Introducción a la Simulación. Introducción Definición de Simulación Ventajas y desventajas ...

Introducción a la Simulación

Introducción Definición de Simulación Ventajas y desventajas Definición de Sistemas Sistemas estáticos y dinámicos Definición de modelos Características deseables de un modelo de simulación Concepto de experimento

Temas a tratar en este capítulo

Introducción

¿La experiencia es el mejor maestro?

¿Cómo adquirir de manera rápida y económica un conocimiento que se obtiene a través de la experiencia?

¿Qué hacer cuando el modelo resultante es muy complejo y no es posible o práctico desarrollar una metodología de solución basada en el análisis matemático?

Simulación

Definición

Definición de simulación

DEFINICIÓN A:

Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema.

Robert E. Shanon

DEFINICIÓN B:

Técnica numérica para conducir experimentos en computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo.

T.N.Naylor


DEFINICIÓN C:

La simulación es la práctica de construir modelos que representan sistemas del mundo real o sistemas hipotéticos futuros, y experimentar con ellos con el fin de explicar el comportamiento del sistema, mejorar su rendimiento o diseñar nuevos sistemas con ciertas características predefinidas.

B. Khoshnevis


SIMULACIÓN

SIMULACION DE SISTEMAS

ETAPAS PARA REALIZAR UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN

Definición del sistema Análisis del sistemas Formulación del modelo Selección del lenguaje Codificación del modelo Implementación del modelo en la computadora Validacion Experimentación Implantación Monitoreo y Control


Factores a considerar en el desarrollo del modelo de Simulación

Generación de Variables aleatorias no uniformes Lenguajes de programación Condiciones iniciales Tamaño de la muestra Diseño de experimentos


Prueba de medicinas en animales de laboratorio. En este caso, las respuestas del animal simulan las respuestas de los humanos.

Manejar automóviles en pistas de pruebas. Aquí la pista de pruebas simula el ambiente que enfrentará el automóvil.

Comprobar diseños de alas de aviones en túneles de viento. El tunel simula las condiciones de vuelo.

Entrenar pilotos de aerolíneas en cabinas verdaderas bajo condiciones simuladas.

Finalidad: Crear un ambiente posible de obtener información sobre acciones alternativas por la vía de la experimentación.


Ventajas y Desventajas en el uso de la simulación

Una vez construido, el modelo puede ser modificado de manera rápida con el fin de analizar diferentes políticas o escenarios

Generalmente es mas barato mejorar el sistema vía simulación que harlo directamente en el sistema real.

Es mucho mas sencillo comprender y visualizar los métodos de nsimulación que los métodos puramente analíticos

Los métodos analíticos se desarrollan casi siempre, para sistemas relativamente sencillos donde suele hacerse un grán número de suposiciones o simplificaciones, mientras que con los modelos de simulación es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con mayor detalle.

En algunos casos la simulación es el único medio para lograr una solución.

Ventajas


Ventajas y Desventajas en el uso de la simulación

Los modelos de simulación en una computadora son costosos y requieren mucho tiempo para desarrollarse y validarse.

Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrar soluciones “óptimas” lo cual repercute en altos costos.

Es difícil aceptar los modelos de simulación.

Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas.

La solución de un modelo de simulación puede dar al analista un falso sentido de seguridad.

Desventajas


Ejemplo de simulación por computadora

El personal de la comisión de la lotería Nacional acaba de diseñar una nueva lotería instantánea. Como se muestra en la figura siguiente, cada tarjeta de lotería contiene tres filas. En cada renglón, hay dos casillas. Una de las cuales tiene un valor oculto de $1 y la otra de $5. El jugador raspa cualquier casilla de cada renglón para descubrir el valor asociado en dólares. Si los tres números oculto son iguales, el jugador gana esa cantidad. Antes de comprometer al Estado en este juego e imprimir una gran cantidad de tarjetas, usted como director de la comisión de la lotería, desea evaluar la factibilidad económica del juego. Entre las preguntas que debe contestar esta la siguiente: ¿Cuál es la mínima cantidad que el estado puede cobrar por esta tarjeta y todavía esperar tener ganancias?

