1

Introducción a las ecuaciones de

Lagrange

Ecuaciones de Lagrange para una particula (cartesianas)

1,2,3.i

,i iM x F

1x2x

3x

Triedro físico (3-D)

P

M

Fr

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

,

.

F Fe F e F e

r x e x e x e

2

2.

d rM F

dt

32 21 1

2 2

1

,i

i

T M v M x

,

1, 2,3.

i

i

d TF

dt x

i

,i

i

d TM x

dt x

Ecuaciones de

Lagrange

1, 2, 3.

,i

i i

i

d T TF

dt x x

3

Ecuaciones de Lagrange para una particula

(coordenadas arbitrarias)

Triedro físico (3-D)

1x

2x

3x P

M

Fr

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3, .F Fe F e F e r x e x e x e

1 2 3¿ ( ), ( ), ( )?q t q t q t

, 1,2,3.j

j

ra j

q

Base de vectores

tangentes

211 2 3 1 2 32

( , , , , , , ) ,T M v T q q q q q q t

drv

dt

1 2 3¡ ( , , , )!r q q q t

3 3

1 1

,j j j

j jj

r r rq q a

t q t

1 2 3 1 2 3( , , , , , , )v q q q q q q t

1 2 3( , , , ) ,

1,2,3.

i i

i

x q q q t

i q

Coordenadas generalizadas

jq Velocidades generalizadas

2

2.

d rM F

dt

i iQ F a

Componente

generalizada de la fuerza

,

1,2,3.

i

i i

d T TQ

dt q q

i

4

Demostración

,dv

M Fdt

,i i

dvM a Q

dt ,i

i i

d daM v a v Q

dt dt

3

1

,j

j j

r rv q

t q

i

i

ra

q

,i

v

q

id a

dti

d r

dt q

2 2

j

j i j i

r rq

q q q t

2j

j

j i i

a rq

q q t

i

v

q

,ii i

d v vM v M v Q

dt q q

,

1,2,3.

i

i i

d T TQ

dt q q

i

2 2

1 12 2

,ii i

d v vM M Q

dt q q

5

Ec. De Lagrange: Particula moviendose sobre curva

(sin rozamiento)

F F N

,d T T

Qdt q q

1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , ),x q t x q t x q t

1 1 2 2 3 3 .r e e e

q

ra

q

Tangente a la curva

N

F

qa

.dv

M Fdt

q q

dvM a F a

dt qF a Q

drv

dt ,q

r r rq qa

t q t

,

, ,

q

q q

q

q

dadv d d T TM a M v a v

dt dt dt dt q q

dav va

q dt q

212

( , , ),T Mv T q q t

1x2x

3x

P

6

Ec. De Lagrange: Particula moviendose sobre

superficie (sin rozamiento)

,F F N

1

1 1

2

2 2

,

,

d T TQ

dt q q

d T TQ

dt q q

1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2( , , ), ( , , ), ( , , ),x q q t x q q t x q q t

1 1 2 2 3 3 .r e e e

1 2

1 2

, ,r r

a aq q

Tangentes a la

superficie N

F

.dv

M Fdt

1 1

dvM a F a

dt 1 1F a Q

1 1 2 2 ,dr r

v q a q adt t

21

1 2 1 22( , , , , ),T Mv T q q q q t

3x

2x

1xP

1a2a

2 2

dvM a F a

dt

2 2F a Q

7

Resumen: Ecuaciones de Lagrange para una particula

Triedro físico (3-D)

1x

2x

3x P

M

Fr

3

1 2 3

1

( , , , )i i

i

r q q q t e

, 1,2,3.j

j

ra j

q

Base de vectores

tangentes

211 2 3 1 2 32

( , , , , , , ) ,T M v T q q q q q q t

1,2,3. jj q Coordenadas generalizadas

jq Velocidades generalizadas

i iQ F a

Componente generalizada

de la fuerza

,

1,2,3.

i

i i

d T TQ

dt q q

i

Casos particulares:

Movimiento sobre curva: 1( , ), 1,2,3.j j q t j

Movimiento sobre superficie: 1 2( , , ), 1,2,3.j j q q t j

Ejemplos:

1) Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una partícula

de masa M moviéndose en un triedro inercial y sometida al peso.

