Conservación de la energía mecánica

José Pablo Pineda Vilca, Javier Charca Zamata

Laboratorio de Física Experimental, Escuela Profesional de Física, Universidad Nacional de San Agustín, Arequipa 25/06/2015.

RESUMEN

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En este experimento, cuyo objetivo general es comprobar la variación de la energía mecánica en un sistema conservativo y en un sistema no conservativo, al experimentar con un carrito (M=(501.45±0.05) g) podemos despreciar la fuerza de fricción porque consideramos que entre las ruedas del móvil y la pista es cero, sin considerar también el momento de inercia de las ruedas, y comprobar satisfactoriamente la conservación de la energía del carrito. Lo cual no ocurre cuando se trabaja (experimenta) con un bloque sólido, entonces se debe considerar la fuerza de fricción entre la base del bloque (M 1=(521.35± 0.05)g ) y la pista, al utilizar el método energético para el sistema no conservativo, pudimos calcular el coeficiente de fricción. Como valor de la aceleración de la gravedad se utilizó el aproximado en Arequipa (g ≈ 9.78 m /s2¿. Resultándonos el valor del coeficiente de fricción cinético μ=0.44898.

Introducción

Cuando un clavadista se tira de un trampolín a la alberca, golpea el agua rápidamente, con mucha energía cinética. ¿De dónde proviene esa energía? La fuerza gravitacional (su peso) realiza trabajo sobre el clavadista al caer. La energía cinética del clavadista-energía asociada con su movimiento-aumenta en una cantidad igual al trabajo realizado.Sin embargo, hay otra forma muy útil de ver el trabajo y la energía cinética. Este enfoque se basa en el concepto de energía potencial, que es energía asociada a la posición de un sistema, no a su movimiento. En este enfoque, hay energía potencial gravitacional incluso cuando el clavadista está parado en el trampolín.

Al caer, no se agrega energía al sistema Tierra-clavadista, sino que una reserva de energía se transforma de una forma (energía potencial) a otra (energía cinética).

Demostraremos que, en algunos casos, la suma de las energías cinética y potencial de un sistema, llamada, energía mecánica total, es constante durante el movimiento del sistema.

Esto nos llevará al enunciado general de la ley de conservación de la energía, que es uno de los principios más fundamentales y trascendentales de la ciencia.Información teórica

[1] ENERGÍA MECÁNICA

La energía mecánica total de un sistema es constante cuando actúan dentro del sistema sólo fuerzas conservativas. Asimismo podemos asociar una función energía potencial con cada fuerza conservativa. Por otra parte, la energía mecánica se pierde cuando esta presentes fuerzas no conservativas, como la fricción.

La conservación de la energía requiere que la energía mecánica total de un sistema permanezca constante en cualquier sistema aislado de objetos que interactúan sólo a atreves de fuerzas conservativas.

Figura1: Energías que actúan en un movimiento de un patinador.

ENERGIA POTENCIAL

Un objeto también puede realizar trabajo por efecto de la energía que produce su posición en el espacio. Cuando un objeto cae en un campo gravitacional, el campo ejerce una fuerza sobre el en la dirección de su movimiento, efectuando trabajo sobre él, con lo cual incrementa su energía cinética. Considere un ladrillo que se dejó caer desde el reposo directamente sobre el clavo de una tabla que está horizontal sobre el suelo. Cuando es soltado el ladrillo cae hacia la tierra ganando velocidad y, en consecuencia, ganando energía cinética. Gracias a su posición en el espacio, el ladrillo tiene energía potencial (tiene el potencial para hacer trabajo), la cual se convierte en energía conforme cae. En el momento en que el ladrillo llega al suelo, efectúa trabajo sobre el clavo encajándolo en la tabla. La energía que un objeto tiene debido a su posición en el espacio recibe el nombre de energía potencial gravitacional. Es la energía mantenida por un campo gravitacional y transferido al objeto conforme este cae.

Las unidades de la energía potencial gravitacional son las mismas que las del trabajo. Esto significa que la energía potencial pude expresarse en joule, erg o pie/libra. La energía potencial, como el trabajo y la energía cinética, es una cantidad escalar.

