Ing Control I Cap 1

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRÓNICA Y ELÉCTRICA Ingeniería de Control I ________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________ M.Sc., Ing. Raúl Benites Saravia

1

Capítulo 1

Introducción a Sistemas de Control Digital El desarrollo y uso de computadores digitales cada vez más potentes, veloces y económicos, han sido decisivos para el empleo de técnicas digitales para el control de sistemas dinámicos, como por ejemplo, el control ‘inteligente’ en robots industriales, la optimización económica en el uso de combustible en los automóviles, refinamiento en la operación de equipos de uso doméstico, sistema de pilotaje de aviones, etc. 1.1 Sistemas de Control Digital El esquema básico de un sistema de control digital, se muestra en la figura 1.1. El sistema incluye un control prealimentado y realimentado. La estrategia de control a usar dependerá del diseñador, en función a una determinada aplicación.

y Salida

r Refer.

Muestreador y A/D

Computadora Digital

D/A y retenedor

Actuador

Planta

Transductor o sensor

Filtraje

-

n Ruido

Controlador Prealimentado

Perturbación O ruido

Controlador digital

Figura 1.1: Diagrama de bloques de un sistema de control digital.



2

1.2 Muestreo y Retención El proceso de muestreo es sumamente útil en sistemas de control donde se usa un controlador digital. El muestreo de señales consiste en tomar muestras en puntos discretos de tiempo, que luego son cuantificadas por un proceso de retención, para luego pasar a un convertidor analógico/digital, produciéndose su conversión en códigos binarios. Tales códigos, denominados también datos binarios pueden ser procesados por el computador, para producir una determinada decisición. En la gran mayoría de las aplicaciones de control realimentado, los procesos o plantas (por naturaleza) utilizan actuadores que son controlados por señales analógicas, situación que hace necesario la reconversión de la señal digital hacia analógico. Tal propósito se logra por un proceso de conversión digital/analógico (D/A) y luego por un retenedor, que haga posible la reconstrucción de la señal analógica, la cual excita al actuador controlando directamente el proceso. En la figura 1.2 (a) se muestra un diagrama de bloques de un sistema de adquisición de datos, y en la figura 1.2 (b) se muestra un diagrama de bloques de un sistema de reconstrucción de la señal analógica.

PC Computadora de Procesos Microcontrolador DSP

Implementación del algoritmo de control

Al actuador

Del controlador o PC

Variable física

Transductor

Amplifica-dor

Filtro pasa-bajo

Multiplexor Analógico

Muestreador y retenedor

Convertidor A/D

Al controlador digital o PC (a)

Registro

Demultiplexor

Convertidor D/A

Retenedor

(b)

Figura 1.2: a) Diagrama de bloques de un sistema de adquisición de datos; b) diagram de bloques de un sistema de reconstrucción de señal analógica.



3

Es importante anotar que la selección del periodo de muestreo T es determinante en los resultados del sistema de control digital. Debemos recordar, por Nyquist, que la frecuencia de muestreo debe ser

)1.1(2 ms ff ≥

donde Fs es la frecuencia de muestreo y fm es la frecuencia máxima de la señal a ser muestreada. Información amplia sobre sistemas de adquisición de datos y reconversión analógica puede encontrarse en cualquier texto de control digital o control en tiempo discreto (véase [5]). La figura 1.3 muestra el proceso de muestreo y retención de la señal analógica u , permitiendo la reconstrucción de la señal por aproximaciones rectangulares.

La función de transferencia del retenedor de orden cero viene dada por

)2.1(1

)(

)(*0 s

e

su

suG

Ts

r

−−==

donde T es el periodo de muestreo. A continuación se presenta una lista de métodos de retención usados con Matlab.

Muestreador ū(t) u(kT) u(t)

Retenedor de orden cero

0 T 2T 6T 0 T 2T 6T t

ū(t) u(kT) u(t)

Figura 1.3: Muestreador y retenedor de orden cero.

u(s) u*(s) ū(s) ū(s)



4

1.3 Discretización Directa

Es bastante útil discretizar directamente expresiones que contengan integrales y derivadas.En el desarrollo del curso nos encontraremos frecuentemente con funciones que contengan derivadas e integrales, las cuales pueden ser discretizadas usando ecuaciones en diferencias. Veamos:

)4.1()()(

)3.1()()()(

)(

)()()()(

00

22

2

2

2

∫ ∑=

−≈

−∆−∆=∆≈

−−=∆≈

t k

i

TiTTedttf

T

TkTfkTf

T

kTftf

dt

d

T

TkTfkTf

T

kTftf

dt

d

Es necesario anotar que en este caso los períodos de muestreo deben ser pequeños para

que el resultado del proceso discreto sea bastante aproximado al obtenido mediante el método de discretización general (que es el que usa Matlab). Ejemplo 1.1: Considerando las ecuaciones de estado y de salida del circuito RLC siguiente:



5

)7.1(

)6.1(11

)5.1(1

1

212

21

xy

VL

xL

Rx

Lx

xc

x

in

=

+−−=

=

&

&

Determine:

a) La discretización directa del sistema de ecuaciones b) La gráfica de su respuesta a un escalón unitario

Asuma un periodo de muestreo de 0.01 segundos.

