Ingeniería de Control M.C. Adrián García Mederez Capítulo 2 Sesión 3 #1 CAPÍTULO 2 MODELACIÓN...

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Ingeniería de ControlIngeniería de Control M.C. Adrián García MederezM.C. Adrián García Mederez

Capítulo 2

Sesión 3

#1

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2

MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

INGENIERÍA DE CONTROLINGENIERÍA DE CONTROL

Sesión 3Sesión 3

Objetivo:Objetivo: El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de los conocimientos y de las habilidades necesarias para la los conocimientos y de las habilidades necesarias para la representación matemática del comportamiento de representación matemática del comportamiento de componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas completos, para que completos, para que adquiera la Competencia Competencia de Modelación de Modelación Matemática y algunas representaciones gráficas.Matemática y algunas representaciones gráficas.

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Capítulo 2

Sesión 3

#2

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (F.T.)FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA (F.T.)

La Función de Transferencia G(s) esta definida como la relación La Función de Transferencia G(s) esta definida como la relación que existe entre la Transformada de Laplace de la salida C(s) y la que existe entre la Transformada de Laplace de la salida C(s) y la Transformada de Laplace de la entrada R(s) cuando todas las Transformada de Laplace de la entrada R(s) cuando todas las condiciones iniciales son cerocondiciones iniciales son cero G(s)=C(s)/R(s).G(s)=C(s)/R(s).

De la figura la salida C(s) es igual a la multiplicación de De la figura la salida C(s) es igual a la multiplicación de la Función de Transferencia G(s) dentro del bloque por la la Función de Transferencia G(s) dentro del bloque por la entrada R(s) o seaentrada R(s) o sea C(s) = G(s)*R(s)C(s) = G(s)*R(s)

G(s)G(s)R(s)R(s) C(s)C(s)

Bloque:Bloque: cuadro con una Función de Transferencia dentro, una cuadro con una Función de Transferencia dentro, una entrada y una salida transformadas en Laplace.entrada y una salida transformadas en Laplace.

CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA

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Capítulo 2

Sesión 3

#3

Procedimiento para la obtención de la F.T. en Procedimiento para la obtención de la F.T. en forma analítica:forma analítica:

1.1. Definir la señal de entrada y la señal de salida.Definir la señal de entrada y la señal de salida.

2.2. Identificar el número de ecuaciones diferenciales que definan el Identificar el número de ecuaciones diferenciales que definan el comportamiento del sistema de control.comportamiento del sistema de control.

3.3. Transformar en Laplace el número de ecuaciones diferenciales Transformar en Laplace el número de ecuaciones diferenciales tomando en cuenta las condiciones iniciales igual a cero. C.I. =0tomando en cuenta las condiciones iniciales igual a cero. C.I. =0

4.4. Manipular el número de ecuaciones transformadas en Laplace Manipular el número de ecuaciones transformadas en Laplace hasta dejar una sola ecuación conteniendo exclusivamente las hasta dejar una sola ecuación conteniendo exclusivamente las variables transformadas de interés, términos de s y constantes. variables transformadas de interés, términos de s y constantes. R(s)=C(s)/G(s).R(s)=C(s)/G(s).

5.5. Despejar la Transformada de Laplace de la salida C(s) y la Despejar la Transformada de Laplace de la salida C(s) y la Transformada de Laplace de la entrada R(s) , obteniendo la F.T. =Transformada de Laplace de la entrada R(s) , obteniendo la F.T. = G(s)=C(s)/R(s).G(s)=C(s)/R(s).


