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Elaborado por Meier, A; Albornoz, A y Vanegas, C (2013). Uso experimental para MA0002.

Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas

Asignatura MA0002 Aprender MA1111: una visión psico-didáctica

INECUACIONES

10x + 5y > -20

Elaborado por Meier, A; Albornoz, A y Vanegas, C (2013). Uso experimental para MA0002. i

INDICE I. INTRODUCCIÓN ……….. 1 II. EL INTERVALO ……….. 3 1. Ejemplos para escribir y representar gráficamente intervalos ……….. 5 2. Ejercicios para escribir y representar gráficamente intervalos ……….. 6 III. UNION E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS ……….. 6 IV. PROPIEDADES O AXIOMAS DE CAMPO DE LOS

NUMEROS REALES.

………..

7 V. PROPIEDADES DE ORDEN DE LOS NUMEROS REALES ………... 8 VI. REGLAS PARA RESOLVER INECUACIONES ………. 10 1. Al sumar una misma cantidad (ya sea positiva o negativa) a

ambos lados de una inecuación, no se altera su sentido.

………..

10 2. Al multiplicar ambos lados de una inecuación por una misma

cantidad positiva, no se altera su sentido.

………..

10 3. Al multiplicar por una cantidad negativa ambos lados de una

inecuación, SI SE ALTERA el sentido de la misma.

………..

11 VII. MAPA CONCEPTUAL DE LAS INECUACIÓNES ……….. 12 VIII. EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE INECUACIÓNES ……….. 13 1. Inecuaciones lineales ……….. 13 1.1. Inecuaciones lineales no racionales: ……….. 13 1.1.1. Inecuaciones cuya solución se expresa en un solo intervalo

no acotado (uno de los dos lados es infinito):

………..

13 Caso A: Desde el infinito negativo a un punto de la recta R. ……….. 13 Caso B: Desde un punto de la recta R al infinito positivo. ……….. 15 1.1.1.1. Análisis comparativo entre inecuaciones cuya

solución se expresa en un solo intervalo desde el infinito a un punto de la recta R: caso A y caso B.

………..

17 1.1.1.2. Conclusiones ……….. 18 1.1.2.Inecuaciones cuya solución se expresa en un solo intervalo

acotado (cerrado, abierto o semicerrado)

………..

18 2. Inecuaciones racionales (Q). ……….. 21 2.1. Inecuaciones racionales con sólo la incógnita en el

denominador.

……….

21 2.2. Método del cementerio ……….. 25 2.3. Inecuaciones racionales con incógnitas en el numerador y el

denominador

………..

26 3. Inecuaciones cuadráticas. ……….. 30 3.1. Inecuaciones cuadráticas NO racionales ……….. 30 3.2. Inecuaciones cuadráticas racionales ……….. 37 4. Valor absoluto ……….. 38 4.1. Definición: ……….. 38 4.2. Teoremas ……….. 39

Elaborado por Meier, A; Albornoz, A y Vanegas, C (2013). Uso experimental para MA0002. ii

4.3. Ejercicios de resolución de inecuaciones con valor absoluto ……….. 40 4.3.1. Inecuaciones lineales con valor absoluto ……….. 40 4.3.1.1. Ejercicios donde se puede aplicar:

│x│ ≤ a ↔ - a ≤ x ≤ a

………..

40 4.3.1.2. Inecuaciones lineales con valor absoluto donde se aplica │x│ ≥ a ↔ x ≥ a o x ≤ - a

………..

42

4.3.2. Inecuaciones lineales con valor absoluto donde se aplica la definición para su resolución.

………..

47

4.3.3. Inecuaciones racionales con valor absoluto ……….. 52 4.3.4. Inecuaciones cuadráticas con valor absoluto ……….. 56 IX. RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS ……….. 59 1. Inecuaciones lineales. ……….. 59 1.1. Inecuaciones lineales no racionales ……….. 59 1.1.1. Inecuaciones cuya solución se expresa en intervalos abiertos no acotados.

………...

59

Caso A: Desde el infinito negativo a un punto de la recta R. ………... 59 Caso B: Desde un punto de la recta R al infinito positivo. ………... 63 1.2. Inecuaciones cuya solución se expresa en un solo intervalo acotado (cerrado, abierto o semicerrado)

………...

66

2. Inecuaciones racionales (Q). ………... 70 2.1. Inecuaciones racionales con sólo la incógnita en el denominador.

………... 70

2.2. Inecuaciones racionales con incógnitas en el numerador y el denominador

………...

74

3. Inecuaciones cuadráticas. ………... 78 a. Inecuaciones cuadráticas NO racionales ………... 78 3.2. Inecuaciones cuadráticas racionales ………... 83 4. Valor absoluto ………... 86 4.1. Inecuaciones lineales con valor absoluto ………... 86 4.1.1. Ejercicios donde se puede aplicar: │x│ ≤ a ↔ - a ≤ x ≤ a

………...

86

4.1.2. Inecuaciones lineales con valor absoluto donde se aplica │x│ ≥ a ↔ x ≥ a o x ≤ - a

………...

87

4.2. Inecuaciones lineales con valor absoluto donde se aplica la definición para su resolución.

………...

88

4.3. Inecuaciones racionales con valor absoluto ……....... 90 4.4. Inecuaciones cuadráticas con valor absoluto ………... 92

Elaborado por Meier, A; Albornoz, A y Vanegas, C (2013). Uso experimental para MA0002. 1

I. INTRODUCCION

En la vida diaria nos encontramos con objetos o situaciones que podemos catalogar como iguales o diferentes entre sí. Por ejemplo, si vas a un supermercado a comprar, observas como se distribuyen los objetos en las despensas. Los que son considerados como iguales se colocan uno al lado del otro, como los aceites comestibles de una misma marca. Sin embargo, pudiera haber envases de la misma marca con aceites que químicamente no son “exactamente” iguales, debido a factores ambientales intervinientes desde el origen de la materia prima, su procesamiento, hasta su almacenamiento. Sin embargo, para facilitarnos la vida, los clasificamos como iguales ya que la mayoría de las variables importantes que definen al objeto (aceite) coinciden entre varios de ellos. La igualdad absoluta, más allá del tiempo y del espacio, es una cualidad intrínseca del concepto de número. En matemáticas, dos objetos matemáticos son considerados iguales si (y sólo si) son el mismo objeto. http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica Por ejemplo, en la expresión 4x = 8, los símbolos que están a ambos lados del signo igual (=) en esencia se refieren al mismo objeto, que en este caso es el número 8. Esto hace que el valor asignado a la variable “x” esté determinado y sea 2 únicamente, para que se cumpla la igualdad absoluta (8 = 8) luego de aplicar la operación de los números reales denominada multiplicación. La expresión anterior es un ejemplo de una ecuación sencilla, que ya es muy familiar. Esta igualdad absoluta se observa fácilmente cuando trabajamos con números enteros; cuando trabajamos con decimales podemos hacer aproximaciones para facilitar las operaciones matemáticas. En este último caso, se utiliza el símbolo ≈ de aproximación. En matemáticas una inecuación es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferentes valores. http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuación_matem%C3%A1tica Por ejemplo, en la expresión 4x < 8 no podemos afirmar que los símbolos a ambos lados del signo < se refieran al mismo objeto. Aquí la relación no es de igualdad, ya que la variable “x” puede asumir infinitos valores con la única condición de que al multiplicarlos por 4, los valores que se obtengan sean menores que 8. Esto nos da un conjunto de números como solución y no un solo número como en el caso de la igualdad. Aplicando las propiedades de orden de los números reales tenemos que: 4x (1/4) < 8 (1/4) → x < 2, donde el conjunto solución estaría expresado verbalmente como todos los números reales menores que 2, desde menos infinito hasta 2, sin incluirlo. Esto puede expresarse en forma simbólica así: (-∞, 2) o gráficamente en la recta de los números reales:

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica�

http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica�


Ejemplo: Con este ejemplo vas a comenzar a pensar sobre el significado de las inecuaciónes. El ejemplo es el siguiente: Gloria es mayor en edad que Josefina, pero no tanto como Carmen, quien a su vez es mayor que Pamela y que Natalia. Natalia, por otra parte, es más joven que Pamela, pero mayor que Josefina y Gloria. ¿Cómo están ordenadas de mayor a menor según su edad? (Tomado de Sánchez, M; 1992). Análisis del problema:

Datos: Variable: edad Valores nominales: Gloria, Josefina, Carmen, Pamela y Natalia. Relaciones entre los datos: Gloria es mayor en edad que Josefina Gloria es menor en edad que Carmen Carmen es mayor que Pamela y Natalia Pamela es mayor que Natalia Natalia es mayor que Josefina y Gloria

Incógnita: Orden según edad.

Localizar el conocimiento: Relaciones de orden entre valores. Recta real.

Hacer el plan: Hacer una línea recta e ir colocando sobre la misma las relaciones entre los datos dados en el problema, con la misma ubicación de los números naturales en la recta real, a la izquierda los valores menores y hacia la derecha los mayores. Ejecutar el plan: Josefina Gloria Natalia Pamela Carmen _________I___________I______________I____________I___________I__ Menos edad Más edad Verificación:

Se lee el problema en su totalidad y se comprueba que la representación gráfica equivale al orden expresado verbalmente que se deduce del enunciado del problema. En la notación de inecuaciónes, si queremos decir matemáticamente que Gloria es mayor que Josefina, pero menor que Carmen, lo escribimos de la siguiente manera: Gloria > Josefina Gloria < Carmen Uniendo en una sola inecuaciónlas dos anteriores:


Carmen > Gloria > Josefina o Josefina < Gloria < Carmen Con los datos suministrados en este problema verbal, cuyos valores son ordinales, solo podemos saber quién es mayor o menor dentro del grupo de las cinco. Si agregamos información al problema tal como que Carmen tiene 22 años y Natalia tiene 18 años, para resolverlo tenemos que conocer el significado y notación de intervalo. A continuación trataremos este último punto y posteriormente lo aplicaremos al problema dado.

II. EL INTERVALO Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, en el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. El intervalo es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos los puntos intermedios. http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica). Retomando el ejemplo anterior de las edades, el intervalo probable que incluye la edad de Pamela sería mayor que 18, pero menor que 22. La notación en intervalo discreto (que incluye solamente números enteros) es: (18,22). Esto significa que la edad de Pamela en años puede ser 19, 20 ó 21. No se incluyen los extremos ya que la relación es mayor que (>) o menor que (<) y no mayor igual (≥) o me nor igual que (≤). Un ejemplo de la aplicación de esta última notación lo encontramos en los informes de laboratorio cuando se refieren a los niveles de hemoglobina en la sangre. Se muestran los valores de referencia para hombres considerados como normales, que pueden ser entre 13 y 17 g/dl, incluyendo ambos. Matemáticamente lo escribiríamos: [13,17]. En el caso de las mujeres, los valores de referencia serían: [12,15]. Para un médico, estos resultados se integran con el resto del perfil sanguíneo para poder llegar a un diagnóstico. Continuando con el ejemplo del perfil sanguíneo, podemos encontrar las pruebas relacionadas con el perfil lipídico donde los valores de referencia considerados como normales se muestran ligeramente distintos a los anteriores. Así, el valor del colesterol LDL o colesterol “malo”, evidencia un valor posible menor de cien mg/dL para ser considerado como normal. En términos matemáticos, esto se podría representar así: LDL < 100 mg/dL. Esto significa que cualquier valor positivo inferior a 100 en este indicador, representa un valor normal. Si queremos ser más exactos, considerando la naturaleza de la variable, el intervalo se representaría de la siguiente forma: (0,100). Aquí excluimos del intervalo los valores “100” y “0”. Cualitativamente, no podemos afirmar que una persona pueda tener valor muy cercano a cero. Otro caso son los valores considerados como normales para el colesterol HDL o colesterol “bueno”. El intervalo de valores “normales” comenzaría a partir de 60 g/dL. Esto se podría representar así: HDL ≥ 60 g/dL o también de la siguiente forma [60, ∞). Igualmente, desde el punto de vista cualitativo o desde la naturaleza del fenómeno estudiado, no podemos afirmar que existan personas con valores inmensamente grandes. Observa la relación entre los símbolos mayor que (>) o menor que (<) y mayor igual (≥) o menor igual que (≤) con los símbolos “ ( ” , “ ) ” , “ [ ” , “ ] ”. ¿A qué conclusiones puedes llegar?

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)�


En resumen, hemos visto que existen diferentes tipos de intervalos. A continuación te presentamos una tabla con las posibles combinaciones:

Intervalo Inecuación Gráfica

(a , b)

[a , b)

(a , b]

[a , b] a ≤ x ≤ b

(a, ∞)

[a, ∞) x ≥ a

(-∞, b)

(-∞, b]

(-∞, ∞)


1. Ejemplos para escribir y representar gráficamente intervalos


1. (2 , 7] 2 < x ≤ 7

2. (-∞ , 8) x < 8

3. ( 2 , 3) 2 < x < 3

4. ( -1 , ∞) x > -1

5. [ 0 , ∞ ) x ≥ 0

6. [ -1 , √2 ] -1 ≤ x ≤ √2

7. [ 3 , 5) 3 ≤ x < 5

8. ( - ∞ , 11] x ≤ 11


2. Ejercicios para escribir y representar gráficamente intervalos Escribe en la casilla correspondiente la información faltante, ya sea la forma de intervalo, inecuación o grafica


1. [-1 , 2)

2. 1,5 ≤ x ≤ 4

3.

4. 1 < x ≤ 11

5.

6. [ - 2 , ∞ )

7. x < 8

8.

III. UNION E INTERSECCIÓN DE INTERVALOS

En la resolución de inecuaciones, te conseguirás que la solución puede estar dada por un solo intervalo, por la unión de dos intervalos o la intersección de intervalos. Antes de explicar la unión e intersección de intervalos, conviene recordar cómo se aplican los conceptos de unión e intersección en la teoría de conjuntos. Te colocamos los siguientes vínculos donde podrás encontrar estos temas: Unión de conjuntos: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/union.htm Intersección de conjuntos: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/interseccion.htm

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/union.htm�

http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/interseccion.htm�


IV. Propiedades o axiomas de campo de los números reales:

Propiedad o axioma

Suma Ejemplo

Multiplicación Ejemplo Verbal Simbólica Verbal Simbólica

Cerradura La suma de dos

números reales es un número real.

Si a, b Є R → a + b Є R

a = 11 b = 7

11 + 7 = 18

La multiplicación de dos números reales es

un número real.

Si a, b Є R → a . b Є R

a = 11 b = 7

11. 7 = 77

Conmutativa El orden de los

sumandos no altera la suma

Si a, b Є R → a + b = b + a

a = 11 b = 7

11 + 7 = 7 + 11 = 18

El orden de los factores no altera el producto

Si a, b Є R → a . b = b . a

a = 11 b = 7

11 . 7 = 7. 11 = 77

Asociativa

Para la suma de tres o más sumandos, la suma siempre es la

misma independientemente de su agrupamiento.

Si a, b, c Є R →

a + (b + c) = (a + b) + c

a = 11 b = 7 c = 21

11 + (7 + 21) = (11 + 7) + 21

= 11 + 28 = 18 + 21

= 39

Para la multiplicación de tres o más factores, el producto siempre es

el mismo independientemente de

su agrupamiento.

Si a, b, c Є R →

a . (b . c) = (a . b) . c

a = 11 b = 7 c = 21

11 . (7 . 21) = (11 . 7) . 21

11 . 147 = 77 . 21 1617 = 1617

Elementos neutros

Sumar “cero” a cualquier número no

altera el valor del mismo.

a + 0 = a a = 11

11 + 0 = 11

Multiplicar por el número “uno en

positivo” a cualquier número no altera el

valor del mismo.

a . 1 = a a = 11

11 . 1 = 11

Elemento opuesto (+) o

inverso (.)

Todo número sumado con su opuesto da como resultado el elemento neutro.

a + (- a) = 0

a = 11 -a = -11

11 + ( -11) = 0

Todo número multiplicado por su inverso, da como

resultado el elemento neutro.

a . 1/a = 1

a = 11 1/a = 1 / 11

11 . 1 / 11 = 1

Verbal Simbólica Ejemplo

Distributiva de la

multiplicación sobre la suma

La suma de dos o más sumandos, multiplicada por un número, es igual a la suma del

producto de cada sumando por el número.

Si a, b, c Є R → a. (b + c) = a . b + a . c

a = 11 11. (7 + 21) = 11 . 7 + 11 . 21 b = 7 11 . 28 = 77 + 231 c = 21 308 = 308


V. Propiedades de Orden de los números reales

Verbal Simbólica Ejemplo

Tricotomía

Dados dos números cualesquiera, se cumple una y exactamente una de las condiciones siguientes:

El primero es menor que el segundo o

Los dos números son iguales o El primero es mayor que el segundo

x < y

x = y

x > y

x = 4 4 < 6 y = 6

Sólo se cumple esta relación de “menor que” para estos números.

Transitividad Si un número es menor que otro y a su vez este es menor que otro,

entonces, el primero es menor que el tercero. (También se cumple para la relación “mayor que”).

x < y y < z → x < z x = 4 4 < 6 y = 6 6 < 8 z = 8 4 < 8

Para cuatro números distintos, si un número es menor que otro y a su vez otro número es menor que otro, entonces, la suma de los menores es menor

que la suma de los mayores. (También se cumple para la relación “mayor que”).

w < x y < z → w + y < x + z

w = 4 4 + 3 < 6 + 5 x = 6 7 < 11 y = 3 z = 5

Dados dos números positivos cualesquiera, si el primero es menor que el segundo, entonces, el opuesto del segundo es menor que el primero. x < y → - y < x

x = 4 4 < 6 → - 6 < 4 y = 6 - y = - 6

Propiedad o axioma Suma Ejemplo Multiplicación Ejemplo Verbal Simbólica Verbal Simbólica

Compatibilidad

Si dos números son mayores que cero, su suma

también lo es. (Aplica también para números

menores que cero).

a > 0 y b > 0 → a + b > 0

a = 4, 4 > 0 b = 6, 6 > 0

4 + 6 > 0

Si dos números son mayores que cero, su multiplicación

también lo es.

a > 0 y b > 0 → a . b > 0

a = 4, 4 > 0 b = 6, 6 > 0

4 . 6 > 0

Si un número es menor que otro, al sumarles un

mismo número la relación “menor que” se mantiene. (Se aplica también para

“mayor que”).

a < b → a + c < b + c

a = 4 4 < 6 b = 6 4 + 8 < 6 + 8

c = 8 12 < 14

Si un número es menor que otro, al multiplicarles por un mismo número mayor que

cero la relación “menor que” se mantiene.

a < b c > 0 → a . c < b . c

a = 4 4 < 6 b = 6 4 . 8 < 6 . 8 c = 8 32 < 48

Si un número es menor que otro, al multiplicarles un

mismo número menor que cero la relación menor que

se invierte a mayor que.

a < b c < 0 → a . c > b . c

a = 4 4 < 6 b = 6 4 . -8 > 6 . -8 c = - 8 - 32 > - 48


El manejo de las propiedades de los números reales es un aspecto clave para poder resolver apropiadamente las inecuaciones, por lo que te recomendamos su aprendizaje.

Para lograr que estas propiedades pasen a tu memoria a largo plazo (MLP) y que espontáneamente la puedas recordar, escribir y aplicar oportunamente, es necesario hacer un análisis de las mismas.

Ten presente que una cosa es verlas impresas y reconocerlas (memoria de reconocimiento) y otra es ser capaz de escribirlas y aplicarlas sin verlas impresas o escucharlas (sin ningún estímulo presente).

Te sugerimos que las guardes en tu memoria siguiendo siempre el mismo orden. Puedes hacerlo recordando las iniciales de cada una de ellas o letras asociadas, como por ejemplo “Ce”, “Co”, “En”, “Ei” y “D” o cualquier otra relación. Procura también asociar el nombre de la propiedad con su definición verbal y simbólica. Por ejemplo, la propiedad asociativa debo relacionarla con asociar números, agrupar números, ya que esto es precisamente lo que hace esta propiedad, agrupar los números de distintas formas dando el mismo resultado.

Otra estrategia que te sugerimos es que compares la información que te dan las propiedades. ¿Se asemejan en algo? ¿En qué se diferencian? Si observas las tres primeras: cerradura, conmutativa y asociativa, al compararlas, bastaría decir que cambiando la palabra y símbolo de sumar (+) o multiplicar (.) son muy semejantes. Por ejemplo, bastaría con decir “la suma o multiplicación de dos números reales es un número real” (caso de la cerradura). Esto es una síntesis. Si comparas las propiedades de elemento neutro y opuesto para la suma, te darás cuenta que en los dos está presente el número “cero”, en uno es causa (elemento neutro) y en otro consecuencia (elemento opuesto). Igualmente si comparas las propiedades de elemento neutro e inverso para la multiplicación, te darás cuenta que en las dos está presente el número “uno”, en uno es causa (elemento neutro) y en otro consecuencia (elemento inverso).

Observa que la última propiedad de campo, la distributiva, está separada del primer cuadro y tiene otro color ¿Por qué?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Lo realizado anteriormente con las asociaciones y comparaciones es lo que se denomina procesar conscientemente y codificar personalmente la información.

Es importante que asocies y recuerdes cada propiedad tanto en su forma verbal como simbólica, ya que en las últimas investigaciones del cerebro por medio de la resonancia magnética, se ha demostrado que existen dos áreas diferentes del cerebro (aunque cercanas) que se encargan, una de procesar la parte simbólica de la matemática y la otra de la parte verbal. Si guardas en tu memoria estas dos formas será más fácil recordarlas y no confundirlas.


