Introducción al electromagnetismoeditorialpatria.com.mx/pdffiles/9786074380644.pdf · 2015. 6....

Introducción alelectromagnetismo

Un enfoque constructivistabasado en competencias

PRIMERA EDICIÓN EBOOK

MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

00_ELECTROMAGNET_PRELMNS.indd 1 5/19/09 4:09:55 PM

Antonio Lara Barragán GómezUniversidad de GuadalajaraUniversidad Panamericana

Héctor Núñez TrejoUniversidad de Guadalajara

Guillermo Cerpa CortésUniversidad de Guadalajara

María Elena Rodríguez PérezUniversidad de Guadalajara

Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinación editorial: Estela Delfín RamírezDiseño de interiores: Braulio Morales Sánchez (Milcom)Diseño de portada: Ana Virginia Esparza Pruneda (Factor02)Ilustraciones: Arturo D. Ramírez (Nemesis)Fotografías: Jupiter Images Corporation

Revisión técnicaM. en C. Gustavo Pérez López Departamento de Ingeniería EléctricaInstituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México

Introducción al electromagnetismoUn enfoque constructivista basado en competencias

Derechos reservados:© 2014, Antonio Lara-Barragán Gómez, Héctor Núñez Trejo, Guillermo Cerpa Cortés y María Elena Rodríguez Pérez© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

ISBN ebook: 978-607-438-922-7

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MéxicoPrinted in Mexico

Primera edición ebook: 2014

info editorialpatria.com.mx

www.editorialpatria.com.mx


iii

Acerca de los autores

Antonio LArA BArrAgán gómez

Licenciatura y Maestría en Física, Maestría en Pedagogía. Profesor de tiempo com-

pleto del Departamento de Física del Centro Universitario de Ciencias Exactas e

Ingenierías de la Universidad de Guadalajara y profesor de tiempo parcial de la

Escuela de Ingeniería Industrial e Innovación de Negocios de la Universidad Pana-

mericana campus Guadalajara.

Héctor núñez trejo

Ingeniero Químico. Profesor de medio tiempo del Departamento de Física del Centro

Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías de la Universidad de Guadalajara.

gUiLLermo cerpA cortés

Ingeniero Civil. Especialidad en Física Educativa, Maestría en Análisis de Sistemas

Industriales. Profesor de tiempo completo del Departamento de Física del Centro


mAríA eLenA rodrígUez pérez

Ingeniero Químico, Maestría en Ciencias de la Educación; Doctorado en Ciencias

del Comportamiento. Profesor de asignatura del Departamento de Física del Centro



iv

Presentación

La electricidad y el magnetismo son dos ciencias físicas que nacieron y se desarro-

llaron como áreas independientes hasta mediados del siglo XIX. La electricidad está

asociada con fenómenos cotidianos como los rayos, los destellos luminosos que

aparecen cuando se frotan algunos materiales, o las descargas eléctricas que sirven

al pez torpedo para aturdir a sus presas. El magnetismo, por su parte, está vincu-

lado con el uso de imanes; piedras descritas en la antigüedad como aquellas que

tenían el misterioso poder de atraer al hierro. Tanto los fenómenos eléctricos como

los magnéticos eran conocidos desde los antiguos griegos en el año 700 a.C. Desde

entonces, muchos filósofos y hombres de ciencia han dedicado sus reflexiones e

investigaciones para buscar una mejor comprensión de tales fenómenos.

En el desarrollo de la electricidad y el magnetismo, se han establecido múltiples

hipótesis acerca de su naturaleza. Algunas de las conjeturas probaron ser impreci-

sas y otras impulsaron la reflexión teórica hacia conclusiones impresionantes. En el

área de electricidad, se han documentado ideas que pueden calificarse de irrisorias

a la luz de los conocimientos actuales. Por ejemplo, al inicio del siglo xviii, las inves-

tigaciones científicas buscaban la forma de condensar el fluido eléctrico (concepción

considerada hoy en día como imprecisa) para no perder la electricidad generada

por las máquinas basadas en el frotamiento de cuerpos. Esto llevó a la invención ac-

cidental del primer capacitor (dispositivo para almacenar energía eléctrica) en 1745

por el clérigo alemán E. G. Von Kleist, después de recibir varias sacudidas por des-

cargas eléctricas. Aunque las consideraciones teóricas no eran correctas del todo, se

pudo desarrollar un dispositivo eléctrico de uso común aún en nuestros días.

Otro ejemplo. En 1780, el fisiólogo italiano Luigi Galvani (1737-1798) notó que

los músculos de una rana disecada se contraían como respuesta a las descargas

eléctricas y postuló que la electricidad tenía un origen animal. La explicación de

Galvani en términos de la electricidad animal fue rebatida por el físico Alessandro

Volta (1745-1827), quien llegó a la conclusión de que el fenómeno observado por

Galvani era resultado de poner dos metales en contacto a través de un fluido con-

ductor. La rana, en los experimentos de Galvani, sólo proporcionaba el medio acuo-

so conductor. Así, en 1799, Volta anunció la invención de la pila voltaica con la que

se pudo producir una corriente eléctrica continua por primera vez.


�

Sin embargo, la conjetura que cambiaría el rumbo de la electricidad y el mag-

netismo fue aquella creencia metafísica que postulaba la “unidad” de las fuerzas

de la naturaleza. En especial, se creía que la electricidad y el magnetismo estaban

interconectados de alguna manera. El profesor danés Hans Christian Oersted (1777-

1851) compartía esta creencia y, en 1820, demostró que una corriente eléctrica en

un alambre desviaba la aguja de una brújula cercana. Oersted no fue el primero

en observar una interconexión entre electricidad y magnetismo. Ya otros científicos

habían intentado, por ejemplo, suspender una pila voltaica de una cuerda para ver

si se orientaba como brújula. De hecho, el jurista italiano Gian Domenico Romag-

nosi, en 1802, publicó una experiencia similar a la reportada por Oersted pero no

tuvo un impacto en el desarrollo científico, probablemente porque se publicó en un

periódico de poca difusión.

Después de que Oersted probara de manera contundente que un fenómeno

eléctrico puede afectar a uno magnético, surgió la pregunta de que si era posible

un efecto inverso; que el magnetismo tuviera una influencia en la electricidad. La

respuesta fue que sí: es posible producir una corriente eléctrica en un conductor

sin necesidad de usar pilas voltaicas (o cualquier otro dispositivo eléctrico para ge-

nerar corriente) y, para ello, se requiere de un movimiento relativo entre un imán y

el alambre conductor. Esta respuesta la proporcionaron en 1831 Michael Faraday

(1791-1867) en Inglaterra y Joseph Henry (1797-1878) en Estados Unidos quienes

trabajaron de manera independiente sin saber uno sobre los experimentos del otro.

El 27 de octubre de 1864, un alumno de Faraday, el físico británico James Clerk

Maxwell presentó a las sociedades científicas de Europa el trabajo titulado Teoría

dinámica del campo electromagnético con el que unificó las teorías de la electricidad

y el magnetismo. Maxwell formuló un conjunto pequeño de leyes con los que se

podía explicar todas las formas de fenómenos electromagnéticos.

El término electromagnético pone de manifiesto la naturaleza única de los fe-

nómenos eléctricos y magnéticos. Para su mejor comprensión, se debe establecer

semejanzas y diferencias entre éstos. Así, el electromagnetismo no trata de una re-

copilación independiente de postulados sino de una visión unificada de múltiples

y variados fenómenos que no parecen tener nada en común. En la actualidad, y

gracias al acelerado desarrollo tecnológico que se ha suscitado a partir de las leyes

de Maxwell, los ejemplos de fenómenos electromagnéticos incluyen ondas de radio,

antenas, luz (Maxwell identificó a la luz como una onda electromagnética), motores,

altavoces, cintas de grabación de voz, computadoras, detectores de metales, bandas

magnéticas de tarjetas de crédito, lectores ópticos, telegrafía sin hilos, resonancia

magnética nuclear, generación de corriente alterna, bobina de Tesla, rayos X, elec-

troimanes, trenes de levitación magnética, imanes superconductores, transformado-

res, reguladores de corriente, guitarras eléctricas, dispositivos de almacenamiento

de datos, etcétera; la lista parece interminable.

Por ello, el presente libro ha sido escrito de tal manera que se propicie una

comprensión unificada de la electricidad y el magnetismo. La secuencia que se ha

seguido es aquella que favorece el ejercicio de una habilidad de razonamiento para

PresentAcIón


IntroduccIón Al electromAgnetIsmo�i

establecer las semejanzas y diferencias entre los fenómenos eléctricos y magnéti-

cos. Así, se toma como base a las leyes de la mecánica para ir construyendo, por

analogías, las leyes de la electricidad. Enseguida, por analogía con la electricidad,

se construyen las formas equivalentes en el magnetismo y, por último, se discuten

las interrelaciones entre la electricidad y magnetismo. El estudio del electromag-

netismo de esta manera lo beneficiará, por un lado, en su desarrollo intelectual

al ejercitar el establecimiento de analogías y, por otro, en la comprensión de los

principios físicos de prácticamente todo el desarrollo tecnológico actual; una vida

que es cotidiana para usted, pero que es el resultado de la transformación social de

los conocimientos acumulados, a lo largo de los siglos, por hombres tan curiosos e

inteligentes como los de ahora


vii

pi no es 3.1416

¿De dónde salió el número pi (π)? La notación con la letra griega π (pi), la usó por primera vez el matemático galés William Jones y Euler la popularizó a partir de su

uso en su obra Introducción al cálculo infinitesimal (1748). En el siglo iii a.C., Arquíme-

des determinó el valor de pi como un número comprendido entre 310

713

1

7y ; más

tarde Ptolomeo encontró que pi es la fracción 377

1203 1416≈ . ... En 1610, Ludolph

van Ceulen calculó los primeros 35 dígitos de pi, y en 1873, el matemático inglés

William Shanks dedicó cerca de 20 años en el cálculo de 707 decimales para pi y lo

concluyó en 1873. En la época computacional, en 1966, se llegó a calcular 250 000

cifras decimales y, en 2004, con una supercomputadora Hitachi, se llegó a 1.3511 × 1012 decimales para pi.