Usar como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas

de un triedro que se mueve paralelamente al anterior y su origen (O’)

se desplaza con una ley arbitraria. '( )Or t

1x

2x

3x P

M g

1q 2q

3q

O’

Solución:

1)

1x

2x

3x P

M g

1q 2q

3q

O’

'( )or t ' 1 ' 2 ' 3( ) ( ) ( ) ,o o ox t e y t e z t e

r ' 1 1 2 2 3 3( ) ,or t q e q e q e

1 1 2 2 3 3

1

, , ,r

a e a e a eq

' 1 1 2 2 3 3,ov v q e q e q e

2 2 2 2 21 11 2 32 2

1 ' 1 2 ' 2 3 ' 32 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ,

o

o o o

T M v M v q q q

q v e q v e q v e

0,j

T

q

'( ) ,j o j

j

TM q v e

q

'( ) ,j o j

j

d TM q a e

dt q

3,F Mge 1 1 0,Q F a 2 2 0,Q F a 3 3 ,Q F a Mg

1 '( ) 0,oM q x t 2 '( ) 0,oM q y t 3 '( ) ,oM q z t Mg

Ejemplos:

2) Plantear explícitamente las ecuaciones de Lagrange para una péndulo

ideal: partícula de masa M moviéndose en un plano vertical y sujeta

por un hilo ideal. Usar como coordenada generalizada el ángulo que

forma el hilo con la vertical descendente.

x

z

P

M g

R

Solución:

2)

x

z

M g

R

1 3(sin (1 cos ) ),r R e e

1 3(cos sin ),r

a R e e

N1 3(cos sin ),v R e e

3 1 3( sin cos ),F Mge N e e

2 2 21 12 2

,T Mv MR

,d T T

F adt

2 sinMR MgR

Ejemplos:

3) Una partícula de masa M se mueve en un triedro (O,x,y,z) bajo la

acción de una fuerza atractiva desde el origen O del triedro y

proporcional a la distancia. Plantear explícitamente las ecuaciones de

Lagrange usando como coordenadas generalizadas las coordenadas

esféricas de la partícula . , ,r

r

x

y

z

M

F k r

Solución:

3)

1 2 3, , , ,q q q r

r

x

y

z

M

F k r

Coordenadas

generalizadas:

1 2 3sin cos sin sin cos ,r r e e e

1 2 3sin cos sin sin cos ,r

ra e e e

r

1 2 3cos cos cos sin sin ,r

a r e e e

1 2sin sin sin cos ,r

a r e e

rv

t

,j j r

j

q a ra a a 2 2 2 2 2 212

sinT M r r r

,r rQ F a kr 0,Q F a 0,Q F a

2 2 212 2 sin ,

2

TM r r

r

2 212

2 sin cos ,T

M r

0,

T

r

x

y

z

M

F k r

2 2 2 2 2 212

sin ,T M r r r

,r rQ F a kr 0,Q F a 0,Q F a

2 2 212 2 sin ,

2

TM r r

r

2 21

22 sin cos ,

TM r

0,T

12

2 ,T

M rr

21

22 ,

TM r

2 21

22 sin ,

TM r

,d T

M rdt r

21

24 2 ,

d TM rr r

dt

2 22 sin sin 2 sin cos 0,Mr r r r

,r

d T TQ

dt r r

2 2 2sin ,M r Mr kr

,d T T

Qdt

2 22 sin cos 0,Mr r r Mr

,d T T

Qdt

2 2 2 212

4 sin 2 sin 4 sin cos ,d T

M rr r rdt

Ejemplos:

4) Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre la parábola

(donde es una constante). Plantear la ecuacion de

Lagrange para el movimiento de la partícula usando como

coordenada generalizada.

x

z

Mg

2z a x aq x

Solución:

4)

x

z

Mg

2z a x

,q x

2 ,r xi ax k 2 ,x

ra i axk

x

2 ,dr

v xi axxkdt

2 2 21 12 2

2 2 2 2 2 2 21 12 2

4 1 4 ,

T Mv M x z

M x a x x Mx a x

2 24 ,T

a M x xx

2 21 4 ,

TMx a x

x

2 2 2 21 4 8 ,

d TMx a x a Mx x

dt x

,F Mgk N

N

2 ,x xQ F a Mg ax ,x

d T TQ

dt x x

2 2 2 2 2 21 4 8 4 2 ,Mx a x a Mx x a M x x Mg ax

2 2 2 21 4 4 2 ,x a x a x x g ax

Potencial de fuerzas (primera definición)

,F Mgk

El peso de una partícula, la fuerza de un muelle ideal,

La fuerza de un campo eléctrico sobre una carga

eléctrica, gravitación, .. etc, son fuerzas que derivan de

un “potencial” : ( , )U r t

x

y

z

Mg

Peso:

,U U U U

F U i j kr x y z

,U Mgz

Muelle ideal (OP):

212

,U Kr

x

y

z

Muelle ideal (O’P):

21

'2( ) ,OU K r r t

,F Kr

x

y

z

P r

P

r O’ '( )Or t

'' ( ) ,OF KO P K r r t

,eU q

Gravitación:

'

,( )O

Ur r t

'

33'

' ( ),

( )'

O

O

O P r r tF

r r tO P

Campo electrostático :

campo eléctrico , potencial eléctrico

donde

E ,

.E

eqLa fuerza sobre carga eléctrica es ,e eq E q

x

y

zP

O’ r'( )Or t

Potencial generalizado de fuerzas

Una fuerza deriva de un “potencial generalizado

” cuando : ( , , )U r v t

,

d U UF

dt v r

d U U U U U Ui j k i j k

dt x y z x y z

F

Observar que !!!!!!! ( , , , , , , )U x y z x y z t

Ejemplos:

Fuerza de inercia:

212( ) ( ) ,oU M a r r v r

( ) 2 ,I o

dF M a r r v

dt

Comprobarlo !!!!!!!

Fuerza de campo magnético constante (por

sencillez): 0 ,mag eF q v B k

1 10 02 2

( ) ( ),e eU q r B k v q B yx xy Comprobarlo !!!!!!!

Componentes generalizadas de las fuerzas que

derivan de un potencial generalizado : ( , , )U r v t

j

j j

dad U U Ua a

dt v v dt r

Observar que !!!!!!! ( , , )U q q t

1 2 3( , , , )r q q q tj

j

ra

q

j j

d U UQ a

dt v r

j j j

d U v U v U r

dt v q v q r q

,j j

d U U

dt q q

Ec. de Lagrange para una partícula en un

campo de las fuerzas que deriva de un

potencial generalizado : ( , , )U r v t

Definición: ( , , )L q q t T U

1 2 3( , , , ),r q q q t , 1,2,3.j

j

ra j

q

,j j j j

d T T d U U

dt q q dt q q

Partícula sin ligaduras:

( , , ), ( , , ),T q q t U q q t

Función de Lagrange o

Lagrangiana de la partícula

0,j j

d L L

dt q q

3 grados de

libertad

1 1( , , )L q q t T U

1( , ),r q t

Partícula con ligaduras geométricas ideales (holónomas ideales):

1 1 1 1( , , ), ( , , ),T q q t U q q t

1 grado de

libertad • Sobre curva (sin rozamiento):

1 1

0,d L L

dt q q

L T U

1 2( , , ),r q q t

1 2 1 2 1 2 1 2( , , , , ), ( , , , , ),T q q q q t U q q q q t

2 grados de

libertad • Sobre superficie (sin rozamiento):

1 1

2 2

0,

0,

d L L

dt q q

d L L

dt q q

Definición de sistema lagrangiano:

Una partícula sin ligaduras (o con ligaduras holónomas ideales) bajo

la acción de una fuerza que deriva de un potencial generalizado se

dice que es un sistema lagrangiano.

Un sistema físico cuya evolución en el tiempo ( ) se

determina a partir de las ecuaciones

para una cierta función , se dice que es un sistema

lagrangiano.

0, 1,2,3,j j

d L Lj

dt q q

( ), 1,2,3,jq t j

( , , )L q q t

26

Más ejemplos!