VI. REGLAS PARA RESOLVER INECUACIONES

La resolución de las inecuaciones es un proceso que busca obtener como resultado un intervalo de la recta real que incluye todos los valores de x para los cuales se cumple el enunciado de la misma.

La aplicación de las propiedades de los números reales, de la factorización y de otros conocimientos matemáticos propios de las funciones con las cuales se trabaja, permite ir generando, en pasos sucesivos, inecuaciones equivalentes que tienen como objetivo simplificar la expresión hasta llegar a una donde la variable x quede sola en el lado izquierdo del símbolo matemático de la inecuación “mayor que” (>), “mayor o igual que” (≥), “menor que” (<) o “menor o igual que” (≤). Para poder producir las inecuaciones equivalentes a la inicial se debe aplicar la misma operación a ambos lados del símbolo matemático de inecuación. A continuación se presentan algunas reglas útiles para resolver inecuaciones que toma en cuenta las propiedades de los números reales y otros aspectos matemáticos.

1. Al sumar una misma cantidad (ya sea positiva o negativa) a ambos lados de una inecuación, no se altera su sentido (propiedad de compatibilidad de la suma).

Ejemplos: a) 𝟒 < 𝟓 b) 𝟒 < 𝟓 4 + 1 < 5 + 1 4 – 1 < 5 – 1 5 < 6 𝟑 < 𝟒

2. Al multiplicar ambos lados de una inecuación por una misma cantidad positiva, no se altera su sentido (propiedad de compatibilidad de la multiplicación).

Ejemplos: a) 3x ≤ 5

3𝑥.13≤ 5.

13

(Multiplico por 13

ambos lados de la inecuación ya que es el inverso de 3)

3𝑥3≤

53

𝒙 ≤𝟓𝟑

(Ahora simplifico)

b) 𝟒𝒙 < 𝟑 – 𝟐𝒙

4𝑥 + 2𝑥 < 3 – 2𝑥 + 2𝑥 (sumo 2x a ambos lados de la inecuación, que es el opuesto de -2x) 6𝑥 < 3 – 0

6𝑥 .16

< 3 .16

(𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑟 16

𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑒 6)

6𝑥 6

< 36

(Ahora simplifico)

𝒙 < 𝟏 𝟐


3. Al multiplicar por una cantidad negativa ambos lados de una inecuación, SI SE ALTERA el sentido de la misma (propiedad de compatibilidad de la multiplicación).

Ejemplos: a) 𝟒 < 𝟓 4 . (−1) < 5. (−1) (Multiplico por -1 ambos lados de la inecuación. Propiedad de compatibilidad) − 𝟒 > − 𝟓 (cambio el sentido de la inecuación de “menor que” a “mayor que”) b) − 𝟑𝒙 ≥ 𝟐 (como el símbolo x no puede tener un signo menos delante de él ¿por qué?, multiplico por -1 ambos lados de la inecuación). −3𝑥 . (−1) ≥ 2 . (−1)

3𝑥 ≤ −2 (Cambio el sentido de la inecuación)

3𝑥 . (13

) ≤ −2 . (13

) (Multiplico por 1/3 ambos lados de la inecuación: el inverso de 3)

3𝑥 3≤

−2 3

(Ahora simplifico)

𝒙 ≤ −𝟐 / 𝟑 En resumen, si observas detenidamente los ejemplos resueltos, te darás cuenta que el objetivo de aplicar las reglas para resolver inecuaciones transformar el enunciado inicial en uno más simple que permita conocer él o los intervalos que resuelven dicha inecuación “despejando” la variable x.


VII. MAPA CONCEPTUAL DE LAS INECUACIONES

Detente y observa cuidadosamente el mapa conceptual que te indica la clasificación de los diferentes tipos de inecuaciones.

Las inecuaciones

Lineales Cuadráticas Con valor absoluto

No racionales Racionales

Intervalos abiertos no acotados

Intervalos acotados

De un punto al infinito positivo

Del infinito negativo a un

punto

Sólo la incógnita en el

denominador

Incógnita en el denominador y

en el numerador

Que son

Que van

y

Con del

soluciones tipo

con

con

Que van

Factorizables No Factorizables

No racionales

Racionales

Pueden ser

Que

y

Como

y

Lineales

Racionales

Cuadráticas

Teorema │x│ ≤ a

Teorema │x│ ≥ a

Por definición

Como las

de

de


VIII. EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE INECUACIONES. Para facilitarte la comprensión y retención del aprendizaje de este tema, clasificamos los ejemplos que te presentamos a continuación de los más sencillos a los más complejos y aplicamos el proceso de pensamiento de clasificación según el tipo de intervalo. 1. Inecuaciones lineales 1.1. Inecuaciones lineales no racionales: 1.1.1. Inecuaciones cuya solución se expresa en un solo intervalo no acotado (uno de los dos lados es

infinito): Caso A: Desde el infinito negativo a un punto de la recta R. a) 𝟑𝒙 + 𝟐 ≤ 𝟏

3𝑥 + 2 – 2 ≤ 1 – 2 (sumo -2 a ambos lados de la inecuación, que es el opuesto a 2)

3𝑥 ≤ −1

3𝑥 . (13

) ≤ −1 . (13

) (Multiplico por 13

ambos lados de la inecuación, el inverso de 3)

3𝑥 3

≤ −13

(Ahora simplifico)

𝒙 ≤ − 𝟏𝟑

Intervalo solución (S): S = ( − ∞,−1 3

]

Este intervalo solución significa que todos los números menores que −1 3

, incluido este último, hacen que la

expresión inicial de la inecuación se cumpla.

Verificación: tomemos el valor de -2 y hagamos la sustitución en la expresión inicial (ejemplo): 3𝑥 + 2 ≤ 1 3 . (−2) + 2 ≤ 1 −6 + 2 ≤ 1 −4 ≤ 1. En este caso, -4 es menor que 1, lo que nos verifica que el ejercicio está resuelto correctamente.

Como contraejemplo, si tomamos un valor que este fuera del intervalo solución, como el “0”, 3𝑥 + 2 ≤ 1 3 . (0) + 2 ≤ 1 0 + 2 ≤ 1 2 ≤ 1 El resultado es incorrecto ya que 2 no es menor o igual que 1.


b) − 𝒙 + 𝟖 ≥ 𝟑

− 𝑥 + 8 – 8 ≥ 3 – 8 (sumo -8 a ambos lados de la inecuación, que es el opuesto a 8)

− 𝑥 ≥ – 5

− 𝑥 . (−1) ≥ – 5. (−1) (Multiplico por -1 ambos lados de la inecuación)

𝒙 ≤ 𝟓

Intervalo solución (S): 𝑆 = ( − ∞, 5]

Este intervalo solución significa …. (completa el razonamiento). Verificación: Sustituyendo el valor 5 en la expresión inicial nos da que la inecuación cumple (3 = 3) (ejemplo). Sustituyendo el valor de 6 nos da un resultado incorrecto (2 ≥ 3) (contraejemplo). c) 𝟕 + 𝟓𝒙 ≤ 𝟐𝒙 + 𝟗

7 + 5𝑥 − 2𝑥 ≤ 2𝑥 − 2𝑥 + 9 (Sumo -2x a ambos lados de la inecuación que es el opuesto a 2x

para tener la variable x solamente del lado izquierdo).

7 + 3𝑥 ≤ 9

−7 + 7 + 3𝑥 ≤ 9 – 7 (sumo -7 a ambos lados de la inecuación, que es el opuesto a 7)

3𝑥 ≤ 2

3𝑥 .13

≤ 2 .13

(Multiplico por 13

ambos lados de la inecuación, el inverso de 3 )

3𝑥 3

≤23

(Ahora simpli�ico)

𝒙 ≤ 𝟐𝟑

Intervalo solución (S): 𝑆 = ( − ∞, 2/3] Este intervalo solución significa …. (completa el razonamiento). Verificación: tomando el valor 𝑥 = 0, tenemos como resultado 7 ≤ 9 (ejemplo). Tomando el valor x = 1, tenemos como resultado 12 ≤ 11 (contraejemplo).


Análisis de estos tres ejemplos: ¿Qué observamos? • Dos expresiones y un solo símbolo de inecuación. • La incógnita x puede aparecer en una o ambas expresiones. • Los ejercicios a y c mantienen la dirección de la inecuación (≤). • El ejercicio b tiene el signo menos y multiplicando a x por -1 cambia de dirección la inecuación. • Siempre la expresión final en estos tres casos es “≤”. (Pudiera ser sólo “<”) y su gráfica siempre va de

el infinito negativo (- ∞) hasta un punto.

Contenidos muy parecidos pueden confundirse, para evitar esto y asegurarte que lo estudiado hasta el momento pase a tu memoria a largo plazo y realmente te pertenezca, resuelve los ejercicios que se te plantean a continuación. 𝑎) 10𝑥 + 1 < 8𝑥 + 5 𝑑) 3𝑥 – 5 > 4𝑥 – 6 𝑓) – 2𝑥 + 5 ≥ 4𝑥 – 3 𝑏) 𝑥 – 7 > 2𝑥 – 5 𝑒) – 4𝑥 + 3 > 2𝑥 + 5 g) 3x + 5 <

14

(x – 2)

𝑐) 5𝑥 – 3 > 6𝑥 – 4 Resolver las inecuaciones anteriores expresando por escrito las operaciones que realices aplicando las reglas para resolver inecuaciones. Señala el conjunto solución S y representa gráficamente. Verifica el resultado con un ejemplo y un contraejemplo. Comprueba si el análisis hecho al final de los tres ejemplos anteriores se aplica para estos ejercicios. Mientras realizas los ejercicios compara los resultados con las soluciones e identifica discrepancias y tipos de errores cometidos. Es importante estar muy consciente de los errores para poderlos eliminar. Si resuelves todos estos ejercicios correctamente, estarás en condiciones de elaborar uno del mismo tipo. Dáselo a un compañero para que lo resuelva a ver si está bien planteado. Ver soluciones en la página 59. Caso B: Desde un punto de la recta R al infinito positivo. a) 𝒙 − 𝟕 < 2𝒙 – 𝟓

𝑥 – 2𝑥 – 7 < 2𝑥 – 2𝑥 − 5 (Sumo -2x a ambos lados de la inecuación)

−𝑥 – 7 + 7 < −5 + 7 (Sumo 7 a ambos lados de la inecuación)

−𝑥 .−1 < 2.−1 (Multiplico por -1 ambos lados de la inecuación)

𝒙 > −𝟐

𝑆 = (−2,∞)


Este intervalo solución significa …. (completa el razonamiento). Verificación: tomando el valor 𝑥 = 1, tenemos como resultado − 6 < − 3 (ejemplo). Tomando el valor 𝑥 = −5, tenemos como resultado −12 < −15 (contraejemplo).

b) 𝟕𝒙 – 𝟐 ≤ 𝟗𝒙 + 𝟑

7𝑥 – 2 – 9𝑥 ≤ 9𝑥 + 3 – 9𝑥 (Sumo -9x a ambos lados de la inecuación)

−2𝑥 – 2 ≤ 3

−2𝑥 – 2 + 2 ≤ 3 + 2 (Sumo 2 a ambos lados de la inecuación)

−2𝑥 ≤ 5

−2𝑥 .−1 ≤ 5 .−1 (Multiplico por -1 ambos lados de la inecuación)

2𝑥 ≥ −5

2𝑥 .12

≥ −5 .12

(Multiplico por12 ambos lados de la inecuación)

𝒙 ≥ −𝟓𝟐

𝑆 = [−52

,∞)

Este intervalo solución significa …. (completa el razonamiento). Verificación: tomando el valor 𝑥 = − 2, tenemos como resultado − 16 ≤ − 15 (ejemplo). Tomando el valor 𝑥 = − 3, tenemos como resultado − 23 ≤ − 24 (contraejemplo).

c) 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏 > 8𝒙 + 𝟓

10𝑥 + 1 – 8𝑥 > 8𝑥 + 5 – 8𝑥 (Sumo −8𝑥 a ambos lados de la inecuación)

2𝑥 + 1 > 5

2𝑥 + 1 – 1 > 5 – 1 (Sumo −1 a ambos lados de la inecuación)

2𝑥 > 4

2𝑥 .12

> 4 .12

(𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑟12𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛)

𝒙 > 𝟐

𝑆 = (2,∞) Este intervalo solución significa …. (completa el razonamiento). Verificación: tomando el valor 𝑥 = 3, tenemos como resultado 31 > 29 (ejemplo). Tomando el valor 𝑥 = 2, tenemos como resultado 21 > 29 (contraejemplo).


Análisis de estos tres ejemplos: ¿Qué observamos? • Dos expresiones y un solo símbolo de inecuación. • En los ejercicios a y b se cambia la dirección de las inecuaciones, ya que el símbolo de la variable x no

puede ser negativo (-x). • La representación gráfica del intervalo va desde un punto (abierto o cerrado) hacia el infinito positivo. • Se puede asociar la dirección de la inecuación mayor (>) o mayor igual (≥) al final del ejercicio con un

intervalo abierto hacia el infinito positivo.

Contenidos muy parecidos pueden confundirse, para evitar esto y asegurarte que lo estudiado hasta el momento pase a tu memoria a largo plazo y realmente te pertenezca, resuelva los ejercicios que se te plantean a continuación.

𝑎) 5𝑥 – 3 < 6𝑥 – 4 𝑑) 𝑥 – 7 < 2𝑥 – 5 𝑓) 7 + 5𝑥 ≥ 2𝑥 + 9 𝑏) − 2𝑥 + 5 ≤ 4𝑥 – 3 𝑒) 3𝑥 + 2 ≥ 1 𝑔) 3𝑥 + 5 >

14

(𝑥 – 2)

𝑐) − 4𝑥 + 3 < 2𝑥 + 5

Resolver las inecuaciones anteriores expresando por escrito las operaciones que realices aplicando las reglas para resolver inecuaciones. Señala el conjunto solución S y representa gráficamente. Verifica el resultado con un ejemplo y un contraejemplo. (Ver soluciones en la página 63).

Comprueba si el análisis hecho al final de los tres ejemplos anteriores se aplica para estos ejercicios. Mientras realizas los ejercicios compara los resultados con las soluciones e identifica discrepancias y tipos de errores cometidos. Es importante estar muy consciente de los errores para poderlos eliminar.

Si resuelves todos estos ejercicios correctamente, estarás en condiciones de elaborar uno del mismo tipo. Dáselo a un compañero para que lo resuelva a ver si está bien planteado.

1.1.1.1. Análisis comparativo entre inecuaciones cuya solución se expresa en un solo intervalo desde el infinito a un punto de la recta R: caso A y caso B.

Variable de comparación Caso A Caso B Elementos que lo componen Un símbolo de inecuación con dos

expresiones. Un símbolo de inecuación con dos expresiones.

Presencia de la incógnita “x” Puede estar en una o ambas expresiones.

Puede estar en una o ambas expresiones.

Dirección de la inecuación Al resolver el ejercicio el resultado final siempre es “<” ‘o “≤”. La expresión inicial puede contener la dirección de la inecuación opuesta (“>” o “≥”).

Al resolver el ejercicio el resultado final siempre es “>” ‘o “≥”. La expresión inicial puede contener la dirección de la inecuación opuesta (“<” o “≤”).

Grafica Su grafica va desde - ∞ a un punto de la recta.

Su grafica va desde un punto de la recta a ∞.


1.1.1.2. Conclusiones: En estos dos casos de inecuaciones, la solución siempre será un solo intervalo no acotado. Siempre que observemos al final del procedimiento de cálculo que el signo que precede al símbolo x es negativo, tenemos que aplicar la propiedad de multiplicar ambos lados por -1 lo que nos cambia la dirección de la inecuación. Es posible, dado que ya has visto MA1111 varias veces, los ejemplos iniciales te parezcan muy sencillos, pero la práctica de los mismos te permitirá automatizar ciertos pasos que luego agilizaran tu mente para resolver los más complejos. 1.1.2. Inecuaciones cuya solución se expresa en un solo intervalo acotado (cerrado, abierto o semicerrado): a) 𝟐𝒙 – 𝟕 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟐 ≤ 𝟐𝒙 + 𝟓

−7 − 2𝑥 ≤ 𝑥 + 2 − 2𝑥 ≤ 5 − 2𝑥 Sumo -2x en las tres partes de la inecuación

−7 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 5

−7 − 2 ≤ 𝑥 + 2 − 2 ≤ 5 − 2 Sumo -2 en las tres partes de la inecuación

−𝟗 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑

𝑆 = [−9, 3] Verificación: tomando el valor 𝑥 = 1, tenemos como resultado −5 ≤ 3 ≤ 7 (ejemplo). Tomando el valor 𝑥 = 4, tenemos como resultado 1 ≤ 14 ≤ 13 (contraejemplo). b) −𝟓 ≤ 𝟐𝒙 + 𝟔 ≤ 𝟒

−5 − 6 ≤ 2𝑥 + 6 − 6 ≤ 4 − 6 Sumo -6 en las tres partes de la inecuación

−11 ≤ 2𝑥 ≤ −2

−11.12≤ 2𝑥.

12

≤ −2.12

Multiplico por ½ las tres partes de la inecuación

−𝟏𝟏𝟐≤ 𝒙 ≤ −𝟏

𝑆 = �− 112

,−1� Verificación: tomando el valor 𝑥 = −1, tenemos como resultado −5 ≤ 4 ≤ 4 (ejemplo). Tomando el valor 𝑥 = 0, tenemos como resultado −5 ≤ 6 ≤ 4 (contraejemplo).


c) −5 ≤ (𝟒 – 𝟑𝒙) 𝟐

< 1

−5 . 2 ≤ �4 – 3𝑥

2� . 2 < 1 . 2 Multiplico por 2 las tres partes de la inecuación

−10 ≤ 4 – 3𝑥 < 2

−10 − 4 ≤ (4 – 3𝑥) − 4 < 2 − 4 Sumo -4 en las tres partes de la inecuación

−14 ≤ −3𝑥 < −2

−14 . 13≤ −3𝑥 .

13

< −2.13

Multiplico por 1/3 las tres partes de la inecuación

−143

≤ −𝑥 < −23

−143

.−1 ≤ −𝑥 .−1 < −23

.−1 Multiplico por -1 las tres partes y cambio la dirección de la inecuación

14 3≥ 𝑥 >

23

𝟐𝟑

< 𝑥 ≤ 𝟏𝟒𝟑

Ordeno los intervalos solución

𝑆 = �23

,143 �

Verificación: tomando el valor 𝑥 = 1, tenemos como resultado −5 ≤ 12

< 1 (ejemplo).

Tomando el valor 𝑥 = 0, tenemos como resultado −5 ≤ 2 < 1 (contraejemplo).

Análisis de estos tres ejemplos: ¿Qué observamos?

• Tres expresiones y dos símbolos de inecuación. • Un solo intervalo solución que puede ser cerrado, abierto o semi – cerrado.

d) 𝟐 + 𝟑𝒙 < 5𝒙 + 𝟏 < 16 Si observas esta expresión te darás cuenta que es diferente a los tres casos anteriores y no se puede resolver de la misma forma. Hay que separarla en dos inecuaciones que se resuelven separadamente y la solución al final es la intersección de las mismas.


𝟐 + 𝟑𝒙 < 5𝒙 + 𝟏

2 + 3𝑥 – 5𝑥 < 5𝑥 + 1 – 5𝑥 (−5𝑥)

2 − 2𝑥 < 1

2 − 2𝑥 – 2 < 1 − 2 (−2)

− 2𝑥 < −1

− 2𝑥.1 2 < −1.

12 � .

12 �

−2𝑥2 <

−12

− 𝑥 < −12 (𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛)

𝒙 >𝟏𝟐 ( .−1 )

𝑆 = �12

,∞�

𝟓𝒙 + 𝟏 < 16

5𝑥 + 1 − 1 < 16 – 1 (−1)

5𝑥 < 15

5𝑥 .15 < 15 .

15 � .

1 5 �

5𝑥5 < 3 (𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛)

𝒙 < 3 𝑆 = (−∞, 3)

𝑆 = (−∞, 3) ∩ ( 12

,∞)𝑆 = � 12

, 3�

Verificación: tomando el valor 𝑥 = 1, tenemos como resultado 5 < 6 < 16 (ejemplo). Tomando el valor 𝑥 = 0, tenemos como resultado 2 < 1 < 16 (contraejemplo).

Contenidos muy parecidos pueden confundirse, para evitar esto y asegurarte que lo estudiado hasta el momento pase a tu memoria a largo plazo y realmente te pertenezca, resuelva los ejercicios que se te plantean a continuación.

a) −3 < 1 – 6𝑥 ≤ 4 b) −4 < 3𝑥 + 2 < 5 c) 4 < 5 − 3𝑥 < 7

d) 5 ≥ −2𝑥 – 6 > −4 e) 4 > −3𝑥 − 2 > −5 f) 3 > −1 + 6𝑥 ≥ −4

g) 4 > − 5 + 3𝑥 > − 7

h) 5 ≥ (−4 + 3𝑥)

2> −1


Comprueba si el análisis hecho al final de los tres ejemplos anteriores se aplica para estos ejercicios. Mientras realizas los ejercicios compara los resultados con las soluciones e identifica discrepancias y tipos de errores cometidos. Es importante estar muy consciente de los errores para poderlos eliminar. Si resuelves todos estos ejercicios correctamente, estarás en condiciones de elaborar uno del mismo tipo. Dáselo a un compañero para que lo resuelva a ver si está bien planteado.


2. Inecuaciones racionales (Q). 2.1. Inecuaciones racionales con sólo la incógnita en el denominador:

a) 𝟐𝒙

< 5 En este tipo de inecuaciones, la incógnita tiene que ser un numero diferente de cero, por

lo que su valor debe ser mayor que cero con números positivos o menor que cero con números negativos. Entonces hay que probar para cada uno de estos casos.