Pi es un número irracional, esto es, tiene una cantidad infinita de decimales todas

sin secuencia ni periodicidad. Por ello, en este libro nos referimos a pi como pi y

aconsejamos que, en el tratamiento de problemas numéricos que involucren este nú-

mero, se utilice la tecla pi en las calculadoras y se haga un redondeo al final del cálculo

(para saber más consulta la página http://science.howstuffworks.com/pi.htm)

ciFrAs signiFicAtiVAs

Observemos lo que hacemos cuando realizamos una operación como 657.2 entre

29.1 en la calculadora. ¿No es común que nos pongamos a escribir el resultado como

22.58419244? Al considerar la definición de Física como ciencia que estudia todos

los aspectos mensurables de la naturaleza, esta forma de escribir resultados no es

consistente, ya que si los números con que se opera son resultados de mediciones,

el cociente implicaría que la precisión de la medición es de ¡ocho cifras decimales!;

esto es, el instrumento de medición es capaz de medir hasta cien millonésimas.

Para expresar adecuadamente las cantidades hemos de utilizar el concepto de cifras

significativas. En números, cifras significativas son aquellas cifras que tienen un sig-

nificado o valor real. Formalmente, una cifra significativa se define como todo dígito

conocido en una medición. Así, la cantidad de cifras significativas en un número

indica los límites dentro de los cuales se conoce el resultado de una medición.

Introducción

Principios Fundamentales para el estudio del electromagnetismo


IntroduccIón Al electromAgnetIsmo�iii

Es de notarse que en prácticamente todos los libros de texto los problemas presen-

tan sus datos, por ejemplo, como: “un alambre de 5.00 cm de longitud”, o “una caja

cuya masa es de 25.0 kg”. Cabe entonces preguntarnos: ¿por qué no escribir simple-

mente 5 cm y 25 kg? Sí podría hacerse, solamente que, por un lado, se perdería la

precisión con la que se desea la respuesta del problema, y, lo más importante, es que

se dejaría de conocer la precisión con la que se han medido las cantidades que repre-

sentan los datos del problema. Todas las cifras en los datos dados son cifras significa-

tivas, y la respuesta al problema debe darse con la misma cantidad de cifras signifi-

cativas que el dato con mayor número de ellas. En el ejemplo con que iniciamos esta

sección la respuesta más adecuada a la división es 22.5842, ya que el primer número

tiene cuatro cifras significativas, mientras que el segundo tiene tres de éstas.

Para usar cifras significativas seguiremos las siguientes reglas:

1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. Ejemplos:

5.3591 cinco cifras significativas

1.98 tres cifras significativas

645 tres cifras significativas

2. Todos los ceros que se encuentren entre cifras significativas son significativos.

Ejemplos:

9.032 cuatro cifras significativas

2002 cuatro cifras significativas


3. Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero sólo se usan para fijar

el punto decimal y no son significativos. Ejemplos:

0.068 dos cifras significativas



4. En un número con dígitos a la derecha del punto decimal, los ceros a la derecha

del último dígito diferente de cero son significativos. Ejemplos:




0.40050 cinco cifras significativas

5. Para números muy grandes o muy pequeños, el problema de las cifras significa-

tivas se resuelve si se escriben en notación científica. Ejemplos:

0.000023 = 2.3 × 10-5 dos cifras significativas2.300 × 10−5 cuatro cifras significativas2 × 10−5 una cifra significativa2.00 × 10−5 tres cifras significativas


ix

eL LengUAje de LA FísicA

La física, como ciencia formal, tiene su propio idioma (o lenguaje), el que, a su vez,

tiene sus propias reglas gramaticales. Los elementos de sintaxis, semántica, ortogra-

fía, etc. de todo lenguaje formal, se aplican al lenguaje de la física. Este lenguaje,

además del español que conocemos y manejamos, por la misma naturaleza de la

física, debe ser universal e inteligible para todas las personas en cualquier lugar

del planeta. Por supuesto que tal lenguaje es el de las Matemáticas. En esta sección

sólo revisaremos un caso que ejemplifica ampliamente lo que queremos decir: los

números racionales.

Puede constatarse en cualquier libro de matemáticas superiores, que el conjunto

de los números racionales se define más o menos así:

a

ba b Z btal que , ,∈ ≠

0

así que los números racionales están compuestos con dos números enteros, uno de

ellos distinto de cero y con la forma a

b. Esto último es lo más importante. Estamos

muy acostumbrados a escribir los números racionales (y expresiones afines) como

a/b; sin embargo, esta forma de escritura no concuerda con la definición formal de

número racional que indica “a sobre b” y no “a diagonal b”. La primera forma trae

un buen número de consecuencias de las que algunas implican una reestructura-

ción del cerebro y otras, la facilitación de significados algebraicos. Pero antes vea-

mos una hipótesis sobre el origen de la forma a/b.

Creemos que esta manera de escribir las expresiones racionales tiene el mismo

origen que la obsoleta y nunca cierta frase “las mayúsculas no se acentúan”: la má-

quina de escribir. En estos dispositivos de escritura, ya en franco desuso, acentuar

mayúsculas era una labor imposible, lo mismo que escribir números racionales en

su forma correcta. Las costumbres se hacen regla y aun en esta época encontramos

personas que creen que las mayúsculas no se acentúan. Por tanto, también encon-

tramos que los racionales se escriben a/b más por costumbre que por una razón

lógica, fundamentada. Creemos también que la pereza contribuye en parte; es más

fácil escribir a/b que a

b. Pero con el advenimiento de la computadora y los proce-

sadores de texto, escribir las formas correctas es tan fácil como apretar las teclas

correspondientes. No tenemos ya ningún pretexto para no escribir de manera co-

rrecta las expresiones matemáticas.

Una de las consecuencias mencionadas con anterioridad es la escritura grama-

ticalmente correcta de igualdades: el signo igual (=) ha de colocarse exactamente enfrente de la línea horizontal. Con los procesadores de texto esto no es problema ya

que lo hacen de manera automática como en a

bc= . La cuestión es lograr el hábito

de escribirlo correctamente a mano, ya sea en el cuaderno o en el pizarrón. Este

tipo de acciones (o mejor dicho de conductas), han de realizarse y corregirse siem-

IntroduccIón


IntroduccIón Al electromAgnetIsmox

pre, con el fin de que se haga un hábito. Hasta entonces, podremos afirmar que la

estructura cerebral se ha modificado, esto es, que realmente se ha aprendido algo.

nociones soBre eL sistemA internAcionAL de UnidAdes (si)

Comenzaremos por distinguir entre dimensión y unidad. Aquí es importante es-

tablecer un contexto para estos términos, ya que “dimensión” puede utilizarse en

el contexto de, por ejemplo, “las tres dimensiones del espacio”, y “unidad” como

sinónimo del número uno. En nuestro contexto dimensión significa lo que se mide

y unidad significa en lo que se mide. Por ejemplo, podemos medir la dimensión

tiempo en la unidad mes, o la dimensión longitud en la unidad año-luz. Las dimen-

siones se simbolizan por lo común por letras mayúsculas que, generalmente, son

la inicial del nombre. Así, la dimensión longitud se simboliza por L y la dimensión

tiempo por T.

A continuación mencionamos unos ejemplos:

Dimensión Unidad Símbolo

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Temperatura kelvin K

Ángulo radián rad

Debe notarse lo siguiente: para las unidades hablamos de símbolos, no de abre-

viaturas. Por consiguiente, una regla de escritura dice que deben usarse letras mi-

núsculas; por ejemplo, para el símbolo del kilogramo es un error escribir Kg (esto

significaría kelvin gramo). Además, al no ser abreviatura, también es un error es-

cribir kg., ya que el punto hace perder el carácter de símbolo. Por su parte, para el

segundo, solamente se utiliza una “s” (minúscula, por supuesto) y no seg. o segs.,

mientras que para el metro omitimos cosas como mt o mts. El caso de la tempera-

tura tiene dos aspectos especiales. Primero, es común escuchar “grados kelvin”; sin

embargo, tal expresión es anacrónica, ya que los kelvins no son grados, son, sim-

plemente, kelvins. El segundo aspecto es lo que también escuchamos comúnmente:

grados centígrados. En el SI, la escala centígrada es una escala obsoleta, por lo que

consideramos que el uso del término “grados centígrados” es un arcaísmo. La escala

centígrada se definió en 1887 con base en los puntos de ebullición y congelación del

agua a 760 mm de Hg de presión. En 1948 se definió la escala Celsius en sustitución

de la centígrada por lo que, a partir de entonces, esta es la escala de uso en el SI.

