Integración Numérica€¦ · Método de Romberg. b) Aplicar la fórmula recursiva de Romberg...

Integración Numérica

Contenido

• Integración Numérica• Método de Coeficientes Indeterminados• Método de Curvatura de Newton-Cotes• Método de Romberg


• Los métodos numéricos utilizados para resolver la Integración Definida de una función son:

• Método de Coeficientes Indeterminados• Método de Curvatura de Newton-Cotes• Método de Romberg


• La Integral Definida se expresa como

𝐼𝐼 = �𝑎𝑎

𝑏𝑏𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥

donde 𝒇𝒇(𝒙𝒙) es una función continua en el intervalo (𝒂𝒂,𝒃𝒃), y esta representa el área bajo la curva de 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) entre 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂 y 𝒙𝒙 = 𝒃𝒃.

• Si se divide el intervalo (𝒂𝒂,𝒃𝒃) en 𝐍𝐍 subintervalos(𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏) de longitud 𝒉𝒉 (𝒉𝒉 = ∆𝒙𝒙), obtenemos una serie de rectángulos de ancho 𝒉𝒉 y altura 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊) y el área de cada uno de ellos es 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊)𝒉𝒉.


• El área bajo la curva puede ser aproximada por la suma de las áreas de estos rectángulos, por lo que podemos obtener la Integral Definida de la siguiente forma

Por lo tanto, un método de aproximación de I sería el cálculo de la suma de las áreas

donde 𝒏𝒏 es un número entero muy grande pero finito.


• Intuitivamente, una mejor aproximación numérica de la integral definida podría ser el cálculo de la suma de las áreas trapezoidales, donde el área del trapezoide i sería

La suma 𝑻𝑻 de estas áreas trapezoidales es entonces


• Examinando las fórmulas anteriores podemos ver que cualquiera de estos dos métodos numéricos de aproximación de una integral definida puede ser escrita forma de la suma de los pesos de las ordenadas

donde 𝑨𝑨𝒊𝒊 son constantes apropiadas (pesos), y la 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊) son ordenadas de la función escogidas apropiadamente.

• El error entre la integral definida y estas aproximaciones lo podemos obtener con la siguiente relación

Método de Coeficientes Indeterminados

• En esta sección se determinará el juego de constantes 𝑨𝑨𝒊𝒊 tal que el Error 𝑬𝑬 definido en la relación

sea igual a cero para una 𝒙𝒙𝒊𝒊 arbitraria y donde 𝒇𝒇(𝒙𝒙) es cualquier polinomio 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) de grado no mayor de 𝒏𝒏.


• Ahora, si el error 𝑬𝑬 es cero cuando 𝒇𝒇(𝒙𝒙) es cualquier polinomio de grado no mayor que 𝒏𝒏, entonces deberá ser cero cuando 𝒇𝒇 𝒙𝒙 =𝟏𝟏,𝒙𝒙,𝒙𝒙𝟐𝟐, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏.

• Por sustitución sucesiva de 𝟏𝟏,𝒙𝒙,𝒙𝒙𝟐𝟐, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏para 𝒇𝒇(𝒙𝒙) en la ecuación del error, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones, las cuales son lineales y con constante desconocida 𝑨𝑨𝒊𝒊 (considerando la restricción 𝑬𝑬 = 𝟎𝟎 para cada caso)


• Escribiendo las ecuaciones anteriores en forma matricial obtenemos

• Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos los valores de 𝑨𝑨𝒊𝒊los cuales los podemos aplicar a la siguiente fórmula para obtener la aproximación de la integral definida


Ejemplo:Encontrar la Integral de cosh(𝑥𝑥) de 0 a 2.

