República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación

Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de SucreExtensión- Barcelona / Puerto la Cruz

Cátedra: “Matemática II

Tutor: Ing Ranielina Rondón Mejías

Bachiller: Katerin Yende C.I: 19.717.568Escuela (71) Administración

Puerto la Cruz, 18 de Mayo de 2016

REGLAS DE INTEGRACIÓNSe entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una anti derivada o integral indefinida de una función.

A continuación se indican algunas técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales de una clase muy amplia de funciones.

Todas las técnicas tienen como objetivo reducir la integral buscada a una integral ya conocida o inmediata, ó bien reducirla a una integral más sencilla.

INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.

Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.

 Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que: 

Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a una función u y a u' (su derivada).

Ejemplo

Cambio de variable:   

u = cos(x)

du = -sen(x) dx -> sen(x) dx = -du

 INTEGRACIÓN POR PARTES.

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un producto de una función por la derivada de otra.

Sean u y v dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces:

u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx:

Ejemplo

u = x2          v = ex

du = 2x dx    dv = ex dx

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES:

Vamos a integrar funciones racionales (cociente de polinomios), que siguen la forma:

a) Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).

En este caso se divide P(x) entre Q(x), pasando la integral a:

Se reduce a calcular la integral de un polinomio c(x) y la integral de una función racional en la cual el numerador tiene grado menor que el denominador (está última integral es la que nos queda por calcular).

A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las que el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una suma de fracciones parciales, fáciles de integrar.

b) Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).

Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador es de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n

b.1) Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas:

La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos:

Q(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an), hacemos la siguiente descomposición:

con A1, ...An constantes reales.

Ejemplo

Q(x) = x2-16 = (x-4)(x+4), la descomposición en fracciones parciales sería:

; en la bastará encontrar los valores de A y B

Resolviéndolo queda A = -B = -1/8

b.2) Q(x) tiene todas sus raíces reales, pero puede haber repetidas:

La factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales no necesariamente distintos, es decir:

Q(x) = (x-a1)m1(x-a2)m2(x-a3)m3…(x-an)mn

De nuevo como en el caso anterior la integración de las fracciones parciales es sencilla y se reduce a calcular integrales de la forma:

las cuales, para n > 1, se resuelven por un sencillo cambio de variable.

Ejemplo

Q(x) = x3 - 4x2 + 4x = x (x-2)2, la descomposición en fracciones parciales sería:

Resolviéndolo queda A = 2, B = -2 y C = 7.

b.3) Q(x) tiene raíces complejas distintas:

Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma:

ax2 + bx + c       con      b2 - 4ac < 0

a cada uno de estos factores le corresponde una fracción parcial de la forma:

donde A y B son constantes reales.

b.4) Q(x) tiene raíces complejas repetidas:

Cuando en la factorización del polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma:

(ax2 + bx + c)n       con      b2 - 4ac < 0

a cada uno de estos factores le corresponden n fracciones parciales de la forma:

con Ak, Bk constantes reales (k=1, ..n).

INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE

Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo u, llamada variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y realizar las operaciones necesarias, para que ni en el integrando ni en el diferencial, aparezca alguna expresión en términos de la variable original. A esto se le denomina cambio de variable (CDV).

Luego de hacer efectivo el CDV, por lo general, se obtienen integrales más sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el método anterior. Por esta razón, es necesario que el lector haya estudiado detalladamente dicho método puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación específica de este contenido que ya debe ser parte de sus redes conceptuales.

 Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en

función de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la respuesta definitiva.

A continuación se presenta un conjunto de ejemplos, cuya función es introducir este segundo método de integración.

Ejemplo 1     Resolver la siguiente integral:

  Solución Método a emplear: Integración por cambio de variable. Regla de integración:  Ecuación 1.1

     Desarrollo:

 

  -  En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:u= 2x+6     (1)

-  Debido a (1), la integral original se transforma momentáneamente en:

 =       (2)

-     Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar adx, en función de du y para ello se:·        Deriva ambos  miembros de (1) para obtener:

du=2dx·        Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:

     (3)-    Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1de los O.L , se obtiene:

 =   = 

-     Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.1. Así:

 =     -    Devolviendo el CDV, u=2x+6 , se obtiene la respuesta final. Por tanto:

Ejemplo 2     Resolver la siguiente integral:

  Solución Método a emplear: Integración por CDV. Regla de integración: Ecuación 1.1

     Desarrollo:

 

  v    En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:u= 4x -1     (1)

v    Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:

=      (2)v    Como la integral a resolver no debe quedar en función de la

variable original, se debe expresar adx, en función de du y para

ello se:·        Deriva ambos  miembros de (1) para obtener:

du=4dx·        Divide la expresión anterior entre 4, obteniéndose:

(3)v    Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y

además se aplica la propiedad 1de los O.L , se obtiene:

=   = 

v    Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Aplicando exponente fraccionario y la Ecuación 1.1., se obtiene:

=     v    Devolviendo el CDV, u= 4x -1, se obtiene la respuesta final. Por

tanto:

Ejemplo 3     Resolver la siguiente integral:

  Solución Método a emplear: Integración por CDV. Regla de integración: Ecuación 1.3

     Desarrollo:

 

 

v    En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:u= 1-x  (1)

v    Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:

=      (2)v    Como la integral a resolver no debe quedar en función de la

variable original, se debe reemplazar a dx, en función du y para ello se:

·        Deriva ambos  miembros de (1) para obtener:du=-1dx

·        Divide la expresión anterior entre -1, obteniéndose:-1du=dx    (3)

v    Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1de los O.L , se obtiene:

=   = 

v    Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Recuerde que para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.3. Así:

= v    Devolviendo el CDV, u = 1-x, se obtiene la respuesta final. Por

tanto:

 

Ejemplo 4     Resolver la siguiente integral:

  Solución Método a emplear: Integración por CDV. Regla de integración: Ecuación 1.3

     Desarrollo:

 

  v    En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:u = x2   (1)

v    Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:

 =     =   (2)Obsérvese la agrupación de términos, que se hizo en la última

integral.v    Como la integral a resolver no debe quedar en función de la

variable original, se debe expresar axdx, en función du y para

ello se:·        Deriva ambos  miembros de (1) para obtener:

du=2xdx·        Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:

      (3)v    Si en (2), se reemplaza a xdx por la expresión obtenida en (3) y

además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:

 =   =   =   v    Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Recuerde

que para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.3. Así:

 =          v    Devolviendo el CDV, u = 1-x, se obtiene la respuesta final. Por

tanto:

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

  Se trata de integrales en la que aparecen las funciones trigonométricas: sen x, cos x, tan x. Estas funciones pueden aparecer dentro de una expresión racional P/Q, para este caso hay un cambio siempre válido, es el llamado cambio general que las transforma en integrales racionales.

  CAMBIO GENERAL:

Según esto para expresar el seno y el coseno como funciones de t, podemos considerar:

Expresiones que se obtienen de:  sen 2A = 2 sen A cos A; cos 2A = cos²A - sen²A, haciendo 2A = x. Con lo cual, podemos poner:

 Ejemplo1:   Hallemos la integral,

  Solución: Haciendo el cambio general,  tan x/2 = t, no tenemos más que sustituir directamente,

Para transformarla en racional:

Finalmente debemos sustituir el valor de t:

Las integrales trigonométricas que estamos viendo suelen ser expresadas en los

libros como:   , donde por R nos referimos a una expresión racional. Ahora vamos a ver que ciertas integrales de la

forma:  ,  en las que aparece sen x ó cos x multiplicando a dx  aunque pueden ser hechas por el método general, suele ser más fácil realizarla por una simple sustitución: sen x = t ó cos x = t. Como en el siguiente ejemplo:

  Ejemplo 2:   Hallemos la integral,

  Solución: Realizamos el cambio indicado,

con lo que nos queda:

una integral racional cuyo resultado es:     

CAMBIO ALTERNATIVO:

  En ocasiones nos aparecen integrales en las que (1) aparece la función tangente y/o (2) aparecen las funciones seno y coseno elevadas a potencias pares, en estos casos conviene realizar un cambio que llamaremos "trigonométrico alternativo":

   Apoyándonos en una circunferencia trigonométrica, cuyo radio es 1, hacemos el cambio:

Por la gráfica, observamos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y t (el

segmento rojo es la tangente de  x ), entonces la hipotenusa es la raíz de estos valores al cuadrado. Entonces podemos poner:

con este cambio las integrales trigonométricas se convierten a racionales, pero se exige que en ellas el seno y al coseno estén elevados a potencias pares para que al sustituir desaparezcan los radicales del denominador.

Ejemplo 3:   Hallemos la integral,

Solución: Como aparece sólo la función tangente hacemos este cambio alternativo: tg x = t

Finalmente en t sustituimos tg x.

Ejemplo 4:   Hallemos la integral,

  Solución:   En esta integral aparece tg x y la función sen x elevada a una potencia par, por tanto puede ser adecuado este cambio, tg x = t,   x =  arc tg t:

Sustituyendo la convertimos en racional:

Finalmente sustituimos la t por tg x.