FÍSICA TEÓRICA 1 − 2do. Cuatrimestre de 2020

PRÁCTICA DEL 11/11:GUÍA 7 - RELATIVIDAD ESPECIAL Y FORMULACIÓN COVARIANTE DEL

ELECTROMAGNETISMO

Introducción: cinemática relativista

4-vector posición en un sistema de referencia S:

xµ =(x0, x1, x2, x3

)= (ct,x) ; x = (x, y, z)

donde el índice griego toma valores µ = 0, 1, 2, 3.

Una transformación de Lorentz relaciona 4-vectores en S con 4-vectores en otro sistema de referenciaincercial S ′:

x′µ = Lµν xν

Al cambiar a un sistema S ′ que se mueve con velocidad constante v = v ẑ respecto a S (boost en z), tenemosque la transformación de Lorentz se puede escribir en forma de matriz como

Lµν =

γ 0 0 −γ β0 1 0 00 0 1 0−γ β 0 0 γ

con

γ =1√

1− β2β =

v

c

de manera que:

ct′ = γ (ct− β z)x′ = x

y′ = y

z′ = γ (z − β ct)

Producto escalar entre 4-vectores:

Tensor métrico de Minkowski:

gµν = ηµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

1

producto entre los 4-vectores Aµ y Bµ:

A ·B ≡convención de Einstein︷ ︸︸ ︷

AµηµνBν ≡ Aµ Bµ︸︷︷︸

≡ ηµνBν

= A0B0 − A1B1 − A2B2 − A3B3

= A0B0 + A1B1 + A

2B2 + A3B3

Si tomamos el producto del diferencial dxµ consigo mismo, obtenemos el intervalo

(dx)µ ηµν (dx)ν = c2dt2 − dx2 ≡ ds2

El diferencial de tiempo propio de una partícula calculado en las coordenadas del sistema S queda definidoa partir del intervalo invariante como:

dτ = ds/c =√dt2 − dx2/c2 = dt

√1− u2/c2 = dt/γu , γu =

1√1− (u/c)2

donde u = dx/dt es velocidad de la partícula medida en S. El tiempo propio es positivo y si la partícula estáen movimiento respecto a S, entonces dτ < dt (el tiempo coordenado t, interpretado según del sistema S, esuna dilatación del tiempo propio τ de la partícula en movimiento). Se define la 4-velocidad de una partículaen el sistema S como

uµ =dxµ

dτ=

(cdt

dτ,dx

dτ

)=dt

dτ

(c ,dx

dt

)= γu (c ,u) , u: velocidad de la partícula en S; γu =

1√1− (u/c)2

Observación:(i) En el límite no relativista

γu ' 1 +β2

2+O[β4]

Se define el 4-vector momento comopµ = muµ

De forma tal que en el límite no relativista obtenemos

pµ '(ENRc

,mu

)+O[β3] , donde ENR = mc2 + m2 u

2 es la energía cinética no relativista.

La componente “cero” del 4-momento es p0 = mu0 = mcγu = E/c, donde E es la energía relativista de lapartícula. Cuando la velocidad es nula se recupera el famoso resultado de la energía en reposo: E = mc2.

2

Transformación de las velocidades:

Dada una partícula que se mueve con velocidad u = (ux, uy, uz) en S y que viaja de xµ1 a x

µ2 , definimos

la diferencia entre éstos dos eventos (sucesos) en S como ∆xµ = xµ2 −xµ1 , de modo que en el sistema inercial

S ′ tenemos

c∆t′ = γ (c∆t− β∆z) ; ∆x′ = ∆x ; ∆y′ = ∆y ; ∆z′ = γ (∆z − β c∆t)

Podemos calcular la velocidad de la partícula medida en el sistema S ′, que se mueve con velocidad v = v ẑrespecto a S, a partir de hacer

u′x =∆x′

∆t′=

∆x

γ (∆t− β∆z/c)=

uxγ (1− β uz/c)

(1)

u′y =uy

γ (1− β uy/c)(2)

u′z =∆z′

∆t′=

γ (∆z − β c∆t)γ (∆t− β∆z/c)

=uz − v

1− β uz/c(3)

Si la partícula es un fotón, que se mueve a la velocidad de la luz, también podemos usar la ley de transforma-ción de velocidades obtenida. Si, por ejemplo, la luz viaja en S con velocidad u = c ẑ =⇒ u′x = u′y = 0 yu′z =

c−v1−β = c, y se mueve con la velocidad de la luz también en S

′.