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Capítulo 2

Sesión 3

#4

Ejemplos para obtener Funciones de Transferencia:Ejemplos para obtener Funciones de Transferencia:Ejemplo 2.1:Ejemplo 2.1: En la Figura siguiente se tiene el diagrama del En la Figura siguiente se tiene el diagrama del circuito eléctrico RC del que se pretende obtener la Función de circuito eléctrico RC del que se pretende obtener la Función de Transferencia Vc(s)/Vi(s) y en la ecuaciones tenemos el proceso de Transferencia Vc(s)/Vi(s) y en la ecuaciones tenemos el proceso de obtención de la Función de Transferenciaobtención de la Función de Transferencia

Ecuaciones diferenciales del circuitoEcuaciones diferenciales del circuitoeléctrico del eléctrico del Ejemplo 2.1Ejemplo 2.1

)()()()1( tctRti vvv

)()()2( ttR Riv


t

ttc dtiC

v0

)()(1

)3(

salidav

entradav

tc

ti

)(

)(?..

)(

)( si

sc

VV

TF

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Capítulo 2

Sesión 3

#5

Transformando en Lapalce tenemosTransformando en Lapalce tenemos

)()()()4( sCsRsi VVV

Sustituyendo ecuación 5 en ecuación 4 Sustituyendo ecuación 5 en ecuación 4 tenemos: tenemos:

Despejando salida/entrada Despejando salida/entrada tenemos la Función de tenemos la Función de Transferencia (F.T.) Transferencia (F.T.) buscada:buscada:

11

)(

)(

RCsV

Vsi

sC

Ejemplos para obtener Funciones de Transferencia:Ejemplos para obtener Funciones de Transferencia:


)()()5( ssR RIV

CsI

sI

CV

sssC

)()()(

1)6(

)()()()7( sCssi VRIV Despejando I(s) de la ecuación 6 y sustituir en Despejando I(s) de la ecuación 6 y sustituir en ecuación 7, tenemos:ecuación 7, tenemos:

CsVI sCs )()(

)()()( sCsCsi VCsRVV

Sacando factor común:Sacando factor común:

)()( )1( sCsi VRCsV

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Capítulo 2

Sesión 3

#6

Función de Transferencia y el Bloque correspondienteFunción de Transferencia y el Bloque correspondiente


VVi(s)i(s)VVC(s)C(s)11

RCs+1RCs+1


11

)(

)(

RCsV

Vsi

sC

Forma canónica, forma más simple.

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Capítulo 2

Sesión 3

#7

Ejemplos para obtener Funciones de Transferencia:Ejemplos para obtener Funciones de Transferencia:Ejemplo 2.2:Ejemplo 2.2: En la Figura siguiente se tiene el diagrama del En la Figura siguiente se tiene el diagrama del circuito del que se pretende obtener la Función de Transferencia circuito del que se pretende obtener la Función de Transferencia Vo(s)/Vi(s) y en la ecuaciones tenemos el proceso de obtención de la Vo(s)/Vi(s) y en la ecuaciones tenemos el proceso de obtención de la Función de TransferenciaFunción de Transferencia

Ecuaciones diferenciales del circuitoEcuaciones diferenciales del circuitoeléctrico del eléctrico del Ejemplo 2.2Ejemplo 2.2

)()(

1

)()()()1( toti

totit vv

dtd

CRvv

i

2

)()()2(Rv

ito

t

2

)()()(

1

)(

1

)()3(

Rv

dtdv

Cdtdv

CRv

Rv tototitoti


salidav

entradav

to

ti

)(

)(?..

)(

)( si

so

VV

TF

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Capítulo 2

Sesión 3

#8

Transformando en Laplace tenemosTransformando en Laplace tenemos

2

)()()(

1

)(

1

)(

RV

CsVCsVRV

RV so

sosisosi

2

)(

1

)()(

1

)()(

RV

RV

CsVRV

CsVsoso

sosi

si

Despejando los términos que Despejando los términos que contengan Vi(s) hacia la izquierda contengan Vi(s) hacia la izquierda del = y los términos que contengan del = y los términos que contengan Vo(s) a la derecha tenemos Vo(s) a la derecha tenemos

Sacando de factor común Vi(s) de Sacando de factor común Vi(s) de la izquierda del = y Vo(s) de la la izquierda del = y Vo(s) de la derecha tenemos derecha tenemos