Considerando los puntos 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = 2 y 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = cosh(𝑥𝑥)


La solución exacta del ejemplo es:

Entonces el error total es:Error = |3.62686 – 3.644839| = 0.017979

Método de Curvatura de Newton-Cotes

• Las reglas de trapecios, Simpson 1/3 y Newton 3/8 pertenecen a la clase denominada Curvatura de Newton de métodos de integración numérica para aproximar

𝑰𝑰 ≡ �𝒂𝒂

𝒃𝒃𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙

• Estas fórmulas son denotadas por 𝑸𝑸𝒏𝒏𝒏𝒏 y son de la forma general

donde 𝒇𝒇∗(𝒙𝒙) es un polinomio de interpolación.


Características:1. Para valores igualmente espaciados de 𝒙𝒙, es decir 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒉𝒉2. La 𝒇𝒇(𝒙𝒙) se aproxima por un polinomio de interpolación de Diferencias Finitas Hacia

Delante de Newton, 𝑷𝑷𝒌𝒌(𝒙𝒙) donde:𝒌𝒌 ≤ 𝒏𝒏, para 𝒏𝒏 impar𝒌𝒌 ≤ 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏, para 𝒏𝒏 par

3. Se tomarán grupos de 𝐍𝐍 subintervalos, para calcular 𝑷𝑷𝒌𝒌(𝒙𝒙) en cada grupo


• Regla Trapezoidal 𝑸𝑸𝟏𝟏𝟏𝟏

• Regla de Simpson 1/3 𝑸𝑸𝟐𝟐𝟐𝟐

• Regla de Newton 3/8 𝑸𝑸𝟑𝟑𝟑𝟑


Ejemplo. Encontrar la integral de 1/𝑥𝑥2 en el intervalo de 1 a 3 por método de curvatura de Newton-Cotes, haciendo uso de:a) Regla Trapezoidalb) Regla de Simpson 1/3c) Regla de Newton 3/8


a) Trapecios (𝑸𝑸𝟏𝟏𝟏𝟏)

�1

3 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥2

ℎ = 0.5

𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒚𝒚1 1.0000 0.25 0.2500

1.5 0.4444 0.5 0.2222

2 0.2500 0.5 0.1250

2.5 0.1600 0.5 0.0800

3 0.1111 0.25 0.0278

𝐈𝐈 = 0.705

Iexacta = 0.6667

error = 0.0383

𝑦𝑦 =1𝑥𝑥2

I =−1𝑥𝑥 1

3

Solución analítica:


b) Simpson (𝑸𝑸𝟐𝟐𝟐𝟐)

�1


𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒚𝒚1 1.0000 0.1667 0.1667

1.5 0.4444 0.6667 0.2963

2 0.2500 0.3333 0.0833

2.5 0.1600 0.6667 0.1067

3 0.1111 0.1667 0.0185

𝐈𝐈 = 0.6715

Iexacta = 0.6667

error = 0.0048

ℎ = 0.5


I =−1𝑥𝑥 1

3



c) Newton 3/8 (𝑸𝑸𝟑𝟑𝟑𝟑)

�1

3 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥2 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒚𝒚

1 1.0000 0.125 0.1250

1.3333 0.5625 0.375 0.2109

1.6667 0.3600 0.375 0.1350

2 0.2500 0.25 0.0625

2.3333 0.1837 0.375 0.0689

2.6667 0.1406 0.375 0.0527

3 0.1111 0.125 0.0139

𝐈𝐈 = 0.6689

Iexacta = 0.6667

error = 0.0023

ℎ = 0.3333


I =−1𝑥𝑥 1

3


Método de Romberg

Más eficiente computacionalmente, mayor precisión. El método consiste de 2 pasos:a) Calcular aproximaciones de

�𝒂𝒂

𝒃𝒃𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙

usando 𝑸𝑸𝟏𝟏𝟏𝟏(método de trapecios), para diferentes valores 𝒉𝒉𝒌𝒌; donde

𝒉𝒉𝒌𝒌 =(𝒃𝒃 − 𝒂𝒂)𝟐𝟐𝒌𝒌

; 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, …

Llamaremos 𝑻𝑻𝟎𝟎𝒌𝒌

Método de Romberg

b) Aplicar la fórmula recursiva de Romberg sobre las aproximaciones𝑻𝑻𝟎𝟎𝒌𝒌 encontradas en a), para encontrar las aproximaciones 𝑻𝑻𝟏𝟏𝒌𝒌. La fórmula se aplican hasta donde sea posible.