Si 𝑥 < 0 la inecuación se cumple, ya que dividir un numero positivo entre uno negativo el resultado es un numero negativo que siempre va a ser menor que 5. S = (−∞, 0)

𝑆𝑖 𝑥 > 0 2 𝑥

< 5

2𝑥

. 𝑥 < 5. 𝑥 (multiplico por x)

2𝑥𝑥

< 5𝑥

2 < 5𝑥 (Simplifico)

2.15

< 5𝑥 .15

(multiplico por 1/5)

25

< 5𝑥5

25

< 𝑥 (Simplifico)

𝑥 > 25

(Ordeno)

𝑆 = (25

,∞)

Por lo tanto, la solución general es S = (−∞, 0) U S = (25

,∞)

Este intervalo solución significa …. (completa el razonamiento). Verificación: tomando el valor 𝑥 = −1, tenemos como resultado −2 < 5 (ejemplo). tomando el valor 𝑥 = 1, tenemos como resultado 2 < 5 (ejemplo). tomando el valor 𝑥 = 1

5, tenemos como resultado 10 < 5 (contraejemplo).

b) 𝟐 < 𝟑

𝒙< 5

Observemos detalladamente esta expresión: 3𝑥 se encuentra entre dos números positivos. Se sabe que

3𝑥 es

mayor que 2 y menor que 5. Por lo tanto, x es un número positivo (𝑥 > 0), ya que no existen números negativos entre 2 y 5.


Para resolver esta inecuación la podemos dividir en dos inecuaciones, como se hizo en el ejemplo d, página 16:

𝟐 < 𝟑𝒙

< 5

2 < 3𝑥

2𝑥 < 3𝑥

. 𝑥 (multiplico por x)

2𝑥 < 3 (simplifico)

2𝑥 .12

< 3 .12


𝑥 < 32

(simplifico)

3𝑥

< 5

3𝑥

. 𝑥 < 5. 𝑥 (multiplico por x)

3 < 5𝑥 (simplifico)

3 .15

< 5𝑥 .15


35

< 𝑥 (simplifico)

𝑥 > 35

(ordeno)

Por lo tanto, la solución general es S = (35

, 32)

Este intervalo solución significa …. (completa el razonamiento). Verificación: tomando el valor 𝑥 = 1, tenemos como resultado 2 < 3 < 5 (ejemplo). Tomando el valor 𝑥 = 2, tenemos como resultado 2 < 3

2< 5 (contraejemplo. 1,5 no es mayor que 2).

c) 𝟏𝟑𝒙−𝟐

< 4

A diferencia de los dos ejercicios anteriores, si observas el denominador, veras que la incógnita está acompañada de otros números en forma de operaciones algebraicas. Aquí también se resuelve por los dos casos ya que el factor donde está la incógnita puede ser mayor que cero o menor que cero.

Caso 1: 𝑆𝑖 3𝑥 – 2 > 0 Caso 2: 𝑆𝑖 3𝑥 – 2 < 0 3𝑥 – 2 > 0

3𝑥 > 2

𝑥 > 23

Para todos los 𝑥 > 23 se tiene:

13𝑥 − 2

< 4

3𝑥 – 2 < 0

3𝑥 < 2

𝑥 < 23

Para todos los 𝑥 < 23 se tiene:

13𝑥 − 2

< 4


(1

3𝑥 − 2).3𝑥 − 2 < 4. (3𝑥 − 2) (multiplico por 3x − 2)

1 < 12𝑥 − 8 (simplifico)

1 + 8 < 12𝑥 − 8 + 8 (sumo 8)

9 < 12𝑥 (simplifico)

9 .1

12 < 12𝑥 .

112

(multiplico por 1

12)

912

< 𝑥 (simpli�ico)

𝑥 > 9

12 (ordeno)

𝑥 > 34

(simpli�ico) Por lo tanto, en este caso obtenemos como solución:

�𝑥 > 23� ∩ �𝑥 >

34� = �𝑥 >

34�

�1

3𝑥 − 2� . 3𝑥 − 2 < 4. (3𝑥 − 2) (multiplico por 3𝑥 − 2)

1 < 12𝑥 − 8 (simplifico)

1 > 12𝑥 − 8 (cambio el sentido de la inecuación ya que 3x – 2

< 0 (numero negativo))

1 + 8 > 12𝑥 − 8 + 8 (sumo 8)

9 > 12𝑥 (simplifico)

9 .1

12> 12𝑥 .

112

(multiplico por 1

12)

912

> 𝑥 (simpli�ico)

𝑥 < 9

12 (ordeno)

𝑥 <34

(simpli�ico) Por lo tanto, en este caso obtenemos como solución:

(𝑥 < 23

) ∩ (𝑥 < 34

) = (𝑥 < 23

) Por lo tanto, la solución completa del ejercicio es (uniendo las soluciones de los dos casos):

𝑆 = (𝑥 < 23

) 𝑈 (𝑥 > 34

) 𝑜 (−∞,23

) 𝑈 (34

,∞)

Este intervalo solución significa …. (completa el razonamiento). Verificación: tomando el valor 𝑥 = −1, tenemos como resultado −1

5 < 4 (ejemplo).

Tomando el valor 𝑥 = 1, tenemos como resultado 1 < 4 (ejemplo). Tomando el valor x = 7

10 , tenemos como resultado 10 < 4 (contraejemplo).

Otra forma de resolver esta inecuación por el método de la recta real: (http://www.youtube.com/watch?v=OWZrvi1wucg&NR=1)

13𝑥 − 2

< 4

�1

3𝑥 − 2� − 4 < 4 – 4 Se suma − 4 a ambos lados

�1

3𝑥 − 2� − 4 < 0 Se resuelve

http://www.youtube.com/watch?v=OWZrvi1wucg&NR=1�


1 − 4(3𝑥 – 2)

3𝑥 – 2< 0 Se uni�ica obteniendo el mínimo común múltiplo.

1 − 12𝑥 + 8 3𝑥 – 2

< 0 Se aplica la propiedad distributiva

−12𝑥 + 9 3𝑥 – 2

< 0 Se suma algebraicamente

Se obtienen las raíces o ceros en el numerador y denominador

Numerador: −12𝑥 + 9 = 0 Denominador: 3𝑥 − 2 = 0

−12𝑥 = − 9 3𝑥 = 2

𝑥 = − 9 −12

𝑥 = 23

𝑥 = 34

Se lleva a la recta real y se prueba para determinar los intervalos.

Tomando el valor 𝑥 = −1, tenemos como resultado

−15

< 4. Este intervalo SI es solución.

Tomando el valor 𝑥 = 7/10, tenemos como resultado 10 < 4. Este intervalo NO es solución. Tomando el valor 𝑥 = 1, tenemos como resultado 1 < 4. Este intervalo SI es solución.

𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠: 𝑆 = (−∞,23

) 𝑈 (34

,∞)

Ejercicios:

𝑎) 7

4𝑥 ≤ 7

𝑏) 3

𝑥 + 5 > 2

𝑐) (5

𝑥 + 2) – 1 < 3

𝑑) 5𝑥

+ 3 > 5𝑥

− 1





2.2. “MÉTODO DEL CEMENTERIO”: Antes de pasar al siguiente caso de inecuaciones vamos a explicar lo que los estudiantes llaman comúnmente el método del cementerio.

Sea 𝒙 > 𝑎, donde x es una variable y a un número real cualquiera, entonces 𝒙 − 𝒂 > 0. Esto significa que 𝒙 − 𝒂 es un número positivo para cualquier valor de x mayor que a. Similarmente, si 𝒙 < 𝑎 entonces 𝒙 − 𝒂 < 0, es decir que 𝒙 − 𝒂 es un número negativo para todo número real x menor que a. Esto lo podemos visualizar de la siguiente manera:

a 𝑥 − 𝑎 - +

donde el símbolo “-” expresa los valores negativos de 𝒙 – 𝒂 y el símbolo “+” sus valores positivos. Observe que el símbolo “-” está a la izquierda de a y el símbolo “+” a su derecha. Esto está en concordancia con 𝒙 < 𝑎 implica 𝒙 – 𝒂 < 0 y 𝒙 > 𝑎 implica 𝒙 – 𝒂 > 0. Ahora supongamos que tenemos una multiplicación de dos monomios 𝑥 − 𝑎 y 𝑥 – 𝑏, donde a y b son dos números reales cualesquiera y queremos saber si esa multiplicación es positiva o negativa. Aplicamos el análisis hecho anteriormente tanto al monomio 𝑥 – 𝑎 como al monomio 𝑥 – 𝑏. Vamos a visualizarlo. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que 𝑎 < 𝑏:

a b 𝑥 − 𝑎 - + + 𝑥 − 𝑏 - - +

De acuerdo a nuestro análisis colocamos un signo - a todo lo que está a la izquierda de a y de b y un signo + a lo que está a la derecha de a y de b, con respecto a sus monomios asociados. Para saber cuándo el producto (𝑥 − 𝑎) (𝑥 – 𝑏) es positivo o negativo, multiplicamos en cada columna los signos entre sí. Así tenemos que a la izquierda de a se tiene - . - , esto daría +. Entre a y b tenemos los signos + y - , cuya multiplicación nos da - y a la derecha de b se tiene + . + lo cual resulta +. Colocando estos resultados juntos a la “tabla” anterior, la nueva tabla se vería de la siguiente forma:

a b 𝑥 − 𝑎 - + + 𝑥 − 𝑏 - - +

(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) + - + En conclusión tendríamos que: (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) > 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ( − ∞ ,𝑎 ) ∪ (𝑏 , + ∞) y (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) < 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ( 𝑎 , 𝑏 )


Si queremos considerar los casos (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) ≥ 0 y (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) ≤ 0 entonces debemos incluir los extremos en las soluciones, es decir, para estos últimos dos casos las soluciones serían: 𝑥 ∈ (− ∞ , �𝑎 ] ∪ [𝑏� , + ∞) y 𝑥 ∈ [ 𝑎 , 𝑏 ] , respectivamente.

Un análisis análogo se hace si tomamos la división de dos monomios 𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏

y queremos saber para cuáles

valores de x resultaría positivo o negativo. Observe que en este caso debemos excluir siempre 𝑥 = 𝑏, pues resultaría una expresión indeterminada al tener una división entre cero.

Nuestra tabla quedaría igual a la del caso de la multiplicación (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏):

a b 𝑥 − 𝑎 - + + 𝑥 − 𝑏 - - + 𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏

+ - +

Es decir, 𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏

> 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ( − ∞ , 𝑎 ) ∪ (𝑏 , + ∞) y

𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏

< 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ( 𝑎 , 𝑏 )

Por otro lado, 𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏

≥ 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (− ∞ , 𝑎�] ∪ (𝑏 , + ∞) . Observe que no incluimos el valor de b por lo

explicado anteriormente, y 𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏

≤ 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [𝑎 , 𝑏) �.

2.3. Inecuaciones racionales con incógnitas en el numerador y denominador:

Al igual que las inecuaciones racionales con incógnitas en el denominador, este tipo de inecuaciones siguen los mismos procedimientos para su resolución. A continuación resolveremos los tres siguientes ejemplos:

a) 𝒙 – 𝟐 𝒙−𝟒

≥ 𝟎 Siguiendo el método de la recta real, observamos que el ejercicio ya esta ordenado y el paso siguiente es obtener los puntos críticos o soluciones para el numerador y el denominador. Fácilmente observamos que el punto crítico para el numerador es 2 y para el denominador es 4. Dividimos la recta real en tres intervalos utilizando dichos puntos:


(− ∞, 2)x = 1. Se sustituye:1 – 2 1 − 4

≥ 0 → −1 − 3

≥ 0 →13≥ 0. Es cierto

(2, 4) x = 3. Se sustituye:3 – 2 3 − 4

≥ 0 →1 −1

≥ 0 → − 1 ≥ 0. Es falso

(4,∞) x = 5. Se sustituye:5 – 2 5 − 4

≥ 0 →3 1

≥ 0 → 3 ≥ 0. Es cierto.

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑆 = (− ∞, 2] 𝑈 (4,∞)

Ahora vamos a aplicar el “método del cementerio” a la resolución de éste ejercicio. 𝒙 – 𝟐 𝒙 − 𝟒

≥ 𝟎

Observo que 2 < 4. Dibujo mi tabla:

2 4 𝑥 − 2 - + + 𝑥 − 4 - - + 𝑥 − 2𝑥 − 4

+ - +

Luego, 𝑥 − 2𝑥 − 4

≥ 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [ − ∞ , 2 ] ∪ (4 , + ∞) .

No incluyo el valor 4 porque si lo incluyo tendría una división entre cero.

b) 𝒙 + 𝟑 𝒙−𝟐

< 2

𝑥 + 3𝑥 − 2

< 2

𝑥 + 3 𝑥 − 2

− 2 < 2 − 2 Se suma -2 a ambos lados

𝑥 + 3 𝑥 − 2

− 2 < 0 Se resuelve

𝑥 + 3 – 2 (𝑥 – 2)𝑥 − 2

< 0 Se unifica obteniendo el mínimo común múltiplo.

𝑥 + 3 – 2𝑥 + 4𝑥 − 2


– 𝑥 + 7𝑥 − 2

< 0 Se suma algebraicamente


Se obtienen las raíces o ceros en el numerador y denominador Numerador: – 𝑥 + 7 = 0 Denominador: 𝑥 − 2 = 0 − 𝑥 = − 7 𝑥 = 2 𝑥 = 7

Se lleva a la recta real utilizando dichos puntos y se prueba para determinar los intervalos.

(− ∞, 2). x = 1. Se sustituye:1 + 3 1 − 2

< 2 →4− 1

< 2 → − 4 < 2.𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(2, 7). x = 3. Se sustituye:3 + 3 3 − 2

< 2 →6 1

< 2 → 6 < 2.𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

(7,∞). x = 8. Se sustituye:8 + 3 8 − 2

< 2 →11 6

< 2.𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

Ahora planteamos la solución del ejercicio: S = (− ∞, 2) 𝑈 (7,∞)

Para poder aplicar el método del cementerio, debemos proceder como hicimos anteriormente para deshacernos del 2 de la derecha en la expresión dada, llegando entonces a la expresión equivalente:

– 𝑥 + 7𝑥 − 2

< 0

Para evitar confusiones multipliquemos la inecuación por (-1) y recordemos que al hacer esto la inecuación cambia su sentido. Es decir, ahora tenemos:

𝑥 − 7𝑥 − 2

> 0

2 7 𝑥 − 2 - + + 𝑥 − 7 - - + 𝑥 − 7𝑥 − 2

+ - +

Es decir,x − 7x − 2

> 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ( − ∞ , 2 ) ∪ (7 , + ∞) .

c) 𝟑𝒙 – 𝟏𝒙 −𝟐

≤ 𝟏

3𝑥 – 1𝑥 − 2

≤ 1

�3x – 1x − 2

� – 1 ≤ 1 − 1 Se suma − 1 a ambos lados


� 3𝑥 – 1𝑥 − 2

� – 1 ≤ 0 Se resuelve

(3𝑥 – 1) − 1(𝑥 – 2) 𝑥 − 2

≤ 0 Se unifica obteniendo el mínimo común múltiplo.

3𝑥 – 1 − 𝑥 + 2 𝑥 − 2

≤ 0 Se aplica la propiedad distributiva

2𝑥 + 1𝑥 − 2

≤ 0 Se suma algebraicamente

Se obtienen las raíces o ceros en el numerador y denominador Numerador: 2𝑥 + 1 = 0 Denominador: 𝑥 − 2 = 0 2𝑥 = − 1 𝑥 = 2 𝑥 = − 1 / 2 Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos y se prueba para determinar los intervalos solución.

�− ∞,−12� . 𝑥 = −1. Se sustituye:

3. (−1)– 1−1 − 2

≤ 1 →−4 − 3

≤ 1 →43≤ 1. Es falso

(−12

, 2. 𝑥 = 0. Se sustituye: 3. (0) – 1)

0 − 2≤ 1 →

−1 − 2

≤ 1 → 1 2≤ 1 Es cierto

(2,∞). 𝑥 = 3. Se sustituye: 3. (3) – 1)

3 − 2≤ 1 →

8 1≤ 1 → 8 ≤ 1. Es falso.

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑆 = [− 12

, 2)

Si aplicamos el método del cementerio, debemos partir de la inecuación equivalente:

2𝑥 + 1𝑥−2

≤ 0

−1/2 2 2𝑥 + 1 - + + 𝑥 − 2 - - +

2𝑥 + 1𝑥 − 2

+ - +

𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟,2𝑥 + 1𝑥 − 2

≤ 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ �−12� , 2)

Resolver las siguientes inecuaciones expresando por escrito las operaciones que realices aplicando las reglas para resolver inecuaciones. Señala el conjunto solución S y representa gráficamente. Verifica el resultado con un ejemplo y un contraejemplo. (Ver soluciones en la página 74).




𝑎) 2𝑥 – 4 – 𝑥 + 1

≤ 0 𝑑) 2 − 𝑥 2𝑥 + 6

≥ 0

𝑏) 𝑥 + 4 𝑥 − 2

≥ 3 𝑑) 2𝑥 − 3 𝑥 + 2

≥ 3𝑥 + 7 𝑥 + 2

𝑐) 3𝑥 – 2 𝑥

> 4𝑥

Análisis de inecuaciones racionales: • Visualmente es una expresión en forma de fracción. • Siempre hay una incógnita en el denominador. • Puede haber una incógnita en el numerador. • Se presentan con uno o dos signos de inecuación. • Se pueden utilizar dos métodos para resolver estos ejercicios: el de la recta real y el comparativo con

cero. • El método de la recta real se aplica cuando se pueden obtener dos puntos que se ubican en una recta real

y permite verificar mientras se resuelve. • El valor que anula el denominador no puede ser incluido en el intervalo solución.

Analiza las expresiones que comparten características similares y así podrás llegar a conclusiones. 3. Inecuaciones cuadráticas. Son aquellas en las cuales uno de los lados de la inecuación es una expresión de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (donde 𝑎 ≠ 0) y el otro es cero. 3.1. Inecuaciones cuadráticas NO racionales: Este tipo de inecuaciones se resuelven según el caso. Caso 1. La expresión 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es factorizable. Caso 2. La expresión 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 NO es factorizable. Se dice que una expresión es factorizable cuando el factor discriminante (∆) es igual o mayor que cero. Esto es, cuando el resultado de las operaciones numéricas de los elementos que están dentro de la raíz cuadrada de la resolvente es igual o mayor que cero.


Resolvente = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎, donde ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

CASO 1. La expresión 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es factorizable. Es decir, ∆ ≥ 0. Para este caso se cumple que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 – 𝑥1)(𝑥 – 𝑥2).

A continuación presentaremos algunos ejemplos:

a) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑𝟓 < 0

Primero, vamos a constatar si el factor discriminante es mayor que cero (∆ ≥ 0):

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = (−2)2 – 4.1.−35 ∆ = 4 + 140 ∆ = 144, que es mayor que cero.

Este ejercicio se puede resolver de dos formas: por factorización y a través de la fórmula de la resolvente.

Por factorización: Se buscan dos números que multiplicados den -35 y sumados den -2. Los únicos factores primos de 35 son 1, 5 y 7. Por lo tanto, se escogen los números 5 y 7. Ahora se verifican los signos. Para obtener -2 el número mayor (7) tiene que ser el negativo y el otro (5) tiene que ser positivo.

El resultado de la factorización es:(𝑥 − 7)(𝑥 + 5). La expresión la podemos colocar de la siguiente forma: (𝑥 − 7)(𝑥 + 5) < 0. Seguidamente obtenemos los puntos críticos o raíces que vamos a utilizar para hallar los intervalos solución. 𝑥 − 7 < 0 → 𝑥 − 7 + 7 < 0 + 7 → 𝒙 < 7 y 𝑥 + 5 < 0 → 𝑥 + 5 − 5 < 0 – 5 → 𝒙 < −5 Observa que el signo de los puntos críticos es el contrario al que tiene el número en el resultado de la factorización y esto se debe al despeje anterior.

𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒:−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

En este caso, la inecuación está ordenada, por lo que procedemos a sustituir los valores a, b y c de la siguiente forma: a = 1; b = -2 y c = -35 en la ecuación de la resolvente:

= – (−2) ± �(−2)2 − 4.1. (−35)

2.1

= – (−2) ± √4 + 140

2


= – (−2) ± √144

2

= (2 +/− 12)

2

𝑅𝑎í𝑧 𝑎 = (2 + 12)

2 =

142

= 7

𝑅𝑎í𝑧 𝑏 = (2 − 12)

2 =

−102

= − 5

Observa que las raíces ya son directamente los puntos críticos. Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos y se prueba para determinar los intervalos solución. (− ∞,−5). 𝑥 = −6. Se sustituye: (−6)2 – 2(−6)– 35 < 0 → 36 + 12 – 35 < 0 → 13 < 0. Es falso

(−5, 7). 𝑥 = 0. Se sustituye: (0)2 – 2(0)– 35 < 0 → 0 + 0 – 35 < 0 → −35 < 0. Es cierto

(7,∞). 𝑥 = 10. Se sustituye: (10)2 – 2(10)– 35 < 0 → 100 − 20 – 35 < 0 → 45 < 0. Es falso

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑆 = (− 5, 7)

Alternativamente si aplicamos el método del cementerio a 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 –𝟑𝟓 = (𝑥 − 7)(𝑥 + 5) < 0, tenemos:

-5 7 𝑥 + 5 - + + 𝑥 − 7 - - +

(𝑥 + 5)(𝑥 − 7) + - + Luego la solución es: 𝑥 ∈ (−5 , 7 )

a) 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 ≤ 𝟎 ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = (−4)2 – 4.1.0 ∆ = 16 + 0 ∆ = 16, que es mayor que cero.


