := (V , E ), el
número ciclos eulerianos no-equivalentes en el grafo es
O equivalentemente
Siendo C cualquier cofactor de la matriz laplacianaº de G .
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24CIRCUITOS HAMILTONIANOS
Ciclo hamiltoniano
Ejemplo de un ciclo hamiltoniano.
Un ciclo es una sucesión de aristas adyacentes, donde no se recorre dos
veces la misma arista, y donde se regresa al punto inicial. Un ciclo
hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una
vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).
Por ejemplo, en un museo grande (al estilo del Louvre), lo idóneo sería
recorrer todas las salas una sola vez, esto es buscar un ciclo hamiltoniano
en el grafo que representa el museo (los vértices son las salas, y las aristas
los corredores o puertas entre ellas).
Se habla también de camino hamiltoniano si no se impone regresar al punto
de partida, como en un museo con una única puerta de entrada. Por ejemplo,
un caballo puede recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez sin
pasar dos veces por la misma: es un camino hamiltoniano. Ejemplo de un
ciclo hamiltoniano en el grafo del dodecaedro.
Hoy en día, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo
hamiltoniano en tiempo polinómico, siendo la búsqueda por fuerza bruta de
todos los posibles caminos u otros métodos excesivamente costosos.
Existen, sin embargo, métodos para descartar la existencia de ciclos o
caminos hamiltonianos en grafos pequeños.
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25El problema de determinar la existencia de ciclos hamiltonianos, entra en el
conjunto de los NP-completos.
GRAFOS SIMPLES
Un grafo es simple si a lo más existe una arista uniendo dos vérticescualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la
única que une dos vértices específicos.
Un grafo que no es simple se denomina multígrafo.
GRAFOS CONEXOS
Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino;
es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino
posible desde a hacia b .
Un grafo es doblemente conexo si cada par de vértices está conectado por
al menos dos caminos disjuntos; es decir, es conexo y no existe un vértice
tal que al sacarlo el grafo resultante sea disconexo.
Es posible determinar si un grafo es conexo usando un algoritmo Búsqueda
en anchura (BFS) o Búsqueda en profundidad (DFS).
En términos matemáticos la propiedad de un grafo de ser (fuertemente)
conexo permite establecer con base en él una relación de equivalencia parasus vértices, la cual lleva a una partición de éstos en "componentes
(fuertemente) conexas", es decir, porciones del grafo, que son
(fuertemente) conexas cuando se consideran como grafos aislados. Esta
propiedad es importante para muchas demostraciones en teoría de grafos.
GRAFO COMPLETO
Un grafo es completo si existen aristas uniendo todos los pares posibles de
vértices. Es decir, todo par de vértices (a, b) debe tener una arista e que los
une.
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26El conjunto de los grafos completos es denominado usualmente , siendo
el grafo completo de n vértices.
Un , es decir, grafo completo de n vértices tiene exactamente
aristas.
La representación gráfica de los como los vértices de un polígono
regular da cuenta de su peculiar estructura.
GRAFO BIPARTITO
Un grafo G es bipartito si puede expresarse como (es
decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las
siguientes condiciones:
V 1 y V 2 son disjuntos y no vacíos.
Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de V2.
No existen aristas uniendo dos elementos de V1; análogamente para
V2.
Bajo estas condiciones, el grafo se considera bipartito, y puede describirse
informalmente como el grafo que une o relaciona dos conjuntos de
elementos diferentes, como aquellos resultantes de los ejercicios y puzzles
en los que debe unirse un elemento de la columna A con un elemento de lacolumna B.
SUBDIVISIÓN ELEMENTAL DE UNA ARISTA
se convierte en
Se reemplaza la arista por dos aristas y
un vértice w .
Después de realizar esta operación, el grafo queda con un vértice y unaarista más.
