El campo religioso latinoamericano y caribeño. Efectos de la ...
Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño
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Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño Cátedra UNESCO en Ciencias de la Educación Maestría en Educación Tesis en Opción al Título Académico de Master en Educación Título: Diseño de una estrategia didáctica para la elaboración del concepto de magnitud en el curriculum de la carrera de profesores integrales de Secundaria Básica en Güira de Melena. Autor: Lic. Wladimir La O Moreno Tutores: Lic., M.Sc. Fidel Castro González Lic., M.Sc. Mario Luis Gómez Ivizate Abril, 2005
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Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño Cátedra UNESCO en Ciencias de la Educación
Maestría en Educación
Tesis en Opción al Título Académico de Master en Educación
Título:
Diseño de una estrategia didáctica para la elaboración del concepto de magnitud en el curriculum de la carrera de profesores integrales de Secundaria
Básica en Güira de Melena.
Autor:
Lic. Wladimir La O Moreno
Tutores:
Lic., M.Sc. Fidel Castro González
Lic., M.Sc. Mario Luis Gómez Ivizate
Abri l , 2005
Resumen El Profesor General Integral ha sido una de las variantes asumidas por nuestro modelo educativo en
su perfeccionamiento. El carácter integral de su formación considera en gran medida, su formación
holística y continua como consecuencia de la solución a sus problemas profesionales. Una de estas
exigencias es considerada como la formación conceptual de los profesores emergentes para la
Secundaria Básica y es en ella donde se ha desarrollado este proyecto de investigación.
En la tesis, se destacan los referentes teóricos necesarios que fundamentan una estrategia didáctica
para la elaboración del concepto magnitud, singularizada en tres componentes estructurales y
regulados por el desempeño investigativo de los futuros profesionales, a razón de su insuficiente
preparación matemático- conceptual y su pobre sistematización en el correspondiente curriculum.
Además, se realiza una valoración de la estrategia correspondiente sobre la base de un análisis del
aprendizaje alcanzado, talleres valorativos y la discusión de proyectos de años donde las temáticas
escogidas presuponen un entendimiento más significativo sobre las magnitudes.
DEDICATORIA.
… a mi familia por justificar mis desatenciones. … a mis amigos porque siempre me alentaron. … a mis profesores que me enseñaron siempre lo mejor. … a todos los que me han ayudado en el pasillo,
en el aula, en la calle...
Agradecimientos
Son momentos de agradecer, a quienes han soportado mis
preguntas, a quienes han contribuido con esta obra, que de
seguro la pondremos en manos de quienes más la necesiten.
A mis tutores y consultantes que siempre me han guiado por la
única vía de obtención del conocimiento.
A mi escuela que ha permitido que estas ideas sean concretadas
en la práctica.
Índice Contenidos
Páginas
Dedicatoria.
Agradecimientos.
Resumen
Introducción
1
Capítulo I: La problemática de la preparación matemático-conceptual y su particularidad en el caso del concepto de magnitud de los estudiantes de la carrera de profesores integrales de Secundaria Básica. Una evaluación del estado de la investigación y del aprendizaje.
8
I.1 Análisis de las Precisiones para la Dirección del Proceso - Docente Educativo de la SB en relación con el carácter sistematizador del trabajo con conceptos matemáticos y en lo particular en relación con el concepto de magnitud.
8
I.2. Caracterización diagnóstica del estado de aprendizaje matemático conceptual de los estudiantes de la carrera de profesores integrales de SB. Una valoración desde la óptica sistematizadora del concepto de magnitud.
15 I.3. Un análisis del estado actual de la investigación sobre la problemática del trabajo matemático-conceptual, y el de magnitud, en particular.
17
I.4. Conclusiones del Capítulo I.
20
Capítulo II. Fundamentos teóricos y metodológicos para el diseño de una estrategia didáctica para la elaboración del concepto de magnitud en estudiantes de la formación emergente de profesores integrales de Secundaria Básica.
22
II.1. Relación entre concepción del curriculum e interdisciplinariedad en el marco de la formación del profesor integral de la SB.
22
II.2. El proceso de aprendizaje de conceptos matemáticos y el carácter sistematizador del concepto de magnitud.
31
II.2.1. Carácter mediatizado instrumental del proceso de elaboración de conceptos.
31
II.2.2. La elaboración de conceptos y el aprendizaje.
32
II.2.3. Los conceptos matemáticos. Una caracterización según sus rasgos básicos.
33
II.2.4. Caracterización del concepto de magnitud
35
II.2.4.1. Un análisis socio–histórico-concreto y lógico-metodológico del proceso de desarrollo del concepto de magnitud.
36
II.2.4.2. Una definición necesaria del concepto de magnitud.
39
II.2.4.2.a. El Concepto de magnitud escalar. Principios para una definición axiomática.
40
II.2.3.2.b. Conjunto minimal de magnitudes y sus unidades para la Secundaria Básica.
46
II.2.3.2.c. El Concepto de magnitud no arquimediana y de magnitud no escalar.
48
II.2.4. El carácter sistematizador del concepto de magnitud. 49
II.3. Conclusiones del capítulo II. 50
Capítulo III. Diseño de una estrategia didáctica para la elaboración del concepto de magnitud en estudiantes de la carrera de profesores integrales de Secundaria Básica de Güira de Melena. 52 III.1. Las exigencias que rigen el proceso de diseño de la estrategia didáctica. 52 III.2. Los componentes de la estrategia didáctica.
55
III.2.1. El trabajo con clases de problemas. 55
III.2.1.a. El conjunto de habilidades asociado al trabajo con magnitudes como sistema. 61
III.2.2. La Matemática y su metodología como eje organizativo.
62
63
III.2.3. Uso del proyecto de año.
III.3. Ejemplificación de la implementación de la estrategia.
65
III.4. Análisis de los resultados preliminares de la implementación de la estrategia. 69
III.4.1. Valoración del aprendizaje alcanzado del concepto magnitud.
69
III.4.2. Taller de análisis de los resultados de la asignatura
70
III.4.3. Sobre la calidad de la presentación y defensa de los proyectos. 71
III.5. Conclusiones del capítulo III.
72
Conclusiones
74
Recomendaciones.
76 Bibliografía
77
Anexos
Introducción. En la actualidad la Educación Secundaria Básica (SB) enfrenta cambios
esenciales en su modelo educativo en el contexto histórico social del
perfeccionamiento del socialismo cubano. "Hoy se trata de perfeccionar la obra realizada y partiendo de ideas y conceptos enteramente nuevos. Hoy
buscamos a lo que a nuestro juicio debe ser y será un sistema educacional que se corresponda cada vez más
con la igualdad, la justicia plena, la autoestima y las necesidades morales y sociales de los ciudadanos en el
modelo de sociedad que el pueblo de Cuba se ha propuesto crear", (Castro Ruz, F.; septiembre del 2002)
En este modelo educativo aparece el concepto de Profesor General Integral, el
cual se constituye como un profesor revolucionario, sensible, comprometido con el
mejoramiento humano; con una cultura general y dominio del proceso de
enseñanza-aprendizaje, orientador y guía de la educación de los adolescentes
potenciándola a través de la instrucción.
En este marco se forma un adolescente que, según Martínez Llantada, M.; 1998,
necesita: aprender a resolver problemas, saber escuchar, organizarse, tener buen
humor, analizar críticamente la realidad y transformarla, amar a sus semejantes,
tener cultura enfatizando en los valores universales del hombre, desarrollar la
independencia cognoscitiva, la avidez por el saber, ser perseverante.
La concepción planteada demanda renovadas y más complejas exigencias al
proceso de formación de este futuro profesional, ahora centrado en áreas de
formación tales como: ideopolítica, psicopedagógica, cultural general, conocimiento
de la escuela, conocimiento de la organización pioneril, conllevando a un plan de
estudios que garantice, en definitiva: formación cultural, preparación metodológica,
fundamentos ideológicos, formación académica y laboral, fundamentos científicos y
pedagógicos.
Una de estas exigencias se constituye en la necesidad de”estimular la formación
de conceptos y el desarrollo de los procesos lógicos de pensamiento y el alcance del
nivel teórico, en la medida que se produce la apropiación de los conocimientos y se
eleva la capacidad de resolver problemas”, (ICCP, 1998, p.20).
Precisamente en la problemática de la estimulación de los procesos de
elaboración de conceptos, en la Matemática en particular, y para el caso de la
formación de docentes, se centra el interés en este proyecto de investigación.
Esta problemática se singulariza teniendo en cuenta las insuficiencias que
caracterizan el estado de este proceso tanto en el plano de su aprendizaje en los
estudiantes que ingresan en la formación emergente de profesores integrales, como
de su presencia y alcance en el correspondiente curriculum.
En la tesis, en su primer capítulo, se demuestra el estado insuficiente de
aprendizaje matemático-conceptual de los estudiantes, desde la óptica
sistematizadora del concepto de magnitud y teniendo en cuenta su alcance dentro
del sistema conceptual básico de la Matemática como asignatura del curriculum
escolar de la SB, así como su presencia en otras asignaturas: Física, Química,
Biología, Geografía, Educación Laboral.
La necesidad del concepto de magnitud para la SB se precisa desde diferentes
posiciones, por ejemplo, en el Programa Director de la Matemática, cuando se
enfatiza la necesidad de eliminar las incongruencias y diferencias de enfoque en el
tratamiento de los contenidos en las diferentes asignaturas, se observa que el
análisis de las unidades de las magnitudes, así como su significado será objeto
sistemático del trabajo metodológico de los departamentos.
Por otro lado, se añade que en el trabajo con las magnitudes, todos los profesores
tienen que dominar las unidades fundamentales y derivadas del Sistema
Internacional que se utilizan en el nivel, así como su expresión en unidades básicas
del mismo.
Estas circunstancias, junto a la necesaria sistematización de resultados teóricos
esenciales de investigaciones anteriores para abordar una solución adecuada,
justifican el abordaje del siguiente problema de investigación:
¿Cómo contribuir a satisfacer las necesidades que presentan los estudiantes
que ingresan a la formación emergente para profesores integrales de SB en la
Escuela José de la Luz y Caballero de Güira de Melena en su preparación
matemático-conceptual, y en particular, respecto al concepto de magnitud,
tomando en cuenta la incidencia que estos aspectos tienen para su desempeño
profesional inmediato?
Este problema se manifiesta como necesidad en el desarrollo del objeto de investigación siguiente:
El proceso de elaboración de conceptos matemáticos en el curriculum de la
carrera de profesores integrales de SB. El análisis y desarrollo del objeto delimitado se sustenta sobre la base de los presupuestos del Enfoque Histórico Cultural de L.S.
Vigotski, enfatizando la tesis del carácter mediatizado instrumental de las funciones psíquicas superiores (Morenza, L.; 1997), toda vez que el proceso de elaboración de conceptos se constituye como función psicológica superior.
Las particularidades de este proceso en la Matemática y su singularidad en el
plano del concepto de magnitud, es posible desplegarlas en el marco de un
aprendizaje desarrollador (Castellanos, D. y otros; 2001).
En este sentido, y como antecedente importante de investigación, se cuenta con una
caracterización del proceso de elaboración de conceptos geométricos como aprendizaje
desarrollador, singularizado para el caso del proceso de elaboración del concepto de área de
figuras planas, en estudiantes de la carrera pedagógica de Agropecuaria, (Bustamante, J.C.;
2003).
En esta tesis, se enriquece la propuesta de Bustamante, J.C.; 2003, aportando una
caracterización para el caso del proceso de elaboración de conceptos matemáticos en general,
permitiendo en definitiva, su singularización en el proceso de elaboración del concepto de
magnitud.
Por otro lado, y a diferencia del abordaje mencionado desarrollado por Bustamante, J.C.;
2003, donde estos procesos se determinan desde la lógica sistematizadora de una disciplina (la
disciplina Matemática para la carrera profesoral de Agropecuaria), en la presente tesis estos
quedan dimensionados desde una perspectiva curricular, al nivel del curriculum para la
formación emergente del profesor integral de SB.
En este contexto, son asimilados, como antecedentes básicos de investigación, resultados
acerca de la conceptualización de los problemas profesionales (Addine, F. y García, G.;
2001), y la necesaria aproximación interdisciplinaria para su solución (Perera, F.; 2002),
aplicables al análisis del modo de actuación pedagógico profesional que desde la perspectiva
curricular desarrolló Castro G., F. 2000.
Así, se considera la necesaria unidad entre concepción curricular y proceso de enseñanza-
aprendizaje en esta carrera, a través del principio interdisciplinar profesional, expresado en la
realización del proyecto de año, tal como se demuestra en los capítulos II y III.
La complejidad y riqueza del concepto de magnitud, como concepto matemático
que trasciende los límites de esta asignatura para adentrarse en otras como la
Física, la Química, la Biología, la Geografía, la Educación Laboral, y su incidencia
esencial para la solución de los problemas profesionales de esta carrera, tal como se
demuestra en el desarrollo de la tesis, han subrayado su potencialidad como
concepto sistematizador, tanto en el plano vertical respecto al contenido de estas
asignaturas básicas del curriculum escolar, vistas en su unidad, como en el plano
horizontal dentro del contenido de cada una de ellas.
Al mismo tiempo, el objeto magnitud, en esta comprensión de complejidad, es
considerado en esta tesis, como sistema, y por tanto susceptible de ser organizado
desde las bases de una estructuración sistémica del contenido (Delgado, R; 1999,
Bustamante, J.C.; 2003), según se demuestra en el capítulo III.
Ello a permitido delimitar dentro del objeto de investigación un campo específico, donde
recaerá directamente la acción investigativa de esta tesis:
Campo de acción: El proceso de elaboración del concepto de magnitud en el curriculum del
profesor integral de SB.
Este campo de acción se transforma con el cumplimiento del siguiente objetivo de investigación:
Diseñar una estrategia didáctica que contribuya al perfeccionamiento del
proceso de elaboración del concepto de magnitud y que incluya: una
concepción de estructuración sistémica por clases de problemas, la
determinación de la asignatura Matemática como eje organizativo de las
acciones, y el trabajo con el proyecto de año, aplicable al desarrollo del primer
año de la carrera de profesor integral.
Para satisfacer este objetivo hemos considerado pertinente dar respuesta a las
siguientes preguntas científicas:
82. ¿Qué características ha presentado el comportamiento del proceso de
elaboración de conceptos matemáticos, en particular para el caso del
concepto de magnitud, en el curriculum para estudiantes de la carrera de
profesores integrales?
83. ¿Cuáles son los fundamentos teóricos y metodológicos sobre los que es posible
diseñar una estrategia didáctica para la elaboración del concepto de magnitud en
la carrera de profesores integrales?
84. ¿Qué estructura debe tener una estrategia didáctica que contribuya a
perfeccionar el proceso de elaboración del concepto de magnitud en el
curriculum del profesor integral?
Métodos de investigación: Dado el carácter de la tesis, se utilizan métodos fundamentalmente teóricos.
El método de análisis y síntesis permitió, en el proceso de revisión bibliográfica,
una caracterización del estado de la investigación sobre la preparación del
estudiante en las carreras de formación de maestros, a fin de realizar observaciones
en nuestro país. De esta manera se aislarán los ejes fundamentales de la
investigación, relacionados directamente con el desarrollo de nuestro objeto de
estudio, aportando el enriquecimiento necesario para hacer la propuesta que
defendemos.
Así mismo, este método facilitó una caracterización del proceso de elaboración
de conceptos matemáticos a partir de sus rasgos fundamentales, aplicable al
desarrollo del proceso de elaboración del concepto de magnitud.
El método estructural – funcional permitió una estructuración por clases de
problemas, inscribible en el desarrollo del proceso de elaboración del concepto de
magnitud, determinada a partir del sistema básico de habilidades que caracterizan el
trabajo con magnitudes.
Por este método se estableció un núcleo estructural para la asignatura
Matemática, que deviene algoritmo para la acción en el proceso de abordaje de las
diferentes tareas que se resuelven desde esta asignatura, constituyéndose en modo
de actuación, identificable con el estilo investigativo que el estudiante en formación
desarrolla en su desempeño profesional en general.
El método de tránsito de lo abstracto a lo concreto permitió, considerando la
relación entre los referentes teóricos asumidos para el desarrollo del objeto de la
investigación y su concreción en la práctica de la carrera, diseñar una estrategia
didáctica que estimule el proceso de elaboración del concepto de magnitud.
En el nivel de los métodos empíricos se trabajó, fundamentalmente, con
exámenes diagnósticos y la revisión de documentos que permitieron valorar la
presencia y alcance del problema en los sujetos sobre los que recayó la
investigación.
Tareas de investigación.
• Evaluación del estado del aprendizaje del concepto de magnitud en los
estudiantes que ingresaron en el curso para la formación emergente de
profesores integrales en la escuela José de la Luz y Caballero.
• Análisis del cumplimiento de las precisiones para la dirección del Proceso
Docente – Educativo para la SB.
• Análisis del alcance del concepto de magnitud en los programas y textos
de las asignaturas de Matemática, Física, Química, etc., de la SB.
• Análisis del alcance del concepto de magnitud en los programas del plan
de estudios de la formación emergente de profesores integrales.
• Determinación de los fundamentos teóricos y metodológicos que
sustentan una estrategia didáctica para la elaboración del concepto de
magnitud en los estudiantes de la formación emergente.
• Diseño de una estrategia didáctica para la elaboración del concepto
magnitud en estudiantes de la formación emergente.
• Evaluación de los resultados preliminares que tiene la implementación de
la estrategia en el primer año de la formación emergente de maestros.
El aspecto innovador de esta tesis subraya los siguientes resultados
fundamentales:
En el plano teórico se aportan:
Una caracterización del proceso de elaboración de conceptos
matemáticos a partir de sus rasgos fundamentales, aplicable al desarrollo
del proceso de elaboración del concepto de magnitud.
Una estructuración por clases de problemas, inscribible en el desarrollo
del proceso de elaboración del concepto de magnitud y determinada a
partir del sistema básico de habilidades que caracterizan el trabajo con
magnitudes.
Una estrategia didáctica estructuralmente diferenciada y orientada a la
estimulación del desarrollo del proceso de elaboración del concepto de
magnitud, como concepto sistematizador, tanto en el plano vertical
respecto al contenido de las asignaturas Matemática, Física, Química,
Educación Laboral, Biología, Geografía, del curriculum para la formación
emergente del profesor de la SB, como en el plano horizontal dentro del
contenido de cada una de estas asignaturas.
En el plano práctico, se aporta una estrategia que como conjunto de
actividades, organiza la acción para lograr la estimulación del proceso de
elaboración del concepto de magnitud y constituye un medio de
sistematización del conocimiento matemático necesario de los estudiantes
para enfrentar la solución de los problemas profesionales a este nivel.
Capítulo I.
La problemática de la preparación matemático-conceptual y su particularidad en el caso del concepto de magnitud, en los estudiantes de la carrera de profesores integrales de Secundaria Básica. Una evaluación del
estado de la investigación y del aprendizaje.
En este capítulo se desarrollan elementos esenciales que fundamentan el
problema, tanto en el plano empírico, como del estado de la investigación de la
problemática del trabajo con conceptos matemáticos, y el de magnitud, en particular.
Se ha incluido el análisis de las Precisiones para la Dirección del Proceso - Docente
Educativo de la SB en relación con el carácter sistematizador del trabajo con
conceptos matemáticos y en lo particular en relación con el concepto de magnitud.
Se hace un análisis de la incidencia del trabajo con magnitudes a nivel de los
programas y libros de texto de las diferentes asignaturas de ciencias; además de los
programas de las asignaturas que tienen que ver con el proceso de formación
emergente de los profesores y del estado del trabajo metodológico; así como, de un
examen diagnóstico aplicado a estudiantes sobre los que ha recaído la acción
investigativa de esta tesis, para establecer niveles de aprendizaje en relación con el
concepto de magnitud que poseen éstos al ingresar a la carrera. Se completa el
capítulo con un análisis de resultados de investigaciones importantes atinentes a la
investigación sobre conceptos matemáticos, y el de magnitud, en lo particular.
I.1. Análisis de las Precisiones para la Dirección del Proceso - Docente Educativo de la SB en relación con el carácter sistematizador del trabajo con conceptos matemáticos y, en lo particular, en relación con el concepto de magnitud.
Entendemos este carácter sistematizador de los conceptos matemáticos en el
sentido de la prioridad del proceso enseñanza – aprendizaje de la Matemática y
concretado, en lo particular, a través de la implementación del correspondiente
Programa Director.
Otorgar prioridad a la asignatura Matemática, según Las Precisiones para la
Dirección del Proceso - Docente Educativo de la SB (curso 2002 - 2003), significa,
garantizar:
1. que los mejores profesores la impartan independientemente de su
especialidad,
2. generar por parte de los cuadros principales, una política permanente de
orientación y control del proceso docente que garantice que el resto de las
asignaturas concreten la aspiración de que: los alumnos sean capaces de
calcular, poseer un pensamiento algorítmico mínimo y conocimientos
geométricos básicos.
En este documento se precisa que “para lograr esto, el Programa Director de la
Matemática constituye el documento rector, que guía la proyección, conducción y
evaluación de las acciones específicas de todas las asignaturas de la SB para
alcanzar los objetivos propuestos, ya que establece, por grados, aspectos comunes
que son de obligatorio cumplimiento por estas” (Precisiones para la Dirección del
Proceso - Docente Educativo de la Secundaria Básica (curso 2002 - 2003); p. 21).
Antes de establecer los aspectos comunes del contenido de las diferentes
asignaturas (Física, Química, Educación Laboral, Biología, Geografía, Educación
Física, Computación, denominadas indistintamente, también, asignaturas de
ciencias), en el propio documento se mencionan siete indicaciones para eliminar
incongruencias y diferencias de enfoque en el tratamiento de los contenidos de las
asignaturas mencionadas.