El uso de mayúsculas está reservado para unidades cuyo nombre es el nombre

de un científico; por ejemplo, la unidad de la dimensión corriente eléctrica es el Am-

pére, cuyo símbolo es A y la de carga eléctrica es el Coulomb, cuyo símbolo es C y el

mencionado para temperatura.


xi

El caso de kilogramo nos lleva a considerar que, en el SI, tenemos una serie de

prefijos de uso común. Por ejemplo, en el caso del kilogramo tenemos el prefijo kilo

que significa 103. En consecuencia, a pesar de que en el lenguaje cotidiano la pa-

labra “kilo” la asociemos con el peso de los objetos, en Física tal término por sí solo

no tiene mayor significado que “mil”, así que en el lenguaje de la Física no podemos

usar prefijos aislados, debemos usar el término completo, en este caso kilogramo.

Algunos de los prefijos más comunes son los siguientes:

nano n 10−9

micro µ 10−6

mili m 10−3

deci d 10−1

hecto h 102

kilo k 103

mega M 106

giga G 109

notAción cientíFicA

Los prefijos anteriores y las potencias de diez, se utilizan con frecuencia para deno-

tar números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, la distancia de la Tierra al

Sol es de aproximadamente 150 000 000 000 de metros. Como resulta engorroso

escribir números de ese tamaño de manera explícita, utilizamos la notación científica

que consiste en escribir un entero y luego los decimales necesarios, multiplicados

por la potencia de diez correspondiente para dar el número original. En el caso an-

terior, la distancia entre la Tierra y el Sol se expresa, en notación científica, como 1.5

× 1011 m. Hay que hacer hincapié en que la notación científica sólo admite una sola cifra a la izquierda del punto decimal.

respetemos eL cero

El cero es un número que, en general, no se comprende. Se aprecia cuando se usan

expresiones como “cero a la izquierda no vale”, o cuando se equipara el cero con

la nada o con la no existencia. La intención en este libro no es hacer un recuento

de la historia del cero; eso puede encontrarse en cualquier obra de historia de las

matemáticas. La idea es hacer ver que, en física, las expresiones anteriores carecen

de sentido y conducen a errores de concepto.

Para empezar, la historia nos muestra que el cero fue el último número en in-

ventarse, la cual podría interpretarse como una muestra de su dificultad conceptual.

Es por eso que, tal vez, exista un cierto temor atávico para usarlo como se debe. Co-

menzaremos por analizar su papel en los decimales, donde aparentemente se origi-

IntroduccIón


IntroduccIón Al electromAgnetIsmoxii

na el dicho popular “cero a la izquierda no vale”, ya que una de las interpretaciones

que podemos darle a tal la afirmación es que ésta se refiere a la izquierda del punto

decimal, como por ejemplo, en el número “cinco décimos”: 0.5.

La costumbre es escribir tal número como .5 y, además, decirlo así, “punto cin-

co”. Tal costumbre va en contra de la resta, que es una de las operaciones básicas de

la aritmética elemental (que en un país donde la educación primaria es obligatoria

deberían conocerse). Por ejemplo, la resta 3.5 − 2.6 da como resultado 0.9 y no .9; si alguien cree que el resultado es el segundo número, entonces también puede

pensar que 3 − 3 es igual a nada, o que simplemente no existe. Sin embargo, esa manera de pensar contradice algunos axiomas de lo que en

matemáticas se entiende como el campo de los números reales. Aquí, la existencia del

cero es irrefutable y la operacióna a − a, donde a ∈ R, da como resultado cero. El axioma se enuncia como sigue: ∀ ∈ − = + −( )=a R a a a a, 0. Además, se reconoce, también axiomáticamente, al cero como el elemento neutro aditivo: ∀ ∈ ∃a R, 0, tal que 0 + a = a + 0 = a. Ambos axiomas permiten la construcción y demostración de muchos teoremas.

Por consiguiente, una conclusión es que toda expresión en matemáticas forma-

les, las cuales son el lenguaje de la física, del tipo .9, es incorrecta, mientras que 0.9

es la correcta.

¿cómo interpretAr cocientes?

Muchas expresiones conceptuales en física se dan en términos de un cociente; ejem-

plos de éstas son la densidad, la aceleración y la diferencia de potencial. En cada

uno de estos casos y otros más, el concepto físico, es decir, la comprensión de la

cantidad expresada por una división (o fracción, o razón), se obtiene por una inter-

pretación adecuada del cociente. Para acceder a la forma de interpretar cocientes,

comencemos por el siguiente problema: María va al mercado y compra 5 manzanas

por $7.00. ¿Qué significa la cantidad 7 00

5

.? En efecto, representa lo que a veces

denominamos precio unitario, esto es, cuánto se paga por una manzana. Ahora,

¿qué significa la cantidad 5

7 00.? Significa cuántas manzanas (o fracciones de éstas)

se obtienen por cada peso pagado; en otras palabras, cuántas manzanas nos da el

vendedor por un peso.

En el problema anterior debemos notar que la división es entre dos cantidades

de diferente naturaleza por lo que tienen unidades distintas. Tal caso corresponde

a la interpretación general cuánto del numerador se asocia con uno del denominador.

Esto es lo que se quiere decir en expresiones como “masa por unidad de volumen”

para la densidad de masa, ρ =m

v. Aquí se entiende como cuántos kg se asocian a

un metro cúbico (una unidad de volumen) o sea, cuántos kg están contenidos en un


xiii

metro cúbico. De este ejemplo notamos que las unidades tienen una importancia

crucial para la interpretación del cociente.

Otro caso es el de cantidades de la misma naturaleza, por lo que tienen unidades

iguales. Tomemos el caso de dos longitudes, por ejemplo de dos radios diferentes

correspondientes a círculos concéntricos, R

R2

1

. El cociente que resulta de esta divi-

sión se interpreta como una comparación entre las dos cantidades; esto viene de la

operación siguiente:

R

Rc R cR2

12 1

= ⇒ =

de donde se encuentra que R2 es un múltiplo (o una fracción si c < 1) de R1.

¿positiVo? ¿negAtiVo?

Los calificativos de positivo o negativo tienen dos connotaciones

(en el lenguaje técnico que estamos manejando): una se refiere

a los números reales y otra al sentido de cantidades vectoriales

(apéndice A). Cuando hablamos de números negativos, nos re-

ferimos a números menores que cero; es decir, la notación a < 0

indica que a es un número negativo (por ejemplo, a = −7). Por su parte, cuando se refiere a una cantidad vectorial, el carácter

de negativo, relacionado con el sentido, siempre es con respecto

a un eje o a otra cantidad vectorial que se supone positiva. Ge-

neralmente, se establece un sistema de referencia representado

por un eje o un sistema de ejes, en el que puntas de flecha

indican el sentido positivo (figura I1), de manera que siempre

que se dibujen ejes deben incluirse las flechas para indicar el

sentido positivo. Por ejemplo, el campo gravitacional, g, puede

ser positivo o negativo se-

gún se considere el sentido

en un sistema de referencia

dado (figura I2). Para casos

en los que vectores no se

encuentren sobre los ejes,

o no se especifique un sis-

tema de referencia, uno de

ellos se considera positivo

y el negativo será con res-

pecto a ese y deberá estar

en dirección exactamente

opuesta (figura I3).

+z

+y

−x

−y

−z

+x

IntroduccIón

Figura I.1

Figura I.1

y

x

a)

g g j=− ˆ

y

x

b)

g g j= ˆ


IntroduccIón Al electromAgnetIsmoxi�

El sentido para cantidades vectoriales y sus respectivos vectores es, en conse-

cuencia, un asunto convencional. Cuándo es positivo o negativo depende de cómo

se escojan los sentidos para cada problema particular. Como veremos en el capítulo

1, no porque una carga sea positiva, el campo eléctrico asociado con ella es positivo

y viceversa. Siempre estarán las preguntas: ¿positivo?, ¿respecto a qué?

y

x

A

−A


xv

contenido

capítulo 1. la interacción eléctrica ............................. 1

La interacción gravitacional .................................................................... 2

interacción eléctrica ................................................................................. 2

carácter vectorial de la Ley de coulomb ............................................. 5

procesos de electrización .............................................................................11

electrización por inducción y conducción ............................................15

el campo eléctrico ........................................................................................16

el dipolo eléctrico .........................................................................................24

capítulo 2. la interacción magnética ..........................29

La corriente eléctrica .............................................................................30

interacción magnética............................................................................34

el experimento de oersted ........................................................................34

el carácter vectorial de la interacción magnética ...............................39

La fuerza magnética sobre una partícula cargada ..............................43

el dipolo magnético ................................................................................48

capítulo 3. la ley de gauss ........................................55

el flujo de un campo vectorial ...............................................................56

el flujo eléctrico ......................................................................................58

distribuciones continuas de carga ........................................................69

conductores y dieléctricos ....................................................................74

La Ley de gauss para conductores ..............................................................74

Un conductor dentro de un campo eléctrico .............................................77

Un dieléctrico dentro de un campo eléctrico ............................................78


IntroduccIón Al electromAgnetIsmox�i

capítulo 4. la ley de Ampère ....................................81

La circulación de un campo vectorial ...................................................82

La Ley de Biot-savart .............................................................................84

densidad de corriente ............................................................................89

capítulo 5. la diferencia de potencial .........................91

el potencial electrostático .....................................................................92

capacitancia ................................................................................................102

Almacenamiento de energía en un capacitor ....................................105

capacitores con dieléctrico .................................................................109

capítulo 6. la ley de ohm .......................................113

resistencia eléctrica .............................................................................114

disipación de energía en un resistor .........................................................120

La ley de ohm .......................................................................................122

circuitos simples con resistores ..........................................................124

circuitos simples con capacitores .......................................................130

capítulo 7. la ley de Faraday ...................................135

Un conductor en movimiento dentro de un campo magnético ......136

Lo último sobre la Fem ........................................................................140

inductancia ............................................................................................145

inductancia mutua ......................................................................................145