ENERGIA CINETICA Y EL TEOREMA DEL TRABAJO

[2] Consideremos un sistema que consiste de un solo objeto, imaginemos un bloque de masa m que se mueve a través de un desplazamiento dirigido hacia la derecha bajo la acción de una fuerza neta ∑ F , también dirigida hacia la derecha. Se sabe de la segunda ley de Newton que el bloque se mueve con una aceleración a. Si el bloque se mueve a través de un desplazamiento ∆ r=∆ x i=( x f −xi i . Anexosrafia Recomendaciones perimento¿ ) i, el trabajo neto realizado

sobre el bloque de fuerza neta∑ F es:

W neto=∫x i

x f

∑ Fdx

Al aplicar la segunda ley de Newton, se sustituye para la longitud de la fuerza neta ∑ F = ma y después se realizan las siguientes manipulaciones de la regla de la cadena en el integrando:

W neto=12

mv f2−1

2m vi

2

Donde v i es la rapidez del bloque cuando está en x =v i y v f es su rapidez en x f , la

cantidad 12

m v2 representa la energía asociada con el movimiento llamada energía

cinética (K) por lo tanto la formula quedaría así:

W neto=K f −K i=∆ K

Cuando se consume trabajo en un sistema, y el único cambio en el sistema es en su rapidez, el trabajo neto consumido en el sistema es igual al cambio en energía cinética del sistema

Sistemas Conservativos

Fuerzas conservativas

Son las fuerzas que se encuentran en la naturaleza pueden dividirse en dos categorías: conservativas y no conservativas.

Una fuerza es conservativa si el trabajo que hace sobre una partícula que se mueve entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria seguida por la

partícula. Además, el trabajo hecho por una fuerza conservativa ejercida sobre una partícula que se mueve por una trayectoria cerrada es cero.

La fuerza de la gravedad es conservativa. El trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre un objeto que se mueve entre dos puntos cualesquiera cerca de la superficie de la tierra es:

WG=mgyi−mgyf

A partir de esto de esto vemos que WG sólo depende de las coordenadas inicial y final del objeto y, en consecuencia es independiente de la trayectoria. Además, WG es cero cuando el objeto se mueve por cualquier trayectoria cerrada (donde yi= yf ).

Podemos asociar una función de energía potencial con cualquier fuerza conservativa.

Ug=mgy

La energía potencial gravitacional es la energía almacenada en el campo gravitacional cuando el objeto se levanta contra el campo.

Las funciones de energía potencial son definidas sólo para fuerzas conservativas. En general, el trabajo W hecho sobre un objeto por una fuerza conservativa es igual al valor inicial de la energía potencial asociada al objeto menos el valor final:

Wc=Ui – Uf

Fuerzas no conservativas

[3] Una fuerza es no conservativa si produce un cambio en la energía mecánica. Por ejemplo, si alguien mueve un objeto sobre una superficie horizontal y lo regresa a la misma posición y al mismo estado de movimiento, pero encuentra que fue necesario realizar una cantidad de trabajo neta sobre el objeto, entonces algo debe haber disipado esa energía transferida al objeto. Esa fuerza disiparía se conoce como fricción entre la superficie y el objeto. La fricción es una fuerza disiparía o “no conservativa”. Por contraste, si el objeto se levanta, se requiere trabajo, pero la energía se recupera cuando el objeto desciende. La fuerza gravitacional es una fuerza no disipadita o “conservativa”.

Materiales y métodos

Los materiales y equipos necesarios para el desarrollo satisfactorio de las mediciones se obtuvieron del mismo Laboratorio de Física Experimental, los materiales y equipos usados son: un contador digital DAF-UNSA, dos sensores ópticos DAF- UNSA, seis cables de 50 cm, una mordaza de mesa, dos trípodes, tres mordazas universales, una varilla de 25 cm, tres varillas de 50 cm, un carril metálico, un carrito, una balanza digital y una Regla de 50 cm.

Para el sistema conservativo:

Primero armamos el equipo como se muestra en la Figura 2. La rampa debe elevarse a una altura h0. Luego conectamos los cables azul, rojo y negro entre los conectores de las barreras ópticos 1 y 2 y el contador digital tal como se muestra en la Figura 2. Los sensores ópticos deben estar bien ubicados y alineados con el asta del carrito. El primer sensor lo ubicamos en la posición inicial del movimiento del carrito (punto S0) y el segundo sensor lo ubicamos en el punto S1, a una distancia d1.Ubicamos el carrito en la posición S0 de tal manera que siempre inicie el movimiento en el tope del carril (tornillo). Soltamos el carrito y registrar el tiempo marcado en el contador. Repetimos este paso 8 veces. Medir la altura h de la mesa y el punto S. Trasladamos el sensor óptico 2 a las posiciones S2, S3, y así sucesivamente, y repetimos los pasos anteriores. Medimos la masa del carrito.Con los datos experimentales calculamos la energía cinética y la energía potencial del carrito, en cada punto Si y graficar K, U y E en función de distancia.