Tarjeta de

lotería

SIMULACIÓN


Solución

Aplicando la teoría de probabilidades

Prob(ganar $1) = P(casilla 1 = $1)* P(casilla 2 = $1)* P(casilla 3 = $1)= ½*½*½=1/8

Prob(ganar $5) = P(casilla 1 = $5)* P(casilla 2 = $5)* P(casilla 3 = $5)= ½*½*½=1/8

Ganancia esperada = 1(1/8) + 5(1/8) =3/4=0.75

Cada tarjeta debería valer al menos $ 0.75

SIMULACIÓN


Solución

Aplicando la simulación

Simulación Física: Imprimiendo unas 100 tarjetas de lotería

Simulación por Analogía: Utilizando una moneda

Simulación por computadora: Utilizando un programa de computadora y generando números aleatorios para seleccionar las casillas que serán raspadas

cara cruz

0.5

1.0

rU(0,1)

SIMULACIÓN


“Video Milenio”, es una tienda que compra videos de estreno a $25 la copia, los renta a $3 el día y después de un mes los vende a otra tienda en $5 la copia. Basandose en datos anteriores, la tienda ha estimado las siguientes probabilidades de demanda diaria para cada película.

Como gerente de “video milenio”, usted desea decidir cuantas copias de cada nueva película pedir 0,1,2,3,4

SIMULACIÓN

No. de copias

Probabilidad

01234

0.150.250.450.100.05


Solución Aplicando la teoría de probabilidades

SIMULACIÓN

No. de copias

ingresos de acuerdo a la Demanda ingresos esperadospor día

Ganancia total esperadapor mes

0 1 2 3 4

01234

00000

03333

03666

03699

036912

02.554.354.84.95

056.590.58468.5

P(x) 0.15 0.25 0.45 0.10 0.05

Ganancia total esperada= (ingresos esperados durante un mes) + (precio de venta de las N copias) – (costo de compra de las N copias)


Solución

Aplicando la simulación por computadora

0 1

0.5

1.0

rU(0,1)

SIMULACIÓN

2 3 4

Demanda

Simulación

Generación de números aleatorios

Generación de Números Aleatorios rectangulares

SIMULACIÓN

Características:

•Uniformemente distribuidos•Estadísticamente independientes•Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2•Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12•Periodo largo (cantidad de elemento q se generan)

Generador Congruencial

La idea es hallar un generador que sea fácil de implementar en la computadora, que sea rápido y que no ocupe mucho espacio memoria, estos requerimientos pueden ser satisfechos con una función matemática sencilla que genere una sucesión de números que satisfagan las condiciones que definen una conjunto de números aleatorios.

Generador Congruencial

Definición: se dice que los enteros a es congruente con b módulo m si a es el resto de la división entera de b entre m. La notación utilizada es:

a b mod m

Ejemplo: 3 es congruente con 17 módulo 7 i.e. , en efecto la división entera de 17 entre 7 da como cociente 2 y como resto 3.

El generador congruencial está caracterizado por los parámetros enteros positivos a, c y m, donde a y c son generalmente menores que m.


SIMULACIÓN

Métodos congruenciales mas populares

•Congruencial MultiplicativoXn+1=aXn mod m

•Congruencial Mixtori+1=(c + a*ri) mod m

Xo=ro= semilla (ro >0)a= el multiplicador (a >0)c= constante aditiva (c >0)M= módulo (m > Xo; m > a; m> c)

Reglas para la selección de las constantes

c debe ser un entero impar no divisible ni por 3 ni por 5

a usualmente debe ser cualquier constante. Donde a mod 8 = 5

m debe ser el número entero mas grande que la computadora acepte


SIMULACIÓN

ri+1=(c+a*rn) mod m ri+1=(7+ 5rn) mod 8

Ejemplo: Generar números aleatorios utilizando el generador congruencial mixto si a=5, c=7, X0=4, m=8 y encontrar el periodo del generador

n ri (7 + 5Xn) mod 8

ri+1 Números uniformes

01234567

43650721

27 mod 822 mod 837 mod 832 mod 87 mod 842 mod 817 mod 812 mod 8

36507214

3/76/75/70/77/72/71/74/7

Periodo =8

ri+1/(n-1)


SIMULACIÓN

Ejemplo: Generar números aleatorios utilizando el generador congruencial mixto si c=11,a=13,, ro=6, m=15 y encontrar el periodo del generador

n ri (13ri+11) mod15

ri+1 Números uniformes

012345...

61413...

89 mod 15193 mod 15180 mod 15...

14130...