De estas indicaciones, tres tienen que ver directamente con el concepto de
magnitud. A continuación las escribimos de un modo resumido:
• La utilización del Sistema Internacional de Unidades es obligatoria en
todas las asignaturas y su análisis, así como su significado será objeto
sistemático del trabajo metodológico de los departamentos.
• En el trabajo con magnitudes todos los profesores tienen que dominar las
unidades fundamentales y derivadas del Sistema Internacional que se
utilizan en el nivel, así como su expresión en unidades básicas del mismo.
Todas las asignaturas enfatizarán en los procedimientos de estimación,
medición y conversión.
• Durante la resolución de problemas, en todas las asignaturas, se
expresarán las magnitudes con sus correspondientes unidades de
medida.
Los aspectos comunes del contenido, relacionados directamente con el concepto de
magnitud, en el documento que se analiza, se organizan seguidamente, por cada
grado respecto a las diferentes asignaturas que se trabajan (tablas 1, 2, 3, 4, 5,
respectivamente).
Tabla 1.
Contenidos de la Educación Laboral
Séptimo Construcciones geométricas en el Dibujo Básico. Mediciones y
estimaciones en el Taller.
Octavo Trabajo en Taller y Variantes de Programas. Mediciones en la
ejecución del proceso tecnológico. Problemas relacionados con el ahorro
de materiales y la eficiencia en la producción agrícola.
Noveno Trabajo en Taller y Variantes de Programas. Mediciones en la
ejecución del proceso tecnológico. Problemas relacionados con el ahorro
de materiales y la eficiencia en la producción agrícola.
Tabla 2.
Contenidos de la Física
Octavo La formulación de las leyes y la resolución de problemas sobre
movimiento rectilíneo uniforme, movimiento circular, trabajo, potencia,
energía, temperatura y cambios de estado de las sustancias
Noveno La formulación de las leyes y la resolución de problemas sobre la
corriente eléctrica continua, el trabajo y potencia de la corriente eléctrica,
los fenómenos magnéticos, electromagnéticos y luminosos.
Tabla 3.
Contenidos de la Geografía
Séptimo Localización de objetos y fenómenos en el mapa a partir de
coordenadas geográficas, escala numérica, distancias y áreas en el
mapa.
Octavo Localización de objetos y fenómenos a escala planetaria,
regional, nacional y local, análisis de datos en diferentes ramas de
la economía.
Noveno Localización de objetos y fenómenos en el mapa de Cuba y en el
plano de la localidad, análisis de datos en diferentes ramas de la
economía, el medio ambiente y la sociedad cubana.
Tabla 4.
Contenidos de la Química
Octavo Tratamiento de las sustancias y las reacciones químicas,
propiedades físicas de estas.
Noveno Planteamiento y resolución de problemas de concentración
másica y masa molar.
Tabla 5.
Contenidos de la Biología
Séptimo Análisis de la importancia agropecuaria, industrial y para la salud
humana de los diferentes grupos de organismos, análisis de datos
asociados al tamaño, masa, velocidad de movimiento, reproducción
y crecimiento, densidad de población y productividad.
Octavo En el estudio microscópico de organismos, análisis de datos
asociados al tamaño, masa, velocidad de movimiento, reproducción
y crecimiento, densidad de población y productividad.
Tratamiento real y actualizado de información relacionado con el
desarrollo faunístico y pecuario de Cuba y la localidad.
Resolución de problemas vinculados a situaciones prácticas de
la producción animal y de sus aplicaciones en la industria y la salud
humana.
Noveno Análisis de las características estructurales y funcionales del
organismo humano.
Se señalan también indicaciones para la Educación Física y la Computación.
En el caso de la Computación se precisa que se trabajará en la implementación
de algoritmos que resuelvan tareas relativas a la conversión de magnitudes, el
cálculo de áreas y volúmenes, así como el trabajo con tareas para la realización de
tablas que agrupen diferentes datos.
En el caso de la Educación Física se trabaja con las figuras geométricas y sus
características en los terrenos deportivos para los diferentes deportes, los
implementos deportivos, tratamiento de datos relativos a talla, peso, proporciones,
normas de entrenamiento.
También fue realizado un estudio en los programas y libros de texto de las
asignaturas: Física, Química, Educación Laboral, Biología, Geografía, según su
concepción para la SB.
El estudio delimitado nos permitió evaluar el tratamiento que están teniendo las
magnitudes en cada uno de los grados y en cada una de las unidades temáticas que
se estudian en la SB actual.
En la revisión de los textos se comprobó que el uso de unidades de una magnitud
de un mismo género recorre tres sistemas de referencia: el Sistema Internacional, el
Sistema Cegesimal, y el Sistema Anglosajón.
La problemática de las magnitudes encuentra un tratamiento explícito únicamente
en el caso de la Física, donde se definen las magnitudes como el comportamiento
cuantitativo que tienen determinadas propiedades físicas en los objetos y procesos
de la naturaleza, lo que las hace ser medibles.
En esta comprensión de los objetos y procesos se recorre (dentro del
correspondiente programa de la asignatura Física) un amplio espectro de
situaciones que se enmarcan dentro de los campos habituales de la Física.
En este marco se comienza el análisis de las magnitudes mediante un proceso de
comparación entre diferentes propiedades, correspondientes a situaciones de
objetos y fenómenos que se sitúan: en el micromundo, mesomundo, y macromundo.
Estas tres dimensiones mencionadas anteriormente, se han planteado aquí
convencionalmente, para poder contar con un criterio de ordenamiento del conjunto
de situaciones que en este primer momento del curso de la Física se consideran.
La discusión de estas situaciones persigue en este marco, el ordenamiento de
diferentes magnitudes, mediante diferentes comentarios, ejercicios o problemas. En
este caso, el establecer un orden entre esas magnitudes, se plantea como un
proceso de comparación que se establece entre las mismas, lo cual presupone
además de un proceso de conversión.
Para ilustrar mejor esta idea se puede poner como ejemplo la pregunta de
comparar el diámetro de un cabello humano con la estatura de un hombre normal,
considerada en el texto de Física, octavo grado.
Por otro lado, se realizó un análisis de las direcciones del trabajo metodológico en
el marco de la SB en la Provincia de la Habana en relación con la problemática de la
preparación de los docentes en ejercicio para enfrentar el trabajo matemático-
conceptual de los estudiantes a este nivel y de la incidencia particular del trabajo con
el concepto de magnitud.
Así mismo, se precisó el estado particular de esta situación en el municipio de
Mariel, donde se desempeñan los estudiantes en los que recaen las acciones
fundamentales de la estrategia que se defiende en esta tesis.
Se comprobó que en ninguna de las dos instancias (provincial y municipal), la
problemática de las magnitudes se plantea explícitamente, y, por tanto, el sistema
de actividades metodológicas que se diseña no las incluye.
En las SB tampoco esta problemática repercute al nivel del trabajo metodológico,
como se comprobó en las escuelas del municipio Mariel.
Por último se analizó el contenido de los programas incluidos en el primer año de
la carrera de formación del profesor emergente en Güira de Melena, a partir de las
asignaturas: Matemática, Física, Química, Geografía, Biología y Educación Laboral,
con el fin de establecer el nivel de incidencia de contenidos relacionados con el
concepto de magnitud en estos programas, lo cual se contrastó con el criterio de los
docentes que las imparten en dicha escuela.
De este análisis se concluyó que la temática de las magnitudes no aparece
explícita en la estructura de contenidos de los diferentes programas, incluso ni al
nivel de las indicaciones metodológicas correspondientes, quedando en el plano,
según el criterio de los propios docentes, de las acciones que implícitamente el
contenido encierra, o que ellos quieran desarrollar. Se constata además, que las
insuficiencias que los estudiantes tienen en este sentido (analizadas en el primer
epígrafe), como es de esperar, no se conocen por estos docentes.
I.2. Caracterización diagnóstica del estado de aprendizaje matemático conceptual de los estudiantes de la carrera de profesores integrales de SB. Una valoración desde la óptica sistematizadora del concepto de magnitud.
El desarrollo de este epígrafe se concreta a partir del análisis de un examen
diagnóstico aplicado al grupo de estudiantes sobre el que ha recaído nuestra acción
investigativa, y cuya matrícula es de 23 estudiantes.
El examen se estructuró según las clases de problemas que mejor caracterizan el
trabajo con magnitudes, según la posición que defendemos en el tercer capítulo:
problemas de cálculo, problemas de estimación, problemas conversión, y problemas
de medición (ver anexo 1).
Estas clases de problemas se representaron por las categorías, cuyo estado,
arrojara un cierto criterio de desempeño de los estudiantes ante los problemas
mencionados. Así las categorías, con sus indicadores se muestran en el anexo2 (
el número que aparece entre paréntesis, en el caso de los indicadores, señala el
ítem del examen que considera tal indicador)
La tabulación de los resultados se hizo en dos planos:
• Considerando el número de respuestas correctas en cada examen por ítem
(ver anexo 3). Para este fin, a cada examen se otorgó un punto por cada
respuesta correcta en los 31 ítems posibles.
• Considerando el número de respuestas correctas o en blanco por ítem en
cada categoría (ver anexo 4).
Del análisis realizado, en el primer plano, según los resultados de la tabla del
anexo 3, se concluyó que más de la mitad de los estudiantes (12 de 23; 52,2 %), han
tenido serias dificultades al enfrentar la solución de las situaciones presentadas en el
examen, pues sus respuestas a los diferentes ítems han sido incorrectas o han
estado en blanco en más de la mitad de ellos (17 o más ítems incorrectos o en
blanco por examen, de los 31 posibles).
Una precisión posible de estos resultados se puede hacer desde un segundo
plano de análisis, según el estado de las categorías incluidas, a partir de los datos
presentados en los anexo 4 y 5.
El cálculo y la medición de magnitudes son las categorías más afectadas.
A pesar del desbalance en los por cientos de respuestas correctas en ellas (ver
anexo 4), consideramos que la situación más desfavorable la tiene el cálculo, pues
solo el 31,6 % de sus ítems han aportado respuestas correctas, y además presenta
el mayor número de respuestas en blanco (también el 31,6 %), lo que incrementa
considerablemente el estado deficiente de esta categoría.
Estos por cientos han sido calculados comparando la cantidad que representa la
suma de respuestas correctas o en blanco, con la cantidad posible de respuestas.
La categoría relativa al cálculo ha tenido solo dos indicadores (I.1, I.3), con más
de la mitad de las respuestas posibles (23) correctas. La mayoría de las respuestas
por ítems fueron incorrectas o en blanco (alrededor de las dos terceras partes),
aparecen como críticos los ítems relativos a los indicadores I.2, I.7, I.8, donde a lo
sumo dos estudiantes respondieron correctamente.
La conversión de magnitudes es otra de las categorías sensiblemente
afectadas, al tener menos del 50,0% de las respuestas correctas posibles
correspondientes a sus ítems. Los indicadores que han mostrado un estado crítico
en ella fueron el II.4 y el II.8, y en considerable medida, el II.11.
La estimación de magnitudes es la categoría que mejor estado presenta. A
nuestro juicio esta situación está relacionada con la propia naturaleza de los ítems
que la representan, cuya solución considera dado el intervalo de variación de la
magnitud correspondiente más apropiado para la situación concreta.
Las categorías sobre la comparación de fracciones de una misma magnitud y
el reconocimiento de magnitudes en dependencias funcionales fueron valoradas
en situaciones relativamente elementales, por su grado de complejidad y sin
embargo el por ciento de respuestas correctas en sus correspondientes ítems no
sobrepasó el 60,0 %.
I.3. Un análisis del estado actual de la investigación sobre la problemática del trabajo matemático-conceptual, y el de magnitud, en particular.
La problemática de la elaboración de conceptos matemáticos al nivel de la
formación de profesores toma un puesto fundamental en los documentos que rigen
el trabajo con la Didáctica de la Matemática, en particular, en la obra que dirige el Dr.
Sergio Ballester Pedroso: “Metodología de la Enseñanza de la Matemática”
(Ballester, S. y otros; 1992, 2000).
La elaboración de conceptos matemáticos, según Arango, C. y otros, en esta obra
se estructura según tres fases, las cuales sitúan a esta problemática en una
perspectiva de proceso:
Fase preparatoria, que empieza con el trabajo con situaciones que se
trabajan mucho antes de la introducción misma del concepto, donde el
alumno se familiariza con fenómenos y formas de trabajo correspondiente,
para más tarde poder relacionar con el concepto, las ideas adquiridas sobre
el contenido. Los alumnos conocen parcialmente el concepto mucho antes
de su tratamiento en clases porque ya lo han utilizado en el lenguaje común
o se ha trabajado conscientemente de forma implícita en la preparación del
concepto.
Fase de formación del concepto, que se constituye en la parte del
proceso que conduce de la creación del nivel de partida, la motivación hacia
el objetivo, y que pasa por la separación de las características comunes y no
comunes, hasta llegar a la definición o explicación del concepto.
Fase de asimilación del concepto o también la fijación del concepto, a
la que pertenecen las ejercitaciones, profundizaciones y sistematizaciones y
aplicaciones, y los repasos del concepto, ante todo a través de acciones
mentales y prácticas dirigidas a ese objetivo.
Cada fase, según estos autores, queda definida por una estructuración
metodológica que la sitúa, según nuestra consideración, en una perspectiva más de
la enseñanza que para el propio aprendizaje.
Estos autores enfatizan el trabajo conceptual a nivel del ordenamiento del
contenido matemático según la línea directriz “definir”. En este sentido, otros
procesos importantes en relación con el trabajo conceptual, como la identificación, la
ejemplificación, la clasificación, etc., no quedan connotados con el énfasis necesario.
Por otro lado, en esta obra, se desarrolla un tratamiento metodológico del trabajo
con magnitudes, que enfatiza el cálculo con estas, haciéndose una fuerte relación
con el tratamiento de valores aproximados.
Los elementos que se aportan se agrupan en dos direcciones. Primeramente, se
desarrolla una panorámica del trabajo con magnitudes por niveles de enseñanza,
precisando los contenidos fundamentales que se analizan en cada nivel, y
finalmente se despliegan diferentes aspectos metodológicos, tales como: tratamiento
de la estimación y la medición, áreas de figuras geométricas y volúmenes de
cuerpos, superficies equivalentes, fórmulas para el área de figuras planas.
A pesar de la riqueza didáctica que posee la presentación de estos elementos,
quedan aspectos insuficientemente desarrollados, tales como: el tratamiento de la
conversión, el alcance de los sistemas de unidades, la consideración de la amplitud
como magnitud, la articulación interdisciplinaria del concepto de magnitud en
relación con los casos de las magnitudes geométricas, físicas, químicas, etc.
Es interesante mencionar, que a pesar del alcance que tiene la problemática del
trabajo con conceptos, y con el de magnitud, en particular, en la fuente antes
analizada, no hay una continuidad de esta línea de investigación que prolifere en el
campo de la Didáctica de la Matemática.
Esta aseveración la sustentamos a partir del análisis de la obra del Dr. Paúl
Torres Fernández “La enseñanza de la Matemática en Cuba en los umbrales del
siglo XXI. Logros y retos”, en la cual se hace referencia a diecinueve tesis
doctorales, dieciséis tesis de maestrías, y cuarenta y cinco ponencias, entre otras
fuentes, en las cuales la problemática que analizamos es objeto explícito en un caso
(Mederos, O.; 1997. Una variante metodológica para el estudio de los conceptos a
partir de su definición. Ponencia en COMPUMAT, 1997. Cienfuegos).
Una posición importante en relación con el trabajo conceptual, aplicable
preferiblemente, según nuestra consideración, a asignaturas del área de ciencias
naturales, la encierran los trabajos de Silvestre, M. 2001 y Silverstein, J. 2001, en la
cual se aporta un sistema de estrategias y procedimientos para el trabajo conceptual
concebidos como un modelo guía para el aprendizaje.
Una cantidad importante de resultados investigativos sobre el trabajo conceptual
se ha derivado del análisis de los enfoques sistémicos del contenido matemático
desarrollados a partir de la tesis doctoral de la Dra. Herminia Hernández
(Hernández, H.; 1989), y continuados por otros investigadores cubanos, como el Dr.
Delgado, R.; 1999, (ver capítulo tres).
En el análisis que se hizo de la bibliografía sobre Didáctica de la Física, de la
Química, de la Biología, de la Geografía, se pudieron hacer, por lo menos dos
conclusiones:
El análisis de la problemática del trabajo conceptual en estas fuentes
queda determinado por las especificidades de los diferentes conceptos
específicos de cada asignatura.
Las magnitudes y sus unidades se estudian en relación directa con la
singularidad de los objetos, fenómenos o procesos específicos de las
diferentes asignaturas.
Por otro lado, se constató una concepción de la medición como enfoque didáctico
integral en la técnica, aplicable al proceso de formación del profesor de Educación
Laboral (Oropesa, R.R.; 2002), donde el trabajo con las magnitudes se connota
desde la perspectiva de los procesos de medición.
En los Principles and Standards for School Mathematics del National Council of
Teachers of Mathematics; 2000, se incluye el trabajo con magnitudes como uno de
los estándares curriculares para la escuela media que atraviesa verticalmente todos
los niveles de la enseñanza hasta el grado doce, declarados en los Estados Unidos.
El estándar sobre la medición, considera dos direcciones esenciales:
La comprensión de la cualidad de algunos objetos, proceso y fenómenos
de ser medibles, las diferentes unidades de medición, los sistemas de
unidades, los procesos de medición.
La aplicación de técnicas de medición apropiadas, de herramientas, de
fórmulas para la determinación de las medidas.
En este caso se rebasa el marco de las magnitudes geométricas y se abarca un
amplio espectro de magnitudes, cuyo estudio se sistematiza desde la Matemática en
todos los niveles de la enseñanza media. Se caracteriza el trabajo con: longitud,
perímetro, área, tiempo, masa, volumen, amplitud de ángulos, velocidad, y
densidad, considerando dos sistemas de unidades de medida: el Anglosajón y el
Sistema Internacional. Se sistematiza el trabajo con el cálculo, la estimación, la
conversión y la medición de magnitudes.
Una fuente de gran valor para considerar el trabajo con magnitudes es la obra del
Ingeniero Nelson Mazola Collazo “Manual del Sistema Internacional de Unidades”;
1991, cuyo valor radica en aportar elementos esenciales, para ser considerados en
esta tesis, tales como:
A. Antecedentes históricos e implantación en Cuba del Sistema Internacional.
B. Clasificación de las magnitudes, unidades de medida y símbolos, así como un
conjunto de indicaciones para su utilización.
I.4. Conclusiones del Capítulo I. De los elementos valorados hasta aquí, se derivan, por lo menos, cuatro
conclusiones que expresan una caracterización de la problemática que
desarrollamos en esta tesis:
• El Programa Director de la Matemática norma direcciones específicas sustanciales para dirigir el trabajo con las magnitudes a nivel del proceso docente-educativo de la escuela, y sin embargo,
estas no tienen una connotación adecuada en los programas, libros de
texto, ni en el trabajo metodológico a este nivel.
• Los estudiantes de la carrera de formación emergente de profesores de SB de Güira de Melena al ingresar en ella presentan una preparación matemático-conceptual, y en lo particular, un dominio del concepto de magnitud insuficiente, lo que se expresa,
en el estado desfavorable de los conocimientos básicos sobre el
trabajo con magnitudes. Se constató que estos tienen serias
dificultades con los procedimientos de cálculo, medición, estimación
y conversión de magnitudes.
• A pesar del estado de aprendizaje que se caracteriza en la segunda
conclusión, el proceso docente-educativo en la carrera del profesor emergente no sistematiza acciones que permitan enfrentar el estado de aprendizaje de estos estudiantes en el plano de las magnitudes, lo que entra en contradicción con las exigencias que ello
implica para su desempeño profesional de acuerdo con las normativas
del Programa Director de la Matemática.
• La problemática sobre el trabajo con conceptos, y con el concepto de magnitud en particular, ha tenido una continuidad insuficiente de proliferación como línea de investigación en las Didácticas Particulares, dejando insatisfechas direcciones esenciales para su desarrollo, tanto al nivel de los contenidos escolares como del proceso de formación de los profesores, en particular la naturaleza interdisciplinaria de la problemática que evaluamos, así como de su solución.
Capítulo II.
Fundamentos teóricos y metodológicos para el diseño de una estrategia didáctica para la
elaboración del concepto de magnitud en estudiantes de la formación emergente de
profesores integrales de Secundaria Básica.
En este capítulo se establecen los elementos teóricos y metodológicos necesarios
para fundamentar la estrategia didáctica que se estructura en el tercer capítulo. En
este caso se parte de establecer los principios del diseño para el contenido
curricular, atinentes a nuestro campo de acción investigativo, de acuerdo con la
concepción del proceso pedagógico que subyace. Seguidamente se determinan las
bases psicopedagógicas necesarias para concebir la estructuración del proceso de
elaboración de conceptos matemáticos en su particularidad con el correspondiente
proceso en el caso del concepto de magnitud. Finalmente, se discuten las bases
epistemológicas que se necesitan para precisar la naturaleza del proceso de
elaboración del concepto de magnitud considerando una construcción teórica de
este último a través de su definición axiomática.
II.1. Relación entre concepción del curriculum e interdisciplinariedad en el marco de la formación del profesor integral de la SB.
Hemos entendido “el curriculum para la formación de maestros como un proyecto
que con carácter de proceso se condiciona y orienta a satisfacer los problemas en la
educación de la personalidad de los estudiantes de acuerdo con las exigencias que
la sociedad anticipa para ellos, desarrollándose a través de la comunicación y la
actividad pedagógica profesional en el contexto de las relaciones de
interdependencia en un marco educativo y entre este y la sociedad, constituyéndose
así como instrumento didáctico que se modela en la propia práctica del proceso de
enseñanza-aprendizaje”, Castro G. , F; 2000, p.45.