Si observa detenidamente esta expresión, te darás cuenta que falta el término independiente “c” (el número que no está acompañado de una incógnita), por lo tanto es más sencillo factorizarlo por factor común, o sea: = 𝑥2 – 4𝑥 ≤ 0 ↔ 𝑥(𝑥 − 4) ≤ 0 Para hallar los puntos críticos, despejamos x: 𝒙 ≤ 𝟎 y 𝑥 − 4 ≤ 0 → 𝑥 − 4 + 4 ≤ 0 + 4 → 𝒙 ≤ 𝟒 Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos y se prueba para determinar los intervalos solución. (− ∞, 0)𝑥 = − 1. Se sustituye: (−1)2 – 4(−1) ≤ 0 → 1 + 4 ≤ 0 → 5 ≤ 0. Es falso

(0, 4)𝑥 = 1. Se sustituye: (1)2 – 4(1) ≤ 0 → 1 − 4 ≤ 0 → −3 ≤ 0. Es cierto

(4,∞)𝑥 = 5. Se sustituye: (5)2 – 4(5) ≤ 0 → 25 − 20 ≤ 0 → 5 ≤ 0. Es falso

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑆 = [0, 4]

b) 𝟕 − 𝒙𝟐 < 0

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = (0)2 – 4. (−1). 7 ∆ = 0 + 28 ∆ = 28, que es mayor que cero. Si observas detenidamente esta expresión, te darás cuenta que falta el término “bx”. Además los términos no están ordenados (primero aparece el término “c” y luego el “ax”). Comenzamos ordenando la expresión: − 𝑥2 + 7 < 0. Multiplicamos por -1 y obtenemos 𝑥2 – 7 > 0. Resolver esta inecuación es equivalente a resolver 7 – 𝑥2 < 0. Para resolver este ejercicio (𝑥2 – 7 > 0) vamos a aplicar la resolvente y luego te darás cuenta que por factorización también se puede resolver. −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎.𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = −7

= −0 ± �02 − 4.1. (−7)

2. (1).


= ±√28

2

= ±√22. 7

2

= ± 2√7

2

Raíz a = − √7

Raíz b = √7 Ahora lo resolveremos por la factorización:

Si observas detenidamente te darás cuenta que falta el término “bx” por lo que es más sencillo factorizarlo por fórmula notable: 𝑥2 − 7 = �𝑥 − √7��𝑥 + √7�

Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos y se prueba para determinar los intervalos solución.

�− ∞,− √7�𝑥 = − 3. Se sustituye: 7 − (−3)2 < 0 → 7 − 9 < 0 → −2 < 0. Es cierto �− √7,√7� 𝑥 = 1. Se sustituye: 7 − (1)2 < 0 → 7 − 1 < 0 → 6 < 0. Es falso �√7,∞�𝑥 = 5. Se sustituye: 7 − (5)2 < 0 → 7 − 25 < 0 → −18 < 0. Es cierto

Ahora planteamos la solución del ejercicio: S = (− ∞,− √7) 𝑈 (√7,∞)

c) −𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 ≤ 𝟎

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = (3) 2– 4. (−2). 2 ∆ = 9 + 16 ∆ = 25, que es mayor que cero.

Si observas detenidamente esta expresión, te darás cuenta que al término “𝑎𝑥2” le antecede el número -2. Aquí podemos utilizar la fórmula de la resolvente para hallar las raíces:

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐2𝑎

. En este caso 𝑎 = −2, 𝑏 = 3 𝑦 𝑐 = 2

= −3 ± �32 − 4(−2). 2

2(−2)


= −3 ± √25

−4

= −3 ± 5−4

Raíz a = 2

Raíz b = −12


�− ∞, –12� 𝑥 = − 1. Se sustituye: −2(−1)2 + 3 (−1) + 2 ≤ 0 → −5 + 2 ≤ 0 → −3 ≤ 0. Es cierto

�−12

, 2� 𝑥 = 0. Se sustituye: − 2(0)2 + 3 (0) + 2 ≤ 0 → 0 + 2 ≤ 0 → 2 ≤ 0. Es falso

(2,∞)𝑥 = 3. Se sustituye: − 2(3)2 + 3 (3) + 2 ≤ 0 → −18 + 11 ≤ 0 → −7 ≤ 0. Es cierto

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑆 = (− ∞, – 12] 𝑈 [2, ∞)

d) 𝟏𝟖𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 > 0

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = 182 − 4(−2). 0 ∆ = 324 + 0 ∆ = 324, que es mayor que cero. Si observas detenidamente esta expresión, te darás cuenta que al término “𝑎𝑥2” le antecede el número -2. Además, no existe el término independiente “c”. Lo primero que podemos hacer es ordenar la expresión: −2𝑥2 + 18𝑥. Así, podemos notar que podemos factorizar utilizando la fórmula del factor común: −2𝑥2 + 18𝑥 = 2𝑥(−𝑥 + 9) Para hallar los puntos críticos, despejamos x:

𝟐𝒙 > 0 𝑦 − 𝑥 + 9 > 0 → −𝑥 + 9 − 9 > 0 − 9 → −𝑥 > − 9 → 𝑥 < 𝟗

𝟐𝒙 > 0 → 2𝑥.12

> 0.12

→ 𝑥 > 𝟎


(− ∞, 0) 𝑥 = − 1. Se sustituye: − 2(−1) 2 + 18(−1) > 0 → −2 − 18 > 0 → −20 > 0. Es falso (0, 9) 𝑥 = 1. Se sustituye: − 2(1)2 + 18(1) > 0 → −2 + 18 > 0 → 16 > 0. Es cierto (9,∞) 𝑥 = 5. Se sustituye: − 2(10) 2 + 18(10) > 0 → −200 + 180 > 0 → −20 > 0. Es falso Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑆 = (0, 9)


Puedes ahora comprobar utilizando la fórmula de la resolvente. Resolver las siguientes inecuaciones expresando por escrito las operaciones que realices aplicando las reglas para resolver inecuaciones. Señala el conjunto solución S y representa gráficamente. Verifica el resultado con un ejemplo y un contraejemplo. (Ver soluciones en la página 78). Comprueba si el análisis hecho al final de los tres ejemplos anteriores se aplica para estos ejercicios. Mientras realizas los ejercicios compara los resultados con las soluciones e identifica discrepancias y tipos de errores cometidos. Es importante estar muy consciente de los errores para poderlos eliminar. Si resuelves todos estos ejercicios correctamente, estarás en condiciones de elaborar uno del mismo tipo. Dáselo a un compañero para que lo resuelva a ver si está bien planteado.

𝑎) 𝑥2– 9 ≥ 0 𝑑) 𝑥2 − 𝑥 − 6 ≤ 0 𝑔) 4𝑥2 – 16 ≥ 0 𝑏) − 3𝑥2 + 𝑥 + 2 > 0 𝑒) 𝑥2 − 4𝑥 − 12 > 0 ℎ) 6𝑥2 + 7𝑥 ≤ 3 𝑐) 2𝑥2 − 𝑥 − 6 ≥ 0 𝑓) 𝑥2 − 6𝑥 + 8 > 0

CASO 2. La expresión 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 NO es factorizable. En este caso el valor del discriminante es menor que cero (∆ < 0) por lo que las raíces no se encuentran en los números reales, ya que si intentamos aplicar la ecuación de la resolvente, tendríamos una raíz de un número negativo, que no es un número real sino un número complejo (imaginario). Por lo tanto no nos podemos ayudar con este método, sino debemos analizar cada caso. Por ejemplo: 2𝑥2 + 𝑥 + 3 > 0 Aplicando la resolvente tenemos: −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎. En este caso 𝑎 = 2, 𝑏 = 1 𝑦 𝑐 = 3

= −1 ± √12 − 4.2.3

2.2

= −1 ± √−23

4

Como podemos observar, √−𝟐𝟑 no es un número real. Observamos que si 𝒙 ≥ 𝟎 la inecuación se cumple. Por otro lado, como 𝟐𝒙𝟐 > 𝑥 para todo número real negativo, entonces la inecuación también se cumple si 𝒙 < 0. Por lo tanto, la solución de esta inecuación es R.


3.2. Inecuaciones cuadráticas racionales: Son aquellas que son racionales, donde el polinomio del numerador y/o denominador puede ser cuadrático. Ejemplo:

a) 𝒙𝟐 – 𝒙 – 𝟔 𝒙𝟐 – 𝒙 < 0

Discriminante del numerador: ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = (−1)2 − 4.1. (−6) ∆ = 1 + 24 ∆ = 25, que es mayor que cero. Así, podemos notar que podemos factorizar utilizando el producto notable: 𝑥2 – 𝑥 − 6 = (𝑥 – 3) (𝑥 + 2) Discriminante del denominador: ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = (−1)2 − 4.1.0 ∆ = 1 ∆ = 1, que es mayor que cero. Así, podemos notar que podemos factorizar utilizando el factor común: 𝑥2 – 𝑥 = 𝑥 (𝑥 – 1) Para hallar los puntos críticos, despejamos x: En el numerador: 𝑥 – 3 < 0 → 𝑥 – 3 + 3 < 0 + 3 → 𝑥 < 3 𝑥 + 2 < 0 → 𝑥 + 2 − 2 < 0 − 2 → 𝑥 < − 2 En el denominador: 𝒙 − 𝟎 < 0 → 𝑥 < 0 𝒙 − 𝟏 < 0 → 𝑥 − 1 + 1 < 0 + 1 → 𝑥 < 1 Estos puntos dividen la recta real en cinco intervalos y se prueba para determinar los intervalos solución.

(− ∞,−2) 𝑥 = − 3. Se sustituye: (−3)2 – (−3)– 6

(3)2 – (−3) < 0 → 6 9

< 0 → 23

< 0. Es falso


(− 2, 0) 𝑥 = − 1. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: (−1)2 – (−1) − 6

(−1)2 – (−1) < 0 →

−4 2

< 0 → −2 < 0.𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(0, 1) 𝑥 = 12

. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: (12) 2– (1

2) − 6

(12)2 – (1

2) < 0 →

(−254 )

(−14 )

< 0 → 25 < 0. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

(1, 3) 𝑥 = 2. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: (2)2 – (2) − 6

(2)2 – (2)< 0 →

−4 2

< 0 → −2 < 0. 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(3,∞) 𝑥 = 4. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: (4)2 – (4) − 6

(4)2 – (4) < 0 →

4 10

< 0 → 25

< 0. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑆 = (− 2, 0) 𝑈 (1, 3).

Puedes ahora comprobar utilizando la fórmula de la resolvente.

Resolver las siguientes inecuaciones expresando por escrito las operaciones que realices aplicando las reglas para resolver inecuaciones. Señala el conjunto solución S y representa gráficamente. Verifica el resultado con un ejemplo y un contraejemplo. (Ver soluciones en la página 83). Comprueba si el análisis hecho al final de los tres ejemplos anteriores se aplica para estos ejercicios. Mientras realizas los ejercicios compara los resultados con las soluciones e identifica discrepancias y tipos de errores cometidos. Es importante estar muy consciente de los errores para poderlos eliminar. Si resuelves todos estos ejercicios correctamente, estarás en condiciones de elaborar uno del mismo tipo. Dáselo a un compañero para que lo resuelva a ver si está bien planteado.

𝑎) 𝑥2 – 𝑥 – 2

𝑥 – 1 ≤ 2 𝑏) 2𝑥 + 5 𝑥 + 1 > 𝑥 + 1

𝑥 − 1

4. Valor absoluto 4.1.Definición:

“Todo número “a” tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto “a” al origen (cero).


Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del punto -3 al origen es 3. En notación, esto es │3│ = 3 y │ − 3│ = 3. Las barras se leen como el valor absoluto de lo que está dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en qué lado de la recta real está representado el número, siempre el resultado va a ser positivo. Analíticamente podemos ver que si “a” es positivo, es decir está a la derecha del cero, entonces │𝑎│ = 𝑎 y si está a la izquierda del origen, es decir si “a” es negativo, entonces │ − 𝑎│ = − (− 𝑎), es decir, │ − 𝑎│ = 𝑎.

Esto lo escribimos en la siguiente definición: Sea x un número real,

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 │𝑥│ = − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

Aplicando la definición al caso anterior tendríamos: │4│ = 4 │ − 4│ = − (−4) = 4

4.1.Teoremas: a) No negatividad: │𝑎│ ≥ 0 b) Igualdad a cero: │𝑎│ = 0 ↔ 𝑎 = 0 𝑦 │𝑎 − 𝑏│ = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏 c) Preservación de la multiplicación: │𝑎 . 𝑏│ = │𝑎│.│𝑏│

d) Preservación de la división: 𝑎𝑏

= │𝑎││𝑏│

d) Desigualdad triangular de la adición: │𝑎 + 𝑏│ ≤ │𝑎│ + │𝑏│ e) Desigualdad triangular de la sustracción “menor que”: │𝑎 − 𝑏│ ≤ │𝑎│ + │𝑏│ f) Desigualdad de la sustracción “mayor que”: │𝑎 − 𝑏│ ≥ ││𝑎│ + │𝑏││ g) Simetría: │ − 𝑎│ = │𝑎│

Para la resolución de inecuaciones con valor absoluto: 𝒊.│𝒙│ ≤ 𝒂 ↔ − 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂

𝒋.│𝒙│ ≥ 𝒂 ↔ 𝒙 ≥ 𝒂 𝒐 𝒙 ≤ − 𝒂


4.2.Ejercicios de resolución de inecuaciones con valor absoluto: Para resolver las inecuaciones con valor absoluto utilizamos, además de las reglas señaladas en la página 7, la definición de valor absoluto y los teoremas descritos anteriormente, en particular los señalados con la letra i y j. Los ejercicios se clasificarán por las siguientes categorías: inecuaciones lineales, inecuaciones racionales e inecuaciones cuadráticas. 4.2.1. Inecuaciones lineales con valor absoluto: Primero se presentaran las inecuaciones donde se puede aplicar la propiedad i. Luego presentaremos los ejercicios donde se puede aplicar la propiedad j y finalmente los ejercicios que se resuelven utilizando la definición de valor absoluto. 4.3.1.1. Ejercicios donde se puede aplicar: │𝒙│ ≤ 𝒂 ↔ − 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂

Ejemplo a)

Antes de resolver este ejercicio, ingresa al vínculo que te presentamos a continuación: http://www.youtube.com/watch?v=HA3Vgrb3U-c&feature=related

│𝒙 − 𝟐│ ≤ 𝟑 − 3 ≤ 𝑥 − 2 ≤ 3 − 3 + 2 ≤ 𝑥 − 2 + 2 ≤ 3 + 2 − 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓 𝑆 = [− 1, 5]

Verificación: Ejemplo: 𝑥 = 1 → │1 − 2│ ≤ 3 → │ − 1│ ≤ 3 → 1 ≤ 3 Contraejemplo: 𝑥 = 6 → │6 − 2│ ≤ 3 → │4│ ≤ 3 → 4 ≤ 3 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. Ejemplo b) │𝟐𝒙 + 𝟏│ ≤ 𝟏

− 1 ≤ 2𝑥 + 1 ≤ 1

− 1 − 1 ≤ 2𝑥 + 1 − 1 ≤ 1 − 1

− 2 ≤ 2𝑥 ≤ 0

http://www.youtube.com/watch?v=HA3Vgrb3U-c&feature=related�


− 2 .12

≤ 2𝑥 . 12

≤ 0 .12

− 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎 𝑆 = [− 1, 0]

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → │2(0) + 1│ ≤ 1 → │ 1│ ≤ 1 → 1 ≤ 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → │2(1) + 1│ ≤ 1 → │ 2│ ≤ 1 → 2 ≤ 1, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. Ejemplo c)

� 𝒙𝟑

+ 𝟐� < 1

− 1 ≤ 𝑥 3

+ 2 < 1

− 1 − 2 ≤ 𝑥 3

+ 2 − 2 < 1 – 2

− 3 ≤ 𝑥3

< – 1

− 3 . 3 ≤ 𝑥 3

. 3 < – 1 . 3

− 9 < 𝑥 < – 3

𝑺 = (−𝟗,−𝟑)

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 6 → �− 6 3

+ 2 � < 1 → │0│ < 1 → 0 < 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 3 → � 33

+ 2 � < 1 → │3│ < 1 → 3 < 1, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Ejemplo d)

𝟏 + │𝟐𝒙 − 𝟑│ < 4


1 + │ 2𝑥 – 3 │ − 1 < 4 – 1

│ 2𝑥 – 3 │ < 3

− 3 ≤ 2𝑥 − 3 ≤ 3

− 3 + 3 ≤ 2𝑥 − 3 + 3 ≤ 3 + 3

0 ≤ 2𝑥 ≤ 6

0 ≤ 𝑥 ≤ 3

𝑺 = (𝟎,𝟑)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 1 + │2( 1 ) − 3│ < 4 → 1 + │ − 1│ < 4 → 2 < 4. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 4 → 1 + │2( 4 ) − 3│ < 4 → 1 + │5│ < 4 → 6 < 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.




a) │5 − 2𝑥│ ≤ 7 b) │2𝑥 – 3│ < − 5

Los conocimientos se adquieren y pasan a la memoria a largo plazo sólo cuando los hemos trabajado a profundidad, es decir, cuando hemos utilizado estrategias de pensamiento tales como la OBSERVACION detallada de la expresión matemática.

2. Inecuaciones lineales con valor absoluto donde se aplica:

│𝒙│ ≥ 𝒂 ↔ 𝒙 ≥ 𝒂 𝒐 𝒙 ≤ − 𝒂

Ejemplo a) |𝟐𝒙 – 𝟕| > 3


2𝑥 – 7 > 3

2𝑥 – 7 + 7 > 3 + 7

2𝑥 > 10

2𝑥 .12

> 10 .12

𝑥 > 5

𝑆 = (5 ,∞)

2𝑥 – 7 < − 3

2𝑥 – 7 + 7 < − 3 + 7

2𝑥 < 4

2𝑥 .12

< 4 .12

𝑥 < 2

𝑆 = ( − ∞, 2)

𝑺 = (− ∞,𝟐) 𝑼 (𝟓,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → |2(1) – 7| > 3 → | − 5| > 3 → 5 > 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝑥 = 6 → |2(6) – 7| > 3 → |5| > 3 → 5 > 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 3 → |2(3) – 7| > 3 → | − 1| > 3 → 1 > 3, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Ejemplo b)

��𝒙 𝟐� + 𝟕 � ≥ 𝟐

𝑥 2

+ 7 ≥ 2

𝑥2

+ 7 − 7 ≥ 2 − 7

𝑥2

≥ − 5

𝑥2

. 2 ≥ − 5 . 2

𝑥 ≥ − 10

𝑆 = [−10 ,∞)

𝑥 2

+ 7 ≤ − 2

𝑥 2

+ 7 − 7 ≤ − 2 − 7

𝑥 2

≤ − 9

𝑥 2

. 2 ≤ − 9 . 2

𝑥 ≤ − 18 𝑆 = ( − ∞,−18]

𝑺 = (− ∞,−𝟏𝟖] 𝑼 [−𝟏𝟎,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −20 → | − 20/2 + 7| ≥ 2 → | − 3| > 2 → 3 ≥ 2. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.


𝑥 = 4 → |4/2 + 7| ≥ 2 → |9| > 2 → 9 ≥ 2. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −12 → | − 12/2 + 7| ≥ 2 → |1| > 2 → 1 ≥ 2, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. Ejemplo c)

�(𝟑𝒙 + 𝟕)

𝟒 � > √−𝟐𝟕𝟑

�(3𝑥 + 7)

4� > −3

(3𝑥 + 7) 4

> − 3

4.(3𝑥 + 7)

4 > − 3 . 4

3𝑥 + 7 > − 12

3𝑥 + 7 − 7 > − 12 − 7

3𝑥 > − 19

3𝑥 .13

> − 19 .13

𝑥 > − 19

3

𝑆 = (−19

3 ,∞)

(3𝑥 + 7)4

< 3

4.(3𝑥 + 7)

4 < 3 . 4

3𝑥 + 7 > 12

3𝑥 + 7 − 7 < 12 − 7

3𝑥 < 5

3𝑥 .13

< 5 .13

𝑥 < 53

𝑆 = ( − ∞,53

)

𝑺 = (− ∞,𝟓𝟑

) 𝑼 (−𝟏𝟗𝟑

,∞) = (− ∞,∞)

Como esta inecuación es “mayor que”, corresponde al tipo │𝒙│ ≥ 𝒂 ↔ 𝒙 ≥ 𝒂 𝒚 𝒙 ≤ − 𝒂 que implica la unión de los intervalos, quedando entonces en este caso de (− ∞,∞), aunque las soluciones parciales se interceptan.

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 9 → �(3(9) + 7)

4� > − 3 → �

344

� > − 3 → 344

> − 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝑥 = −10 → �(3(−10) + 7)

4 � > − 3 → �

−234� > − 3 →

234

> − 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.


𝑥 = −1 → �(3(−1) + 7)

4� > − 3 → |1| > − 3 → 1 > − 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

Contraejemplo: No es necesario hacerlo ya que la solución incluye todos los números reales. Ejemplo d) 𝟐|𝟑 − 𝒙| − 𝟏𝟎 ≥ 𝟎 2|3 − 𝑥| − 10 + 10 ≥ 0 + 10 2|3 − 𝑥| ≥ 10 2(3 – 𝑥) ≥ 10

2(3 – 𝑥) .12≥ 10 .