Figura 2: Equipo armado listo para la toma de datos.

Para el sistema conservativo:

Cambiamos el carrito por un bloque sólido de masa m medimos la masa, como en la Figura 3. Escogimos una distancia ∆S en la rampa, y colocamos los sensores en cada posición Si, realizamos las medidas correspondientes para medir la velocidad instantánea en cada punto Si medimos la altura h correspondiente para cada punto Si. Medimos la altura hi correspondiente para cada punto Si. Usando el método de energías, determinamos el

coeficiente de fricción cinético para el intervalo ∆S. Escogemos otro ∆S y repita el procedimiento anterior para determinar el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la superficie de la rampa.

Figura 3: Equipo armado listo para la toma de datos, que en este caso el carrito será reemplazado por un bloque sólido.

Finalmente hacer los análisis correspondientes.

Resultados y discusiones

Como se explicó anteriormente en los métodos y recomendaciones a seguir, se registraron 10 datos del tiempo para cada distancia ∆S. La altura del sensor 1 (posición fija) fue h0=(33.0± 0.1)cm. La masa del carro fue:

M=(501.45 ±0.05) g ; medido con balanza analógica.

Tabla 1

Promedio de los datos medidos del tiempo

nAltura delsensor 2 (m)

Distancia ∆S (m)

TiempoPromedio (s)

Incertidumbre (s)×10−3

1 0.309 0.138 0.35916 0.636252 0.294 0.195 0.44063 2.665943 0.289 0.212 0.45114 2.606254 0.272 0.268 0.51098 1.525625 0.258 0.355 0.58075 2.83752

6 0.232 0.45 0.67356 5.010637 0.202 0.6 0.76146 4.273758 0.168 0.75 0.86595 1.906259 0.143 0.85 0.91350 4.1756210 0.105 1.02 0.96395 0.29219

En la Tabla 1 se muestra solamente el promedio de los 8 datos que se registraron por cada distancia ∆S.

El promedio del tiempo se calculó de la siguiente manera:

t=1n∑i=1

n

t i ; n=8

Para calcular la incertidumbre se utilizó:

σ t=√∑i=1

n

(t i−t )2

n−1

; n=8

Luego se nos pide calcular la energía cinética, energía potencial y energía mecánica del sistema en cada punto Si.Obviamente antes de hallar la energía cinética debemos calcular la velocidad instantánea del carrito en cada posición Si. Como también es necesario asumir la aceleración de la gravedad de Arequipa (g ≈ 9.78 m /s2¿, para así calcular la energía potencial.

Tabla 2

Cálculo de la velocidad por cada ∆S

nAltura delsensor 2 (m)

Distancia ∆S (m)

Velocidadinstantánea (m/s)

1 0.309 0.138 0.776992 0.294 0.195 0.923633 0.289 0.212 0.963044 0.272 0.268 1.082795 0.258 0.355 1.246216 0.232 0.45 1.403097 0.202 0.6 1.620158 0.168 0.75 1.811389 0.143 0.85 1.92836

10 0.105 1.02 2.11241

Como es un plano inclinado, sabemos las alturas y las distancias de un punto respecto a otro, tiene un respectivo ángulo y se puede hallar usando trigonometría haciendo las respectivas prolongaciones y comparamos con un triángulo rectángulo uno de sus catetos seria la altura y la hipotenusa seria la distancia de un punto inicial a otro final como se observa en la Figura 4.

Figura 4: Para calcular el ángulo de inclinación de la rampa se utilizó conocimientos básicos de trigonometría.

Con cada uno de nuestros valores de distancia de la Tabla 1 se calculó un ángulo θ de la siguiente manera:

cosθ=∆ sH i

Obteniendo un promedio de todos nuestros datos: θ=12.92433°

La velocidad instantánea se calculó de la siguiente manera:

v f2=v i

2+2ad

Pero como se inició prácticamente el movimiento del carrito se inició con una velocidad cuyo valor se aproxima a cero, entonces tenemos:

v f2=2 ad …. (i)

Según la segunda ley de Newton:

∑ F=ma

mg senθ=ma

a=gsenθ

Reemplazamos este valor en la ecuación (i):

v f=√2∆ sg senθ ; Donde d=∆ s.

