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INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Dr. César Gallegos Mgs. - 1 -

CARÁCTER DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

La Geometría Elemental, conocida ya por el estudiante, se denomina también Geometría PURA

para distinguirla del presente estudio. Recordaremos que por medio de un sistema coordenado es

posible obtener una correspondencia biunívoca entre puntos y números reales. Esto, como

veremos, nos permitirá aplicar los métodos del ANÁLISIS A LA GEOMETRÍA; y de ahí el

nombre de GEOMETRÍA ANALÍTICA. Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por

ejemplo, como puede usarse, ventajosamente, los métodos algebraicos en la resolución de

problemas geométricos. Recíprocamente, los métodos de la Geometría analítica pueden usarse

para obtener una representación geométrica de las ecuaciones y de las relaciones funcionales.

El sistema de sistema coordenado, que caracteriza a la Geometría Analítica, fue introducido por

primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes (1596 – 1650). Por esta razón, la

Geometría Analítica se conoce también con el nombre de GEOMETRÍA CARTESIANA. Por

la parte que toma en la unificación de las diversas ramas de la Matemática, la introducción de la

Geometría Analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de la

Matemática.

En Geometría pura, el estudiante recordará que, generalmente, era necesario aplicar un método

especial o un artificio, a la solución de cada problema; en Geometría Analítica, por el contrario,

una gran variedad de problemas se pueden resolver muy fácilmente por medio de un

procedimiento uniforme asociado con el uso de un sistema coordenado. El estudiante debe tener

siempre presente que está siguiendo un curso de Geometría Analítica y que la solución de un

problema geométrico no se ha efectuado por Geometría Analítica si no se ha empleado un

sistema coordenado. Según esto, un buen plan para comenzar la solución de un problema es

trazar un sistema de ejes coordenados propiamente designados. Esto es de particular importancia

en los primeros pasos de la Geometría Analítica, porque un defecto muy común del principiante

es que si el problema que se trata de resolver se le dificulta, está propenso a caer en los métodos

de la Geometría Pura. El estudiante deberá hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia y para

adquirir el método y espíritu analítico lo más pronto posible.

La Geometría Analítica, una unión de la Geometría y del Álgebra, permite analizar ciertos

conceptos geométricos de manera algebraica e interpretar ciertas relaciones algebraicas de

manera geométrica. Los dos principales objetivos se centran en la graficación de ecuaciones

algebraicas y la determinación de ecuaciones de figuras geométricas útiles.



SISTEMAS DE COORDENADAS

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DADOS (EN EL PLANO)

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos del

plano cartesiano.

Queremos encontrar la distancia d entre P1 y

P2.Por P1 trazamos una paralela al eje x y por

P2 una paralela al eje y, cortándose éstas en M

como se indica en la figura.

Consideremos el triángulo rectángulo P1MP2.

Por el teorema de Pitágoras, tenemos:

d2 = (P1M)

2 + (P2M)

2

Pero: P1M = x2 – x1

P2M = y2 – y1

d2 = (x2 – x1)

2 + (y2 – y1)

2

2

12

2

12 )yy()xx(d

EJEMPLOS:

1.- Encontrar la distancia entre los puntos: P1

(– 4, 3) y P2 (4, –3). Si aplicamos la fórmula

de la distancia entre dos puntos tenemos:

222 bac

A

BC a

cb

TEOREMA DE PITÁGORAS

x

y

1y

2y

1x 2x

M1P

2P

d

x

y

1P

2P

10d

100d

3664d

)33()44(d

)yy()xx(d

22

2

12

2

12



2.- Hallar la distancia entre los puntos (–3, 5) y (4, 7)

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO POR UNA RAZÓN DADA

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son los extremos de

un segmento P1 P2 y las coordenadas (x, y) de un

punto P que divide a este segmento en la razón

dada PP:PPr 21 .

Vamos a encontrar las coordenadas x e y del

punto P

Por los puntos P1, P, P2, trazamos perpendiculares

a los ejes coordenados, tal como en la gráfica.

Por Geometría elemental, las tres rectas paralelas

intersecan segmentos proporcionales sobre las dos

transversales.