Desde esta definición el proyecto educativo referido se distingue por su carácter
motivado, problémico, sistémico, investigativo, de proceso, y se determina
estructuralmente por tres subprocesos o subsistemas relacionados dialécticamente,
que son: el diseño, el desarrollo y la evaluación del curriculum (Castro G., F.; 2000).
Esta determinación estructural y este condicionamiento dialéctico-relacional se
pueden concretar, desde nuestro punto de vista, en los términos del principio
interdisciplinar-profesional para el proceso de profesionalización desde el curriculum
de las carreras pedagógicas que defiende el Dr. Fernando Perera Cumerma.
“El principio interdisciplinar-profesional es aquel que dirige el proceso de
enseñanza aprendizaje hacia la preparación de un futuro profesional capaz de
solucionar integralmente los problemas que enfrentará en su futuro desempeño
profesional.
Este principio significa la dirección del proceso de enseñanza aprendizaje que
involucra y compromete a los sujetos en la apropiación activa de conocimientos,
habilidades y valores, a través del establecimiento de vínculos interdisciplinarios con
el objetivo de contribuir a formarlos como profesionales capaces de resolver de
manera integral los problemas que enfrentarán en su práctica laboral y de
autosuperarse, actualizando continuamente sus conocimientos”, (Perera, F.; 2002,
p.50).
En nuestra comprensión, la realización de este principio presupondría, por lo
menos:
• La determinación y conceptualización de las funciones que caracterizan el desempeño profesional del profesor en las condiciones
actuales de la escuela cubana, singularizadas con las exigencias de la
Secundaria Básica, las cuales, según Castro G., F.; 2000, son: Función
formativa, función de contextualización del proceso de enseñanza-
aprendizaje de la asignatura en la clase u otras formas de organización,
función investigativa, y función de autoformación.
La función formativa, es el efecto de la actuación que implica en la dirección del
proceso la necesaria unidad de la instrucción y la educación, lo cual se logra
(González, O.; 1996) en la medida que las bases que sustentan al proceso
pedagógico, en particular de los distintos campos disciplinares que se estudian,
desplacen su acción al plano axiológico.
En consecuencia, las didácticas especiales desplazarán su centro de gravedad
de la teoría de la enseñanza a una concepción más integradora, con tendencia a la
unidad entre esta y la teoría de la educación. (Esteva, M., Valera, O. y Ruiz, A.;
2000).
En este sentido coincidimos con estos investigadores cuando señalan que el
proceso de enseñanza-aprendizaje de las diferentes materias escolares, si se
estructura, organiza y orienta en correspondencia con los requerimientos de la edad,
de las condiciones y situaciones, de las particularidades individuales y del propio
proceso, resulta suficiente para alcanzar la formación integral de los alumnos.
La función de contextualización del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
asignatura, es el efecto de la actuación mediante el cual la asignatura se manifiesta
insertada y desarrollada en la problemática general de la educación de la
personalidad, exigiendo la incorporación de todos los elementos sociocontextuales
de la acción educativa en relación con el aquí y ahora de los resultados del proceso
en la clase.
Se trata de una actuación sobre la educación del alumno que garantice en su
realización la combinación de la acción individual y la grupal, para lo cual ha de
saber observar lo que sucede a su alrededor y en relación con sus alumnos para
tomar decisiones en el estado potencial y actual del aprendizaje.
La función investigativa del proceso curricular parte de reconocer en la
actuación un desempeño eficiente ante la resolución de los problemas pedagógicos,
lo que implica, a su vez, reconocer estos problemas en su carácter dinamizador
(García, G. y Fátima, A.; 1999) en el desarrollo del proceso pedagógico y la
investigación para determinarlos y resolverlos.
En este caso, la investigación se centra en la observación y reflexión en, desde y
para la acción educativa, a partir de la problematización sobre la información ya
acumulada o planteada.
Una tal actuación investigativa, a decir de Imbernón, F.; 1994, posibilita la
potencialización y desarrollo de estrategias para mantener una actitud y visión
crítico-transformadora de lo social y del curriculum, lo que implica potenciar actitudes
divergentes para el desarrollo del curriculum.
La función de autoformación se refiere a los efectos metacognitivos
manifestados en la actuación a través del análisis de las cualidades de sus propios
conocimientos y de su propia actuación, lo que permite abrir las condiciones para la
autorreflexión sobre la conducta y potencialidades propias y de los demás.
Hace falta que la persona sea cada vez más consciente del proceso en el que
transcurre su actuación, lo que le permitirá con mayor eficiencia comprenderlo y
transformarlo.
• La revelación de la unidad dialéctica (Castro G., F.; 2000) entre problema profesional (Addine, F. y García, G.; 2001) y actividad pedagógica profesional (García, L. y Valle, A.; 1996), lo que ha
presupuesto delimitar los problemas profesionales que tipifican las
necesidades profesionales que hoy enfrentan los profesores en la escuela
y los tipos de actividad profesional que subyacen en la solución de estos
problemas: actividad cognoscitivo-informativa, actividad diagnóstica,
actividad modelante y actividad algorítmica.
Es necesario precisar la comprensión que se asume en esta tesis sobre el
problema profesional de acuerdo con su impacto específico en el objeto de
investigación y su concreción en el campo de acción que se transforma.
En la concepción de Addine, F.; 2001, el problema profesional se caracteriza por los
siguientes rasgos:
i. situación inherente en el objeto de la profesión,
ii. se expresa como una contradicción, que estimula la necesidad de
búsqueda de vías de solución,
iii. establece una necesidad de carácter social, que da lugar a la generación
de nuevos conocimientos y situaciones,
iv. promueve un perfeccionamiento del profesional en la institución,
v. unidad entre socialización y apropiación de la cultura científica.
Esta necesidad se expresa, en el caso de la carrera de profesor integral de SB, en términos
de la situación que es inherente al proceso pedagógico que transcurre en esta enseñanza,
considerado como el objeto de esta profesión.
Ella es particularizada, en esta investigación, en la necesidad de una formación
matemático-conceptual básica, y singularizada en el concepto de magnitud, para comprender
y transformar los fenómenos y procesos fundamentales de la práctica social inmediata,
contextualizable en la SB, donde estos estudiantes se van desempeñando.
Con tal posición, entendemos que el problema profesional que se transforma desde la
posición estratégica que defendemos, se constituye en: cómo elaborar el concepto de
magnitud dentro de la formación matemático-conceptual del estudiante en relación con
su carácter sistematizador y como medio para comprender y transformar la práctica
social inmediata.
El abordaje de este problema profesional se sustenta en el contexto de la actividad, que en
tanto sistema de acciones generalizadas respecto al correspondiente objeto, la tipifican como
actividad pedagógica profesional (García, L. y Valle, A.; 1996).
Asumimos el conjunto de invariantes funcionales, que según Castro G., F.; 2000,
tipifican la actividad pedagógica profesional: actividad cognoscitivo-informativa,
actividad diagnóstica, actividad modelante y actividad algorítmica, las cuales, según
este autor, devienen en las siguientes habilidades profesionales pedagógicas:
definir, argumentar, diagnosticar, algoritmizar, modelar.
Este conjunto de habilidades pedagógicas es caracterizado como sistema, cuya
estructura de relaciones en correspondencia con los problemas profesionales la
esquematizamos más adelante.
Este sistema queda jerarquizado desde la habilidad de modelación, lo que
significa que el lenguaje de las tareas profesionales que connotan el núcleo de la
profesión (en el lenguaje de Corral, R.; 1998) quede en términos de esta habilidad.
ProblemaDiagnosticar Modelar
Algoritmizar
En este marco, la tarea profesional es definida como la actividad en condiciones
concretas de realización, con un fin en sí misma y una solución real, donde se
identifican los momentos de su realización, desde el planteamiento del problema
hasta su solución y evaluación.
De la propia definición de la tarea profesional se deduce que el problema
condiciona y orienta la tarea, concretándose con esta su solución. Al mismo tiempo
el problema no existe fuera del sujeto (profesional) que lo identifica, aborda y
resuelve.
Mientras que el problema es concreto, manifestado en una situación presente en
un objeto, la tarea se caracteriza por su nivel de generalización en tanto concreta la
actividad que transforma al correspondiente objeto .Por ello la tarea y problema
profesional constituyen dos contrarios dialécticos, cuya solución se resuelve en el
propio proceso curricular donde se insertan y transforman.
En esta dirección, si partimos de considerar el problema profesional en el que se centra
nuestra atención (cómo elaborar el concepto de magnitud dentro de la formación matemático-
conceptual del estudiante en relación con su carácter sistematizador y como medio para
comprender y transformar la práctica social inmediata), entonces, la tarea profesional
correspondiente, para su solución, aportaría una respuesta en el lenguaje de la habilidad
modelar para transformar el proceso de elaboración del concepto de magnitud dentro de la
formación matemático-conceptual del estudiante.
• Definir la asignatura Matemática como eje organizador de las acciones formativas en la carrera desde el primer año, lo que
presupone considerar un núcleo estructural del contenido disciplinar
dentro de la asignatura Matemática que encierra: la vivenciación-
socialización de situaciones, la formulación de problemas, la
determinación de modelos de interpretación y solución de problemas, y la
contextualización en el proceso de enseñanza-aprendizaje a través de la
clase u otras formas de organización de este proceso.
Este núcleo estructural deviene algoritmo para la acción en el proceso de
abordaje de las diferentes tareas que se resuelven desde la asignatura Matemática
en el curriculum del profesor emergente, constituyéndose en modo de actuación,
identificable con el estilo investigativo que el estudiante en formación desarrolla en
su desempeño profesional en general.
• Caracterizar la formación investigativa del estudiante como eje
desarrollador esencial del proceso de solución de los problemas
profesionales en la carrera (Salazar, D.; 2001), lo que ha presupuesto
delimitar el papel del desarrollo de los proyectos de año como elemento
fundamental integrador del proceso curricular en el año.
Un primer nivel de integración de los presupuestos delimitados se
tendría que manifestar en los objetivos generales que subyacen a la
formación, expresados en el diseño del proyecto curricular y los cuales
hemos planteado en términos de tres ejes fundamentales.
Estos tres ejes expresan la finalidad, el contenido y el método de una
tal formación:
Finalidad máxima: El énfasis en la formación integral de la
personalidad del estudiante-profesor.
Contenido: Una concepción del contenido curricular centrada en
relaciones de tipo multi e interdisciplinarias en función de la resolución
de los problemas profesionales.
Método: Un modo de actuación pedagógico profesional centrado en
un estilo investigativo por la transformación del proceso en la acción
conjunta, que toma en su centro al problema profesional en el desarrollo
del proceso de enseñanza-aprendizaje de las diferentes asignaturas.
La concreción de este último eje como organizador jerárquico de los
restantes se concreta en el siguiente objetivo:
Desarrollar un modo de actuación pedagógico profesional
centrado en un estilo investigativo por la transformación del
proceso de enseñanza-aprendizaje de las asignaturas,
considerando el papel esencial del problema profesional en el
desarrollo de este proceso y el de la acción conjunta en el año
y en la escuela para su solución.
Se asume la caracterización del modo de actuación pedagógico profesional dada
por Castro G., F.; 2000, el cual delimita sus cuatro dimensiones más significativas,
como las siguientes: sociológica, epistemológica, metodológica y psicopedagógica.
Así, se han identificado sus rasgos esenciales: está condicionado histórica y
socialmente, expresa creencias, valores, estilos de comportamiento, depende de las
concepciones del docente sobre la asignatura, encierra procedimientos y métodos
de la actuación pedagógica; está condicionado por los problemas pedagógicos
profesionales presentes en los procesos de formación de la personalidad, curricular
y de enseñanza-aprendizaje, se caracteriza como sistema complejo
estructuralmente diferenciable; se manifiesta en las relaciones interpersonales y por
tanto en la comunicación pedagógica profesional; se manifiesta en la resolución de
las tareas pedagógicas profesionales y por tanto en la actividad pedagógica
profesional.
La demostración de un estilo investigativo, la centramos en indicadores tales
como:
• El establecimiento y sostenimiento del debate teórico-
metodológico.
• La exploración diagnóstico-interventiva.
• El razonamiento crítico-profesional.
• El desarrollo de una cultura profesional sobre la evaluación y la
autoevaluación (que abarca la transformación del alumno, la del
maestro y la del propio curriculum).
La consolidación de este objetivo desde las diferentes disciplinas y
sus asignaturas en los años considera una dirección básica: La
determinación de los proyectos de año.
El proyecto de año, de acuerdo con los referentes teóricos que
venimos asumiendo, lo caracterizamos con los siguientes rasgos:
• Es un marco esencial de realización del curriculum en el año y
por tanto su proyección la distinguen los mismos rasgos que al
curriculum: motivado, problémico, sistémico, investigativo, y
con carácter de proceso.
• Es la unidad interdisciplinaria del proceso curricular que integra
en sí a los componentes organizacionales del proceso de
enseñanza-aprendizaje en el año: académico, laboral-
investigativo y a los componentes no personales del proceso:
diagnóstico, problema, objetivo, contenido, métodos, forma,
medio, y evaluación.
• Integra en su proceso toda la actividad pedagógica profesional:
actividad cognoscitivo-informativa, actividad diagnóstica,
actividad modelante y actividad algorítmica.
• El proyecto de año es punto de partida, medio, fin e
instrumento para la realización de las funciones que
caracterizan la actuación del profesor: formativa, de
contextualización, investigativa, y de autoformación.
• Concreta en su proceso el núcleo estructural que integra el
contenido disciplinar en todo el curriculum en la Matemática
como eje organizador: la vivenciación-socialización de
situaciones, la formulación de problemas, la determinación de
modelos de interpretación y solución de problemas, y la
contextualización en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
II.2. El proceso de aprendizaje de conceptos matemáticos y el carácter sistematizador del concepto de magnitud.
En este epígrafe se analiza el proceso de elaboración de conceptos como
fenómeno general, manifestado en lo particular en la Matemática, de acuerdo con la
concepción asumida por Bustamante, J.C.; 2003, lo cual implicará en lo inmediato
singularizarlo para el caso del concepto de magnitud.
II.2.1. Carácter mediatizado instrumental del proceso de elaboración de conceptos.
La tesis vigotskiana central de la que se parte refiere el carácter mediatizado
instrumental de las funciones psicológicas superiores.
En este caso Vigotski se subraya dos direcciones fundamentales de la mediatización, lo que
puede explicarse a la manera de Morenza, L.; 1997, cuando precisa que “el hombre se
relaciona con los objetos de la cultura, pero en esta relación no está solo, está acompañado por
los otros, sus relaciones con los objetos están mediatizadas por las relaciones que establece
con otras personas…, estas aparecen como mediadores en el proceso de conocimiento. He
aquí una primera forma de mediación, que no es la única en el contexto de la Escuela
Histórico-Cultural, ya que los instrumentos con los cuales operan las funciones psicológicas
superiores son también instrumentos mediadores”, (Morenza, L.; 1997, pp.4-5).
Así, esta estructura mediatizada presupone tanto la utilización de instrumentos, “que
permitan dar sentido a nuestros aprendizajes y conocimiento, mediante signos, en sentido
amplio: desde un esquema, un invariante, una célula, un nodo, una red, un mapa conceptual,
hasta una comunicación oral o escrita”, (Hernández, H.; 1999, p.3); como la de un proceso de
interiorización de los propios objetos de la cultura en el aprendizaje.
Esta estructura mediatizada, presupone entonces, un proceso de interiorización,…”toda
función psicológica en el desarrollo del niño aparece al menos dos veces, o en dos planos:
primeramente en el plano social, de las interacciones o de la comunicación, para aparecer
luego en el plano psicológico individual” (Morenza, L.; 1997, p.7).
Esta dinámica se expresa en un concepto básico dentro de las posiciones
vigotskianas y que tiene un impacto fundamental en nuestra propuesta, centrada en
definitiva, en el proceso de resolución de problemas en el contexto de la dinámica
del trabajo con los proyectos de año.
Se está refiriendo el concepto de Zona de Desarrollo Próximo (ZDP), el cual se
define como “la distancia que media entre dos planos, entre lo que el niño puede
hacer con ayuda y lo que el niño puede hacer por sí mismo” (Morenza, L.; 1997,
p.8).
Entonces, la ZDP:
• se comprende como espacio socialmente construido (Labarrere, A.;
1997), donde se da el paso de lo externo a lo interno,
• encierra a la interacción como un tipo singular de relación,
• presupone a los sujetos interactuando de acuerdo con ciertas finalidades
preestablecidas,
• implica a la cooperación como patrón de ayuda,
• encierra la solución conjunta de ciertas tareas,
• persigue la apropiación de los instrumentos culturales que sirven de base
a la solución de las tareas,
• es el marco en cuyos límites ocurre el aprendizaje.
II.2.2. La elaboración de conceptos y el aprendizaje. De acuerdo con el objeto de esta tesis se enfatiza el proceso de elaboración de
conceptos en el caso especial de los conceptos matemáticos, como función
psicológica superior y por supuesto en su proceso de aprendizaje.
Es necesario entonces, asumir una concepción de aprendizaje coherente con estos
planteamientos, que implique desarrollo en los sujetos que intervienen.
Así, se parte de la posición de Castellanos, D. y otros; 2001, donde se presupone
una conceptualización de aprendizaje desarrollador como un proceso complejo
multidimensional que promueve el desarrollo integral de la personalidad en un
tránsito progresivo de la dependencia a la independencia y a la autorregulación a lo
largo de toda la vida mediante el dominio de habilidades y estrategias para aprender
a aprender.
De esta definición se deducen tres dimensiones del aprendizaje, las cuales se
manifiestan como una unidad:
• activación-regulación, expresada como actividad productiva y creadora,
como reflexión y regulación metacognitivas,
• significatividad, expresada como establecimiento de relaciones de
significado en la constitución como sistema de su contenido y tendencia a
la formación de sentimientos, actitudes y valores,
• motivación por aprender, expresada como la relación de lo nuevo con la
experiencia cotidiana, del conocimiento y la vida, de la teoría con la
práctica, como motivaciones especialmente intrínsecas, autovaloraciones
y expectativas positivas, como la relación entre los nuevos contenidos y el
mundo afectivo-motivacional del sujeto.
Se suscriben estas tres dimensiones del aprendizaje como exigencias para el proceso de
elaboración de conceptos, que, en tanto proceso dirigible, es susceptible de diseñarse,
desarrollarse y evaluarse. El objetivo y alcance de esta tesis, en cuanto al tiempo de su
ejecución enfatizará la fase de diseño, lo cual necesariamente incluirá acciones de ejecución y
desarrollo así como de evaluación de su efectividad.
II.2.3. Los conceptos matemáticos. Una caracterización según sus rasgos básicos.
Es inmediato, asumir una conceptualización de conceptos la cual vamos a tomar
según su concepción filosófica.
Según el Diccionario Filosófico de Rosental, M. y P. Ludin; 1975, “el concepto es
una de las formas del reflejo en el pensar, mediante la cual se entra en el
conocimiento de la esencia de los fenómenos y procesos, se generalizan los
aspectos y los caracteres fundamentales de los mismos”, (Rosental, M. y Ludin, P.;
1975, p.75 - 76).
De acuerdo con estos mismos autores, el concepto es producto del conocimiento
que se desarrolla históricamente, el cual, elevándose de un grado inferior a otro
superior, resume en conceptos más profundos sobre la base de la práctica, los
resultados obtenidos, perfecciona y puntualiza los conceptos viejos y formula otros
nuevos.
A decir de estos autores la función lógica básica del concepto estriba en la
separación mental y, según determinados caracteres de objetos que nos interesan,
en la práctica y en el conocer. Gracias a esta función los conceptos enlazan las
palabras con determinados objetos, lo cual hace posible establecer el significado
exacto de las palabras y operar en ellas en el proceso de pensar. Separar clases de
objetos y presentarlos en conceptos es condición necesaria para el conocimiento de
las leyes de la naturaleza.
Cada ciencia opera con determinados conceptos en los que se concentran los
conocimientos que se han acumulado, la Matemática tiene sus particularidades, y
por tanto los conceptos con los que opera se determinan a partir de regularidades
específicas.
De Guzmán, M.; 1991, al evaluar las tendencias innovadoras en Educación
Matemática, analiza esta ciencia como actividad, dotada de tres rasgos esenciales:
1. simbolización adecuada, que permite representar eficazmente, desde el
punto de vista operativo, los objetos que maneja,
2. manipulación racional rigurosa, que compele al ascenso de aquellos que
se adhieren a las convenciones de partida,
3. un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional del
modelo mental que se construye, y luego, si se pretende, de la realidad
exterior modelada.
Estos tres rasgos fundamentales los interpretamos como tres ejes esenciales de análisis del
proceso de desarrollo del conocimiento matemático, que guardan estrecha relación (como se
verá más adelante con el proceso de elaboración de conceptos) en tanto:
El primero, relativo a los objetos con los que opera la Matemática, subraya un
rasgo distintivo de estos: el simbolismo.
El segundo, relativo al método de desarrollo del conocimiento matemático,
enfatiza en la deducción como manera distintiva de generar este conocimiento.
El tercero apunta al propio proceso de aplicación del conocimiento matemático; al
destacar la capacidad de interpretación de la realidad con sus objetos, se subraya la
dimensión de modelo de estos objetos. Nuestra posición en este marco subraya el
carácter dialéctico de la relación: modelo matemático-realidad concreta interpretada.
Al mismo tiempo, se asume que el conocimiento matemático esencial inscrito en
el nivel de la SB, opera con cinco conceptos básicos: número, figura, magnitud,
variable, función.
La especificidad del objeto de investigación de este trabajo marca dentro de todo
el conocimiento matemático el rol de los conceptos como su célula básica, y
particularmente el concepto de magnitud.