𝑻𝑻𝒎𝒎𝒌𝒌 =𝟒𝟒𝒎𝒎𝑻𝑻𝒎𝒎−𝟏𝟏𝒌𝒌+𝟏𝟏 − 𝑻𝑻𝒎𝒎−𝟏𝟏𝒌𝒌

𝟒𝟒𝒎𝒎 − 𝟏𝟏

Método de Romberg

Ejemplo. Encontrar la integral de 1/𝑥𝑥2 en el intervalo de 1 a 3 por método de Romberg, hasta 𝛿𝛿 = 0.25:

�1



ℎ𝑘𝑘 =(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

2𝑘𝑘; 𝑘𝑘 = 0, …𝑎𝑎 = 1

𝑏𝑏 = 3𝛿𝛿 = 0.25

ℎ0 =(3 − 1)

20= 2

ℎ1 =(3 − 1)

21= 1

ℎ2 =(3 − 1)

22= 0.5

ℎ3 =(3 − 1)

23= 0.25

Método de Rombergℎ0 = 2 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒚𝒚

1 1.0000 1 1.0000

3 0.1111 1 0.1111

𝑻𝑻𝟎𝟎𝟎𝟎 = 1.1111


Método de Rombergℎ1 =1 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒚𝒚

1 1.0000 0.5 0.5000

2 0.2500 1 0.2500

3 0.1111 0.5 0.0.5556

𝑻𝑻𝟎𝟎𝟏𝟏 = 0.80556


Método de Rombergℎ2 = 0.5 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒚𝒚

1 1.0000 0.25 0.2500

1.5 0.4444 0.5 0.2222

2 0.2500 0.5 0.1250

2.5 0.1600 0.5 0.0800

3 0.1111 0.25 0.0278

𝑻𝑻𝟎𝟎𝟐𝟐 = 0.7050


Método de Rombergℎ3 = 0.25 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒚𝒚

1 1.0000 0.125 0.1250

1.25 0.6400 0.25 0.1600

1.5 0.4444 0.25 0.1111

1.75 0.3265 0.25 0.0816

2 0.2500 0.25 0.0625

2.25 0.1975 0.25 0.0494

2.5 0.1600 0.25 0.0400

2.75 0.1322 0.25 0.0331

3 0.1111 0.125 0.0139

𝑻𝑻𝟎𝟎𝟑𝟑 = 0.6766


Método de Romberg

𝑇𝑇𝑚𝑚𝑘𝑘 =4𝑚𝑚𝑇𝑇𝑚𝑚−1

𝑘𝑘+1 − 𝑇𝑇𝑚𝑚−1𝑘𝑘

4𝑚𝑚 − 1

m: 0 1 2 3

k 𝑻𝑻𝟎𝟎𝒌𝒌 𝑻𝑻𝟏𝟏𝒌𝒌 𝑻𝑻𝟐𝟐𝒌𝒌 𝑻𝑻𝟑𝟑𝒌𝒌

0 1.1111 0.7037 0.6693 0.6667652

1 0.8056 0.6715 0.6668

2 0.7050 0.6671

3 0.6766

I =−1𝑥𝑥 1

3

= 0.66667


error = 0.0000986

Problemas

1. Use el método de Coeficientes Indeterminados para aproximar

usando 𝑥𝑥0 = 0.0, 𝑥𝑥1 = 0.5, 𝑥𝑥2 = 1.0.2. Aproxime

Usando: a) Regla Trapezoidal con ℎ = 0.125; b) Regla de Simpson 1/3 con ℎ = 0.125; c) Regla de Newton 3/8 con ℎ = 2/12.

Problemas

3. Aproxime la siguiente función con el Método de Romberg con h = 1, 0.5, 0.25, 0.125, hasta que h ≤ d = 0.125.

Considere para éste caso, 9 dígitos de precisión.

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