Autoinductancia ..........................................................................................146

energía en un inductor .........................................................................148

magnetostática en la materia ..............................................................151

Materiales magnéticos ................................................................151

capítulo 8. circuitos ...............................................155

nodo y malla .........................................................................................156

Las reglas de Kirchhoff .........................................................................156

circuitos con capacitores .....................................................................159

establecimiento de la corriente en un inductor ......................................163

circuitos con capacitancia e inductancia en serie .............................165


cAPítulo 1 • La interacción eLéctrica x�ii

Apéndice A. Vectores ...............................................169

definición...............................................................................................169

notación ................................................................................................169

representación .....................................................................................169

operaciones algebraicas con vectores ...............................................171

suma y resta de vectores .....................................................................171

multiplicación y división de vectores ..................................................173

producto punto .....................................................................................173

producto cruz .......................................................................................173

el operador nabla (o del)∇ ................................................................ 175

Apéndice B. elementos de geometría y trigonometría .....................................................176

el círculo ................................................................................................176

La esfera ................................................................................................176

el cilindro ...............................................................................................177

elementos de trigonometría plana y esférica ....................................177

Factores de conversión ........................................................................179

Algunos símbolos y unidades ...............................................................180

constantes .............................................................................................181

Algunas analogías importantes ...........................................................181

Apéndice c. tablas ...................................................179

Apéndice d. leyes de la electricidad .........................182

La Ley de coulomb ..............................................................................182

La Ley de ohm......................................................................................183

Apéndice e. glosario ................................................184

Apéndice F. soluciones a problemas selectos .............188

índice analítico ........................................................201


�

Capítulo

1

Los efectos de las interacciones eléctricas y mag-néticas los observamos en todo nuestro entorno. Las fuerzas resultantes de tales interacciones juegan papeles importantes en nuestra vida diaria y en la tecnología más sofisticada. Muchos somos testigos de cómo cierto plástico en rollo se utiliza para en-volver todo tipo de objetos, sobre todo en la cocina. Hemos visto funcionar una fotocopiadora, una tarjeta de crédito, un detector de metales o dispositivos de seguridad en las entradas de edificios y almacenes. En el campo de la medicina el diseño y funcionamiento del marcapasos, los electrocardiogramas y electro-encefalogramas, no serían posibles sin las interacciones

eléctricas dentro de nuestro cuerpo. En otro nivel, la interacción eléctrica es responsable de la estructura atómica y molecular y, en esencia, es por la que pue-den llevarse a cabo las reacciones químicas.

En este primer capítulo revisaremos los principios fundamentales que explican la interacción eléctrica, comenzando con la similitud que existe con la inte-racción gravitacional ya estudiada con anterioridad. El plan es construir los conceptos eléctricos con base en analogías con el caso gravitacional y de ahí seguir con el desarrollo de todos los demás conceptos siguien-do el mismo método.

(Jupiter Images Corporation)

La interacción eléctrica

ELECTROMAGNET_01.indd 1 5/19/09 4:11:55 PM

introducción aL ELEctromagnEtismo�

La interacción gravitacionaL

La definición clásica de materia: “todo aquello que ocupa un lugar en el espacio”, es lo suficientemente buena para nuestros propósitos. De ella se desprenden al-gunas de sus propiedades como la impenetrabilidad, volumen y forma (en el caso de sólidos). Asimismo, sabemos que la materia está constituida por moléculas, las moléculas por átomos, los átomos por núcleo y electrones, el núcleo por protones y neutrones, los protones y neutrones por quarks y los quarks todavía no sabemos de qué están hechos.

Hasta el momento sabemos también que la materia tiene dos propiedades intrín-secas: masa y energía. La primera, masa, tiene algunos detalles finos. La masa la entenderemos como la medida cuantitativa de la inercia y de ningún modo como la “cantidad de materia”. Este último es un concepto impreciso que conduce a error en otros campos de la física como la relatividad.

La masa, como propiedad, da lugar a la interacción gravitacional descrita por la Ley de Gravitación Universal de Newton:

F Gmm

d=

'2

(1.1)

donde m y m’ son las masas de los cuerpos en interacción, y d la distancia que sepa-ra sus centros de masa. A F se le conoce como fuerza gravitacional o simplemente, gravedad. Por ser la gravedad una fuerza de acción a distancia, históricamente se desarrolló un concepto que contiene en sí mismo tal acción a distancia: el campo gravitacional. De esta manera, de la expresión anterior, se define la intensidad del campo gravitacional como:

g Gm

d=

′2 (1.2)

por lo que la gravedad queda, en forma compacta, como:

F=mg (1.3)

ecuación que, de acuerdo con una aplicación directa de la ecuación de movimiento de la Segunda Ley de Newton, se interpreta diciendo que la fuerza gravitacional le produce, a un objeto de masa m, una aceleración cuya magnitud equivale al valor de g. Es muy importante hacer énfasis en que las ecuaciones 1.1 y 1.3 son dos ex-presiones, una compacta y la otra explícita, de la misma ley.

La ecuación 1.3 puede reescribirse de la siguiente manera:

gF

m= (1.4)

la cual tiene un significado muy particular: la intensidad del campo gravitacional representa la fuerza gravitacional aplicada por unidad de masa del objeto al que es aplicada. De aquí que se utilice el concepto de campo gravitacional para explicar la interacción a distancia. En otras palabras, lo que se quiere decir es que todo objeto, por el simple hecho de tener masa, produce a su alrededor un campo de fuerzas, el campo gravitacional, que se manifiesta en el momento en que otro objeto entra en su esfera de acción. Decimos que la fuerza gravitacional se aplica por medio del campo gravitacional.

interacción eLéctrica

Es un hecho experimental que, además de la masa, los protones y los electrones poseen otra propiedad intrínseca: la carga eléctrica. Esta propiedad es análoga a la


capítuLo 1 • la interaCCión eléCtriCa �

masa, en el sentido de que también es la responsable de la interacción llamada interacción eléctrica. Cuentan algunos historiadores que el filósofo Tales (624-547 a.C.) fue el pri-mero en descubrir la interacción eléctrica al observar que, si se frotaba de manera vigorosa un pedazo de ámbar (el ámbar es una resina fosilizada de color amarillo-café que se usaba como piedra de adorno en collares y brazaletes) éste adquiría la capacidad de atraer pequeños trozos de mate-ria como paja o cáscaras de granos. Tales y los pensadores de su tiempo observaron que la interacción ámbar-paja sólo ocurría si el ámbar era frotado y que la capacidad de atrac-ción que adquiría disminuía de manera gradual conforme pasaba el tiempo, sobre todo en días húmedos. Siglos des-pués, el científico renacentista William Gilbert (1544-1603) fue el primero en observar sistemáticamente los fenómenos eléctricos. Gilbert concluyó que muchos materiales, ade-más del ámbar, podían adquirir la capacidad de atraer pequeños pedazos de materia después de ser frotados; fue él quien acuñó el término “eléctrico” a partir de la palabra en griego para ámbar: elektron. Eléctrico sólo significaba po-seer propiedades similares a las del ámbar.

Alrededor de 200 años después, Benjamin Franklin (1706-1790) se interesó en los fenómenos eléctricos y co-menzó su estudio después de los 40 años de edad, cuando había logrado una for-tuna suficiente como para entregarse a los placeres de la investigación científica y la reflexión filosófica, según lo expresara él mismo. En 1743, Franklin asistió a la conferencia de un personaje inglés que sorprendía a los habitantes de las nuevas colonias americanas con demostraciones ingeniosas sobre los fenómenos eléctricos. Franklin compró al conferencista todo su equipo experimental y empezó a inves-tigar por su cuenta en 1745. Para entonces, los experimentos mostraban que al acercar dos varillas de vidrio frotadas con seda, éstas se repelían entre sí. Lo mismo sucedía entre dos varillas de plástico que habían sido frotadas con lana. Sin embar-go, se observó un efecto de atracción cuando se acercaron una varilla de plástico y una varilla de vidrio. Esto llevó a la aceptación de la existencia de dos tipos de carga eléctrica: una que se manifestaba al frotar vidrio con seda y otra que se manifestaba al frotar plástico con lana. Franklin propuso llamarlas cargas positivas y negativas, respectivamente. Esto es, un cuerpo cargado positivamente sería rechazado por una varilla de vidrio frotada con seda. De manera similar, un cuerpo cargado negativa-mente sería repelido por una varilla de plástico frotada con lana. Es importante notar que la designación de “positiva” y “negativa” para las cargas del vidrio y del plástico fue completamente arbitraria; igual pudo Franklin haber dicho lo opuesto. Los resultados no se alteran por la asignación de sus nombres.

A partir de estas observaciones, Franklin propuso un modelo para explicar la interacción eléctrica que pronto ganó terreno no sólo en América, sino en toda Eu-ropa. De acuerdo con su modelo, la carga eléctrica podía ser considerada como un fluido o efluvio, y toda la materia tenía la misma cantidad de fluido positivo que de negativo. Sin embargo, estos niveles pueden ser alterados mediante el frotamiento, de tal forma que, si se elimina una cantidad de fluido negativo, el cuerpo queda car-gado positivamente porque hay más cantidad de efluvio positivo después del frota-miento. De manera análoga, al agregar fluido positivo, el cuerpo queda cargado de manera positiva. Completando el esquema (figura 1.2), un cuerpo quedaría cargado negativamente al agregar fluido negativo o eliminar fluido positivo.