Solución

a) Del sistema de ecuaciones de estado y de salida del circuito RLC podemos encontrar el equivalente discreto en adelanto de la derivada (un corrimiento a la derecha), entonces, el sistema discreto para cada ecuación diferencial será:

)10.1()()(

)9.1()](1

)()(1

[)()1(

)8.1()()()1(

1

2122

211

kTxkTy

kTVL

kTxL

RkTx

LTkTxkTx

kTxc

TkTxkTx

in

=

+−−+=+

+=+

Las ecuaciones (1.8), (1.9) y (1.10) pueden reescribirse implícitamente así:

)13.1()()(

)12.1()](1

)()(1

[)()1(

)11.1()()()1(

1

2122

211

kxky

kVL

kxL

Rkx

LTkxkx

kxc

Tkxkx

in

=

+−−+=+

+=+

b) La gráfica de la respuesta al escalón unitario se obtiene mediante la ejecución del

siguiente programa en MATLAB (ejem3_1):



6

0 50 100 150 200 2500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Te

ns

ión

en

el

ca

pa

cit

or

(V)

Número de muestras (k)

1.4 La Transformada Z La transformada Z es un método operacional sumamente potente en el trabajo con sistemas en tiempo discreto. La transformada Z de una función f(t), toma en cuenta sólo los valores muestreados de f(t), es decir la secuencia de valores f(kT): f(0), f(T), f(2T), ... , donde k ≥ 0 y T es el periodo de muestreo. Se define mediante la siguiente ecuación:



7

)14.1()2()()0()()]([)]([)(0

21∑∞

=

−−− +++====k

k zTfzTffzkTfkTfZtfZzF L

La relación entre la transformada z y la transformada s viene dada por:

)15.1(][cos)( TjsenTeeez TjTTs ωωσωσ +=== +

Para una secuencia de números f(k), la transformada z se define como

)16.1()()]([)(0∑

∞

=

−==k

kzkfkfZzF

La transformada z dadas por las ecuaciones (3.14) y (3.6) se denomina transformada z unilateral.

Si - ∞ < t < ∞, o si k adopta valores enteros (k = 0, ± 1, ± 2, ...), entonces la transformada z de f(t) o de f(k) viene dada por:

)17.1()()]([)]([)( ∑∞

−∞=

−===k

kzkTfkTfZtfZzF

)18.1()()]([)( ∑∞

−∞=

−==k

kzkfkfZzF

Las ecuaciones (1.17) y (1.18) representan la transformada z bilateral. 1.4.1 Transformada z de algunas funciones elementales La transformada z de algunas funciones elementales, considerando el caso unilateral, se presenta a continuación: Función escalón unitario: Dada la función escalón unitario definida por

)19.1(0,0

0),(1)(

<≥

=t

tttf

la transformada z de f(t) usando la ecuación (1.14) viene dada por



8

)20.1(11

1

1

1)](1[)(

1

21

00

−=

−=

+++=

===

−

−−

∞

=

−∞

=

− ∑∑

z

z

z

zz

zztZzFk

k

k

k

L

Función rampa unitaria: Dada la función rampa unitaria definida por

)21.1(0,0

0,)(

<≥

=t

tttf

la transformada z de f(t) viene dada por

)22.1()1()1(

)2(

)(][)]([)(

221

1

21

0 00

−=

−=

++=

=====

−

−

−−

∞

=

∞

=

−−∞

=

− ∑ ∑∑

z

Tz

z

zT

zzT

kzTkTzzkTftZtfZzFk k

kk

k

k

L

Función exponencial: Dada la función exponencial definida por

)23.1(0,0

0,)(

<≥

=−

t

tetf

at

la transformada z de f(t) viene dada por

)24.1(1

1

)1

][][)]([)(

1

221

0

aTaT

aTaT

k

kakTakTat

ez

z

ze

zeze

zeeZeZtfZzF

−−−

−−−−

∞

=

−−−−

−=

−=

+++=

==== ∑

L

En la tabla 3.1 se presenta la transformada z de funciones muy útiles, y su correspondiente transformada de Laplace.



