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Inversiones y presupuesto de capital

30 de abril Viendo que haba disminuido mucho

mi provisin de pan decid poner ms cuidado en su consumo reducindolo a una galleta

por da, lo cual me entristeci mucho. Daniel Defoe, Robinson Crusoe

Cada uno se estira hasta

donde le alcance su cobija. C. E. Pinzn y G. Fandio

Dichos y refranes odos en Colombia

En este captulo se estudia el problema de la toma de decisiones de inversin o, lo que es lo mismo, comprometer recursos hoy con la esperanza de recibir beneficios en el futuro y en un plazo, por lo general, largo. Aunque el contexto del captulo se refiere siempre a alternativas de inversin con resultados cuantificables en dinero, no siempre es posible. Ms an, los resultados asociados con un determinado curso de accin pueden ser muy difciles de evaluar en trminos monetarios. Es necesario tener en cuenta aspectos ticos, morales, sociales, econmicos, polticos, tcnicos, legales, estticos, etc. y que por el hecho de no ser cuantificables no deben ser despreciados. Se va a trabajar desde el supuesto de certidumbre total; ms tarde se elimina este supuesto y se analiza el problema de decisin, suponiendo incertidumbre hacia el futuro.

3.1 Inversiones

En este acpite se estudia el problema relacionado con las alternativas de inversin. En particular, se trata el concepto de inversin y algunas clasificaciones de estas alternativas.

Uno de los problemas ms importantes que el gerente enfrenta en la toma de decisiones es que debe hacerlo hoy. Por lo tanto, tales decisiones tienen consecuencias en trminos de beneficios y costos futuros, por lo cual es inevitable cierto grado de incertidumbre.

Generalmente, se mira lo que ha ocurrido en el pasado y se infiere el futuro basndose en la informacin obtenida. En cuanto a la cuantificacin de los beneficios y costos futuros, se recurre ya sea a estudios de mercado o se acude a la contabilidad, para obtener datos del pasado, o se combinan las dos.

El anlisis de alternativas de inversin o anlisis de decisiones de inversin, como se ha denominado aqu:

1. Implica alternativas.

2. Se relaciona con las diferencias entre las alternativas en el futuro.

3. Se interesa en la diferencia entre costos y no en la asignacin de costos.

4. Se interesa en la ocurrencia de los ingresos y gastos y no en su causacin.

5. Considera la diferencia entre sumas iguales de dinero en distintos puntos en el tiempo.

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Se debe hacer hincapi en que siempre se consideran importantes las diferencias entre las alternativas. En el anlisis de rentabilidad, el inters se concentra en los costos futuros, y no en los pasados o actuales. Los costos que registra la contabilidad pueden ser muy tiles en proveer la informacin necesaria para hacer clculos de los costos futuros. El hecho de que en el proceso de toma de decisiones se tenga que usar la informacin incompleta no debe llevar al administrador a la conclusin de que no se pueden tomar decisiones. Precisamente, este proceso se desarrolla siguiendo cursos de accin de carcter irrevocable, basado en informacin incompleta y muchas veces inadecuada.

3.2 Concepto de inversin

Las alternativas o cursos de accin mencionados pueden definirse como inversiones. Una inversin es cualquier sacrificio de recursos hoy, con la esperanza de recibir algn beneficio en el futuro. As, se puede concebir como inversin no slo al hecho de desembolsar una determinada suma de dinero, sino el tiempo que alguien dedica a formarse en una universidad.

As mismo, se debe considerar una inversin el pago anticipado de un prstamo: se sacrifica hoy lo que se debe (al pagarlo en forma anticipada) y se obtiene como beneficio lo que se deja de pagar en el futuro. En todo caso, se trata de cuantificar, en trminos econmicos, los recursos que se estn sacrificando hoy, as como los beneficios que se esperan recibir en el futuro.

3.3 Justificacin y seleccin de alternativas

Un individuo que no viole los supuestos bsicos que permiten a un decisor escoger, ordenar y establecer transitividad mencionados en el captulo 1 podr determinar si los cursos de accin o alternativas son o no justificables; si se acepta o se rechaza una alternativa. Una alternativa justificable o aceptable es aquella que deja al decisor en una situacin mejor que la que tena antes de llevar a cabo dicha alternativa. Una alternativa es buena cuando los beneficios superan los costos. Aqu se est considerando beneficio todo aquello que le proporcione bienestar al decisor, sea esto una satisfaccin intangible o dinero o cosas materiales. Esto es un principio de racionalidad que se encuentra hasta en los animales. Nadie apuesta en su contra, contra s mismo.

Todos trabajamos para perseguir un mejor estar despus de nuestra actuacin. Ese mejor estar puede asociarse a la satisfaccin ntima de haber hecho el bien al prjimo, al placer de haber ganado un negocio, al disfrute de una mayor riqueza o a la esperanza de alcanzar el cielo. En el mismo sentido, costos son todos los recursos materiales o no (dinero, esfuerzo emocional, mstico, etc.) que se sacrifican en aras de unos beneficios posteriores.

Por otro lado, ante un conjunto de alternativas justificables, el decisor puede encontrarse en la necesidad de seleccionar la mejor de ese grupo o, lo que es lo mismo, en algn momento tendr que ordenar las diferentes alternativas. Debe observarse que no tiene sentido ordenar aquellas que no sean justificables, pues sas deben ser rechazadas en el proceso de justificacin o aceptacin. Esto significa que el decisor ordenar las alternativas que conforman un conjunto de alternativas justificables. Y de all escoger la mejor.

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3.4 Clases de alternativas de inversin

Se van a clasificar las alternativas de inversin en dependientes, independientes y mutuamente excluyentes.

Cuando una alternativa no se puede llevar a cabo sin que otra se realice, se dice que dichas alternativas son dependientes.

Cuando varias alternativas se pueden realizar sin que los resultados de las otras o las decisiones con respecto a ellas se alteren, se dice que son independientes.

Cuando dentro de un grupo de alternativas se lleva a cabo una de ellas y este hecho hace que las otras alternativas no puedan realizarse, entonces se dice que son mutuamente excluyentes.

De lo anterior se puede deducir que esta clasificacin de las alternativas de inversin est relacionada con el grado en que el flujo de caja de una alternativa se afecte al emprender otra. En el caso de las dependientes, una de ellas no se realiza sin la otra por ejemplo que el flujo de caja de una est condicionado al de la otra; en el caso de las alternativas independientes, no existe relacin alguna entre los flujos de caja de las alternativas, y, por ltimo, cuando son mutuamente excluyentes, la realizacin de una de ellas reduce a cero el flujo de caja de las otras. La clasificacin anterior es demasiado simplificada, puesto que en realidad existe es una gama continua de grados de dependencia. En un extremo se encuentran las alternativas dependientes, y en el otro, las mutuamente excluyentes; y entre estos dos extremos, las alternativas independientes.

La construccin de un sistema de refrigeracin de un edificio depende totalmente de que este ltimo se construya o no. En este caso se puede hablar de alternativas dependientes. La aceptacin de propuestas de investigacin por una entidad como Colciencias puede considerarse una situacin de alternativas independientes, siempre que la entidad cuente con los recursos suficientes para financiarlas todas. Las diferentes propuestas para la construccin de un puente en un mismo sitio son alternativas mutuamente excluyentes.

Generalmente, ante alternativas mutuamente excluyentes, el decisor selecciona la mejor. Aunque lo deseable es seleccionar la alternativa ptima, no debe olvidarse que realmente se logra es alcanzar resultados satisfactorios. Por lo tanto, dado un conjunto de alternativas justificables y mutuamente excluyentes, lo mximo que se puede conseguir es seleccionar la mejor entre ellas, lo cual no garantiza haber identificado la alternativa ptima.

Tambin pueden considerarse otros tipos de alternativas que pueden tener algn grado de dependencia, por ejemplo, las alternativas complementarias, que cuando se realizan simultneamente, el resultado es sinrgico, en el sentido en que sus beneficios combinados son mayores que la suma de los beneficios individuales.

Por otro lado, se pueden considerar las alternativas sustitutas, lo cual significa que cuando se hacen de manera simultnea, se genera un efecto de entropa, en el sentido en que los beneficios totales son menores que la suma de los beneficios individuales.

Para realizar todo lo anterior, el decisor debe contar con medidas de efectividad y mtodos que le permitan tomar las decisiones adecuadas en cada caso. Existen varios mtodos de decisin: unos utilizan el concepto de cambio del valor del dinero a travs del tiempo y otros no. Los que se estudian aqu usan el concepto de cambio del valor del dinero a travs del tiempo o, lo que es lo mismo, del principio o concepto de equivalencia.

Los criterios adecuados para decidir entre alternativas de inversin requieren que se determine una tasa de inters con la cual calcular o comparar las diversas medidas de efectividad. Aqu se presentan los diferentes mtodos que tienen en cuenta el cambio del valor del dinero a travs del tiempo y que, por lo tanto, debern usar una tasa de descuento.

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La tasa de descuento es aquella tasa de inters que establece las relaciones de equivalencia de un decisor cuando se enfrenta ante varias alternativas para su evaluacin. O sea, la tasa de inters (i), que hace al decisor indiferente entre $1 hoy y $(1+i) al final de un perodo. Tal vez una de las mayores dificultades del decisor es identificar la tasa de descuento adecuada. Esto se complica cuando hay que tomar decisiones para una entidad y hay riesgo involucrado; mucho ms an, cuando se trata de una inversin social en la cual los beneficios son, por lo general, intangibles o muy difciles de medir.

3.5 Costo muerto y costo de oportunidad

Cuando se analizan las inversiones de capital, se deben tener en cuenta ciertos conceptos de costos para facilitar la comprensin de los mtodos de evaluacin de alternativas. En particular, se deben comprender muy bien los conceptos costo muerto y costo de oportunidad.

Costo muerto: es aquel costo comn a todas las alternativas. Los costos muertos no son pertinentes y son irrecuperables. Por otro lado, hay costos muertos pertinentes, que s deben considerarse en la alternativa, porque forman parte intrnseca de ella, pero que al ser comunes no hacen diferencia.

Los costos muertos no se toman en cuenta, ni se deben asignar a ninguna de las alternativas, puesto que no establecen diferencias al compararlas y han ocurrido antes de tomar la decisin. Se dedica un aparte especial, para saber identificarlos y no incluirlos en el anlisis. Sin embargo, debe aclararse que aqu se trata de la determinacin del valor asociado a un recurso adquirido con anterioridad. Puede suceder que si se decide conservar ese recurso, aunque su costo de oportunidad sea cero, es posible que genere consecuencias que s deben tenerse en cuenta. Por ejemplo, un activo que se adquiri hace algunos aos. Su costo histrico es un costo muerto en el sentido de no ser pertinente para la determinacin de su valor hoy, pero ese costo histrico puede seguir generando una depreciacin, lo cual tiene incidencia en los impuestos, aunque el valor comercial del activo fuera cero (vase el ejemplo de autocorreccin del captulo 6).

Para aclarar estas ideas se pueden considerar varias situaciones1: Proyecto de inversin para analizar la creacin de una nueva empresa. Proyecto de ampliacin de una empresa existente. Proyecto de inversin de una empresa en marcha que implique reemplazo de equipos,

etc.