Con los elementos discutidos hasta aquí se pueden resumir los rasgos
fundamentales que caracterizan el proceso de elaboración de conceptos
matemáticos:
• es un proceso de aprendizaje desarrollador, distinguido según tres
dimensiones: significatividad, activación-regulación, motivación,
• en tanto proceso, lo distinguen tres fases: preparatoria, formación y asimilación,
• estas fases revelan un proceso de abstracción, como reflejo de los
objetos de la realidad considerando las cantidades, formas y relaciones
de estos objetos,
• se dispone de cinco modelos básicos: número, figura geométrica, magnitud, variable, función que orientan este proceso de abstracción,
• se considera un sistema de símbolos específicos que reflejan una
identidad de los objetos.
II.2.4. Caracterización del concepto de magnitud.
Una caracterización completa del concepto de magnitud en los límites del alcance
del objeto de investigación de esta tesis y en su concreción singular para su campo
de acción, requiere en nuestra consideración, además de los elementos tratados
anteriormente, de un análisis socio–histórico-concreto y lógico-metodológico del
proceso de desarrollo del concepto de magnitud.
Un análisis en estas direcciones permitirá demostrar el carácter complejo y
multidimensional de este concepto, de lo cual se derivarán implicaciones didácticas
esenciales para la propuesta estratégica que se defiende en el capítulo III.
Así mismo, del análisis anterior se derivan las bases fundamentales para una
definición necesaria del concepto de magnitud, lo cual tendrá implicaciones
didácticas singulares en el arreglo que se incluye del contenido correspondiente para
incluir en la estrategia.
II.2.4.1. Un análisis socio–histórico-concreto y lógico-metodológico del proceso de desarrollo del concepto de magnitud.
El estudio de este concepto se realiza a partir de fuentes bibliográficas organizadas en tres
direcciones fundamentales:
• fuentes de carácter histórico: Klein, Félix; 1987 (edición original, 1924),
Matemática elemental desde un punto de vista superior, Ríbnikov, K.;
1987. Historia de la Matemática,
• fuentes de carácter enciclopédico: Diccionario Enciclopédico del Joven
Técnico, Enciclopedia Microsoft Encarta, Enciclopedia Matemática,
Diccionario Enciclopédico del Joven Matemático.
• textos especializados: Vilenkin, N.Ia, y otros. Bases Contemporáneas del
Curso de la Matemática Escolar, Jiménez, M., Teoría de la Medida,
Baziliev, V.T., K.I. Dunichev. Geometría.
El análisis de estas fuentes permitió concretar algunas ideas fundamentales que
se esbozan seguidamente.
Se observa que el desarrollo del concepto de magnitud ha estado condicionado
históricamente a lo largo del proceso de desarrollo del conocimiento de la sociedad,
manifestándose en cada momento de este proceso diferentes niveles de
comprensión y de aplicación del concepto, en relación, con las necesidades de la
práctica social del hombre.
Germen del
Formalización
Desarrollo
Diferentes Estados de Desarrollo en el
Diferentes Estados de Desarrollo en el
Diferentes Estados de Desarrollo en el
D e s a r r o l l o H o r i z o n t a l Desa r r o l l o Ve r t i c a l
Este proceso se ha podido organizar por fases, las cuales expresan un estado de
desarrollo continuo del concepto, visto en el plano vertical según la aparición de
cada fase, y en el plano horizontal según la evolución particular del concepto en
cada una de ellas, a lo largo del tiempo. De hecho esta taxonomía en fases no está
implicada directa y necesariamente con una lógica temporal de la evolución del
concepto. Estas fases son tres: de germen del concepto, de formalización teórica del
concepto, y de desarrollo contemporáneo del concepto de magnitud.
La fase de germen del concepto de magnitud estuvo presente en los inicios del
desarrollo de la actividad práctica del hombre hasta llegar a obtenerse abstracciones
como la longitud, la superficie, los volúmenes, la masa, el tiempo etc., primando
influencias básicamente de tipo socio-histórico-concretas, como por ejemplo se
puede citar, el caso de la aparición de la tonelada como unidad de peso (ver anexo
6).
Por otro lado, en este marco jugó un papel esencial el propio desarrollo del
concepto de número.
La fase de formalización del concepto de magnitud se ha podido delimitar, a partir
de las influencias fundamentales de exigencias lógico–metodológicas, que
completaron las premisas del desarrollo de un pensamiento teórico que soportara la
comprensión del lenguaje y método axiomáticos para expresar el concepto de
magnitud. En esta interpretación los conceptos de longitud, área, volumen, masa,
etc., llegan a constituirse mediante las propiedades esenciales que cumplen, como
magnitudes escalares positivas en general.
Esta fase se inicia con la obra de Euclides”Los Inicios”, en el siglo III, antes de
nuestra era, a partir de lo cual se van haciendo una serie de generalizaciones que
responden a una relación dialéctica entre influencias histórico-concretas y teórico -
metodológicas.
Por ejemplo, la determinación completa de la axiomática para definir la magnitud
escalar positiva que se hace a partir de los axiomas propuestos por Euclides viene a
tener su expresión definitiva solo cuando se completa la teoría del número real, en el
siglo XIX.
En definitiva, a partir de la determinación de Euclides (con la cual marcamos esta
segunda fase) se han ido produciendo generalizaciones del concepto de magnitud
tales como: magnitud escalar positiva, magnitud escalar, magnitud no arquimediana,
magnitud vectorial, tensor. Estos aspectos los desarrollamos con más detalles en el
epígrafe siguiente.
La fase de desarrollo contemporáneo se ha delimitado para recoger en ella elementos que
no se inscriben propiamente en la fase de formalización. Estos recogen aspectos que son
consecuencia de los imperativos del desarrollo social, o científico y tecnológico en general, y
que podrán considerarse como germen de otro estado de la formalización en algún momento
posterior del desarrollo del conocimiento.
Un ejemplo de este tipo de situación, se ve en el uso de nuevas magnitudes y sus
unidades, como es para la cantidad de información el byte, y el bit, en el marco de
las teorías informáticas (ver anexo 7).
En este sentido es importante incorporar estas nuevas magnitudes al contenido
de enseñanza-aprendizaje escolar, en tanto ya es usual su uso en todos los niveles
donde está presente el trabajo con la computadora.
Por otro lado, se pudo establecer también:
• el hecho de que el concepto de magnitud es sistematizador del
conocimiento matemático, en particular, y del conocimiento de otras
disciplinas como la Física, la Química, etc.,
• la propia lógica de su evolución y desarrollo histórico, como concepto
tiene un alto nivel didáctico, utilizable en el arreglo definitivo a incluir en el
cuerpo de contenidos de un programa de enseñanza. II.2.4.2. Una definición necesaria del concepto de magnitud.
Como ya se ha mencionado la definición del concepto de magnitud requiere de un
alto nivel de generalización teórica, si tomamos en cuenta, por lo menos, los
presupuestos matemáticos necesarios para hacerlo.
Estos presupuestos, generalmente, son considerados desde las exigencias lógico–
metodológicas en la organicidad interna de la propia Matemática como teoría, y motivados
por condicionantes socio-histórico-concretos que expresan la dinámica de desarrollo del
propio concepto que se define; estas ideas son subrayadas con el hecho de considerar la vía
axiomática como recurso para aportar una definición del concepto de magnitud escalar
positiva, la cual a su vez permitirá determinar un conjunto importante de conclusiones de
naturaleza didáctica para organizar el propio contenido que queremos incluir.
Es necesario precisar que la singularidad del campo de acción que se acentúa en
esta tesis al concretar el objeto de investigación, connotan el caso de las magnitudes
escalares positivas como esencial dentro del proceso de formación del profesor
integral de la SB, en tanto, entre estas se constituye el objeto de estudio de las
magnitudes en este nivel de enseñanza.
Por ello, entendemos suficiente hacer un análisis intensivo que las abarque dentro
del contenido fundamental que se requerirá para la preparación de estos docentes.
El concepto de magnitud es considerado como uno de los conceptos matemáticos
fundamentales (Kolmogórov, A.N.; 1977), pues, en una u otra medida, el trabajo con
el mismo incide en la mayoría de los problemas matemáticos y de las ciencias
naturales en la escuela (Vilenkin, N.Ia., y otros; 1989).
De acuerdo con el análisis hecho en el epígrafe anterior podemos delimitar tres
estados particulares de formalización del concepto de magnitud: magnitud escalar,
magnitud no arquimediana y magnitud no escalar.
II.2.4.2.a. El Concepto de magnitud escalar. Principios para una definición axiomática.
En esta fase se considera el concepto de magnitud escalar positiva, la cual
Kolmogórov, A.N.; 1977, denomina así para distinguir este concepto, según él, de
otras generalizaciones posibles en la actualidad.
La comprensión inicial del concepto de magnitud se constituyó en una
generalización de los conceptos particulares de: longitud, área, volumen, masa,
tiempo, etc., y que fue claramente esbozado a partir de propiedades esenciales
suyas en los”Inicios”, de Euclides (Kolmogórov, A.N.; 1977), en el siglo tres antes de
nuestra era.
Estas propiedades escritas como postulados, fueron formuladas por Euclides en
los términos siguientes:
¨Los iguales a uno mismo son iguales entre si.
Si a iguales se añaden iguales, entonces los totales serán iguales.
Si de iguales sustraemos iguales, entonces los restos serán iguales.
Los que pueden superponerse unos con otros son iguales entre si.
Un entero es mayor que una parte”, citado en Ríbnikov, K.; 1987, p. 67.
Esta distinción de los objetos, por sus magnitudes, según la Enciclopedia
Microsoft Encarta; 2000, se da como un conjunto de cantidades en el que se
expresa un cierto criterio de ordenamiento, uno de igualdad y una operación de
adición.
De acuerdo con estas ideas, consideramos que una comprensión completa del
concepto de magnitud escalar positiva, estará ligada al análisis de cuatro principios,
los cuales se cumplen en el marco del trabajo con cada género o tipo especial de
magnitud: longitud, área, volumen, masa, tiempo, etc. Estos principios son los
siguientes:
El principio de la comparación de las magnitudes. Este principio expresa que
cada género o tipo particular de magnitud está relacionado con un procedimiento
específico de comparación de cuerpos físicos u otros objetos, fenómenos o
procesos. Por ejemplo, en Geometría, los segmentos se comparan por
superposición, y esta comparación conduce al concepto de longitud: Dos segmentos
tienen la misma longitud si al superponerlos ellos coinciden, y si al superponerlos el
primero no cubre al otro, entonces se dice que la longitud del primero es menor que
la longitud del segundo.
En el marco de este principio, las figuras planas se pueden comparar según sus
áreas y los cuerpos según sus volúmenes, según sus masas, según sus
temperaturas, etc.
En este caso los procedimientos para esta comparación pueden ser muy
complejos y dependen de interpretaciones específicas posibles de realizar con los
objetos correspondientes geométricos, físicos, químicos, etc., así como de los
fenómenos y procesos, en general en estos campos. En ellos se insertan los
problemas de medición y estimación que caracterizamos en el capítulo tres
Dos ejemplos clásicos en este sentido, se pueden citar en los casos de:
• La medición de las áreas de las figuras planas (Bustamante, J.C.; 2003),
que evoluciona en fases como el método de exhaución en los trabajos de
Arquímedes y más actualmente las teorías de la integración y de la
medida.
• La medición de la temperatura (ver anexo 8), cuya evolución ha estado
subordinada al estado que en los diferentes momentos del desarrollo del
conocimiento físico, ha tenido el estudio del fenómeno de la dilatación de
los cuerpos en su calentamiento.
Entonces dos magnitudes a y b (del mismo género): coinciden: a = b, la primera
es menor que la segunda: a < b, la segunda es menor que la primera: b < a.
El principio de la adición de las magnitudes. Este principio presupone que en
los límites de cada género de magnitud estas se pueden adicionar, lo que significa
que para dos magnitudes a y b (del mismo género), existe una única magnitud c, tal
que c = a + b.
El principio de la división (sucesiva) de las magnitudes. Este principio fue
entendido inicialmente para el caso de los segmentos, lo cual significaba que
superponiendo el menor de dos segmentos dados, la suficiente cantidad de veces,
sobre el segundo, se obtiene un segmento de longitud mayor que la de cualquiera
de los dos segmentos. Esta idea se extiende al caso del área de figuras planas, del
volumen o la masa de un cuerpo, etc.
Así, este principio establece que para dos magnitudes (del mismo género) a y b,
tales que a < b, existe un número natural n, tal que b < na. Este principio se conoce
con el nombre de propiedad arquimediana de las magnitudes.
El principio de la continuidad de las magnitudes. Con base en los tres
primeros principios estuvo fundamentada la teoría de las magnitudes desarrollada
por los antigüos matemáticos griegos (Kolmogórov, A.N.; 1977).
Resulta que este conjunto de principios es insuficiente para abarcar todo el
alcance de cualquier magnitud (en el marco de un mismo género o tipo de
magnitud).
Esta idea se aclaró inicialmente, en el caso de las longitudes, al descubrir la
existencia de los segmentos inconmensurables, lo que se retomará posteriormente,
en el marco de la escuela pitagórica todavía en el siglo seis antes de nuestra era,
hecho que permanece en silencio por muchos años hasta que llega a constituirse en
punto de viraje para el desarrollo del propio concepto de número.
El principio de la continuidad, tiene varias maneras de formularse, una de ellas,
expresa que:
Si la sucesión de magnitudes a1 < a2 < ... <... <... < b2 < b1, cumplen la propiedad
que bn – an < c, para cualquiera magnitud c, y un número natural n lo
suficientemente grande, entonces existe una única magnitud x, tal que: an < x < bn,
para todo n.
A partir de estos principios se puede plantear una definición axiomática del
concepto de magnitud escalar positiva, la cual en definitiva precisa las propiedades
que cumplen la relación de orden y la operación de adición introducidas, así como
las propiedades arquimediana y de continuidad.
Se dice que está definida una magnitud si se da un conjunto de objetos A, y sobre
este conjunto se definen la relación de igualdad (=), la relación mayor (>), la relación
menor (<), y la operación de adición (+). En estas condiciones se debe cumplir
además que:
• Cualquiera sean las magnitudes a y b del conjunto A, se
cumple una de las tres condiciones: a = b, a < b, a > b.
• Para todas las magnitudes a, b, c del conjunto A, de que a <
b y b < c se desprende que a < c.
• Para dos magnitudes cualquiera a y b de A, existe una única
magnitud c = a + b, de A.
• Se cumple que a + b = b + a (conmutatividad de la adición).
• Se cumple que a + (b + c) = (a + b) + c (asociatividad de la
adición).
• Se cumple que a < a + b (monotonía de la adición).
• Si se cumple que a < b, entonces existe una única magnitud
c, tal que b = a + c (posibilidad de la sustracción).
• Cualquiera sea la magnitud a y el número natural n, existe
una tal magnitud b, tal que nb = a (posibilidad de la división).
• Para dos magnitudes cualquiera a y b, tales que a < b,
existe un número natural n, tal que b < na (axioma de
Arquímedes).
• Sean las sucesiones de magnitudes (an) y (bn), tales que a1
< a2 < ... < an < ... < bn < ... < b2 < b1, y bn – an < c, para
cualquiera magnitud c y un número natural n lo
suficientemente grande, entonces existe una única magnitud
x, tal que: an < x < bn, para todo n.
Las propiedades de la I – X, definen completamente el sistema de magnitudes
escalares positivas.
Con base en estas propiedades se justifica la posibilidad de elegir una magnitud
determinada l, de manera que todas las restantes magnitudes a del sistema puedan
ser representadas en la forma a = α I, donde α es un número real positivo. En este
caso a la magnitud l, se le denomina unidad de medida de la magnitud a dentro del
sistema correspondiente.
La naturaleza del número α, determina, lo que suele llamarse la
conmensurabilidad de la magnitud en cuestión. Cuando el número α es racional, se
dice que la magnitud correspondiente es conmensurable; cuando es irracional se
dice que esa magnitud es inconmensurable.
De esta afirmación se deduce que la unidad de medida de la magnitud escalar
positiva es también una magnitud respecto a la cual (y gracias al principio de
comparación) se comparan las restantes magnitudes del sistema en cuestión. En
este caso el número α expresa una relación de cantidad en la correspondencia
magnitud – unidad de medida que concreta en definitiva la relación magnitud –
número. El establecimiento de este número en la práctica para una magnitud dada
se conoce con el nombre de proceso de medición de la magnitud dada.
El carácter del proceso de establecimiento de la unidad de medida de una
magnitud implica su distinción como magnitud básica o como magnitud derivada
(Enciclopedia Microsoft Encarta; 2000). Así establecida la unidad de medida para
una magnitud se pueden definir las correspondientes a otras magnitudes, las
primeras reciben el nombre de magnitudes básicas y las segundas se denominan
magnitudes derivadas.
En este sentido, es importante definir que en cada sistema de unidades se
determina con precisión cuáles son las unidades básicas.
Como ya se vio en el Capítulo I, a pesar de que se declara que en el nivel de SB
el sistema de unidades fundamental que se considera es el Sistema Internacional,
también aparece el uso de magnitudes expresadas con unidades del Sistema
Anglosajón y del Sistema Cegesimal.
Esta idea hace necesario precisar que el conjunto de unidades básicas entonces,
recorre el diapasón específico de tres sistemas de referencia, en tanto el carácter
básico o derivado de una magnitud no es inherente a la magnitud en cuestión, sino
al propio sistema que encierra su desarrollo, con lo que como implicación didáctica
se desprende que se refuerce la necesidad de los procesos de conversión.
En este caso no sólo se considera la expresión de la magnitud dentro de su
propio género, buscando equivalencias a partir del uso de múltiplos y submúltiplos,
sino también, en su tránsito de uno de estos sistemas al otro, considerando
equivalencias establecidas para las correspondientes magnitudes.
Los múltiplos y submúltiplos más usados, según el Diccionario Ilustrado de
Ciencias; 1987, Larousse, se muestran en el anexo 9.
Se consideró importante analizar el conjunto de magnitudes y unidades asociadas
legales, lo cual se hizo según el Diccionario Ilustrado de Ciencias, Larousse; 1987.
Esta información se organiza respecto a nueve grupos de magnitudes
fundamentales, que contienen en total cincuenta y seis magnitudes, las cuales a su
vez se desglosan en noventa y tres unidades asociadas posibles, (ver anexo 10).
En este análisis no se están incluyendo las unidades posibles consideradas en el
sistema anglosajón (británico-americano), y las españolas, que en su conjunto son
las más utilizadas en Cuba. Así, se han constatado:
En los anexos 11 y 12, desplegamos con más detalles el caso de las unidades
británicas; en el anexo 13, las americanas; y en el anexo 14, las españolas antigüas,
que como se señaló anteriormente, junto al Sistema Métrico, son las más usadas en
nuestro país.
Se ha considerado importante prestar atención al trabajo con otras magnitudes
como por ejemplo: la moneda, la cantidad de madera, y la cantidad de información, a las cuales se dedica un espacio en los anexo 15, 16, y 7,
respectivamente.
A partir de este espectro de magnitudes y sus unidades se plantea un universo
posible de estas para organizar el trabajo en el marco de las acciones que se
diseñan en el capítulo tres, según se plantea en el epígrafe siguiente.
El concepto de magnitud escalar positiva tiene una primera generalización, al
considerar el conjunto de segmentos orientados sobre la recta, el de las velocidades,
o en general las magnitudes que pueden tener dos direcciones opuestas. En este
caso, se podrá hablar de magnitud positiva, magnitud negativa o magnitud nula, y en
general se habla de magnitud escalar.
Si se considera en el sistema de estas magnitudes escalares una magnitud
positiva I como unidad de medida, entonces cualquier magnitud del conjunto podrá
representarse en la forma a = α I, donde α es un número real positivo, negativo o
cero.
II.2.3.2.b. Conjunto minimal de magnitudes y sus unidades para la Secundaria Básica.
El alcance de todo el conjunto de magnitudes y sus unidades en relación con las
que aparecen en la práctica escolar de la SB sugiere que se defina lo que se ha
denominado conjunto minimal de magnitudes y unidades para la SB.
Este conjunto ha quedado determinado atendiendo a:
• El conjunto de magnitudes y sus unidades que inciden directamente en el
contenido de las asignaturas de la SB.
• Las diferentes magnitudes y sus unidades que se han encontrado en los
libros de texto para cada asignatura.
• El criterio de docentes experimentados de las diferentes asignaturas de la
SB, sobre cuáles magnitudes y unidades deben incidir en los contenidos.
• Precisiones para la utilización de unidades y símbolos legalizados en
Cuba.
• El desglose que se hace de las magnitudes y sus unidades en el Sistema
Internacional de Unidades.
A las magnitudes incluidas en el conjunto minimal se le asocia su dimensión,
entendida en este marco, como la expresión que caracteriza la relación entre esta
magnitud y las unidades básicas del sistema dado.
Para las unidades derivadas, en particular dentro del Sistema Internacional, la
dimensión se constituye en un monomio en forma de producto de los símbolos de
las unidades básicas con los exponentes que le correspondan y en la relación que
proviene de las regularidades o exigencias que ligan a esas magnitudes básicas.
Son considerados los siguientes símbolos, en correspondencia con cada
magnitud básica:
L: Longitud.
M: Masa.
T: Tiempo.
Θ: Temperatura termodinámica.
I: Intensidad de la corriente eléctrica.
N: Cantidad de sustancia.
J: Intensidad luminosa.
En ocasiones, todas las unidades básicas en la definición de una magnitud
derivada aparecen con exponente cero; en este caso se dice que su dimensión es
cero. Tal es el caso de las denominadas magnitudes relativas, por ejemplo: la
humedad relativa (en Geografía), la masa atómica relativa (en Química), la
eficiencia energética (en Física).
La descripción de las diferentes magnitudes y sus unidades dentro del conjunto
minimal, será completada con el nombre y el símbolo de estas, así como con una
observación que las clasifica en tres grandes grupos:
Unidad Básica del Sistema Internacional: UBSI.