9

Tabla 1.1: Transformada de Laplace versus transformada z.

f(t) F(s) f(kT) o f(k) F(z) 1 δ(t) 1 δ(k)

1, k = 0 0, k ≠ 0

1

2 1(t) o µ(t)

s

1

1(k) o µ(k)

1−z

z

3 ate− as+

1

akTe− aTez

z−−

4 t 2

1

s

kT 2)1( −z

Tz

5 2t 3

2

s

2)(kT 3

2

)1(

)1(

−+

z

zzT

6 ate−−1 )( ass

a

+

akTe−−1

))(1(

)1(aT

aT

ezz

ez−

−

−−−

7 btat ee −− − ))(( bsas

ab

++−

bkTakT ee −− −

))((

)(bTaT

bTaT

ezez

eez−−

−−

−−−

8 atet − 2)(

1

as+

akTkTe− 2)( aT

aT

ez

Tze−

−

−

9 atet −2 3)(

2

as+

akTekT −2)( 3

2

)(

)(aT

aTaT

ez

ezzeT−

−−

−+

10 ateat −− )1( 2)( as

s

+

akTeakT −− )1( 2

2

)(

)1(aT

aT

ez

eaTzz−

−

−+−

11 tsenω 22 ω

ω+s

kTsenω

1cos22 +− Tzz

Tsenz

ωω

12 tωcos 22 ω+s

s

kTωcos

1cos2

cos2

2

+−−

Tzz

Tzz

ωω

13 tsene at ω− 22)( ω

ω++ as

kTsene akT ω− aTaT

aT

eTzez

Tsenze22 cos2 −−

−

+− ωω

14 te at ωcos− 22)( ω++

+as

as kTe akT ωcos−

aTaT

aT

eTzez

Tezz22 cos2

)cos(−−

−

+−−

ωω

1.4.2 Propiedades y teoremas de la transformada z En la tabla 1.2 se presenta un grupo de propiedades y teoremas de la transformada z unilateral.



10

Tabla 3.2: Propiedades y teoremas de la transformada z. f(t) o f(k) Z[f(t)] o Z[f(k)]

1 )(tfa )(zFa 2 )()( 21 tfbtfa + )()( 21 zFbzFa + 3 )1()( ++ kfoTtf )0()( fzzFz − 4 )2( Ttf + )()0()( 22 TfzfzzFz −− 5 )2( +kf )1()0()( 22 fzfzzFz −− 6 )( kTtf + )()()0()( 1 TkTzfTfzfzzFz kkk −−−−− −

L 7 )( kTtf − )(zFz k− 8 )( knf + )1()1()0()( 1 −−−−− − kzffzfzzFz kkk

L 9 )( knf − )(zFz k− 10 )(tfe at− )( aTzeF 11 )(kfak

a

zF

12 ∑

=

n

k

kf0

)( )(1

zFz

z

−

13 ∑

∞

=0

)(k

kf )1(F

14 )(kfkm )(zF

dz

dz

m

−

1.4.3 Forma general para obtener la transformada Z de una función laplaciana. La transformada z de una función laplaciana se puede obtener mediante el método de los residuos, que a continuación se detalla.

Dada una función:

)25.1()(

)()(

sA

sBsG =

donde el grado del polinomio A(s) es mayor que el de B(s), y suponiendo que todas las raíces de B(s) poseen parte real negativa, entonces:



11

)26.1()(

)()!1(

1

)()()]([)(

11

1

1

j

j

j

j

i

bs

Q

jTs

mjm

m

j

as

P

iTsi

ez

zsGbs

ds

d

m

ez

zsGassGZzG

==−

−

==

∑

∑

−−

−+

−−==

donde: P es el número de polos ai no repetidos de G(s) . Q es el número de polos bj que se repiten con multiplicidad mj . Ejemplo 1.2: Determinar la transformada z de la función:

)1(

1)(

2 +=

sssG

Solución Para este caso: P = 1, a1 = -1, Q = 1, b1 = 0, m1 = 2. Luego:

)27.1()1(

)1(

)1(1)1(

1

)!12(

1

)1(

1)1()(

2

2

0

22

12

−−−−+

−=

−+

−−

−=

−+−

+

−++=

−

−=

−=

z

Tzz

ez

z

z

zT

z

z

ez

z

ez

z

sss

ds

d

ez

z

ssszG

T

T

s

Ts

sTs

1.5 La Transformada Z Inversa

Así como en sistemas de control en tiempo continuo la transformada s cumple un papel muy importante, idénticamente, la transformada z juega un papel muy importante en sistemas de control en tiempo discreto.

La notación para la transformada z inversa es Z-1. La transformada z inversa de G(z) da como resultado una única g(kT), pero no da una única g(t), debido a que la transformada z inversa sólo obtiene la secuencia de tiempo que especifica los valores de g(t) en los valores discretos de tiempo t = 0, T, 2T, ..., y no está definido en los otros tiempos. Esto implica entonces, que está definido en instantes de tiempo de muestreo T, el cual puede ser por ejemplo 1 seg., 0.1 seg., 2 seg. ,etc.

)28.1()()]([1 kTgzGZ =−



12

Para obtener g(kT) se recomienda seguir cualquier de los siguientes métodos:

a) Tabla de transformadas z. b) Obtener la transformada z inversa sin usar la tabla de transformadas z. En este caso

se puede aplicar los métodos de división directa, computacional, expansión en fracciones parciales y la integral de inversión (véase [1],[3]).

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