Los datos que se obtuvieron son los siguientes:

Tabla 3

Cálculo de la velocidad por cada ∆S

nAltura delsensor 2 (m)

Distancia ∆S (m)

Velocidadinstantánea (m/s)

1 0.309 0.138 0.776992 0.294 0.195 0.923633 0.289 0.212 0.963044 0.272 0.268 1.082795 0.258 0.355 1.246216 0.232 0.45 1.403097 0.202 0.6 1.620158 0.168 0.75 1.811389 0.143 0.85 1.9283610 0.105 1.02 2.11241

Ahora como sabemos el valor de la velocidad en cada punto, según la Tabla 3, con este resultado hallaremos la energía cinética y como sabemos las alturas en los distintos puntos también podremos hallar la energía potencial.

La energía cinética y la energía potencial y energía mecánica se calculan de acuerdo a las fórmulas:

K=12

mv2 ;U=mgh ; Em=E+U

Con estas fórmulas hallaremos las respectivas energías en joule (J)

Reiterando que (g ≈ 9.78 m /s2¿ en Arequipa.

Tabla 4

Cálculo de las energías para cada ∆S

n Energía cinética (J)

Energía potencial (J)

Energía mecánica (J)

1 0.15137 1.51539 1.666762 0.21389 1.44183 1.655723 0.23254 1.41731 1.649844 0.29396 1.33394 1.627905 0.38939 1.26528 1.654676 0.49359 1.13777 1.631367 0.65812 0.99064 1.648778 0.82265 0.82390 1.646559 0.93234 0.70130 1.6336410 1.11880 0.51494 1.63375

Ya que nos pide graficar la energía cinética, energía potencial y energía mecánica las tres en función del tiempo, como se verá en las Figuras 5, 6 y 7 el comportamiento de dichos datos, que teóricamente lo que tendría que ocurrir es lo siguiente:

*Al aumenta la energía cinética, debería disminuir la energía potencial del carrito ya que vamos disminuyendo la altura del sensor 2.

*Pero la suma de ambos debe ser constante.

Si queremos graficar la energía cinética en función de la distancia necesitamos la siguiente tabla.

Tabla 5

Datos para graficar la energía cinética en función de la distancia

nDistancia ∆S (m)

Energía cinética (J)

1 0.138 0.151372 0.195 0.213893 0.212 0.232544 0.268 0.293965 0.355 0.389396 0.45 0.493597 0.6 0.658128 0.75 0.822659 0.85 0.9323410 1.02 1.11880

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Energía cinética en función de la distancia ∆s

Distancia (m)

Ener

gía

cinéti

ca (J

)

Figura 5: En este gráfico se observa claramente el comportamiento lineal ascendente de la energía cinética.

La función del gráfico de la Figura 5 es:

y=1.0969 x+3¿)

Para graficar la energía potencial en función de la distancia necesitamos la siguiente tabla.

Tabla 6

Datos para graficar la energía potencial en función de la distancia

nDistancia ∆S (m)

Energía potencial (J)

1 0.138 1.515392 0.195 1.441833 0.212 1.417314 0.268 1.333945 0.355 1.265286 0.45 1.137777 0.6 0.990648 0.75 0.823909 0.85 0.7013010 1.02 0.51494

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Energía potencial en función de la distancia ∆s

Distancia (m)

Ener

gía

pote

ncia

l (J)

Figura 6: En este gráfico se observa claramente el comportamiento lineal descendente de la energía potencial.

La función del gráfico de la Figura 6 es:

y=−1.1186 x+1.6554

Ahora si queremos graficar la energía mecánica en función de la distancia necesitamos la siguiente tabla.

Tabla 7

Datos para graficar la energía mecánica en función de la distancia

nDistancia ∆S (m)

Energía mecánica (J)

1 0.138 1.666762 0.195 1.655723 0.212 1.649844 0.268 1.627905 0.355 1.654676 0.45 1.631367 0.6 1.648778 0.75 1.646559 0.85 1.6336410 1.02 1.63375

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.21.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

1.85

1.9

Energía mecánica en función de la distancia ∆s

Distancia (m)

Ener

gía

mec

ánic

a (J)

Figura 7: En este gráfico se observa claramente el comportamiento lineal de la energía mecánica, que tiende a ser constante.

Sucedió lo que se supuso, la energía cinética aumentó y la energía potencial disminuyó, pero la suma de ambas energías prácticamente permaneció constante, que obviamente no sucedió porque en la vida real, se toma en cuenta la fricción y el momento de inercia de las ruedas del carrito.

Para el caso del sistema no conservativo

Se reemplazó el carrito por un bloque sólido de masa M con el objetivo de determinar el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la rampa.