Problema 1: El cielo relativista

El observador O′ se mueve con velocidad relativa v respecto de O. En cierto instante, los dos observadorescoinciden en el mismo punto del espacio. En ese momento, los dos reciben luz proveniente de una mismaestrella muy lejana. Ambos observadores eligen su eje z en la dirección de v, de modo que escribirán elvector de la velocidad de la luz recibida según expresiones análogas:

Para el observador O la luz llega con velocidad

cO = −(

cosϕ sin θ x̂+ sinϕ sin θ ŷ + cos θ ẑ)︸ ︷︷ ︸

k̂

c ≡ c k̂

Para el observador O′ la luz llega con velocidad

cO′ = −(

cosϕ′ sin θ′ x̂+ sinϕ′ sin θ′ ŷ + cos θ′ ẑ)︸ ︷︷ ︸

k̂′

c ≡ c k̂′

De modo que |cO| = |cO′ | = c.

3

Los observadores O y O′ son el origen de los sistemas de referencia inerciales S y S ′. Podemos elegirque t = t′ = 0 cuando ambos coinciden en el mismo punto espacial, y que S ′ viaja con velocidad v = v ẑrespecto a S.

(a) Si O recibe la luz según la dirección definida por los ángulos θ y ϕ, aplicando las fórmulas detransformación de velocidades, muestre que, segúnO′, la luz proviene de la dirección definida por los ángulos

ϕ′ = ϕ, cos θ′ =cos θ + β

1 + β cos θ(β = v/c)

Usando la expresión (3) para las componentes en z de cO y cO′ tenemos

−c cos θ′ = −c cos θ − v1− β(−c cos θ)/c

=⇒ cos θ′ = cos θ + β1 + β cos θ

Escribiendo sin θ′ = (1− cos θ′2)1/2 y usando la relación de arriba entre los cosenos se obtiene, también, que

sin θ′ =sin θ

γ (1 + β cos θ)(4)

Por otro lado, usando (1) y (2), tenemos

sin θ′ cosϕ′ =sin θ cosϕ

γ ( 1 + β cos θ); sin θ′ sinϕ′ =

sin θ sinϕ

γ ( 1 + β cos θ)=⇒ tanϕ′ = tanϕ

y reemplazando (4) en las expresiones de acá arriba vemos que cosϕ′ = cosϕ y sinϕ′ = sinϕ, por lo tantoϕ = ϕ′ .

(c) Deduzca la fórmula de aberración relativista que relaciona las tangentes de los angulos:

tanθ′

2=

√1− β1 + β

tanθ

2.

Debemos usar las fórmulas generales,

sin2 x2

= 12(1− cosx) , y cos2 x

2= 1

2(1 + cos x)

4

para escribir:

tanx

2=

√1− cosx1 + cos x

Entonces tenemos que

tanθ′

2=

√1− cos θ′1 + cos θ′

(reemplazar cos θ′ como en ítem (a))

=

√1 + β cos θ − cos θ − β1 + β cos θ + cos θ + β

=

√1− β1 + β

√1− cos θ1 + cos θ

=

√1− β1 + β︸ ︷︷ ︸

factor de escala

tanθ

2(5)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0β

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1 -β1 +β

π2

π θ2

4

6

8

tanθ2

(d) Aplique la fórmula anterior para valores particulares del ángulo θ. Por ejemplo, θ = 0, 14π, 1

2π, π. En

especial, muestre que todas las estrellas en el hemisferio 0 ≤ θ ≤ 12π de O estarán concentradas, según O′,

en cierto cono alrededor del eje z. ¿Qué pasa cuando β se acerca a 1?

El factor de escala que aparece es una función monótona de β, al igual que la tangente en función de θ,por lo que rayos que llegan entre dos ángulos θ1 < θ2 se ven en S ′ respetando la misma relación de ordenθ′1 < θ

′2

Caso θ = 0 =⇒ θ′ = 0.