Unidad Derivada del Sistema Internacional: UDSI.
Otras Unidades.
Además, dentro de estas observaciones, se agrega si la unidad se usa con
múltiplos o submúltiplos, así como algunas equivalencias útiles. Ver anexo 17.
II.2.3.2.c. El Concepto de magnitud no arquimediana y de magnitud no escalar.
Las magnitudes no arquimedianas son aquellas que aún cuando cumplen con
las propiedades del orden, no cumplen el axioma de Arquímedes.
El estudio de tales magnitudes aparece por primera vez en el siglo XIX
(Kolmogórov, A.N.; 1977), y su aplicación corresponde a investigaciones
matemáticas de elevada singularidad, por ejemplo en el estudio de los denominados
grupos y semigrupos arquimedianos, anillos arquimedianos, etc. (Kokorin, A. I. y
Kopitov, V.M.; 1972) .
Las magnitudes no escalares se refieren en primer término a los vectores. El
denominado cálculo vectorial adquiere la concepción contemporánea solo a finales
del siglo XIX, el cual en la concepción de Gleizer, G.I.; 1983, tuvo su germen en tres
fuentes de desarrollo:
• Geométrica, considerando el cálculo con segmentos y segmentos
orientados (Vesel, en 1799, formula la regla cola-punta actual para la
adición de vectores)
• Física, considerando las investigaciones de los problemas de las ciencias
naturales (Kepler, considera en su modelo de la trayectoria elíptica del
movimiento de los planetas, a segmentos orientados con inicio en el foco
donde sitúa al sol, y final en el punto en movimiento que representa al
planeta)
• Algebraica, considerando el sucesivo enriquecimiento del concepto de la
operación de adición presente en el desarrollo del Álgebra.
Una generalización del concepto de vector se refiere al concepto de tensor. En
estos últimos casos de magnitudes pierde el sentido la relación de orden, definida
para el caso de las magnitudes escalares.
II.2.4. El carácter sistematizador del concepto de magnitud.
Coincidimos con Castro G., F.; 1999, y Gómez, M.L.; 2002, cuando defienden el
criterio de que el aspecto conceptual del contenido matemático de la Secundaria
Básica se genera a partir de cinco conceptos básicos: número, magnitud, figura,
variable, y función, los cuales se desarrollan mediante una espiral ascendente que
integra todo el contenido matemático básico hasta el noveno grado.
De acuerdo con la concreción que corresponde del objeto de esta tesis
enfatizamos en una caracterización de las relaciones posibles entre estos cinco
conceptos, orientándola desde el prisma del concepto de magnitud
Como que el sistema de los números reales positivos (y el propio conjunto de los
números reales) cumplen las propiedades I – X (Rodríguez, R.; 1989); para las
magnitudes, es del todo posible denominar a los números reales también
magnitudes escalares positivas o escalares, en general, según sea el caso.
En este sentido se enfatiza una cierta identificación entre los conceptos de
magnitud escalar y número real en el sentido de que la relación de orden definida
para las magnitudes y la operación de adición introducidas cumplen en estos
contextos las mismas propiedades.
Así mismo, una cierta magnitud puede considerarse variable en dependencia de
sus expresiones numéricas (en el sentido de la identificación hecha anteriormente),
o en una relación más compleja puede variar en dependencia de una o mas
magnitudes al describir el desarrollo de un objeto o proceso, constituyéndose en su
modelo de interpretación.
Entonces, la identificación de la magnitud con el número es consecuencia de una
relación que puede ser inmediata, y hablamos de las magnitudes básicas, o a través
de otras magnitudes, hablándose de magnitudes derivadas.
Por otro lado, el estudio de las figuras geométricas está condicionado según el
conjunto de sus propiedades esenciales que las determinan como conceptos dentro
de la Geometría.
Muchas de estas propiedades se expresan en el lenguaje de magnitudes
esenciales, como la longitud, la amplitud, el área, el volumen, lo cual a su vez
condiciona la existencia del cálculo geométrico, al contextualizar el proceso de
cálculo aritmético ahora en condiciones de interpretación de objetos geométricos.
II.3. Conclusiones del capítulo II.
A partir de los elementos discutidos en el capítulo, se derivan las
siguientes conclusiones, las cuales, a su vez, devienen en referentes
teóricos para la estructuración de la estrategia didáctica que
defendemos:
• Se considera una unidad entre concepción curricular y proceso de
enseñanza-aprendizaje en la carrera, que se materializa en:
• La determinación de las funciones del profesor en las condiciones
actuales de la Secundaria Básica.
• La revelación de la unidad dialéctica entre problema profesional y
tarea profesional, en relación con el objeto magnitud.
• La consideración de la asignatura Matemática y su metodología como
eje organizador de las acciones en la carrera desde el primer año,
• La concreción de la formación investigativa del estudiante como eje
desarrollador esencial del proceso de solución de los problemas
profesionales en la carrera, a través de los proyectos de año.
• Se delimita el desarrollo de los proyectos de año como elemento
fundamental integrador del proceso curricular en el año, los que han
quedado caracterizados por los siguientes rasgos:
o Su concepción, la distinguen los mismos rasgos que al curriculum:
motivado, problémico, sistémico, investigativo, y con carácter de
proceso.
o Es la unidad interdisciplinaria del proceso curricular que integra en sí a
todos los componentes.
o Integra en su proceso toda la actividad pedagógica profesional.
o Es punto de partida, medio, fin e instrumento para la realización de las
funciones del profesor.
o Concreta en su proceso el núcleo estructural que integra el contenido
disciplinar en todo el curriculum de la asignatura Matemática y su
metodología como eje organizador.
Se determinan los rasgos fundamentales que caracterizan al proceso de
elaboración de conceptos matemáticos, singularizado por el concepto de
magnitud: es un proceso de aprendizaje desarrollador, lo distinguen tres fases: preparatoria, formación y asimilación, estas fases revelan un
proceso de abstracción, se dispone de cinco modelos básicos: número,
figura geométrica, magnitud, variable, función que orientan este proceso
de abstracción, se considera un sistema de símbolos específicos que
reflejan una identidad de los objetos.
El considerar el proceso completo de modelación teórica del concepto de
magnitud dimensionó en una vía importante para determinar exigencias
didácticas que se considerarán en el diseño de las actividades de la
estrategia (ver capítulo III).
Capítulo III. Diseño de una estrategia didáctica para la elaboración del concepto de
magnitud en estudiantes de la carrera de profesores integrales de Secundaria Básica de Güira de Melena.
En este capítulo se define estructuralmente la estrategia didáctica para el proceso de
elaboración del concepto de magnitud, considerando los referentes teóricos delimitados en el
segundo capítulo y concretados en la realización de tres exigencias básicas que rigen la
acción en su diseño y desarrollo. Se caracterizan los componentes de la estrategia como
campos fundamentales de actividades que en definitiva permiten materializarla en la práctica
del curriculum de la carrera. Finalmente se emiten algunos juicios de valor alrededor de la
implementación de la estrategia.
III.1. Exigencias que rigen el proceso de diseño de la estrategia didáctica.
De acuerdo con Bustamante, J.C.; 2003, se define el término de estrategia
didáctica como la estructuración de variadas actividades en que se debe ordenar la
acción para la consecución de determinados objetivos propuestos, y la posibilidad de
alcanzarlos en un contexto histórico social determinado, a partir de un proceso
permanente de interacción de los sujetos implicados en ella.
El proceso de diseño y desarrollo de esta estrategia se rige por un conjunto de exigencias,
cuya determinación y formulación, consideró:
I. los referentes teóricos precisados en el capítulo dos,
II. las posiciones asumidas por Bustamante, J.C.; 2003, en su tesis de maestría, ya
referida anteriormente,
III. las exigencias para asumir y diseñar acciones interdisciplinarias (Salazar, D., y
Addine, F.; 2003, ver anexo 18),
IV. la propia conceptualización de estrategia, dada anteriormente.
De acuerdo con estos antecedentes, se han establecido las siguientes exigencias para el
diseño y desarrollo de la estrategia:
a. El carácter integrador y sistémico de las actividades, que presupone
entender la estrategia con un carácter íntegro de actividades que se han
introducido en el diseño y desarrollo del proceso para estimular la
formación del estudiante.
b. El carácter problémico de las actividades, que presupone que el
conjunto de las actividades previstas, tenga como finalidad máxima la
solución de problemas profesionales, en un proceso continuo de
problematización de la práctica profesional que el estudiante enfrenta y
transforma, demostrando un sentido crítico y transformador en los planos
de lo vivenciado, lo empírico y lo investigado.
c. El carácter contextual de las actividades, que presupone que el
conjunto de las actividades previstas, sea transformador de la realidad
singular que el estudiante y su colectivo enfrentan en el marco de su aula
y escuela.
d. El carácter interactivo y autorregulado de las actividades, que
presupone que el conjunto de las actividades previstas, considere y
transforme la realidad personal y de desarrollo de su colectivo estudiantil
y laboral preprofesional en la escuela.
La realización de estas exigencias requiere hacer algunas precisiones necesarias para el
desarrollo de las ideas que siguen en lo adelante:
i. la naturaleza de la estrategia es didáctica, en el sentido de que la propia
organización y desarrollo de esta transita por los componentes
estructurales (personales y no personales) del proceso pedagógico en el
año, y organizativos de la carrera (académico y laboral-investigativo),
ii. el objeto de transformación inmediato de la estrategia es el proceso de
elaboración del concepto de magnitud,
iii. la organización del diseño de la estrategia se realiza según tres
componentes estructurales, que se constituyen en una unidad sistémica
en tanto articulan los componentes del proceso pedagógico (personales y
no personales) y los organizativos de la carrera (académico y laboral-
investigativo), en la solución de los problemas profesionales,
iv. el objetivo esencial de la estrategia es la organización y desarrollo del
proceso de elaboración del concepto de magnitud en relación con una
sistematización del contenido matemático, físico, químico, biológico,
geográfico y de la Educación Laboral, en la solución del problema
profesional que corresponde,
v. el diseño y desarrollo de la estrategia se enmarca en un contexto que
expresa la dinámica contradictoria (dialécticamente hablando) del
desarrollo de dos procesos: el proceso de formación de profesores y el
proceso pedagógico en la escuela, lo cual se rige a partir del diagnóstico
continuo, que plantea, las exigencias al propio desarrollo de la sociedad,
vi. esta contradicción se resuelve a través de la realización de la estrategia
que defendemos en el marco del trabajo del colectivo pedagógico de la
carrera y el colectivo pedagógico de la escuela con el grupo de
estudiantes.
Como quiera que la estrategia se desarrolla desde la asignatura Matemática y su
metodología, se delimita un protagonista que dirige el proceso de realización de las
acciones en la persona del profesor de ella.
Estas acciones se concretan en cuatro niveles fundamentales:
• Primer nivel. La asignatura: Acciones con el colectivo de estudiantes,
realizadas con ellos dentro del componente académico y de ellos con el contexto
escolar, dentro del componente laboral-investigativo. Hasta el momento hemos
podido incursionar con la estrategia, en lo esencial, a este nivel.
• Segundo nivel. El colectivo pedagógico de año: Acciones desplegadas con el
colectivo pedagógico del año, realizadas desde el trabajo metodológico.
• Tercer nivel. El colectivo de carrera: Acciones que realizan las asignaturas de
las demás disciplinas de la carrera en su propio proceso pedagógico, en el marco
de la municipalidad donde concurran los estudiantes.
• Cuarto nivel. El colectivo pedagógico escolar (colectivos de grado y escuela): Acciones que se realizan con el colectivo pedagógico escolar, en el
marco del trabajo metodológico del grado y la escuela.
III.2. Componentes de la estrategia didáctica. El ordenamiento de las actividades que encierra la estrategia que diseñamos
parte de la delimitación de tres componentes que la definen:
Utilización de clases de problemas.
La determinación de la Matemática y su metodología, como eje
organizativo.
El trabajo con el proyecto de año.
Estrategia Didáctica
Clases de Problemas
La Asignatura Matemática y su Metodología
El Proyecto de Año
A continuación desarrollamos el contenido de cada uno de estos componentes
estructurales.
III.2.1. El trabajo con clases de problemas. Como ya se refirió en el segundo capítulo, el fundamento teórico de esta tesis se
considera sobre la base de los principales presupuestos de la Escuela Histórico -
Cultural de Vigotski.
Según Hernández, H.; 1999, “el enfoque de Vigotski, al poner en el centro de su
atención la actividad del estudiante y crear las condiciones para que se produzca su
relación con el objeto de estudio, sintetiza las ideas fundamentales del pensamiento
pedagógico contemporáneo. Viabiliza la búsqueda de soluciones a los problemas
que aún subsisten en el aprendizaje de la Matemática”, (citado por Bustamante, J.C.;
2003, p.25).
Los aportes de Vigotski, vienen siendo utilizados, con éxito, como bases teóricas
en numerosas investigaciones, en especial, en el campo de la enseñanza y
aprendizaje de la Matemática (Bustamante, J.C.; 2003), reportándose en nuestro
país, incursiones importantes, en lo fundamental a partir de la tesis doctoral de la
Dra. Hernández, H., en 1989.
Siguiendo esta huella, Delgado, R.; 1999, defiende en su tesis doctoral, una
organización sistémica del contenido matemático atendiendo a cuatro tipos
diferentes: estructural - funcional, genética, de reglas y unidades y por clases de
problemas manteniendo los instrumentos.
De acuerdo con el interés de esta tesis precisamos los tipos estructural –
funcional y por clases de problemas manteniendo los instrumentos.
En el caso del tipo estructural – funcional se describe el objeto en su totalidad, por
su composición y estructura que garantizan el funcionamiento en un sistema mayor
o la existencia estable en el medio circundante; en esta descripción el tipo de enlace
principal es el estructural – funcional y la estructura funcional estable de cada nivel
del sistema o concepto formador de este, recibe el nombre de invariante del sistema.
Según Delgado, R.; 1999, la realización de este caso al nivel de un programa de
estudio requiere de:
1. Revelar el concepto formador del sistema (invariante).
2. Destacar lo invariante, su estructura.
3. Destacar lo variable, su manifestación funcional en el sistema.
4. Destacar las variantes o manifestaciones particulares dentro del
sistema.
En la presente tesis se está considerando el conjunto de las magnitudes como
sistema, incorporado como contenido de enseñanza al proceso de formación del
profesor de la SB.
De acuerdo con esta precisión y bajo los presupuestos desarrollados alrededor de
la conceptualización de las magnitudes se justifica declarar el concepto magnitud
con su definición axiomática como elemento formador del propio sistema, como
invariante.
En este caso, lo invariante, la estructura, radica en la consideración de los diez
axiomas que condensan las propiedades esenciales que deberán cumplirse en la
proyección funcional, a través de cualquier manifestación particular de magnitud:
longitud, amplitud, masa, tiempo, etc., que a su vez, determinan las variantes del
sistema.
El tipo de las clases de problemas mediante la variación de los instrumentos de
solución, según este autor requiere de la realización de los siguientes pasos en el
proceso de diseño de una asignatura:
• Determinar los instrumentos que provee el contenido del programa para la
resolución de problemas relativos a él.
• Determinar todos los problemas que pueden ser considerados como
aplicaciones inmediatas del contenido objeto de estudio (en los límites del
modelo del profesional).
• Agrupar el conjunto de problemas en el menor número de clases posibles,
agrupándolos por el objeto de estudio del problema y no por el
instrumento con que se resuelve.
• Organizar el bloque de contenidos de forma tal que se lleve de frente la
resolución de las diferentes clases de problemas y en cada tema
permanezca invariable el tipo de instrumento a utilizar.
Esta concepción ha sido utilizada con éxito en el diseño y desarrollo de
asignaturas, lo que garantiza la lógica de descomposición de ella en los diferentes
temas que la determinan, subrayando así, el aspecto del desglose horizontal.
En nuestro juicio, lo esencial en lo que se viene analizando como criterio de
diseño, es la relación que pueda establecerse entre:
Objeto (concepto) – clases de problemas- habilidad - instrumento Por ello, en la lógica del desglose vertical de la disciplina, de acuerdo con la
singularidad del objeto de nuestra referencia (el concepto de magnitud), se podría
asumir como criterio de diseño, el conservar las clases de problemas y de hecho las
habilidades (en el sentido de Delgado, R.; 1999) enriqueciendo el propio objeto y los
instrumentos, en el paso de una asignatura a la otra.
En nuestra consideración, este autor da un paso esencial, al abordar la unidad
conocimiento-habilidad, desde la resolución de problemas, pero en el marco de un
tipo nuevo de enfoque sistémico, ya mencionado anteriormente, lo cual permite
naturalmente realizar esta unidad a nivel del diseño y desarrollo del currículo.
Un momento importante ahora es determinar las clases de problemas que
caracterizan el trabajo con el concepto de magnitud, para lo cual consideramos, los
propios pasos que propone Delgado, R.; 1999, adaptándolos a las condiciones
específicas del contexto investigativo de esta tesis.
La determinación de los problemas y de los instrumentos para su resolución que
provee el contenido respecto al objeto de referencia (concepto de magnitud), que
pueden ser considerados como aplicaciones inmediatas de este objeto (en los
límites del modelo del profesional), así como su agrupación en el menor número de
clases posibles, la hemos desarrollado, en primer término con la ayuda de los
propios principios que determinamos para la definición axiomática del concepto de
magnitud en el segundo capítulo.
Así, corresponde considerar problemas de las siguientes clases:
• cálculo de magnitudes,
• conversión de magnitudes,
• estimación de magnitudes,
• medición de magnitudes.
Los problemas de cálculo con magnitudes presuponen reconocer las operaciones de
adición y sustracción, así como la de multiplicación por un escalar, como las tres operaciones
básicas relativas al trabajo con magnitudes.
En el caso de magnitudes derivadas se inscribe una operatoria (formal) en el trabajo con la
dimensión de estas magnitudes, en el sentido que ya se comentó anteriormente, para el
concepto de dimensión, que en definitiva caracteriza la dinámica de definición de la nueva
magnitud (derivada) en su proceso de conceptualización.
Los problemas de conversión caracterizan una dinámica del trabajo con magnitudes que
permite dentro de un mismo género o tipo de éstas obtener equivalencias numéricas entre
diferentes unidades, tanto en el tránsito de un sistema a otro (respecto a una misma magnitud),
como en el uso de múltiplos y submúltiplos.
Los problemas de estimación y de medición encierran el proceso de establecimiento de un
valor numérico para una magnitud, mediante, en ambos casos, de un patrón de comparación;
pero se diferencian, por el uso de un medio específico en el caso de las situaciones de
medición.
En el caso de los problemas de estimación se hace fuerte una componente facto-perceptual,
marcado por las experiencias específicas acumuladas por quien los resuelve.
En este sentido se hace factible el trabajo con situaciones de estimación para el caso de
magnitudes básicas: longitud, masa, tiempo, temperatura, amplitud.
En el caso de magnitudes derivadas, se pueden considerar: área, volumen, frecuencia,
velocidad, densidad, etc.
En este marco de problemas inciden los siguientes instrumentos:
Problemas de cálculo con magnitudes:
• El concepto de las diferentes magnitudes que intervienen.
• El modelo de las operaciones básicas con magnitudes.
• Las fórmulas que caracterizan las magnitudes derivadas.
• Los algoritmos de cálculo con números reales.
Problemas de conversión de magnitudes:
El concepto de la magnitud que se convierte.
Las equivalencias entre las unidades de esa magnitud.
Los algoritmos de cálculo con números reales.
Problemas de estimación de magnitudes:
1. El concepto de la magnitud que se estima.
2. El patrón de la magnitud que se estima, en su vínculo experiencial.
3. Los algoritmos de cálculo con números reales.
Problemas de medición de magnitudes:
• El concepto de la magnitud que se mide.
• El medio de medición.
• El patrón de medición en su vínculo con el medio.
• Los algoritmos de cálculo con números reales.
Los cuatro tipos de problemas descritos están asociados, respectivamente, a cuatro
habilidades:
calcular,
convertir,
estimar,
medir.
A continuación damos una caracterización de cada una de estas habilidades en los términos
de cómo las hemos interpretado en esta estrategia.
Estimar una magnitud, es determinar un valor numérico para ella en un rango posible de
su variación, a través de un patrón de comparación y una base experiencial determinada.
Calcular con magnitudes, es desarrollar una operación algebraica para transformar una,
dos o más magnitudes.
Convertir una magnitud, es establecer una equivalencia numérica entre dos unidades de
esta.
Medir una magnitud, es establecer una correspondencia numérica entre esta y un patrón
de comparación a través de un medio predeterminado.
Esta caracterización se completa mediante la determinación del sistema de acciones de
cada una de las habilidades caracterizadas, los cuales, a su vez se han puesto en relación con
el proceder metodológico para la resolución de problemas, expuesto en el Programa Director
de la Matemática, que encierra las siguientes fases:
Fase I: el análisis del problema o comprensión cualitativa de la situación planteada,
Fase II: el análisis de las posibles vías de solución,
Fase III: la solución cuantitativa o cualitativa del problema,
Fase IV: la comprobación y evaluación del resultado, así como de la vía de solución.
Habilidad Acciones Básicas – Fases en la Resolución del Problema
Correspondiente
Estimar Analizar el objeto de estimación. Fase I.
Determinar la magnitud a estimar. Fase II.
Determinar un rango de variación de la magnitud. Fase III.
Precisar un valor posible. Fase IV.
Valorar el resultado. Fase IV.
Calcular Identificar las magnitudes para el cálculo. Fase I
Determinar la operación. Fase II.
Determinación del algoritmo. Fase II.
Ejecutar el algoritmo. Fase III
Valorar el resultado. Fase IV.
Convertir Describir las magnitudes en el contexto de conversión. Fase I.
Identificar el criterio de conversión. Fase II.
Desarrollar el cálculo asociado. Fase III.