1) Determinar la lagrangiana de un péndulo simple (partícula de peso Mg)

de longitud R cuando además sobre el péndulo actúa la fuerza de un

muelle ideal de constante elástica K . Usar el ángulo como

coordenada generalizada y escribir la ecuación del movimiento a partir de

la lagrangiana.

x

z

P

M g

R

Solución:

1)

x

z

M g

R

1 3(sin (1 cos ) ),r R e e ,a

N

,v

212

2(1 cos ) 1 cos

( ) 1 cos ,

U Mgz K OP

MgR KR

R Mg KR

2 2 21 12 2

,T Mv MR

0,d L L

dt

2 ( )sin 0MR R Mg KR

P

2 212

( ) 1 cos ,L T U MR R Mg KR

28

2) Una partícula de peso Mg se mueve sin rozamiento sobre el

paraboloide, de eje vertical, . Sobre la partícula actúa

además un muelle ideal de constante elástica K, cuyo extremo está fijo al

origen de coordenadas. Determinar la lagrangiana de la partícula y sus

ecuaciones del movimiento usando x, y, como coordenadas generalizadas.

2 2z ax by

xy

z

P

Mg

29

2 2z ax by

xy

z

P

Mg

2) Solución. 2 2( ) ,r xi y j zk xi y j ax by k

2( ) ,v xi y j zk xi y j axx byy k

2 2 2 21 12 2

4( ) ,T Mv M x y axx byy

212

2 2 2 2 2 2 212

( ) ( ) ,

U Mgz K OP

Mg ax by K x y ax by

2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 12 2

4( ) ( ) ( ) ,

L T U

M x y axx byy Mg ax by K x y ax by

4 ( ) ,L

M x ax axx byyx

2 2 21 12 2

8( ) 2 2 4 ( )L

M axx byy ax Mgax K x y ax ax byx

30

4 ( ) ,L

M y by axx byyy

2 2 21 12 2

8( ) 2 2 4 ( )L

M axx byy ay Mgby K y x by ax byy

,d L

dt x

,

d L

dt y

0,d L L

dt x x

0,d L L

dt y y

2 2 2 3

2 2 2

(1 4 ) 2 2

2 4 ( ) 4 0,

M a x x x agM K a Kx

x abKy aM ax by abMyy

2 2 2 3

2 2 2

(1 4 ) (2 ) 2

2 4 ( ) 4 0,

M b y y bgM K y b Ky

y abKx bM ax by abMxx

31

Ligaduras no holónomas

1 2 3, , ,q q q q

3

1 1

1

( , ) ( , ) 0,i i

i

A r t x A r t

1 1 11 1 12 2 13 3 1 1

1 11 1 12 2 13 3

( , ) ( , ) ( , ) ,

( , ) ( , ) ( , ) ,

CNf A r t e A r t e A r t e b

b A r t e A r t e A r t e

( , ),r r q t

1x2x

3x

Triedro físico (3-D)

P

M r

Coordenadas generalizadas:

3 3

1 1 1 1 1

1 1

( , ) , ( , ) ,j j

i j j

j ji

x xB q t A B q t A A

q t

1 2 3( , , , )i ix x q q q t

,ja

Ligadura no holónoma ideal

Trabajo en un

desplazamiento

pequeño

3

1 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1

1

( ) ,CN

j j

j

f vdt A e x e x e x e dt A dt

3

1 1

1

( , ) ( , ) 0,i i

i

B q t q B q t

32

Teorema:

3 3 3

1 1 1 1 11

1 1 11 1

( ) ( ) ,j

j j j j j

j i i

xrA e a A e A B

q q

3

1 1

1

1, ,,

0, ,

( 1,2,3; 1,2,3)

j j

j i ji

j

i jb B a a a

i j

i j

1 1 11b a B 1x

2x

3x

Triedro físico (3-D)

P

M r

Demostración:

1 2 12 1 3 13, ,b a B b a B

3 3

1 1 1 1 1 1 1

1 1

, , , ( , ) ( , ) 0,CN j j

j i ji i i

j i

f b b B a a a B q t q B q t

33

Ecuaciones de Lagrange para una partícula con

una ligadura no holónoma (ideal):