5

Caso θ = π/4:

tanθ′

2=

√1− β1 + β

' 0,4︷ ︸︸ ︷tan

π/4

2

'

√(1− β)(1 + β)

(1 + β)20, 4

' 0, 4γ(1 + β)

=⇒ θ′ 6 π/4

Caso θ = π/2:

tanθ′

2=

√1− β1 + β

=1︷ ︸︸ ︷tan

π/2

26 1 =⇒ θ′ 6 π/2

=1

γ(1 + β)

Para β > 0 tenemos

Límite no relativista: β � 1 (γ → 1) =⇒ θ′ ' π2− β

Límite ultra relativista: β → 1− (γ →∞) =⇒ γ � 1 =⇒ θ′ ' 1/γ

Casoθ = π =⇒ θ′ = π

6

(f) A partir de los resultados anteriores, discuta cualitativamente cuál sería el aspecto de la bóvedaceleste para un observador que pasara cerca de la Tierra moviéndose a una velocidad relativista.

(g) El archivo adjunto∗ contiene las orientaciones de las 1000 estrellas más brillantes vistas desde laTierra. Con esas estrellas, construya el mapa celeste para un observador relativista. Repita el experimentopara valores crecientes de v. ¿Se comprueban o desmienten sus primeras intuiciones?

Un ejemplo de lo que debe obtenerse para el cielo del observador O′ en las vecindades de la Tierra: O′ semueve en dirección a la estrella polar, con la velocidad indicada en cada caso. La sección sombreada abarcalas estrellas del hemisferio superior del cielo de un observador en la Tierra. Se ha trazado el contorno de laconstelación de Orión.

v = 0 v = 0.25c v = 0.5c v = 0.75c v = 0.99c v = 0.99999c

La perspectiva de un observador O′ que aumenta su velocidad sería algo así:

Estrellas random con aceleración constante

Catálogo de estrellas con aceleración hiperbólica

∗http://materias.df.uba.ar/ft1a2015c2/files/2015/11/catalogo_de_estrellas.rar. El for-mato es (ϕ, θ,magnitud).

7

http://materias.df.uba.ar/ft1a2020c2/files/2020/11/Random_cte.gifhttp://materias.df.uba.ar/ft1a2020c2/files/2020/11/Catologo_Tanh.gifhttp://materias.df.uba.ar/ft1a2015c2/files/2015/11/catalogo_de_estrellas.rar

(b) Deduzca las mismas expresiones de aberración de la dirección de la luz a partir de la transformacióndel cuadrivector número de onda.

———Nos apartamos del problema en cuestión para preguntarnos:

¿Cuál debería ser el cuadrivector que expresa la cinemática de la radiación electromagnética? Es decir, quecontenga a la información de la velocidad de la luz.

Podemos pensar en una onda plana para tratar de motivarlo. Si en el sistema S tenemos:

E = Re[E0 ei(ω t−k·x)]

En un sistema S ′ tendremos:E′ = Re[E′0 ei(ω

′ t′−k′·x′)]

A partir de la definición del vector posición xµ = (ct,x), definimos:

4-vector número de onda: kµ =(ωc,k)

de forma tal que lo que queda en el argumento de la fase oscilatoria de la onda plana es un producto escalarentre dos 4-vectores, y es un invariante: kµ xµ = k′µ x′µ.

E = E0 eikµ xµ E′ = E′0 e

ik′µ x′µ

El requisito de que la fase no cambie según se mida desde un sistema inercial u otro está bien motivada, porejemplo, por el siguiente argumento: Si pensamos a las crestas (positivas o negativas) de la onda plana comopulsos discretos de una señal electromagnética, emitidas por una fuente dada, los observadores fijos a dossistemas distintos deben medir la misma cantidad de pulsos (o crestas) en el siguiente experimento:

Tomamos dos sistemas inerciales S y S ′, con S ′ moviéndose a velocidad v = v x̂ respecto a S. A tiempot = t′ = 0 un observadorO′ fijo al origen de S ′ pasa por el origen de S desde donde se emite un primer pulso(cresta de la onda plana) en la dirección x. Ese primer pulso es registrado porO′. Un observadorO en reposoen S está en la posición x = xO y mide ese mismo pulso en un tiempo t1 = xO/c según su sistema. Al cabode un tiempo tn, según S, los observadores se encuentran. Para el observador fijo a S ′, el tiempo coordenado(que es igual a su tiempo propio) es t′n en el momento del encuentro.