Este modelo, al ser revisado a la luz de los conocimientos actuales, es impreci-so porque la carga eléctrica no es un fluido. Sin embargo, representa una metáfora

Figura 1.1

Benjamin Franklin (Jupiter Images Corporation)



original de la interacción eléctrica la cual, como metáfora, es correcta. En la terminología actual, podemos modificar el modelo de Franklin de la siguiente manera: Toda la ma-teria está conformada por átomos que, en condiciones nor-males, tienen igual número de electrones que de protones. Experimentos posteriores mostraron que el electrón tiene carga negativa y el protón tiene carga positiva (de acuerdo con la denominación de Franklin) por lo que los átomos, en condiciones normales, su carga total, o neta, es cero. Cuando en un objeto se cumple tal condición, se dice que es eléctricamente neutro. Sin embargo, se pueden “arrancar” electrones a los materiales por frotamiento y, de manera hipotética, también podrían arrancarse protones de los áto-mos, pero sabemos que esto es prácticamente imposible (¿por qué?). Así, un cuerpo queda cargado negativamen-te cuando recibe electrones y queda cargado positivamente cuando pierde electrones durante el frotamiento. Llegamos entonces a la conclusión de que el término carga eléctrica es el nombre con que designamos a una propiedad intrín-seca de la materia. Así, encontramos que la carga eléctrica en los cuerpos macroscópicos se observa cuando el núme-ro de protones y electrones que contiene su estructura ató-mico-molecular está desbalanceado.

Todo eso es fácil de entender si hablamos de átomos o moléculas; pero, ¿qué sucede si hablamos de electrones o protones individuales? Y aún más, ¿cómo es la situación eléctrica de los neutrones? En cuanto a los dos pri-meros, vale la misma definición: la carga es una propiedad intrínseca de la materia y, por consiguiente, se dice que los electrones y los protones tienen o poseen car-ga negativa y carga positiva, respectivamente. Por lo que toca a los neutrones, para nuestros fines es suficiente con afirmar que éstos no tienen carga. Aquí es impor-tante hacer énfasis en el uso del lenguaje. No es correcto hablar de la carga como si tuviera existencia por sí misma. La carga existe como propiedad de la materia. Evitaremos expresiones como “dos cargas positivas se encuentran separadas...”, o “considerar dos cargas negativas...”. La forma correcta de expresarse es: “dos obje-tos con carga positiva se encuentran separados...”, o “considerar dos cuerpos con carga negativa...”.

De acuerdo con los experimentos mencionados, es posible inferir que la interac-ción eléctrica es de la misma naturaleza que la interacción gravitacional. Dos obje-tos con carga interaccionan de igual manera en que dos cuerpos con masa lo hacen, pero hay una diferencia: sólo existe una clase de masa y, por ende, una sola clase de interacción, de atracción. Pero como hay dos tipos de carga, es de esperarse que existan dos tipos de interacción posibles: la ya mencionada atracción y la repulsión. De aquí que debe existir una ley que describa la interacción eléctrica, de la misma manera que existe la ley que describe la interacción gravitacional. Si, como afirma-mos, las interacciones gravitacional y eléctrica son de la misma naturaleza, enton-ces, por analogía, podemos inferir la ley que describe la interacción eléctrica como:

F kqq

de = 2 (1.5)

Ésta es la conocida Ley de Coulomb.Una diferencia entre las leyes de gravitación y la de Coulomb está dada por el

valor numérico de las respectivas constantes:1

1 Paraunadiscusiónsobreunidades,consultarelApéndiceB.

a) Cuerpo eléctricamente neutro

b) Cuerpo cargado positivamente c)

d) Cuerpo cargado negativamente e)

Figura 1.�



GN m

kN m

C

= ×⋅

= ×⋅

−6 67 10

9 10

112

2

92

2

.kg

Nótese en primer lugar que, comparativamente, G es drásticamente más pequeña que k. En segundo lugar, que en las unidades basta cambiar las de masa por las de carga, lo cual es lo esperado, dada la analogía entre las leyes respectivas.

carácter vectoriaL de La Ley de couLomb

De las discusiones sobre vectores y cantidades vectoriales del apéndice A, podemos describir las leyes de gravitación universal y de Coulomb en su carácter vectorial esencial. Comenzaremos con la Ley de Gravitación (ecuación 1.1) por ser más fami-liar, y después generalizaremos el resultado al caso de la Ley de Coulomb.

Lo primero es describir un sistema de referencia tridimensional derecho para el que tomamos uno de los dos cuerpos como objeto de referencia; esto es, el que se sitúa en el origen del sistema de referencia y que se considera como el que le aplica la fuerza al otro. A tales cuerpos los llamaremos cuerpo fuente y cuerpo de prue-ba, respectivamente. Sea el cuerpo con masa m el cuerpo fuente (figura 1.3) y el cuerpo con masa m’ el de prueba. La distancia entre ambos se mide desde el centro de masa del cuerpo fuente, esto es, desde el origen del sistema de referencia hasta el centro de masa del cuerpo de prueba. Esta ma-nera de medir proporciona la dirección del vector asociado a la distancia entre los cuerpos, al que denotaremos por

r.

La ecuación 1.1 expresa solamente la mag-nitud de la fuerza aplicada al cuerpo de prueba, de manera que Fg está situada, geométricamente hablando, sobre este cuerpo, y su dirección es so-bre la línea que une los centros de los cuerpos, esto es, la dirección radial hacia adentro, por ser una fuerza de atracción. Si definimos un vector unitario en la forma convencional en la dirección radial, y lo denotamos por r̂, entonces la fuerza gravitacional tiene dirección opuesta a este vector y la Ley de Gravitación Universal queda escrita, en términos vectoriales, como:

F G

mm

rr

g=−

′2

ˆ

donde el signo negativo indica que la fuerza gravitacional está dirigida en dirección radial hacia el origen.

Para la Ley de Coulomb tomamos un sistema de referencia semejante al anterior (figura 1.4) y hacemos una consideración semejante para el cuerpo fuente y el de prue-ba. Siguiendo el mismo proceso analógico que condujo a la ecuación 1.5, llegamos a la conclusión de que la Ley de Coulomb en términos vectoriales se escribe como:

F k

qq

rr

e=

′2

ˆ (1.6)

donde la fuerza eléctrica tiene la misma dirección que r̂.

Los valores numé-ricos anteriores muestran que la interacción gravita-cional es drastica-mente más pequeña que la interacción eléctrica. Sin em-bargo, es un hecho que en el universo la fuerza dominante es la fuerza gravi-tacional. ¿Por qué es así?

Pregunta

z

m

r

x

m’r̂

Fg

y

Figura 1.�



De la figura 1.2 y la ecuación 1.6, se explica la Ley de los Signos de las Cargas de la siguiente ma-nera. Si los cuerpos tienen cargas del mismo signo, positivo o negativo, no se altera la ecuación 1.6 y la dirección de la fuerza es hacia fuera, esto es, tene-mos una fuerza de repulsión. En cambio, si los cuer-pos tienen cargas de signos diferentes, el producto qq´ tiene signo negativo y entonces tenemos que:

F k

qq

rr

e=

′2

ˆ

lo que se interpreta como que la fuerza está en di-rección radial hacia adentro, o sea, es una fuerza de atracción, como en el caso gravitacional. De aquí que cargas de signos iguales se repelen y las de sig-nos opuestos se atraen. La carga del cuerpo fuente se denomina carga fuente, mientras que la carga del cuerpo de prueba se denomina carga de prueba.

ejemPlo 1

Dos partículas cargadas muy pequeñas están separadas por 5.0 cm y cada una tiene una carga neta de 1.5 µC. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica entre ellas?

SoLución:Calculamos la magnitud de la fuerza eléctrica entre las partículas cargadas con

q q F kqq

re= ′ =

′= ×

××

=−

−:

( . )

( . )29

6 2

2 29 10

1 5 10

5 0 1088 1. N

ejemPlo 2

Dos pequeñas esferas conductoras con cargas de la misma magnitud, pero de dis-tinto signo, están separadas por una distancia de 0.08 m. La magnitud de la fuerza entre ellas es de 20.0 N. ¿Qué carga tiene cada esfera?

SoLución: Para la magnitud de la carga despejamos q de la Ley de Coulomb, y como tenemos

q q qF r

ke= ′ = =

×= × −:

( . )( . ). C

2 2

9

620 0 0 08

9 103 8 10

ejemPlo 3

Dos partículas muy pequeñas tienen cargas netas negativas de 3.0 µC y la fuerza entre ellas es de 1.5 N. ¿Qué distancia las separa?

SoLución: Despejamos r

kq

Fm

e

= =× ×

=−2 9 6 29 10 3 0 10

1 50 23

( )( . )

..

r̂

r

z

x

q’

y

q

Figura 1.�



ejemPlo 4

Para ilustrar la diferencia en magnitudes de las fuerzas gravitacional y eléctrica consideremos dos objetos con cargas iguales de un microcoulomb separados una distancia de 3 cm. ¿Qué masa debe tener un objeto para sentir una fuerza gravita-cional de igual magnitud, si se toma como referencia a la Tierra?

SoLución:La fuerza entre los objetos cargados la encontramos de la Ley de Coulomb. Con q = q´ = 1 × 10–6 C y r = 0.03 m, tenemos:

F kq

re= = ×( )

×( )=

−2

2

9

6 2

29 10

1 10

0 0310

.N

Para encontrar la masa de un cuerpo tal que éste sienta la misma fuerza, hacemos:

F mg mF

g= ⇒ = = =

10

101

Nm

s

kg

2

Esto es, la relación masa-carga es de 1 × 10–6, que podemos interpretar como que la fuerza eléctrica es, en este caso, del orden de un millón de veces más intensa que la fuerza gravitacional.

ejemPlo 5

Una partícula α (alfa) es un núcleo de helio; tiene dos protones y una masa total de 6.6 × 10−27 kg. Comparar la fuerza eléctrica de repulsión entre dos partículas α con la fuerza de atracción gravitacional entre ellas.