En cada caso deben considerarse los costos pertinentes. La mejor forma de no incurrir en el error de considerar costos muertos en el anlisis (sobre todo tenerlos en cuenta en una alternativa y en otra no) es elaborar el flujo de caja de la firma con proyecto y sin ste. La diferencia entre las dos proyecciones resultar en el flujo de caja del proyecto en estudio.

El costo de oportunidad se precisa calculando lo mximo que se podra obtener, si los recursos se invirtieran en aquella alternativa escogida como patrn de comparacin y que es diferente a las evaluadas. En otras palabras, es el costo de la mejor alternativa que se desecha. Este tipo de costo es de mucha importancia en el anlisis econmico y muchas veces no se le da una consideracin adecuada. Este concepto es fundamental para todos los mtodos, para evaluar alternativas de inversin.

El costo de oportunidad de un recurso depende del decisor y de su entorno. Esto est muy ligado a la informacin disponible que tenga el decisor sobre su entorno econmico.

1 Agradezco esta observacin del profesor dgar Portilla de la Universidad Javeriana, Cali.

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Ejemplo 1

Una vez que se reconoce que la magnitud de la diferencia entre las distintas alternativas es lo importante, se confa en que las nicas diferencias que se deben tener en cuenta son las que se presentarn en el futuro. Las consecuencias de una decisin con respecto a un curso de accin no pueden comenzar antes de tomar la decisin.

Desde el punto de vista de un estudio econmico, un costo incurrido en el pasado es un costo muerto y no es pertinente para efectos del estudio. Considrese el siguiente caso:

Hace 4 aos el seor Prez compr un auto por $7.500.000. En la fecha se entera de que un auto igual, del mismo ao e igual modelo, usado pero funcionando bien, usado, casi nuevo, vale $12.500.000; as mismo encuentra que su auto tiene un desperfecto. En un centro de reparacin de automviles le ofrecen un arreglo garantizado por $1.700.000. Se supone que la reparacin deja al aparato como nuevo. El auto podra venderlo hoy, como est, por $9.000.000.

Debe reparar el auto?

Cul es la mxima cantidad que puede pagar por una reparacin?

Despus de haber reparado el auto descubre que el arreglo qued mal hecho y que debe enviarlo a otro centro de servicio. All le explican que la reparacin vale $2.000.000. Se supone que la reparacin deja al auto en perfectas condiciones.

Debe repararlo?

Cul es la mxima cantidad que puede pagar por la reparacin?

En este punto detngase y analice la situacin. Compare su anlisis con el que se presenta a continuacin.

Para que usted compare sus conclusiones se puede analizar la situacin as:

Primera ocasin. Debe reparar el auto? S.

Cul es la mxima cantidad que puede pagar por una reparacin? Hasta $3.500.000.

Se supone que el individuo desea tener un auto en perfectas condiciones.

En el primer caso se tiene:

No repara

Obtiene su auto como nuevo por $1.700.000ms los $9.000.000 de la venta que no realizde su auto viejo antes de repararlo. Al novenderlo lo que hace es invertir ese valor en laalternativa Repara.

No repara y vende el auto por $9.000.000 ycompra el otro auto usado, casi nuevo, por$12.500.000

Repara

Se ve claramente que obtener un auto usado, como nuevo por $10.700.000 es preferible a

obtenerlo usado, casi nuevo por $12.500.000. Mientras el valor de la reparacin sea menor que la diferencia entre el precio del auto nuevo y el valor del auto usado, casi nuevo, se debe reparar.

En el segundo caso: Debe repararlo? S.

Cul es la mxima cantidad que puede pagar por la reparacin? $3.500.000.

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No repara

Obtiene su auto como nuevo por $2.000.000ms los $9.000.000 de la venta que no realizde su auto viejo antes de repararlo. Al novenderlo lo que hace es invertir ese valor en laalternativa Repara.

No repara y vende el auto por $9.000.000 ycompra el otro auto usado, casi nuevo, por$12.500.000

Repara

Aqu se ve otra vez que es ms conveniente reparar que comprar y que mientras el valor de la reparacin sea menor que la diferencia entre el precio del auto usado, casi nuevo, y el valor del auto usado, se debe reparar.

En ambos casos se debe observar que el seor Prez debe decidir en el instante en que se le presentan las alternativas y analizar las consecuencias futuras de cada una. Lo que pag por el auto y lo que pag por la primera reparacin es el pasado y no cuenta, son costos muertos. Los $9.000.000 del valor comercial del auto usado es un costo de oportunidad.

Ejemplo 2

Supngase que se quiere utilizar un rea de bodega disponible para montar una nueva lnea de productos. Sin embargo, se sabe que esta rea de bodega se podra arrendar por $50.000 mensuales. Si se considera la alternativa de montar la nueva lnea de productos, se deben cargar a esta alternativa $50.000 mensuales y ste ser el costo de oportunidad de utilizar la bodega. Obsrvese que no necesariamente se incurre en un desembolso de dinero.

3.6 Costo del dinero

Debido a que hay oportunidades de inversin o, por otro lado, oportunidades de prstamo, en general el dinero tiene un costo para el inversionista. Este costo es el sacrificio en dinero en que se incurre al retirar de una opcin de ahorro o dejar de invertir en ella (el mximo posible), lo cual se llama costo de oportunidad del dinero o el sacrificio o el costo directo que el inversionista debe pagar cuando no cuenta con ese dinero y debe prestarlo a terceros. ste ltimo se conoce como costo de capital. A cualquiera de estos sacrificios se le llama costo del dinero.

Se pueden distinguir dos tipos de costo: el costo de capital, que mide lo que el decisor (la firma) paga por los recursos que utiliza en sus proyectos de inversin, y el costo de oportunidad del dinero. Ambos sern estudiados con detalle en el captulo 5.

Si se recuerda el concepto de costo de oportunidad definido atrs, ste se puede aplicar al recurso dinero. Como todo recurso apreciable, el dinero tiene un costo de oportunidad. Este es la mxima rentabilidad o la mxima tasa de inters que puede ser obtenida por el inversionista, dentro del mercado donde se encuentra. Por ahora se trabaja con la idea de costo del dinero o tasa de descuento, sin entrar en detalles acerca del modo de determinarlo.

Ejemplo 3

Una persona tiene dinero depositado en una cuenta de ahorros, que le produce 8% al ao (supngase que esto es lo mximo que percibe esta persona), y alguien le propone un negocio (que se lo preste, que lo invierta en una actividad productiva, etc.). Cuando la persona decide retirar su

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dinero de la cuenta de ahorros para invertirlo en la propuesta que le han hecho, est incurriendo en un costo de oportunidad. Esto es, deja de percibir un rendimiento o tasa de inters de 8% anual de la cuenta de ahorros con la esperanza de recibir unos beneficios mayores, o por lo menos iguales, a los que ya reciba. Se dice entonces que el costo de oportunidad del dinero de esa persona es de 8% anual.

3.7 Mtodos de decisin

Como la situacin que se le presenta al decisor es la de analizar flujos de caja hacia el futuro, que no siempre presentan dominacin, esto es, que los flujos de caja positivos de una alternativa sean siempre superiores o iguales a los de otra y los flujos de caja negativos de sta sean mayores o iguales que los de la primera, se hace necesario buscar mecanismos que permitan comparar las cifras de cada una de ellas.

Una forma de hacerlo es utilizar el concepto de equivalencia para llevar los flujos de caja a un perodo determinado y all s comparar las cifras. Los mtodos que aqu se estudian tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Los ms conocidos son el valor presente neto (VPN), la tasa interna de rentabilidad (TIR) y la relacin beneficio-costo (RB/C).

Todos estos planteamientos responden a una pregunta que puede (y debe) hacerse en todas las circunstancias: cundo es buena una decisin? No importa si se trata de una decisin personal, ntima, o de una decisin con consecuencias que afecten a los dems o de una decisin de tipo financiero. La respuesta siempre ser la misma: cuando los beneficios superen a los costos. Y aqu hay que entender por beneficios y por costos no slo lo que se puede cuantificar. Un ejemplo de esto puede ser la decisin de no seguir prolongando la vida de manera artificial a un paciente que no puede cumplir con sus funciones vitales e intelectuales sin la ayuda de una mquina. Aqu no slo intervienen consideraciones de tipo tico y moral, sino tambin otras de tipo econmico y emocional. En todo caso, siempre habr que sopesar no slo los beneficios que produce la decisin, sino sus costos.

3.7.1 Valor presente neto (VPN)

Cuando el decisor se enfrenta a una disyuntiva, debe considerar los beneficios y los costos que le implica cada alternativa. Como se estudi en el captulo 2, se trata de tomar decisiones que requieren sacrificio de recursos (una inversin) hoy, con consecuencias de costos y beneficios futuros. Hay que comparar, como ya se dijo beneficios y costos. Ya se estudi, en el captulo 2, cmo hacer la comparacin de flujos de dinero en diferentes perodos.

El valor presente de un flujo de caja en el futuro es aquella cantidad equivalente que se debe entregar o invertir hoy para asegurar esa misma suma de dinero en el futuro. Esta suma presente es equivalente al flujo de caja que se espera recibir en el futuro.

El significado del valor presente neto (VPN) se puede ilustrar de la siguiente manera: una persona, cuando hace una inversin, espera recibir, a lo largo de la vida de sta, un valor igual a la suma invertida y una suma adicional. Esas sumas que recibe las entrega el proyecto o inversin a lo largo de su vida. El VPN indica el valor resultante de descontar la inversin y la suma que ya reciba el inversionista por su inversin. En otras palabras, es el remanente neto que obtiene el inversionista, en pesos de hoy, despus de descontar los flujos de caja a la tasa de descuento y restarle la inversin inicial. Se puede considerar que el inversionista le presta al proyecto un dinero

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que debe ser devuelto con intereses a la tasa de descuento, y algo adicional, que es el beneficio que recibe por haber realizado la inversin.

El VPN mide el remanente en pesos de hoy, despus de descontar la inversin (o el prstamo que le hace el inversionista al proyecto) y el inters (calculado a la tasa de descuento) que debe devolver el proyecto al inversionista. En otras palabras, es el monto por el cual aumenta el valor de la firma despus de haber llevado a cabo la alternativa que se estudia. El VPN, por lo tanto, permite establecer mecanismos que aumenten o maximicen el valor de la firma. Todo esto implica que a mayor tasa de descuento menor ser el VPN.

Puede parecer extrao que a mayor tasa de inters, el VPN sea menor. Desde el punto de vista matemtico, esto es claro por el papel que desempea i en la frmula (divide). Sin embargo, conviene pensar un poco ms en este comportamiento.

La tasa de inters o tasa de descuento que se utiliza en el clculo del VPN es el costo del dinero para el decisor (la tasa de inters de oportunidad o costo del capital, lo que paga por ese dinero). Esto es, que se puede pensar que el decisor est ante una invitacin de un proyecto para invertir en l. Como ese decisor ya se ganaba un inters o pagaba un inters tasa de inters de oportunidad o costo que pagaba por el dinero, el proyecto debe retornarle, por lo menos, lo que se ganaba en la alternativa que est desechando y que es aquella en la que en la actualidad tiene invertido su dinero (costo de oportunidad); o lo que paga por los fondos necesarios para la inversin.