12

3 – 𝑥 ≥ 5

3 – 𝑥 – 3 ≥ 5 − 3

– 𝑥 ≥ 2

– 𝑥 .−1 ≥ 2 .−1

𝑥 ≤ − 2 𝑆 = (− ∞,−2]

2(3 – 𝑥) ≤ − 10

2(3 – 𝑥) ≤ −10

2(3 – 𝑥).12

≤ −10 .12

3 – 𝑥 ≤ − 5

3 – 𝑥 – 3 ≤ − 5 − 3

– 𝑥 ≤ −8

– 𝑥 .−1 ≤ −8 .−1

𝑥 ≥ 8

𝑆 = [ 8,∞)

𝑺 = (− ∞,−𝟐] 𝑼 [𝟖,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −2 → 2 |3 – ( −2)| − 10 ≥ 0 → 2|5| − 10 ≥ 0 → 0 ≥ 0. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝑥 = 10 → 2 |3 – 10| − 10 ≥ 0 → 2| − 7| − 10 ≥ 0 → 4 ≥ 0. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → 2 |3 – 0| − 10 ≥ 0 → 2|3| − 10 ≥ 0 → −4 ≥ 0, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Ejemplo e) �(𝟐𝒙 + 𝟏)𝟔 𝟔 > 3

Aplicando las propiedades de las raíces: |2𝑥 + 1| > 3


2𝑥 + 1 > 3

2𝑥 + 1 – 1 > 3 – 1

2𝑥 > 2

2𝑥 .12

> 2 .12

𝑥 > 1 𝑆 = (1 ,∞)

2𝑥 + 1 < − 3

2𝑥 + 1 – 1 < − 3 − 1

2𝑥 < − 4

2𝑥 .12

< − 4 .12

𝑥 < − 2 𝑆 = ( − ∞,−2)

𝑺 = (− ∞,−𝟐) 𝑼 (𝟏,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −3 → |2(−3) + 1| > 3 → | − 5| > 3 → 5 > 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝑥 = 2 → |2(2) + 1| > 3 → |5| > 3 → 5 > 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → |2(0) + 1| > 3 → |1| > 3 → 1 > 3, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. Ejemplo f)

��𝒙 𝟐

+ 𝟐𝟑�𝟐

≥ 𝟏

Aplicando las propiedades de las raíces:

�𝑥2

+ 23� ≥ 1

𝑥2

+ 23

≥ 1

𝑥2

+ 2 3

– 23

≥ 1 – 23

𝑥2

≥ 13

𝑥2

. 2 ≥ 13

. 2

𝑥 ≥ 2 3

𝑥2

+ 23

≤ −1

𝑥 2

+ 23

– 23

≤ −1 – 23

𝑥2

≤ − 5

3

𝑥2

. 2 ≤ − 53

. 2

𝑥 ≤ −103


𝑆 = �23� ,∞) 𝑆 = ( − ∞,− �

103�

𝑺 = (− ∞,−𝟏𝟎/𝟑] 𝑼 [𝟐/𝟑,∞)

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −4 → �−42

+ 23

� ≥ 1 → �−43

� ≥ 1 → 43

≥ 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝑥 = 1 → �12

+ 23� ≥ 1 → �

76� ≥ 1 →

76

≥ 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → �02

+ 23� ≥ 1 → �

23� ≥ 1 →

23

≥ 1, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.


4.2.2. Inecuaciones lineales con valor absoluto donde se aplica la definición para su resolución:

Ejemplo a) |𝑥| + 3 ≥ 2𝑥 Recordemos la definición de valor absoluto: Sea x un número real, 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 │𝑥│ = − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0 Entonces tenemos para este ejercicio: 𝑥 + 3 ≥ 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 │𝑥│ + 3 ≥ 2𝑥 = − 𝑥 + 3 ≥ 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0


Esto divide la recta real en dos intervalos. Cuando 𝑥 < 0, se utiliza la expresión – 𝑥 en la ecuación original del enunciado del ejercicio sustituyendo a |𝑥|. Se resuelve la inecuación y el intervalo que da se intercepta con el intervalo determinado por la aplicación de la definición de valor absoluto y esto nos da el intervalo solución de esta parte.

Para la segunda parte, cuando 𝑥 ≥ 0, se utiliza la expresión x en la ecuación original del enunciado del ejercicio sustituyendo a |𝑥|. Se resuelve la inecuación y el intervalo que da se intercepta con el intervalo determinado por la aplicación de la definición de valor absoluto y esto nos da el intervalo solución de esta parte.

La respuesta viene dada por la unión de ambos intervalos parciales.

−∞ 0 +∞ |𝑥| − 𝑥 𝑥

|𝑥| + 3 ≥ 2𝑥 − 𝑥 + 3 ≥ 2𝑥

− 𝑥 − 2𝑥 ≥ − 3

− 3𝑥 ≥ − 3

3𝑥 ≤ 3

𝑥 ≤ 1 𝑆 = (− ∞, 1] ∩ (−∞, 0) 𝑆1 = (−∞, 0)

𝑥 + 3 ≥ 2𝑥

𝑥 − 2𝑥 ≥ − 3

− 𝑥 ≥ − 3

𝑥 ≤ 3 𝑆 = (− ∞, 3] ∩ [0,∞) 𝑆2 = [0, 3]

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 = (−∞,𝟎] 𝑼 [𝟎,𝟑] = ( −∞,𝟑]

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → │2│ + 3 ≥ 2 (2) → 2 + 3 ≥ 4 → 5 ≥ 4. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 4 → │4│ + 3 ≥ 2 (4) → 4 + 3 ≥ 8 → 7 ≥ 8, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. Ejemplo b) │𝒙 − 𝟓│ ≤ 𝟐𝒙 + 𝟐 𝑥 – 5 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5 │𝑥 − 5│= − (𝑥 – 5) 𝑠𝑖 𝑥 < 5


−∞ 5 +∞ |𝑥 – 5| − (𝑥 – 5) (𝑥 – 5)

|𝑥 – 5| ≤ 2𝑥 + 2 − 𝑥 + 5 ≤ 2𝑥 + 2

− 𝑥 – 2𝑥 ≤ 2 – 5

– 3𝑥 ≤ − 3

3𝑥 ≥ 3

𝑥 ≥ 1 𝑆 = [1,∞) ∩ (−∞, 5)

𝑆1 = [1, 5)

𝑥 – 5 ≤ 2𝑥 + 2

𝑥 – 2𝑥 ≤ 2 + 5

– 𝑥 ≤ 7

𝑥 ≥ − 7 𝑆 = [−7,∞) ∩ [5,∞)

𝑆2 = [5,∞)

S = S1 U S2 = [1, 5) U [5, ∞) = [1, ∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → │2 − 5│ ≤ 2 (2) + 2 → │ − 3│ ≤ 6 → 3 ≤ 6. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → │0 − 5│ ≤ 2 (0) + 2 → │ − 5│ ≤ 2 → 5 ≤ 2, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Ejemplo c) │1 - x│< 4x + 1

1 – 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1 │1 − 𝑥│= −(1 – 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

Observa que al despejar 𝑥 se cambia la dirección de la inecuación.

−∞ 1 +∞ |1 – 𝑥| (1 – 𝑥) −(1 – 𝑥)

|1 – 𝑥| < 4𝑥 + 1 1 – 𝑥 < 4𝑥 + 1

– 𝑥 – 4𝑥 < 1 − 1

– 5𝑥 < 0

5𝑥 > 0 𝑥 > 0 𝑆 = (0,∞) ∩ (−∞, 1)

−1 + 𝑥 < 4𝑥 + 1

−4𝑥 + 𝑥 < 1 + 1

−3𝑥 < 2

3𝑥 > − 2

𝑥 > − 23


𝑆1 = (0 , 1) 𝑆 = �−23� ,∞) ∩ [1,∞)

𝑆2 = [1,∞)

S = S1 U S2 = (0, 1) U [1, ∞) = (0, ∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → │1 − 1│ < 4 (1) + 1 → │0│ < 5 → 0 < 5. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −1 → │1 – (− 1)│ < 4 (−1) + 1 → │2│ < −3 → 2 < −3, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Ejemplo d) │4 - x│+ │2x – 1 │ ≤ 4x 4 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 4 │4 − 𝑥│= − (4 – 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4

2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

2

│2𝑥 − 1│=

− (2𝑥 – 1) 𝑠𝑖 𝑥 < 12

−∞ 12 4 +∞

|4 – 𝑥| (4 – 𝑥) (4 – 𝑥) − (4 – 𝑥) |2𝑥 – 1| − (2𝑥 – 1) (2𝑥 – 1) (2𝑥 – 1)

|4 – 𝑥| + |2𝑥 – 1| ≤ 4𝑥 4 – 𝑥 − 2𝑥 + 1 ≤ 4𝑥

– 𝑥 − 2𝑥 – 4𝑥 ≤ −4 − 1

– 7𝑥 ≤ − 5

7𝑥 ≥ 5

𝑥 ≥ 5 7

𝑆 = �57� ,∞) ∩ (−∞, �

12�

𝑆1 = Ø

4 – 𝑥 + 2𝑥 − 1 ≤ 4𝑥

– 𝑥 + 2𝑥 – 4𝑥 ≤ −4 + 1

– 3𝑥 ≤ − 3

3𝑥 ≥ 3

𝑥 ≥ 1

𝑆 = [1,∞) ∩ �12� , 4)

𝑆2 = [1, 4)

−4 + 𝑥 + 2𝑥 − 1 ≤ 4𝑥

−4𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 ≤ 4 + 1

−𝑥 ≤ 5

𝑥 ≥ − 5 𝑆 = [−5,∞) ∩ [4,∞) 𝑆3 = [4,∞)

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = Ø 𝑼 [𝟏,𝟒) 𝑼 [𝟒,∞) = [𝟏,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → |4 – 2| + |2(2) – 1| ≤ 4(2) → |2| + | 3| ≤ 8 → 5 ≤ 8. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → |4 – 0| + |2(0) – 1| ≤ 4(0) → |4| + | − 1| ≤ 0 → 5 ≤ 0, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.


Ejemplo e) |𝟒 − 𝒙| + |𝟐𝒙 – 𝟓| ≥ 𝟕 − 𝒙 4 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 4 │4 − 𝑥│= − (4 – 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4

2𝑥 − 5 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5/2 │2x - 1│= − (2𝑥 – 5) 𝑠𝑖 𝑥 < 5/2

−∞ 52 4 +∞

|4 – 𝑥| (4 – 𝑥) (4 – 𝑥) − (4 – 𝑥) |2𝑥 – 5| − (2𝑥 – 5) (2𝑥 – 5) (2𝑥 – 5)

|4 – 𝑥| + |2𝑥 – 5| ≥ 7 − 𝑥 4 – 𝑥 − 2𝑥 + 5 ≥ 7 − 𝑥

– 𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 ≥ 7 – 4 − 5

– 2𝑥 ≥ − 2

2𝑥 ≤ 2

𝑥 ≤ 1

𝑆 = ( −∞, 1] ∩ (−∞, �52�

𝑆1 = ( −∞, 1]

4 – 𝑥 + 2𝑥 − 5 ≥ 7 − 𝑥

– 𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 ≥ −4 + 7 + 5

2𝑥 ≥ 8

𝑥 ≥ 4

𝑆 = [4,∞) ∩ �52� , 4)

𝑆2 = Ø

−4 + 𝑥 + 2𝑥 − 5 ≥ 7 − 𝑥

𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 ≥ 7 + 5 + 4

4𝑥 ≥ 16

𝑥 ≥ 4 𝑆 = [4 ,∞) ∩ [4,∞)

𝑆3 = [4,∞)

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = (− ∞,𝟏] 𝑼 Ø 𝑼 [𝟒,∞) = (− ∞,𝟏] 𝑼 [𝟒,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → |4 – 1| + |2(1) – 5| ≥ 7 – 1 → |3| + | − 3| ≥ 6 → 6 ≥ 6. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → |4 – 2| + |2(2) – 5| ≥ 7 – 2 → |2| + | − 1| ≥ 5 → 3 ≥ 5, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Resolver las siguientes inecuaciones expresando por escrito las operaciones que realices aplicando las reglas para resolver inecuaciones. Señala el conjunto solución S y representa gráficamente. Verifica el resultado con un ejemplo y un contraejemplo. (ver soluciones en la página 88).

Mientras realizas los ejercicios compara los resultados con las soluciones e identifica discrepancias y tipos de errores cometidos. Es importante estar muy consciente de los errores para poderlos eliminar. Si resuelves todos estos ejercicios correctamente, estarás en condiciones de elaborar uno del mismo tipo. Dáselo a un compañero para que lo resuelva a ver si está bien planteado.

a) |𝑥 − 2| ≤ |2𝑥 + 1| b) |2𝑥 + 4| − |𝑥 – 1| < 4

Ya tienes ejemplos de cómo hacer análisis de expresiones matemáticas similares y como llegar a conclusiones.


4.2.3. Inecuaciones racionales con valor absoluto:

Ejemplo a)

�𝟒𝒙 − 𝟖 𝟑𝒙 + 𝟗 �

< 3

4𝑥 − 8 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 │4𝑥 − 8│ = − (4𝑥 – 8) 𝑠𝑖 𝑥 < 2

3𝑥 + 9 𝑠𝑖 𝑥 ≥ − 3 │3𝑥 + 9│ = − (3𝑥 + 9) 𝑠𝑖 𝑥 < − 3

-∞ -3 2 +∞ |4x – 8| - (4x – 8) - (4x – 8) (4x – 8) |3x + 9| - (3x + 9) (3x + 9) (3x + 9)

�4𝑥 – 8 3𝑥 + 9

� < 3 − (4𝑥 – 8) − (3𝑥 + 9)

< 3

− 4𝑥 + 8 < 3(− 3𝑥 − 9)

− 4𝑥 + 8 < − 9𝑥 − 27

− 4𝑥 + 9𝑥 < − 27 − 8

5𝑥 < − 35

𝑥 < − 7 𝑆 = ( −∞,−7) ∩ (−∞,−3)

𝑆1 = ( −∞,−7)

− (4𝑥 – 8) (3𝑥 + 9)

< 3

− 4𝑥 + 8 < 3(3𝑥 + 9)

− 4𝑥 + 8 < 9𝑥 + 27

− 4𝑥 − 9𝑥 < 27 − 8

− 13𝑥 < 19

13𝑥 > −19

𝑥 > −19 13

𝑆 = �−1913� ,∞) ∩ [−3, 2)

𝑆2 = �−1913� , 2) – {−3}

(4𝑥 – 8) (3𝑥 + 9)

< 3

4𝑥 − 8 < 3(3𝑥 + 9)

4𝑥 − 8 < 9𝑥 + 27

4𝑥 − 9𝑥 < 27 + 8

− 5𝑥 < 35

5𝑥 > − 35

𝑥 > − 7 𝑆 = (− 7 ,∞) ∩ [2,∞)

𝑆3 = (2,∞)

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = (− ∞,− 𝟕) 𝑼 �− 𝟏𝟗𝟏𝟑� ,𝟐) 𝑼 (𝟐,∞) – {−𝟑} = (− ∞,−𝟕) 𝑼 �− 𝟏𝟗

𝟏𝟑� ,∞) − {𝟑}

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −8 → �4(−8) – 8 3(−8) + 9

� < �−40−15

� < 3 → 4015

< 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −2 → �4(−2) – 8 3(−2) + 9

� < �−16

3� < 3 →

163

< 3, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.


𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → �4(2) – 8 3(2) + 9

� < � 0

15� < 3 → 0 < 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

Ejemplo b)

�𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟓

� ≤ 𝟏

𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 │𝑥 − 3│= − (𝑥 – 3) 𝑠𝑖 𝑥 < 3

𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 ≥ − 5 │𝑥 + 5│= − (𝑥 + 5) 𝑠𝑖 𝑥 < − 5

−∞ −5 3 +∞

|𝑥 – 3| − (𝑥 – 3) − (𝑥 – 3) (𝑥 – 3) |𝑥 + 5| − (𝑥 + 5) (𝑥 + 5) (𝑥 + 5)

�𝑥 – 3 𝑥 + 5

� ≤ 1 − (𝑥 – 3) − (𝑥 + 5)

≤ 1

− 𝑥 + 3 −𝑥 − 5

− 1 ≤ 0

− 𝑥 + 3 − 𝑥 − 5

≤ 1

− 𝑥 + 3 ≤ 1(− 𝑥 − 5)

− 𝑥 + 𝑥 ≤ − 5 − 3

0 ≤ − 8 𝑆 = (Ø) ∩ (−∞,−5) 𝑆1 = (Ø)

− (𝑥 – 3) (𝑥 + 5)

≤ 1

− 𝑥 + 3 ≤ 1(𝑥 + 5)

− 𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 5

− 𝑥 − 𝑥 ≤ 5 − 3

− 2𝑥 ≤ 2

2𝑥 ≥ −2

𝑥 ≥ −1 𝑆 = [−1,∞) ∩ [−5, 3) 𝑆2 = [−1, 3) – {−5}

(𝑥 – 3) (𝑥 + 5)

≤ 1

𝑥 − 3 ≤ 1(𝑥 + 5)

𝑥 − 3 ≤ 𝑥 + 5

𝑥 − 𝑥 ≤ 5 + 3

0 ≤ 8 𝑆 = (− ∞,∞) ∩ [3,∞) 𝑆3 = [3,∞)

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = (Ø) 𝑼 [−𝟏,𝟑) 𝑼 [𝟑,∞)– {−𝟓} = [−𝟏,∞)

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → �(0) – 3 (0) + 5

� ≤ 1 → �−35� ≤ 1 →

35

≤ 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −2 → �(−2) – 3 (−2) + 5

� ≤ 1 → �−53� ≤ 1 →

53

≤ 1, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.


Ejemplo c) |𝟑𝒙 + 𝟐| − 𝒙

𝟐𝒙 + 𝟓≤ 𝟏

3𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ − 2/3 │3𝑥 + 2│= − (3𝑥 + 2) 𝑠𝑖 𝑥 < −2/3

2𝑥 + 5 = 0

2𝑥 = −5

𝑥 = −52

−∞ −5/2 −2/3 +∞ |3𝑥 + 2| − (3𝑥 + 2) − (3𝑥 + 2) (3𝑥 + 2) 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5

|3𝑥 + 2| − 𝑥 2𝑥 + 5

≤ 1 − (3𝑥 + 2) − 𝑥

2𝑥 + 5 ≤ 1

− 3𝑥 − 2 − 𝑥2𝑥 + 5)

≤ 1

− 4𝑥 − 22𝑥 + 5

≤ 1

− 4𝑥 − 2 ≤ 1(2𝑥 + 5)

− 4𝑥 − 2 ≤ 2𝑥 + 5

− 4𝑥 − 2𝑥 ≤ 5 + 2

− 6𝑥 ≤ 7

− 𝑥 ≤ 76

𝑥 ≥ −76

𝑆 = �−76� ,∞) ∩ (−∞, �−

52�

𝑆1 = (Ø)

− (3𝑥 + 2) − 𝑥2𝑥 + 5)

≤ 1

− 3𝑥 − 2 − 𝑥2𝑥 + 5

≤ 1

− 4𝑥 − 22𝑥 + 5

≤ 1

− 4𝑥 − 2 ≤ 1(2𝑥 + 5)

− 4𝑥 − 2 ≤ 2𝑥 + 5

− 4𝑥 − 2𝑥 ≤ 5 + 2

− 6𝑥 ≤ 7

− 𝑥 ≤ 76

𝑥 ≥ −76

𝑆 = �−76� ,∞) ∩ �−

52� ,− �

23�

𝑆2 = �−76� , �−

23�

(3𝑥 + 2) − 𝑥

2𝑥 + 5 ≤ 1

2𝑥 + 22𝑥 + 5

≤ 1

2𝑥 + 2 ≤ 1(2𝑥 + 5)

2𝑥 + 2 ≤ 2𝑥 + 5

2𝑥 − 2𝑥 ≤ 5 − 2

0 ≤ 3

𝑆 = (− ∞,∞) ∩ �−23� ,∞)

𝑆3 = �−23� ,∞)

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = (Ø) 𝑼 �− 𝟕𝟔� ,− �𝟐

𝟑� 𝑼 �− 𝟐

𝟑� ,∞) – �− 𝟓

𝟐� = �− 𝟕

𝟔� ,∞)

Verificación: Ejemplo: x = 0 → |3(0)+2| - (0) /2(0)+ 5 ≤ 1→ |2| /5 ≤ 1→ 2 / 5 ≤ 1. Cierto. Contraejemplo: x = -2 → |3(-2)+2| - (-2) /2(-2)+ 5 ≤ 1→ |-4|+2 /1 ≤ 1→ 6 ≤ 1, lo cual es falso.