SoLución:

La fuerza eléctrica es Fk e e

re =

+ +( )( )2 22

; la gravitacional FG m m

dg =

( )( )α α2

, para saber

cuántas veces es mayor una que la otra, lo calculamos como la relación:

F

F

k e

Gme

g

= =× ××

−( ) ( )( )( . )

( .

2 9 10 4 1 6 10

6 6

2

2

9 19 2

α 110 6 6 103 10

11 27 2

35

− −×= ×

)( . ). Un valor extremadamente grande,

de aquí que la gravedad no se considere en interacciones de partículas atómicas y subatómicas.

ejemPlo 6

En el modelo de Bohr para un átomo de hidrógeno, un electrón gira alrededor del núcleo (un protón) en una órbita circular de radio 5.3 × 10−11 m. Determinar la fuer-za sobre el electrón. ¿Cuál es su rapidez alrededor del núcleo?

SoLución: El electrón es atraído tanto por su masa como por su carga, pero por el ejemplo anterior sólo consideramos la fuerza eléctrica. Como q = q’ tenemos:

Fkq

re = =

× ××

=−

−

2

2

9 19 2

11 2

9 10 1 6 10

5 3 108

( )( . )

( . ).22 10 8× − N dirigida hacia el núcleo. Luego, como



la órbita es circular, esta fuerza hace la función de una fuerza centrípeta. Del movi-miento circular recordamos que:

F mv

rv

F r

mcc

e

= = =× ×−2 88 2 10 5 3 10

,( . )( .

de donde−−

−×= ×

11

31

6

9 1 102 2 10

)

.. .

m

s

ejemPlo 7

En la figura 1.5a se muestran tres partículas cargadas sobre la línea horizontal (eje x). Determinar la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre la carga q.

SoLución: Si denominamos como F1 la fuerza aplicada a q por q1 y F2 la aplicada a q2,entonces

F F F= +1 2 (figura 1.5b); las magnitudes las calculamos con la Ley de

Coulomb y atractivas, F kq q

d112

96 6

29 10

4 0 10 8 10

0 254= = ×

× ×=

− −( . )( )

( . ).66 ,N

vectorialmente F i N1 4 6=− . ˆ

F kq q

d2

22

96 6

29 10

5 0 10 8 0 10

0 10= = ×

× ×=

− −( . )( . )

( . )336 362, ˆN N

F i= calculando la resul-

tante: F i i i=− + =4 6 36 31. ˆ ˆ ˆ N; por tanto, la magnitud es de 31 N y su dirección es

a la derecha, es decir, en dirección positiva de x.

ejemPlo 8

Una partícula colocada en el origen de un sistema coordenado con car-ga 8.0 µC, interacciona con otra partícula con carga −6.0 µC que se encuentra en x = 1.20 m, y = 1.40 m (figura 1.6). ¿Cuál es el vector de fuerza resultante de la atracción entre ellas?

SoLución:

Usamos la expresión vectorial de la Ley de Coulomb, recordando los vec-

tores: r i j= +1 20 1 40. ˆ . ˆ m, magnitud r x y= + = + =2 2 2 21 20 1 40. .

180 m, el vector unitario, ˆ( . ˆ . ˆ)

.. ˆ . ˆr r

ri j

i j= =+

= + 1 20 1 40

1 840 652 0 761 sus-

tituimos estos datos en la ecuación

F k

qq

rr

e=

′= ×

× − ×− −2

96 6

9 108 0 10 6 10

1 84ˆ ( . )( )

( . )220 652 0 761 0 083 0 097( . ˆ . ˆ) . ˆ . ˆi j i j+ =− − N

y

x

2

1

1 2

q

q’

−F

Figura 1.�

Figura 1.�

q1 = 4.0 μC q = −8.0 μC q2 = 5.0 μC

0.25 m 0.10 m

q1 q q2

F1

F2

a)

b)



Aplicación tecnológica: Purificadores de aire electrostáticosPuede observarse que en algunas ocasiones, cuando un rayo de Sol entra a una habitación en penumbras, se iluminan las partículas de polvo que flotan en el ambiente. Muchas son polvo simple, mientras que otras pueden ser partículas de materiales contaminan-tes; por ejemplo, algunos tipos de alergias se asocian con estos polvos, por lo que, en conjunto, se consi-deran como contaminación ambiental. Una forma de controlar este tipo de polución es por medio del uso de dispositivos que purifican el aire por medio de in-teracción eléctrica, con los que “jalan” las partículas de polvos del aire para atraparlas y mantenerlas en depósitos. La figura 1.7 muestra de manera esquemá-tica uno de estos aparatos. Lo que hacen es electrizar negativamente cada partícula de contaminante. Tal proceso de electrización consiste, hablando de mane-ra simplificada, en que uno de los componentes del aparato baña literalmente de electrones las partículas, con lo quedan cargadas negativamente y entonces son atraídas por la placa colectora que se encuentra cargada positivamente. En el capítulo 5 volveremos a examinar este aparato a la luz de nuevos conceptos.

Electrodo

Electrodo

Problemas ProPuestos

�. Dos partículas de polvo tienen cargas netas de +20 nC y −70 nC: están separadas a una distancia de 3.0 cm. ¿Qué fuerza existe entre ellas?

2. Dos pequeñas esferas conductoras idénticas se encuentran separadas a una distancia de 1 m. poseen cargas de igual magnitud pero opuestas, y la fuerza entre ellas es de F0. Si la mitad de la carga de una se transfiere a la otra, entonces la fuerza entre ellas será:

a) F04

b) F02

c) 34 0

F d) 32 0

F e) 3F0

3. una partícula con carga q se halla a una distancia d de otra partícula con carga q’. ¿Cuál es

la razón F

F12

21

si q’ = 2q? a) 1 b) 2 c)

12

4. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza de atracción eléctrica que existiría entre tú y tu pareja si tuvieran cada uno 1.0 C de carga de signo opuesto y se encontraran separados por una distancia de 1.0 m entre los dos? ¿aumentaría la magnitud de la fuerza al disminuir la dis-tancia de separación?

5. tres partículas cargadas se colocan sobre el eje x de la siguiente manera: q1 = +30.0 µC en el origen, q2 = +10.0 µC en x = + 2.5 m y q3 = + 50.0 µC en x = + 3.5 m.a) Determinar la fuerza eléctrica resultante (magnitud y dirección) sobre q2.b) ¿Cuál sería la fuerza resultante si la carga q2 es de −10 µC en el mismo punto?

6. Supón que tu masa es de 70 kg y que te encuentras a una distancia de 1 cm de una placa conductora, encima de ésta. ¿Qué magnitud de carga común deben tener tanto tú como la

Figura 1.�

precipitador electrostático de polvos.


introducción aL ELEctromagnEtismo10

placa para que puedas mantenerte suspendido sobre la placa a esta distancia? ¿Deben ser cargas de diferente signo?

7. tres pequeñas esferas conductoras con carga q1, q2 y q3, consideradas como cargas pun-tuales, están sobre una línea recta con q3 entre ellas. Si q1 = +25.0 μC, q2 = +20.0 μC y q3 = −10.0 μC. ¿en qué posición, a lo largo de la recta que las une, la fuerza eléctrica resul-tante sobre q3

es cero?

8. Dos esferas con cargas positivas, A y B, se colocan de manera que sus centros se encuen-tran separados 10.0 cm. la carga de la esfera A es de 2.5 × 10−8 C y la de B es de 1.2 × 10−8 C. Dibujar un diagrama de fuerzas para cada esfera, suponiendo la presencia de soportes fijos que impidan que las esferas se aceleren. Calcular la fuerza que A aplica a B y la que B aplica a A.

9. las partículas cargadas A, B y C ocupan posiciones fijas en los vértices de un triángulo rec-tángulo como lo muestra la figura 1.8. las cargas de las partículas son de la misma magnitud y no existen otras interacciones aparte de las electrostáticas. Dibujar un diagrama de fuer-zas para cada partícula que muestre todas las fuerzas aplicadas a la partícula. Describir cada fuerza por escrito.

Problemas ComPlementarios

�. Dos pequeñas partículas con igual magnitud de carga y del mismo signo están separadas 20.0 cm, la fuerza de repulsión entre éstas es de 0.240 N de magnitud. a) ¿Qué carga tiene cada esfera? b) ¿Si una partícula posee cuatro veces más carga que la otra?

2. ¿a qué distancia del núcleo se debe encontrar el electrón del átomo de hidrógeno para que la fuerza eléctrica entre éstos sea igual al peso del electrón sobre la superficie de la tierra?

3. Dos partículas con cargas q1 = q2 = 40 μC están sobre el eje y, en y1 = 0.250 m y en y2 = −0.250 m, interaccionan con otra partícula q = 5.0 μC colocada en x = 0.400 m, y = 0. Determina la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre q.