)(

21

)(

1

111sosi V

RRCsV

RCs

Despejando tenemosDespejando tenemos

21

1

)(

)(

11

1

RRCs

RCs

VV

si

so

Dividiendo por C arriba Dividiendo por C arriba y abajo, para que no se y abajo, para que no se altere la expresión, tenemos altere la expresión, tenemos La Función de La Función de Transferencia buscada:Transferencia buscada:

CRCRs

CRs

VV

si

so

21

1

)(

)(

11

1



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Capítulo 2

Sesión 3

#9

Función de Transferencia y el Bloque correspondienteFunción de Transferencia y el Bloque correspondiente

CRCRs

CRs

VV

si

so

21

1

)(

)(

11

1


VVi(s)i(s) VVo(s)o(s)s+1/Rs+1/R11CC

s+1/Rs+1/R11C+1/RC+1/R22CC


Forma canónica, forma más simple.

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Sesión 3

#10

Para iniciar el proceso de la obtención de la Para iniciar el proceso de la obtención de la Función de Transferencia del Sistema Mecánico Función de Transferencia del Sistema Mecánico masa-resorte-amortiguador de la masa-resorte-amortiguador de la Figura Figura aplicamos la segunda ley de Newton al sistema en aplicamos la segunda ley de Newton al sistema en cuestión y obtenemos Fcuestión y obtenemos FKK la fuerza ejercida por la fuerza ejercida por

resorte K sobre la masa m y Fresorte K sobre la masa m y FBB es la reacción del es la reacción del

amortiguador B sobre la misma masa m.amortiguador B sobre la misma masa m.


Ejemplo 2.3:Ejemplo 2.3: En la En la Figura Figura se tiene el diagrama del sistema se tiene el diagrama del sistema mecánico masa-resorte-amortiguador del que se pretende obtener mecánico masa-resorte-amortiguador del que se pretende obtener la función de transferencia Y(s)/X(s) y en las ecuaciones el proceso la función de transferencia Y(s)/X(s) y en las ecuaciones el proceso de obtención de la función de transferencia y su Bloque de obtención de la función de transferencia y su Bloque correspondiente.correspondiente.


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Capítulo 2

Sesión 3

#11

)()()()(2

ssss KXKYBsYYMs

Transformando en Laplace y ordenando Transformando en Laplace y ordenando obtenemos:obtenemos:

MK

MB

MK

s

s

ssXY

2

)(

)(

Sacando como factor común Y(s) y Sacando como factor común Y(s) y despejando Y(s)/X(s) obtenemos la despejando Y(s)/X(s) obtenemos la Función de Transferencia:Función de Transferencia:

maF

maFF BK

2

)(2

)()()( )(

dtyd

Mdtdy

ByxKtt

tt

)( )()( ttK yxKF

dtdy

BFt

B

)(

Por substitución obtenemos:Por substitución obtenemos:



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Sesión 3

#12

Función de Transferencia yFunción de Transferencia yel Bloque correspondiente el Bloque correspondiente

MK

MB

MK

s

s

ssXY

2

)(

)(

K/MK/M

ss22+B/Ms+K/M+B/Ms+K/M

X(s)X(s) Y(s)Y(s)


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Sesión 3

#13

DIAGRAMAS DE BLOQUESDIAGRAMAS DE BLOQUES

G(s)G(s)R(s)R(s) C(s)C(s)

Bloque:Bloque: cuadro con una Función de cuadro con una Función de Transferencia dentro y una entrada y Transferencia dentro y una entrada y una salida transformadas en Laplace.una salida transformadas en Laplace.

Un Diagrama de Bloques es la combinación apropiada de Bloques, Un Diagrama de Bloques es la combinación apropiada de Bloques, Puntos de Suma y Puntos de Derivación de Señal para la Puntos de Suma y Puntos de Derivación de Señal para la representación, en forma de modelo matemático, de Sistemas de representación, en forma de modelo matemático, de Sistemas de Control Automático Lineal.Control Automático Lineal.