Ahora bien, segn la definicin intuitiva del VPN, mientras mayor sea la tasa de inters de oportunidad o el costo del dinero que ya se ganaba el decisor, antes de cambiarle el destino a su dinero o el inters que tuvo que pagar por obtener los fondos, menor ser lo que quede despus de que el proyecto haya devuelto la inversin y los intereses que ya se ganaba (o pagaba) el decisor (tasa de descuento); por lo tanto, a medida que la tasa de descuento del decisor aumenta, mayores sern los intereses que tiene que devolver el proyecto, y menor, por lo tanto, el VPN, que es lo que le queda de ms como remanente, como valor agregado, al decisor y que es lo que lo hace atractivo.

Si se tiene un proyecto a un ao que requiere una inversin de $1.000 y produce al final del ao $1.500, el excedente sobre la tasa de descuento tasa de oportunidad depender de sta. Si se supone que el dinero lo tiene el inversionista en una cuenta de ahorros y la tasa que le pagan es su costo de oportunidad y, por lo tanto, su tasa de descuento, entonces, como se puede observar en la tabla, mientras ms le paguen, mayor costo de oportunidad y mayor tasa de descuento, y menor ser el remanente por encima de lo que ya ganaba y, por lo tanto, ser menor el VPN, as:

Tabla 3.1 Costo de oportunidad y tasa de descuento

Ao Proyecto ($) Ahorros ($) Proyecto ($) Ahorros ($) Proyecto ($) Ahorros ($)

20% 30% 40%0 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 1 1.500 1.200 1.500 1.300 1.500 1.400 VPN 250 153,85 71,43 Diferencia 300 200 100 VPN 250 153,85 71,43

De igual manera se podra analizar si el dinero fuera prestado y si se pagaran los intereses y el capital al final del ao.

Esto se puede ilustrar con una grfica. Supngase que los flujos de caja netos de un proyecto se pueden descomponer en tres partes:

1. El valor de la inversin que debe devolver el proyecto.

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2. El valor que ya ganaba en su alternativa, que le permiti definir el costo de oportunidad, o lo que paga la firma por haber prestado el dinero.

3. El remanente.

Grfica 3.1 Flujos de caja netos

Remanente

Costo del dinero

(tasa de descuento:

costo de oportunidad

o costo de capital)

Inversin

Cuando se lleva alperodo cero, es elVPN o la generacinde valor

Es el inters quereconoce el proyectopor haber recibido elprstamo de lainversin

Es la devolucinque hace elproyecto deldinero recibidopara hacerla inversin

Ingresos obeneficios netos

Se pueden presentar las siguientes posibilidades:

1. Cuando el remanente es positivo y se lleva al instante cero, entonces el VPN es positivo. Hay creacin de valor.

2. Cuando el remanente es cero, el VPN es cero, al llevar todo al instante cero. No hay creacin de valor.

3. Cuando lo correspondiente al costo del dinero ms el remanente las dos reas superiores de la figura es menor que lo correspondiente a la tasa de descuento, entonces el VPN es negativo. Hay destruccin de valor.

En la Grfica 3.1 se puede observar que para un proyecto dado si la tasa de descuento aumenta, aumentar el rea correspondiente y el rea de remanente disminuir, por lo tanto, el VPN ser menor.

Para visualizar con cifras este planteamiento, se debe construir una tabla de amortizacin de la inversin, tal y como se hizo para un prstamo en el captulo 2.

Tabla 3.2 Amortizacin de la inversin

T (1)

Inversin por recuperar al inicio del perodo (2)

Costo del capital invertido

(3)

Amortizacin de la inversin y valor agregado

(4)

Flujo de caja del proyecto o firma

(5)

Inversin por recuperar al final del perodo (6)

Tasas de descuento

(7)

0 -40.110,0 1 -40.110,0 -15.631,4 -2.358,4 13.273,0 -42.468,4 38,97% 2 -42.468,4 -16.458,8 -7.594,7 8.864,1 -50.063,1 38,76% 3 -50.063,1 -17.111,2 -16.036,7 1.074,5 -66.099,8 34,18% 4 -66.099,8 -21.665,3 130.973,5 152.638,8 64.873,7 32,78%

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La columna (3) corresponde a la caja del costo del dinero, y la columna (4), a la suma de la caja de la inversin ms la caja del remanente (valor agregado). La columna (5) equivale a la suma de las tres cajas. Observe en la tabla que todas las cifras asociadas a las tres cajas se van generando a lo largo del tiempo.

En forma matemtica, el valor presente se define as:

( ) += j jj

i

IVP

1 (3.1)

Donde: Ij = suma en el perodo j i = tasa de descuento j = perodo

En Excel:

= VA(i;n;C;F;tipo) cuando se trata de convertir una serie uniforme C o una suma futura F o la combinacin de ambas, a valor presente.

= VNA(i;rango) cuando se trata de un flujo de caja no uniforme. En este caso hay que tener en cuenta que el rango debe iniciarse con la celda correspondiente al perodo 1 y terminar con el flujo del perodo n. El valor calculado estar expresado en pesos del instante 0.

Una forma de entender este concepto es preguntarse qu suma que se espera recibir dentro de un ao es equivalente a un peso posedo hoy. Suponiendo que existe el inters, se puede invertir o dar en prstamo ese peso y recibir (1+i) al cabo de un ao, donde i es la tasa de inters vigente para ese ao y se liquida como inters compuesto. En otras palabras, se puede cambiar (1+i) recibido al final de un ao por un peso de hoy.

Se puede calcular el valor presente de los flujos de caja positivos y de los flujos de caja negativos de una alternativa de acuerdo con lo expuesto. El VPN es la diferencia entre el valor presente de los flujos de caja positivos (VPB) y el valor presente de los flujos de caja negativos (VPC), esto es, VPB-VPC.

En forma matemtica compacta, se puede expresar el VPN como:

( ) ( ) ++= j jj

jj

j

i

E

i

IiVPN

11)(

(3.2) Donde: Ij = flujo de caja positivo en el perodo j Ej = flujo de caja negativo en el perodo j i = tasa de descuento j = perodo

En Excel:

= VA(i;n;C;F;tipo)P cuando se trata de calcular el VPN de una serie uniforme C o una suma futura F o la combinacin de ambas con una inversin P en el instante 0.

= VNA(i;rango)P cuando se trata de un flujo de caja no uniforme, que es el producto de una inversin P en el instante 0. En este caso hay que tener en cuenta que el rango debe iniciarse

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con la celda correspondiente al perodo 1 y el valor calculado estar expresado en pesos del instante 0; por lo tanto, se puede restar el valor de P, para obtener el VPN.

Tambin se puede utilizar la funcin SUMA.SERIES de las funciones matemticas de Excel. Con esta funcin se puede obtener en forma directa el VPN indicando todo el rango de los flujos de caja. La sintaxis de la funcin es = SUMA.SERIES(x;n;m;coeficientes). x es la variable para usar como base en la serie exponencial; en este caso, ser 1/(1+i). n es el exponente inicial al cual desea elevar la base x; en este caso n es igual a 0. m es el paso que incrementa el valor de n para cada trmino de la serie; en este caso m es 1. Coeficientes es un grupo de coeficientes por el que se multiplica cada exponente sucesivo de x; en este caso, los coeficientes son los flujos de caja.

Obsrvese que no tiene sentido hablar del VPN o del valor presente sin haber especificado una tasa de descuento. Aunque en esta expresin se indica el VPN en funcin de una tasa de descuento nica, esta tasa puede variar con el tiempo, esto es, para cada perodo puede existir una tasa de descuento diferente. El clculo del VPN es muy fcil con hojas electrnicas como Excel. Recordando el concepto de equivalencia del captulo 2, es fcil concluir que el clculo del VPN (en el instante cero) es una mera convencin: se puede pensar, en el valor medio neto (VMN) calculado a la mitad de la vida del proyecto o en el valor futuro neto (VFN) calculado al final de la vida del proyecto y es obvio que los resultados, en valores, sern proporcionales a (1+i)n, donde n ser el valor de la mitad de la vida del proyecto o el valor de la vida del proyecto respectivamente. Esos clculos indicarn el valor del remanente a la mitad del proyecto o al final de su vida.

En la realidad, cada perodo tiene una tasa de descuento diferente y en ese caso la expresin ms general sera:

( ) ( )( ) ( )nnj

j iiii +++=+=

1...111 211 (3.3)

significa multiplicacin, por ejemplo:

( ) ( )( )2121

111 iiij

j ++=+= (3.4)

Este tema se estudia con detalle en el siguiente captulo. Para ilustrar lo anterior, se presentan los

siguientes ejemplos.

Ejemplo 4

Suponga que se tiene proyectado montar una empresa en un centro comercial muy importante de la ciudad. Los clculos sobre inversin y beneficios netos durante 10 aos, al final de los cuales se venden todos los bienes, son los siguientes:

Ao Flujo de caja ($) 0 -3.000.000 1 1.000.000 2 1.150.000 3 1.200.000 4 1.300.000 5 1.450.000 6 1.600.000 7 1.850.000 8 2.000.000 9 2.100.000 10 4.500.000

115

Estas cifras las obtiene el decisor por medio de proyecciones y clculos de ingresos y egresos futuros. El procedimiento para llegar a estas cifras rebasa el alcance de este captulo.

Cuando usted hizo los estudios de este proyecto determin que su tasa de descuento era la tasa de oportunidad del dinero y que vala 36% anual. Su clculo consideraba, adems, que esta tasa no variara durante los siguientes diez aos.

El competidor, quien ya tiene instalada una firma similar en el mismo centro comercial, no desea que se le haga competencia; por lo tanto, prefiere pagarle algo para que desista de la idea.

Cunto es lo mnimo que le deben pagar para desistir de la idea? Esta pregunta la responde el VPN, porque mide los beneficios que obtendra si emprendiera el negocio y que desecha al desistir de l.

A su competidor le pareci excesiva la cifra y no le pag nada, de modo que usted instal su firma. Cuando ya estaba todo listo para la inauguracin, volvi su competidor, que haba quedado muy impresionado por el montaje, decoracin e imagen que usted presentaba al pblico y le ofreci comprarle todas las instalaciones para una de sus sucursales.

Cunto es lo mnimo que usted debe pedirle? Esta respuesta la da el valor presente de los beneficios netos durante los prximos diez aos, ya que no slo debe desechar el valor de sus beneficios netos en valor presente, sino que debe entregar la inversin realizada. Por lo tanto, usted le pide, por lo menos, $3.504.319.

A continuacin se presentan los clculos que usted debi realizar para responder a esa pregunta con una tasa de descuento de 36% anual.

VPN al 36% = VNA(i;rango de ao 1 a 10)P

= VNA(36%; rango de ao 1 a 10) 3000000 = $504.319 = SUMA.SERIES(1/(1+36%);0;1;rango de ao 0 a 10) = $504.319 Cuando se est calculando el VPN, se deben tener en cuenta las suposiciones implcitas que tiene.