4. De un soporte están suspendidas del mismo punto y con hilos aislantes de longitud L, dos pequeñas esferas conductoras con carga idéntica q y masa m, cada hilo forma un ángulo θ con la vertical.a) Demuestra que la carga q de las esferas está dada por:

q Lmg

k= 2

tansen θ

θ

b) Calcula q si m = 8.0 g, L = 40 cm y 0 = 12

AC

B

Figura 1.�


capítuLo 1 • la interaCCión eléCtriCa 11

5. Cinco pequeñas partículas con carga idéntica Q están igualmente espaciadas en el arco de un semicírculo de radio R y se coloca otra más en el centro como se indica en la figura 1.9. a) ¿es cero el valor de la fuerza resultante sobre la carga en el centro del semicírculo? b) Si es diferente de cero, ¿cuál será la magnitud y dirección de la fuerza resultante?

6. para el problema propuesto 9, encuentra la fuerza (vectorialmente) total aplicada a la carga C.

Es probable que esta actividad ya la hayas realizado en años anteriores. Consiste en tomar un objeto de plástico (peine, pluma o varilla), frotarlo en forma vigorosa contra el pelo o una prenda de vestir de algodón o lana y acercarlo a trocitos de papel previamente pre-parados. Es evidente que el plástico atrae a los papelitos. Lo mismo puede hacerse con un globo que previamente se ha llenado con aire. Debe frotarse de igual manera, y colocarse la parte frotada contra una pared. El globo se quedará pegado a la pared. ¿Por qué se pe-gan los papelitos al objeto de plástico o el globo a la pared?

aCtividad Previa

Procesos de electrizaciónHasta el momento hemos hablado de objetos cargados que interaccionan y cómo calcular la fuerza entre ellos. Sin embargo, queda pendiente la pregunta: ¿de dónde les proviene la carga a tales objetos? El propósito de esta sección es dar una res-puesta a esta pregunta.

De los experimentos de Franklin expuestos anteriormente, parece que la acción de frotar un objeto es la causa directa que en el cuerpo se pierda el balance entre electrones y protones y, en consecuencia, queda cargado. Utilizaremos el término electrizado como sinónimo de cargado eléctricamente. De esta manera, inferimos

y

Q

Q

Q

Q

Q

Q

x

R

Figura 1.�


introducción aL ELEctromagnEtismo1�

que el primer proceso de electrización (o proceso de cargar eléctricamente) un ob-jeto es por frotamiento. Tal proceso, de acuerdo con la metáfora de Franklin, se da porque si frotamos un objeto con otro (una varilla de plástico con un pañuelo de seda, por ejemplo) uno se lleva o arrastra los electrones del otro, de la misma mane-ra en que un borrador se lleva las partículas de gis o de tinta de un pizarrón. Así, el objeto que se lleva los electrones queda con carga negativa y el que los pierde con positiva.

Una consecuencia que podemos inferir de este comportamiento es que la mag-nitud de la carga de los dos objetos es igual; en otras palabras, el número de elec-trones que pierde uno es igual al que gana el otro. Este hecho conduce a enunciar el principio de conservación de la carga, el cual puede postular de la siguiente ma-nera: en todo proceso de transferencia de carga eléctrica, la carga total permanece constante. Este enunciado es otra forma de decir que el número de electrones que pierde un objeto es igual al que gana el otro. En símbolos matemáticos, el principio de conservación de la carga se escribe de manera análoga al principio de conservación de la energía:

ΔQ = 0

donde Q es la carga total involucrada en el proceso de electrización.

ejemPlo 9

Un ejemplo interesante de la conservación de la carga es la interacción entre un electrón e– y un positrón e+, ya que después de la interacción, simplemente desa-parecen, literalmente, y en su lugar aparecen dos fotones gamma de acuerdo con la siguiente reacción: e e− ++ → 2γ . La carga neta es cero antes y después del evento, por tanto se conserva.


�0. Completa de acuerdo con la conservación de la carga la desintegración radiactiva típica espontánea:

U Th He92238 234

24→ +?

��. una reacción nuclear típica es el bombardear átomos de calcio con protones acelerados en un acelerador de partículas. en la colisión se desprende un neutrón del núcleo dejando estroncio como núcleo residual de acuerdo con la siguiente reacción. ¿Cuál es el valor de la carga X?

Ca p Sc nX2044 44+ → +

�2. para tener una idea aproximada de la relación entre las magnitudes de la fuerza eléctrica y la gravitacional, regresemos a la actividad inicial. al frotarlo con tu cabello, el globo adquie-re una pequeñísima cantidad de carga. Si analizas el hecho de que el globo se queda pegado a la pared durante cierto tiempo, para las cantidades de masa y carga involucradas, ¿cuál fuerza, eléctrica o gravitacional, te parece más intensa? explica tu respuesta.

�3. un electroscopio está cargado y sus hojas están separadas entre sí. Se le acerca, sin tocar-lo, un objeto cargado previamente. entonces, se observa que las láminas del electroscopio adquieren una menor separación. ¿Qué carga tiene el objeto? ¿Del mismo signo o diferen-te de la del electroscopio? ¿Se “perdió” carga del electroscopio? ¿es posible crear carga eléctrica?


capítuLo 1 • la interaCCión eléCtriCa 1�

�4. las partículas A y B con carga eléctrica se atraen una a la otra. las partículas B y C se repe-len entre ellas. Si se acercan A y C, entonces: a) se atraen b) se repelen

�5. las partículas cargadas A y B se repelen una a la otra. las partículas B y C también se repe-len entre sí. Si se acercan A y C, entonces: a) se atraen b) se repelen

�6. Si un objeto de la sustancia A se frota con otro de la sustancia B el primero adquiere carga positiva y B negativa. pero si un objeto de la sustancia A se frota con otro de la sustancia C, A adquiere carga negativa. ¿Qué sucederá si un objeto de la sustancia B se frota con otro de la sustancia C? a) B y C adquieren carga positiva b) B adquiere carga positiva y C carga negativac) B y C adquieren carga negativa d) B adquiere carga negativa y C carga positiva

�7. Dos esferas completamente idénticas A y B, que tienen igual magnitud de carga, se encuen-tran fijas y separadas a una distancia grande en comparación con su tamaño. Se repelen entre ellas con una fuerza eléctrica de 100 mn. enseguida, una tercera esfera idéntica C con una varilla aislante para sujetarla e inicialmente sin carga, hace contacto con la esfera A, luego con la esfera B y se separa. Calcula la fuerza entre las esferas A y B.

�8. las esferas pequeñas idénticas A, B y C son conductoras y están aisladas. inicialmente A y B tienen carga de +3 µC mientras que C tiene una carga de −6 µC. Se permite que los objetos A y C se toquen y luego se separen. Después las esferas B y C se tocan y separan.

�. Si se acercan las esferas A y B, entonces:a) se atraen b) se repelen c) no tienen efecto

2. Si ahora se acercan las esferas A y C, entonces:a) se atraen b) se repelen c) no tienen efecto

�9. Dos pequeñas esferas conductoras idénticas tienen carga neta de −2.10 nC y + 6.10 nC. a) Calcula la fuerza eléctrica sobre cada una cuando están separadas 4.00 cm.b) las dos esferas se ponen en contacto mediante un cable conductor y enseguida se se-

para de ellas. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica entre éstas después de hacer el contacto? ¿es de atracción o de repulsión?

Del proceso de electrización descrito se puede inferir un resultado más. Cuando decimos que un objeto queda cargado positiva o negativamente, nos referimos a que ha perdido o adquirido un cierto número de electrones. Entonces, la cantidad de carga adquirida siempre va a ser un múltiplo entero de la magnitud de la car-ga del electrón (en valor absoluto). Este hecho describe una característica de la carga denominada cuantización. En otras palabras, decimos que la carga está cuantizada porque existe una cantidad mínima de carga, la carga del electrón (en valor absoluto), y cualquier otra cantidad de carga es un múltiplo entero de esa cantidad mínima. A la cantidad de carga mínima se le llama también el cuanto (quantum) de carga.

ejemPlo 10

En un aparato de Milikan para medir la carga del electrón se encuentra que una gotita de aceite tiene una carga negativa de 2.083 × 10−18 C. Determinar el número de electrones en exceso que tiene la gota.



SoLución: De la relación 1e = 1.602 × 10−19 C, obtenemos el número de electrones que tiene

la gota: Ne

eee = ×

×

=

−−

2 083 101

1 602 101318

19.

. /C

C (Recuerda que no hay frac-

ciones de electrones).

ejemPlo 11

¿Cuál es la carga total en C de los electrones contenidos en un pequeño bloque de aluminio de 10.0 g?

SoLución: Es necesario calcular primero el número de electrones; para esto necesitamos como datos el número y la masa atómica del átomo de aluminio, los cuales son (en la tabla periódica) 13 y 27, respectivamente. Además, un mol de cualquier sustancia tiene un número de partículas igual al número de Avogadro ( . )NA = ×6 023 10

23 .

Entonces: número de moles en 10 g de Al: 101

270 37.g

mol

gmol

= de Al. Ense-

guida: número de átomos: 0 37 6 023 10 2 223. . .molátomos

mol×

= 33 10

23× átomos. Lue-

go, número total de electrones: 13 2 23 10 29 1023 23( . )electr

átomoátomos× = × elec-

trones. Finalmente, la carga total en coulombs:

29 10 1 6 1023 19× ×

=

−electrC

electr. 44 6 105. × C una cantidad enorme.


20. Si la carga eléctrica está cuantizada, de manera análoga hay otras propiedades físicas que también lo están, por ejemplo la energía. Si se usa este concepto, relaciona las columnas siguientes de cuantizaciones hipotéticas:

es el cuanto de materia que posee todas sus propiedades físicas y químicas.

Ladrillo

es el cuanto de los seres vi-vos que posee sus cualidades biológicas, físicas, químicas, de estructura, etcétera.