Entonces: 2

1

2

1

AA

AA

PP

PP

Tenemos que:

2

1

PP

PPr A1A = x – x1 AA2 = x2 – x

Sustituyendo tenemos: xx

xxr

2

1

RECUERDE

Teorema: Tres rectas paralelas

intersecadas por dos transversales,

determinan segmentos proporcionales en

dichas rectas

A

B

C

D

E

F

EF

DE

BC

AB

53d

449d

)57()34(d

)yy()xx(d

22

2

12

2

12

x

y

x

y

1B

2B

1A 2AA

1P

2P

PB



Resolviendo:

r1xxrxrxxxrxxxrxrxxxxxr 12121212

Por lo tanto: r1

rxxx 21

Por un procedimiento semejante encontramos “y”, así tenemos: r1

ryyy 21

Caso especial:

Punto medio: (r = 1); en este caso las coordenadas de P son:2

xxx 21 ;

2

yyy 21

Ejemplo:

1. Si P1 (–3, 5) y P2 (7, –1), son dos puntos extremos del segmento P1P2. Hallar las coordenadas

de un punto P(x, y) que divide a este en una razón r = –2

Solución:

7y7

1

25

21

125

r1

ryyy

17x171

143

21

723

r1

rxxx

21

21

P (17, – 7)

REFUERZO Nº 1

1. Hallar el perímetro del cuadrado cuyos vértices son :(–3, –1); (0, 3); (3, 4); (4, –1).

2. Demostrar que los puntos (–1, 2); (6, 9); (13, 2) son los vértices de un triángulo isósceles.

3. Demostrar que los puntos (2, –2); (–8, 4); (5, 3) son vértices de un triángulo rectángulo y

hallar su área.

4. Demostrar que los tres puntos (12, 1); (–3, –2); (2, –1) son colineales es decir que están en

la misma recta.

5. Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5); (7, 2); (4, –2) son los vértices de un cuadrado.

6. Los vértices de un triángulo son A (3, 8); B (2, –1); C (6, –1) si D es el punto medio del lado

BC calcular la longitud de la mediana AD.

7. Demostrar que los cuatro puntos (1, 1); (3, 5); (11, 6); (9, 2) son los vértices de un

paralelogramo.

8. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (1, 2); (3, 4); (– 4, 0)

9. Los vértices de un triángulo son A (–1, 3); B (3, 5); C (7, –1) si D es el punto medio del lado

AB y E es el punto medio del lado BC demostrar que el segmento DE es la mitad de la

longitud del lado AC.

10. En el triángulo rectángulo del ejercicio 3 demostrar que el punto medio de la hipotenusa

equidista de los tres vértices.

NOTA: Realizar un gráfico para cada ejercicio.



ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

Una línea recta analíticamente, es una ecuación lineal de primer grado en dos variables.

Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer

grado en dos variables es una recta.

Una recta queda determinada completamente si se conoce dos condiciones, por ejemplo,

dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.

ÁNGULO DE INCLINACIÓN

Es el ángulo formado por la recta y la parte positiva

del eje de las X, cuando ésta se considera dirigida

hacia arriba.

Evidentemente, Ө puede tener cualquier valor

comprendido entre 0º y 180º; es decir, su intervalo

de variación está dado por: 0º ≤ Ө ≤ 180º

Para la mayor parte de los problemas de Geometría

analítica, emplearemos más la tangente del ángulo de

inclinación que el ángulo mismo. Según esto:

PENDIENTE

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta

a la tangente de su ángulo de inclinación.

Para deducir su ecuación, diremos que:

Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos de una recta,

entonces, su pendiente es:12

12

xx

yym

DEMOSTRACIÓN:

m = tg AP

APtgm

1

2 P2A = y2 – y1 P1A = x2 – x1

Sustituyendo tenemos:

m = tg

'

21

12

12 xx,xx

yym

1y

2y

1x2x

1PA

2P

y

x



EJEMPLOS:

1. Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (–2, 4).

2. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y

(–2, 1).

(La recta es paralela al eje x)

3. Determine la pendiente de la recta

que pasa por los puntos P1 (2, –3 ) ; P2 (

2, 5 )

0

8

22

35

xx

yym

12

12

Cualquier recta que coincida o sea

paralela al eje Y será perpendicular al eje

X, y su ángulo de inclinación será de 90º.

Como Tg 90º no está definida, la

pendiente de una recta paralela al eje Y

4

1m

22

34m

xx

yym

12

12

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

)3,2(P1

)4,2(P2

0m

04

0

22

11

xx

yym

12

12

x

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

P1(2, -3)

P2(2, 5)



no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda recta perpendicular al eje X no tiene

pendiente. Se recordará que ∞ no es un número.

4. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A ( 2 , 5) ; B ( -3, -1)

5

6

5

6

23

51

xx

yym

12

12

entonces

5

6m

5. Encontrar la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1 (–2, 1 ) ; P2 ( 2, –7 )

24

8

22

8

)2(2

17

xx

yym

12

12

PARALELISMO Y PERPENTICULARIDAD

PARALELISMO Dos rectas L1 y L2 son paralelas, cuando tienen la misma pendiente, es

decir:

PERPENDICULARIDAD Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares cuando la pendiente de

la una es igual al recíproco de la otra cambiada de signo, es decir:

ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS

Sea L1 y L2 dos rectas que se intersecan en el punto P formando los ángulos suplementarios y

1. Sean A y B las intercepciones de L1 y L2 con el eje x. Se ha formado el triángulo APB, en el

que tenemos el ángulo interior y en ángulo exterior .

2

1m

1m

m1 = m2



Por geometría elemental, un ángulo

exterior de un triángulo es igual a la suma

de los ángulos interiores opuestos.

Entonces tenemos: = +

Despejando (ángulo formado entre las

dos rectas), tenemos: = -

Aplicando la tangente a los dos miembros

de la igualdad tenemos: tg = tg ( - )

tg.tg1

tgtgtg

Pero: tg = m2 ; tg = m1

Entonces:

EJEMPLO:

1.- Hallar los ángulos agudos del paralelogramo cuyos vértices son los puntos: A (–1, 2);

B (2, 6); C (12, 6) y D (9, 2).

12

12

m.m1

mmtg

y

x

0

P

1

1m2m

1L2L

BA



o

12

12

13.53A

)0(3

41

03

4

TgA

m.m1

mmTgA

0mAD3

4mAB

19

22mAD

12

26mAB

Pero como ABCD es un paralelogramo, tiene sus ángulos opuestos congruentes.

Entonces: C = 53.13

REFUERZO Nº 2

1. Decir qué ángulo de inclinación tienen las siguientes rectas: a) el eje x b) el eje y c) una

recta paralela al eje x y dirigida hacia la derecha d) una recta paralela al eje x y dirigida

hacia la izquierda.

2. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos: (–3, 2) y

( 7 , –3).

3. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, –2); (–1, 4); y (4, 5). Calcular la pendiente de

cada uno de los lados.

4. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4.

Hallar su ordenada.

5. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135. Sabiendo que la recta final tiene una

pendiente de –3, calcular la pendiente de la recta inicial.

6. Por medio de pendientes demuéstrese que los tres puntos (6, –2); (2, 1) y (–2, 4) son

colineales.

7. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (–2, 5) y (4, 1) es perpendicular a la recta

que pasa por los puntos (–1, 1) y (3, 7).

1 2 9 12

A D

B C

1m

2m6

X

Y



LA LÍNEA RECTA

DEFINICIÓN.- Es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes P1

y P2, el valor de la pendiente m es la misma.

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA.

ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE.

Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su

dirección (pendiente).

Analíticamente, la ecuación de la recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las

coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación (y por tanto su pendiente).

Una ecuación de la recta con pendiente m y que pasa por el punto P1( x1 , y1) es:

y – y1 = m(x – x1)

Recuerde que la fórmula punto – pendiente,

P1( x1 , y1) denotado al punto dado y P (x, y)

denotado a cualquier otro punto sobre la recta

DEMOSTRACIÓN:

Sea el punto P(x, y) un punto cualquiera de la

recta, diferente del punto dado P1(x1, y1).

Por la definición de pendiente se tiene:

1

1

xx

yym

De la cual obtenemos, inmediatamente, quitando denominadores, la ecuación (1) que es:

y – y1 = m(x – x1) (1)

Recíprocamente, si las coordenadas de cualquier otro punto )yx(P 2,22 satisfacen (1), tenemos:

12

12

xx

yym

que es la expresión analítica de la definición de recta, aplicando a los dos puntos )yx(P 1,11 y

)yx(P 2,22 . Por tanto, P2 está sobre la recta. Esto completa la demostración.

)y,x(P 111

)y,x(P

x

y

0



EJEMPLOS.

1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (4, 3) y tiene una pendiente de 3.

Representar gráficamente.

Datos: m = 3; P1 (4, 3)

y – y1 = m(x – x1)

y – 3 = 3(x – 4)

y – 3 = 3x – 12

3x – y – 9 = 0

2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (–2, 3) y tiene una pendiente de –2.


Datos: m = –2; P1 (–2, 3)

y – y1 = m(x – x1)

y – 3 = –2(x – (–2) )

y – 3 = –2(x + 2)

y – 3 = –2x – 4

2x + y + 1 = 0

-1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

x

y

09yx3

3,4P1

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

x

y

01yx2

3,2P1



ECUACIÓN DE LA RECTA, CONOCIDOS DOS DE SUS PUNTOS.

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos

diferentes, dados sobre una recta.