Escribir la equivalencia obtenida. Fase IV.
Valorar el resultado. Fase IV.
Medir
(Oropesa,
R.R.; 2002)
Interpretar el objetivo. Fase I.
Seleccionar el medio de medición. Fase II.
Preparar el medio. Fase II.
Manipular el medio. Fase III
Obtener los datos. Fase III.
Procesar los datos. Fase III.
Interpretar los resultados. Fase IV.
III.2.1.a. El conjunto de habilidades asociado al trabajo con magnitudes como
sistema.
Seguidamente pretendemos caracterizar al conjunto de habilidades delimitado
para el trabajo con magnitudes como un sistema.
Desde las posiciones del Enfoque Sistémico y siguiendo los criterios de
Sadovski, V.N.; 1974, y los del libro La Dialéctica y los Métodos Científicos
Generales de Investigación; 1982, referidos por Castro G, F.; 2000, el estudio de un
objeto como sistema implica revelar:
• que es una parte de otro objeto de orden superior de complejidad;
• que forma una unidad especial con el medio;
• que constituye un complejo integral de partes interconectadas;
• que sus partes se manifiestan como sistemas de orden inferior de
complejidad.
Este conjunto de habilidades se considera en el marco del sistema básico de
habilidades matemáticas (Hernández, H.; 1990, Delgado, R.; 1999), lo cual lo sitúa
como parte de un objeto de orden superior de complejidad, que forma, a su vez, una
unidad especial con el contexto abarcador de las múltiples aplicaciones de las
magnitudes dentro del trabajo en las diferentes asignaturas.
Por otro lado, este conjunto es un complejo integral de partes interconectadas,
comprendidas por su independencia o interdependencia relativas de cada una
habilidad y entre cada una de ellas, de acuerdo con la naturaleza y complejidad de
los diferentes problemas que se resuelven.
Así mismo, cada una de estas habilidades han quedado caracterizadas por sus
sistemas de acciones, lo que las hace ver como sistemas de orden inferior de
complejidad.
III.2.2. La Matemática y su metodología como eje organizativo.
Como ya se expresó en el segundo capítulo, la asignatura Matemática y su
metodología en el currículum de la formación emergente de profesores de SB, se
constituía un eje organizador de las acciones formativas en la carrera desde el
primer año.
Esta idea presupone considerar un núcleo estructural del contenido disciplinar
dentro de la disciplina Matemática y su metodología, que encierra:
• la vivenciación-socialización de situaciones,
• la formulación de problemas,
• la determinación de modelos de interpretación y solución de problemas,
• la contextualización en el proceso de enseñanza-aprendizaje a través de
la clase u otras formas de organización de este proceso.
Como ya se dijo en el capítulo dos, este núcleo estructural se constituye en
algoritmo para la acción en las diferentes actividades que se plantean en la
asignatura, enriqueciéndose de acuerdo con el carácter singular que encierra el
propio concepto de magnitud en su proceso de elaboración en la SB.
En este sentido es esencial la consideración del conjunto minimal de magnitudes
y sus unidades que se definió en el capítulo dos, constituyéndose en el sistema de
objetos que son transformados por las habilidades determinadas en el proceso de
formulación y resolución de los problemas correspondientes.
Estos elementos junto a la invarianza del concepto de magnitud, constituyen la
base para el proceso de diagnóstico del estado de la elaboración del concepto de
magnitud que la Matemática como asignatura dirigirá dentro de la dinámica del
currículum.
Se considera que la dinámica de este proceso de diagnóstico la determina el
proceso de la definición de magnitud que se desarrolló en el capítulo dos, expresada
en el lenguaje de cuatro exigencias cualitativas derivadas de ella, desplegadas en el
proceso de resolución de los correspondientes problemas básicos sobre
magnitudes:
• La comparabilidad entre magnitudes.
• La adición-sustracción de magnitudes.
• La división sucesiva de una magnitud.
• La continuidad de la magnitud.
III.2.3. Uso del proyecto de año.
De acuerdo con los referentes teóricos asumidos en el segundo
capítulo, el desarrollo del proyecto de año en la carrera deberá
sistematizarse a los diferentes años por los que transitarán los
estudiantes. Un primer nivel de desarrollo del proyecto lo hemos descrito
en el primer año de la carrera, donde se debe lograr: Desarrollar un
proyecto de año que dé seguimiento a una problemática del proceso de
enseñanza-aprendizaje del grado donde el alumno está insertado.
En el marco de las exigencias del objeto de investigación que
desarrollamos y su concreción en el campo de acción correspondiente, y
atendiendo a la singularidad de este primer año como formación
emergente, hemos podido delimitar tres objetos de transformación,
sobre los que se centran los problemas correspondientes a desarrollar
con el proyecto de año.
El proceso de desarrollo histórico del concepto de magnitud.
El proceso de formulación y resolución de clases problemas sobre magnitudes.
El proceso de elaboración del concepto de magnitud en el escolar de la secundaria básica.
Tres objetos
La concreción del proyecto, como transformación de estos tres objetos particulares, parte de considerar:
• Los problemas asociados al desarrollo de estos
objetos, como concreción de la solución del
problema profesional declarado en el capítulo dos.
• Una estructuración del proyecto, que considere:
o El desarrollo del diagnóstico, la precisión de la pregunta
problémica y el problema, la concreción del objeto al que se
dará seguimiento en la solución del problema, la
determinación del objetivo, el desarrollo de la modelación.
o La determinación de los sistemas conceptuales, de
habilidades y los elementos de áreas de formación posibles a
dar continuidad en estos sistemas al nivel de un grado.
o La determinación de situaciones del marco socio-histórico
donde se plantea un elemento concreto de un complejo de
materia.
o La concreción del Programa Director de la Matemática.
o El aporte concreto de las asignaturas (desde sus
potencialidades específicas).
o La formulación y resolución de problemas desde la
asignatura.
o La concreción de las problemáticas en el desarrollo de la
clase.
• Una organización y seguimiento de la solución de
los problemas expresados en el proyecto, que
presupone, por lo menos: La organización de los
estudiantes en una determinada agrupación,
precisión de las tareas posibles en cada subgrupo,
determinación de la organización temporal de la
solución del problema, la preparación de un sistema
de clases, la forma de presentación, la defensa del
proyecto.
III.3. Ejemplificación de la implementación de la estrategia. La implementación de la estrategia se concretó, en el primer nivel declarado para
su desarrollo, centrando sus actividades en dos direcciones fundamentales
íntimamente relacionadas entre sí: el marco del trabajo con los contenidos
propiamente de la asignatura Matemática y el desarrollo del propio proyecto de año.
En este caso todas las acciones desarrolladas pretenden su integración en el
desarrollo del propio proyecto de año.
Esta labor se ha realizado en los términos de tres problemáticas fundamentales,
relativas a los tres objetos de transformación del proyecto de año, cuya solución transita en una espiral ascendente de complejidad, desarrollada en las diferentes
clases de la asignatura Matemática y su metodología y en otras planificadas, tanto
en Güira, como en el municipio de inserción (Mariel), que se cierra con la última
problemática donde se materializa el problema y la tarea profesional en relación con
el objeto magnitud.
Seguidamente se plantean estas problemáticas y algunos ejemplos de situaciones
particulares delimitadas y desarrolladas de conjunto con los estudiantes en las
diferentes actividades organizadas:
¿Cómo se puede caracterizar la evolución histórica del concepto de magnitud?
En este caso se delimitó un conjunto de magnitudes escogidas según la
organización hecha en el capítulo dos, en el epígrafe II.2.4.2.b.
Se eligieron los casos que más interés tuvieron para los alumnos, dentro de las de
mayor incidencia en el contenido de la SB, o en el marco de la vivenciación de
situaciones que ellos ya hubieran tenido, dentro de las: magnitudes geométricas,
magnitudes de masa, magnitud tiempo, magnitudes mecánicas, magnitudes
eléctricas, magnitudes caloríficas, magnitudes de radiactividad, magnitud cantidad
de sustancia, magnitudes ópticas, la moneda, la cantidad de madera, y la cantidad
de información.
En los casos seleccionados se pretendió describir la evolución histórica correspondiente atinente a las fases de germen, formalización y contemporaneidad. Las situaciones correspondientes fueron desarrolladas, tanto
en las clases de la asignatura, como en los sistemas de clases.
¿Cómo se puede desarrollar la formulación y resolución de problemas relativos al
trabajo con magnitudes?
En este caso la formulación y resolución de problemas abarcó las cuatro clases
ya mencionadas: estimación, cálculo, conversión y medición, en el marco de las
posibles magnitudes planteadas anteriormente.
A continuación exponemos dos ejemplos de situaciones básicas, a partir de los
cuales los estudiantes debían elaborar los diferentes problemas y resolverlos, estas
situaciones fueron desarrolladas tanto dentro de las clases de la asignatura, como
dentro de los propios sistemas de clases defendidos.
• El completamiento de tablas, que conlleva no solo al establecimiento de
equivalencias mediante el cálculo, sino también, a la búsqueda investigativa
de estas equivalencias, en situaciones que transitan por toda la variedad de
expresiones de la magnitud correspondiente en los diferentes sistemas que
se usan, en particular, en nuestro país.
Dos ejemplos, son los siguientes, donde se pide:
A.1 Completar la tabla, estableciendo la equivalencia de cada una de
las unidades de volumen de la primera columna con cada una de las que
encabezan las restantes columnas:
Unidades galón
U.S
galón
G.B.
galón
Esp.
litro barril
U.S. m3
1 galón U.S 1
1 galón G.B. 1
1 galón Esp. 1
1 litro 1
1 barril U.S. 1
1 m3 1
A.2 Completa la siguiente tabla que expresa distintas equivalencias
entre escalas de temperatura.
Unidades Símbolo ºC K ºF
ºCelcios ºC ºC +273,15
Kelvin K (9/5)K -459,67
ºFarhenheit ºF (5/9)(ºF- 32)
• La confección de bases de datos donde se relacionen magnitudes de los
grupos ya mencionados, caracterizadores de fenómenos o procesos
importantes, que permitan plantear y resolver problemas de las cuatro clases.
A continuación, mencionaremos un ejemplo, de bases de datos con que
trabajaron los alumnos: Características de los planetas del sistema solar (diámetro,
período de rotación, distancia al sol, período de traslación alrededor del sol),
principales datos de la tierra (radio ecuatorial, radio polar, radio terrestre,
circunferencia ecuatorial, circunferencia polar, superficie terrestre, volumen terrestre,
tierra firme, océano mundial), características generales de los continentes
(superficie, alturas máximas), características de los océanos (área, profundidad
máxima, profundidad media).
¿Cómo se puede modelar la dirección del proceso de elaboración del concepto
de magnitud en el escolar de la Secundaria Básica?
En este caso, se materializa el problema y la tarea profesional relativos al objeto
magnitud y cuya solución se concreta siguiendo los referentes teóricos desarrollados
en el capítulo II, y particularizados en el capítulo III,
en lo general, en el proceso de elaboración de conceptos matemáticos,
en lo particular, en la definición del concepto magnitud, y
en lo singular, en las cuatro clases de problemas sobre magnitudes.
El proyecto de año, definitivamente se materializó, en la preparación y defensa, de un sistema de clases, cuya argumentación debió incluir, al transitar por las tres
problemáticas descritas anteriormente: la vivenciación-socialización de situaciones,
la formulación de problemas, la determinación de modelos de interpretación y
solución de problemas y la contextualización en el proceso de enseñanza-
aprendizaje a través de la clase.
En el plano de lo organizativo:
• Se determinaron los subgrupos de trabajo, formados por
dos estudiantes, organizándose once subgrupos. En este caso
se previó que los estudiantes del municipio Mariel (sobre los
que recayó particularmente la acción investigativa) formaran
subgrupos independientes, de acuerdo con, su ubicación en las
diferentes escuelas de inserción.
• Se hicieron sesiones de trabajo para determinar el contenido y precisión de cada una de las tareas posibles en cada
subgrupo.
• Se definió la organización temporal de la solución de las
diferentes tareas, que cerró con la discusión de los sistemas de clases, mediante un ejercicio final en la asignatura Matemática (en Güira), como forma de presentación y defensa
del proyecto.
Como se ha venido precisando, diferentes tareas relativas a las
problemáticas generales 1 y 2 fueron discutidas en el marco de las
clases de la asignatura Matemática (en Güira), de acuerdo con el grado
de correspondencia que tenían con el contenido que se estudiaba (ver
epígrafe III.4.1).
III.4. Análisis de los resultados preliminares de la implementación de la estrategia.
Estos resultados se han analizado en tres direcciones básicas, a saber: una
valoración sobre el aprendizaje logrado en relación con el concepto de magnitud,
taller realizado con los estudiantes del grupo donde recayó la acción de la
estrategia y la calidad de la presentación y defensa de los proyectos de año.
III.4.1. Valoración del aprendizaje alcanzado sobre el concepto magnitud. Como se ha dicho anteriormente, el trabajo con magnitudes tuvo una
sistematización a lo largo de toda la asignatura Matemática, contextualizándose en
todos los contenidos que se desarrollaban.
Esta sistematización se logró en el lenguaje de diferentes tareas determinadas a
partir de las dos primeras problemáticas que ilustramos en el epígrafe III.3, lo que
hace natural incorporar a la evaluación frecuente de la asignatura tareas relativas a
las magnitudes, las cuales, a su vez, fueron contextualizadas en el lenguaje de
magnitudes y sus unidades y concertadas entre las asignaturas Matemática, Física,
Química, Biología, Geografía y Educación Laboral.
Este trabajo de concertación se logró en sesiones sistemáticas de trabajo
conjunto entre los profesores de las asignaturas mencionadas.
Los criterios para el desarrollo de la evaluación frecuente fueron cuatro categorías
que se corresponden con las cuatro habilidades básicas para el trabajo con
magnitudes, desglosadas en indicadores en el lenguaje de las acciones
correspondientes, con lo que se abarca el espectro completo de los problemas
posibles.
En relación con el análisis de los resultados de esta evaluación se pueden hacer
las siguientes conclusiones:
• Se resolvieron tareas atinentes a magnitudes, en preguntas escritas
dentro de la clase, en tareas extraclases, y en otros ejercicios de control.
• Se fueron incorporando estas tareas en todas las asignaturas
mencionadas, a pesar de que donde mejor se monitoreó y sistematizó
este trabajo fue en Matemática.
• Los estudiantes demostraron cada vez mejor desempeño en las tareas
que se fueron desarrollando, lo que se comprobó, definitivamente en la
preparación y defensa de los sistemas de clases.
III.4.2. Taller de análisis de los resultados de la asignatura. Se decidió constatar el criterio de los estudiantes respecto a su percepción sobre el
impacto en ellos de la manera en que se venía trabajando en correspondencia con las acciones
de la estrategia, mediante un debate en el cual podían expresar sus puntos de vista
abiertamente.
De antemano se le entregó a los estudiantes los aspectos en los que se prefería
profundizar, referidos al campo de actividades derivadas de cada una de las
componentes de la estrategia. Los estudiantes debían emitir su valoración sobre el
impacto en ellos de acuerdo con cómo los percibieron en las diferentes actividades
organizadas al efecto.
Los criterios de los estudiantes se recogieron en la medida en que los fueron
reportando, por cada uno de los rubros orientados. Finalmente, se escribieron de
conjunto con ellos, las siguientes conclusiones:
• Conocemos un amplio universo de magnitudes concientizándolo y
comprendiéndolo como conjunto organizado de acuerdo con su
incidencia en los programas de la SB.
• Podemos trabajar con las magnitudes en términos de cuatro tipos
básicos de problemas: de cálculo, de estimación, de conversión, y
de medición.
• Hemos reconocido el amplio uso de las magnitudes en la práctica
social.
• Tienen gran valor para nuestra labor educativa en la escuela.
• La defensa de las clases, nos dejó en condiciones de realizar
acciones concretas en la escuela con los estudiantes, no solo en
la problemática de las magnitudes, sino en otras problemáticas.
• Tenemos un buen ejemplo de cómo se hace la búsqueda de
información para desarrollar tareas investigativas.
• Hemos mejorado la comunicación entre nosotros, entre nosotros y
los alumnos, y entre nosotros y los restantes profesores de la
escuela, en la necesidad de resolver determinadas tareas.
III.4.3. Sobre la calidad de la presentación y defensa de los proyectos. Fueron analizados once proyectos, en correspondencia con los once subgrupos
constituidos.
Cantidad de equipos (de un total de 11)
Una
asignatura
2 en Matemática
1 en Física
Dos
asignaturas
3 en Matemática-Física
2 en Matemática-Educación Laboral
1 en Matemática-Geografía
Tres o más
asignaturas
1 en Matemática-Física-Geografía
1 en Matemática-Física-Geografía-Educación Laboral
Del análisis hecho se puede reconocer que:
• Se abordaron sistemas de clases que se centraron en una sola
asignatura, en dos, y en tres o más asignaturas.
• Los alumnos prefirieron reconocer la problemática de las magnitudes en
las asignaturas, de Matemática y Física. En el caso de los proyectos de
Matemática, se incluyeron unidades de magnitudes físicas.
• La problemática de las magnitudes se ve casi siempre en dos o más
asignaturas.
• Los sistemas de clases siempre encerraron los cuatro tipos de problemas
en tareas diseñadas para cada clase del sistema, y para desarrollar, tanto
dentro, como fuera de la actividad docente.
• Todos los sistemas incluyeron tareas de búsqueda de información.
• En cada caso se consideraron tareas de tipo histórico, respecto a las
magnitudes que se relacionaban.
• En los sistemas defendidos siempre se hizo un análisis que relacionaba
explícitamente los contenidos particulares con el conjunto de magnitudes
y sus unidades posibles, en el vínculo de una asignatura con la(s) otra(s)
(exceptuando el caso que consideró a la asignatura Física).
• En todos los casos se diseñaron tareas que implicaron el uso de la
enciclopedia Encarta.
• Se constató entusiasmo, responsabilidad y satisfacción por los
estudiantes, tanto en la preparación, como en la defensa de los proyectos.
III.5. Conclusiones del capítulo III. Los elementos discutidos en el capítulo permiten hacer las siguientes
conclusiones:
1. Fueron determinadas las exigencias básicas que rigieron el proceso de
determinación de las distintas actividades de la estrategia. 2. La estrategia quedó estructuralmente diferenciada por tres componentes:
trabajo por clases de problemas, la Matemática y su metodología como
eje organizador, y el trabajo por proyectos de año. 3. El trabajo por clases de problemas permitió tipificar actividades, tales
como: organizar el contenido relativo al objeto magnitud respecto a cuatro clases de problemas (conversión, cálculo, estimación y medición)
así como, tipificar y caracterizar un subsistema de habilidades (convertir, calcular, estimar y medir), estructurado según las fases
generales del proceso de resolución de problemas.
4. El considerar la asignatura Matemática y su metodología como eje
organizador de las acciones en el año permitió considerar un núcleo estructural del contenido disciplinar dentro de esta, que encierra: la
vivenciación-socialización de situaciones, la formulación de problemas, la
determinación de modelos de interpretación y solución de problemas, así
como la contextualización en el proceso de enseñanza-aprendizaje a
través de la clase u otras formas de organización de este proceso, y
dirigir el proceso de diagnóstico para la elaboración del concepto de
magnitud.
5. El trabajo con los proyectos de año consideró actividades tales como:
delimitar los objetos de transformación principales, sobre los que se
centran los problemas correspondientes a desarrollar con el proyecto de
año, y desarrollar la solución de las tres problemáticas básicas asociadas a estos objetos: ¿cómo se puede caracterizar la evolución
histórica del concepto de magnitud? ¿cómo se puede desarrollar la
formulación y resolución de problemas relativos al trabajo con
magnitudes? y ¿cómo se puede modelar la dirección del proceso de
elaboración del concepto de magnitud en el escolar de la secundaria
básica?
6. Los resultados preliminares obtenidos permiten evaluar positivamente la
estructuración y desarrollo de la estrategia defendida según su objetivo de
estimular el proceso de elaboración del concepto de magnitud en el
primer año de la carrera de formación emergente del profesor de la SB en
Güira de Melena. Ello se manifestó, en lo particular, en la estimulación de
los resultados de aprendizaje de los estudiantes, el reconocimiento por
estos del impacto favorable de la aplicación de la estrategia, así como, en
la calidad de la presentación y defensa de los proyectos de año.
Conclusiones. En este trabajo se constatan insuficiencias en los estudiantes al ingresar en la
carrera de formación emergente del profesor de SB en relación con la formación
matemático-conceptual y, en lo particular, con el aprendizaje del concepto de
magnitud. Ello unido al insuficiente nivel de sistematización de estos elementos en el
desarrollo del curriculum para tal formación profesional desde el primer año, y al
significativo impacto de esa insuficiencia como exigencia para enfrentar la solución
del problema profesional, correspondiente a la carrera, han hecho legítima la
problemática que se ha desarrollado en esta tesis.
En función de lo anterior y considerando el carácter esencial y sistematizador del
concepto magnitud, tanto dentro de la asignatura Matemática, como de otras (Física,
la Química, la Biología, la Geografía, la Educación Laboral) se concibió la
estimulación de la formación conceptual desde una estrategia didáctica.