ELIMINACIÓN DÉBIL DE UN VÉRTICE
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27Si y g (v ) = 2 (Sea v un vértice del grafo y de grado dos) eliminarlo
débilmente significa reemplazarlo por una arista que une los vértices
adyacentes a v .
se convierte en
Entonces e ' y e '' desaparecen y aparece
HOMEOMORFISMO DE GRAFOS
Dos grafos G 1 y G 2 son homeomorfos si ambos pueden obtenerse a partir
del mismo grafo con una sucesión de subdivisiones elementales de aristas.
CIRCUITOS DE HAMILTON
Un problema similar a la determinación de un paseo o un circuito de Euler,
es el de determinar un paseo o circuito que pasa a través de un vértice en
un grafo una y sólo una vez.
Definición:
Un paseo hamiltoniano es un paseo que pasa a través de cada uno de los
vértices exactamente una vez.
Definición:
Un circuito hamiltoniano como un paseo circuito que pasa a través de cada
uno de los vértices exactamente una vez.
NOTA:
No se conoce ninguna condición necesaria y suficiente para demostrar la
existencia de un paseo o un círculo de Hamilton en un grafo.
Ejemplo:
Encuentre un circuito de Hamilton en el siguiente grafo:
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28El siguiente es un resultado general sobre la existencia de paseos o
circuitos hamiltonianos.
Sea G un grafo no dirigido de tipo lineal de n vértices. Si la suma de los
grados para cada par de vértices de G es n - 1 o mayor, entonces existe un
paseo de Hamilton en G.
Ejemplo:
La consideración anterior es una condición suficiente pero no necesariapara la existencia de un paseo hamiltoniano en un grafo.
DEFINICIÓN:
Un circuito o ciclo hamiltoniano es un ciclo simple que contiene todos los
vértices de G. Lo anterior quiere decir que un circuito hamiltoniano es una
trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice, no tiene arista
repetida y pasa por cada vértice una sola vez.
Ejemplo 12
¿Cuál de los grafos siguientes admite un circuito hamiltoniano?
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29SOLUCIÓN:
No admite circuitos hamiltonianos. El razonamiento es el siguiente: Si
se empieza en v1, v2, v3, v4 y si se está en los demás vértices, en el v5
se estará dos veces. Si se empieza en v5, para luego ir a los vértices v1 o v4 ó a v3 o v2
respectivamente, se tendrá que pasar de nuevo por v5 (puesto que se
empezará en v5). Para completar el circuito, se debe regresar a v5,
por lo que se pasa tres veces por él.
a. Un ciclo hamiltoniano es: v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v1
CAMINO HAMILTONIANO
CICLO HAMILTONIANO.
Un camino hamiltoniano es un camino que pasa por cada vértice
exactamente una vez. Un grafo que contiene un camino hamiltoniano se
denomina un ciclo hamiltoniano o circuito hamiltoniano si es un ciclo que
pasa por cada vértice exactamente una vez (excepto el vértice del que parte
y al cual llega). Un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano se dice grafo
hamiltoniano.
En el campo matemático de la teoría de grafos, un camino hamiltoniano en
un grafo es un camino, una sucesión de aristas adyacentes, que visita todos
los vértices del grafo una sola vez. Si además el último vértice visitado esadyacente al primero, el camino es un ciclo hamiltoniano.
El problema de encontrar un ciclo (o camino) hamiltoniano en un grafo
arbitrario se sabe que es NP-completo.
Los caminos y ciclos hamiltonianos fueron nombrados después que William
Rowan Hamilton, inventor del juego de Hamilton , lanzara un juguete que
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30involucraba encontrar un ciclo hamiltoniano en las aristas de un grafo de un
dodecaedro. Hamilton resolvió este problema usando cuaterniones, pero
esta solución no se generaliza a todos los grafos.
ÁRBOLES Y COLORES
EJEMPLO DE ÁRBOL.
Un grafo que no tiene ciclos y que conecta a todos los puntos, se llama un
árbol. En un grafo con n vértices, los árboles tienen exactamente n - 1
aristas, y hay nn-2 árboles posibles. Su importancia radica en que los árboles
son grafos que conectan todos los vértices utilizando el menor número
posible de aristas. Un importante campo de aplicación de su estudio se
encuentra en el análisis filogenético, el de la filiación de entidades que
derivan unas de otras en un proceso evolutivo, que se aplica sobre todo a la
averiguación del parentesco entre especies; aunque se ha usado también,
por ejemplo, en el estudio del parentesco entre lenguas.