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Capítulo 2

Sesión 3

#14

X(s)X(s)

Y(s)Y(s)

W(s)W(s)

Z(s)=W(s) Z(s)=W(s) X(s) X(s) Y(s) Y(s)

Los Los Puntos de SumaPuntos de Suma son son puntos representados por un puntos representados por un pequeño circulo con varias pequeño circulo con varias entradas y una sola salida que entradas y una sola salida que realizan la operación de suma realizan la operación de suma algebraica de las entradas algebraica de las entradas presentando a la salida el presentando a la salida el resultado. resultado.

Los Los Puntos de DerivaciónPuntos de Derivación de de SeñalSeñal son puntos utilizados son puntos utilizados para tomar la misma señal y para tomar la misma señal y dirigirla al mismo tiempo en dirigirla al mismo tiempo en varias direcciones sin que varias direcciones sin que esta cambie o se reparta sino esta cambie o se reparta sino que se trasmite integra en que se trasmite integra en todas las direcciones.todas las direcciones.

DIAGRAMAS DE BLOQUESDIAGRAMAS DE BLOQUESX(s)X(s)

X(s)X(s)

X(s)X(s)

X(s)X(s)


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Sesión 3

#15

H(s)H(s)

B(s)B(s)

G(s)G(s)R(s)R(s) E(s)E(s) C(s)C(s)

DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DE DIAGRAMA DE BLOQUES DE UN SISTEMA DE CONTROL REPRESENTADO EN SU FORMA CANÓNICACONTROL REPRESENTADO EN SU FORMA CANÓNICA

Como un ejemplo de un pequeño Diagrama de Bloques tendremos la Forma Como un ejemplo de un pequeño Diagrama de Bloques tendremos la Forma Canónica de Representar un Sistema de Control Automático Lineal, en la Canónica de Representar un Sistema de Control Automático Lineal, en la Figura Figura se muestra este diagrama y R(s) representa la señal de entrada se muestra este diagrama y R(s) representa la señal de entrada o referencia, B(s) es la variable retroalimentada, E(s) es el error que o referencia, B(s) es la variable retroalimentada, E(s) es el error que resulta comparar B(s) con R(s) y C(s) es la señal de salida o variable resulta comparar B(s) con R(s) y C(s) es la señal de salida o variable controlada. En los bloques se tiene G(s) que es la función de controlada. En los bloques se tiene G(s) que es la función de transferencia generalizada de los elementos de la rama directa y H(s) transferencia generalizada de los elementos de la rama directa y H(s) vendría a ser la función de transferencia generalizada de los elementos de la vendría a ser la función de transferencia generalizada de los elementos de la rama de retroalimentación. rama de retroalimentación.


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Sesión 3

#16


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Sesión 3

#17

Regla 1.Regla 1. Manejo de Puntos de Suma o Re-arreglo: Manejo de Puntos de Suma o Re-arreglo:

Equivale aEquivale a±± ±±

WW ZZ

XX YY

AA

a)a)

±± ±±

WW ZZ

YY XX

BB

b)b)

±±WW

XX

YY

ZZ

CC

c)c)

Equivale aEquivale a


REGLAS PARA EL MANEJO DE LOS REGLAS PARA EL MANEJO DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUEDIAGRAMAS DE BLOQUE

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Capítulo 2

Sesión 3

#18

De a) de la FiguraDe a) de la Figura

Regla 1.Regla 1. Manejo de Puntos de Suma: Manejo de Puntos de Suma: DemostraciónDemostración

De b) de la FiguraDe b) de la Figura De c) de la FiguraDe c) de la Figura

Como tanto en a), como en b) y como en c) llegamos Como tanto en a), como en b) y como en c) llegamos al mismo resultado los tres son equivalentes entre síal mismo resultado los tres son equivalentes entre sí

A=W A=W ± X± X

Z=A Z=A ± Y± Y

Z=W Z=W ± X ± Y± X ± Y

A=W A=W ± Y± Y

Z=B Z=B ± X± X

Z=W Z=W ± Y ± X± Y ± X

C=X+YC=X+Y

Z=W Z=W ± C± C

Z=W Z=W ± (X+Y)± (X+Y)