Se colocó el primer sensor a una altura fija h0=(39.3± 0.1)cm y el segundo sensor se fue colocando a una altura hi.

La masa del bloque fue:

M=(521.35±0.05) g ; medido con balanza analógica.

Tabla 8

Promedio de los datos medidos del tiempo

nAltura delsensor 2 (m)

Distancia ∆S (m)

TiempoPromedio (s)

Incertidumbre (s)×10−3

1 0.338 0.209 0.83213 2.646252 0.294 0.351 1.23742 1.645943 0.289 0.451 1.39114 3.604654 0.272 055.1 1.57556 1.585625 0.258 0.650 1.68496 2.697526 0.232 0.721 1.82124 5.123637 0.202 0.828 1.96456 4.254658 0.168 0.962 1.96235 1.84875

Ya que sería muy redundante mencionar como calcular la velocidad instantánea, así que procedemos con los cálculos.

Tabla 9

Cálculo de las energías para cada ∆S

nDistancia ∆S (m)

Energía cinética (J)

Energía potencial (J)

Energía mecánica (J)

1 0.209 0.08456 1.71524 1.79982 0.351 0.10124 1.45213 1.553373 0.451 0.23156 1.32455 1.556114 0.551 0.28865 1.12456 1.413215 0.650 0.38654 0.98324 1.369786 0.721 0.46262 0.84569 1.308317 0.828 0.58658 0.65445 1.241038 0.962 0.64327 0.45965 1.10292

Para apreciar mucho mejor el comportamiento de la energía mecánica en el caso de un sistema no conservativo observemos la Figura 8.

Figura 8: En este

gráfico se observa

claramente el comportamiento lineal descendente de la energía mecánica, quiere decir que parte de la energía faltante se transformó en energía probablemente calórica a causa de la fricción.

Para esta experiencia mi ángulo es: θ=14.26482°

Como el sistema es no conservativo utilizamos la fórmula para hallar el coeficiente de fricción cinético.Hay que tener mucho cuidado cuando se habla de un sistema no conservativo, por que actúan otras fuerzas que evite que la energía se conserve.

∑W otras fuerzas−f k d=∆ K

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Energía mecánica en función de la distancia ∆s

Distancia (m)

Ener

gía

mec

ánic

a (J)

Para aplicar el método energético debemos considerar:

De esta manera podemos calcular el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la rampa. Cuyos resultados se muestran en la siguiente tabla.

Tabla 10

Cálculo de la velocidad por cada ∆S

nAltura delsensor 2 (m)

Distancia ∆S (m)

Velocidadinstantánea (m/s)

Coeficiente de fricción cinético

1 0.338 0.209 0.77699   0.465422 0.294 0.351 0.92363 0.475843 0.289 0.451 0.96304 0.426354 0.272 055.1 1.08279 0.466695 0.258 0.650 1.24621 0.450946 0.232 0.721 1.40309 0.423367 0.202 0.828 1.62015 0.430878 0.168 0.962 1.81138 0.45235

De donde se calculó el promedio de los coeficientes de fricción:

μ=0.44898

Viendo una tabla de constantes de fricción, nos damos cuenta que nuestro resultado se aproxima al del aluminio-acero (μAl−Acero=0.47).

Hallamos el error:

=7%

I=|0.47−0.44898|

0.47×100 %=4.47234 %

Lo cual nos da a entender que hemos obtenido satisfactoriamente el valor de μ.

Conclusiones

Al experimentar con un carrito (M=(501.45 ±0.05) g) podemos despreciar la fuerza de fricción porque consideramos que entre las ruedas del móvil y la pista es cero, sin considerar también el momento de inercia de las ruedas, y comprobar satisfactoriamente la conservación de la energía del carrito. Lo cual no ocurre cuando se trabaja (experimenta) con un bloque sólido, entonces se debe considerar la fuerza de fricción entre la base del bloque (M 1=(521.35± 0.05)g ) y la pista, al utilizar el método energético para el sistema no conservativo, pudimos calcular el coeficiente de fricción. Como valor de la aceleración de la gravedad se utilizó el aproximado en Arequipa (g ≈ 9.78 m /s2¿.

Bibliografía

[1]Y. Freedman, S. Zemansky, Física universitaria, Vol. 1, 12ava edición, PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009.

[2]Serway y Jewett Física para ciencias e ingeniería volumen 1 séptima edición Capítulos 7 y 8

[3] Física para la ciencia y la tecnología Volumen 1 Mecánica. Oscilaciones y ondas. Termodinámica quinta edición Parte 1 Mecánica Capítulos 6 y 7.