Estas suposiciones son:

1. Los fondos liberados a lo largo de la vida de una alternativa se reinvierten a la tasa de descuento que se utiliza para calcular el VPN aun ms all de la vida del proyecto si el caso incluye alternativas con vidas diferentes. Esto supone que la tasa de descuento es la de oportunidad. Esta suposicin slo es el reconocimiento de la actividad cotidiana de tesorera en las empresas. sta consiste en velar por que los fondos disponibles se mantengan productivos, ya sea en nuevos proyectos o en actividades rentables (bonos, cuentas de ahorros, etc.). Con un ejemplo se puede entender mejor lo que esto significa.

Ejemplo 5

Si se tiene una inversin as:

Ao Flujo ($) 0 -1.000 1 300 2 1.300

116

El VPN de esta inversin ser, suponiendo una tasa de descuento nica i:

( ) ( ) ( )21300.1

1

300000.1

iiiVPN

++

++=

Ahora bien, si se supone que los fondos liberados por el proyecto se reinvierten a la tasa r%, entonces el VPN ser:

( ) ( )( ) ( )21300,1

21

1300000,1,

ii

rirVPN

++

+

++=

Para que VPN(i) sea igual a VPN(r,i), r debe ser igual a i; por lo tanto, el supuesto implcito es que la reinversin de los fondos liberados por la inversin se hace a la misma tasa de descuento. Esto puede que no ocurra en la prctica, ya que depende de las condiciones puntuales desde las cuales el tesorero de la firma debe decidir sobre qu hacer con los excedentes de efectivo. Vase el captulo 5 sobre lo que sucede con la tasa de descuento respecto del costo de capital y el costo de oportunidad del dinero (vase tambin la hoja REINVERSIN del archivo VPNTIR.XLS).

Sin embargo, se debe hacer notar que los fondos que realmente se reinvierten son los excedentes del flujo de caja de efectivo2 y no los que aparecen en el flujo de caja del proyecto.

2. La diferencia entre la suma invertida en una alternativa y el valor de la alternativa ms costosa o de la cifra lmite de que se disponga, segn el caso, se invierte a la tasa de descuento utilizada para calcular el VPN. Esto supone, adems, que la tasa de descuento es la de oportunidad. Tambin conviene explicar esto con un ejemplo.

Ejemplo 6

Si se tienen dos alternativas A y B as:

Ao Flujo A ($) Flujo B ($) 0 -1.000 -2.000 1 300 750 2 1.300 3.000

Si se est considerando la alternativa B es porque se cuenta, por lo menos, con $2.000; por lo tanto, si se eligiera la alternativa A, los $1.000 sobrantes se invertiran a la tasa de oportunidad, ya que un buen administrador financiero no dejara esos fondos inmovilizados, sino que los invertira como excedente de efectivo. Bien, el VPN de unos fondos invertidos a una tasa de inters y descontados a la misma tasa de inters es cero.

AO FLUJO ($) 0 -1.000 n 1.000(1+i)n

2 En los temas administrativos, en particular los relacionados con contabilidad y finanzas, es muy comn la polisemia, esto es, el uso de un nombre para varios conceptos. Para hacer claridad, prefiero usar el trmino flujo de caja de efectivo, aunque suene redundante, en aras de la claridad. Vase captulo 6.

117

VPN(i) = -1.000 + 1.000(1+i)n / (1+i)n = -1.000 + 1.000 = 0

Por lo tanto, cuando se calcula el VPN de A, en realidad se est haciendo la siguiente operacin:

VPNA(i) = -1.000 + 300/(1+i) + 1.300/(1+i)

2 1.000 + 1.000(1+i)n/(1+i)n = -1.000 + 300/(1+i) + 1.300/(1+i)2 + 0

Ejemplo 7

Sea la siguiente inversin: I0 = -1.000.000; I1 = 900.000; I2 = 800.000. El VPN al 30% es:

VPN (30%) = -1.000.000 + 900.000/1.3 + 800.000/(1.3)2 = 165.680,5

El clculo del VPN es muy fcil con calculadoras financieras o con hojas electrnicas como Excel, tal como se estudi en el captulo 2.

Sugerencia: para mejorar la comprensin del concepto del VPN, se sugiere estudiar el ejercicio 2 de este captulo.

3.7.1.1 Regla de decisin para el VPN

En el ejemplo anterior y hasta el momento no se conoce de qu modo, usted, despus de haber realizado los estudios, tom la decisin de instalar su firma. Si al calcular el VPN al 36% el resultado hubiera sido cero, de acuerdo con lo visto arriba, ello significara que slo estara recibiendo lo que invirti ms lo que se ganaba al costo de oportunidad o lo que paga por el dinero (el costo del dinero).

Si el resultado hubiera sido negativo, significara que el proyecto ni siquiera le devolvera el valor invertido ms los intereses de la tasa de descuento (costo del dinero). Si el resultado fuera positivo, como en efecto lo fue, ello significara que el proyecto le devolver su inversin sus intereses y una suma adicional. En este ltimo caso usted quedar en una situacin econmica mejor que la que tena antes de emprender el proyecto.

De lo anterior se puede deducir fcilmente la regla de decisin para el mtodo del VPN, que es un modelo matemtico y normativo, y por lo tanto indica qu decisin se debe tomar:

1. Si el VPN es mayor que cero, se debe aceptar.

2. Si el VPN es igual a cero, se debe ser indiferente.

3. Si el VPN es menor que cero, se debe rechazar.

Las reglas anteriores se aplican cuando se trata de rechazar o aceptar una alternativa. En el caso de que se desee ordenar alternativas o, entre un grupo de ellas, escoger la mejor, la regla de decisin dice que se debe elegir aquella alternativa cuyo VPN sea el mayor.

Como se puede observar, estas reglas de decisin tanto de aceptacin de alternativas como de seleccin y escogencia son consistentes con los supuestos estudiados en el principio del captulo 1.

118

3.7.1.2 Representacin grfica del VPN

El VPN es una funcin de la tasa de inters. En el caso particular en que las tasas de inters sean todas iguales a i durante la vida del proyecto o inversin, se tiene la Grfica 3.2. En ella se puede observar que una alternativa tiene VPN positivo para todas las tasas de inters menores que ir; igual a cero para la tasa de inters igual a ir, y valor negativo para tasas de inters mayores que ir. La tasa ir es la que hace el VPN = 0.

Grfica 3.2 Valor presente neto (VPN)

-10.000

-5.000

0.000

5.000

10.000

15.000

0 20 40 60 80

Tasa de descuento i%

VPN $

Si se presentan dos alternativas en forma grfica, como en la Grfica 3.3, se puede observar que el ordenamiento o preferencia entre las alternativas depende de la tasa de inters utilizada para calcular el VPN. Obsrvese en esa grfica que para il la alternativa A se prefiere a la alternativa B, y para i2, la alternativa B se prefiere a la alternativa A. Para i ambas alternativas tienen igual VPN, por lo tanto, la persona que toma la decisin debe ser indiferente entre las dos. De aqu se concluye que no es necesario determinar con precisin el valor de la tasa de descuento, pues slo debe saberse si sta es menor o mayor que i.

Grfica 3.3 VPN de dos alternativas mutuamente excluyentes

119

-6.000

-4.000

-2.000

0.000

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 10 20 30 40 50 60 70

Tasa de descuentoi%

VPN VPN A

VPN B

i*

i1 i2

Es posible encontrar casos en los cuales i* no exista, y siempre se prefiera una alternativa a otra, independientemente de la tasa de inters. A esta situacin se la conoce como dominacin. Ver siguiente grfica.

Grfica 3.4 Alternativas C y A donde C domina a A

-10.000

-5.000

0.000

5.000

10.000

15.000

20.000

0 20 40 60 80

Tasa de descuento i%

VPN

VPN A

VPN C

3.7.1.3 Para recordar

El VPN se puede explicar as: cuando se hace una inversin, se recibe a lo largo de su vida un flujo neto igual a la suma invertida y una suma adicional. El VPN mide el remanente despus de restar al flujo neto, en valor actual, la inversin (o el prstamo que le hace la firma al proyecto) y el inters (calculado a la tasa de descuento, la cual es el costo del dinero: el de la deuda y el de los accionistas) que debe pagar el proyecto a la firma. Es decir, el VPN es el aumento de valor de la firma despus de haber realizado la alternativa escogida. Por lo tanto, a mayor tasa de descuento, menor VPN.

Se pueden presentar entonces, las siguientes situaciones:

1. Si el remanente es positivo, entonces el VPN es positivo. Aqu se est aadiendo valor y el proyecto debe aceptarse.

120

2. Si el remanente es negativo, entonces el VPN es negativo. Aqu se est destruyendo valor y el proyecto debe rechazarse.

3. Cuando se tienen proyectos con VPN positivo, entonces se debe escoger el que tenga mayor VPN. Este proyecto es el que crea ms valor para la firma.

La mejor forma de garantizar que un gerente produzca valor para la firma, es escoger alternativas con VPN positivo.

3.7.2 Tasa interna de rentabilidad (TIR)

Otro mtodo que tiene en cuenta el cambio de valor del dinero en el tiempo es la tasa interna de rentabilidad (TIR). Este mtodo es muy utilizado, y para el comn de la gente es ms fcil de visualizar de manera intuitiva. La TIR es una medida porcentual de la magnitud de los beneficios que le reporta un proyecto a un inversionista.

Para entender este concepto conviene regresar al concepto de VPN. Se dijo atrs que el VPN representa el valor que reciba en exceso un inversionista sobre su inversin, despus de que se ha descontado el inters de la tasa de descuento. Este clculo se realiza fijando una tasa de inters, de modo que un VPN positivo a una determinada tasa de inters indica que el inversionista recibe del proyecto su inversin, un inters sobre su dinero y una cantidad adicional. Ese inters y cantidad adicional que recibe el inversionista es la totalidad de los beneficios que le reporta el proyecto, de modo que cuando el VPN es igual a cero, la tasa de inters a la cual esto ocurre es una medida de la totalidad de los beneficios que produce la inversin mientras se encuentran invertidos en ese proyecto. A esta tasa de inters se le denomina TIR. Esto se puede visualizar como la tasa de descuento de un decisor, que hace que el VPN a esa tasa sea cero. En las figuras 3.2 y 3.3 2 la TIR es la tasa de inters donde la curva del VPN corta el eje de las abscisas.

De la misma manera que con el VPN, se puede ilustrar con la misma grfica. Los flujos de caja de un proyecto se pueden descomponer en tres partes:

1. El valor de la inversin que debe devolver el proyecto.

2. El valor de lo que ya se ganaba en su alternativa, que le permiti definir el costo de oportunidad, o lo que paga la firma por haber tenido que prestar el dinero.

3. El remanente.

En este caso, la suma del remanente y del valor que ya se ganaba en su alternativa, que le permiti definir el costo de oportunidad o lo que paga la firma por haber tenido que prestar el dinero, es lo que produce el proyecto por encima de la suma invertida. Ese valor, medido por medio de una tasa de inters como un porcentaje que hace que el VPN sea igual a cero, es la TIR.