GRAFOS PONDERADOS O ETIQUETADOS
En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico,
llamado valuación, ponderación o coste según el contexto, y se obtiene así
un grafo valuado.
Formalmente, es un grafo con una función v: A → R+.
Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades
conectadas entre sí por carreteras; su interés previsible será minimizar la
distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo
correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las
carreteras y la valuación será la distancia entre ellas.
Y, de momento, no se conocen métodos generales para hallar un ciclo de
valuación mínima, pero sí para los caminos desde a hasta b , sin más
condición.
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31TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES
En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores.
Otro problema famoso relativo a los grafos: ¿Cuántos colores son
necesarios para dibujar un mapa político, con la condición obvia que dos
países adyacentes no puedan tener el mismo color? Se supone que los
países son de un solo pedazo, y que el mundo es esférico o plano. En un
mundo en forma de toroide; el teorema siguiente no es válido:
Cuatro colores son siempre suficientes para colorear un mapa.
El mapa siguiente muestra que tres colores no bastan: Si se empieza por elpaís central a y se esfuerza uno en utilizar el menor número de colores,
entonces en la corona alrededor de a alternan dos colores. Llegando al país
h se tiene que introducir un cuarto color. Lo mismo sucede en i si se emplea
el mismo método.
La forma precisa de cada país no importa; lo único relevante es saber qué
país toca a qué otro. Estos datos están incluidos en el grafo donde los
vértices son los países y las aristas conectan los que justamente son
adyacentes. Entonces la cuestión equivale a atribuir a cada vértice un color
distinto del de sus vecinos.
Hemos visto que tres colores no son suficientes, y demostrar que con cinco
siempre se llega, es bastante fácil. Pero el teorema de los cuatro colores no
es nada obvio. Prueba de ello es que se han tenido que emplear
ordenadores para acabar la demostración (se ha hecho un programa que
permitió verificar una multitud de casos, lo que ahorró muchísimo tiempo a
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32los matemáticos). Fue la primera vez que la comunidad matemática aceptó
una demostración asistida por ordenador, lo que ha creado una fuerte
polémica dentro de la comunidad matemática, llegando en algunos casos a
plantearse la cuestión de que esta demostración y su aceptación es uno de
los momentos que han generado una de las más terribles crisis en el mundo
matemático.
COLORACIÓN DE GRAFOS
COLORES EN LOS VÉRTICES.
Definición: Si G=(V, E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G,
ocurre cuando coloreamos los vértices de G de modo que si {a, b} es una
arista en G entonces a y b tienen diferentes colores. (Por lo tanto, los
vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de
colores necesarios para una coloración propia de G es el número cromático
de G y se escribe como C (G). Sea G un grafo no dirigido sea λ el número
de colores disponibles para la coloración propia de los vértices de G.
Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P (G,λ), en la variable
λ, llamada polinomio cromático de G , que nos indique el número de
coloraciones propias diferentes de los vértices de G, usando un máximo deλ colores.
Descomposición de polinomios cromáticos. Si G=(V, E) es un grafo conexo y
e pertenece a Ε , entonces: P (G,λ)=P (G+e,λ)+P (G/e,λ), donde G/e es el
grafo se obtiene por contracción de aristas.
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33Para cualquier grafo G, el término constante en P (G,λ) es 0
Sea G= (V, E) con |E|>0 entonces, la suma de los coeficientes de P (G, λ)
es 0.
Sea G= (V, E), con a , b pertenecientes al conjunto de vértices V pero {a,b}=e, no perteneciente a al conjunto de aristas E. Escribimos G+e para el
grafo que se obtiene de G al añadir la arista e={a, b}. Al identificar los
vértices a y b en G, obtenemos el subgrafo G++e de G.