Ejemplo d) |𝒙 + 𝟒| − 𝒙

𝟐 − 𝒙 > 1

𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −4 │𝑥 + 4│= − (𝑥 + 4) 𝑠𝑖 𝑥 < −4

2 – 𝑥 = 0 – 𝑥 = −2 𝑥 = 2

−∞ −4 2 +∞ |𝑥 + 4| − (𝑥 + 4) (𝑥 + 4) (𝑥 + 4) 2 − 𝑥 2 − 𝑥 2 − 𝑥 2 − 𝑥

|𝑥 + 4| − 𝑥2 − 𝑥

> 1 −(𝑥 + 4) − 𝑥2 − 𝑥

> 1

−𝑥 − 4 − 𝑥2 − 𝑥

> 1

−2𝑥 − 42 − 𝑥

> 1

−2𝑥 − 4 > 1(2 − 𝑥)

−2𝑥 − 4 > 2 − 𝑥

−2𝑥 + 𝑥 > 2 + 4

−𝑥 > 6

𝑥 < − 6 𝑆 = ( −∞,−6) ∩ (−∞,−4)

𝑆1 = ( −∞,−6)

𝑥 + 4 − 𝑥2 − 𝑥

> 1

42 − 𝑥

> 1

4 > 1(2 − 𝑥)

4 > 2 − 𝑥

2 > −𝑥

−𝑥 < 2

𝑥 > −2

𝑆 = (−2,∞) ∩ [−4, 2)

𝑆2 = (−2, 2)

𝑥 + 4 − 𝑥2 − 𝑥

> 1

42 − 𝑥

> 1

4 > 1(2 − 𝑥)

4 > 2 − 𝑥

2 > −𝑥

−𝑥 < 2

𝑥 > −2

𝑆 = (− 2 ,∞) ∩ [2,∞)

𝑆3 = (2,∞)

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = (− ∞,− 𝟔) 𝑼 (−𝟐,𝟐) 𝑼 (𝟐,∞) – {𝟐} = (− ∞,−𝟔) 𝑼 (−𝟐,∞) − {𝟐}

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −8 → |(−8) + 4| − (−8)

2 – (−8)> 1 →

| − 4| + 810

> 1 → 1210

> 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −2 → |(−2) + 4| − (−2)

2 – (−2) > 1 →

|2| + 2 4

> 1 → 1 > 1, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → |(0) + 4| − (0)

2 – (0) > 1 →

|4| + 02

> 1 → 2 > 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

Los conocimientos se adquieren y pasa a la memoria a largo plazo solo cuando los hemos trabajado a profundidad, es decir, cuando hemos utilizado estrategias de pensamiento tales como la OBSERVACION y ANALISIS detallado de la expresión matemática.



𝑎) �𝑥 + 22𝑥 – 3� < 4 𝑏) �3𝑥 − 8

2𝑥 + 3 � < 4

4.2.4. Inecuaciones cuadráticas con valor absoluto: Ejemplo a) |𝒙𝟐 − 𝟏𝟎 𝒙 + 𝟐𝟎| ≤ 𝟒

(ver:http://www.youtube.com/profile?user=Naehmoz&src_vid=A1ky-KE5Rm4&feature=iv&annotation_id=annotation_334014#p/u/12/A1ky-KE5Rm4)

En este caso se aplica el teorema: │𝒙│ ≤ 𝒂 ↔ − 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂

− 4 ≤ 𝑥2 − 10 𝑥 + 20

− 4 − 𝑥2 + 10 𝑥 − 20 ≤ 0

− 𝑥2 + 10 𝑥 − 24 ≤ 0

𝑥2 − 10 𝑥 + 24 ≥ 0

(𝑥 – 4) (𝑥 – 6) ≥ 0

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → − 4 ≤ (0)2 − 10 (0) + 20

− 4 ≤ 20 𝐿𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Por el principio de la alternancia, los intervalos solución son:

𝑆1 = (− ∞, 4] 𝑈 [6,∞)

𝑥2 − 10 𝑥 + 20 ≤ 4

𝑥2 − 10 𝑥 + 20 – 4 ≤ 0

𝑥2 − 10 𝑥 + 16 ≤ 0

(𝑥 – 2) (𝑥 – 8) ≤ 0

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → (0) 2 − 10 (0) + 20 ≤ 4

20 ≤ 4 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜 Por el principio de la alternancia, los intervalos solución son:

𝑆2 = [2, 8]

𝑺𝑭 = 𝑺𝟏 ∩ 𝑺𝟐 = [𝟐,𝟒] 𝑼 [𝟔,𝟖]

http://www.youtube.com/profile?user=Naehmoz&src_vid=A1ky-KE5Rm4&feature=iv&annotation_id=annotation_334014#p/u/12/A1ky-KE5Rm4�

http://www.youtube.com/profile?user=Naehmoz&src_vid=A1ky-KE5Rm4&feature=iv&annotation_id=annotation_334014#p/u/12/A1ky-KE5Rm4�


Verificación: 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → |02 – 10(0) + 20| ≤ 4 → |20| ≤ 4 → 20 ≤ 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 3 → |32 – 10(3) + 20| ≤ 4 → | − 1| ≤ 4 → 1 ≤ 4. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 5 → |52 – 10(5) + 20| ≤ 4 → | − 5| ≤ 4 → 5 ≤ 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 7 → |72– 10(7) + 20| ≤ 4 → | − 1| ≤ 4 → 1 ≤ 4. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

Ejemplo b)

|𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟓| > 1

En este caso se aplica el teorema: │𝑥│ ≥ 𝑎 ↔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑦 𝑥 ≤ − 𝑎

𝑥2 − 5𝑥 + 5 > 1

𝑥2 − 5𝑥 + 5 – 1 > 0

𝑥2 − 5𝑥 + 4 > 0

(𝑥 – 1) (𝑥 – 4) > 0

Si x = 0 → (0)2 – 5(0) + 5 > 1 5 > 1 Lo cual es cierto Por el principio de la alternancia, los intervalos solución son: 𝑆1 = (− ∞, 1) 𝑈 (4,∞)

𝑥2 − 5𝑥 + 5 < −1

𝑥2 − 5𝑥 + 5 + 1 < 0

𝑥2 − 5𝑥 + 6 < 0

(𝑥 – 2) (𝑥 – 3) < 0

Si x = 0 → (0)2 – 5(0) + 5 < −1 5 < −1 lo cual es falso Por el principio de la alternancia, los intervalos solución son: 𝑆2 = (2, 3)

𝑺𝑭 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 = (− ∞,𝟏) 𝑼 (𝟐,𝟑) 𝑼 (𝟒,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → |02 – 5(0) + 5| > 1 → |5| > 1 → 5 > 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 32

→ ��32�2

– 5(32

) + 5� > 1 → �−14� > 1 →

14

> 1, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 52

→ ��52�2

– 5 �52� + 5� > 1 → �−

54� > 1 →

54

> 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.


Contraejemplo: 𝑥 = 72

→ ��72�2

– 5 �72� + 5� > 1 → �−

14� > 1 →

14


Ejemplo: 𝑥 = 5 → |(5)2 – 5(5) + 5| > 1 → |5| > 1 → 5 > 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.


Comprueba si el análisis hecho al final de los tres ejemplos anteriores se aplica para estos ejercicios. Mientras realizas los ejercicios compara los resultados con las soluciones e identifica discrepancias y tipos de errores cometidos. Es importante estar muy consciente de los errores para poderlos eliminar. Si resuelves todos estos ejercicios correctamente, estarás en condiciones de elaborar uno del mismo tipo. Dáselo a un compañero para que lo resuelva a ver si está bien planteado.

a) |𝑥2 − 2𝑥 − 4| > 4

b) |𝑥2 – 3| ≤ 2

Analiza las expresiones que comparten características similares y así podrás llegar a conclusiones.


IX. RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1. INECUACIONES LINEALES

1.1.Inecuaciones lineales No racionales 1.1.1. Inecuaciones cuya solución se expresa en intervalos abiertos no acotados.

Caso A: Desde el infinito negativo a un punto de la recta.

a) 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏 < 8𝒙 + 𝟓

10𝑥 + 1 – 8𝑥 < 8𝑥 – 8𝑥 + 5 (Sumo −8𝑥 a ambos lados)

2𝑥 + 1 < 0 + 5

2𝑥 + 1 − 1 < 5 – 1 (Sumo −1 a ambos lados)

2𝑥 < 4

2𝑥 �12� < 4 �

12� (Multiplico por

12)

2𝑥2

< 42

(simplifico)

𝒙 < 2

𝑆 = (− ∞, 2)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 10(1) + 1 < 8. (1) + 5 = 11 < 13 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 4 → 10(4) + 1 < 8. (4) + 5 = 41 < 37, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

b) 𝒙 – 𝟕 > 2𝒙 – 𝟓

𝑥 – 2𝑥 − 7 > 2𝑥 – 2𝑥 − 5

– 𝑥 − 7 > − 5

(Sumo −2𝑥 a ambos lados)

– 𝑥 − 7 + 7 > − 5 + 7 (Sumo 7 a ambos lados)

– 𝑥 > 2

– 𝑥 . (−1) > 2 . (−1) (Multiplico por −1 ambos lados)

𝒙 < − 2

𝑆 = (− ∞,− 2)


Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −3 → −3 – 7 > 2(−3) – 5 = −10 > −11

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → 0 – 7 > 2. (0) – 5 = −7 > −5 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 c) 𝟓𝒙 – 𝟑 > 6𝒙 – 𝟒

5𝑥 – 3 – 6𝑥 > 6𝑥 – 4 – 6𝑥 (Sumo −6𝑥 a ambos lados)

−𝑥 – 3 > −4

−𝑥 – 3 + 3 > −4 + 3 (Sumo 3 a ambos lados)

−𝑥 > −1

−𝑥 . (−1) > −1 . (−1) (Multiplico por −1 ambos lados)

𝒙 < 1

𝑆 = (− ∞, 1)

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → 5(0) – 3 > 6(0) – 4 = −3 > −4

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → 5(2) – 3 > 6(2) – 4 = 7 > 8, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. d) 𝟑𝒙 – 𝟓 > 4𝒙 – 𝟔

3𝑥 – 5 – 4𝑥 > 4𝑥 – 6 – 4𝑥 (Sumo −4𝑥 a ambos lados)

– 5 – 𝑥 > – 6

– 5 – 𝑥 + 5 > – 6 + 5 (Sumo 5 a ambos lados)

– 𝑥 > – 1

– 𝑥 . (−1) > – 1 . (−1) (Multiplico por −1 ambos lados)

𝒙 < 1

𝑆 = (− ∞, 1)

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −1 → 5(−1) – 3 > 6(−1) – 4 = −8 > −10 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 5(1) – 3 > 6(1) – 4 = 2 > 2, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

-∞ +∞0 1)

-∞ +∞0 1)


e) – 𝟒𝒙 + 𝟑 > 2𝒙 + 𝟓

– 4𝑥 + 3 – 2𝑥 > 2𝑥 + 5 – 2𝑥 (Sumo −2𝑥 a ambos lados)

– 6𝑥 + 3 > 5

– 6𝑥 + 3 – 3 > 5 – 3 (Sumo −3 a ambos lados)

– 6𝑥 > 2

– 6𝑥 . �16� > 2 �

16� �Multiplico por

16

ambos lados�

– 𝑥 . > 13

– 𝑥 . (−1) > 1/3 (−1) (Multiplico por −1 ambos lados)

𝒙 < −1/3

𝑆 = (− ∞,−1/3)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −1 → – 4(−1) + 3 > 2(−1) + 5 = 7 > 3 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → – 4(1) + 3 > 2(1) + 5 = −1 > 7, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. f) – 𝟐𝒙 + 𝟓 ≥ 𝟒𝒙 – 𝟑 – 2𝑥 + 5 – 4𝑥 ≥ 4𝑥 – 3 – 4𝑥 (Sumo −4𝑥 a ambos lados) – 6𝑥 + 5 ≥ – 3 – 6𝑥 + 5 – 5 ≥ – 3 – 5 (Sumo −5 a ambos lados) – 6𝑥 ≥ – 8

– 6𝑥 . �16� ≥ – 8 . �


16

ambos lados�

– 𝑥 ≥ – 43

– 𝑥 (−1) ≥ – 43

(−1) (Multiplico por − 1 ambos lados)

𝒙 ≤ 𝟒/𝟑 𝑆 = (− ∞, 4/3] Analiza las expresiones que comparten características similares y así podrás llegar a conclusiones.

-∞ +∞0-1

)


Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → – 2(0) + 5 ≥ 4(0) – 3 = 5 ≥ − 3. 𝐸𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → – 2(2) + 5 ≥ 4(2) – 3 = 1 ≥ 5, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. g) 𝟑𝒙 + 𝟓 < 𝟏

𝟒 (𝒙 – 𝟐)

(3𝑥 + 5). 4 < 14

(𝑥 – 2) . 4 (Multiplico por 4 ambos lados)

12𝑥 + 20 < 𝑥 – 2

12𝑥 + 20 – 𝑥 < 𝑥 – 2 – 𝑥 (Sumo −𝑥 a ambos lados)

11𝑥 + 20 < – 2

11𝑥 + 20 – 20 < – 2 – 20 (Sumo −20 a ambos lados)

11𝑥 < – 22

11𝑥 . �1

11� < – 22 . �


111

ambos lados�

11𝑥11

< – 2211

𝒙 < – 2 (Simplifico)

𝑆 = (− ∞,−2)

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 3 → 3(−3) + 5 < 14

((−3) – 2) = −4 < − 54

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → 3(0) + 5 <14

(0 – 2) = 5 < − 12

, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Los conocimientos se adquieren y pasan a la memoria a largo plazo solo cuando los hemos trabajado a profundidad, es decir, cuando hemos utilizado estrategias de pensamiento tales como la OBSERVACION, ANÁLISIS y SÍNTESIS detallada de la expresión matemática.

-∞ +∞0- 2)


Caso B: Desde un punto de la recta al infinito positivo.

a) 𝟓𝒙 – 𝟑 < 6𝒙 – 𝟒 `

5𝑥 – 3 − 6𝑥 < 6𝑥 – 4 − 6𝑥 (Sumo −6𝑥 a ambos lados)

− 𝑥 – 3 < – 4

− 𝑥 – 3 + 3 < – 4 + 3 (Sumo 3 a ambos lados)

− 𝑥 < – 1

− 𝑥 . (−1) < – 1 . (−1) (Multiplico por −1 ambos lados)

𝒙 > 1

𝑆 = (1,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → 5(2) − 3 < 6(2) – 4 = 7 < 8 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 5(1) − 3 < 6(1) – 4 = 2 < 2, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

b) −𝟐𝒙 + 𝟓 ≤ 𝟒𝒙 – 𝟑

− 2𝑥 + 5 − 4𝑥 ≤ 4𝑥 – 3 − 4𝑥 (Sumo −4𝑥 a ambos lados)

− 6𝑥 + 5 ≤ – 3

− 6𝑥 + 5 − 5 ≤ – 3 − 5 (Sumo −5 a ambos lados)

− 6𝑥 ≤ – 8

− 6𝑥 . �16

� ≤ – 8 . �16

� �Multiplico por 16

ambos lados�

− 𝑥 ≤ – 8/6

𝑥 . (−1) ≤ – 8/6 . (−1) (Multiplico por −1 ambos lados)

𝑥 ≥ 8/6

𝒙 ≥ 𝟒/𝟑 (simplifico)

𝑆 = [4/3,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → − 2(2) + 5 ≤ 4(2) – 3 = 1 ≤ 5 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → − 2(1) + 5 ≤ 4(1) – 3 = 3 ≤ 1, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.


c) −𝟒𝒙 + 𝟑 < 2𝒙 + 𝟓

− 4𝑥 − 2𝑥 + 3 ≤ 2𝑥 + 5 − 2𝑥 (Sumo −2𝑥 a ambos lados)

− 6𝑥 + 3 ≤ 5

− 6𝑥 + 3 − 3 ≤ 5 − 3 (Sumo −3 a ambos lados)

− 6𝑥 ≤ 2

6𝑥 ≥ − 2 (Multiplico por −1 ambos lados)

6𝑥 . �16� ≥ − 2 . �


16

ambos lados�

𝑥 ≥ – 26

𝒙 > −𝟏𝟑

(simpli�ico)

𝑆 = �−13� ,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → − 4 + 3 ≤ 2 + 5 → − 1 ≤ 7 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 1 → 4 + 3 ≤ −2 + 5 → 7 ≤ 3, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. d) 𝒙 − 𝟕 < 2𝒙 – 𝟓

𝑥 − 2𝑥 − 7 < 2𝑥 − 5 − 2𝑥 (Sumo −2𝑥 a ambos lados)

− 𝑥 − 7 < − 5

− 𝑥 − 7 + 7 < − 5 + 7 (Sumo 7 a ambos lados)

− 𝑥 < 2

𝒙 > − 2 (Multiplico por −1 ambos lados)

𝑆 = (− 2,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 1 → − 1 − 7 < − 2 − 5 → − 8 < − 7 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 3 → −3 − 7 < − 6 − 5 → − 10 < − 11, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.


e) 𝟑𝒙 + 𝟐 ≥ 𝟏

3𝑥 + 2 – 2 ≥ 1 − 2 (Sumo -2 a ambos lados)

3𝑥 ≥ − 1

3𝑥 . �13

� ≥ −1 . �13


ambos lados�

𝒙 ≥ − 𝟏𝟑

𝑆 = [− 1/3,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 3 + 2 ≥ 1 → 5 ≥ 1 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 1 → − 3 + 2 ≥ 1 → − 1 ≥ 1 , 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

f) 𝟕 + 𝟓𝒙 ≥ 𝟐𝒙 + 𝟗

7 + 5𝑥 – 2𝑥 ≥ 2𝑥 + 9 − 2𝑥 (Sumo −2 a ambos lados)

7 + 3𝑥 ≥ 9

7 – 7 + 3𝑥 ≥ 9 – 7 (Sumo – 7 a ambos lados)

3𝑥 ≥ 2

3𝑥 . �13� ≥ 2 . �


13

a ambos lados�

𝒙 ≥ 𝟐/𝟑

𝑆 = [2/3,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 7 + 5 ≥ 2 + 9 → 12 ≥ 11 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 1 → 7 – 5 ≥ −2 + 9 → 2 ≥ 7, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. g) 𝟑𝒙 + 𝟓 > 𝟏

𝟒(𝒙 − 𝟐)

4 (3𝑥 + 5) > 4 .𝟏𝟒

(𝑥 – 2) (Multiplico por 4 a ambos lados)

12𝑥 + 20 > 𝑥 − 2

12𝑥 – 𝑥 + 20 > 𝑥 − 𝑥 – 2 (Sumo – 𝑥 a ambos lados)

11𝑥 + 20 > – 2


11𝑥 + 20 − 20 > – 2 – 20 (Sumo – 20 a ambos lados)

11𝑥 > – 22

11𝑥 .1

11 > – 22 .

111

(𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑟 1

11 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠)

𝑥 > – 2211

𝒙 > − 2 (Simplifico)

𝑆 = (− 2, ∞)

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 1 → −3 + 5 > 14

(−3) → 2 > −34

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 3 → − 9 + 5 > 14

(−5) → − 4 ≥ − 54

, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

1.1.2. Inecuaciones acotadas (solución se expresa en un solo intervalo cerrado, abierto o semicerrado). a) −𝟑 < 1 − 6𝒙 ≤ 𝟒

−3 – 1 < 1 – 1 – 6 𝑥 ≤ 4 − 1 (Sumo − 1 a cada lado)

− 4 < – 6 𝑥 ≤ 3

− 4 . �16

� < – 6 𝑥 . �16

� ≤ 3 . �16


cada lado�

− 23

< – 𝑥 . ≤ 12

23

> 𝑥 ≥ − 12

(Multiplico por − 1 y ordeno)

− 𝟏𝟐

≤ 𝒙 < 𝟐𝟑

𝑆 = �− 12� , �

23�

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 12

→ − 3 < 1 – 3 ≤ 4 → − 3 < −2 ≤ 4. 𝐸𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → − 3 < 1 – 6 ≤ 4 → − 3 < − 5 ≤ 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.


b) – 𝟒 < 3𝒙 + 𝟐 < 5

− 4 – 2 < 3𝑥 + 2 − 2 < 5 − 2 (Sumo − 2 a cada lado)

− 6 < 3𝑥 < 3

− 6 . �13� < 3𝑥 . �

13� ≤ 3 . �


13

cada lado�

− 63

< 3𝑥3

≤ 33

− 𝟐 < 𝑥 < 1 (Simplifico)

𝑆 = (− 2, 1)

Verificación:


→ − 4 < 32

+ 2 < 5 → − 4 < 52

≤ 5. 𝐸𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −3 → − 4 < – 11 < 5, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

b) 𝟒 < 5 − 3𝒙 < 7

4 – 5 < 5 – 5 – 3𝑥 < 7 − 5 (Sumo - 5 a cada lado)

− 1 < – 3 𝑥 ≤ 2

− 1 . �13� < – 3𝑥 . �

13� ≤ 2 . �


13

cada lado�

− 13

< – 𝑥 . ≤ 23

13

> 𝑥 > − 23

(Multiplico por − 1)

− 𝟐𝟑

< 𝑥 < 13

(𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑜)

𝑆 = (− 𝟐𝟑

,13

)

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 1 → 4 < 5 – 3 (−12

) < 7 → 4 < 5 + 32

< 7 → 4 < 132

< 7. 𝐸𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 4 < 5 – 3 < 7 → 4 < 2 < 7, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.


d) 𝟓 ≥ − 𝟐𝒙 − 𝟔 > − 4

5 + 6 ≥ − 2𝑥 − 6 + 6 > − 4 + 6 (Sumo 6 a cada lado)

11 ≥ – 2𝑥 > 2

11 . �12� < – 2𝑥 . �

12� ≤ 2 . �


12

cada lado�

112

< – 𝑥 ≤ 1

− 𝟏𝟏𝟐

≤ 𝒙 < −1 (Multiplico por − 1 y ordeno)

𝑆 = [− 𝟏𝟏𝟐

,−1)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 2 → 5 ≥ − 2 (−2) − 6 > − 4 → 5 ≥ − 2 > − 4. 𝐸𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 5 ≥ − 2 − 6 > − 4 → 5 ≥ − 8 > − 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. e) 𝟒 > − 3𝒙 − 𝟐 > − 5

4 + 2 > − 3𝑥 − 2 + 2 > − 5 + 2 (Sumo 2 a cada lado)

6 > −3𝑥 > −3

6 . �13� > −3𝑥 . �

13� > −3 . �


13

cada lado�

2 > −𝑥 > −1

− 𝟐 < 𝑥 < 1 (Multiplico por −1 cada lado)

𝑆 = (− 2, 1)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −1 → 4 > 1 > − 5. 𝐸𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → 4 > − 8 > − 5, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. f) 𝟑 > − 1 + 6𝒙 ≥ − 𝟒

3 + 1 > −1 + 6 𝑥 + 1 ≥ − 4 + 1 (Sumo 1 a cada lado)

4 > 6 𝑥 ≥ − 3

4 . �16� > 6 𝑥 . �

16� ≥ − 3 . �

16� (Multiplico por

16

cada lado)


46

> 𝑥 . ≥ − 36

23

> 𝑥 ≥ − 12

(Simpli�ico)

− 𝟏𝟐≤ 𝒙 <

𝟐𝟑

(Ordeno)

𝑆 = [− 𝟏𝟐

,𝟐𝟑

)

Verificación:


→ 3 > − 1 + 3 ≤ − 4 → 3 > 2 ≥ − 4. 𝐸𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 1 → 3 > −7 ≥ − 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. g) 𝟒 > − 5 + 3𝒙 > −7

4 + 5 > −5 + 5 + 3𝑥 > − 7 + 5 (Sumo 5 a cada lado)

9 > 3𝑥 > − 2

9 . �13� > 3𝑥 . �

13� > −2 . �


13

cada lado�

3 > 𝑥 > −23

𝟐𝟑

< 𝑥 < 3 (𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑜)

𝑆 = (2/3, 3)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 4 > − 5 + 3 > − 7 → 4 > − 2 > − 7 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −1 → 4 > − 5 – 3 > − 7 → 4 < − 8 < − 7, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. h) 5 ≥ − 4 + 3𝑥

2 > − 1

2. 5 ≥ �− 4 + 3𝑥

2� . 2 > − 1. 2 (Multiplico por 2 cada lado)

10 ≥ − 4 + 3𝑥 > − 2

10 + 4 ≥ − 4 + 4 + 3𝑥 > − 2 + 4 (Sumo 4 a cada lado)

14 ≥ 3𝑥 > 2


14 . �13� ≥ 3𝑥 . �

13� > 2 . �


13�

143≥ 𝑥 >

23

𝟐𝟑

< 𝑥 ≤ 𝟏𝟒𝟑

(𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑜)

𝑆 = �23

, � �𝟏𝟒𝟑�

Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → 5 ≥ − 4 + 3

2 > − 1 → 5 ≥ −

12

> − 1, 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −1 → 5 ≥ − 4 − 3

2 > − 1 → 5 ≥ −

72

> − 1, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

2. Inecuaciones racionales (Q) 2.1. Inecuaciones racionales donde la incógnita se encuentra en el denominador.

a) 𝟕𝟒𝒙 ≤ 𝟕

74𝑥 – 7 ≤ 7 − 7

Se suma - 7 a ambos lados

74𝑥 – 7 ≤ 0

Se resuelve

7 – 7(4𝑥)4𝑥

≤ 0 Se unifica obteniendo el mínimo común múltiplo.

