Introducción a la Dinámica

No-Lineal

Algunos ejemplos de Sistemas Experimentales

Presentaremos algunos sistemas poco conocidos que ilustran

algunos conceptos de estabilidad.

Formación de patrones en materia Granular

Se coloca un contenedor con balines muy pequeños y el contenedor se hace oscilar.

Z= Asen ω t g: aceleración de la gravedad

: aceleración del contenedor

Γ= Aω2

g2= 4π

2 Af 2

g

Γ1Γ1

Capa estática

Choques

Aω2

Algunos PatronesObservados dependiendo de los parametros del sistema: frecuencia de oscilación y cociente de aceleraciones (Gamma)

Observación de Oscilaciones

Convención Marangoni de Onda Larga

Una capa delgada de fluido (del orden de un milímetro) se coloca en un contenedor que se calienta desde abajo y se enfría desde arriba.

Para ciertos gradientes de temperatura, el fluido permanece en reposo. Si se aumenta mas allá de un valor crítico de temperatura, inicia un movimiento de convección.

La primera inestabilidad que se observa en la superficie del fluído es la hexagonal: el fluido sale desde el centro de los hexágonos y baja por los lados.

Si la capa de fluido es muy pequeña, los hexágonos desaparecen y se forma un agujero y la capa se rompe: esta es la primera “inestabilidad” de onda larga. La región obscura es un agujero en la capa del fluído

Rebote de un Chorro de un Liquido

Un chorro de líquido incide sobre un fluido en rotación. Al variar la velocidad de rotación, varias cosas pueden observarse.

El chorro entra en el flujo rotante y rebota:

Pero con otra velocidad de rotación el chorro rebota 2 veces:

Flujo de CouetteUn fluido se coloca entre dos cilindros concéntricos de diferentes radios que pueden rotar a diferentes velocidades. Cuando estas velocidades varian se pueden observar diferentes patrones.

Dependiendo de los parámetros puede verse la formación de cilindros:

O la formación de ondas:

O mas aun, espirales:

O a patrones en lo que los cilindros se tuercen:

O el paso a la turbulencia:

Reacciones QuímicasEn un recipiente con fluido se inyecta 2 substancias que reaccionan (se difunden) formando patrones que asemejan la duplicación de células. Se muestran las observaciones experimentales y las simulaciones numéricas.

Lo asombroso es que pueden reproducirse en una computadora:

Tanque en Rotación. Se hace rotar un tanque en el que se bombea fluido desde su base. Se agregan partículas “trazadoras” que permiten “visualizar” sus trayectorias. ¿Cómo se moverán las partículas?

Dependiendo de la velocidad de rotación y otros parámetros del sistema, se pueden observar vórtices y la partícula quedar “atrapada” en ellos:

O bien algunas partículas pueden escaparse y viajar en un “jet”.

La figura muestra el viaje típico de partículas en función del tiempo:

Película Delgada de JabónDebajo de una película horizontal delgada de

jabón se colocan bandas de cuero que giran en direcciones opuestas pero con la misma velocidad. Al moverse las bandas de cuero arrastran el aire entre las bandas y la película de jabón, en tal capa de jabón, se forman vórtices. Dependiendo de la velocidad de las bandas los vórtices tienen diferentes comportamientos. Al ir aumentando la velocidad pueden haber transiciones hasta llegar a la turbulencia. La ecuación de Navier-Stokes se utiliza para describir este fenómeno.

La siguiente figura muestra uno de esos patrones.

Inyección de Aire en un FluidoEl sistema consiste de una capa delgada de

liquido al que se le inyecta aire ya sea desde una parte lateral del recipiente que contiene al fluido o desde el centro, como puede verse en las siguientes figuras:

Inyección de Aire desde el centro:

Dependiendo de la velocidad del aire se pueden observar diferentes patrones. La siguiente figura es un ejemplo de cuando el aire se inyecta desde el centro.

Fracturando Algunos Materiales

El experimento consiste en someter a esfuerzo una placa de material al que previamente se le ha hecho una pequeña fractura. Dependiendo de la tensión a la que se someta, la velocidad de fractura avanza a lo largo del material de diferentes maneras. Se muestra el dispositivo experimental:

La figura muestra como queda la superficie fracturada:

La siguiente figura muestra las simulaciones numéricas de la fractura:

Todos estos sistemas (y muchos otros) cambian su estado de movimiento (bifurcación) de acuerdo a la variación de sus parámetros.

La herramienta matemática básica que se utiliza, se estudia en el curso de Dinámica No Lineal y Caos. Y es aplicable en varias áreas del saber humano: economía, biología, tráfico vehicular, dinámica de fluidos, física de plasmas, mecánica clásica, mecánica cuántica, astrofísica, cosmología, étc.