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Capítulo 2

Sesión 3

#19

GG11(s)(s) GG22(s)(s)X(s)X(s) Y(s)Y(s) Z(s)Z(s)

GG11(s)G(s)G22(s)(s)X(s)X(s) Z(s)Z(s)

Regla 2.Regla 2. Bloques en Serie o en Cascada: Bloques en Serie o en Cascada:


DemostraciónDemostración

Y(s)=GY(s)=G11(s)X(s)(s)X(s)

Z(s)=GZ(s)=G22(s)Y(s)(s)Y(s)

Z(s)=GZ(s)=G11(s)G(s)G22(s)X(s)(s)X(s)

Z(s)/X(s)=GZ(s)/X(s)=G11(s)G(s)G22(s)(s)


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Sesión 3

#20

Regla 3.Regla 3. Bloques en Paralelo: Bloques en Paralelo:

GG11(s)(s)

GG22(s)(s)

W(s)W(s) X(s)X(s)

Y(s)Y(s)

Z(s)Z(s)

±±GG11(s)±G(s)±G22(s)(s)

W(s)W(s) Z(s)Z(s)


DemostraciónDemostraciónZ(s)=X(s)Z(s)=X(s)±Y(s)±Y(s)

X(s)=GX(s)=G11(s)W(s)(s)W(s)

Y(s)=GY(s)=G22(s)W(s)(s)W(s)

Z(s)=GZ(s)=G11(s)W(s)(s)W(s)±G±G22(s)W(s)(s)W(s)

Z(s)=(G1(s)Z(s)=(G1(s)±G2(s))W(s)±G2(s))W(s)


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Capítulo 2

Sesión 3

#21

Regla 4.Regla 4. Pasar un Punto de suma hacia atrás de un Bloque: Pasar un Punto de suma hacia atrás de un Bloque:Z(s)Z(s)AAX(s)X(s)

Y(s)Y(s)±±

G(s)G(s)Z(s)Z(s)

±G(s)G(s)

X(s)X(s)

1/G(s)1/G(s)Y(s)Y(s) BB

CC


Z(s)=AZ(s)=A±Y(s)±Y(s)

A=G(s)X(s)A=G(s)X(s)

Z(s)=G(s)X(s)Z(s)=G(s)X(s)±Y(s)±Y(s)

Z(s)=G(s)CZ(s)=G(s)C

C=X(s)C=X(s)±B±B

B=Y(s)/G(s)B=Y(s)/G(s)

C=X(s)C=X(s)±Y(s)/G(s)±Y(s)/G(s)

Z(s)=G(s)X(s)Z(s)=G(s)X(s)±Y(s)±Y(s)


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Capítulo 2

Sesión 3

#22

Regla 5.Regla 5. Pasar un Punto de suma hacia adelante de un Pasar un Punto de suma hacia adelante de un Bloque:Bloque:

Y(s)±

G(s)X(s) Z(s)A

a)a)

±G(s)

X(s) Z(s)

G(s)Y(s)

B

C

b)b)Equivale aEquivale a

DemostraciónDemostración

A=X(s) A=X(s) ± Y(s)± Y(s)

Z(s)=G(s)AZ(s)=G(s)A

Z(s)=G(s)(X(s)Z(s)=G(s)(X(s)±Y(s))±Y(s))

Z(s)=B+CZ(s)=B+C

B=G(s)X(s)B=G(s)X(s)

C=G(s)Y(s)C=G(s)Y(s)

Z(s)=G(s)X(s)Z(s)=G(s)X(s)±G(s)Y(s)±G(s)Y(s)

Z(s)=G(s)(X(s)Z(s)=G(s)(X(s)±Y(s))±Y(s))


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Capítulo 2

Sesión 3

#23


G(s)G(s)Y(s)Y(s)

Y(s)Y(s)

X(s)X(s)

a)a)

Y(s)Y(s)G(s)G(s)

X(s)X(s)

G(s)G(s)Y(s)Y(s)b)b)

Regla 6.Regla 6. Pasar un Punto de Toma o Derivación de Señal Pasar un Punto de Toma o Derivación de Señal hacia atrás de un Bloque: hacia atrás de un Bloque:

En En a)a) de la Figura de la Figura Y(s)=G(s)X(s)Y(s)=G(s)X(s) y por lo tanto también y por lo tanto también en en b) Y(s)=G(s)X(s).b) Y(s)=G(s)X(s).