14/1413/140/14...

ri+1=(a*rn + c) mod m ri+1=(13*ri + 11) mod 15

Este es un excelente generador y está definido por los siguientes parámetros:

a=75=16807 c = 0 m = 231-1=2147483647

Donde:

Zn+1 = (c+aZn )mod m

Propiedades: Se dice que es un generador multiplicativo debido a que c=0. Los generadores con c≠0 son llamados generadores mixtos Este generador tiene un periodo 231 - 2

Generador Minimal Standard de Park-Miller:

•Debido a que las computadora actuales trabajan con palabras (word) de 32 bits y m -1 es prácticamente el entero más grande que puede generar, el producto puede dar lugar a fenómenos de overflow i.e. números que la computadora no puede representar, para evitar esos problemas se recurre a un artificio matemático que consiste en calcular Zi+1 con la siguiente relación:

mrCaRZ nnn 1

qdivZC nn qZR nn mod

Donde:

Los parámetros q y r satisfacen la relación m= aq+ r con r < q. La mejor elección para estos últimos es q = 127773 y r = 2836.

Generador Minimal Standard de Park-Miller:

nnn rCaRZ 1

01nZsi

y mod= residuodiv= cociente entero

Ejemplo Numérico: se va generar 5 valores con el generador de Park-Miller considerando como semilla Zo = 2001002000

nZ nC nR nnn rCaRZ 1 1nr

2001002000 15660 76820 1246701980 0.58054

1246701980 9757 20819 322234081 0.15005

322234081 2521 118348 1981925280 0.92291

1981925280 15511 38277 599332343 0.27909

599332343 4690 76973 1280384371 0.59623

Simulación

Pruebas estadísticas para los números pseudoaleatorios

Pruebas estadísticas de números pseudoaleatorios

Cualquier variable aleatoria no – uniforme (normal, exponencial, poisson,etc) es obtenida a partir de números uniformes(0;1), por lo que el principal énfasis en pruebas estadísticas deberá ser con respecto al generador de números pseudoaleatorios, ya que cualquier deficiencia estadística en la variable aleatoria no uniforme, se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de números pseudoaleatorios.

Prueba de promedios

100

101)(

xsi

xsixf

Función de densidad uniforme

En esta expresión x es una variable aleatoria definida entre 0 y 1

0 1

1

a b

ab 1

f(x) f(x)

Con area = 1

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria uniformemente distribuida estan dadas por las siguientes expresiones

x

dxxxXVAR0

2 4/1)(

Valor Esperado

2

1|

2)1()(

)()(

10

1

0

2

xdxxxE

dxxxfxE

Media Varianza

x

dxxfxXVAR0

2 )()()(

x

dxxfxxXVAR0

22 )(2)(

x

dxxxXVAR0

22 )1()2/1()2/1(2)(

12

1|

4

1

2

1

3

1)( 1

023 xxxXVAR

Prueba de promedios

Prueba de hipotesis de promedios

2/1:

2/1:

aalternativHipotesis

HonulaHipotesis

N

UnUUUX

...321

12/1

)2/1( NxZo

Si |Zo| < Z/2

No se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios tienen una media de 0,5

Prueba de promedios


2/1:

2/1:


HonulaHipotesis

N

UnUUUX

...321

Nx

Z c )(2/

Si la media de los datos se encuentra entre Xc1 y Xc2, No se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios tienen una media de 0,5

n

zxc

2/1 2

1

n

zxc

2/2 2

1

Prueba de promedios


2/1:

2/1:


HonulaHipotesis

Si la media de los datos se encuentra entre Xc1 y Xc2, No se puede rechazar la hipótesis de que los números pseudoaleatorios tienen una media de 0,5

n

Stx nc

1,2/1 2

1

n

Stx nc

1,2/2 2

1

Cuando es desconocida

Prueba de promedios

Prueba de hipotesis de varianza

12/1)var(:

12/1)var(:

xaalternativHipotesis

xHonulaHipotesis

Ho1-

1/12S2c1 S2

c2

21-/2,n-1 2

/2,n-1

1,2/12

2

12)1(

ncSn

1,2/2

2

22)1(

ncSn

1

)( 2221

1,2/1

nS

n

c

1

)( 2222

1,2/

nS

n

c

Si la variancia de los números se encuentra entre S2c1 y S2

c2 no se puede rechazar HO

Prueba de la varianza

Prueba de la forma

1 2 3 4 5

observadasesperadas0

1

2

3

4

5

6

Intervalos

Distribuciön de Frecuencias

observadas

esperadas

M

i i

ii

E

OEX

1 `

22 )(0

2,1

20 kmXXsi No se puede rechazar que

los números pseudoaleatorios son uniformesM= número de intervalos

K= Números de parámetros de la distribución

Prueba de Smirnov -Kolmogorov

Algoritmo:a) Generar n números aleatoriosb) Ordenar en forma ascendentec) Calcular f = i/nd) Restar término a término los números del paso 2 con el valor f

del paso 3 y seleccionar la máxima diferencia D=|r-f|e) Buscar en tablas el estadístico dn,%

f) Compara el valor Dmax con dn,

Si Dmax < dn, no se puede rechazar que los números pseudoaleatorios sean uniformes