Al hallar la pendiente de esta recta, se

tiene: 12

12

xx

yym

Utilizamos la forma de la ecuación de la

recta punto pendiente, sabiendo que:

P1 (x1, y1) y 12

12

xx

yym

Luego aplicando la fórmula punto pendiente se cumple que:

Ejemplos:

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (–6, 7) y P2 (1, –2)

Solución: Aplicando la fórmula tenemos:

La ecuación es: 9x + 7y + 5 = 0

1

12

121 xx

xx

yyyy

ECUACIÓN CONOCIDOS

DOS DE SUS PUNTOS

6x7

97y

6x61

727y

xxxx

yyyy 1

12

12

1

x

y

P2(1, -2)

P1(-6, 7)

9x+7y+5 =0

x

y

1x 2x

1y

2y

111 y,xP

222 y,xP



2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (4, 2) y P2 (–5, 7)

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (–3, –5), P2 (4, 3).

REFUERZO Nº 3

(Grupo 9 pág. 63)

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente 2.

2. Una recta con pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). Un punto sobre la recta tiene ordenada 4,

hallar la abscisa de dicho punto.

3. Hallar la ecuación de la recta determinada por los puntos (3, – 1) y (–2, –3).

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (m, m).

011y7x8

03524y7x8

24x835y7

)3x(7

85y

)3x(34

535y

)xx(xx

yyyy 1

12

12

1

038y9x5

01820y9x5

20x518y9

)4x(9

52y

)4x(45

272y

)xx(xx

yyyy 1

12

121

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

038y9x5

)2,4(P1

)7,5(P2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

011y7x8

)5,3(P1

)3,4(P2



5. Los vértices de un cuadrilátero son: A (0, 0); B (2, 4); C (6, 7); y D (8, 0). Hallar las

ecuaciones de sus lados.

6. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (–3, 2), B (1, 6).

OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA DE ORIGEN.

La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación:

bmxy

DEMOSTRACIÓN:

Consideremos una recta l, cuya pendiente es m y cuya

ordenada es en el origen, es decir, su intersección con el

eje Y, es b. Como se conoce b, el punto cuyas

coordenadas son (0,b) está sobre la recta. Por tanto, el

problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que

pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Según el

teorema 1 , la ecuación buscada es :

)0x(mby

)xx(myy 11

o sea y = mx + b

EJEMPLOS

1.- Hallar la ecuación de la recta que pasa

por la ordenada 6 y cuya pendiente es

2.


Datos: m = 2; b = 6

y = mx + b y = 2x + 6

)y,x(P

0x

y

b

)b,0(

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

6x2y 6b

)6,0(P



2.- Hallar la ecuación de la recta que

pasa por la ordenada 4 y cuya pendiente

es -3. Representar gráficamente.

Datos: m = – 3; b = 4

y = mx + b

y = – 3x + 4

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA.

La recta cuyas intersecciones son con los ejes X e Y son 0a y 0b , respectivamente tiene

por ecuación: 1b

y

a

x

Sean (a ≠ 0) y (b ≠ 0) los segmentos que una recta

determinan sobre los ejes X e Y es decir, sus

intercepciones. Entonces (a, 0) y (0, b) son dos puntos

de la recta. Por tanto, el problema de obtener la

ecuación de una recta cuando se conocen los

segmentos que determinan sobre los ejes se reduce a

hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos

y tenemos, por el teorema 3 que dice: La recta que

pasa por dos puntos dados y

tiene por ecuación: )( 1

12

12

1 xxxx

yyyy

Si reemplazamos los valores en la ecuación nos queda:

)(0

00 ax

a

by

de donde

abbxay

)yx(P 1,11 )yx(P 2,22

)0,a(

a

b

)b,0(

x

y

0

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

4x3y

)4,0(P

4



Transponiendo – bx al primer miembro y dividiendo por ab, obtenemos

1b

y

a

x

EJEMPLOS:

1. Encontrar la ecuación simétrica

de la recta que pasa por los

puntos P1 (–3, 0), P2 (0, 4).

Datos: a = –3; b = 4

2. Una recta de pendiente – 3 pasa por el punto (4, 6). Hallar la ecuación de la recta en la

forma simétrica.

Solución:

Primero hallamos la ecuación de

la recta, utilizando la fórmula

punto pendiente:

12x36y

4x36y

xxmyy 11

018yx3

(Ecuación de la recta)

Para hallar la forma simétrica trasponemos el 18 al segundo miembro de la ecuación, luego

dividimos para 18 obteniendo así:

012y3x4

12y3x4

14

y

3

x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

012y3x4

)0,3(P1

)4,0(P2

3a

4b

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

6,4P



18

18

18

y

18

x3

18yx3

018yx3

Ecuación simétrica de la recta

REFUERZO Nº 4

1. Sea el triángulo formado al unir los puntos: A (–2, 5); B (4, 3) y C (– 4, – 4).

En este triángulo, calcular:

a) Las ecuaciones de los lados.

b) La ecuación de una recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado BC.

c) Las ecuaciones de las medianas.

d) Las ecuaciones de la mediatrices de los lados.

2. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección

de las rectas 2x + y – 8= 0 y 3x – 2y + 9 = 0.

3. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes x e y son 2 y –3 respectivamente.

Hallar su ecuación.

4. El punto P de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A

(7, –2). Calcular la abscisa de P.

5. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos: (3, –6) y (–1, 0).

6. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C (–2,

2) y D (3, – 4). Hallar su ecuación.

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2, 4) y determina sobre el eje x el

segmento –9.

8. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son: 3x – 8y + 36 = 0 ; x + y – 10 = 0 ;

3x – 8y – 19 = 0 y x + y + 1 = 0. Demostrar que la figura es un paralelogramo y hallar

las coordenadas de sus vértices.

NOTA: Realice un gráfico para cada ejercicio.

118

y

6

x



FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

Una ecuación general de la recta es una ecuación del tipo:

0CByAx ( 1 )

En donde A, B y C; son número reales, y A o B tienen que ser diferente de cero y C puede o no

ser igual a cero. La ecuación (1) se llama la forma general de la ecuación de una recta.

Ahora vamos a considerar el caso inverso, a saber, ¿la ecuación lineal (1), representa siempre

una línea recta? Para contestar a esto examinaremos las dos formas posibles de la ecuación (1)

con respecto al coeficiente de y, es decir, las formas para 0B y 0B .

CASO I ( B = 0 )

Si B = 0, entonces 0A , y la ecuación (1) se reduce a la forma: A

Cx ( 2 )

Pero ( 2 ) es de la forma x = k , que es la ecuación de una recta paralela al eje Y.

CASO II. ( B 0 )

Si B 0, podemos dividir la ecuación (1) por B y entonces por transposición se deduce a la

forma: B

Cx)

B

A(y ( 3)

Pero (3) está en la forma y = mx + b; y por tanto, es la ecuación de una recta cuya pendiente m

es B

A y cuya ordenada en el origen b es

B

C . ( m =

B

A ; b =

B

C ).

En consecuencia, vemos que en todos los casos la ecuación (1) representa una recta. Vamos a

hacer un resumen de estos resultados en el siguiente enunciado:

Una ecuación lineal en las variables x e y representa una recta y recíprocamente. ( * )

NOTAS:

1.- Este enunciado muestra lo apropiado del término lineal para designar las expresiones

algebraicas de primer grado.



2.- La pendiente de una recta cualquiera, no paralela al eje Y, puede obtenerse directamente a

partir de la ecuación. Para ello bastará reducir la forma dada (1) a la forma (3); el coeficiente

de x es la pendiente. Más sencillamente, todo lo que tenemos que hacer es dividir en (1) el

coeficiente de x por el coeficiente de y y después cambiar el signo.

Ejemplos:

Calcular la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes ecuaciones de la forma general

de la recta.

1.- 3x + 2y – 8 = 0

A = 3; B = 2, C = -8; entonces: m = 2

3

B

A ; b = 4

2

8

B

C

2.- 2x – 5y + 4 = 0

A = 2; B = -5, C = 4: entonces: m = 5

2

5

2

B

A

; b =

5

4

5

4

B

C

REFUERZO Nº 5

1. Hallar la ecuación de la recta determinando los coeficientes de la forma general, que es

perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (-1,-3).

2. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k – 1)y –18 = 0, sea paralela a la recta 3x – 2y

– 11 = 0.

3. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta 7x – 9y + 2 = 0.

4. Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados

un triángulo rectángulo de área igual a 2½ unidades cuadradas.

5. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (4, –1) y (7, 2) biseca al segmento cuyos

extremos son los puntos (8, –3) y (– 4, –3).

6. Demostrar que las rectas 2x – y – 1 = 0 ; x – 8y + 37 = 0 ; 2x – y – 16 = 0 y

x – 8y + 7 = 0 forman un paralelogramo y hallar las ecuaciones de sus diagonales.

7. Demostrar que las rectas 5x – y – 6 = 0 ; x + 5y + 4 = 0 ; x + 5y –22 = 0 ; 5x – y

– 32 = 0 forman un cuadrado.

8. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 4x – 9y + 11 = 0 y 3x + 2y – 7 = 0.

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