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Capítulo 2

Sesión 3

#24

Regla 7.Regla 7. Pasar un Punto de Toma o Derivación de Señal Pasar un Punto de Toma o Derivación de Señal hacia adelante de un Bloque: hacia adelante de un Bloque:

G(s)G(s)X(s)X(s)

X(s)X(s) Y(s)Y(s)

a)a)

G(s)G(s)X(s)X(s)

X(s)X(s)1/G(s)1/G(s)

Y(s)Y(s)

b)b)

En En a)a) de la Figura de de la Figura de X(s)X(s) se deriva se deriva X(s)X(s) y en y en b) X(s)b) X(s) se multiplica se multiplica por por G(s)G(s) entonces para obtener entonces para obtener X(s)X(s) hay que dividir por hay que dividir por G(s).G(s).



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Capítulo 2

Sesión 3

#25

Regla 8.Regla 8. Manejo de la Forma Canónica de Manejo de la Forma Canónica de Representar Sistemas de Control Automático:Representar Sistemas de Control Automático:

G(s)G(s)

H(s)H(s)

R(s)R(s)

B(s)B(s)

C(s)C(s)

±±E(s)E(s)

a)a)Equivale aEquivale a

b)b)

R(s)R(s) C(s)C(s)G(s)G(s)

11±G(s)H(s)±G(s)H(s)


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Capítulo 2

Sesión 3

#26

Regla 8.Regla 8. Demostración primera parte a) equivalente a b) Demostración primera parte a) equivalente a b)

C(s)=G(s)E(s)C(s)=G(s)E(s)

E(s)=R(s)E(s)=R(s)±B(s)±B(s)

B(s)=H(s)C(s)B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)E(s)=R(s)±H(s)C(s)±H(s)C(s)

C(s)=G(s)(R(s)C(s)=G(s)(R(s)±H(s)C(s))±H(s)C(s))

C(s)=G(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)±G(s)H(s)C(s)±G(s)H(s)C(s)

C(s)C(s)±C(s)H(s)C(s)=G(s)R(s)±C(s)H(s)C(s)=G(s)R(s)

C(s)(1C(s)(1±G(s)H(s))=G(s)R(s)±G(s)H(s))=G(s)R(s)

C(s)C(s)

R(s)R(s)==

G(s)G(s)



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Capítulo 2

Sesión 3

#27

Regla 8.Regla 8. Planteamiento segunda parte c) equivalente a b) Planteamiento segunda parte c) equivalente a b)

c)c)

1/H(s)1/H(s) G(s)H(s)G(s)H(s)R(s)R(s) C(s)C(s)

±±XX YY


b)b)

R(s)R(s) C(s)C(s)G(s)G(s)



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Capítulo 2

Sesión 3

#28

C(s)C(s)

R(s)R(s)==

G(s)G(s)


Como a) equivale a b) y c) equivale b) Como a) equivale a b) y c) equivale b) entonces a) equivale c) entonces a) equivale c)

C(s)=G(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)±G(s)H(s)C(s)±G(s)H(s)C(s)

C(s)C(s)±C(s)H(s)C(s)=G(s)R(s)±C(s)H(s)C(s)=G(s)R(s)

C(s)(1C(s)(1±G(s)H(s))=G(s)R(s)±G(s)H(s))=G(s)R(s)

C(s)=G(s)H(s)YC(s)=G(s)H(s)Y

Y=XY=X±C(s)±C(s)

X=R(s)/H(s)X=R(s)/H(s)

Y=R(s)/H(s)Y=R(s)/H(s)±C(s)±C(s)

C(s)=G(s)H(s)(R(s)/H(s)C(s)=G(s)H(s)(R(s)/H(s)±C(s))±C(s))


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