Grfica 3.5 Tasa de descuento

121

Es la devolucin quehace el proyecto deldinero recibido para

hacer la inversin

Remanente

Costo del dinero(Tasa de descuento:costo de oportunidado costo de capital)

Inversin

Cuando se llevaal perodo cero,

es el VPN

Es el inters quereconoce elproyecto porhaber recibido elprstamo de lainversin

Expresadocomo un %

es la T IR

Ben

eficios ne

tos

Se pueden presentar las siguientes posibilidades:

1. Cuando el remanente es positivo, entonces la TIR es mayor que la tasa de descuento.

2. Cuando el remanente es cero, la TIR es igual a la tasa de descuento.

3. Cuando lo correspondiente al costo del dinero (el rea de la mitad de la figura) ms el remanente es menor que los intereses de la tasa de descuento, entonces la TIR es menor que la tasa de descuento.

La TIR se puede calcular resolviendo la siguiente ecuacin:

( ) ( ) 011 =++ j j jj

j

j

i

E

i

I

(3.5)

Esta ecuacin se resuelve por prueba y error y con el uso de las tablas si se desea trabajar a mano; pero en la prctica se usan calculadoras de bolsillo financieras y hojas electrnicas que tienen programas para resolver este tipo de ecuaciones y que instantneamente hallan el valor de la TIR.

En Excel:

= TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) cuando se trata de calcular la tasa de inters, a partir de una serie uniforme C o una suma futura F o la combinacin de ambas y una suma P.

= TIR(rango;i semilla) cuando se trata de un flujo no uniforme. En este caso hay que tener en cuenta que el rango debe iniciarse con la celda correspondiente al instante 0 y terminar con la celda correspondiente al perodo n. Esto es, debe incluir todos los flujos.

Para calcularla por prueba y error y a mano se define el VPN a una tasa de inters determinada; si el VPN resulta ser positivo, se utiliza una tasa de inters mayor, hasta que el VPN sea igual a cero.

Si el primer clculo indica que el VPN es negativo, se utiliza una tasa de inters menor, hasta encontrar un VPN igual a cero. Se puede aproximar el valor interpolando linealmente entre dos tasas de inters que se encuentren suficientemente cercanas entre s y que produzcan VPN de signo contrario.

122

Ejemplo 8

Se tiene una inversin con las siguientes caractersticas:

Co = -$1.000.000 I1 = $900.000 I2 = $800.000 Como se dijo atr s, la TIR estar determinada por la tasa de inters que cumpla lo siguiente:

900.000/(1+i) + 800.000/(1+i)2 1.000.000 = 0

En el caso de Excel, se utiliza la funcin TIR, ya conocida, y el programa valora esta expresin para diferentes valores de i y se detiene cuando el valor de esa ecuacin (el VPN en realidad) es muy pequeo.

Lo que hace la hoja de clculo es lo siguiente, suponiendo que los datos estn ordenados as:

A B

1 Ao Flujo ($)

2 0 -1.000.000

3 1 900.000

4 2 800.000

En este ejemplo = TIR (A2... B4, 30%) = 45,1249%, el programa calcula el VPN a 30% y verifica si es mayor o menor que cero. Si es mayor que cero, lo recalcula utilizando una tasa de inters mayor, y as sucesivamente hasta cuando el VPN sea negativo. En este caso lo vuelve a calcular con una tasa de inters menor hasta cuando el VPN sea positivo otra vez.

Este proceso se repite hasta cuando el VPN encontrado en valor absoluto sea menor que un valor muy pequeo del orden de una cien milsima o se hayan realizado unas 30 iteraciones; si en las 30 iteraciones no encuentra el valor de i que determine el VPN suficientemente pequeo, declara error.

La TIR del ejemplo del inversionista que instala un centro comercial, calculada con la hoja de clculo, es 41,5425%.

Conviene, adems, hacer hincapi en dos hechos: primero, que la TIR indica la rentabilidad del dinero mientras ste se encuentra invertido en el proyecto; y, segundo, que este mtodo supone implcitamente que los fondos liberados a lo largo de la vida del proyecto son reinvertidos a la TIR (obsrvese la diferencia de suposiciones con relacin al VPN).

Esta suposicin tambin puede ilustrarse con un ejemplo.

Ejemplo 9

Si se tiene una inversin as:

Ao Flujo ($)

0 -1.000

1 300

2 1.300

123

Para i = TIR el VPN de esta inversin ser cero. Ahora bien, si se supone que los fondos liberados por el proyecto se reinvierten a la tasa r%, entonces el VPN ser:

VPN(r,TIR) = -1.000 + 300(1+r) / (1+TIR)2 + 1.300 / (1+TIR)2

Si r es mayor que la TIR, entonces el VPN(r, TIR) ser mayor que cero, y si r es menor la que TIR, el VPN(r, TIR), ser negativo, por lo tanto, para que VPN(r, TIR) = 0, r debe ser igual a TIR.

Regla de decisin la TIR

Igual que el VPN, la TIR es un modelo matemtico y normativo que dice lo siguiente:

1. Si la TIR es mayor que la tasa de descuento, se debe aceptar.

2. Si la TIR es igual a la tasa de descuento, se debe ser indiferente.

3. Si la TIR es menor que la tasa de descuento, se debe rechazar.

Debe observarse que esta regla de decisin coincide con la del VPN para aceptar o rechazar alternativas. Esto se puede ver con claridad en las grficas 3.2, 3.3 y 3.4.

Para el caso de la inversin en el negocio del centro comercial, como la TIR es 41,67%, lo cual es mayor que 36%, se acepta la inversin. En el segundo ejemplo la TIR es de 45,13%, lo cual es mayor que 30%; por lo tanto, tambin se acepta la inversin. La TIR puede usarse para aceptar o rechazar alternativas, pero no para seleccionarlas. Esto quiere decir que una alternativa con mayor TIR que otra no necesariamente es la mejor.

3.7.3 La relacin beneficio-costo (RB/C)

Existe otro mtodo muy utilizado para analizar proyectos de inversin: la relacin beneficio-costo (RB/C). Este mtodo tambin tiene en cuenta el cambio del valor del dinero a travs del tiempo. Este ndice se define como la relacin entre los beneficios y los costos o egresos de un proyecto.

Los beneficios se definen como el valor presente de los flujos de caja positivos. As:

( ) BiI

VPj

j

jB =

+=

1 (3.6)

Los costos se definen como el valor presente de los flujos de caja negativos. As:

( ) CiE

VPj

j

jC =

+=

1 (3.7)

124

Aqu conviene hacer la misma observacin hecha anteriormente: se est suponiendo el caso particular en que todas las tasas de descuento son iguales y constantes a lo largo del proyecto.

Ejemplo 10

Para el proyecto siguiente:

Ao Flujo de caja ($)

0 -2.000

1 1.200

2 -1.800

3 2.900

4 1.700

Los beneficios al 10% son:

B = 1.200/(1,1) + 2.900/(1.1)3 + 1.700/(1,1)4 = 4.430,84

Los costos al 10% son:

C = 2.000 + 1.800 / (1,1)2 = 3.487,60

La RB/C, por lo tanto, es:

B/C = 4.430,84/3.487.60 = 1,27

Regla de decisin de la RB/C

Un proyecto de inversin se justifica si la RB/C al i% es mayor que 1. Si se recuerdan los mtodos anteriores, se tiene: con el VPN se acepta una inversin cuando ste es mayor que cero, lo cual implica que los beneficios son mayores que los costos; por lo tanto, la RB/C ser mayor que uno. Con la TIR se acepta un proyecto si sta es mayor que la tasa de descuento, lo cual implica que el VPN es mayor que cero y a su vez la RB/C ser mayor que uno. Esto significa que el proyecto del ejemplo se justifica al 10% porque RB/C es mayor que uno.

Cuando la RB/C es igual a uno, el decisor debe ser indiferente ante el proyecto; si es menor que uno, el decisor deber rechazar el proyecto. En resumen:

1. Si la RB/C es mayor que 1, se debe aceptar.

2. Si la RB/C es igual a 1, se debe ser indiferente.

3. Si la RB/C es menor que 1, se debe rechazar.

125

ste tambin es un modelo matemtico y normativo. Para evaluar la justificacin de alternativas, ya sea para rechazar o aceptar stas, la RB/C coincide con los mtodos anteriores.

3.7.4 Contradicciones entre los mtodos

A diferencia del VPN, la TIR es adecuada nicamente para determinar si una alternativa es o no justificable; slo sirve para aceptar o rechazar alternativas. Al utilizar este mtodo para ordenar alternativas de mayor a menor TIR, se pueden presentar resultados que sean econmicamente inadecuados o, lo que es lo mismo, llevaran al decisor a seleccionar una alternativa con VPN menor que el de otra.

En otras palabras, puede decirse que si la alternativa B tiene una TIR mayor que la alternativa A, no se puede concluir que la alternativa B es mejor que la alternativa A. Todo depende de la tasa de inters que se fije el decisor. Esta situacin se puede ver claramente en la Grfica 3.3.

Como ya se ha sugerido, los mtodos del VPN y de la TIR no son consistentes. En efecto, cuando se evalan alternativas mutuamente excluyentes, se pueden presentar contradicciones al pretender utilizar la mxima TIR para seleccionar la mejor alternativa.

La contradiccin consiste en que cuando se utiliza de manera incorrecta la TIR para seleccionar alternativas, puede ocurrir que la seleccionada no presente el mximo VPN y, por lo tanto, no sera la mejor. Estas contradicciones ocurren debido a las suposiciones diferentes de uno y otro mtodo. Como esta utilizacin incorrecta del mtodo de la TIR es factible y muy comn, se hace necesario llamar la atencin sobre la posibilidad de contradiccin y entender por qu ocurre.

En la Grfica 3.3, si se considera i1 como la tasa de descuento aceptable, los dos mtodos se contradicen, ya que la TIR de B es mayor que la de A, pero el VPN de la A, a la tasa de descuento i1, es mayor que el de la B. Esta situacin se puede resumir as: si la tasa de inters aceptable se encuentra entre 0 e i*, los dos mtodos producen resultados contradictorios; si la tasa de inters se encuentra entre i* e infinito, producen resultados consistentes. Esto se presenta cuando se trata de escoger entre alternativas mutuamente excluyentes. Recurdese que de todas maneras se est haciendo uso inadecuado del mtodo de la TIR, pues ste es adecuado para evaluar la justificacin de alternativas.

Dado que aqu se est defendiendo el uso del mtodo VPN, es necesario explicar por qu se sugiere su uso. Por un lado, el mtodo del VPN es consistente con el supuesto de que una persona racional desea obtener ms de un bien deseable que menos. Por el otro, si se examina la razonabilidad de las diferentes suposiciones, se encuentra lo siguiente: si el decisor ha seleccionado adecuadamente la tasa de inters para cada perodo, es razonable suponer que cualquier dinero generado por el proyecto lo reinvierta, por lo menos, a la tasa de oportunidad del perodo en que se liberan los fondos; en el caso de la TIR, no se puede garantizar que existan oportunidades para que el inversionista pueda invertir los fondos liberados del proyecto a la misma TIR. Recurdese que la TIR es inherente al proyecto y depende exclusivamente de la forma y cantidad en que se generan los beneficios. Otra restriccin notable que tiene el mtodo de la TIR es el hecho de que se pueden presentar para un solo proyecto varias TIR.

As como se ha propuesto el uso de la TIR para ordenar alternativas, tambin se ha sugerido el uso de la RB/C para ese propsito. El uso es ordenar los proyectos en forma decreciente, de acuerdo con la RB/C y seleccionar aquellas con mayor valor de este ndice.