8

La fuente siguió emitiendo la misma onda plana (coherente) desde el origen de S durante todo el experimento.El observador O en reposo en S mide una cantidad n de pulsos entre los tiempos t = 0 y tn, donde n estádado por las crestas de la onda plana que representa los pulsos, según la fase esto es:

φn = ω tn − k xO = π (n− 1) (=⇒ t1 = k xO/ω = xO/c)

El observador O′ en reposo en S ′, que viaja a velocidad constante visto desde S, mide una cantidad n′ depuslos entre los tiempos t′ = 0 y t′n, donde n

′ está dado, análogamente, por:

φ′n = ω′ t′n − k′x′O′ = π (n′ − 1) (=⇒ t′1 = k′ x′O′/ω = 0)

Si a tiempo tn de S los observadores se encuentran (o, equivalentemente, t′n de S′ los observadores coinciden

en el mismo lugar) entonces necesariamente tienen que haber recibido la misma cantidad de pulsos, es decir:n = n′, y por lo tanto:

ω tn − k xO = ω′ t′n − k′x′O′

o, escrito para posiciones y tiempos generales (pues somos libres de hacer el experimento mental con lasondas que queramos y en las posiciones que elijamos), tenemos que:

kµ xµ = k′µ x′µ

——-

Habiendo definido el 4-vector número de onda, volvemos al problema 1, ítem (b).

En S:

kµ = (k0,k) , k0 =ω

c, k =

ω

ck̂

=ω

c

(1, k̂)

=ω

c(1,− cosϕ sin θ,− sinϕ sin θ,− cos θ)

En S ′:

k′µ = (k′0,k′) , k′0 =ω′

c, k′ =

ω′

ck̂′

=ω′

c

(1, k̂′

)=

ω′

c(1,− cosϕ′ sin θ′,− sinϕ′ sin θ′,− cos θ′)

9

La transformación de Lorentz de un 4-vector desde S a S ′ (boost en z), establece que para el kµ tenemos:

Componente “cero” (temporal): k′0 =ω′

c

= γ(k0 − β k3

)= γ

(ωc− β

(ωck̂z

))

= γω

c

(1− β k̂z

)

= γω

c(1 + β cos θ)

Componente “1” (dirección x): k′1 =ω′

ck̂′x = −

ω′

csin θ′ cosϕ′

= k1

=ω

ck̂x

= −ωc

sin θ cosϕ

Componente “2” (dirección y): k′2 =ω′

ck̂′y = −

ω′

csin θ′ sinϕ′

= k2

=ω

ck̂y

= −ωc

sin θ sinϕ

10

Componente “3” (dirección z): k′3 =ω′

ck̂′z = −

ω′

ccos θ′

= γ(k3 − β k0

)= γ

(ωck̂z − β

ω

c

)

= γω

c

(k̂z − β

)

= − γ ωc

(cos θ + β)

Podemos escribir el 4-vector número de onda en el sistema S ′ como:

k′µ =ω

cγ(

1− β k̂z)

︸ ︷︷ ︸ω′

c

(1,

k̂x

γ(

1− β k̂z) , k̂y

γ(

1− β k̂z) , k̂z − β

1− β k̂z︸ ︷︷ ︸k̂′

)

Por lo tanto identificamos que

ω′ = ω γ(

1− β k̂z)

= ω γ (1 + β cos θ)

y la dirección del vector de onda k̂′ en S ′ es

k̂′ = −

cosϕ′ sin θ′︷ ︸︸ ︷(cosϕ sin θ

γ (1 + β cos θ),

sinϕ′ sin θ′︷ ︸︸ ︷sinϕ sin θ

γ (1 + β cos θ),

cos θ′︷ ︸︸ ︷cos θ + β

1 + β cos θ

)recuperando las mismas fórmulas de aberración del ítem (a) donde trabajamos aplicando la transformaciónde los vectores velocidad espacial vistos desde cada sistema.

11

Problema 2

Sobre un espejo plano que se mueve con velocidad v paralela a su normal incide luz de frecuencia ωi conun ángulo de incidencia θi, como muestra la figura.

(a) Encuentre la relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión. Analice el caso v � c ycompare con el rebote de partículas no relativistas contra una pared en movimiento.

