INTEGRAL Indefinida Apunte (1)

Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Econmicas- Comodoro Rivadavia- MATEMTICA I - Integrales- Balocchi- 2012

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INTEGRAL INDEFINIDA

Integrar es el proceso recproco del de derivar, es decir, dada una funcin f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x).

Si una funcin f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferencindose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una funcin.

Se representa por f x dx y se lee integral de x diferencial de x.

es el signo de integracin, f (x) es el integrando o funcin a integrar, dx es diferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra. C es la constante de integracin y puede tomar cualquier valor numrico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

f x dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una funcin es correcta basta con derivar.

Ejemplo: 2x

x dx C2

, entonces derivando: x2 0 x2

Integrales inmediatas usadas frecuentemente

dx x C 1

1

mmx

x dx Cm

1

2dx x Cx

x xe dx e C ln

xx aa dx C

a

1lndx x C

x


2

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin.

k f(x) dx = k f(x) dx

Ejemplos:

1. 1

2 2 1 55 5 5 5 1

xx dx x dx C C C

x x

2. 2 2 2 2 2 2 22 2 + a bx dx a abx b x dx a dx abx dx b x dx

2 32 2 2 2 22 + b 2

2 3

x xa dx ab x dx x dx a x ab b C

3. 1 1

1 lnx

dx dx x x Cx x

4. Resolver : 52 2

1dx

x x ( RTA: -5/7 (x -7/5) + C)


3

METODOS DE INTEGRACION (Veremos los mtodos por sustitucin de variables y por partes)

POR SUSTITUCION DE VARIABLES

El mtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable se basa en la derivada de la funcin compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable, por ejemplo: t, de modo que se obtenga una integral ms sencilla.Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos trminos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

Ejemplos

1. ln

lnx

xt te dx e dt e C e Cx

, habiendo hecho esta sustitucin: ln(x) = t,

entonces 1/x dx = dt, luego dx= x dt.

2.


4

23 2

3

12

22 2

1

23

1

2

3 llamamos 5 1 por lo tanto 15

5 1

3 1 1 1,sustituyendo:

5 5 515 15

1 2 2 5 1

5 5 5

xdx x u x dx du

x

du x du du dudx u du

x xu u u

uC u C x C

3.

INTEGRACIN POR PARTES Sean u = u(x), v = v(x) dos funciones continuas en un intervalo [a, b] (o en todo R). La derivada del producto es:


5

(u v) = vu + uv

Integrando los dos miembros de la igualdad:

uv dx vudx uvdx , entonces

uv u dv v du uv v du u dv La expresin obtenida, denominada frmula de integracin por partes, se utiliza para transformar una integral en otra ms sencilla.

Ejemplos:

1. 1 1 1

= 3 3 3 3

xxe x dx e x dx u dv uv v du .

Cmo llamaremos a cada una de las partes?

ex dx = dv , x = u

ex = v , dx = du:

1 1

= 3 3

u dv [ x ex - dx xe ]= 1/3 ex (x-1) + C

2. 3 xx e dx


6

Ejercicios propuestos:

1.

2. 2 52 ( 3)x x dx

3. 1

21 x x dx

4. 2( )xe x dx

5.

32ln( ). dxx x

6. dxx

e x

2

1

7.

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