Si se ha aceptado que el VPN es un mtodo ms adecuado para la seleccin de las alternativas, se puede presumir que si la RB/C no coincide en ciertos casos con el VPN, entonces el mtodo no es adecuado para escoger entre alternativas.

126

Esta contradiccin puede explicarse en trminos de las suposiciones implcitas en el ndice RB/C. Esta relacin supone implcitamente que los fondos liberados se reinvierten a la tasa de descuento, lo mismo que el VPN. Sin embargo, no tiene en cuenta las diferencias entre las inversiones, de modo que slo contiene una de las dos suposiciones del VPN.

A pesar de todo se han desarrollado formas de eliminar las discrepancias que ocurren cuando se trabaja con el caso particular de una tasa de inters constante durante toda la vida del proyecto. Una forma de hacerlo es considerar los beneficios producidos por la inversin incremental.

3.8 Alternativas con vidas diferentes

La mayora de los autores proponen que cuando se tengan proyectos con vidas diferentes, se analicen con el mtodo del costo anual equivalente, que consiste simplemente en repartir el VPN de cada alternativa en sumas iguales a lo largo de la vida de cada proyecto a la tasa de descuento utilizada para calcular el VPN.

Este mtodo supone que los proyectos pueden repetirse en forma indefinida y que, adems, se repiten los mismos beneficios y costos a lo largo de la alternativa que se estudia. Esto tambin implica que las repeticiones futuras de las alternativas producen la misma rentabilidad. Por supuesto, no es conveniente hacer esta suposicin, ya que no es razonable, pues nada garantiza que ello ocurra.

Ante situaciones de alternativas con vidas diferentes se debe proceder as:

1. Verifique si las alternativas se pueden repetir en el futuro.

2. Si se pueden repetir, verifique si al repetirlas se reproducen exactamente los mismos costos y beneficios.

3. Si se reproducen los mismos costos y beneficios en el futuro, tome la decisin calculando el costo anual equivalente (CAE o tambin CAUE costo anual uniforme equivalente) o la anualidad equivalente al VPN. Se calcula convirtiendo el VPN en un pago o cuota uniforme a la misma tasa a la cual se calcul el VPN.

4. Si no se reproducen los mismos costos y beneficios y las alternativas se pueden repetir en el futuro, estime los beneficios y costos futuros durante un perodo igual al mnimo comn mltiplo de todas las alternativas que se analizan, y calcule el VPN de cada una de ellas.

5. Si no se pueden repetir las alternativas en el futuro, calcule el VPN para cada alternativa, aunque las vidas de cada una de ellas sean diferentes. La suposicin implcita es que los fondos se reinvierten ms all de la vida del proyecto a la tasa de descuento.

Otra forma de tratar este problema es estimar un valor de salvamento o valor de mercado de la alternativa al final de la vida til para las alternativas con vida ms larga, al final del perodo de la alternativa de vida ms corta se aplica una reduccin a la vida ms larga. El caso alterno es extender la vida de las alternativas ms cortas hasta el final de la vida de la alternativa que ms dura. El valor de salvamento (o valor de mercado) es el valor comercial de la alternativa en determinado momento.

Para ilustrar lo expresado se presenta el siguiente ejemplo.

127

Ejemplo 11

Alternativa Inversin ($) Beneficios

anuales ($(

Vida

esperada

Valor final del proyecto ($)

A 10.000 13.500 1 ao 0

B 20.000 3.116 10 aos 0

Capital disponible: $20.000.

La TIR es:

TIRA = 35% TIRB = 9%

Si la tasa de oportunidad es de 5%, ambas alternativas se justifican.

El VPN de las dos alternativas al 5% es:

VPN (5%) = $2.857,14, para la alternativa A VPN (5%) = $4.060,93, para la alternativa B

Si se supone que no hay repeticin en este ejemplo, el VPN indicara que la mejor alternativa es

la B. Si se supone repeticin sucesiva e idntica de la inversin A durante 10 aos, los VPN y los CAE de las dos alternativas sern:

VPN (5%) = $23.165,20, para la alternativa A VPN (5%) = $4.060,93, para la alternativa B CAE (5%) = $3.000,00, para la alternativa A CAE (5%) = $525,91, para la alternativa B

El CAE, que supone repeticin idntica, indicara que la mejor es la A. El VPN de las sucesivas repeticiones de la alternativa A es mayor que el de B, por lo tanto, se escogera la alternativa A.

Esto quiere decir que es fundamental definir con claridad si la inversin es o no susceptible de repetirse en el futuro, pues los resultados son totalmente diferentes.

3.9 El perodo de repago (PR)

Los mtodos estudiados hasta aqu son aquellos que tienen en cuenta el valor del dinero a travs del tiempo. Estos mtodos determinan la mejor alternativa dentro de un grupo. En la prctica se encuentra con frecuencia el uso de tcnicas que no tienen en cuenta el valor del dinero a travs del tiempo. Estas tcnicas son muy criticadas en la literatura, lo cual est justificado porque pueden conducir a decisiones equivocadas. Uno de estos mtodos es el llamado perodo de repago (PR) payback period o payout period.

El PR es el tiempo necesario para que el inversionista recupere la cantidad invertida. En el caso particular de una inversin con unos beneficios constantes a lo largo de la vida del proyecto, el PR se calcula as:

128

Beneficios

InversinPR =

(3.8)

Ejemplo 12

Si se tienen tres alternativas A, B y C:

t A ($) B ($) C ($)

0 -1.000 -2.500 -1.000

1 400 200 1.000

2 400 700 0

3 400 1.200 0

4 400 2.000 0

PR 2,5 3,2 1

El uso de este mtodo establece que entre dos alternativas se prefiere aquella que tenga menor PR. Segn esto, la alternativa C debe escogerse por tener un PR menor. Se puede ver claramente lo inadecuado de este mtodo, ya que cualquiera de las otras alternativas es mejor que la seleccionada. A pesar de las fallas que pueda presentar este mtodo, su uso generalizado no obedece a una irracionalidad por parte del decisor.

En situaciones en las que la economa es impredecible e inestable, y por lo tanto con altos ndice de riesgo y de incertidumbre, el uso del PR es una forma de protegerse contra cambios inesperados en el comportamiento de la economa de un pas. Obviamente su uso implica aversin al riesgo. As mismo, el PR corrige distorsiones que el VPN presentan: por ejemplo, no es lo mismo un VPN de $50 obtenido en un ao que un VPN de $50 obtenido despus de 15 aos. Aunque el VPN es igual en ambos casos, no son igualmente deseables. Si se acepta lo anterior, es conveniente complementar el uso del PR con mtodos que no conduzcan a decisiones equivocadas.

Para este fin se proponen las siguientes formas heursticas (vase captulo 1) de utilizar el PR:

1. Un ndice que tenga en cuenta el VPN y el PR. Este ndice debe favorecer las alternativas con mayor VPN y menor PR:

VPN / PR = PR

VPN

(3.9) 2. Calcular un PR que tenga en cuenta el cambio del valor del dinero a travs del tiempo (PRT).

Con esto se garantizara que el inversionista recuperara la suma invertida ms intereses. El clculo de este ndice se hace encontrando el nmero de perodos que se necesitan para hacer el VPN de la inversin igual a cero dada una tasa de inters.

( ) ( ) 011 00 =++= ==N

tt

tN

tt

t

i

E

i

IquetalPRT

(3.10)

129

3. Calcular un ndice similar al primero, pero con PRT en lugar de PR.

PRT

VPN

(3.11)

Ejemplo 13

Para ilustrar lo anterior, considrese el grupo de alternativas A, B y C ya mencionadas. Si se utiliza una tasa de inters del 12%, se tienen los siguientes valores:

Alternativa

Mtodo

A B C

VPN(12%) $ 214,94 361,78 -107,14

VPN/PR 86,00 113,06 -107,14

PRT 3,15 3,72 N. C.

VPN/PRT 68,23 97,25 N. C.

En este ejemplo todos los ndices recomiendan la alternativa B, menos el PRT, que recomienda la A. En este caso se ve con claridad que los ndices as modificados garantizan que alternativas con VPN menores que cero quedarn descartadas. Estos ndices no siempre conducen a la alternativa ptima del grupo considerado, aunque en el ejemplo mostrado dos de ellos s coinciden con la escogencia de la mejor alternativa.

Estos mtodos, que pueden conducir a alternativas no ptimas, aunque satisfactorias, se justifican en los casos en que precisamente al decisor slo le interesa encontrar alternativas que no lo conduzcan a situaciones de prdida, a la vez que asegura la recuperacin de su capital a muy corto plazo y evita as los riesgos inherentes a una economa inestable e impredecible (Ochoa, 1987). Al hacer 10.000 simulaciones de tres flujos y utilizando diversas tasas de descuento encontr lo siguiente:

Tabla 3.3 Porcentaje de veces que se produce el mismo ordenamiento que el VPN

Tasa de descuento utilizada

Mtodo 10% 20% 30% 40%

PR 45,8 52,4 57,9 62,3

PRT 47,0 55,0 63,5 71,4

VPN/PR 61,8 69,4 76,9 81,6

VPN/PRT 62,4 70,5 78,9 84,4

130

Tabla 3.4 Porcentaje de veces que se escoge el mejor proyecto de acuerdo con el VPN

Tasa de descuento utilizada

Mtodo 10% 20% 30% 40%

PR 65,5 70,2 73,9 77,0

PRT 66,3 72,1 77,7 82,1

VPN/PR 77,1 81,6 86,3 88,5

VPN/PRT 77,5 82,1 87,4 90,3

En estas tablas se puede observar que en la medida en que se involucra el proceso de descuento (cambio de valor del dinero en el tiempo), la frecuencia del ordenamiento tiende a mejorar con respecto al producido por el VPN. As mismo, a medida que la tasa de descuento aumenta, la frecuencia de este ordenamiento tiende a parecerse al del VPN, debido a que los flujos ms lejanos pierden importancia y al introducir mtodos (PR y VPN/PRT) que en alguna forma desconocen lo que sucede ms all del valor obtenido por PR y PRT, los flujos ms lejanos se consideran, en cierta forma, inexistentes. A continuacin se presenta la Tabla 3.5, donde se indica la utilizacin correcta de cada uno de los mtodos.

Tabla 3.5 Utilizacin correcta de cada mtodo

Mtodo

Justificacin

de alternativas

Ordenamiento

de alternativas

Observaciones

1. VPN

1. Adecuado 1. Adecuado

1. Analizar si los proyectos tienen vidas iguales o no. Verificar si se cumple el supuesto de reinversin a la tasa de descuento.

2 TIR

2. Adecuado

2. Inadecuado

2. Sin sentido cuando se tienen varias tasas de descuento en el proyecto. Se pueden presentar mltiples tasas internas de rentabilidad.

3. RB/C 5. Adecuado

5. Inadecuado

5. No tiene en cuenta la diferencia en la magnitud de la inversin. No indica la rentabilidad del proyecto.

4. PR 8. Inadecuado

8. Inadecuado

8. Puede conducir a escoger alternativas con VPN negativo.

5.Perodo de repago modificado VPN/PR, PRT, VPN/PRT

9. Adecuado 9. Inadecuado 9. Se garantiza que no se eligen alternativas con VPN negativo. Pueden ser tiles en condiciones econmicas impredecibles e inestables. Permite romper empates entre VPN iguales o muy parecidos.