Vamos a usar un sistema alineado con la velocidad del espejo tal que v = v ẑ. Según la convención queusamos en el problema 1, donde usamos un ángulo θ desde el eje z, para la onda incidente tenemos que hacer

θ → π − θi

y análogamente para la reflejada. La estrategia será transformar hacia el sistema fijo al espejo (S ′), dondese encuentra en reposo, para usar las propiedades cinemáticas habituales que conocemos de la guía 6. En elsistema S ′ sabemos que vale la Ley de Snell y que, allí, el ángulo reflejado es igual al incidente. Usando lafórmula de aberración podemos escribir el ángulo de incidencia en el sistema S ′ como

tan

(π − θ′i

2

)= tan

(π − θi

2

)√1− β1 + β

y aplicando la propiedad

tan

(π − x

2

)= cot

x

2

obtenemos

tan

(θ′i2

)= tan

(θi2

)√1 + β

1− β

En el sistema donde el espejo está en reposo dijimos que θ′i = θ′r, entonces tenemos el ángulo reflejado en el

S ′ y podemos aplicar la transformación inversa (con β′ = −β) para volver al sistema S, esto es:

tan

(θ′i2

)= tan

(θ′r2

)= tan

(θr2

)√1 + β′

1− β′= tan

(θr2

)√1− β1 + β

Obteniendo finalmente

tan

(θr2

)=

(1 + β

1− β

)tan

θi2

' (1 + 2 vc

) tanθi2

si β � 1

12

Vemos que si el espejo se aleja (v > 0) =⇒ θr > θi, y si el espejo se acerca (v < 0) =⇒ θr < θi, comopartículas rebotando contra una pared móvil.

(b) Encuentre la frecuencia de la onda reflejada. Para incidencia normal analice qué pasa cuando v � cy compare con lo que cabría esperar si, en lugar de luz, hubiera un flujo de partículas o de sonido contrauna pared en movimiento.La onda incidente en S tiene

kµi =ωic

(1, 0,− sin θi, cos θi)

Transformando a S ′, la incidente es

k′iµ

=ωicγ(

1− β k̂z) (

1,k̂x

γ(

1− β k̂z) , k̂y

γ(

1− β k̂z) , k̂z − β

1− β k̂z

)=

ωic

(γ (1− β cos θi) , 0 , − sin θi , γ (cos θi − β)

)En S ′ el espejo está en reposo y valen las relaciones de cinemática que estudiamos en la guía 6: La onda serefleja con la misma frecuencia y vale la ley de Snell (el ángulo θ′i = θ

′r)

k′rµ

=ωic

(γ (1− β cos θi) , 0 , − sin θi , − γ (cos θi − β)

)Finalmente puedo volver al sistema S a partir de la transformación inversa, desde S ′, aplicada sobre este4-vector k′r

µ. Ahora debo usar un parámetro β′ = −β, donde el signo menos da cuenta de que la velocidaddel sistema S respecto a S ′ es −v ẑ.

krµ =

(γ (k′r

0 − β′ k′r3) , k′r

1, k′r

2, γ (k′r

3 − β′ k′r0) ,)

=ωic

(γ (γ (1− β cos θi)− β′ [− γ (cos θi − β]) , 0 ,− sin θi , γ ([− γ (cos θi − β)]− β′ γ (1− β cos θi)

)=

ωic

(γ2(1− 2β cos θi + β2

), 0 ,− sin θi , γ2

(− cos θi + 2β − β2 cos θi

) )=

ωicγ2(1− 2β cos θi + β2

) (1 , 0 ,

− sin θiγ2 (1− 2β cos θi + β2)

,− cos θi + 2β − β2 cos θi

1− 2β cos θi + β2

)De donde se lee que la frecuencia de la onda reflejada es

ωr = ωi γ2(1− 2β cos θi + β2

)En la parte espacial obtenemos, de nuevo, relación de entre el ángulo de reflejado y el de incidencia aunquefalta trabajarlo un poco para el despeje (ese trabajo ya lo hicimos para obtener la fórmula de aberración queusamos en el ítem (a))

Para incidencia normal θi = 0 tenemos:

ωr = ωi γ2(1− 2β + β2

)= ωi

1− β1 + β

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Si β � 1 se obtieneωr ' ωi

(1− 2 v

c

)con el espejo alejándose (v > 0) la onda rebota con menor energía, tal como esperaríamos para el caso de unflujo de partículas chocando contra una pared que se aleja. Si invertimos el movimiento del espejo (v < 0)obtenemos que el rebote es mas energético. Esto es lo mismo que obtenemos para el ondas sonoras, de allí laanalogía y la denominación del efecto Doppler relativista.

Por último, para sentir un poco el efecto Doppler y de aberración relativista en primera persona lesrecomiendo experimentar un mundo con una velocidad de la luz mucho menor: en este juego.

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http://gamelab.mit.edu/games/a-slower-speed-of-light/