1x2x

3x

Triedro físico (3-D)

P

M

*

1

CNF F f r

3

1 1

1

( , ) ( , ) 0,i i

i

B q t q B q t

3 grados de libertad

1 1 1 11 1 2 1 12 1 3 1 13, , ,CN CN CNf a B f a B f a B

1 1 , 1,2,3.i

i i

d L LB i

dt q q

( , , ) ,L q q t T U

Incógnitas: 1 2 3 1( ), ( ), ( ), ( ),q t q t q t t

34

Ecuaciones de Lagrange para una partícula con

dos ligaduras no holónomas (ideales):

1x2x

3x

Triedro físico (3-D)

P

M

* ,CNF F f r

3

1

( , ) ( , ) 0, 1,2ri i r

i

B q t q B q t r

3 grados de libertad

1 1 11 2 21 2 1 12 2 22 3 1 13 2 23, , ,CN CN CNf a B B f a B B f a B B

2

1

, 1, 2,3.r ri

ri i

d L LB i

dt q q

Incógnitas:

1 2 3 1 2( ), ( ), ( ), ( ), ( ),q t q t q t t t

3

1

( , ) ( , ) 0, 1,2ri i r

i

B q t q B q t r

1 2 1 1 2 2 ,CN CN CNf f f b b

35

Ecuaciones de Lagrange para una partícula

moviendose sobre una superficie sin rozamiento y con

una ligadura no holónoma (ideal):

2

1 1

1

( , ) ( , ) 0,i i

i

B q t q B q t

2 grados de libertad

1 1 , 1, 2i

i i

d L LB i

dt q q

Incógnitas:

1 2 1( ), ( ), ( ),q t q t t

2

1 1

1

( , ) ( , ) 0,i i

i

B q t q B q t

1 2

1 1 1 1 11 12, ,CNf b b B a B a N

F

3x

2x

1xP

1a2a

1

CNf

36

Ejemplo (ligaduras no holónomas ideales):

Una partícula de peso Mg se mueve en un triedro inercial x,y,z bajo la

acción de la fuerza de un muelle ideal de constante elástica K y longitud

natural despreciable. El vector velocidad de la partícula es paralelo en

cada instante al vector

siendo una constante conocida. Obtener las ecuaciones de Lagrange

que describen el movimiento de la partícula.

( ) (2 sin ) (3 cos ) (4 sin ) ,u t t i t j t k

x

y

z

Mg

37

Solución (ligaduras no holónomas ideales):

v xi yj zk Coordenadas generalizadas x,y,z,

v paralelo a ( )u t ,2 sin 3 cos 4 sin

x y z

t t t

2 ligaduras no holónomas:

(1) : (3 cos ) (2 sin ) 0,t x t y 11 12

13 1

(3 cos ), (2 sin ) 0,

0,

B t B t

B B

(2) : (4 sin ) (3 cos ) 0,t y t z 22 23

21 2

(4 sin ), (3 cos ),

0,

B t B t

B B

2 2 21

2( ),T M x y z 2 2 21

2( ),U Mgz K x y z ,L T U

1 11 12 13 2 21 22 23( ) ( ) ,CNd L Lf i B i B j B k B i B j B k i

dt x x

1 11 12 13 2 21 22 23( ) ( ) ,CNd L Lf j B i B j B k B i B j B k j

dt y y

1 11 12 13 2 21 22 23( ) ( ) ,CNd L Lf k B i B j B k B i B j B k k

dt z z

38

Solución (ligaduras no holónomas ideales):

(3 cos ) (2 sin ) 0, (1)t x t y

(4 sin ) (3 cos ) 0, (2)t y t z

1(3 cos ),Mx Kx t

1 2(2 sin ) (4 sin ),My Ky t t

2 (3 cos ),Mz Kz Mg t

Incógnitas: 1 2( ), ( ), ( ), ( ), ( ),x t y t z t t t

Condiciones iniciales:

0 0 0( ), ( ), ( ),x t y t z t

0 0 0( ), ( ), ( ),x t y t z t Compatibles con (1) y (2) !!