3.10 Racionamiento de capital

El problema de asignacin de recursos, que se resuelve en este captulo, trata de asignar recursos insuficientes a proyectos que son indivisibles. Esto significa que se emprenden en su totalidad o no se llevan a cabo. Para estos casos, los mtodos utilizados son la enumeracin exhaustiva y la

131

programacin lineal entera binaria. Los algoritmos para resolver este tipo de problemas se encuentran en hojas de clculo como Excel.

3.10.1 Seleccin de proyectos indivisibles

Diversos autores presentan el problema de indivisibilidad en la asignacin de recursos con restricciones de capital como un problema de programacin lineal entera. Aunque no es insoluble y existen programas de computador para resolver este problema, esta tcnica no es muy conocida y en la mayora de las universidades no se considera como curso regular dentro de los programas. Tal vez por ello la mayora de los textos sobre evaluacin de proyectos presentan el anlisis de este tipo de problemas en trminos de enumeracin exhaustiva, lo cual es sumamente dispendioso.

En el caso de proyectos indivisibles con escogencias excluyentes entre grupos de proyectos y con restriccin de capital, antes de efectuar una enumeracin exhaustiva o elaborar un programa matemtico para su solucin, se debe hacer lo siguiente:

1. Determinar en cada grupo de proyectos excluyentes la mejor alternativa (mximo VPN).

2. Combinar los mejores proyectos del punto 1 ms los proyectos independientes; si esta combinacin es factible, entonces es la ptima. Si no lo es, se debe realizar una enumeracin exhaustiva o disear un programa para solucin por programacin entera.

Ejemplo 14

El rector de una universidad ha recibido las siguientes propuestas de inversin de las diversas facultades y departamentos, para ser atendidas con el presupuesto del prximo ao. Una condicin impuesta por polticas trazadas por el Consejo Directivo indica que en este caso cada una de las facultades o departamentos debe contar con un proyecto realizado. Las propuestas son las siguientes:

Facultad A: tres propuestas mutuamente excluyentes para mejorar un laboratorio:

Propuesta Inversin

(millones $) Ahorro anual durante cinco aos (millones $)

A1 3,2 1,00 A2 4,0 2,00 A3 5,0 2,25

Facultad B: dos propuestas mutuamente excluyentes para reemplazar instalaciones en salones de clase:

Propuesta Inversin

(millones $) Ahorro anual durante cinco

aos (millones $) B1 4,5 1,8 B2 5,0 2,3

132

Departamento de Bienestar Estudiantil: dos propuestas mutuamente excluyentes para mejorar instalaciones deportivas con inversin y ahorros en 5 aos, as:

Propuesta Inversin ($MM) Ahorro anual

($MM) C1 0,5 1,5 C2 1,0 0,8

Suponiendo que la tasa de descuento es del 20% anual y que se cuenta con un presupuesto de $11 millones, cul es el plan ptimo?

Lo primero que se debe hacer es calcular el VPN de cada grupo de alternativas y eliminar del anlisis aquellas que presenten un VPN negativo.

Alternativa VPN (20%)

$ Alternativa VPN (20%)

$ Alternativa VPN (20%)

$ A1 -0,2094 B1 0,8831 C1 3,9859 A2 1,9812 B2 1,8784 C2 1,3925 A3 1,7289

En este caso se elimina la alternativa A1, por tener un VPN negativo. Obsrvese que no se hace una seleccin previa dentro de cada grupo. Se examina la combinacin de la mejor de cada grupo y se verifica su factibilidad.

Esta combinacin es A2, B2 y C1, la cual requiere una inversin de $9,5 millones, por lo tanto, es factible y sa sera la mejor solucin. Si el presupuesto fuera de $9 millones, no sera factible y se debe proceder a encontrar por enumeracin exhaustiva la mejor combinacin. Las combinaciones posibles son:

Combinacin Monto ($) Combinacin Monto ($) A2B1C1 9,0 A2B1C2 9,5 A2B2C1 9,5 A2B2C2 10,0 A3B1C1 10,0 A3B1C2 10,5 A3B2C1 10,5 A3B2C2 11,0

La combinacin factible con el presupuesto de $9 millones es A2B1C1, con un VPN de $6,8502 millones. Obsrvese que cuando hay racionamiento de capital, no siempre quedan en la solucin las mejores alternativas de los grupos mutuamente excluyentes.

3.10.2 Un mtodo simple para escoger proyectos en racionamiento

Retomando los planteamientos del comienzo, se puede ofrecer al lector un mtodo heurstico, otra vez, para seleccionar proyectos independientes e indivisibles, cuando slo se invierte en el perodo inicial. De manera intuitiva, se puede pensar que ante una escasez de recursos, se debe tratar de sacarle el jugo a los pocos recursos con que se cuenta; esto es, se tratara de obtener la mayor cantidad de beneficio por unidad invertida. La presupuestacin de capital se puede hacer utilizando el siguiente mtodo, que es un caso particular del mtodo de Senju y Toyoda (1968).

Este procedimiento indica que se deben ordenar las alternativas de menor a mayor y de acuerdo con el siguiente ndice:

133

INVERSIONLADEVALOR

VPN

Al establecer el ordenamiento, elimine los proyectos, de menor a mayor ndice, hasta encontrar

un grupo de proyectos factible, esto es, que se pueda hacer. Si existe un sobrante, verifique si algn proyecto rechazado se puede reinsertar.

Ejemplo 15

Suponga que un inversionista tiene una restriccin de capital de $90 millones y estudia la posibilidad de emprender cinco proyectos as:

Proyecto Inversin VPN

(millones $) (millones $)

1 51 27

2 8 17

3 35 40

4 18 15

5 36 10

Si se ordenaran por el VPN, el resultado sera:

Orden Proyecto VPN ($) Capital ($)

I 3 40 35

II 1 27 51

III 2 17 8

IV 4 15 18

V 5 10 36

Si se ordenara por la relacin propuesta, se tendra:

Orden Proyecto ndice VPN ($) Capital ($)

I 5 0,28 10 36

II 1 0,53 27 51

III 4 0,83 15 18

IV 3 1,14 40 35

V 2 2,13 17 8

Con la disponibilidad de capital que se tiene, con el primer procedimiento se seleccionarn los proyectos 3 y 1 con un VPN total de $67 y quedarn $4 disponibles. Con el mtodo propuesto (correcto) se seleccionarn los proyectos 2, 3 y 4 para un VPN total de $72 y quedarn $29 disponibles. Con estos $29 no se puede emprender ningn proyecto rechazado.

134

3.10.3 Programacin lineal

Los algoritmos de programacin lineal tratan de resolver problemas de optimizacin (maximizacin, minimizacin o lograr un determinado valor), sujeto a ciertas restricciones. Como su nombre lo indica, las relaciones entre las variables son lineales. Como se trata de problemas con variables asociadas a actividades, servicios o bienes, una de las restricciones que se impone es la de que los valores deben ser no negativos. Cuando se restringen las variables a valores enteros (0, 1, 2...), entonces se dice que se trata de un problema de programacin lineal entera. Si la restriccin indica que, adems de ser enteros, los valores posibles debern ser menores o iguales a 1, esto es, que la actividad, bienes o servicios, no pueden emprenderse ms de una vez, entonces se dice que es un problema de programacin lineal entera binaria; esto significa que las variables no pueden tomar valores diferentes a 0 o 1. En trminos de un paquete de proyectos, significa que con valor 0 no se hace el proyecto, y con valor 1 s se hace.

Asociados a cada una de las variables hay unos resultados beneficios o costos y unas utilizaciones de recursos. Los recursos son escasos y limitados. La suma de los beneficios o costos combinados para todas las variables es lo que se conoce como funcin objetivo. La suma de los consumos de recursos combinados para todas las variables deber ser inferior a los recursos disponibles y se constituyen, entonces, las restricciones. El problema radica en optimizar la funcin objetivo y cumplir, a la vez, ciertas restricciones.

OBJETIVOFUNCINni

iii xCOF

=

=

=

1

.. (3.12)

)(0

.

NRESTRICCIilastodasparax

asujeto

i (3.13)

)(1

NESRESTRICCIOjlastodasparaBxb jni

iiij

=

=

(3.14)

Donde las xi son las variables (bienes, actividades o servicios); las Bj, los valores de los recursos que estn limitados, y las bij, los consumos de cada variable xi de cada recurso Bj y las Cs en la funcin objetivo son las ganancias de cada actividad xi.

Si se trata de programacin lineal entera, entonces se aade la restriccin siguiente:

xi entero (3.15)

Si se trata de programacin lineal entera binaria, se aade la restriccin:

1ix (3.16)

Algunas sugerencias adicionales para plantear este tipo de problemas son las siguientes:

Si se desea escoger entre dos alternativas mutuamente excluyentes, por ejemplo x1 y x2, entonces se debe escribir la siguiente restriccin:

135

121 =+ xx (3.17)

Si de esas alternativas puede hacerse una u otra o ninguna de ellas, se escribira:

121 + xx (3.18)

Si hay una alternativa que no se puede hacer si no se hace otra (contingentes o condicionales), por ejemplo x1 se hace slo si x2 se hace (x1 puede no hacerse, slo que para poderse emprender, x2 debe emprenderse), se escribe:

21 xx (3.19)

Si hay una alternativa que debe hacerse si se hace otra y ninguna se puede hacer aislada, por ejemplo, x1 debe hacerse si y slo si se hace x2, entonces,

21 xx = (3.20)

Para resolver estos problemas se puede utilizar la opcin Herramientas del men de Excel y en ese men desplegado se debe escoger Solver.

Esta estrategia se puede aplicar para resolver problemas de seleccin de proyectos independientes e indivisibles cuando hay racionamiento de capital. Antes de utilizar este procedimiento se recomienda examinar el problema para eliminar proyectos que claramente no sean factibles. Lo mejor es presentar algunos ejemplos.

Aplicando el procedimiento explicado en pginas anteriores a un ejemplo presentado por Lorie y Savage (1955), se tiene lo siguiente.

Ejemplo 16

Se tiene un grupo de 9 proyectos que implican inversiones en dos perodos; adems, a cada proyecto se le ha calculado el VPN. Por otro lado, se cuenta con un presupuesto de $50 para el primer ao y de $20 para el segundo. La pregunta es: qu proyectos deben escogerse de manera que se maximice el VPN combinado?

Capital requerido

Proyecto Perodo I ($) Perodo II ($) VPN ($) P1 12 3 14 P2 54 7 17 P3 6 6 17 P4 6 2 15 P5 30 35 40 P6 6 6 12 P7 48 4 14 P8 36 3 10 P9 18 3 12

Total 216 69 Presupuesto 50 20 Faltante 166 49

136

En este problema se pueden eliminar, por inspeccin, los proyectos 5 y 2, puesto que no son factibles. Tambin el 7 y el 8, al analizar lo que sobrara si se emprendiera alguno de ellos. Por lo tanto, el total y el faltante se modifican as:

Perodo I II

Total $ 48 20

Faltante $ -2 0

Al eliminar los proyectos 5, 2, 7 y 8, queda un grupo factible; por lo tanto, no es necesario trabajar el algoritmo de programacin lineal entera binaria. El paquete ptimo es P1, P3, P4, P6 y P9, para un total de $70.