átomo

Si consideramos la construc-ción de un muro como he-cho por unidades enteras.

célula

2�. ¿Qué valor de carga negativa en coulombs existe en una cantidad de electrones igual al número de avogadro?

22. ¿Cuántos electrones es necesario que se transfieran de una moneda de cobre, inicialmente sin carga neta, para obtener una carga neta de +4.0 µC?



Problemas ComPlementarios

7. Cuando se saca la ropa de una secadora, es frecuente que se pegue una prenda con otra. Sin embargo, algunos calcetines idénticos se repelen. explica ambos efectos.

8. las bolas de boliche usualmente adquieren carga por fricción con la mesa. ¿por qué no se manifiesta interacción eléctrica entre éstas?

9. una descarga eléctrica en el aire como el rayo transfiere cerca de 15 C entre la nube y el suelo. ¿Cuántos electrones se transfieren?

�0. Considerar un anillo de plata de 18.000 g (masa atómica de 107.9 g

mol y número atómico

47) y calcular: a) ¿cuántos protones hay en el anillo?; b) ¿cuál es su carga positiva total?;

c) si su carga neta es cero, ¿cuántos electrones tiene?; d) si por frotamiento adquiere una carga de 3.20 nC, ¿cuántos electrones tiene en exceso?; e) ¿en qué proporción aumenta su carga con respecto a la inicial?

eLectrización por inducción y conducción

Examinemos más de cerca el experimento descri-to en la actividad previa. Con lo estudiado hasta el momento puede describirse que lo que ocurre con el objeto de plástico (peine, pluma, etc.) es que éste simplemente se electriza por fricción, mientras que los trocitos de papel se mantienen eléctricamente neutros. ¿Cómo es posible que al acercarles el objeto cargado interaccionen con éste? Supongamos que el objeto adquirió carga negativa, entonces, al acercarle el objeto, los elec-trones en exceso interaccionan con los electrones de las moléculas del papel, de manera que la re-pulsión hace que estos últimos se reacomoden dentro de la estructura molecular del papel, ale-jándose de la zona de influencia de los electrones del objeto de plástico cargado. De esta manera, la parte cercana al objeto externo queda con su estructura mo-lecular intacta, pero con menos electrones, mientras que la zona opuesta queda con más electrones que en su estado original (fi-gura 1.10a). Esta redistribución equivale a tener cada trozo de papel con cargas positivas y negati-vas en dos partes de su estructura (figura 1.10b); decimos que el trozo de papel se ha polarizado. Así, como la parte positiva del papel se encuentra directamente frente al plástico cargado negativa-mente, se produce la atracción y el papelito “vue-la” para pegarse al objeto.

El proceso por el que se polariza el papel y, por consiguiente se electriza con las dos clases de carga, se denomina electrización por inducción; decimos que las cargas en el papel se han inducido por acción de objetos cargados externos. Es im-portante notar que la inducción no implica que al papel se le hayan agregado o re-movido electrones; solamente ha sufrido un reacomodo de sus propios electrones.

Figura 1.10

a)

b)



Una vez que el papel y el plástico están en contacto ocurre otro curioso fenó-meno. Si las condiciones de humedad ambiental y cuidado para hacerlo han sido favorables, se observa que, después de transcurridos unos segundos, el papelito se desprende con violencia del plástico; esto es, pareciera que el plástico “aventara” al papelito, no solamente que éste se desprendiese y cayera. ¿Por qué sucede tal efecto? Al estar en contacto físico, electrones en exceso del plástico se transfieren al papelito de manera que las cargas entre ellos se equilibran. Así, al tener la mis-ma carga, interaccionan para repelerse. Este proceso de transferencia de electrones entre objetos con cargas diferentes en contacto se denomina conducción. Tomando en cuenta todo esto, ¿cómo explicar lo que sucede con el globo inflado que se pega a la pared?

El campo eléctricoRegresemos nuevamente al caso gravitacional. La Ley de Gravitación Universal, ecuación 1.1, da lugar a la expresión más simple de la ecuación 1.3, por medio de la ecuación 1.2 se obtiene la intensidad del campo gravitacional. ¿Podríamos hacer algo semejante con la Ley de Coulomb? Después de todo, hemos probado que am-bas leyes son análogas y de la misma naturaleza. Por consiguiente, es posible deter-minar, a partir de la ecuación 1.5, la intensidad del campo eléctrico por la relación:

E kq

r=

′2

con lo cual la Ley de Coulomb se escribe como:

Fe = qE

La ecuación que define al campo eléctrico contiene la carga fuente q’, la razón por-que recibe este nombre se debe a que es la fuente del campo eléctrico, mientras que q es la carga de prueba, esto es, con la que se prueba la existencia de un campo eléctrico en una determinada región del espacio.

Vectorialmente, las ecuaciones para las intensidades de los campos gravitacional y eléctrico se escriben de la siguiente manera:

g Gm

rr

E kq

rr

=′

=′

2

2

ˆ

ˆ

donde g Ey reciben los nombres de campo gravitacional y

campo eléctrico, respectivamente. La ley de Coulomb queda, en notación vectorial, de la siguiente manera:

F qE F k

qq

rre e= ↔ =′

2ˆ

expresiones para las que hay que notar la semejanza algebrai-ca y, por ende, conceptual, con las relacionadas con la Ley de Gravitación Universal.

La ecuación para el campo eléctrico se interpreta geomé-tricamente a partir de la figura 1.4, en la que simplemente se borra el cuerpo de prueba, con lo que queda la situación de la figura 1.11. Con esto, la primera ecuación resulta ser la magnitud (la intensidad) del campo eléctrico calculada en el punto definido por el vector de posición r̂ (o sea a la dis-

z

x

y

r

q’ r̂

Figura 1.11



tancia r̂ medida desde el origen del sistema de referencia o el centro del objeto fuen-te). A tal punto se le conoce como punto de campo.

La dirección de los vectores de campo eléctrico depende del signo de la carga fuen-te. La manera de proceder para determinarla es similar a como se procede para probar la ley de los signos. La figura 1.11 muestra que si la carga fuente es positiva, el vector de campo eléctrico tiene la misma dirección que el vector unitario r̂ ; esto es, parecería que el vector

E sale del objeto cargado positi-

vamente. La dirección es radial hacia fuera. Pero si el signo de la carga fuente es negativo, entonces la introducción del signo en la ecuación implica que

E tiene dirección exactamente opuesta a r̂ , es decir, el

campo eléctrico entra al objeto cargado en forma negativa.Por otro lado, consideramos cuerpos cargados con simetría esférica. Para otras

simetrías, ¿cómo se considera el campo eléctrico? Debe notarse que la dirección radial es perpendicular a la superficie esférica. Por consiguiente, podemos afirmar que el campo eléctrico es, desde el punto de vista geométrico, perpendicular en todo punto a la superficie del cuerpo cargado sin importar la forma (o simetría) que ten-ga. Matemáticamente decimos que el campo eléctrico es normal a la superficie del cuerpo cargado, lo cual podemos apreciar gráficamente en la figura 1.12.

Hasta el momento hemos discutido los aspectos formales del campo eléctrico, sin establecer un concepto de él. Éste tendría dos vertientes: una física y otra ma-temática. La primera la inferimos de que lo obtuvimos de la Ley de Coulomb, en magnitud F = qE. De aquí que:

EF

q=

Como tenemos un cociente, decimos que el campo eléctrico nos representa cuánta fuerza debe aplicarse a cada coulomb para acelerar la partícula cargada. En otras palabras, cuántos newtons se aplican a cada coulomb, lo que indica que sus unida-

des son N

C. Así, como lo que esencialmente estamos estudiando son interacciones

entre cargas, la importancia de conocer el campo eléctrico reside en que éste nos in-dica cómo es dicha interacción, y basta con multiplicar su magnitud por el valor de la carga de prueba para obtener la magnitud de la fuerza generada por la interacción entre los dos cuerpos cargados.

Por su parte, el concepto matemático parte de lo que es un campo. Una primera aproximación a lo que es la encontramos en el llamado campo de los números rea-les, el cual se conceptualiza de la siguiente manera. Se tiene una recta dirigida, la conocida recta numérica. Ésta es, simplemente, una recta en la que a cada punto se le asocia un número, tal como se muestra en la figura 1.13.

Así, parte de la definición del campo de los números reales consiste en asociar a cada punto de la recta un solo número. De forma análoga, un campo vectorial (como el eléctrico y el gravitacional) es aquél en el que a cada punto del espacio se le aso-cia un solo vector. Aquí comenzamos en un espacio que puede ser bidimensional o

Figura 1.1�

−3 −2 −1Figura 1.1�

1 2 30



tridimensional. Como ejemplos de campos vectoriales bidimensionales tenemos los siguientes (figura 1.14a y 1.14b):

Si consideramos un objeto esférico con carga q’, en el espacio que lo rodea ten-dremos un campo eléctrico (un campo vectorial eléctrico) que, de acuerdo con la simetría del caso dada por la ecuación para el campo eléctrico, los vectores que lo representan tienen dirección radial hacia afuera en cada punto de campo de la región. En virtud de la dependencia inversa con el cuadrado de la distancia, la mag-nitud de cada vector se representa por el tamaño de la flecha cada vez más pequeña conforme nos alejamos del objeto fuente. Podemos pensar en varias imágenes para el campo eléctrico de un objeto esférico cargado: un alfiletero, un erizo o un pez globo.

Por otro lado, es importante darse cuenta de que los vectores que representan al campo eléctrico se suman (superponen), por lo que sobre una línea radial pode-mos representar

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