IntroducciónIntroducción

  

¿¿Qué esQué es una ecuación diferencial? una ecuación diferencial?

  

    Toda ecuación que establece la dependencia Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación mediante derivadas es una ecuación diferencialdiferencial

Ejemplos de ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales

  2) 2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo temperatura del cuerpo T(t)T(t) y la temperatura y la temperatura del ambiente del ambiente TTaa

Donde Donde KK es el coeficiente dde transmisión de es el coeficiente dde transmisión de calor que depende del materialcalor que depende del material

)( TTKdt

dTa

Clasificación GeneralClasificación General

EDO de primer orden.- La forma general es

F(x,y,y’)=0

A la forma

y’=f(x,y)

Se le denomina resuelta respecto a la derivada.

También aparecen en la forma:

dydx fx,y

Solución de una EDSolución de una ED

La Solución General, también llamada integral general de la ED de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, es la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación.

Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones

son soluciones de la ecuación del ejemplo (4).

La solución general es en realidad una familia de funciones parametrizadas por la constante desconocida c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene una Solución Particular de la ED

22 ccxy

Solución de una EDSolución de una ED

Tarea: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la solución general de la ED es:

b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de Ta=15°C ?

Ktaa eTTTtT )()( 0

Métodos de Solución AnalíticaMétodos de Solución Analítica

NO existe un método general para resolver ED’s, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento para hallar su solución analítica.

Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.

Métodos de Solución AnalíticaMétodos de Solución Analítica

El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.

Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente

Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido

Separación de variablesSeparación de variables

La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas:

Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x.

Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:

dxxgdyyf )()(

x

x

y

ydxxgdyyf

00

)()(

Separación de variablesSeparación de variables

La ED de la forma

Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:

dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211

dxxg

xgdy

yf

yf

)(

)(

)(

)(

2

1

1

2

Separación de variablesSeparación de variables

Ejemplo: Resolver la ecuación

Solución: Separando variables

ydy = -xdx

integrando

Reescribiendo x2+y2 = c2

dydx xy .

1

22

22c

xy

ED Lineales de 1ED Lineales de 1erer orden orden

Las ED de la forma

Se denominan ED Lineales.

Se resuelven usando variación de la constante c de la solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir,

donde

xqy)x(pdxdy

dx)x(p

e)x(c)x(y

1

dx)x(p

cdxe)x(q)x(c

ED Lineales de 1ED Lineales de 1erer orden orden

Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie

Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es

Donde

Si Vs(t)=1, se obtiene:

Por lo tanto

)(1

)(1)(

tVRC

tvRCdt

tdvs

RC

tdt

e)t(ce)t(c)t(vRC1

1RC

t

sRC1 cdte)t(V)t(c

1RC

t

ce)t(c

RC

t

1ec1)t(v

ED exactasED exactas

La ecuación de la forma

tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0

y por consiguiente la solución: u(x,y) = c

si cumple la condición de Euler: 

En tal caso

y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x:

 y se puede determinar c(y) derivando

x)y,x(N

y)y,x(M

0dy)y,x(Ndx)y,x(M

y)y,x(u

)y,x(N,x

)y,x(u)y,x(M

)y(cdx)y,x(M)y,x(u

ED exactasED exactas

Ejemplo: La siguiente ED

Es exacta puesto que

Integrando respecto a x

Es decir,

Derivando respecto a y

De donde

Finalmente la solución general es

0dy)3yx(dx)1yx( 2

x

yx

y

yx

)3()1( 2

)()1(),( ycdxyxyxu

)(),( 2

2

ycxxyyxu x

3)(' 2

yxycxy

u

12 )3()( cdyyyc

Teorema de existencia y unicidadTeorema de existencia y unicidad

Ejemplo: ¿Son ED exactas?

xxyy 22' 2

0)()()()( 2211 dyygxfdxygxf

0)()( 323 dyyyxdxxyx