La base empírica construida por el autor de este trabajo en los últimos dos años
como profesor de Matemática y su metodología, en esta carrera, y los elementos
con que hoy se cuenta en materia de teoría y práctica sobre el proceso de formación
de profesores, básicamente en las condiciones singulares de la educación en
nuestro país, en correspondencia con los métodos de investigación utilizados,
permiten hacer las siguientes conclusiones:
3. Se determinan los referentes teóricos necesarios para enfrentar una solución
a tal contradicción, como fundamentos de una estrategia didáctica para
estimular el proceso de elaboración del concepto magnitud:
o Una interpretación de la unidad entre concepción curricular
y proceso de enseñanza-aprendizaje en el contexto de la
formación emergente del profesor de la SB, a través de la
consideración del proyecto de año como unidad
interdisciplinaria, aplicable al proceso de elaboración del
concepto de magnitud.
o La caracterización del proceso de elaboración de conceptos
matemáticos, mediante sus rasgos esenciales, como
proceso de aprendizaje desarrollador y como
contextualización del correspondiente proceso de
elaboración del concepto de magnitud.
o La estructuración sistémica por clases de problemas del
objeto magnitud (cálculo, conversión, estimación y
medición), como vía para concretar la unidad problema-
concepto-habilidad, en el marco del proceso de resolución
de problemas en general.
o La consideración del proceso completo de modelación
teórica del concepto de magnitud, como fuente para
concretar exigencias didácticas importantes a tener en
cuenta en el sistema de actividades de la estrategia que se
defiende, en lo particular atinentes: a la consideración de
antecedentes de tipo histórico en el abordaje de una
determinada magnitud, al universo necesario como conjunto
minimal de magnitudes y sus unidades para la SB, la
determinación y optimización de las propias clases de
problemas, la concreción del concepto de magnitud como
invariante, lo que permitió delimitar cuatro exigencias
cualitativas para el proceso de elaboración del concepto
magnitud.
• Con base en los referentes antes mencionados fue posible
proponer una estrategia didáctica estructuralmente diferenciada
por tres componentes: trabajo por clases de problemas, la
asignatura Matemática y su metodología como eje organizador, y
el trabajo por proyectos de año.
• Se concreta la estrategia didáctica mediante un conjunto de
actividades organizadas para su ejecución según sus tres
componentes, que articulan tanto la enseñanza del objeto de
contenido en cuestión, como el propio proceso de aprendizaje (ver
conclusiones del capítulo III).
• El despliegue de la estrategia se ha podido realizar con su
conjunto de actividades, en lo fundamental, en el primer nivel
correspondiente.
• Se hace una constatación preliminar de los resultados de la
implementación de la estrategia, que refieren buenos niveles de
aprendizaje sobre el sistema magnitud y de satisfacción de los
estudiantes por el estilo de trabajo de la asignatura Matemática y
su metodología, según las transformaciones derivadas de la
implementación de la estrategia defendida.
Recomendaciones. o Seguir extendiendo la sistematización de las acciones de la
estrategia a los restantes niveles de esta, determinados
para su desarrollo.
o Enriquecer los criterios de validación de la efectividad de la
aplicación de la estrategia.
o Extender la aplicación de la estrategia a otros lugares
donde se cuente con esa carrera.
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Anexo 1. Nombre:________________________. 1. Dos kilogramos son aproximadamente: Elige una posibilidad. 2,2 libras, 8 libras, 4,4 libras, 4 libras 2. Dos pulgadas son aproximadamente: Elige una posibilidad. 51 mm, 1 m, 100 mm, 0,5 m 3. Una velocidad de 3,6 kilómetros por hora ( 3,6 km/h ) es equivalente, numéricamente, a una velocidad de: Elige una posibilidad. 36 m/s, 3,6 m/s, 1 m/s, 3600 m/s 4. ¿Cuál es la temperatura que puede tener un día caluroso de verano en Cuba?: Elige una posibilidad. 3°C 70°C 22°C 38°C 5. ¿Cuál es el ancho aproximado de la puerta del frente de tu casa? Elige una posibilidad. 1 m, 2 cm, 10 m, 15 cm 6. Si recorres caminando, a paso normal 1 kilómetro, te puedes demorar. Elige una posibilidad. 25 seg. , 3 min. , 16 min. , 1¼ horas. 7. ¿Cuántos minutos hay en 1¾ horas? 8. Completa con el número que corresponda en la rayita en blanco: 8.a. 650 g + ______ g = 1 kg 8.b. 2 kg - 1 kg 600 g = ______ g 8.c. 1 m 3 0 cm = ______ cm 8.d. 2 156 ml = ______ l 8.e. 3 h 12 min. = ______ min. 9. Un valor aproximado para 90 millas es: Elige una posibilidad 380 m 170 km 1 900 m 9 km 10. Un tren recorre ( a velocidad constante) 5 km en 3 min. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 1 hora? 11. Si a una pieza de vestir que originalmente costaba 5 pesos se le hace una rebaja de precio del 10%. ¿Cuál es el nuevo precio? ________ 12.Una naranja puede pesar: Elige una variante. 2 kg 5 kg 200 g 900 g 13. Un cuarto de kilogramo de cierto tipo de caramelos cuesta 5 pesos. ¿Cuál es el costo de un gramo?. _________
14. ¿Cuál es, en gramos, la quinta parte de 2 kg ? 15. Alejandro empieza a hacer ejercicios físicos a las 10:55 am. Demora 45 min haciéndolos. ¿A qué hora terminó? ________ 16. En un mapa a escala: 1 cm por 700 m, aparece señalado el curso de un río. Determine cuál debe ser su longitud en el mapa si su longitud real es de 2 100 m. __________
17. Tres niñas participan en una carrera. Ellas han recorrido ya: Anicia, ½ de la pista Elvira, ¾ de la pista Olga, ¼ de la pista Señala el orden en que van en la carrera: Primera____________ Segunda___________ Tercera____________ 18. Freír un huevo puede demorar: Elige una posibilidad. 1 seg. , 48 min. , 2 min. , 120 min. 19. Se quiere cubrir un cuadrado cuyos lados miden 1m, con cuadraditos de lados que miden 1 cm. ¿Cuántos de estos cuadraditos se necesitarán para cubrir el cuadrado original? Elige una posibilidad. ____ 10 cuadraditos ____ 100 cuadraditos ____ 1 000 cuadraditos ____ 10 000 cuadraditos 20. Yanet y Yania están planeando comprar paqueticos de caramelos. Se han dado cuenta de que estos en distintos lugares tienen diferentes precios. Los puntos en la gráfica relacionan el número de caramelos por paquetes con el precio de los paquetes en los distintos lugares. Cada letra mayúscula representa un paquete.
C Núm. de D caram. por E paquete B F A paquete Precio del
C Núm. de D caram. por E paquete B F A paquete Precio del
C Núm. de D E caram. por paquete B F A paquete Precio del
t t t t t t20.a. ¿ Qué paquete ( escribe la letra que le corresponde ) tiene menos caramelos? _________ 20.b. ¿Qué paquete (escribe la letra que le corresponde) cuesta más?_________
20.c. ¿Cuestan lo mismo cualquiera de los paquetes?________ 20.d. ¿Pesan lo mismo cualquiera de los paquetes?________ 20.e. ¿Qué paquete (escribe la letra) ofrece la mejor oferta (tiene más caramelos)?_______ 20.f. ¿Qué paquete cuesta más A ó E ?_____ 20.g. ¿Qué paquete tiene más caramelos A ó D?, ________ En qué razón se encuentran: 21. Las edades de dos niños de 10 y 14 años respectivamente.________ 22. Las longitudes de dos segmentos cuyas longitudes son; AB = 49 cm y CD = 28 cm ________ 23. Las áreas de dos rectángulos que miden 16 dm² y 64 dm² ________ 24. Escribe la fórmula para calcular el área de un triángulo rectángulo de catetos a y b. Con la fórmula siguiente se puede calcular el área A de un trapecio de bases a y b, y altura h.
A = h (a + b) / 2
25. Despeja h, en esta fórmula.
Anexo 2
Categoría I. Cálculo con magnitudes.
Indicadores:
I.1. Cálculo con adición (15).
I.2. Situación con % (11).
I.3. Situación combinada de conversión con cálculo: velocidad - tiempo (10).
I.4. Situación combinada de conversión con cálculo: peso - costo (13).
I.5. Tratamiento de escalas (16).
I.6. Escribir razones entre edades (21).
I.7. Escribir razones entre longitudes (22).
I.8. Escribir razones entre áreas (23).
I.9. Escribir una fórmula básica para el cálculo (24).
I.10. Despeje de un factor en una fórmula (25).
I.11. Despeje de un sumando, combinado con un factor (26).
Categoría II. Conversión de magnitudes.
Indicadores.
(conversiones directas de un sistema a otro)
II.1. De kilogramo a libra. (1).
II.2. De pulgada a milímetro (2).
II.3. De milla a kilómetro (9).
(conversión de magnitudes dentro de un mismo sistema)
II.4. De kilómetro por hora a metro por segundo (3).
II.5. De gramo a kilogramo (8a).
II.6. De kilogramo a gramo (8b).
II.7. De metro a centímetro (8c).
II.8. De mililitro a litro (8d).
II.9. De hora a minuto (8e).
II.10. De hora a minuto, con fraccione (7).
II.11. De gramo a kilogramo, con fraccione (14).
Categoría III. Estimación de magnitudes. Indicadores. III.1. Temperatura (4).
III.2. Longitud (5).
III.3. Tiempo – espacio – velocidad (6).
III.4. Peso – masa (12).
III.5. Tiempo (18).
Categoría IV. Medición de una magnitud.
Indicador.
IV.1. Medir un área (19).
Categoría V. Comparación de fracciones de una misma magnitud.
Indicador.
V.1. Fracciones de una misma magnitud (17).
Categoría VI. Reconocimiento de magnitudes en dependencias funcionales.
Indicadores.
VI.1. Reconocer la cantidad de magnitud en una relación funcional (20b).
VI.2. Comparar cantidades de magnitud en una relación funcional (20e).
Anexo 3.
Tabla que relaciona cantidad de respuestas correctas (en 31 ítems posibles) por estudiante.
Intervalos de cantidad de respuestas correctas por examen
Veintiuna o mas respuestas correctas
(más del 65 %)
Entre quince y veinte respuestas correctas(entre el 45 y el 65
%)
Catorce o menos respuestas correctas
(menos del 45 %)
Cantidad de exámenes o estudiantes.
4 7 12
%, respecto a los 23 estudiantes.
17,4 % 30,4 % 52,2 %
Anexo 4.
Categoría I. Cálculo con magnitudes.
Indicadores
I.1 I.2 I.3 I.4 I.5 I.6 I.7
I.8 I.9 I.10 I.11
%
Cantidad de respuestas correctas
18
2
17
4
7
10
1
0
8
8
5
31,6 %
Cantidad de respuestas en blanco
0
5
2
7
14
7
11
12
10
6
6
31,6 %
Categoría II. Conversión de magnitudes.
Indicadores II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 II.6 II.7
II.8 II.9 II.10 II.11
%
Cantidad de respuestas correctas
21 16 17 1 18 11 9 4 12 9 6 49,0 %
Cantidad de respuestas en blanco
0 3 2 2 4 6 9 13 3 6 9 12,6 %
Categoría III. Estimación de magnitudes.
Indicadores
III.1 III.2 III.3 III.4 III.5
%
Cantidad de respuestas correctas
13 19 15 13 18 67,8 %
Cantidad de respuestas en blanco
1 0 0 1 1 2,6 %
Categoría IV. Medición de una magnitud.
Indicador
IV.1
%
Cantidad de respuestas correctas
4 17,4 %
Cantidad de respuestas en blanco
1 4,3 %
Categoría V. Comparación de fracciones de una misma magnitud.
Indicador
V.1
%
Cantidad de respuestas correctas
12 52,2 %
Cantidad de respuestas en blanco
2 8,7%
Categoría VI. Reconocimiento de magnitudes en dependencias funcionales.
Indicadores
VI.1 VI.2
%
Cantidad de respuestas correctas
11 17 60,9%
Cantidad de respuestas en blanco
1 3 8,7 %
Anexo 5.
Relación de las categorías con los por cientos de respuestas correctas o en blanco de los correspondientes ítems.
Categorías % de respuestas correctas % de respuestas en blanco I. Cálculo con magnitudes
31,6
31,6
II. Conversión de magnitudes
49,0
12,6
III. Estimación de magnitudes
67,8
2,6
IV. Medición de magnitudes
17,4
4,3
V. Comparación de magnitudes
52,2
8,7
VI. Relaciones funcionales
60,9
8,7
Anexo 6.
Toneladas inglesas - Toneladas americanas - Toneladas métricas.
(Del Villar, E; 1971, p.51)
Originalmente todo tonel era una cuba cuya capacidad, según una ley inglesa del año 1423, no
habría de ser menor de 252 galones.
El término tonelaje comenzó a utilizarse en el Reino Unido en relación con la
exacción de impuestos a los buques vinateros franceses, impuestos basados en el
número de toneles que cada buque podía transportar, pues este método aunque no
muy matemático, no dejaba de ser conveniente, para medir la capacidad de los
diferentes buques.
Los antiguos toneles de vino tenían una capacidad de 252 galones de entonces y pesaban 2 240 libras. Al crearse el galón imperial, que difiere del antiguo, y sin dudas para evitar confusiones, comenzaron los comerciantes a referirse al peso del tonel, dándose, por lo tanto el caso, de que la palabra tonel, que etimológicamente expresa capacidad, haya venido a significar peso a fuerza de la costumbre.
Se utiliza además de la tonelada inglesa de 2 240 libras (o larga), la tonelada americana o
corta, de 2 000 libras, y la tonelada métrica de 1 000 kilogramos.
Para la flota rusa del Mar Báltico, se usa, a veces, la tonelada de 2 239,006 lbs.
Para la flota rusa del Mar Negro, se usa, a veces, la tonelada de 1 990 lbs.
Anexo 7
Sobre la magnitud cantidad de información.
La comunicación sobre un suceso, que tiene dos resultados igualmente posibles,
contiene una sola unidad de información, denominada bit.
El bit, es una unidad binaria de información, es decir, la cantidad de información
contenida en un orden binario o en la respuesta a una pregunta que solo admite la respuesta si
(1) o no (0), y ninguna otra.
La unidad de magnitud de memoria es el Byte, la cual se entiende como la cantidad de
memoria que se necesita para soportar un carácter alfanumérico individual. En este caso 1
byte es equivalente a 8 bits.
Anexo 8.
Desarrollo de las ideas sobre la escala de medición de las temperaturas. (Spaski, B.I.; 1979)
El estudio de la dilatación de los cuerpos ante su calentamiento estuvo muy
relacionado con la problemática del establecimiento de la escala para los
termómetros.
Pero, ¿cómo inicialmente se graduaron los termómetros?
Por ejemplo para la graduación del termómetro de mercurio, se situó el primer
punto de la graduación del tubo de mercurio en la posición 0°, correspondiente a
la temperatura de fundición del hielo, y la marca 100°, para la temperatura que
indicaba la ebullición del agua. En lo adelante se dividió en 100 partes el tramo
lineal entre el 0 y el 100, lo que dio la escala esperada.
Pero esto trajo complicaciones inmediatamente que se compararon las
mediciones en los mismos fenómenos con un termómetro similar sobre alcohol.
La situación radica en el hecho de que la dilatación de las sustancias ante el calor
no es directamente proporcional a la temperatura.
Solo en la segunda mitad del siglo XIX, es que se viene a aclarar la situación con
la determinación de la escala de los termómetros, al determinarse la manera en
que se puede determinar una escala de un termómetro, independiente de la
sustancia que se elija, considerando la existencia y establecimiento, (demostrados
insuficientemente por la vía experimental por Amonton en los inicios del siglo
XVIII, y Gai Lussac en los inicios del siglo XIX , etc.) del cero absoluto de
temperatura (- 273,15 °C).
Anexo 9.
Múltiplos y submúltiplos más usados.
(Diccionario Ilustrado de Ciencias, Larousse; 1987)
Anexo 10
Prefijo Notación Unidades
exa. E 1 000 000 000 000 000 000
peta. P 1 000 000 000 000 000
tera. T 1 000 000 000 000
giga. G 1 000 000 000
mega. M 1 000 000
kilo. k 1 000
hecto. h 100
Deca. da 10
Unidad. 1 Unidad
Deci. d 0,1
Centi. C 0,01
mili. m 0,001
micro. µ 0,000 001
nano. n 0,000 000 001
pico. p 0, 000 000 000 001
femto. f 0,000 000 000 000 001
atto a 0,000 000 000 000 000 001
Unidades de medida legales, según el Diccionario Ilustrado de Ciencias,
Larousse; 1987).
Esta información se organiza respecto a nueve grupos de magnitudes
fundamentales, que contienen en total cincuenta y seis magnitudes, las cuales a su
vez se desglosan en noventa y tres unidades asociadas posibles, (no se están
incluyendo las unidades posibles consideradas en el sistema anglosajón).
Magnitudes geométricas (8 magnitudes): longitud, longitud de onda -
distancias atómicas, número de ondas, área o superficie, sección eficaz, volumen,
ángulo plano, ángulo sólido (17 unidades asociadas).
Magnitud masa (6 magnitudes): masa, masa atómica, masa lineal, masa
superficial, masa volumétrica – concentración, volumen másico (11 unidades
asociadas).
Magnitud tiempo (2 magnitudes): tiempo, frecuencia (5 unidades asociadas).
Magnitudes mecánicas (13 magnitudes): velocidad, velocidad angular,
aceleración, aceleración angular, fuerza, momento de fuerza, tensión capilar,
trabajo-energía-cantidad de calor, intensidad energética, potencia-flujo energético-
flujo térmico, presión, viscosidad dinámica, viscosidad cinemática (28 unidades
asociadas).
Magnitudes eléctricas (12 magnitudes): intensidad de corriente eléctrica,
fuerza electromotriz - diferencia de potenciales (o tensión), resistencia eléctrica,
intensidad de campo eléctrico, conductancia eléctrica, cantidad de electricidad –
carga eléctrica, capacidad eléctrica, inductancia eléctrica, flujo de inductancia
magnética, inducción magnética, intensidad de campo magnético, fuerza
magnetomotriz (13 unidades asociadas).
Magnitudes caloríficas (4 magnitudes): temperatura, capacidad térmica -
entropía, calor másico - entropía másica, conductividad térmica (4 unidades
asociadas).
Magnitudes de radiactividad (4 magnitudes): actividad nuclear, exposición,
dosis absorbida, equivalente de dosis (8 unidades asociadas).
Magnitud cantidad de sustancia (1 magnitud): mol (1 unidad asociada).
Magnitudes ópticas (6 magnitudes): intensidad luminosa, flujo luminoso,
iluminación, luminancia, vergencia de los sistemas ópticos, dioptría (6 unidades
asociadas). En el caso del sistema anglosajón se consideran siete magnitudes
legales básicas distintas de las mencionadas anteriormente, y veinte y una unidad
asociadas:
Longitud (7 unidades asociadas).
Masa (2 unidades asociadas).
Capacidad (7 unidades asociadas).
Fuerza (1 unidad asociada).
Potencia (1 unidad asociada).
Calor – energía - trabajo (1 unidad asociada).
Temperatura (1 unidad asociada).
Unidades de magnitudes geométricas.
Longitud
metro m SI, Básica.
milla 1 852 m Otras unidades legales
Longitud de Onda, distancias atómicas
Angström Å 10 -10 m No pertenece al SI
Número de ondas
1 por metro m -1 No pertenece al SI
área o superficie
metro cuadrado m 2 Unidad derivada del SI
hectárea ha 10 4 m 2 No pertenece al SI
área a 10 2 m 2 No pertenece al SI
Sección Eficaz
barn b 10 -28 m 2 No pertenece al SI
volumen
metro cúbico Unidad derivada del SI
litro l 10 –3 m 3 No pertenece al SI
ángulo plano
radian rad Unidad derivada del SI
revolución rv 2 π rad No pertenece al SI
grados centesimal gr π / 200 rad No pertenece al SI
grados sexagesimal ° π / 180 rad No pertenece al SI
minuto de ángulo ′ π / 10 800 rad No pertenece al SI
segundo de ángulo ′′ π / 648 000 rad No pertenece al SI
ángulo sólido
estereoradian sr Unidad derivada del SI
Unidades de masa
masa
kilogramo kg SI, Básica.
gramo g 0,001 kg Unidad derivada del SI
tonelada t 1 000 kg No pertenece al SI
quintal q 1 00 kg No pertenece al SI
carate métrico 2 . 10 –4 kg No pertenece al SI
Masa atómica
Unidad de masa
atómica
u 1,6656 . 10 –27 kg No pertenece al SI
masa lineal
kilogramo por metro kg / m Unidad derivada del SI
tex tex 10 –27 kg / m No pertenece al SI
masa superficial
klogramo por metro
cuadrado
Kg / m 2 Unidad derivada del SI
Masa volumica, concentración
kilogramo por metro
cúbico.
Kg / m 3 Unidad derivada del SI
Volumen másico
metro cúbico por
kilogramo
m 3 / kg Unidad derivada del SI
Unidades de tiempo.
Tiempo
segundo s SI, Básica.
minuto de tiempo min 60 ′ No pertenece al SI
hora h 3 600 ′ No pertenece al SI
día d 86 400 ′ No pertenece al SI
frecuencia
hertz hz Unidad derivada del SI
Unidades mecánicas.
velocidad
metros por segundo m / s Unidad derivada del SI
kilómetros por hora km / h 1 / 3,6 m / s Otras unidades
nudo kt 1852 / 3 600 m / s Unidad derivada del SI
velocidad angular
radian por segundo rad / s Unidad derivada del SI
revolución por minuto rv / min 2 π / 60 rad / s Otras unidades
revolución por segundo rv / s 2 π / 3 600 rad / s Otras unidades
aceleración
metro por segundo
cuadrado
m / s2 Unidad derivada del SI
gal gal 10 –2 m / s2 No pertenece al SI
aceleración angular
radian por segundo
cuadrado
rad / s 2 Unidad derivada del SI
fuerza
Newton N Unidad derivada del SI
dina din 10 –5 N No pertenece al SI
Momento de una fuerza
Newton - metro N . m Unidad derivada del SI
tensión capilar
Newton por metro N / m Unidad derivada del SI
trabajo, energía, cantidad de calor
joule j Unidad derivada del SI
Erg 10 –7 j No pertenece al SI
watt - hora Wh 3 600 j Otras unidades
electronvolt eV 1,60219 . 10 –19 j Otras unidades
Intensidad energética
Watt por estereoradian W / sr Unidad derivada del SI
Potencia, flujo energético, flujo térmico
watt W Unidad derivada del SI
voltampere VA Otras unidades
var Var Otras unidades
presión
pascal Pa Unidad derivada del SI
bar 10 5 Pa No pertenece al SI
biscosida dinámica
pascal - segundo Pa . s Unidad derivada del SI
poise P 10 -1Pa / s No pertenece al SI
viscosidad cinemática
metro cuadrado por
segundo
m2 / s Unidad derivada del SI
stokes St 10 -4 m2 / s Otras unidades
Unidades eléctricas
Intensidad de corriente eléctrica
ampere A SI, Básica.