7 – 28𝑥4𝑥

≤ 0 Se aplica la propiedad distributiva

Se obtienen las raíces o ceros en el numerador y denominador: Numerador: 7 – 28𝑥 = 0 Denominador: 4𝑥 = 0

−28𝑥 = − 7 𝑥 = 0

𝑥 = − 7 −28

𝑥 = 14



𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = −1, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 −74

≤ 7.𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑆𝐼 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.

𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = 1/8, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 14 ≤ 7.𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑁𝑂 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.

𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = 1, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 74

≤ 7.𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑆𝐼 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.

𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠: 𝑆 = (−∞, 0) 𝑈 �14� ,∞)

b) 𝟑𝒙

+ 𝟓 > 2

(3𝑥

+ 5) − 2 > 2 − 2 Se suma - 2 a ambos lados

(3𝑥

+ 5) − 2 > 0 Se resuelve

3 – 2 (𝑥 + 5) 𝑥 + 5

> 0 Se unifica obteniendo el mínimo común múltiplo.

3 – 2 𝑥 − 10𝑥 + 5

> 0 Se aplica la propiedad distributiva

−7 – 2𝑥 𝑥 + 5

> 0 Se obtienen las raíces o ceros en el numerador y denominador

Numerador: −7 – 2𝑥 = 0 Denominador: 𝑥 + 5 = 0

-2𝑥 = 7 𝑥 = −5

𝑥 = − 72


𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = −6, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 − 3 > 2. 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑁𝑂 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛. 𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = −4, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 3 > 2. 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑆𝐼 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.


> 2. 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑁𝑂 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.

𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠: 𝑺 = (−𝟓,−𝟕𝟐

)


c) �𝟓 𝒙� + 𝟐) – 𝟏 < 3

(5𝑥

+ 2) – 1 − 3 < 3 − 3 Se suma - 3 a ambos lados

(5𝑥

+ 2) – 4 < 0 Se resuelve

5 – 4(𝑥 + 2) 𝑥 + 2

< 0 Se unifica obteniendo el mínimo común múltiplo.

5 – 4𝑥 − 8 𝑥 + 2


– 4𝑥 − 3 𝑥 + 2

< 0 Se obtienen las raíces o ceros en el numerador y denominador

Numerador: – 4𝑥 – 3 = 0 Denominador: 𝑥 + 2 = 0

– 4𝑥 = 3 𝑥 = − 2

𝑥 = − 34


𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = −3, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 − 6 < 3. 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑆𝐼 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.

𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = −1, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 4 < 3. 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑁𝑂 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.


< 3. 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑆𝐼 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛. La solución es: S = (−∞,−𝟐) 𝑼 (−𝟑/𝟒,∞)

d) 𝟓

𝒙+𝟑> 𝟓

𝒙−𝟏

5 𝑥 + 3

− 5

𝑥 − 1 > 0 Se suma −

5x − 1

a ambos lados

5(𝑥 – 1) − 5(𝑥 + 3) (𝑥 + 3) (𝑥 – 1)

> 0 Se unifica obteniendo el mínimo común múltiplo.

5𝑥 – 5 − 5𝑥 − 15 (𝑥 + 3) (𝑥 – 1)

> 0 Se aplica la propiedad distributiva y se resuelve.


− 20 (𝑥 + 3) (𝑥 – 1)

> 0 Se obtienen las raíces o ceros en el denominador

Denominador: 𝑥 + 3 = 0 Denominador: 𝑥 – 1 = 0 𝑥 = − 3 𝑥 = 1


𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = −4, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 − 5 > −1. 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑁𝑂 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.


> −5. 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑆𝐼 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.

𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = 2, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 1 > 5. 𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑁𝑂 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.

La solución es: 𝑺 = (−𝟑,𝟏)

Respuesta utilizando el método del cementerio: Se procede a aplicar el mismo procedimiento anterior hasta que se tiene la inecuación equivalente:

− 20 (𝑥 + 3)(𝑥 – 1) > 0

Se procede a elaborar la respectiva tabla:

-3 1 (𝑥 + 3) - + + (𝑥 – 1) - - +

(𝑥 + 3)(𝑥 – 1) + - + Se debe prestar atención a que se pide que el resultado tiene que ser mayor que cero y que hay que dividir entre - 20. Esto hace que los intervalos desde - 3 a menos infinito y desde 1 hasta infinito no sean solución a pesar que en la última fila dan positivos, ya que al dividirlo por un número negativo el resultado final sería negativo. En cambio, el intervalo desde - 3 a 1 (sin incluirlos) es la solución, puesto que al dividir dos números negativos da como resultado uno positivo.


2.2 Inecuaciones racionales donde la incógnita se encuentra en el numerador y denominador.

a) 𝟐𝒙 – 𝟒

− 𝒙 + 𝟏 ≤ 𝟎

Se obtienen las raíces o ceros en el numerador y denominador:

Numerador: 2𝑥 − 4 = 0 Denominador: − 𝑥 + 1 = 0

2𝑥 = 4 − 𝑥 = −1

𝑥 = 2 𝑥 = 1


(− ∞, 1) 𝑥 = 0. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 2(0) – 4 − (0) + 1

≤ 0 → – 41

≤ 0 → −4 ≤ 0. 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

(1, 2) 𝑥 = 12

. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 2 �1

2� – 4

−12 + 1

≤ 0 → −3

12

≤ 0 → − 6 ≤ 0.𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(2,∞) 𝑥 = 3. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 2(3) – 4

− (3) + 1 ≤ 0 →

2 −2

≤ 0 → −1 ≤ 0. 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑆 = (− ∞,∞) 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 1 ya que se anula el denominador.

𝒃) 𝒙 + 𝟒𝒙 – 𝟐

≥ 𝟑

𝑥 + 4𝑥 – 2

− 3 ≥ 0

𝑥 + 4 − 3 (𝑥 − 2)𝑥 – 2

≥ 0

𝑥 + 4 − 3 𝑥 + 6

𝑥 – 2≥ 0

−2 𝑥 + 10𝑥 – 2

≥ 0

−2𝑥 + 10 = 0 𝒙 – 𝟐 = 𝟎


−𝟐𝒙 = − 𝟏𝟎

𝟐𝒙 = 𝟏𝟎

𝒙 = 𝟓

𝒙 = 𝟐

Dividimos la recta real en tres intervalos utilizando dichos puntos:

(− ∞, 2). 𝑥 = −5. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: −5 + 4 −5 – 2

≥ 3 → − 1− 7

≥ 3 → 17

≥ 3. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

(2, 5] 𝑥 = 3. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 3 + 4 3 – 2

≥ 3 → 7 1

≥ 3 → 7 ≥ 3. 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(5,∞) 𝑥 = 10. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 10 + 4 10 – 2

≥ 3 → 14 8

≥ 3. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑺 = (𝟐,𝟓]

𝑐) �3𝑥 – 2𝑥

� > 4𝑥

�3𝑥 – 2𝑥

� − 4𝑥

> 0

�3𝑥 – 2 − 4

𝑥� > 0

�3𝑥 – 6𝑥

� > 0

3𝑥 − 6 = 0 𝟑𝒙 = 𝟔

𝒙 = 𝟔 𝟐

𝒙 = 𝟐

𝒙 = 𝟎



(− ∞, 0). 𝑥 = −1. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 3(−1) – 2

−1 >

4/ (−1)− 1

→ − 5 / −1 > − 4 → 5 > −4.𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(0, 2]. 𝑥 = 1. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 3(1) – 2

1 >

41

→ 11

> 4 → 1 > 4. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

(2,∞). 𝑥 = 10. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 3(10) – 2

10 >

410

→ 2810

> 4

10. 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑺 = (− ∞,𝟎) 𝑼 (𝟐,∞)

d) 𝟐 − 𝒙 𝟐𝒙+𝟔

≥ 𝟎

2 − 𝑥 = 0 −𝒙 = − 𝟐 𝒙 = 𝟐

𝟐𝒙 + 𝟔 = 𝟎 𝟐𝒙 = − 𝟔 𝒙 = − 𝟑


(− ∞,−3). 𝑥 = −4. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 2 – (−4)

2(−4) + 6 ≥ 0 →

6 −8 + 6

≥ 0 → −3 ≥ 0. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

(−3, 2] 𝑥 = 0. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 2 – 0

2(0) + 6≥ 0 →

2 0 + 6

≥ 0 → 1 3≥ 0. 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(2,∞) 𝑥 = 10. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 2 – 10

2(10) + 6 ≥ 0 →

−8 26

≥ 0 → −4 13

≥ 0. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑺 = (−𝟑,𝟐].


Aplicando el método del cementerio, se parte de la inecuación inicial: 𝟐 − 𝒙 𝟐𝒙+𝟔

≥ 𝟎 considerando en primer

lugar, los valores en los cuales se anula, en especial en el denominador. Dichos valores son 2 y -3. Se procede a construir la tabla:

-3 2 𝟐 − 𝒙 + + - 𝟐𝒙 + 𝟔 - + + 𝟐 − 𝒙 𝟐𝒙 + 𝟔

- + -

Como los signos entre los valores de -3 y 2 son positivos, en los monomios y en el resultado y la inecuación pide por el símbolo “mayor e igual que” que los valores sean positivos, la solución es este intervalo sin incluir el valor - 3 ya que el mismo hace que la división sea entre cero o indeterminada.

e) 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒙 + 𝟐

≥ 𝟑𝒙 + 𝟕 𝒙 + 𝟐

2𝑥 − 3 𝑥 + 2

− 3𝑥 + 7 𝑥 + 2

≥ 0

2𝑥 – 3 − 3𝑥 − 7 𝑥 + 2

≥ 0

−𝑥 − 10 𝑥 + 2

≥ 0

− 𝑥 – 10 = 0 −𝒙 = 𝟏𝟎 𝒙 = −𝟏𝟎

𝒙 + 𝟐 = 𝟎 𝒙 = − 𝟐


(− ∞,−10) 𝑥 = −12. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 2(−12) − 3−12 + 2

≥ 3(−12) + 7 −12 + 2

→ 27 10

≥ 2910

. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

[−10,−2) 𝑥 = −3. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 2(−3) − 3

−3 + 2 ≥

3(−3) + 7 −3 + 2

→ 9 ≥ 2. 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(−2,∞) 𝑥 = 0. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 2(0) − 3

0 + 2 ≥

3(0) + 7 0 + 2

→ −32

≥ 72

. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑺 = [−𝟏𝟎,−𝟐)


3. Inecuaciones cuadráticas (De la forma X2) 3.1.Inecuaciones cuadráticas no racionales:

a) 𝒙𝟐 − 𝟗 ≥ 𝟎 (Buscar valores que anulan x)

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

−0 ± √02 − 4.1.−9

2.1

𝑥1 = 0+62

= 62 = 3

𝑥2 = 0− 62

= − 62 = − 3

Intervalos (−∞ ,−3) 𝑥 = −4 = 16 − 9 ≥ 0 7 ≥ 0 Cierto (−3 , 3) 𝑥 = 1 = 1 − 9 ≥ 0 − 8 ≥ 0 Falso (3 ,∞) 𝑥 = 4 = 16 − 9 ≥ 0 7 ≥ 0 Cierto ¿Dónde es igual a cero? 𝑥 = −3 9 − 9 ≥ 0 Ambos 𝑥 = 3 9 − 9 ≥ 0

𝑺 = (−∞,−𝟑] 𝑼 [𝟑,∞)

Los conocimientos se adquieren y pasa a la memoria a largo plazo solo cuando los hemos trabajado a profundidad, es decir, cuando hemos utilizado estrategias de pensamiento tales como la OBSERVACION, ANÁLISIS, SINTESIS y CONCLUSIONES detalladas de la expresión matemática. b) −𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐 > 0 (Buscar valores que anulan x)

𝒙𝟐 −𝟏𝟑

𝒙 − 𝟐𝟑

> 0 (𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒)

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

13 ± ��−1

3�2− 4. (1).−2

32.1

Intervalos

�−∞ ,−23� 𝑥 = −1 −3(−1)2 – 1 + 2 > 0 − 2 > 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜

�− 23

, 1� 𝑥 = 0 −3(0)2 + 0 + 2 > 0 2 > 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 (1 , ∞) 𝑥 = 2 −3(2)2 + 2 + 2 > 0 − 8 > 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜


13 ± �25

92

𝑥1 = 13 + 5

32

=632

= 1

𝑥2 = 13 −

53

2=−432

= −23

𝑺 = (−𝟐𝟑

,𝟏)

Para resolver este ejercicio utilizando el método del cementerio se procede a calcular las raíces, dando como

resultado 1 y −23 . Luego se construye la tabla:

−2

3 1

𝒙 + 23

- + +

𝒙 − 𝟏 - - +

�𝒙 + 23� (𝒙 − 𝟏) + - +

La inecuación pide que el resultado de sustituir los valores de x sea mayor que cero. Hay que tener cuidado aquí, ya que es necesario multiplicar por -3 por lo que los valores a considerar en la última fila de la tabla deben ser negativos, ya que al multiplicarlos por otro negativo nos darían valores positivos. Por eso, la solución

de la inecuación es el intervalo abierto �− 23

, 1�.

c) 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 ≥ 𝟎 (Buscar valores que anulan x) −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

1 ± �12 − 4.2. (−6)

2.2

Intervalos

�−∞ ,−32� 𝑥 = −2 2(−2)2 + 2 − 6 ≥ 0 4 ≥ 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

�− 32

, 2� 𝑥 = 1 2(1)2 − 1 − 6 ≥ 0 − 5 ≥ 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜


1 ± √494

𝑥1 = 1 + 7

4=

84

= 2

𝑥2 = 1 − 7

4=− 6

4= −

32

(2 , ∞) 𝑥 = 3 2(3)2 − 3 − 6 ≥ 0 9 ≥ 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ¿Dónde es igual a cero?

𝑥 = −32 2 �−

3

2�

2

+3

2− 6 ≥ 0

9

2+

3

2− 6 ≥ 0

6 − 6 = 0 𝑥 = 2 2(2)2 + 2 − 6 ≥ 0 8 – 2 − 6 = 0

𝑺 = (−∞,−𝟑/𝟐] 𝑼 [𝟐,∞)

d) 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 ≤ 𝟎 (Buscar valores que anulan x) −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

1 ± �1 − 4.1. (−6)

2.1

1 ± √25

2

𝑥1 = 1 + 5

2=

62

= 3

𝑥1 = 1 − 5

2=− 4

2= − 2

Intervalos (−∞ ,−2) 𝑥 = −3 (−3)2 + 3 − 6 ≤ 0 6 ≤ 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 (− 2 , 3) 𝑥 = 1 (1)2 − 1 − 6 ≤ 0 − 6 ≤ 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 (3 ,∞) 𝑥 = 4 (4)2 − 4 − 6 ≤ 0 6 ≤ 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 ¿Dónde es igual a cero? 𝑥 = −2 (−2) 2– (−2) − 6 ≥ 0 6 – 6 ≥ 0 6 − 6 = 0 𝑥 = 3 (3)2 − 3 − 6 ≥ 0 9 – 3 − 6 = 0

𝑺 = [−𝟐,𝟑]

e) 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 > 0 (Buscar valores que anulan x)


−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐2𝑎

4 ± �16 − 4.1. (−12)

2.1

4 ± √64

2

𝑥1 = 4 + 8

2=

122

= 6

𝑥2 = 4 − 8

2=−42

= −2

Factorización Producto Notable: (𝑥 − 6)(𝑥 + 2) > 0

Intervalos (−∞ ,−2) 𝑥 = −3 (−3)2 − 4. (−3) − 12 > 0 9 > 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 (− 2 , 6) 𝑥 = 1 (1)2 − 4. 1 − 12 > 0 − 15 > 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 (6 ,∞) 𝑥 = 7 (7)2 − 4. 7 − 12 > 0 9 > 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 Puntos Críticos: x = 6 𝑥 = −2

𝑺 = (−∞,−𝟐) 𝑼 (𝟔,∞)

f) 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟖 > 0 (Buscar valores que anulan x)

−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐2𝑎

6 ± √36 − 4.1.8

2.1

6 ± √4

2

𝑥1 = 6 + 2

2=

82

= 4

𝑥2 = 6 − 2

2=

42

= 2

Factorización Productos Notable (𝑥 − 2)(𝑥 − 4) > 0 Puntos Críticos: 𝑥 = 2 𝑥 = 4

Intervalos (−∞ , 2) 𝑥 = 1 (1)2 − 6.1 + 8 > 0 3 > 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 (2 , 4) 𝑥 = 3 (3)2 − 6. 3 + 8 > 0 − 1 > 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 (4 ,∞) 𝑥 = 5 (5)2 − 6. 5 + 8 > 0 3 > 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜


𝑺 = (−∞,𝟐) 𝑼 (𝟒,∞)

Analiza las expresiones que comparten características similares y así podrás llegar a conclusiones. g) 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 ≥ 𝟎 (Buscar valores que anulan x) −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

0 ± �02 − 4.4. (−16)

8

0 ± √132

8

𝑥1 = 0 + 16

8=

168

= 2

𝑥2 = 0 − 16

8=−16

8= −2

Factorización Productos Notable: 2(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) ≥ 0 Puntos Críticos: 𝑥 = 2 𝑥 = −2

Intervalos: (−∞ ,−2) 𝑥 = −3 4(−3)2 − 16 ≥ 0 20 ≥ 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 (−2 , 2) 𝑥 = 1 4. (1)2 − 16 ≥ 0 − 12 ≥ 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 (2 ,∞) 𝑥 = 3 4. (3)2 − 16 ≥ 0 20 ≥ 0 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 ¿Dónde es igual a cero? 𝑥 = −2 4(−2)2 – 16 ≥ 0

16 – 16 = 0 Ambos 𝑥 = 2 4(2)2 – 16 ≥ 0

16 – 16 = 0

𝑺 = (−∞,−𝟐) 𝑼 (𝟐,∞)

h) 𝟔𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 ≤ 𝟑 (Buscar valores que anulan x) 6𝑥2 + 7𝑥 – 3 ≤ 0 −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Intervalos


−7 ± �49 − 4.6. (−3)2.6

−7 ± √121

12

𝑥1 = −7 + 11

12=

13

𝑥2 = −7 − 11

12= −

32

�−∞ ,−32� 𝑥 = −3 6 �−

32�2

+ 7. (−3) ≤ 3 6 ≤ 3. 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

�−32

,13� 𝑥 = 0 6(0)2 + 7. (0) ≤ 3 0 ≤ 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

�13

,∞� 𝑥 = 1 6(1)2 + 7. (1) ≤ 3 13 ≤ 3. 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

¿Dónde es igual a cero?