Prueba de Smirnov -Kolmogorov

Ejemplo:

Posición i

Aleatorio r

f |r-f|

1 0.0144 0.20 0.1856

2 0.1484 0.40 0.2516

3 0.3325 0.60 0.2675

4 0.715 0.80 0.085

5 0.9312 1 0.0688

Dmax

d5,5%= 0.563

Como Dmax < d5,5% no se puede rechazar que los números pseudoaleatorios son uniformes

Prueba del Poker

1 Pachuca

1 quintilla

1 full

1 poker

1 tercia

2 pares

1 par

30240.010

6*

10

7*

10

8*

10

9*

10

10

00010.010

1*

10

1*

10

1*

10

1*

10

10

009.02

2*

3

5*

10

1*

10

1*

10

9*

10

1*

10

10

00450.04

5*

10

9*

10

1*

10

1*

10

1*

10

10

07200.03

5*

10

8*

10

9*

10

1*

10

1*

10

10

10800.02

3*

2

5*

10

8*

10

1*

10

9*

10

1*

10

10*

2

1

50400.02

5*

10

7*

10

8*

10

9*

10

1*

10

10

Prueba del Poker

Algoritmo:a) Generar n números aleatoriosb) Calcular la frecuencia esperada Ei,donde Ei= nPi

c) Observar cada número aleatorio e indicar si es un par, dos pares,..,etc y construir una tabla de frecuencias observadas Oi

d) Calcular

7

1

2)(

i i

ii

E

OEC

e) Buscar en la tabla 2

f) Si C <= 2 no se puede rechazar que los números son independientes

Ejemplo

Aleatorio

jugada

0.314250.713270.846390.935140.102010.322380.157510.146740.836350.55243

Pachuca1 parPachucaPachuca2 pares2 pares2 pares1 par1 par1 par

Juagadas Ei Oi

1 par2 pares1 tercia1 full1 poker1 quintillapachuca

5.041.080.720.090.0450.0013.0240

4300003

48.4)(

1 `

220

M

i i

ii

E

OEX

25%,6=12.59

2%5,6

20 XX No se puede rechazar que los

números pseudoaleatorios son independientes

Prueba del Poker

Probabilidad de poker * n

Prueba “Runs Up and Down”

Esta prueba consiste en las siguientes etapas:Se genera una sucesión de símbolos a partir de la sucesión Nrrr ,....,, 21

utilizando la regla

1

1

ii

ii

rrsi

rrsi

Se cuenta el número R de corridas o “runs” en la sucesión . Una corrida se define como sucesión de símbolos del mismo tipo + o -.

...

El resultado teórico pertinente en esta prueba es que el número de corridas R sigue una distribución normal de media y varianza o lo que es equivalente, la variable aleatoria sigue una distribución estándar (normal de media cero y varianza uno). En estas relaciones N representa el tamaño de la sucesión.

3

12 N

90

29162

N

R

Z

Por cada sucesión de signos iguales se entiende por una corrida

Para un nivel de confianza C%, la prueba no rechaza que los valores de la sucesión sean independientes si se verifica:

donde se obtiene de las tablas de la distribución estándar que corresponde al parámetro con . Si la anterior desigualdad no se verifica, no se acepta que son independientes.

2/2/ ZZZ

2/Z

2/1 100*)1( C


Ejemplo Numérico: determine con un nivel de confianza de 95% si los valores de la tabla son independientes

0.0399 0.1046 0.9371 0.1689 0.98950.3855 0.9555 0.3288 0.5978 0.09950.1754 0.7370 0.9205 0.4621 0.15910.3264 0.5286 0.9581 0.0683 0.19640.6957 0.6877 0.3951 0.3590 0.85240.2412 0.6659 0.2769 0.0649 0.0315 La sucesión de símbolos – y + correspondiente a los N = 30, sería entonces:


Numero de corridas = 18

donde se observa corridas. Según la teoría la media de corridas sería y la varianza , lo que da Para un nivel de confianza de 95%, se tiene =0.975, que según la tabla de la distribución estándar da Como se verifica , entonces no se rechaza la independencia de los valores de la sucesión.

18R

7.193

12

N 3.10

90

29162

N

529.0

RZ

2/1 96.12/ Z

96.10529196 2/2/ ZZZ


Introducción a la Simulación. Introducción Definición de Simulación Ventajas y desventajas ...

Documents

Transcript of Introducción a la Simulación. Introducción Definición de Simulación Ventajas y desventajas ...