Fuerza electromotriz y diferencia de potencial (o tensión).
volt V Unidad derivada del SI
Resistencia eléctrica
Ohm Ω Unidad derivada del SI
Intensidad del campo eléctrico
volt por metro V/m Unidad derivada del SI
Conductancia eléctrica
siemens S Unidad derivada del SI
Cantidad de electricidad, carga eléctrica
culombio C Unidad derivada del SI
ampere - hora Ah 3600 C Otras unidades
Capacidad eléctrica
faradio F Unidad derivada del SI
Inductancia eléctrica
hertz H Unidad derivada del SI
Flujo de inducción magnética
Weber Wb Unidad derivada del SI
Inducción magnética
Telsa T Unidad derivada del SI
Intensidad del campo magnético
Ampere por metro A / m Unidad derivada del SI
Fuerza magnetomotriz
ampere A Unidad derivada del SI
Unidades caloríficas
Temperatura
kelvin K SI, Básica.
grados celsius °C Unidad derivada del SI
Capacidad térmica
joule por kelvin J / K Unidad derivada del SI
Calor másico, entropía másica
joule por kilogramo -
kelvin
J / (kg .K) Unidad derivada del SI
Conductividad térmica
watt por metro - kelvin W / ( m .K) Unidad derivada del SI
Unidades de radioactividad.
Actividad nuclear
beckerel Bq Unidad derivada del SI
curie Ci 3,7 . 10 10 Bq Otras unidades
Exposición
culombio por kilogramo C/kg Unidad derivada del SI
röntgen R 2,58 . 10 -4 C/kg Otras unidades
Dosis absorbida
Gray Gy Unidad derivada del SI
Rad rd 10 –2 Gy Otras unidades
Equivalente de dosis
Sievert Sv Unidad derivada del SI
Rem rem Otras unidades
Unidades de cantidad de materia.
Cantidad de sustancia
Mol mol SI, Básica
Unidades ópticas.
Intensidad luminosa
Candela cd SI, Basica
Flujo luminoso
Lumen lm Unidad derivada del SI
Iluminación
Lux lx Unidad derivada del SI
Luminancia
Candela por metro
cuadrado
cd / m2 Unidad derivada del SI
Vergencia de los sistemas opticos
1 por metro m -1 Unidad derivada del SI
Dioptria δ Otras unidades
Anexo 11.
Unidades Anglosajonas (inglesas: G.B., norteamericanas: U.S.)
Unidades de longitud.
Pulgada In ó “ 25,4 mm
Pie ft ó ' 0,304 8 m
Yarda yd 0,9144 m Básica
Braza fm 1,828 8 m
Milla terrestre 1,609 3 km
Milla marina G.B. m ó mile 1,853 1 km
Milla marina U.S. 1,852 km
Unidades de masa (comercio).
Masa
Onza oz 28,349 g
Libra lb 453,592 g Básica
Unidades de capacidad.
Capacidad
Pinta U.S. U.S. pt 0,473 l
Pinta G.B. pt 0,568 l
Galón U.S U.S. gal 3,785 l Básica
Galón G.B. imp. gal 4,546 l Básica
U.S. Bushel U.S. bn 35,238 l
Bushel bn 36,368 l
Barril U.S. bbl 158,98 l
Unidad de fuerza.
Fuerza
Poundal pdl 0,138 2 N Básica
Unidades de potencia.
Potencia
Horse power HP 0,745 7 k W
Unidades de calor, energía, trabajo.
British Termal unit B.T.U. 1 055,06 j Básica
Unidades de temperatura.
Grado Fahrenheit ° F Una temperatura de t grados Fahrenheit corresponde a:
5/9 ( t – 32 ) grados celsius.
Básica
Anexo 12 Algunas unidades británicas y equivalencias entre ellas. De peso (avoirdupois) 16 dram ------ 1 ounce (oz.) 20 quarts------ 2240 lb---1Tn 16 ounzes------ 1 pound (lb) 1cental (quintal) ------100 lbs. 14 pounds------ stone (st) 1 short ton-----2000lbs. 28 lb------1quart (qr) Las libras avoirdupois, son de 16 oz 4 quarts------112 lbs Las libras troy, son de 12 oz. 4 quarst------1 hundreweigth (ewt). De capacidad 1 gill ---- 0.1421 l 2 galones----1peck 4 gills---- 1pint 4 pecks------1 bushel 4 quarts---- 1 gallon 8 bushels-----1 quarter En este caso, los líquidos se miden por gills, pints, quarts, galones. Los áridos, por bushels, y quaters.
Un galón de agua destilada pesa 10 lbs. El agua de un tanque de 6 y medio galones, llena un pie cúbico. 224 galones de agua pesan 1 tonelada. 10 galones ingleses equivalen a 12 galones americanos. De volumen 1.728 cubc. Inches----1 cubic.food 1 shiping Ton. Merchandise-----40c.f 27 cubic.food ----- 1 cubic.yard. 1 shipping Ton. Tim------42c.f 1 cubic.food weingh-----1000 oz 1 Ton.register-------100 c.f 1 cubic.food weingh---- 62 1/ 2 1 Ton. displacement------ 35 c. f Algunas equivalencies de unidades inglesas con las métricas. Longitud: 1 inch---- 2. 540 cm 1 yard ------ 0.9144 m 1 inch---- 0.0254 m 1 fathom ------ 1.8288 m 1 food ----- 0.3048 m 1 mille ------- 1. 6093 m 1 mille nautical ---- 1.8530 m Capacidad 1 gill ------- 0.1421 l 1 pint ------ 0.56 82 l 1 gallon ----- 4.5459 l 1 bushel ------ 3.6367 l Superficie: Volumen 1 sq. in ------ 6. 4516 cm2 1 cu. In ------ 16. 387 m3
1 sq. food ----- 0.0928 m2 1 cu. food ---- 0.0283 m3
1 sq. yard ---- 0.8361 m2 1 cu. yard ---- 0.7646 m3 1 acre -------- 0.4047 hectáreas. 1sq. mille ----- 2. 5900 km2 Peso Peso para metales ( Troy) 1 grain ----- 0.06480 g 1 grain ------ 0.6479 g 1 oz ---- 28. 349 g 1 oz 1 lb ----- 0.45359 kg 1 cwt ------ 0. 5082 qq 1 ton ---- 1.0160 kg
Anexo 13. En Estados Unidos actualmente se usan las unidades del sistema métrico y las unidades británicas imperiales, en uso, así como las viejas unidades Winchester. Unidades Winchester. 1 pint (áridos)----0,9694 pint ( imperial) 1 gallon (áridos)----0,9694 gallon (imperial) 1 bushel (áridos)----0,9694 bushel ( imperial) 1 quarter (áridos)---- 0,9694 bushel ( imperial) 1 pint (vino)----0,8331 pint ( imperial) 1 gallon (vino)----0,8331 galon (imperial) 1 pint (cerveza)----1,017 pint ( imperial) 1 quintal (cental)----100 lbs. av. (esta l ibra es de 16 oz., y es la oficial) 1 tonelada corta----2 000 lbs. 1 barri l de harina----196 lbs. 1 barri l de carne----200 lbs.
Anexo 14.
Unidades españolas antiguas y cubanas más usadas.
1 arroba----11,502 kg.
1 galón----0,74 del galón
imperial.
1 libra----1,012 lbs. av.
1 libra cubana----0,460 kg.
1 fanega----1,5 bushels
imperiales.
1 quintal----46,009 kg.----100
lbs. cubanas
1 tonelada----20 qq.
1 ton. cañera----1,150 ton.
métrica.
1 ton. corta esp.----0,960 ton.
métrica.
1 vara----83,590 cm.
1 vara cubana----84,800 cm.
1 braza----1,829 m.
1 cordel----20,352 m.
1 legua----4,240 km.
1 besana----0,258 ha.
1 acre----0,405 ha.
1 onza fluida----29,574 cm3
1 botella----0,725 l.
1 pinta liquida----0,473 l
Anexo15.
Sobre la magnitud moneda.
Las monedas son piezas acuñadas de metal que cumplen ciertos requisitos de cantidad y
proporción de determinados materiales fijos que las integran, así como de signos legitimados de
identificación, mediante los cuales el estado emisor les atribuye un valor predeterminado.
Por extensión se llama papel moneda a la emisión de billetes que cumplen en el mercado el
mismo cometido que las monedas metálicas y que son impresos sobre papel.
En Cuba se pueden considerar como monedas oficiales el peso cubano (MN) y el peso cubano
convertible (CUC). Paralelamente se canjean (cambios por equivalencias), según el cambio oficial con
relación al peso cubano convertible las siguientes monedas extranjeras: Libra Esterlina (GBP), el Dólar
Canadiense (CAD), el Franco Suizo (CHF), el Yen Japonés ( JPY), el Dólar Estadounidense (USD), el
Peso Mexicano (MXN), la Corona Danesa (DKK), la Corona Noruega (NOK), la Corona Sueca (SEK),
y el Euro (EUR).
Anexo 16.
Sobre la magnitud cantidad de madera. Denominaciones británicas y sus equivalencias.
Una tabla (deal) Standard de Petrogrado----1 pieza de 6′ × 3” ×11”.
Un ciento de tablas (Hundred deals)----120 tablas.
Una pila de madera (Stack of wood)----108 pies cúbicos.
Un atado de madera (A Cord of wood)----128 pies cúbicos.
Una braza (fathom) de madera----216 pies cúbicos----1 Standar Petrogrado.
Una carga (load) de madera----40 pies cúbicos.
Denominaciones estadounidenses.
1 pie lineal de madera es una pieza de madera de 12” × 12” ×1”.
1 pie cúbico de madera es igual a 12 pies lineales.
1 Standar Petrograd es igual a 1,980 pies lineales.
1 tablilla (Battens) es una pieza (lineal) de hasta 7” de ancho por 1” de grueso.
1 tabla (Deals) es una pieza (lineal) de entre 1” y 8” de ancho por 2” de grosor.
Anexo 17. Conjunto Minimal de Magnitudes y Unidades. Magnitud Dimensión Unidad Símbolo Observación
metro m UBSI
Se usan múltiplos y submúltiplos. El metro es la unidad de longitud igual a 1 650 763,73 longitudes de onda en el vacío de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de criptón 86.
Pulgada inglesa in
Otras unidades 1 in = 0,0254 m
Pulgada cubana
Equivale a 0,023556 m
Pulgada española
Equivale a 0,023219m
Pie inglés ft
Otras unidades 1 ft = 0,3048 m
Pie cubano
Equivale a 0,282667 m
Pie español Equivale a 0,278635 m
yarda yd
Otras unidades 1 yd = 0,91 m
milla náutica Otras unidades 1 milla náutica es igual a 1,8530 m
milla terrestre Otras unidades 1 milla terrestre es igual a 1,609 m
braza fm
Otras unidades 1 ft = 1,829 m
cordel Otras unidades 1 cordel es igual a 20,352 m
Longitud L
vara cubana Otras unidades 1 vara cubana es igual a 0,848 m 1 vara española es igual a 0,836 m
año luz a.l
Otras unidades 1 a.l = 9,4605 •1015 m
cuarta cubana Otras unidades Equivale a 212.10-9m
cuarta española Otras unidades 208.976.10-9 m
angström Å
10-10 m
metro cuadrado m2
UDSI
hectárea ha
Otras unidades 1 ha = 104 m2
área
a Otras unidades 1 a = 102 m2
acre Otras unidades 1 acre es igual a 0,4047 ha
besana Otras unidades 1 besana es igual a 0,258 ha
Área L2
Se pueden generar otras unidades como la pulgada cuadrada, el pie cuadrado, etc. metro cúbico
m3 UDSI
litro
l
Otros múltiplos y submúltiplos. 1 l = 10-3 m3
botella 1botella = 0.750 l
galón(estadounidense)
1galón = 3.7854. 10 -3m3
1galón español
1galón = 3.366 m3
1galón imperial(inglés)
IG
1galón=4.54609.10-3m3
onza fluida fl. oz.
Otras unidades 1 fl.oz = 0.0296 l
pinta líquida (estadounidense)
pt
Otras unidades 1pinta líquida = 0.473 l
pinta líquida imperial ( inglés)
1pinta líquida = 0.568 l
Volumen L3
barril de petróleo
bbl
1 bbl = 0.158987 m3
1 bbl = 42 galones 1 bbl =159 l
Se pueden generar otras unidades como la pulgada cúbica, el pie cúbico, etc. segundo
s UBSI. Submúltiplos Es la unidad de tiempo, igual a 9192631770 períodos de radiación correspondiente a la transición entre dos niveles superfinos del estado fundamental del átomo del cesio 133.
minuto(sexagesimal)
1 m = 60 s 1 m = 2.90888.10-4 rad
minuto(centesimal)
1 m = 2.61799. 10-4 rad
minuto sideral
m
1 m = 59.83617 s
hora
h
Otras 1 h = 60 m
día medio
d
Otras 1 d = 24 h
día sideral
86164.09 s
semana
Otras 1sem = 7 días
mes
Otras 28, 29, 30, 31 días
año calendario
1 año = 3.1536.107 s
año sideral
1 año = 3.155815.107 s
año tropical
1 año = 3.155693.107 s
Tiempo T
quinquenio
Otras 1 quinquenio = 5 años
década
Otras 1 decenio = 10 años.
siglo
Otras 1 siglo = 100 años
milenio
Otras 1 milenio = 1000 años
metro por segundo
m / s
UDSI
Velocidad LT-1
nudo
Km / h
1 nudo equivale a 1.8532 Km / h
Aceleración gravitatoria
L.T-2
metros por segundos cuadrados ó pies por segundos cuadrados
g
g = 9.80665 m / s
Frecuencia T-1
hertz
Hz
UDSI múltiplos
kilogramo
kg
Es la unidad de masa, igual a la masa del prototipo de kilogramo internacional. UBSIU. Múltiplos y submúltiplos
tonelada métrica
t
Otras 1 t = 103 kg
quintal español
Otras 1q = 46.0093 kg
quintal métrico
q
100 kg
libra
lb
Otras 1 lb = 0.460 kg
arroba
@
Otras 1 @ = 25 lb
onza
oz
Otras 1 oz = 0.0625 lb
unidad de masa atómica
u.m.a
Otras unidades 1 u.m.a =1.66057.10-27kg
dracma
1.771875 kg
Masa M
saco de cemento
50 kg, 60 kg
saco de azúcar
102 lb, 196 lb
quilate métrico
c
200 mg
onza de diamante
150 c
Concentración másica de una disolución
ML-3
UDSI En Química se usa con mucha frecuencia g.L-1
Masa molar MN-1
Kg/mol UDSI
Densidad de masa L-3M
kilogramo por metro cúbico
Kg/ m3 UDSI
newton
N UDSI 1 N = 1kg.m / s2
dina
dyn Otras unidades 1 dyn = 10-5N
Fuerza
LMT-2
poundal
pdl Otras unidades 1 pdl = 0.1382 N
pascal
Pa
Múltiplos y submúltiplos UDSI 1 Pa = 1 N / m2
Presión L-1MT-2
atmósfera
atm 760 mm de Hg.0oC 1.013225.105Pa
Milímetro de mercurio dina por centímetro cuadrado
dyn/ cm2
Otras unidades 1 dyn / cm2 = 10 -1 Pa 1 mm merc.= 133.3 Pa
joule
J UDSI 1J = 1 N. m
Trabajo energía L 2MT -2
erg
erg Otras unidades 1 erg = 10 -7 J
British termol Unit
B.T.U Otras unidades 1B.T.U = 1055 J
volt
W UDSI 1 W= 1 J / s múltiplos y submúltiplos.
Potencia L2 M T-3
erg por segundo
erg / s 1erg / s = 10 -7 w
horse power
Hp Otras unidades 1Hp = 0.7457. Kw
caballo de vapor
c.v 75 Kg.m / s
Potencia eléctrica
caballo de vapor(métrico)
735.49 W
Kelvin
K UBSI Es la unidad de temperatura termodinámica igual a la 1/273.16 parte de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.
temperatura centígrada
OC Otras unidades T oc = T k – 273.15 Por su dimensión el grado centígrado es igual al kelvin
temperatura fahrangeit
oF Otras unidades T of = 5 / 9(t oc – 32)
temperatura de fusión
T
Siempre en oC
Temperatura θ
temperatura de ebullición
T
Siempre en oC
joule
J
UDSI 1J = 1N.m
Cantidad de calor L2MT-2
caloría
cal
UDSIU. Múltiplos 1cal = 4.186 J
Cantidad de calor específico
L2T-2
joule por kilogramo
J / Kg
UDSI
caloría por kilogramo
cal / Kg
UDSI
calor específico L2T-2 θ-1
joule por kilogramos kelvin.
J/Kg. K
UDSI
conductibilidad térmica L2MT-2N-1θ-1
LMT-3 θ-1
joule por mol kelvin watt por metro kelvin
J/mol. k W/m. k
UDSI
cantidad de sustancia N mol
mol UBSI Es la unidad de cantidad de sustancia igual a la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantos elementos estructurales (átomos, moléculas, iones, electrones, etc.), como átomos contiene una masa de 0.012 Kg de carbono 12.
intensidad de corriente eléctrica
I
ampere
A
UBSI múltiplos y submúltiplos es la intensidad de corriente constante que parando por los conductores paralelos, rectilíneos de longitud infinita y área de sección transversal despreciable, situada 1m de distancia uno de otro en el vacío, produce entre ambos una fuerza igual a 2.10-
7 N por cada metro de longitud.
tensión, f.e.m L2MT-3I-1
volt
V UDSI múltiplos submúltiplos 1 V = J / C
resistencia eléctrica L2MT-3I-2
ohm
Ω UDSI 1 Ω = 1 V / A
L-1T
Otras unidades 10-9C2 Ω
Resistividad eléctrica L3MT-3I-2
ohm metro Ω. m UDSI
MT-2I-1
tesla T UDSI 1 T = N / A.m
Inducción magnética
L12M12T-1
gauss Gs
Otras unidades 10-4T
L-1I
ampere por metro A / m
UDSI
Intensidad del campo magnético
L12M12T-1
oerstedio Oe
Otras unidades 103 / 4 Π A / m
Intensidad luminosa J candela cd
UBSI Es la intensidad luminosa que emite una superficie de 1 ⁄ 600000 m2 de sección de un radiador perfecto (cuerpo negro) en dirección perpendicular a esta sección cuando la temperatura del radiador es igual a la de solidificación del platino a la presión de 101325 Pa.
radián
rad UBSI 1 rad = 57o17´ 44´´, 8 Es la unidad de amplitud de un ángulo determinado por dos radios de una circunferencia que determinan sobre esta un arco de longitud igual al radio.
grado sexagesimal …o
Otras unidades 1o =0.0174533 rad
grado centesimal 0.9 sexagesimal 0.0157079 rad
minuto de grado …´
Otras unidades 1´ = Π / 10800 rad
Amplitud de ángulo plano
segundo de grado …´´
Otras unidades 1´´= Π / 648000 rad
longitud …o
latitud …o
pie lineal Otras unidades(equivalencias anexos 16)
pie cúbico Otras unidades(equivalencias anexos 16)
tablillas Otras unidades(equivalencias anexos 16)
cantidad de madera L3
tabla Otras unidades(equivalencias anexos 16)
humedad absoluta ML-3
gramo por metro cúbico
g /m3
Cantidad de vapor de agua contaminada en el ambiente
humedad relativa
adimensionales
densidad de población Cantidad de habitantes por metro cuadrado
Otras magnitudes
Libra esterlina GBP Dólar Canadiense CAD Franco Suizo CHF Yen Japonés JPY Dólar Estadounidense
USD
Peso Mexicano MXN Corona Danesa DKK Corona Noruega NOK Corona Sueca SEK Euro EUR Peso Cubano convertible
CUC
moneda
Peso Cubano MN
OTRAS UNIDADES. El banco central de Cuba enuncia diariamente el tipo de cambio oficial de las monedas extranjeras con relación al peso cubano convertible.
Cantidad de información
bit Otras unidades
byte B Otras unidades 1B = 8 bits, in carácter alfa numérico, anexo 7
Anexo 18. Exigencias para asumir y diseñar acciones interdisciplinarias, (Salazar, Diana., y Addine, Fátima; 2003).
• La preparación de cada profesor que debe asumir su práctica como proceso de
investigación, dominando el sistema disciplinario y las particularidades de la Carrera y el año
académico en el que este se desarrolla.
• El trabajo cooperado , en equipos formados por profesores de las diferentes disciplinas , que
lo asuman como una de las vías para desafiar el reto y que con sistematicidad , paciencia y
respeto mutuo posibiliten eliminar la imposición y los estilos autoritarios .
• La determinación del problema educativo que requiera de un análisis integral
• Los presupuestos teóricos de partida que avalen científicamente la determinación de las
interconexiones y los aspectos integrativos.
• La identificación de barreras administrativas y estructuras institucionales, que frenen el
desarrollo de este proceso.
• La evaluación continua para su perfeccionamiento, lo cual va a favorecer el desarrollo de la
Didáctica disciplinaria e interdisciplinaria.