𝑥 = 13

6 �13

�2

+ 7 �13

� − 3 ≤ 0

8127 – 3 ≤ 0

3 − 3 = 0 Cierto

𝑥 = − 32 6(− 3

2 )2 + 7(− 32 ) − 3 ≤ 0

248

– 3 = 0 Cierto

𝑺 = �−32

,13

�

3.2.Inecuaciones cuadráticas racionales: a)

𝒙𝟐 – 𝒙 – 𝟐𝒙 – 𝟏

≤ 𝟐

�𝒙𝟐 – 𝒙 – 𝟐𝒙 – 𝟏

� − 𝟐 ≤ 𝟎

(𝒙𝟐 – 𝒙 – 𝟐) − 𝟐(𝒙 − 𝟏)

𝒙 – 𝟏 ≤ 𝟎


𝒙𝟐 – 𝒙 – 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙 – 𝟏

≤ 𝟎

𝒙𝟐 – 𝟑𝒙 𝒙 – 𝟏

≤ 𝟎

Discriminante del numerador: ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = (−3)2 − 4.1.0

∆ = 9 , que es mayor que cero, así que podemos factorizar por factor común: 𝑥2 – 3𝑥 = 𝑥(𝑥 − 3) Discriminante del denominador: ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ∆ = 02 − 4.1. (−1) ∆ = 4 , que es mayor que cero. (𝑥 – 1) Para hallar los puntos críticos, despejamos x: En el numerador: 𝑥 – 3 = 0 → 𝑥 – 3 + 3 = 0 + 3 → 𝑥 = 𝟑 𝑥(𝑥 – 3) = 0 → 𝑥 = 𝟎

En el denominador: 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝑥 − 1 + 1 = 0 + 1 → 𝑥 = 𝟏 Estos puntos dividen la recta real en cuatro intervalos y se prueba para determinar los intervalos solución.

(− ∞, 0) 𝑥 = − 1. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: (−𝟏)𝟐 – (−𝟏) – 𝟐

−𝟏 – 𝟏 ≤ 𝟐 → 0 / − 2 ≤ 2 → 0 ≤ 2. 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(0, 1) 𝑥 =12

. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: (12)𝟐 – (1

2) – 𝟐12 – 𝟏

≤ 𝟐 → −18

8− 1

2 ≤ 2 →

368

≤ 2. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

(1, 3) 𝑥 = 2. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: (2)𝟐 – (2) – 𝟐

2– 𝟏 ≤ 𝟐 →

01

≤ 2 → 0 ≤ 2. 𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(3,∞)𝑥 = 4. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: (4)𝟐 – (4)– 𝟐

4– 𝟏 ≤ 𝟐 →

103

≤ 2. 𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜


Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑺 = (− ∞,𝟎] 𝑼 (𝟏,𝟑]

b)

𝟐 𝒙 + 𝟓𝒙 + 𝟏

> 𝒙 + 𝟏𝒙 – 𝟏

𝟐 𝒙 + 𝟓𝒙 + 𝟏

− 𝒙 + 𝟏𝒙 – 𝟏

> 0

𝟐 𝒙 + 𝟓. (𝒙 – 𝟏) − (𝒙 + 𝟏). (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏). (𝒙 − 𝟏)

> 0

𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟓 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏(𝒙 + 𝟏). (𝒙 − 𝟏)

> 0

𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔(𝒙 + 𝟏). (𝒙 − 𝟏)

> 0

(𝒙 + 𝟑). (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏). (𝒙 − 𝟏)

> 0

Se aplica la técnica de “el cementerio”: -3 -1 1 2

𝑥 + 3 - + + + + 𝑥 − 2 - - - - + 𝑥 + 1 - - + + + 𝑥 − 1 - - - + +

(𝒙 + 𝟑). (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏). (𝒙 − 𝟏)

+ - + - +

Estos puntos dividen la recta real en cinco intervalos y se prueba para determinar los intervalos solución.


(− ∞,− 3) 𝑥 = − 4. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 𝟐 (−𝟒) + 𝟓 (−𝟒) + 𝟏

> (−𝟒) + 𝟏 (−𝟒) – 𝟏

→ 1 > 𝟑 𝟓

.𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(− 3,− 1) 𝑥 = − 2. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 𝟐 (−𝟐) + 𝟓 (−𝟐) + 𝟏

> (−𝟐) + 𝟏 (−𝟐) – 𝟏

→ − 1 > 𝟏 𝟑

.𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

(− 1, 1) 𝑥 = 0. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 𝟐 (𝟎) + 𝟓 (𝟎) + 𝟏

> (𝟎) + 𝟏 (𝟎) – 𝟏

→ 7 > − 1.𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

(1, 2) 𝑥 = 𝟑 𝟐

. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 𝟐� 𝟑

𝟐� + 𝟓

� 𝟑 𝟐� + 𝟏

> � 𝟑

𝟐� + 𝟏

� 𝟑 𝟐� – 𝟏

→ 2 > 5.𝐸𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜

(2, ∞) 𝑥 = 3. 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒: 𝟐 (𝟑) + 𝟓 (𝟑) + 𝟏

> (𝟑) + 𝟏 (𝟑) – 𝟏

→ 𝟏𝟏 𝟒

> 2.𝐸𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜

Ahora planteamos la solución del ejercicio: 𝑺 = 𝒙 𝝐 (− ∞,−𝟑) 𝑼 (−𝟏,𝟏) 𝑼 (𝟐,∞)

4. VALOR ABSOLUTO

4.1.Inecuaciones lineales con valor absoluto. 4.1.1. Donde se aplica el teorema: │𝒙│ ≤ 𝒂 ↔ − 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂

a) │𝟓 − 𝟐𝒙│ ≤ 𝟕

−7 ≤ 5 − 2𝑥 ≤ 7

−7 − 5 ≤ 5 − 2𝑥 − 5 ≤ 7 − 5

−12 ≤ − 2𝑥 ≤ 2

−6 ≤ − 𝑥 ≤ −1

6 ≥ 𝑥 ≥ −1

−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → │5 − 2(0)│ ≤ 7 → │5│ ≤ 7 → 5 ≤ 7. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.


𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 7 → │5 − 2(7)│ ≤ 7 → │ − 9│ ≤ 7 → 9 ≤ 7, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

b) │2𝑥 – 3│ < − 5

Por el teorema de la no negatividad: │2𝑥 – 3│ ≥ 0

Por lo tanto, nunca puede darse │2𝑥 – 3│ ≥ −5

Por consiguiente la solución es el conjunto vacío.

4.1.2. Donde se aplica el teorema: │𝒙│ ≥ 𝒂 ↔ 𝒙 ≥ 𝒂 𝒚 𝒙 ≤ − 𝒂

a) |𝟓𝒙 − 𝟔| > 𝟏 5𝑥 – 6 > 1

5𝑥 – 6 + 6 > 1 + 6

5𝑥 > 7

5𝑥 .15

> 7.15

𝑥 > 75

𝑆 = �75� ,∞)

5𝑥 – 6 < − 1

5𝑥 – 6 + 6 < − 1 + 6

5𝑥 < 5

5𝑥.15

< 5.15

𝑥 < 1

𝑆 = ( − ∞, 1)

𝑺 = (− ∞,𝟏) 𝑼 �75� ,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → │5(0) − 6│ > 1 → │ − 6│ > 1 → 6 > 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 4 → │5(4) − 6│ > 1 → │14│ > 1 → 14 > 1. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 43→ │5(

43

) − 6│ > 1 → �23� > 1 →

23



b) |𝟒𝒙 + 𝟐| ≥ 𝟏𝟎 4𝑥 + 2 ≥ 10

4𝑥 + 2 − 2 ≥ 10 − 2

4𝑥 ≥ 8

4𝑥 .14

≥ 8.14

𝑥 ≥ 2

𝑆 = [2 ,∞)

4𝑥 + 2 ≤ −10

4𝑥 + 2 – 2 ≤ −10 − 2

4𝑥 ≤ −12

4𝑥 .14

≥ −12.14

𝑥 ≤ −3 𝑆 = ( − ∞,−3]

𝑺 = (− ∞,−𝟑] 𝑼 [𝟐,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −4 → │4(−4) + 2│ ≥ 10 → │ − 14│ ≥ 10 → 14 ≥ 10. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 4 → │4(4) + 2│ ≥ 10 → │18│ ≥ 10 → 18 ≥ 10. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → │4(0) + 2│ ≥ 10 → │2│ ≥ 10 → 2 ≥ 10, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

4.2.Inecuaciones con valor absoluto que se resuelven por definición

a) |𝒙 − 𝟐| ≤ |𝟐𝒙 + 𝟏| 𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 │𝑥 − 2│= − (𝑥 − 2) 𝑠𝑖 𝑥 < 2

2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

2

│2𝑥 − 1│=

− (2𝑥 + 1) 𝑠𝑖 𝑥 < 12

−∞ 12 2 +∞

|𝑥 − 2| − (𝑥 − 2) − (𝑥 − 2) (𝑥 − 2) |2𝑥 + 1| − (2𝑥 + 1) (2𝑥 + 1) (2𝑥 + 1)

|𝑥 − 2| ≤ |2𝑥 + 1| − (𝑥 – 2) ≤ − (2𝑥 + 1)

− 𝑥 + 2 ≤ − 2𝑥 − 1

− 𝑥 + 2𝑥 ≤ − 1 − 2

𝑥 ≤ − 3

− (𝑥 – 2) ≤ 2𝑥 + 1

− 𝑥 + 2 ≤ 2𝑥 + 1

− 𝑥 – 2𝑥 ≤ 1 − 2

– 3𝑥 ≤ − 1

𝑥 – 2 ≤ 2𝑥 + 1

𝑥 – 2𝑥 ≤ 1 + 2

– 𝑥 ≤ 3

𝑥 ≥ − 3


𝑆1 = (−∞, �12� ∩ (−∞,−3]

𝑆1 = (−∞,−3]

3𝑥 ≥ 1

𝑥 ≥ 13

𝑆2 = �13� ,∞) ∩ �

12� , 2)

𝑆2 = �13� , 2)

𝑆3 = [−3,∞) ∩ [2,∞) 𝑆3 = [2,∞)

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = (−∞,−𝟑] 𝑼 [𝟏

𝟑,𝟐) 𝑼 [𝟐,∞) = (−∞,−𝟑] 𝑼 [𝟏

𝟑,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 4 → | − 4 − 2| ≤ |2(−4) + 1| → | − 6| ≤ | − 7| → 6 ≤ 7. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → |1 − 2| ≤ |2(1) + 1| → | − 1| ≤ | 3| → 1 ≤ 3. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → |0 − 2| ≤ |2(0) + 1| → | − 2| ≤ | 1| → 2 ≤ 1, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

b) |𝟐𝒙 + 𝟒| − |𝒙 – 𝟏| < 4 2𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ − 2 │2𝑥 + 4│= − (2𝑥 + 4) 𝑠𝑖 𝑥 < − 2

𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 │𝑥 − 1│= − (𝑥 − 1) 𝑠𝑖 𝑥 < 1

−∞ − 2 1 +∞ |2𝑥 + 4| − (2𝑥 + 4) (2𝑥 + 4) (2𝑥 + 4) |𝑥 − 1| − (𝑥 − 1) − (𝑥 − 1) (𝑥 − 1)

|2𝑥 + 4| − |𝑥 – 1| < 4

− (2𝑥 + 4) – (− (𝑥 – 1) < 4

− 2𝑥 − 4 + 𝑥 − 1 < 4

− 𝑥 − 5 < 4

− 𝑥 < 9

𝑥 > − 9 𝑆1 = (−∞,− 2) ∩ (−9,∞) 𝑆1 = (− 9,−2)

2𝑥 + 4 – (− (𝑥 – 1) < 4

2𝑥 + 4 + 𝑥 – 1 < 4

3𝑥 + 3 < 4

3𝑥 < 1

𝑥 < 13

𝑆2 = (− ∞, �13� ∩ [− 2, 1)

𝑆2 = [− 2, �13�

2𝑥 + 4 – 𝑥 – 1 < 4

𝑥 + 3 < 4

𝑥 < 1 𝑆3 = (− ∞, 1) ∩ [1,∞) 𝑆3 = Ø


𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = (− 𝟗,− 𝟐) 𝑼 [− 𝟐, �𝟏𝟑� 𝑼 Ø = (− 𝟗, �𝟏

𝟑�

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → |2(0) + 4| − |0 – 1| < 4 → |4| − |– 1| < 4 → 4 − 1 < 4 → 3 < 4. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −10 → |2(−10) + 4| − | − 10 – 1| 4 → | − 16| − |– 11| < 4 16 − 11 < 4 → 5 < 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → |2(1) + 4| − |1 – 1| < 4 → |6| − |0| < 4 → 6 − 0 < 4 → 6 < 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

4.3.Inecuaciones racionales con valor absoluto.

𝒂) �𝒙 + 𝟐

𝟐𝒙 – 𝟑 � < 4

𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ − 2 │𝑥 + 2│= − (𝑥 + 2) 𝑠𝑖 𝑥 < − 2

2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3/2 │2𝑥 − 3│= − (2𝑥 − 3) 𝑠𝑖 𝑥 < 3/2

−∞ −2 32 +∞

|𝑥 + 2| − (𝑥 + 2) (𝑥 + 2) (𝑥 + 2) |2𝑥 − 3| − (2𝑥 − 3) − (2𝑥 − 3) (2𝑥 − 3)

�𝑥 + 2 2𝑥 – 3

� < 4

−(𝑥 + 2) – ( 2𝑥 – 3)

< 4

−𝑥 − 2 – 2𝑥 + 3

< 4

−𝑥 − 2 < 4(– 2𝑥 + 3)

−𝑥 − 2 < – 8𝑥 + 12

−𝑥 + 8𝑥 < 12 + 2

7𝑥 < 14

𝑥 < 147

𝑥 < 2 𝑆1 = ( −∞,−2) ∩ (−∞, 2) 𝑆1 = (−∞,−2)

𝑥 + 2– ( 2𝑥 – 3)

< 4

𝑥 + 2– 2𝑥 + 3)

< 4

𝑥 + 2 < 4(– 2𝑥 + 3)

𝑥 + 2 < – 8𝑥 + 12

𝑥 + 8𝑥 < 12 − 2

9𝑥 < 10

𝑥 < 109

𝑆2 = (− 2, �32� ∩ [ −∞, �

109�

𝑆2 = [−2, �109�

𝑥 + 2 2𝑥 – 3

< 4

𝑥 + 2 < 4(2𝑥 − 3)

𝑥 + 2 < 8𝑥 − 12

𝑥 − 8𝑥 < − 12 − 2

−7𝑥 < −14

7𝑥 > 14

𝑥 > 147

𝑥 > 2 𝑆3 = �

32� ,∞) ∩ (2,∞)

𝑆3 = (2,∞)

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = (−∞,−𝟐) 𝑼 [−𝟐, �𝟏𝟎𝟗� 𝑼 (𝟐,∞) = (−∞, �𝟏𝟎

𝟗� 𝑼 (𝟐,∞)


Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 3 → �3 + 2

6 – 3 � < 4 →

5 3


𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 2 → �2 + 2

2 – 3 � < 4 → 4 < 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → �0 + 2

0 – 3 � < 4 →

23


b) �𝟑𝒙 − 𝟖 𝟐𝒙 +𝟑

� < 𝟒

3𝑥 − 8 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 8/3 │3𝑥 − 8│ = − (3𝑥 – 8) 𝑠𝑖 𝑥 < 8/3

2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ − 3/2 │2𝑥 + 3│ = − (2𝑥 + 3) 𝑠𝑖 𝑥 < − 3/2

−∞ −32 8

3 +∞

|3𝑥 – 8| − (3𝑥 – 8) − (3𝑥 – 8) (3𝑥 – 8) |2𝑥 + 3| − (2𝑥 + 3) (2𝑥 + 3) (2𝑥 + 3)

�3𝑥 − 8 2𝑥 + 3

� < 4 −(3𝑥 – 8) – (2𝑥 + 3)

< 4

−3𝑥 + 8 – 2𝑥 − 3

< 4

−3𝑥 + 8 < 4(−2𝑥 − 3)

−3𝑥 + 8 < −8𝑥 − 12

−3𝑥 + 8𝑥 < −12 − 8

5𝑥 < −20

𝑥 < −4

𝑆1 = ( −∞,− �32� ∩ (−∞,−4)

𝑆1 = ( −∞,−4)

−3𝑥 + 8 2𝑥 + 3

< 4

−3𝑥 + 8 < 4(2𝑥 + 3)

−3𝑥 + 8 < 8𝑥 + 12

−3𝑥 – 8𝑥 < 12 − 8

– 11𝑥 < 4

11𝑥 > −4

𝑥 > −4

11

𝑆 = �−32� , �

83� ∩ �−

411� ,∞)

S2 = �− 411� , �83�

3𝑥 − 8 2𝑥 + 3

< 4

3𝑥 − 8 < 4(2𝑥 + 3) 3𝑥 − 8 < 8𝑥 + 12

3𝑥 – 8𝑥 < 8 + 12

– 5𝑥 < 20

5𝑥 > −20

𝑥 > −205

𝑥 > −4 𝑆 = �

83� ,∞) ∩ [−4,∞)

𝑆3 = �83� ,∞)

𝑺 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 𝑼 𝑺𝟑 = (− ∞,− 𝟒) 𝑼 �− 𝟒𝟏𝟏� , �𝟖𝟑� 𝑼 �𝟖

𝟑� ,∞) = (− ∞,−𝟒) 𝑼 �− 𝟒

𝟏𝟏� ,∞)


Verificación:

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −8 → �3(−8) − 8 2(−8) + 3

� < 4 → 3213


𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −1 → �3(−1) − 8 2(−1) + 3

� < 4 → 11 < 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → �3(0) − 8 2(0) + 3

� < 4 → 83


4.4.Inecuaciones cuadráticas con valor absoluto.

a) |𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒| > 4

En este caso aplicación el teorema: │𝑥│ ≥ 𝑎 ↔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑦 𝑥 ≤ − 𝑎

𝑥2 − 2𝑥 − 4 > 4

𝑥2 − 2𝑥 − 4 – 4 > 0

𝑥2 − 2𝑥 − 8 > 0

(𝑥 + 2) (𝑥 – 4) > 0

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 02 – 2(0) − 4 > 4 → − 4 > 4, lo cual es falso Por el principio de la alternancia, los intervalos solución son: 𝑆1 = (− ∞,−2) 𝑈 (4,∞)

𝑥2 − 2𝑥 − 4 < − 4

𝑥2 − 2𝑥 − 4 + 4 < 0

𝑥2 − 2𝑥 < 0

𝑥(𝑥 – 2) < 0

𝑆𝑖 𝑥 = 1 → 12 – 2(1) − 4 < − 4 → − 5 < − 4, lo cual es cierto Por el principio de la alternancia, los intervalos solución son: 𝑆2 = (0, 2)

𝑺𝑭 = 𝑺𝟏 𝑼 𝑺𝟐 = (− ∞,− 𝟐) 𝑼 (𝟎,𝟐) 𝑼 (𝟒,∞)

Verificación: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = − 3 → |(−3)2 – 2(−3) − 4| > 4 → |9 + 6 − 4| > 4 → |11| > 4 → 11 > 4. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −1 → |(−1)2 – 2(−1) − 4| > 4 → |1 + 2 − 4| > 4 → | − 1| > 4 → 1 > 4, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.


𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → |(1)2 – 2(1) − 4| > 4 → |1 − 2 − 4| > 4 → | − 5| > 4 → 5 > 4. 𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

Contraejemplo: x = 3 → |(3)2 – 2(3) - 4| > 4 → |9 - 6 - 4| > 4 → |-1| > 4 → 1 > 4, lo cual es falso.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 5 → |(5)2 – 2(5) − 4| > 4 → |25 − 10 − 4| > 4 → |11| > 4 → 11 > 4.𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜.

b) |𝒙𝟐 – 𝟑| ≤ 𝟐 En este caso se aplica el teorema: │𝒙│ ≤ 𝒂 ↔ − 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒂

−2 ≤ 𝑥2 – 3

𝑥2 – 3 ≥ − 2

𝑥2 – 3 + 2 ≥ 0

𝑥2 – 1 ≥ 0

(𝑥 – 1)(𝑥 + 1) ≥ 0

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 02 – 3 ≥ − 2 −3 ≥ − 2 Lo cual es falso Por el principio de la alternancia, los intervalos solución son: 𝑆 1 = (−∞,−1] 𝑈 [1,∞)

𝑥2 – 3 ≤ 2

𝑥2 – 3 – 2 ≤ 0

𝑥2 – 5 ≤ 0

(𝑥 + √5)(𝑥 − √5) ≤ 0

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 02 – 3 ≤ 2 – 3 ≤ 2 lo cual es cierto Por el principio de la alternancia, los intervalos solución son: 𝑆2 = [− √5,√5]

𝑺𝑭 = 𝑺𝟏 ∩ 𝑺𝟐 = [− √𝟓,−𝟏] 𝑼 [𝟏,√𝟓]

Verificación: 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −3 → |(−3)2 – 3| ≤ 2 → |9 – 3| ≤ 2 → |6| ≤ 2 → 6 ≤ 2, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = −2 → |(−2)2 – 3| ≤ 2 → |4 – 3| ≤ 2 → |1| ≤ 2 → 1 ≤ 2.𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 0 → |(0)2 – 3| ≤ 2 → | – 3| ≤ 2 → 3 ≤ 2, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜. 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 1 → |(1)2 – 3| ≤ 2 → | – 2| ≤ 2 → 2 ≤ 2.𝐶𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑥 = 3 → |(3)2 – 3| ≤ 2 → | 6| ≤ 2 → 6 ≤ 2, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜.

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