Si se modifica el ejemplo de Lorie y Savage, se puede ilustrar mejor el planteamiento del problema. Obsrvese el siguiente problema:

Ejemplo 17

Se tiene un grupo de 9 proyectos que implican inversiones en dos perodos; adems, a cada proyecto se le ha calculado el VPN. Por otro lado, se cuenta con un presupuesto de $50 para el primer ao y de $20 para el segundo. La pregunta es: qu proyectos deben escogerse de manera que se maximice el VPN combinado?

Capital

requerido ($)

Proyecto I II

VPN ($)

P1 12 3 14 P2 42 7 17 P3 6 6 17 P4 6 2 15 P5 11 13 34 P6 6 6 12 P7 40 4 14 P8 36 3 10 P9 18 3 12

Total 177 47 Presupuesto 50 20 Faltante 127 27

Por inspeccin se pueden eliminar los proyectos 2, 7 y 8. Esto modifica las cifras as:

137

Capital requerido $

Proyecto

I II

VPN $

P1 12 3 14 P3 6 6 17 P4 6 2 15 P5 11 13 34 P6 6 6 12 P9 18 3 12

Total 177 47 Presupuesto 50 20 Faltante 127 27

Funcin objetivo maximizar: 14P1+17P3+15P4+34P5+12P6+12P9

Las restricciones son:

0

1

i

i

P

P

Pi entero para todos los proyectos.

12P1+6P3+6P4+11P5+6P6+18P9 50 3P1+6P3+2P4+13P5+6P6+3P9 20

La solucin incluye los proyectos P1, P3, P4, P6, y P9, con un VPN de $70.

A travs de estos ejemplos se puede observar que seleccionar aquellos proyectos que ms contribuyen a las ganancias por unidad invertida es el mtodo adecuado cuando existe racionamiento de capital. Obsrvese que no se maximiza el VPN ordenando los proyectos por el VPN.

3.11 Resumen

Se han presentado diversos mtodos para la evaluacin y ordenamiento de alternativas, a saber: el valor presente neto (VPN), la tasa interna de rentabilidad (TIR) y la relacin beneficio-costo (RB/C). Se ha visto que algunos, la TIR y la RB/C, pueden ser utilizados para la justificacin de alternativas pero no para su ordenamiento. Tambin se estudi el perodo de repago (PR) y se propusieron modificaciones que permiten mejorar el desempeo de este indicador.

Se analiz tambin el caso de alternativas con vidas diferentes y se propuso una metodologa de anlisis.

Se ha analizado el problema de racionamiento de capital y se han examinado dos mtodos de solucin: enumeracin exhaustiva y programacin lineal. Lo ms importante fue la presentacin de los procedimientos que permiten resolver problemas en condiciones de escasez de recursos y con caractersticas de indivisibilidad. Tambin se propone una regla sencilla para la seleccin de proyectos con un solo perodo de inversin, que consiste en dividir el VPN por la inversin requerida y hacer la relacin basndose en ese ndice.

138

3.12 Ejercicios de autocorreccin

1. Considrense las siguientes alternativas mutuamente excluyentes.

Alternativas ($) Perodo

1 2 3 4

0 - 1.000 - 3.000 - 2.500 - 1.000

1 400 0 200 0

2 400 400 700 0

3 400 1.600 1.200 0

4 400 2.900 2.000 1.800

Calcule el VPN, la RB/C, el VPN/PR, VPN/PRT a la tasa de 12% por perodo. Tambin calcule la TIR. Ordene las alternativas de acuerdo con cada uno de los criterios.

2. Se han recibido las siguientes propuestas de inversin para ser atendidas con el presupuesto del prximo ao. Una condicin impuesta indica que en este caso cada una de las unidades debe realizar un proyecto. Las propuestas son las siguientes:

Facultad A: dos propuestas mutuamente excluyentes para mejorar un laboratorio.

Propuesta Inversin (millones $)

Ahorro anual durante cinco aos (millones $)

A1 3,68 1,15

A2 4,6 2,30

Facultad B: dos propuestas mutuamente excluyentes para reemplazar instalaciones en salones de clase.

Propuesta Inversin (millones $) Ahorro anual por cinco

aos (millones $)

B1 5,175 2,07

B2 5,75 2,645

Departamento de Bienestar Estudiantil: una propuesta para mejorar instalaciones de cafetera:

Propuesta Inversin

(millones $) Ahorro anual

durante cinco aos (millones $)

C1 0,575 1,725

Suponiendo que la tasa de descuento es del 20% anual y que se cuenta con un presupuesto de $15 millones. Las directivas le han pedido su asesora y le preguntan cul es el plan ptimo de inversin?

139

3.13 Solucin a los ejercicios de autocorreccin

Nota: aqu se utiliza un mtodo manual slo para ilustrar el proceso de solucin. Se supone que el lector utiliza el computador o una calculadora financiera.

1.

En la solucin de este ejercicio se us la siguiente notacin para representar cada factor:

factor(C-> P,n,i%) convierte una cuota uniforme de un peso desde 1 hasta n en una suma presente P en 0, a la tasa i%.

factor(F->P,n,i%) convierte una suma futura de un peso en n en una suma presente P en 0, a la tasa i%.

Clculo del VPN

VPN1(12%) = -1.000 + 400 x factor(C P,4,12%) = 214,94 VPN2(12%) = -3.000 + 400xfactor(FP,2,12%) + 1,600xfactor (F -> P,3,12%) + 2.900 x factor(F P,4,12%) = 300,73 VPN3(12%) = -2.500 + 200 factor(FP,1,12%) + 700x factor(FP,2,12%) + 1.200 x factor(FP,3,12%) + 2.000 x factor(F P,4,12%) = 361,78 VPN4(12%) = -1.000 + 1.800 x factor(FP,4,12%) = 143,93 = VNA(0,12;RANGO(t = 1 a t = 4), para cada alternativa

Clculo de la TIR

VPN1(20%) = -1.000 + 400 x factor(C P,4,20%) = 35,49

VPN1(22%) = -1.000 + 400 x factor(C P,4,22%) = -2,54

Por interpolacin se encuentra que la TIR es aproximadamente 21,86%. VPN2(15%) = -3.000 + 400xfactor(FP,2,15%) + 1.600x factor (F -> P,3,15%) + 2.900 x factor(F P,4,15%) = 12,57

VPN2(16%) = -3.000 + 400xfactor(FP,2,16%) + 1.600xfactor (F P,3,16%) + 2.900 x factor(F P,4,16%) = -76,04

Por interpolacin se encuentra que la TIR es aproximadamente 15,14%.

Alternativas ($) Perodo

1 2 3 4

0 -1.000 -3.000 -2.500 -1.000

1 400 0 200 0

2 400 400 700 0

3 400 1.600 1.200 0

4 400 2.900 2.000 1.800

140

VPN3(16%) = -2.500 + 200 x factor(FP,1,16%) + 700xfactor (F P,2,16%) + 1.200 x factor(F P,3,16%) + 2.000 x factor(F P,4,16% ) = 66 VPN3(17%) = -2.500 + 200 x factor (FP,1,17%)+700 x factor (F P,2,17%) + 1.200 x factor(F -> P,3,17%) + 2.000 x factor(F P,4,17%) = -1,16

Por interpolacin se encuentra que la TIR es aproximadamente 16,98%.

VPN4(15%) = -1.000 + 1.800 x factor(F P,4,15%) = 29,16 VPN4 (16%) = -1.000 + 1.800 x factor(F P,4,16%) = -5,8888

Por interpolacin se encuentra que la TIR es aproximadamente 15,83%.

= TIR(RANGO(t = 1 a t = 4), para cada alternativa.

Clculo de la RB/C

De los clculos del VPN se puede deducir lo siguiente:

VPB1(12%) $ 1.214,94

VPC1(12%) $ 1.000

RB/C1(12%) 1,215

VPB2(12%) $ 3.300,73

VPC2(12%) $ 3.000

RB/C2(12%) 1,10

VPB3(12%) $ 2.861,78

VPC3(12%) $ 2.500

RB/C3(12%) 1,145

VPB4(12%) $ 1.143,93

VPC4(12%) $ 1.000

RB/C4(12%) 1,144

Clculo del PR

PR1 = 1.000/400= 2,5 PR2 = 3 + 1.000/2.900 = 3,34 PR3 = 3 + 400/2.000 = 3,2 PR4= 3 + 1.000/1.800 = 3,56

Clculo de VPN/PR

VPN1/PR1 = 214,94/2,5 = 86 VPN2/PR2 = 300,73/3,34 = 89,91 VPN3/PR3 = 361,78/3,2 = 113,05

141

VPN4/PR4 = 143,93/3,56 = 40,43

Clculo del PRT

Se indicar el VPN a una tasa de descuento y por n perodos as: VPNj(i%,n) VPN1 (12%,3) = -39,27 VPN1 (12%,4) = 214,94 PRT1= 3+39,27/400xfactor (FP,4,12%)=3+39,27/254,21 = 3,15 VPN2(12%,3) = -1.542,27 VPN2 (12%,4) = 300,73 PRT2 = 3 + 1.542,27/2.900 x factor(F P,4,12%) = 3 + 1.542,27/1.843 = 3,84 VPN3 (12%,3) = -909,26 VPN3 (12%,4) = 361,78 PRT3 = 3+909,26/2.000 x factor(FP,4,12%) = 3+ 909,26/1.271,04 = 3,72 VPN4 (12%,3) = -1.000 VPN4 (12%,4) = 143,93 PRT4 =3+1.000/800xfactor (FP,4,12%)=3+1.000/1.143,93 = 3,87

Clculo del VPN/PRT

VPN1/PRT1 = 214,94/3,15 = 68,14

VPN2/PRT2 = 300,73/3,84 = 78,38

VPN3/PRT3 = 361,78/3,72 = 97,25

VPN4/PRT4 = 143,93/3,87 = 37,19

1 2 3 4

VPN al 12% ($) 214,94 300,73 361,78 143,93

Rentabilidad interna TIR 21,86% 15,14% 16,98% 15,83%

RB/C al 12% 1,22 1,1 1,15 1,14

PR 2,50 3,34 3,20 3,56

VPN/PR 86,00 89,91 113,05 40,43

PRT 3,15 3,84 3,72 3,87

VPN/PRT 68,14 78,38 97,25 37,19

Todas son justificables si la tasa de descuento es 12%.

142

Orden VPN B/C TIR PR VPN/PR PRT VPN/PRT

I 3 1 1 1 3 1 3

II 2 3 3 3 2 3 2

III 1 4 4 2 1 2 1

IV 4 2 2 4 4 4 4

2. Lo primero que se debe hacer es calcular el VPN de cada grupo de alternativas y eliminar del anlisis aquellas que presenten un VPN negativo.

Alternativa VPN(20%)

(en millones de pesos)

A1 -0,2408

A2 2,2784

B1 1,0156

B2 2,1602

C1 4,5838

En este caso se elimina la alternativa A1 por tener un VPN negativo. Se examina la c